MATEMATICA BÁSICA

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Matemática Básica 
 
Matemática Básica 
Edney Dantas de Oliveira 
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Matemática Básica 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: Edney Dantas de Oliveira 
Revisão Ortográfica: Natália Barci de Souza e Marcus Vinicius da Silva 
Projeto Gráfico: Andreza Nacif, Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos, Marcos Antonio Lima 
da Silva e Ruan Carlos Vieira Fausto 
Editoração: Antonia Machado 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Janaina Gonçalves de Jesus 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói. 
 
O48m Oliveira, Edney Dantas de. 
Matemática básica / Edney Dantas de Oliveira ; revisão de 
Natália Barci de Souza e Marcus Vinicius da Silva. – Niterói, RJ: 
EAD/UNIVERSO, 2013. 
196 p. : il 
 
1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Educação 
à distância. I. Souza, Natália Barci de. II. Silva, Marcus Vinicius 
da. III. Título. 
 
Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira. 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedora 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
 
Matemática Básica 
 
 
Palavra da Reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o 
momento, ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora. 
Matemática Básica 
 
Matemática Básica 
 
 
 
Sumário 
 
1. Apresentação da disciplina ....................................................................................... 07 
2. Plano da disciplina ..................................................................................................... 09 
3. Unidade 1 – Conjuntos .............................................................................................. 17 
4. Unidade 2 – Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais ...................................... 37 
5. Unidade 3 – Produto Cartesiano, Relações e Funções ...................................... 59 
6. Unidade 4 - Domínio e Qualidades das Funções ............................................... 75 
7. Unidade 5 - Função Inversa ..................................................................................... 89 
8. Unidade 6 - Função Composta ............................................................................... 99 
9. Unidade 7 - Função Afim ......................................................................................... 111 
10. Unidade 8 - Função Quadrática.............................................................................. 127 
11. Unidade 9 - Função Exponencial ........................................................................... 143 
12. Unidade 10 - Função Logarítmica .......................................................................... 157 
13. Unidade 11 - Função Modular ................................................................................ 171 
14. Considerações finais .................................................................................................. 185 
15. Conhecendo o autor ................................................................................................. 187 
16. Referências .................................................................................................................. 189 
17. Anexos ......................................................................................................................... 192 
 
 
Matemática Básica 
 
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Matemática Básica 
 
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Apresentação da Disciplina 
 
 
Caro aluno, 
Seja bem-vindo à disciplina Matemática Básica. Esta disciplina tem o propósito 
de rever e aprofundar conceitos básicos de matemática que foram estudados no 
ensino médio. Esses conceitos básicos serão necessários para a aprendizagem de 
uma matemática superior, o que irá lhe capacitar para identificar e aplicar estes 
conceitos matemáticos em diversas situações-problemas, relacionados ao seu 
cotidiano. 
 
Estaremos sempre presente no sentido de auxiliá-lo em suas tarefas. 
 
Bons estudos! 
Matemática Básica 
 
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Matemática Básica 
 
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Plano da Disciplina 
 
A disciplina Matemática Básica tem como objetivos Introduzir conceitos 
básicos de matemática necessários ao aprendizado de matemática superior; 
capacitar o aluno para aplicar conceitos matemáticos em diversas situações-
problemas. Desenvolver no educando a capacidade de aplicar definições e teorias 
básicas da matemática para resolver problemas relacionados ao seu cotidiano. 
Para o alcance dos objetivos desta disciplina, dividimos os conteúdos em 
unidades que serão apresentadas a seguir. 
 
Unidade 1: Conjuntos 
Nesta primeira unidade vamos estudar os Conjuntos, suas representações, 
tipos deconjuntos, subconjuntos, conjunto das partes de um conjunto, operações 
com conjuntos e obtenção do número de elementos da união entre conjuntos. 
Objetivos da unidade: 
 compreender e consolidar o conceito de conjuntos; 
 identificar e representar conjuntos utilizando diferentes formas, 
como chaves-diagramas, intervalos e lei de formação; 
 estabelecer relações de pertinência entre elemento e um conjunto; 
 estabelecer relações de contingência entre conjuntos; 
 realizar as operações de união, interseção e diferença de conjuntos; 
 resolver problemas que envolvam conceitos de conjuntos. 
 
Unidade 2: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais 
Nesta segunda unidade vamos estudar os Conjuntos Numéricos e Intervalos 
Reais, Conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. 
Também faremos uma revisão sobre dízima periódica e processo para obtenção de 
uma fração geratriz e finalizaremos com os Intervalos reais. 
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Objetivos da unidade: 
 identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, 
racionais, irracionais e reais, reconhecendo suas propriedades; 
 identificar e representar números decimais na forma de fração e vice-
versa; 
 identificar dízimas periódicas e seus períodos, e determinar sua 
fração geratriz; 
 representar números e intervalos reais na reta numérica; 
 realizar operações com intervalos numéricos. 
 
Unidade 3: Produto Cartesiano, Relações e Funções. 
Nesta terceira unidade vamos estudar o que é Produto Cartesiano, Relações 
Binárias, as funções e a determinação do zero da função. 
Objetivos da unidade: 
 diferenciar relação de função; 
 reconhecer o domínio, contradomínio e conjunto-imagem das 
funções; 
 utilizar corretamente as notações; 
 estabelecer a lei de correspondência de grandezas que apresentam 
regularidades; 
 calcular o valor numérico de uma função; 
 determinar os zeros das funções; 
 compreender o que é exatamente a função e para que ela serve. 
Matemática Básica 
 
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Unidade 4: Domínio e Qualidades das Funções 
Nesta quarta unidade vamos estudar o que é domínio de uma função real e 
sua determinação, as qualidades de uma função e suas paridades. 
Objetivos da unidade: 
 qualificar uma função: Sobrejetiva, Injetiva ou Bijetiva; 
 compreender o que é exatamente a qualificação de uma função e 
para que ela serve. 
 
Unidade 5: Função Inversa 
Nesta quinta unidade vamos estudar o que é uma função Inversa e suas 
propriedades. 
Objetivos da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Inversa e onde deve ser 
usada; 
 observar a simetria entre o gráfico de uma função bijetora f e o de 
sua inversa f-1. 
 
Unidade 6: Função Composta 
Nesta sexta unidade vamos estudar o que é uma Função Composta e suas 
aplicações. 
Objetivo da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Composta e onde deve 
ser usada. 
Matemática Básica 
 
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Unidade 7: Função Afim 
Nesta sétima unidade vamos estudar o que é Função Afim. Começaremos 
definindo seu conceito, a seguir apresentaremos seu gráfico e propriedades; 
faremos o estudo do sinal da função; analisaremos as inequações do 1o grau; os 
sistemas de inequações e finalizaremos com as inequações-produto e as 
inequações-quociente. 
Objetivos da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Afim e onde deve ser 
usada; 
 interpretar diferentes representações como gráficos, sentenças, 
esquemas e equações; 
 ler, interpretar e construir gráficos de Funções Afins; 
 construir e analisar os gráficos que fazem parte do seu cotidiano; 
 identificar as principais propriedades e diferenças entre as Funções 
Afins, e as demais funções; 
 determinar o zero das Funções Afins; 
 analisar o comportamento das Funções Afins, identificando quando 
elas são crescentes, decrescentes ou constantes; 
 utilizar o conceito de Função Afim como base para a formação de 
argumentações; 
 resolver problemas que envolvam o conceito de Função Afim. 
 
Unidade 8: Função Quadrática 
Nesta oitava unidade vamos estudar o que é Função Quadrática, 
começaremos definindo seu conceito; a seguir apresentaremos seu gráfico e 
propriedades. Faremos o estudo do sinal da função, analisaremos as inequações do 
2o grau, os sistemas de inequações; finalizaremos com as inequações-produto e as 
inequações-quociente. 
Matemática Básica 
 
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Objetivos da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Quadrática e onde deve 
ser usada; 
 interpretar diferentes representações como gráficos, sentenças, 
esquemas e equações; 
 ler, interpretar e construir gráficos de Funções Quadráticas; 
 construir e analisar os gráficos que fazem parte do seu cotidiano; 
 identificar as principais propriedades e diferenças entre as Funções 
Quadráticas, e as demais funções; 
 determinar os zeros das Funções Quadráticas; 
 analisar o comportamento das Funções Quadráticas, identificando os 
intervalos em que elas são crescentes, decrescentes ou constantes; 
 utilizar o conceito de Função Quadrática como base para a formação 
de argumentações; 
 resolver problemas que envolvam o conceito de Função Quadrática. 
 
