Distribuicao_De_Probabilidades

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Cursos: Engenharias e Sistemas de Informação – 2015-2
Métodos e Ferramentas Computacionais II – Distribuições de Probabilidades
Material adaptado de Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes (2012-1)
ATENÇÃO PESSOAL
Nesse material temos as definições teóricas de algumas distribuições de probabilidades com exemplificações. Ao final propomos algumas atividades que deverão ser feitas como trabalho
 
Modelos Teóricos Discretos de Probabilidade
Quando aplicamos a Estatística na resolução de situações-problema, verificamos que muitas delas apresentam as mesmas características; o que nos permite estabelecer um modelo estatístico teórico para a determinação da resolução destas situações-problema. 
Este modelo estatístico teórico, também denotado Distribuição de Probabilidades, apresenta alguns componentes principais, entre estes temos:
· 
Os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir; 
· 
A função de probabilidade associada à variável aleatória ;
· 
A média (ou valor esperado) da variável aleatória ; 
· 
A variância e o desvio-padrão da variável aleatória . 
 
Neste contexto, vamos estudar algumas das principais Distribuições de Probabilidades Discretas entre elas, a Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson. 
Distribuições de Probabilidades Discretas 
Distribuição Binomial 
A distribuição binomial apresenta algumas características fáceis de ser interpretadas, isto é, supor um experimento repetido vezes independentemente; sendo que em cada repetição a probabilidade de sucesso se mantém igual a e a de fracasso igual a . 
Agora imagine que estamos interessados na ocorrência de sucessos e fracassos, independente da ordem de ocorrência, desta forma temos que a variável aleatória admite distribuição binomial de probabilidades. 
A notação utilizada será (Lê-se a variável aleatória tem distribuição Binomial com parâmetros e ). 
Descrevendo temos: , em que . 
 Média (ou valor esperado) da variável aleatória .
 Variância e desvio-padrão, respectivamente, de . 
Exemplo 1: Supor o lançamento de uma moeda honesta 10 vezes, qual a probabilidade de se obter: 
a) 5 vezes o resultado cara.
b) No máximo 2 vezes o resultado cara.
c) Pelo menos 3 vezes o resultado cara. 
Resolução: 
No geral, denotamos cara por e coroa por . 
 
(a)	 Desejamos calcular a probabilidade de sair o resultado cara 5 vezes. 
Logo, e (probabilidade de se obter cara em cada lançamento de moeda).
Assim, 
 
 
 
 
 
De forma análoga vamos utilizar a Tabela A com valores tabelados para a variável aleatória discreta que apresentar distribuição binomial, disponível ao final desta apostila. A vantagem da utilização dos valores tabelados é viabilizar mais rápido e direto o resultado.
Sendo assim, vamos fazer a leitura da intersecção destes valores, isto é, temos que para , (que corresponde à última coluna dos valores de , à sua direita) e para o valor de (na coluna de ); a intersecção da linha de com a coluna em , concluímos o resultado 0,2461. 
Portanto: ou . 
b) O resultado cara deve ser obtido no máximo 2 vezes. Teoricamente o lançamento da moeda poderia apresentar o resultado cara até 10 vezes, iniciando em “0” caras (nenhuma vez). Portanto, pode variar de 0 até 10; queremos no máximo 2, isto é, . 
	
 
 
Observe que o número de caras é sempre igual a 10 no exemplo, portanto e, realizando, da mesma forma, na tabela da binomial, temos: 
, e .
Portanto, ou . 
c) 
Pelo menos 3 vezes o resultado cara ; isto significa que você não pode obter resultados 0, 1 ou 2 (do item (b)). Portanto, pelo evento complementar: 
 ou .
Exemplo 2: Qual a probabilidade de uma família de 4 filhos ter: 
a)	nenhum filho homem
b)	1 filho homem
c)	2 filhos homens
d)	3 filhos homens
e)	4 filhos homens 
Resolução: 
A probabilidade de nascer um filho homem é de 0,50 (1/2) em cada nascimento de uma criança. Temos então: , e . 
Considerando representando o número de filhos homens, teremos: 
Interpretando, por exemplo, temos que a probabilidade de uma família de 4 filhos ter 2 filhos homens é 6/16. Também podemos interpretar este resultado da seguinte forma, imagine que você tem 16 famílias com 4 filhos. Você espera, pela probabilidade, que 6 dessas famílias tenham 2 filhos homens. 
 
