Exercícios de Modelos Probabilísticos

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Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
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INE 7002 – LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – MODELOS PROBABILÍSTICOS 
 
27) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser transmitido 
erroneamente. Ao se realizar um teste para analisar a confiabilidade do sistema foram transmitidos 20 dados. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (dado com erro na transmissão ou não), o número de 
realizações é conhecido (n = 20), e a probabilidade de sucesso (p = 0,05, 1-p = 0,95) é suposta constante (pois 
não há nenhuma informação em contrário). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que tenha havido erro na transmissão. 
Haver erro na transmissão significa que a variável aleatória X, número de erros em 20 dados transmitidos (0,1, 
...,20), pode assumir qualquer valor acima de zero, procura-se então: 
P(X  0) = P(X = 1) + ... + P(X = 20) 
Usando a propriedade do evento complementar, lembrando que o evento complementar de X  0 é X < 0, e que 
X<0 é X = 0 (já que não há valor menor do que zero nesta variável aleatória): 
P(X  0) = 1 – P(X =0) = 1 – C20,0 × 0,05
0 × 0,9520-0 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão. (R.: 
0,6415). 
P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C20,0 × 0,05
0 × 0,9520-0 = 1 −
20!
0!×(20−0)!
× 0,050 × 0,9520 = 1 − 1 × 1 × 0,3585= 
0,6415 
 
28) Jogando-se uma moeda honesta cinco vezes e observando a face voltada para cima. Há interesse em calcular a 
probabilidade de ocorrência de uma, duas, ..., cinco caras. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (cara ou coroa), o número de realizações é 
conhecido (n = 5), e a probabilidade de sucesso (p = 0,5, 1-p = 0,5) é suposta constante (pois a moeda é suposta 
honesta). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de obter ao menos quatro caras. 
Obter ao menos 4 caras significa que a variável aleatória X, número de caras em 5 lançamentos (0,1,2,3,4,5), pode 
assumir qualquer valor maior ou igual a 4, procura-se então: 
P(X  4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 𝐶5,4 × 0,5
4 × 0,55−4 + 𝐶5,5 × 0,5
5 × 0,55−5 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de obter ao menos quatro caras. (R.: 0,1875). 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 𝐶5,4 × 0,5
4 × 0,55−4 + 𝐶5,5 × 0,5
5 × 0,55−5 =
5!
4! × (5 − 4)!
× 0,54 × 0,51 +
5!
5! × (5 − 5)!
× 0,55 × 0,50 
𝑃(𝑋 ≥ 4) = 5 × 0,54 × 0,51 + 1 × 0,55 × 1 = 0,15625 + 0,03125 = 0,1875 
d) Qual é o valor esperado do número de caras? A variável aleatória pode assumir tal valor? (R.: 2,5; não) 
Como X segue o modelo binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,5, E(X) = n×p = 5×0,5 = 2,5. Como a variável X 
neste caso só pode assumir INTEIROS entre 0 e 5, ela não pode assumir o valor 2,5. 
Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J.. Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 139. 
 
29) Suponha que você vai fazer uma prova de TGA com 10 questões do tipo verdadeiro-falso. Você nada sabe 
sobre o assunto e vai responder as questões por adivinhação. 
a) Qual é o modelo probabilístico mais adequado para calcular as probabilidades de acertar um número X de 
questões dentre as 10? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (acertar ou errar a questão), o número de realizações 
é conhecido (n = 10), e a probabilidade de sucesso (p = 0,5, 1-p = 0,5) é suposta constante (pois você responderá 
por adivinhação). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de acertar pelo menos 8 questões. 
Acertar ao menos 8 questões significa que a variável aleatória X, número de acertos em 10 questões (0,1,...,10), 
pode assumir qualquer valor maior ou igual a 8, procura-se então: 
P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 𝐶10,8 × 0,5
8 × 0,510−8 + 𝐶10,9 × 0,5
9 × 0,510−9 + 𝐶10,10 × 0,5
10 × 0,510−10 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de acertar pelo menos 8 questões. (R.: 0,05468) 
𝑃(𝑋 ≥ 8) = 𝐶10,8 × 0,5
8 × 0,510−8 + 𝐶10,9 × 0,5
9 × 0,510−9 + 𝐶10,10 × 0,5
10 × 0,510−10 = 
𝑃(𝑋 ≥ 8) =
10!
8! × (10 − 8)!
× 0,58 × 0,52 +
10!
9! × (10 − 9)!
× 0,59 × 0,51 +
10!
10! × (10 − 10)!
× 0,510 × 0,50 
𝑃(𝑋 ≥ 8) = 45 × 0,58 × 0,52 + 10 × 0,59 × 0,51 + 1 × 0,510 × 0,50 = 0,043945 + 0,009766 + 0,000977 = 0,054688 
Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J.. Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 139. 
 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
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30) Suponha que 10% da população seja canhota. São escolhidas 3 pessoas ao acaso, com o objetivo de calcular a 
probabilidade de que o número de canhotos entre eles seja 0, 1, 2 ou 3. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (pessoa canhota ou destra), o número de realizações 
é conhecido (n = 3), e a probabilidade de sucesso (p = 0,1, 1-p = 0,9) é suposta constante (pois as pessoas são 
escolhidas ao acaso da população). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de ao menos uma das pessoas ser canhota. 
Ao menos uma das pessoas ser canhota significa que a variável aleatória X, número de pessoas canhotas em 3 
selecionadas (0,1, 2, 3), pode assumir qualquer valor acima de zero, procura-se então: 
P(X  0)1 = P(X = 1) + P(X=2) + P(X=3) 
Usando a propriedade do evento complementar, lembrando que o evento complementar de X  0 é X < 0, e que 
X<0 é X = 0 (já que não há valor menor do que zero nesta variável aleatória): 
P(X  0) = 1 – P(X =0) = 1 – C3,0 × 0,1
0 × 0,93-0 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de ao menos uma das pessoas ser canhota. (R.: 
0,271) 
P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C3,0 × 0,1
0 × 0,93-0 = 1 −
3!
0!×(3−0)!
× 0,10 × 0,93 = 1 − 1 × 1 × 0,729= 0,271 
Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J.. Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 139. 
 
31) Um revendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são devolvidos ao departamento 
mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos primeiros 25 dias após a venda. De 11 carros vendidos há 
interesse em calcular as probabilidades de que o número de automóveis que retornam para reparo seja 0, 1, 2, etc. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (carro volta para reparo ou não), o número de 
realizações é conhecido (n = 11), e a probabilidade de sucesso (p = 0,8, 1-p = 0,2) é suposta constante (pois não 
há informação em contrário). 
b) Esquematize a expressão para o cálculo da probabilidade de que todos os carros voltem dentro de 25 dias para 
reparo. 
Todos os carros voltem para reparo significa que a variável aleatória X, número de carros que retornam para 
reparo em 11 (0,1, ...,11), pode assumir exatamente o valor 11, procura-se então: 
P(X = 11) = 𝐶11,11 × 0,8
11 × 0,211−11 
c) De acordo com a expressão da letra a, calcule a probabilidade de que todos os carros voltem dentro de 25 dias 
para reparo. (R.: 0,085899) 
𝑃(𝑋 = 11) = 𝐶11,11 × 0,8
11 × 0,211−11 =
11!
11! × (11 − 11)!
× 0,811 × 0,20 = 1 × 0,811 × 1 = 0,085899 
d) Esquematize a expressão para o cálculo da probabilidade de que nenhum carro volte dentro de 25 dias para 
reparo. 
Nenhum carro volte para reparo significa que a variável aleatória X, número de carros que retornam para reparo 
em 11 (0,1, ...,11), pode assumir exatamente o valor 0, procura-se então: 
P(X = 0) = 𝐶11,0 × 0,8
0 × 0,211−0 
e) De acordo com a expressão da letra d, calcule a probabilidade de que nenhum carro volte dentro de 25 dias para 
reparo. (R.: 0,00000002048) 
𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶11,0 × 0,8
0 × 0,211−0 =
11!
0! × (11 − 0)!
× 0,80 × 0,211 = 1 × 1 × 0,211 = 0,00000002048 
f) Qual é o número esperado de automóveis que retornarão para reparos?(R.: 8,8) 
Como X segue o modelo binomial com parâmetros n = 11 e p = 0,8, E(X) = n×p = 11×0,8 = 8,8. 
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 108. 
 
32) Em um determinado processo de fabricação 10% das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em 
caixas com 5 unidades cada uma. As caixas só serão aceitas se apresentarem no máximo uma peça defeituosa. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (peça defeituosa ou não), o número de realizações é 
conhecido (n = 5), e a probabilidade de sucesso (p = 0,1, 1-p = 0,9) é suposta constante (pois não há informação 
em contrário). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa. 
Haver exatamente 3 peças defeituosas na caixa significa que a variável aleatória X, número de peças defeituosas 
em 5 (0,1, 2, 3, 4, 5), pode assumir exatamente o valor 3, procura-se então: P(X = 3) = 𝐶5,3 × 0,1
3 × 0,95−3 
 
1 Poderia ser também P(X  1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X =3) 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
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c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma 
caixa? (R.: 0,0081) 
𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶5,3 × 0,1
3 × 0,95−3 =
5!
3! × (5 − 3)!
× 0,13 × 0,92 = 10 × 0,13 × 0,92 = 0,0081 
d) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de uma caixa ser aceita. 
Caixa ser aceita significa que a variável aleatória X, número de peças defeituosas em 5 (0,1,2,3,4,5), pode assumir 
valores iguais a no máximo 1, procura-se então: 
P(X  1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 𝐶5,0 × 0,1
0 × 0,95−0 + 𝐶5,1 × 0,1
1 × 0,95−1 
e) De acordo com a expressão da letra d, calcule a probabilidade de uma caixa ser aceita? (R.: 0,9185) 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝐶5,0 × 0,1
0 × 0,95−0 + 𝐶5,1 × 0,1
1 × 0,95−1 
𝑃(𝑋 ≤ 1) =
5!
0! × (5 − 0)!
× 0,10 × 0,95 +
5!
1! × (5 − 1)!
× 0,11 × 0,94 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 × 0,10 × 0,95 + 5 × 0,11 × 0,94 = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854 
 
