Unidade 5 - Álgebra 1a parte

Prévia do material em texto

UNIDADE 5 – ÁLGEBRA DE CORPOS 
NUMÉRICOS – 1ª PARTE 
 
 
Metas 
Estabelecer um estudo algébrico que possa ser aplicado no conjunto dos números 
reais, além dos outros conjuntos numéricos já estudados. 
 
Objetivos 
 Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: 
• conhecer propriedades operacionais e ter uma noção de como aplicá-las; 
• saber manipular expressões algébricas básicas envolvendo números reais; 
• saber resolver equações; 
• saber lidar com a noção de ordem em expressões algébricas; 
• saber resolver inequações. 
 
 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
2 
Um conjunto com particularidades 
 Nesta unidade estendemos os estudos para o campo dos números reais. Existem 
algumas particularidades quando passamos a lidar com esses números e é sobre isso que 
falaremos a seguir. Mas antes vamos comentar algumas curiosidades. 
Como vem sendo explicado ao longo das unidades, a simples criação, ou 
combinação, de símbolos não caracteriza um objeto matemático. O trabalho matemático 
de criação formal dos objetos numéricos é longo e complexo para uma primeira 
abordagem como a presente. A maior ênfase do que vem sendo feito aqui está na 
consideração de modelos intuitivos para os objetos matemáticos e no aprendizado de 
tratamentos algorítmicos com símbolos que os representem, além da busca por relações 
entre essas duas ações. 
O que sabemos sobre modelos intuitivos e tratamentos simbólicos para os 
números reais? Essa é uma pergunta básica para saber o quanto dominamos sobre o 
assunto. Ao contrário do que acontece com os números naturais, inteiros e racionais, 
parece que existe uma certa negligência por parte dos textos didáticos com os números 
reais a respeito dessas duas questões. 
Conforme já abordado na Unidade 1, o modelo intuitivo básico para os números 
reais é a noção de grandeza escalar contínua. Por grandeza escalar contínua queremos 
dizer sobre algo que pode ser comparado e cuja mudança de estado se dá de modo 
contínuo. Para deixar essa questão um pouco mais clara, podemos comparar amor ou dor? 
Quem sente mais dor? Quanto de dor uma pessoa está sentindo? Noções como dor e amor 
não são consideradas grandezas, normalmente não. E nem toda grandeza pode ser 
comparada. O que é maior, verde ou vermelho? Bom, é essa ideia intuitiva que guia nossa 
percepção dos números reais. Quando vemos uma sombra avançando ao longo do dia 
podemos abstrair esse movimento para o conjunto dos números reais. O mesmo vale para 
quando olhamos para a variação de temperatura por meio de um termômetro de mercúrio. 
O que acham da seguinte composição de imagens envolvendo situações que 
podem ser relacionadas com os números reais? 
 
 O conjunto dos números reais se destaca bastante dos outros conjuntos numéricos, 
não só por suas propriedades, mas, curiosamente, também pelas representações que 
encontramos para seus elementos. Basicamente, as representações numéricas se 
restringem à representação decimal, além de representações algébricas como √7 ou √5
3
. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
3 
Por outro lado, a representação na reta numérica explora bem a relação do conjunto com 
seu modelo intuitivo. 
 As representações numéricas são fundamentais para a realização de contas, 
contudo para o caso dos números reais elas não ajudam muito. Você sabe lidar com 
expressões desse tipo? 
• √2 − 1 
• −1,888.... + 0,333... 
• 5,12334057698...  2 
• 4,101001000100001... :  
• 7 : −4,0112322445909651112... 
• √2 + √3 
 Leitor, muita atenção para a próxima frase. De modo geral, nós não aprendemos 
como tratar representações numéricas dos números reais. Isso é muito difícil! É realmente 
difícil. Para começar, nem conseguimos representar direito seus elementos! Por exemplo, 
sabemos que √2 é o número que satisfaz a condição x.x = 2. Mas, qual é a sua 
representação numérica? No sistema de representação decimal isso fica indefinido, 
qualquer tentativa de representar √2 com notação decimal terá que terminar com ..., e 
sem saber o que vem depois! Vejamos um exemplo: 
√2 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973... 
 Na verdade, o que acontece para o caso dos números reais é que o estudo se torna 
basicamente algébrico. Não se faz contas com números reais de modo geral, só se aplica 
propriedades operacionais. Mesmo que encontremos números nas expressões, muitas 
vezes não podemos efetuá-las. Um exemplo, 
 √2 (√3 − 1) + √2 – 3 = √2 .√3 − √2.1 + √2 – 3 = √2.3 − √2 + √2 – 3 = 
 = √6 + 0 – 3 = √6 – 3 
Basicamente, nesse exemplo, a única conta efetuada foi 2.3 = 6. De resto só usamos 
propriedades operacionais. Até a parte − √2 + √2 = 0 não é exatamente uma conta. Você, 
leitor, no que pensa quando vê a sentença, − √2 + √2 = 0? Você fez alguma conta, contou 
√2 coisas, aí contou − √2 coisas e as somou? Ou só usou a propriedade, a − a = 0? 
 Em resumo, o tratamento numérico para os números reais é uma questão bastante 
delicada e na prática o que precisamos é de conhecimento algébrico, não de conhecimento 
aritmético. E é isso que vamos explorar mais nessa unidade, o conhecimento algébrico. 
 Agora, o estudo algébrico não é nada simples. Assim, a fim de criar referências 
para os conhecimentos que iremos abordar, tentaremos também associar o conhecimento 
algébrico estudado a conhecimentos intuitivos. 
 Antes de iniciarmos a unidade propriamente, mais uma curiosidade. Os números 
racionais foram criados para medir. Pelo menos muitos livros de história da Matemática 
apresentam o conjunto dessa maneira. E isso parece ser o mais razoável. Agora, criaram 
os números racionais para medir o quê? Não foi para medir pedras, ovelhas ou objetos de 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
4 
natureza discreta. Uma explicação que parece ser aceitável é que os racionais foram 
criados para medir objetos de natureza contínua, ou melhor as grandezas escalares 
contínuas. Assim, do ponto de vista intuitivo e de representação, os números reais vieram 
antes dos números racionais. Entretanto, os livros didáticos sempre apresentam os 
números racionais antes dos reais. Deixamos essa questão para o leitor pensar sobre. 
 
