Apostila - Elementos de maquinas

Prévia do material em texto

Elementos de Máquinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Rafael A. C. Laranja 
 
2013 
 2 
Sumário 
 
 
Introdução 3 
Capítulo 1 - Projeto Mecânico - Estática 4 
Capítulo 2 - Projeto Mecânico - Dinâmico 12 
Capítulo 3 - Eixos e Árvores 29 
Capítulo 4 - Mancais 44 
Capítulo 5 - Acoplamentos 66 
Capítulo 6 - Engrenagens 71 
Capítulo 7 - Transmissões Flexíveis - Correias, Correntes e Cabos 111 
Capítulo 8 - Parafusos, Rebites e Outros Dispositivos de Ligação 126 
Capítulo 9 - Uniões Permanentes 153 
Capítulo 10 - Molas 177 
Capítulo 11 - Embreagens 190 
Capítulo 12 - Freios 203 
Capítulo 13 - Revisão de Resistência dos Materiais 226 
Bibliografia 231 
Considerações Finais 232 
 
 
 3 
Introdução 
 
 Elementos de Máquinas é o estudo dos elementos constituintes de uma máquina ou estrutura 
em movimento (dinâmica) ou em repouso (estática) e dos efeitos que os mesmos estão submetidos. 
 
Na mecânica, os elementos de uma máquina são os esteios de qualquer mecanismo, 
componente, ou sistema que se move. Desnecessário dizer que o conhecimento do comportamento 
estático e dinâmico desses elementos que compõem uma máquina são imprescindíveis. O texto a 
seguir é um resumo de aplicações, conceitos e esforços de vários livros que compõem o universo de 
projeto mecânico, em hipótese alguma este texto visa substituir os livros mestres mas apenas 
simplificar e apresentar de forma muito resumida os principais elementos de máquinas e 
mecanismos de transmissão. 
 
 
 
 
 
 4 
Capítulo 1 
 
Projeto Mecânico - Estática 
 
 Uma vez conhecidas as tensões ou deformações a que um corpo está submetido, deve-se 
aplicar uma das várias teorias de falhas para materiais sob carregamento estático. Tais teorias 
resultam nas tensões equivalentes. Entretanto antes disso deve-se tem em mente os fatores de 
concentração de tensões. 
 
Fator de Concentração de Tensões Geométrico, kt (ou Teórico) 
 
 
0
max.
t σ
σ
=k
ou
0
max.
ts τ
τ
=k
 
Em que os valores do fator de concentração de tensões pode ser obtido as seguintes figuras: 
k 
t
k 
t
 
 
 
 5 
k 
t
k 
t
 
 
k 
t
k 
t
 
 
k 
t
 
k 
t
 
 6 
k 
t
 
k 
t
 
k 
t
 
k 
t
 
 
 
 
“Visualização” da Concentração de Tensões: 
kt varia com :
• O tipo de carga aplicada
• A geometria da peça
kt é independente do material da peça
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )da
ca
ba
kk
kk
kk
tt
tt
tt
>
>
>
 
 
 
 7 
Aplicação de kt ao Projeto 
 
Material Dútil – possibilidade do material se deformar plasticamente no local onde as tensões são 
máximas ⇒ não é, em geral, necessário aplicar kt ao Projeto Estático. 
Material Frágil – Há que considerar a influência do efeito de entalhe: 
 100% de influência para material ideal, sem defeitos; 
 0% de influência para material intrinsecamente defeituoso. 
 
 
Utilizar quando: 
• Solicitações de caráter estático (estacionárias) 
o Grandes permanências a carga constante; 
o Pequena variação de carga; 
o Pequeno nº de ciclos. 
• Primeira aproximação para solicitações mais complexas. 
 
Não se deve utilizar quando: 
• Solicitações de caráter variável; 
• Solicitações de aplicação brusca: 
o Choques; 
o Vibrações. 
 
Critérios de Falha 
 
Teorias ou Critérios de Falha : Equacionamento das variáveis que determinam a falha de 
um material (ou peça) que permita, por meio do cálculo, proceder ao adequado dimensionamento 
ou verificação a esse modo de falha. 
 
Alguns dos critérios apresentados: 
 Critério da Tensão Normal Máxima (MNS) 
 Critério da Tensão de Corte Máxima (MSS ou de Tresca) 
 Critério da Energia de Distorção (DET ou de Von Mises) 
 Critério de Coulomb-Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Critério da Tensão de Corte Máxima (Tresca) 
 
 
Aplica-se apenas à falha 
por cedência. 
A cedência ocorre quando 
é atingida a tensão de corte 
máxima . 
22
31
.max
yS≥−= σστ
 
 
 
 
Critério da Energia de Distorção (von Mises) 
 
 
 
Aplica-se apenas à falha por cedência. 
A cedência ocorre quando é atingida a 
energia de distorção máxima. 
( ) ( ) ( )





 σ−σ+σ−σ+σ−συ+
=
2E3
1U
2
32
2
31
2
21
D
( ) ( ) ( ) 2
y
2
32
2
31
2
21 S
2
≥
σ−σ+σ−σ+σ−σ
( ) ( ) ( ) ( ) 2
y
2
xz
2
yz
2
xy
2
zx
2
zy
2
yx S
2
6
≥
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ
ou
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Critério de Coulomb-Mohr – Materiais Dúteis 
 
 
 
yc
ycyt
yt
S
SS
S
−≥⇒≥≥
=−⇒≥≥
≥⇒≥≥
331
31
31
131
0
10
0
σσσ
σσσσ
σσσ
 
 
 
 
Critério da Tensão Normal Máxima 
 
Maximum-Normal-Stress Theory
 
 
 
 
 
 A falha ocorre sempre que a maior das tensões principais aplicadas atinja a tensão de 
resistência: 
( )
( )
1
3
ut
uc
S Falha à Tração
S Falha à Compressão
σ
σ
≥
≥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Critério de Coulomb-Mohr – Material Frágil 
 
uc
ucut
ut
S
SS
S
−≥⇒≥≥
=−⇒≥≥
≥⇒≥≥
331
31
31
131
0
10
0
σσσ
σσσσ
σσσ
Coulomb-Mohr Theory for Bitter Materials
Modified I Mohr Theory And
Modified II Mohr Theory 
( )
313
1
3
31
2
31
1
3
31
31
1
3
311
0
.mod101
.mod101
10
σσσ
σ
σ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σ
σ
σσσ
≥≥⇒−≥
−>≥≥⇒=





−
−
−
−≤≥≥⇒=−
−
≤≥≥⇒≥
uc
ucut
ut
ut
ucutuc
utuc
ut
S
MohrIIe
SS
Sn
S
n
MohrIe
SSS
SS
eS
 
 
 
Comparação dos Critérios de Falha com dados Experimentais 
 
 
 p
 
 
 
 11 
 
 
(a) Falha Frágil. (b) Falha Dúctil.
 
Escolha do Critério de Falha 
 
 
 
 
 12 
Capítulo 2 
 
Projeto Mecânico - Dinâmico 
 
 
 Após a realização do projeto estático, deve-se ajustar esse, tendo-se em mente a teoria de 
fadiga. Em linhas gerais, a teoria é explicada da seguinte forma: 
 
Fadiga 
A falha por fadiga tem aparência similar a uma fratura frágil, uma vez que as superfícies de 
fratura são planas e perpendiculares ao eixo de tensão, com a ausência de estricção. As 
características de fratura de uma falha por fadiga, contudo, são bem diferentes daquelas de uma 
falha frágil estática, surgindo de três estágios de desenvolvimento [SHIGLEY, 2005]. O estágio I 
corresponde ao início de uma ou mais microtrincas, causadas por deformação plástica cíclica. As 
trincas de estágio I não são normalmente discerníveis a olho nu. O estágio II compreende a 
progressão de micro e macrotrincas formando superfícies de fratura com platôs paralelos, separados 
por sulcos também paralelos. O estágio III ocorre no ciclo de carga final, quando o material 
remanescente não pode suportar cargas, resultando em fraturas rápidas e repentinas [SHIGLEY, 
2005]. A falha por fadiga deve-se a formação de trinca e propagação. Uma trinca de fadiga terá 
início tipicamente em uma falha do material em que a tensão cíclica é máxima. As descontinuidades 
devem surgir devido aos seguintes fatores [SHIGLEY, 2005]: 
 
• Projeto de mudanças rápidas na secção transversal, chavetas, furos, etc... em que as 
concentrações de tensão ocorrem [SHIGLEY, 2005]; 
• Elementos que rolam e/ou deslizam contra outros (mancais, engrenagens, cames, etc.) 
sob altas pressões de contato, desenvolvendo tensões de contato subsuperficiais concentradas 
[SHIGLEY, 2005]; 
• Descuido com a localização de marcas de identificação, marcas de ferramenta, riscos e 
rebarbas, projetode juntas malfeito, montagem inadequada e outras falhas de fabricação 
[SHIGLEY, 2005]; 
• Composição do material. Surgem descontinuidades microscópicas e submicroscópicas 
superficiais e subsuperficiais, tais como inclusão de material estranho, segregação de liga, vazios e 
descontinuidade cristalina [SHIGLEY, 2005]. 
 
Método da Vida Sob Tensão 
 
Para determinar a resistência de materiais sob a ação de cargas de fadiga, espécimes são 
sujeitos a forças repetidas ou variáveis de magnitudes especificadas, ao passo que ciclos ou 
 13 
inversões de tensão são contados até sua destruição. O dispositivo de ensaio de fadiga mais 
amplamente utilizado é a máquina de viga rotativa de alta velocidade de R.R. Moore para testar 
corpos de provas, cujo esquema é dado a seguir: 
 
 
 
 
Provoca-se um momento constante ao longo do comprimento L, e conseqüentemente uma 
tensão conhecida na menor seção do corpo de prova. Quando vários corpos de prova idênticos são 
testados para diferentes cargas P (diferentes tensões na seção crítica), o número de ciclos ou 
vida para cada um deles é diferente. A representação gráfica tem a configuração mostrada na 
figura. 
 
 
 
 14 
No gráfico anterior, pode-se observar que, para um nível de tensão do corpo de prova não 
rompe, tendo uma vida infinita ou número de ciclos (N) muito grande, maior que 106 (um milhão 
de ciclos). Por outro lado, para um número de ciclos menor ou igual a 103 (mil ciclos), a 
tensão de ruptura é praticamente o mesmo valor do limite de resistência Srt encontrado para os 
testes estáticos, sendo o valor mais recomendado 0,95 Srt. Assim pode-se dizer: 
"A mesma tensão S encontrada nos testes de Moore, que provoca a ruptura do corpo de 
prova, é chamada de limite de resistência a fadiga e é representado por Sn". 
O valor do limite de resistência a fadiga varia para os diferentes tipos de aço, apesar do 
número de ciclos que leva o corpo de prova a permanecer constante em torno de 106 ciclos. Numa 
tentativa de relacionar Sn de um aço com o seu respectivo limite de resistência Srt, estes 
valores foram graficados para diferentes tipos de aços. Estes valores são mostrados na figura 
a seguir. 
 