33) Em uma fábrica 3% dos artigos produzidos são defeituosos. O fabricante pretende vender 4000 peças 
recebendo 2 propostas: 
Proposta 1: o comprador A examina uma amostra de 80 peças e pagará $60 por peça, se houver 3 ou menos 
defeituosas, caso contrário pagará $30 por peça apenas. 
Proposta 2: o comprador examina 40 peças e está disposto a pagar $65 por peça, se todas forem perfeitas, porém 
pagará $20 por peça se houver alguma peça defeituosa. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para calcular a probabilidade de peças defeituosas nas duas propostas? 
Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (peça defeituosa ou não), o número de realizações é 
conhecido (n = 80 na proposta 1 ou n = 40 na proposta 2), e a probabilidade de sucesso (p = 0,03; 1-p = 0,97) é 
suposta constante (pois não há informação em contrário). 
b) Esquematize a expressão para cálculo das probabilidades necessárias para a Proposta 1. 
Para obter o pagamento esperado da proposta 1 é preciso calcular a probabilidade de encontrar 3 ou menos 
defeituosas dentre as 80 da amostra, e a probabilidade de encontrar mais de 3 peças defeituosas dentre as 80 da 
amostra. A variável X, número de peças defeituosas em 80 (0,1,2,...,80), poderá assumir valores até 3 (para que o 
lote de 4000 peças seja vendido por R$60). A probabilidade de assumir valores acima de 3 pode ser calculada 
através da expressão de cálculo de probabilidade de evento complementar: 
P(X  3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) P(X > 3) = 1 – P(X  3) 
P(X  3) =𝐶80,0 × 0,03
0 × 0,9780−0 + 𝐶80,1 × 0,03
1 × 0,9780−1 + 𝐶80,2 × 0,03
2 × 0,9780−2 + 𝐶80,3 × 0,03
3 × 0,9780−3 
c) De acordo com a expressão da letra a, calcule as probabilidades necessárias para a Proposta 1 (R.: 0,78066; 
0,21934). 
P(X  3) =𝐶80,0 × 0,03
0 × 0,9780−0 + 𝐶80,1 × 0,03
1 × 0,9780−1 + 𝐶80,2 × 0,03
2 × 0,9780−2 + 𝐶80,3 × 0,03
3 × 0,9780−3 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝐶80,0 × 0,03
0 × 0,9780 + 𝐶80,1 × 0,03
1 × 0,9779 + 𝐶80,2 × 0,03
2 × 0,9778 + 𝐶80,3 × 0,03
3 × 0,9777 
𝑃(𝑋 ≤ 3) =
80!
0! × (80 − 0)!
× 0,030 × 0,9780 +
80!
1! × (80 − 1)
× 0,031 × 0,9779 +
80!
2! × (80 − 2)!
× 0,032 × 0,9778
+
80!
3! × (80 − 3)!
× 0,033 × 0,9777 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 × 10 × 0,9780 + 80 × 0,031 × 0,9779 + 3160 × 0,032 × 0,9778 + 82160 × 0,033 × 0,9777 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 0,08744 + 0,21636 + 0,26432 + 0,21254 = 0,78066 
P(X > 3) = 1- P(X 3) = 1 – 0,78066 = 0,21934 
d) Esquematize a expressão para cálculo das probabilidades necessárias para a Proposta 2. 
Para obter o pagamento esperado da proposta 2 é preciso calcular a probabilidade de encontrar 0 defeituosas 
dentre as 40 da amostra, e a probabilidade de encontrar mais de 0 peças defeituosas dentre as 40 da amostra. A 
variável Y, número de peças defeituosas em 40 (0,1,2,...,40), poderá assumir valor igual a zero (para que o lote de 
4000 peças seja vendido por R$65). A probabilidade de assumir valores acima de 0 pode ser calculada através da 
expressão de cálculo de probabilidade de evento complementar: 
𝑃(𝑌 = 0) = 𝐶40,0 × 0,03
0 × 0,9740−0 P(Y > 0) = 1- P(Y  0) = 1 – P(Y = 0) 
e) De acordo com a expressão da letra d, calcule as probabilidades necessárias para a Proposta 2 (R.: 0,29571; 
0,70249). 
𝑃(𝑌 = 0) = 𝐶40,0 × 0,03
0 × 0,9740−0 =
40!
0!×(40−0)!
× 0,030 × 0,9740 = 1 × 1 × 0,9740 = 0,29571 
P(Y > 0) = 1 – P(Y = 0) = 1 – 0,29571 = 0,70249 
 
 
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4 
 
f) Esquematize as expressões para identificar o lucro esperado de cada proposta. 
Devemos apresentar as tabelas com as duas propostas 
Proposta Condição Probabilidade Valor pago por peça ($) 
Proposta 1 
X  3 0,78066 60 
X > 3 0,21934 30 
Proposta 2 
Y = 0 0,29571 65 
Y > 0 0,70249 20 
Agora há uma outra variável aleatória, Valor pago por peça, que chamaremos de Z: ela assume valores diferentes 
e tem diferentes probabilidades dependendo da proposta, mas é uma variável discreta, seu contradomínio é finito 
nas duas propostas. 
Lembrando da expressão para Valor esperado para variável aleatória discreta, E(Z) = ∑[𝑧𝑖 × 𝑝(𝑧𝑖)], e que 4000 
peças serão vendidas pelo fabricante, usando a propriedade de valor esperado: E(cZ) = c×E(Z), onde c será o 
número de peças vendidas, 4000. Precisamos calcular E(Z) para cada proposta e depois multiplicar o resultado 
por 4000 
Lucro esperado Proposta 1 = 4000×E(Z) = 4000×[60 ×P(X  3) + 30×P(X > 3)] 
Lucro esperado Proposta 2 = 4000×E(Z) = 4000×[65 ×P(Y =0) + 20×P(Y > 0)] 
g) De acordo com as expressões da letra f, calcule os lucros esperados de cada proposta. (R.: 213679,20; 
133083,80). 
Lucro esperado Proposta 1 = 4000×E(Z) = 4000×[60 ×P(X  3) + 30×P(X > 3)]= 
4000×[60×0,78066+30×0,21934] = $213679,20 
Lucro esperado Proposta 2 = 4000×E(Z) = 4000×[65 ×P(Y =0) + 20×P(Y > 0)] = 
4000×[65×0,29571+20×0,70249] = $ 133.083,80 
f) Qual é a melhor proposta? Por quê? 
A melhor é a Proposta 1, porque apresenta maior lucro esperado, 213679,20, contra apenas 133083,80 da 
Proposta 2. 
 
34) Uma comissão responsável pelo recebimento de equipamentos em uma empresa faz testes em 
equipamentos selecionados aleatoriamente dentre os que chegam. Para avaliar uma determinada marca de 
transformadores de pequeno porte, a comissão selecionou aleatoriamente 18 dentre os que chegaram e 
classificará a marca como satisfatória se não existir nenhum defeituoso nesta amostra. Sabe-se que a 
produção destes equipamentos apresenta um percentual de 6% de defeituosos. 
a) Qual é o modelo teórico mais apropriado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (transformador defeituoso ou não), o número de 
realizações é conhecido (n = 18), e a probabilidade de sucesso (p = 0,06; 1-p = 0,94) é suposta constante (pois 
não há informação em contrário). 
b) Esquematize a expressãopara cálculo da probabilidade de que a marca venha a ser considerada 
satisfatória. 
Marca considerada satisfatória significa que a variável aleatória X, número de transformadores defeituosos em 18 
(0,1,...,18), pode assumir valores iguais a no máximo 0, procura-se então: 
P(X = 0) = 𝐶18,0 × 0,06
0 × 0,9418−0 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que a marca venha a ser considerada 
satisfatória? (R.: 0,328) 
P(X = 0) = 𝐶18,0 × 0,06
0 × 0,9418−0 =
18!
0!×(18−0)!
× 0,060 × 0,9418 = 1 × 1 × 0,9418 = 0,328 
 
35) Em um estudo de reconhecimento de marca, 95% dos consumidores reconheceram o refrigerante 
“Guaranazinho”. Mas, dentre 15 consumidores selecionados ao acaso apenas 10 reconheceram a marca. 
a) Qual é o modelo teórico mais apropriado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (consumidor reconhece Guaranazinho ou não), o 
número de realizações é conhecido (n = 15), e a probabilidade de sucesso (p = 0,95; 1-p = 0,05) é suposta 
constante, porque os consumidores foram selecionados ao acaso. 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de obter no máximo 10 consumidores que 
reconheceram “Guaranazinho” dentre os 15 selecionados. 
Haver no máximo 10 consumidores significa que a variável aleatória X, número de consumidores que reconhecem 
Guaranazinho em 15 (0,1, ..., 15), pode assumir valores no máximo iguais a 10, procura-se então: 
P(X  10) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) 
+ P(X=10) 
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5 
 
Ou se pode usar o evento complementar: 
P(X  10) = 1 – P(X > 10) = 1 – P(X=11) – P(X=12) – P(X=13) – P(X=14) – P(X=15) 
𝑃(𝑋 ≤ 10) = 1 − 𝐶15,11 × 0,95
11 × 0,0515−11 − 𝐶15,12 × 0,95
12 × 0,0515−12 − 𝐶15,13 × 0,95
13 × 0,0515−13
− 𝐶15,14 × 0,95
14 × 0,0515−14 − 𝐶15,15 × 0,95
15 × 0,0515−15 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de obter no máximo 10 consumidores 
que reconheceram “Guaranazinho” dentre os 15 selecionados. (R.: 0,0006146) 
𝑃(𝑋 ≤ 10) = 1 − 𝐶15,11 × 0,95
11 × 0,0515−11 − 𝐶15,12 × 0,95
12 × 0,0515−12 − 𝐶15,13 × 0,95
13 × 0,0515−13
− 𝐶15,14 × 0,95
14 × 0,0515−14 − 𝐶15,15 × 0,95
15 × 0,0515−15 
𝑃(𝑋 ≤ 10) = 1 − 0,004853 − 0,030733 − 0,134752 − 0,365756 − 0,463291 = 0,000615 
d) Você acha que o resultado possa ser consequência de mero acaso? (R.: não, probabilidade muito baixa) 
Não, a probabilidade é muito baixa, 0,0615% de ter ocorrido meramente por acaso. 
e) Suponha que será realizada uma nova pesquisa com 1200 pessoas. Determine a média e o desvio 
padrão do número de consumidores que reconhecem “Guaranazinho”. (R.: 1140; 7,55) 
Lembrando que se X segue binomial, E(X) = n × p, V(X) = n×p×(1-p), e que o desvio padrão é a raiz 
quadrada positiva da variância. Para n = 1200 e p = 0,95 (nada foi informado sobre mudança em p): 
E(X) = 1200×0,95 = 1140, V(X) = 1200×0,95×0,05= 57, Desvio padrão = √𝑉(𝑋) = √57 = 7,55 
Adaptado de TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, páginas 104 e 107. 
 