Propriedades operacionais 
 A forma mais geral de se representar, respectivamente, uma soma e um produto 
entre pares de números reais números reais é dada pelas expressões, respectivamente, a 
+ b e ab, onde a e b representam números reais. O tratamento de expressões assim se 
torna algébrico quando se dá por meio de propriedades operacionais previamente 
estabelecidas. A melhor maneira de se trabalhar com as operações para números reais é 
usar e abusar das propriedades operacionais dadas a seguir. 
a) (x + y) + z = x + (y + z); 
b) 0 + x = x + 0 = x; 
c) x + (–x) = (–x) + x = 0; 
d) x + y = y + x; 
e) x + a = b  x = b + (−a); 
f) a + x = a + y  x = y; 
g) (xy)z = x(yz); 
h) 1.x = x.1 = x; 
i) se x  0, xx−1 = x−1x = 1; 
j) xy = yx; 
l) se a  0, ax = b  x = a−1b; 
m) se a  0, ax = ay  x = y; 
n) x(y + z) = xy + xz; 
o) (x + y)z = xz + yz; 
p) xy = 0  x = 0 ou y = 0; 
q) (−a)b = a(−b) = −ab. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 1: Explore as propriedades listadas anteriormente. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
5 
a) Estude o seguinte desenvolvimento de contas. Identifique as propriedades utilizadas 
ao longo das contas. Cada igualdade nessa sequência de transformações esconde uma 
ou mais propriedades. Identifique-as por igualdade. 
−3( 7 5 − 2) + 7 5 = −3 7 5 + 6 + 7 5 = −3 7 5 + 7 5 + 6 = 
= −3. 7 5 + 1. 7 5 + 6 = (−3 + 1). 7 5 + 6 = −2 7 5 + 6. 
b) Desenvolva as contas dadas a seguir realizando o máximo de transformações possível. 
 i) 

+−− 2/32)32(2
 ii) − 35 + 5.34 − 2.33 + 12.32. 
c) Encontre a médiaaritmética de 21, 21, 10, 28, 33, 33, 28, 10, 10, 28, 21 e 21 (soma 
dos valores dividida por 12), mas evitando ao máximo de fazer contas grandes, 
explore as propriedades ao máximo. 
Atividade 2: As propriedades algébricas são inúmeras, só listamos algumas delas. O 
estudo algébrico depende do conhecimento dessas propriedades, mas não se reduz a 
decorar todas elas. Na verdade, o bom algebrista só decora algumas dessas propriedades 
e aprende a deduzir todas as outras, quando necessário. Vamos trabalhar um pouco essa 
ideia. 
a) Considere a sequência de transformações a seguir, ela serve para justificar a 
propriedade (l). Indique as propriedades usadas em cada igualdade. 
ax = b  a−1(ax) = a−1b  (a−1a) x = a−1b  1x = a−1b  x = a−1b. 
b) Desenvolva uma sequência de transformações que justifique a seguinte igualdade: (a 
+ b)2 = a2 + 2ab + b2. 
c) Uma das vantagens de se desenvolver competências algébricas é poder descobrir uma 
relação, você não precisar esperar que alguém te diga como é a relação. Desenvolva 
a expressão a seguir e descubra uma fórmula para o cubo de uma soma: (a + b)3 = ? 
d) Você é capaz de desenvolver esse produto? (a – 1)(1 + a + a2 + a3 + ... + an) = ? 
Atividade 3: Tratamentos algébricos não se reduzem a tratamentos literais, também 
podem ser realizados com representações numéricas. O que caracteriza a postura 
algébrica é a forma como se realiza transformações a partir de propriedades. Treine essa 
ideia realizando transformações que levem a isolar a variável x. Vejamos só um exemplo: 
x + 1 = 2x – 1  −x + x + 1 = −x + 2x – 1  1 = x − 1  1 + 1 = x − 1 + 1  2 = x. Esse 
exercício pode parecer bobo, mas bem trabalhado pode ajudar a evitar diversos erros 
bobos. 
a) 2 – x =  + x 
b) √2x = 3 
c) x – 1 = √2
3
 
d) 
3
𝑥
 + 1 = 5 
Atividade 4: O aluno provavelmente está acostumado com a notação de fração mesmo 
para números reais. Contudo, já parou para pensar que uma expressão como 
1
√2
 não pode 
ser interpretada da mesma maneira que fazemos com frações de números inteiros? 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
6 
Podemos dividir uma pizza em √2 partes? Podemos realizar a divisão 1 : √2 pelo 
algoritmo da divisão? Para os números reais, a notação de fração está relacionada com a 
noção de inverso multiplicativo: 
𝑎
𝑏
 = a.b−1, para b  0. O exercício agora é verificar que 
podemos tratar algebricamente frações de reais como se fossem de racionais. Use as 
propriedades algébricas para verificar que: 
a) 
𝑝
𝑞
+
𝑟
𝑠
=
𝑝𝑠+𝑟𝑞
𝑠𝑞
 
b) 
𝑝
𝑞
.
𝑟
𝑠
=
𝑝𝑟
𝑞𝑠
 
Dica: Desenvolva os dois lados da igualdade, separadamente e chegue no mesmo valor. 
 Esse exercício da Atividade 4 pode ser estendido para outras igualdades, caso o 
aluno goste desse tipo de atividade: 
c
d
b
a
d
c
b
a
.= ; 
y
x
ay
ax
= ; a  0 e ax = b  x = 
a
b
; 
d
c
b
a
=  ad = cb; 
b
a
b
a
b
a
−=
−
=
−
, 
Atividade 5: Muitas contas exigem aproximações. Mas aproximações podem ter um 
preço. É interessante evitar aproximações em certos cálculos, como em lançamento de 
foguetes. Vejamos um exemplo. 
a) Simplifique a expressão 
)51)(51(3
31527
+−
−
. Você deve obter no final o valor 3. 
b) Encontre valores aproximados, com duas casas decimais, para 27 , 3 e 5 . Faça 
as contas envolvidas na expressão do item (a) com os valores obtidos e compare os 
resultados (você deve encontrar 2,98). 
 