 
Exemplo 3: Em um lote de peças, 5% são defeituosos. Calcule a probabilidade de, em 20 dessas peças, haver, exatamente, uma defeituosa.
Resolução: 
Seja e , logo são dois eventos com probabilidades constantes. Portanto, sendo o número de peças defeituosas temos, 
Na Tabela A: Distribuição Binomial, vamos fazer a leitura da intersecção destes valores, isto é, temos que para , e para o valor de ; a intersecção da linha de com a coluna em , concluímos o resultado 0,3774. 
Portanto, em um lote de peças onde 5% são defeituosos, sorteadas 20 dessas peças, a probabilidade de haver, exatamente, uma defeituosa é em torno de 37,74%.
Exemplo 4: Se a probabilidade de um setor em um dvd ser defeituoso é 0,1, encontre a média e o desvio padrão para o número de setores com defeito em um total de 400 dvd’s.
Distribuição de Poisson
Na distribuição binomial, o interesse era na determinação do número X=x de sucessos em um intervalo discreto de n ensaios de Bernoulli.
Aqui, o interesse é na determinação do número Xt=x de sucessos em um intervalo contínuo de comprimento t.
Por exemplo: o número de incidentes durante uma hora de conexão de um tipo de usuário da Internet, em um determinado período do dia e do ano; o número de erros de impressão em cada página de certo tipo de relatório; o número de falhas em cada 1000 metros de fibra ótica de uma certa procedência; o número de falhas na superfície correspondente ao setor de gravação de um DVD de uma certa marca.
Uma variável aleatória admite distribuição de Poisson sendo expressa por: 
, 
Em que,
: denota o parâmetro de interesse e é uma taxa de ocorrências do evento de interesse por unidade de tempo (ou de comprimento ou de área, etc, dependendo do que t esteja representando)
: denota a média .
: denota o número de ocorrências. 
A notação utilizada será (Lê-se a variável aleatória tem distribuição de Poisson com parâmetro lambda ). 
Temos que o único parâmetro é a média , que pode assumir valores contínuos, enquanto o número de ocorrências é sempre um espaço discreto, ou apenas valores inteiros. E, para entendermos melhor esta ideia supor, a seguinte situação-problema: 
Em uma central telefônica, o número de telefonemas, em média, podem chegar a 2 chamadas por minuto ou 2,5 chamadas por minuto, ou 3 ou 3,5, e assim por diante. Percebemos então, que a média não precisa ser composta apenas por valores inteiros. Entretanto, em um minuto, por exemplo, podem chegar 2, 3, 4, 5 chamadas; sempre números inteiros.
Exemplo 5: Em um minuto, na central telefônica citada, chegam 2 chamadas, em outro minuto, chegam 3. Determine a média de chamadas.
A média da distribuição de Poisson pode assumir qualquer valor, mas o número de ocorrências é sempre um número inteiro.
Outros exemplos da distribuição de Poisson:
· O número de sacos de cimento consumidos em uma construção civil é de 5, em média, por dia.
· O número de DVDs vendidos em uma loja é 6, em média, por dia.
· O número de colisões de veículos em certo cruzamento é de 3, em média, por semana.
· O número de pacientes atendidos por um médico é de 4 pacientes, em média, por hora. 
Uma Propriedade importante da distribuição de Poisson é a da aditividade das médias, ou seja, se em um minuto chegam 2 chamadas em uma central telefônica, em média; em 2 minutos a média será de 4 chamadas. 
 chamadas
 chamadas
chamadas
Exemplo 6: 
O número de clientes atendidos pelo caixa de um banco é de 4, em média, por hora.Qual a probabilidade de se atender:
a) Exatamente 4 clientes em uma hora.
b) No máximo 2 clientes em uma hora.
c) Pelo menos 2 clientes em uma hora.
Para resolver estas situações sem ter que efetuar as contas, é possível obter os resultados consultando a Tabela B no final desta apostila. Basta procurar a média desejada (, na tabela) e, em seguida, ler o valor correspondente de . A probabilidade é obtida pela intersecção da coluna de com a linha de .
Resolução: 
a) 
Como informado no enunciado a média de atendimento, pelo caixa de um banco é de 4 clientes por hora, logo e, deseja-se saber qual a probabilidade de se atender, exatamente, 4 em uma hora, daí . 
 Tabela B
b) 
Com a mesma linha de raciocínio apresentada em (a), porém pede-se agora a probabilidade de se atender, no máximo, 2 clientes em uma hora, daí . 
 