36) Certo pequeno município de SC relata que em média nascem 2,25 crianças por dia. Argumentam que 
tal taxa justificaria a instalação de um hospital com maternidade no local. O governo do estado, com 
problemas de caixa declara que somente se a probabilidade de nascerem mais de 2 crianças por dia for 
superior a 50% o hospital será instalado. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Poisson. A variável aleatória é discreta, número de crianças, mas seu contradomínio é infinito numerável, não há 
limite superior de realizações, e a análise é feita em um período contínuo (neste caso de tempo, 1 dia), para o qual 
há uma taxa conhecida e fixa de ocorrência do evento. 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade necessária para decidir se o hospital deve ser 
instalado. 
A variável aleatória X, número de crianças que nascem em 1 dia pode assumir os valores 0, 1, 2,.... Há uma taxa 
conhecida de 2,25 crianças por dia, e a análise será feita em 1 dia, então m = λ×t = 2,25×1 = 2,25 crianças. Para 
que o hospital seja instalado a probabilidade de nascerem mais de 2 crianças por dia deve ser maior do que 50%. 
Então, busca-se a probabilidade de nascerem mais de 2 crianças por dia: 
P(X > 2) = P(X = 3)+ P(X = 4) + ... Não há limite superior, obrigando o uso da expressão de probabilidade de 
evento complementar: 
P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 > 2) = 1 −
𝑒−2,25 × 2,250
0!
−
𝑒−2,25 × 2,251
1!
−
𝑒−2,25 × 2,252
2!
 
Se P(X > 2) for maior do que 0,5 (50%) o hospital deve ser instalado. 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade necessária para decidir se o hospital deve 
ser instalado. (R.: 0,390660733) 
𝑃(𝑋 > 2) = 1 −
𝑒−2,25 × 2,250
0!
−
𝑒−2,25 × 2,251
1!
−
𝑒−2,25 × 2,252
2!
 
𝑃(𝑋 > 2) = 1 − 0,105399225 − 0,237148255 − 0,266791787 =0,390660733 (39,06%) 
d) De acordo com as informações do enunciado e com o resultado da letra c, o hospital deve ser 
instalado? Por quê? 
Como P(X > 2) vale 39,06%, portanto é menor do que 50%, o hospital não deve ser instalado. 
Adaptado de TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, página 109. 
 
37) A concessionária Três Rodas vende em média 0,5 carros por dia. A empresa precisa fazer algumas 
vendas imediatamente, pois precisa pagar uma dívida que vence em 2 dias. Precisa vender no mínimo 3 
carros em 2 dias para conseguir o dinheiro. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Poisson. A variável aleatória é discreta, número de carros vendidos, mas seu contradomínio é infinito numerável, 
não há limite superior de realizações, e a análise é feita em um período contínuo (neste caso de tempo, 2 dias), 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
6 
 
para o qual há uma taxa conhecida e fixa de ocorrência do evento. 
b) Esquematize a expressão de cálculo da probabilidade de que a empresa consiga pagar a dívida. 
A variável aleatória X, número de carros vendidos em 1 dia pode assumir os valores 0, 1, 2,.... Há uma taxa 
conhecida de 0,5 carros vendidos por dia, e a análise será feita em 2 dias, então m = λ×t = 0,5×2 = 1 carros. 
Para que a dívida seja paga a concessionária precisa vender no mínimo 3 carros em três dias. Então, busca-se a 
probabilidade de vender 3 ou mais carros em 2 dias: 
P(X  3) = P(X = 3)+ P(X = 4) + ... Não há limite superior, obrigando o uso da expressão de probabilidade de 
evento complementar: 
P(X  3) = 1 – P(X < 3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 −
𝑒−1 × 10
0!
−
𝑒−1 × 11
1!
−
𝑒−1 × 12
2!
 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que a empresa consiga pagar a 
dívida? (R.: 0,0803) 
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 −
𝑒−1 × 10
0!
−
𝑒−1 × 11
1!
−
𝑒−1 × 12
2!
= 1 − 0,3679 − 0,3679 − 0,1839 = 0,0803 
Adaptado de TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, página 109. 
 
38) Estudos do COPOM mostram que há em média 4 chamadas por hora ao 190, da 1 às 6 da manhã em 
dias úteis em uma cidade do interior de um estado brasileiro. O número de chamadas pode ser 
aproximado por uma distribuição de Poisson. O COPOM mantém sempre três viaturas para atender as 
chamadas. 
a) Esquematize a expressão de cálculo da probabilidade de que as três viaturas sejam insuficientes para 
atender as chamadas em um período de 30 minutos. 
A variável aleatória X, número de chamadas em 1 hora pode assumir os valores 0, 1, 2,.... Há uma taxa conhecida 
de 4 chamadas por hora, e a análise será feita em 30 minutos, 0,5 horas, então m = λ×t = 4×0,5 = 2 chamadas. 
Para que as viaturas sejam insuficientes para atender as chamadas devem ocorrer mais de 3 chamadas (acima do 
número de viaturas disponíveis) em 30 minutos. Então, busca-sea probabilidade de ocorrer 3 ou mais chamadas 
em 30 minutos (0,5 horas) 
P(X > 3) = P(X = 4)+ P(X = 5) + ... Não há limite superior, obrigando o uso da expressão de probabilidade de 
evento complementar: 
P(X > 3) = 1 – P(X  3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) – P(X=3) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 −
𝑒−2 × 20
0!
−
𝑒−2 × 21
1!
−
𝑒−2 × 22
2!
−
𝑒−2 × 23
3!
 
b) De acordo com a expressão da letra a, calcule a probabilidade de que as três sejam insuficientes para 
atender as chamadas em um período de 30 minutos? (R.: 0,14287654) 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 −
𝑒−2 × 20
0!
−
𝑒−2 × 21
1!
−
𝑒−2 × 22
2!
 
𝑃(𝑋 > 3) = 1 − 0,13533528 − 0,27067057 − 0,27067057 − 0,18044704 = 0,14287654 
c) Dois policiais discutem sobre a carga de trabalho. Um argumenta que nos dias úteis a chance de não 
atender nenhuma chamada entre 1 e 3 horas é grande, enquanto o outro acha que não. Esquematize a 
expressão de cálculo da probabilidade que permitirá verificar qual policial está com a razão. 
A variável aleatória X, número de chamadas em 1 hora pode assumir os valores 0, 1, 2,.... Há uma taxa conhecida 
de 4 chamadas por hora, e a análise será feita em 2 horas (entre 1 e 3 horas), então m = λ×t = 4×2 = 8 chamadas. 
Busca-se a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada no período, então se procura a probabilidade de 
ocorrer 0 chamadas em 2 horas: P(X = 0) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑒−8 × 80
0!
 
d) De acordo com a expressão da letra c, calcule a probabilidade que permitirá verificar quem está com a 
razão? (R.: 0,000335463; o policial que discorda da afirmação está com a razão) 
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑒−8 × 80
0!
= 0,000335463 
A chance de não atender nenhuma é muito pequena 0,0335463%, então o policial que discorda da afirmação está 
com a razão. 
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 121. 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
7 
 
39) O sistema de atendimento utilizado por uma central telefônica possui telefonistas para atender às 
chamadas dos usuários. Uma certa telefonista recebe em média 0,20 chamadas por minuto, durante um 
turno de trabalho de 6 horas consecutivas. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Poisson. A variável aleatória é discreta, número de chamadas, mas seu contradomínio é infinito numerável, não há 
limite superior de realizações, e a análise é feita em um período contínuo (neste caso de tempo, 1 minuto), para o 
qual há uma taxa conhecida e fixa de ocorrência do evento. 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que a telefonista receba nos primeiros 10 
minutos no mínimo 5 chamadas. 
A variável aleatória X, número de chamadas recebidas em 10 minutos pode assumir os valores 0, 1, 2,.... Há uma 
taxa conhecida de 0,20 chamadas por minuto, e a análise será feita em 10 minutos, então m = λ×t = 0,20×10 = 2 
chamadas. Busca-se a probabilidade de ocorrer no mínimo 5 chamadas em 10 minutos: 
P(X  5) = P(X = 5)+ P(X = 6) + ... Não há limite superior, obrigando o uso da expressão de probabilidade de 
evento complementar: 
P(X  5) = 1 – P(X < 5) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) – P(X=3) – P(X=4) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 1 −
𝑒−2 × 20
0!
−
𝑒−2 × 21
1!
−
𝑒−2 × 22
2!
−
𝑒−2 × 23
3!
−
𝑒−2 × 24
4!
 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que a telefonista receba nos primeiros 
10 minutos receba no mínimo 5 chamadas? (R.: 0,0526) 
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 1 −
𝑒−2 × 20
0!
−
𝑒−2 × 21
1!
−
𝑒−2 × 22
2!
−
𝑒−2 × 23
3!
−
𝑒−2 × 24
4!
 
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 1 − 0,13533 − 0,27067 − 0,27067 − 0,18045 − 0,09022 = 0,05266 
d) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que a telefonista no turno completo receba 
no máximo 5 chamadas. 
A variável aleatória Y, número de chamadas recebidas em 6 horas, 360 minutos, pode assumir os valores 0, 1, 2,.... 
Há uma taxa conhecida de 0,20 chamadas por minuto, e a análise será feita em 360 minutos, então m = λ×t = 
0,20×360 = 72 chamadas. Busca-se a probabilidade de ocorrer no máximo 5 chamadas em 360 minutos: 
P(Y  5) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y= 4) + P(Y = 5) 
𝑃(𝑌 ≤ 5) =
𝑒−72 × 720
0!
+
𝑒−72 × 721
1!
+
𝑒−72 × 722
2!
+
𝑒−72 × 723
3!
+
𝑒−72 × 724
4!
+
𝑒−72 × 725
5!
 
e) De acordo om a expressão da letra d, calcule a probabilidade de que a telefonista no turno completo 
receba no máximo 5 chamadas? (R.: aproximadamente 0,0) 
𝑃(𝑌 ≤ 5) =
𝑒−72 × 720
0!
+
𝑒−72 × 721
1!
+
𝑒−72 × 722
2!
+
𝑒−72 × 723
3!
+
𝑒−72 × 724
4!
+
𝑒−72 × 725
5!
 
