Séries de pagamento

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Aula 06
Matemática Financeira para concursos - Com Videoaulas - Curso Regular
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 06 – SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 24 
3. Questões apresentadas na aula 101 
4. Gabarito 136 
 
Olá! 
 Hoje trabalharemos outros tópicos bastante cobrados em editais de 
matemática financeira: 
Valor atual. Equivalência financeira. Séries finitas e infinitas (ou 
perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas. 
Utilização de tabelas financeiras. Valor futuro. Operação Balão 
Tenha uma ótima aula! 
 
 
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1. TEORIA 
1.1 Valor atual (ou valor presente). Equivalência financeira. 
Você deve se lembrar, da aula de juros compostos, que a fórmula 
abaixo leva um capital C a um montante M, daqui há “t” períodos, se 
aplicado à taxa de juros compostos j: 
(1 )tM C j   
 
 Imagine que vamos aplicar certa quantia na data de hoje, isto é, no 
momento presente. Chamemos, portanto, o capital C de valor presente ou 
atual (VP). Analogamente, podemos chamar o montante M de valor futuro 
(VF), pois este é o valor que o dinheiro assumirá no futuro, isto é, daqui 
há “t” períodos. Portanto: 
(1 )tVF VP j   
 
 Vendo a fórmula acima, também podemos dizer que: 
(1 )t
VF
VP
j


 
 
 Isto é, se conhecemos certo valor monetário numa data futura, 
podemos saber qual é o seu valor equivalente na data atual, presente. Ou 
seja, podemos calcular o valor atual daquela quantia. Exemplificando, 
vamos descobrir quando 1000 reais daqui há 12 meses representam hoje, 
considerando a taxa de 1% ao mês. Veja que, neste caso, VF = 1000 
reais, afinal este valor foi definido numa data futura, e não na data de 
hoje. Assim: 
12
(1 )
1000
887,44
(1 0,01)
t
VF
VP
j
VP


 

 
 
 Portanto, 1000 reais daqui a 12 meses equivalem a 887,44 reais na 
data de hoje, isto é, o valor atual daquela quantia é VP = 887,44. 
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 Vejamos uma aplicação prática do exemplo acima. Você é dono de 
uma loja, e está vendendo um produto por R$1000,00, para pagamento 
daqui a 12 meses. Um cliente pretende adquirir o produto pagando à 
vista, porém um valor reduzido: apenas R$890,00. Você deve aceitar a 
proposta? Ora, se existe a possibilidade de você investir esse dinheiro em 
uma aplicação financeira com rendimento de 1% ao mês, é mais 
vantajoso aceitar R$890,00 à vista e investir o dinheiro do que esperar 12 
meses para receber R$1000,00. Afinal, 890 é maior do que o valor atual 
de 1000 reais (que, como vimos acima, é de 887,44 nessas condições). 
Em resumo: daqui a 12 meses você terá mais do que R$1000,00 em sua 
conta. 
 
 Como você deve ter percebido até aqui, não é correto comparar 
valores financeiros que se referem a momentos distintos. Sempre que 
surgir uma situação assim, você deve levar todos os valores para a 
mesma data, com o auxílio de uma taxa de juros ou de desconto 
fornecida pelo enunciado, e só então compará-los. Chamaremos esta data 
de “data focal”, ok? 
 Vejamos um exemplo. Imagine que José deve R$1000,00 para 
você, valor este que seria pago daqui a 12 meses. Como os negócios dele 
estão prosperando, ele se propõe a efetuar o pagamento de forma 
diferente: em duas parcelas, sendo a primeira de 300 reais daqui a 3 
meses, e a segunda do valor restante, daqui a 8 meses. Considerando 
uma taxa composta de 1% ao mês, qual deve ser o valor da segunda 
parcela? 
 Vamos representar na linha do tempo os dois esquemas de 
pagamento. Veja-os abaixo: 
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 Para que o fluxo de pagamentos em azul possa substituir o fluxo de 
pagamentos em vermelho, é preciso que ambos possuam o mesmo valor 
presente. Assim, é preciso que levemos todos os valores para a mesma 
“data focal”. Poderíamos, por exemplo, trazer todos os valores para a 
data zero (0), dividindo-os por (1 + 1%)t, concorda? 
 Entretanto, é mais prático levar todos os valores para a mesma 
data de algum dos pagamentos, para diminuir as contas. Ex.: podemos 
levar as duas parcelas em azul para a mesma data da parcela em 
vermelho. 
 Levando R$300 para o mês 12, devemos “avançar” 9 meses. E 
levando a parcela P para o mês 12, devemos “avançar” 4 meses. 
Podemos fazer essa translação do dinheiro no tempo utilizando a fórmula 
VF = VP x (1 + j)t. Feito isso, podemos afirmar que o valor atual das 
parcelas em azul, no mês 12, deve ser igual ao valor atual da parcela em 
vermelho, naquela mesma data. Isto é, 
300 x (1 + 1%)9 + P x (1 + 1%)4 = 1000 
328,10 + P x 1,0406 = 1000 
P = 645,68 reais 
 
 Portanto, no novo esquema de pagamentos proposto por José 
bastaria que ele pagasse mais uma parcela de R$645,68 no mês 8. 
Apesar da soma das parcelas ser inferior a 1000 reais (300 + 645,68 = 
945,68), podemos afirmar que estes dois “esquemas” de pagamentos são 
equivalentes, à uma taxa composta de 1% ao mês. 
 
t12830
R$1000
R$300 P
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 Pratique estes conceitos resolvendo o exercício a seguir: 
 
Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver a próxima questão: 
 
1. ESAF – AFRFB – 2005) Ana quer vender um apartamento por R$ 
400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa 
de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse 
apartamento e propõe a Ana pagar os R$400.000,00 em duas parcelas 
iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela 
com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. 
Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o 
valor de cada uma das parcelas será igual a: 
a) R$ 220.237,00 
b) R$ 230.237,00 
c) R$ 242.720,00 
d) R$ 275.412,00 
e) R$ 298.654,00 
RESOLUÇÃO: 
 Observando o caso sob a ótica do comprador (Paulo), vemos que 
ele assume uma dívida de R$400.000 no momento inicial (t = 0), e a 
liquida em 2 pagamentos iguais de valor “P” em t = 6 meses e t = 18 
meses. Podemos representar isso com o esquema abaixo: 
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 Para que o pagamento em duas parcelas seja equivalente ao 
pagamento de 400000 reais à vista, é preciso que a soma do valor atual 
das prestações seja igual ao valor atual inicial, de 400000. 
Como a taxa é j = 5% ao semestre, vemos que a primeira parcela 
foi paga em t = 1 semestre e a segunda em t = 3 semestres.Assim: 
1 3
400000
(1 5%) (1 5%)
P P
 
 
 
 
Veja que a tabela de fator de atualização de capital nos fornece o 
valor de 
1
(1 )ni
, o que facilita as nossas contas. Assim, temos que: 
1
1
0,9523
(1 5%)


 
3
1
0,8638
(1 5%)


 
Com isso, temos: 
400000 0,9523 0,8638P P    
P = 220252,18reais 
 
 Assim obtivemos aproximadamente a resposta da alternativa A. 
Resposta: A 
 
 
 
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1.2 Séries finitas de pagamentos (rendas certas ou anuidades): 
postecipadas, antecipadas e diferidas 
Em um grande número de vezes vamos nos deparar com esquemas 
de pagamentos e/ou recebimentos que possuem uma série de prestações 
de igual valor. É o caso do próprio sistema de amortização francês, que 
estudamos na aula passada. 
Questão clássica em provas é aquela que apresenta uma série de 
pagamentos ou recebimentos composto por várias parcelas iguais 
distribuídas ao longo do tempo, e pergunta-se o valor atual daquela série. 
Exemplificando, imagine que alguém vai te pagar 4 parcelas 
mensais de 2000 reais cada, sendo que a primeira parcela será paga 
daqui a 1 mês. Considerando uma taxa de juros compostos j = 1% ao 
mês, qual é o valor atual/presente desta série de pagamentos? 
Veja abaixo o esquema de pagamentos em questão. Em azul você 
pode visualizar os 4 pagamentos mensais de 2000 reais, começando em t 
= 1 mês. Já em vermelho encontra-se o valor atual, na data inicial t = 0, 
daquela série de pagamentos: 
 
 Sabemos que o valor atual VP é igual à soma dos valores atuais das 
4 parcelas mensais, que devem ser “trazidas” à data focal t = 0 através 
da sua divisão por (1 + j)t. Isto é: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)
VP    
   
 
 
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Veja que o cálculo do valor presente dos recebimentos seria bem 
complicado de se efetuar sem uma calculadora, ainda que fosse dada a 
tabela de fator de acumulação de capital (1 )tj . 
Quando temos uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, 
como esta (4 recebimentos de 2000 reais), o valor atual destes 
pagamentos pode ser calculado com o auxílio da tabela de valor atual 
para uma série de pagamentos iguais (an¬j). Esta tabela é muitas vezes 
fornecida pelos exercícios. Veja abaixo um exemplo: 
i / n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091
2 1,970395 1,941561 1,91347 1,886095 1,85941 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852
4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,23972 3,169865
5 4,853431 4,71346 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,99271 3,889651 3,790787
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,76654 4,62288 4,485919 4,355261
7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,20637 5,032953 4,868419
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926
9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024
10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
 
