2020 2 - Concreto I - Unidade 03 - ANEXOS Lajes

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185
ANEXOS
– RELAÇÃO DE TABELAS PARA LAJES –
186
– ANEXO A0 –
Valores de a para cálculo
de flechas em lajes com
carregamento uniforme.
186
186
– ANEXO A –
Reações de apoio.
187
As Tabelas A.1, A.2 e A.3, a seguir, fornecem os valores dos
coeficientes kx, k’x, ky e k’y para o cálculo das reações de apoio
Rx, R’x, Ry e R’y, que serão obtidas de acordo com as seguintes
expressões:
10
pkR xxx
l
=
10
pkR xxx
l
= ,,
10
pkR xyy
l
=
10
pkR xyy
l
= ,,
;
;
ANEXO A – Cálculo das reações de apoio de lajes 
conforme processo das áreas (item 14.7.6 da NBR 6118).
p= carga uniforme de projeto [m²]; 
lx= menor vão [m];
Rx = reação em uma viga perpendicular ao eixo x.
onde:
(Fonte: L.M. Pinheiro, conforme o processo das áreas da NBR 6118)
Para o cálculo das reações de apoio em lajes maciças (e nervuradas)
retangulares com carga uniforme, a NBR-6118, baseada no Método
das Linhas de Ruptura, permite considerar que a carga p atuante nas
lajes se distribua uniformemente sobre as vigas adjacentes.
188
Tabela A-1
Reações de apoio em lajes com carga uniforme
Tipo
kx ky kx ky
(*) k'y kx
(*) k'x ky
1,00 2,50 2,50 1,83 2,75 4,02 2,75 4,02 1,83
1,05 2,62 2,50 1,92 2,80 4,10 2,82 4,13 1,83
1,10 2,73 2,50 2,01 2,85 4,17 2,89 4,23 1,83
1,15 2,83 2,50 2,10 2,88 4,22 2,95 4,32 1,83
1,20 2,92 2,50 2,20 2,91 4,27 3,01 4,41 1,83
1,25 3,00 2,50 2,29 2,94 4,30 3,06 4,48 1,83
1,30 3,08 2,50 2,38 2,95 4,32 3,11 4,55 1,83
1,35 3,15 2,50 2,47 2,96 4,33 3,16 4,62 1,83
1,40 3,21 2,50 2,56 2,96 4,33 3,20 4,68 1,83
1,45 3,28 2,50 2,64 2,96 4,33 3,24 4,74 1,83
1,50 3,33 2,50 2,72 2,96 4,33 3,27 4,79 1,83
1,55 3,39 2,50 2,80 2,96 4,33 3,31 4,84 1,83
1,60 3,44 2,50 2,87 2,96 4,33 3,34 4,89 1,83
1,65 3,48 2,50 2,93 2,96 4,33 3,37 4,93 1,83
1,70 3,53 2,50 2,99 2,96 4,33 3,40 4,97 1,83
1,75 3,57 2,50 3,05 2,96 4,33 3,42 5,01 1,83
1,80 3,61 2,50 3,10 2,96 4,33 3,45 5,05 1,83
1,85 3,65 2,50 3,15 2,96 4,33 3,47 5,09 1,83
1,90 3,68 2,50 3,20 2,96 4,33 3,50 5,12 1,83
1,95 3,72 2,50 3,25 2,96 4,33 3,52 5,15 1,83
2,00 3,75 2,50 3,29 2,96 4,33 3,54 5,18 1,83
>2,00 5,00 2,50 5,00 2,96 4,33 4,38 6,25 1,83
ly
lx
=
lx
OBS: (*) Foram considerados 
alívios pela metade, 
prevendo-se a possibilidade 
de engastes parciais.