 
Diagrama Sut x Se’ 
 
 
O limite de resistência a fadiga (Se') é a metade do limite de resistência (Sut) para o mesmo 
aço. Tem-se então que, para traçar o diagrama S-N de um aço (do corpo de prova), não é 
necessário realizar inúmeros testes na máquina de Moore. A comprovação experimental mostra que 
a construção do diagrama S-N pode ser feita assumindo: 
Para traçar o diagrama S-N, usando-se valores na escala log-log, adota-se a seqüência a 
seguir: 
Marcar os pontos A e B, respectivamente 0,9 Sut e 0,5 Sut. Marcar o ponto C a 106, na 
posição de 0,5 Sut. 
 
 
 
 15 
Resistência à Fadiga. Curva S-N (cont.)
Aços
Ligas de Alumínio
Resistência à Fadiga. Curva S-N (cont.)
 16 
Tensão Limite de Fadiga S’e



>
≤
=
MPaSMPa
MPaSS
S
ut
utut
e 1460740
1460504,0
'
Tensão Limite de Fadiga S’e (cont.)
Material Number of Cycles Relation
Magnesium alloys 108 S’e=0.35Su
Copper alloys 108 0.25Su< S’e <0.5 Su
Nickel alloys 108 0.35 S u < S’e <0.65 Su
Titanium 107 0.45 S u < S’e <0.65 Su
Aluminum alloys 5 x 108 S’e =0.45 Su (Su <48ksi)
S’e =19 ksi (Su 48ksi)
Tensão limite de fadiga (endurance limit) para vários materiais [De Juvinall (1991)].
 17 
Curva S-N
0.770.820.860.93f
1378827620413Sut [MPa]
( ) 3log
f
f
ut NSS ≥
baNS =f
63 10N10 ≤≤para
NlogbalogSlog +=f
b1
a
a
N 




 σ=




==
==
6
3
10
10
NparaSS
NparaSfS
ef
utf
ou
( )













−=
=
e
ut
e
ut
S
Sfb
S
Sfa
log
3
1
2
31010 ≤≤ Npara
É frequente o valor de f ser de 0.9
 
 
Fatores modificadores do limite de resistência 
 
É irreal esperar que o limite de resistência de um sistema mecânico se iguale aos valores 
obtidos em laboratório. Joseph Marin identificou fatores que qualificam os efeitos das condições de 
superfície, tamanho, carregamento, temperatura e itens variados. Os fatores modificadores do limite 
de resistência à fadiga do eixo, devem ser calculados através da equação 9: 
(9) 
 
 
Sendo Ka é o fator de modificação de condição de superfície; Kb é o fator de modificação de 
tamanho; Kc é o fator de modificação de carga; Kd é o fator de modificação de temperatura; Ke é o 
fator de confiabilidade; Kf é fator de modificação por efeitos variados; Se é o limite de resistência à 
fadiga de um determinado componente de máquina em condições de uso; e Se’ é o limite de 
resistência à fadiga de um corpo de prova submetido ao teste rotativo de fadiga [SHIGLEY, 2005]. 
A seguir são mostradas algumas estimativas para a resistência à fadiga não-corrigida para 
alguns materiais. [NORTON, 2004]: 
 
Aços: e
e
S ´ 0,5 1.400
S ´ 700 1.400
ut ut
ut
S para S MPa
MPa para S MPa
≅ <
 ≅ ≥
 
Ferros: e
e
S ´ 0,4 400
S ´ 160 400
ut ut
ut
S para S MPa
MPa para S MPa
≅ <
 ≅ ≥
 
e a b c d e f eS S 'K K K K K K= × × × × × ×
 18 
Alumínios: f em 5E8
f em 5E8
S ´ 0,4 330
S ´ 130 330
ut ut
ut
S para S MPa
MPa para S MPa
≅ <
 ≅ ≥
 
Ligas de cobre: f em 5E8
f em 5E8
S ´ 0,4 280
S ´ 100 280
ut ut
ut
S para S MPa
MPa para S MPa
≅ <
 ≅ ≥
 
 
Sendo que Sf’ significa a resistência à fadiga teórica e Sf ´ é o limite de fadiga estimado. 
 
 Fator de superfície Ka 
O fator de modificação depende da qualidade do acabamento da superfície da peça real e da 
resistência à tração do material que a constitui. Utiliza-se a equação 11 para cálculo do fator de 
superfície [SHIGLEY, 2005]: 
(11) 
 
 
Em que Srt é a resistência tração mínima e a e b são tabelados pelo acabamento superficial do eixo. 
 
 
Fator de tamanho Kb 
 
O fator de tamanho é calculado pelo diâmetro externo (d) de eixos de aço e utiliza-se a 
equação 12 [NORTON, 2004]: 
 
 0,097
8 1
8 250 1,189
250 0,6
b
b
b
para d mm K
para mm d mm K d
para d mm K
−
≤ =
≤ ≤ =
> =
 (1.1) 
 
Fator de carregamento Kc: 
 
Uma vez que as relações de fadiga são de dados de resistência à fadiga em ensaios de flexão 
rotativa, um fator de redução da resistência para forças normais deve ser aplicado [NORTON, 
2004]: 
 
b
rta SaK )(×=
 19 
 
1
0,7
c
c
K para flexão
K para força normal
=
=
 (1.2) 
 
 
Fator de temperatura Kd: 
 
 
Quando as temperaturas operacionais são mais altas que a temperatura ambiente, o 
escoamento deve ser investigado a princípio, pois a resistência a ele cai muito rapidamente com a 
temperatura [SHIGLEY, 2005]. 
 
 
( )
450 1
450 550 1 0,0058 450
d
d
para T C K
para T C K T
≤ ° =
< ≤ ° = − −
 (1.3) 
 
Fator de confiabilidade Ke: 
 
O fator Ke expressa a confiança esperada no limite de resistência à fadiga da peça. Para uma 
confiabilidade baixa de 50%, o fator de confiabilidade é igual a 1, não alterando o Sn'. A tabela a 
seguir mostra os valores mais usados. 
 
 
 
 Fator de efeitos diversos Kf: 
 
Embora o fator de efeitos diversos destina-se a levar em conta a redução no limite de 
resistência devido a todos os outros efeitos, ele realmente é tido como um lembrete de que estes 
devem ser considerados. Os valores reais dos efeitos diversos não estão sempre disponíveis e podem 
ser calculados através da equação a seguir [SHIGLEY, 2005]. 
 
 1 ( 1)fs cisal tsK q K= + − (1.4) 
 
Onde Kf é o fator de concentração de tensões, o qcisalhamento é a sensibilidade ao entalhe e Kts é o fatorgeométrico das concentrações de tensões [SHIGLEY, 2005]. 
 20 
Tensões em eixos 
 
As tensões que atuam no cubo elementar são as tensões máximas e mínimas e podem ser 
terminadas pela equação [BEER, 2006]: 
 
 
( ) 2x yx y 2
máx, min xy
σ σσ σ
τ
2 2
σ
−+
= ± + (1.5) 
 
Sendo σx a tensão tangencial, σx a tensão radial e τxy a tensão de cisalhamento no plano xy. 
 
 
Tensões sem interferência: 
 
A tensão máxima sem interferência é a tensão máxima encontrada no cubo elementar, 
sendo determinada pela equação (1.5) [BEER, 2006]. 
Tensões com interferência: 
 
Tensões com interferência são as tensões máximas e mínimas que atuam no cubo elementar e 
podem ser determinadas pela equação anterior. Na Figura a seguir será representado a atuação das 
tensões de cisalhamento, radial e tangencial no eixo [BEER, 2006]: 
 
 
Figura 3: Representação dos esforços no eixo [BEER, 2006]. 
 
Como o eixo fêmea está submetido a uma combinação de tensões, será utilizado a Equação 
20 de von Mises, para encontrar a tensão máxima no eixo. Sendo que σ1 é a tensão normal máxima e 
σ3 é a tensão normal mínima calculada através da equação anterior. 
 
 21 
 ( ) ( ) ( )2 2 2' 1 2 2 3 1 3
1
σ σ σ σ σ σ σ
2
 = × − + − + −  (1.6) 
 
 
Fator de segurança 
O fator de segurança que deve ser maior igual a um é encontrado através da tensão de 
cisalhamento máxima (τmáx), tensão de escoamento (Se) considerando o fator de serviço (fadiga). 
Assim, através da Equação 18 consegue-se obter o valor do fator de segurança (FS) [NORTON, 
2004]: 
 e
máx
SFS
τ
= (1.7) 
 
 
 
Entalhes e Concentração de tensões 
 
Entalhe é um termo genérico que neste contexto e refere-se a qualquer contorno geométrico 
que interrompe o “fluxo de forças” pela peça. Os materiais apresentam diferentes sensibilidades a 
concentrações de tensão, denominadas de sensibilidade ao entalhe do material. Em geral, quanto 
mais dúctil o material, menor a sua sensibilidade ao entalhe. Materiais frágeis são mais sensíveis a 
descontinuidades. A ductilidade e a fragilidade dos metais estão fortemente relacionados à 
resistência e à dureza, além disso, a sensibilidade ao entalhe depende também do raio de 
arredondamento. 
Um dos primeiros estudos dos efeitos de descontinuidades foi realizado por Neuber, e 
posteriormente foi refinado por Peterson, de onde: 
 
 
1
1
f
t
K
q
K
−
=
−
 (1.8) 
 
Onde Kf é o fator de concentração de tensões à fadiga e Kt é o fator de concentração de 
tensões teórico para um geometria em particular. A sensibilidade ao entalhe q varia entre 0 e 1 e 
pode ser reescrita para determinar Kf: 
 
 ( )1 1f tK q K= + − (1.9) 
 
 O procedimento consiste em primeiro determinar a concentração de tensões teóricas Kt para 
a geometria e o carregamento particular, então estabelecer a sensibilidade ao entalhe apropriada para 
o material escolhido e usá-la na equação anterior para encontrar o fator dinâmico de concentração de 
tensões Kf. a tensão nominal dinâmica pra qualquer situação é então multiplicada pelo fator Kf da 
mesma maneira que foi feito para o estático: 
 
 22 
 
f nom
fs nom
K
K
σ σ
τ τ
=
=
 (1.10) 
 