 
Estudando Álgebra com intuição 
 Nas atividades anteriores falamos sobre realizar transformações e deduzir 
expressões a partir da competência na utilização das propriedades operacionais 
apresentadas aqui. Contudo, esse estudo não é nada simples, de fato, pouquíssimos são 
os alunos que conseguem ter bom desempenho no uso da Álgebra. Assim, é interessante 
poder contar com outros recursos quando o aluno se deparar com algum problema de 
compreensão de resultados algébricos. 
 Uma maneira de interpretar expressões algébricas é representá-las 
geometricamente. Na Unidade 1 exploramos um pouco dessa questão. A adição de 
números reais pode ser representada pela justaposição de segmentos e a multiplicação de 
números reais positivos pode ser representada pela área de retângulos. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
7 
Exemplo: Por que vale a relação a(b + c) = ab + ac? Vejamos uma justificativa para a, b, 
c positivos. 
 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 6: Podemos utilizar representações geométricas para diversas situações 
algébricas. O aluno está convidado a tentar explicações baseadas em argumentos 
geométricos para as seguintes propriedades. 
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
b) a + b = a + c  b = c 
c) √2.0 = 0 
d) 1 < √2 < 2 
e) ab = ba 
f) a + 0 = a 
Atividade 7: Argumentos algébricos podem ser muito convincentes, inclusive podem 
enganar pessoas facilmente. Às vezes é conveniente poder contar com a intuição. Veja a 
seguinte afirmação: ℝ = {0}. Ela não faz sentido, ela diz que a reta numérica é o mesmo 
que um ponto, é uma afirmação que fere claramente o nosso senso comum. Contudo, 
existe um argumento algébrico muito bom que justifica a afirmação. Acompanhe o 
argumento a seguir. Você seria capaz de encontrar algum erro na justificativa? 
Justificativa: Seja a  ℝ um número real qualquer. Façamos x = a. Então, multiplicando 
por x cada membro desta igualdade, temos x2 = ax; subtraindo a2, temos x2 – a2 = ax – a2; 
fatorando as duas expressões, temos (x − a)(x + a) = (x − a)a; pela lei do cancelamento 
(propriedade (m)), temos x + a = a; subtraindo a, temos x = 0; ou seja, a = 0. 
 
 
Resolvendo equações 
 Conseguir resolver equações é um assunto central. E essa capacidade depende 
bastante de competência na utilização das propriedades algébricas apresentadas aqui. 
Atividade de aprendizagem 
 b + c 
 b c b c 
a ab ac a a(b + c) 
 regiões de 
 ab + ac mesma área 
 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
8 
 
Atividade 8: Resolva as equações na incógnita x a seguir. 
a) 2x + 1 = 9 b) x − 3 = 1 c) 3x + 1 = 3 
d) 15x = 5 e) 9x + 27 = 45 f) 3x + 1 = 0 
g) 
3
1
x + 1= 
2
5−
 h) x + 
2
1
 = 
3
1
 i) 3x − 
11
4−
 = 
7
3
 
j) 3x + 2 = x − 2 k) 2 − x + 3x = x + 1 l) x + 
5
3
 − 
2
1
x + x2 = 1 + x2 
m) 0,4x = 2,2 n) 5,5x = 0,01 o) 
22
3
1
1
+
=
− xx
 
p) %60
1
=
+x
x
 
q) 2ax + 2x − √9 =1, onde a = √2 − 1 (Não use aproximação.) 
r) 𝑎𝑥 + 2 − 3𝑥 = 0,1x + bc, onde a  3,1. Depois de encontrar o valor de x, diga por que 
devemos considerar a  3,1. 
s) x(x – 1,14) = 2x t) (x + 2)(−2x + 6) = 3(x + 2) 
u) a = 
𝑥
𝑏
, onde a = 
√3
2
 e b = 4 
v) 5 −
√2
𝑥
=
1
2𝑥
− √2 , onde x  0 
x) −
𝜋
𝑥2
− 1 =
√7
3
−𝑥
𝑥
, onde x  0 
y) 7 5 x + 2 = x −  
z) 
2+− x
x
 = 30% 
Atividade 9: Determine x sabendo que: 
a) 10% de x é 15 b) 200% de x é 30 c) 60% de x é 
5
9
 
d) 12% de x é 2,4 e) 1,5% de x é 0,1 
Atividade 10: Resolva. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
9 
a) A equação de estado de um gás ideal é dada por 
pV = nRT, 
onde p é a pressão, V é o volume e T é a temperatura de uma dada massa gasosa, 
contendo n moles do gás. A variável R representa a constante 0,082 
mol.K
atm.litro
. Um 
recipiente de volume igual a 8,0 litros contém um gás à temperatura de 300 K sob uma 
pressão de 5,0 atm. Determine o número de moles do gás colocados no recipiente. 
b) Determine o número inteiro que somado a 35% dele mesmo resulta em 270. 
c) O comprimento da circunferência é C = kd, onde d representa o diâmetro da 
circunferência e k é uma constante. Para um determinado valor de d encontrou-se C 
= 34,01. Qual é o valor de C quando d é 5,2 vezes maior? 
 
 
Resolvendo inequações 
 A noçãode ordem já foi bastante trabalhada nas unidades anteriores. Mas, o 
principal aspecto ainda não foi devidamente abordado, a compatibilidade entre a relação 
de ordem e as operações aritméticas. Estamos falando de situações do tipo, suponha a < 
b. O que vai acontecer se operarmos a e b? Será que a relação se mantém? Essa é a 
pergunta de modo bem geral. Vejamos a questão mais precisamente. 
 A relação de ordem que definimos goza das seguintes propriedades básicas. 
O1) x > 0 e y > 0  x + y > 0 e xy > 0. 
O2) Dado x  ℝ, uma, e só uma, das três alternativas ocorre: ou x = 0, ou x > 0 ou x < 0. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 11: O aluno consegue interpretar as duas propriedades básicas de 
compatibilidade da ordem com as operações aritméticas? 
a) Faça um desenho que ilustre a implicação: x > 0 e y > 0  x + y > 0. 
b) Faça um desenho que ilustre a implicação: x > 0 e y > 0  xy > 0. 
c) Faça um desenho que ajude a explicar por que uma, e só uma, das três alternativas 
ocorre: ou x = 0, ou x > 0 ou x < 0. 
d) Após realizar as atividades anteriores, faça outro exercício, procure uma 
explicação por meio de tratamentos simbólicos para os mesmos fatos. Veja que 
isso não é bem simples. 
e) Nem sempre é simples estabelecer boas explicações matemáticas para um aluno. 
Por outro lado, é importante que todo conhecimento seja acompanhado de boas 
justificativas. Só apresentar propriedades e usar analogias, ou pensamentos 
indutivos, não é uma boa opção didática, no futuro o aluno pode pensar que essa 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
10 
propriedade é sempre verdadeira, óbvia. E não é bem assim. Quem já estudou 
números complexos, por exemplo, sabe que essas propriedades podem falhar: O 
que podemos falar, 2 + i > 0 ou 2 + i < 0 ou 2 + i = 0? 
 