𝑃(𝑌 ≤ 5) = 5,38019𝐸 − 32 + 3,87373𝐸 − 30 + 1,39454𝐸 − 28 + 3,34691𝐸 − 27 + 6,02443𝐸 − 26
+ 8,67518𝐸 − 25 = 9,31253𝐸 − 252 
f) Qual é a média de chamadas em meia hora e em um turno completo? (R.: 6 chamadas, 72 chamadas) 
A variável aleatória Z, número de chamadas recebidas em 0,5 horas, 30 minutos, pode assumir os valores 0, 1, 2,... 
Há uma taxa conhecida de 0,20 chamadas por minuto, e a análise será feita em 30 minutos. O valor esperado de 
uma variável que segue uma distribuição de Poisson: E(Z) = λ×t =0,2×30 = 6 chamadas. 
A variável aleatória Y, número de chamadas recebidas em 6 horas, 360 minutos, pode assumir os valores 0, 1, 2,.... 
Há uma taxa conhecida de 0,20 chamadas por minuto, e a análise será feita em 360 minutos. O valor esperado de 
uma variável que segue uma distribuição de Poisson: E(Y) = λ×t =0,2×360 = 72 chamadas. 
 
40) Uma operadora de pedágios está preocupada com o dimensionamento de uma de suas praças. Muitos 
motoristas estão reclamando das filas, pois há apenas duas gôndolas operando todo o tempo. Estudos 
mostraram que em média 4 carros chegam na praça de pedágio a cada 15 minutos. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Poisson. A variável aleatória é discreta, número de carros que chegam na praça de pedágio, mas seu 
contradomínio é infinito numerável, não há limite superior de realizações, e a análise é feita em um período 
contínuo (neste caso de tempo, 15 minutos), para o qual há uma taxa conhecida e fixa de ocorrência do evento. 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que mais de 2 carros cheguem à praça em 30 
minutos. 
 
2 Em notação decimal: 0,00000000000000000000000093125 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
8 
 
A variável aleatória X, número de carros que chegam à praça de pedágio em 15 minutos pode assumir os valores 
0, 1, 2,.... Há uma taxa conhecida de 4 carros a cada 15 minutos, e a análise será feita em 30 minutos, então m = 
λ×t = (4 carros/15 minutos)×30 minutos = 8 carros. Busca-se a probabilidade de ocorrer mais de 2 carros em 30 
minutos: 
P(X > 2) = P(X = 3)+ P(X = 4) + ... Não há limite superior, obrigando o uso da expressão de probabilidade de 
evento complementar: 
P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 > 2) = 1 −
𝑒−8 × 80
0!
−
𝑒−8 × 81
1!
−
𝑒−8 × 82
2!
 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que mais de 2 carros cheguem à praça 
em 30 minutos? (R.: 0,9862) 
𝑃(𝑋 > 2) = 1 −
𝑒−8 × 80
0!
−
𝑒−8 × 81
1!
−
𝑒−8 × 82
2!
 
𝑃(𝑋 > 2) = 1 − 0,0003 − 0,0027 − 0,0107 = 0,9862 
d) Imagine que a ANTT estabelecesse que se a probabilidade de ocorrer filas na praça de pedágio em 30 
minutos fosse maior do que 75% a operadora seria multada. Com base no resultado da letra c, o que você 
acha que vai acontecer com a operadora? Por quê? 
A operadora será multada, porque a probabilidade de mais de 2 carros chegarem ao pedágio em 30 minutos, 
portanto acima da capacidade de atendimento, vale 0,9862, portanto maior do que 0,75 (75%). 
 
41) O setor de administração de materiais de uma empresa está tendo problemas com um dos itens 
pedidos pela produção. Há muitas reclamações que o estoque mantido é insuficiente. São requisitados em 
média4 itens a cada 6 horas. O dia de trabalho na empresa tem 12 horas. O setor de administração de 
materiais sempre manteve o estoque em 7 itens, pois crê que isso é suficiente para um dia de trabalho. 
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê? 
Poisson. A variável aleatória é discreta, número de itens requisitados, mas seu contradomínio é infinito numerável, 
não há limite superior de realizações, e a análise é feita em um período contínuo (neste caso de tempo, 6 horas), 
para o qual há uma taxa conhecida e fixa de ocorrência do evento. 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade necessária para verificar se o estoque mantido é 
suficiente para um dia de trabalho. 
A variável aleatória X, número de itens requisitados em 6 horas pode assumir os valores 0, 1, 2,.... Há uma taxa 
conhecida de 4 itens a cada 6 horas, e a análise será feita em 12 horas, então m = λ×t = (4 itens/6 horas)×12 
horas = 8 itens. Para o estoque ser suficiente para um dia de trabalho a quantidade de itens requisitados deve ser 
menor ou igual a 7. Busca-se a probabilidade de ocorrer até 7 itens requisitados em 12 horas: 
P(X  7) = P(X = 0)+ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) 
Usando as expressões de Poisson: 
𝑃(𝑋 ≤ 7) =
𝑒−8 × 80
0!
+
𝑒−8 × 81
1!
+
𝑒−8 × 82
2!
+
𝑒−8 × 83
3!
+
𝑒−8 × 84
4!
+
𝑒−8 × 85
5!
+
𝑒−8 × 86
6!
+
𝑒−8 × 87
7!
 
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade necessária para verificar se o estoque 
mantido é suficiente para um dia de trabalho. (R.: 0,452960809). 
𝑃(𝑋 ≤ 7) =
𝑒−8 × 80
0!
+
𝑒−8 × 81
1!
+
𝑒−8 × 82
2!
+
𝑒−8 × 83
3!
+
𝑒−8 × 84
4!
+
𝑒−8 × 85
5!
+
𝑒−8 × 86
6!
+
𝑒−8 × 87
7!
 
𝑃(𝑋 ≤ 7) = 0,000335463 + 0,002683701 + 0,010734804 + 0,028626144 + 0,057252288 + 0,091603662
+ 0,122138215 + 0,139586532 = 0,452960809 
d) De acordo com o resultado obtido na letra c, você acha que o estoque é suficiente? Por quê? 
Há menos de 50% de probabilidade (45,29%) de que o estoque seja suficiente, há mais probabilidade de 
que mais de 7 peças sejam requisitadas (54,71%), indicando que ele precisa ser aumentado. 
Adaptado de SILVER, M. Estatística para Administração, São Paulo: Atlas, 2000, página 248. 
 
42) Trace uma curva normal padrão e sombreie a área desejada, obtendo então as probabilidades 
a) P(Z > 1,0) (R.: 0,1587) b) P(Z < 1,0) (R.:0,8413) c) P(Z > -0,34) (R.: 0,6331) 
d) P(0 < Z < 1,5) (R.: 0,4332) e) P(-2,88 < Z < 0) (R.: 0,498) 
f) P(-0,56 < Z < -0,20) (R.: 0,133) g) P(-0,49 < Z < 0,49) (R.: 0,3758) 
h) P(2,5 < Z < 2,8) (R.: 0,0036) i) P(Z < -0,2) (R.: 0,4207) j) P(Z > -0,2) (R.:0,5793) 
k) P(-0,2 < Z < 0) (R.: 0,0793) l) P(-0,2 < Z < 0,4) (R.: 0,2347) 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
9 
 
a) No gráfico abaixo P(Z>1,0) 
 
b) No gráfico abaixo P(Z < 1,0) 
 
 
c) No gráfico abaixo P(Z>-0,34) 
 
 
d) No gráfico abaixo P(0 < Z < 1,5) 
 
 
 
 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
A área sombreada corresponde a P(Z>1,0). Esta 
probabilidade pode ser obtida diretamente da tabela: 
 
P(Z> 1,0) = 0,1587 
A área sombreada corresponde a P(Z<1,0). Esta 
probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente da 
tabela. Mas pelas propriedades de probabilidade 
sabemos que: 
P(Z<1,0) = 1 – P(Z≥1,0). Esta última probabilidade 
pode ser obtida diretamente da tabela, e é igual à 
probabilidade encontrada no item a (P(Z>1,0)), pois Z 
é uma variável aleatória contínua. Então: 
 
P(Z< 1,0) = 1 – P(Z>1,0) = 1 - 0,1587 = 0,8413 
A área sombreada corresponde a P(Z>-0,34). Esta 
probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente da 
tabela, pois o Z é negativo. Mas pelas propriedades de 
probabilidade sabemos que: 
P(Z>-0,34) = 1 – P(Z<-0,34). 
E devido à simetria da distribuição normal padrão em 
relação à média zero: 
P(Z<-0,34) = P(Z>0,34), e esta última probabilidade 
pode ser obtida da tabela. 
Então: P(Z>-0,34) = 1 – P(Z>0,34) = 
 1 – 0,3669 = 0,6331 
Para obter a probabilidade de Z estar entre 0 e 1,5 
basta obter a probabilidade de Z ser maior do que zero 
e subtrair a probabilidade de Z ser maior do que 1,5: o 
resultado será exatamente a probabilidade do intervalo 
procurado. 
P(0 < Z < 1,5) = P(Z>0) – P(Z>1,5) 
 = 0,5 – 0,0668 = 0,4332 
Esta probabilidade foi facilmente obtida por que os 
valores de Z são ambos positivos. 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
10 
 
e) No gráfico abaixo P(-2,88 < Z < 0) 
 
 
f) No gráfico abaixo P(-0,56<Z<-0,2) 
 
 
g) No gráfico abaixo P(-0,49 < Z < 0,49) 
 
 
h) No gráfico abaixo P(2,5 <Z < 2,8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra d): 
P(-2,88<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-2,88). 
A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas P(Z<-
2,88) não pode ser obtida diretamente da tabela. 
Contudo, devido à simetria da distribuição normal 
padrão em relação à média zero: P(Z<-2,88) = 
P(Z>2,88). Então: 
P(-2,88<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,88) = 
 0,5 – 0,0020 = 0,4980 
O valor de Z -2,88 é “invisível” no gráfico ao lado 
devido à grande distância da média (2,88 desvios 
padrões). 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra e, 
tendo em mente que os dois valores que definem o 
intervalo são negativos, e que há simetria da 
distribuição normal padrão em relação à média zero: 
 