10
pkR xxx
l
=
10
pkR xxx
l
= ,,
10
pkR xyy
l
=
10
pkR xyy
l
= ,,
;
;
;
Reações de apoio 
(Fonte: L.M. Pinheiro)
189
Tabela A-2
Reações de apoio em lajes com carga uniforme
Tipo
kx
(*) k'x ky
(*) k'y kx k'y k'x ky
1,00 2,17 3,17 2,17 3,17 1,44 3,56 3,56 1,44
1,05 2,27 3,32 2,17 3,17 1,52 3,66 3,63 1,44
1,10 2,36 3,46 2,17 3,17 1,59 3,75 3,69 1,44
1,15 2,45 3,58 2,17 3,17 1,66 3,84 3,74 1,44
1,20 2,53 3,70 2,17 3,17 1,73 3,92 3,80 1,44
1,25 2,60 3,80 2,17 3,17 1,80 3,99 3,85 1,44
1,30 2,63 3,90 2,17 3,17 1,88 4,06 3,89 1,44
1,35 2,73 3,99 2,17 3,17 1,95 4,12 3,93 1,44
1,40 2,78 4,08 2,17 3,17 2,02 4,17 3,97 1,44
1,45 2,84 4,15 2,17 3,17 2,09 4,22 4,00 1,44
1,50 2,89 4,23 2,17 3,17 2,17 4,25 4,04 1,44
1,55 2,93 4,29 2,17 3,17 2,24 4,28 4,07 1,44
1,60 2,98 4,36 2,17 3,17 2,31 4,30 4,10 1,44
1,65 3,02 4,42 2,17 3,17 2,38 4,32 4,13 1,44
1,70 3,06 4,48 2,17 3,17 2,45 4,33 4,15 1,44
1,75 3,09 4,53 2,17 3,17 2,53 4,33 4,18 1,44
1,80 3,13 4,58 2,17 3,17 2,59 4,33 4,20 1,44
1,85 3,16 4,63 2,17 3,17 2,63 4,33 4,22 1,44
1,90 3,19 4,67 2,17 3,17 2,72 4,33 4,24 1,44
1,95 3,22 4,71 2,17 3,17 2,78 4,33 4,26 1,44
2,00 3,25 4,75 2,17 3,17 2,83 4,33 4,28 1,44
>2,00 4,38 6,25 2,17 3,17 5,00 4,33 5,00 1,44
ly
lx
=
lx lx
OBS: (*) Foram considerados 
alívios pela metade, 
prevendo-se a possibilidade 
de engastes parciais.
10
pkR xxx
l
=
10
pkR xxx
l
= ,,
10
pkR xyy
l
=
10
pkR xyy
l
= ,,
;
;
;
Reações de apoio 
(Fonte: L.M. Pinheiro)
190
Tabela A-3
Reações de apoio em lajes com carga uniforme
Tipo
kx
(*) k’x k’y k’x ky
(*) k'y k’x k’y
1,00 1,71 2,50 3,03 3,03 1,71 2,50 2,50 2,50
1,05 1,79 2,63 3,08 3,12 1,71 2,50 2,62 2,50
1,10 1,88 2,75 3,11 3,21 1,71 2,50 2,73 2,50
1,15 1,96 2,88 3,14 3,29 1,71 2,50 2,83 2,50
1,20 2,05 3,00 3,16 3,36 1,71 2,50 2,92 2,50
1,25 2,13 3,13 3,17 3,42 1,71 2,50 3,00 2,50
1,30 2,22 3,25 3,17 3,48 1,71 2,50 3,08 2,50 
1,35 2,30 3,36 3,17 3,54 1,71 2,50 3,15 2,50 
1,40 2,37 3,47 3,17 3,59 1,71 2,50 3,21 2,50 
1,45 2,44 3,57 3,17 3,64 1,71 2,50 3,28 2,50
1,50 2,50 3,66 3,17 3,69 1,71 2,50 3,33 2,50
1,55 2,56 3,75 3,17 3,73 1,71 2,50 3,39 2,50
1,60 2,61 3,83 3,17 3,77 1,71 2,50 3,44 2,50
1,65 2,67 3,90 3,17 3,81 1,71 2,50 3,48 2,50 
1,70 2,72 3,98 3,17 3,84 1,71 2,50 3,53 2,50 
1,75 2,76 4,04 3,17 3,87 1,71 2,50 3,57 2,50 
1,80 2,80 4,11 3,17 3,90 1,71 2,50 3,61 2,50
1,85 2,85 4,17 3,17 3,93 1,71 2,50 3,65 2,50
1,90 2,89 4,22 3,17 3,96 1,71 2,50 3,68 2,50
1,95 2,92 4,28 3,17 3,99 1,71 2,50 3,72 2,50
2,00 2,96 4,33 3,17 4,01 1,71 2,50 3,75 2,50
>2,00 4,38 6,25 3,17 5,00 1,71 2,50 5,00 2,50
ly
lx
=
OBS: (*) Foram considerados 
alívios pela metade, 
prevendo-se a possibilidade 
de engastes parciais.
10
pkR xxx
l
=
10
pkR xxx
l
= ,,
10
pkR xyy
l
=
10
pkR xyy
l
= ,,
;
;
;
Reações de apoio 
(Fonte: L.M. Pinheiro)
191
– ANEXO B –
Tabelas de CZERNY
(Momentos e flechas) 
192
As tabelas as seguir são válidas para lajes retangulares apoiadas em suas
bordas, com carga p uniformemente distribuída (B-1 a B-9) e triangular (B-10 e
B-11). Estas tabelas, apresentadas por CZERNY no volume I do Beton Kalender
de 1976, foram adaptadas por BURKE para coeficiente de Poisson  = 0,20.
Nas11 tabelas que se seguem, valem as seguintes notações: 
lx menor vão da laje - ly maior vão da laje; 
mx momento fletor positivo na direção x; 
my momento fletor positivo na direção na y; 
mbx momento fletor negativo (borda) na direção x; 
mby momento fletor negativo (borda) na direção y; 
a flecha máxima da laje; 
p carga uniformemente distribuída (B-1 a B-9) e triangular (B-10 e B-11); 
ax coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; 
ay coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; 
x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; 
y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y; 
aa coeficiente para definição da flecha; 
Ec módulo de elasticidade secante do concreto (Ecs); e 
h espessura da laje. 