A sensibilidade ao entalhe pode ser obtida pelos dados das curvas a seguir: 
 
 
 
E os valores de Kt, dados pelos gráficos x a x do capítulo 1: 
Para a aplicação dos efeitos de concentração de tensão às tensões variadas pode-se utilizar as 
seguintes relações: 
 
:
:
2 : 0
norm
nom
norm
nom
norm norm
f máx y fm f
y f a
f máx y fm
m
f máx mín y fm
se K S então K K
S K
se K S então K
se K S então K
σ
σ
σ
σ
σ σ
< =
−
> =
− > =
 
 
 23 
Tensões Variáveis. Definições
minσ
maxσ
2
minmax
a
σ−σ
=σ
2
minmax
m
σ+σ
=σ
minmaxr σ−σ=σ
- Tensão Máxima
- Tensão Alternada (stress amplitude)
- Tensão Mínima
- Tensão Média (mean stress)
- Gama de Tensões (stress range)
Resistência à Fadiga com Tensão Média 
Diferente de Zero
 24 
Critérios de Falha à Fadiga
1
S
S
S
S
yt
m
e
a =+
n
1
SS yt
m
e
a =
σ
+
σ
1
S
S
S
S
ut
m
e
a =+
1
S
S
S
S
2
ut
m
e
a =





+
1
S
S
S
S
yt
m
yt
a =+
n
1
SS ut
m
e
a =
σ
+
σ
1
S
n
S
n
2
ut
m
e
a =




 σ
+
σ
n
1
Se
ma =
σ+σ
Critério de Soderberg
Critério de Goodman
Critério de Gerber
Critério de Cedência
aa nS σ= mm nS σ=
1
S
S
S
S
2
y
m
2
e
a =







+





1
S
n
S
n
2
y
m
2
e
a =






 σ
+




 σ
Critério de ASME
Diagrama de Goodman Modificado
 25 
Fadiga De Torção
Aplica-se o diagrama de Goodman com as seguintes condições:
•Se (Tensão Limite de Fadiga Corrigido) é corrigido pelo factor 
de carga adequado (Kc = 0,577) ;
•Ssu = 0,67 Sut
•Ssy = 0,577 Sy
Diagrama (τa, τm) ou seja, (Ssa, Ssm)
Fadiga de Solicitações Combinadas
O método é o seguinte:
1. Usar Se corrigido para flexão;
2. Aplicar os fatores de concentração de tensões, Kf, às componentes 
alternadas de torção, flexão e tração;
3. Multiplicar a tensão alternada te tracção pelo factor (Kc,ax)-1;
4. Determinar as tensões principais (circulo de Mohr)
5. Determinar σ’a e σ’m pelo critério de Von Misses
6. σ’a e σ’m terão o mesmo tratamento que as simples σa e σm nos cálculos à
fadiga, nomeadamente no Diagrama de Goodman. 
( ) ( ) ( ) ( )
2
6
'
2
zxa
2
yza
2
xya
2
xaza
2
zaya
2
yaxa
a
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ
( ) ( ) ( ) ( )
2
6
'
2
zxm
2
yzm
2
xym
2
xmzm
2
zmym
2
ymxm
m
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ
 26 
Fadiga Acumulada
As peças são submetidas a blocos de carregamento de amplitude constantes
Lei de Miner
ni – número de ciclos com a tensão σi
Ni – vida da peça em ciclos com a tensão σi
1C....
N
n
N
n
N
n
N
n
3
3
2
2
1
1
i i
i ==+++=∑
2,2C7,0 ≤≤Experimentalmente:
Devido:
•Pela lei, um bloco com σi < Se não produz dano 
(σi < Se ⇒ Ni = ∞ ⇒ ni/Ni = 0)
•A lei não conta com os efeitos de interacção 
dos sucessivos blocos, independente da 
sequência que apresentam.
Método de Mason
resolve estes 
problemas 
considerando que 
todas as curvas S-N 
do material 
“virgem” e 
danificado 
convergem para o 
ponto 0,9Sut a 103
ciclos
Fadiga Acumulada (Exemplo Lei de Miner)
 27 
Fadiga Acumulada (Exemplo Método de Mason)
Dimensionamento à Fadiga
σmax
σmin
σa
σm
τmax
τmin
σ+a
σ+m
τa
τm
τ +a
τ +m
σ’a
σ’m
Critério 
DET
Critério de 
Resistência 
à Fadiga 
Goodman
σ’a /σ’m
Kt
q Kf
Se
K
S’eSut
Sy
Sut
N
nSf
Curva 
S-N
d
 28 
Verificar à Fadiga
σmax
σmin
σa
σm
τmax
τmin
σ+a
σ+m
τa
τm
τ +a
τ +m
σ’a
σ’m
Critério 
DET
Critério de 
Resistência 
à Fadiga 
Goodman
σ’a /σ’m
Kt
q Kf
Se
K
S’eSut
Sy
Sut
N
nSf
Curva 
S-N
d
Verificação da Duração à Fadiga
σmax
σmin
σa
σm
τmax
τmin
σ+a
σ+m
τa
τm
τ +a
τ +m
σ’a
σ’m
Critério 
DET
Critério de 
Resistência 
à Fadiga 
Goodman
σ’a /σ’m
Kt
q Kf
Se
K
S’eSut
Sy
Sut
N
nSf
Curva 
S-N
d
 
 
 29 
Capítulo 3 
 
Eixos e Árvores 
 
Definições: 
- Eixos 
• Fixos ou em rotação, servem apenas para apoiar peças de máquinas fixas, móveis ou 
oscilantes. 
• Não estão sujeitos a momentos torsores. 
 
- Árvores 
• Elemento rotativo ou estacionário, geralmente de seção circular, que tem montadosobre si elementos como engrenagens, polias, volantes, manivelas, rodas dentadas e 
outros elementos de transmissão. 
• Podem ser submetidas a esforços de flexão, tração, compressão ou torção, atuando 
isoladamente ou de forma combinada. 
• Exemplo, componentes da caixa de mudança de veículos. 
 
 
Tipos de Eixos/Árvores 
 
 Os eixos ou árvores podem apresentar diferentes configurações geométricas, descritas a 
seguir. 
 
 Eixos maciços: 
 A maioria dos eixos apresentam seção circular maciça, com “degraus” (rebaixos) ou apoios 
das peças montadas sobre eles. As arestas devem ser arredondadas para evitas pontos de 
concentração de tensões. 
 
 
 
Eixos vazados: 
 Os eixos vazados são muito utilizados em máquinas ferramentas e motores aeronáuticos. 
 
 30 
 Árvores cônicas: 
 As árvores cônicas devem ser ajustadas a componentes que possuam um furo de encaixe 
cônico. 
 
Árvores roscadas: 
As árvores roscadas podem ser utilizadas como elementos de transmissão ou elementos 
prolongadores. 
 
 
Árvores ranhuradas: 
As árvores ranhuradas apresentam ranhuras longitudinais radiais. São utilizadas quando na 
transmissão de grandes potências. 
 
 
Árvores estriadas: 
Um dos principais fatores para o uso de uma árvore estriada é que essa garante uma boa 
concentricidade associada à fixação. 
 
 
Árvores flexíveis: 
 As árvores flexíveis possuem uma série de camadas de arame de aço enroladas 
alternadamente em sentidos opostos e fixadas firmementes. Essas são protegidas geralmente por 
uma tubulação flexível feita de algum polímero. 
 31 
 
 
Projeto de Árvores 
 
 Como regras gerais deve-se ter em mente que: 
 1 – Deflexão lateral ou torcional dentro de limites estreitos; 
 2 – Elementos de transmissão devem estar localizados junto aos mancais; 
 3 – Os materiais mais recomendados são: 
 
 
 
 
 
Projeto para Cargas Estáticas: 
 
 Em projetos para carregamento estático, as tensões na superfície de um eixo ou de uma 
árvores de seção circular, sujeitos a esforços combinados de torção e flexão, são: 
 
 32 
 
 
 
 
Projeto para Flexão Alternada e Torção Constante: 
 
 Para qualquer árvore submetida a momentos fletores e torçores constantes, essa sofrerá ações 
de tensões alternadas causadas pela combinação entre momento fletor e a rotação da árvore. Esse 
tipo de carregamento é a situação mais comum em aplicações práticas, logo para uma árvore 
circular: 
 
 
 
Já para árvores tubulares, expressões similares podem ser escritas. 
 
A resistência à fadiga provocada pela flexão não é afetada pela existência da tensão média 
causada pela torção, até que se exceda a resistência ao escoamento por torção em aproximadamente 
50% Se. 
 
 
 
 
 
 
 33 
Diagrama de Soderberg: 
 
 O diagrama de soderberg, estabelece uma outra metodologia para a determinação das 
dimensões necessárias para uma árvores submetida a torção constante e flexão alternada 
combinados. 
 
 
(a) Elemento de tensão de profundidade unitária na superfície de uma árvore de seção 
circular, com velocidade de rotação angular. 
(b) Seção do elemento por um plano que forma um ângulo α com o plano da base. 
 