 As seguintes propriedades decorrem das propriedades básicas da noção de ordem. 
Mas também podem ser justificadas, ou entendidas por outros meios. 
a) x < y e y < z  x < z. 
b) Dados x, y  ℝ, exatamente uma das seguintes possibilidades ocorre: x = y, x < y 
ou y < x. 
c) x < y e z ℝ  x + z < y + z. 
d) x < y e z  ℝ +  xz < yz. 
e) x < y e z  ℝ −  yz < xz. 
f) x  0  x2 > 0. 
g) x < 0 e y > 0  xy < 0. 
h) x > 0  x−1 > 0. 
i) x, y > 0 e x < y  y−1 < x−1. 
j) Dado x  ℝ, x < x + 1. 
k) 0 < x < y  xn < yn. 
 Como acabamos de falar, não é interessante decorar estas propriedades. É claro 
que em primeiro lugar é importante saber que elas existem. No futuro, se fizer 
manipulações algébricas em uma inequação (expressão com desigualdade, em vez de 
igualdade), você deve saber que existem certas regras a serem seguidas. Contudo, também 
é importante ter uma noção da justificativa destas propriedades. A vantagem de se 
entender e interpretar os fatos é que, precisando ou na dúvida do enunciado, pode-se 
deduzir uma propriedade na hora, para não correr riscos de erro. 
 Veja dois exemplos de dedução de propriedade. 
Verificação da propriedade (c): Se x < y e z ℝ, então 
0 < y − x = y + 0 − x = y + z − z − x = y + z − (x + z), 
ou seja, (y + z) − (x + z) > 0, donde x + z < y + z. 
 Assim, verificamos que x < y e z  ℝ  x + z < y + z. 
Verificação da propriedade (a): Basta desenhar os dados da propriedade. 
 
x y z 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
11 
 Pelo desenho, fica claro que se x < y e y < z então teremos também x < z. 
Observação: Veja, na verificação da propriedade (c), como o conhecimento das 
propriedades operacionais ajuda a montar argumentos de justificativas. Por outro lado, 
veja, na verificação da propriedade (a), como que a representação geométrica pode ser, 
em certos casos, extremamente útil, e de simples utilização. Atenção! Não é o objetivo 
deste curso fazer verificações de todas as propriedades, muito menos verificações 
rigorosas. Mas acreditamos que fazer algumas verificações, mesmo que de forma 
intuitiva, pode ser uma boa oportunidade para preparar melhor o leitor para estudos 
futuros. Para o aluno mais interessado, é um ótimo exercício tentar verificar todas as 
propriedades anteriores. 
 O conhecimento das propriedades sobre desigualdade é muito útil para a resolução 
de inequações. 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 3x + 1 < 2x. O procedimento é bastante parecido 
com o de resolução de equações. (Mas não é igual!) Utilizando a propriedade (c) duas 
vezes, temos: 
 3x + 1 < 2x  3x + 1 + (−2x) < 2x + (−2x)  x + 1 < 0  
  x + 1 + (−1) < 0 + (−1)  x < −1 
Assim, 3x + 1 < 2x  x < −1. Ou seja, a solução da inequação, 3x + 1 < 2x, é todo x  ℝ 
tal que x < −1. 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 4x < 3. Só precisamos isolar x. Para isto, segundo 
a propriedade (d), basta multiplicar os dois lados da inequação por 
4
1
, para, então, obter 
4
1
.4x < 
4
1
.3. Daí, x < 
4
3
. 
 Aluno, é preciso ter muita consciência no uso destas propriedades. Por exemplo, 
a propriedade (c) não tem nenhuma restrição e o resultado tem uma certa simetria. Ele 
afirma que se x < y então x + z < y + z. Já no caso do resultado (d), existe uma restrição, 
ele só vale para z > 0. Contudo, ainda existe uma simetria. Quando x < y e z >0, temos xz 
< yz. No caso da propriedade (e), a restrição é que se tenha z < 0 e existe uma assimetria 
no resultado. Quando x < y e z < 0, temos xz > yz. Note como que o sinal troca de lado. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
12 
Exemplo: Para resolver a inequação, 1 − √2x < 2, podemos proceder assim: 
 1 − √2x < 2  (−1) + 1 − √2x < (−1) + 2  − √2x < 1  − √2x < 1  
 (
1
−√2
). (−√2)x > (
1
−√2
).1  x > −
1
√2
= −
√2
2
. 
Não deixe de notar a troca de sinal no momento da multiplicação dos dois membros por 
um número negativo, aluno. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 12: Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores que 
satisfazem a desigualdade colocada no problema. Conforme já estudamos, a maneira de 
apresentar essa coleção de elementos se dá pela definição do conjunto das soluções, 
muitas vezes chamado de conjunto solução. Os três últimos exemplos apresentam como 
resposta para uma inequação uma desigualdade. Você é capaz de apresentar o conjunto 
solução de cada exemplo: 
a) por lista? 
b) por propriedade? 
c) por notação de intervalo? 
d) por representação na reta numérica? 
Os exemplos não especificam, mas, como estamos em uma unidade mais voltada para os 
números reais, devemos admitir que o conjunto solução envolve números reais. Os 
próximos problemas terão enunciados mais precisos. 
Atividade 13: Diga se é verdadeiro ou falso: −a < 0. 
Atividade 14: Resolva a inequação sobre a variável x  ℝ dada a seguir: 
a) 2x + 1  x + 6 b) 2 − 3x  x + 14 c) 
x x
−

−
−2
1
3
 
d) 2(x + 3) > 3(1 − x) e) 3(1 − 2x) < 2(x + 1) + x − 7 f) 2 x + 1 < 
2
3
x 
Atividade 15: Existe um maior número inteiro que seja solução da inequação 
𝑥
3
 + 9 < 17? 
E um número real? 
Atividade 16: Um aluno apresentou a seguinte solução para uma inequação: 
 
Com base nessa resposta, qual é a inequação que ele resolveu? 
a) 3x – 5 > 2x − 4 b) 2 – x  x – 1 c) −2x  −3 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
13 
Atividade 17: Encontre uma inequação cujo conjunto solução seja uma união disjunta de 
dois intervalos. 
Atividade 18: Um aluno resolveu uma inequação em ℝ e apresentou a seguinte resposta 
gráfica. 
 