 
c) O item (c) pede pelo menos atender 2, em uma hora; isto significa atender 2 ou mais clientes. Neste caso, são várias as possibilidades, logo faremos o cálculo utilizando a propriedade complementar. 
Atenção: para esta situação, o caixa do banco somente não poderá atender ‘0” ou “1” cliente. Não se esqueça do zero!!!
 
Portanto:
.
Exemplo 6: Um taxista atende, em média, dois clientes por hora. Qual a probabilidade de atender:
a)	1 ou 2 clientes, em 1 hora.
b)	4 ou 5 clientes, em 2 horas.
c)	nenhum cliente em meia hora.
Resolução: 
a) Como informado no enunciado a média de atendimento, pelo taxista é de 2 clientes por hora, logo . Logo, 1 ou 2 clientes, em uma hora temos,
b) Com a ideia da Propriedade da aditividade das médias, podemos escrever: 
 clientes
 clientes. Logo, na Tabela B temos, 
 Tabela B
c) Da mesma forma que em (b) temos,
 clientes 
cliente 
	
Distribuições de Probabilidades Contínua
Distribuição Normal
Uma variável aleatória contínua tem distribuição Normal com parâmetros e . É considerada a mais importante e freqüente distribuição utilizada na Estatística e, em quase todos os processos industriais o comportamento da variável, em estudo, é semelhante ao apresentado pela distribuição Normal, ou seja, num processo qualquer, com média e desvio padrão , observamos: 
· A maioria dos valores se concentra ao redor da média.
· 50% dos valores estão acima da média, e 50% abaixo da média.
· Os valores distribuem-se simetricamente à esquerda e à direita em relação à média.
· É praticamente nula a probabilidade de um valor afastar-se muito da média.
A rigor essa variável é discreta, mas pela ocorrência de muitos valores distintos ela pode ser tratada como contínua.
A distribuição normal (ou Gaussiana) foi inicialmente proposta como modelo teórico para descrever erros de medição, pois imaginava-se que ela representasse o comportamento natural de qualquer tipo de erro experimental. Esse modelo continua desempenhando um papel importante na estatística.
Vejamos uma representação de uma distribuição normal com média μx e desvio padrão σx, para uma variável X.
A distribuição normal é contínua, com sua fdp tendo a forma de um sino, de “caudas” simétricas em relação à sua média μx . Existem dois pontos nos quais essa curva muda a concavidade (chamados pontos de inflexão μx-σx) e (μx+σx), onde σx é o desvio padrão. Quanto maior o valor de σx, mais espalhada (maior dispersão) na base e mais baixa será a figura e quanto menor for, também menor será a dispersão e maior a altura em torno da média μx.
	
	Figura 1: Densidade Normal
Considere (Lê-se a variável aleatória tem distribuição Normal com média e variância ) e, defina uma nova variável . Pelas propriedades do valor esperado e da variância, segue que: 
 
.
 