P(-0,56<Z<-0,2) = P(Z>0,2) – P(Z>0,56) 
 = 0,4207 – 0,2877 = 0,133 
Usemos um raciocínio semelhante ao das letras d e e, 
mas agora os valores que definem o intervalo têm sinais 
diferentes, mas são iguais em módulo, isto é estão à 
mesma distância da média (zero). Sendo assim, 
P(Z>0,49) = P(Z<-0,49), devido à simetria da 
distribuição normal padrão em relação à média. 
Recordando que a probabilidade de ocorrência de um 
evento é igual a 1 menos a probabilidade do seu 
complementar, então: 
P(-0,49<Z<0,49) = 1- 2 × P(Z>0,49) 
 = 1 – 2 × 0,3121 = 0,3758 
Usando um raciocínio semelhante ao da letra d, basta 
obter a probabilidade de Z ser maior do que 2,5 e 
subtrair a probabilidade de Z ser maior do que 2,8: o 
resultado será exatamente a probabilidade do intervalo 
procurado. 
P(2,5< Z < 2,8) = P(Z>2,5) – P(Z>2,8) 
 = 0,0062 – 0,0026 = 0,0036 
Esta probabilidade foi facilmente obtida por que os 
valores de Z são ambos positivos. O valor obtido é 
pequeno, pois o intervalo está a mais de 2 desvios 
padrões da média. 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
11 
 
i) No gráfico abaixo P(Z<-0,2) 
 
 
j) No gráfico abaixo P(Z>-0,2) 
 
k) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0) 
 
 
l) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0,4) 
 
 
43) Trace uma curva normal, sombreie a área desejada, e determine os valores de z1 que correspondem às 
seguintes probabilidades: 
a) P(Z > z1)= 0,0505 (R.: 1,64) b) P(Z > z1) = 0,0228 (R.: 2) c) P(Z < z1) = 0,0228 (R.: -2) 
d) P(0 < Z < z1) = 0,4772 (R.: 2) e) P(-z1 < Z < z1) = 0,95 (R.: 1,96) 
f) P(Z < z1) = 0,0110 (R.: -2,29) g) P(Z < z1) = 0,0505 (R.: -1,64) h) P(Z < z1) = 0,5 (R.: 0) 
i) P(-z1 < Z < z1) = 0,6825 (R.: 1,0) j) P(-z1 < Z < z1) = 0,9544 (R.: 2,0) 
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 151. 
Neste exercício devemos procurar pelas probabilidades informadas na tabela e então encontrar os valores de Z 
correspondentes. Se não for possível encontrar o valor de Z exatamente correspondente à probabilidade 
procurada, pode-se obter o mais próximo possível. 
 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
A probabilidade procurada não pode ser obtida 
diretamente da tabela: esta define as probabilidades 
de Z ser MAIOR do que um certo valor. Entretanto, 
devido à simetria da distribuição normal padrão em 
relação à média zero: 
P(Z<-0,2) = P(Z>0,2) = 0,4207 
A probabilidade procurada não pode ser obtida 
diretamente da tabela, pois Z aqui é negativo. 
Entretanto, devido à simetria da distribuição normal 
padrão em relação à média zero, e usando a 
propriedade do evento complementar: 
P(Z>-0,2) = 1-P(Z>0,2) = 1-0,4207 = 0,5793 
Podemos usar o raciocínio da letra e. A probabilidade 
P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas P(Z<-0,2) não pode ser 
obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à 
simetria da distribuição normal padrão em relação à 
média zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então: 
P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>0,2) = 
 0,5 – 0,4207 = 0,0793 
 
Usemos um raciocínio semelhante ao da letra g, mas 
os valores que definem o intervalo têm sinais e valores 
diferentes. Mas, devido à simetria da distribuição 
normal padrão em relação à média: P(Z<-0,2) = 
P(Z>0,2). Recordando que a probabilidade de 
ocorrência de um evento é igual a 1 menos a 
probabilidade do seu complementar, então: 
P(-0,2<Z<0,4) = 1- P(Z>0,2) - P(Z>0,4) 
 = 1 – 0,4207 – 0,3446 = 0,2347 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
12 
 
a) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0505 
 
 
b) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0228. 
 
 
c) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0228 
 
 
d) No gráfico abaixo P(0<Z<Z1) = 0,4772 
 
 
e) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,95 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5
1,
99
2,
49
2,
99
3,
49
3,
99
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z 
ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0505. Desta 
forma podemos procurar esta probabilidade 
diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda 
identificamos a linha 1,6. E na primeira linha 
encontramos a segunda decimal 0,04, resultando em 
Z1 = 1,64. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de 
Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0228. Desta 
forma podemos procurar esta probabilidade 
diretamente na tabela. Na coluna da extrema 
esquerda identificamos a linha 2,0. E na primeira 
linha encontramos a segunda decimal 0,00, 
resultando em Z1 = 2,00. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z 
ser MENOR do que ele seja igual a 0,0228. Desta 
forma NÃO podemos procurar esta probabilidade 
diretamente na tabela. Entretanto, devido à simetria da 
distribuição normal padrão à média zero, sabemos que: 
P(Z<Z1) = 0,0228 = P(Z>-Z1) = 0,0228 
De acordo com a letra b –Z1 = 2,00, então Z1 = -2,00. 
Observe a coerência do resultado: como a área é 
limitada por um valor ABAIXO de zero, obviamente Z1 
teria que ser negativo. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de 
Z estar entre 0 e ele seja igual a 0,4772. Percebe-se 
que Z1 será POSITIVO. 
P(0<Z<Z1) = 0,4772 = P(Z>0) – P(Z>Z1) 
P(Z>Z1) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228. 
Observe que se trata do mesmo problema da letra b, 
então Z1 = 2. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z 
estar entre –Z1 e +Z1 seja igual a 0,95. Como os dois 
valores estão à mesma distância de zero 
P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,95)/2 = 0,025 
P(Z>Z1) = 0,025. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z ser 
MAIOR do que ele seja igual a 0,025. Desta forma 
podemos procurar esta probabilidade diretamente na 
tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a 
linha 1,9. E na primeira linha encontramos a segunda 
decimal 0,06, resultando em Z1 = 1,96. 
 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
13 
 
f) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0110 
 
 
g) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0505 
 
 
h) P(Z<Z1) = 0,5. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à sua média zero, então Z1 
= 0, pois há 50% de chance dos valores serem menores do que zero. 
 
i) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,6825 
 
 
j) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,9544 
 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z ser 
MENOR do que ele seja igual a 0,0110. Este valor não 
pode ser identificado diretamente na tabela, mas devido à 
simetria da distribuição normal à média zero: P(Z<Z1) = 
0,0110 = P(Z>-Z1) 
Procura-se o valor de -Z1 tal que a probabilidade de Z ser 
MAIOR do que ele seja igual a 0,0110. Desta forma 
podemos procurar esta probabilidade diretamente na 
tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a 
linha 2,2. E na primeira linha encontramos a segunda 
decimal 0,09, resultando em -Z1 = 2,29. Logo Z1 = -2,29 
(observe a coerência com o gráfico, pois Z1 é menor do que 
zero). 
 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z ser 
MENOR do que ele seja igual a 0,0505. Este valor não pode 
ser identificado diretamente na tabela, mas devido à simetria 
da distribuição normal à média zero: P(Z<Z1) = 0,0505 = 
P(Z>-Z1) 
Procura-se o valor de -Z1 tal que a probabilidade de Z ser 
MAIOR do que ele seja igual a 0,0505. Desta forma podemos 
procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna 
da extrema esquerda identificamos a linha 1,6. E na primeira 
linha encontramos a segunda decimal 0,04, resultando em -Z1 
= 1,64. Logo Z1 = -1,64 (observe a coerência com o gráfico, 
pois Z1 é menor do que zero). 
 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade deZ 
estar entre –Z1 e +Z1 seja igual a 0,6825. Como os dois 
valores estão à mesma distância de zero 
P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,6825)/2 = 0,1587 
P(Z>Z1) = 0,1587. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z 
ser MAIOR do que ele seja igual a 0,1587. Desta forma 
podemos procurar esta probabilidade diretamente na 
tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a 
linha 1,0. E na primeira linha encontramos a segunda 
decimal 0,00, resultando em Z1 = 1,00. 
 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z 
estar entre –Z1 e +Z1 seja igual a 0,9544. Como os 
dois valores estão à mesma distância de zero 
P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,9544)/2 = 0,0228 
P(Z>Z1) = 0,0228. 
Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade de Z 
ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0228. Desta 
forma podemos procurar esta probabilidade 
diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda 
identificamos a linha 2,0. E na primeira linha 
encontramos a segunda decimal 0,00, resultando em 
Z1 = 2,00. 
 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
14 
 
44) Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 25 e desvio padrão 2. 
a) Para X = 23, Z será negativo ou positivo? Por quê? 
Será negativo porque 23 é menor do que 25. 
b) Obter o valor de Z correspondente a 23. (R.: -1,0) 
A solução desta questão passa pela utilização da equação Z = (x -)/, sabendo-se que  = 25 e  = 2. 
Z = (23-25)/2 = -1,0 
c) Para X = 25,5, Z será negativo ou positivo? Por quê? 
Será positivo porque 25,5 é maior do que 25. 
d) Obter o valor de Z correspondente a 25,5. (R.: 0,25) 
Z = (25,2-25)/2 = 0,1 
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 152. 
 
45) Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 40 e desvio padrão 3. 
a) Se Z = 0,10, o valor de X correspondente será maior ou menor do que a média? Por quê? 
Será MAIOR do que a média (40), pois Z sendo positivo o valor correspondente da variável está acima 
da média. 
b) Obtenha o valor de X correspondente a 0,10. (R.: 40,3). 
Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolar o valor de x: x =  + Z×, sabendo que  
= 40 e  = 3. x = 40 + (0,1×3) = 40,3 
c) Se Z = -3,00, o valor de X correspondente será maior ou menor do que a média? Por quê? 
Será MENOR do que a média (40), pois Z sendo negativo o valor correspondente da variável está abaixo 
da média. 
d) Obtenha o valor de X correspondente a -3,00. (R.: 31). 
x = 40 + (-3×3) = 31 
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 152. 
 
46) Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 50 e desvio padrão igual 
a 5. Para cada caso desenhe a curva normal apropriada, sombreie a área correspondente à probabilidade 
desejada e obtenha seus valores. 
a) P(40 < X < 50) (R.: 0,4772) b) P(49 < X < 50) (R.: 0,0793) c) P(40 < X < 45) (R.: 0,1359) 
d) P(56 < X < 60) (R.: 0,0923) e) P(40 < X < 65) (R.: 0,97585) f) P(45 < X < 55) (R.: 0,6826) 
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 152. 
a) P(40<X<50) 
 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
0
3
2
,5 3
5
3
7
,5 4
0
4
2
,5 4
5
4
7
,5 5
0
5
2
,5 5
5
5
7
,5 6
0
6
2
,5 6
5
6
7
,5 7
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Usando a equação Z = (x -)/ podemos 
encontrar os valores de Z correspondentes a 40 e 
50: 
Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (50-50)/5 = 0 
Então: P(40<X<50) = P(-2<Z<0). 
 