Unidade 9: Função Exponencial 
Nesta nona unidade vamos estudar o que é Função Exponencial, 
começaremos fazendo uma revisão de potências, a seguir apresentaremos a 
definição de função exponencial, seus gráficos e propriedades, as equações 
exponenciais e finalizaremos com as inequações exponenciais. 
Objetivos da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Exponencial e onde 
deve ser usada; 
 interpretar diferentes representações como gráficos, sentenças, 
esquemas e equações; 
Matemática Básica 
 
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 ler, interpretar e construir gráficos de Funções Exponenciais; 
 construir e analisar os gráficos que fazem parte do seu cotidiano; 
 identificar as principais propriedades e diferenças entre as Funções 
Exponenciais e as demais funções; 
 analisar o comportamento das funções, identificando quando elas 
são crescentes ou decrescentes; 
 utilizar o conceito de Função Exponencial como base para a 
formação de argumentações; 
 resolver problemas que envolvam o conceito de Função 
Exponencial. 
 
Unidade 10: Função Logarítmica 
Nesta décima unidade vamos estudar o que é Função Logarítmica, 
começaremos definindo Logaritmos, as propriedades operatórias dos logaritmos, 
as situações onde precisamos das mudanças de base, na sequencia, 
apresentaremos a definição de função Logarítmica, seus gráficos e propriedades, as 
equações logarítmicas, as inequações logarítmicas e finalizaremos com as relações 
entre as funções logarítmicas e exponenciais. 
Objetivos da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Logarítmica e onde deve 
ser usada; 
 interpretar diferentes representações como gráficos, sentenças, 
esquemas e equações; 
 ler, interpretar e construir gráficos de Funções Logarítmicas; 
 construir e analisar os gráficos que fazem parte do seu cotidiano; 
 identificar as principais propriedades e diferenças entre as Funções 
Logarítmicas e as demais funções; 
Matemática Básica 
 
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 analisar o comportamento das funções, identificando quando elas 
são crescentes ou decrescentes; 
 utilizar o conceito de Função Logarítmica como base para a 
formação de argumentações; 
 resolver problemas que envolvam o conceito de Função Logarítmica. 
 
Unidade 11: Função Modular 
Nesta décima primeira unidade vamos estudar o que é uma Função Modular, 
começaremos definindo a função modular, a seguir apresentaremos seus gráficos e 
propriedades, as equações modulares e finalizaremos com as inequaçõesmodulares. 
Objetivos da unidade: 
 compreender o que é exatamente a Função Modular e onde deve ser 
usada; 
 interpretar diferentes representações como gráficos, sentenças, 
esquemas e equações; 
 ler, interpretar e construir gráficos de Funções Modulares; 
 construir e analisar os gráficos que fazem parte do seu cotidiano; 
 identificar as principais propriedades e diferenças entre as Funções 
Modulares e as demais funções; 
 determinar os zeros das Funções Modulares; 
 analisar o comportamento das funções, identificando quando elas 
são crescentes, decrescentes ou constantes; 
 utilizar o conceito de Função Modular como base para a formação de 
argumentações; 
 resolver problemas que envolvam o conceito de Função Modular. 
Bons estudos.
Matemática Básica 
 
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Matemática Básica 
 
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Conjuntos 
Representação de Conjuntos. 
Operações com Conjuntos. 
Exercícios Resolvidos. 
 
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Matemática Básica 
 
 
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Nesta primeira unidade vamos estudar os Conjuntos. Começaremos por suas 
representações, a seguir apresentaremos seus tipos e subconjuntos, na sequência 
o conjunto das partes de um conjunto, finalizando com operações entre conjuntos 
e obtenção do número de elementos da união entre conjuntos. 
 
Objetivos da Unidade: 
 Compreender e consolidar o conceito de conjuntos; 
 Identificar e representar conjuntos utilizando diferentes formas, 
como chaves diagramas, intervalos e lei de formação; 
 Estabelecer relações de pertinência entre elemento e um conjunto; 
 Estabelecer relações de contingência entre conjuntos; 
 Realizar as operações de união, interseção e diferença de conjuntos; 
 Resolver problemas que envolvam conceitos de conjuntos. 
 
Plano da Unidade: 
 Representação de Conjuntos. 
 Operações com Conjuntos. 
 Exercícios Resolvidos. 
 
Bem-vindo à primeira unidade de estudo. 
Matemática Básica 
 
 
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Representação de Conjuntos 
 
Entende-se por conjunto qualquer coleção de elementos classificados a partir 
de certa característica. 
 
Representação de Conjuntos 
 
1o) Enumeração de seus elementos. 
Ex: A = {1, 3, 5, 7, ...}; 
B = {c, o, n, j, u, t, s } 
 
2o) Propriedade característica de seus elementos. 
Ex: A = { x / x é um número natural ímpar} ou A = { x  IN / x é ímpar} 
 B = { x / x é letra da palavra conjuntos} 
 
3o) Diagrama. 
 
Obs: Relação de pertinência:  pertence e  não pertence; símbolos usados 
para relacionar elemento e conjunto. 
Matemática Básica 
 
 
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Conjunto Universo 
É o conjunto que tem todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. 
 
Conjunto Vazio 
É o conjunto que não possui elementos. 
 
Conjunto Unitário 
É o conjunto que possui um único elemento. 
 
Subconjuntos 
Se todos os elementos de um conjunto A também pertencerem a um conjunto 
B, dizemos que A está contido em B ou, ainda, que A é subconjunto de B. 
Obs: Relação de inclusão:   está contido,   não está contido,   
contém e   não contém; símbolos usados para relacionar conjunto e conjunto. 
 
Conjunto das partes de um conjunto 
O conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A é chamado 
conjunto das partes de A e geralmente é indicado por P(A). 
Ex: A = { x, y } 
 com nenhum elemento:  ou { } 
 com um elemento: { x }, { y } 
 com dois elementos: { x, y } 
 
Logo, P(A) = { , {x}, {y}, {x, y} } 
Matemática Básica 
 
 
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Considere agora o conjunto B = { a, b, c } e vamos escrever P(B). 
P(B) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }. 
Observe que: 
P(A) possui 4 (22) elementos; ( ou A possui 4 subconjuntos, pois A possui 2 
elementos). 
P(B) possui 8 (23) elementos; ( ou B possui 8 subconjuntos, pois B possui 3 
elementos). 
Logo P(C) onde C = { 1, 2, ... , n }; P(C) terá 2n elementos ou C terá 2n subconjuntos. 
 
Obs.: 
1a) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
2a) Todo conjunto é subconjunto dele mesmo. 
 
Operações com Conjuntos 
 
União (reunião) de conjuntos 
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A  B, formado pelos elementos 
que pertencem a A, a B ou a ambos. 
A  B = { x / x  A ou x  B }. 
 
Interseção de conjuntos 
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto A  B, formado pelos 
elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo. 
A  B = { x / x  A e x  B }. 
Obs.: Conjuntos disjuntos são aqueles cuja interseção é um conjunto vazio, ou 
seja, A  B = { } = . 
Matemática Básica 
 
 
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Diferença de conjuntos 
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto A - B, formado pelos 
elementos que pertencem a A que não pertencem a B, ou seja pelos elementos 
exclusivos de A. 
A – B = { x / x  A e x  B }. 
 
Geralmente A – B  B – A, ou seja, a diferença de conjuntos não é uma 
operação comutativa. 
 
Obs.: 
1a) Complementar de A em relação a B. (CBA) 
CBA = 
ACB = B – A, onde A  B. 
2a) Em particular, se A é subconjunto do conjunto universo U, o complementar 
de A em relação a U pode ser representado por A’ ou A . 
Assim A’ = A = AC = CUA = AUC = U - A. 
 
DICA DE VIDEO 
Pegue seu caderno de anotações, sente-se e assista ao vídeo 
Conjuntos e Números Naturais, com o Prof. Elon L. Lima, ministrada no Programa 
de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio (PAPMEM) 
no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA-RJ). Ele contextualizará melhor 
ainda o conteúdo que você acabou de estudar. 
http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2012 
Matemática Básica 
 
 
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Exercícios resolvidos 
 
1) Sendo os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5}, C = { 2, 3} e D = { 4, 5}. 
Determine: 
a) A  B = {1, 2, 3, 4, 5}. 
b) A  B = { 3 }. 
c) A  D = {1, 2, 3, 4, 5}. 
d) A  C = { 2, 3 } = C. 
e) A - B = {1, 2 }. 
f) C - A = { } = . 
g) CAC = { 1 }. 
h) CBD = { 3 }. 
 