 
 Em nosso exemplo, temos n = 4 recebimentos e taxa de juros j = 
1%. Procurando o fator 4 1%a  na coluna 1% e linha 4 da tabela acima, 
encontramos 4 1% 3,901966a   : 
i / n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091
2 1,970395 1,941561 1,91347 1,886095 1,85941 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852
4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,23972 3,169865
5 4,853431 4,71346 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,99271 3,889651 3,790787
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,76654 4,62288 4,485919 4,355261
7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,20637 5,032953 4,868419
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926
9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024
10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS
 
Portanto, podemos dizer simplesmente que: 
VP = an¬j x P 
(onde P é o valor da prestação periódica, no caso 2000 reais/mês) 
 
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 Assim: 
VP = 4 1%a  x P = 3,901966 x 2000 = 7803,93 reais 
 
 Isto é, o valor atual dos 4 pagamentos mensais de 2000 reais não é 
R$8000 reais, como se poderia pensar, mas sim R$7803,93 (a uma taxa 
de 1% ao mês). 
 Lembre-se ainda que o fator de valor atual n ja  para uma série de 
pagamentos iguais é igual ao inverso do Fator de Recuperação de Capital 
(FRC) que utilizamos ao estudar a tabela price: 
1
n ja FRC
 
 É importante ter isso em mente, pois a sua prova pode fornecer 
apenas uma dessas duas tabelas (FRC ou n ja  ). 
 
 Rendas postecipadas, antecipadas e diferidas 
Você reparou que, em nosso exemplo, a primeira prestação foi paga 
ao final do primeiro período, isto é, em t = 1? Em outros exercícios, pode 
ser que a primeira prestação seja paga já no início do primeiro período (t 
= 0), ou seja, à vista. No primeiro caso dizemos que as rendas são 
postecipadas, pois o primeiro pagamento é feito em um momento 
posterior; já neste último caso temos rendas antecipadas. Vejamos como 
trabalhar com elas fazendo a seguinte alteração em nosso exemplo: 
“Imagine que alguém vai te pagar 4 parcelas mensais de 2000 reais 
cada, sendo que a primeira parcela será paga à vista. Considerando uma 
taxa de juros compostos j = 1% ao mês, qual é o valor atual/presente 
desta série de pagamentos?” 
Neste caso, temos o seguinte esquema de pagamentos: 
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 Como a primeira prestação encontra-se em t = 0, ela não precisa 
ser dividida por (1 + j)t, pois ela já representa o seu próprio valor 
presente. Até porque (1 + j)0=1, para qualquer valor de j. Assim, temos 
que: 
   
  1 2 3
2000 2000 2000
2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)
VP 
 
Isto é, temos um pagamento à vista de 2000 reais e uma série 
postecipada de n = 3 pagamentos de P = 2000 reais ao mês, com j = 
1%. Ou seja: 
  3 1%2000 2000VP a 
 
 Consultando na tabela de “fator de valor atual de uma série de 
pagamentos iguais”, temos que a3¬1% = 2,940985. Portanto, 
   2000 2,940985 2000 7881,97VP 
 
 Portanto, o valor atual destes 4 pagamentos é de R$7881,97, 
ligeiramente superior ao do caso anterior (rendas postecipadas). Isto é 
esperado, afinal no caso de rendas postecipadas há um pagamento de 
2000 reais ao final do 4º mês, enquanto no caso de rendas antecipadas 
este pagamento é feito no instante inicial, de modo que, ao calcular o 
valor atual, ele não é “corroído” pela taxa de juros.Imagine agora que você vai comprar uma motocicleta. Na loja, o 
vendedor te diz: você pode pagar em 4 parcelas mensais de 2000 reais, e 
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só vai pagar a primeira parcela daqui a 3 meses! Considerando a taxa de 
juros de 1% ao mês, qual é o valor à vista desta motocicleta? 
Para resolvermos, visualize o esquema de pagamentos abaixo, onde 
VP representa o valor à vista: 
 
 
 Veja que a loja nos deu 3 meses de “carência”, isto é, 3 meses até 
o primeiro pagamento. Neste caso estamos diante de uma série diferida, 
pois o prazo de pagamento da primeira prestação é diferido para um 
momento posterior ao final do primeiro período (que seria o “normal”, ou 
seja, a série postecipada). Para obtermos VP na data 0, devemos seguir 
os dois passos abaixo: 
 
1 – Imaginar que esta é uma série postecipada “normal”, ou seja, 
que começa na data t = 2 e tem o primeiro pagamento 1 período para 
frente (em t = 3). Assim, podemos calcular o valor presente dos 4 
pagamentos de 2000 reais na data t = 2. Fazemos isso assim: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)
VP    
   
 
 
ou, se for fornecido a4¬1%, 
 
VP = 4 1%a  x 2000 = 3,901966 x 2000 = 7803,93 reais 
 
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 Veja que este é exatamente o cálculo feito no caso da série 
postecipada, estudado anteriormente. Até aqui, temos o seguinte: 
 
 
2 – Trazer o valor presente da série postecipada da data t = 2 para 
a data t = 0. 
 Agora basta trazermos o valor de 7803,93 reais, que está na data t 
= 2, para a data inicial: 
VP = 7803,93 / (1 + 1%)2 
VP = 7650,16 reais 
 
 Pronto. Podemos dizer que os 4 pagamentos de R$2.000,00 cada, 
começando no 3º mês, correspondem a um pagamento à vista de 
R$7.650,16. Este é o valor da motocicleta. 
 
 Trabalhe essa questão: 
 
Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver a próxima questão. 
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2. ESAF – CVM – 2010) Pretende-se trocar uma série de oito 
pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro 
pagamento ao fim de um mês, por outra série equivalente de doze 
pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de 
um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série 
considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês. 
a) R$ 750,00 
b) R$ 693,00 
c) R$ 647,00 
d) R$ 783,00 
e) R$ 716,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para que a série de 12 pagamentos seja equivalente à série de 8 
pagamentos, é preciso que ambas possuam o mesmo valor atual. 
 Na série original, temos n = 8 pagamentos iguais de P = 1000 
reais, com taxa j = 2% ao mês. Da tabela de fator de valor atual para 
uma série de pagamentos iguais, podemos obter o fator 8 2% 7,325481a   . 
Portanto, o valor atual desta série de pagamentos é: 
 
    8 2% 7,325481 1000 7325,48VP a P reais 
 
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 Se este valor vai ser pago em n = 12 prestações iguais, à taxa de 
juros j = 2% ao mês. O valor de cada prestação é dado por: 
  n jVP P a , ou seja, 


n j
VP
P
a
 
 Da tabela fornecida, podemos tirar que 12 2% 10,575341a   .
 Portanto, cada uma das 12 prestações é no valor de: 
 
7325,48
692,69
10,575341
P 
Resposta: B 
 
1.3 Valor futuro 
 Voltemos ao nosso exemplo de 4 recebimentos mensais de 
R$2000,00 cada, postecipados, e taxa de juros de 1% ao mês. Ao invés 
de solicitar o valor atual deste fluxo, para uma quitação antecipada da 
dívida, pode ser que o devedor queira pagar toda a dívida no momento 
final. Para isto, é importante sabermos calcular o valor futuro (VF) deste 
fluxo de capitais. Observe que basta multiplicar cada termo por (1 + j)t, 
onde t é o intervalo entre a data original do pagamento e o final do 
período: 
 
 
 Portanto, 
1 2 32000 2000 (1 1%) 2000 (1 1%) 2000 (1 1%)VF           
 
 Repare que a última prestação não precisa ser multiplicada por 
(1+j)t, uma vez que ela já se encontra na data focal (t = 4). 
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Ao invés de efetuar o cálculo acima, você pode utilizar uma tabela 
de “fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos iguais”, 
simbolizado por sn¬j. Este fator é tal que, sendo P o 
pagamento/recebimento periódico e VF o valor futuro: 
VF = sn¬j x P 
 
 Consultando uma tabela para n = 4 períodos e j = 1%, teríamos 
que s4¬1% = 4,060401: 
 
Portanto, 
VF = 4,060401 x 2000 = 8120,80 reais 
 
 Isto significa que os 4 pagamentos mensais de 2000 reais 
equivalem a um único pagamento de 8120,80 reais ao final do 4º período. 
E se, ao invés disso, o devedor se propusesse efetuar um único 
pagamento ao final de 9 meses? Neste caso, a primeira parte da 
resolução seria idêntica ao que você já viu acima: levar todos os 
pagamentos mensais para a data inicial (calculando o valor atual, VP) ou 
todos os pagamentos para a data final (calculando o valor futuro, VF). 
Feito isso, bastaria levar este valor total até a data de pagamento, 
multiplicando-o pelo fator de acumulação de capital (1+j)t 
correspondente. Veremos isso em exercícios. 
 Para começar, tente resolver a questão abaixo: 
 
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Atenção: use as tabelas a seguir para resolver a próxima questão. 
 