Abaixo está o gráfico da variável Z 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da 
letra d do Exercício 42: P(-2,0<Z<0) = P(Z<0) – 
P(Z<-2,0). 
A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas 
P(Z<-2,0) não pode ser obtida diretamente da 
tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição 
normal padrão em relação à média zero: P(Z<-
2,0) = P(Z>2,0). Então: 
P(-2,0<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) = 
 0,5 – 0,0228 = 0,4772 
 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
15 
 
b) P(49<X<50) 
 
 
 
c)P(40<X<45) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
0
3
2
,5 3
5
3
7
,5 4
0
4
2
,5 4
5
4
7
,5 5
0
5
2
,5 5
5
5
7
,5 6
0
6
2
,5 6
5
6
7
,5 7
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
0
3
2
,5 3
5
3
7
,5 4
0
4
2
,5 4
5
4
7
,5 5
0
5
2
,5 5
5
5
7
,5 6
0
6
2
,5 6
5
6
7
,5 7
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Usando a equação Z = (x -)/ podemos 
encontrar os valores de Z correspondentes a 49 e 
50: 
Z1 = (49-50)/5 = -0,2 Z2 = (50-50)/5 = 0 
Então: P(49<X<50) = P(-0,2<Z<0). 
 
Abaixo está o gráfico da variável Z 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da 
letra i do Exercício 42: P(-0,2<Z<0) = P(Z<0) – 
P(Z<-0,2). 
A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas 
P(Z<-0,2) não pode ser obtida diretamente da 
tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição 
normal padrão em relação à média zero: P(Z<-
0,2) = P(Z>0,2). Então: 
P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) = 
 0,5 – 0,4207 = 0,0793 
 
Usando a equação Z = (x -)/ podemos 
encontrar os valores de Z correspondentes a 40 e 
45: 
Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (45-50)/5 =-1 
Então: P(40<X<45) = P(-2<Z<-1). 
 
Abaixo está o gráfico da variável Z 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra f 
do Exercício 42: P(-2<Z<-1) = P(Z>1) – P(Z>2). 
Então: 
 P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então: 
P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) = 
 0,5 – 0,4207 = 0,0793 
 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
16 
 
d) P(56<X<60) 
 
 
 
e) P(40<X<65) 
 
 
f) P(45<X<55) 
 
 
 
47) Suponha que o escore dos estudantes no vestibular seja uma variável aleatória com distribuição 
normal com média 550 e variância 900. 
a) Se a admissão em certo curso exige um escore mínimo de 575, desenhe a curva normal e sombreie a 
área correspondente à probabilidade de um estudante ser admitido. 
E preciso encontrar o valor de Z correspondente ao escore mínimo 575. Como 575 é maior do que 550, o 
valor de Z associado será positivo. Z1 = (575-550)/30 = 0,83 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
30
32
,5 35
37
,5 40
42
,5 45
47
,5 50
52
,5 55
57
,5 60
62
,5 65
67
,5 70
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
0
3
2
,5 3
5
3
7
,5 4
0
4
2
,5 4
5
4
7
,5 5
0
5
2
,5 5
5
5
7
,5 6
0
6
2
,5 6
5
6
7
,5 7
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
0
3
2
,5 3
5
3
7
,5 4
0
4
2
,5 4
5
4
7
,5 5
0
5
2
,5 5
5
5
7
,5 6
0
6
2
,5 6
5
6
7
,5 7
0
X
Usando a equação Z = (x -)/ podemos 
encontrar os valores de Z correspondentes a 56 e 
60: 
Z1 = (56-50)/5 = 1,2 Z2 = (60-50)/5 =2 
Então: P(56<X<60) = P(1,2<Z<2). 
 
Abaixo está o gráfico da variável Z 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra h 
do Exercício 42: 
P(1,2<Z<2) = P(Z>1,2) – P(Z>2). 
Então: 
 P(1,2<Z<2) = 0,1151 – 0,0228 = 0,0923 
 
Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar 
os valores de Z correspondentes a 40 e 65: 
Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (65-50)/5 =3 
Então: P(40<X<65) = P(-2<Z<3). 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra 
g do Exercício 42 (embora os valores de Z não 
sejam iguais): 
P(-2<Z<3) = 1- P(Z>2) – P(Z>3). 
Então: 
 P(-2<Z<3) = 1-0,0228 – 0,00135 = 0,97585 
 
Usando a equação Z = (x-)/ podemos 
encontrar os valores de Z correspondentes a 40 e 
65: 
Z1 = (45-50)/5 = -1 Z2 = (55-50)/5 =1 
Então: P(45<X<55) = P(-1<Z<1). 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da 
letra g do Exercício 42: 
P(-1<Z<1) = 1- 2×P(Z>1) 
Então: 
 P(-1<Z<1) = 1-2×0,1587 = 0,6826 
 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
17 
 
 
b) Para a situação da letra a, obtenha a probabilidade de um estudante ser admitido. (R.: 0,2033) 
Então P(X>575) = P(Z>0,83). P(Z>0,83) pode ser obtida diretamente da tabela: P(Z>0,83) = 0,2033. 
c) Se a admissão em certo curso exige um escore mínimo de 540, desenhe a curva normal e sombreie a 
área correspondente à probabilidade de um estudante ser admitido. 
E preciso encontrar o valor de Z correspondente ao escore mínimo 540. Como 540 é menor do que 550, 
o valor de Z associado será negativo. Z2 = (540-550)/30 = -0,33 
 
d) Para a situação da letra a, obtenha a probabilidade de um estudante ser admitido. (R.: 0,6293) 
Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade 
da probabilidade do evento complementar: P(Z<-0,33)=1 - P(Z>0,33) = 1 – 0,3707 = 0,6293. 
Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J.. Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 172. 
 
48) Existe um processo para fabricação de eixos que apresenta comportamento praticamente normal com 
média de 3,062 mm e variância de 0,0001 mm2. 
a) Desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente à probabilidade de que os eixos produzidos 
apresentarem diâmetro superior a 3,05 mm. 
P(X>3,05).  = 3,062 e 𝜎 = √0,0001 = 0,01, P(X>3,05) = P(Z>Z1): Z1= (3,05 – 3,062)/0,01 = -1,2. 
Veja os gráficos a seguir: 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
4
3
0
4
4
5
4
6
0
4
7
5
4
9
0
5
0
5
5
2
0
5
3
5
5
5
0
5
6
5
5
8
0
5
9
5
6
1
0
6
2
5
6
4
0
6
5
5
6
7
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
4
3
0
4
4
5
4
6
0
4
7
5
4
9
0
5
0
5
5
2
0
5
3
5
5
5
0
5
6
5
5
8
0
5
9
5
6
1
0
6
2
5
6
4
0
6
5
5
6
7
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
,0
2
2
0
3
,0
2
7
0
3
,0
3
2
0
3
,0
3
7
0
3
,0
4
2
0
3
,0
4
7
0
3
,0
5
2
0
3
,0
5
7
0
3
,0
6
2
0
3
,0
6
7
0
3
,0
7
2
0
3
,0
7
7
0
3
,0
8
1
9
3
,0
8
6
9
3
,0
9
1
9
3
,0
9
6
9
3
,1
0
1
9
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
18 
 
b) Para a situação da letra a, obtenha a probabilidade (percentual) de que os eixos produzidos 
apresentarem diâmetro superior a 3,05 mm. (R.: 0,8849) 
Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade 
da probabilidade do evento complementar, P(X>3,05) = P(Z>-1,2) = 1- P(Z>1,2) = 1-0,1151 = 0,8849 
(88,49%). 
c) O diâmetro dos eixos deve ter entre 3,04 mm e 3,08 mm. Eixos muito largos ou muito estreitos são 
perdidos. Desenhe uma curva normal e sombreie a área correspondente à probabilidade de que os eixos 
estejam dentro do intervalo desejado para o diâmetro. 
A solução é encontrar a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões: P(3,04<X<3,08). 
Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 3,04 e 3,08: 
Z1 = (3,04-3,062)/0,01 = -2,2 Z2 = (3,08-3,062)/0,01 = 1,8 
Então P(3,04<X<3,08) = P(-2,2<Z<1,8). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir: 
 
d) Para a situação da letra c, calcule a probabilidade de que os eixos atendam aos requisitos (estejam entre 
3,04 e 3,08 mm). (R.: 0,9502). 
Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 42 (embora os valores de Z não 
sejam iguais): 
P(-2,2<Z<1,8) = 1- P(Z>1,8) – P(Z>2,2). Então: P(-2,2<Z<1,8) = 1 - 0,0359 – 0,0139 = 0,9502. 
Conclui-se então que a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões vale 0,9502, e de estarem 
fora dos padrões vale 1- 0,9502 = 0,0498. 
e) O custo por eixo é de $1,2, sendo vendido por $5. Esquematize a expressão para calcular o lucro 
esperado numa produção de 100 eixos. 
Eixos dentro dos padrões resultarão em lucro de 5-1,2 = 3,8. Eixos fora dos padrões, cuja probabilidade 
de ocorrência será resultarão em prejuízo de 1,2 
Podemos então criar uma nova variável aleatória Y, lucro individual, com a seguinte distribuição: 
Y P(Y) 
-1,2 0,0498 
3,8 0,9502 
O valor esperado de Y pode ser obtido através da expressão: 
 𝐸(𝑌) = ∑ (𝑦𝑖 × 𝑝𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1 = −1,2 × 0,0498 + 3,8 × 0,9502 
f) De acordo com a expressão da letra e, calcule o lucro esperado numa produção de 100 eixos. (R.: 
$355,1) 
𝐸(𝑌) = ∑(𝑦𝑖 × 𝑝𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
= −1,2 × 0,0498 + 3,8 × 0,9502 = 3,551 
Queremos encontrar o lucro esperado em 100. Podemos usar uma propriedade do valor esperado: 
E(k×Y) = 100×E(Y) => O valor esperado do produto de uma constante (100 no caso deste problema) 
pelo valor esperado de uma variável aleatória é igual ao produto da constante pelo próprio valor 
esperado. Assim, para 100 peças: E(100×Y) = 100 × E(Y) = 100 × 3,551 = 355,1. 
 