Observe que a transformação realizada não “afeta” a normalidade e, assim a variável terá distribuição Normal com média 0 e variância 1, isto é, e, será denotada de Normal Padrão ou Normal Reduzida.
Vejamos, agora como calcular a probabilidade:
Para determinarmos a probabilidade da variável aleatória (Lê-se pertence ao intervalo fechado de até ), observe o desenvolvimento a seguir:
 
 
E, desta forma, quaisquer que sejam os valores de e , utilizamos a Normal Padrão para obter probabilidades com distribuição Normal. Os valores para a probabilidade são tabelados e apresentados na Tabela C, no final desta apostila. 
 
 Note que a simetria também implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5. E como probabilidade é sempre um valor entre 0 e 1; a Tabela C contém apenas a parte decimal. 
 
Exemplo 7: Considerando temos,
 No exemplo, e 
Supondo, 
 
 
Portanto, o valor encontrado na Tabela C corresponde à área sombreada no gráfico 1. 
 
	
	
Gráfico 1: Cálculo da área de 
Exemplo 8: Encontre a , supor . 
Resolução: 
Considerando o mesmo desenvolvimento realizado passo a passo, no exemplo anterior, em síntese temos, 
 
	
	
Gráfico 2: Cálculo da área de 
Saiba também que podemos calcular as probabilidades de intervalos com extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte positiva. Outro recurso importante no uso da Tabela C é a utilização do complementar. Assim observe o exemplo que se segue:
 Exemplo 9: Considerando a mesma distribuição supracitada, , encontre a probabilidade a seguir:
 . 
Para encontrar o valor 0,1293; resultante da probabilidade na Tabela C, basta realizar a intersecção da coluna correspondente ao valor 0,3 , com a linha assumindo valor 3 também; resultado da aproximação da razão . 
 
Tabela A: Distribuição Binomial
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0,02
	0,05
	0,10
	0,20
	0,25
	0,30
	0,40
	0,50
	
	0
	0,8171
	0,5987
	0,3487
	0,1074
	0,0563
	0,0282
	0,0060
	0,0010
	10
	1
	0,1667
	0,3151
	0,3874
	0,2684
	0,1877
	0,1211
	0,0403
	0,0098
	9
	2
	0,0153
	0,0746
	0,1937
	0,3020
	0,2816
	0,2335
	0,1209
	0,0439
	8
	3
	0,0008
	0,0105
	0,0574
	0,2013
	0,2503
	0,2668
	0,2150
	0,1172
	7
	4
	0,0000
	0,0010
	0,0112
	0,0881
	0,1460
	0,2001
	0,2508
	0,2051
	6
	5
	
	0,0001
	0,0015
	0,0264
	0,0584
	0,1029
	0,2007
	0,2461
	5
	6
	
	0,0000
	0,0001
	0,0055
	0,0162
	0,0368
	0,1115
	0,2051
	4
	7
	
	
	0,0000
	0,0008
	0,0031
	0,0090
	0,0425
	0,1172
	3
	8
	
	
	
	0,0001
	0,0004
	0,0014
	0,0106
	0,0439
	2
	9
	
	
	
	0,0000
	0,0000
	0,0001
	0,0016
	0,0098
	1
	10
	
	
	
	
	
	0,0000
	0,0001
	0,0010
	0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	0,6676
	0,3585
	0,1216
	0,0115
	0,0032
	0,0008
	0,0000
	
	20
	1
	0,2725
	0,3774
	0,2702
	0,0577
	0,0211
	0,0068
	0,0005
	0,0000
	19
	2
	0,0528
	0,1887
	0,2852
	0,1369
	0,0669
	0,0278
	0,0031
	0,0002
	18
	3
	0,0065
	0,0596
	0,1901
	0,2054
	0,1339
	0,0716
	0,0123
	0,0011
	17
	4
	0,0006
	0,0133
	0,0898
	0,2182
	0,1897
	0,1304
	0,0350
	0,0046
	16
	5
	0,0000
	0,0022
	0,0319
	0,1746
	0,2023
	0,1789
	0,0746
	0,0148
	15
	6
	
