Aula 1 a 10

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Matemática para negócios
Aula 1: Teoria dos Conjuntos
Teoria dos conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos nas próximas telas.
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. 
Noções sobre Conjuntos
· Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por: º ou {}
· Subconjuntos: Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A C B.
· União de Conjuntos: A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A u B por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A u B = {X | X £ A V X £ B}
Ex: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja A c A.
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, º c A
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros).
Aula 2: Potenciação, Radiciação, Intervalos Numéricos e Fatoração.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme  os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo ao lado:
Radiciação
Potenciação de Radicais
Observando as potências, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Exemplos:
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Exemplos:
Exemplos dos principais casos de racionalização:
Potência com expoente racional
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Fatoração
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. 
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 =2³ x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
A fatoração do número 24 corresponde à decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então, a fatoração de 24 = 2³ x 3
Fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores primos.
Regra para a fatoração 
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo.
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 
2º) A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 3² x 5 x 7
Determinação dos divisores de um número
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Fatoração de expressões matemáticas
Casos de Fatoração
Simplificação
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum.
Aula 3: Equações e Inequações de 1°grau.
EQUAÇÕES DE 1º GRAU (com uma variável)
Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".
Exemplos de equações (sentenças abertas):
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0
OBS: Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta);
x - 5 < 3 (Não é igualdade);
82 + 35 - 7 (não é sentença aberta, nem igualdade).
Equação geral do primeiro grau:
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
- Substituir a incógnita por esse número.
- Determinar o valor de cada membro da equação.
- Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro de um dado conjunto.
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b = 0.
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo, x e y; portanto, é formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas.
Ex: Seja o sistema de duas equações:
2 x + 3 y = 24
3 x - 2 y = 23
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente ambas as equações.
Método de substituição para resolver este sistema
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação.
Para entender o método, consideremos o sistema: Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo: 
Substituímos então o valor de x na segunda equação 3x-2y=23:
Substituindo y = 2 na equação x = 12 - (3y/2), obtemos:
x = 12 - (3×2/2) = 12 - 6/2 = 12 - 3 = 9
Determinar a solução do sistema:
x + y = 2
x - y = 0
INEQUAÇÕES
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida a uma das formas:
ax + b < 0
ax + b = 0
ax + b > 0
EX: Resolver a inequação 4(x + 1) – 5 ≤ 2(x + 3): (a solução será representada por S).
Desenvolvemos os parênteses
4x + 4 - 5 ≤ 2x + 6 ....4x - 1 ≤ 2x + 6
Passamos todos os termos que contêm x para o 1° membro e as constantes para o 2° membro:
4x – 2x ≤ 1 + 6.....2x ≤ 7
Dividimos todos os termos pelo coeficiente de x:
EX: 1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas)
(I) 1 ≤ 2x + 3
(II) 2x + 3 < x + 5
Resolvendo (I): 1 ≤ 2x + 3
Temos: -2x ≤ 3 – 1.....-2x ≤ 2.....2x ≥ -2....x ≥ -1
Resolvendo (II): 2x + 3 < x + 5
2x – x <
5 – 3 ... x < 2
Logo: -1 ≤ x < 2
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte.
Aula 4: Razão e Proporção, Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais, Operações com Porcentagens.
Aula 5 – Função Custo: Cisto Fixo, Cisto Variável, Custo no Gráfico.
CUSTOS
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte. Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores determinantes de sucesso de uma empresa.
Os custos de uma empresa resultam da combinação de uma série de fatores: a capacitação tecnológica e produtiva relativa aos processos, produtos e gestão; nível de atualização da estrutura organizacional e a qualificação da mão de obra.
Uma empresa apura seus custos com vistas:
· Ao atendimento de exigências legais quanto à apuração dos resultados de suas atividades e avaliação de estoques.
· Ao conhecimento dos custos para tomada de decisões corretas.
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, mercadorias, etc.), mas também custos de serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos somente ocorrem quando houver consumo ou venda.
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O desgaste da máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido na transação.
O total pago pela máquina é classificado como ativo fixo, porque esta máquina tem uma vida útil estimada de 10 (dez) anos. Pode-se dizer que, ao final de cada ano, 1/10 (um décimo) desta máquina, ou valor, gastou-se e, ao final do primeiro ano, apenas 9/10 (nove décimos) do valor da máquina permanecem contribuindo para as operações da empresa. O reconhecimento deste fato implica no reconhecimento do respectivo custo, que no caso chama-se custo de depreciação das máquinas e equipamentos ou, simplesmente, depreciação.
Os três componentes básicos do custo são:
· Valor das matérias-primas ou mercadorias adquiridas.
· O valor dos serviços (trabalhos) prestados por pessoas físicas (empresários ou empregados).
· Valor dos serviços prestados por outras empresas como, por exemplo, empresas de transporte, empresas fornecedoras de força e luz, empresas de seguros, bancos, etc.
De acordo com sua natureza, os custos classificam-se em Custos Fixos e Custos Variáveis.
Custos Fixos
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada.
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação. Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços.
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário produzido, devido à economia de escala proporcionada.
Veja o gráfico. Observe que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo.
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos.
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00.
Custos Variáveis
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção. São exemplos desse comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo). A representação gráfica do custo variável total é:
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário.
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na quantidade zero não ocorrem custos variáveis.
Quando se vende um produto, o custo do material aplicado será sempre o mesmo por produto vendido. Daí dizer-se que o custo variável é fixo por unidade vendida. Porém, quando dizemos que pagamos R$2.000,00 pelo aluguel da empresa (custo fixo), se vendermos 1.000 unidades, o custo fixo por unidade será de R$2,00.
Se aumentarmos as vendas para 1.250 unidades, o custo fixo por unidade será de R$1,60 (2.000 divididos por 1.250). Daí dizer-se que o custo fixo unitário é variável por unidade vendida.
Custo total
É a soma dos custos fixos mais os variáveis. A sua representação gráfica é:
Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, supondo computados todos os fatores de produção. Se num determinado mês o custo total da indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados?
Custo total = Custo fixo + Custo variável
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x)
sendo x a quantidade de produtos fabricados
15.500 = 3.500 + 20x 
20x = 12.000
x = 12.000/20
x = 600
· Função Custo: A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão:
C(x) = Cf + Cv 
Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável
· Função Receita: A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto.
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
· Função lucro: A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo.
L(x) = R(x) – C(x)
Ex:
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
Função Receita 
R(x) = 120x 
Função Lucro 
L(x) = 120x – (950 + 41x) 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000) 
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000 
L(1000) = 120.000 – 41.950 
L(1000) = 78.050 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00. 
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo. 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças.
Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partir de quantos pares de sapatos haverá lucro?
Lucro = Receita – Custo
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x) 
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro:
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x)  
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000
Aula 6: Função Linear, Gráfico no Plano Cartesiano, Função Crescente, Função Decrescente.
As funções são utilizadas em diversos setores da economia,
por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em que o aluno está matriculado.  Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no período. Então, temos: y = f(x).
Y = número de disciplinas . x
Ex: f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
Plano cartesiano
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único número real e vice-versa. O ponto 0 (zero) do eixo é chamado origem. Portanto, qualquer ponto à direita de 0, o número será positivo. Quando estiver à esquerda, o número será negativo. Quando coincidir com o 0, será nulo.  
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos OP = -3.
Agora vamos praticar:
Para P = -1 teremos OP = -1
Para P = +2 teremos OP = +2
Consideremos num plano....de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a ..., existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x. (Note que // significa paralela).
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes:
Podemos então localizar os pontos
A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2):
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a = 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Construir o gráfico para a função y = -2x + 3
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 é decrescente.
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em que y é zero e os valores de x em que y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
Aula 7: Função Receita, Função Lucro, Ponto de Equilíbrio.
Função Receita, Função Lucro e Ponto de Equilíbrio 
O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de João. As despesas com alimentação e transporte correspondem a dois sétimos.
Qual é o salário que João deve receber a fim de que, descontadas todas as despesas, sobrem a ele, no mínimo, R$540,00.
Solução:
Aluguel > 1/5 do salário
Alim.Trans. > 2/7 do salário
Salário = (1/5) + (2/7) + 540 > 540 = { 1-[(1/5) + (2/7)]} do salário
Logo: 540 = (18/35) do salário > salário = (540/18) * 35 = 1050
Resp. R$1050,00
Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de R$10,00 para um peso P de até 1KG. Para cada quilo adicional ou fração de quilo, o custo aumenta R$0,30. A função que representa o custo de uma encomenda de peso P > 1kg:
Logo, para qualquer P > C = 10 + 3*0,30.
De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é R = C + L, onde V é a arrecadação dos produtos vendidos; C o custo total dos produtos fabricados; e L o lucro obtido na transação.
Para produzir um produto, uma indústria gasta R$1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é R$2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a indústria começa a ter lucro?
Solução:
C = 400 + 1,20x onde x é a quantidade de produtos.
Como C = R – L, para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, vamos imaginar o L = 0.
Logo, substituindo C por 400 + 1,20 e R por 2x, temos:
400 + 1,20x= 2x – 0
2x – 1,2x = 4000
Logo: 0,8x = 4000
x = 5000 produtos > a partir daí começa a dar lucro.
Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
O ponto de equilíbrio é o ponto onde a oferta é igual à demanda.
Oferta: é a capacidade produtiva das empresas de colocar produtos no mercado.
Demanda: é o mercado consumidor, ou seja, clientes procurando produtos para satisfazer as suas necessidades.
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores de afetam o lucro.
Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis de se realizar na vida real.
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos:
· Método da Equação;
Vendas = Custo variável + Custo fixo + Lucro líquido.
Ex: Preço de Venda unitário: R$10,00
Custo Variável: R$4,00
Custo Fixo: R$150.000,00
1. Quantas unidades devem ser produzidas para que seja alcançado o Ponto de Equilíbrio?
10x= 4x + 150000 + 0
x= 25.000 unidades
Custo Fixo: Os custos fixos são aqueles que incorrem independentemente do volume da produção. Ex: Aluguel, IPTU, Salários da administração, Depreciação das máquinas e equipamentos.
Vendas: é o faturamento bruto, resultante das vendas.
Custos Variáveis: são aqueles que dependem diretamente do volume da produção.
Ex: matéria-prima, consumo de energia das máquinas da fábrica, pagamentos a fornecedores, impostos sobre as vendas.
Lucro líquido: é o resultado das transações, já deduzido todo os custos e os impostos.
· Método da Margem de Contribuição;
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção, necessária para calcular o ponto de equilíbrio.
Margem de contribuição unitária: é o preço de venda unitário menos o custo variável unitário (PVU – CVU).
1.Considerando os dados anteriores, calcular o ponto de equilíbrio, levando em conta a margem de contribuição.
Preço de venda unitário: R$10,00
Custo Variável unitário: R$4,00
Custo Fixo:R$150.000,00
PVU – CVU = 10 – 4
Vamos usar o lucro zero por ser o ponto de equilíbrio, ou seja, receita = custo.
X = (150.00 + 0) / (10-4)
X= 25.000 unidades
· Método Gráfico.
As unidades de venda são representadas no eixo horizontal e os valores manetários no eixo vertical.
DEPRECIAÇÃO LINEAR
Existem ativos (máquinas, equipamentos, veículos, prédios) que sofrem uma depreciação contábil (“desvalorização”) no seu valor de aquisição, calculado mensalmente ou anualmente, dependendo do tipo de ativo.
EX: Um equipamento de informática é comprado por R$12.000,00. Sua depreciação normal é realizada em cinco anos. 
a) Qual será o valor estimado desse equipamento ao fim de três anos?
b) Qual o valor da depreciação mensal desse equipamento?
Aula 8: Receita Quadrática, Função Lucro Quadrático, Função Quadrática e Inequações do 2°grau.
Propriedades do gráfico y=ax² + bx + c: 
1. Se a > 0, a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
2. Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo.
3. O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
xv = - b/2ª
yv = - D /4ª, onde D = b² -4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara)
 
4. A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x’’, que são as raízes da equação ax² + bx +c = 0.
5. A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
6. O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/ 2ª.
7. Ymax = - D / 4ª ( a < 0).
8. Ymin = - D / 4ª ( a > 0).
9. Fora fatorada: sendo x’ e x’’ as raízes de f(x) = ax² + bx + c;
então, ela pode ser escrita na forma fatorada seguinte:
y = a(x – x¹).(x – x²)
Aula 9: Limites de uma função.
Aula 10: Derivadas
Derivada da Função Potência
Em Física, ela é usada para o estudo dos movimentos 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na determinação de máximos e mínimos de gráficos e funções e no cálculo de taxas de variações.
Derivada de uma função
Derivadas
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’.
As regras de derivação são bem simples:
Derivada da Função Potência
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b]
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando --- x = b – a , os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) para  y= f(b), variando---  y = f(b) - f(a).
No intervalo [1,
3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x.
Cálculo da Derivada em um Ponto