 
Adotando a teoria da tensão cisalhante máxima, pode-se escrever uma equação de equilíbrio 
para todas as forças na direção de τα, ou seja: 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2sen cos sen cos 0x xy xyατ σ α α τ α τ α+ + − = (1.1) 
Ou 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2sen cos cos senx xyατ σ α α τ α α= − + − (1.2) 
 
 Substituindo-se os valores de σx e τxy na equação anterior e utilizando-se as identidades 
geométricas, chega-se a: 
 
 ( ) ( ) ( )3 3
16 16cos 2 sen 2 cosT M t
d dα
τ α α ω
π π
= − (1.3) 
 
 A tensão cisalhante apresenta então um valore médio e uma componente alternada com 
amplitude de, respectivamente: 
 
( )
( )
3
3
16 cos 2
16 sen 2
m
a
T
d
M
d
α
α
τ α
π
τ α
π
=
=
 (1.4) 
 
As tensões alternadas cisalhantes encontram-se no eixo vertical, enquanto que as tensões 
constantes ou médias encontram-se no eixo horizontal. Como é mostrado, a linha de Soderberg é 
uma linha reta que une o limite de resistência à fadiga completamente corrigido para esforços 
cisalhantes, Ssn’ e a resistência ao escoamento por cisalhamento, Sse’. 
 34 
 
 
 
 
 35 
 
Exercício: 
 
 
 
 
 36 
TENSÕES ADMISSÍVEIS 
 
Nos projetos em geral encontra-se a tensão admissível partindo-se da carga 
considerada perigosa; neste caso decide-se primeiro se o material é “comercial” para eixo ou 
árvore, de propriedades mecânicas diferentes e incertas, ou materiais “especificados”, com as 
especificações cobrindo as propriedades físicas ou mecânicas (FAIRES, 1982). 
Aço comercial. A Norma ASME para o projeto de eixos de transmissão dão as tensões 
admissíveis básicas: 
Cisalhamento, τ = 8000 psi ~ 55 MPa 
Normal, σ = 16 000 psi ~ 110 MPa 
Material especificado. Se o material for adquirido de acordo com as especificações que 
limitam a variação das propriedades mecânicas, as tensões admissíveis básicas serão: 
Tensão admissível para cisalhamento : τ = (0,3) x (tensão de escoamento à tração), ou, τ = 
(0,18) x (tensão máxima à tração), tomando a que for menor; e para um eixo em flexão somente; 
Tensão admissível para esforço normal: σ = (0,6) x (tensão de escoamento à tração) ou, σ = 
(0,36) x (tensão máxima à tração), 
De onde se adota a que for menor. A tensão admissível ao cisalhamento e a teoria da 
tensão de cisalhamento máxima são usadas para tensões combinadas (FAIRES, 1982). 
Se a resistência ao escoamento por cisalhamento for tomada 0,6 vezes a resistência ao 
escoamento na tração (τe = 0,6 σe), encontra-se uma tensão de 0,3 σe = 0,3 τe/0,6 = τe /2. Isso 
mostra que o fator de segurança para o dimensionamento de árvores, baseado na carga de 
escoamento ao cisalhamento é em torno de 2 sem o rasgo de chavêta. No entanto, os fatores de 
fadiga e choque Ks e Km (3.3) são utilizados para aumentar o fator de segurança efetivo, quando 
as condições de funcionamento tornam-se mais rigorosas (FAIRES, 1982). 
 
 
FATORES DE CHOQUE E FADIGA 
 
Do mesmo modo que a tensão admissível, o efeito da variação de carga é considerado no 
projeto de eixos-árvore usando-se fatores. Assim: 
Ks = Fator numérico combinado devido ao choque e à fadiga para ser aplicado, em todos 
os casos, ao momento de torção calculado ou à potência. 
Km = Fator numérico combinado a choques e fadiga para ser aplicado, em todos os 
casos, ao momento de flexão calculado. 
 37 
 
 
Mesmo esses fatores não sendo fatores de concentração de tensão, eles são aplicados da 
mesma maneira. Seus valores são governados pelo julgamento que o projetista faz da carga e são 
tomados da Tabela 1, onde observamos que o menor valor de Km para um eixo giratório é 1,5, o 
que se presume dizer respeito à maior violência da carga, devida à inversão da tensão durante cada 
rotação do eixo (FAIRES,1982). 
 
Torção em eixos 
 
Peças submetidas à torção são encontradas em muitas aplicações. O caso mais comum de 
aplicação é o de eixos de transmissão, que são utilizados para transmitir potência e torque de um 
ponto para o outro [BEER, 2006]. 
 
Torque em eixos de transmissão 
 
Expressando o torque (T) em N.m a potência (P) em watts (W) e a rotação (n) em rpm, tem-
se o torque no eixo conforme equação [BEER, 2006]: 
 
 
 
Potência na aplicação 
 
Para cálculo da potência (kW) na aplicação deve saber-se a pressão máxima de trabalho 
(MPa), a potência (kW) e a pressão máxima de projeto (MPa). Através da Equação 2 calcula-se a 
potência utilizada na aplicação [PALMIERI, 1997]: 
 
 
 
 
πn
P30T
×
×
=
( )
Projeto de Pressão
Projeto PotênciaTrabalho PressãoP ×=
 38 
Momentode inércia de eixos circulares 
 
No caso de um eixo de seção vazada, com maior diâmetro interno (di) e diâmetro externo (de) 
expresso em metros, o momento polar de inércia (J) será dado em m4 conforme a Equação 3 [BEER, 
2006]: 
 
 
 
Tensões no eixo 
 
A seguir serão ilustradas as equações para cálculo da tensão de cisalhamento máxima e 
mínima: 
 
Tensão de cisalhamento máxima 
 
A expressão da tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo vazado pode ser 
encontrada através da equação, sendo Torque (T) em N.m, raio externo (re) em metros e momento de 
inércia (J) em m4 [BEER, 2006]. 
 
 
 
Tensão de cisalhamento mínima 
O menor valor da tensão de cisalhamento ocorre na face interna do eixo circular e pode ser 
obtida através da Equação 5, que relaciona tensão de cisalhamento mínima (τmin) e tensão de 
cisalhamento máxima (τmáx) que são respectivamente proporcionais ao diâmetro interno (di) e ao 
diâmetro externo (de) [BEER, 2006]. 
 
 
 
Ajuste de interferência 
 
Um meio comum de acoplamento de um cubo a um eixo é usar um ajuste a pressão ou de 
encolhimento, também chamado de ajuste de interferência. As duas partes são forçadas lentamente 
em uma prensa, de preferência com óleo lubrificante. A deflexão elástica do eixo e do cubo atua no 
sentido de criar grandes forças normais e de atrito entre as partes [FRENCO, 2001]. 
 
 
32
)d(dπ J
4
i
4
e −×=
J
rT
τ emax
×
=
máx
e
i
mín τd
d
τ ×=
 39 
Tensões nos ajustes por interferência 
 
Um ajuste de interferência cria o mesmo estado de tensão no eixo que uma pressão uniforme 
externa criaria na sua superfície. O cubo experimenta as mesmas tensões que um cilindro de parede 
grossa sujeita a pressão interna. A pressão p em MPa, criada pelo ajuste a pressão pode ser 
encontrada pela deformação dos materiais causada pela interferência, conforme equação 6 
[NORTON, 2004]: 
 
 
 
 
 
 
Onde δ é a interferência no raio em milímetros, r é o raio nominal da interface entre as peças 
em milímetros, ri é o raio interno (se houver) de um eixo vazado em milímetros e ro é o raio externo 
do cubo em milímetros. E & υ são o módulo de elasticidade em GPa e o coeficiente de Poisson das 
duas partes sendo a sua unidade adimensional [NORTON, 2004]. 
A pressão p é usada nas equações a seguir para encontrar as tensões radiais (equação 7) e 
tangenciais (Equação 8) na parede do eixo estriado [NORTON, 2004]: 
 
 
 
 
 
Cargas de flexão produzidas pela transmissão de potência 
 
A força útil, F, necessária para transmitir determinada potência a uma certa rotação, pode ser 
calculada por intermédio das equações da potência. no caso geral das correias, esta força constitui-se 
na diferença entre as forças que atuam nos ramos tenso e “frouxo”, isto é, entre F1 e F2. 
Como indicação prática, pode-se fazer: 
 ( )1 2 1 2F F C F F+ = ⋅ − 
Sendo C um valor que varia com o tipo de transmissão da potência. Em função disso, têm-se: 
Polias e correias planas: C = 2 a 2,5. 
Polias e correias trapezoidais: C = 1,5. 
Correntes e engrenagens: C = 1,0. 
Saliente-se que o valor C = 1 conduz a F2 =0, isto é, a força no ramo “frouxo” é nula. De fato, as 
correntes trabalham com o ramo “frouxo” praticamente sem força; as engrenagens simplesmente 
não têm ramos, uma vez que o contato é direto, dente com dente. 
 
 
 
 
 
 








+
−
+
+







+
−
+
×
=
i2
i
2
2
i
2
i
o22
o
22
o
O rr
rr
E
r
rr
rr
E
r
δ 0,50p
νυ
pσ r −=
22
o
22
o
t rr
rrpσ
−
+
×=
 40 
 
 
CÁLCULO DE DIÂMETROS DE EIXOS 
 
Finalmente, o cálculo do diâmetro de eixos/árvores levando em conta o carregamento 
estático e o carregamento dinâmico será: 
 
Método para Flexão Alternada e Torção Fixa 
 
1
1 3
2 2 232 3
4
f a m
f fsm
f y
N M Td K K
S Sπ
 
     
 = +             
 
 
 
Sendo Nf o coeficiente de segurança. Em termos de tensões de flexão média e alternantes 
máximas em eixos, elas podem ser encontradas a partir de: 
 
a
a f
M cK
I
σ = e mm fm
M cK
I
σ = 
 
Como um eixo típico possui uma seção transversal sólida circular, pode-se substituir o c e I 
por: 
 
2
dc r= = e 
4
64
dI π= 
Assim: 
 3
32 a
a f
MK
d
σ
π
= e 3
32 m
m fm
MK
d
σ
π
= 
 
As tensões torcionais de cisalhamento média e alternante são dadas por: 
a
a fs
T rK
J
τ = e mm fsm
T rK
J
τ = 
Como J é o momento polar de inércia, e em uma seção circular é igual a 
4
32
dJ π= , logo 
3
16 a
a fs
TK
d
τ
π
= e 3
16 m
m fsm
TK
d
τ
π
= 
 
Em casos onde um carregamento de tração estiver presente, se terá apenas o componente 
média, e pode ser encontrada por: 
2
4
axial
z z
m fm fm
F FK K
A d
σ
π
= = 
 41 
 
Método para Flexão Alternada e Torção Alternada 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1
32 2 2 23 3
32 4 4f a fs a fm m fsm mf
f ut
K M K T K M K TN
d
S Sπ
  
+ +    = + 
  
    
 
Sendo 2 2' 3a a aσ σ τ= + , ( )
2 2' 3
axialm m m m
σ σ σ τ= + + e finalmente 
' '1 a m
f f utN S S
σ σ
= + 
 
 
Exercício: 
Projete um eixo para suportar os complementos mostrados na figura, com um coeficiente de 
segurança no projeto de no mínimo 2,5. O eixo deve transmitir 2 hp a 1725 rpm. O torque e a força 
na engrenagem são constantes com o tempo, não há cargas axiais e o material é aço. Pressuponha 
um fator de concentração de tensão de 3,5 para o degrau nos raios de flexão, 2 para o degrau nos 
raios de torção e 4 nas chavetas. 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BEER, Ferdinand P.; Resistência dos Materiais; Makron Books; 3ª Edição; 2006 – São Paulo 
(Brasil); 
BOSCH, Robert GmbH; Hidráulica Teoria e aplicações da Bosch; Departamento de Publicações 
Técnicas; Alemanha; 1991; 
CETLIM, Paulo Roberto; Paulo Sérgio Pereira da Silva; ABM (Associação Brasileira dos 
Materiais); Análise de Fraturas; 1978 - São Paulo (Brasil); 
FRENCO, Apostila de Treinamento da Frenco – Conceitos, Terminologia, Tipos, Características e 
Tolerâncias de eixos estriados (Splines); Edição 07/01; 1991 – Alemanha. 
NORTON, Robert L.; Bookman; Projeto de Máquinas – Uma abordagem Integrada; 2ª edição; 2004 
- Porto Alegre (Brasil); 
PALMIERI, Antonio Carlos; Manual de Hidráulica Básica; Albarus Sistema Hidráulicos; 10ª 
Edição; 1997 – Porto Alegre (Brasil); 
SHIGLEY, Joseph E.; Mischke, Charles; Bookman; Projeto de Engenharia Mecânica; 2005 - Porto 
Alegre (Brasil). 
Referencias da Internet 
GERDAU. Disponível em http:// www.gerdau.com.br. Acesso em 10 março 2006. 
 43 
 
Fonte: Site da Gerdau www.gerdau.com.br 
 
 
 44 
Capítulo 4 
 
Mancais 
 
MANCAIS DE ESCORREGAMENTO 
 
Os mancais servem para apoiar um eixo/árvore permitindo um movimento relativo, impondo, 
entretanto uma restrição em alguns graus de liberdade. Os mancais de escorregamento podem ser 
classificados como: 
 
• Função; 
• Forma; 
• Construção; 
• Lubrificação. 
 