Obs.: Em A = { a, {b},  }, então a, {b} e  são elementos de A, assim 
afirmamos que: 
a  A, {b}  A e   A 
 
2) Qual dos conjuntos a seguir é infinito? 
 
a) { x  IN / x ≤ 5 }. 
b) { x   / -1 < x ≤ 8 }. 
c) { x   / x é divisor de 8 }. 
d) { x   / x é múltiplo de 3 }. 
e) { x   / x é primo e x é par }. 
f) 
Solução: opção D. 
 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8/8}. 
C = {-4, -2, 2, 4}. 
D = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}. 
E = { 2 }. 
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3) Sendo A= {2, 3, 4, 5, 9}, B= {2, 3, 7, 8, 10} e C= {2, 3, 4}, faça o diagrama das 
reuniões a seguir, hachurando as regiões correspondentes: 
a) A  B. 
b) A  C. 
 
Solução: 
 
 
4) Dados os conjuntos: 
A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M = B – (A  C) é: 
 
a) {1, 3, 5}. 
b) {7}. 
c) {7, 5, 8, 9}. 
d) {0, 8, 9}. 
e) {1, 5, 7}. 
Matemática Básica 
 
 
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Solução: opção B. 
 
A  C = {0, 1, 3, 5, 8, 9}, B – (A  C) = { 7 }. 
 
 
 
5) Dois conjuntos A e B são tais que: 
 
A  B = { 1, 2 ,3, 5, 7, 8, 9 }, A ∩ B = {1, 2 }, A – B = { 3, 5 }. 
Determine o conjunto B. 
 
Solução: 
 
 
B = {1, 2, 7, 8, 9}. 
 
6) Dado o conjunto P={{0}, 0, 1, 2,{1, 2}}, considere as afirmativas: 
 
(I) {0}  P. 
(II) {0}  P. 
(III) {1, 2}  P. 
(IV) {1, 2}  P. 
(V) 1  P. 
Matemática Básica 
 
 
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Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas I e V são verdadeiras. 
c) apenas II e IV são verdadeiras. 
d) apenas III e V são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
Solução: opção A. 
 
 Como {0}, 0, 1, 2, {1},{1, 2} são elementos de P e P possui 32 subconjuntos 
(n[P(P)] = 25= 32) dentre eles {0} e (1, 2}, logo todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
Número de elementos da união (reunião) entre conjuntos ( n(AB) ) 
 
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 
 
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 5 + 6 – 2 =9 
 
1) Em um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o 
número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português 
foi o seguinte: Matemática, 47; Física, 32; Português, 21; Matemática e Física, 7; 
Matemática e Português, 5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 
100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias? 
a) 22. 
b) 20. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 16. 
Matemática Básica 
 
 
27 
 
Solução: opção E. 
0 
U 100 
M 47 
F 32 
P 21 
MF 7 
MP 5 
FP 6 
MFP 2 
N ? 
 
 
 
 
n[(FP)- (MFP)] = 6 – 2 = 4. 
n[(MP)- (MFP)] = 5 – 2 = 3. 
n[(MF)- (MFP)] = 7 – 2 = 5. 
n[M – (FP)] = 47 – (2+3+5) = 37. 
n[P – (MF)] = 21 – (2+3+4) = 12. 
n[F – (MP)] = 32 – (4+3+5) = 21. 
n(MFP) = 37+21+12+5+3+4+2=84. 
 
n(N) = n(U) - n(MFP) = 100 – 84 = 16. 
Matemática Básica 
 
 
28 
 
2) Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos. Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos, B ∩ 
C tem 15 elementos e A ∩ B ∩ C tem 8 elementos, então o número de elementos 
de (A  C) ∩ B é: 
 
a) 27. 
b) 13. 
c) 28. 
d) 35. 
e) 23. 
 
Solução: opção A. 
 
n(A  C) ∩ B = 12+8+7 = 27. 
 
3) Em uma pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas 
preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram 
que: 
 
 310 pessoas compram o produto A; 
 220 pessoas compram o produto B; 
 110 pessoas compram os produtos A e B; 
 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. 
 
Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10. 
 
Matemática Básica 
 
 
29 
 
Solução: 93 
U A B AB N 
? 310 220 110 510 
 
n(U) = n(AB) + n(N). 
n(U) = [n(A) + n(B) – n(AB)] + n(N). 
n(U) = [310 + 220 – 110] + 510. 
n(U) = 420 + 510 = 930. 
n(U)  10 = 930  10 = 93. 
 
4) De acordo com o levantamento estatístico dos resultados do CENSO 
POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se sobre a população que: 
 
I - 44% têm idade superior a 30 anos; 
II - 68% são homens; 
III - 37% são homens com mais de 30 anos; 
IV - 25% são homens solteiros; 
V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; 
VI - 45% são indivíduos solteiros; 
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 
 
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da 
população desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou 
inferior a 30 anos é de: 
a) 6% 
b) 7% 
c) 8% 
d) 9% 
e) 10% 
 
Solução: opção B. 
 
 i>30 i30 T 
H 37% 31% 68% 
M 7% 25% 32% 
T 44% 56% 100% 
Matemática Básica 
 
 
30 
 
 i>30 i30 T 
HS 4% 21% 25% 
MS 2% 18% 20% 
TS 6% 39% 45% 
HC 33% 10% 43% 
MC 5% 7% 12% 
TC 38% 17% 55% 
T 44% 56% 100% 
 
 
Legenda: 
 
i>30 = idade superior a 30 anos; 
i30 = idade igual ou menor que 30 anos; 
H = homens; 
M = mulheres; 
S = indivíduo Solteiro; 
C = indivíduo casado; 
T = total. 
 
 
5) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram 
vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram 
aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total 
obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e 
todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma 
das outras duas. 
O total de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 
65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. 
Além disso,sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de 
aprovados em A e em C. 
Matemática Básica 
 
 
31 
 
Solução: 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
Classificando os 87 alunos segundo o diagrama, temos os seguintes dados do 
problema . 
 
(1) x+y+z+v+u+w+29 = 87, n(ABC) = 87 
(2) z = 0, z = n(A-BC) 
(3) v+w+z+29 = 51, n(A) = 51 
(4) u+29 = 50, n(B∩C) = 50 
(5) x+v+29 = 65, n(B) = 65 
(6) v+29 = w+29, n(A∩B) = n(A∩C) 
Queremos x + y + z. 
De (2) temos z = 0, o que nos dá x+y+z = x+y. 
Substituindo (4) em (1) e subtraindo (3), obtemos x+y+21=87-51=36. 
Logo, x + y + z = 36 - 21 = 15 alunos. 
Matemática Básica 
 
 
32 
 
 Note que as equações (4) e (5) são supérfluas, ou seja, os dados n(B) = 65 
e n(A∩B)= n(A∩C) são desnecessários para a solução do problema. 
 
Para ampliar e exercitar seus Conhecimentos visite os sites da Olimpíada 
Brasileira de Matemática (OBM) e da Olimpíada Brasileira de Matemática das 
escolas públicas (OBMEP). 
http://www.obm.org.br/opencms/ 
http://www.obmep.org.br/ 
 
Nesta unidade, vimos os Conjuntos e suas representações, seus tipos e 
subconjuntos, o conjunto das partes de um conjunto, finalizando com operações 
entre conjuntos e obtenção do número de elementos da união entre conjuntos. 
Espero que tenham gostado desse estudo e dos objetivos propostos. 
Na próxima unidade estudaremos os Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais. 
Vamos lá. Vamos em frente! 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no 
processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e 
depois às envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja 
conosco! 
Matemática Básica 
 
 
33 
 
Exercícios – Unidade 1 
 
1) Sejam A e B conjuntos tais que A = { x / x é múltiplo de 3 natural e menor que 31 
} e B = { x / x  IN e x é ímpar }. Se o conjunto X é tal que X  (A  B) e 
A  B – X = { 3, 15, 21 }, então X é igual a: 
 
a) { 9, 27 }. 
b) { 3, 15, 21 }. 
c) . 
d) { 0, 6, 12, 18, 24, 27, 30 }. 
e) { 0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30 }. 
 
2) O diagrama em que está sombreado o conjunto (AUC)-(AUB) é: 
 
 
 
3)(Cesgranrio) Se A e B são conjuntos, A-(A-B) é igual a: 
 
a) A. 
b) B. 
c) A-B. 
d) AB. 
e) AB. 
Matemática Básica 
 
 
34 
 
4) (UFF 99) Dado o conjunto P = {{0}, 0, , {}}, considere as afirmativas: 
 
(I) {0}  P 
(II) {0}  P 
(III)   P 
 
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas a I é verdadeira. 
c) apenas a II é verdadeira. 
d) apenas a III é verdadeira. 
e) todas são falsas. 
 
5) Num colégio de Ensino Médio com 2.000 alunos, foi realizada uma pesquisa 
sobre o gosto dos alunos pelas disciplinas de Física e Matemática. Os resultados da 
pesquisa se encontram na tabela a seguir: 
 
 Número de 
alunos 
Gostam de Matemática 1.000 
Gostam de Física 800 
Não gostam de Matemática 
nem de Física 
500 
 
O número de alunos que gostam de Matemática e Física, 
simultaneamente, é: 
 
a) 700. 
b) 500. 
c) 300. 
d) 200. 
e) 100. 
 