Explique por que a resposta não está correta e qual poderia ser a resposta correta. 
Atividade 19: Um aluno resolveu uma inequação e apresentou a seguinte resposta, S = 
[−1, +). 
a) De acordo com a resposta do aluno reescreva o conjunto solução definindo-o por 
propriedade. 
b) O aluno foi testar sua resposta e verificou que o número 9 não verificava a 
desigualdade inicial do problema. Apresente uma explicação plausível parao que 
pode ter acontecido. 
Atividade 20: O conjunto solução da inequação ax + 1 > 3 é (−, −7). Qual é o valor de 
a? 
Atividade 21: Justifique porque a implicação a < x e b < y  a − b < x − y é falsa (utilize 
a representação geométrica). 
Atividade 22: Justifique porque a equação x2 = a não tem solução quando a < 0. 
Atividade 23: O Considere a inequação 
1
𝑥
> 2. Descubra a propriedade que foi 
desrespeitada no desenvolvimento a seguir: 
1
𝑥
> 2 ⟺ 1 > 2𝑥 𝑒 𝑥 ≠ 0 ⇔ 𝑥 <
1
2
 𝑒 𝑥 ≠ 0, logo o conjunto solução é uma união de 
intervalos, a saber S= (−∞, 0) ∪ (0,
1
2
). 
 Note que esse conjunto contém números que não resolvem a inequação, como x = 
−2, x = −1/2. Onde está o erro??? 
Atividade 24: O sentido numérico para os diferentes conjuntos numéricos pode variar 
bastante. Contudo, é muito comum estudantes pensarem sobre números reais, ou números 
racionais, como se fossem números inteiros. Assim, é muito comum um aluno pensar que 
o produto é sempre maior do que seus fatores. Mais precisamente, temos o seguinte: 
Dados a e b números reais, então ab  a, b. Você acha que essa afirmação é verdadeira? 
Analise a questão. 
 
 
Raiz n-ésima, a solução da equação xn = a 
 O estudo algébrico desenvolvido até agora serve para números reais assim como 
serve para números racionais. Se o leitor conferir em textos didáticos, provavelmente 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
14 
encontrará que as propriedades operacionais para os números reais são as mesmas para 
os números racionais. Cuidado, isso é falso! 
 Um exemplo, todo polinômio de grau ímpar pode ser fatorado no conjunto dos 
números reais, mas nem sempre isso é verdade no campo dos números racionais. Um caso 
ainda mais simples, sempre podemos fatorar em ℝ a expressão x2 – a, se a  0, basta fazer 
x2 – a = x2 – (√𝑎)
2
 = (x − √𝑎)(x + √𝑎). Mas não podemos fatorar x2 – 2 em ℚ, por 
exemplo. 
 Vamos encerrar a Unidade 5 com algumas informações sobre raízes reais de 
equações do tipo xn = a, onde a  ℝ. 
 Antes, vamos relembrar a definição de potência. Dados a  ℝ e n  ℕ*, dizemos 
que a potência de a de expoente n é o número 
an = a.a.a. ... .a (n fatores). 
Note que, no caso n = 1, an = a1 reduz a a1 = a (um único fator). 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 25: Analise o valor de a2 para diferentes valores de a. Explore o máximo de 
valores possíveis. Você pode fazer uma tabela de valores, pode até usar uma planilha 
eletrônica. Com base nos valores estudados, complete: 
a) a2 > a, quando a .... 
b) a2 < a, quando a .... 
c) a2 = a, quando a .... 
Atividade 26: Vamos analisar a variação da potência a2, com a base sendo uma variável 
no conjunto dos números reais. 
a) Nas figuras a seguir a primeira é uma representação genérica do cálculo de 
potência para expoente 2. A segunda ilustra a potência 22 = 4. Faça um desenho 
que represente 32 = 9. 
 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
15 
b) Visualize a variável a assumindo valores grandes, tão grandes quanto se queira. 
O que acha que acontece com a2 na sua imagem mental sobre a figura que 
representa a potência de a com expoente 2? 
c) Visualize a variável a assumindo valores positivos próximos de 0, tão próximos 
quanto se queira. O que acha que acontece com a2 na sua imagem mental sobre a 
figura que representa uma potência? 
d) Agora vem a parte chave. Visualize a variável a sofrendo pequenas variações, ela 
muda de uma posição da reta numérica para outra logo ao lado, bem próxima. O 
que você acha que acontece com a variação de a2? Você percebe que essa variação 
também será pequena? 
e) Vejamos uma questão particular, baseada na próxima figura. 
 
Na figura, a2 está próximo do número , mas não é igual. E se fizéssemos a um 
pouco menor, sofrendo uma variação bem pequena, você acha que é possível fazer 
a2 coincidir com ? Pense sobre isso, visualize a e a2 se movendo de acordo com 
a configuração apresentada. Se você entendeu a noção de continuidade contido 
entre as propriedades dos números reais deve perceber que em algum momento, 
mexendo em a, teremos a2 = . É essa ideia que nos permite chegar a seguinte 
Conclusão: Para todo número real positivo c existe número real positivo a tal 
que a2 = c. 
Notação: Dado um número real c  0, o número real a  0 tal que a2 = c é chamado 
de raiz quadrada de c e denotado por √𝑐. Portanto, dado c  0, √𝑐 é o número real 
positivo tal que (√𝑐)
2
 = c. 
Atividade 27: Uma questão sobre o sinal. 
a) Calcule √9. 
b) Determine todas as soluções de x2 = 9. 
c) Analisando a definição de √𝑐, é correto escrever √9 =  3? Explique o que pensou. 
d) Calcule √𝑥2 para x = 2, x = −2 e x = −3. Pensando nesses exemplos, podemos 
escrever que √𝑥2 = x para todo x  ℝ? 
 