 
3. ESAF – AFRFB – 2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao 
fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de 
cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 
7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada 
aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de 
remuneração das aplicações é de 3% ao mês. 
a) R$ 94.608,00 
b) R$ 88.149,00 
c) R$ 82.265,00 
d) R$ 72.000,00 
e) R$ 58.249,00 
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RESOLUÇÃO: 
 Observe que o fluxo do enunciado é composto por 3 fluxos em 
separado: 
- 6 aplicações de P1 = 2000 reais, de t = 1 a t = 6; 
- 6 aplicações de P2 = 4000 reais, de t = 7 a t = 12; 
- 6 aplicações de P3 = 6000 reais, de t = 13 a t = 18. 
 Considerando apenas o primeiro fluxo, podemos obter o seu valor 
total ao final do seu prazo (t = 6) utilizando a tabela de “fator de 
acumulação de capital de uma série de pagamentos”, Sn¬j. Veja que, para 
n = 6 períodos e j = 3%, temos S6¬3% = 6,468410. Assim, o seu valor 
futuro (VF) ao final das 6 aplicações é: 
VF1 = S6¬3% x P1 = 6,468410 x 2000 = 12936,82 reais 
 
 Entretanto, repare que este valor está na data t = 6, e não em t = 
18.Ainda teremos que “transportar” este VF para a data t = 18. Antes 
disso, vamos calcular os valores futuros do segundo e terceiro fluxos, que 
possuem o mesmo fator de acumulação S6¬3% = 6,468410 (afinal n = 6 
aplicações e j = 3%): 
VF2 = S6¬3% x P2 = 6,468410 x 4000 = 25873,64 reais 
VF3 = S6¬3% x P3 = 6,468410 x 6000 = 38810,46 reais 
 
 Até aqui, temos o seguinte esquema: 
 
 Como é solicitado o montante ao final de 18 meses, precisamos 
“transportar” os valores de t = 6 e t = 12 para a data focal t = 18, como 
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as setas pontilhadas indicam. Da tabela de “fator de acumulação de 
capital” fornecida, temos que: 
(1 + 3 %)12 = 1,425760 
(1 + 3 %)6 = 1,194052 
 
 Assim, 
1212936,82 (1 3%) 18444,80   
625873,64 (1 3%) 30894,47   
 
 O valor VF3 já se encontra na data focal t = 18, portanto basta 
somá-lo aos dois valores acima: 
VF = 18444,80 + 30894,47 + 38810,46 = 88149,73 reais 
Resposta: B 
 
1.4 Séries infinitas de pagamentos (rendas perpétuas ou 
perpetuidades) 
Quando estudamos as rendas certas ou anuidades, avaliamos casos 
onde tínhamos n prestações iguais de valor igual a P. E se o número de 
prestações for infinito? É possível determinar um valor atual para esta 
série de pagamentos? 
Imagine que eu tenha me proposto a pagar R$10,00 mensais para 
você, perpetuamente (ou, no mínimo, vitaliciamente). Em um dado 
momento, fico de “saco cheio” de te pagar todo mês aquele valor, e 
combino contigo de pagar de uma só vez um valor maior, que substitua 
toda a minha dívida contigo. Qual seria este valor? A fórmula que 
relaciona uma renda mensal perpétua R = 10 reais, e uma taxa de juros j 
= 1% ao mês, e o valor atual VP destes pagamentos é: 
R = VP x j 
 Portanto, 
10 = VP x 1% 
VP = 10 / 0,01 = 1000 reais 
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 Isto é, o valor que eu devo te pagar à vista para substituir aquela 
renda perpétua é de R$1000,00, considerando a taxa de juros j = 1% ao 
mês. De fato, repare que se você receber estes R$1000 e colocá-lo numa 
aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês, a cada mês os juros 
produzidos serão de J = 1% x 1000 = 10 reais. Isto é, mensalmente você 
poderá sacar 10 reais, ao invés de eu ter que transferir esta quantia para 
você. 
 Observe ainda a seguinte variação: digamos que você tenha em 
suas mãos um título de crédito com essas mesmas características, isto é, 
remuneração mensal (perpétua) de R$10,00. Por quanto você venderia 
este título a outra pessoa? Aqui, a resposta é a seguinte: o “preço justo” 
de venda é o valor atual/presente do título, pois, em tese, esta é a 
melhor forma de valorá-lo. Assim, o preço justo deste título seria de 
R$1.000,00, a uma taxa de 1% ao mês, como vimos acima. Qualquer 
valor acima ou abaixo deste representaria um ganho para o vendedor ou 
comprador do título. 
 
 Vejamos uma questão sobre este tema: 
 
4. FGV – ICMS/RJ – 2011) Um indivíduo possui um título cujo valor 
presente é de R$100.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 
10,25% ao ano, juros compostos, o fluxo de pagamentos semestral 
perpétuo equivalente ao valor presente do título é 
(A) R$ 4.878,00. 
(B) R$ 5.000,00. 
(C) R$ 6.287,00. 
(D) R$ 10.250,00. 
(E) R$ 10.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Temos VP = 100.000 reais e j = 10,25% ao ano. Se houvesse sido 
pedido o fluxo de pagamentos anual, ou renda anual R, teríamos: 
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R = VP x j 
R = 100.000 x 10,25% = 10250,00 reais 
 
 Veja que a alternativa D apresenta essa resposta, para pegar os 
candidados mais desatentos. Entretanto, temos um detalhe: apesar de a 
taxa de juros ser anual, definiu-se que as rendas são semestrais. A taxa 
de juros semestral que é equivalente a 10,25% ao ano é dada por: 
(1 + j)2 = (1 + 10,25%)1 
(1 + j)2 = 1,1025 
(1 + j) = 1,05 
j = 5% ao semestre 
 
 Portanto, a renda semestral é: 
R = VP x j = 100.000 x 5% = 5000 reais 
Resposta: B 
 
1.5 Operação Balão 
Imagine que, ao tentar comprar um carro de 30 mil reais, o 
vendedor te ofereça a seguinte proposta: 
 
- “você pode pagar 12 prestações mensais, com taxa de juros de 1% ao 
mês, e intermediárias de R$2.000,00 na 6ª e na 12ª parcelas” 
 
Chamamos de “balão” essas prestações intermediárias que muitas 
vezes são oferecidas em esquemas de pagamentos. Elas também são 
conhecidas como “prestações reforço”. 
Você também já deve ter ouvido falar das “chaves” que são pagas 
ao adquirir um apartamento na planta, que é uma prestação mais alta 
que é paga no momento em que o imóvel é entregue ao comprador. 
Essas parcelas mais altas e concentradas em alguns períodos servem, 
basicamente, para reduzir o valor das parcelas periódicas, e deixar o 
financiamento mais atrativo para o cliente. 
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Voltando ao exemplo do carro, vamos descobrir o valor de cada 
uma das 12 prestações? Em primeiro lugar, sabemos que o valor presente 
do carro é de 30.000 reais, o número de períodos é n = 12, e a taxa de 
juros é j = 1% ao mês. Ao invés de colocarmos esses valores diretamente 
na fórmula da tabela price, como faríamos em um financiamento normal, 
o primeiro passo nosso deve ser descobrir o valor atual das prestações 
“balão”. Os valores atuais das intermediárias de R$2.000,00 reais pagas 
no sexto e no décimo segundo meses são, respectivamente: 
 
Balão1 = 2000 / (1 + 1%)6 
Balão2 = 2000 / (1 + 1%)12 
 
Vamos considerar que foi fornecida uma tabela de fator de valor 
atual (1 + i)n, onde é dito que: 
(1 + 1%)6 = 1,0615 
(1 + 1%)12 = 1,1268 
 
Deste modo, temos que: 
Balão1 = 2000 / 1,0615 = 1884,09 reais 
Balão2 = 2000 / 1,1268 = 1774,89 reais 
 
Para calcular o valor das prestações do financiamento propriamente 
dito (tabela price ou SAC), devemos excluir do valor inicial da dívida 
(30000) o valor presente dos “balões”. Assim, a parte da dívida que será 
financiada regularmente é: 
VP = 30000 - 1884,09 - 1774,89 = 26341,02 reais 
 
Com isso em mãos, podemos calcular a prestação no sistema price, 
por exemplo, assim: 
P = VP x j x (1 + j)n / ((1 + j)n – 1) 
P = 26341,02 x 0,01 x (1 + 0,01)12 / (1,0112 - 1) = 2340,36 reais 
 
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Portanto, a cada mês será pago uma prestação de R$2.340,36. 
Além disso, nos meses 6 e 12 serão pagos mais 2000 reais, totalizando 
R$4.340,36. 
Observe que, se não houvessem as prestações intermediárias, o 
cliente deveria pagar 12 prestações mensais de R$2.665,46. Ou seja, os 
“balões” permitiram reduzir o valor mensal das prestações, tornando o 
financiamento mais atrativo para o cliente. 
Para finalizar este tópico, veja abaixo um anúncio da venda de 
automóveis com prestação balão: 
 