6) Em uma cidade há dois candidatos para prefeito, A e B. Sabendo-se que 2.600 
eleitores votaram no candidato A; 3.000 no candidato B; 210 anularam o voto, 
votando nos dois candidatos; 1.000 votaram em branco e não havendo outra 
situação, conclui-se que o número de votantes foi igual a: 
 
a) 6.810. 
b) 4.600. 
c) 5.810. 
d) 5.390. 
e) 6.390 . 
Matemática Básica 
 
 
35 
 
7) Em uma sala de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances 
A ou B; 270, o romance B; 80, os dois romances, A e B, e 340 não leram o romance A. 
O número de estudantes desse grupo é igual a: 
 
a) 380 
b) 430 
c) 480 
d) 540 
e) 610 
 
8) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro depessoal de uma fábrica, 
obteve os seguintes dados: 
 28% dos funcionários são mulheres; 
 1/6 dos homens são menores de idade; 
 85% dos funcionários são maiores de idade. 
Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? 
 
a) 30% 
b) 28% 
c) 25% 
d) 23% 
e) 20% 
 
9) Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a história registra, 
começam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do 
calendário gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos 
de doze anos. 
A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calendário. 
Ano do calendário Chinês 
Início do calendário gregoriano Nome 
31 – janeiro - 1995 Porco 
19 – fevereiro - 1996 Rato 
08 – fevereiro – 1997 Boi 
28 – janeiro – 1998 Tigre 
16 – fevereiro – 1999 Coelho 
05 – fevereiro – 2000 Dragão 
24 – janeiro – 2001 Serpente 
12 – fevereiro – 2002 Cavalo 
01 – fevereiro – 2003 Cabra 
22 – janeiro – 2004 Macaco 
09 – fevereiro – 2005 Galo 
29 – janeiro - 2006 Cão 
Matemática Básica 
 
 
36 
 
Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade chinesa 
tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano da serpente no calendário 
chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa 
de comemoração. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante. 
Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em que a fundação 
dessa cidade será comemorada novamente no ano da serpente. 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
10) Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o 
Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um 
desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos 
que foram ao de História visitaram também o de Ciência. 
Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
 
Matemática Básica 
 
 
37 
Conjuntos Numéricos e 
Intervalos Reais 
Conjuntos dos Números Naturais. 
Conjuntos dos Números Inteiros. 
Conjuntos dos Números Racionais. 
Conjuntos dos Números Irracionais. 
Conjuntos dos Números Reais. 
Intervalos Reais. 
2 
Matemática Básica 
 
 
38 
 
Nesta segunda unidade, vamos estudar os Conjuntos Numéricos e Intervalos 
Reais; Conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. 
Além disso, também faremos uma revisão sobre dízima periódica e processo para 
obtenção de uma fração geratriz e finalizaremos com os Intervalos reais. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, 
racionais, irracionais e reais, reconhecendo suas propriedades; 
 Identificar e representar números decimais na forma de fração e vice-
versa; 
 Identificar dízimas periódicas, seus períodos e determinar sua fração 
geratriz; 
 Representar números e intervalos reais na reta numérica; 
 Realizar operações com intervalos numéricos. 
 
Plano da Unidade: 
 Conjuntos dos Números Naturais. 
 Conjuntos dos Números Inteiros. 
 Conjuntos dos Números Racionais. 
 Conjuntos dos Números Irracionais. 
 Conjuntos dos Números Reais. 
 Intervalos Reais. 
 
 
Bem-vindo à segunda unidade de estudo. 
Matemática Básica 
 
 
39 
 
Conjuntos dos números naturais ( IN ) 
 
 
IN = { 0, 1, 2, 3, ... }; 
IN* = IN – { 0 } = { 1, 2, 3, 4, ... }  não nulo. 
 
 
 
Conjuntos dos números Inteiros ( Z ) 
 
Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. 
 
 Vamos destacar os seguintes subconjuntos de Z: 
 
a) Não nulos: Z* = Z – {0} = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } = { x  Z / x  0 }. 
 
b) Não positivos: Z - = { ... , -3, -2, -1, 0 } = { x  Z / x  0 }. 
 
c) Negativos: Z -* = { ... , -3, -2, -1 } = { x  Z / x  0 }. 
 
d) Não negativos: Z + = = { 0, 1, 2, 3, ... } = IN = { x  Z / x  0 }. 
 
e) Positivos: Z +* = = { 1, 2, 3, ... } = IN* = { x  Z / x > 0 }. 
 
 
Conjuntos dos números Racionais ( Q ) 
 
 
É o conjunto formado por todos os números que podem ser 
representados na forma (p/q), com p  Q, q  Z*, então podemos concluir que os 
números naturais e os inteiros, também são racionais, ou seja, IN ⊂ Z ⊂ Q. 
Q = { x / x =
q
p
, onde p  Q, q  Z* }. 
Matemática Básica 
 
 
40 
 
 Vamos destacar os seguintes subconjuntos de Q: 
a) Não nulos: Q* = { x  Q / x  0 }. 
b) Não positivos: Q - = { x  Q / x  0 }. 
c) Negativos: Q -* = { x  Q / x  0 }. 
d) Não negativos: Q + = { x  Q / x  0 }. 
e) Positivos: Q +* = { x  Q / x > 0 }. 
 
Todo número racional também pode ser escrito na forma decimal, que 
pode ser: 
Exata: quando representamos por um número finito de algarismos. 
Quando formada pela fração irredutível 
q
p onde q decomposto só contiver 
fatores primos 2, 5 ou 2 e 5. 
 
Ex.: 
a) 0,7 = 
10
7 
b) 5 = 
1
5 
c) 0,15 = 
20
3
100
15  
 
 Não exata, periódica: quando representamos por um número infinito de 
algarismos que se repetem periodicamente, chamados de dízima periódica. 
Ex.: 
a) 
3
1
 = 0,333... = 3,0 (período é 3) 
Matemática Básica 
 
 
41 
 
b) 
3
5
 = 1,666... = 6,1 (período é 6) 
c) 
11
5
 = 0,4545... = 45,0 (período é 45) 
d) 
6
13
 = 2,1666... = 61,2 (período é 6) 
Ex. número 
PI: Parte 
inteira 
AP: Ante-
período 
P: Período 
a) 
0,333... 0 Não tem 3 
b) 
1,666... 1 Não tem 6 
c) 0,4545... 0 Não tem 45 
d) 
2,1666... 2 1 6 
 
As dízimas periódicas podem ser: 
 Simples. 
Quando formada pela fração irredutível 
q
p
 onde q decomposto contiver 
fatores primos diferentes de 2 e de 5. 
Ex.: 
3
1
, 
3
5
, 
7
4
, ... 
Matemática Básica 
 
 
42 
 
 Composta. 
Quando formada pela fração irredutível 
q
p
 onde q decomposto contiver 
fatores primos diferentes de 2 e de 5, acompanhados de 2 ou 5, ou 2 e 5. 
Ex.: 
6
13
, 
21
8
, 
22
13
, ... 
 
Processo para obtenção de uma fração geratriz (FG) 
 
1o processo: 
Exemplos: 
a) 

 

3
1
9
339
...333,310
...333,0
xxx
x
x
 
b) 

 

11
16
99
14414499
...4545,145100
...4545,1
xxx
x
x 
c) 







6
13
90
19519590
...666,216100
...666,2110
...1666,2
xxx
x
x
x
 
 
2o processo: 
y
nNFG  
N = número formado pela PI, AP e P. 
n = número formado pela PI e AP. 
y = número formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período 
seguido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do ante-período. 
Matemática Básica 
 
 
43 
 
Conjuntos dos números Irracionais ( I ) 
 
Todo número decimal não exato, não periódico e raiz não exata, é 
irracional. 
 
 
Conjunto dos números Reais ( IR ) 
 
 É o conjunto formado pela reunião dos números Racionais e Irracionais. 
Desta formapodemos concluir que todo número natural, inteiro, racional e 
irracional é um número real. 
 
IR = Q  I 
Diagrama: 
 
 
DICA DE VIDEO. 
Pegue seu caderno de anotações, sente-se e assista ao vídeo Números 
Reais, com o Prof. Paulo Cezar (Impa). Ele contextualizará melhor ainda o conteúdo 
que você acabou de estudar. 
Que será encontrado no link . 
http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2012 
Matemática Básica 
 
 
44 
 
Exercícios resolvidos. 
1) (UFF 2000) Considere p, q  IN* tais que p e q são números pares. Se p > q, pode-
se afirmar que: 
(A) (pq + 1) é múltiplo de 4. 
(B) p – q é ímpar. 
(C) p + q é primo. 
(D) p2 – q2 é par. 
(E) p(q + 1) é ímpar. 
 