 
 
 
 
 
 45 
 
 
 
 
Quanto à Função 
 
Radiais ou cilíndricas: impedem os deslocamentos radiais. 
 
Axiais ou de impulso: impedem os deslocamentos axiais. 
 
Angulares: impedem simultaneamente os deslocamentos radiais e axiais. 
 
De Guia: destinam-se a permitir e controlar o deslocamento de um elemento com 
movimento retilíneo e evitam o movimento de rotação. 
 
 
 
 
Quanto à Forma 
 
De Escorregamento: o movimento entre o eixo/árvore e o apoio é de escorregamento, sendo 
o contato entre os dois elementos impedido pela formação de uma película de lubrificante. 
De Rolamento:o movimento entre os dois elementos é feito por rolamento. 
Misto: existem simultaneamente os movimentos de escorregamento e rolamento. 
 
 
Quanto à Construção 
 
Autocompensadoras: os eixos após a montagem e a entrada de funcionamento são 
automaticamente centrados. 
Rígidas: após a montagem mantém a posição invariável não permitindo qualquer 
alinhamento. 
 46 
De segmento: uma das superfícies ativas é segmentada permitindo a formação automática de 
uma película lubrificante. 
Elásticas: um dos apoios é elástico ou elasticamente suportado permitindo as deformações 
necessárias ao bom alinhamento e à formação da película lubrificante. 
 
 
 
 
Quanto à Lubrificação 
 
Automática: a rotação do eixo provoca a formação de uma película lubrificante que é 
interrompida quando deixa de haver movimento relativo. 
Intermitente: o lubrificante é introduzido periodicamente, por um sistema gota a gota. 
Por Imersão: as superfícies em movimento relativo estão imersas em um reservatório 
lubrificante. 
Por Chapinhagem: parte do elemento móvel mergulha no lubrificante transportando-o. 
Sob Pressão: a alimentação do lubrificante para o munhão é feita sob pressão através de uma 
bomba. 
Por Sistema Mecânico Centrado: o mesmo sistema alimenta vários postos da lubrificação 
da máquina. 
 
 
 
Seleção de Mancais 
 
Parâmetros Importantes: 
 
• Tipo de aplicação da carga e seu valor; 
• Velocidades de funcionamento; 
• Dimensões admissíveis; 
• Características particulares de projeto. 
 
 47 
 
 
 
 
Curvas de Desempenho de vários tipos de mancais: 
 
 
 48 
 
 
Valores das regiões típicas para mancais (na 
figura – mancais) radiais. 
Desempenho dos mancais de atrito seco. 
 
 
Intervalo de cargas para mancais de escorregamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
Materiais para mancais de escorregamento: 
 
 
 
Materiais para mancais de atrito: 
 
 
 
 
Mancais Radiais e Axiais: 
 
 
 50 
Equações e relações para projeto: 
 
 
 
Estabilidade na Lubrificação: 
 
 
Formação do Filme Lubrificante: 
 
A formação do filme lubrificante se dá de dois modos: 
 
 51 
a) O eixo no início da rotação no sentido horário. Nas condições iniciais o mancal está seco, 
subindo em seguida para o lado direito do mancal. 
b) A lubrificação é introduzida no topo do mancal e força o eixo a se deslocar para o lado 
oposto. Ocorre então um filme com espessura h0. 
 
 
 
Variáveis de Projeto em um Mancal de Escorregamento: 
 
 
Nomenclatura de um mancal de escorregamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Relações entre as Variáveis de Projeto: 
 
1 – Efeito da viscosidade dinâmica dos óleos lubrificantes SAE à pressão atmosférica com relação a 
temperatura. 
 52 
 
 
2- Espessura mínima do filme lubrificante, pode ser obtido pela tabela, que mostra o diagrama paa 
determinação da posição de espessura mínima h0. 
 
 
 53 
 
 
 
3- Coeficiente de Fricção: o diagrama da fricção, que tem a variável de fricção (r/c) f traçada contra 
o número de Sommerfeld S, com contornos para vários valores da razão l/d. 
 
 
 
 54 
4- Fluxo de lubrificante: as figuras são utilizadas paa determinar o fluxo lubrificante e o fluxo 
lateral. 
 
 
O vazamento lateral Q origina-se da parte inferior do mancal, onde a pressão interna está 
acima da pressão atmosférica. Tal vazamento forma um filete na junção externa da bucha e do 
munhão e é levado pelo movimento deste último para o topo da bucha para ser “sugado” e retornar 
ao reservatório de lubrificante. Tal porção do vazamento lateral que vaza para longe do mancal deve 
ser completada com a adição de óleo ao reservatório do mancal, periodicamente. 
 
 55 
 
5- Pressão do filme: a pressão máxima desenvolvida no filme pode ser estimada encontrando-se a 
razão de pressão P/pmáx a partir do diagrama. As localizações nas quais as pressões de término e 
máxima ocorrem, são determinadas a partir do segundo diagrama dessa seção. 
 
 
 
 56 
 
 
Folga: 
 
Ao se projetar um mancal para a lubrificação deve-se levar em consideração a folga. A figura 
a seguir mostra os resultados obtidos quando o desempenho de um determinado mancal para um 
intervalo completo de folgas radiais e traçado com a folga como variável independente. 
 
 
 57 
MANCAIS DE ROLAMENTOS 
 
 
 
 
A seguir veja as vantagens e desvantagens que os rolamentos possuem em relação aos 
mancais de deslizamento. 
 
 58 
Vantagens 
• Menor atrito e aquecimento 
• Coeficiente de atrito de partida (estático) não superior ao de operação (dinâmico) 
• Pouca variação do coeficiente de atrito com carga e velocidade 
• Baixa exigência de lubrificação 
• Intercambialidade internacional 
• Mantém a forma de eixo 
• Pequeno aumento da folga durante a vida útil 
 
Desvantagens 
• Maior sensibilidade aos choques 
• Maiores custos de fabricação 
• Tolerância pequena para carcaça e alojamento do eixo 
• Não suporta cargas tão elevadas como os mancais de deslizamento 
• Ocupa maior espaço radial 
 
Classificação dos rolamentos 
 
Quanto ao tipo de carga que suportam, os rolamentos podem ser: 
• Radiais - suportam cargas radiais e leves cargas axiais. 
• Axiais - não podem ser submetidos a cargas radiais. 
• Mistos - suportam tanto carga axial quanto radial. 
 
 
Tipos de rolamentos 
 
Rolamento fixo de uma carreira de esferas 
É o mais comum dos rolamentos. Suporta cargas radiais e pequenas cargas axiais e é 
propriado para rotações mais elevadas. Sua capacidade de ajustagem angular é limitada, por 
conseguinte, é necessário um perfeito alinhamento entre o eixo e os furos da caixa. 
 
 
 
Rolamento de contato angular de uma carreira de esferas 
Admite cargas axiais somente em um sentido, portanto, devebsempre ser montado 
contraposto a um outro rolamento que possa receber a carga axial no sentido contrário. 
 
 59 
 
 
Rolamento autocompensador de esferas 
É um rolamento de duas carreiras de esferas com pista esférica no anel externo, o que lhe 
confere a propriedade de ajustagem angular, ou seja, compensar possíveis desalinhamentos ou 
flexões do eixo. 
 
 
 
Resumindo os rolamentos esféricos: 
 
 
 
 
 
 60 
Rolamento de rolo cilíndrico 
É apropriado para cargas radiais elevadas e seus componentes são separáveis, o que facilita a 
montagem e desmontagem. 
 
 
Rolamento autocompensador de uma carreira de rolos 
Seu emprego é particularmente indicado para construções em que se exige uma grande 
capacidade de suportar carga radial e a compensação de falhas de alinhamento. 
 
 
 
 
 
Rolamento autocompensador com duas carreiras de rolos 
É um rolamento para os mais pesados serviços. Os rolos são de grande diâmetro e 
comprimento. Devido ao alto grau de oscilação entre rolos e pistas, existe uma distribuição uniforme 
de carga. 
 
 
Rolamento de rolos cônicos 
Além de cargas radiais, os rolamentos de rolos cônicos também suportam cargas axiais em 
um sentido. Os anéis são separáveis. O anel interno e o externo podem ser montados separadamente. 
Como só admitem cargas axiais em um sentido, de modo geral torna-se necessário montar os anéis 
aos pares, um contra o outro. 
 
 
 
 61 
Resumindo os rolamentos cônicos: 
 
 
 
Rolamento axial de esfera 
Ambos os tipo de rolamento axial de esfera (escora simples e escora dupla) admitem 
elevadas cargas axiais, porém, não podem ser submetidos a cargas radiais. Para que as esferas sejam 
guiadas firmemente em suas pistas, é necessária a atuação permanente de uma determinada carga 
axial mínima. 
 
 
 
 62 
Rolamento axial autocompensador de rolos 
Possui grande capacidade de carga axial e,devido à disposição inclinada dos rolos, também 
pode suportar consideráveis cargas radiais. A pista esférica do anel da caixa confere ao rolamento a 
propriedade de alinhamento angular, compensando possíveis desalinhamentos ou flexões do eixo. 
 
 
 
Rolamento de agulhas 
Possui uma secção transversal muito fina, em comparação com os rolamento de rolos 
comuns. É utilizado especialmente quando o espaço radial é limitado. 
 