 Seguindo imagens semelhantes às usadas para expoente 2, ou trabalhando com 
uma planilha de valores, e mantendo a ideia de continuidade dos números reais, podemos 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
16 
perceber que a equação xn = a, quando a > 0 e n  ℕ*, sempre terá uma solução em ℝ e 
que esta solução é positiva. Na verdade, podemos facilmente verificar que a solução 
positiva encontrada é única (veremos isto na Unidade 7). Em resumo, dada uma equação 
xn = a, com a > 0 e n  ℕ*, existe um único número b  ℝ+ (isto é, b é real e b > 0) que 
satisfaz tal equação. Em particular, dados a > 0 e n  ℕ*, sempre podemos falar em n a
, a única solução de xn = a. Quando a < 0 e n  ℕ* é ímpar, é possível mostrar que o 
símbolo n a também faz sentido, pois a equação x
n = a também tem solução e esta é 
única. Quando a = 0 e n  ℕ*, o símbolo n a tem significado óbvio, pois 0n = 0. 
 
Gabarito 
Atividade 1: 
a) −3(√5
7
− 2𝜋) + √5
7
=⏟
𝑛)
− 3. √5
7
+ (−3). (−2)𝜋 + √5
7
=⏟
𝑞) 2 ×
− 3√5
7
+ 6𝜋 + √5
7
 
=⏟
𝑑)
− 3√5
7
+ √5
7
+ 6𝜋 =⏟
ℎ) 
− 3. √5
7
+ 1. √5
7
+ 6𝜋 =⏟
𝑜) 
(−3 + 1). √5
7
+ 6𝜋 
=⏟
𝑞) 
− 2√5
7
+ 6𝜋 
 
b) i) 
−2(√2−3𝜋)+2
3
2⁄
𝜋
=
−2√2 +6𝜋+2√2
𝜋
= 
6𝜋
𝜋
 = 6 
 
ii) −35 + 5. 34 − 2. 33 + 12. 32 = 33[(−3 + 5)3 − 2 + 4] = 27.8 = 216 
 
c) 
Média = 
=
+++++++++++
12
212128101028333328102121
 
=
+++
=
12
33.228.310.321.4
 
22877
2
161414
4
)1114514(2
12
)11.228107.4(3
=++=
++
=
+++
=
+++
= 
Atividade 2: 
a) ax = b  a−1(ax) = a−1b − por (i) 
a−1(ax) = a−1b  (a−1a) x = a−1b − por (g) 
(a−1a) x = a−1b  1x = a−1b − por (i) 
1x = a−1b  x = a−1b − por (h) 
b) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = aa + ba + ab + bb = 
= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. (O próximo exercício é reconhecer as 
propriedades usadas nas passagens.) 
c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
17 
d) É só aplicar a distributiva e sair simplificando: (a – 1)(1 + a + a2 + a3 + ... + an) = an+1 
− 1. 
Atividade 3: 
a) 2 – x =  + x  −2 + 2 − x − x = −2 +  + x − x  0 − 2x = −2 +  + 0  
 −2x =  − 2  (−2)−1.(−2x) = (−2)−1.( − 2)  1.x = 
𝜋−2
−2
  x = −
𝜋−2
2
 = 
2−𝜋
2
. 
Note que o exercício pode incluir diversas transformações. E o exercício pode parecer 
um excesso, detalhista de mais, mas é ótimo para desenvolver consciência sobre 
contas efetuadas. 
b) √2x = 3  √2. √2x = √2.3  2x = 3√2  x = 
3√2
2
. É claro que podemos fazer isso 
de outras maneiras. 
c) x – 1 = √2
3
  x – 1 + 1 = √2
3
 + 1  x = √2
3
 + 1  −1.x = −1.(√2
3
 + 1)  x = 
√2
3
+1
𝜋
. É claro que o aluno não precisa ser detalhista a todo momento como na 
passagem de isolamento do , lembre-se que isso é só um exercício. 
d) 
3
𝑥
 + 1 = 5  
3
𝑥
 + 1 − 1 = 5 − 1  
3
𝑥
 = 4  x. 
3
𝑥
 = x.4  3 = 4x  x = 
3
4
. 
Observação: Esse detalhamento nas contas foi só um exercício, para o estudante ter 
consciência do que está fazendo. Na práticafazemos todas essas passagens de cabeça. Só 
anotamos as passagens essenciais para não nos perdermos ou para o leitor nos 
acompanhar. 
Atividade 4: 
a) 
𝑝
𝑞
+
𝑟
𝑠
 = pq−1 + rs−1 = (não vejo muito mais o que fazer e vou parar por aqui. A dica é 
recomeçar pelo outro lado) 
𝑝𝑠+𝑟𝑞
𝑠𝑞
 = (ps + rq)(sq)−1 = (ps + rq)s−1q−1 = pss−1q−1 + rqs−1q−1 = pq−1 + rs−1. 
Juntando os dois desenvolvimentos, concluímos que 
𝑝
𝑞
+
𝑟
𝑠
=
𝑝𝑠+𝑟𝑞
𝑠𝑞
. 
b) 
𝑝
𝑞
.
𝑟
𝑠
= pq−1 . rs−1 = pr. q−1s−1 = pr. (qs)−1 = 
𝑝𝑟
𝑞𝑠
. 
Atividade 5: 
a) 
√27−15√3
√3(1−√5)(1+√5)
=
3√3−15√3
√3(1−5)
=
−12√3
−4√3
 = 3. 
b) Consideremos as aproximações: √27  5,20, √3  1,73, √5  2,24. Então: 
√27−15√3
√3(1−√5)(1+√5)
  