	0,0003
	0,0089
	0,1091
	0,1686
	0,1916
	0,1244
	0,0370
	14
	7
	
	0,0000
	0,0020
	0,0545
	0,1124
	0,1643
	0,1659
	0,0739
	13
	8
	
	
	0,0004
	0,0222
	0,0609
	0,1144
	0,1797
	0,1201
	12
	9
	
	
	0,0001
	0,0074
	0,0271
	0,0654
	0,1597
	0,1602
	11
	10
	
	
	0,0000
	0,0020
	0,0099
	0,0308
	0,1171
	0,1762
	10
	11
	
	
	
	0,0005
	0,0030
	0,0120
	0,0710
	0,1602
	9
	12
	
	
	
	0,0001
	0,0008
	0,0039
	0,0355
	0,1201
	8
	13
	
	
	
	0,0000
	0,0002
	0,0010
	0,0146
	0,0739
	7
	14
	
	
	
	
	0,0000
	0,0002
	0,0048
	0,0370
	6
	15
	
	
	
	
	
	0,0000
	0,0013
	0,0148
	5
	16
	
	
	
	
	
	
	0,0003
	0,0046
	4
	17
	
	
	
	
	
	
	0,0000
	0,0011
	3
	18
	
	
	
	
	
	
	
	0,0002
	2
	19
	
	
	
	
	
	
	
	0,0000
	1
	20
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	
	0,98
	0,95
	0,90
	0,80
	0,75
	0,70
	0,60
	0,50
	
	
	
	
Tabela B: Distribuição de Poisson
	
	
	
	0,1
	0,2
	0,5
	1
	1,5
	2
	2,5
	0
	0,9048
	0,8187
	0,6065
	0,3679
	0,2231
	0,1353
	0,0821
	1
	0,0905
	0,1637
	0,30330,3679
	0,3347
	0,2707
	0,2052
	2
	0,0045
	0,0164
	0,0758
	0,1839
	0,2510
	0,2707
	0,2565
	3
	0,0002
	0,0011
	0,0126
	0,0613
	0,1255
	0,1804
	0,2138
	4
	0,0000
	0,0001
	0,0016
	0,0153
	0,0471
	0,0902
	0,1336
	5
	
	0,0000
	0,0002
	0,0031
	0,0141
	0,0361
	0,0068
	6
	
	
	0,0000
	0,0005
	0,0035
	0,0120
	0,0278
	7
	
	
	
	0,0001
	0,0008
	0,0034
	0,0099
	8
	
	
	
	0,0000
	0,0001
	0,0009
	0,0031
	9
	
	
	
	
	0,0000
	0,0002
	0,0009
	10
	
	
	
	
	
	0,0000
	0,0002
	
	
	
	3
	3,5
	4
	4,5
	5
	5,5
	6
	0
	0,0498
	0,0302
	0,0183
	0,0111
	0,0067
	0,0041
	0,0025
	1
	0,1494
	0,1057
	0,0733
	0,0500
	0,0337
	0,225
	0,0149
	2
	0,2240
	0,1850
	0,1465
	0,1125
	0,0842
	0,0618
	0,0446
	3
	0,2240
	0,2158
	0,1954
	0,1687
	0,1404
	0,1133
	0,0892
	4
	0,1680
	0,1888
	0,1954
	0,1898
	0,1755
	0,1558
	0,1339
	5
	0,1008
	0,1322
	0,1563
	0,1708
	0,1755
	0,1714
	0,1606
	6
	0,0504
	0,0771
	0,1042
	0,1281
	0,1462
	0,1571
	0,1606
	7
	0,0216
	0,0385
	0,0595
	0,0813
	0,1044
	0,1234
	0,1377
	8
	0,0081
	0,0169
	0,0298
	0,0463
	0,0653
	0,0849
	0,1033
	9
	0,0027
	0,0066
	0,0132
	0,0232
	0,0363
	0,0519
	0,0668
	10
	0,0008
	0,0023
	0,0053
	0,0104
	0,0181
	0,0285
	0,0413
	11
	0,0002
	0,0007
	0,0019
	0,0043
	0,0082
	0,0143
	0,0225
	12
	0,0001
	0,0002
	0,0006
	0,0016
	0,0034
	0,0065
	0,0113
	13
	0,000
	0,0001
	0,0002
	0,0006
	0,0013
	0,0028
	0,0052
	14
	