 
Utilizando este anúncio, vamos imaginar a aquisição de um 
automóvel de R$50.000,00 com uma entrada de R$30.000,00 e saldo 
parcelado em 12 prestações iguais, com um balão de 30% do valor 
financiadoao final das prestações. Vamos assumir que a taxa de juros 
praticada é de j = 2% ao mês, e é dito que 1,0212 = 1,268. 
Veja que, neste exemplo, o saldo devedor é de 50000 - 30000 = 
20000 reais. Assim, o balão a ser pago é de 30% x 20000 = 6000 reais, 
ao final do 12º mês. Trazendo este balão para a data inicial, temos: 
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Valor presente do “balão” = 6000 / (1 + 2%)12 
Valor presente do “balão” = 6000 / 1,268 = 4731,86 reais 
 
Retirando este valor do financiamento pela tabela price, ficamos 
com um financiamento de: 
VP = 20000 - 4731,86 = 15268,14 reais 
 
A prestação, pela tabela price, será de: 
P = 15268,14 x 0,02 x 1,0212 / (1,0212 - 1) = 1443,74 reais 
 
Assim, o cliente deve pagar 12 prestações de R$1.443,74, sendo que na 
última prestação ele deve incluir mais R$6.000,00 relativos ao balão. Se 
não houvesse o balão, o cliente deveria pagar simplesmente 12 
prestações de R$1891,19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
Vejamos agora uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos 
que trabalhamos na aula de hoje. 
 
 
Instruções: use as tabelas abaixo para resolver as questões da prova 
ESAF – CVM – 2010. 
 
 
 
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5. ESAF – CVM – 2010) Calcule o valor mais próximo do valor atual, no 
início do primeiro ano, da série abaixo de pagamentos relativos ao fim de 
cada ano, à taxa de juros compostos de 12% ao ano: 
 
a) 12.500 
b) 15.802 
c) 16.275 
d) 17.029 
e) 14.186 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que a nossa série de pagamentos é formada por 3 séries 
distintas: 
- uma de 3 pagamentos iguais de 4000 reais, começando na data zero e 
tendo seu primeiro pagamento no 1º ano; 
- uma de 3 pagamentos iguais de 3000 reais, começando no 3º ano e 
tendo primeiro pagamento no 4º ano; 
- uma de 4 pagamentos iguais de 1000 reais, começando no 6º ano e 
tendo o primeiro pagamento no final do 7º ano. 
 
Na tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos 
iguais, podemos encontrar o fator para n = 3 pagamentos e j = 12% ao 
ano: 
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 Assim, 3 12% 2,401831a   . Isto significa que o valor atual de uma série 
de 3 pagamentos de 4000 reais com taxa de 12% ao ano tem o valor 
atual: 
3 12%1 4000
1 4000 2,401831 9607,32
VP a
VP
 
  
 
 
 Da mesma forma, uma série de 3 pagamentos de 3000 reais com 
taxa de 12% ao ano tem o valor atual: 
3 12%2 3000
2 3000 2,401831 7205,49
VP a
VP
 
  
 
 
 Veja ainda que o fator para n = 4 pagamentos e taxa j = 12% é 
4 12% 3,037349a   . Assim, uma série de 4 pagamentos de 1000 reais com 
taxa de 12% ao ano tem o valor atual: 
4 12%3 1000
3 1000 3,037349 3037,34
VP a
VP
 
  
 
 
 Repare, porém, que o valor atual de cada uma destas 3 séries 
refere-se a respectiva data inicial (t = 0, t = 3 e t = 6): 
 
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 A primeira série de pagamentos começa na data zero, tendo o 
primeiro pagamento no 1º ano (postecipado). Portanto, VP1 já é o valor 
dela na data zero. 
 A segunda série de pagamentos começou no 3º ano (primeiro 
pagamento no 4º ano). Portanto, o valor VP2 não é o valor dessa série na 
data zero, mas sim na data 3. Para trazer este valor para a data zero, 
precisamos dividir por (1 + 12%)3. Analogamente, precisamos dividir o 
valor VP3 por (1 + 12%)6 para trazê-lo para a data zero, pois o valor 
encontrado refere-se ao início daquela série de pagamentos, que é a data 
6. 
 Assim, devemos efetuar a seguinte soma: 
3 6
3 6
2 3
1
1,12 1,12
7205,49 3037,34
9607,32
1,12 1,12
7205,49 3037,34
9607,32
1,404928 1,973822
9607,32 5128,72 1538,81
16274,85
VP VP
VP VP
VP
VP
VP
VP
  
  
  
  

 
 
 Resumindo o que fizemos aqui, bastaria você efetuar o cálculo 
abaixo: 
3 12% 4 12%
3 12% 3 6
3000 1000
4000
(1 12%) (1 12%)
a a
VP a  
 
   
 
 
Resposta: C 
 
Atenção: use a tabela a seguir para resolver a próxima questão. 
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6. ESAF – AFRFB – 2005) Uma casa pode ser financiada em dois 
pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 
200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o 
esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira 
parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. 
Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem 
considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: 
a) R$ 66.131,00 
b) R$ 64.708,00 
c) R$ 62.927,00 
d) R$ 70.240,00 
e) R$ 70.140,00 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro esquema de pagamentos descrito no enunciado pode ser 
esquematizado assim: 
 
 Considerando a taxa j = 6% ao trimestre, o valor atual destes 
pagamentos é: 
0 2 t (trimestres)
150000
200000
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VP = 150000 + 200000 / (1 + 6%)2 = 327999,28 reais 
 
 Esta também deve ser o valor atual do segundo esquema de 
pagamentos, o qual pode ser representado assim: 
 
 O valor atual desta série é dado por: 
VP = P + a5¬6% x P 
 
 O fator de valor atual para uma série de pagamentos iguais, a5¬6%, 
pode ser obtido na tabela fornecida: 
 
 Assim, 
VP = P + 4,212364 x P 
327999,28 = 5,212364 x P 
P = 62927,16 reais 
Resposta: C 
 
0 t (trimestres)
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
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7. FGV – ICMS/RJ – 2010) Um indivíduo comprou um título perpétuo 
que paga R$500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, 
juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é: 
(A) R$ 4.761,90. 
(B) R$ 5.000,00. 
(C) R$ 6.857,25. 
(D) R$ 7.500,00. 
(E) R$ 25.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos encontrar a taxa de juros semestral equivalente a 21% ao 
ano, uma vez que o pagamento do título é semestral: 
(1 + j)2 = (1 + 21%)1 
(1 + j)2 = 1,21 
1 + j = 1,1 
j = 0,1 = 10% ao semestre 
 
 Portanto, o valor presente do título é dado por: 
R = VP x j 
500 = VP x 10% 
VP = 500 / 0,1 = 5000 reais 
Resposta: B 
 
8. FGV – ICMS/RJ – 2008) Um indivíduo possui um título que paga 
mensalmente de R$500,00, perpetuamente. O indivíduo quer vender esse 
título, sabendo que a taxa de desconto é de 1% ao mês. O preço justo 
desse título é: 
a) R$1.000.000,00b) R$500.000,00 
c) R$50.000,00 
d) R$20.000,00 
e) R$100.000,00 
RESOLUÇÃO: 
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Aqui temos um título com renda perpétua de R = 500 por mês, e 
taxa j = 1% ao mês. Portanto, o valor presente do título é: 
R = VP x j 
500 = VP x 1% 
VP = 50000 reais 
 Portanto, este é o valor presente do título, que também pode ser 
chamado de valor justo do título. 
Resposta: C 
 
9. FGV – ICMS/RJ – 2007) Uma loja oferece a seus clientes duas 
alternativas de pagamento: 
I. pagamento de uma só vez, um mês após a compra; 
II. pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no 
ato da compra. 
Pode-se concluir que, para um cliente dessa loja: 
(A) a opção I é sempre melhor. 
(B) a opção I é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês. 
(C) a opção II é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês. 
(D) a opção II é sempre melhor. 
(E) as duas opções são equivalentes. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o preço à vista do produto. Na primeira opção, o cliente paga 
este exato valor, porém 1 mês após a compra. Assim, considerando como 
data focal o momento da compra, o valor atual desta opção é: 
1(1 )
P
VP
j


 
 
 Como a taxa de juros é sempre um valor maior que zero, podemos 
dizer que 1 + j é maior que 1. Ao dividir P por um valor maior que 1 (no 
caso, 1 + j), podemos afirmar que VP é menor que P. Isto é, o valor atual 
da opção I é inferior ao preço à vista da mercadoria, afinal você pode 
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efetuar o pagamento com defasagem de 1 mês. É como se tivesse sido 
dado um desconto sobre o preço à vista. 
 Já na opção II temos um financiamento que, como qualquer outro, 
possui valor atual igual ao preço à vista (P), considerando a taxa de juros 
j contratada. 
 Portanto, na opção I o valor atual é menor que P, enquanto na 
opção II o valor atual é igual a P. Logo, a opção I é sempre melhor, 
independente do valor da taxa de juros. 
Resposta: A 
 
10. FGV – ICMS/RJ – 2007) Uma dívida é composta de duas parcelas 
de R$2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-
se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se 
a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: 
(Despreze os centavos na resposta.) 
(A) R$ 2.122,00. 
(B) R$ 1.922,00. 
(C) R$ 4.041,00. 
(D) R$ 3.962,00. 
(E) R$ 4.880,00. 
RESOLUÇÃO: 
 A figura abaixo apresenta os dois esquemas de pagamento, o 
primeiro em azul e o segundo em vermelho: 
 
 Sabemos que os valores atuais dos dois esquemas deve ser igual. 
Entretanto, para facilitar as contas, ao invés de levarmos todas as 
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prestações para a data focal zero, podemos utilizar como data focal o 
valor t = 3 meses. Assim, devemos levar a primeira parcela de 2000 reais 
2 meses para frente, e trazer a segunda parcela de 2000 reais 1 mês para 
trás: 
 
 
Com isso, o valor do primeiro esquema de pagamentos na data t = 
3 meses é: 
2
1
2000
2000 (1 2%)
(1 2%)
4041,58
VP
VP reais
   


 
 Assim, o valor a ser pago de uma só vez em t = 3, no segundo 
esquema de pagamentos, é P = 4041,58 reais. 
Resposta: C 
 
Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver a próxima questão: 
 
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11. ESAF – AFRFB – 2005) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu 
uma dívida no regime de juros compostos que deveria ser quitada em 
duas parcelas, todas com vencimento durante o ano de 2005. Uma 
parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$ 
5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada 
pelo credor é de 5% ao mês. No final de fevereiro, a empresa decidiu 
pagar 50% do total da dívida e o restante no final de dezembro do 
mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa 
deverá pagar no final de dezembro é igual a: 
a) R$ 4.634,00 
b) R$ 4.334,00 
c) R$ 4.434,00 
d) R$ 4.234,00 
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e) R$ 5.234,00 
RESOLUÇÃO: 
 A figura abaixo representa o esquema de pagamentos original, em 
azul, e a alternativa proposta, em vermelho. Os meses do ano estão 
representados pelos números correspondentes: 
 
 Podemos considerar a data t = 2 como sendo a nossa data focal. 
Neste caso, devemos trazer todas as demais parcelas para esta data, 
dividindo-as por (1 + j)t, onde t é a diferença de períodos entre a data 
original de cada parcela e a data focal. Veja isso no desenho: 
 
 O valor atual da dívida original (em azul), na data t = 2, é: 
4 7
2000 5000
(1 5%) (1 5%)
VP  
 
 
 
 Na tabela de fator de atualização de capital, fornecida acima, vemos 
que: 
4
1
0,82270
(1 5%)


 
7
1
0,71068
(1 5%)


 
 Logo, 
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2000 0,82270 5000 0,71068 5198,80VP reais     
 
 Na alternativa proposta, a primeira parcela paga (A) representa 
50% da dívida, conforme o enunciado. Isto é, 
A = 50% x 5198,80 = 2599,40 reais 
 
 Assim, a parcela B deve possuir o valor presente: 
VPB = 5198,80 – 2599,40 = 2599,40 reais 
 
 Na tabela vemos que 
10
1
0,61391
(1 5%)


, portanto: 
10(1 5%)
2599,40 0,61391
4234,17
B
B
VP
B
B reais


 

 
Resposta: D 
 
12. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2012) Compre hoje (01/12/2011) o seu 
bilhete RIO-PARIS-RIO e comece a pagar somente em 01/03/2012. O 
preço à vista é US$850,00, cobram-se juros de 3% a.m. e são 8 
prestações mensais iguais. O valor das prestações é de: 
A) US$128,46 
B) US$138,40 
C) US$129,46 
D) US$135,23 
E) US$1278,36 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que nos primeiros três meses você não paga nada, porém 
a sua dívida (850 dólares) rende juros de 3% ao mês. Ao final de dois 
meses, temos: 
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2850(1 0,03) 901,765M    
(o exercício deu que 1,032 = 1,06090, para auxiliar as contas) 
 A partir do início do terceiro mês, começa a contar o financiamento 
propriamente dito, cuja primeira parcela será paga ao final deste terceiro 
mês. Temos 8 parcelas iguais, ou seja, devemos considerar o sistema 
price. Calculando o valor da parcela, temos: 
  
   
  

  

8
8
(1 ) 0,03 (1,03)
901,765
(1 ) 1 (1,03) 1
0,03 1,26677
901,765 128,46
1,26677 1
n
n
j j
P VP
j
P
 
(o exercício deu que 1,038 = 1,26677, para auxiliar as contas) 
Resposta: A 
 
Considere a tabela abaixo para resolver as próximas questões. 
 
13. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Um imóvel é financiado em 18 
prestações mensais iguais e sucessivas de R$ 325.000,00e mais 3 
prestações semestrais (prestação-reforço ou prestação-balão) de R$ 
775.000,00, R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00, respectivamente. Sabendo-
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se que a taxa cobrada pela financeira foi de 8,7% ao mês, o valor 
financiado é: 
A) R$ 3.891.899,23 
B) R$ 4.391.009,99 
C) R$ 4.111.999,93 
D) R$ 3.911.995,93 
E) R$ 3.811.885,93 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos calcular o valor atual de todos os pagamentos. Vamos 
começar pelos 3 balões, calculando-os isoladamente. O primeiro deles é 
de 775mil, e foi pago após 6 meses de financiamento. Trazendo este 
valor para a data inicial, temos: 
   
 6
775000 775000
469812.35
(1 ) (1,087) 1.64959475t
VF
VP
j
 
 O segundo é de 875 mil, pago após 12 meses de financiamento. 
Trazendo para a data inicial, temos: 
    
 12 6 2 2
875000 875000 875000
321553.70
(1 ) (1,087) (1,087 ) 1,64959475t
VF
VP
j
 
 O terceiro é de 975 mil, pago após 18 meses de financiamento. 
Trazendo para a data inicial, temos: 
   
 18
975000 975000
217206.50
(1 ) (1,087) 4.4888159t
VF
VP
j
 
 Para as 18 prestações de 325mil, basta lembrarmos da fórmula do 
sistema price: 
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 
 
 
 
 
 

 

 

18
18
(1 )
(1 ) 1
0.087 (1 0.087)
325000
(1 0.087) 1
0.087 4.4888159
325000
4.4888159 1
325000 0.111936
2903423.36
n
n
j j
P VP
j
VP
VP
VP
VP
 
 Somando todos os valores atuais calculados, temos VP = 
3.911.995,91 
Resposta: D 
 Obs.: questão extremamente trabalhosa, apesar do conteúdo 
cobrado não ser tão complicado. Muito cuidado para não perder muito 
tempo com uma questão assim! 
 
14. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Um financiamento no valor de 
R$35.000,00 é concedido para pagamento em 12 prestações mensais 
iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,5% ao 
mês, o valor das prestações será de: 
A) R$ 4.115,70 
B) R$ 4.101,80 
C) R$ 4.101,55 
D) R$ 4.105,77 
E) R$ 4.015,70 
RESOLUÇÃO: 
 Quando temos uma carência, isto significa que naqueles primeiros 
meses nada será pago, porém a dívida está sofrendo juros, de modo que 
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seu valor aumenta a cada mês. Se temos 3 meses de carência, podemos 
dizer que após os três primeiros meses temos a seguinte dívida: 
D = 35000 x (1 + 0,035)3 = 38805,12 
 Após o terceiro mês, começamos a pagar o financiamento 
propriamente dito, que terá valor inicial de 38805,12 reais, e não apenas 
os 35000. Assim, utilizando a fórmula da tabela price, temos: 
  
   
  
12
12
(1 ) 0.035 (1.035)
38805.12
(1 ) 1 (1.035) 1
n
n
j j
P VP
j
 
 Observe que a tabela forneceu o valor de (1,035)-12 e não o de 
(1,035)12. Porém, sabemos que: 
12
12
1 1
1,035 1,511068
1,035 0,66178330
   
 Com isso em mãos, temos: 

 


0.035 1,511068
38805.12
1,511068 1
4015,71
P
P
 
Resposta: E 
 
15. CESPE – ANATEL – 2009) Considere que, para aplicar R$ 5.000,00 
pelo prazo de dois anos, sejam sugeridas duas opções de investimento: a 
opção, A1, renderá juros compostos de 20% ao ano, porém, no momento 
do resgate, haverá um desconto de 20% sobre o montante acumulado 
referente a impostos e taxas; A opção A2 renderá juros compostos a uma 
taxa de 8% ao ano, sem a incidência de descontos. A partir dessas 
considerações, julgue os itens a seguir. 
( ) A opção A2 é mais rentável que a opção A1. 
RESOLUÇÃO: 
 Na opção A2, já temos a taxa de juros efetiva (8% ao ano). Em dois 
anos, teremos um fator de: 
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(1 + 8%)2 = 1,1664 
 
 Portanto, o rendimento líquido em 2 anos será de 16,64% sobre o 
capital inicial. 
 