5,20−15.1,73
1,73(1−2,24)(1+2,24)
=
−20,75
−6,950448
 = 2,98. 
Atividade 6: 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
18 
a) 
b) 
É preciso saber interpretar os desenhos, desenvolver um argumento que explique 
de alguma maneira a propriedade. Nesse caso, podemos ver, a partir da figura, que 
quando a + c < b + c, não importando os valores atribuídos para as três variáveis, 
o ato de retirar o termo c da desigualdade é equivalente, segundo a interpretação 
geométrica, a um deslocamento ao longo da reta (uma translação) de c unidades. 
Fazendo isso para a e b, ao mesmo tempo, é claro que a relação de ordem é 
preservada. Ou seja: a + b = a + c  b = c. 
c) A figura fica um retângulo de altura 0, o que significa um segmento, donde deve 
ter área zero. 
d) 
e) Se você girar um retângulo a área não muda. 
f) Se a representa um ponto da reta numérica, somar com 0 significa transladar o 
ponto a uma distância igual ao tamanho de 0, ou seja, não há deslocamento. 
Atividade 7: 
O problema é que só podemos aplicar o cancelamento para fatores que sejam diferentes 
de zero. Na justificativa, o cancelamento foi feito com x – a que, com a hipótese feita, é 
nulo. 
Atividade 8: 
m) 0,4x = 2,2  
10
22
10
4
=x  4x = 22  x = 
4
22
 = 
2
11
 = 5,5 
n) 5,5x = 0,01  
550
1
100
1
10
55
== xx 
o) Para 𝑥 ≠ 1, −1, temos 
1
𝑥−1
=
3
2𝑥+2
⟺ 2𝑥 + 2 = 3𝑥 − 3 ⟺ 𝑥 = 5. 
√2 0 1 √3 2 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
19 
p) Para 𝑥 ≠ −1, 
𝑥
𝑥+1
= 60% ⟺
𝑥
𝑥+1
=
60
100
=
3
5
⟺ 5𝑥 = 3𝑥 + 3 ⟺ 2𝑥 = 3 ⟺ 𝑥 =
3
2
. 
q) Substituindo o valor de a na equação, obtemos (2√2 − 2)𝑥 + 2𝑥 − √9 = 1 ⟺ 2√2 𝑥 = 1 +
√9 = 1 + 3 ⟺ 𝑥 =
4 
2√2
=
2
√2
= √2. 
r) Se ax + 2 − 3x = 0,1x + bc, temos (a − 3,1)x = bc − 2, donde x = 
1,3
2
−
−
a
bc
. A restrição a 
 3,1 é para garantir a última passagem. Se tivéssemos a = 3,1, equação ficaria 0.x = bc 
− 2 e poderia não ter solução, caso bc − 2 fosse diferente de zero. 
y) √5
7
x + 2 = x − π → √5
7
x − x = −2 − π → x(√5
7
− 1) = −2 − π → 
x =
−2 − 𝜋
√5
7
− 1
 
z) Temos x = (−x + 2)3/10, donde 10x = −3x + 6, donde x = 
6𝜋
10+3𝜋
. 
 Para os outros itens pegue a sua resposta e substitua na expressão. Veja se o valor 
coincide. 
Atividade 9: 
a) 10% de x é 15  
10
1
.x = 15  x = 15.10  x = 150 
b) 200% de x é 30  2x = 30  x = 15 
c) 60% de x é 
5
9
  
5
3
x = 
5
9
  x = 3 
d) 12% de x é 2,4  
10
24
100
12
=x  x = 20 
e) 1,5% de x é 0,1  1,5%x = 0,1  
10
1
1000
15
=x  x = 
3
20
15
100
= 
Atividade 10: 
a) n = 
63,1
6,24
40
300082,0
85
=


=
RT
pV
. 
Observação: Como este é um problema prático, faz sentido arredondar o valor da resposta 
(pois, sendo um problema prático, todas as medidas envolvidas estão sujeitas a erros e, 
portanto, não se pode garantir o valor exato da resposta, só aproximações). 
b) Se n representa tal número, temos n + 35%n = 270, donde 1,35n = 270, donde n = 
270/1,35 = 200. (Note que o problema fala sobre número inteiro, mas o caminho para 
determiná-lo ocorreu entre os números racionais.) 
c) Se você entende como funciona uma relação de proporção direta, nem precisa lidar 
com questões algébricas, por proporção já sabemos que C = 5,2  34,01 = 176,852. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
20 
Atividade 11: 
a) 
Se essa figura não deixou claro a ideia de que a soma de positivos é positiva, veja 
um caso onde um dos termos não é positivo. 
 
b) Podemos usar a representação geométrica apresentada na unidade 1. 
 
c) Faça um desenho da reta numérica orientada (marcando o 0 e o sentido da reta, a seta) 
e tente escolher um lugar para colocar um elemento x. Quais são as opções? 
d) A tarefa nesse item não é justa, é uma pegadinha. Toda explicação depende de 
conhecimento prévio. E os conhecimentos iniciais dos números reais nunca são muito 
claros, no contexto didático. E nós ainda estamos nesse contexto. Vocês só 
conhecerão o contexto matemático nas disciplinas de Álgebra e Análise. Nós não 
vimos conhecimentos matemáticos que permitissem explicar essas propriedades por 
meios operacionais! 
Atividade 12: 
Estamos falando dos exemplos: (i) 3x + 1 < 2x (x < −1) (ii) 4x < 3 (x < ¾) (iii) 1 − √2x < 
2 (x > −
√2
2
). 
a) Não, para nenhum dos exemplos. Estamos falando de inequações em ℝ (mesmo que 
isso não tenha sido explicitado) e nesses exemplos não podemos listar todas as 
soluções. 
b) (i) {x  ℝ : x < −1} (ii) {x  ℝ : x < ¾} (iii) {x  ℝ : x > −
√2
2
} 
c) (i) (−, −1) (ii) (−, ¾) (iii) (−
√2
2
, +) 
Atividade 13: 
Bom, precisamos aceitar uma questão aqui. Para uma expressão assim ser considerada 
verdadeira devemos entender que ela deve ser verdadeira independentemente do valor de 
a considerado. Como estamos falando aqui sobre números reais, não tem como essa 
expressão ser verdadeira. Se a = −1, o enunciado não é verdadeiro. Esse atividade não 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
21 
tem nada de mais, é só para lembrar que expressões como −r não significam número 
negativo. 
Atividade 14: 
Antes de olhar o gabarito dessa questão lembre-se que o conjunto solução deve ser 
apresentado segundo critérios já estudados aqui, ou seja, deve ser definido por lista, por 
propriedade, por notação de intervalo ou por representação na reta numérica. Se você não 
fez isso, volte para o exercício e termine-o antes de verificar o gabarito. 
a) 2x + 1  x + 6  2x−x  6 − 1  x  5. 
Assim, S = {x  ℝ | x  5}. 
b) 2 − 3x  x + 14  −x − 3x  14 − 2  −4x  12  x  
4
12
− 
 x  −3. 
Assim, S = (−, −3]. 
c) S = {x  ℝ | x  −2}. 
d) 
e) S = (8/9, + ). 
f) √2 𝑥 + 1 <
3
2
𝑥 ⇔ √2 𝑥 −
3
2
𝑥 < −1 ⇔ 𝑥 (√2 −
3
2
) < −1 
⇔ 𝑥 >
−1
(√2 −
3
2
)
⇔ 𝑥 >
1
(
3
2
−√2)
=
2
3−2√2
, (note que a mudança de sinal ocorreu porque√2 
< 
3
2
). Assim, S é representado na reta numérica por 
 