	0,0000
	0,0001
	0,0002
	0,0005
	0,0011
	0,0022
	15
	
	
	0,0000
	0,0001
	0,0002
	0,0004
	0,0009
	16
	
	
	
	0,0000
	0,0000
	0,0001
	0,0003
	17
	
	
	
	
	
	0,0000
	0,0001
	18
	
	
	
	
	
	
	0,0000
Tabela C: Distribuição Normal - Valores de 
	
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	0,0
	0,0000
	0,0040
	0,0080
	0,0120
	0,0160
	0,0199
	0,0239
	0,0279
	0,0319
	0,0359
	0,1
	0,0398
	0,0438
	0,0478
	0,0517
	0,0557
	0,0596
	0,0636
	0,0675
	0,0714
	0,0753
	0,2
	0,0793
	0,0832
	0,0871
	0,0910
	0,0948
	0,0987
	0,1026
	0,1064
	0,1103
	0,1141
	0,3
	0,1179
	0,1217
	0,1255
	0,1293
	0,1331
	0,1368
	0,1406
	0,1443
	0,1480
	0,1517
	0,4
	0,1554
	0,1591
	0,1628
	0,1664
	0,1700
	0,1736
	0,1772
	0,1808
	0,1844
	0,1879
	0,5
	0,1915
	0,1950
	0,1985
	0,2019
	0,2054
	0,2088
	0,2123
	0,2157
	0,2190
	0,2224
	0,6
	0,2257
	0,2291
	0,2324
	0,2357
	0,2389
	0,2422
	0,2454
	0,2486
	0,2517
	0,2549
	0,7
	0,2580
	0,2611
	0,2642
	0,2673
	0,2703
	0,2734
	0,2764
	0,2794
	0,2823
	0,2852
	0,8
	0,2881
	0,2910
	0,2939
	0,2967
	0,2995
	0,3023
	0,3051
	0,3078
	0,3106
	0,3133
	0,9
	0,3159
	0,3186
	0,3212
	0,3238
	0,3264
	0,3289
	0,3315
	0,3340
	0,3365
	0,3389
	1,0
	0,3413
	0,3438
	0,3461
	0,3485
	0,3508
	0,3531
	0,3554
	0,3577
	0,3599
	0,3621
	1,1
	0,3643
	0,3665
	0,3686
	0,3708
	0,3729
	0,3749
	0,3770
	0,3790
	0,3810
	0,3830
	1,2
	0,3849
	0,3869
	0,3888
	0,3907
	0,3925
	0,3944
	0,3962
	0,3980
	0,3997
	0,4015
	1,3
	0,4032
	0,4049
	0,4066
	0,4082
	0,4099
	0,4115
	0,4131
	0,4147
	0,4162
	0,4177
	1,4
	0,4192
	0,4207
	0,4222
	0,4236
	0,4251
	0,4265
	0,4279
	0,4292
	0,4306
	0,4319
	1,5
	0,4332
	0,4345
	0,4357
	0,4370
	0,4382
	0,4394
	0,4406
	0,4418
	0,4429
	0,4441
	1,6
	0,4452
	0,4463
	0,4474
	0,4484
	0,4495
	0,4505
	0,4515
	0,4525
	0,4535
	0,4545
	1,7
	0,4554
	0,4564
	0,4573
	0,4582
	0,4591
	0,4599
	0,4608
	0,4616
	0,4625
	0,4633
	1,8
	0,4641
	0,4649
	0,4656
	0,4664
	0,4671
	0,4678
	0,4686
	0,4693
	0,4699
	0,4706
	1,9
	0,4713
	0,4719
	0,4726
	0,4732
	0,4738
	0,4744
	0,4750
	0,4756
	0,4761
	0,4767
	2,0
	0,4772
	0,4778
	0,4783
	0,4788
	0,4793
	0,4798
	0,4803
	0,4808
	0,4812
	0,4817
	2,1
	0,4821
	0,4826
	0,4830
	0,4834
	0,4838
	0,4842
	0,4846
	0,4850
	0,4854
	0,4857
	2,2
	0,4861
	0,4864
	0,4868
	0,4871
	0,4875
	0,4878
	0,4881
	0,4884
	0,4887
	0,4890
	2,3
	0,4893
	0,4896
	0,4898
	0,4901
	0,4904
	0,4906
	0,4909
	0,4911
	0,4913
	0,4916
	2,4
	0,4918
	0,4920
	0,4922
	0,4925
	0,4927
	0,4929
	0,4931
	0,4932
	0,4934
	0,4936
	2,5
	0,4938
	0,4940
	0,4941
	0,4943
	0,4945
	0,4946
	0,4948
	0,4949
	0,4951
	0,4952
	2,6
	0,4953
	0,4955
	0,4956
	0,4957
	0,4959
	0,4960
	0,4961
	0,4962
	0,4963
	0,4964
	2,7
	0,4965
	0,4965
	0,4967
	0,4968
	0,4969
	0,4970
	0,4971
	0,4972
	0,4973
	0,4974
	2,8
	0,4974
	0,4975
	0,4976
	0,4977
	0,4977
	0,4978
	0,4979
	0,4979
	0,4980
	0,4981
	2,9
	0,4981
	0,4982
	0,4982
	0,4983
	0,4983
	0,4984
	0,4985
	0,4985
	0,4986
	0,4986
	3,0
	0,4987
	0,4987
	0,4987
	0,4988
	0,4988
	0,4989
	0,4989
	0,4989
	0,4990
	0,4990
	3,1
	0,4990
	0,4991