49) Sabe-se que a precipitação anual de chuva em certa localidade, cuja altura é medida em cm, é uma 
variável aleatória normalmente distribuída com altura média igual a 29,5 cm e desvio padrão de 2,5 cm de 
chuva. 
a) Desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente à altura de chuva ultrapassada em cerca de 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
3
,0
2
2
0
3
,0
2
7
0
3
,0
3
2
0
3
,0
3
7
0
3
,0
4
2
0
3
,0
4
7
0
3
,0
5
2
0
3
,0
5
7
0
3
,0
6
2
0
3
,0
6
7
0
3
,0
7
2
0
3
,0
7
7
0
3
,0
8
1
9
3
,0
8
6
9
3
,0
9
1
9
3
,0
9
6
9
3
,1
0
1
9
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
19 
 
5% das medições. 
Variável aleatória X = precipitação anual em cm, segue distribuição normal com  = 29,5 e  = 2,5. 
Precisamos encontrar o valor de X que delimita os 5% maiores valores de X: P(X>X1) = 0,05. Com base 
na equivalência com a distribuição normal padrão: P(X>X1) = P(Z>Z1) = 0,05. Veja os gráficos a 
seguir: 
 
b) Para a situação da letra a, obtenha a altura de chuva ultrapassada em cerca de 5% das medições? (R.: 
33,6125 cm) 
Procurar na tabela pela probabilidade 0,05. Esta probabilidade NÃO EXISTE na tabela, podemos 
encontrar os valores mais próximos. Na coluna da extrema esquerda vamos encontrar o valor 1,6, e na 
linha superior vamos encontrar a segunda decimal 0,04 e 0,05: P(Z>1,64) = 0,0505 e P(Z>1,645) = 
0,0495. Como as probabilidades estão à mesma distância de 0,05 fazemos a média dos 2 valores de Z, 
então Z1 = 1,645. Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x =  + 
Z×, sabendo que  = 29,5,  = 2,5 e Z1 = 1,645: x1 = 29,5 + 1,645 ×2,5 = 33,6125 cm. 
c) Desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente à probabilidade de que a altura de chuva 
ultrapasse 32 cm. 
P(X>32).  = 29,5 e  = 2,5, P(X>32) = P(Z>Z2): Z2= (32 – 29,5)/2,5 = 1,0. Veja os gráficos a seguir: 
 
d) Para a situação da letra c, obtenha a probabilidade de que a altura de chuva ultrapasse 32 cm. (R.: 
0,1587). 
P(Z>1,0) = 0,1587. 
e) Se em mais de 45% das vezes a altura de chuva ultrapassar 32 cm torna-se viável a instalação de um 
sistema para coleta e armazenamento de água da chuva (como complemento à atual malha de 
abastecimento). É viável instalar o sistema na localidade?(R.: Não) 
Não, como a probabilidade de ultrapassar 32 cm é de 15,87%, abaixo de 45%, não é viável instalar o 
sistema na localidade. 
 
50) Um fornecedor da IBM foi contratado para fabricar substratos de cerâmica, utilizados para transmitir 
sinais entre chips de silício para computador. As especificações exigem uma resistência entre 1,6 e 2,4 
ohms, mas a população tem resistências distribuídas normalmente com média de 1,978 ohms e desvio 
padrão de 0,172 ohms. 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
9
,5
0
2
0
,7
5
2
2
,0
0
2
3
,2
5
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,5
0
2
5
,7
5
2
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,0
0
2
8
,2
5
2
9
,5
0
3
0
,7
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3
2
,0
0
3
3
,2
5
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,4
8
3
5
,7
3
3
6
,9
8
3
8
,2
3
3
9
,4
8
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
9
,5
0
2
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,7
5
2
2
,0
0
2
3
,2
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2
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,7
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2
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,0
0
2
8
,2
5
2
9
,5
0
3
0
,7
5
3
2
,0
0
3
3
,2
5
3
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,4
8
3
5
,7
3
3
6
,9
8
3
8
,2
3
3
9
,4
8
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
20 
 
a) Desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente à probabilidade dos chips estarem dentro 
das especificações. 
Primeiramente encontramos a percentagem que atende às especificações P(1,6<X<2,4). Usando a 
equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 1,6 e 2,4: 
Z1 = (1,6-1,978)/0,172 = -2,2 Z2 = (2,4-1,978)/0,172 =2,45 
Então: P(1,6<X<2,4) = P(-2,2<Z<2,45). Veja os gráficos a seguir: 
 
b) Para a situação da letra a, obtenha a probabilidade dos chips estarem dentro das especificações. (R.: 
0,9789). 
P(-2,2<Z<2,45) = 1- P(Z>2,2) – P(Z>2,45). Então: P(-2,2<Z<2,45) = 1-0,0139 – 0,0071 = 0,979. A 
esmagadora maioria dos eixos está dentro das especificações. 
c) A IBM admite um máximo de 1,0% dos chips fora das especificações. Com base no resultado da letra b 
o fornecedor está atendendo ao padrão da IBM? Por quê? 
O percentual dos eixos que NÃO atendem às especificações seria igual a 1 – 0,979 = 0,021 (2,1%). 
Como o percentual de eixos fora da especificação é MAIOR do que o máximo permitido pela IBM 
(1,0%), o fornecedor não está atendendo ao padrão. 
Adaptado de TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, página 124. 
 
51) Um professor aplica um teste e obtém resultados distribuídos normalmente com média 50 e desvio 
padrão 10. 
a) Desenhe a curva normal e sombreie com marcações diferentes às áreas correspondentes às notas 
atribuídas de acordo com o esquema: A: 10% superiores; B: notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 
10% superiores; C: notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superiores; D: notas acima dos 10% 
inferiores e abaixo dos 70% superiores; E: 10% inferiores. 
O problema é definir as faixas de percentuais, obter os valores de Z correspondentes e depois os valores 
das notas que definem os conceitos. Veja os gráficos abaixo. 
 
P(Z>Z4) = 0,1 P(Z>Z3) = 0,3 P(Z>Z2) = 0,7 P(Z>Z1) = 0,9 
b) Para a situação da letra a, obtenha os limites numéricos para cada conceito. (R.: 62,8; 55,2; 44,8; 37,2) 
Procurando na tabela da distribuição normal padrão: 
Z4  1,28, x4 = 50 + 1,28 ×10 = 62,8 Z3  0,53, x3 = 50 + 0,53 ×10 = 55,3 
P(Z>Z2) = 0,7 , P(Z>- Z2) = 1 – 0,7 = 0,3 - Z2  0,53 Z2  -0,53, x2 = 50 -0,53 ×10 = 44,7 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
,2
9
0
0
1
,3
7
6
0
1
,4
6
2
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1
,5
4
8
0
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,6
3
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1
,7
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0
0
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,8
0
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1
,8
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2
0
1
,9
7
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0
2
,0
6
4
0
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,1
5
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2
,2
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2
,4
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3
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,4
9
2
3
2
,5
7
8
3
2
,6
6
4
3
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
0
,0
0
1
5
,0
0
2
0
,0
0
2
5
,0
0
3
0
,0
0
3
5
,0
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4
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,0
0
4
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,0
0
5
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,0
0
5
5
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6
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,0
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6
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,0
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,9
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7
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0
7
9
,9
0
8
4
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0
8
9
,9
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
,0
0
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,5
0
-3
,0
0
-2
,5
0
-2
,0
0
-1
,5
0
-1
,0
0
-0
,5
0
0
,0
0
0
,5
0
1
,0
0
1
,5
0
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Z1 
Z2 
Z3 
Z4 
X1 
X2 
X3 
X4 
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
21 
 
P(Z>Z1) = 0,9, P(Z>- Z1) = 1 – 0,9 = 0,1 - Z1  1,28 Z1  -1,28, x1 = 50 -1,28 ×10 = 37,2 
As notas então serão 37,2, 44,7, 55,3 e 62,8. 
Adaptado de TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, páginas 126 e 127. 
 
52) O tempo de vida de um determinado componente eletrônico distribui-se normalmente com média de 
2500 horas e variância de 4900 horas2. 
a) Desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente ao prazo de garantia dos componentes para 
que o serviço de reposição atendesse a somente no máximo 5% dos componentes adquiridos. 
Procura-se o valor de Z1 tal que P(Z<Z1) = 0,05. Devido à simetria da distribuição normal padrão à 
média zero: P(Z<Z1) = 0,05 = P(Z>-Z1). 
 
b) Para a situação da letra a, obtenha o prazo de garantia dos componentes para que o serviço de 
reposição atendesse a somente no máximo 5% dos componentes adquiridos. (R.: 2384,9 horas) 
Lembrando da letra b do exercício 49, -Z2 = 1,645, então Z2 = -1,645. Novamente devemos usar a 
equação Z = (x -)/, obtendo x: x =  + Z×, sabendo que  = 2500,  = 70 e Z2 = -1,645: 
 x2 = 2500 - 1,645 ×70= 2384,9h. Para repor apenas 5% da produção o prazo máximo de garantia 
deveria ser de 2384,9 h. 
 