 Na opção A1, temos juros de 20% ao ano, que em 2 anos resultam 
em: 
(1 + 20%)2 = 1,44 
 
Como, no momento do resgate, devem ser pagos 20% do montante 
a título de taxas e impostos, resta: 
1,44 – 20% x 1,44 = 1,152 
 
 Portanto, o rendimento líquido é de 15,2%. Assim, a opção mais 
interessante é A2, que tem rendimento líquido superior. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
16. CESPE – ABIN – 2010) Maria, Pedro e Regina compraram, cada 
um, no mesmo dia, uma televisão cujo preço de vitrine era de R$ 
6.000,00. Maria comprou a televisão à vista e recebeu um desconto de 
2,5% sobre o preço de vitrine. Pedro adquiriu a televisão em 2 prestações 
mensais, iguais e consecutivas, sem desconto sobre o preço de vitrine - 
com a primeira prestação vencendo um mês após a compra. Regina 
comprou a televisão em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem 
desconto sobre o preço de vitrine – a primeira prestação foi paga no ato 
da compra. Regina, após pagar a primeira prestação, e Pedro, no mesmo 
dia da compra, aplicaram R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, 
em uma instituição financeira que lhes oferecia juros compostos mensais 
de 2%, com o objetivo de usar o dinheiro dessa aplicação para pagar as 
prestações da compra. 
 
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Com base na situação hipotética acima e tomando 0,98 e 0,96 como os 
valores aproximados de 1,02-1 e 1,02-2 respectivamente, julgue o item a 
seguir, considerando a quantia que cada um deveria ter no ato da 
compra. 
 
( ) Se Pedro tivesse aplicado, na data da compra, uma quantia inferior a 
R$5.850,00, então, com os rendimentos dessa aplicação, ele poderia 
quitar as 2 prestações em suas respectivas datas. 
RESOLUÇÃO: 
 Pedro deve pagar 2 prestações de 3000 reais cada, pois não obteve 
o desconto do pagamento à vista (isto é, nos 6000 reais a serem pagos já 
estão embutidos os juros cobrados pela loja). 
 Ao final do primeiro mês, a aplicação de 5850 reais rende 2%, 
chegando a 5967 reais. Com o pagamento de 3000 reais, sobram 2967 
reais. Este valor rende mais 2% no segundo mês, chegando a 3026,34 
reais. Este saldo permite quitar a segunda parcela de 3000 reais. Item 
CORRETO. 
Resposta: C 
 
17. CESPE – Banco do Brasil – 2002) Utilizando o BB Crédito 
Informática, um indivíduo financiou R$ 3.000,00 para a aquisição de um 
microcomputador e, de acordo com as condições estabelecidas no texto 
IV, deverá quitar o débito em 24 parcelas mensais e postecipadas de R$ 
190,76. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os itens abaixo. 
( ) Se as parcelas fossem mensais e antecipadas, em vez de 
postecipadas, o valor de cada uma delas seria superior a R$ 191,00. 
( ) Se o empréstimo tivesse sido feito em 12 parcelas mensais e 
postecipadas, mantidas as demais condições, o valor de cada parcela 
duplicaria. 
RESOLUÇÃO: 
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( ) Se as parcelas fossem mensais e antecipadas, em vez de 
postecipadas, o valor de cada uma delas seria superior a R$ 191,00. 
 ERRADO. Se as parcelas forem antecipadas ao invés depostecipadas, isto significa que o cliente deverá pagar parcelas inferiores 
a R$190,76, pois ele está pagando com maior antecedência. 
 
( ) Se o empréstimo tivesse sido feito em 12 parcelas mensais e 
postecipadas, mantidas as demais condições, o valor de cada parcela 
duplicaria. 
 ERRADO. Como neste caso o cliente pagará com maior 
antecedência, os juros incidentes serão proporcionalmente menores, de 
modo que as parcelas não chegam a dobrar de valor. 
Resposta: E E 
 
18. CESPE – TCE/AC – 2009) Uma pessoa comprou um veículo 
pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 
prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira 
prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de 
juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como valor aproximado para 
1,025-24, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi 
 a) inferior a 16.800. 
 b) superior a 16.800 e inferior a 17.300. 
 c) superior a 17.300 e inferior a 17.800. 
 d) superior a 17.800 e inferior a 18.300. 
 e) superior a 18.300. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos calcular o valor presente das 24 parcelas de 750 reais 
assim: 
P = VP / an¬j 
VP = P x an¬j 
VP = 750 x a24¬2,5% 
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
 


24
24 2,5% 24
(1 2,5%) 1
2,5%.(1 2,5%)
a 


 

24
24 2,5%
1 (1 2,5%)
2,5%
a 


 24 2,5%
1 0,55
18
0,025
a 
VP = 750 x 18 
VP = 13500 reais 
 
 Assim, o valor do carro é a soma do pagamento à vista (3500 reais) 
com o valor presente do financiamento (13500 reais), ou seja, 
Valor do carro = 3500 + 13500 = 17000 reais 
Resposta: B 
 
19. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Um objeto, cujo preço à vista é R$ 
250,00, é vendido em três prestações de R$ 100,00, sendo a primeira no 
ato e, as seguintes, 30 e 60 dias depois. A taxa mensal de juros desse 
financiamento é 
(A) 6,27%. 
(B) 6,67%. 
(C) 10%. 
(D) 20%. 
(E) superior a 20%. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja j a taxa de juros deste financiamento. O valor presente das 3 
parcelas, descontado pela taxa “j”, deve ser igual ao valor à vista, ou 
seja, 250 reais. Assim, 
250 = 100 + 100 / (1 + j) + 100 / (1 + j)2 
 
 Multiplicando todos os membros por (1 + j)2, temos: 
250 x (1 + j)2 = 100 x (1 + j)2 + 100 x (1 + j) + 100 
150 x (1 + j)2 – 100 x (1 + j) – 100 = 0 
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150 x (1 + 2j + j2) – 100 x (1 + j) – 100 = 0 
150 + 300j + 150j2 – 100 – 100j – 100 = 0 
150j2 + 200j – 50 = 0 
3j2 + 4j – 1 = 0 
24 4 4 3 ( 1)
2 3
j
     


 
4 28
6
j
 
 
4 2 7
6
j
 
 
 
 Usando a aproximação 7 2,64 , temos: 
4 2 2,64
6
j
  
 
j = 0,21 ou j = -1,54 
 
 Como j é uma taxa de juros, ela deve ser um valor positivo. Assim, 
devemos adotar a solução j = 0,21 = 21%. 
Resposta: E 
 
20. VUNESP – PREF. MAUÁ – 2012) Uma mercadoria no valor de R$ 
300,00 foi paga com uma entrada de R$ 150,00, um pagamento de R$ 
100,00 trinta dias depois e um novo pagamento sessenta dias depois. Se 
a taxa de juros desse financiamento é de 10% ao mês, o valor desse 
último pagamento deve ser de 
(A) R$ 50,00. 
(B) R$ 55,00. 
(C) R$ 65,50. 
(D) R$ 71,50. 
(E) R$ 110,00. 
RESOLUÇÃO: 
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 O valor presente dos pagamentos deve ser igual ao valor à vista 
(300 reais). Sendo P o valor da última parcela, temos: 
300 = 150 + 100 / 1,1 + P / 1,12 
 
 Multiplicando todos os termos por 1,12, temos: 
300 x 1,12 = 150 x 1,12 + 100 x 1,1 + P 
300 x 1,21 = 150 x 1,21 + 100 x 1,1 + P 
71,5 reais = P 
Resposta: D 
 
21. VUNESP – PREF. MAUÁ – 2012) Uma mercadoria foi vendida em 
três pagamentos iguais de R$ 121,00 (no ato da venda, 30 e 60 dias 
depois). Se a taxa de juros do financiamento foi de 10% ao mês, o valor 
à vista da mercadoria é 
(A) R$ 254,10. 
(B) R$ 279,23. 
(C) R$ 331,00. 
(D) R$ 363,00. 
(E) R$ 399,90. 
RESOLUÇÃO: 
 O valor presente das parcelas é: 
VP = 121 + 121 / 1,1 + 121 / 1,12 
VP = 121 + 110 + 100 
VP = 331 reais 
 Este é o valor à vista da mercadoria. 
Resposta: C 
 
22. VUNESP – CESP – 2009) Após contrair um empréstimo de R$ 
1.000 a uma taxa de juros de 10% ao mês, João pagou R$ 400 no 
primeiro mês e R$ 300 no segundo. Se deseja quitar a dívida no terceiro 
mês, João deve pagar 
(A) R$ 300. 
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(B) R$ 330. 
(C) R$ 363. 
(D) R$ 396. 
(E) R$ 517. 
RESOLUÇÃO: 
 O valor presente dos pagamentos deve ser igual a 1000 reais, que é 
o valor inicial do empréstimo. Assim, sendo P o valor pago no terceiro 
mês, temos: 
1000 = 400 + 300 / 1,1 + P / 1,12 
 