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	0,4991
	0,4992
	0,4992
	0,4992
	0,4992
	0,4993
	0,4993
	3,2
	0,4993
	0,4993
	0,4994
	0,4994
	0,4994
	0,4994
	0,4994
	0,4995
	0,4995
	0,4995
	3,3
	0,4995
	0,4995
	0,4995
	0,4996
	0,4996
	0,4996
	0,4996
	0,4996
	0,4996
	0,4997
	3,4
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4997
	0,4998
	3,5
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	0,4998
	3,6
	0,4998
	0,4998
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	3,7
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	3,8
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	0,4999
	3,9
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
	0,5000
Exercícios / trabalho individual 
Distribuição Binomial
1) Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras?
2) Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos?
Distribuição Poisson (obs: na Poisson precisamos da média)
1) Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) Num minuto não haja nenhum chamado?
b) Em 2 minutos haja 2 chamados?
2) Em uma experiência demonstrou-se que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de 
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? 
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem?
3) O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos?
b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos?
Distribuição normal (obs: precisamos da média e do desvio padrão)
1) Utilizando a tabela Normal e X: N(100,25) calcule:
2) Uma fábrica de carros sabe o que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150.000 km e desvio padrão de 5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure:
a) Menos de 160.000 km?
b) Entre 140.000 km e 165.000 km?
3) O peso médio de 500 estudantes em uma universidade é 151 libras e o desvio padrão é de 15 libras. Supondo que os pesos estão normalmente distribuídos, encontre quantos estudantes pesam entre 100 e 155 libras.
1
13
 
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4
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31....4.
3
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PX
æö
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PX
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k
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)
2
Para a distribuicao binomial a 
log, 4000,140, espera-se 40 dvds com set
ores defeituoso
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50,510,5
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(
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(
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55
10.9.8.7.6
50,510,53.2.7.6.0,03125.0,03125
5.4.3.2.4.1
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50,510,50,2461
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k
k
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0120,510,50,510,5
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k
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