Solução: D 
Se p e q são números pares, com p > q. 
(A) (pq + 1) é múltiplo de 4; 
pq também é par, então (pq + 1) é ímpar, logo não é múltiplo de 4 
(B) p – q é ímpar; 
A diferença entre dois números pares é par, então p – q é par. 
(C) p + q é primo; 
A soma de dois números pares é par, então p + q é par. Como p, q  IN*, ambos são 
maiores que 0 e o único primo par é 2 e esta soma será maior que 2, logo p + q não 
é primo. 
 
(D) p2 – q2 é par; 
Um número par elevado ao quadrado resulta em número par e a diferença 
entre dois números pares é par, então p2 – q2 é par. 
(E) p(q + 1) é ímpar. 
Um número par adicionado a um resulta em número impar, q + 1 é impar, sendo 
multiplicado por um número par resulta em par. 
Matemática Básica 
 
 
45 
2) (UFMG 1994) Se a = 4 5 , b = 33/25, e c = 1,323232..., a afirmativa verdadeira é 
a) a < c < b. 
b) a < b < c. 
c) c < a < b. 
d) b < a < c. 
e) b < c < a. 
 
Solução: E 
a = 4 5 = 1,495348... 
b = 
25
33
=
100
132
= 1,32 
c = 1,323232... = 
99
1132 
=
33
131
 
Assim, b < c < a 
 
3) Nas divisões a seguir, N = ab e P = ba são números naturais formados pelos 
algarismos a e b. Então N - P vale: 
 
a) 25. 
b) 27. 
 c) 31. 
d) 43. 
e) 45. 
Matemática Básica 
 
 
46 
 
Solução: B 
1º) Pela relação fundamental da divisão, temos: 
D = dq + r, então: 
N = 6(a + b) + 8 e P = 15(a – b) + 2 
N = 6(a + b) + 8 = 6a + 6b + 8 
P = 15(a – b) + 2 = 15a – 15b + 2 
 
2º) N = ab = 10a + b e P = ba = 10b + a 
Igualando 1º e 2º, temos: 
10a + b = 6a + 6b + 8  4a – 5b = 8 
10b + a = 15a – 15b + 2  25b – 14a = 2 
 




21425
5854
ab
ba 



21425
402025
ab
ab
 
 
 
6a = 42  a = 7 e b = 4 
N = ab = 74 e P = ba = 47, 
assim N – P = 74 – 47 = 27 
 
4) Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. Use o dispositivo 
prático. 
a) -2,0313131.... 
b) 5,121212.... 
Matemática Básica 
 
 
47 
 
Solução: 
a)
990
2011
990
202031...0313131,2  
b)
33
169
99
507
99
5512...121212,5  
 
5) (Uel 96) Existem, para doação a escolas, 2000 ingressos de um espetáculo e 1575 
de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e 
todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se 
todos os ingressos, o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas 
nessa doação é: 
a) 117 b) 123 c) 128 d) 135 e) 143 
 
Solução: E 
mdc (2000, 1575) = 25 
 
2000 – 1575 5 
 400 – 315 5 
 80 – 63 52 = 25 
 
Então cada escola receberá 25 ingressos, sendo 80 escolas contempladas com 
ingressos do 1º espetáculo e 63 com ingressos do 2º espetáculo, totalizando 143 
escolas. 
Matemática Básica 
 
 
48 
 
Intervalos Reais 
 
 
Os intervalos reais são subconjuntos dos números reais. Serão 
representados por desigualdades. 
 
 
Intervalos Limitados 
Dados os números reais a e b, onde a < b, temos: 
 
a) Intervalo fechado. 
[a, b] = {x  IR / a  x  b } 
 
b) Intervalo aberto. 
]a, b[ = (a, b) = {x  IR / a < x < b } 
 
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. 
]a, b] = (a, b] = {x  IR / a < x  b } 
 
Matemática Básica 
 
 
49 
 
d) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. 
[a, b[ = [a, b) = {x  IR / a  x < b } 
 
 
Intervalos Ilimitados 
Sendo a um número real, também são intervalos os seguintes 
subconjuntos. 
a) [a, +) = [a, +[ = {x  IR / x  a } 
 
 
b) ]a, +) = (a, +[ = {x  IR / x > a } 
 
 
c) ]-, a] = (-, a] = {x  IR / x  a } 
 
 
d) ]-, a[ = (-, a) = {x  IR / x < a } 
Matemática Básica 
 
 
50 
Módulo ou valor absoluto de um número real 
Para todo () x  IR, existe () –x, chamado oposto ou simétrico de x tal 
que x + (-x) = 0, ou seja, o módulo indica a distância da origem ao número real 
x. Assim temos: 


 x
x
x 
se
se
 
0
0


x
x
 
 
Exercícios resolvidos. 
 
1) (UFAL 2000) Se os conjuntos A e B são tais que A={xIR | (x2 -25)3 = 0} e B={xIN | 
3
4
< x <
3
20
}, então é verdade que: 
a) A  B 
b) A = B 
c) A  B =  
d) A  B = {5} 
e) A  B = A 
Solução: D 
A = {-5, 5} 
(x2 -25)3 = 0  x2 - 25 = 3 0  x2 -25 = 0  x2 = 25  x = 25  x = 5 
B = { 2, 3, 4, 5, 6 } 
3
4
= 1,333... e 
3
20
= 6,666... 
a) A  B, falsa, pois A  B. 
b) A = B, falsa, pois A  B. 
c) A  B = , falsa, pois A  B = { 5 }  . 
d) A  B = {5}, verdadeira, pois é o único elemento em comum. 
e) A  B = A, falsa, pois A  B = { -5, 2, 3, 4, 5, 6 }  A. 
Matemática Básica 
 
 
51 
 
2) (PUC RJ 2006) Para a = 2,01, b = 2,4 e c = 7/3 temos: 
a) a < b < c 
b) b < c < a 
c) c < b < a 
d) c < a < b 
e) b < a < c 
Solução: A 
a = 2,01, b = 2,4 = 2,05 e c = 7/3 = 2,33... 
então podemos concluir que a < b < c . 
 
3) (Ufc 2000) Sejam x e y números reais tais que: 
 
1/4 < x < 1/3; 2/3 < y < 3/4 e A = 3x - 2y 
 
Então é correto afirmar que: 
a) 4/3 < A < 5/2 
b) 3/4 < A < 1 
c) -4/3 < A < -3/4 
d) -3/4 < A < -1/3 
e) -1/3 < A < 0 
Solução: D 
Para determinar o menor valor de A, usaremos o menor valor de x e o 
maior de y, assim temos: 
A = 3x - 2y =3(1/4)–2(3/4) = (3/4) – (6/4) = -3/4 
 
Para determinar o maior valor de A, usaremos o maior valor de x e o 
menor de y, assim temos: 
Matemática Básica 
 
 
52 
A = 3x - 2y = 3.(1/3) – 2 (2/3) = 1 – (4/3) = -1/3 
Logo os possíveis valores de A encontram-se no intervalo -3/4 < A < -1/3. 
 
4) Dados os intervalos A = [-1, 4), B = [1, 5], C = [2, 4] e D = (1, 3], verifique se 1 
pertence ao conjunto (A  B) – (C – D). 
Solução: 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
 
 
AB 
Matemática Básica 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
(A  B) – (C – D) = 
{[-1, 4)  [1, 5]} – {[2, 4] - (1, 3]} = 
[1, 4) – (3, 4] = [1, 3] 
 
5) Dados os conjuntos A = [-2, 1), B = [-3, 0]. Determine BA : 
Solução: 
A 
 
 
B 
 
 
 
 
C - D 
AB 
Matemática Básica 
 
 
54 
 
BA 
 
BA = IR – (AB) 
BA = IR – {[-2, 1)  [-3, 0]} 
BA = IR – [-2, 0) = (-, 1)  [0, +) 
 
Nesta unidade, vimos os Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais. Descrevendo 
os conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. Além 
disso, também fizemos uma revisão sobre dízima periódica e processo para 
obtenção de uma fração geratriz e finalizaremos com os Intervalos reais. Espero 
que tenham gostado desse estudo . Na próxima unidade estudaremos o produto 
cartesiano, relações e funções. Vamos lá. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão 
ajudá-loa fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às 
envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! 
 
Matemática Básica 
 
 
55 
 
Exercícios – Unidade 2 
 
1) Considere as seguintes equações: 
 
 I. x2 + 4 = 0 
 II. x2 - 2 = 0 
III. 0,3x = 0,1 
 
Sobre as soluções dessas equações é verdade que em: 
a) II é número irracional. 
b) III é número irracional. 
c) I e II são números reais. 
d) I e III são números não reais. 
e) II e III são números racionais. 
 
2) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. 
( ) A letra grega  representa o número racional que vale 3,14159265. 
( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são 
subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. 
( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é 
um número racional. 
 
A sequência correta é 
a) F - V - V. 
b) V - V - F. 
c) V - F - V. 
d) F - F - V. 
e) F - V - F. 
Matemática Básica 
 
 
56 
3) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; 
os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para 
os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos 
ocorrerá, novamente, em: 
a) 1995. 
b) 1999. 
c) 2001. 
d) 2002. 
e) 2005. 
 
4) O valor de ...444,0 é: 
a) 0,222... 
b) 0,333... 
c) 0,444... 
d) 0,555... 
e) 0,666... 
 
5) Se A = { x  IR / x < 1 }, B = { x  IR / - 1 < x  3 } e C = { xIR / x  0 }, então o 
conjunto que representa (A ∩ B) – C é: 
(A) { x  IR / - 1 < x < 0 } 
(B) { x  IR / - 1 < x  3 } 
(C) { x  IR / - 1 < x < 1 } 
(D) { x  IR / x  3 } 
(E) { x  IR / x > - 1 } 
 
6) O número 2 pertence ao intervalo: 
a) [1, 3/2] 
b) (1/2, 1] 
c) [3/2, 2] 
d) (-1, 1) 
e) [-3/2, 0] 
 
Matemática Básica 
 
 
57 
7) Sejam Z o conjunto dos números inteiros, 
 
I = {x  Z / 0  
3
)4(2 x
  8} e 
J = {x  Z / (x - 2)2  4}. 
 
O número de elementos do conjunto I  J é: 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
e) 12. 
 
8) O histórico desempenho dos atletas brasileiros no PAN-2007 (54 de ouro, 40 de 
prata e 67 de bronze, total de 161 medalhas) superou os objetivos traçados pelo 
Comitê Olímpico Brasileiro (COB). Embora tenha superado Cuba (59 de ouro, 35 de 
prata e 41 de bronze, total de 135 medalhas) no total de medalhas, o Brasil 
terminou os Jogos em terceiro lugar no quadro, atrás de Cuba (segundo) e Estados 
Unidos (primeiro lugar, com 237 medalhas). 
 
Adaptado de http://torcida2007.globo.com/torcida2007/noticias/noticias_interna.asp?id=6166. 
 
Não satisfeita com o terceiro lugar do Brasil na competição, uma 
professora de matemática sugeriu que a classificação geral deveria ser feita pelo 
total de pontos obtido por cada equipe segundo o seguinte critério: cada medalha 
de bronze valeria 1 ponto, a medalha de prata q pontos e a medalha de ouro q2 
pontos, sendo q, obviamente, maior que 1. 
 
Considere, então, B o conjunto que contém todos os valores reais 
possíveis de q, tal que, segundo o critério da professora, o Brasil ficaria na frente de 
Cuba no PAN-2007. 
Matemática Básica 
 
 
58 
Assim sendo, pode-se afirmar que: 
(A) B  ]-2,3[ 
(B) B =  
(C) B = ]3, +[ 
(D) B  ]1, 3[ 
(E) B = ]1, +[ 
 
9) Determine um número inteiro, cujo produto por 9 seja um número natural 
composto apenas pelo algarismo 1. 
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
10) Dados os subconjuntos de IR calcule: 
A = {x  IR / -2  x < 3}; 
B = {x  IR / 1  x < 4}; 
C = {x  IR / x < 0} 
 
a) A  B 
b) A  B 
c) (A  C)  B 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
Matemática Básica 
 
 
59 
Produto Cartesiano, 
Relações e Funções 
Produto Cartesiano. 
Relação Binária. 
Função. 
 
3 
Matemática Básica 
 
 
60 
 
Nesta terceira unidade, vamos estudar o que é produto cartesiano, relações 
binárias, as funções e a determinação do zero da função. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Diferenciar relação de função; 
 Reconhecer o domínio, contradomínio e conjunto-imagem das 
funções; 
 Utilizar corretamente as notações; 
 Estabelecer a lei de correspondência de grandezas que apresentam 
regularidades; 
 Calcular o valor numérico de uma função; 
 Determinar os zeros das funções; 
 Compreender o que é exatamente a função e para que ela serve. 
 
Plano da Unidade: 
 Produto Cartesiano. 
 Relação Binária. 
 Função. 
 
 
Bem-vindo à terceira unidade de estudo. 
Matemática Básica 
 
 
61 
 
Produto Cartesiano 
 
Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de produto 
cartesiano de A por B o conjunto indicado por A x B, formado por todos os pares 
ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo 
pertence ao conjunto B. 
A x B = {(x, y) / x  A e y  B}. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Dados os conjuntos A ={1, 2, 3} e B ={1, 2}, determine o produto cartesiano AxB e 
BxA nas formas: 
a) Tabular. 
AxB ={(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}. 
BxA ={(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)} 
 
b) Gráfica. 
 
 
Matemática Básica 
 
 
62 
 
2) Dados os conjuntos A = {x  IR / 1  x < 3 } e B = {2}. Determine AxB. 
Solução: neste caso a representação adequada será através do gráfico, devido a 
quantidade de pares que serão gerados. 
Solução: 
AxB = {(x, 2) / x  A} 
 
 
 
3) Dados os conjuntos A = {x  IR / 1  x < 3 } e B = {y  IR / 1  y  4 }. Determine 
AxB. 
 
Solução: 
 
Matemática Básica 
 
 
63 
 
Relação Binária 
 
Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de relação 
binária R de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B, no qual o 
elemento x de A corresponde ao elemento y de B, obedecendo a um critério de 
correspondência ou de relacionamento ou lei de associação ou ainda lei de 
formação da relação. 
R = {(x, y)  AxB / y = lei de formação da relação}. 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de: 
Domínio de uma relação D(R), o conjunto formado por todos os 
elementos de A que se correspondem com os elementos do conjunto B, ou seja, os 
primeiros elementos dos pares ordenados de R. 
Analisando o gráfico da função observamos que o domínio é sua projeção 
sobre o eixo da abscissas. 
Imagem de uma relação Im(R), o conjunto formado por todos os 
elementos de B correspondentes aos elementos do conjunto A, ou seja, os 
segundos elementos dos pares ordenados de R. 
Analisando o gráfico da função observamos que a imagem é sua projeção 
sobre o eixo da ordenadas. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
4) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 
R = {(x,y)  AxB / y = x + 2}. Determine R, seu gráfico e o diagrama de flechas. 
 
Solução: 
R = {(1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6)} 
Matemática Básica 
 
 
64 
 
 
 
5) Dados os conjuntos A = {x  IR / 1  x < 3 } e B = {y  IR / 1  y  4 } e 
R = {(x, y)  AxB / y = 2x}. Determine o gráfico de R, seu domínio e sua imagem. 
 
Solução: 
 
D(R) = {x  IR / 1  x  2 } 
Im(R) = {y  IR / 2  y  4 } 
 
 
Matemática Básica 
 
 
65 
 
Função 
 
Em várias situações do cotidiano, percebemos o relacionamento entre 
grandezas, tais como: ao abastecer um veículo, a quantia a pagar, depende (ou está 
em função da) quantidade de combustível, outra situação, o valor da conta de 
consumo de energia elétrica, depende (ou está em função da) quantidade de 
energia elétrica consumida. Algumas dessas relações podem ser descritas através 
do conceito de função. 
Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios e uma relação binária de A 
em B, dizemos que essa relação é função de A em B (f: AB) se, e somente se, a 
cada elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B. 
 
f: AB ou y = f(x), dado que x  A e y  B. 
Assim temos que: 
 
Domínio da função. D(f) = A. 
Contradomínio da função. CD(f) = B. 
Imagem da função. Im(f)  B. 
Matemática Básica 
 
 
66 
 
Exercícios resolvidos: 
 
6) Diga em quais itens temos funções: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
Matemática Básica 
 
 
67 
 
Zero de uma função 
 
É o valor do domínio que possui imagem igual a zero. 
 
Exercícios resolvidos: 
7) Determine as raízes das funções de IR em IR, dados por: 
a) f(x) = 3x – 15 b) f(x) = x2 - 3x – 10 
 
Solução: Basta calcular o valor numérico de x para y = f(x) = 0. 
a) 3x – 15 = 0  3x = 15  x = 5 
b) x2 - 3x – 10 = 0  Como a soma das raízes é – 3 e o produto é - 10, temos que x1= 
- 2 e x2 = 5 
 
8) Determine as raízes das funções de IR em IR, dados por: 
a) 
 
b) 
 
Matemática Básica 
 
 
68 
 
Solução: se o gráfico da função f tem ponto no eixo OX, então esse ponto tem 
ordenada nula, logo, a abscissa dele é raiz de f. 
a) x1 = - 4, x2 = 0 e x3 = 2. 
b) x1 = - 2, x2 = 0 e x3 = 2. 
 