 Multiplicando todos os termos por 1,12 temos: 
1000 x 1,21 = 400 x 1,21 + 300 x 1,1 + P 
P = 396 reais 
Resposta: D 
 
23. VUNESP – FAPESP – 2010) Lucas irá comprar uma casa pelo valor 
de R$ 172.000,00 em duas parcelas de igual valor, sendo a primeira 
parcela paga no ato da compra e a segunda, um ano depois. Sobre o 
saldo devedor incidirão juntos anuais de 15%. O valor de cada parcela 
será de 
(A) R$ 86.900,00 
(B) R$ 89.900,00 
(C) R$ 91.000,00 
(D) R$ 92.000,00 
(E) R$ 98.900,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o valor de cada parcela. Após o pagamento da primeira, 
sobra um saldo devedor de 172.000 – P. Este saldo será corrigido pela 
taxa de 15%, de modo que a segunda parcela será: 
Segunda parcela = 1,15 x (172.000 – P) 
 
 Como esta segunda parcela deve ser igual à primeira (P), temos: 
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P = 1,15 x (172.000 – P) 
P = 197800 – 1,15P 
2,15P = 197800 
P = 92000 reais 
Resposta: D 
 
24. FCC – SEFAZ/SP – 2009) A tabela abaixo apresenta os valores dos 
Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos 
de 2% ao período: 
 
O preço de venda de um equipamento é igual a R$ 100.000,00. Ele pode 
ser adquirido por uma das seguintes opções: 
I. À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda. 
II. Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira 
prestação sendo paga no ato da compra. 
Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da 
opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos 
efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a 
(A) R$ 9.500,00 
(B) R$ 9.180,00 
(C) R$ 8.550,00 
(D) R$ 8.330,00 
(E) R$ 8.150,00 
RESOLUÇÃO: 
 Na primeira opção, paga-se um total de 90000 reais à vista, uma 
vez que é dado um desconto de 10%. Na segunda opção, paga-se uma 
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entrada “P” e assume-se uma dívida de 90000 – P reais a ser paga em 11 
prestações iguais. 
 Para que ambas as formas de pagamento sejam equivalentes, elas 
devem ter o mesmo valor presente – no caso 90000reais, que é o valor 
presente da primeira opção. Na segunda, o valor presente é dado pela 
soma da primeira prestação (P), paga do no momento da compra, com o 
valor presente das 11 prestações seguintes, que é: 
VP = P / FRC11, 2% 
 
 A tabela diz que FRC11, 2% = 0,102. Portanto: 
VP = P / 0,102 
 
 Desta forma, sabemos que a soma da primeira prestação (P) com o 
valor presente das 11 prestações seguintes (VP) deve ser 90000: 
P + VP = 90000 
P + P/0,102 = 90000 
P = 8330,30 reais 
Resposta: D 
 
25. CESPE – ANP – 2013) Uma loja vende um smartphone por R$ 
1.755,00, divididos em 12 parcelas mensais iguais e com juros de 1% ao 
mês. Com base nessas informações e considerando 0,0889 e 0,0780 
como valores aproximados para 0,01*1,0112/(1,0112 – 1) e 
0,01/(1,01*(1,0112 – 1)), respectivamente, julgue os itens seguintes. 
( ) Suponha que um consumidor não possua recursos suficientes para 
comprar o aparelho à vista e que decida depositar mensalmente, durante 
12 meses, certa quantia em uma aplicação que renda 1% a.m. Nessa 
situação, esse cliente atingirá seu objetivo depositando menos de R$ 
135,00 por mês. 
RESOLUÇÃO: 
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 O consumidor deve poupar um valor P a cada mês de modo a, no 
final de 12 meses, obter o valor futuro R$1755,00. Trazendo esta quantia 
ao seu valor presente, com a taxa de 1%am, temos: 
VP = 1755 / (1,01)12 
 
 Trazendo as 12 economias mensais de valor “P” para a data inicial, 
temos: 
VP = P x an¬j 
VP = P x a12¬1% 
 
 

(1 ) 1
.(1 )
t
t
j
VP P
j j
 

 
12
12
(1,01) 1
0,01.(1,01)
VP P 
 
 Igualando o valor presente do smartphone com o valor presente das 
economias feitas pelo consumidor, temos: 
 

 
12
12 12
1755 (1,01) 1
(1,01) 0,01.(1,01)
P 

 
12(1,01) 1
1755
0,01
P 
 
 Foi dado que 0,01/(1,01*(1,0112 – 1)) = 0,078. Fazendo algumas 
manipulações, temos: 
0,01/(1,01*(1,0112 – 1)) = 0,078 
0,01/1,01 = 0,078*(1,0112 – 1) 
1/1,01 = 0,078*(1,0112 – 1) / 0,01 
1/(1,01*0,078) =(1,0112 – 1) / 0,01 
12,69 = (1,0112 – 1) / 0,01 
 
 Assim, 

 
12(1,01) 1
1755
0,01
P 
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 1755 12,69P 
P = 138,29 reais 
 
 Item ERRADO, pois P > 135 reais. 
Resposta: E 
 
26. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Um investidor aplicou, 
durante 3 anos, R$500,00 por mês em um Fundo de Renda Fixa que 
oferece juros compostos de 1,5% ao mês. Ao final da aplicação, obteve 
R$ 23.637,98. 
Esse tipo de operação, em matemática financeira, caracteriza o modelo 
denominado 
(A) série de pagamentos iguais com termos antecipados 
(B) série de pagamentos iguais com termos vencidos 
(C) equivalência de capitais e de planos de pagamentos 
(D) aplicação equivalente de renda postecipada 
(E) aplicações financeiras com renda variável 
RESOLUÇÃO: 
 Temos claramente uma série de pagamentos iguais, todos no valor 
de R$500,00. Estes valores vão rendendo juros a medida que são pagos 
(aplicados). Tratar-se de uma série postecipada (termos vencidos), pois 
imediatamente após o último pagamento encerrou-se o período de 3 anos 
e computou-se o valor final. Se tivéssemos uma série antecipada, os 3 
anos só seriam obtidos 1 mês após o pagamento da última parcela. 
 Assim, a alternativa B é a que melhor nos atende. 
Resposta: B 
 
27. CESGRANRIO – ELETROBRÁS – 2010) Cláudia deseja fazer hoje 
aplicações em um fundo de investimentos, almejando obter uma renda 
perpétua mensal de R$20.000,00, atualizados monetariamente, 
começando dentro de um mês. Considerando-se as taxas de 0,1% a.m. e 
de 0,5% a.m., essas aplicações serão, em reais, respectivamente de 
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 a) 10.000.000,00 e 2.400.000,00 
 b) 12.000.000,00 e 2.000.000,00 
 c) 12.000.000,00 e 2.400.000,00 
 d) 16.000.000,00 e 2.000.000,00 
 e) 20.000.000,00 e 4.000.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que R = j x VP, para ter uma renda R = 20000 reais por 
mês com a taxa de juros j = 0,1% ao mês, é preciso ter o capital VP: 
20000 = 0,1% x VP 
VP = 20.000.000 reais 
 
 E com a taxa j = 0,5% ao mês: 
20000 = 0,5% x VP 
VP = 4.000.000 reais 
Resposta: E 
 
Atenção: considere as tabelas abaixo para resolver a próxima questão. 
 
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28. CESGRANRIO – BNDES – 2010) Uma aplicação consiste em 6 
depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 
(trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 
5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 
depósitos, é 
(A) 2.040,00 
(B) 2.142,00 
(C) 2.240,00 
(D) 2.304,00 
(E) 2.442,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para n = 6 períodos e j = 5% ao mês, a tabela de fator de 
acumulação de capital para uma série de pagamentos iguais nos dá: 
s6¬5% = 6,80 
 
 Portanto, logo após o sexto pagamento de 300 reais o valor obtido 
é: 
VF = 6,80 x 300 = 2040 reais 
 
 Um mês após este sexto pagamento, os 2040 reais terão rendido 
mais 5% de juros, chegando a: 
2040 x (1 + 5%) = 2040 x 1,05 = 2142 reais 
Resposta: B 
 
29. CESPE – SEFAZ – 2013) Em certo estado, o IPVA pode ser pago à 
vista com 5% de desconto ou em três pagamentos iguais, mensais e 
sucessivos: o primeiro pagamento deve ser feito na data de vencimento 
do pagamento à vista. Nesse caso, considerando 2,9 como valor 
aproximado para 8,41/2, é correto afirmar que a taxa de juros mensal 
embutida no financiamento será 
a) superior a 3% e inferior a 4%. 
b) superior a 4% e inferior a 5%. 
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c) superior a 5% e inferior a 6%. 
d) superior a 6%. 
e) inferior a 3%. 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que o valor do IPVA é de 120 reais. Se for pago à vista, 
será pago apenas uma parcela com desconto de 5%, totalizando 95% x 
120 = 114 reais. Se for pago a prazo, serão pagas 3 parcelas iguais de 
120 / 3 = 40 reais cada. 
 Precisamos descobrir a taxa de juros que faz o pagamento a prazo 
(3 parcelas de 40 reais) ter o mesmo valor atual do pagamento à vista 
(114 reais). Ou seja, 
Valor atual = 114 = 40 + 40 / (1 + j) + 40 / (1 + j)2 
114 = 40 + 40 / (1 + j) + 40 / (1 + j)2 
114 – 40 = 40 / (1 + j) + 40 / (1 + j)2 
74 = 40 / (1 + j) + 40 / (1 + j)2 
 