53) Imagine que a UFSC tivesse antecipado os resultados abaixo, referentes aos candidatos não 
eliminados, antes de divulgar a relação com as notas de todos os candidatos. 
Economia Administração
Média 50,92 55,11
Desvio padrão 9,09 8,22
Vagas/Candidatos 0,370 0,412
Pontuação Final Vestibular UFSC - 2002
 
Admitindo que as notas são normalmente distribuídas: 
a) Desenhe a curva normal para a pontuação de economia e sombreie a área correspondente a 50 ou mais 
pontos. Repita o procedimento para a área correspondente a 60 ou mais pontos. 
O índice de aprovação é obtido calculando a probabilidade de que as notas sejam MAIORES do que os 
pontos alcançados pelos candidatos. Caso seja menor do que a taxa vagas por candidatos o indivíduo 
está aprovado, caso contrário está reprovado. No curso de economia a probabilidade associada aos 
pontos alcançados não pode ser maior do que 0,370 e no de administração 0,412. 
Economia  = 50,92,  = 9,09 P(X>50) = P(Z>Z1): Z1 = (50-50,92)/9,09 = -0,10. P(X>50) = P(Z>-0,10) 
P(X>60) = P(Z>Z2): Z2 = (60-50,92)/9,09 = 1,0. P(X>60) = P(Z>1) 
 
P(X>50) P(X>60) 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
2
2
2
0
,0
0
2
2
5
5
,0
0
2
2
9
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,0
0
2
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,0
0
2
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2
3
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,3
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0
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0
2
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,6
0
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
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,5 -2
-1
,5
1
-1
,0
1
-0
,5
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-0
,0
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,4
9
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,9
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,4
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,9
8
2
,4
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2
,9
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,4
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3
,9
8
Z
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
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,5
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,1
1
2
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,6
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,2
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,7
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,2
9
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,8
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,3
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,9
2
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,4
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,0
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,5
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,0
1
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,5
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,1
0
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4
8
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,1
9
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
4
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6
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9
,1
1
2
3
,6
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8
,2
0
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2
,7
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9
4
1
,8
3
4
6
,3
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,9
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5
,4
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0
,0
1
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,0
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7
3
,5
5
7
8
,1
0
8
2
,6
4
8
7
,1
9
X
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
22b) O que você responderia para um candidato à Economia que estimasse ter conseguido 50 pontos? Na 
sua opinião ele conseguiria se classificar? E se ele estimasse ter conseguido 60 pontos? (R.: Não; Sim) 
P(X>50) = P(Z>-0,10) = 1-P(Z>0,1) = 1-0,4602 = 0,5398 > 0,370 => candidato reprovado. 
P(X>60) = P(Z>Z2): Z2 = (60-50,92)/9,09 = 1,0. P(X>60) = P(Z>1) = 0,1587 < 0,370 => candidato aprovado. 
c) Desenhe a curva normal para a pontuação de administração e sombreie a área correspondente a 55 ou 
mais pontos. Repita o procedimento para a área correspondente a 58 ou mais pontos. 
Administração  = 55,11,  = 8,22 P(X>55) = P(Z>Z1): Z1 = (55-55,11)/8,22 = -0,01. P(X>55) = P(Z>-0,01) 
P(X>58) = P(Z>Z2): Z2 = (58-55,11)/8,22 = 0,35. P(X>58) = P(Z>0,35) 
 
 P(X>55) P(X>58) 
d) O que você responderia para candidatos ao curso de Administração3 que estimassem ter conseguido, 
respectivamente, 55 e 58 pontos? (R.: 55 reprovado, 58 aprovado4) 
P(X>55) = P(Z>-0,01) = 1-P(Z>0,01) = 1-0,4960 = 0,504 > 0,412 => candidato reprovado. 
P(X>58) = P(Z>Z2): Z2 = (58-55,11)/8,22 = 0,35. P(X>58) = P(Z>0,35) = 0,3632 < 0,412 => candidato 
aprovado. 
e) Imagine que você tenha que responder a dezenas de vestibulandos; para poupar trabalho, desenhe as 
curvas normais e sombreie as áreas associadas a nota mínima para classificação em cada curso. 
Basta encontrar x1 tal que P(X>x1) = 0,370 em economia e x2 tal que P(X>x2) = 0,412. 
 
Economia: P(X>x1) = 0,370 Administração: P(X>x2) = 0,412 
f) Com base na letra e, obtenha a nota mínima de classificação em cada curso. (R.: economia = 54; 
administração = 57) 
P(X>x1) = P(Z>Z1) = 0,370; Z1  0,33 P(X>x2) = P(Z>Z2) =0,412; Z2  0,22 
Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x =  + Z×, sabendo que: 
 = 50,92,  = 9,09 em economia e Z1 = 0,33: x1 = 50,92 +0,33 ×9,09= 54. 
 = 55,11,  = 8,22 em administração e Z2 = 0,22: x2 = 55,11 +0,22 ×8,22= 57. 
 
 
3 Apenas Administração... 
4 Resposta diferente da lista 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
2
2
,2
3
2
6
,3
4
3
0
,4
5
3
4
,5
6
3
8
,6
7
4
2
,7
8
4
6
,8
9
5
1
5
5
,1
1
5
9
,2
2
6
3
,3
3
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7
,4
4
7
1
,4
6
7
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5
,5
7
7
8
7
9
,6
8
7
8
8
3
,7
9
7
8
8
7
,9
0
7
8
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
2
2
,2
3
2
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,3
4
3
0
,4
5
3
4
,5
6
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7
4
2
,7
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,8
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5
5
,1
1
5
9
,2
2
6
3
,3
3
6
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,4
4
7
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,4
6
7
8
7
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,5
7
7
8
7
9
,6
8
7
8
8
3
,7
9
7
8
8
7
,9
0
7
8
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
1
4
,5
6
1
9
,1
1
2
3
,6
5
2
8
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0
3
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,7
4
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,2
9
4
1
,8
3
4
6
,3
8
5
0
,9
2
5
5
,4
7
6
0
,0
1
6
4
,5
6
6
9
,0
1
7
3
,5
5
7
8
,1
0
8
2
,6
4
8
7
,1
9
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
2
2
,2
3
2
6
,3
4
3
0
,4
5
3
4
,5
6
3
8
,6
7
4
2
,7
8
4
6
,8
9
5
1
5
5
,1
1
5
9
,2
2
6
3
,3
3
6
7
,4
4
7
1
,4
6
7
8
7
5
,5
7
7
8
7
9
,6
8
7
8
8
3
,7
9
7
8
8
7
,9
0
7
8
X
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
23 
 
54) Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca Abba. Foi realizada 
uma pesquisa por amostragem probabilística com 200 habitantes, sendo X a variável aleatória número de 
habitantes na amostra que utilizam o produto da marca Abba. 
a) Qual é o modelo probabilístico adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (utilizam o produto da marca Abba ou não), o 
número de realizações é conhecido (n = 200), e a probabilidade de sucesso (p = 0,20, 1-p = 0,80) é suposta 
constante (pois não há nenhuma informação em contrário). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que mais de 30 dos habitantes pesquisados 
utilizem o produto da marca Abba. 
Mais de 30 dos habitantes pesquisados utilizem o produto da marca Abba o significa que a variável aleatória X, 
número de habitantes que utilizam o produto Abba em 200 pesquisados (0,1, ...,200), pode assumir qualquer valor 
acima de 30, procura-se então: 
P(X > 30) = P(X = 31) + ... + P(X = 200) 
c) Neste problema é viável aproximar a distribuição de X por uma normal? Por quê? 
Sim, n × p = 200×0,2 = 40 e n×(1-p) = 200×0,8 = 160 são ambos maiores do que 5, justificando a 
possibilidade de aproximação da binomial com parâmetros n = 200 e p = 0,2 por uma normal com 
média = n ×p = 200×0,2 = 40 e desvio padrão = √𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = √200 × 0,2 × 0,8 = 5,66 
 
55) Em um teste de múltipla escolha temos 200 questões, cada uma com 4 possíveis respostas, das quais 
apenas 1 é correta. Dentre as 200 questões, sobre 80 ele não sabe nada. Seja X a variável aleatória número 
de questões acertadas pelo estudante dentre as 80 sobre as quais ele não sabe nada. 
a) Qual é o modelo probabilístico adequado para este caso? Por quê? 
Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis (acertar a questão ou não), o número de realizações 
é conhecido (n = 80), e a probabilidade de sucesso (p = 0,25, 1-p = 0,85) é suposta constante (pois não há 
nenhuma informação em contrário). 
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que o estudante acerte entre 25 e 30 
questões dentre as 80 sobre as quais ele não sabe nada, considerando o modelo definido na letra a. 
O estudante acerte entre 25 e 30 questões significa que a variável aleatória X, número de questões acertadas em 
80 (0,1, ...,80), pode assumir valores entre 25 e 30, procura-se então: 
P(25  X  30) = P(X = 25) + P(X = 26) + P(X = 27) + P(X = 28) + P(X = 29) + P(X = 30) 
c) Neste problema é viável aproximar a distribuição de X por uma normal? Por quê? 
Sim, n × p = 80×0,25 = 20 e n×(1-p) = 80×0,75 = 60 são ambos maiores do que 5, justificando a 
possibilidade de aproximação da binomial com parâmetros n = 80 e p = 0,25 por uma normal com 
média = n ×p = 80×0,25 = 20 e desvio padrão = √𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = √80 × 0,25 × 0,75 = 3,87 
d) Independente da resposta da letra c desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente à 
probabilidade procurada na letra b (não se esqueça da correção de continuidade). 
Primeiramente encontramos na binomial a percentagem entre 25 e 30: P(25  X  30). 
Fazendo a correção de continuidade, na normal seria: P(24,5  X  30,5) 
Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 24,5 e 30,5: 
Z1 = (24,5-20)/3,87 = 1,16 Z2 = (30,5-20)/3,87 =2,71 
Então: P(24,5  X  30,5)= P(1,16<Z<1,55). Veja os gráficos a seguir: 
 
 
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
4
,5
2
6
,4
5
5
8
,3
9
1
0
,3
2
5
1
2
,2
6
1
4
,1
9
5
1
6
,1
3
1
8
,0
6
5
2
0
2
1
,9
3
5
2
3
,8
7
2
5
,8
0
5
2
7
,7
0
1
3
2
9
,6
3
6
3
3
1
,5
7
1
3
3
3
,5
0
6
3
3
5
,4
4
1
3
X
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
-4
-3
,5 -3
-2
,5 -2
-1
,5 -1
-0
,5 0
0
,5 1
1
,5
1
,9
9
2
,4
9
2
,9
9
3
,4
9
3
,9
9
Z
Gabarito da Lista de Exercícios 3 - Modelos Probabilísticos 
 
24 
 
e) Qual é a probabilidade de que um estudante acerte entre 25 e 30 questões dentre as 80 das quais ele 
não sabe nada de acordo com a aproximação pela normal? (R.: 0,1196) 
P(1,16<Z<2,71) = P(Z>1,16) – P(Z>2,71) = 0,1230 – 0,0034 = 0,1196 
 
56) Em uma linha de produção certo tipo de eixo apresenta o diâmetro com comportamento uniforme 
entre 3,5 mm e 3,8 mm. 
a) Desenhe o modelo uniforme e sombreie a área correspondente à probabilidade de que o diâmetro seja 
superior a 3,7 mm. 
Foi declarado textualmente que a variável diâmetro dos eixos segue uma distribuição uniforme entre 3,5 e 3,8 mm: 
parâmetros a = 3,5 e b = 3,8. P(X > 3,7) 
 
b) Para a situação da letra a, calcule a probabilidade de que o diâmetro seja superior a 3,7 mm (R.: 0,33) 
P(X > 3,7) = (3,8 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,3333 (33,33%). 
c) Qual é o diâmetro esperado para este tipo de eixo? (R.: 3,65 mm) 
Para distribuição uniforme E(X) = (a + b)/2 = (3,5 + 3,8)/2