 
Alguns tipos de rolamentos de agulha: 
 
 
 
 63 
Designação dos rolamentos 
 
Cada rolamento métrico padronizado tem uma designação básica específica que indica o tipo 
de rolamento e a correlação entre suas dimensões principais. Essas designações básicas 
compreendem 3, 4 ou 5 algarismos, ou uma combinação de letras e algarismos, que indicam o tipo 
de rolamento, as séries de dimensões e o diâmetro do furo, nesta ordem. 
Os símbolos para os tipos de rolamento e as séries de dimensões, junto com os possíveis 
sufixos indicando uma alteração na construção interna, designam uma série de rolamentos. A tabela 
mostra esquematicamente como o sistema de designação é constituído. Os algarismos entre 
parênteses, indicam que embora eles possam ser incluídos na designação básica, são omitidos por 
razões práticas. Como no caso do rolamento de duas carreiras de esferas de contato angular onde o 
zero é omitido. Convém salientar que, para a aquisição de um rolamento, é necessário conhecer 
apenas as seguintes dimensões: o diâmetro externo, o diâmetro interno e a largura ou altura. Com 
esses dados, consulta-se o catálogo do fabricante para obter a designação e informações como 
capacidade de carga, peso, etc. 
 
 
 
 
 64 
Seleção de rolamentos: 
 
Cada tipo de rolamento possui uma propriedade característica que o torna particularmente 
apropriado para certas aplicações. 
 
 
 
Vida do Mancal: 
 
Quando a esfera ou o rolo de mancais de contato rolante rola, as tensões de contato ocorrem 
no anel interno, o elemento rolante, e no anel externo. Em razão da curvatura dos elementos 
contatantes ser diferentes entre a direção axial e radial, as equações tornam-se um tanto complexas. 
Em geral as equações utilizadas para a determinação da vida útil (nominal) são diferentes de 
fabricante para fabricante, sendo recomendável a verificação em seus respectivos catálogos. Como 
exemplo, são mostradas as equações relativas ao fabricante SKF. 
 
 
 
 65 
Em termos de cargas aplicadas, cada tipo de rolamento possuirá um comportamento diferente 
para cada tipo de carregamento, sendo assim recomendável à consulta à catálogos de fabricantes. 
Como exemplo, apresenta-se a carga dinâmica típica de um rolamento esférico. 
 
 
 
 
 
 
 66 
Capítulo 5 
Acoplamentos 
Acoplamento de Mandíbula, 
mostrando a mandíbula e o separador elastométrico.
 
Acoplamento de engrenagem 
flexível
 
 67 
Acoplamento de espiral
 
Acoplamento de metal
 
 68 
Acoplamento de Schmidt
 
Acoplamento de Hooke (Cardam)
 
 
 69 
Acoplamento de Disco
 
Acoplamento Rígidos
 
 
 70 
Acoplamento de Junta 
Homocinética
 
Acoplamento Elástico
 71 
Capítulo 6 
 
Engrenagens 
 
 
TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS 
 
As engrenagens, também chamadas rodas dentadas, são elementos básicos na 
transmissão de potência entre árvores. Elas permitem a redução ou aumento do momento torsor, 
com mínimas perdas de energia, e aumento ou redução de velocidades, sem perda 
nenhuma de energia, por não deslizarem. A mudança de velocidade e torção é feita na 
razão dos diâmetros primitivos. Aumentando a rotação, o momento torsor diminui e vice-versa. 
Assim, num par de engrenagens, a maior delas terá sempre rotação menor e transmitirá momento 
torsor maior. A engrenagem menor tem sempre rotação mais alta e momento torsor menor. O 
movimento dos dentes entre si processa-se de tal modo que no diâmetro primitivo não há 
deslizamento, havendo apenas aproximação e afastamento. Nas demais partes do flanco, existe 
ação de deslizamento e rolamento. Daí conclui-se que as velocidades periféricas (tangenciais) 
dos círculos primitivos de ambas as rodas são iguais (lei fundamental do dentado). 
A figura a seguir mostra o tipo mais comum de engrenagem, chamada de engrenagem 
cilíndrica de dentes retos, em inglês “spur gear”. O termo engrenagem, embora possa ser 
empregado para designar apenas um dos elementos, normalmente é empregado para designar a 
transmissão. Uma transmissão por engrenagens é composta de dois elementos ou mais. 
Quando duas engrenagens estão em contato, chamamos de pinhão a menor delas e de coroa a maior. 
A denominação não tem relação com o fato de que um elemento é o motor e outro é o movido, mas 
somente com as dimensões. 
 
Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos 
A figura mostra uma transmissão por engrenagens cilíndricas de dentes retos. Trata-se 
apenas de um arranjo demonstrativo, mas serve para mostrar a forma como os dentes entram em 
contato. Quando as manivelas ao fundo giram, o elemento da direita transmite potência para o da 
esquerda. 
 72 
 
Transmissão por Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 
 
 
A expressão “transmite potência” é uma generalização para a lei de conservação de 
energia. Significa que um dos elementos executa trabalho sobre o outro, em uma determinada taxa. 
Aparentemente, toda a potência é transmitida, mas a realidade mostra que parte dela é perdida pelo 
deslizamento entre os dentes. Transmitir potência pode não descrever o objetivo de uma transmissão 
por engrenagens na maioria das aplicações de engenharia. O que se deseja é transmitir um 
determinado torque, ou seja, a capacidade de realizar um esforço na saída da transmissão. 
 
 
 
Classificação das Engrenagens 
 
As engrenagens podem ser classificadas de acordo com a posição relativa dos eixos de 
revolução. Esses eixos podem estar: 
• Paralelos; 
• Intersecionados; 
• Nem paralelo nem intersecionados. 
 73 
a- Engrenagens para conexão de eixos paralelos: 
1. Engrenagens de dentes retos 
 
 
Contato Interno Contato Externo Engrenagem de dentes retos 
 
 
 
 
Contato Interno (Fonte: Mabie e Ocvirk, 1980). 
 
 74 
2. Engrenagem helicoidal paralela 
 
3. Engrenagem helicoidal dupla 
 
4. Pinhão e cremalheira de entes retos evolventes 
 
 
5. Engrenagem cilíndrica com dentes em V 
 
 
 
 75 
 
b- Engrenagens para conexão de eixos intersecionados: 
1. Engrenagem cônica de dente reto 
 
 
2. Engrenagem cônica espiral 
 
 
 
c- Eixos nem paralelos ou intersecionados: 
 
1. Engrenagens helicoidais cruzadas 
 
 
 76 
 
2. Par coroa e sem-fim 
 
 
 
Terminologia de Engrenagens de Dentes Retos 
 
A figura a seguir mostra alguns dos termos utilizados em engrenagens de dentes retos. 
 77 
 
 
a. Superfície primitiva: a superfície de um cilindro (cone, etc.) imaginário, girante que o 
dente de engrenagem pode ser substituído. 
b. Circunferência primitiva: uma seção da superfície primitiva. 
c. Circunferência de cabeça: um círculo que recobre o topo dos dentes. 
d. Circunferência de pé: círculo que passa pela base dos dentes. 
e. Altura de cabeça: distância radial entre a circunferência primitiva e a circunferência de 
cabeça. 
f. Profundidade ou altura de pé: distância radial entre a circunferência primitiva e a 
circunferência de pé. 
 
g. Vão ou folga: diferença entre a altura de pé de uma engrenagem e a altura da cabeça da 
outra. 
h. Face do dente: parte da superfície do dente que se encontra fora da superfície primitiva. 
i. Flanco do dente: parteda superfície do dente que se encontra dentro da superfície 
primitiva. 
j. Espessura do dente: espessura do dente medida na circunferência primitiva. É o 
comprimento de um arco e não co comprimento de uma linha reta. 
k. Espaço do dente: distância entre dentes medida na circunferência primitiva. 
l. Passo frontal (p): comprimento de um dente e um espaço medido na circunferência 
primitiva (veja a figura a seguir). 
 78 
 
 
Fonte: Mabie e Ocvirk, 1980. 
 
m. “Diametral pitch” (P): é o número de dentes dividido pelo diâmetro primitivo. (A norma 
brasileira ABNT TB 81, indica o módulo frontal como sendo o quociente do diâmetro primitivo pelo 
número de dentes, expresso em milímetros: Dm
N
= ). 
 Dp
N
π
= 
E 
 NP
D
= 
Assim: 
 .p P π= 
 
Sendo: p o passo frontal; P o “diametral picth”; N o úmero de dentes e D o diâmetro 
primitivo. 
 
n. Módulo frontal (m): inverso do “diametral picth”, diâmetro primitivo dividido pelo 
número de dentes. 
 79 
 
 
 
 
o. Filete ou Arredondamento: pequeno raio que conecta o perfil do dente com a 
circunferência de pé. 
 
p. Pinhão: a menor engrenagem de qualquer para. A engrenagem maior é chamada apenas 
de engrenagem ou coroa. 
q. Relação de velocidade: relação dada pelo número de revoluções da engrenagem motora 
pelo número de revoluções da engrenagem movida, em uma unidade de tempo. 
 80 
r. Ponto primitivo: o ponto que tangencia as circunferências rimitivas de um para de 
engrenagens (veja o ponto P da figura). 
 
 
Fonte: Mabie e Ocvirk, 1980. 
 
 
s. Tangente comum: a linha tangente da circunferência primitiva no ponto primitivo. 
t. Linha de ação: linha normal ao par de dentes no seu ponto de contato. 
u. Trajetória de contato: trajetória traçada pelo ponto de contato de um para de dentes. 
v. Ângulo de pressão ( )α : ângulo entre a normal comum no ponto de contato dos dentes e 
a tangente comum à circunferência primitiva. É também o ângulo entre a linha de ação e a tangente 
comum. 
 
w. Circunferência base: circunferência imaginária usada na engrenagem evolvente para 
gerar a evolvente que forma o perfil dos dentes. 
 
 
 81 
 
 
Alguns Dados 
 
Lista padrão do sistema de dentes pa engrenagens de dentes retos (Shigley e Uicker, 2003). 
 