Atividade 15: 
Temos que 179
3
+
x

3
x
< 8  x < 24. Assim, o maior número inteiro que é solução 
da inequação 179
3
+
x
 é o maior número inteiro x tal que x < 24. Ou seja, x = 23. No 
entanto, não existe um maior número real no interior do intervalo (−∞, 24), que seja 
solução desta desigualdade. (Isso é uma curiosidade, por enquanto. Em outras disciplinas 
mais para frente do curso você irá ver o porquê. É consequência de uma propriedade do 
conjunto dos números reais. Sempre existirá um número real maior do que qualquer outro 
que você imaginar e menor que um outro que você imaginar no interior de um intervalo 
aberto.) 
Atividade 16: 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
22 
Como a figura indica que a extremidade do intervalo é parte da solução, podemos excluir 
de cara o item (a). Mais ainda, sabemos que a solução é do tipo x  a. Assim, podemos 
excluir o item (c). Por exclusão, temos que o aluno resolveu a inequação do item (b). (Se 
quiser, você pode resolver as três inequações e ver qual bate com a solução da figura. 
Atividade 17: 
Que tal x  0? Também poderiaser x2 > 0. Uma interessante, 
2
𝑥
 < 1. 
Atividade 18: 
A primeira parte é fácil. A resposta não está correta por que ele não fez nenhuma 
indicação de que estava considerando outros pontos da reta sem ser os números inteiros 
indicados, −2, −1, 0, 1, 2, 3, .... Sem essa indicação, o leitor fica sem saber se o aluno 
sabia o que estava fazendo. 
A segunda parte é bem mais complicada. Na verdade, não dá para saber qual é exatamente 
a resposta. Poderia ser (−3, +) ou [−2, +) ou (−2,7; +) ou [−2.1, +), as 
possibilidades são infinitas. 
Atividade 19: 
a) {x  ℝ | x  −1} 
b) Segundo a resposta apresentada pelo aluno, o 9 deveria ser uma solução particular do 
problema inicial. Um erro que podemos esperar é que o aluno tenha trocado o sinal 
da desigualdade, provavelmente por que chegou numa expressão do tipo −x  1 e 
multiplicou por −1, mas se esquecendo de trocar o sinal para x  −1. É uma 
possibilidade. 
Atividade 20: 
Se ax + 1 > 3 então ax > 2, donde x > 2/a ou x < 2/a (não dá para saber o que vai acontecer 
aqui, pois não sabemos o sinal de a). Por outro lado, o problema diz que a solução é x < 
−7. Assim, temos que ter 2/a = −7, donde a = −2/7. Note que com a sendo negativo, 
verificamos que o valor encontrado para a atende ao problema, ou seja, −
2
7
x + 1 > 3 de 
fato tem como solução o conjunto dos x  ℝ tais que x > −7. 
Atividade 21: 
Note que a − b < x − y ⟺ 𝑎 − 𝑥 < 𝑏 − 𝑦 ⟺ 𝑥 − 𝑎 > 𝑦 − 𝑏. Portanto, se 
tomarmos a < x tal que a distância de x a a, x − a, seja menor ou igual à distância de y a 
b, y − b, teremos 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑦 − 𝑏 ⟺ 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑎 − 𝑏, portanto a desigualdade do 
enunciado é falsa, pois não vale em geral. 
Tome por exemplo a=2, x=3, b=1 e y=4, então a < x, b < y, porém 1= a − b > x − y = 
−1. Há uma infinidade de outros exemplos, encontre outros. Acompanhe a explicação a 
partir do desenho a seguir. 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
23 
 
Atividade 22: 
Observe que 𝑥2 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ, logo não existe x real cujo quadrado seja negativo. Assim 
a equação dada não tem solução no conjunto dos números reais. 
Atividade 23: 
É preciso lembrar que multiplicar ambos os membros de uma inequação por uma variável 
é complicado, pois não sabemos qual é o sinal da variável, donde não sabemos se devemos 
mudar o sinal de desigualdade. O erro está na passagem: 
1
𝑥
> 2 ⟺ 1 > 2𝑥. 
Atividade 24: 
Claramente, não, a propriedade não é verdadeira. Basta verificar com algum exemplo 
numérico adequado, digamos a = 0,5 e b = 0,1. Agora, você pode ampliar a análise, 
verifique o que acontece com a relação entre ab e seus fatores, quando a = 2 e b = 0,1, 
quando a = 0,3 e b = 3. 
Atividade 25: 
a) a > 1 ou a < 0. 
b) a > 0 e a < 1. (0 < a < 1) 
c) a = 0 ou a = 1. 
Atividade 26: 
a) 
b) Podemos acompanhar a figura acima, visualizando a correndo para direita e a reta 
paralela que indica a2 se inclinando. O ponto de interseção vai cada vez mais para 
longe. Ou seja, a medida que a aumenta, a2 também aumenta, e a2 é sempre maior do 
que a. 
c) Agora situação muda um pouco, quando a diminui, fica menor do que 1, a reta que 
define a2 fica por baixo da reta que liga 1 e a. Assim, veremos a2 menor do que a, isto 
é, teremos 0 < a2 < a. Assim, quando a se aproxima de 0, a2 também se aproxima de 
0 e é sempre menor do que a. 
d) Essa é uma questão de percepção, é individual. O exercício aqui é imaginar a variação 
a2 em termos de variação da inclinação das retas, a medida que a varia. 
Atividade 27: 
a) Estamos procurando o número real a tal que a  0 e a2 = 9. Sabemos que 3 satisfaz 
essas condições. Logo, √9 = 3. 
a b x y 
Matemática Básica Unidade 5 – Álgebra 
 de corpos numéricos – 1ª parte 
 
Cederj 
 
24 
b) Agora o problema é bem diferente. Temos que 32 = 9 e (−3)2 = 9. Na próxima unidade 
veremos por que a equação x2 = 9 só pode ter suas soluções! Temos que S = {−3, 3}. 
c) Não é correto, pois √9 é por definição um número positivo. 
d) Não é correto escrever √𝑥2 = x, veja x = −1, por exemplo.