SUGESTÃO DE VIDEO. 
Pegue seu caderno de anotações, sente-se e assista ao vídeo 
“Números Cardinais e Funções Naturais”, com o Prof. Eduardo Wagner, ministrada 
no Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino 
Médio (PAPMEM) no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA-RJ) em 
23/01/2012. Ele contextualizará melhor ainda o conteúdo que você acabou de 
estudar. 
Que será encontrado no link: 
http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2012 
 
Nesta unidade, vimos o que é produto cartesiano, relações binárias, as 
funções e a determinação do zero da função. Espero que tenham gostado desse 
estudo. 
Na próxima unidade estudaremos o domínio e qualidades das funções. 
 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às 
envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! 
Matemática Básica 
 
 
69 
 
Exercícios – Unidade 3 
 
1) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, 
definida por R = {(x,y)  A x B | x é divisor de y}. Nestas condições R é o conjunto: 
 
a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)}. 
b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)}. 
c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)}. 
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)}. 
e) {(2,0), (2,2), (2,4)}. 
 
2) Os pares ordenados (1,2), (2,6), (3,7), (4,8) e (1,9) pertencem ao produto 
cartesiano A×B. Sabendo-se que A×B tem 20 elementos, é CORRETO afirmar que a 
soma dos elementos de A é: 
 
a) 9. 
b) 11. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 15. 
Matemática Básica 
 
 
70 
3) (Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção cuja figura representa o produto 
cartesiano K × K. 
 
4) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de IR. Considere as afirmações: 
 
I - Se (E×G)(F×H), então EF e GH. 
II -Se(E×G)(F×H), então (E×G)(F×H)=F×H. 
III-Se(E×G)(F×H)=F×H,então (E×G)(F×H). 
 
Então: 
a) apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. 
d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
e) todas as afirmações são verdadeiras. 
Matemática Básica 
 
 
71 
5) Considere os conjuntos A e B: 
A = {-30, -20, -10, 0, 10, 20, 30} e 
B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}, e a função f: A  B, 
f(x) = x2 + 100. 
 
conjunto imagem de f é: 
a) {-30, -20, -10, 0, 10, 20, 30}. 
b) {100, 200, 500, 1000}. 
c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}. 
d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}. 
e) conjunto vazio. 
 
6) Uma panela, contendo um bloco de gelo a -40°C, é colocada sobre a chama de 
um fogão. 
A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em 
minutos, é descrita pela seguinte função real: 
 
T(x) = 20x - 40 se 0  x < 2 
T(x) = 0 se 2  x  10 
T(x) = 10x - 100 se 10 < x  20 
T(x) = 100 se 20 < x  40 
 
O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50°C, em minutos, 
equivale a: 
a) 4,5. 
b) 9,0. 
c) 15,0. 
d) 30,0. 
e) 45,0. 
Matemática Básica 
 
 
72 
7) Uma equipe de paleontólogos descobriu um rastro de dinossauro carnívoro e 
nadador, no norte da Espanha.O rastro completo tem comprimento igual a 15 
metros e consiste de vários pares simétricos de duas marcas de três arranhões cada 
uma, conservadas em arenito.O espaço entre duas marcas consecutivas mostra 
uma pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro não-nadador: "são 
as unhas que penetram no barro - e não a pisada -, o que demonstra que o animal 
estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas, não pisava", afirmam 
os paleontólogos. 
Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado isoladamente, é 
variável relevante para se estimar o tamanho do dinossauro nadador mencionado? 
a) "O rastro completo tem 15 metros de comprimento". 
b) "O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros". 
c) "O rastro difere do de um dinossauro não-nadador". 
d) "são as unhas que penetram no barro - e não a pisada". 
e) "o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas". 
 
8) Analistas de produção verificaram que numa determinada montadora, o número 
de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: 
250( 1),
( )
200( 1),
tf x
t
   
 
para
para
 
0 4
4 8
t
t
 
  
O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é: 
a) 1000. 
b) 800. 
c) 200. 
d) 400. 
e) 600. 
Matemática Básica 
 
 
73 
9) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 
1 m de profundidade: 
 
Projeto 1: dimensões do retângulo: 16 m × 25 m. 
Projeto 2: dimensões do retângulo: 10 m × 40 m. 
 
Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos 
cujo preço é R$ 10,00 por m2: 
a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto? 
b) Se a área do retângulo for de 400 m2, e x for uma de suas dimensões, expresse o 
custo dos azulejos em função de x. 
 ___________________________________________________________________ 
 ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
10) (UFRJ 2002) Dada a função f: IR  IR definida por: 
3 4 ,
( )
2 5,
x x
f x
x
   
 
se
se
 
1
1
x
x

 
determine os zeros de f. 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
Matemática Básica 
 
 
74 
 
Matemática Básica 
 
 
75 
 
Domínio e Qualidades 
das Funções 
Domínio de uma Função Real. 
Qualidade de uma Função. 
Paridade das Funções 
4
Matemática Básica 
 
 
76 
 
Nesta quarta unidade, vamos estudar o que é domínio de uma função real e 
sua determinação, as qualidades de uma função e suas paridades. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Qualificar uma função: Sobrejetiva, Injetiva ou Bijetiva; 
 Compreender o que é exatamente a qualificação de uma função e 
para que ela serve. 
 
Plano da Unidade: 
 Domínio de uma Função Real. 
 Qualidade de uma Função. 
 Paridade das Funções 
 
 
Bem-vindo à quarta unidade de estudo. 
Matemática Básica 
 
 
77 
 
Domínio de uma Função Real 
 
É um subconjunto de IR, formado por todos os possíveis valores de x que 
satisfaçam à expressão indicada pela função. 
 
Caso não exista uma restrição o Domínio será IR [D(f) = IR]. 
As restrições notáveis são as seguintes: 
 
1º caso: Quando a variável aparece no denominador de uma fração. 
 O denominador de uma fração deve ser diferente de zero. 
 
zeronumeradorxf  rdenominado
rdenominado
)( 
 
2º caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par. 
 O radicando de um radical de índice par deve ser um número maior ou 
igual a zero (não pode ser negativo). 
 
zeroradicandoradicandoxf par )( 
 
3º caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e este 
radical está no denominador de uma fração. 
 O radicando deve ser maior que zero. 
 
zeroradicando
radicando
numeradorxf par )( 
Matemática Básica 
 
 
78 
Exercício resolvido. 
 
1) determine o domínio das seguintes funções: 
a) f(x) = x2 – 3x = 2  D(f) = IR 
b) f(x) = 
2
3


x
x  D(f) = {x  IR / x  2} 
c) f(x) = 6x  D(f) = {x  IR / x  6} 
d) f(x) = 
3
1


x
x  D(f) = {x  IR / x >3} 
 
Qualidade de uma Função 
 
Função sobrejetiva 
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.Im(f) = 
B ou Im(f) = CD(f) 
Exemplo: 
 
 
 
Função injetiva 
Se para quaisquer elementos distintos do seu domínio, associam imagens 
distintas, isto é: x1 x2 f(x1)  f(x2) . 
Exemplo: 
Matemática Básica 
 
 
79 
 
Função bijetiva 
É ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. 
Exemplo: 
 
Exercício resolvido: 
 
2) Considere três funções f, g e h, tais que: 
 
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. 
A função g atribui a cada país, a sua capital. 
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: 
 
a) f, g e h . 
b) f e h . 
c) g e h. 
d) apenas h. 
e) nenhuma delas. 
Matemática Básica 
 
 
80 
Solução: 
Sabemos que numa função injetiva, elementos distintos do domínio, possuem 
imagens distintas, ou seja: x1 x2 f(x1)  f(x2) 
Logo, podemos concluir que: 
f não é injetiva, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. 
g é injetiva, pois não existem dois países distintos com a mesma capital. 
h é injetiva, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também 
distintos. 
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C. 
 
Paridade das Funções 
 
Função par 
A função y = f(x) é par, quando  x  D(f), f(-x) = f(x). Portanto, numa 
função par, elementos simétricos do domínio possuem a mesma imagem. Por 
consequência os gráficos cartesianos das funções pares são simétricas em relação 
ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. 
Exemplo: 
y = x2 + 1 é uma função par, pois  x  D(f) ,f(- x) = f(x). 
f(2) = 22 + 1 = 5 e f(- 2) = (-2)2 + 1 = 5 
O gráfico abaixo, é de uma função par. 
 
Matemática Básica 
 
 
81 
Função ímpar 
A função y = f(x) é ímpar, quando  x D(f), f(-x) = -f(x). Portanto, numa 
função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Por 
consequência os gráficos cartesianos das funções ímpares são simétricos em 
relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos. 
 