Sistema de Dente Ângulo de Pressão ( )α Altura de Cabeça Profundidade 
Profundidade Total 20° 1
P
 ou 1 m⋅ 1, 25
P
 ou 1,25 m⋅ 
Profundidade Total 22,5° 1
P
 ou 1 m⋅ 1, 25
P
 ou 1,25 m⋅ 
Profundidade Total 25° 1
P
 ou 1 m⋅ 1, 25
P
 ou 1,25 m⋅ 
Ponta do Dente 20° 0,8
P
 ou 0,8 m⋅ 1
P
 ou 1 m⋅ 
 
 
Lista dos valores mais usados para o “diametral pitch”: 
Pitch Expresso 2 2,25 2,5 3 4 6 8 10 12 16 
Pitch Fino 20 24 32 40 48 64 96 120 150 200 
 
NOTE: que ao invés de usar a circunferência primitiva teórica como um índice do tamanho 
do dente, a circunferência base pode ser usada. O resultado é chamado de base primitiva ( )bP , e está 
relacionada com a circunferência base pela equação: 
 
 cosbP p α= ⋅ 
 
Ação do Dente da Engrenagem 
Lei Fundamental da Ação do Dente da Engrenagem 
 
A figura a seguir mostra o contato de dois dentes de engrenagens, em que: 
• O perfil do dente 1 aciona o perfil 2 pelo ponto de atuação de contato instantâneo K. 
• N1N2 são as normais dos dois perfis. 
• N1 é o pé da perpendicular de O1 a N1N2. 
• N2 é o pé da perpendicular de O2 a N1N2. 
 
 82 
 
 
Apesar dos dois perfis possuírem velocidade V1 e V2 diferentes no ponto K, suas velocidades 
ao longo de N1N2 são iguais tanto em magnitude como em direção. Caso contrário, os dois perfis se 
separariam, sendo assim tem-se: 
 1 1 1 2 2 2O N O Nω ω= 
 
Ou 
 
1 2 2
2 1 1
O N
O N
ω
ω
=
 
Observa-se que a interseção da tangente N1N2 é a linha de centro O1O2 é o ponto P, e: 
 
 1 1 2 2O N P O N P∆ ∆ 
 
Assim, a relação entre as velocidades angulares e a engrenagem de acionamento, ou relação 
de velocidades de um para de dentes em contato é: 
 
 
1 2
2 1
O P
O P
ω
ω
=
 
 
O ponto P é muito importante para a relação de velocidades e é chamado de ponto primitivo. 
Tal ponto divide a linha de centros e sua posição define a relação de velocidades entre dois dentes. 
Dessa forma, a expressão é a lei fundamental da ação do dente da engrenagem. 
 
 
 83 
Relação de Velocidade Constante 
 
Para uma relação de velocidade constante, a posição de P deve permanecer imutável. Nesse 
caso, o movimento transmitido entre as duas engrenagens é equivalente ao movimento transmitido 
entre dois cilindros imaginários sem escorregamento dom raios R1 e R2 ou diâmetros D1 e D2. 
Assim têm-se dois círculos cujos centros estão em O1 e O2 e passam pelo ponto primitivo P. Esses 
dois círculos são chamados de circunferência primária, e a relação de velocidade é igual ao inverso 
da relação do diâmetro das circunferências primárias. 
 
 
Perfil Conjugado 
 
Para obter a esperada relação de velocidades, de dois pares de dentes, a linha normal de seus 
perfis deve passar através do correspondente ponto primitivo, que é definido pela razão de 
velocidade. Os dois perfis que satisfazem esse requerimento são chamados de perfis conjugados. 
 
Apesar das muitas formas de dentes que são possíveis, apenas duas satisfazem a lei 
fundamental, e essas são de uso geral: perfil cicloidal e evolvental. A evolvente possui vantagens 
importantes, são fáceis de confeccionar e a distância central entre um par de engrenagens evolventes 
pode variar sem mudar a relação de velocidade. Assim, uma tolerância estreita entre a posição dos 
eixos não é exigida, o que faz com que a curva conjugada mais usada seja a evolvental. 
 
Curva Evolvente 
 
Os seguintes exemplos são para engrenagens de dentes retos evolventes. Usa-se a palavra 
evolvente devido ao contorno da curva interna do dente de engrenagem. Engrenagens possuem 
muitos termos, parâmetros e princípios e um dos conceitos mais importantes é a relação de 
velocidade, que é a relação da velocidade de giro da engrenagem motora e a engrenagem movida. 
 
 
 
O número de dentes no exemplo mostrado na figura são 15 e 30 respectivamente. Se a 
engrenagem de 15 dentes é a motora e a engrenagem movida possui 30, a relação de velocidade é 2. 
 
 
 84 
Geração da Curva Evolvente 
 
A curva mais utilizada para o perfil de dentes de engrenagens é a evolvente de um círculo. 
Essa curva é o caminho traçado por um ponto em uma linha a medida que a linha gira sem 
escorregamento na circunferência de um círculo. Também pode ser definido como o caminho 
traçado pelo fim de uma corda que originalmente envolve um círculo quando a corda é desenrolada 
do círculo. O círculo cuja evolvente é gerada é chamado de circunferência de base. 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
Fazendo a linha MN girar no sentido anti-horário da circunferência de um círculo sem 
deslizar, quando a linha alcança a posição M’N’, a tangente original A alcança a posição K, traçando 
a curva evolvente AK durante o movimento. A medida que o movimento continua, o ponto A irá 
traçar a curva evolvente AKC. 
 
Quanto menor for o diâmetro primitivo, mais acentuada será a evolvente. Quanto maior for o 
diâmetro primitivo, menos acentuada será a evolvente, até que, em uma engrenagem de diâmetro 
primitivo infinito (cremalheira) a evolvente será uma reta. Neste caso, o perfil do dente será 
trapezoidal, tendo como inclinação apenas o ângulo de pressão. 
 
 
 85 
Imagine a cremalheira citada no item anterior como sendo uma ferramenta de corte que 
trabalha em plaina vertical, e que a cada golpe se desloca juntamente com a engrenagem a ser 
usinada (sempre mantendo a mesma distância do diâmetro primitivo). É por meio desse processocontínuo que é gerada, passo a passo, a evolvente. O ângulo de inclinação do perfil (ângulo de 
pressão) sempre é indicado nas ferramentas e deve ser o mesmo para o par de engrenagens que 
trabalham juntas. 
 
 
Propriedades da Curva Evolvente 
 
1- A distância BK é igual ao arco AB, pois a linha MN rola sobre o círculo sem escorregar. 
2- Para qualquer instante, o centro instantâneo do movimento da linha é o ponto tangente 
com o círculo. NOTE: não foi definido o termo centro instantâneo anteriormente. O centro 
instantâneo é definido de duas formas: 
i. Quando dois corpos possuem um movimento relativo plano, o centro 
instantâneo é um ponto sobre um dos corpos em que o outro gira no 
instante considerado; 
ii. Quando dois corpos possuem movimento relativo plano, o centro 
instantâneo é o ponto em que os corpos estão relativamente parados no 
instante considerado. 
3- A normal em qualquer ponto de uma evolvente é a tangente à circunferência base, 
Devido a propriedade (2) da curva evolvente, o movimento do ponto que está traçando a evolvente é 
perpendicular a linha em qualquer instante, e assim a curva traçada também será perpendicular à 
linha em qualquer instante. 
4- Não há curva evolvente junto ao círculo base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 86 
Condição para o Correto Engrenamento 
 
A figura a seguir mostra o engrenamento de duas engrenagens com contato nos pontos K1 e 
K2. 
 
 
Para obter o engrenamento correto, a distância K1K2 na engrenagem 1 deve ser a mesma que 
a distância K1K2 na engrenagem 2. Como K1K2 em ambas engrenagens são iguais à base primitiva 
de suas engrenagens, têm-se: 
 1 2b bP P= 
Uma vez: 
 1 1 1 1
1
cos cosbP p P
πα α= ⋅ = 
E 
 2 2 2 2
2
cos cosbP p P
πα α= ⋅ = 
Assim: 
 
Para satisfazer tal equação, o par de engrenagens engrenadas deve satisfazer a seguinte 
condição: 
 1 2
1 2
P P
α α
=
 =
 
 
 
 
 
 
 87 
 
Trem de Engrenagens Comuns 
 
Trem de engrenagens consiste em duas ou mais engrenagens com o propósito de transmitir o 
movimento de um dos eixos para o outro. Um trem de engrenagem comum possui os eixos 
alinhados. Esses podem ser simples como mostra a figura (a) ou composta como a figura (b). 
 
 
 
 
Relação de Velocidade 
 
Sabe-se que a relação de velocidade de um par de engrenagens é a porção inversa dos 
diâmetros de suas circunferências primitivas, e o diâmetro da circunferência base igualado ao 
número de entes dividido pelo “diametral pitch” (P). Também sabe-se que é necessário pra o 
engrenamento que as engrenagens possuam o mesmo “diametral pitch”. Assim, tem-se que para a 
relação de velocidade de um par de engrenagens é dada pelo inverso de seu número de dentes. 
 88 
 
 1 2
2 1
N
N
ω
ω
= ; 32
3 2
N
N
ω
ω
= ; 3 4
4 3
N
N
ω
ω
= 
 
 
 
Combinando as equações de forma a fornecer a relação entre a primeira e última 
engrenagem: 
 
 2 3 41 4
4 1 2 3 1
N N N N
N N N N
ω
ω
= = 
 
NOTE: Existem duas formas de determinar o sentido de giro. A primeira é desenhar flechas 
para cada engrenagem. A segunda é multiplicar a enésima potência de “-1” à relação geral de 
velocidades onde “n” é o número de pares de contato externo (engrenagem com contato interno não 
muda o sentido de rotação). 
 Assim no caso da figura anterior (b): 
 
 ( )21 2 4
4 1 3
1 N N
N N
ω
ω
= − 
 
 
Trens de Engrenagens Planetários 
 
O conjunto epicicloidal ou planetário é formado por uma engrenagem central (planetário) 
instalada no mesmo eixo de uma coroa dentada interna, ao qual estão ligadas algumas engrenagens 
"satélites", que rodam em eixos de uma carcaça própria. Normalmente esta é soldada com um eixo 
coaxial ao do planetário. Esse grupo de engrenagens é muito utilizado em câmbios automáticos e 
alguns diferenciais para transmitir o movimento com diferentes relações de redução entre dois eixos 
coaxiais, mas sem inverter a direção de rotação. 
 89 
 
Fonte: Shigley, 2005; Mabie e Ocvirk, 1980. 
 
Com esse movimento, uma engrenagem não só gira em torno de seu centro, como esse gira 
em torno de um outro. A figura a seguir mostra o arranjo que pode ser usado só ou como parte de 
um sistema mais complexo. A engrenagem 1 é chamada de solar e a 2 de planetária, ambas são 
ligadas por uma barra. 
 