ANEXO B – Tabelas de CZERNY para momentos e flechas de lajes
(Fonte: Prof. M. A. Marino – Cap. 8_Lajes maciças de concreto armado)
LAJE TIPO 1 - 4 bordas simplesmente apoiadas
193
LAJE TIPO 2A - 3 bordas simplesmente apoiadas e um engaste em lx
194
LAJE TIPO 2B - 3 bordas simplesmente apoiadas e um engaste em ly
195
LAJE TIPO 3 - 2 bordas adjacentes engastadas e duas simplesmente apoiadas
196
LAJE TIPO 4A - 2 bordas simplesmente apoiadas e dois engastes em lx
197
LAJE TIPO 4B - 2 bordas simplesmente apoiadas e dois engastes em lx
198
LAJE TIPO 5A - 3 bordas engastadas e um apoio simples em ly
199
LAJE TIPO 5B – 3 bordas engastadas e um apoio simples em lx
200
LAJE TIPO 6 - 4 bordas engastadas
201
Laje com 3 bordas engastadas e uma livre (carga triangular) 
202
Laje com 3 bordas engastadas e uma livre (carga triangular) 
203
Laje isostática - com 1 borda engastada e três livres
204
– ANEXO C –
Tabelas de lajes 
(diversas)
Fonte: Prof. Libânio M. Pinheiro - LAJES MACIÇAS – CAP.11
205
Tabela 1.1 – Cálculo da armadura principal (positiva e negativa):
206
Tabela 1.1 – Cálculo da armadura principal (positiva e negativa):
207
(Continuação da Tabela 1.1)
208
209
210
211
212
213
214
215Fonte: Pinheiro/Bastos - UNESP(Bauru/SP)
216Fonte: Pinheiro/Bastos - UNESP(Bauru/SP)
217
Fonte: Pinheiro/Bastos - UNESP(Bauru/SP)
218Fonte: Pinheiro/Bastos - UNESP(Bauru/SP)
219
TABELA 1.3b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5,00 0,154 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,38 1,57 1,77 1,97
6,30 0,245 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,19 2,50 2,81 3,12
8,00 0,3950,50 1,01 1,51 2,02 2,52 3,02 3,53 4,03 4,53 5,04
10,00 0,617 0,79 1,57 2,36 3,15 3,94 4,72 5,51 6,30 7,09 7,87
12,50 0,963 1,23 2,46 3,69 4,92 6,15 7,38 8,61 9,84 11,07 12,30
16,00 1,578 2,02 4,03 6,05 8,06 10,08 12,09 14,11 16,12 18,14 20,16
20,00 2,466 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,04 25,19 28,34 31,49
25,00 3,853 4,92 9,84 14,76 19,68 24,60 29,52 34,45 39,37 44,29 49,21
32,00 6,313 8,06 16,12 24,19 32,25 40,31 48,37 56,43 64,50 72,56 80,62
 f 
(mm)
(kg/m)
Área de aço - cm²
220
Referências Bibliográficas
• Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 
2014. v.1 a v.4, 4.ed. 
• CARVALHO, Roberto Chust; FILHO, Jasson Rodrigues de Figueiredo. Cálculo e detalhamento de 
estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. EDUFSCAR. 4ª edição. São 
Carlos. 2014 
• http://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf. 
• Apostila de Estruturas de Concreto I – FESP Faculdade de Engenharia São Paulo; Prof. A. R. 
Martins. 
• Estruturas de Concreto I – Lajes de Concreto. Notas de Aula. Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos 
Bastos. Bauru-SP. Novembro. 2005. (www.feb.unesp.br/pbastos) 
• Anotações de aula da disciplina de Estruturas I da Faculdade de Tecnologia de São Paulo, curso 
Edifícios. Prof. Eduardo Roberto Domingues da Silva. 
• Projeto de Lajes Maciças de Concreto Armado. Escola de Engenharia – Departamento de 
Engenharia – UFRS. Campos Filho, Américo. 2011. 
• NBR 6118:2014. 
• FUSCO, Péricles Brasiliense. Técnica de armar as estruturas de concreto. Ed. PINI. São Paulo. 
1995. 
• Lajes - Apostila desenvolvida pelo professor Edilberto Vitorino de Borja - 2013.1 – 21 pags.
• Camacho, Jefferson S. Estudo das Lajes – Curso de concreto armado. UNESP, Ilha Solteira, 2004. 
Disponível em http://www.nepae.feis.unesp.br/Apostilas/Estudo%20das%20lajes.pdf em 5 de março 
de 2010. 
• Mendes, Flávio. Notas de aula de EDI-49 (Concreto Estrutural II). ITA, São José dos Campos, 
2009. 
221