 Multiplicando todos os membros por (1 + j)2 temos: 
74 (1 + j)2 = 40 x (1 + j) + 40 
74 (1 + 2j + j2) = 40 + 40j + 40 
74 + 148j + 74j2 = 80 + 40j 
74j2 + 108j – 6 = 0 
2108 108 4.74.( 6)
2.74
j
   
 
108 13440
148
j
 
 
 
 Veja que o enunciado forneceu o valor de 8,41/2. Neste momento 
podemos “forçar” esse 8,4 a aparecer dentro da raiz. Basta ver que 
13440 / 8,4 = 1600. Ou seja, 13440 é igual a 8,4 x 1600: 
 
108 8,4 1600
148
j
  
 
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108 40 8,4
148
j
 
 
 
 Usando o valor fornecidopelo enunciado para 8,41/2, temos: 
108 40 2,9
148
j
  
 
108 40 2,9
148
j
  
 ou 
108 40 2,9
148
j
  
 
0,054j  ou 1,513j   
 
 Como a taxa de juros deve ser sempre um valor positivo, vamos 
usar a solução j = 0,054 = 5,4%. Esta é a taxa embutida no 
financiamento, que se encontra no intervalo entre 5% e 6%. 
RESPOSTA: C 
 
30. CESPE – SEFAZ – 2013) Um cliente tomou um empréstimo de R$ 
1.000,00 em determinado banco, que cobra, antecipadamente, uma taxa 
de 15% sobre o valor, entregando o valor já líquido. Nessa situação, se o 
pagamento do empréstimo no valor de R$1.000,00 ocorreu um mês 
depois, então a taxa efetiva de juros do empréstimo foi 
a) superior a 19,5%. 
b) inferior a 18%. 
c) superior a 18% e inferior a 18,5%. 
d) superior a 18,5% e inferior a 19%. 
e) superior a 19% e inferior a 19,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que o banco te entrega 1000 reais, mas na hora já toma 
15% disso, deixando-o com apenas 850 reais em mãos. Ou seja, na 
verdade você pegou foi 850 reais emprestados, e vai ter que pagar 1000 
reais depois de um mês. Para obter a taxa de juros: 
M = C x (1 + j)t 
1000 = 850 x (1 + j)1 
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1000 / 850 = 1 + j 
1,176 = 1 + j 
j = 0,176 = 17,6% 
RESPOSTA: B 
 
31. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) Uma pessoa adquiriu um bem e 
pagou o seu valor total em duas parcelas do seguinte modo: uma 
primeira parcela de 30% do valor total foi paga à vista; uma segunda 
parcela no valor de R$ 856,80 foi paga 1 mês após a data da compra. Se 
a taxa de juros, já incluída no valor da segunda parcela, foi de 2% ao 
mês, então o valor da primeira parcela foi de 
(A) R$ 360,00. 
(B) R$ 400,00. 
(C) R$ 257,04. 
(D) R$ 428,40. 
(E) R$ 367,20. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o valor total do produto. Como 30% foi pago à vista, então 
70% de P foi financiado. Logo, o valor inicial da dívida é 0,70P. Após um 
mês será pago esse valor inicial corrigido por juros de 2%, totalizando 
856,80 reais, ou seja: 
0,70P x (1 + 2%) = 856,80 
0,70P x 1,02 = 856,80 
P = 856,80 / (0,70 x 1,02) 
P = 1200 reais 
 
 Assim, a primeira parcela foi de 30% x 1200 = 360 reais. 
RESPOSTA: A 
 
32. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) Uma loja cobra 5% ao mês de juros 
nas vendas à prazo. Um eletrodoméstico é vendido em 3 prestações de 
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R$ 420,00, sendo a primeira parcela paga no ato da compra. Isso 
significa que seu preço à vista é de, aproximadamente, 
(A) R$ 1.184,00. 
(B) R$ 1.260,00. 
(C) R$ 1.140,00. 
(D) R$ 1.200,00. 
(E) R$ 840,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Calculando o valor presente dos pagamentos, observando que o 
primeiro foi feito à vista, temos: 
VP = 420 + 420 / 1,05 + 420 / 1,052 
VP = 420 + 400 + 380,95 
VP = 1200,95 reais 
 
 Este é o valor que deveria ser pago se a compra fosse 
integralmente à vista. 
RESPOSTA: D 
 
33. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Pretendendo aplicar em um 
fundo que rende juros compostos, um investidor fez uma simulação. Na 
simulação feita, se ele aplicar hoje R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 daqui a 
um ano, e não fizer nenhuma retirada, o saldo daqui a dois anos será de 
R$ 38.400,00. Desse modo, é correto afirmar que a taxa anual de juros 
considerada nessa simulação foi de 
a) 12%. 
b) 15%. 
c) 18%. 
d) 20%. 
e) 21%. 
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RESOLUÇÃO: 
 Seja j a taxa de juros anual. Até chegar no final do segundo ano, o 
valor de 10000 reais será corrigido duas vezes por essa taxa, já o valor 
de 20000 reais será corrigido uma vez. A soma final será de 38400 reais. 
Ou seja, 
10000 x (1 + j)2 + 20000 x (1 + j) = 38400 
 
 Chamando 1 + j simplesmente de x, temos: 
10000x2 + 20000x = 38400 
x2 + 2x – 3,84 = 0 
 
 Resolvendo a equação de segundo grau, temos: 
22 2 4.1.( 3,84)
2.1
x
   
 
2 19,36
2
x
 
 
2 4,4
2
x
 
 
x = -3,2 ou x = 1,2 
 
 Como x é igual a 1 + j, e 1 + j deve ser um valor positivo, vamos 
considerar apenas: 
x = 1 + j = 1,2 
j = 0,2 = 20% ao ano 
RESPOSTA: D 
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34. CESGRANRIO – ELETROBRÁS – 2010) Cláudia deseja fazer hoje 
aplicações em um fundo de investimentos, almejando obter uma renda 
perpétua mensal de R$ 20.000,00, atualizados monetariamente, 
começando dentro de um mês. Considerando-se as taxas de 0,1% a.m. e 
de 0,5% a.m., essas aplicações serão, em reais, respectivamente de 
 a) 10.000.000,00 e 2.400.000,00 
 b) 12.000.000,00 e 2.000.000,00 
 c) 12.000.000,00 e 2.400.000,00 
 d) 16.000.000,00 e 2.000.000,00 
 e) 20.000.000,00 e 4.000.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Numa renda perpétua temos R = VP x j, ou seja, VP = R / j. Logo, 
VP = 20000 / 0,1% = 20.000.000 reais 
e 
VP = 20000 / 0,5% = 4.000.000 reais 
Resposta: E 
 
35. CEPERJ – Pref. Cantagalo – 2006) Em um país sem inflação, 
existe um investimento que rende 0,7% ao mês. Se uma pessoa decide 
dar ao seu filho uma renda mensal perpétua de $350 (trezentos e 
cinqüenta unidades monetárias), o valor que ela deve investir para que 
esta renda seja eterna é: 
 a) $42000 
70025290134
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 b) $50000 
 c) $56000 
 d) $60000 
RESOLUÇÃO: 
 Num rendimento perpétuo: 
R = VP x j 
VP = R / j 
VP = 350 / 0,7% 
VP = 50000 
Resposta: B 
 
36. FGV – SEAD/AP – 2010) Antônio possui um investimento que dá 
uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros compostos) e 
deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A 
quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é 
de: 
 a) R$ 45.000,00 
 b) R$ 27.000,00 
 c) R$ 54.000,00 
 d) R$ 72.000,00 
 e) R$ 75.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Aplicando a fórmula da renda perpétua: 
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R = VP x j 
450 = VP x 0,6% 
VP = 75000 reais 
Resposta: E 
 
37. FCC – DNOCS – 2010) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no 
início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus 
clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele 
realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes 
aos depósitos realizados é igual a 
 a) R$ 52.800,00. 
 b) R$ 54.246,00. 
 c) R$ 55.692,00. 
 d) R$ 61.261,20. 
 e) R$ 63.888,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o quarto depósito é feito no início do quarto ano. Neste 
momento, o primeiro investimento (feito no início do primeiro ano), terá 
rendido juros de 10% ao ano durante 3 anos (primeiro, segundo e 
terceiro anos). O segundo investimento terá rendido durante 2 anos 
(segundo e terceiro), e o terceiro terá rendido durante 1 ano (terceiro). 
Somando os valores futuros de cada depósito, temos: 
VF = 12000 x 1,103 + 12000 x 1,102 + 12000 x 1,10 + 12000 
VF = 15972 + 14520 + 13200 + 12000 
VF = 55692 reais 
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