 
 
Relação de velocidade 
 
A determinação da relação de velocidades de um trem planetário é ligeiramente mais 
complexa que um trem comum. Seguindo os seguintes processos: 
1. Invertendo o mecanismo, imaginando a aplicação do movimento rotatório com uma 
velocidade angular bω do mecanismo. Fazendo a análise do movimento antes e depois da inversão 
com a tabela: 
 
 Antes da Inversão 
(mecanismo original) 
Depois da Inversão 
(mecanismo imaginário) 
Barra (eixo móvel) bω 0b bω ω− = 
Estrutura (eixo fixo) 0 0 b bω ω− = − 
Sol 1ω 11 b bω ω ω− = 
 90 
Planeta 2ω 22 b bω ω ω− = 
 
 
NOTE: que no mecanismo imaginário a barra permanece parada e funciona como uma estrutura, 
assim nenhum eixo das engrenagens se move e o mecanismo imaginário torna-se um trem de 
engrenagens comum. 
 
2. Aplicando-se a equação da relação de velocidades de um trem comum para o 
mecanismo imaginário, tem-se: 
 
1
2
2
1
b
b
N
N
ω
ω
= − 
Ou 
 1 2
2 1
b
b
N
N
ω ω
ω ω
−
= −
−
 
 
EXEMPLO: Seja o sistema planetário da figura, determine o valor de bω . Dados 1 0ω = e 
2 30ω = r.p.m.. 
 
Aplicando a equação da relação de velocidades para um trem planetário, têm-se: 
 
 1 2
2 1
b
b
N
N
ω ω
ω ω
−
= −
−
 
 0 18 0,5
30 36
b
b
ω
ω
−
= − = −
−
 
 ( )0,5 30b bω ω− = − − 
 10bω = r.p.m. 
 
Principais Diferenças entre Engrenagem Dentada e Engrenagem 
Planetária 
 
Engrenagem dentada: 
• Baixa perda de fricção; 
• Estrutura simples; 
 91 
• Velocidades diversas de transmissão para transmissões de múltiplas velocidades; 
• Dimensões mais longas 
 
Engrenagem planetária: 
• Dimensões curtas; 
• Alta transferência de potência; 
• Maior perda de fricção; 
• Montagem estrutural complexa; 
• Transmissão possível apenas em três etapas para múltiplas velocidades das caixas de 
transmissão. 
 
Principais Usos 
 
Diferenciais: Devido à diferença de raios de curva, as rodas externas do carro em uma curva, vão 
percorrer uma distância maior que as internas. Para que a força do motor seja distribuída com esta 
diferença de rotação às rodas motrizes, existe o diferencial. Cada semi-eixo motriz é ligado a uma 
engrenagem planetária, que por sua vez são interligadas por duas engrenagens satélites formando o 
conjunto diferencial. O motor gira todo este conjunto por uma coroa e um pinhão. Em linha reta o 
conjunto diferencial gira solidário e em curvas a diferença de rotação é absorvida pela 
movimentação dos satélites em relação às planetárias. 
 
 
Câmbio Automático: Em sua configuração clássica é formado por alguns grupos epicicloidais 
dispostos em série e alojados dentro de uma caixa de liga de alumínio. A entrada e a saída do 
 92 
movimento ocorrem, portanto, ao longo do mesmo eixo. Entre o motor e o câmbio automático é 
colocado um conversor de torque, que substitui a embreagem tradicional e diminui o número de 
relações. O engate das marchas é obtido por meio de fricções multi disco comandado 
hidraulicamente e que, de acordo com a necessidade, agem sobre vários elementos de cada grupo 
epicicloidal. Estes podem tanto serem bloqueados como receber ou transmitir movimento – o 
funcionamento ocorre segundo as necessidades de rodagem. Nas construções mais modernas, os 
câmbios automáticos são controlados por central eletrônica. 
 
Caixa “Overdrive”: A caixa overdrivemais comum é de engrenagem epicicloidal, do mesmo tipo 
usado amplamente nas transmissões automáticas até hoje. A engrenagem epicicloidal compõe-se 
basicamente de uma coroa com dentes internos e uma engrenagem solar no centro, que transmite 
movimento para a coroa por meio de três engrenagens planetárias. No caso do overdrive, a coroa 
está ligada à saída da caixa e a engrenagem solar à árvore de transmissão (cardam). Dependendo do 
número de dentes da coroa e da engrenagem solar, produz-se uma multiplicação entre 20% e 40%. 
Um acionamento elétrico, por solenóide, engata e desengata o sistema, conforme o comando do 
motorista. O sistema incorpora ainda uma roda-livre, que funciona quando a função overdrive está 
ativada. Roda-livre, como se sabe, anula o freio-motor, permitindo ao veículo perder velocidade 
gradualmente enquanto o motor se encontra em marcha - lenta (o DKW-Vemag possuía tal 
dispositivo, mas nada tinha a ver com overdrive). 
 
 
Caixas de Direção: Características do Designe das Engrenagens Planetárias da Caixa de Direção: 
1. Menos folga no movimento 
2. Aumento de eficiência 
3. Maior segurança 
4. Maior longevidade de sistema 
5. Operação macia 
6. Menos esforço de retorno 
7. Seis pontos de contato 
 
Caixa de direção planetária: diferença entre TELEFLEX x UFLEX x MORSE 
 
 
Elevadores de Carros: Os elevadores construídos com sistema de correia necessitam de constantes 
ajustes. O “elevacar” é o único com sistema de acionamento através de engrenagem planetária 
que além de reduzir o consumo de energia elétrica, alinha o motor com a coluna. 
 93 
 
 
 
 
Análise de Tensões em Dentes de Engrenagens 
 
Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação: a que ocorre no 
contato, devido à tensão normal, e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga 
transmitida. A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum em conjuntos 
de transmissão bem projetados. Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de 
contato. 
A figura a seguir, mostra um modelo por elementos finitos das tensões no contato. A parte 
que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (von Mises) e a parte em azul as 
menores. Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas, como a 
fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas. 
 
 
Modelagem Numérica das Tensões no Dentes de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 
 
 94 
 
A próxima figura mostra duas engrenagens com falha por fadiga de contato. Esse tipo de 
falha pode ser avaliada pelo que convencionou-se chamar de critério de durabilidade superficial. A 
figura da esquerda mostra o estágio inicial da falha. Esses pequenos sulcos, chamados pites 
segundo nomenclatura brasileira recente, são formados na região próximo a linha primitiva do 
dente, que é definida pelo diâmetro primitivo. Surgem nessa região porque a velocidade de 
deslizamento entre os dentes anula-se no ponto primitivo. Será verdade? 
Novamente, será necessário um pouco de imaginação, para que não seja necessária a 
comprovação analítica. Suponha que, na figura anterior, as engrenagens estejam trabalhando com o 
pinhão (superior) movendo a coroa, da esquerda para a direita, lentamente. Quando os dentes 
entram em contato, é fácil notar que existe uma compressão na direção radial devido ao 
deslizamento. Quando os dentes estão deixando o contato, a tensão se inverte e passa a tração na 
direção radial. Como os elementos são rígidos, existe um pequeno deslizamento entre as 
superfícies dos dentes, tanto na entrada quanto na saída dos dentes em contato. Com existe a 
inversão no sentido do deslizamento, existe um ponto no qual esse deslizamento será zero e isso 
ocorre quando o contato é na linha primitiva. Já que o lubrificante depende do 
movimento relativo entre as superfícies para atuar (efeito elasto-hidrodinâmico), nessa região a 
separação dos elementos em contato não é adequada. Por isso, os pites ocorrem ao longo dessa 
linha. 
A figura a seguir, mostra ainda o mesmo tipo de falha após a progressão. Nesse caso, a falha 
de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores são arrancadas da superfície. O 
termo em inglês para o que ocorre é “spalling”, cuja melhor tradução para o português é 
cavitação, o que não descreve adequadamente o fenômeno. 
 
 
Falha por Fadiga de Contato em Dentes de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 
 
 
Forças Transmitidas no Engrenamento 
 
A primeira definição necessária ao projeto de um sistema de redução é a carga que se 
deseja transmitir. Essa definição permite estimar a potência necessária para a fonte (motor, 
turbina, ...) e, em muitos casos, a própria fonte. Surgem então as questões básicas de projeto, tais 
como: Dada a rotação de entrada e saída do redutor, quantos pares de engrenagens devo usar? 
Definido o número de pares, qual a relação de redução devo utilizar em cada par? 
Engrenagens cilíndricas de dentes retos normalmente são empregadas com relações de 
redução de até 3 por par. É sempre importante lembrar que a potência dissipada pelo atrito 
 95 
aumenta proporcionalmente ao número de pares em contato em uma redução. O calor gerado dessa 
perda deve ser retirado do sistema, sob pena de que um aumento significativo na temperatura 
comprometa o lubrificante e causa falhas prematuras. 
 
A potência a ser transmitida é a força tangencial Ft vezes a velocidade V na mesma 
direção, ou o torque T vezes a rotação w. Assim, como a potência e a velocidade são dados de 
entrada dos problemas comuns de projeto, é necessário primeiro obter a força tangencial e 
depois a força total no contato. A figura 10 mostra as forças agindo em um dente. A força no 
contato F é a razão entre a força tangencial e o co-seno do ângulo de pressão. A força Fr é o 
produto entre a força Ft e a tangente do ângulo de pressão. As forças estão mostradas no 
centro do dente apenas para ilustração do modelo utilizado para a avaliação da flexão no pé do 
dente. Também estão mostradas num ponto próximo à cabeça com a mesma finalidade. 
 
 
 
Esquema de forças em Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 
 
Que resumidamente: 
 
 
 
 96 
 
Aproveitando o tema, resumidamente as forças nos outros tipos de engrenagens são: 
 
 
 
 
Tensões de Flexão no Pé do Dente 
 
As tensões no pé do dente podem ser de tração ou compressão. Das figuras anteriores, nota-
se que para a força aplicada, a tensão será de tração no filete da direita e de compressão no 
da esquerda. Para engrenagens trabalhando em um só sentido, um dos lados do dente estará 
sempre em tração quando os dentes estiverem em contato. O outro lado estará sempre em 
compressão. Quando o sentido de trabalho é invertido, a tensão de flexão também muda de sinal. 
Em engrenagens intermediárias ou loucas, que transmitem potência entre outras 
engrenagens, os dentes sofrem tração e compressão em cada rotação do elemento. 
 
 
 
O modelo atual para avaliação das tensões no pé do dente baseia-se nos estudos de 
Lewis (1892), que propôs um modelo simplificado considerando a carga aplicada na ponta do 
dente, com distribuição uniforme na largura do denteado, sem concentração de tensões, 
desprezando a carga radial e as forças de deslizamento. Em sua equação para o cálculo das 
tensões, Lewis propôs um modelo baseado num fator de forma Y, posteriormente batizado com 
o seu nome e é dado por: 
 97 
 
 
Com base na proposição de Lewis, a Associação Americana de Fabricantes de 
Engrenagens (AGMA),