Exemplo: 
y = x3 é uma função ímpar, pois  x D(f), f(-x) = - f(x). 
f(- 3) = (- 3)3 = - 27 e - f( 3) = - (3)3 = - 27. 
O gráfico abaixo é de uma função ímpar: 
 
Obs.: Se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui 
paridade. 
Matemática Básica 
 
 
82 
Exemplo: 
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não 
é simétrica em relação ao eixo das ordenadas e não é simétrica em relação à 
origem. 
 
 
Exercícios resolvidos. 
3) O conjunto solução da inequação -3x + a> 7 é {x  IR | x < 2}. Determine o valor 
de a. 
 
Solução: 
-3x + a> 7-3x> 7 - a (- 1) 3x < a - 7  
3
7 ax logo 2
3
7 a  a = 13 
 
4) (UFF 96) Para a função f: N*  N*, que a cada número natural não nulo associa o 
seu número de divisores, considere as afirmativas: 
(I) existe um natural não nulo n tal que f(n) = n. 
(II) f é crescente. 
(III) f não é injetiva. 
Matemática Básica 
 
 
83 
 Assinale a opção que contém a(s) afirmativa(s) correta(s): 
(A) apenas II. 
(B) apenas I e III. 
(C) I, II e III. 
(D) apenas I. 
(E) apenas I e II. 
 
Solução: B 
I. É verdadeira, pois f(1) = 1 e f(2) = 2. 
II. É falsa, pois f(1) = 1,f(2) = 2,f(3) = 2,f(4) = 3 e f(5) = 2. 
III. É verdadeira, pois f(2) = 2,f(3) = 2 e f(5) = 2 entre outros valores que admitem 
esta mesma condição. 
 
 Nesta unidade. vimos o que é domínio de uma função real e sua 
determinação, as qualidades de uma função e suas paridades.Espero que tenham 
gostado desse estudo. Na próxima unidade estudaremos a função inversa. Vamos 
lá. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às 
envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! 
 
Matemática Básica 
 
 
84 
 
Exercícios – Unidade 4 
 
1) Dada a função f por f(x) = ax – 5, determine o valor de a para que se tenha f(6) = 
13. 
 
a) 5. 
b) 6. 
c) 3. 
d) – 5 . 
e) – 3 . 
 
2) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio {x  IR/ -1  x  1} e 
imagem {y  IR/ 1  y  3} é: 
 
Matemática Básica 
 
 
85 
 
3) O gráfico da função f está representado na figura: 
 
 
Sobre a função f é falso afirmar que: 
(A) f(1) + f(2) = f(3). 
(B) f(2) = f(7). 
(C) f(3) = 3f(1). 
(D) f(4) – f(3) = f(1). 
(E) f(2) + f(3) = f(5). 
 
4) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o 
conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de 
cada escola do conjunto E. 
Sef: EP é a função que a cada escola de E associa seu número de 
professores, então: 
a) f não pode ser uma função bijetora. 
b) f não pode ser uma função injetora. 
c) f é uma função sobrejetora. 
d) f é necessariamente uma função injetora. 
e) f não pode ser uma função sobrejetora. 
Matemática Básica 
 
 
86 
 
5) Seja f a função de IR em IR, dada pelo gráfico a seguir: 
 
 
É correto afirmar que: 
a) f é sobrejetora e não injetora. 
b) f é bijetora. 
c) f(x) = f(-x) para todo x real. 
d) f(x) > 0 para todo x real. 
e) o conjunto imagem de f é ] - ; 2 ]. 
 
6) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] 
representadas através dos gráficos a seguir: 
 
Matemática Básica 
 
 
87 
 
Pode-se afirmar que: 
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. 
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. 
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. 
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. 
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. 
 
7) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora y = f(x)? 
 
8) Em relação à função polinomial f(x) = 2x3 - 3x, é válido afirmar-se que: 
a) f(-x) = f(x). 
b) f(-x) = - f(x). 
c) f(x2) = ( f(x) )2. 
d) f(ax) = a f(x). 
e) f(ax) = a2 f(x). 
Matemática Básica 
 
 
88 
9)O Domínio da função 
ax
xy  3
4
 é x > 2. Qual é o valor de a? 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
10)(No gráfico a seguir, determine a imagem do intervalo [-1,2). 
 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
Matemática Básica 
 
 
89 
Função Inversa 
Função Inversa. 
Propriedades das Funções Inversas. 
5 
Matemática Básica 
 
 
90 
 
Nesta quinta unidade vamos estudar o que é uma função Inversa e suas 
propriedades. 
 
Objetivo da Unidade: 
Compreender o que é exatamente a função Inversa e onde deve ser usada; 
Observar a simetria entre o gráfico de uma função bijetora f e o de sua inversa 
f-1. 
 
Plano da Unidade: 
 Função Inversa. 
 Propriedades das Funções Inversas. 
 
Bem-vindo à quinta unidade de estudo. 
Matemática Básica 
 
 
91 
 
Função Inversa 
 
Dada uma função f: A  B, se f é bijetora, então define-se a função inversa 
f-1 como sendo a função de B em A , tal que f -1(y) = x 
Veja a representação a seguir: 
 
 
Daí podemos observar as seguintes propriedades: 
 
Propriedades das funções inversas 
 
a) para obter a função inversa, basta permutar (trocar) as variáveis x e y. 
b) o domínio de f -1é igual ao conjunto imagem de f. 
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f. 
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x, ou seja, à 
bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 
Matemática Básica 
 
 
92 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. 
 
Solução:Permutando as variáveis x e y, fica:x = 2y + 3 
Explicitando y em função de x, temos: 
2y = x - 3  y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada. 
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. 
Observe que as curvas representativas de f e de f-1 são simétricas em 
relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 
 
 
2) A função f: IR  IR, definida por f(x) = x2: 
a) é inversível e sua inversa é f -1(x) = x 
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = x 
c) não é inversível 
d) é injetiva 
e) é bijetiva 
Matemática Básica 
 
 
93 
 
Solução: 
Já sabemos que somente as funções bijetivas são inversíveis, ou seja, 
admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em IR - conjunto dos 
números reais - não é injetiva, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. 
Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetiva e em 
consequência não é inversível. 
Além disso, observe também que a função dada não é sobrejetiva, pois o 
conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto IR+ dos números reais não 
negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a IR. A 
alternativa correta é a letra C. 
3) Determine a função inversa de , com x  IR e x  3, se existir. 
 
 
Nesta unidade, vimos o que é uma função Inversa e suas propriedades. 
Espero que tenham gostado desse estudo. Na próxima unidade estudaremos a 
função composta. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às 
envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! 
 
Matemática Básica 
 
 
94 
 
Exercícios - Unidade 5 
 
1) Seja f a função real tal que f(2x - 9) = x para todo x real. A igualdade f(c) = f-1(c) se 
verifica para c igual a: 
a) 9. 
b) 1. 
c) 5. 
d) 3. 
e) 7. 
 
2) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as 
correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função f(x) = 
x
x
2500
22
 , em que x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros. Se 
foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o 
número de residências desse bairro, que as receberam, é: 
a) 300. 
b) 340. 
c) 400. 
d) 420. 
e) 460. 
 
3) A fórmula C = (5/9) (F - 32), onde F  - 459,67, expressa a temperatura C, em 
graus Celsius, como uma função da temperatura F, em graus Fahrenheit. Então, é 
correto afirmar: 
a) F = (32 + 9C) / 160. 
b) F = (9C - 160) / 5. 
c) F = (9C + 160) / 5. 
d) F = (160 - 9C) / 5. 
e) F = (90 - 160C) / 5. 
Matemática Básica 
 
 
95 
4) Sob pressão constante, concluiu-se que o volume V, em litros, de um gás e a 
temperatura, em graus Celsius, estão relacionados por meio da equação 
T
V
VV 


273
0
0
; onde V0 denota o volume do gás a 0°C. Assim, a expressão que 
define a temperatura como função do volume V é: 
a)
0
0
273
V
V
VT 

 

 
b)
0
0
273V
VV
T
 
c)
0
0273
V
VVT  
d)
0
0273
V
VV
T
 
e) 

 
0
0273
V
VVT 
 
5) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da 
Secretária da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de x 
por cento da população local era de, aproximadamente, y =
x
x
400
300 milhares de 
reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, obtém-se x igual a 
a) 
3
4 
b) 
y
y
400
300 
c) 
y
y
400
300 
Matemática Básica 
 
 
96 
d) 
y
y
300
400 
e) 
y
y
300
400 
 
6) A função cujo gráfico está representado na figura 1 a seguir tem inversa. 
O gráfico de sua inversa é: