Apostila - Fundações

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Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
FUNDAÇÕES 
Concepção, dimensionamento e 
detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
 
Eng. Felipe G. Rodrigues 
Sumário 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 8 
1- Introdução a mecânica dos solos .......................................................................................... 9 
1.1- Rochas ......................................................................................................................... 10 
2- Formação dos diferentes tipos de solo ............................................................................... 11 
2.1- Intemperismo químico ..................................................................................................... 12 
2.2- Intemperismo físico: ........................................................................................................ 12 
2.3- Pedogênese (Formação do solo) ...................................................................................... 12 
2.4- Tamanho e forma das partículas...................................................................................... 13 
3- Ensaio de sedimentação ...................................................................................................... 15 
4- Coeficiente de não uniformidade........................................................................................ 16 
5- Coeficiente de curvatura ..................................................................................................... 17 
6- Índices de físicos dos solos .................................................................................................. 18 
7- Índices de consistência ........................................................................................................ 20 
7.1- Ensaios ............................................................................................................................. 20 
7.1.1- Limite de liquidez ...................................................................................................... 21 
7.1.2- Limite de plasticidade ............................................................................................... 22 
7.2- Índices de consistência .................................................................................................... 22 
8- Classificação dos solos......................................................................................................... 23 
9- COMPACTAÇÃO DOS SOLOS ............................................................................................... 27 
9.1- Ensaio de Proctor ............................................................................................................. 27 
9.2- Índice de suporte Califórnia – (CBR) ................................................................................ 33 
10- Diferenças entre os solos ................................................................................................ 34 
10.1- Argilas e suas particularidades ....................................................................................... 34 
10.2- Areia e suas particularidades ......................................................................................... 34 
10.3- Água no solo ................................................................................................................... 34 
11- Tensões no solo ............................................................................................................... 35 
11.1- Tensões efetivas ............................................................................................................. 35 
12- Propagação das tensões no solo ..................................................................................... 38 
12.1- Acréscimo de tensões no solo........................................................................................ 38 
12.2- Carga concentrada na superfície do terreno ................................................................. 39 
12.3- Carregamento para áreas retangulares ......................................................................... 40 
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12.4- Método aproximado para cargas retangulares ............................................................. 45 
12.5- Exemplo cálculo de acréscimo de tensão ...................................................................... 46 
12.6- Carregamento uniformemente distribuído sobre área circular .................................... 48 
12.7- Exemplo acréscimo de tensão área circular .................................................................. 51 
12.8- Gráfico de Newmark ...................................................................................................... 52 
12.9- Exemplo pelo gráfico de Newmark ................................................................................ 53 
13- Coeficiente de Tensão horizontal efetiva ........................................................................ 55 
13.1- Empuxo no repouso ....................................................................................................... 56 
13.2- Determinação do coeficiente de empuxo K em função dos parâmetros de deformação 
(parâmetros elásticos) do solo. ............................................................................................... 56 
13.3- Exemplo empuxo de solo ............................................................................................... 59 
14- Teoria do Adensamento .................................................................................................. 59 
14.1- Graus de adensamento (Uz) .......................................................................................... 61 
14.2- Coeficiente de adensamento (Cv) .................................................................................. 62 
14.3- Grau de adensamento médio ........................................................................................ 62 
14.4- Obtenção dos coeficiente de adensamento a partir do ensaio de deformabilidade dos 
solos ........................................................................................................................................ 63 
14.4.1- Método de Casagrande (Logaritmo do tempo) ...................................................... 63 
14.4.2- Método de Taylor (Raiz do tempo) ......................................................................... 63 
14.5- Deformação devido a carregamentos verticais ............................................................. 64 
14.6- Cálculo de recalques pela teoria da elasticidade: .......................................................... 64 
14.6.1- Parâmetros dos solos .............................................................................................. 65 
14.7- Adensamento das argilas saturadas .............................................................................. 66 
14.7.1- Tensão de pré adensamento (σad’) ........................................................................ 66 
14.8- Determinação da tensão de pré adensamento ............................................................. 68 
14.8.1- Método de Casagrande ........................................................................................... 70 
14.8.2- Método de Pacheco e Silva ..................................................................................... 70 
15- Estudo da água nos solos ................................................................................................ 71 
15.1- Lei de Darcy ....................................................................................................................72 
15.2- Lei de Bernoulli .............................................................................................................. 73 
15.3- Determinação do coeficiente de permeabilidade ......................................................... 73 
15.3.1- Permeâmetro de carga constante .......................................................................... 74 
15.3.2- Carga variável (solos finos) ..................................................................................... 74 
15.3.3- Métodos indiretos ................................................................................................... 75 
15.3.4- Variação do coeficiente de permeabilidade de cada solo ...................................... 75 
16- Fluxo através das camadas de solo ................................................................................. 75 
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17- Resistência ao cisalhamento ........................................................................................... 76 
17.1- Ensaio de resistência ao cisalhamento .......................................................................... 79 
17.1.2- Ensaio de compressão triaxial. ................................................................................ 80 
17.2- Exemplo cálculo de tensão de cisalhamento por círculo de Mohr ................................ 83 
18- Investigação geotécnica – ensaios in situ para obtenção de parâmetros ...................... 85 
18.1- Ensaio de Simples Reconhecimento (SPT) NBR 6484 .................................................... 86 
18.2- Ensaio de Simples Reconhecimento com torque (SPTT) NBR 6484 ............................... 89 
Variação de N (SPT) ............................................................................................................. 90 
18.3- Ensaio de penetração de cone (CPT) Cone Penetration Test ........................................ 92 
18.4- Ensaio (CPTu) Piezocone ................................................................................................ 95 
18.5- Ensaio de penetração leve modificado por Nilsson (2001) (DPL) Dynamic Probe Pight 96 
18.6- Ensaio dilatômetro de plano (DMT) ............................................................................... 97 
18.7- Ensaio pressiômetro ...................................................................................................... 99 
19- Tipos de fundações e suas características - NBR 6122/2010 ........................................ 101 
19.1- Bloco............................................................................................................................. 101 
19.2- Sapata........................................................................................................................... 101 
19.3- Sapata corrida .............................................................................................................. 101 
19.4- Sapata associada .......................................................................................................... 101 
19.5- Radier ........................................................................................................................... 101 
19.6- Grelha ........................................................................................................................... 101 
19.7- Estaca ........................................................................................................................... 102 
19.8- Tubulão ........................................................................................................................ 102 
19.9- Caixão ........................................................................................................................... 102 
19.10- Bloco sobre estacas (Bloco de coroamento e estacas) .............................................. 103 
19.11- Radier estaqueado ..................................................................................................... 103 
19.12- Termos ....................................................................................................................... 104 
20- Informações importantes em um projeto de fundações .............................................. 105 
20.1- Topografia .................................................................................................................... 105 
20.2- Dados geológicos ......................................................................................................... 105 
20.3- Dados das construções vizinhas ................................................................................... 105 
20.4- Dados da nova edificação ............................................................................................ 106 
21- Ações nas fundações ..................................................................................................... 106 
21.1- Ações permanentes ..................................................................................................... 106 
21.2- Ações variáveis ............................................................................................................. 106 
21.3- Ações excepcionais ...................................................................................................... 106 
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22- Requisitos essenciais em um projeto de fundações ..................................................... 107 
22.1- Coeficientes de segurança e características de projeto de fundação ......................... 108 
22.1.1- Uso dos coeficiente de segurança (Fator de segurança FS) .................................. 108 
22.1.2- Fatores de segurança globais mínimos: ................................................................ 108 
22.2- Estado limite último – Análise de ruptura ................................................................... 109 
22.3- Estado limite de serviço – Analise de deformação ...................................................... 110 
23- Correlações para parâmetros do solo pelo SPT ............................................................ 111 
24- Fundações superficiais .................................................................................................. 115 
24.1- Pressão admissível ....................................................................................................... 115 
24.2- Metodologia para determinação da pressão admissível ............................................. 115 
24.3- Pressão admissível em solos compressíveis ................................................................ 116 
24.4- Solos expansivos .......................................................................................................... 116 
24.5- Solos colapsíveis ........................................................................................................... 116 
25- Dimensionamento de fundações superficiais ............................................................... 116 
25.1- Dimensionamento geométrico .................................................................................... 116 
25.2- Dimensionamento estruturais ..................................................................................... 117 
25.3- Disposições construtivas .............................................................................................. 118 
26- DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS DE FUNDAÇÃO SUPERFICIAIS – SAPATA .......... 119 
26.1- Tipos de sapata ............................................................................................................ 119 
26.1.2- Sapata Corrida ....................................................................................................... 121 
26.1.3- Sapata associada ...................................................................................................122 
26.1.4- Sapata com viga alavanca ou de Equilíbrio ........................................................... 122 
27- Rigidez dos elementos de fundação superficiais – sapatas .......................................... 123 
28- Distribuição de tensão no solo ...................................................................................... 125 
29- Comportamento Estrutural ........................................................................................... 127 
29.1- Sapata Rígida ................................................................................................................ 127 
29.2- Sapata Flexível .............................................................................................................. 128 
30- Definição das dimensões da sapata .............................................................................. 130 
31- Verificação à punção ..................................................................................................... 131 
31.1- Tensão de cisalhamento solicitante em pilar centrado com carregamento simétrico 132 
31.2- Tensão de cisalhamento solicitante em pilar interno com momento fletor aplicado . 132 
31.3- Verificação de tensão resistente de compressão diagonal do concreto na seção crítica 
C. ............................................................................................................................................ 133 
31.4- Tensão resistente na seção crítica C’ em elementos estruturais ou trechos sem 
armadura de punção. ............................................................................................................ 134 
32- Considerações de projeto segundo CEB-70 (Comitê Europeu de Concreto) ................ 136 
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32.1- Dimensionamento e disposição das armaduras de flexão .......................................... 137 
32.2- Verificação da força cortante ....................................................................................... 142 
32.3- Exemplo – Sapata isolada rígida sob carga concentrada ............................................. 142 
32.3.1- Determinação dos momentos fletores solicitantes .............................................. 145 
32.3.2- Ancoragem da armadura de flexão da sapata ...................................................... 148 
32.3.3- Detalhamento da armadura da sapata ................................................................. 148 
33- Dimensionamento pelo método das Bielas .................................................................. 149 
33.1- Resolução do exemplo anterior pelo método das bielas ............................................. 153 
34- Sapatas sob ações excêntricas ...................................................................................... 154 
34.1- Excentricidade em uma só direção .............................................................................. 154 
34.2- Excentricidade nas duas direções ................................................................................ 156 
34.3- Exemplo 3 – Sapata isolada sob força normal e um momento fletor ......................... 160 
34.4- Exemplo 4 – Sapata isolada sob flexão oblíqua ........................................................... 167 
35- Sapata flexível sob carga centrada ................................................................................ 173 
35.1- Exemplo Sapata flexível ............................................................................................... 177 
36- Sapata Corrida ............................................................................................................... 184 
36.1- Sapata corrida rígida .................................................................................................... 186 
36.2- Sapata corrida flexível .................................................................................................. 187 
36.3- Exemplo 6 – Sapata corrida rígida ............................................................................... 188 
37- Viga alavanca em sapatas de divisa .............................................................................. 195 
37.1- Roteiro de cálculo ........................................................................................................ 197 
37.2- Exemplo 8 – Sapata de divisa com viga alavanca ........................................................ 203 
38- Bloco de fundação sobre estacas .................................................................................. 213 
38.1- Comportamento estrutural .......................................................................................... 213 
38.2- Modelos de cálculo ...................................................................................................... 214 
38.2.1- Método das bielas ................................................................................................. 214 
38.3- Bloco sobre uma estaca ............................................................................................... 215 
38.4- Bloco sobre duas estacas – Método das bielas ............................................................ 216 
38.5- Bloco sobre três estacas – Método das bielas ............................................................. 221 
38.6- Bloco sobre quatro estacas – Método das bielas ........................................................ 226 
38.7- Exemplo 1 - Cálculo de bloco sobre duas estacas ........................................................ 232 
39- Capacidade de carga em estacas .................................................................................. 250 
Estaca de madeira ................................................................................................................. 250 
Estaca metálica ...................................................................................................................... 250 
Estaca pré-moldada ............................................................................................................... 250 
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Estaca moldada in-loco ......................................................................................................... 250 
39.1- Dentre as estacas moldadas in-loco temos: ................................................................ 251 
39.1.2- Estaca Strauss ........................................................................................................ 251 
39.1.3- Estaca Franki ......................................................................................................... 251 
39.1.4- Estaca Escavada .................................................................................................... 251 
40- Método Aoki-Velloso ..................................................................................................... 252 
41- Método Décourt-Quaresma .......................................................................................... 253 
42- Dimensionamento de estaca em compressão .............................................................. 259 
42.1- Armadura mínima ........................................................................................................ 260 
42.2- Armadura transversal .................................................................................................. 260 
43- Nega em estacas cravadas ............................................................................................ 263 
44- Efeito de perda de capacidade de carga em grupo de estacas ..................................... 264 
45- Capacidade de carga em tubulões ................................................................................ 266 
45.1- Capacidade de carga ....................................................................................................267 
45.2- Armadura longitudinal ................................................................................................. 270 
45.3- Armadura mínima ........................................................................................................ 271 
45.4- Armadura transversais (Estribos) ................................................................................. 271 
45.5- Área de aço ao longo do fuste ..................................................................................... 272 
46- RADIER ........................................................................................................................... 275 
46.1- Dimensionamento de radiers ...................................................................................... 275 
46.2- Carregamento das barras ............................................................................................. 279 
46.3- Propriedade geométricas e físicas das barras discretizadas ........................................ 279 
46.4- Esforços nas barras ...................................................................................................... 281 
47- Projeto de fundações de um edifício de 5 pavimentos (Curso do edifício completo) .. 282 
47.1- Estudos preliminares do terreno – Curvas de nível e corte aterro .............................. 284 
47.2- Pontos de sondagem de acordo com a planta de cargas ............................................ 286 
47.3- Analise dos laudos de sondagem Laudos de sondagem .............................................. 287 
47.4- Planta de cargas ........................................................................................................... 293 
47.5 - Memoriais de cálculo de todos os elementos de fundação ....................................... 295 
48- Referências bibliográficas ............................................................................................. 346 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
É com enorme prazer que nós do CANAL DA ENGENHARIA trazemos mais um conteúdo 
elaborado com todo o carinho para os nossos queridos alunos, o curso de Fundações 
tem o principal objetivo, com técnicas simples e diretas transpassar os conhecimentos 
necessários para o real entendimento dos processos de dimensionamento de elementos 
de fundações, trazendo todas as informações necessárias desde a análise de solo com 
técnicas laboratoriais até as maneiras mais indiretas de se obter parâmetros 
importantes para esses trabalhos. Com intuito de embasar os conhecimentos essenciais, 
partiremos do estudo de solo, dentro da geotécnica veremos algumas questões sobre 
as principais características que devem ser observadas para compreendermos o 
comportamento dos elementos de fundação, diferentemente de outros cursos, 
entraremos mais fundo nessas questões, até porque os elementos de fundação sem 
uma base de apoio (solo) não nos servirá de nada, os estudos dentro deste conteúdo 
veremos: formação dos solos, tipos de solos, granulometria, Índices de consistência, 
índices físicos, compactação de solo, principio das tensões efetivas, adensamento, 
deformações, estudo da água nos solos, percolação, resistência ao cisalhamento. Com 
esses conhecimentos adquiridos podemos então, de uma forma mais completa, 
aprender todos os aspectos de um bom elemento de fundação. Veremos neste trabalho 
os principais elementos de fundação, tais como para as fundações superficiais ou rasas: 
Sapata, Sapata corrida, sapata associada, bloco, bloco de coroamento, radier. Dentre as 
fundações profunda temos: Estacas, tubulões e caixão. 
Todos os processos de dimensionamento terão como de costumes, todos os memoriais 
de cálculos detalhados para que se possa entender todos os principais pontos destes 
processos, com ilustrações para facilitar a interpretação dos conceitos relativos aos 
elementos de fundação e geotecnia. 
Aprendendo o passo a passo do dimensionamento, com auxílio das vídeo aulas, o aluno 
será capaz no final do curso de analisar, dimensionar e detalhar um projeto completo 
de fundações, com total critério e completa analogia sobre o assunto, tendo com eximia 
competência a capacidade de analisar qualquer projeto de fundações de terceiros, e 
executá-los com total segurança. 
 
 
 
 
 
 
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1- Introdução a mecânica dos solos 
 
A geotécnica é parte integrante da engenharia civil, sendo de fundamental importância 
para diversos trabalhos derivados dentro da construção civil, tais como fundações, 
barragens, túneis e pavimentação por exemplo, onde é necessário conhecer as 
características e comportamentos dos solos para a efetiva funcionalidade dos elementos 
estruturais empregados nesses tipos de obras. 
A mecânica dos solos surgiu como ciência no primeiro quarto do século passado por Karl 
Terzaghi, que viu a necessidade de estudos mais aprofundados nestes assuntos uma vez 
que foi o início da era dos grandes edifícios, com estudos teóricos e práticos conseguiu 
entender o comportamento dos diferentes tipos de solo, solos submetidos a 
carregamento, solos com diferentes níveis de umidade, solos saturados dentre outros. 
Terzaghi conseguiu chegar a diversas teorias que são utilizadas até os dias de hoje, se 
mostrando bem funcionais, como os solos não tem um comportamento, tensão 
deformação linear é necessário algumas técnicas para conseguir prever esse 
comportamento, logicamente que de forma aproximada. 
As dificuldades de se trabalhar com solos: 
- Comportamento não linear, diferente do aço, que é uma material extremamente 
previsível os solos dependem de diversos parâmetros que além de diferirem entre um 
solo e outro podem variar com o teor de umidade, grau de saturação, número de vazios 
etc. 
- O comportamento depende da solicitação, tempo de aplicação e meio ambiente onde 
se encontra 
- Os solos são componentes totalmente heterogêneo podendo variar a sua composição 
química e granulométrica em uma mesma região. 
- Os solos além de mudar o seu comportamento em uma mesma região de forma 
superficial, varia de acordo com a profundidade, sendo separado em diversas camadas 
com composição e comportamentos distintos, onde muitas vezes em estudos 
geotécnicos para aplicação na construção civil devemos buscar um perfil de solo em 
horizontes mais profundos. 
-Muitos solos são sensíveis a perturbações, podendo mudar suas características físicas 
de maneira súbita antes de serem feitas as análises em laboratório distorcendo os 
resultados obtidos. 
 
 
 
 
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1.1- Rochas 
Dentro da mecânica dos solos temos de analisar as principais formações rochosas para 
entendermos mais a frente como são efetivamente formados os diferentes tipos de 
solos. As rochas são formados por minerais, que por sua vez são constituídos por 
substâncias químicas que se cristalizam em condições especiais e tem propriedades 
químicas e físicas bem definidas, o estudo dos minerais que compõe a rocha pode 
determinar onde e como foi formada. 
Tendo em vista a composição química dos minerais que formam as rochas, Caputo 
(1983) os classifica em: 
• Óxidos: Hematita, magnetita, limonita. 
• Carbonatos: Calcita, Dolomita. 
• Sulfatos: Gesso, anidrita. 
As rochas são de três tipos principais: Ígneas ou magmáticas, sedimentares e 
metamórficas 
 
 
 
Rochas Ígneas (ou Magmática): São formadas a partir do resfriamento e solidificação 
do magma oriundo da fusão do material do manto e da crosta. As rochas ígneas que se 
consolidam no interior da terra, onde o resfriamento é mais lento, gerando minerais de 
grande granulação, chamam-se intrusivas ou plutônicas, o granito é um excelente 
exemplo. As rochas formadas nas camadasmais superficiais da terra são chamadas de 
extrusivas ou vulcânicas, exemplos típicos e o basalto e diabásio. 
Ígnea Sedimentar Metamórfica 
Granito 
Folhelho Gnaisse 
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Rochas sedimentares: Como o próprio nome já diz são formadas a partir da 
sedimentação erodidos de outras rochas que se acumulam e se aglomeram em 
depressões ou bacias sedimentares, demandam tempo para se acumularem e se 
compactarem, transformando-se no final desse processo em rochas compostas de 
outras diferentes rochas, os exemplos desse tipos de rochas são: Arenitos, folhetos, 
calcários, argilitos, etc. 
 
 
Rochas metamórficas: São formadas a partir dos agentes do intemperismos, variação 
da temperatura e pressão em rochas ígneas, sedimentares ou de outras rochas 
metamórficas, os exemplos mais comuns são os gnaisses, xisto, quartzitos, etc. 
 
 
 
2- Formação dos diferentes tipos de solo 
A formação dos solos se dá a partir das ações do intemperismo, que nada mais é que a 
transformações das rochas são presentes na superfície do planeta desde o princípio. 
Com as alterações atmosféricas essas rochas foram sofrendo uma espécie de 
decomposição e degradação, de forma extremamente lenta formando os diferentes 
tipos de solos que vemos hoje, o intemperismo pode ser dividido da seguinte maneira: 
Basalto Diabásio 
Arenito Calcário 
Quartzito 
Xisto 
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12 
 
2.1- Intemperismo químico: É a quebra da estrutura química dos minerais que compõe a 
rocha ou sedimento (material de origem). As rochas, então, sofrem um processo de 
decomposição. A intensidade deste intemperismo é relacionada com a temperatura, 
pluviosidade e vegetação, ocorrendo principalmente nas regiões intertropicais. Podem 
ser causados pela oxidação de rochas ricas em metais, hidrólise e por fungos e bactérias 
que de alguma forma mudam as características originais da rocha de origem. 
2.2- Intemperismo físico: Desagregação ou desintegração do material de origem (rocha 
ou sedimento) sem que haja alteração química dos minerais constituintes. Ele, portanto, 
causa uma desagregação de fragmentos cada vez menores, conservando as 
características de seus minerais, aumentando a superfície de contato dos fragmentos, o 
que colabora com o intemperismo químico. Em regiões desérticas e de clima semiárido 
esse processo é mais intenso. Podem ser causadas pela expansão do solo da cristalização 
do gelo em regiões glaciais, a quebra das rochas por raízes de plantas, degradação pelas 
ações do vento e da água em atrito constante com as rochas. 
 
2.3- Pedogênese (Formação do solo) 
A formação do solo é um processo relativamente lento, pra dizer o mínimo, já que para 
se formar 1 cm de camada de solo pode ser necessário quase 1000 anos de 
intemperismo, logicamente que isso depende diretamente do ambiente em que se 
encontram as rochas de origem, por exemplo em regiões de frio constante o solo e 
basicamente constituído do horizonte C, ou seja 
uma derivação direta da rocha de origem, pois com 
uma temperatura constante, sendo protegido 
quase que permanentemente pela camada de gelo 
superficial tem um processo de decomposição 
muito mais lento que em regiões tropicais por 
exemplo, onde a variação constante de 
temperatura, umidade e pressão tornam esses 
processos relativamente mais rápidos, passando de 
milhares de anos para algumas centenas, que é 
exatamente o caso do hemisfério sul, as américas 
central e do sul tem um solo muito característico, 
em geral os solos tem um perfil mais maduro. 
Cada tipo de solo, ou seja suas características 
dependem diretamente da sua origem, as rochas de 
origem ditam como será a composição, 
granulometria e comportamento deste solo, tendo isso em mente podemos dividir os 
principais tipos de solos por sua rocha mãe. 
 
 
Figura 1-Perfil do solo (imagem da internet) 
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Tabela 1-Composição das rochas 
TIPOS DE ROCHA COMPOSIÇÃO 
MINERAL 
TIPO DE SOLO COMPOSIÇÃO 
Basalto Plagioclásio 
Piroxênios 
Argiloso (pouca 
areia) 
Argila 
Quartzo (pedra 
mineira) 
Quartzo Arenoso Quartzo 
Filitos (Sorocaba , 
Itu) 
Mica Argiloso Argila 
Granito (areia de 
praia, Itatiba, 
Bragança Paulista) 
Quartzo 
Feldspato 
Mica 
Areno-argiloso 
(micáceo) 
Quartzo 
Areia 
Mica 
Calcário 
(Fabricação do 
cimento) 
Calcita Argiloso Argila 
 
2.4- Tamanho e forma das partículas 
Uma das principais características que diferem os solos é o tamanho e formato das 
suas partículas, pois essas singularidade pode ditar como será o comportamento do 
solo para diversas finalidades, por isso existe o estudo da granulometria, que visa 
dividir os solos em categorias: 
 
Segundo ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) 
 
 
 
MIT (Massachussets Institute of Technology) 
 
 
 
Logicamente que a identificação dos solos não é tão 
simples como mostra acima, pois em um mesmo solo 
encontramos diversas granulometrias, o que pode 
dificultar a classificação desse solo, tendo de usar de 
uma composição de dois ou mais solos 
predominantes no solo estudado, para essa 
classificação e nomenclatura de cada tipo de solo é 
feita a través da curva granulométrica desse solo, que 
Argila Silte Areia fina Areia média Areia grossa Pedregulho 
0,005 0,05 0,42 2,0 4,8 7,6 (mm) 
Argila Silte fino Areia fina Areia média Areia grossa Pedregulho 
0,002 0,006 0,02 0,06 2,0 (mm) 
Silte médio Silte grosso 
0,2
 
 0,06 
0,6 
Figura 2-Peneiras (imagem da 
internet) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
14 
 
é obtida pelo ensaio granulométrico que nada mais é que uma série de peneiras com 
diversas aberturas variando de 0,076mm até 4,76mm, essa curva é o resultado na 
análise da percentagem de retenção da massa de solo inicial em cada peneira, podendo 
traçar um perfil desse solo e consequentemente ver qual o solo é predominante na 
mistura, que em geral, dará nome ao solo em questão, vale ressaltar que nem sempre a 
granulometria predominante dita o comportamento do solo, pois podemos ter um solo 
arenoso com comportamento de um solo argiloso, por exemplo, para entender melhor 
como funciona este processo de análise granulométrica vemos abaixo uma imagem de 
como funciona as peneiras de separação: 
Tabela 2-Abertura das peneiras 
São colocadas as peneiras de 
maior abertura na parte superior 
da torre, diminuindo essas 
aberturas consecutivamente, 
utilizando um oscilador e feita a 
peneiração desse material, 
posteriormente é analisado cada 
uma das peneiras para avaliar a 
percentagem de retenção em 
cada uma delas. Com esse 
processo é possível separar os 
solos mais grosseiros, porém há uma parcela que é impossível 
de separar pelo sistema de peneiras, deste modo as partículas 
que passam pela peneira de n° 200 sofrem outro processo de 
separação, esse processo é chamado de sedimentação, e consiste basicamente em 
medir indiretamente a velocidade de queda das partículas em água. O cálculo das 
partículas é feito através da Lei de Stokes. 
𝑣 =
𝛾𝑠 − 𝛾𝑤
18. 𝜇
∅² 
v= Velocidade de queda da partícula, 𝛾𝑠 = Peso específico dos sólidos , 𝜇 = Viscosidade 
da água (Pa.s), ∅ = Diâmetro das partículas 
Obs.: Lembrando que as partículas finas tem forma bastante diferente de esferas, 
então calcula-se o diâmetro equivalente das partículas. 
N° da 
Peneira 
Abertura 
(mm) 
Tampa - 
4 4,76 
10 2,0 
20 0,840 
40 0,420 
60 0,250 
100 0,149 
200 0,076 
Prato - 
Figura 3- Mesa 
vibratória 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
15 
 
3- Ensaio de sedimentação 
Oensaio de sedimentação, obtém-se a velocidade de queda das partículas suspensas 
na água, de forma indireta, através da determinação da densidade da suspensão em 
determinados intervalos de tempo, a leitura da densidade é feita com auxílio do 
densímetro (γi) que é correlacionada com a queda da partícula (z) 
Desta forma podemos considerar que a equação da Lei de Stokes pode ser 
interpretada como: 
𝑣 =
𝛾𝑠 − 𝛾𝑤
18. 𝜇
∅2 =
𝑧
𝑡
 
Colocando o diâmetro das partículas em evidência temos: 
∅ = √
18. 𝜇
(𝜌𝑠 − 𝜌𝑤). 𝑔
.
𝑧
𝑡
 
Para encontrar a viscosidade da água: 
𝜇 =
17,756. 10−4
1 + 0,0337𝑇 + 0,000221𝑇²
 
Partículas com diâmetros inferior a ∅, chamadas de N, a porcentagem pode ser 
encontrada com: 
𝑁 =
𝛾𝑠
𝛾𝑠 − 𝛾𝑤
.
𝑉
𝑀
(𝛾𝑖 − 𝛾𝑤) 
Sendo: 
Figura 4-Curva de sedimentação 
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16 
 
V= Volume da suspensão (1000cm³); M=Massa total dos sólidos , 𝛾𝑖=Leitura do 
densímetro 
4- Coeficiente de não uniformidade 
A curva de distribuição granulométrica é frequentemente representado por três 
parâmetros (D10, CNU e CC). 
O CNU (Coeficiente de não uniformidade) dá uma idéia da inclinação da curva 
granulométrica: 
𝐶𝑁𝑈 =
𝐷60
𝐷10
 
 Tabela 3-Descrição dos solos 
D60= é o diâmetro que na curva granulométrica, 
corresponde à porcentagem que passa igual a 60% 
D10= é o diâmetro que na curva granulométrica, 
corresponde à porcentagem que passa igual a 10% 
Ou seja, quanto maior o coeficiente de não uniformidade 
mais bem graduado é o solo, menos uniforme será. Areia 
com CNU menores que 2 são chamadas de areias 
uniformes, solos residuais apresentam CNU entre 300 e 
400 
 
Solo Descrição 
A Argila orgânica de Santos 
B Argila porosa laterítica 
C Solo Residual de basalto 
D Solo Residual de granito 
E Areia variegada de São Paulo 
F Solo residual de arenito 
G Solo residual de migmatito 
H Solo estabilizado para 
pavimentação 
I Areia fluvial fina 
J Areia fluvial média 
k Areia fluvial média 
Figura 5-Exemplo de curvas de retenção de solo 
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17 
 
5- Coeficiente de curvatura 
O CC (Coeficiente de curvatura), Não tão empregado é definido como: 
 
𝐶𝐶 =
(𝐷30)²
𝐷10. 𝐷60
 
O Coeficiente de curvatura detecta o melhor formato da curva granulométrica e permite 
identificar eventuais descontinuidades ou concentrações muito elevadas de grãos mais 
grossos no conjunto. 
Considera-se que o material é bem graduado (não uniforme), quando CC está entre 1 e 
3 (curva 1 - suave). Quando CC é menor que 1, a curva tende a ser descontínua (curva 2 
– descontinua), há falta de grãos de determinado diâmetro. Quando CC é maior que 3, 
a curva tende a ser muito uniforme na sua parte central (curva 3 – uniforme) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,001 0,01 0,1 1,0 
0 
50 
100 
%
 P
A
SS
A
 
Φ DAS PARTICULAS 
CNU=7 
CC=2,2 
CURVA 1 - SUAVE 
 
 
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18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6- Índices de físicos dos solos 
O solo por ter uma composição variada e comportamentos diretamente ligados a esses 
fatores, podemos observar alguns índices para nos auxiliar quanto a sua classificação, 
0,001 0,01 0,1 1,0 
0 
50 
100 
%
 P
A
SS
A
 
Φ DAS PARTICULAS 
 
 
CNU=7 
CC=0,5 
0,001 0,01 0,1 1,0 
0 
50 
100 
%
 P
A
SS
A
 
Φ DAS PARTICULAS 
CNU=7 
CC=5 
CURVA 2 – DESCONTINUA 
 
 
CURVA 3 – CURVA UNIFORME 
 
 
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19 
 
determinando por consequência seu comportamento, capacidade de carga, 
estabilidade e permeabilidade. 
• Peso ou massa especifica dos sólidos – É a relação entre o peso ou massa das 
partículas e o volume por elas ocupado na porção de solo. Esse valor varia de 
2.600 e 2.700 kgf/m³. Valores menores podem significar a presença de matéria 
orgânica, o que pode exigir alguns cuidados. 
𝜌𝑠 =
𝑚𝑠
𝑉𝑠
 
• Peso ou massa especifica do solo – Relação do peso total do solo e seu volume, 
considerando por tanto vazios e a presença de água entre os vazios das 
partículas, essa informação leva em consideração as características do solo em 
seu estado natural. 
 
𝜌 =
𝑚
𝑉
 
• Umidade – Relação entre o peso ou massa da água e o peso ou massa dos sólidos. 
𝑤 =
𝑚𝑤
𝑚𝑠
 
• Índice de vazios – Relação entre o volume de vazios e o volume de sólidos. 
𝑒 =
𝑉𝑣
𝑉𝑠
 
• Porosidade – Relação do volume, vazios e o volume total do solo 
𝑛 =
𝑉𝑣
𝑉
 
• Grau de saturação – Relação entre o volume de água e o volume de vazios, sendo 
esse valor igual a 1 (100%) o solo e chamado de saturado. 
𝑆𝑟 =
𝑉𝑤
𝑉𝑣
 
• Peso especifico seco – Relação entre o peso das partículas sólidas e o volume total 
do solo 
𝜌𝑑 =
𝑚𝑠
𝑣
 
• Peso especifico saturado – Peso específico do solo quando todos os vazios estão 
preenchidos por água. 
• Peso especifico submerso – Peso específico saturado menos o peso especifico da 
água. 
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20 
 
 
Diagrama de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- Índices de consistência 
 
• Limite de liquidez (LL) – Limite entre o estado plástico e líquido, nada mais é que 
o teor de umidade para que no teste de Casa Grande, feche a ranhura com cinco 
golpes, onde o solo tem um comportamento parecido com um fluido, tendo uma 
grande concentração de agora o que altera o seu comportamento. 
• Limite de plasticidade (LP) – Limite entre o estado semissólido ou quebradiço e o 
limite líquido, o estado plástico é aquele onde é possível moldar o solo com uma 
certa facilidade, assim como acontece com um escultor com argila, sendo capaz 
de se deformar sem romper ao cisalhamento. Enquanto estado de liquidez é um 
solo incapaz de ser moldado devido à grande quantidade de água na sua 
composição. 
• Limite de concentração (LC) – Limite entre o estado semissólido ou quebradiço 
com volume variável e o estado solido ou quebradiço com volume constante. O 
limite de concentração indica, fisicamente, o volume de água necessário para 
preencher os vazios do solo quando seco ao ar. 
• Índice de plasticidade – Diferença entre o limite de liquidez e o limite de 
plasticidade. Esse índice indica o intervalo em que o solo encontra-se plástico. 
 
 
7.1- Ensaios 
 
FASE GASOSA 
 
FASE LIQUIDA 
 
FASE SOLOIDA 
 
Vv 
V 
Vw 
Vg mg 
mw 
ms 
m 
Vs 
Figura 6-Diagrama de fases 
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21 
 
7.1.1- Limite de liquidez 
Os ensaios de limite de liquidez é 
padronizado pala ABNT (NBR 6459). 
Empregando umidades, geralmente, 
coloca-se uma quantidade de solo na 
concha do aparelho de Casagrande. 
Com um cinzel padronizado, se faz 
uma ranhura na pasta de solo, Então 
conta-se o número de golpes 
necessários para que a ranhura se 
feche numa extensão em torno de 1 
cm. Com os valores de umidade (no 
eixo das ordenadas) versos o número 
de golpes obtidos (eixo das 
abscissas), traça-se uma reta em um 
gráfico semilog. O valor do LL será 
aquele que corresponde a 25 goles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Esquema do aparelho de Casagrande (Imagens da internet) 
Figura 7 - Aparelho de Casagrande (imagens da internet) 
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22 
 
7.1.2- Limite de plasticidade 
 
O ensaio de limite de 
plasticidade é padronizado 
pela ABNT (NBR 7180). Esse 
ensaio é relativamente simples 
uma vez que determina o teor 
de umidade (LP) para o qual 
umcilindro de 3 mm começa a 
fissurar após ser rolado com a 
palma da mão sobre uma placa 
de vidro jateada. 
 
 
 
Figura 9 - Ensaio de plasticidade (imagens Dr. Roger - FEB-Unesp Bauru) 
 
Obs.: O ensaio apesar de extremamente simples é relativamente longo e maçante, uma vez que 
é necessário realizado repetidas vezes variando a umidade para se obter o resultado ideal, as 
variáveis são muitas, pois o calor das mãos e o movimento constante fazem com que a umidade 
caia distorcendo o resultado, sendo necessário uma nova checagem de umidade ao final do 
ensaio para encontrar uma fator de correção! 
 
7.2- Índices de consistência 
 
𝑰𝑷 = 𝑳𝑳 − 𝑳𝑷 
𝐼𝑃 = 0 → 𝑁ã𝑜 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 
1 < 𝐼𝑃 < 7 → 𝑃𝑜𝑢𝑐𝑜 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 
7 < 𝐼𝑃 < 15 → 𝑃𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
𝐼𝑃 > 15 → 𝑀𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 
 
Índice de consistência (Ic): 𝐼𝑐 =
𝐿𝐿−𝑊
𝐼𝑃
 
Índice de concentração (IC): 𝐼𝐶 = 𝐿𝑃 − 𝐿𝐶 
Índice de liquidez (IL): 𝐼𝐿 =
𝑤−𝐿𝑃
𝐼𝑃
 
 
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23 
 
8- Classificação dos solos 
Para a classificação dos solos temos diferentes sistemas que tem basicamente a mesma 
finalidade, todavia neste curso vamos trabalhar com dois deles, que são, SUCS (Sistema 
Unificado de Classificação dos solos) e o AASHTO (American Association Highway and 
Transportation Officials), os dois sistemas de classificação funcionam basicamente da 
mesma forma, classificando os solos de acordo com as características de granulometria 
de consistência. 
Sistema Unificado de Classificação dos solos (SUCS) 
Proposta por Arthur Casagrande em 1942, inicialmente destinado para construções de 
aeroporto e posteriormente para utilizado para barragens e obras geotécnicas, separa 
os solos da seguinte maneira: 
SOLOS GROSSO (+50% RETIDO NA #200) 
G (Gravel) – Pedregulho 
S (Sand) – Areia 
W (Well) - Material praticamente limpo de finos, bem graduado 
P (poorly) – Material praticamente limpo de finos, mal graduado 
M – Material com quantidades apreciáveis de finos não plásticos 
C – Material com quantidades apreciáveis de finos plásticos 
 
SOLOS FINOS (+50% PASSADO NA #200) 
M (Provem do Suéco “mjäla”) – Silte 
C (Clay) – Argila 
O (Organic) – Orgânico 
H (High) – Solos comalta compressibilidade 
apresentando LL>50% 
L (Low) – Solos com baixa compressibilidade apresentando LL<50% 
Pt (Peat) – Turfa 
 
 
 
 
 
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24 
 
Fluxograma do sistema SUCS 
 
Figura 11 - Fluxograma AASHTO 
 
Figura 10 - Fluxograma sistema SUCS 
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25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- São considerados solos de granulação grosseira os que têm menos de 35% passando 
na peneira nº 200. Estes são os solos: 
A-1a – Menos de 15% passa na peneira #200, Menos de 30% passa na peneira #40 e 
menos de 50% passa na peneira #10 tendo IP<6 
A-1b - Menos de 25% passa na peneira #200, Menos de 50% passa na peneira #40 tendo 
IP<6 
A-2 
A-3 – Menos de 10% passa na peneira #200 
 
- Os solos com mais de 35% passando na peneira nº 200 formam os grupos: 
A-4 – Silte com IP<10 e LL<40 
A-5 - Silte com IP<10 e LL>41 
A-6 – Argila IP>11 e LL<40 
A-7 
 
Figura 12 - Fluxograma AASHTO finos 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
26 
 
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SOLOS GRANULARES
PEDREGULHOS E SOLOS 
PEDREGULHOSOS
AREIAS E SOLOS ARENOSOS
SOLOS FINOS
SILTES E ARGILAS COM LL 
<50%
SILTES E ARGILAS 
COM LL >50%
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27 
 
9- COMPACTAÇÃO DOS SOLOS 
Aprendendo como são classificados os diferentes tipos de solo, para chegarmos a esse 
momento, onde iremos aplicar todos os conhecimentos adquirido dentro de uma 
disciplina especifica dentro da mecânica dos solos, a compactação talvez seja um dos 
tipos de obras onde mais se necessita conhecer as características do solo, pois 
necessitamos não somente conhecer o tipo de solo, mas também como se comporta, 
qual seu nível de saturação, índices de vazios e saber como alterar esses índices a nosso 
favor, encontrando a umidade ótima para atingirmos a plasticidade ideal para uma 
compactação mecânica! Mas chega de papo e vamos ao que interessa, compactação de 
solo! 
A compactação é empregada em: 
• Aterros para diversas finalidades 
• Camadas construtivas para pavimentação 
• Construção de barragens 
• Muros de arrimo e taludes 
A compactação é feita com a distribuição de camadas alteradas de solo natural da 
própria obra ou até mesmo de fontes externas, chamadas de empréstimo, caso o solo 
natural não seja ideal para o tipo específico de obra em quesitos de resistência, ou 
outras funções mecânicas importantes para as diferentes finalidades. Essas camadas são 
disposta em geral com espessuras de 20 a 30 cm, com posterior passagem de 
equipamento mecânico de compactação. 
Em 1933, o engenheiro Norte Americano, Ralph Proctor publicou um estudo referente 
a energia de compactação, um certo número de passadas de um dado tipo de 
equipamento, baseado em uma análise feita em laboratório, onde se aplica um número 
de golpes com um soquete padronizado, extraído desta análise, informações sobre a 
umidade ideal (umidade ótima), para que o solo seja compactado sem que haja uma 
reação excessiva de ricochete por parte do solo ou da água presente no solo, o que causa 
perdas de energia nos equipamentos de compactação! 
O princípio básico da compactação e a mudança do volume do solo mantendo o mesmo 
número de partículas, ou seja a diminuição de volume se deve a diminuição de vazios 
antes presente do solo, onde a quantidade de partículas e de água permanecem 
constante, com a diminuição do espaço entre as partículas, mais materiais poderão 
ocupar um mesmo espaço, resultando em um aumento na capacidade de carga desse 
solo. 
9.1- Ensaio de Proctor 
Para a realização do ensaio de Proctor, uma amostra de solo é retirada da obra e 
previamente seco em uma estufa, depois variando a umidade, são feitas várias amostras 
de solos para que as mesmas possam ser compactadas contidas no cilindro e golpeadas 
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28 
 
pelo soquete padronizado, com três tipos diferentes de energia, Proctor normal, 
intermediária e modificada, onde é possível analisar qual das umidades resulta em uma 
melhor compactação, ou seja, qual das amostras com sua devida umidade tem um 
menor número de vazios, um maior peso especifico seco (Densidade seca) o que indica 
uma maior e melhor compactação! 
 
Tabela 4-Tabela ensaio de Proctor 
 
*O cilindro pequeno deve ser usado quando a amostra, após a preparação passa 
integralmente na peneira de #4 
 
A energia de compactação pode ser calculada pela seguinte equação: 
 
𝐸 =
𝑀. 𝐿. 𝑛. 𝑁. 𝑔
𝑉
 
Onde: 
M= massa do Soquete 
L=Altura de queda (m) 
n= Número de camadas 
N=Número de golpes 
g=10m/s² (gravidade) 
V=Volume (m³) 
E=Energia (Joules) 
 
 
Normal Intermediária Modificada
Soquete Pequeno Grande Grande
Número de camadas 3 3 5
Número de golpes por camadas 26 21 27
Soquete Grande Grande Grande
Número de camadas 5 5 5
Número de golpes por camadas 12 26 55
Altura do disco espaçador 63,5 63,5 63,5
Cilindro
Caracteristicas inerentes a cada energia de 
compactação
ENERGIA
Pequeno
Grande
Figura 13-Esquema cilindro e soquete 
padronizado (Imagem da internet) 
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29 
 
Determinando a massa específica e a umidade do corpo de prova. Com estes valores 
calculamos a densidade da amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ρd máx 
W ótima 
Ramo 
Seco 
Ramo 
úmido 
Curva de compactação 
Curva de Saturação 
Sr=100% 
Figura 14-Curva típica de compactação 
a) Pedregulho bem-
graduado pouco argiloso 
(base estabilizada) 
b) Solo Arensos laterítico 
fino 
c) Areia Siltosa 
d) Areia silto-argilosa 
(residual de granito) 
e) Silte pouco argiloso 
(residual de gnaisse) 
f) Argila siltosa 
g) Argila residual de 
basalto (terra roxa) 
2.1 
2 
1.9 
1.8 
1.7 
1.6 
1.5 
1.4 
1.3 
1.2 
0 5 10 15 20 25
 
30
 
35
 
40
 Umidade (%) 
D
en
si
d
ad
e 
se
ca
 (
K
g/
d
m
³)
 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(b) 
(e) 
(f) 
(g) 
Figura 15-Curvas de compactação tipos de solo (PINTO 2000) 
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30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o solo se encontra com a umidade abaixo da ótima, a aplicação de maior energia 
de compactação provoca aumento da densidade seca, mas quando a umidade é maior 
do que a ótima, maior esforço de compactação para obter pouco ou nada no aumento 
da densidade, pois não se consegue expelir o ar dos vazios por estarem aprisionados 
pela pressão hidráulica que rebate a energia de compactação antes que os esforços 
sejam transferidos para as partículas, o já falado efeito ricochete. A passagem do 
equipamento de compactação quando o solo se encontra muito úmido faz com que 
ocorra o fenômeno conhecido pelos engenheiros como solo borrachudo, por conta da 
sua alta capacidade de absorver a impactos sem se deformar, tendo a capacidade de 
voltar a seu estado original de forma imediata. 
A compactação no campo deve seguir as seguintes operações: 
• Escolha da área de empréstimo; 
1,8 
1,7 
1,6 
1,5 
1,4
 
1,3
 14
 
16
 
18
 
20
 
22
 
24
 
26
 Umidade (%) 
D
en
si
d
ad
e 
se
ca
 (
K
g/
d
m
³)
 Modificado 
Intermediário 
Normal 
Linha das máximas 
Figura 16- Curvas de compactação em função da energia (PINTO 
2000) 
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31 
 
• Transporte e espalhamento do solo 
• Acerto da umidade 
• Compactação, com os seguintes equipamentos 
▪ Rolos lisos – Maioria dos solos, exceto areias uniforme e areias siltosas 
▪ Rolos pé de carneiro – Solos finos ou solos grossos com mais de 20% de 
solos finos 
▪ Rolos pneumáticos – Grande variedade de solos exceto material de 
graduação uniforme; 
▪ Rolos vibratórios – Solos granulares 
▪ Soquete mecânicos (Sapo) – Para pequenas área de difícil acesso; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17-Rolo liso simples (imagem da internet) 
Figura 18-Rolo pé de carneiro (imagem da internet) 
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32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19- Rolo pneumático (imagem da internet) 
Figura 20-Rolo vibratório (imagem da internet) 
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33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2- Índice de suporte Califórnia – (CBR) 
Desenvolvido pela Califórnia Division of Highways em 1929 e é utilizado para analisar a 
compactação das bases e sub-bases de pavimentos rodoviários como para o projeto de 
pavimentosflexíveis. Mede a resistência ao cisalhamento do solo sob condições 
controladas de umidade e peso especifico. 
• Compacta-se uma amostra de solo num cilindro na umidade ótima até atingir a 
massa específica aparente seca que deseja. Inunda-se a amostra durante 96 
horas no intuito de atingir a saturação e através de uma sobrecarga aplicada 
simula-se a resistência que o peso do pavimento impõe e observa-se a sua 
expansão. Após deve-se levar o cilindro a uma prensa e proceder a ruptura 
anotando os valores de penetração e carregamento. 
O Valor CBR é definido como a relação entre uma carga unitária necessária para a 
penetração de um pistão. O resultado é apresentado em uma curva resistência x 
penetração. 
 
𝐶𝐵𝑅 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
𝑥100 
 
 
As forças padrão para cálculos usuais de CBR são correspondente a penetrações 2,5mm 
e 5,0mm e valem respectivamente 13,2kN e 20,0kN, onde essas penetrações foram 
realizadas em amostras de pedra britada compactada que por definição possuem CBR = 
100% 
 
Figura 21-Soquete mecânico manual (Sapo) 
(Imagem internet) 
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34 
 
 
Tabela 5-Correlação CBR x Sistema de classificação (BARROS, 1997) 
CBR N° QUALIDADE UTILIZAÇÃO 
SISTEMA DE CLASSIFICAÇÃO 
UNIFICADO AASHTO 
0-3 Péssimo Sub-base OH, CH, MH, OL A-5, A-6, A-7 
3-7 Ruim a regular Sub-base OH, CH, MH, OL A-4, A-5, A-6, A-7 
7-20 Regular Sub-base OL, CL, ML, SC, SM, SP A-2, A-4, A-6, A-7 
20-50 Bom Base e sub-base GM, GC, SW, SM, SP, GP Alb, A-2-5, A-3, A-2-6 
>50 Excelente Base GW, GM Ala, A-2-4, A-3 
 
10- Diferenças entre os solos 
Como dito anteriormente, temos 3 principais diferentes tipos de solo, que são, argilas, 
siltes e areias, porém além da granulometria podemos citar algumas diferenças desses 
solos quanto a seu comportamento, a seguir decorrerei com as principais características 
comportamentais desses solos. 
10.1- Argilas e suas particularidades 
Por conta da sua composição, com partículas extremamente pequenas, com partículas 
tendo incríveis 10 angstron (0,000001 mm) quase 15 mil vezes menor que um fio de 
cabelo tem um tipo de ligação conhecida como ligação atômica com as partículas ao 
redor, as ligações podem se dar por hidrogênio ou oxigênio, sendo, por conta dessa 
ligação molecular, denominadas como solos coesivos, ou seja um solo com relativa 
atração entre as partículas. Por ser um solo bem característico pode ir desde o estado 
líquido, ou seja muito úmido, como uma sopa, assim como o estado plástico, semissólido 
e sólido, tudo isso variando a umidade presente no solo. 
10.2- Areia e suas particularidades 
Diferente das argilas, as areias não sofrem nenhum tipo de ligação atômica, sendo um 
solo não coeso, ou com coesão zero, tudo isso pelo tamanho das suas partículas, é 
considerado um solo granular. Para as areias é importante conhecer o grau de 
compacidade, ou seja o quão compacta é essa areia, com uma alta taxa de deformação 
é necessário alguns cuidados na hora de se dimensionar uma elemento de fundação 
para esses solos. Usa-se nesses casos a capacidade relativa, nada mais é que a relação o 
índice de vazios máximo (solo mais fofo possível) menos o índice real dividido pelo índice 
máximo menos o índice de vazios mínimo (solo muito compacto). 
𝐷𝑅 =
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒𝑚𝑖𝑛
 
 
10.3- Água no solo 
A água é um fator extremamente importante quando tratamos de solo, pois ela está 
presente na grande maioria dos solos tropicais, que é o nosso caso, tendo variados 
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35 
 
comportamentos e encontrada de diversas maneiras, deve ser estudada caso a caso 
para as considerações de deformação e comportamento dos elementos de fundação, 
falaremos mais a frente desse assunto com mais detalhes com isso vamos entender 
como são encontradas comumente nos solos: 
 
 
11- Tensões no solo 
As tensões atuantes no solo são de fundamental importância para o estudo do 
comportamento dentro da geotecnia, nos solo atuam-se basicamente 3 tipos de 
tensões, decorrente ao seu peso próprio (Tensões geostáticas), de escavação (Alivio de 
tensão) e de cargas externas (Acréscimo de tensão) 
O comportamento do solo é melhor compreendido quando visto da forma disposta 
anteriormente, nas 3 fases físicas (Solida, líquida e gasosa). 
 
11.1- Tensões efetivas 
Como comentado acima, a água presente no solo dita grande parte do seu 
comportamento, dentro do princípio das tensões efetivas talvez seja a maior prova 
deste poder exercido pela água presente no solo. O princípio das tensões efetivas 
postulada por Terzaghi nada mais é que a consideração da água em contato com as 
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36 
 
partículas do solo, que apesar de ser responsável por absorver parte das tensões 
aplicadas no solo não exerce nenhuma tensão a ser somada ao peso próprio do solo, 
denominada como pressão neutra (u). A pressão que atua nos contatos interarticulares 
e que responde a todas as características de resistência e de deformabilidade do solo é 
chamada de tensão efetiva (σ’). Com isso, Terzaghi notou que a tensão normal total num 
plano deve ser somado da parcela de pressão neutra e da tensão efetiva. 
 
𝜎 = 𝜎′ + 𝑢 Por consequência 𝜎′ = 𝜎 − 𝑢 
 
Para entendermos melhor esse conceito, imagine que temos um perfil de solo, assim 
como descrito abaixo: 
 
 
𝑢𝑤 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 
𝜎𝑣 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝜎’ = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝛾 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 
𝛾𝑤 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑜 á𝑔𝑢𝑎 
 
 
 
 
Areia γ=17 kN/m³ 
Areia fina γ= 18,5 kN/m³ 
Silte argiloso γ= 20,8 kN/m³ 
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37 
 
Profundidade de -1m 
𝑢𝑤 = 𝛾𝑤. 𝑍𝑤 → 0 . 1 = 0 𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑣 = 𝛾. 𝑍 → 17 . 1 = 17 𝑘𝑃𝑎 
𝜎’ = 𝜎𝑣 − 𝑢𝑤 → 17 − 0 = 17 𝑘𝑃𝑎 
 
Profundidade de -1,50m 
𝑢𝑤 = 𝛾𝑤. 𝑍𝑤 → 0 . 0,5 = 0 𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑣 = 𝛾. 𝑍 → 18,5 . 0,5 = 9,25 𝑘𝑃𝑎 
𝜎’ = 𝜎𝑣 − 𝑢𝑤 + 𝜎𝑣′ → 9,25 − 0 + 17 = 26,25 𝑘𝑃𝑎 
 
Profundidade de -4m 
𝑢𝑤 = 𝛾𝑤. 𝑍𝑤 → 10 . 2,5 = 25 𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑣 = 𝛾. 𝑍 → 18,5 . 2,5 = 46,25 𝑘𝑃𝑎 
𝜎’ = 𝜎𝑣 − 𝑢𝑤 + 𝜎𝑣′ → 46,25 − 25 + 26,25 = 47,5 𝑘𝑃𝑎 
 
Profundidade de -6m 
𝑢𝑤 = 𝛾𝑤. 𝑍𝑤 → 10 . 2,0 = 20 𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑣 = 𝛾. 𝑍 → 20,8 . 2,0 = 41,60 𝑘𝑃𝑎 
𝜎’ = 𝜎𝑣 − 𝑢𝑤 + 𝜎𝑣′ → 41,60 − 20 + 47,5 = 69,1 𝑘𝑃𝑎 
 
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38 
 
12- Propagação das tensões no solo 
12.1- Acréscimo de tensões no solo 
O Acréscimo de tensão dentro maciço de solo 
ocorrem quando estes recebem cargas 
externas, ou seja, carregamentos em sua 
superfície. A teoria da elasticidade é empregada 
para a estimativa de tensões. O emprego dessa 
teoria é questionável uma vez que 
comportamento dos solos não satisfaz aos 
requisitos do comportamento elástico, mas 
ainda é a melhor alternativa pois apresenta 
resultados satisfatórios em relação as tensões 
atuantes no solo, ficando próximos dos valores 
reais. 
Com o acréscimo das tensões, a propagação 
pelo maciço de solo ocorrem através das 
isóbaras, que em conjunto formam os 
conhecidos como bulbos de tensão. 
 
Dentro da propagação de tensões podemos segregar em 3 tipos de aplicação de carga, 
todas com distinções quanto ao comportamento, sendo: 
• Carregamento Pontual 
• Carregamentos em áreas retangulares 
• Carregamentos em áreas circulares 
p
0,8p
0,6p
0,4p
0,2p
Figura 22-bulbos de 
tensão 
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39 
 
12.2- Carga concentrada na superfície do terreno 
As hipóteses assumidas por Boussinesq (1885) (Solução de Boussinesq)para a obtenção 
da solução das tensões provocadas por uma carga concentrada são as seguintes: 
Superfície horizontal de um espaço semi-infinito, homogêneo, isotrópico e elástico 
linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendo a carga P atuando no ponto O (origem do sistema cartesiano) e o ponto A em que 
se deseja calcular as tensões, sendo: 
“r” a distância radial AO 
“R” Vetor posição de A 
“θ” o Ângulo entre R e z 
A tensão no dado ponto calcula-se 
𝜎𝑧 =
3 . 𝑃 . 𝑧³
2 . 𝜋 . 𝑅5
 
 
Ou 
 
x
P
A'
A
R
r
y
z
Figura 23-Carregamento pontual (BUENO & VILAR, 
1984) 
θ 
σr 
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40 
 
𝜎𝑧 =
3 . 𝑃 
2 . 𝜋 . 𝑧2
[1 + (
𝑟
𝑧
)
2
]−
5
2 
 
Na vertical a aplicação da carga z/r=0, as pressões serão: 
𝜎𝑧 =
0,48 . 𝑃 
𝑧²
 
Exemplo: Para aplicarmos os aprendizados adquiridos acima, podemos fazer a analogia 
com um poste de linha de energia, aplicando uma carga de 13 kN, pontualmente 
distribuída na superfície de um terreno ao lado de uma estrada, onde será construída 
uma estrutura de contenção para a ampliação de uma faixa de serviço, sendo assim é 
necessário a avaliação das tensões em um dado ponto previamente conhecido, 
conforme indica a figura abaixo! 
20 
𝜎𝑧 =
3 . 13 .2,01³
2 . 𝜋 . 2,535
== 0,486kPa 
 
𝜎𝑧 =
3 . 13 
2 . 𝜋 . 2,012
[1 + (
1,53
2,01
)
2
]−
5
2 == 0,49kPa 
 
𝜎𝑧 =
0,48 . 13 
2,01²
= 1,545𝑘𝑃𝑎 
 
 
 
 
12.3- Carregamento para áreas retangulares 
 
Para esta condição, Newmark desenvolveu uma integração de equação, tomando como 
referência o trabalho de Boussinesq. Determinou as tensões num ponto abaixo da 
vertical passando pela aresta da área retangular, ou seja, esse método encontra as 
tensões tomando como referência sempre o vértice (Canto) de uma superfície com 
carga distribuída em uma área, no caso de estudos em pontos distintos do vértice real 
de uma dada estrutura de carga distribuída em uma área é possível subdividir essa área 
A
R=2,53m
37°
2.01
P=13 kN
1.53
Figura 24- Exemplo carregamento pontual 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
41 
 
real em várias outras áreas, onde todos os vértices se encontram no ponto onde se 
deseja calcular as tensões, desta forma, o fator de influência (lσ) final será obtido com a 
soma algébrica dos fatores de influência parciais de cada subparte da estrutura 
anteriormente dividida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo do fator de influência é uma relação entre as dimensões dos lados do painel 
de distribuição de carga (m e n) com a profundidade do ponto onde se pretende obter 
as tensões atuantes 
𝑚 =
𝐿
𝑧
 𝑒 𝑛 =
𝐵
𝑧
 
 
𝜎𝑣 = 𝜎0 .
1
4 . 𝜋
[
(2𝑚𝑛(𝑚2 + 𝑛2 + 1)
1
2)(𝑚2 + 𝑛2 + 2)
(𝑚2 + 𝑛2 + 1 +𝑚2𝑛2)(𝑚2 + 𝑛2 + 1)
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
2𝑚𝑛(𝑚2 + 𝑛2 + 1)
1
2
𝑚2 + 𝑛2 + 1 +𝑚2𝑛2
] 
Sendo: 
▪ O ângulo da segunda parte deve ser em radianos 
▪ Caso o denominador da segunda parte da equação for ≤zero, deve-se somar 
𝜋 ao ângulo 
T
A M B
N
C
SD
P
L
B
y
z
x
carga P
Figura 25-Carregamento distribuído em uma área 
(PINTO 2000) 
Δσv 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
42 
 
 
Figura 26- Ábaco fator de influência acréscimo de tensão vertical sob o canto do retângulo 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
43 
 
Tabela 6- Valores de I em função de m e n para equação Newmark (PINTO 2000) – PARTE 1 
 
 
Tabela 7-Valores de I em função de m e n para equação Newmark (PINTO 2000) – PARTE 2 
 
 
 
n ou m 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,1 0,005 0,009 0,013 0,017 0,02 0,022 0,024 0,026 0,027
0,2 0,009 0,018 0,026 0,033 0,039 0,043 0,047 0,05 0,053
0,3 0,013 0,026 0,037 0,047 0,056 0,063 0,069 0,073 0,077
0,4 0,017 0,033 0,047 0,06 0,071 0,08 0,087 0,093 0,098
0,5 0,02 0,039 0,056 0,071 0,084 0,095 0,103 0,11 0,116
0,6 0,022 0,043 0,063 0,08 0,095 0,107 0,117 0,125 0,131
0,7 0,024 0,047 0,069 0,087 0,103 0,117 0,128 0,137 0,144
0,8 0,026 0,05 0,073 0,093 0,11 0,125 0,137 0,146 0,154
0,9 0,027 0,053 0,077 0,098 0,116 0,131 0,144 0,154 0,162
1 0,028 0,055 0,079 0,101 0,12 0,136 0,149 0,16 0,168
1,2 0,029 0,057 0,083 0,106 0,126 0,143 0,157 0,168 0,178
1,5 0,03 0,059 0,086 0,11 0,131 0,149 0,164 0,176 0,186
2 0,031 0,061 0,089 0,113 0,135 0,153 0,169 0,181 0,192
2,5 0,031 0,062 0,09 0,115 0,137 0,155 0,17 0,183 0,194
3 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,171 0,184 0,195
5 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,172 0,185 0,196
10 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,172 0,185 0,196
ꝏ 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,172 0,185 0,196
m= L/Z e n=B/Z
n ou m 1 1,2 1,5 2 2,5 3 5 10 ꝏ
0,1 0,028 0,029 0,03 0,031 0,031 0,032 0,032 0,032 0,032
0,2 0,055 0,057 0,059 0,061 0,062 0,062 0,062 0,062 0,062
0,3 0,079 0,083 0,086 0,089 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09
0,4 0,101 0,106 0,11 0,113 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115
0,5 0,12 0,126 0,131 0,135 0,137 0,137 0,137 0,137 0,137
0,6 0,136 0,143 0,149 0,153 0,155 0,156 0,156 0,156 0,156
0,7 0,149 0,157 0,164 0,169 0,17 0,171 0,172 0,172 0,172
0,8 0,16 0,168 0,176 0,181 0,183 0,184 0,185 0,185 0,185
0,9 0,168 0,178 0,186 0,192 0,194 0,195 0,196 0,196 0,196
1 0,175 0,185 0,193 0,2 0,202 0,203 0,204 0,205 0,205
1,2 0,185 0,196 0,205 0,212 0,215 0,216 0,217 0,218 0,218
1,5 0,193 0,205 0,215 0,223 0,226 0,228 0,229 0,23 0,23
2 0,2 0,212 0,223 0,232 0,236 0,238 0,239 0,24 0,24
2,5 0,202 0,215 0,226 0,236 0,24 0,242 0,244 0,244 0,244
3 0,203 0,216 0,228 0,238 0,242 0,244 0,246 0,247 0,247
5 0,204 0,217 0,229 0,39 0,244 0,246 0,249 0,249 0,249
10 0,205 0,218 0,23 0,24 0,244 0,247 0,249 0,25 0,25
ꝏ 0,205 0,218 0,23 0,24 0,244 0,247 0,249 0,25 0,25
m= L/Z e n=B/Z
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
44 
 
 
L/
B
z/
B
0,
1
0,
24
98
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
24
99
0,
2
0,
24
86
0,
24
89
0,
24
91
0,
24
91
0,
24
91
0,
24
91
0,
24
92
0,
24
92
0,
24
92
0,
24
92
0,
24
92
0,
3
0,
24
55
0,
24
64
0,
24
68
0,
24
7
0,
24
72
0,
24
72
0,
24
74
0,
24
74
0,
24
74
0,
24
74
0,
24
74
0,
4
0,
24
01
0,
24
2
0,
24
29
0,
24
34
0,
24
37
0,
24
39
0,
24
42
0,
24
43
0,
24
43
0,
24
43
0,
24
43
0,
5
0,
23
25
0,
23
56
0,
23
73
0,
23
82
0,
23
88
0,
23
91
0,
23
97
0,
23
98
0,
23
98
0,
23
99
0,
23
99
0,
6
0,
22
29
0,
22
75
0,
23
01
0,
23
15
0,
23
24
0,
23
3
0,
23
39
0,
23
41
0,
23
42
0,
23
42
0,
23
42
0,
7
0,
21
19
0,
21
8
0,
22
15
0,
22
36
0,
22
49
0,
22
57
0,
27
71
0,
22
74
0,
22
75
0,
22
76
0,
22
76
0,
8
0,
19
99
0,
20
75
0,
21
2
0,
21
47
0,
21
62
0,
21
76
0,
21
96
0,
22
0,
22
02
0,
22
02
0,
22
02
0,
9
0,
18
76
0,
19
64
0,
20
18
0,
20
53
0,
20
75
0,
20
89
0,
21
16
0,
21
22
0,
21
24
0,
21
25
0,
21
25
1
0,
17
52
0,
18
51
0,
19
14
0,
19
55
0,
19
81
0,
19
99
0,
20
34
0,
20
42
0,
20
44
0,
20
46
0,
20
46
1,
2
0,
15
16
0,
16
28
0,
17
05
0,
17
57
0,
17
93
0,
18
18
0,
18
7
0,
18
82
0,
18
85
0,
18
88
0,
18
88
1,
4
0,
13
05
0,
14
23
0,
15
08
0,
15
69
0,
16
13
0,
16
44
0,
17
12
0,
17
3
0,
17
35
0,
17
4
0,
17
4
1,
6
0,
11
23
0,
12
41
0,
13
29
0,
13
96
0,
14
45
0,
14
82
0,
15
66
0,
15
9
0,
15
98
0,
16
04
0,
16
04
1,
8
0,
09
69
0,
10
83
0,
11
72
0,
12
4
0,
12
94
0,
13
34
0,
14
34
0,
14
63
0,
14
74
0,
14
82
0,
14
83
2
0,
08
4
0,
09
47
0,
10
34
0,
11
03
0,
11
58
0,
12
02
0,
13
14
0,
13
5
0,
13
63
0,
13
74
0,
13
75
2,
5
0,
06
02
0,
06
91
0,
07
67
0,
08
32
0,
08
86
0,
09
31
0,
10
63
0,
11
14
0,
11
34
0,
11
53
0,
11
54
3
0,
04
47
0,
05
19
0,
05
83
0,
06
4
0,
06
89
0,
07
32
0,
08
7
0,
09
31
0,
09
59
0,
09
87
0,
09
9
3,
5
0,
03
43
0,
0401
0,
04
54
0,
05
03
0,
05
46
0,
05
85
0,
07
2
0,
07
88
0,
08
22
0,
08
59
0,
08
63
4
0,
02
7
0,
03
18
0,
03
62
0,
04
03
0,
04
41
0,
04
75
0,
06
03
0,
06
74
0,
07
12
0,
07
58
0,
07
64
5
0,
01
79
0,
02
12
0,
02
43
0,
02
73
0,
03
01
0,
03
28
0,
04
35
0,
05
04
0,
05
47
0,
06
1
0,
06
2
6
0,
12
7
0,
01
51
0,
01
74
0,
01
96
0,
02
17
0,
02
38
0,
03
25
0,
03
88
0,
04
31
0,
05
06
0,
05
21
8
0,
00
73
0,
00
87
0,
01
01
0,
01
14
0,
01
27
0,
01
4
0,
01
98
0,
02
46
0,
02
83
0,
03
67
0,
03
94
10
0,
00
47
0,
00
56
0,
00
65
0,
00
74
0,
00
83
0,
00
92
0,
01
32
0,
01
68
0,
01
98
0,
02
79
0,
03
16
20
0,
00
12
0,
00
14
6
0,
00
17
0,
00
19
0,
00
21
0,
00
24
0,
00
35
0,
00
46
0,
00
57
0,
00
99
0,
01
59
3
4
5
10
10
0
1
1,
2
1,
4
1,
6
1,
8
2
Ta
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8
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te
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sõ
es
 l 
σ
 (
V
el
lo
so
 &
 L
o
p
es
 1
9
9
7
) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
45 
 
12.4- Método aproximado para cargas retangulares 
Para uma análise preliminar, não é incomum a utilização do método simplificado, 
chamado de método aproximado (também chamado de método 2:1). O método 
consiste na relação das dimensões do elemento ou distribuição de carga e a 
profundidade onde se deseja saber as tensões acrescidas devido ao carregamento, com 
o carregamento distribuído em uma área maior a tensão tende logicamente, usando a 
soma entre as dimensões e a profundidade como indica a figura, o acréscimo de tensão 
nesse caso se dá por: 
∆𝜎𝑧 =
𝑞𝑧𝐵𝐿
(𝐵 + 𝑧)(𝐿 + 𝑧)
 
Obs.: O método aproximado se mostra razoavelmente preciso se comparado ao método 
de Boussinesq) quando z>B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27-Dissipação da carga pelo método simplificado 
Figura 28 - Dissipação da carga pelo método simplificado 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
46 
 
12.5- Exemplo cálculo de acréscimo de tensão: Cálculo de acréscimo de tensão em uma 
sapata de 4,50 x 3,00 (m) apoiada na superfície de uma massa de solo, a carga aplicada 
nesse elemento de fundação é de 2025 kN (202,5 tf), de modo a apurar as tensões a 
uma profundida conhecida (3m), para dois casos distintos, no meio do elemento de 
fundação e na extremidade direita como indica 
a figura 
 
 
Obs.: A carga aplicada na sapata é pontual, porém a principal função de um elemento 
de fundação é dissipar as cargas para o solo, cada um à sua maneira, a sapata recebe a 
carga de um pilar (pontual, ou distribuído em uma área muito menor) e distribui em uma 
área maior, conseguindo diminuir a tensão aplicada (tensão=carga/área), desta forma 
como primeiro passo na resolução é justamente encontrar a carga por área de superfície 
de contato (sapata/solo). 
Ponto A 
𝑞𝑠 =
2025
4,50𝑥3,0
= 150 𝑘𝑁/𝑚² 
 
𝑛 =
𝐵
𝑧
 𝑚 =
1,50
3,0
= 0,50 
 
 
𝑚 =
𝐿
𝑧
 𝑛 =
2,25
3,0
= 0,75 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
47 
 
 
 
𝑙𝑧 = 0,11 (Figura 21) 
∆𝝈𝒛 = 𝟒 . 𝟏𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟏𝟏 = 𝟔𝟔 𝒌𝑵/𝒎² 
 
Ponto B 
𝑞𝑠 =
2025
4,50𝑥3,0
= 150 𝑘𝑁/𝑚² 
 
𝑚 =
𝐵
𝑧
 𝑚 =
3,0
3,0
= 1,0 
 
 
𝑛 =
𝐿
𝑧
 𝑛 =
2,25
3,0
= 0,75 
 
𝑙𝑧 = 0,158 (Figura 21) 
∆𝝈𝒛 = 𝟐 . 𝟏𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟏𝟓𝟖 = 𝟒𝟕, 𝟒 𝒌𝑵/𝒎² 
 
Pelo método simplificado (ponto A) 
 
∆𝜎𝑧 =
𝑞𝑠𝐵𝐿
(𝐵 + 𝑧). (𝐿 + 𝑧)
 
 
 
2025
(4,50 + 3,0). (3,0 + 3,0)
= 45 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
48 
 
 
12.6- Carregamento uniformemente distribuído sobre área circular 
Para elementos circulares, os tubulões e estação, por exemplo, podem ter suas tensões 
calculadas por meio da integração da equação de Boussenesq, elaborado por Love, para 
toda a área circular, tendo como referência o centro do elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcula-se então, as tensões no ponto A, através da equação abaixo: 
 
𝜎𝑧 = 𝑃
{
 
 
1 − [
1
1 + (
𝑟
𝑧)
2]
3
2
}
 
 
 
 
p
r r
Z
𝝈𝒛 
Figura 29- Placa circular uniformemente carregada - Carga no eixo 
(BUENO & VILAR) 
𝑨 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
49 
 
 
 
0.20
0.15
0.10
0.05
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0
1
2
3
4
1 2 3
Figura 30- Ábaco tensão circular deslocada 
R x/R 
z/R 
∆𝑞𝑣
∆𝑞𝑠
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
50 
 
 
x/
r
0
0,
2
0,
4
0,
6
0,
8
1
1,
2
1,
5
2
3
4
5
6
z/
r 0
1
1
1
1
1
0,
5
-
-
-
-
-
-
-
0,
1
0,
99
9
0,
99
9
0,
99
8
0,
99
6
0,
97
6
0,
48
4
0,
01
7
0,
00
1
-
-
-
-
-
0,
2
0,
99
2
0,
99
1
0,
87
0,
97
0,
89
0,
46
8
0,
07
7
0,
00
8
0,
00
1
-
-
-
-
0,
3
0,
97
6
0,
97
3
0,
96
3
0,
92
2
0,
79
3
0,
45
1
0,
13
6
0,
02
2
0,
00
3
-
-
-
-
0,
4
0,
94
9
0,
94
3
0,
92
0,
86
0,
71
3
0,
43
5
0,
17
9
0,
04
1
0,
00
6
-
-
-
-
0,
5
0,
91
1
0,
90
2
0,
86
9
0,
79
6
0,
64
6
0,
41
7
0,
20
7
0,
06
0,
01
1
-
-
-
-
-
-
-
-
0,
6
0,
86
4
0,
85
2
0,
81
4
0,
73
2
0,
59
1
0,
4
0,
22
4
0,
07
9
0,
02
2
-
-
-
-
0,
7
0,
81
1
0,
79
8
0,
75
6
0,
67
4
0,
54
5
0,
36
7
0,
23
3
0,
09
5
-
-
-
-
-
0,
8
0,
75
6
0,
74
2
0,
69
9
0,
61
9
0,
50
4
0,
66
0,
23
7
0,
10
9
-
-
-
-
-
0,
9
0,
70
1
0,
68
8
0,
64
4
0,
57
0,
46
7
0,
34
9
0,
23
8
0,
11
9
-
-
-
-
-
1
0,
64
6
0,
63
3
0,
59
1
0,
52
5
0,
43
4
0,
33
2
0,
23
5
0,
12
7
0,
04
2
0,
00
6
0,
00
2
-
-
1,
2
0,
54
7
0,
53
5
0,
50
1
0,
44
7
0,
37
7
0,
3
0,
22
6
0,
13
6
0,
05
3
0,
00
9
0,
00
2
0,
00
1
-
1,
5
0,
42
4
0,
41
6
0,
39
2
0,
35
5
0,
30
8
0,
26
5
0,
20
5
0,
13
8
0,
06
5
0,
01
5
0,
00
4
0,
00
1
0,
00
1
2
0,
28
4
0,
28
6
0,
26
8
0,
24
8
0,
22
4
0,
19
6
0,
16
7
0,
12
6
0,
07
3
0,
02
2
0,
00
8
0,
00
3
0,
00
1
2,
5
0,
2
0,
19
7
0,
19
1
0,
18
0,
16
7
0,
15
1
0,
13
4
0,
10
9
0,
07
2
0,
02
8
0,
01
1
0,
00
5
0,
00
2
3
0,
14
6
0,
14
5
0,
14
1
0,
13
5
0,
12
7
0,
11
8
0,
10
8
0,
09
2
0,
06
7
0,
03
1
0,
01
4
0,
00
6
0,
00
3
4
0,
08
7
0,
08
6
0,
08
5
0,
08
2
0,
08
0,
07
5
0,
00
72
0,
06
5
0,
05
3
0,
03
1
0,
01
7
0,
00
9
0,
00
5
5
0,
57
0,
05
7
-
-
-
0,
05
2
-
-
0,
04
0,
02
8
0,
01
8
0,
01
1
0,
00
7
6
0,
04
-
-
-
-
0,
03
8
-
-
0,
03
1
0,
02
4
0,
01
7
0,
01
0,
00
7
Ta
b
el
a 
9
-F
at
o
re
s 
d
e 
in
fl
u
ên
ci
a 
el
em
en
to
s 
ci
rc
u
la
re
s 
co
m
 p
o
n
to
s 
d
e 
te
n
sõ
es
 d
es
lo
ca
d
o
s 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
51 
 
12.7- Exemplo acréscimo de tensão área circular: Cálculo das tensões causadas por um 
elemento de fundação do tipo tubulão carregado com uma carga de 3000 kN, há uma 
profundidade de 3,50 m, considere que 50% dessa carga é absorvido pelo atrito lateral 
do fuste do tubulão, qual a tensão causada pelo acréscimo de carga nesse solo, a 3,50 
m a partir da base desse elemento, considere a carga no centro geométrico na base 
alargada do tubulão. 
 
 
𝜎𝑧 =
1500
𝜋. 1,50²
{
 
 
 
 
1 − [
1
1 + (
1,50
3,50
)
2]
3
2
}
 
 
 
 
= 47,42 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
Considerando o mesmo exemplo acima, vamos calcular a tensão causada pela mesma 
carga, todavia com o ponto de tensões deslocado 3m do 
centro de gravidade da base alargada do tubulão e a 3m de 
profundidade. 
 
𝑥
𝑟
=
1,50
1,50
= 1,0 
 
𝑧
𝑟
=
3,0
1,50
= 2,0 
 
Tomando o ábaco (pág. Xx), encontramos o valor Iσ (0,20) 
𝜎𝑧 =
1500
𝜋. 1,50²
. 0,20 = 42,44 𝑘𝑁/𝑚 
 
3,0
3,5
𝝈𝒛 
3,0
3,0
1,50𝝈𝒛 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________52 
 
 
12.8- Gráfico de Newmark 
A metodologia foi desenvolvida baseada na equação de Love, que fornece o acréscimo 
de tensão ocasionada por uma placa circular uniformemente carregada. É utilizado 
quando a configuração da área carregada é muito irregular ou quando se tem várias 
placas. A equação de Love pode ser escrita da seguinte forma: 
𝜎𝑧
𝑃
= 1 − [
−1
1 + (
𝑟
𝑧)
2]
3
2
= 𝑙𝜎 
O gráfico se baseia no princípio que quando sobre uma superfície do terreno se aplica 
uma pressão em toda sua extensão; em qualquer ponto, a qualquer profundida, o 
acréscimo de tensão provocado é exatamente o mesmo à pressão aplicada na superfície. 
Pode-se dizer que esta tensão é igual a somatória dos efeitos provocados por 
carregamentos em áreas parciais que cubram toda a superfície. Para construir o gráfico 
atribuem-se valores de 𝑙𝜎, e calcula-se o raio da placa necessário para produzir o 
acréscimo de tensões a profundidade z. 
 
Tabela 10 - Valores da relação r/z em função de lσ 
lσ 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
r/z 0 0,27 0,40 0,52 0,64 0,77 0,92 1,11 1,39 1,91 ꝏ 
 
Colocando estes valores em um gráfico fornece um ábaco de círculos divididos em 
partes iguais. Cada uma das área contribui com uma parcela do acréscimo de superfície. 
A superfície do terreno pode ser dividida em diversas áreas parciais que cubram toda a 
superfície. O mais prático é dividir a superfície do terreno em pequenas áreas, de tal 
forma que todas contribuam igualmente para a tensão provocada no ponto 
considerado. Dividindo a superfície do terreno em 200 pequenas áreas de igual 
influência de tensão cada área equivale a 
0,50%, ou seja (0,5% x 200=100%) O 
acréscimo de tensão valerá: 
𝜎𝑧 = 𝑃.𝑁. 𝐼 
Apresenta-se na figura: um gráfico de 
Newmark, com a respectiva escala “z” a 
partir do qual foi construído. 
 
 
 z
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53 
 
 
12.9- Exemplo pelo gráfico de Newmark: Utilizando as técnicas aprendidas acima, iremos 
encontrar as tensões provenientes de um elemento de fundação com um geometria 
“diferentona” para isso temos que seguir alguns passos para o bom entendimento dos 
processos envolvidos! 
O elemento de fundação tem as dimensões abaixo, a determinação da tensão será 
realizada no centro de gravidade do elemento (CG, Centroide). A fundação exerce uma 
tensão vertical de 250 kPa, na superfície do solo. 
Encontrando o centro de gravidade do elemento: 
Obs.: Para isso vamos considerar 3 geometrias distintas, dois retângulos e um triangulo, 
assim como mostra a divisão abaixo, encontraremos o CG nos dois eixos (x e y) sendo: 
𝑥 𝑜𝑢 𝑦 =
𝐴(1).𝑚(1) + 𝐴(2).𝑚(2) + 𝐴(3).𝑚(3)
𝐴(1) + 𝐴(2) + 𝐴(3)
 
 
Sendo: 
A: Área da figura 
m: Ponto médio da figura do referido eixo, a partir do ponto 0,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 =
1,0 𝑥 10,0 𝑥 5,0 + 1,50 𝑥 2,0 𝑥 1,0 +
1
2 𝑥 8,0 𝑥 𝑥1,50 𝑥 (1,0 +
1,50
3 )
(1,0𝑥10,0) + (1,50 𝑥 2,0) + (
1
2
𝑥8,0𝑥1,50)
= 4,26𝑚 
 
 
𝑦 =
1,0 𝑥 10,0 𝑥 0,50 + 1,50 𝑥 2,0 𝑥 (1 + (
1,50
2 ) +
1
2 𝑥 8,0 𝑥 1,50 𝑥 (1,0 +
1,50
3 )
(1,0 𝑥 10,0) + (1,50 𝑥 2,0) + (
1
2 𝑥 8,0 𝑥 1,50
= 1,013𝑚 
(1)
(2) (3)
10.0m
2.50m
1.0m
2.0m
0,0 
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54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Próximo passo é contar as pequenas áreas de influência, para isso contamos todas as 
áreas que ficam dentro do perímetro da figura, e fazemos uma aproximação das área 
que são cortadas por esse perímetro, ou seja as figuras que estão um pouco dentro e 
um pouco fora! 
Contando essa áreas chegamos a um valor próximo de N=61 
Então o cálculo do acréscimo de tensão vertical se dá por: 
𝜎𝑧 = 𝑃.𝑁. 𝐼 
𝜎𝑧 = 250 . 61 . 0,005 = 76,25 𝑘𝑃𝑎 
 
4,26m
1.013m
4m
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55 
 
13- Coeficiente de Tensão horizontal efetiva 
Obras executadas abaixo da superfície do solo são submetidas a tensões horizontais do 
solo, conhecida como empuxo de solo, são de fundamental importância o conhecimento 
desses valores para o real entendimento do comportamento desse solo para que 
possamos dimensionar os elementos de contenção de forma correta! Apesar de não 
falar diretamente sobre estruturas de contenção neste curso, vamos entender como 
encontrar as tensões horizontais geradas por consequência de acréscimo de tensão 
vertical. Em função da elasticidade do material, podemos associar a tensão horizontal 
efetiva com a tensão vertical, chamado de coeficiente de empuxo K, prevê qual será a 
porcentagem da carga vertical transmitida no sentido horizontal, seguindo esse 
princípio toda tensão horizontal será calculada em função da tensão vertical, que será 
diretamente proporcional. 
𝜎𝐻 = 𝜎𝑉.𝐾 
Considerando uma camada de solo homogêneo e único, sem N.A, podemos entender o 
diagrama de tensões causadas pelo solo devido a seu peso próprio 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 = 𝐾. 𝛾.
1
2
. ℎ2 → 𝐸 = 𝐾. 𝛾.
1
2
. ℎ2 
Empuxo com pressão neutra, nível d’água igual a nível do terreno 
 
 
 
 
 
 
 
E 
H/3 
H 
N.T O’ 
O 𝜎𝐻 = 𝜎𝑉.𝐾 
 
𝜎𝑉 
 
Figura 31-Diagrama de tensão em uma camada unida de solo 
N.T=N.A 
H 
E 
H/3 
𝐾0. 𝛾𝑠𝑎𝑡. ℎ 
 
𝛾𝑤. ℎ 
𝜎𝑉 
 
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56 
 
13.1- Empuxo no repouso 
Condição em que o plano de contenção não se movimenta. 
Consideramos, neste tipo de empuxo, um equilíbrio perfeito em que a massa de solo se 
mantem absolutamente estável, sem nenhuma deformação na estrutura do solo, isto é, 
está num equilíbrio elástico. 
Consideramos a massa semi-infinita de solo homogêneo, em uma só camada permeável, 
sem ocorrência de lençol freático e com o terrapleno horizontal. Estando o solo num 
equilíbrio elástico, os esforços na direção horizontal podem ser calculados baseados nas 
constantes elásticas do material, isto é, dentro dos parâmetros de elasticidade (E e ν). 
Suponhamos que uma massa de solo onde, na profundidade h destacamos um 
determinado elemento que pode, verticalmente, se deformar pelo efeito do peso do 
material ocorrente acima; mas, essa deformação é equilibrada lateralmente devido à 
continuidade da massa em todas as direções. A massa confina o elemento com as 
tensões laterais, proporcionais à sobrecarga de peso. Esta situação, do elemento 
destacado, pode ser representada por uma situação equivalente onde o solo tenha sido 
deslocado, e um plano considerado imóvel, indeformável e sem atrito de contato 
substitui essa ausência, conforme representado na figura 27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.2- Determinação do coeficiente de empuxo K em função dos parâmetros de 
deformação (parâmetros elásticos) do solo. 
Condição de deformação unitária horizontal nula 
Considerando um ponto no interior de uma massa de solo homogêneo representado 
pelo cubo da Figura 33, onde agem as tensões: 
Figura 32- Tensões em solo confinado 
N.T 
𝜎𝑣 
 
𝜎′𝑣 
 
𝜎′ℎ 
 
𝜎ℎ 
 
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57 
 
σV = no sentido da gravidade, vertical, que no caso do simples 
peso próprio dos solos, é a pressão efetiva, (quando não há 
pressão neutra); 
σH e σ’H = nos sentidos laterais, agindo nas outras faces do 
cubo e correspondentes a continuidade da massa e a 
elasticidade do material do cubo. 
 
Admitindo um solo perfeitamente elástico para estas solicitações, o que já vimos que 
não é de todo correto, e na condição de repouso absoluto, temos: 
• Em relação a face 3, temos as ocorrência: 
1. Deformação horizontal devida a ação da tensão σh 
𝜈.
𝜎𝑣
𝐸
= 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 
2. Deformação horizontal, no sentido ortogonal, devido aação da tensão σ’ h 
𝜈.
𝜎′ℎ
𝐸
= 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 
As parcelas de deformação 1 e 2 tem sentidos contrários à deformação corrente devido 
a σh, na face 3, ou seja: 
Deformação horizontal devido a essa ação da tensão σh, na face considerada, é: 
𝜀 =
𝜎𝐻
𝐸
= 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 σv e σ′h. 
Desta forma para satisfazer a condição de deformação horizontal unitária nula (na face 
considerada), termos a seguinte equação: 
𝜈.
𝜎𝑣
𝐸
+ 𝜈.
𝜎′ℎ
𝐸
=
𝜎𝐻
𝐸
 𝑜𝑢 𝜈.
𝜎𝑣
𝐸
+ 𝜈.
𝜎′ℎ
𝐸
−
𝜎𝐻
𝐸
= 0 
• Sendo o maciço de material homogêneo e considerado “elástico”, para os 
valores das tensões, teremos que a tensão horizontal σH e proporcional a tensão 
σv, tendo a relação: 
σH = K. σv 
No caso da consideração de repouso absoluto chamaremos de K0 de coeficiente de 
empuxo no repouso (coeficiente de cálculo de σH). Assim: 𝜎𝐻 = 𝐾0. 𝜎𝑣 
A tensão horizontal será proporcional a tensão vertical de um valor K0 correspondente 
ao coeficiente no repouso absoluto. 
Considerando o solo homogêneo e contínuo e substituindo na equação anterior, temos: 
𝜎𝑣 
 
𝜎′ℎ 
 
𝜎𝐻 
 
Figura 33-Cubo de solo confinado 
3 
 
1 
 
2 
 
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58 
 
𝜈.
𝜎𝑣
𝐸
+ 𝜈.
𝐾0.𝜎𝑣
𝐸
−
𝐾0.𝜎𝑣
𝐸
= 0 
Simplificando e colocando o K0 em evidencia temos: 
𝜈 + 𝜈. 𝐾0 − 𝐾0 = 0 ∴ 𝐾0 = 
𝜈
1 − 𝜈
 
 
 
Valores de K0 
Quando é considerado o repouso absoluto, esta condição será satisfeita em função das 
constantes elásticas do material, coeficiente de proporcionalidade entre σH e σv 
(Pressão no ponto), deduzido, é função, apenas, do coeficiente de Poisson 
No caso dos solos, o coeficiente de Poisson é variável em função do material do qual é 
composto e da situação de estar drenado ou não. Assim, do livro SORVERS, temos uma 
tabela com valores característicos de K0 devidamente calculados. 
O professor CAPUTO (1987) sugere, de uma forma genérica, os seguintes valores para 
K0 apresentados na tabela abaixo. 
Tabela 11-Coeficiente de Poisson, para solos 0,25< ν <0,5 
Solo K0 efetivo drenado K0 total sem drenagem 
Argila média (mole) 0,60 1,0 
Argila dura 0,50 0,80 
Areia solta 0,60 - 
Areia compacta 0,40 - 
 
 Tabela 12-Valores genéricos de K0 
Solo K0 
Argila 0,70 a 0,75 
Areia solta 0,45 a 0,50 
Areia compacta 0,40 a 0,45 
 
A dedução de Jaky indica K0≅1-senϕ (sendo ϕ, ângulo de atrito interno no solo) para 
solos normalmente adensados. Quanto mais resistente o solo, mais rígido, portanto 
menos elástico. Logo, maior a sua capacidade de absorver as tensões internas, e assim, 
menores as deformações possíveis e a suas transmissões laterais 
Obs.: Neste material, falaremos apenas do empuxo em repouso do solo, que é o que nos 
interessa para elementos de fundação, caso queira mais informações (CAPUTO 1987) 
 
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59 
 
13.3- Exemplo empuxo de solo: Para uma estrutura de contenção provisória H=3m, 
calcularemos o empuxo de solo atuante na parede em contato direto com o solo, com 
os dados abaixo, faremos as considerações simplificadas da tabela de K0 (efetivo 
drenado) e pela dedução de Jaky. 
 
𝐸𝑚𝑝.= 0,60. 𝛾.
1
2
. 32 = 43,2kN 
𝐸𝑚𝑝.= 1 − 𝑠𝑒𝑛φ𝛾.
1
2
. 32 = 38,2kN 
Obs.: O valor do empuxo deve ser 
aplicado para cada “metro” de muro, 
pois no cálculo consideremos uma 
parcela unitária de solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14- Teoria do Adensamento 
O adensamento é o fenômeno pelo qual a deformação dos solos (recalques) ocorrem 
através da expulsão de água ou ar que preenchem os vazios do solo. Seguindo a analogia 
de Terzaghi, o solo pode ser considerado como uma mola cuja a deformação é 
proporcional à carga que nele se aplica. O módulo de deformação de cada tipo de solo 
depende diretamente da sua permeabilidade, quanto mais baixa essa permeabilidade 
menos deformável é essa mola, tomando como exemplo os solos saturados, que é 
representado por uma mola confinada dentro de um pistão cheio de água, com um 
orifício por onde a água é expulsa muito lentamente o que representa a baixa 
permeabilidade do solo, característica dos solos saturados, pois grande parte, ou todos 
os seus vazios já estão preenchidos por água! 
Areia Solta 
γ=16 kN/m³ 
ϕ=28° 
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60 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 13-tabela de exemplo adensamento 
Carga 
resistida pela 
água 
0 15 10 5 0 
Carga 
resistida pela 
mola (solo) 
0 0 5 10 15 
Porcentagem 
de 
adensamento 
 0 33 67 100 
 
Hipóteses da teoria de adensamento 
• Solo homogêneo e saturado 
• Água e sólidos incompressíveis 
• Adensamento unidirecional 
• Válida a Lei de Darcy 
• O fluxo d’água é unidirecional 
• O solo pode ser estudado como elementos infinitesimais 
 
 
Sem carga 5 N 10 N 15 N 
15 N 15 N 15 N Sem carga 15 N 
Figura 34-Mola livre 
Figura 35-Mola confinada (solo saturado) 
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61 
 
14.1- Graus de adensamento (Uz) 
 
Pode-se dizer que o grau de adensamento é equivalente ao grau de acréscimo de 
tensão efetiva. 
𝑈𝑧 =
𝑢𝑖 − 𝑢
𝑢𝑖 − 𝑢0
 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑢𝑖 = 𝑢0 + ∆𝑢 
Ou seja, o grau de adensamento é igual ao grau de dissipação de pressão neutra, que é 
a relação entre a pressão neutra dissipada até o instante t e a pressão total provocada 
pelo carregamento e que vai dissipar durante o adensamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 36- Ábaco isócronas (Adensamento) (PINTO 2000). 
 
 
 
 
 
 
Grau de adensamento Uz 
𝑧
𝐻𝑑
 
 
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62 
 
14.2- Coeficiente de adensamento (Cv) 
 
𝐶𝑣 =
𝑘(1 + 𝑒)
𝑎𝑣. 𝛾𝑤
 (𝑐𝑚²/𝑠) 
 
Onde: 
k: Coeficiente de permeabilidade 
e: Índice de vazios 
γw: Peso especifico da água 
av: Coeficiente de compressibilidade 
 
𝑇 =
𝐶𝑣. 𝑡
𝐻𝑑²
 
 
O símbolo T é denominado fator de tempo, e adimensional 
As condições de drenagem são relacionadas através de Hd. 
• Drenagem nas duas extremidade: Hd=H/2 
• Drenagem em uma fase: Hd=H 
 
14.3- Grau de adensamento médio 
 
O grau de adensamento médio denominado porcentagem de recalque, indica a relação 
entre o recalque sofrido até o instante considerado e o recalque total correspondente 
ao carregamento. 
𝑈 =
𝜌
𝜌𝑡
 
Através da porcentagem de recalque pode-se determinar o fator tempo T ou vice versa. 
 
T=(𝜋.U²)/4 para U≤60% 
T=-0,933.log(1-U)-0,085 para U≤60% 
T=1,78-0,933log(100-U) 
 
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63 
 
14.4- Obtenção dos coeficiente de adensamento a partir do ensaio de deformabilidade 
dos solos 
 
14.4.1- Método de Casagrande (Logaritmo do tempo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐶𝑣 = 𝑇𝑣50.
𝐻𝑑²
𝑡50
 → 𝐶𝑣 = 0,197
𝐻𝑑²
𝑡50
 
 
14.4.2- Método de Taylor (Raiz do tempo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐶𝑣 = 𝑇𝑣90.
𝐻𝑑²
𝑡90
 → 𝐶𝑣 = 0,848
𝐻𝑑²
𝑡90
 
t50 t100 Log t (min) 
𝑙100 
𝑙50 
d 
d 
𝑙90 
x 
 
0,15x 
𝑡90 √𝑡(min.) 
Figura 37-Gráfico método de Casagrande 
𝐸
𝑥
𝑡𝑒
𝑛
𝑠ô
𝑚
𝑒𝑡
𝑟𝑜
 (
𝑚
𝑚
) 
𝐸
𝑥
𝑡𝑒
𝑛
𝑠ô
𝑚
𝑒𝑡
𝑟𝑜
 (
𝑚
𝑚
) 
Figura 38-Gráfico do método de Taylor 
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64 
 
14.5- Deformação devido a carregamentos verticais 
Os recalques devidos a carregamentos na superfície podem ser dois tipos: 
• Que ocorrem rapidamente após a construção (Recalque imediato), Solos 
arenosos ou argilosos não saturados 
• Que se desenvolvem lentamenteapós a aplicação das cargas (Recalque no 
tempo) normalmente comuns em solos argilosos saturados 
 
14.6- Cálculo de recalques pela teoria da elasticidade: 
O princípio dessa teoria é, o módulo cresce com a profundidade, pois o confinamento 
também cresce com a profundidade, ou seja quanto mais profundo maior a dificuldade 
das partículas de moverem dentro do maciço de solo. A relação entre a espessura da 
camada é constante. Se um certo carregamento Δσ provoca um determinado ρ 
(recalque) no CP (corpo de prova), este carregamento provocará na camada 
deformável ao terreno um recalque tantas vezes maior quanto maior a espessura da 
camada. 
Exemplo: 
CP: H=2 cm → ρ=0,10cm 
CP: H=2 m → ρ=10cm 
 
Pela teoria da elasticidade tem-se que os recalques devido um área carregada: 
𝜌 = I.
𝜎0. 𝐵
𝐸
. (1 − 𝑣2) 
σ0: Pressão uniformemente distribuída na superfície 
E:Módulo de elasticidade do solo 
v: Coeficiente de Poisson 
B: É a largura ou diâmetro da área carregada (em caso de sapata retangular é a menor 
dimensão) 
I: Fator de influência da forma carregada 
𝐼:
1
𝜋
[𝑚1. ln (
1 + √𝑚12 + 1
𝑚1
) + ln (𝑚1 + √𝑚12 + 1)] 
Sendo m1=L/B 
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65 
 
14.6.1- Parâmetros dos solos 
Tabela 14-Parâmetros do solo 
 
 
14.6.2- Exemplo cálculo de recalque para sapata isolada: Colocando em prática tudo o 
que vimos até o momento, vamos calcular o recalque de uma sapata apoiada sobre uma 
camada de solo arenoso (areia fofa), com módulo de elasticidade E=5000 kPa e 
coeficiente de Poisson v=0,3, para um tensão de 200 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑚1: 𝐿/𝐵 = 2/1 = 2 
 
𝐼:
1
𝜋
[2. ln (
1 + √2² + 1
2
) + ln (2 + √2² + 1)] = 0,766 
 
𝜌 = 0,766.
200.1
5000
. (1 − 0,42) = 0,026 𝑚 𝑜𝑢 2,6 𝑐𝑚 
 
Areia fofa γ 1,6 t/m³ 
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66 
 
Solos são mesmo materiais elásticos? Não, materiais elásticos são aqueles que tem a 
capacidade de retomar sua forma original quando retirado as forças que acarretaram 
na sua deformação, o solo não possui essa capacidade, uma vez deformado, podemos 
retirar a carga que ele não retornará 100% a sua forma inicial. A utilização da teoria da 
elasticidade é aplicada no solo, assim como em outras disciplinas dentro da engenharia, 
como no concreto, por exemplo, porém seus resultados são imprecisos. Contudo a 
utilização desse conceito é aceito para obter parâmetros de deformação! 
 
14.7- Adensamento das argilas saturadas 
As argilas, dentro da mecânica dos solos, é a mais complexa dentre os 3 tipos 
fundamentais de solo, por conta de suas minúsculas partículas que tem um tipo singular 
de ligação com as demais matrículas, causando uma capacidade superior quando o 
assunto é a impermeabilidade, a comunicação entre os micro-vasos entre partículas. 
Desta forma, a maneira que tratamos a sua deformação também é diferenciada, onde 
analisamos alguns fatores desses solos antes do cálculo de recalque. 
 
14.7.1- Tensão de pré adensamento (σad’) 
 
É a máxima tensão efetiva que o solo já sofreu naturalmente e a partir da qual começam 
a ocorrer deformações significativas. O solo tem a capacidade de “armazenar” a 
informação de quanta carga ele é capaz de sustentar sem que sofra uma deformação, 
essa informação é derivada do histórico do solo, por exemplo, no decorrer de milhares 
de anos um dado solo sustentou uma camada de 50 metros de solo acima, e por uma 
ação do homem ou da natureza essa camada acima é retirada, ainda assim o solo terá 
armazenado a informação que ele foi capaz um dia de absorver uma carga equivalente 
a uma camada de 50 metros de um solo com “n” peso especifico. 
Comparando-se σad’ com a tensão efetiva atuante σ0’, três situações podem ocorrer: 
1. σ0’ < σad’ → Solo pré-adensado 
2. σ0’ = σad’ → Solo normalmente adensado 
3. σ0’ < σad’< σf’ → Solo parcialmente adensado 
 
 
 
 
 
 
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67 
 
1- Solo pré adensado 
A tensão atuante ou acréscimo de tensão é menor que a tensão que o solo já foi capaz 
de suportar. “Manda mais que o pai aguenta!” 
σ0’ e σf’ < σad’ 
𝜌 =
𝐶𝑟.𝐻0
1 + 𝑒0
. 𝑙𝑜𝑔
σad’
σ0’
 
Onde: 
Cr – Índice de recompressão 
H0 – Espessura da camada estudada 
2- Solo normalmente adensado 
Tensão ou acréscimo de tensão é igual a capacidade de carga natural do solo. “As perna 
tá bamba já em colega” 
σ0’ = σad’ 
𝜌 =
𝐶𝑐.𝐻0
1 + 𝑒0
. 𝑙𝑜𝑔
σf’
σ0’
 
Onde: 
Cc= Índice de compressão 
 
3- Solo parcialmente adensado 
Tensão ou acréscimo de tensão é maior que a capacidade do solo suportar e o solo 
ainda não terminou de adensar com seu próprio peso. “Tô arregando antes mesmo de 
você me usar!” 
 
σ0’ < σad’< σf’ 
 
 
𝜌 =
𝐻0
1 + 𝑒0
. (𝐶𝑟. 𝑙𝑜𝑔
σad’
σ0’
+ 𝐶𝑐. 𝑙𝑜𝑔
σf’
σad’
 
 
 
 
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68 
 
 
14.8- Determinação da tensão de pré adensamento 
 
A determinação da tensão de pré-adensamento e feita através da análise gráfica por 
dois métodos distintos, Casagrande, Pacheco e Silva, o gráfico é a relação da tensão 
aplicada no solo e o seu índice de vazios, de forma muito lógica, quando aumentamos a 
tensão aplicada no solo, pelo fenômeno do adensamento o índice de vazios tende a cair, 
devido a expulsão da água e ar que antes preenchiam os espaços entre as partículas, no 
gráfico feito com o ensaio de adensamento, no caso das argilas o ensaio endométrico 
/compressão confinada. 
 
 
A realização do ensaio é feito aplicando uma carga 
em um solo confinado em uma câmara com uma 
pedra porosa na base e sobre o solo, fazendo com 
que somente o ar e a água possam passar, de 
maneira muito lenta logicamente, aumentando 
gradativamente a carga e registrando os dados de 
carga e índice de vazios equivalente, com isso 
preenchendo os valores em um gráfico com dois 
eixo 
Figura 39-Aparelhos ensaio de adensamento de argilas saturadas 
Figura 40-Câmara de adensamento 
controlado 
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69 
 
O gráfico da figura-33 mostra o comportamento do solo quando submetido a cargas 
gradativas, o primeiro trecho “recompressão” indica que o solo ainda não atingiu o seu 
estado de maior capacidade de carga, ou seja nessa reta, durante algum período da vida 
útil desse solo já foi submetido as mesmas cargas, não há recalque! Mais à frente 
encontramos a tensão de pré adensamento (σad’), que é a divisão da interface das 
tensões já sofridas pelo solo e das tensões nunca antes atingidas, superando a 
capacidade de carga desse solo, descendendo para o que é conhecido como “reta 
virgem”, onde o solo sofre por tensões que são incapazes de ser absorvidas pelo solo 
sem que haja uma deformação (recalque). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como já dito anteriormente, os solos não tem comportamento elástico, porém isso não 
quer dizer que ele não tenha nenhuma capacidade de recuperar parte da forma perdida 
pelo excesso de carga aplicado sobre ele, deste modo, outro fator que podemos analisar 
no ensaio de adensamento é a reta de descompressão, onde, apesar de não recuperar 
100% do seu “volume” inicial, deformação residual, é capaz de recuperar parte dos 
vazios antes perdidos pelo adensamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 41-Gráfico Ensaio de adensamento 
Figura 42-Reta de descompressão 
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70 
 
 
 
14.8.1- Método de Casagrande 
 
• Por observação visual, 
estabeleça o ponto a, no qual o 
gráfico e-log σ ’ tenha um raio 
mínimo de curvatura ou 
(pontos de maior curvatura) 
• Desenhe uma linha horizontal 
ab 
• Desenhe a linha ac tangente em 
a 
• Desenhe a linha ad, bissetriz do 
ângulo bac• Projete a reta virgem gh para 
trás para interceptar a linha ad em f. A abscissa do ponto f é a tensão de pré-
adensamento 
 
 
14.8.2- Método de Pacheco e Silva 
 
• Desenhe uma linha horizontal 
ab que passe pelo índice de 
vazios natural do solo 
• Projete a reta virgem gh para 
trás para interceptar a linha ab 
em c 
• Desenhe uma linha vertical por 
c que encontre a curva e-log σ ’ 
em d 
• Desenhe uma linha horizontal 
por d até a projeção da reta 
virgem cg em f. A abscissa do ponto f é a tensão de pré-adensamento 
 
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71 
 
 
15- Estudo da água nos solos 
O engenheiro se defronta rotineiramente com situações em que é necessário controlar 
o movimento da água através do solo e evidentemente proporcionar uma proteção 
contra os efeitos nocivos desse movimento. 
Como exemplos disso temos: 
• Evitar que o fluxo de água provoque a liquefação do solo do fundo da vale em 
uma escavação 
• Quantificar a água que percola através da barragem e da fundação 
• Análise de recalque que ocorre pela expulsão da água (diminuição do índice de 
vazios, já visto anteriormente) 
Desenvolvendo o estudo do fluxo de água em um permeâmetro, considerando que a 
permeabilidade é a maior ou menor facilidade que as partículas de água encontram para 
fluir entre os vazios do solo. 
 
 
Figura 43-Permeâmetro sem fluxo 
𝑢 = (𝑧 + 𝐿)𝛾𝑤 
𝜎 = 𝑧. 𝛾𝑤 + 𝐿. 𝛾𝑠𝑎𝑡 
𝜎′ = 𝐿. 𝛾𝑠𝑎𝑡 → Essa é a tensão que o solo transmite à superfície porosa sobre a qual se 
apoia 
Obs.: Como o nível d´água da bureta é o mesmo do permeâmetro, não há fluxo. 
σ' 
σ 
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72 
 
 
Considerando-se que o nível da bureta seja elevado e se mantenha na nova cota, como 
na figura abaixo. A água percolará pela areia e verterá pela borda livremente do 
permeâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.1- Lei de Darcy 
𝑄 = 𝑘. 𝑖. 𝐴 (𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦) 
Sendo: 
Q=Vazão 
K=Coeficiente de permeabilidade 
i=Gradiente hidráulico 
A=Área do permeâmetro 
O gradiente hidráulico (i) e relação entre h (a carga que se dissipa na percolação) e L 
(distancia ao longo da qual a carga se dissipa). 
𝑖 =
ℎ
𝐿
 ∴ 𝑄 = 𝑘.
ℎ
𝐿
. 𝐴 
 
A velocidade de percolação é: 
𝑣 =
𝑄(
𝑚3
𝑠 )
𝐴(𝑚2)
 𝑣 = 𝑘. 𝑖(
𝑚
𝑠
) 
 
Figura 44-Permeâmetro com 
fluxo 
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73 
 
 
15.2- Lei de Bernoulli 
Aplicação do princípio de conservação de energia: 
 
𝑢1
𝛾𝑤
+
𝑣2
2. 𝑔
+ 𝑧1 =
𝑢2
𝛾𝑤
+
𝑣2
2. 𝑔
+ 𝑧2 
 
 
Sendo: 
u= Pressão neutra 
𝛾=Peso especifico da água 
g=Aceleração da gravidade 
v=Velocidade 
 
Como a velocidade de percolação nos solos é muito pequena, podemos desprezar a 
parcela cinética da equação. 
Mas a percolação provoca uma perda de carga total divido ao atrito viscoso entre as 
partículas do solo. 
 
𝛥ℎ𝑡 = (
𝑢1
𝛾𝑤
+ 𝑧1) − (
𝑢2
𝛾𝑤
+ 𝑧2) 
 
 Tabela 15-Valores típicos de coeficiente de permeabilidade 
15.3- Determinação do coeficiente de 
permeabilidade 
• Permeâmetro de carga constante 
• Permeâmetro de carga variável 
• Ensaio e métodos indiretos 
 
 
 
SOLO K (m/s) 
Argilas < 10−9 
Siltes 10−6 𝑎 10−9 
 Areias argilosas 10−7 
 Areias finas 10−5 
Areia média 10−4 
Areias grossas 10−3 
Pedregulhos > 10−3 
Pressão piezométrica 
Altimétrica Cinética 
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74 
 
15.3.1- Permeâmetro de carga constante 
h - mantido constante num determinado tempo 
Volume é médio. 
𝑘 =
𝑄
𝑖. 𝐴
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.3.2- Carga variável (solos finos) 
Verifica-se o tempo que a água na bureta leva para baixar da altura inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 45-Ensaio de permeabilidade com carga constante (DAS 2007) 
Figura 46-Ensaio de permeabilidade com carga variável 
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75 
 
15.3.3- Métodos indiretos 
A correlação estatística de Hazen é uma fórmula aproximada, mas que oferece uma 
boa indicação para areias com CNU<5 (Coeficiente de não uniformidade). 
 
𝑘 = 100. 𝐷2𝑒𝑓𝑒𝑡 𝑒𝑚 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝐷10 (𝑐𝑚) 
 
15.3.4- Variação do coeficiente de permeabilidade de cada solo 
Para um solo com os valores de “k” e “e” conhecidos, pode-se estimar através da 
equação de Taylor, o “k” para outro “e”, pois quanto mais fofo o solo, mais permeável 
ele é. 
𝑘1
𝑘2
=
𝑒31
(1 + 𝑒1)
𝑒32
(1 + 𝑒2)
 
16- Fluxo através das camadas de solo 
Para o fluxo que atravessa várias camadas de solo convenciona-se um coeficiente de 
permeabilidade k’ igual as médias geométricas de k correspondentes as componentes 
de fluxo em duas componentes ortogonais 
Fluxo vertical: 𝑄𝑣 = 𝑞𝑣1 = 𝑞𝑣2 = 𝑞𝑣3 ; ∆ℎ = ∆ℎ1 + ∆ℎ2 + ∆ℎ3 
𝑘𝑣 =
𝑙
∆𝑙1
𝑘1
+
∆𝑙2
𝑘2
+
∆𝑙3
𝑘3
 
Fluxo horizontal: 𝑄ℎ = 𝑞ℎ1 = 𝑞ℎ2 = 𝑞ℎ3 ; ∆ℎ = ∆ℎ1 = ∆ℎ2 = ∆ℎ3 
𝑘ℎ =
1
𝑙
. (𝑘1. ∆𝑙1 + 𝑘2. ∆𝑙2 + 𝑘3. ∆𝑙3 
Fluxo que atravessa várias camadas é 𝑘′ = √𝑘𝑣. 𝑘ℎ 
l 1
l 2
l 3
 K1
 K2
 K3
 h1
 h2
 h3
qv
qh
 Kh
 Kv
A
Figura 47-Fluxo horizontal 
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76 
 
17- Resistência ao cisalhamento 
 
A resistência ao cisalhamento é um parâmetro fundamental para projetos onde o solo 
está submetido a tensões onde se tem um plano de ruptura na seção de solo, exemplos 
de obra que podem sofrer por cisalhamento: 
• Taludes 
• Muros de arrimo 
• Blocos e sapatas de fundação 
• Estacas 
• Tubulões 
• Túneis 
Havendo tensão de cisalhamento devemos estabelecer critérios de segurança de modo 
a evitar a ruptura do solo. 
Temos várias maneira de representar a resistência de um solo. A utilização de 
envoltórias, como a de Mohr, é uma das mais comuns e a que melhor retrata o 
comportamento dos solos. Podemos representar então, por exemplo, num sistema 
cartesiano ortogonal, em que nas abscissas temos as tensões normais (σ) e nas 
ordenadas a tensão de cisalhamento (τ), valores obtidos experimentalmente no plano 
de ruptura conforme na figura abaixo. 
 
A Adequação de uma reta (critério de Coulomb) aos pontos situados no diagrama σ x τ, 
dentro de uma determinada faixa de tensões de interesse ao problema em estudo 
permite obter uma envoltória que segue a expressão geral: 
τ τ 
σ 
σ1 
σA σB 
Faixa de interesse de valores de σ 
σ2 
S=f(σ) 
Figura 48-Plano de ruptura 
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77 
 
𝑆 = 𝑟1 + 𝜎. 𝑟2 
S - Resistência ao cisalhamento 
r1 – Coesão 
r2 – tanϕ (coeficiente de atrito) 
ϕ – Ângulo de atrito 
σ – Tensão normal 
Obs.: c e ϕ dependem de uma série de fatores, não são constantes para um dado solo! 
 
Equação de resistência ao cisalhamento assume a forma: 
𝑠 = 𝑐 + 𝜎. 𝑡𝑎𝑛φ 
Onde as tensões consideradas podem ser totais ou efetivas. 
Definir a resistência para um solo não é tão simples, devido, sobretudo à dificuldade de 
definir ruptura. A ruptura em um solo é um conceito complexo, pois evolve ruptura 
propriamente dita e deformação excessiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conhecidas as tensões atuantes nas faces do elemento é possível conhecer as tensões 
geradas em um plano com inclinação α em relação ao eixo x: σα e τα. 
Aplicamos então as equações de equilíbrio, na direção horizontal e vertical podemos 
obter as seguintes relações entre tensões: 
σα =
σx + σz
2
+
σz − σx
2
. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜏. 𝑠𝑒𝑛2𝛼 
 
σz 
σx 
τzx 
τxz 
Z 
x 
α 
Figura 49 - Parcela de solo submetido a um estado 
de tensõesCurso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
78 
 
τα =
σz − σx
2
. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜏. 𝑠𝑒𝑛2𝛼 
Elevando as duas expressões ao quadrado e somando obtemos: 
(𝜎𝛼 −
σx + σz
2
)
2
+ 𝜏𝛼2 = (
σz − σx
2
)
2
+ 𝜏² 
 
Obs.: Essa equação corresponde a equação de um círculo cuja a representação está na 
Figura 50-Círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
P - Polo ou origem dos planos 
Desejando conhecer as tensões num plano de inclinação conhecida, basta traçar uma 
paralela ao citado plano, pelo polo (ponto P. A intersecção desta paralela com o círculo 
fornecerá as tensões no plano, como por exemplo o ponto M que representa as tensões 
num plano de inclinação “α” com a horizontal. 
Existem dois planos perpendiculares entre si, nos quais as tensões de cisalhamento são 
nulas. Esses planos são chamados de principais bem como as tensões normais que neles 
atuam. 
σ1 – tensão principal maior 
σ 
τ 
α 
M (σα; τα) 
(σz; τ) 
(σx; τ) 
P 
σ (+) 
(-) 
τ 
σ (-) 
(+) 
τ 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑧
2
 
 
 
 
Figura 50-Círculo de Mohr 
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79 
 
σ3 – tensão principal menor 
As expressões que fornecem σ1 e σ3 são: 
σ1 = 
σz + σx
2
+√(
σz − σx
2
)
2
+ 𝜏𝑧𝑥² 𝑒 σ3 = 
σz + σx
2
− √(
σz − σx
2
)
2
+ 𝜏𝑧𝑥² 
O ângulo entre o plano de maior tensão principal e o plano horizontal (Ψ) é: 
𝑡𝑔Ψ =
𝜏𝑧𝑥
𝜎1 − 𝜎𝑥
 
 
 
 
A tensão de cisalhamento máxima 
𝝉𝒎á𝒙 =
σ1 − σ3
2
 
 
17.1- Ensaio de resistência ao cisalhamento 
Depois de aprender sobre tensão de cisalhamento vamos aprender como obter esses 
parâmetros para a realizar toda essa teoria. 
O ensaio em solos para esses parâmetros podem ser realizado de várias maneiras, os 
mais comuns são por cisalhamento direto, através do ensaio de compressão simples 
ou triaxial. 
17.1.1- Ensaio de Cisalhamento direto 
Figura 51-Ensaio de cisalhamento direto 
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80 
 
17.1.2- Ensaio de compressão triaxial. 
 
Figura 52- Ensaio triaxial 
FASES DO ENSAIO: 
1) Aplicação da pressão confinante 
2) Aplicação da diferença de tensões principais (cisalhamento) 
 
• Lento (CD) 
– Consolidado, drenado (1 a e 2 a fases) 
– Medidas de variação de volume (ΔV) 
 𝛥𝑢w = 0 
Figura 53- Círculo de Mohr com dados ensaio Triaxial 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
81 
 
Resultados típicos 
 
 
• Adensado rápido (CU) 
– Consolidado (1 a fase) 
– Não drenado (2 a fase) 
– Medidas de variação de volume (ΔV) na primeira fase 
– Medidas da pressão na água (𝑢w) na segunda fase 
Figura 54-Resultados típicos 
Figura 55-Círculo de Mohr para adensamento rápido (CU) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
82 
 
 
• Adensado rápido (CU) 
 
Figura 56-Círculo de Mohr para adensamento rápido (CU) 
 
• Rápido (UU) 
– Não consolidado, não drenado 
– Medidas da pressão na água (𝑢w) 
 
 
 
 
 
Figura 57-Círculo de Mohr (UU) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
83 
 
Caso particular do Ensaio Rápido (UU), onde σ 3 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 
– Não adensado, não drenado 
 
 
17.2- Exemplo cálculo de tensão de cisalhamento por círculo de 
Mohr: Uma amostra de solo de 100mm x 100mm, está 
submetida a forças, conforme apresentadas na fig.54. 
Determine σ1, σ3 e Ψ, a tensão máxima de cisalhamento, as 
tensões em plano inclinado a 30° no sentido anti-horário em 
relação ao plano de maior tensão principal 
Resolução: Solucionaremos esses problemas de duas formas, com a utilização do círculo 
de Mohr e com as equações. 
 
Cálculo da área 
𝐴 = 100𝑥100 = 104𝑚𝑚2 = 10−2𝑚² 
Cálculo das tensões 
𝜎𝑧 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
=
5
10−2
= 500 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎𝑥 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
=
3
10−2
= 300 𝑘𝑃𝑎 
 
Figura 58-Circulo (UU) Pressão atmosférica 
5 kN
3 kN
1 kN
1 kN
Figura 59 
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84 
 
𝜏𝑧𝑥 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
=
1
10−2
= 100 𝑘𝑃𝑎; 𝜏𝑧𝑥 = −𝜏𝑧𝑧 = 100 𝑘𝑃𝑎 
𝜏𝑧𝑥 É positiva, pois faz com que o elemento de solo gire no sentido horário em relação 
ao seu centro. De modo similar, 𝜏𝑧𝑧 é negativa, pois gira no sentido anti-horário no 
elemento. 
Cálculo da tensão principal maior 
σ1 = 
500 + 300
2
+√(
500 − 300
2
)
2
+ 100² = 541,42 𝑘𝑃𝑎 
 
Cálculo da tensão principal menor 
 
σ3 = 
500 + 300
2
−√(
500 − 300
2
)
2
+ 1002 = 258,58 𝑘𝑃𝑎 
 
Cálculo do ângulo entre o plano de maior tensão principal e o plano horizontal (Ψ) 
𝑡𝑔Ψ =
100
541,42 − 300
= 0,414 
 
Ψ = 22,489° 
Cálculo de cisalhamento máxima (τmáx) 
 
𝝉𝒎á𝒙 =
σ1 − σ3
2
=
541,42 − 258,6
2
= 141,4 𝑘𝑃𝑎 
 
Cálculo das tensões em um plano orientado em um ângulo 0 em relação ao plano de 
maior tensão principal: 
σ0 = 
541,4 + 258,6
2
+
541,4 − 258,6
2
cos(2𝑥30°) = 470,7 𝑘𝑃𝑎 
 
τ0 = 
541,4 − 258,6
2
sen(2𝑥30°) = 122,5 𝑘𝑃𝑎 
 
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85 
 
 
18- Investigação geotécnica – ensaios in situ para obtenção de 
parâmetros 
Dentro dos conhecimentos necessários está toda a esfera geotécnica, onde por meio de 
ensaios de laboratório e de campo podemos obter parâmetros importantes para o 
desenvolvimento de nosso projetos. Nos temas acima vimos diversos aspectos teóricos 
onde já tínhamos grande parte das informações necessárias para realizar todos os 
processos dentro da mecânica dos solos, porém esses parâmetros podem se mostrar 
não muito fáceis quanto a sua obtenção, de tal maneira que necessitamos desenvolver 
diversos ensaios, para os que mais se adequam ao projeto que está sendo executado, 
deste modo vamos discutir nesse capitulo uma gama de ensaios de campo com detalhes, 
para que se tenha o real entendimento de todos esses processos e quando e onde 
aplicar esses ensaios dentro de obras de engenharia. 
100 kPa 600 kPa
-300 kPa
0
3
0
,0
°
2
2
,5
°
300 kPa
1
2
2
,4
7
4
1
4
1
,4
2
1
470,711
Figura 60-Resolução exemplo círculo de Mohr 
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86 
 
Dentro dos principais ensaios executados dentro da geotécnica podemos citar os mais 
usuais, que grande parte infelizmente são pouco utilizados em território nacional, 
ficando refém do bom e velho SPT, esses ensaios são: 
• Ensaios de simples reconhecimento (SPT) Standard Penetration Test 
• Ensaio de simples reconhecimento com torque (SPTT) 
• Ensaio de penetração de cone (CPT) Cone Penetration Test 
• Ensaio de Piezocone (CPTu) 
• Ensaio de penetração leve (DPL) Dynamic Probe Light 
• Ensaio de dilatômetro de plano (DMT) 
• Ensaio de palheta (Vane Test) 
• Ensaio pressiômetro 
18.1- Ensaio de Simples Reconhecimento (SPT) NBR 6484 
Como de costume, vamos iniciar pelo qual nos é mais familiar, o ensaio de campo SPT 
talvez seja o mais conhecido teste de campo executado hoje no Brasil, por ser muito 
fácil de se executar não demandando uma mão de obra muito especializada para sua 
realização. Esse ensaio consiste na cravação de um sonda (amostrador) metálica no solo, 
cravação feita através de um martelo com peso padrão (65 kg) solto também de uma 
altura padrão (75 cm), o processo para a realização do ensaio é: 
• Montagem do tripé, posicionado com o ponto se deseja fazer a sondagem no 
centro de queda do martelo 
• Posicionamento da guia do martelo para marcação do ponto do furo 
• Escavar a primeira cama (1m) com uma cavadeira (trado) apropriada de 
(D=100mm), ou no caso de já ter atingido o nível d’água, quando a utilização do 
trado se tornar ineficaz é necessário utilizar o sistema de lavagem para a retirada 
do solo liquefeito. 
• Posicionar a guia do amostrador 
• Marcar nahaste auxiliar do amostrador, 45cm dividida em três partes de 15cm 
• Batendo com o martelo padrão (65 kg) a uma altura padrão (75 cm), é marcado 
o número de golpes para descer cada trecho de 15cm, completando os 45cm 
totais, o valo do Nspt e a soma dos dois últimos trechos de 15cm, ou seja, 
despreza-se o primeiro trecho, que pode ter sido alterado pelo trecho acima. 
• Ao final retira-se o amostrador com o solo na sonda bipartida pré-classificando 
o solo por categoria, dentre as 3 principais (Areia, Silte e Argila) juntamente com 
as informações de cota da profundidade de onde foi coletada essa amostra, solo 
este que será classificado de forma definitiva no laboratório. 
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87 
 
• Repetindo o processo até que alcance a profundidade estabelecida em projeto 
ou o mais comum, até que o solo se torne impenetrável pelo método a 
percussão, um solo impenetrável ou de acordo com os critérios de paralização 
na NBR 6484 
▪ 3 metros sucessivos com N maior que 45/15; 
▪ 4 metros sucessivos com N entre 45/15 e 45/30; 
▪ 5 metros sucessivos com N entre 45/30 e 45/45; 
▪ Penetração nula na sequência de 5 impactos do martelo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Martelo (65 kg) 
Haste guia (75cm) 
Haste do amostrador 
Tripé 
Guia de amostrado com 
bocal de lavagem 
Figura 61-Tripe ensaio SPT 
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88 
 
Ferramentas para realização do ensaio de campo SPT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Após a realização do SPT, é feito o referenciamento de níveis da cota 
inicial de cada furo até a conta final, com o tempo de espera de 24 horas é 
feita a verificação do nível d’água, com uma ferramenta chamada Apito, 
que como o próprio nome pressupõe uma ferramenta que emite um som 
quando em contato com a água! 
O plano de furos de sondagens deve seguir as seguintes regras: 
• Um furo de sondagem para cada 200m² em planta para edifícios de até 1200m² 
• Obras entre 1200m² a 2400m² um furo para cada 400m² em planta 
• Obras acima de 2400m² deve seguir plano de cargas da estrutura que será 
edificada 
A. Obras em qualquer circunstâncias, deverá conter pelo menos 2 furos 
para uma área de até 200m² e três furos para áreas de 200m² a 400m² 
Trado cavadeira Trado torcido Trado helicoidais 
2
0
10
3
0
10
3
0
20
3
0
20
4
0
20
4
0
20
Figura 62-Trados ensaio de SPT 
Figura 63-Locação padrão para obras de pequeno porte (m) 
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89 
 
18.2- Ensaio de Simples Reconhecimento com torque (SPTT) NBR 6484 
O ensaio de SPT com torque consiste no mesmo princípio e método de execução do SPT 
simples, todavia, com a inclusão da verificação do torque resistente do solo em relação 
a haste metálica, aplicando um braço de alavanca, é simulado um momento torçor na 
haste, que é medido por meio de um torquímetro analógico ou digital, analisando qual 
o torque máximo obtido para que haja a rotação do amostrador em meio ao solo, 
obtendo assim um parâmetro de resistência lateral do furo. 
Na rotação que se aplica ao amostrador por meio de um torquímetro pode-se medir um 
torque máximo, que define a tensão de atrito lateral (fs máxima) e o torque residual, 
que define a tensão de atrito lateral mínima (fs residual) após o remodelamento da 
película de solo na interface com o amostrador. 
Segundo Alonso (1994) o ensaio SPT-T, não está sujeito aos erros cometidos no ensaio 
SPT, tais como: 
• Massa cadente; é a energia obtida pela queda do peso de 65 Kg a uma altura de 
75 cm onde a energia gravitacional é transferida para o trado (amostrador). 
• Altura de queda; ocorre principalmente quando o levantamento do peso é 
realizado manualmente, onde o operador eleva de mais ou de menos o mesmo, 
fazendo com que a altura de queda não corresponda ao da norma. 
• Atritos múltiplos; é observado principalmente em equipamentos mal 
conservados onde a falta de manutenção faz com que o atrito na roldana de 
movimentação do peso, seja elevado a ponto de interferir na velocidade de 
queda. 
• Peso e rigidez das hastes; ocorre devido aos diferentes metais empregados na 
fabricação dos equipamentos, proporcionando ferramentas mais pesadas ou 
mais rígidas, que interfere na transferência de energia do martelo (peso) para o 
trado. 
• Restando apenas os erros relativos ao estado da parede lateral do amostrador; 
o trado é um equipamento que por estar em contato direto com solo e eventuais 
pedras acaba por desenvolver ranhuras em sua face lateral, podendo vir a 
interferir nos resultados de torque. 
• À velocidade de aplicação do torque; uma mão de obra mal qualificada pode 
executar os movimentos de torsão de forma inapropriada, girando-se o 
torquímetro rapidamente, dificultando a leitura da medida de torque. 
• Erros de leitura; ocorrem principalmente com torquímetro analógico, onde a 
precisão varia entre mais ou menos 3%. 
• Sistemáticos e acidentais comuns a todas as medidas de grandeza; são erros que 
podem ou não ser corrigidos, estão ligados a escala inadequada ou deficiente 
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90 
 
calibração do aparelho ou ainda podem ser por fatores externos (ambientais ou 
não), mas que perturbam o ato de medir. 
As principais informações obtidas com o ensaio de SPT-T são: 
• Índice de torque (TR); é a relação entre o torque medido em kgf/m pelo valor N 
do SPT, descrito pela seguinte equação: 
𝑇𝑅 =
𝑇
𝑁𝑠𝑝𝑡
 
 
 
Figura 64-Aplicação do torque na haste do amostrador (CREA-MG) 
Variação de N (SPT) Capacidade máxima do torquímetro 
0 - 10 270 N.m 
11 - 30 480 N.m 
30 - 45 800 N.m 
 
O ensaio de SPT e SPTT são relativamente preciso em alguns aspectos da investigação 
geotécnica, por ser um método razoavelmente barato e de simples execução seu nível 
de popularidade excede aos outros métodos, porém sua utilização se torna limitada em 
relação a métodos mais sofisticados, o SPT não mudou em nada desde a sua criação no 
início dos anos 1900. 
Com o ensaio SPT e SPTT é possível obter alguns parâmetros do solo diretamente, tais 
como, tensão admissível, camadas do solo, nível d’água e a resistência por atrito lateral, 
porém outros parâmetros relativos ao solo só são obtidos com um estudo mais 
aprofundado em laboratório ou por correlações com referência ao ensaio de SPT, para 
obras de pequeno e médio porte não se faz necessário o uso de técnicas mais avançadas 
de investigação, portanto devemos nos ater no limite de capacidade que o ensaio de 
sondagem a percussão nos propõe e avaliar em casos mais específicos se o mesmo é a 
melhor escolha para certos parâmetros que se fazem necessários para estudos 
específicos. 
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91 
 
 
 
18.2.1- Exemplo de laudo de sondagem a percussão 
 
 
 
 
 
Figura 65-Modelo de relatório de sondagem a percussão 
mx mn
MÉDIA 1,5 1,2 3/15 4/15 3/15 7 1
2,00 MÉDIA 1,7 1,1 4/15 4/15 4/15 8 2
MÉDIA 1,4 1,2 4/15 4/15 5/15 9 3
4,00 MÉDIA 1,2 1 5/15 5/15 5/15 10 4
RIJA 1,1 1 5/15 5/15 6/15 11 5
6,20 RIJA 1,2 1,1 6/15 6/15 6/15 12 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 13 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 15 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA 1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEMDE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP1
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
ARGILA SILTOSA 
AMARELA 
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA ESCURA
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA ESCURA
ARGILA VERDE
AREIA BEM 
GRADUADA 
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92 
 
 
Tabela 16-Designação do solo em função no Nspt 
Solo Índice de resistência à 
penetração N 
Designação¹ 
Areias e siltes 
arenosos 
< 4 Fofa(o) 
5 a 8 Pouco Compacta(o) 
9 a 18 Medianamente compacta(o) 
19 a 40 Compacta(o) 
> 40 Muito compacta(o) 
Argila e siltes 
argilosos 
< 2 Muito mole 
3 a 5 Mole 
6 a 10 Média 
11 a 19 Rija(o) 
> 19 Dura(o) 
¹ As expressões empregadas para a classificação da compacidade das areias (fofa, compacta, etc.), referem-se à 
deformabilidade e resistência destes solos, sob o ponto de vista de fundações, e não devem ser confundidas com as 
mesmas denominações empregadas para a designação da compacidade relativa das areias ou para a situação perante o 
índice de vazios críticos, definidos na Mecânica dos Solos. 
 
 
18.3- Ensaio de penetração de cone (CPT) Cone Penetration Test 
O ensaio CPT consiste na penetração de uma 
ponteira cônica (ângulo da ponto 60°) a uma 
velocidade constante de 20 mm/s com auxílio de 
um equipamento mecânico de cravação, para 
que seja garantida a velocidade sempre 
constante de cravação. 
A ponteira de cravação tem diversos sensores 
que obtém vários parâmetros do solo em quanto 
é cravada, as principais são: 
Resistência de ponta qc 
Resistência lateral fs 
Razão de atrito 𝑅𝑓 =
𝑓𝑠
𝑞𝑐
 
 
 
 
Figura 66-Ilustração esquemática CPT e CPTu (piezocone 
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93 
 
Por ser hoje em dia um tipo de teste quase que 100% computadorizado todos seus 
resultados em relação as características do solo são obtidas indiretamente por 
correlação de acordo com os três principais citados acima (qc, fs e Rf), onde o software 
decide qual o tipo de solo e demais informações, diferentemente do SPT o CPT não nos 
fornece um perfil físico do solo, todavia por conta de sua tecnologia mais avançada é 
possível obter diversos parâmetros que o SPT não oferece. 
Classificação do solo e estratigrafia 
 
 
Tabela 17 - Tipo de solo em função de Rf 
 
 
 
 
Tipo de solo Rf 
Areia fina a grossa 1,2 – 1,6 
Areia siltosa 1,6 – 2,2 
Areia silto-argilosa 2,2 – 4,0 
Argila >4,0 
1 
2 
4 
6 
10 
20 
40 
60 
100 
200 
400 
0
 
1 2 3 4 5
 
6
 
q
c 
x 
1
0
0
 (
kP
a
) 
Rf (%) 
Figura 67-Relação de razão de atrito e resistência de ponta 
do cone e tipo de solo (Robertson e Campanella, 1983) 
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94 
 
O equipamento para realização do ensaio tem uma sofisticação relativamente maior que 
o ensaio de SPT, como é um ensaio eletrônico depende inteiramente de um computador 
para extrair os dados obtidos no ensaio, com isso existem alguns equipamentos 
específicos para este fim, equipamentos de pequeno, médio e grande porte, o mais 
comum é encontrar um caminhão do tipo baú, com todos os aparelhos necessários 
adaptados a ele para a realização do ensaio, fazendo o registros dos dados conforme a 
ponteira com sensores eletrônicos avança no solo, o software traça um perfil do solo 
baseado no gráfico a cima, assim com indica a figura abaixo! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
-6 
-7 
-8 
-9 
-10 
-11 
-12 
-13 
-14 
-15 
-16 
-17 
-18 
-19 
Argila 
Figura 68-Estratigrafia ensaio CPT 
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95 
 
18.4- Ensaio (CPTu) Piezocone 
O ensaio de CPTu, Piezocone, consiste na acoplagem de uma ponteira com transdutores 
de poro-pressão (pressão neutra), com esse equipamento é possível medir a pressão 
neutra presente no solo, devido a água que ocupam os vazios do solo, como já visto 
anteriormente! 
O resultado do ensaio de Piezocone apresenta uma estratigrafia como a figura abaixo! 
 
Tabela 18 - Compacidade e angulo de atrito por qc 
Compacidade Relativa 
Resistência de ponta qc 
(Mpa) a partir do ensaio 
CPT 
Ângulo de 
Resistência ao corte 
φ' (ângulo de atrito) 
Muito baixa 0-2,5 29-32 
Baixa 2,5-5,0 32-35 
Média 5-10 35-37 
Elevado 10-20 37-40 
Muito elevado >20 40-42 
 
Módulo de elasticidade: E= 3,5 . qc 
qt [kPa] qc, u, ua [kPa] Bq [kPa] Rf [kPa] 
1000 2000 3000 4000 5000 200 400 600 800 10000 2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 2 6 10 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Aterro 
Argila 
Areia 
Argila 
Areia 
u 
ua 
qt 
Figura 69- Estratigrafia Piezocone 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
96 
 
18.5- Ensaio de penetração leve modificado por Nilsson (2001) (DPL) Dynamic Probe Pight 
 
O ensaio DPL é pouco difundido no Brasil, onde grande parte do material que se 
encontra desse método está ainda em fase de pesquisa, porém é um método bem 
utilizado na Europa, regulamentada pela norma Alemã DIN 4094-3:1990 e ES ISSO 
22476-2:2005, o método consiste na penetração de uma ponteira cônica, assim como 
CPT e CPTu, porém com um equipamento mais leve e simples, para se obter parâmetros 
de resistência de ponta, atrito lateral e ângulo de atrito. 
No entanto o método se mostra limitado em relação aos demais, em 2001 Nilsson 
desenvolveu a partir do DPL europeu uma variação que se mostrou mais eficaz em 
alguns aspectos, trata-se de um penetrômetro com uma altura de queda de 50cm e 
martelo com peso de 10kg introduzindo no solo uma ponteira de 35,7mm através de 
hastes. 
O DPL de Nilsson, detecta estratigrafia, nível d’agua, resistência de ponta e resistência 
lateral. O solo é identificado por três meios; análise visual do solo levado nas ranhuras 
da ponteira, auscultação e cálculo do coeficiente entre o atrito lateral e a resistência de 
ponta, assim como acontece no CPT. Análises da morfologia do gráfico completam a 
identificação. A execução atende as normas da ISSMFE (International Society for Soil 
Mechanics and Foundation Engineering ) e da DIM. 
O equipamento inteiro pesa aproximadamente 100kg possibilitando seu transporte sem 
a necessidade um carro especial, sua utilização é simples e segue os passos abaixo: 
• Escolha do local onde se deseja fazer o ensaio 
• Retira-se a primeira camada de solo vegetal 
(1m) se necessário com trado manual 
• Posiciona-se o DPL no local do ensaio 
• Com um auxílio de marcações nas hastes ou 
uma régua, anota-se quantos golpes são 
necessários para penetrar 10cm no solo, com 
o peso de 10kg, solto a uma altura de 50cm. 
 
Obs.: O ensaio DPL simples tem uma profundidade 
máxima de 8m de profundida, o DPL de Nilsson, 
segundo o criador (Nilsson) pode chegar até 12m de 
profundidade com coleta de dados confiáveis! 
Segundo a DIN esse ensaio é recomendado para solos 
do tipo SW (areia bem graduada) e SM (areia siltosa) 
pela classificação SUCS. 
Ponteira cônica 
Base de apoio 
Haste metálica 
Cabeça de bater 
Martelo (10kg) 
Haste guia (50cm) 
Limitador sup. 
Figura 70 - Equipamento DPL 
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97 
 
18.6- Ensaio dilatômetro de plano (DMT) 
O Ensaio DMT foi desenvolvido em 1975 por Silvano Marchetti e patenteada em 1977 
no EUA. Com esse ensaio é possível obter diversos parâmetros do solo, tais como: 
➢ Coeficiente de empuxo em repouso (K0) 
➢ Módulo de elasticidade (E) 
➢ Resistência ao cisalhamento não drenadas em argilas (Su) 
➢ Ângulo de atrito interno em areias 
➢ Classificação granulométrica 
➢ Razãosobre adensamento (OCR) 
 
Procedimento para o ensaio 
O ensaio consiste da introdução de uma 
haste metálica com uma ponteira 
expansível com interrupções a cada 
20cm, nessas interrupções é injetado 
gás nitrogênio que expande a 
membrana contra o terreno obtendo 
resultados das pressões através de um 
manômetro, o ensaio DMT pode ser 
aplicado desde argilas moles á solos 
rígidos! 
 
 
 
Ensaio de palheta (Vane test) 
Desenvolvido por John Olsson, em 1919, foi aperfeiçoado em 1940 assumindo a forma 
que é empregado até hoje, em 1949 chegou ao Brasil pelo instituto de pesquisas de São 
Paulo o IPT e Geotécnica A.S. 
O Vane test é normalmente empregado para determinação da resistência ao 
cisalhamento de depósitos de argilas moles saturadas, submetidas à condição de 
carregamento não-drenado (Su ao Cu). Normatizado pela NBR 10905/89 Ensaio de 
palheta in situ e pela ASTM D2573-08 (Standard test method for field vane sher test in 
cohesive soil). 
 
 
Figura 71 - Equipamento DMT 
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98 
 
Procedimento do ensaio (Vane test) 
O ensaio consiste na cravação estática de 
palheta de aço, com seção transversal em 
formato de cruz com dimensões 
padronizadas, inserida até a profundidade 
onde se deseja executar o teste. A palheta 
tem quatro aletas com diâmetro de 65mm e 
altura de 130mm, mas admite-se palheta 
retangular de 50mm e altura de 100mm em 
argilas rijas (Su>50kPa), a haste conduz a 
palheta até a profundidade desejada, 
protegida por um tubo externo de 20mm, 
para que a haste interna não sofra por atrito 
deturbando o ensaio de rotação da palheta. O equipamento de medição do torque deve 
possuir um mecanismo de coroa e pinhão acionado por manivela, sendo feitas as 
leituras de rotação a cada 2°, para determinar a curva torque x rotação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tmax 
Ensaio indeformado 
Amolgado 
Torque 
(Nm) 
Rotação (graus) 
0 20 40 60 80 100 120 
5 
10 
15 
20 
25 
Figura 72 - Curva torque x rotação – Giacheti UNESP 
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99 
 
18.7- Ensaio pressiômetro 
Desenvolvido por Kogler em 1933 na Alemanha, porém foi aperfeiçoado em (1955-1959) 
por Louis Ménard e Michel Gambin (1963), hoje em dia existem 3 diferente tipos de 
equipamentos pressiômetros, todavia falaremos do conceito básico do ensaio. O Brasil 
por não possuir uma normativa própria relativa ao ensaio, recomenda-se a utilização 
das normal americana (ASTM D-4.719/87) e francesa (P94-110/91 – AFNOR). 
 
Procedimento ensaio pressiometro 
O ensaio consiste na introdução de uma sonda 
em um furo pré-executado ou executado pelo 
próprio equipamento, depende do tipo do 
equipamento, onde se tem uma membrana 
expansível, um “balão”, que se expande com o 
bombeamento de gás nitrogênio medindo a 
tensão x deformação do solo de forma radial. 
Considerando o solo como um meio elástico, 
pode-se utilizar a teoria de MALÉ (1852) para 
calcular o módulo de Young. No caso de meio 
apresentar comportamento elastoplástico, 
pode ser adotada a formulação elastoplástica 
tipo Tresca, proposta por BISHOP et al. (1945) e 
geralmente utilizada para determinação da 
resistência ao cisalhamento num material sem 
atrito. 
 
Os três diferentes tipos de pressiômetro de Ménard 
• Tipo E: foi o primeiro a ser criado e não é fabricado nem 
vendido atualmente 
• Tipo GC: O mais utilizado e tem seu uso destinado a 
ensaios em solos 
• Tipo GB: Existem poucos em utilização no mundo e são 
utilizados para ensaios em rochas 
 
 
 
 
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101 
 
19- Tipos de fundações e suas características - NBR 6122/2010 
Dentro de uma mesma obra, não é incomum encontrarmos diferentes soluções nas 
estruturas de fundação, dependendo quase que diretamente do tipo de solo, as 
fundações podem ser divididas em alguns grupos com diferentes finalidade e 
comportamentos. Inicialmente podemos dividir as fundações em dois grandes grupos: 
• Fundações superficiais, também conhecidas como diretas ou rasas 
• Fundações profundas 
A definição desses dois grupos é feita de forma arbitrária, uma vez que sua 
caracterização em um grupo ou outro pode ser subjetiva, mas a NBR 6122, determina, 
que são consideradas fundações superficiais aquelas cuja a profundidade de apoio não 
ultrapasse duas vezes sua menor dimensão, e inferiores a 3m, consequentemente as 
fundações profundas seguem o inverso das regras para as fundações superficiais, ou 
seja, são consideradas fundações profundas aquelas cuja a profundidade seja maior que 
duas vezes sua menor e não inferiores a 3m. 
Dentro desses dois grandes grupos podemos dividir, para fundações superficiais: 
19.1- Bloco – São elementos em concreto não armado, cuja todas as tensões aplicadas 
sobre ele podem ser absorvidas e resistidas pelo próprio concreto, para que isso seja 
possível, os blocos em geral, tem um volume maior de concreto, para que com aumento 
da rigidez possa compensar a ausência de uma armadura complementar. 
19.2- Sapata – São elementos em concreto armado, dimensionadas de tal maneira que 
as tensões nela aplicadas sejam divididas em suas frentes, compressão, que será 
resistida pelo concreto e tração que será resistida pelas armaduras, esse 
dimensionamento em geral é feito através da técnica de bielas e tirantes, assim como 
ocorre nas armaduras transversais em vigas de concreto armado. 
19.3- Sapata corrida – É um tipo de sapata que recebe uma carga linear, ou uma 
sequência de pilares em uma mesma linha de execução. 
19.4- Sapata associada – Muitas vezes confundida com uma sapata corrida, a sapata 
associada é aquela que recebe de mais de um pilar, são executas muitas vezes quando 
não há espaçado físico entre dois ou mais pilares para a execução de uma sapata isolada, 
mas diferente de uma sapata corrida, esses pilaresnão precisam necessariamente estar 
em uma mesma linha. 
19.5- Radier – Tipo de fundação superficial que recebe pilares, paredes de concreto ou 
alvenaria em cargas concentradas, linearmente distribuídas ou cargas superficiais, nada 
mais é que uma laje apoiada diretamente no solo. 
19.6- Grelha – Um tipo de fundação rasa, relativamente incomum, é um conjunto de 
vigas que se cruzam de pomo a receber e distribuir as cargas provenientes dos pilares. 
 
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102 
 
 
 
Entre as fundações profundas podemos dividir basicamente em 3 grupos: 
19.7- Estaca – Um tipo de fundação profunda que utiliza de atrito lateral e resistência de 
ponta para resistir aos esforços, uma espécie de pilar confinado sob o solo, pode ser 
executada com equipamentos de perfuração, quando executadas in-loco com trado 
manual ou mecânico, como também ser cravada, para o caso de estacas pré-moldadas. 
19.8- Tubulão – Um tipo de fundação profunda fadada ao desuso pelo seu alto grau de 
periculosidade na execução pois demanda a descida de pessoas para sua execução em 
muitas ocasiões, assim como as estacas utiliza do atrito lateral como responsável por 
parte da carga, porém diferente das estacas tem um diâmetro consideravelmente maior 
além da possibilidade do alargamento da base para o aumento da capacidade de carga. 
Com diversas forma de execução, o tubulão ar comprimido, executado com auxílio de 
uma câmara de alta pressão para evitar a entrada de água durante a execução é uma 
das técnicas mais perigosas e insalubres para trabalhadores dentro da construção civil, 
sendo abolida em vários países do mundo. 
19.9- Caixão – Fundação profunda com forma de prisma, concreto na superfície e 
escavado internamente, esse tipo de fundação não tem nenhum tipo de citação na NBR 
6122/2010, desta forma não falaremos com muitos detalhes deste tipo de estruturas 
neste trabalho. 
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103 
 
 
 
 
Fundações mistas 
Em alguns casos é comum usar uma composição de duas ou mais técnicas diferente de 
fundação de modo a se transformar em um tipo híbrido de estrutura, dentre esses casos 
podemos encontrar: 
19.10- Bloco sobre estacas (Bloco de coroamento e estacas) – Como o nome já pressupõe 
é um bloco que faz a interface pilar e estaca, considerado como um elemento de 
transição entre os elementos da superestrutura e a fundação, esses elementos são 
armados em geral, pois dependendo de suas dimensões pode receber cargas pontuais 
causando um efeito de flexão no bloco 
19.11- Radier estaqueado – Uma solução composta de radier sobre estacas pré-
moldadas ou executadas in-loco, essa técnica tem a finalidade de utilizar o máximo da 
capacidade do solo, pois utiliza além das tensões admissíveis superficiais aproveita as 
resistências em um perfil mais profundo. Em geral utilizado em edificações de grande 
porte ou em solos com resistências substancialmente baixas, como em argilas marinhas 
em regiões costeiras, esse tipo de fundação aumenta significativamente a estabilidade 
de edifícios de grandes alturas, pois é possível trabalhar com as estacas tracionadas, 
desde que dimensionadas para tal finalidade. 
 
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104 
 
 
 
19.12- Termos 
19.12.1- Cota de arrasamento – Nível em que se deve deixar o topo da estaca ou fuste 
do tubulão, demolindo-se o excesso ou completando-o, se for o caso. Deve ser definido 
de modo a deixar que a estaca e sua armadura penetrem no bloco com comprimento 
que garanta a perfeita ligação tal como as transferências de esforços do bloco para a 
estaca. 
19.12.2- Nega – penetração permanente de uma estaca, causada pela aplicação de um 
golpe do martelo. Em geral é medida por série de 10 golpes. As ser fixada ou fornecida, 
deve ser acompanhada do peso do martelo e da altura de queda ou da energia de 
cravação (martelo automático). 
19.12.3- Repique – Parcela elástica do deslocamento máximo de uma seção da estaca, 
decorrente da aplicação de um golpe do martelo. 
19.12.4- Pressão admissível de uma fundação superficial – Tensão aplicada por uma 
fundação superficial ao terreno, provocando apenas recalques que a construção pode 
suportar sem inconvenientes e oferecendo, simultaneamente segurança satisfatória 
contra a ruptura ou o escoamento do solo ou elemento estrutural da fundação. 
19.12.5- Carga admissível sobre a estaca ou tubulão isolado – Força aplicada sobre a 
estaca ou tubulão isolado, provocando apenas recalques que a construção pode 
suportar sem inconvenientes e oferecendo, simultaneamente segurança satisfatória 
contra a ruptura ou o escoamento do solo ou elemento estrutural da fundação. 
19.12.6- Efeito de grupo de estacas e/ou tubulões – Processo de interação das diversas 
estacas ou tubulões que constituem uma fundação, ao transmitirem ao solo as cargas 
que lhe são aplicadas. 
 
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19.12.7- Recalque – Movimento vertical descendente de um elemento estrutural. 
Quando o movimento for ascendente, denomina-se levantamento. 
19.12.8- Recalque diferencial específico – Relação entre as diferenças dos recalques de 
dois apoios e a distâncias entre eles. 
19.12.9- Viga de equilíbrio ou alavanca – Elemento estrutural que recebe as cargas de 
um ou dois pilares, quando há uma excentricidade no ponto de aplicação da carga no 
elemento de fundação, como por exemplo elementos de fundação com aproveitamento 
total da divisa (fundação de divisa) que há essa excentricidade, a viga de equilíbrio tem 
a função de receber e redistribuir essas tensões oriundas dos momentos para o pilar 
mais próximo ou até mesmo um elemento especial de contra peso específico. 
 
20- Informações importantes em um projeto de fundações 
Em todo projeto de fundações há diversas informações importantes para o seu bom 
desenvolvimento, porém alguns aspectos são de extrema importância, as análises do 
local da edificação vai além do tipo de solo, então podemos separar essas informações 
abaixo por ordem de importância! 
20.1- Topografia – A topografia do local da edificação é muito importante pois nos dá 
informações valiosas, nos ajudando a adotar soluções de execução, quanto as estruturas 
de contenção, como muros de arrimo, encostas que poderão interferir direta ou 
indiretamente, movimentação de terra, corte/aterro, afinal esses trabalhos muitas 
vezes tem de ser executados antes mesmo que possamos iniciar os trabalhos de 
infraestrutura. 
20.2- Dados geológicos – Devem ser coletados ainda na primeira etapa da obra, 
geralmente realizadas em duas etapas, preliminar e complementar, tem o intuito de 
verificar e analisar o tipo predominante de solo presente no perfil que será base da 
futura edificação, a primeira etapa, preliminar, pode ser executada através de uma 
sondagem a percussão juntamente com o teste SPT (realizada simultaneamente pelo 
mesmo equipamento), com esse teste podemos obter o perfil do solo ao mesmo tempo 
que um parâmetro de resistência, como já falado anteriormente, posterior a esses testes 
preliminares, podemos fazer uma análise complementar em laboratório para entender 
o real comportamento desse solo ao receber uma sobre carga. 
20.3- Dados das construções vizinhas - Muitos acabam não se preocupando com as 
edificações vizinhas a área de implantação de um novo empreendimento, porém é 
necessário não só um olhar mais crítico a esses pontos como uma análise mais 
aprofundada dessas edificações, como, número de pavimento, carga média, tipo de 
estrutura e fundação utilizadas, se há subsolo, dentre outros fatores importante. Essas 
informações são importantes para que possamos encontrar uma solução estrutural para 
infraestrutura com o mínimo de impacto as edificaçõesvizinha, tanto no período de 
execução como durante a vida útil da edificação. 
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106 
 
20.4- Dados da nova edificação – Na futura edificação temos que nos atentar a 
informações como o tipo de estrutura que será edificada, sistema construtivo, assim 
como as cargas de peso próprio, utilização e todas as demais ações envolvidas no 
projeto direta ou indiretamente, essas informações em geral é o primeiro passo para a 
avaliação da técnica de execução dos elementos de fundação. 
 
21- Ações nas fundações 
As cargas presentes nos elementos de fundação podem ser divididas em dois grupos, 
cargas “vivas” e cargas “mortas”, esses dois grupos podem ser interpretados do mesmo 
modo as cargas permanente e sobrecargas nas estruturas usuais de concreto, com 
algumas diferenças quanto as suas causas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo a NBR 8681 
21.1- Ações permanentes: Ações que ocorrem com valores constantes ou de pequena 
variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção. A 
variabilidade das ações permanentes é medida num conjunto de construções análogas. 
21.2- Ações variáveis: Ações que ocorrem com valores que apresentam variações 
significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. 
21.3- Ações excepcionais: Ações excepcionais são as que têm duração extremamente 
curta e muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, mas que 
devem ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. 
-Ocupação por pessoas e móveis 
-Passagem de veículos e pessoas 
-Operação de equipamentos móveis 
-Armazenamento 
-Atracação de navios, pouso de helicópteros 
 
-Vento 
-Ondas e correntes 
-Temperatura 
-Sismos 
-Solicitações especiais de construção e instalação 
-Colisão de veículos 
-Explosão, fogo 
 
 
-Peso próprio da estrutura e equipamentos permanentes 
-Empuxo de água 
-Empuxo de terra 
 
Operacionais 
Ambientais 
Acidentais 
Cargas 
vivas 
Cargas mortas 
ou permanentes 
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107 
 
22- Requisitos essenciais em um projeto de fundações 
Nos projetos de fundações assim como em qualquer outro projeto de estruturas é 
necessário observar alguns aspectos importantes na inter-relação entre os elementos 
estruturais, os principais pontos a serem obedecidos são: 
- Deformações dos elementos de fundação (estabilidade interna) 
- Deformação do solo, evitando um possível colapso ou instabilidade (Estabilidade 
externa) 
Para a verificação desses limites de deformação, são correspondente as verificações do 
Estado limite de serviço (ELS) de acordo com NBR 8681. Os elementos são 
dimensionados de acordo com Estado limite último (ELU) assim como nas 
superestruturas. 
 
 
 
 
 
Figura 75 - Deformação excessivas Figura 76- Tombamento 
Figura 74-Colapso do solo 
Figura 77-Deslizamento 
Figura 78-Colapso estrutural 
(puncionamento) 
Figura 79-Colapso estrutural 
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108 
 
Outros requisitos importante a serem observados são: 
• Segurança adequada ao tombamento e deslizamento, verificações feitas no solo 
quanto as resistência ao cisalhamento quando submetidas a carregamentos 
externos, no caso de execução de edificações, aterros e taludes, essas 
verificações devem ser feitas também nos elementos de fundação. 
• Segurança a flambagem. 
• Níveis de vibração compatíveis com uso da obra ou edificação, sendo feitas as 
verificações de casos de ações dinâmicas. 
 
22.1- Coeficientes de segurança e características de projeto de fundação 
Em projeto de fundações, diferentemente dos projetos de superestruturas, não temos 
um comportamento bem definido dos elementos de fundação, uma vez que dependem 
diretamente do solo, que é bem imprevisível por conta da sua composição heterogênea, 
por tanto é importante a utilização de certos coeficientes capazes de absorver qualquer 
comportamento inesperado. Com a impossibilidade da investigação completa de todas 
as características necessárias do solo para obter um nível menor de incertezas, até por 
que as principais análises feitas em um dado solo é tomado por dados estatísticos em 
análises indiretas com amostras de algumas regiões do local da obra, o que dependendo 
do tipo de solo pode variar consideravelmente. 
22.1.1- Uso dos coeficiente de segurança (Fator de segurança FS) 
A maior preocupação dos elementos de fundação são a tensões admissíveis do solo, é 
justamente nele que aplicamos os fatores de segurança, para a utilização desses fatores 
podemos seguir as tabelas abaixo: 
22.1.2- Fatores de segurança globais mínimos: 
CONDIÇÃO FS 
Capacidade de carga de fundações superficiais 3,0 
Capacidade de carga de estacas ou tubulões sem prova de carga 2,0 
Capacidade de carga de estacas ou tubulões com prova de carga 1,6 
Aplicação do FS para as tensões admissíveis 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑟𝑢𝑝
𝐹𝑆
 
Aplicação do FS também pode ser aplicado para as cargas, nesse caso não é necessário 
aplicar também nas tensões do solo 
𝑄𝑡𝑟𝑎𝑏 =
𝑄𝑢𝑙𝑡
𝐹𝑆
 Ou 𝐹𝑆 =
𝑄𝑢𝑙𝑡
𝑄𝑡𝑟𝑎𝑏
 
Onde, Qtrab é a carga de trabalho ou solicitação característica admissível (Qk) e Qult é 
a carga de ruptura ou resistência característica. 
Aplicação do FS para tensões na base 
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109 
 
𝑞𝑡𝑟𝑎𝑏 =
𝑞𝑢𝑙𝑡
𝐹𝑆
 ou 𝐹𝑆 =
𝑞𝑢𝑙𝑡
𝑞𝑡𝑟𝑎𝑏
 
Onde, Qtrab é a tensão de trabalho ou solicitação característica admissível (Qk) e Qult é 
a tensão de ruptura ou resistência característica. 
No caso de fundações profundas só é possível reduzir o FS quando se dispõe do resultado 
de um número adequado de provas de carga e quando os elementos ensaiados são 
representativos do conjunto da fundação ou a critério do projetista. 
CARGA ADMISSÍVEL EM RELAÇÃO AOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS – As cargas 
admissíveis são, neste caso obtidos por cálculo ou experimentalmente, com a aplicação 
de FS ao inferior a 1,5. 
Cálculo empregando-se fatores de segurança parciais: 
A segurança nas fundações deve ser estudada por meio de análises correspondentes aos 
estados limites últimos (ELU - perda de capacidade de carga e instabilidade elástica ou 
flambagem) e estado limite de serviço (ELS – limites estabelecidos pela NBR 8681). 
Entretanto em obras de fundação, estas análises em geral se reduzem à verificação de 
estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva (análise de ruptura) 
ou à verificação de estado limite de serviço caracterizado por deformações excessivas 
(análise de deformações). 
22.2- Estado limite último – Análise de ruptura 
Nesta análise, os valores de cálculo das ações na estrutura no estado limite último são 
comparados aos valores de cálculo da resistência do solo ou do elemento da fundação. 
Os esforços na estrutura devem ser calculados de acordo com a NBR 8681. 
Os valores de cálculo da resistência do solo determinados dividindo-se os valores 
característicos dos parâmetros de resistência da coesão (c) e do ângulo de atrito (φ) 
pelos coeficientes de ponderação da tabela 19. 
Tabela 19-Coeficiente de ponderação de capacidade de carga de fundações 
PARÂMETRO In situ ¹ Laboratório Correlações ² 
Tangente do ângulo de atrito interno 1,2 1,3 1,4 
Coesão (estabilidade e empuxo de terra 1,3 1,4 1,5 
Coesão (capacidade de carga de 
fundações) 
1,4 1,5 1,6 
 
¹ -Ensaios CPT, palheta (Vane, pressiômetro, conforme NBR 10905) 
²-Ensaios SPT, Dilatômetro 
 
O valor de cálculo da resistência (ou capacidade de carga) de um elemento de fundação 
pode ser determinado das seguintes maneiras: 
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110 
 
• A partir de provas de carga, quandose determina inicialmente sua resistência 
(ou capacidade de carga) característica Pk, neste caso deve-se aplicar o terceiro 
coeficiente de ponderação da Tabela 19. 
• A partir de método semi-empírico ou empírico, quando se determina 
inicialmente sua resistência (ou capacidade de carga) característica nominal, 
deve-se aplicar um dos primeiros coeficientes de ponderação conforme Tabela 
19 dependendo do tipo de fundação; quando se empregam métodos teóricos, 
não se aplica os coeficientes, pois os resultados obtidos já foram reduzidos pelos 
coeficientes do quadro 19. 
 Condição Coeficiente 
Fundação superficial (sem prova de carga) ¹ 2,2 
Fundação profunda (sem prova de carga) ¹ 1,5 
Fundação com prova de carga 1,2 
 
¹ Capacidade de carga obtida por método empírico ou semi empírico. 
 
22.3- Estado limite de serviço – Analise de deformação 
A análise de deformações é feita calculando-se os deslocamentos da fundação 
submetidas aos valores dos esforços da estrutura no estado limite de serviço. Os 
deslocamentos devem ser suportados pela estrutura sem danos que prejudiquem sua 
utilização. Os deslocamento admissíveis máximos suportados pela estrutura sem que 
haja prejuízo ao estado limite de serviço, devem atender ás prescrições da NBR 8681. 
Estes deslocamentos, tanto em termos absolutos (ex.: recalques totais) quanto relativos 
(ex.: recalques diferenciais), devem ser definidos pelos projetistas envolvidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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111 
 
23- Correlações para parâmetros do solo pelo SPT 
Como o intuito do curso é ser o mais objetivo possível e demonstrar de forma pratica as 
disciplinas relacionadas a fundações, vamos apresentar a seguir as correlações mais 
usuais para os parâmetros do solo com auxílio do resultado de ensaios de SPT. (CINTRA 
et al. 2003) 
▪ Coesão (solos argilosos) (KPa) 
Para a estimativa do valor de coesão não drenada (cu), quando se dispõem de resultados 
de ensaios de laboratório, Teixeira & Godoy (1996) sugerem a seguinte correlação com 
o índice de resistência à penetração (N) do SPT: 
𝐶𝑢 = 10𝑁 (𝐾𝑃𝑎) 
 
▪ Ângulo de atrito (graus) 
Para a adoção do ângulo de atrito interno da areia, pode-se utilizar o que foi descrito 
em (Mello, 1967), que mostra correlações estatísticas entre os pares de valores (σv, N) 
e os prováveis valores de φ, em que σv é a tensão vertical efetiva à cota de obtenção de 
N. 
Ainda para a estimativa de φ, Godoy (1983) menciona a seguinte correlação empírica 
com o índice de resistência à penetração (N) do SPT: 
𝜙 = 28° + 0,4𝑁 
Enquanto Teixeira (1996) utiliza 
𝜙 = √20𝑁 + 15° 
▪ Peso especifico (kN/m³) 
Se não houver ensaios de laboratório, pode-se adotar o peso específico efetivo do solo 
a partir dos valores aproximados das Tabelas 20 e 21 (Godoy, 1972), em função da 
consistência da argila e da compacidade da areia, respectivamente. Os estados de 
consistência de solos finos e de compacidade de solos grossos, por sua vez, são dados 
em função do índice de resistência à penetração (N) do SPT, de acordo com a NBR 
7250/82. 
Tabela 20 - Peso específico de solos argilosos - Godoy (1972) 
N (golpes) Consistência Peso específico (kN/m³) 
≤2 Muito mole 13 
3 – 5 Mole 15 
6 – 10 Média 17 
11 – 19 Rija 19 
≥20 Dura 21 
 
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112 
 
 
Tabela 21 - Peso específico de solos arenosos - Godoy (1972) 
N (golpes) Consistência Peso específico (kN/m³) 
Areia seca Úmida Saturada 
<5 
5 - 8 
Fofa 
Pouco compacta 
16 18 19 
9 – 18 Medianamente 
compacta 
17 19 20 
19 – 40 
>40 
Compacta 
Muito compacta 
18 20 21 
 
▪ Tensão admissível – Solos coesivos (kgf/cm²) 
 
Para o cálculo da tensão admissível, sem a necessidade de aplicar nenhum fator de 
segurança (FS) são utilizadas as seguintes equações: 
- Argila pura 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁
4
 
- Argila siltosa 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁
5
 
- Argila Arenosa siltosa 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁
7,5
 
▪ Módulo de deformabilidade (Kgf/cm²) 
Módulo de Deformabilidade Não se dispondo de ensaios de laboratório nem de prova 
de cargas sobre placa para a determinação do módulo de deformabilidade do solo (Es), 
podem ser utilizadas correlações com a resistência de ponta com do cone (qc) ou com 
índice de resistência à penetração (N) da sondagem SPT, como, por exemplo, as 
apresentadas por Teixeira & Godoy (1996): 
 
𝐸𝑠 = 𝛼. 𝑞𝑐 
 
𝑞𝑐 = 𝐾.𝑁 → 𝐸𝑠 = 𝛼. 𝐾. 𝑁 
 
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113 
 
Em que α e K são coeficientes empíricos dados pelas tabelas 22 e 23, em função do tipo 
de solo. Esse coeficiente α correlaciona qc com Es e, portanto, não deve ser confundido 
com o coeficiente α de Aoki & Velloso (1995), que transforma qc em atrito lateral 
unitário do próprio cone. Já o coeficiente K tem o mesmo significado para Aoki & Velloso 
e, por isso, valores da tabela 4 têm a mesma ordem de grandeza dos valores de Aoki & 
Velloso (1995). 
 
Tabela 22 - Coeficiente α (Teixeira & Godoy, 1996) 
Solo 𝜶 
Areia 3 
Silte 5 
Argila 7 
 
Tabela 23- Coeficiente K (Teixeira & Godoy, 1996) 
Solo K (MPa) 
Areia com pedregulhos 1,10 
Areia 0,90 
Areia siltosa 0,70 
Areia argilosa 0,55 
Silte arenoso 0,45 
Silte 0,35 
Argila arenosa 0,30 
Silte argiloso 0,25 
Argila siltosa 0,20 
 
Observa-se que para areias (𝛼 = 3), a correlação Es com qc resulta em: 
 
𝐸𝑠 = 3. 𝑞𝑐 
Que é compatível às relações de Schmertmann (1978). 
 
De acordo com D’Appolonia et al. (1970), a presença do lençol freático pode ser 
ignorada porque seu efeito no módulo de deformabilidade é refletido na obtenção de 
N, ratificado Meyerhof (1965). Posteriormente, essa assertiva foi confirmada por 
Terzaghi et al. (1996), com base nos resultados de Burland-Burbidge, de 1985. No caso 
de saturação de uma areia que não estava saturada no momento da sondagem, por 
exemplo, por ascensão do N.A., o recalque aumenta de um valor que, dependendo do 
autor, pode ser de 1/3 (Bolognesi, 1969) até 100% (Terzaghi & Peck, 1948; Terzaghi & 
Peck, 1967; Terzaghi et al., 1996). 
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114 
 
▪ Coeficiente de Poisson 
 
Teixeira & Godoy (1996) também apresentam valores típicos para o coeficiente de 
Poisson do solo (ν), reproduzidos na tabela 5. 
 
Tabela 24 - Coeficiente de Poisson (Teixeira & e Godoy, 1996) 
Solo ν 
Areia pouco compacta 0,2 
Areia compacta 0,4 
Silte 0,3 – 0,5 
Argila saturada 0,4 – 0,5 
Argila não saturada 0,1 – 0,3 
 
Simons & Menzies (1981) observam que ν não é constante, variando desde o valor não 
drenado no momento do carregamento (νu – 0,5 para o caso ideal não-drenado) até os 
valores drenados no fim da dissipação do excesso de pressões neutras. De acordo com 
Mayne & Poulos (1999), pesquisas mais recentes mostram que os valores drenados de 
ν são bem menores do que se acreditava. Para carregamento drenado em todos tipos 
de solo, incluindo areia e argilas, tem-se: 
𝜈 ′ = 0,15 ± 0,05 
Esses autores confirmam ν = 0,5 para condições não-drenadas envolvendo 
carregamentos rápidos em argilas saturadas. 
 
Obs.: Essas correlações são obtidas de forma empírica, tendo a sua utilização limitada a 
estudos mais preliminares, porém em obras de responsabilidade é sempre necessário 
executar ensaios mais aprofundados para se obter os parâmetros de maneira mais 
direta, trabalhando com uma margem de segurança relativamente maior, neste 
trabalho utilizaremos essas correlações como padrão para todas as nossas atividades de 
maneira a exemplificar cada tópico de maneira pratica para estudos preliminares de 
fundação. 
 
 
 
 
 
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115 
 
24- Fundações superficiais 
O dimensionamento de fundaçõessuperficiais pode ser feito de duas maneiras: 
• Conceito de pressão admissível 
• Conceito de coeficientes de segurança parciais 
 
 
24.1- Pressão admissível 
Devem ser considerados os seguintes fatores na sua determinação: 
➢ Profundidade da fundação; 
➢ Dimensões e forma dos elementos de fundação; 
➢ Características das camadas do terreno abaixo do nível da fundação; 
➢ Nível d’água; 
➢ Modificação das características do terreno por efeito de alivio de pressões, 
alteração do teor de umidade ou ambos; 
➢ Características da obra, em especial a rigidez da estrutura; 
➢ Recalque admissíveis, definidos pelo projetista da estrutura 
 
24.2- Metodologia para determinação da pressão admissível 
A pressão admissível pode ser determinada por um dos seguintes critérios: 
• Por métodos teóricos – Uma vez conhecidas às características de 
compressibilidade e resistência ao cisalhamento do solo e outros parâmetros 
eventualmente necessários, a pressão admissível pode ser determinada por 
meio de teoria desenvolvida na mecânica dos solos, levando em conta eventuais 
inclinações da carga no terreno e excentricidades. Faz-se o cálculo da carga de 
ruptura a carga admissível é obtida com aplicação do fator FS recomendado pelo 
autor da teoria, nunca inferior a 3,0. Devendo ser feita a verificação de recalques 
para esta pressão. 
• Por meio de prova de carga sobre placa – ensaio realizado de acordo com a NBR 
6489. 
• Por métodos semi-empírico – São considerados métodos semi-empíricos 
aqueles em que as propriedades dos matérias são obtidas com base em 
correlações e são usadas em teoria de mecânica dos solos, adaptadas para incluir 
a natureza semi-empírica do método. Quando os métodos semi-empíricos são 
utilizados devem-se apresentar justificativa, indicando a origem das correlações 
(inclusive referenciais bibliográficas) 
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116 
 
• Por métodos empíricos – São considerados empíricos aqueles pelos quais se 
chega a uma pressão admissível com base na descrição do terreno (classificação 
e determinação de compacidade ou consistência através de investigação de 
campo e laboratoriais). Estes modelos apresentam-se sob forma de tabelas de 
pressões básicas conforme anteriormente. 
24.3- Pressão admissível em solos compressíveis 
A implantação de fundação em solos constituídos por areias fofas, argilas moles, 
siltes fofos ou moles, aterros e outros materiais só podem ser feita após cuidados 
estudo com base em ensaios de laboratório e campo, compreendendo o cálculo de 
capacidade de carga (ruptura) e a análise de repercussão dos recalques sobre o 
comportamento da estrutura. 
24.4- Solos expansivos 
Solos expansivos são aqueles que, por sua composição mineralógica, aumentam de 
volume quando há um aumento no teor de umidade. Nestes solos não se pode 
deixar de levar em conta o fato de que, quando a pressão de expansão ultrapassa a 
pressão atuante, podem ocorrer deslocamentos pra cima. Por isso, em cada caso é 
indispensável determinar experimentalmente a pressão de expansão, considerando 
que a expansão depende das condições de confinamento. 
24.5- Solos colapsíveis 
Para o caso de fundações apoiadas em solos de elevada porosidade, não saturados, 
deve ser analisada a possibilidade de colapso por encharcamento, pois estes são 
potencialmente colapsíveis. Em princípio devem ser evitadas fundações superficiais 
apoiadas nesse tipo de solo, a não ser que sejam feitos estudos considerando-se as 
tensões a serem aplicadas pelas fundações e a possibilidade de encharcamento do 
solo. 
25- Dimensionamento de fundações superficiais 
As fundações superficiais devem ser definidas por meio de dimensionamento 
geométrico e cálculo estrutural. 
 
25.1- Dimensionamento geométrico 
Devem-se considerar as seguintes solicitações: 
✓ Cargas centradas – a área de fundação solicitada por cargas centradas deve 
ser tal que a pressão transmitida ao terreno, admitida uniformemente 
distribuída, seja menor ou igual a pressão admissível. 
✓ Carga excêntricas – São aquelas em que a força vertical cujo o eixo não passa 
pelo centro de gravidade da superfície de contato da fundação com o solo; 
forças horizontais situadas fora do plano da base de fundação; qualquer 
outra composição de forças que gerem momentos de fundação. 
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117 
 
✓ Cargas horizontais 
25.2- Dimensionamento estruturais 
Deve ser feito de maneira a atender as NBR 6118; NBR 7190 e NBR 8800. Para o 
dimensionamento de blocos de fundação devem ser tal que o ângulo β, expresso em 
radianos, satisfaça a seguinte equação: 
𝑡𝑎𝑛𝛽
𝛽
≥
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝜎𝑐𝑡
+ 1 
Onde: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = tensão admissível do terreno (Mpa). 
𝜎𝑐𝑡 = tensão de tração do concreto (𝜎𝑐𝑡 = 0,4. 𝑓𝑡𝑘 ≤ 0,8𝑀𝑃𝑎) 
𝑓𝑡𝑘 = Resistência característica à tração do concreto, cujo valor pode ser obtido a partir 
da resistência característica a compressão (𝑓𝑐𝑘) pelas equações: 
𝑓𝑡𝑘 =
𝑓𝑐𝑘
10
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 ≤ 18 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑡𝑘 = 0,06 . 𝑓𝑐𝑘 + 0,7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 > 18 𝑀𝑃𝑎 
 
Obs.: Com respeito à distribuição das pressões sob a base do bloco, aplica-se o já 
disposto para as sapatas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β 
Figura 80-Ângulo β nos blocos. 
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118 
 
25.3- Disposições construtivas 
A dimensão mínima em planta, para as sapatas ou blocos não deve ser inferior a 60cm. 
A base de uma fundação deve ser executada a uma profundidade tal que o solo não 
seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. 
Em fundações que não se apoiam sobre rocha, deve-se executar anteriormente à sua 
execução um lastro de concreto não estrutural de regularização de no mínimo 5cm de 
espessura, ocupando toda a área da cava da fundação. 
No caso de fundações próximas, porém em níveis diferentes, à reta de maior declive 
que passa pelos seus bordos deve fazer, com a vertical, um ângulo α como mostrado 
na Figura 81, com os seguintes valores: 
✓ Solos pouco resistentes 𝛼 ≥ 60° 
✓ Solos resistentes 𝛼 = 45° 
✓ Rochas 𝛼 = 30° 
 
 
Figura 81-Fundações próximas em cotas diferentes 
 
 
Obs.: A fundação situada em cota mais baixa deve ser executada em primeiro lugar, a 
não ser que se tomem cuidados especiais para garantir essa condição. 
 
 
 
 
𝛼 
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119 
 
26- DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS DE FUNDAÇÃO 
SUPERFICIAIS – SAPATA 
26.1- Tipos de sapata 
Dentre todos os elementos de fundação a sapata talvez seja o mais comum, sendo 
subdividida em diferentes tipos de elementos, tais como sapata isolada, associada, 
corrida, de divisa etc. Sendo assim vamos entender qual a diferença entre os tipos de 
sapata e como dimensionar cada uma delas! 
26.1.1-Sapata isolada - A sapata isolada é a mais comum nas edificações, sendo aquela 
que transmite ao solo as ações de um único pilar. As formas que a sapata isolada pode 
ter, em planta, são muito variadas, mas a retangular é a mais comum, devido aos pilares 
retangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As ações que comumente ocorrem nesses elementos são a força normal (N), 
momentos fletores em uma ou duas direções (Mx e My), e a força horizontal (H). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 82 - Sapata isolada 
Figura 83 - Reações na sapata 
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120 
 
Um limite para a sapata retangular é a dimensão maior da base não supere cinco vezes 
a largura (A≤5B). Quando A>5B essa é chamada sapata corrida. 
Para sapata sob pilar de edifícios de múltiplos pavimentos existe a recomendação de 
que a dimensão mínima em planta seja de 80cm. Para NBR 6122, a menor dimensão não 
deve ser inferior a 60cm. O centro degravidade (CG) do pilar deve coincidir com o centro 
de gravidade da base da sapata para qualquer forma do pilar. 
 
Figura 84 - Centro de gravidade em sapatas isoladas 
Para o dimensionamento econômico é indicado que os balanços da sapata nas duas 
direções, as dimensões cA e cB, sejam iguais ou aproximadamente iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 85 - Sapata com balanços iguais 
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121 
 
No caso de sapata isolada sob pilar de divisa, e quando não se faz a ligação da sapata 
com um pilar interno, com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido a 
excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com o solo. 
São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26.1.2- Sapata Corrida 
Conforme a NBR 6122, sapata corrida é aquela “sujeita à ação de uma carga distribuída 
linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo alinhamento” 
As sapatas corridas são comuns em construções de pequeno porte, como casas e 
edificações de baixa altura, galpões, muros de divisa e de arrimo, em paredes de 
reservatórios e piscinas, etc. Constituem uma solução economicamente viável quando 
o solo apresenta a necessária capacidade de suporte em baixa profundidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 87 - Sapata corrida 
Figura 86 - Sapata de divisa sem viga de equilíbrio 
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122 
 
26.1.3- Sapata associada 
Aquela que recebe mais de um pilar, ocorre geralmente quando há uma proximidade 
muito grande entre dois ou mais pilares que inviabilize a execução de uma sapata isolada 
para cada pilar, então se projeta uma única sapata de modo a receber a carga de dois 
ou mais pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26.1.4- Sapata com viga alavanca ou de Equilíbrio 
Segundo a NBR 6122, viga alavanca ou viga de equilíbrio é o “elemento estrutural que 
recebe as cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo 
a transmiti-las centradas ás fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam 
cargas nas fundações diferentes das cargas dos pilares atuantes.” 
A viga alavanca é de aplicação comum no caso de pilar posicionado na divisa de terreno, 
onde ocorre uma excentricidade (e) entre o ponto de aplicação de carga do pilar (N) e o 
centro geométrico da sapata. O momento fletor resultante da excentricidade é 
equilibrado e resistido pela viga alavanca, que na outra extremidade é geralmente 
vinculada a um pilar interno da edificação, ou no caso de ausência deste, vinculada a um 
elemento que fixe a extremidade da viga no solo. 
 
 
Figura 88- Sapata Associada 
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123 
 
 
 
27- Rigidez dos elementos de fundação superficiais – sapatas 
A classificação das sapatas relativamente à rigidez é muito importante, porque direciona 
a forma como a distribuição de tensões na interface base da sapata/solo deve ser 
considerada, bem como o procedimento ou método adotado no dimensionamento 
estrutural. 
A NBR 6118 (item 22.6.1) classifica as sapatas como rígidas ou flexíveis, sendo rígida a 
que atende a equação: 
ℎ ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
3
 
Sendo: 
h=Altura da sapata 
A=dimensão da sapata em uma determinada direção 
ap=dimensão do pilar na mesma direção 
 
É necessário a verificação relativa ás duas dimensões da sapata, sendo que para ser 
classificada como rígida a equação deve ser atendida em ambas as direções. No caso da 
equação não ser verificada para as duas direções, a sapata será considerada flexível! 
Figura 89 - Viga alavanca 
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124 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 90-Sapata rígida 
Em projetos as sapatas rígidas são mais comuns, por serem menos suscetíveis a 
deformações e a ruptura por punção e consequentemente mais seguras, as sapatas 
flexíveis são caracterizadas pela altura relativamente pequena, e segundo a NBR 6118 
(item 22.6.2.3) “Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação 
de cargas pequenas e solos relativamente fracos” 
Segundo Montoya, é difícil estabelecer um limite para classificação das sapatas, e de 
qual método deve-se empregar no projeto. Ele por exemplo, classifica como sapata 
rígida aquela onde o ângulo β é igual ou superior a 45°. Em caso contrário a sapata é 
tratada como flexível. Uma norma que pode ser considerada no projeto de sapatas é o 
do CEB de 1970 (CEB-70), que utiliza um critério diferente e considera como sapata 
rígida quando o ângulo β (tgβ = h/c) fica compreendido entre os limites: 
0,5 ≤ 𝑡𝑔 𝛽 ≤ 1,5 (26,6° ≤ 𝛽 ≤ 56,3°) 
 
Se tg 𝛽 < 0,5 a sapata é considerada 
flexível, e se tg 𝛽 > 1,5 não sapata, e sim 
bloco de fundação direta (aquele que 
dispensa armadura de flexão porque o 
concreto resiste à tensão de tração 
máxima existente na base do bloco). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 91- Ângulo β e balanço c 
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125 
 
28- Distribuição de tensão no solo 
A tensão ou pressão de apoio que a área da base de uma sapata exerce no solo é o fator 
mais importante relativo à interface base-solo. Diversos estudos analíticos e de campo 
indicaram que a pressão exercida no solo não é necessariamente distribuída 
uniformemente, e depende de vários fatores, como: 
• Existência de excentricidade do carregamento aplicado; 
• Intensidade de possíveis momentos fletores aplicados; 
• Rigidez da fundação; 
• Propriedades do solo; 
• Rugosidade da base da fundação. 
A Figura 92 e Figura 93 mostram a distribuição de pressão no solo aplicada na base de uma 
sapata, carregada concentricamente, em função do tipo de solo e da rigidez, se rígida 
ou flexível. Sapatas perfeitamente flexíveis curvam-se e mantém a pressão uniforme no 
solo. Sapatas perfeitamente rígidas não se curvam, e o recalque, se ocorrer, é uniforme, 
porém, a pressão no solo não é uniforme. 
Devido à complexidade da análise ao se considerar a pressão como não uniforme, é 
comum assumir- se a uniformidade sob carregamentos concêntricos, como mostrado 
na Figura 92, e adicionalmente porque o erro cometido com a simplificação não é 
significativo. 
Sapatas apoiadas sobre solos granulares, como areia, a pressão é maior no centro e 
decresce em direção às bordas da sapata. No caso de solos argilosos, ao contrário, a 
pressão é maior nas proximidades das bordas e menor no centro. Essas características 
de não uniformidade da pressão no solo são comumente ignoradas porque sua 
consideração numérica é incerta e muito variável, dependendo do tipo de solo, e porque 
a influência sobre a intensidade dos momentos fletores e forças cortantes na sapata é 
relativamente pequena. 
No caso de radier, que é comumente flexível quando comparado às sapatas, devem ter 
uma avaliação das tensões de flexão e da distribuição da pressão no solo de maneira 
mais cuidadosa. 
A NBR 6118 (item 22.6.1) permite que, no caso de sapata rígida, se possa “admitir plana 
a distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de 
informações mais detalhadas a respeito. Para sapatas flexíveis ou em casos extremos de 
fundação em rocha, mesmo com sapata rígida, essa hipótese deve ser revista.” E no item 
22.6.2.3 relativo às sapatas flexíveis: “A distribuição plana de tensões no contato sapata-
solo deve ser verificada.” 
A NBR 6122 (7.6.1) recomenda que a “área da fundação solicitada por cargas centradas 
deve ser tal que as tensões transmitidas ao terreno, admitidas uniformemente 
distribuídas, sejam menores ou iguais à tensão admissível ou tensão resistente de 
projeto do solo de apoio.” No item 7.8.1: “As sapatas devem ser calculadasCurso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
126 
 
considerando-se diagramas de tensão na base representativos e que são função das 
características do solo (ou rocha).” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 92 - Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila; b) sapata 
flexível sobre areia; c) sapata rígida sobre argila; d) sapata flexível sobre areia; e) distribuição simplificada 
Figura 93-Reações sapata rígida e flexível 
(e) 
FLEXÍVEL FLEXÍVEL 
(ARGILA) (AREIA) 
(a) (b) 
(c) (d) 
RÍGIDA RÍGIDA 
(AREIA) (ARGILA) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
127 
 
29- Comportamento Estrutural 
Sapatas tem como objetivo receber uma carga pontual de uma seção significativamente 
menor do que sua área em planta, que se projeta para ambas as direções do pilar, 
distribuindo a carga pontual em uma área maior, com isso diminuindo a tensão 
(força/área) até uma tensão que o solo consiga suportar sem que haja deformações 
excessivas, dessa forma o dimensionamento das sapatas devem garantir a estabilidade 
da interface solo estrutura. 
As Sapata tem comportamento parecido com as lajes lisas, porém de forma inversa, 
onde a pressões são recebidas de baixo para cima, o que pode causar, assim como nas 
lajes um efeito de puncionamento causados pelos esforços cortantes gerador pelo pilar 
na sapata, esse efeito é mais comum em lajes flexíveis, onde deve se ter uma 
preocupação maior em relação aos esforços corantes e o efeito de puncionamento, 
seguindo orientações da NBR 6118, segundo o item 22.6.2, se “elimina a complexidade 
da interação solo-estrutura, o comportamento estrutural pode ser analisado segundo a 
rigidez da sapata, se rígida ou flexível”. 
29.1- Sapata Rígida 
Segundo a NBR 6118, item 22.6.2.2, o comportamento estrutural das sapatas rígidas 
pode ser descrito como: 
“A) trabalho à flexão nas duas direções, admitindo-se que, para cada uma delas, a tração 
na flexão seja uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. Essa 
hipótese não se aplica à compressão ao caso de sapatas muito alongadas em relação à 
forma do pilar; 
“B) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruptura por 
tração diagonal, e sim por compressão diagonal verificada conforme 19.5.3.1. Isso 
ocorre porque a sapata rígida fica inteiramente dentro do cone hipotético de punção, 
não havendo, portanto, possibilidade física de punção.” 
A admissão da uniformidade da tensão de 
tração ao longo da largura da sapata, em cada 
direção, faz com que a armadura de flexão As,B 
, por exemplo, paralela à dimensão B da sapata, 
seja disposta constante ao longo de toda a 
dimensão A da sapata, e de modo semelhante 
quanto à armadura As,A na outra direção. As 
duas armaduras são perpendiculares e formam 
uma malha, posicionadas próximas à superfície 
da base da sapata. 
 
 
 
Figura 94-Malha de armadura sapata 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
128 
 
 
 
29.2- Sapata Flexível 
Segundo a NBR 6118, item 22.6.2.3, o comportamento das sapatas flexíveis pode ser 
descrito como: 
“a) trabalho à flexão nas duas direções, não sendo possível admitir tração na flexão 
uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. A concentração de 
flexão junto ao pilar deve ser, em princípio, avaliada; 
“b) trabalho ao cisalhamento que pode ser descrito pelo fenômeno da punção (ver 
19.5).” 
“A distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.” 
 
Como o próprio nome já pressupõe a sapata flexível tem a tendência a sofrer por 
momentos devido a menor rigidez, sendo mais suscetível a efeito de punção quase 
inexistente nas sapata rígidas. 
 
As,A As,B 
As,A 
As,B 
Tensão de tração 
ao longo de A 
σct,f 
Figura 95-Amaduras positivas sapata isolada 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
129 
 
 
Figura 96-Sapata flexível 
 
Detalhe construtivo 
A NBR 6122, item 7.7.3, estabelece que: “Todas as partes da fundação superficial (rasa 
ou direta) em contato com o solo (sapatas, vigas de equilíbrio, etc.) devem ser 
concretadas sobre um lastro de concreto não estrutural com no mínimo 5 cm de 
espessura, a ser lançado sobre toda a superfície de contato solo- fundação. No caso de 
rocha, esse lastro deve servir para regularização da superfície e, portanto, pode ter 
espessura variável, no entanto observado um mínimo de 5 cm.” 
Também segundo a NBR 6122, item 7.7.2, “Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo 
quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 
m. Em casos de obras cujas sapatas ou blocos estejam majoritariamente previstas com 
dimensões inferiores a 1,0 m, essa profundidade mínima pode ser reduzida.” 
As sapatas devem sempre ser executadas de tal maneira a facilitar a montagem e 
desmontagem das formas durante o período de execução, assim recomenda-se algumas 
dimensões mínimas, tais como as indicadas na imagem abaixo: 
ℎ0 =
ℎ
3
𝑜𝑢 15𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
Figura 97-Detalhes construtivos sapatas – BASTOS (2016) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
130 
 
 
30- Definição das dimensões da sapata 
A área da sapata é definida através da carga e tensão admissível do solo, fazendo a 
relação entre essas grandezas é possível obter uma área para onde a carga do pilar será 
distribuída dentro dos limites de tensão da qual o solo é capaz de absorver, assim 
podemos utilizar a seguinte equação: 
𝐴𝑠𝑎𝑝 =
𝐾𝑚𝑎𝑗. 𝑁𝑔𝑘 + 𝑁𝑞𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
 𝑜𝑢 𝐴𝑠𝑎𝑝 =
1,05. 𝑁𝑔𝑘 + 𝑁𝑞𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
 
Sendo: 
𝐾𝑚𝑎𝑗=Parcela equivalente ao peso próprio da sapata (de 5 a 10% da carga permanente) 
𝑁𝑔𝑘=Parcela da carga permanente, valor característico 
𝑁𝑞𝑘= Parcela da carga variável, valor característico 
𝜎𝑎𝑑𝑚= Tensão admissível 
 
Para a definição das dimensões é importante observar os balanços equivalentes de 
ambos lados da sapata, de modo que tenham aproximadamente o mesmo tamanho, 
para que se mantenha um comportamento estrutural adequado quanto aos momentos 
solicitantes da sapata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos adotar cA=cB, então: 
𝐴 − 𝑎𝑝 = 𝐵 − 𝑏𝑝 𝑒 𝐴 − 𝐵 = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝 
Obs.: Em caso de balanços não iguais recomenda-se usar a relação A/B≤3,0 
Figura 98-Balanços equivalentes 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
131 
 
31- Verificação à punção 
Para verificação da punção nas sapatas devemos seguir as recomendações do item 19.5 
da NBR 6118, apesar de se tratar de laje é totalmente aplicável para sapatas. 
 
Figura 99 - Punção em lajes (adaptável a sapatas) - BASTOS (2016) 
 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑑
𝑥
 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 27° 
𝑡𝑔27° =
𝑑
𝑥
 → 𝑥 =
𝑑
0,51
≅ 2𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga concentrada, deve 
ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa 
verificação também é feita através de uma tensão de cisalhamento, no contorno C’. Caso haja 
necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica 
Figura 100- Planta superfície de punção - BASTOS (2016) 
C 
C’ 
C’ 
C 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
132 
 
(contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário colocar armadura transversal.” 
(NBR 6118, 19.5.1). 
 
31.1- Tensão de cisalhamento solicitante em pilar centrado com carregamento simétrico 
Segundo a NBR 6118, 19.5.2.1, a tensão e cisalhamento se tem por: 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢. 𝑑
 
Sendo 
𝑑 =
(𝑑𝑥+𝑑𝑦)
2
= Altura útil da lajeao longo do contorno crítico C’, externo ao contorno C da área 
de aplicação da força e distante 2d no plano da laje; 
dx e dy = são as alturas úteis nas duas direções ortogonais 
u= perímetro do contorno crítico C’ 
u.d= área da superfície critica 
Fsd= força ou reação concentrada de cálculo 
 
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u 0 (perímetro do contorno C). “A força 
de punção Fsd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do 
contorno considerado na verificação, C ou C’.” 
31.2- Tensão de cisalhamento solicitante em pilar interno com momento fletor aplicado 
“No caso em que, além da força vertical, existe transferência de momento da laje para o pilar, o 
efeito de assimetria deve ser considerado,” e a tensão de cisalhamento solicitante é: 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢. 𝑑
+
𝐾.𝑀𝑠𝑑
𝑊𝑝. 𝑑
 
Sendo: 
K= Coeficiente que fornece a parcela do momento fletor Msd transmitida ao pilar por 
cisalhamento depende da relação C1/C2 (ver Tabela 25) 
C1= Dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 101101 
C2=Dimensão do pilar paralela à excentricidade da força 
Wp= Módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode “Ser calculado desprezando a 
curvatura dos contornos do perímetro crítico” 
𝑊𝑝 = ∫ |𝑒|𝑑𝑙
𝑢
0
 
e= Distância de 𝑑𝑙 ao eixo que passa pelo centro do pilar sobre o qual atua o momento fletor 
Msd. 
𝑊𝑝 =
𝐶1²
2
+ 𝐶1. 𝐶2 + 4𝐶2 + 𝑑 + 16𝑑2 + 2𝜋𝑑𝐶1 (Para pilar retangular) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
133 
 
 
𝑊𝑝 = (𝐷 + 4𝑑)² (Para pilar circular, D=diâmetro) 
Tabela 26- Valores de K em função de C1 e C2 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
 
 
Nota: Para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118 (item 19.5.2.3 e 19.5.2.4) 
31.3- Verificação de tensão resistente de compressão diagonal do concreto na seção 
crítica C. 
 
(NBR 6118, 19.5.3.1), “Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à 
punção com ou sem armadura. Deve-se ter:” 
𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 
 
𝜏𝑅𝑑2 = 0,27. 𝛼𝑣. 𝑓𝑐𝑑 
Sendo: 
𝛼𝑣 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) , 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎 
 
“O valor de τRd2 pode ser ampliado de 20% por efeito de estado múltiplo de tensões junto a pilar 
interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50% e não existem 
aberturas junto ao pilar” 
 
Figura 101- Sapata submetida a esforço normal e momento fletor - BASTOS (2016) 
C’ 
Msd Msd 
e1 
Fsd 
Fsd 
C2 
2d C1 
dI 
e 
Fsd 
e1 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
134 
 
 
 
A seção crítica C corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, e por meio da 
tensão de cisalhamento nela atuante verifica-se indiretamente a tensão de compressão diagonal 
do concreto Figura 97. A tensão de cisalhamento solicitante é: 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢𝑜. 𝑑
 
Onde: 
Fsd= Força solicitante de cálculo; 
uo= Perímetro de contorno crítico C; 
uo= 2.(ap+bp); 
uo.d= Área da seção crítica C; 
d= Altura útil ao longo do contorno crítico C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31.4- Tensão resistente na seção crítica C’ em elementos estruturais ou trechos sem 
armadura de punção. 
“A verificação de tensões na seção crítica C” deve ser efetuada como a seguir (NBR 6118, 
19.5.3.2) 
Figura 102-Tensão de cisalhamento na sapata - 
BASTOS (2016) 
d 
Fsd 
bp 
ap 
C 
τsd 
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135 
 
𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑1 
𝜏𝑅𝑑1 = 0,13(1 + √
20
𝑑
) (100𝜌. 𝑓𝑐𝑘)
1
3 + 0,10𝜎𝑐𝑝 
Onde: 
𝜌 = √𝜌𝑥. 𝜌𝑦; 
𝑑 =
(𝑑𝑥−𝑑𝑦)
2
=Altura útil da laje ao longo do contorno crítico C da área de aplicação da força 
(cm); 
𝜌 = Taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser 
desprezada); 
𝜌𝑥 𝑒 𝜌𝑦 = “Taxa de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas; 
-Na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos 
lados; 
-No caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d” 
Fck em MPa. 
 
No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é: 
𝜏𝑅𝑑1 = 0,13(1 + √
20
𝑑
) √(100𝜌. 𝑓𝑐𝑘)
3 2𝑑
𝑎∗
≤ 0,5𝑓𝑐𝑑2 
 
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136 
 
fcd2= Resistência de cálculo do concreto à 
compressão para regiões não fissuradas. 
 
𝑎∗ ≤ 2𝑑 
 
𝑓𝑐𝑑2 = 0,6 (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
)𝑓𝑐𝑑 , 𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑢∗ = 2𝑎𝑝 + 2𝑏𝑝 + 2𝜋𝑎∗ 
 
 
 
 
 
 
Para pilares com momento fletor solicitante, τsd é: 
τsd =
Fsd
𝑢∗𝑑
+
𝐾.𝑀𝑠𝑑
𝑊𝑝. 𝑑
 
 
32- Considerações de projeto segundo CEB-70 (Comitê Europeu de 
Concreto) 
O método propõe as seguintes condições de cálculo para sapatas; 
ℎ
2
≤ 𝑐 ≤ 2ℎ ; (𝑜𝑢
1
2
≤
𝑐
ℎ
≤ 2) 
 
Se c.2h a sapata pode ser considerada como viga ou como placa, e calculada de acordo com a 
teoria correspondente, se o balanço (aba) for pequeno (c<h/2) em qualquer direção, é admitido 
que trata de bloco de fundação, e o método apresentado não é aplicável. 
 
 
 
 
 
Figura 103 - Distancia a* 
Figura 104-Balanço c na sapata isolada. 
Superfície C’ 
(perímetro=u*) 
 
a* 
ap 
d 
C C 
h 
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137 
 
 
“Admite-se que o comportamento do solo seja elástico e que a estabilidade seja assegurada 
unicamente pelas forças elásticas que ele transmite à sapata através da superfície de apoio.” 
Portanto, a distribuição das tensões devidas às reações do solo sobre a superfície de apoio da 
sapata é plana (Figura 1.48). Forças horizontais que atuem na sapata são equilibradas 
unicamente por forças de atrito desenvolvidas entre a superfície de apoio da sapata e o solo, e 
as forças de atrito não podem ser consideradas para reduzir a armadura principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
32.1- Dimensionamento e disposição das armaduras de flexão 
 
As metodologias para projeto de sapatas diferem quanto à seção para consideração dos 
momentos fletores. No caso do CEB-70, os momentos fletores são calculados, para cada direção, 
em relação a uma seção de referência (S1A ou S1B) plana, perpendicular à superfície de apoio, 
ao longo da sapata e situada internamente ao pilar, distante da face do pilar de 0,15ap , onde a 
p é a dimensão do pilar normal à seção de referência (Figura 101). 
A altura útil d da seção de referência é tomada na seção paralela à S1 e situada na face do pilar 
e não deve exceder 1,5c. Para a sapata da Figura 101, d ≤ 1,5c A 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento fletor relativo a uma seção de referência S1 é calculado considerando a reação do 
solo que age na área da base da sapata, limitada pela seção S1 e a extremidade da sapata mais 
Figura 105 - Distribuição da reação do solo na base da sapata. 
Figura 106 - Seção de referência S1A, relativa à dimensão A da sapata 
CA 
 ap 
0,15.ap 
d 
As,A 
S1A 
A 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
138 
 
próxima de S1 (Figura 102). As duas direções devem ser consideradas, e o menor momento fletor 
deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a relação entre a armadura de flexão 
menor e a maior na direção ortogonal deve ser ≥ 1/5. 
O cálculo da armadura de flexão que atravessa perpendicularmente a seção S1 é feito como nas 
vigas à flexão simples, considerando as características geométricas da seção de referência S1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na avaliação dos momentos fletores não devem ser considerados o peso da sapata e do solo 
acima dela, porque não causam flexão na sapata. Se o momento fletor que resultar for negativo, 
deverá existir uma armadura negativa na parte superior da sapata. 
Os momentos fletores são calculados nas seções de referênciaS1A e S1B, relativas 
respectivamente aos lados A e B da sapata. Os balanços cA e cb , como indicados na Figura 103, 
são: 
𝑐𝐴 =
𝐴 − 𝑎𝑝
2
 ; 𝑐𝐵 =
𝐵 − 𝑏𝑝
2
 
A pressão que a sapata exerce sobre o solo, e que corresponde à reação do solo, é: 
𝑃 =
𝑁𝑘
𝐴. 𝐵
 
Figura 107 - Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 
- BASTOS (2016) 
σ2 
σ1 
S1 
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139 
 
Não sendo necessário como já comentado a consideração do peso próprio da sapata e do solo 
sobre a sapata. 
As distancias xA e xB são: 
XA=CA+0,15ap 
XB=CB+0,15bp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As área da base da sapata (figura 104), a serem consideradas no cálculo dos momentos 
fletores são: 
A1A=XA B 
A1B=XB A 
 
 
 
Figura 108 - Seções de referência S1A e S1B. 
Figura 109 - Áreas de referência no cálculo dos momentos 
fletores. 
S1B 
S1A 
bp 
ap 
XB 
CB 
B 
A 
0,15ap 
0,15bp 
CA XA 
S1A 
N 
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140 
 
Considerando a pressão do Solo, atuante em cada área de influência, pode-se determinar a 
força resultante (Figura 110); 
R1A=p.A1A=p.XA.B 
R1B=p.A1B=p.XB.A 
Os momentos fletores relativos às seções de 
referência S1A e S1B são: 
𝑀1𝐴 = 𝑅1𝐴.
𝑋𝐴
2
 
𝑀1𝐵 = 𝑅1𝐵.
𝑋𝐵
2
 
 
 
Portanto: 
𝑀1𝐴 = 𝑝.
𝑋𝐴²
2
𝐵 
𝑀1𝐵 = 𝑝.
𝑋𝐵²
2
𝐴 
 
Nas sapatas com superfícies superiores inclinadas, a seção comprimida de concreto (A’c ) tem a 
forma de um trapézio (Figura 106), e o cálculo exato das armaduras de flexão deve ter essa 
consideração. Como uma alternativa simplificada, Machado considera o cálculo admitindo uma 
seção retangular com braço de alavanca z = 0,85d, e que neste caso o erro cometido não 
ultrapassa 10 %, e a área de armadura é: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
0,85. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 110-Resultante da pressão do solo 
Figura 111 - Área comprimida pela flexão (A'c) 
XA 
S1A 
R1A 
p 
A’C 
AS 
LN 
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141 
 
 
Obs.: De forma a evitar possíveis problemas no preenchimento do concreto na fôrma e entre as 
barras, e diminuir a possibilidade de fissuração, recomenda-se que o espaçamento entre as 
barras da armadura de flexão esteja entre o intervalo de: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
A armadura deve se estender, sem redução de seção, sobre toda a extensão da sapata, ou seja, 
de face a face e deve terminar com gancho na extremidades obrigatoriamente. A NBR 6118 
(22.6.4.1.1) diz: “A armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao longo da sapata, 
estendendo-se integralmente de face a face da sapata terminando em gancho nas duas 
extremidades” 
Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída, 
paralelamente aos lados da sapata. Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado 
maior, de comprimento A, dever ser uniformemente distribuída sobre a largura B da sapata. No 
caso da armadura na outra direção, aquela paralela ao lado menor (B), são dois os critérios de 
distribuição da armadura: 
a) Quando B≥ap+2h (Figura 107): 
Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão B sob o pilar, segundo a 
fração: 
2𝐵
𝐴 + 𝐵
. 𝐴𝑠 
 
Onde h é a altura da sapata. O restante da armadura deve ser distribuída nas duas faixas além 
da dimensão B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
B
A
ARMADURA
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142 
 
 
 
b) Se B<ap+2h (Figura 108) 
Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As, na extensão ap+2h sob o pilar, 
segundo a fração: 
2(𝑎𝑝 + 2ℎ)
𝐴 + 𝑎𝑝 + 2ℎ
. 𝐴𝑠 
 
Do mesmo modo que o caso anterior, o restante da armadura deve ser distribuído nas duas 
faixas além da dimensão ap+2h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32.2- Verificação da força cortante 
O método do CEB-70, considera que a força cortante deve ser verificada nas duas direções da 
sapata, atuantes em uma seção de referência (S2) distante d/2 da face do pilar, e que a força 
cortante atuante deve ser menor que uma força cortante limite (máxima). Segundo Machado, a 
força cortante limite preconizada pelo CEB-70 é muito baixa e, portanto, muito conservadora, 
de modo que não deve ser considerada no projeto de sapatas rígidas. Nessas sapatas, a NBR 
6118 (item 22.6.2.2) preconiza que não ocorre ruptura por tração diagonal, e sim a possibilidade 
de ruptura da diagonal comprimida, de modo que apenas a superfície crítica C necessita ser 
verificada (conforme 19.5.3.1). Portanto, a força cortante atuante na sapata rígida não será 
verificada. No caso das sapatas flexíveis, tanto as forças cortantes atuantes quanto a punção 
devem ser verificadas. 
 
32.3- Exemplo – Sapata isolada rígida sob carga concentrada 
Dimensionar uma sapata de fundação para um pilar com seção transversal 20x80 cm, que 
transfere à sapata uma carga vertical centrada total de 1.250 kN (Nk=valor característico), com 
armadura vertical no pilar composta por barras de 16mm (Φ,pil), tensão admissível do solo 
(σadm) encontrado no perfil abaixo e: 
▪ Momentos fletores solicitantes externos inexistentes (Mx=My=0); 
B
ap+2h
A
ARMADURA
ap
bp
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
143 
 
▪ Coeficiente de ponderação da segurança γc=γf=1,4; γs=1,15; 
▪ Materiais concreto C25, aço CA-50 (fyd=43,5 kN/cm²) 
▪ Cobrimento de concreto c=4cm 
 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝑁𝑠𝑝𝑡/50 (𝑀𝑃𝑎) 
 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
(12 + 13 + 14)
3
500
= 0,026 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Dimensões da sapata 
Encontrado a σadm, é possível estimar as dimensões da sapata 
em planta, na equação abaixo, vamos considerar o fator de 
majoração de carga (Kmaj) de 1,1 de modo a considerar o peso 
próprio da sapata sobre o solo: 
𝑆𝑠𝑎𝑝 =
𝐾𝑚𝑎𝑗. 𝑁𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
1,1.1250
0,026
= 52.884 𝑐𝑚2 (𝑜𝑢 5,28 𝑚2) 
 
 
 
𝐵 =
1
2
(𝑏𝑝 − 𝑎𝑝) + √
1
4
. (𝑏𝑝 − 𝑎𝑝)2 + 𝑆𝑠𝑎𝑝 
 
𝐵 =
1
2
(20 − 80) + √
1
4
. (20 − 80)2 + 52885 = 201.9 𝑐𝑚 
B ≅ 205 cm 
 
 
𝐴 − 𝐵 = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝 → 𝐴 − 205 = 80 − 20 → 𝐴 = 265 𝑐𝑚 
A área corrigida da base da sapata é: 
 
𝑆𝑠𝑎𝑝 = 265.205 = 54.325 𝑐𝑚2 > 52.885 𝑐𝑚2 → 𝑜𝑘! 
 
80 
20 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
144 
 
Balanços iguais nas duas direções, resultam 
𝑐𝑎 = 𝑐𝑏 =
𝐴 − 𝑎𝑝
2
=
265 − 80
2
= 92,5 𝑐𝑚 
Altura da sapata, considerando um sapata rígida conforme a NBR 6118 deve atender a 
condição: 
ℎ ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
3
≥
265 − 80
3
≥ 61,7 𝑐𝑚 
Obs.: A altura da sapata deve ser maior do que o comprimento de ancoragem 
estabelecida em projeto ou em acordo com a tabela a seguir: 
 
 
Tabela 27 - Comprimento de ancoragem para CA-50 nervurado 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
145 
 
Neste caso considerado a ancoragem na região de boa aderência e concreto C25 e 
ancoragem com gancho, lb= 42 cm. Sendo assim adotando h=70, a sapata é classificada 
como rígida (>61,7 cm), fazendo as considerações da altura útil “d” podemos considerar: 
𝑑 = ℎ − (𝑐 + 1) = ℎ − (4,0 + 1,0) = ℎ = 5 𝑐𝑚 = 70 – 5 = 65 𝑐𝑚 
 
𝑑 = 65 𝑐𝑚 > 𝑙𝑏 = 42 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
 
Para a altura da “saia” (h0) da sapata temos: 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3
=
70
3
= 23,3 𝑐𝑚
15 𝑐𝑚
 → ℎ0 = 25 𝑐𝑚 
O ângulo da superfície inclinada da sapata é: 
𝑡𝑔𝛼
ℎ − ℎ0
𝑐
=
70 − 25
95,5
 → 𝛼 = 25,9° 
 
32.3.1- Determinação dos momentos fletores solicitantes 
 
Pressão no solo: 
𝑃𝑑 =
𝑁𝑑
𝐴. 𝐵
=
1,4 . 1250
265.205
= 0.03221 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
 
 
Limites estabelecidos pela CEB-70 são atendidos: 
h
h
0
C
d
>
lblb
As.pil
Figura 112 - Alturaútil mínima para a sapata 
α 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
146 
 
ℎ
2
≤ 𝑐 ≤ 2ℎ → 
70
2
≤ 𝑐 ≤ 2 . 70 → 35 < 𝑐 = 92.5 𝑐𝑚 < 140 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
 
As distâncias das seções de referência S1 as extremidades da sapata são: 
𝑥𝐴 = 𝑐𝑎 + 0,15𝑎𝑝 = 92,5 + 0,15 . 80 = 104,5 𝑐𝑚 
𝑥𝐵 = 𝑐𝑏 + 0,15𝑏𝑝 = 92,5 + 19 . 20 = 95,5 𝑐𝑚 
 
Cálculo dos momentos fletores de referência S1A e S1B: 
𝑀1𝐴, 𝑑 = 𝑃𝑑
𝑥𝐴²
2
. 𝐵 = 0,03221
104,5²
2
205 = 36.053 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀1𝐵, 𝑑 = 𝑃𝑏
𝑥𝐵²
2
. 𝐴 = 0,03221
95,5²
2
265 = 38.924 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
 
B
=
2
0
5
A=265
M1B.d
38924
M
1
A
.d
 
3
6
0
5
3
S1A
M1A.d=36053
M1B.d=38924
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
147 
 
As armaduras de flexão segundo os lados A e B da sapata, considerando γs=1,15 
e fyd=50/1,15 = 43,5 kN/cm² para o aço CA-50: 
 
𝐴𝑠, 𝐴 =
𝑀1𝐴, 𝑑
0,85𝑑. 𝑓𝑦𝑑
=
36053
0,85.65.43,5
= 15,01 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠, 𝐵 =
𝑀1𝐵, 𝑑
0,85𝑑. 𝑓𝑦𝑑
=
38924
0,85.65.43,5
= 16,20 𝑐𝑚² 
 
Para a escolha das bitolas da armadura podemos seguir o mesmo conceito de lajes, 
assim como indicado abaixo: 
Da dimensão 𝐴:
15,01
2,05
= 7,32
𝑐𝑚2
𝑚
 → 𝜙10𝑚𝑚 𝑐/10 (8,00 𝑐𝑚2/𝑚) 
Da dimensão 𝐵:
16,20
2,65
= 6,11
𝑐𝑚2
𝑚
 → 𝜙10𝑚𝑚 𝑐/13 (6,15 𝑐𝑚2/𝑚) 
Verificação da diagonal comprimida 
Obs.: Como a sapata é rígida não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a 
tensão na diagonal de compressão, na superfície critica C. 
 
𝑢0 = 2(20 + 80) = 200 𝑐𝑚 (Perímetro da superfície critica C=perímetro do pilar) 
𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝑠𝑑 = 𝛾𝑓𝑁 = 1,4 . 1250 = 1.750 𝑘𝑁 
 
Tensão de cisalhamento atuante 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢0 𝑑
=
1750
200.65
= 0,135
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 1,35 𝑀𝑝𝑎 
 
Tensão de cisalhamento resistente 
𝜏𝑠𝑑 = 0,27𝛼𝑉. 𝑓𝑐𝑑 = 0,27 (1 −
25
250
) .
2,5
1,4
= 0,43
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 4,3 𝑀𝑝𝑎 > 1,35 ∴ 𝑂𝑘! 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
148 
 
32.3.2- Ancoragem da armadura de flexão da sapata 
Considerando Φ10mm e concreto C25, na zona de má aderência (já que trata-se de uma 
armadura na face superior da sapata, junto ao final da face inclinada) o comprimento de 
ancoragem segundo a (Tabela 27) é de 38 cm, então podemos considerar: 
ℎ0’ = ℎ0 – (2. 𝑐 + 1) = 25 – (2 . 4 – 1) = 16 𝑐𝑚 
𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜. 𝑖𝑛𝑐 = 38 − 16 = 22 𝑐𝑚 ≅ 25 𝑐𝑚 
32.3.3- Detalhamento da armadura da sapata 
 
 
6
5
92,5
2
5
>23
N1 - 20Ø 10mm C=337 cm
15
25
15
25
257
N
2
 -
 2
0
Ø
 1
0
m
m
 C
=
2
2
7
 c
m
1
5
25
1
5
25
N2 - 20 c/13
(265-8)/13=19,8
As,B
N
1
 -
 2
0
 c
/1
0
(2
0
5
-8
)/
1
0
=
1
9
,7
A
s
,A
 B
205
 A =265
20 N2
20 N1
Øl,Pil
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149 
 
33- Dimensionamento pelo método das Bielas 
O método foi desenvolvido baseado nos resultados de inúmeros ensaios elaborados por 
Lebelle (1936) e aplica-se para sapatas corridas ou isoladas, seguindo o seguinte limite 
em relação a sua altura útil: 
𝑑 ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
4
 
 
Segundo a NBR 6118, que classifica a sapata rígida conforme a relação h≥
𝐴−𝑎𝑝
3
, nota-se 
que o limite estabelecido por Lebelle corresponde à sapata flexível para NBR 6118, de 
modo que existe uma faixa de valores de d que, de adotados, resultarão na sapata 
flexível segundo a NBR 6118. 
O método considera as tensões distribuídas em bielas de compressão que tendem a 
tracionar a armadura da base como indica a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura necessária para
resistir à força de tração
Biela de
compressão
Figura 113 - Bielas de compressão e armadura de tração 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
150 
 
 
Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida, tem-se as 
equações para definição de tração na base da sapata (Tx). 
 
𝑑𝑇 = 𝑑𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑑𝑃 = 𝑑𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝛼 
 
𝑑𝑇 =
𝑑𝑃
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼 =
𝑑𝑃
𝑡𝑔 𝛼
= 𝑝. 𝑑𝑥.
𝑥
𝑑0
 
 
𝑇𝑥 = ∫
𝑝
𝑑0
𝑥. 𝑑𝑥 =
1
2
.
𝑝
𝑑0
(
𝐴2
4
− 𝑥2)
𝐴/2
𝑥
 
 
𝑇𝑥 =
1
2
.
𝑝(𝐴 − 𝑎𝑝)
𝐴. 𝑑
(
𝐴2
4
− 𝑥2) 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, 𝑇𝑥 = 𝑇𝑚á𝑥 → 𝑇𝑥 =
1
2
.
𝑃
𝐴
.
(𝐴 − 𝑎𝑝)
𝐴. 𝑑
.
𝐴2
4
 → 𝑇𝑥 =
𝑃
8
.
(𝐴 − 𝑎𝑝)
𝑑
 
P
0
d
0
dN
x dyy
dT
dT
x
dT
y
dx
A
p d
x d
y
B
Figura 114 - Esquema de forças segundo método das bielas 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
151 
 
 
Da mesma forma podemos desenvolver para direção y 
 
 𝑇𝑦 =
𝑃
8
.
(𝐵 − 𝑏𝑝)
𝑑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão máxima na biela de compressão é defina nas relações: 
σc =
dN
ds
 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜, 𝑑𝑠 =
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
 
A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α= α0) e a tensão ocorre no 
ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta: 
ds
d
d
0
=
(A
.d
)/
(A
-a
p
)
ap
A/2 A/2
 x
d
0
d
dxAs
P
2dP
0
A
dT
p dx=dP
dT
dP
dN
α β 
α α 
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152 
 
𝜎𝑐 =
𝑃
𝑎𝑝
. [1 +
(𝐴 − 𝑎𝑝)2
4 − 𝑑02
] 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑0 =
𝐴. 𝑑
(𝐴 − 𝑎𝑝)
 (𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑘𝑁) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As armaduras são: 
𝐴𝑠𝑥 = 𝐴𝑠, 𝐴 =
𝑇𝑥𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠𝑦 = 𝐴𝑠, 𝐵 =
𝑇𝑦𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 
Levando em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é: 
𝜎𝑐,𝑚á𝑥 =
𝑝
𝜆. 𝑎𝑝. 𝑏𝑝
[1 +
(𝐴 − 𝑎𝑝)2 + (𝐵 − 𝑏𝑝)²
4 (
1
1 − 𝜆
)
2
𝑑0²
] 
 
No caso de pilares e sapatas quadradas: 
𝜎𝑐,𝑚á𝑥 =
𝑝
𝜆. 𝐴. 𝑎𝑝
[1 +
1
2
(
𝐴 − 𝑎𝑝
1
1 − 𝜆
. 𝑑0
)
2
] 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜆 =
𝑎𝑝
𝐴
=
𝑏𝑝
𝐵
 (á𝑟𝑒𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠) 
 
h
d
>
1 4
(A
-a
p
)
d>
1
4(B-bp)
B
A
b
p
ap
Asy ou AsB
Asx ou AsA
y
x
Figura 115 - Armaduras de flexão da sapata 
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153 
 
33.1- Resolução do exemplo anterior pelo método das bielas 
Obs.: no exemplo anterior o h=70 cm, vamos manter o mesmo critério de sapata rígida 
segundo a NBR 6118, já que sempre atenderá o método das bielas que tende a ter uma 
altura útil relativamente menor do que estabelecido em Norma! 
 
ℎ ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
3
≥
265 − 80
3
≥ 61,7 𝑐𝑚 
 
𝑡𝑔𝛽 =
𝑑
1
2 (𝐴 − 𝑎𝑝)
=
65
1
2 (265 − 80)
= 0,7027 → 𝛽 = 35,1° 
 
Forças de tração na base da sapata: 
𝑇𝑥 =
𝑃
8
.
(𝐴 − 𝑎𝑝)
𝑑
=
1250
8
.
(265 − 80)
65
= 444,7 𝑘𝑁 
 
𝑇𝑦 =
𝑃
8
.
(𝐵 − 𝑏𝑝)
𝑑
=
1250
8
.
(205 − 20)
65
= 444,7 𝑘𝑁 
 
Obs.: Como a sapata tem balanços iguais aos valores de Tx=Ty, sendo as armadura 
consequentemente iguais! 
 
As armaduras são: 
𝐴𝑠, 𝐴 = 𝐴𝑠, 𝐵 =
𝑇𝑥𝑑
𝑓𝑦𝑑
=
1,4 . 444,7
50
1,15
= 14,32 𝑐𝑚² 
 
Obs.: Com o “Método das Bielas” a armadura de flexão resultou um pouco inferior à 
calculada no Exemplo 1 (A s,A = 15,01 e A s,B = 16,20 cm 2 ), conforme o método do CEB-
70. A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), 
como demonstrado no Exemplo anterior. 
As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e 
escorregamento, conforme apresentado mais à frente. 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
154 
 
 
34- Sapatas sob ações excêntricas 
As ações excêntricas ocorrem nas sapatas quando há a presença de momentos iniciais 
ou quando a carga vertical está aplicada fora do centro de gravidade da base da sapata, 
em caso de sapatas de divisa por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 116 - Sapata com ações excêntricas 
34.1- Excentricidade em uma só direção 
a) Pontode aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (𝑒 <
𝐴
6
) 
Ocorre quando e<A/6, tem-se: 
 
𝜎 =
𝑁
𝐴 . 𝐵
±
𝑀 . 𝑦
𝐼
 
 
A
B
A/6
B
/6
e
N
Nnúcleo
A
A/2 A/2
 eN
H
N
M
d
iv
is
a
σmáx 
σmin 
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155 
 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑁
𝐴 . 𝐵
. (1 +
6𝑒
𝐴
) ; 𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝑁
𝐴 . 𝐵
. (1 −
6𝑒
𝐴
) 
 
 
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central (𝑒 =
𝐴
6
) 
 
𝜎𝑚á𝑥 = 2
𝑁
𝐴 . 𝐵
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central (𝑒 >
𝐴
6
) 
Nesse caso parte da base da sapata e do solo ficam 
sob tensão de tração, ou seja (σmin<0). Neste caso 
um diagrama com tensão acima da linha neutra é 
formado, porém a zona tracionada é desconsiderada! 
 
𝜎𝑚á𝑥 =
2𝑁
3𝐵 (
𝐴
2 − 𝑒)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
A/6
N
A
A/6
B
e
3(A/2 - e)
A0
A0/6
L.N
L.N
N
σmáx 
σmáx 
σmáx,1 
σmin 
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156 
 
34.2- Excentricidade nas duas direções 
Na figura abaixo se mostra em planta uma sapata com excentricidade na duas direções, 
neste caso o equilíbrio é obtido com a pressões atuando em apenas uma parte da área 
da base da sapata: 
 
𝜎 =
𝑁
𝐴. 𝐵
±
𝑀𝐵. 𝑦
𝐼
±
𝑀𝐴. 𝑥
𝐼
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝐴, 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑀𝐴 + 𝐻𝐴. ℎ ; 𝑀𝐵, 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑀𝐵 + 𝐻𝐵. ℎ 
 
𝑒𝐴 =
𝑀𝐴
𝑁
 ; 𝑒𝐵 =
𝑀𝐵
𝑁
 
 
 
 
 
A
B
e
B
eA
N
y
x
B A
MB
N N
MA
HAHB
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157 
 
 
a) Quando 
𝑒𝐴
𝐴
+
𝑒𝐵
𝐵
≤
1
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑁
𝐴. 𝐵
[1 +
6𝑒𝐴
𝐴
+
6𝑒𝐵
𝐵
] ; 𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝑁
𝐴. 𝐵
[1 −
6𝑒𝐴
𝐴
−
6𝑒𝐵
𝐵
] 
 
b) Quando 
𝑒𝐴
𝐴
+
𝑒𝐵
𝐵
>
1
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
e
B
eA
CG
N
y
x
B
e
B
eA
A
y
x
13
4 2
Seção
comprimida
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158 
 
𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎1 =
𝑁
𝜆1. 𝐴. 𝐵
 
 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎4 = 𝜆4. 𝜎1 (Fictício, não considerado) 
 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎4 < 0 
 
Sendo λ1 e λ4, definido no ábaco da figura, Num ponto qualquer de coordenadas (x,y) 
a tensão é: 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎4 + (𝜎1 − 𝜎4).
𝑥
𝐴 +
𝑦
𝐵 [
𝐵
𝐴 𝑡𝑔 𝛼]
1 +
𝐵
𝐴 𝑡𝑔 𝛼
 
 
Obs.: Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento 
mais desfavorável. 
𝜎𝑚á𝑥 = 1,3𝜎𝑎𝑑𝑚 
Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar 
inteiramente comprimida, isto é: 
𝑒𝐴, 𝑔
𝐴
+
𝑒𝐵,𝑔
𝐵
≤
1
6
 
(g=peso próprio e solo sobre a sapata) 
 
 
 
 
 
 
 
Para garantir a segurança contra o tombamento, na condição mais desfavorável, pelo 
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue 
garantindo a condição: 
(
𝑒𝐴
𝐴
)
2
+ (
𝑒𝐵
𝐵
)
2
≤
1
9
 
Gs1
Gb1 Gb2
Gs2
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159 
 
ZONA D 
ZONA C 
ZONA B 
ZONA A 
0 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 
0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
4 
3 1 
2 
y 
x 
ex 
ey 
σ4 σ3 σ2
 
σ1
 
b 
a 
𝜂𝑥 =
𝑒𝑥
𝑎
 
𝜂𝑦 =
𝑒𝑦
𝑏
 
 
𝜂𝑥 ≥ 𝜂𝑦 
Fv 
ZONA A-B-C 
TENSÃO NOS CANTOS 
𝜎1 =
𝐹𝑣
𝜆1. 𝑎𝑏
≤
4
3
𝜎𝑎𝑑𝑚 
𝜎1 = 𝜆4. 𝜎1 (𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜) 
𝜎2 = 𝜎1 − (𝜎1 − 𝜎4)
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 
𝜎3 = 𝜎1 − (𝜎1 − 𝜎4)
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 
 
 
In
fo
rm
aç
ão
 
ad
ic
io
n
al
 
ZONA D 
TENSÃO NO PONTO INTERNO 5 
𝜎5 =
𝐹𝑣
𝜆5. 𝑎𝑏
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 
 
𝜂𝑦 
𝜂𝑥 
Figura 117 - Ábaco de tensões máximas para sapatas sob dupla excentricidade – MONTOYA (1973) 
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160 
 
34.3- Exemplo 3 – Sapata isolada sob força normal e um momento fletor 
Para um pilar de 20x100 cm submetido a uma força de compressão (Nk) de 1.600 kN e 
um momento fletor (Mk) de 10.000 kN.cm, atuando em torno do eixo paralelo ao menor 
lado, dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço 
CA-50 (fyd=43,5 kN/cm²), σadm=0,030 kN/cm² (0,30 MPa), armadura longitudinal do 
pilar composto por barras de Φ=20mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
1. Cálculo das dimensões da sapata, considerando Kmaj-1,05 como estimativa 
do peso próprio da sapata e do solo sobre a mesma: 
 
𝑆𝑠𝑎𝑝 =
𝐾𝑚𝑎𝑗. 𝑁
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
1,05.1600
0,030
= 56.000 𝑐𝑚² 
 
𝐵 =
1
2
(𝑏𝑝 − 𝑎𝑝) + √
1
4
. (𝑏𝑝 − 𝑎𝑝)2 + 𝑆𝑠𝑎𝑝 
 
𝐵 =
1
2
(20 − 100) + √
1
4
. (20 − 100)2 + 56000 = 200,0 𝑐𝑚 
 
𝐴 − 𝑎𝑝 = 𝐵 − 𝑏𝑝 
𝐴 = 𝐵 − 𝑏𝑝 + 𝑎𝑝 = 200 − 20 + 100 = 280 𝑐𝑚 
 
2
0
b
p
100
ap
B
A
Mk
Figura 118 - Descrição sapata Ex.3 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verificações das tensões na base da sapata 
O cálculo da tensão no solo será feito considerando a estimativa do peso próprio da 
sapata e do solo sobre a sapata, pelo fator Kmaj de 1,05. Tensões na base da sapata. 
𝜎 =
𝑁
𝐴. 𝐵
±
𝑀. 𝑦
𝐼
 
 
𝑦 =
𝐴
2
 ; 𝐼 =
𝐵. 𝐴3
12
 
 
𝑒 =
𝑀
𝐾𝑚𝑎𝑗. 𝑁
=
10000
1,05.1600
= 5,95 𝑐𝑚 ; 
𝐴
6
=
280
6
= 46,7 𝑐𝑚 
 
𝑒 = 5,95 <
𝐴
6
= 46,7 𝑐𝑚
− 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑁 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 
A tensão máxima é 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑁
𝐴. 𝐵
(1 +
6𝑒
𝐴
) 
𝜎𝑚á𝑥 =
1,05.1600
280.200
(1 +
6 . 5,95
280
) = 0,0338
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
> 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,03
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 𝑁ã𝑜 𝑜𝑘! 
 
 
B
=
2
0
0
A=280
ap=100
b
p
=
2
0
Figura 119 - Dimensões sapata Ex.3 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
162 
 
Neste caso devemos aumentar a seção da base da sapata, adotando A=300 cm e 
recalcular a dimensão do lado B para se manter as proporções: 
𝐵 = 𝐴 − 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 = 300 − 100 + 20 = 220 𝑐𝑚 
𝑆𝑠𝑎𝑝 = 𝐴. 𝐵 = 300 . 220 = 66.000 𝑐𝑚² 
A excentricidade (e) não se altera, por conta da manutenção das proporções, de modo 
com as novas dimensões a tensão máxima é: 
𝜎𝑚á𝑥 =
1,05.1600
300 . 220
(1 +
6 . 5,95
300
) = 0,0285
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,03
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 𝑜𝑘! 
 
3. Altura da sapata 
Fazendo como sapata rígida, conforme critério da NBR 6118 
ℎ ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
3
≥
300 − 100
3
≥ 66,7 𝑐𝑚 
Obs.: É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de 
ancoragem de armadura assim como visto anteriormente, Φpil (20mm), considerando 
situação de boa aderência, C25, CA-50 (nervurado) tem-se o comprimento de ancoragem 
lb=53 cm na Tabela 27. 
Adotando h=80 cm tem-se a altura útil em: 
𝑑 = ℎ − 5 𝑐𝑚 = 80 – 5 = 75 𝑐𝑚 > 𝑙𝑏 = 53 𝑐𝑚 𝑂𝑘! 
 
Altura da saia 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3
=
80
3
= 26,7 𝑐𝑚
15 𝑐𝑚
 → ℎ0 = 30 𝑐𝑚 
 
O balanço c da sapata, com balanços iguais 
𝐶𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐 =
𝐴 − 𝑎𝑝
2
=
300 − 100
2
= 100 𝑐𝑚 
 
O Ângulo da superfície inclinada da sapata é: 
𝑡𝑔 𝛼 =
ℎ − ℎ0
𝑐
=
80 − 30
100
= 0,5 ; 𝛼 = 26.6° 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
163 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Cálculo momentos fletores segundo CEB-70 
Verificação se o processo CEB-70 pode ser aplicado 
ℎ
2
≤ 𝑐 ≤ 2ℎ → 
80
2
≤ 𝑐 ≤ 2 . 80 → 40 < 𝑐 = 10 < 160 𝑂𝑘! 
 
Obs.: Para o cálculo dos esforços atuantes na sapata (V e M) não é necessário considerar 
o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, poisnão influenciam nesses esforços, 
de modo que o cálculo será feito desconsiderando esse fator 
 
𝑒 =
𝑀𝑑
𝑁𝑑
=
1,4 + 10000
1,4 . 1600
= 6,25 𝑐𝑚 
 
Tensão máxima teórica é: 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑁
𝐴 . 𝐵
. (1 +
6𝑒
𝐴
) 
 
𝜎𝑚á𝑥 =
1,4 . 1600
300 . 220
. (1 +
6 . 6,25
300
) = 0,03818 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
1,4 . 1600
300 . 220
. (1 −
6 . 6,25
300
) = 0,02970 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
B
=
2
2
0
A=300
ap=100
b
p
=
2
0
c
B
=
1
0
0
cA=100
c
B
=
1
0
0
cA=100
Figura 120 - Dimensões finais sapata Ex.3 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
164 
 
Conforme o CEB-70, o momento fletor M1A,d deve ser calculado na seção de referência 
S1A. O cálculo deve compreender o diagrama de reações no solo compreendido entre a 
seção de referência e a extremidade da sapata, onde ocorre a tensão máxima (0,03818 
kN/cm²) 
A distância entre a extremidade da sapata e a 
seção de referência S 1A é: 
 
 
𝑥𝐴 = 𝑐𝑎 + 0,15𝑎𝑝 = 100 + 0,15.100 = 115 𝑐𝑚 
 
 
A tensão no solo na posição da seção S1A é: 
𝑝1, 𝐴 = 0,03818 −
0,03818 − 0,02970
300
. 115
= 0,03493 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
As forças resultantes das tensões, para o diagrama de 
tensões mostrado na figura abaixo são: 
𝑃1 = 0,03493.115 = 4,02 𝑘𝑁 
𝑃2 = (0,03818 − 0,03493).
115
2
= 0,19 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 122 - Reações S1A sapata Ex.3 
2
0
100
2
2
0
300
M
M
N
0,02970
0,03818
Md.y
I
Nd
A.B
Figura 121 - Reações sapata Ex.3 
B
=
2
2
0
A=300
ap=100
b
p
=
2
0
c
B
=
1
0
0
cA=100
c
B
=
1
0
0
cA=100
xA=115
d
=
7
5
h
=
8
0
115
76,7 38,3
57,5 57,5
S1A
0,03818
0,02970
4
,0
2
0
,1
9
P1
P2
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165 
 
𝑀1𝐴, 𝑑 = (4,02.
115
2
+ 0,19. (115.
2
3
)) . 220 = 54.058 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Na dimensão B o momento fletor M1b,d, deve ser calculado na seção de referência S1B, 
considerando a tensão média entre as tensões mínimas e máximas tem-se: 
 
𝑝𝑚é𝑑 =
0,03818 + 0,02970
2
= 0,03394 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1B é: 
𝑥𝐵 = 𝑐𝑏 + 0,15𝑏𝑝 = 100 + 0,15.20 = 103 𝑐𝑚 
 
𝑀1𝐵, 𝑑 = 𝑝𝑚é𝑑
𝑥𝑏2
2
𝐴 = 0,03394
1032
2
300 = 54.010 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
 
Armaduras de flexão 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
0,85. 𝑑. 𝑓𝑑𝑦
 
𝐴𝑠, 𝐴 =
54059
0,85.75.43,5
= 19,50 𝑐𝑚2 → Φ 10mm c/9 cm (8,89 cm²/m) 
𝐴𝑠, 𝐵 =
54010
0,85.75.43,5
= 19,49 𝑐𝑚2 → Φ 10mm c/12 cm (6,67 cm²/m) 
 
0,02970
0,02970
0,02970
0,03394
(valor médio)
0,03818
0,03818S
1A
S1B
p1A=0,03493
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166 
 
5. Verificação da diagonal comprimida na superfície critica C 
Perímetro do pilar: 
𝑢0 = 2(𝑎𝑝 + 𝑏𝑝) = 2(20 + 100) = 240 𝑐𝑚 
 
A força aplicada pelo pilar, sem considerar a possível redução devida a reação de baixo 
pra cima da base da sapata, proveniente do solo é: 
𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝑠𝑑 = 𝛾𝑓.𝑁 = 1,4 . 1600 = 2.240 𝑘𝑁 
Tensão de cisalhamento atuante 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢0. 𝑑
=
2240
240 . 75
= 0,124
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 1,24 𝑀𝑃𝑎 
Tensão de cisalhamento resistente 
𝜏𝑅𝑑, 2 = 0,27. 𝛼𝑣. 𝑓𝑐𝑑 = 0,27 (1 −
25
250
) .
2,5
1,4
= 0,43
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 4,3 𝑀𝑃𝑎 > 1,24 𝑀𝑃𝑎
∴ 𝑂𝑘! 
Portanto não ocorre esmagamento das bielas comprimidas de concreto 
Comprimento de ancoragem lb=38 cm para barras de 10mm, C25, boa aderência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100
8
0
3
0
N1 - 24Ø 10mm C=372 cm
20
20
20
20
N
2
 -
 2
4
Ø
 1
0
m
m
 C
=
2
9
2
 c
m
N2 - 24 c/12
N
1
 -
 2
4
 c
/9
20
2
0
2
0
20
24Ø 10
24Ø 10
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167 
 
34.4- Exemplo 4 – Sapata isolada sob flexão oblíqua 
Dados: 
Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando: 
▪ Seção transversal do pilar: 40x60 cm; Φpilar =22Φ 20mm (parte tracionada) 
▪ Força normal característica Nk=N=1.040 kN 
▪ Concreto C20; aço CA-50; c= 4,5 cm 
▪ Tensão admissível do solo σadm=500 kN/m² 
▪ Momentos fletores solicitantes característicos Mx=280 kN.m ; My= 190 kN.m 
Resolução 
a) Estimativa das dimensões da base da sapata 
Considerando fator Kmaj=1,1 para estimar o peso próprio da laje e do solo sobre ela, 
bem como eventuais cargas sobre o pavimento acima da sapata, tem –se: 
𝑆𝑠𝑎𝑝 =
1,1. 𝑁
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
1,1 . 1040
500
= 2.288 𝑚2 = 22.880 𝑐𝑚² 
Fazendo balanços iguais (ca=cb=c) 
𝐵 =
1
2
(𝑏𝑝 − 𝑎𝑝) + √
1
4
(𝑏𝑝 − 𝑎𝑝)2 + 𝑆𝑠𝑎𝑝 
𝐵 =
1
2
(0,4 − 0,6) + √
1
4
(0,4 + 0,6)2 + 2,288 = 1,42 
Adotando B=145 cm 
𝐴 − 𝑎𝑝 = 𝐵 − 𝑏𝑝 → 𝐴 = 𝐵 − 𝑏𝑝 + 𝑎𝑝 = 140 − 40 + 60 = 165 𝑐𝑚 
A área da base da sapata é: 
𝑆𝑠𝑎𝑝 = 𝐴 . 𝐵 = 165 . 145 = 23.925 𝑐𝑚² 
> 22.880 𝑐𝑚² 𝑂𝑘! 
 
 
 
 
 
 
B
=
1
4
5
A=165
N
My
N
Mx
N
4
0
60
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
168 
 
 
b) Verificação das tensões na base da sapata 
Em função da força normal e dos momentos fletores solicitantes: 
𝑁 = 1.040 𝑘𝑁 ; 𝑀𝑥 = 280 𝑘𝑁.𝑚 ; 𝑀𝑦 = 190 𝑘𝑁.𝑚 
As excentricidades da força vertical são: 
𝑒𝑥 =
280
1040
= 0,270 𝑚 = 27 𝑐𝑚 ; 𝑒𝑦 =
190
1040
= 0,183 𝑚 = 18,3 𝑐𝑚 
 
Cálculo da tensão σ1 com auxílio do ábaco da Figura 117 
𝜂𝑥 =
𝑒𝑥
𝐴
=
27
165
= 0,164 
 → á𝑏𝑎𝑐𝑜 Figuraa117 → 𝜆1 = 0,35, 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝐶 
𝜂𝑦 =
𝑒𝑦
𝐵
=
18,3
145
= 0,13 
 
𝜎1 =
𝐹𝑣
𝜆. 𝐴. 𝐵
≤ 1,3𝜎𝑎𝑑𝑚 ≤ 1,3 . 500 = 650 𝑘𝑁/𝑚² 
 
𝜎1 =
1,1 . 1040
0,35.1,65.1,45
= 1.366,2
𝑘𝑁
𝑚2
≫ 650
𝑘𝑁
𝑚2
 ∴ 𝑛ã𝑜 𝑜𝑘! 
 
Obs.: Será necessário aumentar a seção da base da sapata para a diminuição da tensão 
no solo, desta forma vamos modificar as dimensões para: A=220 cm e B=200 cm e 
ca=cb=c=80cm 
 
𝜂𝑥 =
𝑒𝑥
𝐴
=
27
220
= 0,12 
 
𝜂𝑦 =
𝑒𝑦
𝐵
=
18,3
200
= 0,09 
 
→ á𝑏𝑎𝑐𝑜 Figuraa117 → 𝜆1 = 0,44, 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝐶, 𝛼 = 36°; 𝜆4 = 0,10 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
169 
 
 
Tensões nos vértices da sapata 
𝜎1 =
1,1 . 1040
0,44 . 2,2 . 2,0
= 591 
𝑘𝑁
𝑚2
≫ 650
𝑘𝑁
𝑚2
 ∴ 𝑜𝑘! 
 
𝜎4 = −𝜆4. 𝜎1 = −0,10 . 591 = −59,1
𝑘𝑁
𝑚2
 (𝑓𝑖𝑐𝑡í𝑐𝑖𝑎) 
 
𝜎2 = 𝜎1 − (𝜎1 − 𝜎4)
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 
 
𝜎2 = 591 − (591 − (−59,1))
𝑠𝑒𝑛 36°
𝑠𝑒𝑛 36° + 𝑐𝑜𝑠 36°
= 317,43 𝑘𝑁/𝑚² 
 
𝜎3 = 𝜎1 − (𝜎1 − 𝜎4)
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 
 
𝜎3 = 591 − (591 − (−59,1))
𝑐𝑜𝑠 36°
𝑠𝑒𝑛 36° + 𝑐𝑜𝑠 36°
= 214,46 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
214,46
591
317,43
-59,1
L.N
Figura 123 - Tensões Ex. 4 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
170 
 
 
c) Verificação de tombamento da sapata 
(
𝑒𝑥
𝐴
)
2
+ (
𝑒𝑦
𝐵
)
2
≤
1
9
 → 𝜂𝑥2 + 𝜂𝑦² ≤
1
9
≤ 0,111 
 
0,122 + 0,0092 = 0,023 < 0,11 ∴ 𝑜𝑘! 
 
 
 
d) Determinação da altura da sapata 
Pelo critério da NBR 6118 
ℎ ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
3
≥
220 − 60
3
≥ 53,3 𝑐𝑚 
 
Obs.: Para a armadura do pilar (22 Φ 20mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o 
comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para Φ20mm, C20, boa 
aderência, com gancho, resulta lb=61 cm 
Como d>lb=61 cm 
Será adotado h=75 cm e d=75-5=70 cm > lb=61 cm Ok! 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3
=
75
3
= 25 𝑐𝑚
15 𝑐𝑚
 → ℎ0 = 35 𝑐𝑚 
 
e) Determinação dos momentos fletores conforme CEB-70 
Verificação: 
ℎ
2
≤ 𝑐 ≤ 2ℎ → 
75
2
≤ 80 ≤ 2 . 75 → 𝑜𝑘! 
 
Seções de referência: 
𝑥𝐴 = 𝑐𝑎 + 0,15𝑎𝑝 = 80 + 0,15.60 = 89 𝑐𝑚 
𝑥𝐴 = 𝑐𝑏 + 0,15𝑏𝑝 = 80 + 0,15.40 = 86 𝑐𝑚 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
171 
 
 
Obs.: Para simplificação podemos admitir um tensão uniforme de referência como:𝜎𝑟𝑒𝑓 ≥ {
2
3
𝜎𝑚á𝑥
𝜎𝑚é𝑑
 
Como simplificação a favor da segurança vamos considerar a maior tensão entre aquelas 
na metade dos lados A e B 
𝑝𝐴 =
591 + 317
2
= 454
𝑘𝑁
𝑚2
 ; 𝑝𝐵 =
591 + 215
2
= 403 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Dimensão A (S1A): 
𝑀𝐴 = 𝑝
𝑥𝐴²
2
𝐵 = 454 .
0,892
2
 . 2,0 = 359,61 𝑘𝑁.𝑚 = 35.961 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝐴, 𝑑 = 1,4 . 35961 = 50.346 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
Dimensão B (S1B): 
𝑀𝐵 = 𝑝
𝑥𝐵²
2
𝐴 = 403 .
0,862
2
 . 2,2 = 327,86 𝑘𝑁.𝑚 = 32.786 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝐵, 𝑑 = 1,4 . 32.786 = 45.901 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
 
214,46
591
317,43
-59,1
E
G
97
302
F
H
S1B
S1
A
473
45
4
xA=89
A=220
165
B=
20
0
xB
=8
9
403
439
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172 
 
𝐴𝑠, 𝐴 =
50346
0,85.70.43,5
= 19,45 𝑐𝑚2 → Φ 12,5mm c/12 cm ( 10,42cm²/m) 
𝐴𝑠, 𝐵 =
45901
0,85.70.43,5
= 17,73 𝑐𝑚2 → Φ 12,5mm c/15 cm (8,33 cm²/m) 
 
f) Verificação da diagonal comprimida na superfície critica C 
Perímetro do pilar: 
𝑢0 = 2(𝑎𝑝 + 𝑏𝑝) = 2(40 + 60) = 200 𝑐𝑚 
Força aplicada pelo pilar 
𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝑠𝑑 = 𝛾𝑓.𝑁 = 1.4 . 1040 = 1456 𝑘𝑁 
Tensão de cisalhamento atuante 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢0.𝑑
=
1456
200 .70
= 0,104
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 1,04 𝑀𝑃𝑎 
Tensão de cisalhamento resistente 
𝜏𝑅𝑑, 2 = 0,27. 𝛼𝑣. 𝑓𝑐𝑑 = 0,27 (1 −
20
250
) .
2
1,4
= 0,35
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 3,5 𝑀𝑃𝑎 > 1,04 𝑀𝑃𝑎 
Obs.: Não irá ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80
5
0
3
5
N1 - 18Ø 12,5mm C=290 cm
20
20
N
2
 -
 1
6
Ø
 1
2
,5
m
m
 C
=
2
7
0
 c
m
N2 - 16 c/15
N
1
 -
 1
8
 c
/1
2
20
2
0
2
0
20
210
1
9
0
18Ø 12,5
16Ø 12,5
ØPil
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173 
 
35- Sapata flexível sob carga centrada 
Segundo o critério da NBR 6118, sapatas flexíveis aquelas que: 
ℎ <
𝐴 − 𝑎𝑝
3
 
Sapatas flexíveis são relativamente menos utilizadas que sapatas rígidas, em geral são 
utilizadas em solo com baixa resistência, onde se demanda de uma maior área de 
contato para a reduzir a tensão superficial no solo, sendo por tanto a verificação de 
punção obrigatória, pois o cone de punção pode ficar dentro da sapata. 
Segundo Andrade, os momentos fletores e forças cortantes podem ser calculadas de 
acordo com os critérios: 
a) “Independentes” segundo cada direção, desprezando a inter-relação entre os 
vão, ou seja não se considera a solidariedade entre as armadura e o efeito painel 
 
b) Segundo cada direção com um determinado quinhão de carga, determinados 
geometricamente e empiricamente, dividindo a área da sapata em “áreas de 
influência”, que podem ser retangulares, triangulares ou trapezoidais. 
 
Os momentos fletores são calculados segundo duas direções da sapata, nas seções 
correspondentes ao seu centro. As forças cortantes são calculadas nas seções de 
referência 1 e 2, nas faces do pilar, conforme a figura. 
Os momentos fletores são calculados com área triangular e trapezoidal são 
praticamente idênticos, e com área retangular são mais elevados. 
 
 
A tensão aplicada pela sapata no solo é: 
𝑝 =
𝑁
𝐴
 
A1
N4
N4N4
N4N2
N2
A2
22
1
1
22
1
1
22
1
1
A2 A2
A3 A3
A4A4
a) Primeiro critério: áreas 
compostas por retângulos 
a) Segundo critério: áreas 
compostas por triângulos 
c) Segundo critério: áreas 
compostas por trapézios 
Figura 124 - Áreas relativas aos quinhões de carga - BASTOS (2016) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
174 
 
 
A tensão atuante na área do pilar devida a força vertical centrada é: 
𝑃𝑝𝑖𝑙 =
𝑁
𝑎𝑝. 𝑏𝑝
 
a) Áreas composta por retângulos 
O momento fletor máximo relativo ao lado A (maior lado) da sapata é: 
𝑀𝐴 =
1
2
𝑝 (
𝐴
2
)
2
𝐵 −
1
2
𝑃𝑝𝑖𝑙 (
𝑎𝑝
2
)
2
𝑏𝑝 
 
𝑀𝐴 =
𝑁
8
(𝐴 − 𝑎𝑝) 
 
Analogamente para o lado B da sapata: 
𝑀𝐵 =
𝑁
8
(𝐵 − 𝑏𝑝) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força cortante para o lado A da sapata é: 
𝑉𝐴 =
1
2
𝑝(𝐴 − 𝑎𝑝) 
 
𝑉𝐴 =
𝑁
2
(1 −
𝑎𝑝
𝐴
) 
 
Analogamente para o lado B 
22
1
1
N2
N2
Figura 125 - Quinhão de carga por área retangular –
BASTOS (2016) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
175 
 
𝑉𝐵 =
𝑁
2
(1 −
𝑏𝑝
𝐵
) 
b) Áreas compostas por triângulos 
Momento fletor máximo relativo ao lado A: 
𝑀𝐴 =
𝑁
4
(
2
3
𝐴
2
) −
𝑁
4
(
2
3
𝑎𝑝
2
) 
 
𝑀𝐴 =
𝑁
12
(𝐴 − 𝑎𝑝) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força cortante reativo ao lado A: 
𝑉𝐴 = 𝑃
1
2
(𝑁 = 𝑏𝑝)
1
2
(𝐴 − 𝑎𝑝) 
 
𝑉𝐴 =
𝑁
4
(1 −
𝑏𝑝
𝐵
) (1 −
𝑎𝑝
𝐴
) 
 
Analogamente para o lado B: 
𝑀𝐵 =
𝑁
12
(𝐵 − 𝑏𝑝) 
 
𝑉𝐵 =
𝑁
4
(1 −
𝑏𝑝
𝐵
) (1 −
𝑎𝑝
𝐴
) 
 
 
22
1
1
A1
A3
A4
N4
N4
Figura 126 - Quinhões de carga para área triangular – 
BASTOS (2016) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
176 
 
 
c) Áreas compostas por trapézios 
A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com: 
𝑋𝐶𝐺 = (
𝐴 − 𝑎𝑝
6
) (
2𝐵 + 𝑏𝑝
𝐵 − 𝑏𝑝
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento fletor no centro da sapata relativo ao lado A é: 
𝑀𝐴 =
𝑁
4
[(
𝐴 − 𝑎𝑝
6
) (
2𝐵 + 𝑏𝑝
𝐵 + 𝑏𝑝
) +
𝑎𝑝
2
] −
𝑁
4
2
3
𝑎𝑝
2
 
Para ambos os lados: 
𝑀𝐴 =
𝑁
4
[(
𝐴 − 𝑎𝑝
6
) (
2𝐵 + 𝑏𝑝
𝐵 + 𝑏𝑝
) +
𝑎𝑝
6
] 
 
𝑀𝐵 =
𝑁
4
[(
𝐵 − 𝑏𝑝
6
) (
2𝐴 + 𝑎𝑝
𝐴 + 𝑎𝑝
) +
𝑏𝑝
6
] 
 
A força cortante na seção 1 relativo ao lado A é: 
𝑉𝐴 = 𝑃
1
2
(𝐵 + 𝑏𝑝)
1
2
(𝐴 − 𝑎𝑝) 
 
Para os dois lados temos: 
𝑉𝐴 =
𝑁
4
(1 −
𝑏𝑝
𝐵
) (1 −
𝑎𝑝
𝐴
) 
 
22
1
1
A1
A2
A3
A4
N4
N4
Figura 127 - Quinhões de carga por área trapezoidal - 
BASTOS (2016) 
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177 
 
𝑉𝐵 =
𝑁
4
(1 −
𝑏𝑝
𝐵
) (1 −
𝑎𝑝
𝐴
) 
 
Verificação da sapata flexível à força cortante quando bw≤5d 
A força cortante nas sapata pode ser verificada como na lajes quando bw≤5d (NBR 6118, 
item 19.4), onde bw é a largura da sapata na direção considerada. As lajes necessitam 
de armadura transversal à força cortante quando: 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 
Sendo: 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑. 𝐾(1,2 + 1,4𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤. 𝑑 
Onde: 
τRd= Tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento 
K= Coeficiente igual a 1 para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o 
apoio, para os demais casos K=|1,6-d|>1, com d em metros. 
𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤. 𝑑
≤ 0,02 
 
𝜎𝑐𝑝 =
𝑁𝑠𝑑
𝐴𝑐
 
 
Nsd= Força longitudinal na seção derivada à pretensão ou carregamento (Compressão 
passiva); 
As1=Área da armadura de flexão que se estende pelo menos d+lb,nec além da seção 
considerada. 
 
35.1- Exemplo Sapata flexível 
Para um pilar de 20x100 cm submetido a uma força de compressão (Nk) de 1.600 kN e 
um momento fletor (Mk) de 10.000 kN.cm, atuando em torno do eixo paralelo ao menor 
lado, dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço 
CA-50 (fyd=43,5 kN/cm²), σadm=0,030 kN/cm² (0,30 MPa), armadura longitudinal do 
pilar composto por barras de Φ=20mm. 
Obs.: Essa é a mesma sapata do exemplo 3. 
Esse exemplo foi resolvido como sapata rígida e tem suas dimensões apresentadas na 
figura abaixo, para que seja considerada como sapata flexível, pelo critério da NBR 6118 
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178 
 
a sapata deve ter h<66,7cm. Como a armadura do pilar tem lb=53, deve-se atender esse 
valor, sendo assim a sapata será flexível adotando h=60 cm, pois: 
𝑑 = ℎ − 5 𝑐𝑚 = 60 − 5 = 55 𝑐𝑚 > 𝑙𝑏 = 53 𝑐𝑚 ∴ 𝑜𝑘! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Momentos fletores e forças cortantes 
As formulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste 
exemplo, onde ocorre momento fletor e a tensão no solo na base da sapatanão é 
uniforme, é necessário adotar um critério de modo a uniformizar a tensão. Um critério 
simples é: 
𝑃𝑑 = 𝜎𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑑 ≥ {
0,8. 𝜎𝑚á𝑥 = 0,8 . 0,03818 = 0,03054
𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎min
2
=
0,02970 + 0,03818
2
= 0,03394
 
𝑃𝑑 = 0,03394 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Figura 128 - Dimensões da sapata Ex. 5 
B
=
2
2
0
A=300
ap=100
b
p
=
2
0
c
B
=
1
0
0
cA=100
c
B
=
1
0
0
cA=100
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179 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com Pd pode-se determinar Nd: 
𝑃𝑑 =
𝑁𝑑
𝐴. 𝐵
 → 𝑁𝑑 = 𝑃𝑑. 𝐴. 𝐵 = 0,03394.300.220 = 2.240 𝑘𝑁 
 
Os momentos fletores são: 
B
=
2
2
0
A=300
2
3 A/2
100
ap=100
b
p
=
2
0
0,02970
0,03818
pd=0,03394
2
0
100
2
2
0
300
M
M
N
0,02970
0,03818
Md.y
I
Nd
A.B
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180 
 
𝑀𝐴, 𝑑 =
𝑁𝑑
12
(𝐴 − 𝑎𝑝) =
2240
12
(300 − 100) = 37.333 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
𝑀𝐵, 𝑑 =
𝑁𝑑
12
(𝐵 − 𝑏𝑝) =
2240
12
(220 − 20) = 37.333 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
As forças cortantes atuantes são: 
𝑉𝐴, 𝑑 = 𝑉𝑏, 𝑑 =
𝑁𝑑
4
(1 −
𝑏𝑝
𝐵
) . (1 −
𝑎𝑝
𝐴
) =
2240
4
(1 −
20
220
) . (1 −
100
300
) = 339,4 𝑘𝑁 
 
A verificação da sapata a força cortante pode ser feita conforme: 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 
Sendo: 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑. 𝐾(1,2 + 1,4𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤. 𝑑 
 
b) Área por trapézio 
Os momentos fletores são: 
𝑀𝐴, 𝑑 =
𝑁𝑑
4
[(
𝐴 − 𝑎𝑝
6
) (
2𝐵 + 𝑏𝑝
𝐵 + 𝑏𝑝
) +
𝑎𝑝
6
] 
 
𝑀𝐴, 𝑑 =
2240
4
[(
300 − 100
6
) (
2.220 + 20
220 + 20
) +
100
6
] = 45.111 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
𝑀𝐵, 𝑑 =
2240
4
[(
220 − 20
6
) (
2.300 + 100
300 + 100
) +
20
6
] = 34.533 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
181 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: As forças cortantes são as mesmas para áreas em triângulos 
 
 
𝑉𝐴, 𝑑 = 𝑉𝑏, 𝑑 =
𝑁𝑑
4
(1 −
𝑏𝑑
𝐵
) . (𝑎 −
𝑎𝑝
𝐴
) =
2240
4
(1 −
20
220
) . (1 −
100
300
) = 339,4 𝑘𝑁 
 
c) Amadura de flexão 
Adotando os momentos fletores calculados para área de trapézios, por serem maiores, 
tem-se: 
𝐴𝑠, 𝐴 =
𝑀𝑑
0,85. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
=
45111
0,85 . 55 . 43,5
= 22,19 𝑐𝑚2 
 
22,18
220
. 100 = 10,08
𝑐𝑚2
𝑚
 ≅ ᴓ12.5𝑚𝑚 𝑐/ 12𝑐𝑚 
 
𝐴𝑠, 𝐵 =
𝑀𝑑
0,85. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
=
34533
0,85 . 55 . 43,5
= 16,99 𝑐𝑚2 
 
16,98
300
. 100 = 5,66
𝑐𝑚2
𝑚
 ≅ ᴓ10𝑚𝑚 𝑐/ 14𝑐𝑚(5,71
𝑐𝑚2
𝑚
) 
 
B
=
2
2
0
300
ap=100
b
p
=
2
0
N/4
pd=0,03394
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182 
 
 
Taxas de armadura, considerando as armadura efetivas: 
𝜌𝐴 =
𝐴𝑠
100𝑑
=
10,00
100 . 55
= 0,001818 𝑐𝑚2/𝑚³ 
 
𝜌𝐵 =
𝐴𝑠
100𝑑
=
5,71
100 . 55
= 0,001038 𝑐𝑚2/𝑚³ 
 
d) Verificação da punção 
Verificação da superfície critica C’ 
Os balanços da sapata são iguais, 
 𝑐𝐵 = 𝑐𝐴 = 100 𝑐𝑚 
2𝑑 = 2.55 = 110 > 𝑐𝐴 = 𝐶𝑏 = 100 Se 
2𝑑 > 𝑐𝐴 𝑜𝑢 2𝑑 > 𝑐𝐵, deve-se adotar para 
a* o menor valor entre cA e cB, neste caso 
então será: 𝑎 ∗= 𝑐𝐵 = 𝑐𝐴 = 100 𝑐𝑚 
 
 
 
Tensão de cisalhamento solicitante (τsd) para sapata com um momento fletor 
solicitante: 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢 𝑑
+
𝐾.𝑀𝑠𝑑
𝑊𝑝. 𝑑
 
Área limitada pelo contorno C’: 
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑡, 𝐶′ = 𝑎𝑝. 𝑏𝑝 + 2𝑎∗𝑎𝑝 + 2𝑎∗𝑏𝑝 + 𝜋(𝑎∗)² 
 
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑡, 𝐶′ = 100 . 20 + 2 . 100 . 100 + 2 . 100 . 20 + 𝜋(100)2 = 57.415 𝑐𝑚² 
 
Com a tensão média na base da sapata de Pd=0,03394 kN/cm², a força na área 𝐴𝑐𝑜𝑛𝑡, 𝐶’ 
devida a tensão (reação) do solo é: 
∆𝐹𝑠𝑑 = 𝑃𝑑 . 𝐴𝑐𝑜𝑛𝑡, 𝐶′ = 0,03394 . 57415 = 1.948,7 𝑘𝑁 
 
B
=
2
2
0
A=300
a*
a
*
C
C'
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183 
 
Força sobre a sapata reduzida da reação do solo: 
𝐹𝑠𝑑, 𝑟𝑠 = 𝐹𝑠𝑑 − ∆𝐹𝑠𝑑 = (1,4 . 1600) − 1948,7 = 291,3 𝑘𝑁 
 
Perímetro u* do contorno C’ 
𝑢∗ = 2𝑎𝑝 + 2𝑏𝑝 + 2𝜋𝑎∗ → 𝑢∗ = 2 . 100 + 2 . 20 + 2𝜋 . 100 = 868,32 𝑐𝑚 
 
Parâmetro K, depende de C1 e C2: 
 
 
 
 
 
 
𝐶1 = 𝑎𝑝 = 100𝑐𝑚 ; 𝐶2 = 𝑏𝑝 = 20 𝑐𝑚 → 
𝐶2
𝐶1
=
100
20
= 5 Tabelaa26 
 
 
 
𝑊𝑝 =
𝐶12
2
+ 𝐶1. 𝐶2 + 4𝐶2. 𝑑 + 16. 𝑑2 + 2𝜋. 𝑑. 𝐶1 (𝑃𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 
 
Com d=a*=100 cm 
𝑊𝑝 =
100²
2
+ 100.20 + 4 . 20 . 100 + 16 . 1002 + 2𝜋 . 100 . 100 = 237.832 𝑐𝑚² 
 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢∗𝑑
+
𝐾.𝑀𝑠𝑑
𝑊𝑝. 𝑑
=
291,3
(868,3 . 25)
+
0,8(1,4.10000)
237832 . 25
= 0,01531
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 0,153 𝑀𝑃𝑎 
 
Onde d=h0-5=30-5=25 cm (d é altura útil em C’) 
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’, com d=25 cm (h0-5): 
C
2
b
p
e1
C1
ap
N
Msd
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184 
 
𝜏𝑅𝑑1 = 0,13(1 + √
20
𝑑
) √100𝜌 𝑓𝑐𝑘
3 2𝑑
𝑎∗
≤ 0,5 𝑓𝑐𝑑2 
 
0,5 𝑓𝑐𝑑2 = 0,5 [0,6 (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
)] 𝑓𝑐𝑑 = 0,5 [0,6 (1 −
25
250
)]
2,5
1,4
= 0,482
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
0,5 𝑓𝑐𝑑2 = 4,82 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏𝑅𝑑1 = 0,13(1 + √
20
25
) √100 . 0,00104 . 25
3 2 . 25
100
= 0,1693 𝑀𝑃𝑎 < 4,82 𝑀𝑃𝑎 𝑂𝑘! 
 
Não é necessário colocar armadura de punção, pois: 
 
𝜏𝑠𝑑 = 0,153 𝑀𝑃𝑎 < 𝜏𝑅𝑑1 = 0,1693 𝑀𝑃𝑎 
 
 
Obs.: Quando houver essa necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para 
evitar tal necessidade, uma vez que essa armadura especifica é relativamente difícil de 
se executar no canteiro de obras. 
 
36- Sapata Corrida 
Sapata corrida são aquelas que recebem cargas linearmente distribuídas, onde uma das 
suas dimensões é consideravelmente maior que as demais dimensões, um exemplo da 
utilização desse tipo de sapata é para receber cargas de um muro de concreto, 
estruturas de contenção, alvenaria estrutural, etc. 
Assim como as sapatas isoladas também são divididas em rígidas e flexíveis, seguindo o 
mesmo critério da NBR 6118. Como as bielas de compressão são íngremes, surgem 
tensões de aderência elevadas na armadura principal As. Que provocam riscos de 
ruptura da aderência e ruptura do concreto de cobrimento por fendilhamento, nesses 
casos é interessante trabalhar com bitolas de diâmetro menores e consequentemente 
espaçamentos menores. 
Nas sapatas corridas flexíveis, se faz obrigatória verificação da ruptura por punção! 
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185 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para as alturas recomenda-se adotar: 
 
ℎ ≥ 15 𝑐𝑚 (𝑛𝑎𝑠 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) 
ℎ0 ≥ 10 𝑜𝑢 15 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
São considerados diagramas simplificados quanto a distribuição de pressões no solo, 
para tornar o cálculo mais prático assim como indica as figura abaixo. 
 
A indicação de Guerrin é: 
a) Solos rochosos 
- Sapata rígida: diagrama bi triangular (a); 
A) B) C)
N N N
45
°
Fissura
As (principal)
Armadura
secundária
Biela
comprimida
h
h
0
h
Figura 129 - Fissuras na sapata corrida e biela de 
compressão 
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186 
 
-Sapata flexível: diagrama retangular (b); 
b) Solos coesivos: diagrama retangular; 
-(b) em todos os casos; 
 
c) Solos arenosos; 
-Sapata rígida: diagrama retangular (b); 
-Sapata flexível: diagrama triangular (c). 
 
36.1- Sapata corrida rígida 
As sapatas corridas em geral, como dito anteriormente são utilizadas para cargas de 
muros e paredes com cargas relativamente altas sobre solo com boa capacidade de 
suporte. 
Assim como as sapatas isoladas, os momentos fletores são calculados na seção de 
referência S1, conforme o CEB-70. As verificações e o dimensionamento das armaduras 
podem ser feitos da mesma forma das sapatas isoladas, com a diferença de considerar 
uma das dimensões com um tamanho unitário (B=1m) assim como acontece no 
dimensionamento de lajes! 
O método das bielas, também pode ser 
utilizado, desde que obedecidoo limite para a 
altura útil 
𝑑 ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
4
 
 
 
Dimensionamos as armaduras principais 
para a força Tx 
𝑇𝑥 =
𝑁
8
(
𝐴 − 𝑎𝑝
𝑑
) → 𝑇𝑥𝑑 = 𝛾𝑓. 𝑇𝑥 
 
𝐴𝑠𝑥 = 𝐴𝑠, 𝐴 =
𝑇𝑥𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 
 
ap
h
A
Figura 130 - Seção transversal esquemática sapata 
corrida 
β 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
187 
 
Obs.: Em sapatas corridas não ocorre o fenômeno de punção, porém é necessário a 
verificação na tensão de compressão na diagonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36.2- Sapata corrida flexível 
Com duas armaduras, uma principal e outra 
secundária, a sapata corrida flexível é 
dimensionada de modo a resistir aos 
momentos fletores máximos, solicitados no 
eixo da parede e para os esforços cortantes 
atuando da seção correspondente a face da 
parede que se apoia na sapata, assim como a 
sapata corrida rígida, todos esses esforços são 
calculados considerando uma seção unitária 
(B=1 m). 
Pressão no solo: 
𝑝 =
𝑁
𝐴
 
 
Pressão sob a parede: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 =
𝑁
𝑎𝑝
 
 
Força cortante (máxima) na seção correspondente a parede: 
𝑉 =
1
2
(𝐴 − 𝑎𝑝)𝑝 
d
A
h
0
ap
M
N
As principal
As sec
V
p
Figura 132 - Esquema sapata corrida flexível 
ap
d
0
d
A
N
Tx
Figura 131 - Esquema de tensões internas em 
sapata corrida 
β 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
188 
 
𝑉 =
𝑁
2
(1 −
𝑎𝑝
𝐴
) 
 
Momento fletor (máximo) no centro da sapata 
𝑀 =
1
2
𝑝 (
𝐴
2
)
2
−
1
2
 𝑃𝑝𝑎𝑟 (
𝑎𝑝
2
)
2
=
𝑝𝐴2
8
−
𝑃𝑝𝑎𝑟 − 𝑎𝑝2
8
 
𝑀 =
𝑁
8
(𝐴 − 𝑎𝑝) 
 
A armadura secundária (As,sec), também chamada de armadura de distribuição, deve 
ter área: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑒𝑐 ≥ {
1
5
𝐴𝑠, 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐
0,9 𝑐𝑚2/𝑚
 
 
As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçado com barras construtivas, como 
indicado na figura 
 
 
 
 
 
36.3- Exemplo 6 – Sapata corrida rígida 
Dimensionar a sapata rígida pelo método das bielas, sob uma parede corrida de 
concreto de 20cm de largura com carga vertical N=200 kN/m (20 tonf/m), com os dados: 
▪ σadm= 1,1 kgf/cm² = 11 tonf/m² = 0,011 kN/cm² = 0,11 MPa 
▪ Concreto C20; aço CA-50; c= 4,5 cm 
▪ C=4,5 cm 
▪ Kmaj=1,05 
 
 
 
Øl
Figura 133 - Reforço das bordas sapata corrida flexível 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
189 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Largura da sapata 
Para o dimensionamento das dimensões devemos considerar a seção unitária, devido 
a carga linearmente distribuída, desta forma podemos considerar que a dimensão A 
será: 
𝐴. 1 =
𝐾𝑚𝑎𝑗. 𝑁
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
1,05 . 2,0
0,011
= 190,9 𝑐𝑚 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 = 190 𝑐𝑚 
Para os balanços temos 
𝑐 =
𝐴 − 𝑎𝑝
2
=
190 − 20
2
= 85 𝑐𝑚 
 
b) Altura da sapata 
-Pelo critério da NBR 6118: 
ℎ ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
3
≥
190 − 20
3
≥ 56,7 𝑐𝑚 
 
 
-Pelo método das bielas: 
𝑑 ≥
𝐴 − 𝑎𝑝
4
≥
190 − 20
4
≥ 42,5 𝑐𝑚 
 
Adotando h=60 cm e d=h-(c+1)=54,5 cm, verifica-se que o método das bielas, pode ser 
aplicado e a sapata é classificada como rígida conforme a NBR 6118, e considerando 
também que a altura da sapata possibilite a ancoragem da armadura principal da parede 
c) Armadura 
Força de tração na armadura principal 
ap=20c=90
d h
A
h
0
N
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190 
 
𝑇𝑥 =
𝑁
8
(
𝐴 − 𝑎𝑝
𝑑
) =
200
8
(
190 − 20
54.5
) = 77,98 𝑘𝑁/𝑚 
 
𝐴𝑠, 𝑥 = 𝐴𝑠, 𝐴 =
𝑇𝑥𝑑
𝑓𝑦𝑑
=
1,4 . 77,98
43,5
= 2,51
𝑐𝑚2
𝑚
= 0,0251 𝑐𝑚2/𝑐𝑚 
 
Para Φ8mm (área = 0,50 cm²) temos: 
𝑠 =
0,5
0,0251
= 20,08 𝑐𝑚 
Obs.: É conveniente que o espaçamento seja menor que 20 ou 25 cm, para tal vamos 
diminuir a bitola para diminuir o espaçamento e atender essa condição! 
Considerando Φ6,3mm (área=0,31 cm²) temos: 
𝑠 =
0,31
0,0249
= 12,45 𝑐𝑚 < 20 𝑐𝑚 ∴ 𝑂𝑘! 
 
Para a armadura de distribuição temos: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑒𝑐 ≥ {
1
5
𝐴𝑠, 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐
0,9
𝑐𝑚2
𝑚
≥ {
2,49
5
= 0,50 𝑐𝑚2
0,9
𝑐𝑚2
𝑚
 ∴ 𝐴𝑠, 𝑑𝑖𝑠𝑡 = 0,9 𝑐𝑚2/𝑚 
Considerando Φ5mm (área=0,20 cm²) temos: 
𝑠 =
0,2
0,009
= 22,22 𝑐𝑚 > 20 𝑐𝑚 ∴ 𝑁ã𝑜 𝑂𝑘, 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑠 = 20𝑐𝑚 
 
 
d) Detalhamento da sapata 
Assim como nos outros exemplos temos que garantir a ancoragem das armaduras 
principais, para isso podemos fazer um gancho vertical com dimensões de h0-10cm, 
sendo: 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3
=
60
3
= 20𝑐𝑚
15 𝑐𝑚
 ∴ ℎ0 = 20𝑐𝑚 
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191 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 – Sapata Corrida flexível 
Dimensionar a sapata rígida pelo método das bielas, sob uma parede corrida de 
concreto de 20cm de largura com carga vertical N=200 kN/m (20 tonf/m), com os dados: 
Obs.: Considerar sapata flexível 
▪ σadm= 1,1 kgf/cm² = 11 tonf/m² = 0,011 kN/cm² = 0,11 MPa 
▪ Concreto C20; aço CA-50; c= 4,5 cm 
▪ C=4,5 cm 
▪ Kmaj=1,05 
 
a) Altura da sapata flexível 
Critério da NBR 6118 para sapata flexível: 
ℎ <
𝐴 − 𝑎𝑝
3
<
190 − 20
3
< 56,7 𝑐𝑚 
 
Adotando h=50 cm 
b) Esforços solicitantes e armadura de flexão 
𝑉 =
𝑁
2
(1 −
𝑎𝑝
𝐴
) =
200
2
(1 −
20
190
) = 89,5
𝑘𝑁
𝑚
 (𝑉 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒) 
 
𝑀 =
𝑁
8
(𝐴 − 𝑎𝑝) =
200
8
(190 − 20) = 4.250 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
Dimensionamento da flexão 
d
=
5
5
h
=
6
0
h
0
=
2
0
Ø6,3 c/12
Ø5 c/20
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192 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
0,85. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
=
1,4.4250
0,85 . 45 . 43,5
= 3,58 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Considerando Φ6,3mm (área=0,31 cm²) temos: 
𝑠 =
0,31
0,0358
= 8 𝑐𝑚 < 20 𝑐𝑚 ∴ 𝑂𝑘! 
 
Ou considerando Φ8mm (área=0,5 cm²) temos: 
𝑠 =
0,5
0,0358
= 14 𝑐𝑚 < 20 𝑐𝑚 ∴ 𝑂𝑘! 
 
Para a armadura de distribuição temos: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑒𝑐 ≥ {
1
5
𝐴𝑠, 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐
0,9
𝑐𝑚2
𝑚
≥ {
3,58
5
= 0,72 𝑐𝑚2
0,9
𝑐𝑚2
𝑚
 
∴ 𝐴𝑠, 𝑑𝑖𝑠𝑡 = 0,9 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Considerando Φ5mm (área=0,20 cm²) temos: 
𝑠 =
0,2
0,009
= 22,22 𝑐𝑚 > 20 𝑐𝑚 
∴ 𝑁ã𝑜 𝑂𝑘, 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑠
= 20𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ap=20c=85
d
=
4
5
h
=
5
0
A=190
h
0
=
2
0
M
V
C
20
100
Figura 134 - Diagrama e dimensões 
sapata ex. 7 
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193 
 
c) Verificação da diagonal comprimida 
Verificação da superfície critica C, considerando 1m de comprimento da sapata: 
𝑢0 = 2(20 + 100) = 240 𝑐𝑚 
𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝑠𝑑 = 1,4 . 200 = 280
𝑘𝑁
𝑚
 
Tensão de cisalhamento atuante: 
𝜏𝑠𝑑 =
𝐹𝑠𝑑
𝑢0. 𝑑
=
280
240 . 45
= 0,0259 𝑘𝑁/𝑐𝑚²/𝑚 
 
Tensão de cisalhamento resistente: 
𝜏𝑅𝑑2 = 0,27𝛼𝑣. 𝑓𝑐𝑑 = 0,27. (1 −
20
250
)
2,0
1,4
= 0,355 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜏𝑠𝑑 = 0,259 𝑀𝑃𝑎 < 𝜏𝑅𝑑2 = 3,55 𝑀𝑃𝑎 ∴ 𝑜𝑘! 
 
d) Verificação da força cortante 
Assim como nas lajes maciças, devemos seguir o seguinte procedimento: 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑. 𝐾. (1,2 + 40𝜌) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤. 𝑑 
 
𝜌1 =
3,58
100.45
= 0,000796 
 
𝐾 = |1,6 − 𝑑| > 1 = |1,6 − 0,45| = 1,15 > 1 
 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25. 𝑓𝑐𝑑 = 0,25.
0,7 . 0,3 . √202
3
1,4
= 0,276 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑉𝑅𝑑1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,0008)]100 . 45 = 175,03 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 . 89,5 = 125,3
𝑘𝑁
𝑚
< 𝑉𝑅𝑑1 = 175,03
𝑘𝑁
𝑚
 
Obs.: Desta forma não é necessário colocar armadura transversal 
 
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194 
 
e) Detalhamento da sapata 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificação da estabilidade de sapatas 
Quando as sapata são submetidas a forças horizontais é preciso garantir a estabilidade 
ao escorregamento e ao tombamento, para isso podemos seguir o procedimento 
abaixo: 
a) Segurança ao tombamento 
A verificação ao tombamento deve ser feita comparando os momentos fletores em 
torno de um dado ponto 
Momento de tombamento: 
𝑀𝑡𝑜𝑚𝑏 = 𝑀 + 𝐹ℎ. ℎ 
Momento estabilizador:𝑀𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏 = (𝑁 + 𝑃).
𝐴
2
 
Obs.: Neste caso o solo sobre a sapata pode ser considerado no momento 
estabilizador, o coeficiente de segurança deve ser de no mínimo ≥1,5; 
𝛾𝑡𝑜𝑚𝑏 =
𝑀𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏
𝑀𝑡𝑜𝑚𝑏
≥ 1,5 
 
b) Segurança ao escorregamento 
A segurança de escorregamento é garantida quando a força de atrito entre a base da 
sapata e o solo supera a ação das forças horizontais aplicadas. 
 
Obs.: O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter 
garantia de sua atuação permanente. 
h
0
=
2
0
d
=
4
5
h
=
5
0
Ø8 c/13 Ø5 c/20
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195 
 
 
(𝑁 + 𝑃)𝑡𝑔𝜙 = 𝐹ℎ. 𝛾𝑒𝑠𝑐 
Sendo: 
𝑡𝑔𝜑 = µ = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 
𝜑 = Ângulo de atrito entre os dois materiais (concreto x solo), não maior que o ângulo 
de atrito interno do solo 
 
Outro modelo também aceito é: 
𝐹𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏 = 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 + 𝑐𝑜𝑒𝑠ã𝑜 
𝐹𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏 = (𝑁 + 𝑃)𝑡𝑔 (
2
3
𝜙) + 𝐴 (
2
3
𝑐) 
𝜙 = Ângulo de atrito interno do solo; 
c= Coesão 
A=Dimensão da base em contato com o solo 
 
𝛾𝑒𝑠𝑐 =
𝐹𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏
𝐹𝐻
≥ 1,5 
Obs.: No caso de armaduras com diâmetro igual ou superior a 20mm (25mm segundo a 
NBR), e de feixes de barras é importantes verificar a aderência com o concreto, de modo 
a evitar o escorregamento da armadura junto a interface de concreto. 
37- Viga alavanca em sapatas de divisa 
Viga alavanca também conhecida como viga de equilíbrio tem a função de redistribuir 
os esforços de momentos oriundos de uma excentricidade gerada por um pilar fora do 
centro de gravidade do elemento de fundação, isso geralmente ocorre em sapatas de 
divisa onde o bloco tem uma das suas faces alinhadas com a face do pilar, gerando assim 
uma excentricidade, e como sabemos excentricidades estão diretamente ligadas a 
momentos, momentos esses que costumam ter valores bem elevados resultando em 
uma alta taxa de armadura desses elementos para conseguir absorver todas essas 
tensões. 
 
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196 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 135 - Notações de sapata com viga alavanca 
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197 
 
Área da sapata de divisa sob o pilar P1 
𝑆1 = 𝐴1 . 𝐵1 
 
Considerando o fator Kmaj para estima o peso próprio da sapata: 
𝑆1 = 𝐾𝑚𝑎𝑗
𝑅1
𝜎𝑎𝑑𝑚
 
 
Excentricidade e1 e reação R1 
𝛴𝑀(𝑁2) = 0 → 𝑁1. 𝑧 = 𝑅1(𝑧 − 𝑒1) 
 
𝑅1 =
𝑁1. 𝑧
𝑧 − 𝑒1
 
 
Da geometria da sapata de divisa: 
𝑒1 =
𝐵1
2
−
𝑏𝑝𝑙
2
 
 
37.1- Roteiro de cálculo 
O principal objetivo do roteiro é estimar as dimensões da sapata de divisa (A1 e B1) 
1) Assumir um valor para reação preliminar na sapata de divisa R1’; 
𝑅1’ = 1,2𝑁1 
2) Calcular a área de apoio da sapata de divisa 
𝑆1′ = 𝐾𝑚𝑎𝑗.
𝑅1′
𝜎𝑎𝑑𝑚
 
3) Escolher as dimensões da sapata de divisa; 
𝐴1
𝐵1
≤ 3 
Adotando A1=2B1 com S1’=A1’.B1’, temos: 
𝑆1′ = 2𝐵1′. 𝐵1′ → 𝐵1′ = √
𝑆1′
2
 → 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐵1′𝑐𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 
 
 
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198 
 
4) Cálculo da excentricidade e1: 
𝑒1′ =
𝐵1′
2
−
𝑏𝑝𝑙
2
 
5) Cálculo de R1’’: 
𝑅1′′ = 𝑁1
𝑧
𝑧 − 𝑒1′
 
6) Comparar R1’ e R1’’ 
• 𝑆𝑒 𝑅1’ = 𝑅1’’, 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑅1 = 𝑅1’ → 𝐵1 = 𝐵1′ 𝑒 𝐴1 =
𝑆1′
𝐵1
 
 
• 𝑆𝑒 0,95𝑅1′′ ≤ 𝑅1′ ≤ 1,05𝑅1′′ 
𝐵1 = 𝐵1′ → 𝑆1 = 𝐾𝑚𝑎𝑗
𝑅1′′
𝜎𝑎𝑑𝑚
 → 𝐴1 =
𝑆1
𝐵1
 
 
• 𝑆𝑒 𝑅1′ ≠ 𝑅1′′𝑒 𝑛ã𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
𝑅𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑎𝑟 𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑚 2 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑅1’ = 𝑅1’’ 
Esforços solicitantes na viga de equilíbrio 
A figura abaixo mostra o esquema estático e os diagramas de esforços solicitantes (V e 
M) na viga de equilíbrio 
bp1
B1
x M2L
V2L
p1
N2
R2
V
M
V1L
(1)
(2)
(3)
q1 (pilar 1)
M1L Vmáx
Figura 136 - Esforços viga de equilíbrio 
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199 
 
A carga q1 aplicada pelo pilar de divisa, na sua largura, é: 
𝑞1 =
𝑁1
𝑏𝑝1
 
 
A reação da base da sapata de divisa é: 
𝑃1 =
𝑅1
𝐵1
 𝑐𝑜𝑚 𝑅1 =
𝑁1𝑧
𝑧 − 𝑒1
 
 
a) Para o trecho (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏𝑝𝑙) e considerando a seção 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somatório de forças verticais: 
𝛴𝐹𝑣 = 0 
𝑞1. 𝑋 + 𝑉1 − 𝑝1. 𝑋 = 0 → 𝑉1 = 𝑋(𝑝1 − 𝑞1) 
Somatório de momentos fletores em torno da seção 1: 
𝛴𝑀 = 0 → 𝑀1 = 𝑞1
𝑋2
2
− 𝑝1
𝑋2
2
= 0 
 
𝑀1 =
𝑋2
2
(𝑝1 − 𝑞1) 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑏𝑝1 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜) 
𝑉1𝐿 = 𝑏𝑝1(𝑝1 − 𝑞1) 
𝑀1𝐿 =
𝑏𝑝𝑙2
2
(𝑝1 − 𝑞1) 
 
x
q1x
q1
M1V1
p1x
Figura 137 - Trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e 
seção 1 
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200 
 
 
b) Trecho considerando a seção 2 (𝑏𝑝1 ≤ 𝑥 ≤ 𝐵1) 
 
 
 
 
 
 
 
𝛴𝐹𝑣 = 0 
𝑉2 + 𝑞1. 𝑏𝑝1 − 𝑝1. 𝑋 = 0 → 𝑉2 = 𝑝1. 𝑋 − 𝑞1. 𝑏𝑝1 
Para 
𝑉2 = 0 → 𝑋𝑚á𝑥 =
𝑞1. 𝑏𝑝1
𝑝1
 , 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑜 𝑀𝑚á𝑥 
 
Somatório de momentos fletores em torno da seção 2: 
𝑀2 + 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝑋 −
𝑏𝑝1
2
) − 𝑝1
𝑋
2
= 0 
𝑀2 = 𝑝1
𝑋2
2
− 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝑋 −
𝑏𝑝1
2
) 
 
No limite do trecho, com Xmáx=X: 
𝑀𝑚á𝑥 = 𝑝1
𝑋𝑚á𝑥2
2
− 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝑥 −
𝑏𝑝1
2
) 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 𝐵1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 → 𝑉2𝐿 = 𝑝1. 𝐵1 − 𝑞1 − 𝑏𝑝1 
𝑀2𝐿 = 𝑝1
𝐵12
2
− 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝐵1 −
𝑏𝑝1
2
) 
 
 
 
x
q1bp1
p1.x
p1
M2
V2
Seção 2
q1
Figura 138 - Trecho (bp1≤x≤B1) e seção 2 
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201 
 
c) Trecho (𝐵1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑧 +
𝑏𝑝1
2
) e considerando a seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛴𝐹𝑣 = 0 
𝑉3 + 𝑞1. 𝑏𝑝1 − 𝑝1. 𝐵1 = 0 → 𝑉3 = 𝑝1. 𝐵1 − 𝑞1. 𝑏𝑝1 = 𝛥𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
Somatório de momentos fletores em torno da seção 3: 
𝑀3 + 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝑋 −
𝑏𝑝1
2
) − 𝑝1. 𝐵1 (𝑥 −
𝐵1
2
) = 0 
 
𝑀3 = 𝑝1. 𝐵1 (𝑋 −
𝐵1
2
) − 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝑥 −
𝑏𝑝1
2
) 
 
Recomendações para o pré-dimensionamento de viga de equilíbrio 
a) Largura: 𝑏𝑤 ≥ 𝑎𝑝1 + 5𝑐𝑚 
b) Altura: ℎ𝑣 ≥ ℎ1(ℎ1 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑎 − 1) 
𝑑𝑣 > 𝑙𝑏 (𝑙𝑏 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟) 
Podem também ser deduzidas as equações para bw em função de V1L e Mmáx 
Dimensionamento da sapata de divisa 
Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata de divisa é aquele proposto 
pelo CEB-70, já mostrado anteriormente. 
 
 
x
q1bp1
p1.x
p1
M3
V3
q1
Figura 139 - Trecho (B1≤X≤z+bp1/2) e seção 3 
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202 
 
a) Momento fletor na seção de referência S1A 
 
Resultante da reação do solo na base da sapata (F1A) 
𝐹1𝐴 = 𝑝1. 𝐵1. 𝑋𝐴 
Sendo 
𝑝1 =
𝑅1
𝐴1. 𝐵1
 
 
𝑋𝐴 =
𝐴1 − 𝑏𝑤
2
+ 0,15𝑏𝑤 
 
Momento fletor: 
𝑀1𝐴 = 𝐹1𝐴
𝑋𝐴
2
 → 𝑀1𝐴 = 𝑝1. 𝐵1.
𝑋𝐴2
2
 
b) Altura da sapata 
Pode ser definida em função do critério da NBR 6118: 
ℎ1 ≥
𝐴1 − 𝑏𝑤
3
 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎; 
𝑑1 = ℎ1 − 5𝑐𝑚 
 
 
 
A1
ap1
h
v
h
1
h
0
d
1
0,15bw
xA
bp1
b
w
a
p
1
A
1
0
,1
5
b
w
B1
A
A
bw
CORTE AA
Figura 140 - Sapata sob o pilar de divisa e seção de referência S1 e S2 
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203 
 
c) Armadura de flexão 
Armadura principal: 
𝐴𝑠, 1𝐴 =
𝑀1𝐴, 𝑑
0,85. 𝑑1. 𝑓𝑦𝑑
 
Obs.: Armadura é disposta uniformemente ao longo da dimensão B1 
 
Armadura de distribuição (Paralela à dimensão B1) 
𝐴𝑠, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟 {
1
5
𝐴𝑠, 1𝐴
0,9𝑐𝑚2/𝑚
 , 𝐶𝑜𝑚 𝑠 ≤ 33𝑐𝑚 
 
37.2- Exemplo 8 – Sapata dedivisa com viga alavanca 
Dimensionamento de uma sapata para pilar de divisa, com viga alavanca, dados: 
C20; CA-50; N1=550 kN; N2=850 kN; σadm=0,02 kN/cm²; c=4cm; γc= γf=1,4 ; γf=1,15 
Armadura do pilar= 10φ 12,5mm 
 
 
 
Resolução: 
1) Dimensionamento das dimensões em planta da sapata de divisa 
1.1) Assumir um valor para R1’ 
 
𝑅1′ = 1,2𝑁1 = 1,2 . 550 = 660 𝑘𝑁 
 
 
400 CM
30
3
0
30
2
0
2,5
DIVISA
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204 
 
1.2) Área de apoio da sapata 
 
Estimando em 10% o peso da sapata e do solo sobre a sapata (Kmaj=1,1) 
 
𝑆1′ = 𝐾𝑚𝑎𝑗.
𝑅1′
𝜎𝑎𝑑𝑚
= 1,1.
660
0,02
= 36.300 𝑐𝑚² 
 
1.3) Largura da sapata 
𝐵1′ = √
𝑆1′
2
= √
36300
2
= 134,7 𝑐𝑚 
Adotando B1’=135 cm 
 
1.4) Excentricidade e1 
 
𝑒1′ =
𝐵1′
2
−
𝑏𝑝1
2
− 𝑓 =
135
2
−
30
2
− 2,5 = 50𝑐𝑚 
f=Distância da face do pilar à linha de divisa, em geral é em torno de 2,5 ou 3cm 
 
1.5) Cálculo de R1’’ 
𝑅1′′ = 𝑁1
𝑧
𝑧 − 𝑒1′
= 550
400
400 + 50
= 628,6 𝑘𝑁 
 
1.6) Comparação entre R1’ e R1’’ 
 
𝑅1′ = 600 ≠ 𝑅1′′ = 628,6 𝑘𝑁 
Verificação da tolerância: 0,95𝑅1′′ ≤ 𝑅1′ ≤ 1,05𝑅1′′ 
0,95.628,6 ≤ 𝑅1′ ≤ 1,05.628,6 → 597,1 ≤ 𝑅1′ ≤ 660 → 𝑂𝑘! 
Obs.: Caso não atenda refazer com R1’=R1’’ 
Calcula-se a área da base da sapata de divisa com R1’’ 
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205 
 
𝑆1 = 𝐾𝑚𝑎𝑗
𝑅1′′
𝜎𝑎𝑑𝑚
= 1,1
628,6
0,02
= 34.573 𝑐𝑚² 
 
 
Fazendo B1=B1’=135 cm temos o comprimento da base da sapata 
𝐴1 =
𝑆1
𝐵1
=
34573
135
= 256,1 𝑐𝑚 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐴1 = 260 𝑐𝑚 
Verifica-se que: 
𝐴1
𝐵1
=
260
135
= 1,93 ≅ 2 
 
2) Esforços máximos na viga alavanca 
2.1) Esforços solicitantes na seção X=bp1 
𝑉1𝐿 = 𝑏𝑝1(𝑝1 − 𝑞1) ; 𝑀1𝐿 =
𝑏𝑝12
2
(𝑝1 − 𝑞1) ; 𝑏𝑝1 = 30𝑐𝑚 
𝑝1 =
𝑅1
𝐵1
=
628,6
135
= 4,656
𝑘𝑁
𝑐𝑚
 
 
𝑞1 =
𝑁1
𝑏𝑝1
=
550
30
= 18,33
𝑘𝑁
𝑐𝑚
 
 
𝑀1𝐿 =
302
2
(4,656 − 18,33) = −6154, 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑉1𝐿 = 30. (4,656 − 18,33) = −410,3 𝑘𝑁 
 
2.2) V2L e M2L (Seção X=B1) e momento fletor máximo 
𝑉2𝐿 = 𝑝1. 𝐵1 − 𝑞1. 𝑏𝑝1 = 4,656 . 135 − 18,33 . 30 = 78,6 𝑘𝑁 
𝑋𝑚á𝑥 =
𝑞1. 𝑏𝑝1
𝑝1
=
18,33 . 30
4,656
= 118,1 𝑐𝑚 
 
𝑀𝑚á𝑥 = 𝑝1
𝑋𝑚á𝑥2
2
= 𝑞1 . 𝑏𝑝1 (𝑋𝑚á𝑥 −
𝑏𝑝1
2
) 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
206 
 
𝑀𝑚á𝑥 = 4,656
118,12
2
− 18,33 . 30 (118,1 −
30
2
) = −24.234 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀2𝐿 = 𝑝1
𝐵12
2
− 𝑞1. 𝑏𝑝1 (𝐵1 −
𝑏𝑝1
2
) 
𝑀2𝐿 = 4,656
1352
2
− 18,33 . 30 (135 −
30
2
) = −23.571 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Diagrama de esforços solicitantes na viga alavanca: 
 
3) Largura da viga alavanca 
𝑏𝑤 = 𝑎𝑝1 + 5 𝑐𝑚 = 20 + 5 = 25 𝑐𝑚 → 𝑠𝑒𝑟á 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑏𝑤 = 35 𝑐𝑚 
 
4) Altura da sapata de divisa 
Para sapata Rígida: 
NBR 6118 → ℎ1 ≥ (𝐴1 − 𝑏𝑤)/3 ≥ 260.35/3 ≥ 75 𝑐𝑚 → 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 ℎ1 = 75 𝑐𝑚 
𝑐 =
𝐴1 − 𝑏𝑤
2
=
260 − 35
2
= 112,5𝑐𝑚 
A Altura da viga alavanca será igual à da sapata: ℎ𝑣 = ℎ1 = 75 𝑐𝑚 
𝑑1 = 𝑑𝑣 = 75 − 5 = 70 𝑐𝑚 
bp1=30
B1=135
xmáx=118,1
q1 =18,33
p1=4,656
78,6
410
6,155
24.234
23.571
(M)
(V)
R2
N2
(3)
Figura 141 - Diagrama de esforços solicitantes na viga alavanca Ex. 8 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
207 
 
O pilar é composto por armadura de 12,5mm e concreto C20, região de boa 
aderência, com gancho, na Tabela 27, temos o comprimento de ancoragem lb=38cm: 
𝑑1 = 70 > 𝑙𝑏 = 38 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
5) Dimensionamento da viga alavanca 
A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata de divisa pode 
ser calculada fazendo a analogia da viga com consolo curto, ou segundo a teoria de 
viga fletida. 
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata de divisa (B1) 
São conhecidos os valores: bw=35 cm, hv=h1=75 cm, dv=d1=70 cm e Md,máx=1,4 . 
24234 =33.928 kN.cm 
𝐾𝑐 =
𝑏. 𝑑2
𝑀𝑑
=
35 . 702
33928
= 5,1 → 𝛽 = 0,22 < 0,45 (𝑜𝑘!), 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 2 𝑒 𝐾𝑠 = 0,025 
𝐴𝑠 = 0,025
33928
70
= 12,12 𝑐𝑚2 → 6𝜙 16𝑚𝑚 (12 𝑐𝑚2) 
Obs.: Como esta armadura não é muito alta pode ser estendida até o pilar P2 sem 
corte! 
Armadura mínima: 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,15%𝑏𝑤. ℎ𝑣 = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 𝑐𝑚² 
A
1
=
2
6
0
h
1
=
h
v
h
0
B1=135
C
=
1
1
2
,5
C
=
1
1
2
,5
bw=35
sapata 2
sapata 1
VE
P2P1
Figura 142 - Dimensões da sapata de divisa 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
208 
 
Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima: 
2𝜙 16 𝑜𝑢 5𝜙 10 → 4,00 𝑐𝑚² 
Domínio
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-60
0,02 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019
0,04 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,019
0,06 17,6 14,1 11,7 10 8,8 7,8 7 0,047 0,024 0,019
0,08 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020
0,1 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,020
0,12 9 7,2 6 5,1 4,5 4 3,6 0,048 0,024 0,020
0,14 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,020
0,16 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,020
0,18 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,05 0,025 0,021
0,2 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,05 0,025 0,021
0,22 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,051 0,025 0,021
0,4 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,021
0,259 4,4 3,6 3 2,5 2,2 2 1,8 0,051 0,026 0,021
0,28 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,022
0,3 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,022
0,32 3,7 3 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,022
0,34 3,5 2,8 2,3 2 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,022
0,36 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,022
0,38 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,023
0,4 3,1 2,5 2 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,028 0,023
0,42 2,9 2,4 2 1,7 1,5 1,3 1,2 0,055 0,028 0,023
0,44 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023
0,46 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,023
0,48 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,024
0,5 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1 0,058 0,029 0,024
0,52 2,5 2 1,7 1,4 1,2 1,1 1 0,058 0,029 0,024
0,54 2,4 2 1,6 1,4 1,2 1,1 1 0,059 0,029 0,024
0,56 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1 0,059 0,030 0,025
0,585 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1 0,9 0,06 0,030 0,025
0,6 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1 0,9 0,061 0,030
0,628 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1 0,9 0,062 0,031
0,64 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1 0,9 0,062
0,66 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063
0,68 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063
0,7 2 1,6 1,4 1,2 1 0,9 0,8 0,064
0,72 2 1,6 1,3 1,2 1 0,9 0,8 0,065
0,74 2 1,6 1,3 1,1 1 0,9 0,8 0,065
0,76 2 1,6 1,3 1,1 1 0,9 0,8 0,066
0,772 1,9 1,5 1,3 1,1 1 0,9 0,8 0,067
3
4
Valores de Kc e Ks para os aços CA-25, CA-50 e CA-60 (para concretos do Grupo I de
resistência – fck ≤ 50 MPa, γc = 1,4, γs = 1,15)
TABELA DO TIPO K
Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples armadura simples
βx=x/d
2
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑²
𝑀𝑠𝑑
 [𝑐𝑚2/𝑘𝑁] 𝐾𝑠 =
𝐴𝑠 .𝑑
𝑀𝑠𝑑
 [𝑐𝑚2/𝑘𝑁]
Tabela 28 - Kc e Ks 
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209 
 
Tabela 29 - Equações simplificadas segundo Modelo de cálculo I para concreto do grupo I 
Modelo de cálculo I 
(Estribo vertical, γc=1,4, γs=1,15, aços CA50 e CA60, flexão simples). 
Concreto VRd2 
(kN) 
Vsd,min 
(kN) 
Asw 
(cm²/m) 
C20 0,35𝑏𝑤. 𝑑 0,101𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,17𝑏𝑤 
C25 0,43𝑏𝑤. 𝑑 0,117𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,20𝑏𝑤 
C30 0,51𝑏𝑤. 𝑑 0,132𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,22𝑏𝑤 
C35 0,58𝑏𝑤. 𝑑 0,147𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,25𝑏𝑤 
C40 0,65𝑏𝑤. 𝑑 0,160𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,27𝑏𝑤 
C45 0,71𝑏𝑤. 𝑑 0,173𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,29𝑏𝑤 
C50 0,77𝑏𝑤. 𝑑 0,186𝑏𝑤. 𝑑 
2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
− −0,31𝑏𝑤 
bw=Largura da viga, cm; Vsd=Força cortante de cálculo, kN; 
d=Altura útil, cm; 
 
Tabela 30 - Equações simplificadas segundo Modelo de cálculo II para concreto do grupo I 
Modelo de cálculo II 
(Estribo vertical,γc=1,4, γs=1,15, aços CA50 e CA60, flexão simples). 
Conc. VRd2 
(kN) 
Vsd,min 
(kN) 
Asw 
(cm²/m) 
C20 0,71𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,035. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
 
2,55𝑡𝑔𝜃
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐1
𝑑
 
C25 0,87𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,040. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
C30 1,02𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,045. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
C35 1,16𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,050. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
C40 1,30𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,055. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
C45 1,42𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,059. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
C50 1,54𝑏𝑤. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 0,064. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔 + 𝑉𝑐1 
bw=Largura da viga, cm; Vsd=Força cortante de cálculo, kN; 
d=Altura útil, cm; θ=ângulo de inclinação das bielas de compressão (°) 
Vc1=Força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares (treliça) 
 
 
 
 
 
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210 
 
5.2) Armadura transversal 
No trecho da sapata de divisa (B1): 𝑉𝑘 = 𝑉1𝐿 = 410,3 𝑘𝑁 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 . 410,3 = 574,4 𝑘𝑁 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,35𝑏𝑤. 𝑑 = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 𝑘𝑁 > 𝑉𝑠𝑑 → 𝑜𝑘! 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,101𝑏𝑤. 𝑑 = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 𝑘𝑁 < 𝑉𝑠𝑑 
𝐴𝑠𝑤 = 2,55
𝑉𝑠𝑑
𝑑
= −0,17𝑏𝑤 = 2,55
574,4
70
− 0,17 . 35 = 14,97
𝑐𝑚2
𝑚
 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 =
20𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝑏𝑤 =
20. (0,3. √202
3
)
10.50
35 = 3,09 𝑐𝑚2/𝑚 
Obs.: com Asw=14,97 cm2/m, fazendo estribo com quatro ramos temos 
Asw,1,ramo=14,97/4=3,74 cm²/m, temos ϕ8mm c/13 cm (3,85 cm²/m). 
Espaçamento máximo: 0,67VRd2=0,67. 857,5 =574,5 kN 
𝑠 ≤ 0,6. 𝑑 ≤ 30 𝑐𝑚 → 𝑠 ≤ 0,6 . 70 = 42 𝑐𝑚 ≤ 30 𝑐𝑚 
∴ 𝑠 ≤ 30 𝑐𝑚 
0,2. 𝑉𝑅𝑑2 = 171,5 𝑘𝑁 < 𝑉𝑠𝑑 → 𝑠𝑡 ≤ 0,6𝑑 ≤ 35 𝑐𝑚 
𝑠𝑡 ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 𝑐𝑚 ≤ 35 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
 
Obs.: No trecho da viga coincidente com a sapata de divisa (B1) convém colocar a 
armadura calculada para a força cortante máxima. No trecho além da sapata, a 
armadura deve ser calculada para a menor seção transversal, 35 x 40 na união com a 
sapata 2 (pilar interno): 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 . 78,6 = 110,0 𝑘𝑁 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,35𝑏𝑤. 𝑑 = 0,35 . 35 . 35 = 428,8 𝑘𝑁 > 𝑉𝑠𝑑 → 𝑜𝑘! 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,101. 𝑏𝑤. 𝑑 = 0,101 . 35 . 35 = 123,7 𝑘𝑁 > 𝑉𝑠𝑑 → 𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 =
0.20𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝑏𝑤 =
0.20 . 0.221
10.50
35 = 3,09 𝑐𝑚2/𝑚 
Estribo com dois ramos ϕ6,3 mm c/20 cm 
 
0,67𝑉𝑅𝑑2 = 287,3 𝑘𝑁 > 𝑉𝑠𝑑 → 𝑠 ≤ 0,6 ≤ 30𝑐𝑚 
 
𝑠 = 0,6 . 35 = 21 𝑐𝑚 ≤ 30 𝑐𝑚 → ∴ 𝑠𝑚á𝑥 = 21 𝑐𝑚 
 
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211 
 
0,2𝑉𝑅𝑑2 = 85,8 𝑘𝑁 < 𝑉𝑠𝑑 → 𝑠𝑡 ≤ 0,6𝑑 ≤ 35 𝑐𝑚 → ∴ 𝑠𝑡,𝑚á𝑥 = 21 𝑐𝑚 
 
Obs.: Para a viga com b w = 35 cm a largura do estribo com dois ramos resulta 26,4 cm 
(35-4,3-4,3), maior que o valor s t = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de dois 
ramos. Por exemplo, estribo com quatro ramos ϕ 5 mm 
 
4 . 0,20
𝑠
= 0,0309 → 𝑠 = 25,9 𝑐𝑚 > 𝑠𝑚á𝑥 = 21 𝑐𝑚 
Então: Estribo ϕ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm²/m) 
5.3) Armadura de pele 
De acordo com a NBR 6118, é obrigatório a armadura de pele quando a altura da viga 
supera 60 cm: 
𝐴𝑠𝑝 = 0,10%𝑏𝑤. ℎ = 0,0010 . 35 . 75 = 2,63 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 
 
5𝜙 8𝑚𝑚 (2,5 𝑐𝑚2)𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎, 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
 
5.4) Armadura de costura 
A armadura de costura é colocada na extensão da largura da sapata de divisa (B1), 
abaixo da armadura negativa e ao longo da altura da viga a finalidade é aumentar a 
resistência a ductilidade da viga alavanca. 
Pode ser adotada como: 𝐴𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 0,4. 𝐴𝑠 
 
𝐴𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 0,4 . 12,12 = 4,85 𝑐𝑚2 → 10𝜙 8𝑚𝑚 (5,00 𝑐𝑚2) 
 
fck (Mpa) fctm (Mpa) fctk,inf (Mpa) fctd (Mpa) fctm (kN/m²) fctk,inf (kN/m²) fctd (kN/m²) fctm (kN/cm²) fctk,inf (kN/cm²) fctd (kN/cm²)
20 2,210 1,547 1,105 2210 1547 1105 0,221 0,155 0,111
25 2,565 1,795 1,282 2565 1795 1282 0,256 0,180 0,128
30 2,896 2,028 1,448 2896 2028 1448 0,290 0,203 0,145
35 3,210 2,247 1,605 3210 2247 1605 0,321 0,225 0,160
40 3,509 2,456 1,754 3509 2456 1754 0,351 0,246 0,175
45 3,795 2,657 1,898 3795 2657 1898 0,380 0,266 0,190
50 4,072 2,850 2,036 4072 2850 2036 0,407 0,285 0,204
55 4,339 3,037 2,169 4339 3037 2169 0,434 0,304 0,217
60 4,598 3,218 2,299 4598 3218 2299 0,460 0,322 0,230
70 5,095 3,567 2,548 5095 3567 2548 0,510 0,357 0,255
80 5,570 3,899 2,785 5570 3899 2785 0,557 0,390 0,278
90 6,025 4,217 3,012 6025 4217 3012 0,602 0,422 0,301
Tabela com valores de calculo (Vco)
Tabela 31 - Tabela valores de cálculo Vco. 
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212 
 
 
6) Detalhamento das armaduras da viga de equilíbrio 
 
 
 
 
 
 
Figura 143 - Detalhamento sapata de divisa com viga alavanca 
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213 
 
38- Bloco de fundação sobre estacas 
Blocos de fundação, são um dos elementos de fundação mais utilizados, com uma 
versatilidade muito grande é adaptável a qualquer tipo de obra, desde uma pequena de 
um ou dois pavimentos até pontes e grandes estruturas com cargas extremamente 
elevadas. 
Conforme a NBR 6118, item 22.7 “Blocos são estruturas de volume usadas para 
transmitir às estacas e aos tubulões as cargas de fundação, podendo ser considerados 
rígidos ou flexíveis por critério análogo ao definido para sapatas. 
Os blocos sobre estacas podem ser dimensionados para 1 á n estacas, dependendo 
diretamente da carga e da capacidade de suporte do solo, esses elementos são 
dimensionados de maneira a ser um elemento de transferência, entre a superestrutura 
(Pilar) e as estacas ou tubulões, que efetivamente irão absorver as tensões oriundas da 
estrutura, falaremos desses elementos mais à frente! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38.1- Comportamento estrutural 
Segundo a NBR 6118, item 22.2.2.1, o comportamento estrutural dos blocos pode ser 
definido por: 
a) “trabalho à flexão nas duas direções, mas com trações essencialmente concentradas 
nas linhas sobre as estacas (reticulado definido pelo eixo das estacas, com faixas de 
largura igual a 1,2 vez seu diâmetro); 
b) forças transmitidas do pilar para as estacas essencialmente por bielas de compressão, 
de forma e dimensões complexas; 
c) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruínas por 
tração diagonal, e sim por compressão das bielas, analogamente às sapatas.” 
Figura 144 - Bloco sobre e estaca e tubulão 
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214 
 
Obs.: A NBR 6118, também apresenta o bloco flexível: “Para esse tipo de bloco deve ser 
realizada uma análise mais completa, desde a distribuição dos esforços nas estacas, dos 
tirantes de tração, até a necessidade da verificação da punção.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38.2- Modelos de cálculo 
De acordo com a NBR 6118, item 22.7.3, para o dimensionamento são aceitos: “Para 
cálculo e dimensionamento dos blocos, são aceitos modelos tridimensionais lineares ou 
não lineares e modelos biela-tirante tridimensionais.” E que na “região de contato entre 
o pilar e o bloco, os efeitos de fendilhamento devem ser considerados, conforme 
requerido em 21.2, permitindo-se a adoção de um modelo de bielas e tirantes para a 
determinação das armaduras. 
No modelo de bielas, assim como nas sapatas, as bielas são representadas pelo concreto 
comprimido e o tirante são as armaduras tracionadas, o método mais utilizado hoje no 
país são os métodos das “Bielas” e CEB-70 e nos últimos anos o modelo tridimensional 
de bielas e tirantes. Os métodos das bielas e do CEB-70, devem ser aplicados 
exclusivamente em blocos rígidos. No caso de blocos flexíveis, são aplicados os métodos 
aplicáveis a vigas e lajes. 
38.2.1- Método das bielas 
O método das bielas para blocos rígidos admiteno seu interior uma espécie de treliça 
espacial, contemplando blocos de duas ou mais estacas, sendo esta treliça, resistida 
pelos dois materiais que compõe o bloco, concreto para as “barras” comprimidas 
(Bielas) e o aço para as barras tracionadas (Tirantes). A principal incógnita é a 
determinação das dimensões das bielas comprimidas, resolvida com as propostas de 
Blévot (1967). 
 
 
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215 
 
Este método (Bielas) é recomendado quando: 
a) O carregamento é quase centrado, comum em edifícios. O método pode ser 
empregado para carregamentos não centrados, todavia admitindo sempre a 
maior carga para as estacas, o que pode tornar o dimensionamento 
antieconômico. 
b) As estacas devem estar igualmente espaçadas do centro do pilar. 
O método das bielas é o mais empregado devido ao seu amplo suporte experimental, 
desenvolvido por Blévot e outros, pela ampla tradição no Brasil e Europa e por ser 
intuitivo se comparados aos demais métodos. 
38.3- Bloco sobre uma estaca 
Para pilares com dimensões próximas as dimensões da 
estaca, bloco tem a função exclusiva de transferência de 
carga, necessário construtivamente para se garantir o 
posicionamento ideal do pilar para com a estaca, podendo-
se fazer pequenas correções de excentricidade durante a 
execução da estaca por exemplo. 
Sua armadura é composta por estribos horizontais para os 
esforços de fendilhamento e estribos verticais construtivos, 
para facilitar o posicionamento das demais armaduras, 
formando realmente um “cubo” ou “gaiola” de armadura. 
𝑇 =
1
4
𝑃
𝜙𝑒 − 𝑎𝑝
𝜙𝑒
≅
1
4
𝑃 
Valor de cálculo da força de tração: 
𝑇𝑑 = 0,25𝑃𝑑 
A armadura, na forma de estribos horizontais, para resistir a força de tração Td é: 
𝐴𝑠 =
𝑇𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
As dimensões do bloco podem seguir: 
• Para obras de pequeno porte: 𝐴 = 𝜙𝑒 + 2 . 5 𝑐𝑚 
• Para obras de médio porte: 𝐴 = 𝜙𝑒 + 2 . 10 𝑐𝑚 
Obs.: As armaduras dos estribos do bloco em geral devem ter a mesma bitola das 
armaduras principais! 
 
 
 
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216 
 
 
38.4- Bloco sobre duas estacas – Método das bielas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do polígono de forças 
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑁
2
𝑅𝑠
 𝑒 𝑡𝑔 𝛼 =
𝑑
𝑒
2 −
𝑎𝑝
4
 
 
 
𝑅𝑠 =
𝑁
8
2𝑒 − 𝑎𝑝
𝑑
 (𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙, 𝐴𝑠) 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑁
2
𝑅𝑐
 → 𝑅𝑐 =
𝑁
2 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
Altura útil 
Para que as bielas de concreto não representem risco quanto a ruptura por punção 
temos: 
Figura 145 - Esquema de forças atuantes no bloco de duas 
estacas 
Figura 146 - Polígono de forças 
no bloco sobre estaca - BASTOS 
(2016) 
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217 
 
40° ≤ 𝛼 ≤ 55° 
Onde 𝛼 pode ser calculado como: 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑑
𝑒
2 −
𝑎𝑝
4
 
Substituindo 𝛼 pelos ângulos 40° e 55° temos o intervalo de variação para d: 
0,419 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) ≤ 𝑑 ≤ 0,714 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) 
Segundo Machado (1985), deve-se ter 45° ≤ 𝛼 ≤ 55° que resulta: 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,5 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) ; 𝑑𝑚á𝑥 = 0,71 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) 
 
Obs.: Assim como nas sapatas, a altura do bloco deve ser suficiente para garantir a 
ancoragem das armaduras, desta forma temos: 
𝑑 > 𝑙𝑏, 𝜙, 𝑝𝑖𝑙 , onde 𝑙𝑏, 𝜙, 𝑝𝑖𝑙 é o comprimento de ancoragem da armadura do pilar 
A altura h do bloco desta forma é: 
ℎ = 𝑑 + 𝑑′ 𝑐𝑜𝑚 𝑑′ ≥ {
5 𝑐𝑚
𝑎𝑒𝑠𝑡
5
 
Sendo 𝑎𝑒𝑠𝑡 =Lado de uma estaca de seção quadrada, com mesma área da estaca de 
seção retangular, ou seja: 
𝑎𝑒𝑠𝑡 =
√𝜋
2
𝜙𝑒 
 
Verificação das bielas 
A seção ou área das bielas varia ao longo da altura do bloco, desta forma é verificada na 
seção junto ao pilar e junto as estacas. 
 
No pilar: 
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218 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐴𝑏
𝐴𝑝
2
 → 𝑎𝑏 =
𝐴𝑝
2
𝑠𝑒𝑛 𝛼 
Na estaca: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐴𝑏
𝐴𝑒
 → 𝐴𝑏 = 𝐴𝑒. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
Sendo: 
Ab=Área da biela 
Ap=Área do pilar 
Ae=Área da estaca 
Considerando a equação básica de tensão (𝜎𝑐𝑑 = 𝑅𝑐𝑑/𝐴𝑏), a tensão de compressão na 
biela relativa ao pilar e à estaca é: 
No pilar: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 =
𝑁𝑑
2 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝐴𝑝
2 𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑁𝑑
𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
Na estaca 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 =
𝑁𝑑
2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐴𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑁𝑑
𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
 
Para evitar o esmagamento do concreto, as tensões atuantes devem ser menores que 
as tensões resistentes, desta forma considera-se: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 = 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 = 1,4. 𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 
Sendo: 
KR=0,9 a 0,95 = coeficiente que leva em consideração a perda de resistência do concreto 
ao longo do tempo devido as cargas permanentes (efeito Rüsch) 
Armadura principal 
Obs.: Blévot verificou através de ensaios, que a força medida na armadura principal foi 
de 15% superior à indicada pelos cálculos teóricos, desta forma considera-se então Rs 
acrescida de 15% 
𝑅𝑠 =
1,15𝑁
8
2𝑒 − 𝑎𝑝
𝑑
 
A armadura principal disposta sobre o topo das estacas, é: 
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219 
 
𝐴𝑠 =
𝑅𝑠𝑑
𝜎𝑠𝑑
=
1,15𝑁𝑑
8𝑑. 𝑓𝑦𝑑
(2𝑒 − 𝑎𝑝) 
Armaduras complementares (superior e de pele) 
Segundo a NBR 6118, item 22.7.4.1.5, “Em blocos com duas ou mais estacas em uma 
única linha, é obrigatória a colocação de armaduras laterais e superior. Em blocos de 
fundação de grandes volumes, é conveniente a análise da necessidade de armaduras 
complementares.” A armadura superior pode ser tomada como uma pequena parcela 
da armadura principal: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 0,2𝐴𝑠 
A armadura de pele e estribos verticais em cada face lateral: 
(
𝐴𝑠𝑝
𝑠
)𝑚í𝑛, 𝑓𝑎𝑐𝑒 = (
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)𝑚í𝑛, 𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,075𝐵 (
𝑐𝑚2
𝑚
) 
Sendo B=Largura do bloco em cm, podendo ser tomado, para cargas elevadas (edifícios 
de grande porte) como: 
𝐵 ≥ 𝜙𝑒 = 2 . 15 𝑐𝑚 
Espaçamento da armadura de pele: 
𝑠 {
𝑑
3
20 𝑐𝑚
 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠 ≥ 8 𝑐𝑚 (𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎çã𝑜 𝑝𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎) 
 
Espaçamento dos estribos verticais: 
𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠: 𝑠 ≤ {
15 𝑐𝑚
0,5 𝑎𝑒𝑠𝑡 = 0,5
√𝜋
2
𝜙𝑒
 
Nas outras posições além das estacas: 𝑠 ≤ 20 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
Ø
e
Øe
2,5Øe á 3Øe
2
Ø
e
Øe
=
1
5
c
m
Figura 147 - Espaçamento estacas - bloco com duas estacas (3e – para estacas in-loco e 2,5e para estacas pré-moldadas.) 
≥
 
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220 
 
 
Ancoragem da armadura principal e comprimento do bloco 
A NBR 6118, item (22.7.4.1.1) estacas para os blocos rígidos que a armadura de flexão 
“Deve ser disposta essencialmente (mais de 85 %) nas faixas definidas pelas estacas, 
considerando o equilíbrio com as respectivas bielas. As barras devem se estender de face 
a face do bloco e terminar em gancho nas duas extremidades. Deve ser garantida a 
ancoragem das armaduras de cada uma dessas faixas, sobre as estacas, medida a partir 
das faces internas das estacas. Pode ser considerado o efeito favorável da compressão 
transversal às barras, decorrente da compressão das bielas. 
𝑙𝑏, 𝑛𝑒𝑐 = 𝛼 𝑙𝑏
𝐴𝑠, 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠, 𝑒𝑓
 
Obs.: A distância da face externa da estaca à borda 
extrema do bloco deve ser suficiente para garantir 
a ancoragem da armadura, de modo que o 
comprimento do bloco sobre duas estacas pode ser 
estimado como: 
𝑙 = 𝑒 + 𝜙𝑒 + 2 . 15 𝑐𝑚 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 15 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜𝑠) 
Ou como opção: 𝑙 = 𝑒 + 2𝜙𝑒 +
2𝑐 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 = 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 148 - Ancoragem da armadura 
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221 
 
38.5- Blocosobre três estacas – Método das bielas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono de forças 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑁
3
𝑅𝑠
=
𝑑
𝑒
√3
3 − 0,3𝑎𝑝
 
𝑅𝑠 =
𝑁
9
(
𝑒√3 − 0,9𝑎𝑝
𝑑
) ; 𝑅𝑐 =
𝑁
3𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
 
Na direção das medianas do triângulo formado tomando os centros das estacas como 
vértice, para pilares retangulares (ap.bp) pode-se adotar o pilar de seção quadrada 
equivalente: 
𝑎𝑝, 𝑒𝑞 = √𝑎𝑝 . 𝑏𝑝 
 
 
 
Figura 149 - Bloco sobre três estacas 
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222 
 
Altura útil 
40° ≤ 𝛼 ≤ 55° → 0,485(𝑒 − 0,52𝑎𝑝) ≤ 𝑑 ≤ 0,825(𝑒 − 0,52𝑎𝑝) 
 
Com 𝛼 assumindo os valores de 45° e 55° resulta: 
0,58 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) ≤ 𝑑 ≤ 0,825 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) ; 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,58 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) 𝑒 𝑑𝑚á𝑥 = 0,825 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) 
 
Altura: ℎ = 𝑑 = 𝑑′ 
 Sendo: 
𝑑′ ≥ {
5 𝑐𝑚
𝑎𝑒𝑠𝑡
5
 
 𝑎𝑒𝑠𝑡 =
√𝜋
2
𝜙𝑒 
 
Verificação das bielas 
Como a seção das bielas varia ao longo da altura do bloco, por isso são verificadas junto 
ao pilar e junto as estacas, assim como já visto anteriormente, analogamente é indicado 
no bloco sobre duas estacas, todavia considerando agora Ap/3 ao invés de Ap/2, temos: 
𝐴𝑏 =
𝐴𝑝
3
𝑠𝑒𝑛 𝛼 (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟) 
𝐴𝑏 = 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝛼 (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑏𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎) 
 
Sendo: 
Ab=Área da biela 
Ap=Área do pilar 
Ae=Área da estaca 
Considerando a equação básica de tensão (𝜎𝑐𝑑 = 𝑅𝑐𝑑/𝐴𝑏), a tensão de compressão na 
biela relativa ao pilar e à estaca é: 
 
 
 
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223 
 
No pilar: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 =
𝑁𝑑
3 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝐴𝑝
3 𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑁𝑑
𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
Na estaca 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 =
𝑁𝑑
3 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐴𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑁𝑑
3𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
 
A tensão última, ou máxima, pode ser adotada com o seguinte valor empírico 
(experimental), adotado por Blévot: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 = 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 = 1,75 . 𝐾𝑅 . 𝑓𝑐𝑑 
A condição de segurança será atendida se: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 ≤ 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 
𝐶𝑜𝑚 0,9 ≤ 𝐾𝑅 ≤ 0,95 
 
Armadura principal 
Existem diversas maneiras de disposição das armaduras e detalhamento, 
principalmente em blocos de 3 estacas, como descrito na sequência: 
Armadura paralelas aos lados (sobre as estacas) e malha ortogonal. 
Esta é a configuração mais usada no Brasil, pois apresenta a maior economia e a menor 
fissuração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 150 - Armadura paralela aos lados e malha ortogonal para 
bloco de 3 estacas 
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224 
 
A força Rs atua na direção das medianas do 
triângulo, cujo vértices são os centros das 
três estacas, e deve ter componente R’s 
determinado segundo os eixos das 
estacas. Considerando o seguinte 
esquema de forças, pela lei dos senos 
temos: 
𝑅𝑠
𝑠𝑒𝑛120°
=
𝑅′𝑠
𝑠𝑒𝑛30°
 → 𝑅′𝑠 = 𝑅𝑠
√3
3
 
 
Sendo a armadura para resistir a R’s, que é a força paralela aos lados do bloco, é: 
𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
𝑅′𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
√3𝑁𝑑
27 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
(𝑒√3 − 0,9𝑎𝑝) 
 
Obs.: Segundo a NBR 6118 (22.7.4.1.2) “Para controlar a fissuração, deve ser prevista 
armadura positiva adicional, independente da armadura principal de flexão, em malha 
uniformemente distribuída em duas direções para 20 % dos esforços totais.” A armadura 
em malha, de barras finas em duas direções, podem ser: 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 = 1/5 𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 ≥ 𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝/𝑓𝑎𝑐𝑒 (𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜) 
 
Onde 𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝/𝑓𝑎𝑐𝑒 é a armadura de suspensão por face, apresentada a seguir: 
Armadura de suspensão 
As armaduras de suspensão tem a função de evitar o surgimento de fissuras nas regiões 
das estacas, que podem ocorrer devido ao fato da formação de bielas de compressão 
que transferem parte da carga para as regiões inferiores do bloco, entre as estacas, e 
que apoiam nas armaduras paralelas aos lados, disso surgem tensões de tração para a 
região do bloco, e que caminha para as estacas. 
Segundo a NBR 6118 (22.7.4.1.3) “Se for prevista armadura de distribuição para mais de 
25 % dos esforços totais, ou se o espaçamento entre estacas for maior que 3 vezes o 
diâmetro da estaca, deve ser prevista armadura de suspensão para a parcela de carga a 
ser equilibrada.” Ou seja, independentemente da quantidade de armadura de 
distribuição e a distância entre as estacas, é necessário a prescrição de uma armadura 
de suspensão, com valor de: 
Figura 151-Decomposição da força de tração Rs 
na direção dos eixos das estacas – BASTOS (2016) 
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225 
 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑡𝑜𝑡 =
𝑁𝑑
1,5 . 𝑛𝑒 . 𝑓𝑦𝑑
 ; 𝑛𝑒 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 
Para blocos sobre três estacas: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑡𝑜𝑡 =
𝑁𝑑
4,5 . 𝑓𝑦𝑑
 
 
Sendo então a armadura de suspensão para cada 
face do bloco: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑓𝑎𝑐 =
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑡𝑜𝑡
3
 
 
Armadura superior e de pele 
A armadura superior, em cada direção da malha, pode ser considerada como uma 
parcela da armadura principal: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 0,2. 𝐴𝑠 
 
A armadura de pele deve ser colocada em cada face lateral do bloco, na forma de 
estribos ou simplesmente barras horizontais, com a finalidade de reduzir a abertura de 
possíveis fissuras nessas faces, sendo: 
𝐴𝑠𝑝, 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
1
8
𝐴𝑠, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 
Com 𝐴𝑠, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3. 𝐴𝑠, 𝑚𝑒𝑑 = 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 
 
Figura 152 - Armadura de pelo bloco de 3 estacas 
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226 
 
𝑠 ≤ {
𝑑
3
20 𝑐𝑚
 , 𝑠 ≥ 8 𝑐𝑚 
38.6- Bloco sobre quatro estacas – Método das bielas 
Pilar de seção quadrada, como centro coincidente com o centro geométrico do bloco e 
das estacas. 
 
O ângulo de inclinação das bielas é: 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑁
4
𝑅𝑠
=
𝑑
𝑒 
√2
2 − 𝑎𝑝
√2
4
 
Do diagrama de forças temos a força de tração na direção das diagonais: 
𝑅𝑠 =
(𝑁√2)
16
2𝑒 − 𝑎𝑝
𝑑
 ; 𝑅𝑐 =
𝑁
4𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
P 
Caso seja um pilar retangular devemos substituir “ap” por “ap,eq” 
𝑎𝑝, 𝑒𝑞 = √𝑎𝑝 . 𝑏𝑝 
 
Figura 153 - Bloco sobre quatro estacas 
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227 
 
Altura útil 
Deve ter: 45° ≤ 𝛼 ≤ 55°, e: 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,71 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) ; 𝑑𝑚á𝑥 = 𝑒 −
𝑎𝑝
2
 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑑’ 𝑑′ ≥ {
5 𝑐𝑚
𝑎𝑒𝑠𝑡
5
 ; 𝑎𝑒𝑠𝑡 =
√𝜋
2
𝜙𝑒 
Verificação das bielas 
Da mesma forma que os demais blocos, contudo desta vez considerando Ap/4 ao invés 
de Ap/2, no caso de duas estacas, temos então: 
𝐴𝑏 =
𝐴𝑝
4
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ; á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 
𝐴𝑏 = 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ; á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 
 
Considerando a equação básica de tensão: 
𝜎𝑐𝑑 =
𝑅𝑐𝑑
𝐴𝑏
 
A tensão de compressão na biela, relativa ao pilar e à estaca, é: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 =
𝑁𝑑
4𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝐴𝑝
4 𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑁𝑑
𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛²𝛼
 
 
 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 =
𝑁𝑑
4𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐴𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑁𝑑
4 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 = 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 = 2,1𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 ; 𝑐𝑜𝑚 0,9 ≤ 𝐾𝑅 ≤ 0,95 
 
Condição de segurança: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 ≤ 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 ; 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 
 
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228 
 
Armadura principal 
Existem quatro diferentes tipos de composição de armadura principal,como indicado 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: O tipo de detalhamento mais utilizado é o b), sendo um dos mais eficientes, já a 
configuração a) apresentou fissuração lateral excessivas ainda com cargas reduzidas, a 
armadura do tipo malha d), apresentou carga de ruptura inferior aos dos outro casos e 
uma eficiência 80% e o melhor desempenho quanto a fissuração, nos detalhamentos a), 
b) e c) deve ser acrescentada uma armadura inferior em malha, a fim de evitar fissuras 
na parte inferior do bloco devido à falta de armadura. 
 
Tipo “a” na direção das diagonais 
𝑅𝑠 =
𝑁√2
16
.
2𝑒 − 𝑎𝑝
𝑑
 
 
A área de armadura na direção de cada diagonal 
𝐴𝑠, 𝑑𝑖𝑎𝑔 =
𝑁𝑑√2
16. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
(2𝑒 − 𝑎𝑝) 
a) Segundo a direção das diagonais b) Paralela aso lados 
c) Segundo a direção das 
diagonais e paralela aos 
lados 
d) Em malha única 
Figura 154 - Tipos de configuração de armadura para blocos de quatro 
estacas 
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229 
 
 
Tipo b) e d) paralela aos lados e em malha 
Obs.: O detalhamento da armadura principal paralela aos lados, e com adição de 
armadura em malha é o mais usual na prática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força de tração 
paralela aos lados e R’s, e a armadura paralela a cada lado é: 
𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
𝑁𝑑
16𝑑. 𝑓𝑦𝑑
(2𝑒 − 𝑎𝑝) 
 
A armadura de distribuição em malha, em cada direção, pode ser adotada como: 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 = 0,25𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 ≥
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝
4
 
Armadura de suspensão total: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝 =
𝑁𝑑
6𝑓𝑦𝑑
 
Armadura complementares 
Além da armadura de suspensão deve ser colocada uma armadura de pele, em forma 
de barras horizontais nas faces, com área por face de: 
𝐴𝑠𝑝, 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
1
8
𝐴𝑠, 𝑡𝑜𝑡 
Figura 155 - Configuração armadura paralela aos lados e em 
malha 
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230 
 
𝐴𝑠, 𝑡𝑜𝑡 = 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑢 4𝐴𝑠, 𝑑𝑖𝑎𝑔 
 
𝑠 ≤ {
𝑑
3
20 𝑐𝑚
 ; 𝑠 ≥ 8 𝑐𝑚 
 
A armadura superior, em cada direção da malha, pode ser tomada como uma parcela 
da armadura principal: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 0,2𝐴𝑠 
 
Bloco cobre cinco estacas (com uma no centro) – Método das bielas 
Obs.: O procedimento para dedução de Rs é semelhante ao bloco sobre quatro estacas, 
substituindo-se N por 4/5N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑠 =
4
5
𝑁√2
16
(2𝑒 − 𝑎𝑝)
𝑑
 
 
Altura útil 
Considerando 45° ≤ 𝛼 ≤ 55° 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,71 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) ; 𝑑𝑚á𝑥 = 𝑒 −
𝑎𝑝
2
 
 
Figura 156 - Bloco sobre cinco estacas sendo 
uma central 
3. ∅𝑒√2 + 2. ∅𝑒 
3. ∅𝑒√2 
3
.∅
𝑒
√
2
 
3
.∅
𝑒
√
2
+
2
.∅
𝑒
 
∅𝑒 
≤ 15𝑐𝑚 
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231 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑑′ ; 𝑑′ ≥ {
5 𝑐𝑚
𝑎𝑒𝑠𝑡
5
=
1
5
√𝜋
2
𝜙𝑒
 
Verificação das bielas 
De forma análoga ao descrito para os blocos sobre duas, três e quatro estacas, a 
tensão na biela junto ao pilar e à estaca é: 
 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 =
𝑁𝑑
𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 ; 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 =
𝑁𝑑
5𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
 
Tensão limite junto ao pilar e à estaca: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 = 2,6𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 ; 𝑐𝑜𝑚 0,9 ≤ 𝐾𝑅 ≤ 0,95 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 = 2,1𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 
 
Condição de segurança: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 ≤ 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙 ; 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡 
 
Armadura principal 
Como já dito anteriormente os blocos sobre Nd deve ser substituído por 4/5Nd, sendo 
o detalhamento análogos. Para armadura principal paralela aos lados e malha: 
A armadura paralela a cada lado é: 
𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
4
5
𝑁𝑑
16𝑑. 𝑓𝑐𝑑
(2𝑒 − 𝑎𝑝) =
𝑁𝑑
20𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
(2𝑒 − 𝑎𝑝) 
 
Armadura de distribuição em malha em cada lado é: 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 = 0,25𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 ≥
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝
4
 (4 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜) 
 
Armadura de suspensão total: 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝 =
𝑁𝑑
6. 𝑓𝑦𝑑
 
 
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232 
 
Obs.: O detalhamento é o mesmo mostrado para bloco sobre quatro estacas! 
 
Reação das estacas 
Para o dimensionamento dos blocos sobre estacas temos que ter a informação de 
capacidade de carga das estacas, desta maneira é necessária a verificação das estacas 
logo no início dos trabalhos, para isso podemos verificar para a carga do pilar N e o 
momento M. 
𝑅𝑒,𝑚á𝑥 = 1,02.
𝑁𝑘
2
+
𝑀
𝑒
 
Obs.: 1,02 constante adotado de consideração do peso próprio do bloco e do solo sobre 
ele. 
Obs.: É comum adotar 𝑅𝑒,𝑚á𝑥 . 𝑛𝑒 = 𝑁𝑘, ou seja a reação das estacas vezes o número 
de estacas é a nova carga aplicada no bloco, considerando que o número de estacas deve 
obrigatoriamente resistir aos esforços oriundos do pilar, essa consideração, serve como 
um tipo de verificação da capacidade de carga do bloco além de trabalhar a favor da 
qualidade. 
 
38.7- Exemplo 1 - Cálculo de bloco sobre duas estacas 
Dimensionar e detalhar as armaduras de um bloco para pilar com seção transversal 
20x40 cm, sobre duas estacas com capacidade nominal de 400 kN (40 tonf) e diâmetro 
(φe) de 30 cm. Os momentos fletores solicitantes no pilar estão indicados na figura, 
dados: 
 
• C=3 cm 
• Concreto C20; aço CA-50 
• As,pil=28,65 cm² (10φ 20mm = 31,50 cm²) 
• Nk=716,8 kN 
• Mx=440 kN.cm 
• My=450 kN.cm 
 
 
 
 
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233 
 
 
 
Resolução 
a) Dimensões do bloco em planta 
Em função da capacidade da estaca e dos esforços 
solicitantes no pilar, o bloco terá duas estacas, na direção 
do eixo y do pilar (maior lado). O momento fletor My será 
absorvido ou resistido por uma viga transversal, para 
travamento do bloco na direção x do pilar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reação na estaca 
𝑅𝑒,𝑚á𝑥 = 1,02.
𝑁𝑘
2
+
𝑀𝑦
𝑒
= 1,02.
716,8
2
+
450
80
= 370,6 𝑘𝑁 < 𝑅𝑒, 𝑛𝑜𝑚 = 400𝑘𝑁 
Considerando a favor da segurança a maior carga nas estacas, a força normal sobre o 
bloco passa a ser: 
𝑁𝑘 = 370,6 . 2 = 741,2 𝑘𝑁 
1.50
0.900.30 0.30
0.15 0.30 0.15 0.15 0.150.30 0.30
0
.3
0
0
.3
0
0
.1
5
0
.3
0
0
.1
5
Figura 157 - Dimensões (cm) do bloco sobre 
duas estacas 
N 
My 
Re.nom Re.nom 
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234 
 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 = 1,4 . 741,2 = 1.037,6 𝑘𝑁 
 
b) Altura do bloco 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝛼 = 45° → 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,5 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) = 0,5 (90 −
30
2
) = 37,5 𝑐𝑚 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝛼 = 55° → 𝑑𝑚á𝑥 = 0,71 (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) = 0,71 (90 −
30
2
) = 53,25 𝑐𝑚 
 
𝑑′ ≥ {
5 𝑐𝑚
𝑎𝑒𝑠𝑡
5
=
1
5
√𝜋
2
𝜙𝑒 =
1
5
√𝜋
2
30 = 5,3 𝑐𝑚
 ∴ 𝑑′ = 6 𝑐𝑚 
 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ = 50 𝑐𝑚 → 𝑑 = ℎ − 𝑑′ = 50 − 6 = 44 𝑐𝑚 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 37,5 < 𝑑 = 44 𝑐𝑚 < 𝑑𝑚á𝑥 = 53,25 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
 
Verificação da ancoragem da armadura longitudinal do pilar no bloco: considerando 
concreto C20, φ,pil= 20mm, boa aderência e com gancho, segundo Tabela 27, o 
comprimento de ancoragem básico (lb) resulta 61 cm e: 
𝑑 = 44 𝑐𝑚 < 𝑙𝑏, 𝑝𝑖𝑙 = 61 𝑐𝑚 → 𝑛ã𝑜 𝑜𝑘! 
Soluções: 
• Aumentar a altura do bloco para atender a necessidade de ancoragem do bloco 
• Diminuir o comprimento de ancoragem básico da armadura do pilar 
• Fazer um” colarinho”, que é um alargamento da seção do pilar sobre o bloco, de 
modo a aumentar a altura somente da região da ancoragem do pilar 
Adotando a solução do “colarinho”, que neste caso se mostra a ser a mais econômica 
será feito com seção 30 x 40 cm e altura 
30+40
2
= 35 𝑐𝑚 
Considerando o colarinho o ângulo α é: 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑑
𝑒
2 −
𝑎𝑝
4
=
44
90
2 −
40
4
= 1,467 → 𝛼 = 51,5° < 55° → 𝑜𝑘! 
 
 
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235 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Verificação das bielas 
Tensão limite 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚 = 1,4𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 = 1,4 . 0,95
2,0
1,4
= 1,9
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 19 𝑀𝑃𝑎 
Tensão atuante junto ás estacas: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 =
𝑁𝑑
2𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝛼
=
1037,6
2 (
𝜋 . 302
4 ) 𝑠𝑒𝑛
2(49,5)
= 1,267𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 = 10.77 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚 = 19,0 𝑀𝑃𝑎 → 𝑜𝑘! 
 
Tensão atuante junto ao pilar considerando a seção 30x40 cm do colarinho: 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑝𝑖𝑙 =
𝑁𝑑
𝐴, 𝑐𝑜𝑙 𝑠𝑒𝑛2𝛼
=
1039,4
(30.40)𝑠𝑒𝑛251,5
= 1,198 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑒𝑠𝑡 = 12,69 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎𝑐𝑑, 𝑏, 𝑙𝑖𝑚 = 19,0 𝑀𝑃𝑎 → 𝑜𝑘! 
 
 
Figura 158 - Bloco sobre duas estaca com "colarinho" 
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236 
 
 
 
 
d) Armaduras 
Armadura principal: 
𝐴𝑠 =
1,15𝑁𝑑
8𝑑. 𝑓𝑦𝑑
(2𝑒 − 𝑎𝑝) =
1,15 . 1037,6
8 . 44 . 43,5
(2 . 90 − 30) = 11,69𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠 = 11,69 𝑐𝑚2 (6𝜙 16𝑚𝑚 → 12 𝑐𝑚2) 
 
Armadura superior (negativa na direção das duas estacas) 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 0,2𝐴𝑠 = 0,2 . 11,69 = 2,33 𝑐𝑚2 (3 𝜙 10𝑚𝑚 → 2,4 𝑐𝑚2) 
 
Armadura de pele e estribos verticais por face: 
(
𝐴𝑠𝑝
𝑠
)𝑚𝑖𝑛, 𝑓𝑎𝑐𝑒 = (
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)𝑚𝑖𝑛, 𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,075. 𝐵 = 4,5
𝑐𝑚2
𝑚
 (𝜙8𝑚𝑚 𝑐/11 𝑐𝑚) 
 
Comprimento de ancoragem básico pode ser determinado na Tabela 27. Na coluna sem 
gancho, considerando concreto C20, aço CA-50, diâmetro de 16mm e região de boa 
aderência, encontra-se o comprimento de ancoragem básico de (lb) 49 cm, com α=0,7 
 
𝑙𝑏, 𝑛𝑒𝑐 = 𝛼𝑙𝑏
𝐴𝑠, 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠, 𝑒𝑓
= 0,7 .49
11,69
12
= 33,43 𝑐𝑚 
 
Como o cobrimento da armadura de 3 cm, o comprimento de ancoragem efetivo ou útil 
é: 𝑙𝑏, 𝑒𝑓 = 50 − 3 = 47 𝑐𝑚, o que permite a ancoragem, pois, 𝑙𝑏, 𝑛𝑒𝑐 = 33,43 <
𝑙𝑒, 𝑒𝑓 = 47 𝑐𝑚. Caso não fosse suficiente, a solução mais simples seria aumentar a 
distância entre a extremidade externa da estaca e a face do bloco. 
 
O comprimento do gancho vertical deve ser no mínimo 8φ=8. 1,6= 12,8 cm. O gancho 
pode ser estendido até a face superior (obedecendo o cobrimento), a fim de reforçar a 
superfície vertical extrema do bloco: 
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237 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 159 - detalhamento bloco de duas estacas Ex. 1 
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238 
 
 
 
Exemplo 2 – Bloco sobre três fustes de tubulão 
• Diâmetro do fuste: φf=70 cm; 
• Seção transversal do pilar: 65x65 cm; 
• Diâmetro da armadura vertical do pilar: φpil:20mm; 
• Carga vertical do pilar Nk: 4.500 kN; 
• Coeficiente de ponderação: γf=1,4 γs=1,15 
• Concreto C25; aço CA-50 
• Cobrimento: c=4cm 
 
Resolução – método das bielas 
Determinando a altura do bloco: 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0.58. (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) → 0.58. (210 −
65
2
) = 102.95 𝑐𝑚 → 45° 
𝑑𝑚á𝑥 = 0.825. (𝑒 −
𝑎𝑝
2
) → 0.825. (210 −
65
2
) = 146,44 𝑐𝑚 → 55° 
 
Embutimento da estaca (fuste) 
𝑑′ {
5 𝑐𝑚
1
5
.
√𝜋
2
. φf = 12,4 cm
 
 
𝑑′ = 12 𝑐𝑚 
 
Adotando um h 
ℎ = 145 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ → 145 − 12 = 133 𝑐𝑚 
 
Ancoragem do pilar - Tabela 27 
𝑙𝑏 = 53 𝑐𝑚 
 
 
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239 
 
 
 
Ângulo α 
α = cotan(
d
e +
√3
3 − 0.3. 𝑎𝑝
) → cotan(
d
210 +
√3
3 − 0.3. 𝑎𝑝
) = 52,58° 
 
Verificação das bielas de compressão: 
Coeficiente de Rusch 
KR=0,95 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 = 1.75. 𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 → 1.75 . 0.95 . 1.786 = 2,969 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Tensão junto ao pilar: 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑝𝑖𝑙 =
1.4. 𝑁𝑘
𝐴𝑝. (𝑠𝑒𝑛(𝛼))²
→ 
1.4 . 4500
4225. (𝑠𝑒𝑛(52,58))²
= 2,364 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 > 𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑝𝑖𝑙 ∴ 𝑜𝑘! 
 
Tensão junto ao fuste 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑓 =
1.4. 𝑁𝑘
3. (
𝜋. 𝜙𝑓2
4 ) . (𝑠𝑒𝑛
(𝛼))²
→ 
1.4 . 4500
3. (
𝜋. 702
4 ) . (𝑠𝑒𝑛
(52,58))²
= 0.865 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 > 𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑓 ∴ 𝑜𝑘! 
 
Cálculo do peso próprio do bloco 
𝑝𝑝 = 𝐴𝑏. ℎ. 25 → 7.9 . 1.45 . 25 ≅ 300 𝑘𝑁 
 
𝑁𝑑 = 1.4 . (𝑁𝑘 + 𝑝𝑝) → 1.4. (4500 + 300) = 6720 𝑘𝑁 
 
Cálculo das armaduras 
𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
√3 . 𝑁𝑑
27 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
. (𝑒. √3 − 0.9. 𝑎𝑝) → 
√3 . 6720
27 . 133 .43,5
. (210. √3 − 0.9. 65) = 22,75 𝑐𝑚² 
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240 
 
8φ de 20mm 
 
Armadura da malha 
𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 =
1
5
. 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜 → 
1
5
. 22,75 = 4,551 𝑐𝑚² 
 
Armadura de suspensão total e por face 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑡𝑜𝑡 =
𝑁𝑑
4,5 . 𝑓𝑦𝑑
 → 
6720
4,5 . 43,5
= 34,35 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑡𝑜𝑡
3
= 11,45 𝑐𝑚² 
 
Obs.: Como o gancho da armadura de malha pode ser usado como armadura de 
suspensão é conveniente que se igualem no detalhamento! 
 
𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 = 𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 = 11,45 𝑐𝑚² 
 
10 barras de 12,5 mm 
 
Armadura superior 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡 = 0,20 . 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜. 3 → 0,20 . 22,75 . 3 = 13,65 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑑𝑖𝑟 =
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡
2
= 6,83 𝑐𝑚² 
14 barras de 8mm 
 
Armadura de pele 
𝐴𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
1
8
. 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜. 3 → 
1
8
 . 22,75 . 3 = 8,53 𝑐𝑚2 
 
11 barras de 10mm 
 
 
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241 
 
 
 
 
 
Figura 160 - Detalhamento bloco de três estacas 
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242 
 
 
 
Exemplo 4 – Bloco sobre quatro estacas 
• Diâmetro da estaca: φf=30 cm; 
• Seção transversal do pilar: 20x70 cm; 
• Diâmetro da armadura vertical do pilar: φpil:16mm; 
• Carga vertical do pilar Nk: 1300 kN; 
• Coeficiente de ponderação: γf=1,4 γs=1,15 
• Concreto C20; aço CA-50 
• Cobrimento: c=3cm 
 
Resolução 
Seção equivalente do pilar 
𝑎𝑝. 𝑒𝑞 = √𝑎𝑝. 𝑏𝑝 → √70.20 = 37,42 𝑐𝑚 
𝐴𝑝 = 𝑎𝑝. 𝑒𝑞2 → 37,422 = 1400 𝑐𝑚² 
 
Dimensões do elemento de fundação 
𝐵 = 5 . 𝜙𝑒 → 5 . 30 = 150 𝑐𝑚 
𝐴 = 5 . 𝜙𝑒 → 5 . 30 = 150 𝑐𝑚 
 
Cálculo da altura do bloco 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0.71. (𝑒 −
𝑎𝑝. 𝑒𝑞
2
) → 0.71. (90 −
37,42
2
) → 50,62 𝑐𝑚 
𝑑𝑚á𝑥 = 𝑒 −
𝑎𝑝. 𝑒𝑞
2
→ 90 −
37,42
2
= 71,3 𝑐𝑚 
 
Embutimento das estacas 
 
𝑑′ {
5 𝑐𝑚
1
5
.
√𝜋
2
. ϕe = 5,32 cm
 
 
𝑑′ = 6 𝑐𝑚 
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243 
 
 
 
Adotando uma altura 
ℎ = 60 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ → 60 − 6 = 54 𝑐𝑚 
 
Ancoragem do pilar - Tabela 27 
𝑙𝑏 = 49 𝑐𝑚 
𝑑 < 𝑙𝑏 ∴ 𝑜𝑘! 
 
Calculo do ângulo α 
α = cotan(
d
(𝑒.
√2
2 − 𝑎𝑝. 𝑒𝑞.
√2
4
) → cotan(
54
(90.
√2
2 − 37,42.
√2
4
) = 46,9° 
 
Verificação das bielas de compressão 
KR=0,95 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚. 𝑒𝑠𝑡 = 2,1. 𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 → 2,1 . 0.95 . 1.43 = 2,85 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Tensão junto ao pilar: 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑝𝑖𝑙 =
1.4. 𝑁𝑘
𝐴𝑝. (𝑠𝑒𝑛(𝛼))²
→ 
1.4 . 1300
1400. (𝑠𝑒𝑛(46,9))²
= 2,433 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 > 𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑝𝑖𝑙 ∴ 𝑜𝑘! 
 
Tensão junto ao fuste 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑓 =
1.4. 𝑁𝑘
4. (
𝜋. 𝜙𝑓2
4 ) . (𝑠𝑒𝑛
(𝛼))²
→ 
1.4 . 1300
4. (
𝜋. 302
4 ) . (𝑠𝑒𝑛
(46,9))²
= 1,205 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 > 𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑓 ∴ 𝑜𝑘! 
 
 
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244 
 
 
 
Cálculo do peso próprio do bloco 
𝑝𝑝 = 𝐴. 𝐵. ℎ. 25 → 1,50 . 1,50 . 0,60 .25 = 33,75 𝑘𝑁 
 
𝑁𝑑 = 1.4 . (𝑁𝑘 + 𝑝𝑝) → 1.4. (1300 + 33,75) = 1867,25 𝑘𝑁 
 
Cálculo das armaduras 
𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
 𝑁𝑑
16 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
. (2. 𝑒 − 𝑎𝑝. 𝑒𝑞) → 
1867,25
16 . 54 .43,5
. (2 . 90 − 37,42) = 7,087 𝑐𝑚² 
6φ de 12,5mm 
 
Armadura da malha 
𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 =
1
5
. 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜 →1
5
. 7,087 = 1,772 𝑐𝑚² 
 
Armadura de suspensão total e por face 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑡𝑜𝑡 =
𝑁𝑑
6 . 𝑓𝑦𝑑
 → 
1867,25
6 . 43,5
= 6,97 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑡𝑜𝑡
4
= 1,74 𝑐𝑚² 
6 barras de 6,3 mm em cada face 
 
Armadura superior 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡 = 0,20 . 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜. 4 → 0,20 . 7,087 . 4 = 5,67 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑑𝑖𝑟 =
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡
2
= 2,835 𝑐𝑚² 
9 barras de 6,3mm e cada direção 
 
Armadura de pele 
𝐴𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
1
8
. 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜. 4 → 
1
8
 . 7,087 . 4 = 3,54 𝑐𝑚2 
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245 
 
7 barras de 8mm 
 
 
Figura 161 - Detalhamento bloco sobre quatro estacas 
 
 
 
 
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246 
 
 
 
Exemplo 4 – Bloco sobre quatro estacas 
• Diâmetro da estaca: φf=30 cm; 
• Seção transversal do pilar: 30x30 cm; 
• Diâmetro da armadura vertical do pilar: 
φpil:16mm; 
• Carga vertical do pilar Nk: 2100 kN; 
• Coeficiente de ponderação: γf=1,4 γs=1,15 
• Concreto C25; aço CA-50 
• Cobrimento: c=3cm 
 
Resolução 
Seção equivalente do pilar 
𝑎𝑝. 𝑒𝑞 = √𝑎𝑝. 𝑏𝑝 → √60.30 = 42,43 𝑐𝑚 
𝐴𝑝 = 𝑎𝑝. 𝑒𝑞2 → 42,432 = 1800 𝑐𝑚² 
 
Dimensões do elemento de fundação 
𝐵 = 3 . 𝜙𝑒. √2 + 2. 𝜙𝑒 → 3 . 30. √2 + 2.30 = 187,23 𝑐𝑚 
𝐴 = 3 . 𝜙𝑒. √2 + 2. 𝜙𝑒 → 3 . 30. √2 + 2.30 = 187,23 𝑐𝑚 
 
Cálculo da altura do bloco 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0.71. (𝑒 −
𝑎𝑝. 𝑒𝑞
2
) → 0.71. (90 −
42,43
2
) → 48,84 𝑐𝑚 
𝑑𝑚á𝑥 = 𝑒 −
𝑎𝑝. 𝑒𝑞
2
→ 90 −
42,43
2
= 68,78 𝑐𝑚 
 
Embutimento das estacas 
 
𝑑′ {
5 𝑐𝑚
1
5
.
√𝜋
2
. ϕe = 5,32 cm
 
 
60
3
0
30
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247 
 
𝑑′ = 6 𝑐𝑚 
 
 
Adotando uma altura 
ℎ = 60 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ → 60 − 6 = 54 𝑐𝑚 
 
Ancoragem do pilar - Tabela 27 
𝑙𝑏 = 42 𝑐𝑚 
𝑑 < 𝑙𝑏 ∴ 𝑜𝑘! 
 
Cálculo do ângulo α 
α = cotan(
d
(𝑒.
√2
2 − 𝑎𝑝. 𝑒𝑞.
√2
4
) → cotan(
54
(90.
√2
2 − 42,43.
√2
4
) = 47,99° 
 
Verificação das bielas de compressão 
KR=0,95 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚. 𝑒𝑠𝑡 = 2,1. 𝐾𝑅. 𝑓𝑐𝑑 → 2,1 . 0.95 . 1.786 = 3,563 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Tensão junto ao pilar: 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑝𝑖𝑙 =
1.4. 𝑁𝑘
𝐴𝑝. (𝑠𝑒𝑛(𝛼))²
→ 
1.4 . 2100
1800. (𝑠𝑒𝑛(47,99))²
= 2,958 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 > 𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑝𝑖𝑙 ∴ 𝑜𝑘! 
 
Tensão junto ao fuste 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑓 =
1.4. 𝑁𝑘
5. (
𝜋. 𝜙𝑓2
4 ) . (𝑠𝑒𝑛
(𝛼))²
→ 
1.4 . 2100
5. (
𝜋. 302
4 ) . (𝑠𝑒𝑛
(47,99))²
= 1,507 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑙𝑖𝑚 > 𝜎𝑐𝑑. 𝑑. 𝑓 ∴ 𝑜𝑘! 
 
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248 
 
 
 
 
Cálculo do peso próprio do bloco 
𝑝𝑝 = 𝐴. 𝐵. ℎ. 25 → 1,88 . 1,88 . 0,60 .25 = 52,61 𝑘𝑁 
 
𝑁𝑑 = 1.4 . (𝑁𝑘 + 𝑝𝑝) → 1.4. (2100 + 52,61) = 3013,65 𝑘𝑁 
 
Cálculo das armaduras 
𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜 =
 𝑁𝑑
20 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
. (2. 𝑒 − 𝑎𝑝. 𝑒𝑞) → 
1867,25
20 . 54 .43,5
. (2 . 90 − 42,43) = 8,83 𝑐𝑚² 
8φ de 12,5mm 
 
Armadura da malha 
𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 =
1
5
. 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜 → 
1
5
. 8,83 = 2,207 𝑐𝑚² 
 
Armadura de suspensão total e por face 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑡𝑜𝑡 =
𝑁𝑑
6 . 𝑓𝑦𝑑
 → 
3013,65
6 . 43,5
= 11,27 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑠𝑝. 𝑡𝑜𝑡
4
= 2,81 𝑐𝑚² 
6 barras de 8 mm em cada face 
 
Armadura superior 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡 = 0,20 . 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜. 4 → 0,20 . 8,83 . 4 = 7,064 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑑𝑖𝑟 =
𝐴𝑠. 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡
2
= 3,53 𝑐𝑚² 
8 barras de 8mm e cada direção 
 
Armadura de pele 
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249 
 
𝐴𝑠𝑝. 𝑓𝑎𝑐𝑒 =
1
8
. 𝐴𝑠. 𝑙𝑎𝑑𝑜. 4 → 
1
8
 . 8,83 . 4 = 4,415 𝑐𝑚2 
6 barras de 10 mm 
 
 
 
 
 
Figura 162 -Detalhamento bloco sobre cinco estacas 
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250 
 
 
 
39- Capacidade de carga em estacas 
A capacidade nas estacas é uma informação imprescindível para o dimensionamento de 
fundações profundas, neste material vamos analisar as estacas com dois métodos, Aoki-
Velloso e Décourt-Quaresma, ambos métodos semi-empíricos utilizando como 
parâmetros de solo resultados obtidos do ensaio de SPT. 
Principais tipos de estacas 
Estaca de madeira 
Constituídas de troncos de árvores que tenham certa retilineidade, com uma 
preparação superficial como a retirada das camadas mais externas (cascas), preparação 
quanto a sua durabilidade e a execução de ponta para facilitar a cravação no solo. 
Estaca metálica 
Constituída por perfis metálicos de diversas seções (H, I, duplo I, Tubo, trilhos), podendo 
ser em perfil laminado ou soldado. Deve-se observar as questões quanto a corrosão do 
material, analisando a agressividade do meio para que se avalie a viabilidade da 
utilização desse material como elemento de fundação. 
Estaca pré-moldada 
Estacas de concreto estão entre as mais utilizadas, por conta do seu bom 
comportamento químico e mecânico torna mais fácil seu manuseio dispensando muitas 
vezes uma manufatura mais especializada, as estacas pré-moldadas, como seu nome 
pressupõe, são fabricadas anteriormente a execução da obra, geralmente em um local 
diferente do canteiro. Composta por concreto e aço passivo ou ativo (protendido) nas 
formas: quadrada, circular, hexagonal, octogonal, maciças ou com alvéolo central, com 
anéis de emenda para facilitar a continuidade da cravação, as estacas pré-moldadas são 
relativamente fáceis de manejar. 
Estaca moldada in-loco 
As estacas moldadas in-loco, são as mais comuns entre todas as citadas, onde o furo é 
previamente executado para uma posterior concretagem o que acarreta em uma 
economia uma vez que o concreto utilizado contempla exatamente o comprimento da 
estaca não havendo perdas, ou perdas mínimas se comparado à estaca pré-moldada 
onde há perdas de parte do material quando não é mais possível a cravação. Sua 
desvantagem é a própria execução, que não tem a segurança quanto a qualidade da 
concretagem, pois pode haver falhas em trechos da estaca causando perdas de 
resistência. Para execução dessas estacas recomenda-se a utilização de concreto com 
resistência mínima de 20 MPa, com consumo mínimo de cimento de 300 kg/m² que 
apresente um abatimento (slump) de 8 cm para estacas não armadas e de 12 cm para 
estacas armadas. 
 
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251 
 
 
 
39.1- Dentre as estacas moldadas in-loco temos: 
39.1.2- Estaca Strauss 
Utilizada quando o nível d’água está muito próximo da cota inicial da estaca, é 
executada com um tripé semelhante ao do ensaio de SPT, que crava um tubo 
metálico, chamado de camisa, com diâmetro que determina o diâmetro da estaca, 
que evita a entrada de água no interior do furo, com o auxílio de uma sonda oca 
retira o solo com água do interior do furo. Atingindo a profundidade desejada é feita 
a concretagem ao mesmo tempo que se retira as camisas metálicas que impediam a 
água de adentrar ao furo, assim o espaço que antes era preenchido por um vazio vai 
sendo preenchido por concreto que também tem a capacidade de conter a água. 
39.1.3- Estaca Franki 
Assim como a estaca Strauss, também utiliza um tubo metálico para cravação, é 
constituída por um tripé, relativamente maior do que o de Strauss uma vez que 
utiliza de um pilão de 1 a 4 toneladas (depende do diâmetro da estaca), sobre os 
golpes do pilão está uma mistura de brita e areia, que forma uma “bucha” estanque, 
que ao mesmo tempo causa o afundamento do tubo para posterior concretagem, a 
principal vantagem desse método é a base alargada causada pelos golpes do pilão, 
que aumenta significativamente a capacidade de carga da estaca diminuindo 
consequentemente a necessidade de um comprimento maior,entretanto, é pouco 
utilizada em centros urbanos por conta da grande vibração causada por sua 
execução. 
39.1.4- Estaca Escavada 
As estacas escavadas sem ou com estabilização do furo são executadas com o auxílio 
de um trado manual ou mecânico que após atingido a profundidade desejada é 
concretada diretamente. Estacas sem estabilização só é permitida quando em solo 
argiloso e acima do nível d’água, caso contrário, é necessário a utilização de suporte 
removível, perdido ou por fluido estabilizador, como lama bentonítica, que pode ser 
aplicada não somente para estaca escavada como para qualquer elemento de 
fundação profunda que se deseje estabilizar. 
 
 
 
 
 
 
 
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252 
 
40- Método Aoki-Velloso 
O método Aoki-Velloso, foi desenvolvido em 1975, a partir de estudo comparativo entre 
resultados de prova de carga em estacas e de SPT. 
 
A primeira expressão da capacidade de carga da estaca pode ser escrita relacionando a 
resistência de ponta com a resistência por atrito lateral da estaca com resultados do 
SPT: 
𝑄𝑢 = 𝑄𝑝 + 𝑄𝑎 
Sendo: 
𝑄𝑝 =
𝐾 𝑁
𝐹1
𝐴𝑝 ; 𝐴𝑝 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑒 𝑁 = 𝑁𝑠𝑝𝑡 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 
𝑄𝑎 = 𝛴
𝛼 𝐾 𝑁
𝐹2
. 𝐴𝑙 ; 𝐴𝑙 = 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑒 𝑁 = 𝑁𝑠𝑝𝑡 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 
 
Sendo os valores de 𝑘 e 𝛼 adotados por Aoki e Velloso como na tabela abaixo: 
 
Tabela 32 - Valores de k e α (Aoki-Velloso) 
Tipo de Solo 𝒌 (kgf/cm²) 𝜶(%) 
Areia 10 1,4 
Areia Siltosa 8 2 
Areia siltoargilosa 7 2,4 
Areia argilosiltosa 5 2,8 
Areia argilosa 6 3 
Silte arenoso 5,5 2,2 
Silte arenoargiloso 4,5 2,8 
Silte 4 3 
Silte argiloarenoso 2,5 3 
Silte Argiloso 2,3 3,4 
Argila arenosa 3,5 2,4 
Argila arenosiltosa 3 2,8 
Argila siltoarenosa 3,3 3 
Argila siltosa 2,2 4 
Argila 2 6 
 
Os valores F1 e F2 foram obtidos a partir da retro-análise de resultados de prova de 
carga em estacas (cerca de 100 provas de carga entre os vários tipos) a partir de 
resultados de ensaio de SPT, esses valores se encontram na tabela abaixo: 
 
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253 
 
 
Tabela 33 - Valores F1 e F2 (Aoki-Velloso, modificado por Monteiro) 
 
41- Método Décourt-Quaresma 
O método apresentado por Luciano Décourt e Arthur Quaresma em 1978, apresenta 
uma solução um pouco diferente do método anterior, no entanto, da mesma forma é 
muito difundido hoje no Brasil, contudo, o método não leva em consideração o processo 
executivo, o que pode trazer algumas diferenças de resultados se comparado ao método 
anterior 
O método considera a capacidade de carga, assim como Aoki-Velloso, como a soma da 
resistência de ponta e do atrito lateral, sendo essas equações apresentadas a seguir: 
𝑞𝑝 = 𝐶.𝑁 ; 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 
 
Resistencia Lateral: 
𝜏𝑙, 𝑢𝑙𝑡 =
𝑁𝑚é𝑑
3
+ 1 ; 𝑁𝑚é𝑑 = 𝑁𝑠𝑝𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑢𝑠𝑡𝑒 
Sendo os valores de C indicados na tabela abaixo: 
Tipo de solo C (tf/m²) 
Argilas 10 
Siltes argilosos (alteração de rocha) 12 
Silte Arenoso (alteração da rocha) 14 
Areias 20 
 
Tipo de estaca F1 F2 
Franki de fuste apiloado 2,3 3,0 
Franki de fuste vibrado 2,3 3,2 
Metálica 1,75 3,5 
Pré-moldada de concreto cravada a percussão 2,5 3,5 
Pré-moldada de concreto cravada por prensagem 1,2 2,3 
Escavada com lama bentonítica 3,5 4,5 
Raiz 2,2 2,4 
Strauss 4,2 3,9 
Hélice contínua 3,0 3,8 
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254 
 
A expressão do atrito lateral independe do tipo de solo, na determinação de Nméd, os 
valores de N menores que 3 devem ser considerados iguais a 3, e maiores que 50 devem 
ser considerados iguais a 50. 
 
Em relação aos coeficiente de segurança, sugerem que o coeficiente global F seja 
expresso como: 
𝐹 = 𝐹𝑝. 𝐹𝑓. 𝐹𝑑. 𝐹𝑤 
Sendo: 
Fp = Coeficiente de segurança relativo aos parâmetros do solo (1,1 para atrito lateral e 
1,35 para resistência de ponta) 
Ff = Coeficiente de segurança relativo à formulação adotada (igual a 1) 
Fd = Coeficiente de segurança para evitar recalques excessivos (igual a 1 para atrito 
lateral e 2,5 para resistência de ponta) 
Fw = Coeficiente de segurança relativo à carga de trabalho da estaca (igual a 1,2) 
 
Com isso temos: 
• Para a resistência lateral: 
𝐹𝑙 = 1,1 . 1,0 . 1,0 . 1,2 = 1,32 ≅ 1,3 
 
• Para a resistência de ponta: 
𝐹𝑝 = 1,35 . 1,0 . 2,5 . 1,2 = 4,05 ≅ 4,0 
A carga admissível para a estaca será então: 
𝑄𝑎𝑑𝑚 =
𝑄𝑙, 𝑢𝑙𝑡
1,3
+
𝑄𝑝, 𝑢𝑙𝑡
4,0
 
 
 
Exemplo 1 - Duas sondagens foram executadas no mesmo local em uma cidade do 
interior do Estado de São Paulo em duas datas diferentes. A primeira delas foi realizada 
em 2 de Julho de 2012 e a segunda em 20 de Janeiro de 2013. 
Considerando como soluções uma fundação em estaca pré-moldada de concreto 
cravada a percussão, com diâmetro de 20 cm e comprimento de 8 m, pergunta-se: 
- Qual a variação da carga admissível do sistema estaca-solo para essa solução? 
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255 
 
Obs.: A cabeça das estacas pré-moldadas situa-se na cota -1,0 m e as cargas de catálogo 
da estaca pré-moldada é de 280 kN. Nos cálculos, use a média dos valores do N SPT sem 
aproximação ou arredondamento. 
 
Resolução: 
Coeficientes por parâmetros da obra 
𝐹1 = 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑃𝑟é 𝑐𝑜𝑛𝑐. 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑠𝑠 = 2,5 
𝐹2 = 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑃𝑟é 𝑐𝑜𝑛𝑐. 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑠𝑠 = 3,5 
𝑘 = 𝐴𝑟𝑒𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑔𝑖𝑙𝑜𝑠𝑎 = 6
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
= 600
𝑘𝑁
𝑚2
 ; 𝛼 = 3% 
𝑘′ = 𝐴𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑆𝑖𝑙𝑡𝑜𝑠𝑎 = 8
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
= 800
𝑘𝑁
𝑚2
 ; 𝛼′ = 2% 
𝐴𝑝 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 𝜋. 𝑟2 = 𝜋. 0,102 = 0,0314 𝑚² 
𝐴𝑙 = 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 2. 𝜋. 𝑟 = 2. 𝜋. 0,10 = 0,628 𝑚 
𝑁𝑠𝑝𝑡, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 = 12 
𝑁𝑠𝑝𝑡′, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 = 12 
𝐹𝑆 = 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛ç𝑎 = 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 2,0 
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256 
 
Cálculo da capacidade de carga da estaca para a sondagem do mês de julho/2012 
𝑄𝑝 =
𝐾 𝑁𝑠𝑝𝑡
𝐹1
𝐴𝑝 =
800 . 12
2,5
0,0314 = 120,61 𝑘𝑁 
𝑄𝑎 = 𝛴
𝛼 𝐾 𝑁
𝐹2
. 𝐴𝑙 
𝑄𝑎1 =
0,03 . 600 . 5
3,5
. 0,628 = 16,15 𝑘𝑁 
𝑄𝑎2 =
0,03 . 600 . 4
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎1 = 29,07 𝑘𝑁 
𝑄𝑎3 =
0,03 . 600 . 6
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎2 = 48,45 𝑘𝑁 
𝑄𝑎4 =
0,03 . 600 . 8
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎3 = 74,28 𝑘𝑁 
𝑄𝑎5 =
0,02 . 800 . 7
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎4 = 94,38 𝑘𝑁 
𝑄𝑎6 =
0,02 . 800 . 9
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎5 = 120,21 𝑘𝑁 
𝑄𝑎7 =
0,02 . 800 . 8
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎6 = 143,18 𝑘𝑁 
𝑄𝑎8 =
0,02 . 800 . 12
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎7 = 177,63 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑢1 = 𝑄𝑝 + 𝑄𝑎 = 120,61 + 177,63 = 298,24 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑎𝑑𝑚1 =
𝑄𝑢1
𝐹𝑠
=
298,24
2
= 149,11 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
16,15 𝑘𝑁 
29,07 𝑘𝑁 
48,45 𝑘𝑁 
74,28 𝑘𝑁 
94,38 𝑘𝑁 
120,21 𝑘𝑁 
143,18 𝑘𝑁 
177,63 𝑘𝑁 
298,24 𝑘𝑁 
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257 
 
Cálculo da capacidade de carga da estaca para a sondagem do mês de Janeiro/2013 
𝑄𝑝 =
𝐾 𝑁𝑠𝑝𝑡
𝐹1
𝐴𝑝 =
800 . 12
2,5
0,0314 = 120,61 𝑘𝑁 
𝑄𝑎 = 𝛴
𝛼 𝐾 𝑁
𝐹2
. 𝐴𝑙 
𝑄𝑎1 =
0,03 . 600 . 1
3,5
. 0,628 = 3,23 𝑘𝑁 
𝑄𝑎2 =
0,03 . 600 . 2
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎1 = 6,69 𝑘𝑁 
𝑄𝑎3 =
0,03 . 600 . 3
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎2 = 19,38 𝑘𝑁 
𝑄𝑎4 =
0,03 . 600 . 4
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎3 = 32,29 𝑘𝑁 
𝑄𝑎5 =
0,02 . 800 . 6
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎4 = 49,52 𝑘𝑁 
𝑄𝑎6 =
0,02 . 800 . 9
3,5. 0,628 + 𝑄𝑎5 = 75,36 𝑘𝑁 
𝑄𝑎7 =
0,02 . 800 . 8
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎6 = 98,33 𝑘𝑁 
𝑄𝑎8 =
0,02 . 800 . 12
3,5
. 0,628 + 𝑄𝑎7 = 132,78 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑢2 = 𝑄𝑝 + 𝑄𝑎 = 120,61 + 132,78 = 253,39 𝑘𝑁 
𝑄𝑎𝑑𝑚2 =
𝑄𝑢2
𝐹𝑠
=
253,39
2
= 126,7 𝑘𝑁 
 
Cálculo da taxa de variação entre os dois períodos 
1 −
𝑄𝑎𝑑𝑚2
𝑄𝑎𝑑𝑚1
= 1 −
126,7
149,11
= 0,15 ≅ 15 % 
Obs.: Isso prova que o período que se realiza os ensaios de sondagem (SPT) podem 
influenciar diretamente na capacidade de carga dos elementos de fundação, por isso 
para obras de grande porte é recomendado se fazer o SPT em dois períodos, períodos de 
alta precipitação e período de estiagem, para que possa ser aferido a taxa de variação e 
o dimensionamento dos elementos levem em conta essa variação! 
 
Figura 163 - Diagrama de tensão 
no solo 
3,23 𝑘𝑁 
6,69 𝑘𝑁 
19,38 𝑘𝑁 
32,29 𝑘𝑁 
49,52 𝑘𝑁 
75,36 𝑘𝑁 
98,33 𝑘𝑁 
132,78 𝑘𝑁 
253,39 𝑘𝑁 
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258 
 
Pelo método Décourt-Quaresma para a sondagem do mês de julho/2012 
𝑞𝑝1 = 𝐶.𝑁 = 20 . 12 = 240 𝑡𝑓/𝑚² 
𝑄𝑝, 𝑢𝑙𝑡1 = 240 . 0,0314 = 7,536 𝑡𝑓 ≅ 75,4 𝑘𝑁 
 
𝑁𝑚é𝑑1 =
5 + 4 + 6 + 8 + 7 + 9 + 8 + 12
8
= 7,375 
𝜏𝑙, 𝑢𝑙𝑡1 =
𝑁𝑚é𝑑
3
+ 1 = 
7,375
3
+ 1 = 3,46 𝑡𝑓/𝑚² 
𝑄𝑙, 𝑢𝑙𝑡1 = 3,46 . (0,628 . 8) = 17,38 𝑡𝑓 ≅ 174 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑎𝑑𝑚1 =
𝑄𝑙, 𝑢𝑙𝑡
1,3
+
𝑄𝑝, 𝑢𝑙𝑡
4,0
=
174
1,3
+
75,4
4,0
= 152,69 
 
Para a sondagem do mês de janeiro/2013 
𝑞𝑝2 = 𝐶.𝑁 = 20 . 12 = 240 𝑡𝑓/𝑚² 
𝑄𝑝, 𝑢𝑙𝑡2 = 240 . 0,0314 = 7,536 𝑡𝑓 ≅ 75,4 𝑘𝑁 
 
𝑁𝑚é𝑑2 =
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 8 + 12
8
= 5,625 
𝜏𝑙, 𝑢𝑙𝑡2 =
𝑁𝑚é𝑑
3
+ 1 = 
5,625
3
+ 1 = 2,875 𝑡𝑓/𝑚² 
𝑄𝑙, 𝑢𝑙𝑡2 = 2,875 . (0,628 . 8) = 14,44 𝑡𝑓 ≅ 144,4 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑎𝑑𝑚2 =
𝑄𝑙, 𝑢𝑙𝑡
1,3
+
𝑄𝑝, 𝑢𝑙𝑡
4,0
=
144,4
1,3
+
75,4
4,0
= 129,92 𝑘𝑁 
Cálculo da taxa de variação entre os dois períodos 
1 −
𝑄𝑎𝑑𝑚2
𝑄𝑎𝑑𝑚1
= 1 −
129,96
152,69
= 0,148 ≅ 14,8 % 
 
 
 
 
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259 
 
42- Dimensionamento de estaca em compressão 
Para a grande maioria das obras de pequeno e médio porte as estacas em elementos de 
fundação trabalham em compressão simples, uma espécie de pilar de concreto 
confinado. O dimensionamento das estacas deve ser feito quando a tensão do solo 
ultrapassa a tensão admissível do concreto, considerando as más condições de 
concretagem para as estaca executadas in-loco, essa tensão deve ser adota pela 
seguinte expressão: 
𝜎𝑐𝑜𝑛𝑐 =
0,85 . 𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐. 𝛾𝑓
 
Onde: 
Tipos de estaca Fck 
MPa 
𝜸𝒇 𝜸𝒔 𝜸𝒄 
Estacas moldadas in loco 
Tipo broca 15 1,4 - 1,8 
Tipo Strauss 15 1,4 1,15 1,8 
Tipo Franki 20 1,4 1,15 1,5 
Escavada com lama 20 1,4 1,15 1,9 
Escavada com injeção 20 1,4 1,15 1,6 
Estacas pré-moldadas 
Sem controle tecnológico 25 1,4 1,15 1,4 
Com controle tecnológico 35 1,4 1,15 1,3 
Tubulões 
Não revestidos 14 1,4 1,15 1,6 
Revestidos 20 1,4 1,15 1,5 
Na prática não podemos considerar a tensão do concreto maior do que 5 ou 6 MPa para 
o dimensionamento das estacas executadas in loco, o mesmo é válido para tubulões. 
O dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais nesse material serão 
elaborado apenas para carga vertical de compressão centrada, não avaliando casos 
específicos de flexo-compressão ou flexo-tração no caso de estacas não confinadas. O 
dimensionamento para compressão simples é nada mais do que a soma da capacidade 
de resistência do concreto com a resistência do aço, e segue a equação abaixo: 
𝜔.𝑁𝑑 = 0,85. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑 + 𝐴𝑠′𝑓𝑦𝑑 
𝐴𝑠 =
𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 . (1 +
6
ℎ
) − 0,85. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
Sendo: 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑓.𝑁𝑘 ; 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 ; 𝑓𝑐𝑘 > 20𝑀𝑃𝑎 ; 𝛾𝑓 = 1,4 𝛾𝑐 = 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 
𝜔 = 1 +
6
ℎ
≥ 1,1 ℎ = 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑜𝑢 𝑓𝑢𝑠𝑡𝑒 (𝑐𝑚) 
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260 
 
 𝜔 → Fator de majoração simplificado do efeito de segunda ordem em pilares curto 
𝐴𝑠′ = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛! 
42.1- Armadura mínima 
Carga vertical centrada 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 {
0,8% 𝐴𝑐𝑛
0,5%𝐴𝑐
 𝐴𝑐𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐. 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜 ; 𝐴𝑐 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛. 𝑟𝑒𝑎𝑙 
 
Prescrição de norma 
• Espaçamento máximo = 20 cm 
• Espaçamento mínimo≥ {
2𝑐𝑚
1,2𝜙
𝜙𝑙
 
• Bitola mínima = 10 mm 
• Cobrimento mínimo = 3 cm 
 
42.2- Armadura transversal 
Para cargas verticais em estacas é possível adotar a armadura mínima para os estribos, 
são efetivamente dimensionados quanto houver esforços horizontais, causando flexão 
e cisalhamento da seção transversal de concreto. 
𝜙𝑚í𝑛 {
5,0 𝑚𝑚
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔/4
 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ≤
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
12. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 
190. 𝜙𝑡2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 5 𝑐𝑚 
Exemplo 1 
Como exemplo prático podemos usar a estaca do mês de julho/2012 para calcular a 
necessidade de armadura para a carga admissível calculada em relação ao seu diâmetro 
Dados: 
𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 ; 𝑓𝑦𝑑 = 435 𝑀𝑃𝑎 
𝑁𝑘 = 149,11 𝑘𝑁 
𝐴 = 0,0314 𝑚2 
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261 
 
 
Como vimos acima, para essa estaca, com a capacidade total na tensão admissível, não 
é necessário uma armadura complementar, entretanto, como o intuito é o cálculo da 
armadura a compressão vamos simular uma carga maior, vamos utilizar a carga de 
ruptura. 
 
 
 
Considerando o diagrama de 
tensões no solo como uma reta 
inclina constante, iniciada em 
zero, podemos utilizar da regra 
de 3 para encontrar até qual 
profundidade teremos que 
armar nossa estaca. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑧 =
8
298,24 − (120,61)
 . 141,24 = 6,36𝑚 
 
Caso tenha o diagrama de tensão assim como temos acima, é só retirar pelo próprio 
desenho, caso contrário, utilize a regra como uma equação constante assim como 
fizemos. 
Cálculo da armadura de compressão 
Para simplificar os cálculos, vamos adotar uma armadura constante que corresponderá 
a tensão máxima de compressão, com comprimento de flambagem 𝜆 ≤ 40, pois a 
estaca está totalmente enterrada, um “pilar confinado” 
 
 
 
143,18 𝑘𝑁 
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262 
 
𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 . (1 +
6
ℎ
) = 0,85 . 𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 + 𝐴𝑠′𝑓𝑦𝑑 
𝐴𝑠 =
𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 . (1 +
6
ℎ
) − 0,85. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
Sendo; 
𝛾𝑓 = 1,4 
1 +
6
ℎ
= 1 +
6
20
= 1,3 
𝑓𝑐𝑑 =
20
1,4
= 14,286𝑀𝑃𝑎 = 14.286
𝑘𝑁
𝑚2
 → 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
1,4 . 298,24 . 1,3 = 0,85 . 314,16 . 1,43 + 𝐴𝑠′43,5 
𝐴𝑠′ = 3,71 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠′𝑚𝑖𝑛 = 0,005 . 𝐴𝑐 → 0,005 . 314,16 = 1,57 𝑐𝑚2 < 𝐴𝑠′ = 3,71 
𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 → 3𝜙 12,5𝑚𝑚 
Armadura transversal 
 
𝜙𝑚í𝑛 {
5,0 𝑚𝑚
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
4
= 3,125 𝑚𝑚
 ∴ 5 𝑚𝑚 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ≤
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
12. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 15 𝑐𝑚 
190. 𝜙𝑡2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
= 38 𝑐𝑚
 ∴ 15 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0
3
1
4
3φ 12,5mm 
φ5mm c/15cm 
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263 
 
43- Nega em estacas cravadas 
Para estacas cravadas é utilizado um artifício de checagem de resistência individual, 
chamado de “NEGA”, que é basicamente o insucesso na cravação da estaca com 
determinada energia aplicado sobre a mesma, a “NEGA” consiste em fazer um risco na 
estaca enquanto cravada e aplicar 10 golpes e dividir a distância gerada pela cravação 
por 10, obtendo assim uma média de cravação para cada golpe, com esse dado é 
possível calcular a tensão admissível da estaca com fórmulas dinâmicas que se baseiam 
no princípio da conservação de energia,que igualam a energia potencial do martelo ao 
trabalho realizado na cravação da estaca (Produto de resistência vencida pela estaca 
pela penetração da mesma), a menos de eventuais perdas de energia, sendo: 
𝑤. ℎ = 𝑅. 𝑠 + 𝑋 
Onde: 
w= Peso do martelo 
h= Altura de queda 
R= Resistência a cravação 
s= Penetração ou NEGA 
X= Perdas de energia 
 
As principais perdas de energia são os chamados “repiques” do martelo, que é uma 
deformação do cepo e do coxim, atrito do martelo e guias 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas equações dinâmicas para tensão admissível são: 
• Fórmula dos Holandeses 
𝑄𝑎𝑑𝑚 =
𝑃2. ℎ
𝑠. (𝑃 + 𝑄)
.
1
𝜂
 ; 𝜂 ≥ 6 
 
Deformação elástica 
(estaca+solo) 
Nega (s) 
Figura 164 - Gráfico de cravação 
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264 
 
• Fórmula de Brix 
𝑄𝑎𝑑𝑚 =
𝑃2. 𝑄. ℎ
𝑠. (𝑃 + 𝑄)²
.
1
𝜂
 ; 𝜂 ≥ 5 
 
• Fórmula do Engineering News 
𝑄𝑎𝑑𝑚 =
𝑃. ℎ
𝑠 + 𝑐
.
1
𝜂
 ; 𝜂 ≥ 6 
 
Sendo: 
Qadm= Carga admissível na estaca (kN) 
P= Peso do martelo (kN) 
Q= Peso próprio da estaca (kN) 
h= Altura de queda do martelo (cm) 
s= Nega para 1 golpe (cm) 
c= 2,5 cm (bate-estaca tipo queda livre) 
c= 0,25 cm (bate-estaca tipo dupla ação) 
𝜂= Fator de segurança (FS) 
 
Obs.: Fórmulas dinâmicas, apesar de altos coeficientes de segurança recomendados 
pelos próprios autores, apresentam resultados mais confiáveis quando utilizadas em 
terrenos de solos não coesivos (arenoso). 
 
44- Efeito de perda de capacidade de carga em grupo de estacas 
Se tratando de solo, o maciço deve ser o menos perturbado possível para que se 
mantenha por exemplo, as características convencionalmente encontradas em ensaios 
de SPT por exemplo, quando se dimensiona a capacidade de carga de uma estaca isolada 
em relação ao solo temos um valor considerando 100% de eficiente de resistência do 
solo interagindo com a estaca, no entanto quando é executado em uma obra um 
conjunto de estacas essa eficiência tende a ser reduzida pelo efeito de grupo, pois o solo 
confinado entre as estacas foram relativamente mais perturbados que o solo externo 
do conjunto de estacas por exemplo, dessa maneira é necessário calcular a perda de 
capacidade de carga, ou seja perda de eficiente levando em consideração o efeito grupo. 
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265 
 
Alguns trabalhos como de Withaker (1957) e Sowers et al. (1961), indicam que a 
capacidade de carga começa e ser reduzida quando o espaçamento entre as estacas é 
menor que duas vezes o seu diâmetro (2φ), e quanto mais próximo desse valor mais 
próximo de 100% de eficiência terá, portanto vamos utilizar nesse trabalho o método de 
Feld, que considera uma perda de eficiência baseado no número de estacas que compõe 
o conjunto, essa redução é por volta de 1/16 para cada estaca vizinha à estaca em 
questão. 
Exemplo: 
Grupo de duas estaca 
1 →
16
16
−
1
16
=
15
16
= 0,94 𝑜𝑢 94% 𝑒 1 → 
16
16
−
1
16
=
15
16
= 0,94 
𝑒 =
2 . 94
2
≅ 94% 
Grupo de três estacas 
3 →
16
16
−
2
16
=
14
16
= 0,87 𝑜𝑢 87% 
𝑒 =
3 . 87
3
≅ 87% 
Grupo de quatro estacas 
4 →
16
16
−
3
16
=
13
16
= 0,82 𝑜𝑢 82% 
𝑒 =
4 . 82
4
≅ 82% 
Grupo de cinco estacas 
4 →
16
16
−
3
16
=
13
16
= 0,82 𝑜𝑢 82% 𝑒 1 → 
16
16
−
4
16
=
12
16
= 0,75 
𝑒 =
4 . 82 + 1 . 75
5
≅ 80% 
Grupo de seis estacas 
4 →
16
16
−
3
16
=
13
16
= 0,82 𝑜𝑢 82% 𝑒 2 → 
16
16
−
5
16
=
11
16
= 0,69 
𝑒 =
4 . 82 + 2 . 69
5
≅ 77% 
Para Facilitar ainda mais essa teoria considere a seguinte equação: 
Capacidade de carga: 
𝑄𝑒𝑞 = 1 − (0.0625. (𝑛 − 1)) 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 
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266 
 
45- Capacidade de carga em tubulões 
Os tubulões assim como as estacas trabalham com atrito lateral ao longo do seu 
desenvolvimento interno no solo, todavia o principal diferencial é seu diâmetro e a 
possibilidade do alargamento da base (ponta), conseguindo aumentar 
significativamente a capacidade de carga do elemento. 
Seu dimensionamento e sua capacidade de carga é feita de forma idêntica as estacas, 
conforme definição de norma, os tubulões têm em sua fase de execução, a necessidade 
da descida de um operário em seu interior. O operário pode participar desde o processo 
de escavação do fuste ou apenas do alargamento da base. 
O alargamento da base do tubulão é executado de maneira que dispense a necessidade 
de uma armadura, adotando um ângulo de 60° com a horizontal, aumentando a 
robustez e por consequência rigidez do elemento trabalhando com apenas as 
capacidades mecânicas do concreto simples. 
A forma do alargamento da base dos tubulões pode seguir o formato circular ou falsa-
elipce (dois semicírculos e um retângulo), a definição do formato é tomado por duas 
diretrizes: 
1- Tipo de solo: 
Para solos coesivos se torna mais fácil a execução do alargamento da base, 
possibilitando essa escolha até os limites, no entanto, em solos arenosos essa tarefa 
se forma mais complicada, não sendo permitido um alargamento maior do que 30 
cm além do perímetro do fuste, chamada de disparo da base, limitando os tubulões 
nesses tipos de solos. 
2- Altura da base: 
Como os tubulões são executados em profundidades elevadas e executados por 
homens, a preocupação com a segurança desses profissionais devem sempre ser 
levadas em conta. A altura da base não deve ultrapassar mais de 2m, se for acima 
disso poderia impossibilitar a execução além de demandar o escoramento adequado 
das paredes a fim de evitar desmoronamentos. 
Existem dois tipos de tubulões executados hoje no país: 
• Tubulão a céu aberto: 
Quando a execução do tubulão não atinge o nível do lençol freático, os tubulões podem 
ser executados de forma simplificada, com a escavação do fuste de forma manual ou 
mecanizada, respeitando sempre as dimensões mínima para a passagem (Dmin=70 cm), 
pode ser ou não revestidas, dependendo do tipo de solo e sua estabilidade, esse 
revestimento pode ser com tubos metálicos ou anéis em concreto que podem ou não 
ser retirados posteriormente. 
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267 
 
Dependendo do tipo de solo, ainda é possível a execução mesmo atingindo o nível 
d’água, que é caso de solos muito argilosos onde o fluxo d´água é muito baixo e não 
compromete a execução da obra. 
• Tubulão ar comprimido: 
Quando é atingido o lençol freático, tem-se de revestir a escavação e utilizar o ar 
comprimido. Nesse caso usa-se uma campânula, que nada mais é que um equipamento 
hermeticamente vedado, que posteriormente a entrada de um operário é preenchido 
por ar comprimido, de modo a evitar a percolação de água no interior do furo do 
tubulão. 
A escavação do fuste pode ser executado manualmente e de forma mecânica assim 
como no céu aberto, a escavação mecânica é feita com auxílio de um revestimento 
metálico recuperável que é cravado até que se alcance o nível d’água para que ai se 
possa instalar a campânula, permitindo que os operários desçam para finalizar o 
alargamento da base. 
45.1- Capacidade de carga 
A capacidade de carga em tubulões é retirado sobre as mesmas condições das estacas, 
o atrito lateral pode ser obtido pela formulação Clássica de Terzaghi ou até mesmo no 
nosso caso através das teorias de Aoki-Velloso e Decourt-Quaresma, na capacidade de 
carga da base podemos usar a formulação proposta por Cintra et. Al. 
𝑄𝑢 = 𝑄𝑏 + 𝑄𝑎 
Sendo 
𝑄𝑏 → 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎) 
𝑄𝑎 → 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
 
Capacidade da base: 
𝑞𝑏 =
𝑁𝑠𝑝𝑡
40
 (𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑟𝑎 
 
𝑞𝑏 =
𝑁𝑠𝑝𝑡
50
(𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑙𝑡𝑜𝑠𝑎𝑞𝑏 =
𝑁𝑠𝑝𝑡
75
(𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑛𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑙𝑡𝑜𝑠𝑎 
 
 
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268 
 
Capacidade por atrito lateral Aoki-Velloso: 
𝑄𝑎 = 𝛴
𝛼 𝐾 𝑁
𝐹2
. 𝐴𝑙 ; 𝐹2 = 4,5 
 
Capacidade por atrito lateral Decourt-Quaresma: 
𝜏𝑙, 𝑢𝑙𝑡 =
𝑁𝑚é𝑑
3
+ 1 
 
Exemplo 1 
Utilizando o mesmo perfil de solo do exemplo de estaca, vamos calcular a capacidade 
de um tubulão com: 
Dados: 
• D= 70 cm 
• L= 8 m 
• Base circular D’=1,80 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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269 
 
 
Método Aoki-Velloso 
𝑄𝑏 =
𝑁𝑠𝑝𝑡
5
𝐴𝑏 =
12
50
𝜋. (
1,80
2
)
2
= 0,611 𝑜𝑢 610,71 𝑘𝑁 
𝑄𝑎 = 𝛴
𝛼 𝐾 𝑁
𝐹2
. 𝐴𝑙 
𝑄𝑎1 =
0,03 . 600 . 5
3,5
. 2,199 = 56,546 𝑘𝑁 
𝑄𝑎2 =
0,03 . 600 . 4
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎1 = 101,782 𝑘𝑁 
𝑄𝑎3 =
0,03 . 600 . 6
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎2 = 169,64 𝑘𝑁 
𝑄𝑎4 =
0,03 . 600 . 8
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎3 = 260,11 𝑘𝑁 
𝑄𝑎5 =
0,02 . 800 . 7
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎4 = 330,48 𝑘𝑁 
𝑄𝑎6 =
0,02 . 800 . 9
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎5 = 420,95 𝑘𝑁 
𝑄𝑎7 =
0,02 . 800 . 8
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎6 = 501,37 𝑘𝑁 
𝑄𝑎7 =
0,02 . 800 . 12
3,5
. 2,199 + 𝑄𝑎7 = 622,0 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑢 = 𝑄𝑏 + 𝑄𝑎 = 610,71 + 622,0 = 1232,71 𝑘𝑁 
 
𝑄𝑎𝑑𝑚 =
𝑄𝑢1
𝐹𝑠
=
1232,71
2
= 616,36 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
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270 
 
 
 
Método Décourt-Quaresma 
𝑁𝑚é𝑑1 =
5 + 4 + 6 + 8 + 7 + 9 + 8 + 12
8
= 7,375 
𝜏𝑙, 𝑢𝑙𝑡1 =
𝑁𝑚é𝑑
3
+ 1 = 
7,375
3
+ 1 = 3,46 𝑡𝑓/𝑚² 
𝑄𝑙, 𝑢𝑙𝑡 = 3,46 . (2,199. 8) = 60,86 𝑡𝑓 ≅ 608,68 𝑘𝑁 
 
Obs.: Neste caso vamos utilizar o fator de segurança (FS) de 2, assim como no método 
Aoki-Velloso 
 
𝑄𝑎𝑑𝑚 =
𝑄𝑙 + 𝑄𝑏
2
=
608,68 + 610,71
2
= 609,95 𝑘𝑁 
 
45.2- Armadura longitudinal 
O dimensionamento das armaduras longitudinais seguem o mesmo processo de 
dimensionamento das estacas, sendo dimensionado como um pilar curto, seguindo os 
passos abaixo: 
𝜔.𝑁𝑑 = 0,85. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑 + 𝐴𝑠′𝑓𝑦𝑑 
Sendo: 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑓.𝑁𝑘 ; 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 ; 𝑓𝑐𝑘 > 20𝑀𝑃𝑎 ; 𝛾𝑓 = 1,4 𝛾𝑐 = 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 
𝜔 = 1 +
6
ℎ
≥ 1,1 ℎ = 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑜𝑢 𝑓𝑢𝑠𝑡𝑒 (𝑐𝑚) 
 𝜔 → Fator de majoração simplificado do efeito de segunda ordem em pilares curto 
𝐴𝑠′ = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
 
𝐴𝑠 =
𝛾𝑓 . 𝑁 . (1 +
6
ℎ
) − 0,85. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 
 
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271 
 
45.3- Armadura mínima 
Carga vertical centrada 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 {
0,8% 𝐴𝑐𝑛
0,5%𝐴𝑐
 𝐴𝑐𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐. 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜 ; 𝐴𝑐 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛. 𝑟𝑒𝑎𝑙 
 
Prescrição de norma 
• Espaçamento máximo = 20 cm 
• Espaçamento mínimo≥ {
2𝑐𝑚
1,2𝜙𝑎𝑔𝑟
𝜙𝑙
 
• Bitola mínima = 10 mm 
• Cobrimento mínimo = 3 cm 
45.4- Armadura transversais (Estribos) 
Os estribos em tubulões podem ser 
dimensionados de forma análoga ao já 
visto em blocos de fundação, pelo esforço 
de tração (Morsh) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zona de 
transição 
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272 
 
 
𝑇 =
𝑃
4
.
𝐿 − 𝑏
ℎ
 ; ℎ ≥ 0,75. (𝐿 − 𝑏) 
 
Aplicando a mesma teoria para tubulões temos: 
𝑇 =
𝑃
4
.
(𝜙𝑓 − 𝑏)
𝜙𝑓
 
 
Seção dupla de aço: 
 
 
 
 
 
45.5- Área de aço ao longo do fuste 
𝐴𝑠𝑤 =
𝛾𝑓. (
𝑇
2)
𝑓𝑦𝑑
 → 𝐴𝑠𝑤 =
1,4. 𝑁. (𝜙𝑓 − 𝑏)
2.
𝑓𝑦𝑘
1.15
. 4. 𝜙𝑓
 → 𝐴𝑠𝑤 =
1,61. 𝑁. (𝜙𝑓 − 𝑏)
8. 𝑓𝑦𝑘. 𝜙𝑓
 
 
 
Armadura transversal mínima 
𝜙𝑚í𝑛 {
5,0 𝑚𝑚
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔/4
 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ≤
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
12. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 
190. 𝜙𝑡2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 5 𝑐𝑚 
 
 
 
 
T/2 
T/2 
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273 
 
Exemplo 1 
Dimensionamento do tubulão do exemplo anterior (capacidade de carga), para a carga 
máxima aplicada sem FS. 
Dados: 
𝜙𝑓𝑢𝑠𝑡𝑒 = 70 𝑐𝑚 
𝐴𝑐 = 𝜋. 0,352 = 0,3848 𝑚² 𝑜𝑢 3848,45 𝑐𝑚² 
𝐴𝑐𝑣 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 
𝑏 = 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑎 = 40 𝑐𝑚 
 
Resolução: 
𝐴𝑠 =
𝛾𝑓 . 𝑁 . (1 +
6
ℎ
) − 0,85. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
Sendo; 
𝛾𝑓 = 1,4 
1 +
6
ℎ
= 1 +
6
70
= 1,08 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 1,1 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
20
1,6
= 12,5𝑀𝑃𝑎 = 12.500
𝑘𝑁
𝑚2
 → 1,25 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
1,4 . 1232.71 . 1,1 = 0,85 . 3848,45 . 1,25 + 𝐴𝑠′43,5 
𝐴𝑠′ = −50,35 𝑐𝑚2 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛) 
𝐴𝑠′𝑚𝑖𝑛 = 0,005 . 𝐴𝑐 → 0,005 . 3848,45 = 19,24 𝑐𝑚2 
𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 → 10𝜙 16𝑚𝑚 
Armadura transversal 
𝐴𝑠𝑤 =
1,61. 𝑁. (𝜙𝑓 − 𝑏)
8. 𝑓𝑦𝑑. 𝜙𝑓
=
1,61 . 1232,71 . (70 − 40)
8 . 43,5 . 70
= 2,44
𝑐𝑚2
𝑚
 
Para bitola de 5mm 
𝑛 =
2,44
0,20
= 12,2 ; 𝑠 =
100
𝑛
=
100
12,2
= 8,2 𝑐𝑚 
Para bitola de 6,3 mm 
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274 
 
𝑛 =
2,44
0,315
= 7,75 ; 𝑠 =
100
𝑛
=
100
7,75
= 12,9 𝑐𝑚 
Para bitola de 8mm 
𝑛 =
2,44
0,50
= 4,9 ; 𝑠 =
100
𝑛
=
100
4,9
= 20 𝑐𝑚 
Armadura transversal mínima 
𝜙𝑚í𝑛 {
5,0 𝑚𝑚
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
4
→
1,6
4
= 4,0 𝑚𝑚
 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ≤
{
 
 
 
 
30 𝑐𝑚
12.1,6 = 19,2 𝑐𝑚 
190.0,5²
1,6
= 29,7 𝑐𝑚
 
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 5 𝑐𝑚 
 
Detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
5
6
0
7
0
10φ 16mm Φ6,3mm c/14cm 
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275 
 
46- RADIER 
Os radier são elementos estruturais que se assemelham muito as sapatas e lajes, sua 
escolha pode ser baseada na possibilidade antieconômica na utilização de sapatas, 
quando a área de base das sapatas é maior do que 50% da área total da base da 
edificação, tornando a escolha do radier mais viável economicamente. 
Dentro das estruturas o radier pode ser usado em diversas variantes: radier lisos, radier 
com pedestais ou cogumelos, radiers nervurados, radiers em caixão, na ordem de maior 
rigidez relativa. 
 
46.1- Dimensionamento de radiers 
Os radiers podem ser dimensionados de diversas maneiras, desde os mais simplificados 
até os mais complexos, alguns desses métodos são: método estático; sistema de vigas 
sobre base elástica; método de placa sobre solo de Winkler; método das diferenças 
finitas; método dos elementos finitos. Apesar de alguns métodos serem mais simples 
que outros, todos se mostram complexos para o dimensionamento sem o auxílio de 
ferramentas computacionais para facilitar os trabalhos, portanto, neste curso iremos 
apresentar o método de grelhas, contudo, não iremos dimensionar nenhum elemento 
de forma manual, para não estender o curso além do necessário. 
A analogia de radier pelo sistema de grelhas é o mesmo sistema utilizado pela grande 
maioria dos softwares específicos de dimensionamento de elementos de concreto. 
Esses sistema basicamente mede os deslocamento de uma malha de pontos que são 
apoiados diretamente sobre um meio elástico, que simula o comportamento do solo, 
Figura 165 - Tipos de radiers - a) Radier liso b) Radier com pedestais c) Radier nervurado d) 
Radier em caixão 
a) b) 
c) d) 
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276 
 
com esses deslocamentos é possível analisar os esforços gerados no painel do radier e 
então dimensiona-lo posteriormente. 
A maneira mais simples de quantificar o efeito da deformidade do solo é através de 
molas discretizadas, proposto por Scarlat (1993), estas molas são representadas por 
coeficiente de apoio elásticos Ks (kN/m), que é diretamenteproporcional ao módulo de 
reação Ki (kN/m³) e a área carregada Af (m²), assim se apresenta uma abordagem 
simplificada para a determinação do módulo de reação como mostra a equação abaixo: 
𝐾𝑖 =
𝐾𝑠
𝐴𝑓
 
Esse procedimento simplificado é baseado na hipóteses de Winkler e não considera a 
interação das molas adjacentes, portanto, os tendem a crescer significativamente para 
o caso de solos pouco rígidos. Para o caso de deformação vertical a hipótese de Winkler 
é dada pela equação: 
𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝐾𝑠
𝑣. 𝑤(𝑥, 𝑦) 
 
Sendo: 
𝜎(𝑥, 𝑦)= Tensão de contato média na base da fundação 
𝑤(𝑥, 𝑦)= Deslocamento vertical 
𝐾𝑠
𝑣= Módulo de reação vertical, sendo este valor definido em função do tipo de solo que 
compões o maciço de fundação 
 
Assumindo a base da fundação como permanente rígida após a deformação elástica do 
solo é possível admitir, de maneira aproximada, uma variação linear de tensões. 
Consequentemente, o conjunto de molas pode ser substituído por um conjunto de três 
molas globais no centro da fundação, com as seguintes características: 
𝐾𝑣 (
𝑘𝑁
𝑚
) Coeficiente de mola para os deslocamentos verticais, w; 
𝐾ℎ (
𝑘𝑁
𝑚
) Coeficiente de mola para os deslocamentos horizontais, x,y; 
𝐾𝜃 (
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
) Coeficiente de mola para rotações, (ϕ, ω) 
Os coeficientes de apoio elásticos apresentados permitem calcular os deslocamentos a 
partir da hipótese de Winkler, conforme as equações abaixo: 
𝑤 =
𝑁
𝐾𝑣
=
𝐹
𝐾𝑠
𝑣 . 𝐴𝑓
 
𝑣 =
𝑁
𝑘ℎ
=
𝐹
𝐾𝑠
ℎ. 𝐴𝑓
 
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277 
 
𝜑 =
𝑀
𝐾𝜃
=
𝑀
𝐾𝑠
𝜑
𝐼𝑓
 
Normalmente assume-se 𝐾𝑠 = 𝐾𝑠
𝑣 = 𝐾𝑠
ℎ = 𝐾𝑠
𝜑
, portanto, vários ensaios tem 
demonstrado que tais valores são diferentes. Isso ocorre devido ao módulo de reação 
Ks não é uma constante do solo e depende de uma série de outros fatores tais como: 
forma, dimensões da fundação e tipo de construção. 
Para o bom dimensionamento de um radier com uma grelha sobre base elástica, ou seja 
admitindo um sistema de molas, é necessário conhecer a constante elástica (k) da mola, 
que depende diretamente do tipo de solo. Essa constante pode ser determinada através 
de ensaios de placa, através de tabelas (geradas a partir de ensaios de placa) e cálculo 
de recalque da fundação real. 
É possível obter esses valores na literatura, como os valores sugeridos por Terzaghi 
(1955) para a constante elástica de solos argilosos e arenosos, obtidos através de ensaio 
de placa: 
Tabela 34-Módulo de reação do solo Ks1 em Kgf/cm³ (Terzaghi, 1955) 
Argila Rija Muito Rija Dura 
Qu (kgf/cm²) 1 - 2 2 - 4 > 4 
Faixa de valores 1,6 - 3,2 3,2 – 6,4 >6,4 
Valor proposto 2,4 4,8 9,6 
Areias Fofa Méd. compacta Compacta 
Faixa de valores 0,6 – 1,9 1,9 – 9,6 9,6 – 32 
Areia acima N.A 1,3 4,2 16 
Areia submersa 0,8 2,6 9,6 
 
Os valores obtidos na literatura clássica, assim como os obtidos por ensaio de placa 
precisam ser corrigidos de acordo com a forma e a dimensão da placa. O coeficiente 
corresponde a uma resposta do solo a um carregamento aplicado por uma determinada 
estrutura e não uma propriedade do solo. 
De acordo com o American Concrete Institute (1988), a transformação do Ks1 obtido no 
ensaio de placa para o Kv, que é utilizado no cálculo de fundação pode ser feita 
utilizando a equação abaixo: 
𝐾𝑣 = 𝐾𝑠1. (
𝑏
𝐵
)
𝑛
 
Onde 𝑛 é um coeficiente que varia entre 0,5 e 0,7. No caso do radier o valor de B é muito 
grande resultando em um 𝐾𝑣 pequeno. 
 
De acordo com Hambly (1976), a rigidez a torção em toda a região do radier é assumida 
pela superposição de análises concentrando-se em barras de grelha equivalente. A 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
278 
 
rigidez longitudinal do radier é concentrada nas barras longitudinais e a rigidez 
transversais é concentrada nas barras transversais, de forma que a rigidez da barras será 
semelhado quando dado o protótipo do radier e a grelha equivalente submetidos aos 
mesmos esforços, as duas estruturas apresentarão deslocamentos idênticos e esforços 
internos equivalentes. Ou seja, os momentos fletores, forças de cisalhamento e 
momentos torçores nas barras da grelha terão resultantes de tensão iguais na seção 
transversal correspondentes do radier à barra representada. 
 
Figura 166 - Grelha em meio elástico 
 
Na grelha não há princípio matemático ou físico que faça com que os momentos 
torçores sejam automaticamente iguais na direções ortogonais em um só nó. Se a 
discretização da malha for muito grande, a grelha se deformará e apresentará distorções 
aproximadamente iguais nas direções ortogonais, assim como momentos torçores 
relativamente parecidos se a rigidez à torção forem os mesmos nas duas direções. 
O momento fletor em qualquer barra da grelha só é proporcional a sua curvatura, em 
um elemento de laje, o momento em qualquer direção depende tanto da curvatura 
naquela direção, quanto da curvatura da direção ortogonal. 
A vinculação das barras permitem a interação de forças ortogonais ao plano da grelha e 
de dois momentos em torno dos eixos pertencentes a esse plano por nó da barra. Cada 
nó apresenta três graus de liberdade, sendo a translação ortogonal e duas rotações no 
plano do radier. 
Não há como definir uma malha ideal para os radiers, uma vez que é executado em 
variadas geometrias e diferentes carregamentos. No entanto, é possível definir critérios 
para radiers retangulares por exemplo, que devem ser adequados a cada projeto. 
Critérios que devem ser levados em consideração na discretização das malhas para 
obtenção dos esforços no radier: 
➢ Quanto mais discretizada for a malha, melhores serão os resultados obtidos. 
Estes resultados deixam de ser satisfatórios quando a largura da barra for maior 
que duas ou três vezes a espessura do radier. 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
279 
 
➢ Nas regiões onde se tem concentrações de carga, recomenda-se adotar uma 
malha menos espaçada para obter um melhor resultado quanto aos esforços. 
➢ Os espaçamentos das barras da grelha em cada direção não devem ser muito 
diferentes para que haja uma uniformidade na distribuição dos carregamentos 
➢ É necessário colocar uma linha de barras no contorno do radier, diminuindo a 
largura para o cálculo do momento de inércia a torção de 0,3h, por se tratar do 
ponto onde passa a resultante das tensões de cisalhamento devida á torção. 
46.2- Carregamento das barras 
O carregamento no radier, oriundo dos pilares, alvenaria, peso próprio e cargas 
acidentais, pode ser representado através de cargas uniformemente distribuídas ou 
concentradas. As cargas aplicadas no radier são distribuídas entre os elementos da 
grelha equivalente, de acordo com a área de influência de cada uma. Podem ser 
consideradas uniformemente distribuídas ao longo dos elementos, ou dentro de um 
certo grau de aproximação, concentradas nos nós, quando há um grande 
refinamento na discretização da malha. Neste caso, pode-se utilizada o processo de 
área de influência, onde a carga a uma distância menor ou igual a metade do 
comprimento da barra, em ambas as direções, e levada diretamente ao nó mais 
próximo. A carga aplicada é calculada utilizando a equação: 
𝑄𝑖 = (𝑔 + 𝑞). 𝐴𝑓 
 
Sendo: 
𝑔= Carga permanente aplicada no radier por unidade de área; 
𝑞= Carga acidental aplicada no radier por unidade de área; 
𝐴𝑓= Área de influência do nó i; 
𝑄𝑖= Carga aplicada no nó i da grelha 
 
 
Obs.: As cargas concentradas são 
aplicadas diretamente nos nós 
 
 
46.3- Propriedade geométricas e físicas das barras discretizadas 
As propriedade são de extrema importância pois influenciam diretamente nos 
resultados. Cada faixa da grelha irá representar uma faixa da placa, similar ao que 
acontece em lajes, apresentando a espessura da laje ea largura, a qual é dependente 
P 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
280 
 
da malha da grelha. Portanto as barras devem apresentar propriedades que 
representem geometricamente e fisicamente a placa em estudo. 
É necessário definir alguns parâmetros dos materiais, como o módulo de elasticidade E, 
e o módulo de deformação ao cisalhamento G. O valor de G é obtido diretamente 
através de relação definida pela resistência dos materiais, dependendo unicamente do 
valor do coeficiente de Poisson e do módulo de elasticidade E. O módulo de elasticidade 
adotado para o concreto armado é módulo secante Ecs. Segundo a norma brasileira NBR 
6118/2014, o módulo de elasticidade longitudinal do concreto pode ser calculado com: 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85. 𝐸𝑐𝑖 
Sendo 𝐸𝑐𝑖 o módulo tangente, dado pela equação: 
𝐸𝑐𝑖 = 5600√𝑓𝑐𝑘 
 
A relação que define o valor do módulo de deformação ao cisalhamento G, de acordo 
com o valor de 𝑣 e E adotados, para materiais isotrópicos e em estado plano de tensões 
é dado por: 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝑣)
 
 
As propriedade geométricas dos 
elementos da grelha podem ser 
considerados a partir de uma faixa de 
largura b, igual a soma da metade das 
distâncias entre os elementos vizinhos, e 
de espessura h 
 
 
 
Os momentos de inércia á flexão (I) e 
torção (J) são portanto, calculados para uma seção retangular de dimensões b x h, pelas 
equações abaixo: 
𝐼 =
𝑏. ℎ3
12
 
𝐽 =
3. 𝑏3. ℎ³
10. (𝑏2 + ℎ2)
 
 
Figura 167 - Representação de um elemento isolado da 
grelha 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
281 
 
 
46.4- Esforços nas barras 
O carregamento atuante nas barras provoca rotações e deslocamentos verticais, bem 
como esforços nodais. Os esforços nodais que surgem nas barras são três e estão 
representados na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m2 
t2 
v2 
v1 
m1 
t1 
Figura 168 - Esforços atuantes na 
barra 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
282 
 
47- Projeto de fundações de um edifício de 5 pavimentos (Curso do 
edifício completo) 
Para exemplificar como é a concepção de um projeto de fundações, vamos desenvolver 
neste curso o dimensionamento dos elementos de fundação de um edifício de 5 
pavimentos, préviamente calculado no nosso curso do edifício completo, como já 
obtivemos todas as cargas que serão aplicada na fundação, temos apenas de utilizar os 
mesmo roteiros de cálculo já desenvolvidos nos exemplos genéricos utilizados neste 
curso para desenvolver o dimensionamento para este projeto, vamos dimensionar 
todos os elementos, com sapatas e todos os elementos com blocos sobre estacas, que 
são os tipos de fundação mais usuais para este tipo de edificação, o projeto consistem 
na planta abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2
0
1
L2
0
2
L2
2
1
L2
2
2
L2
0
3
L2
0
4
L2
2
0
L2
1
9L2
1
3
L2
0
9
L2
1
1
L2
1
8
L2
1
4
L2
0
5
L2
0
8
L2
1
7
L2
1
5
L2
0
6
L2
0
7
L2
1
6
L2
1
2
L2
1
0
V
2
0
1
V
2
0
1
V
2
0
3
V
2
0
2
V
2
0
6
V
2
0
7
V
2
0
4
V
2
0
5
V
2
0
8
V
2
0
9
V
2
1
0
V
2
1
1
V
2
1
5
V
2
1
3
V
2
1
4
V
2
1
2
V217V218
V219
V220
V221
V222
V223
V225
V226
V227
V229 V229
V
2
1
6
V224
P
1
P
3
P
4
P
6
P
7
P
8
P
1
1
P
1
3
P
1
4
P
1
5
P
1
9
P
2
1
P
2
2
P
2
5
P
2
9
P
2
6
P
2
P
5
P
1
0
P
9
P
1
2
P
1
8
P
1
7
P
1
6
P
2
0
P
2
4
P
2
3
P
2
8
P
3
0
P
2
7
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283 
 
 
 
 
 
Tabela 35 - Cargas na fundação projeto edifício completo 
PILARES\NÍVEIS P1=P2=P29=P30
P3=P6=P25=
P28 P4=P5
P7=P10=P
21=P24
P8=P9=P22
=P23 P11 P12 P13=P18 P14=P17 P15=P16 P19=P20 P26=P27
COBERTURA\RESERVATÓRIO - - 0 - - 0 0 - - - 0 -
BARRILETE - - 100 - - 100 100 - - - 100 -
COBERTURA 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
4º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
3º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
2º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
1º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
TÉRREO 44,4 150,2 130,4 78 41,8 137 134,1 54,2 110,4 162,8 66,8 76,9
Σ 293,75 928,55 909,75 542,55 278,15 949,35 931,95 352,55 689,75 1004,15 528,15 488,75
FUNDAÇÃO 352,5 1114,26 1091,7 651,06 333,78 1139,2 1118,3 423,06 827,7 1204,98 633,78 586,5
Momento em X (kN.cm) 1129 0 1129 1129 0 0 0 1129 0 0 1129 1129
Momento em y (kN.cm) 1129 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1580
PILAR MAIS SOLICITADO P15=P16 1204,98
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
284 
 
 
47.1- Estudos preliminares do terreno – Curvas de nível e corte aterro 
O Empreendimento será inserido em um terreno de 1200 m² (30x40) em aclive, onde 
será executado um trabalho de corte aterro com compensação, conforme indicado nas 
figuras abaixo: 
 
Figura 169 - Curvas de nível 
 
600
601
602
603
604
605
606
607
608
Figura 170 - Curvas de nível 3D 
Corte 
Aterro 
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285 
 
 
P
1
P
3
P
4
P
6
P
7
P
8
P
1
1
P
1
3
P
1
4
P
1
5
P
1
9
P
2
1
P
2
2
P
2
5
P
2
9
P
2
6
P
2
P
5
P
1
0
P
9
P
1
2
P
1
8
P
1
7
P
1
6
P
2
0
P
2
4
P
2
3
P
2
8
P
3
0
P
2
7
Figura 171 - Implantação dentro do terreno 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
286 
 
47.2- Pontos de sondagem de acordo com a planta de cargas 
 
 
S
P
1
S
P
2
S
P
3
S
P
6
S
P
5
S
P
4
Figura 172 - Locação dos pontos de sondagem 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
287 
 
47.3- Analise dos laudos de sondagem Laudos de sondagem 
 
 
 
 
 
 
 
mx mn
MÉDIA 1,5 1,2 3/15 4/15 3/15 7 1
2,00 MÉDIA 1,7 1,1 4/15 4/15 4/15 8 2
MÉDIA 1,4 1,2 4/15 4/15 5/15 9 3
4,00 MÉDIA 1,2 1 5/15 5/15 5/15 10 4
RIJA 1,1 1 5/15 5/15 6/15 11 5
6,20 RIJA 1,2 1,1 6/15 6/15 6/15 12 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 13 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 15 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA 1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
ARGILA SILTOSA 
AMARELA 
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA ESCURA
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA ESCURA
ARGILA VERDE
AREIA BEM 
GRADUADA 
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEM DE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP1
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
Figura 173 - Sondagem SP1 – região do corte 
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288 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mx mn
MÉDIA 1,5 1,2 3/15 4/15 5/15 9 1
2,00 MÉDIA 1,7 1,1 3/15 4/15 5/15 9 2
MÉDIA 1,4 1,2 3/15 4/15 6/15 10 3
4,00 MÉDIA 1,2 1 5/15 5/15 5/15 10 4
RIJA 1,1 1 5/15 5/15 6/15 11 5
6,20 RIJA 1,2 1,1 6/15 6/15 6/15 12 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 13 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 15 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEM DE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP2
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
ARGILA SILTOSA 
AMARELA 
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA ESCURA
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA ESCURA
ARGILA VERDE
AREIA BEM 
GRADUADA 
Figura 174 - Sondagem SP2 - região de corte 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
289 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 175 - Sondagem SP3 - região de corte 
mx mn
MÉDIA 1,5 1,2 3/15 3/15 3/15 6 1
MÉDIA 1,7 1,1 4/15 3/15 4/15 7 2
MÉDIA 1,4 1,2 5/15 3/15 4/15 7 3
MÉDIA 1,2 1 5/15 4/15 4/15 8 4
RIJA 1,1 1 4/15 4/15 5/15 9 5
RIJA 1,2 1,1 4/15 4/15 4/15 8 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 13 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 15 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA 1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
6,20
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
ARGILA VERDE
AREIA BEM 
GRADUADA 
ARGILA SILTOSA 
ARGILA SILTOSA 
VERMELHA 
2,00
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEM DE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP3
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
290 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 176 - Sondagem SP4 - região de aterro 
mx mn
MOLE 1,5 1,2 1/15 1/15 2/15 3 1
MOLE 1,7 1,1 3/15 1/15 2/15 3 2
MOLE 1,4 1,2 3/15 2/15 2/15 4 3
MOLE 1,2 1 2/15 2/15 3/15 5 4
MOLE 1,1 1 3/15 3/15 3/15 6 5
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 3/15 5/15 8 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 13 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 15 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA 1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEM DE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP4
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
ARGILA VERDE
AREIA BEM 
GRADUADA 
ARGILA SILTOSA 
AVERMELHADA
ARGILA SILTOSA 
2,00
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
291 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 177 - Sondagem SP5 - região de aterro 
mx mn
1,20 MOLE 1,5 1,2 1/15 1/15 2/15 2 1
MOLE 1,7 1,1 3/15 1/15 2/15 3 2
MOLE 1,4 1,2 3/15 2/15 2/15 3 3
MOLE 1,2 1 2/15 2/15 3/15 4 4
MOLE 1,1 1 3/15 3/15 3/15 5 5
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 3/15 5/15 7 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 8 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 13 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA 1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
AREIA BEM 
GRADUADA 
ARGILA SILTOSA
7,00
ARGILA SILTOSA AV
ARGILA SILTOSA
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEM DE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP5
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
292 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 178 - Sondagem SP6 - região aterro 
mx mn
MOLE 1,5 1,2 1/15 1/15 2/15 2 1
MOLE 1,7 1,1 3/15 1/15 2/15 2 2
MOLE 1,4 1,2 3/15 2/15 2/15 4 3
MOLE 1,2 1 2/15 2/15 3/15 4 4
MOLE 1,1 1 3/15 3/15 3/15 5 5
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 3/15 5/15 7 6
RIJA 1,1 7/15 6/15 7/15 8 7
RIJA 1,2 1,1 5/15 8/15 7/15 13 8
MÉDIA 1,2 1,1 4/15 4/15 5/15 9 9
MÉDIA 1,2 1,1 5/15 5/15 3/15 8 10
MOLE 1,2 1 4/15 3/15 2/15 5 11
12,2 MOLE 1,2 1,1 2/15 2/15 2/15 4 12
(-)COMPACTA 1,2 1 3/15 3/15 5/15 8 13
(/)COMPACTA 1,2 1 5/15 5/15 7/15 12 14
(/)COMPACTA 1,2 1 7/15 8/15 8/15 16 15
(/)COMPACTA 1,3 1,1 8/15 8/15 8/15 16 16
17,1 COMPACTA 1,2 1 8/15 12/15 15/15 27 17
(+)COMPACTA 1,1 1 45/15 46/15 45/15 91 18
(+)COMPACTA 1,2 1,1 45/15 48/15 45/15 93 19
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/15 95 20
(+)COMPACTA 1,2 1,1 48/15 48/15 47/16 95 21
SPT
10 20 30 40
EMPRESA SONDAGEM DE SOLO
SONDAGEM A PERCUSÃO CLIENTE SP6
Profundi
dade 
(m)
Perfil 
do 
solo
Consistência Descrição do solo
N
. 
D
´Á
G
U
A
M
et
ro Torque
N° de Golpes SPT
A
m
o
stra
21,2
AREIA MUITO 
COMPACTA
AREIA BEM 
GRADUADA 
ARGILA SILTOSA 
AVERMELHADA
ARGILA SILTOSA
4,10
7,05
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
293 
 
47.4- Planta de cargas 
P
1
P
3
P
4
P
6
P
7
P
8
P
1
1
P
1
3
P
1
4
P
1
5
P
1
9
P
2
1
P
2
2
P
2
5
P
2
9
P
2
6
P
2
P
5
P
1
0
P
9
P
1
2
P
1
8
P
1
7
P
1
6
P
2
0
P
2
4
P
2
3
P
2
8
P
3
0
P
2
7
3
5
3
 k
N
3
5
3
 k
N
3
5
3
 k
N
3
5
3
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
0
9
2
 k
N
1
0
9
2
 k
N
6
5
2
 k
N
6
5
2
 k
N
6
5
2
 k
N
6
5
2
 k
N
3
3
4
 k
N
3
3
4
 k
N
3
3
4
 k
N
3
3
4
 k
N
1
1
4
0
 k
N
1
1
1
8
 k
N
4
2
3
 k
N
4
2
3
 k
N
8
2
8
 k
N
8
2
8
 k
N
1
2
0
5
 k
N
1
2
0
5
 k
N
6
3
4
 k
N
6
3
4
 k
N
5
8
7
 k
N
5
8
7
 k
N
Figura 179 - Planta de cargas 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
294 
 
 
Figura 180 - Planta dos elementos de fundação 
P
1
P
3
P
4
P
6
P
7
P
8
P
1
1
P
1
3
P
1
4
P
1
5
P
1
9
P
2
1
P
2
2
P
2
5
P
2
9
P
2
6
P
2
P
5
P
1
0
P
9
P
1
2
P
1
8
P
1
7
P
1
6
P
2
0
P
2
4
P
2
3
P
2
8
P
3
0
P
2
7
3
5
3
 k
N
3
5
3
 k
N
3
5
3
 k
N
3
5
3
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
1
1
5
 k
N
1
0
9
2
 k
N
1
0
9
2
 k
N
6
5
2
 k
N
6
5
2
 k
N
6
5
2
 k
N
6
5
2
 k
N
3
3
4
 k
N
3
3
4
 k
N
3
3
4
 k
N
3
3
4
 k
N
1
1
4
0
 k
N
1
1
1
8
 k
N
4
2
3
 k
N
4
2
3
 k
N
8
2
8
 k
N
8
2
8
 k
N
1
2
0
5
 k
N
1
2
0
5
 k
N
6
3
4
 k
N
6
3
4
 k
N
5
8
7
 k
N
5
8
7
 k
N
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
295 
 
47.5 - Memoriais de cálculo de todos os elementos de fundação 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
296 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
297 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________298 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
299 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
300 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
301 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
302 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
303 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
304 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
305 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
306 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
307 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
308 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
309 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
310 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
311 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
312 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
313 
 
 
 
PILA 11 E 12 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
314 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
315 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
316 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
317 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
318 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
319 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
320 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
321 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
322 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
323 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
324 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
325 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
326 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
327 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
328 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
329 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
330 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
331 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
332 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
333 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
334 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
335 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
336 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
337 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PILAR 1 E 2
N1 - 10 Ø8mm c=1.70
1.22
.0
9
.0
9
.15
.15
.15
.09
1
.4
2
.09
.1
5
N
2
 -
 9
 Ø
8
m
m
 c
=
1
.9
0
PILAR 3 E 6
2.27 .1
8
.20.20
.1
8
.18
.20
2
.4
7
.18
.2
0
N1 - 20 Ø10mm c=3.03
N
2
 -
 2
0
 Ø
1
0
m
m
 c
=
3
2
3
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
338 
 
 
 
 
 
 
 
PILAR 7 E 21
N1 - 10 Ø10mm c=3.20
2.52 .1
4
.20.20
.1
4
N
2
 -
 1
7
 Ø
8
m
m
 c
=
2
.3
0
1
.6
2
.14
.2
0
.20 .14
PILAR 4 E 5
N1 - 20 Ø10mm c=3.0
N
2
 -
 1
9
 Ø
1
0
m
m
 c
=
3
.2
0
2.22 .1
9
.20
.1
9
.20
.19
.20
2
.4
2
.19
.2
0
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
339 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PILAR 8 E 9
N
2
 -
 1
2
 Ø
8
m
m
 c
=
2
.0
N1 - 10 Ø10mm c=1.80
1
.5
2
.09
.15
.1
5.09
1.32
.15
.0
9
.15
.0
9
PILAR 10 E 24
N1 - 2x6 Ø8mm c=2.62
N2 - 2x3 Ø6,3mm c=2.62
N1 - 3 Ø8mm c=2.02
.6
0
1.42
.6
0
.6
0
1.42
.6
0
.1
5 1.42 .1
5
N1 - 4 Ø6.3mm c=1.42
N
1
 -
 2
x
6
 Ø
8
m
m
 c
=
2
.6
2
N
2
 -
 2
x
3
 Ø
6
,3
m
m
 c
=
2
.6
2
N
1
 -
 3
 Ø
8
m
m
 c
=
2
.0
2
.60
1
.4
2
.60
.60
1
.4
2
.60
.15
1
.4
2
.15
N
1
 -
 4
 Ø
6
.3
m
m
 c
=
1
.4
2
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
340 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PILAR 11 E 12
N1 - 2x7 Ø10mm c=2.62
N2 - 2x6 Ø6,3mm c=2.62
N1 - 6 Ø8mm c=2.02
.6
0
1.42
.6
0
.6
0
1.42
.6
0
.1
5 1.42 .1
5
N1 - 7 Ø6.3mm c=1.42
N
1
 -
 2
x
7
 Ø
1
0
m
m
 c
=
2
.6
2
N
2
 -
 2
x
6
 Ø
6
,3
m
m
 c
=
2
.6
2
N
1
 -
 6
 Ø
8
m
m
 c
=
2
.0
2
.60
1
.4
2
.60
.60
1
.4
2
.60
.15
1
.4
2
.15
N
1
 -
 7
 Ø
6
.3
m
m
 c
=
1
.4
2
PILAR 13
N
2
 -
 1
2
 Ø
8
m
m
 c
=
2
.2
8
N1 - 12 Ø8mm c=2.08
1.52.1
3
.15
.15
.1
3
.15 .13
1
.7
2
.13
.1
5
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
341 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
342 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
343 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PILAR 18
N1 - 4 Ø6.3mm c=1.42
N1 - 8Ø 10mm c=2.32
N1 - 9 Ø 8mm c=4.28
N
1
 -
 9
 Ø
 8
m
m
 c
=
2
.3
8
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
344 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
345 
 
 
 
 
 
 
 
 
PILAR 26 E 27
N
1
 -
 6
 Ø
6
.3
m
m
 c
=
1
.4
2
N
2
 -
 1
1
Ø
 1
0
m
m
 c
=
2
.3
2
N
3
 -
 9
 Ø
 8
m
m
 c
=
3
.8
8
N4 - 9 Ø 8mm c=1.98
PILAR 22, 23, 29 E 30
N
1
 -
 4
 Ø
6
.3
m
m
 c
=
1
.4
2
N
2
 -
 7
Ø
 1
0
m
m
 c
=
2
.3
2
N
3
 -
 9
 Ø
 8
m
m
 c
=
3
.8
8
N4 - 9 Ø 8mm c=1.98
Curso de Fundações – O Canal da Engenharia________________________________________ 
 
346 
 
48- Referências bibliográficas 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execuções de fundação –, NBR 6122. 
Rio de Janeiro, ABNT, 2010, 33p. 
 
VELLOSO, A. D E LOPES, R. F. Fundações – Critérios de projeto, investigação geotécnica, Fundações 
superficiais e profundas 
BASTOS, P.S.S. Blocos de fundação. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, 
Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista 
(UNESP), abr/2016, 79p. Disponível em (30/07/2016): 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
BASTOS, P.S.S. Sapatas. Disciplina 2123 – Estruturasde Concreto II. Bauru/SP, Departamento 
Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2016, 
119p. Disponível em (30/07/2016): 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
HACHICH, W.; FALCONI, F.F. ; SAES, J.L. ; FROTA, R.G.Q. ; CARVALHO, C.S. ; NIYAMA, S. 
Fundações – Teoria e prática. São Paulo, Ed. Pini, ABMS/ABEF, 2ª. ed., 2000, 751p. 
MONTOYA, J. Hormigon armado, v.1-2. Barcelona, Ed. Gustavo Gili, 5 a. ed., 1971. 
MUNI BUDHU. Fundações e estruturas de contenções, Ed. LTC. Rio de Janeiro 2015 
ALBUQUERQUE, R. J. P e MELO, N.B; Fundações – Notas de aula, São Paulo 2013 152p 
MELO, N.B; Mecânica dos solos – Notas de aula, São Paulo 2012 97p 
MARANGON, M; Geotecnia e fundações – Parâmetros do solo para cálculo de fundações, 16p 
DELALIBERA, G. R; Tópicos de especiais em concreto armado – São Carlos 2006, 47p 
GONÇALVES, S. H. H.; Mecânica dos solos e fundações – 2014, 143p 
GIACHETTI, H; Ensaio Piezocone para analises estratigráficas – FEB/Unesp, departamento de 
engenharia civil e ambiental Bauru, 6p 
NILSSON, T; DPL Para taludes – CCR Engelog; Jundiaí-SP; 6p 
DÓRIA, S, E, L e LIMA, B, L – Analises de fundação do tipo radier empregando o modelo de analogia 
de grelha; IBRACON Alagoas 2008; 15p