2020 2 - Concreto I - Unidade 2A - LAJES - Parte 1_Introdução, Lajes Maciças, Ações

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1
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
LAJES
2
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
AULA COM INÍCIO AS 19:00h
Unidade 02A - LAJES
4
Na teoria das estruturas, os elementos de superfície são aqueles em que uma
dimensão, denominada espessura, é relativamente pequena em face das demais.
Tais elementos são classificados de acordo com as seguintes denominações:
• placas: são elementos estruturais de superfície plana, sujeitos 
principalmente, a ações normais ao seu plano; 
• cascas: são elementos estruturais de superfície não plana; 
• chapas: são elementos estruturais, de superfície plana, sujeitos
principalmente a ações contidas em seu plano. 
1. LAJES.
Figura 1.1 – Estruturas laminares 
As lajes recebem ações verticais, perpendiculares ao seu plano, e as transmitem
para os apoios, apresentando comportamento de placa. Por outro lado, as lajes
também atuam como diafragmas horizontais rígidos, distribuindo as ações
horizontais entre os diversos pilares da estrutura, comportando-se como chapa.
Conclui-se, portanto, que as lajes têm dupla função estrutural: de placa e de
chapa.
2.-
Tipo de Lajes
5
2. Tipos de lajes
2.1. Lajes maciças
São recomendadas para vãos de até 6m, sendo que para vãos maiores 
elas se tornam antieconômicas devido ao aumento da espessura e 
consequentemente aumento do peso próprio. 
Figura 1.2 – Laje Maciça apoiadas em vigas.
São aquelas cuja espessura é toda composta por concreto; possuindo 
armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais, 
e são apoiadas por vigas ou paredes em suas bordas (Figura 1.2).
Normalmente têm 
espessura entre 7 e 15 cm, 
sendo projetadas para 
diversos tipos de 
construção, tais como: 
muros de arrimo, escadas, 
reservatórios e construções 
diversas.
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2.2. Lajes nervuradas
São lajes constituídas por um conjunto de vigas que se cruzam; sendo 
solidarizadas por uma mesa ou capa de concreto (Figura 1.3). 
Nas lajes nervuradas, a zona de tração encontra-se localizada em suas 
nervuras. 
Podem ser moldadas no local ou serem formadas por nervuras pré-moldadas. 
Entre as nervuras também pode ser colocado material inerte (Figura 1.4). 
Figura 1.3 – Laje pré-moldada moldada 
no local
Figura 1.4 – Lajes nervurada com EPS, 
popularmente conhecido como isopor.
Tais lajes possuem um comportamento intermediário entre o de laje maciça e o 
de grelha. São utilizadas para vencer vãos relativamente grandes.
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2.3. Lajes pré-fabricadas ou pré-moldadas
Existem diversos tipos de lajes pré-fabricadas. Podem, por exemplo, ser 
constituídas por vigas ou vigotas de concreto e blocos cerâmicos ou de 
cimento, ou de EPS (isopor), ou um outro material cuja função é a de 
completar o piso (Figura 1.5).
A grande vantagem deste tipo de solução é a velocidade de execução e 
a eliminação de fôrmas. Seus vãos variam de 4 a 8 metros, podendo 
chegar a 15 metros.
Armadura de distribuição
Vigota treliçada Bloco cerâmico
Figura 1.5 – Laje Pré-moldada (treliçada).
Define-se laje pré-fabricada ou pré-moldada àquela que tem suas partes 
produzidas em escala industrial em uma fábrica. 
Pode ser de concreto armado ou protendido, sendo utilizada tanto em 
construções de pequeno porte como de grande porte. 
8
Costuma-se também utilizar painéis pré-fabricados em concreto
armado ou protendido, apoiando-se diretamente sobre a vigas de
concreto ou metálicas (estrutura mista), dispensando-se o elemento de
vedação (Figura 1.6).
Figura 1.6 - Painéis pré-fabricados: (a) Tipo “” - (b) Alveolar.
Outros tipos de lajes formadas por painéis pré-fabricados em concreto.
9
2.4. Lajes cogumelo
São lajes apoiadas diretamente nos pilares por intermédio de capitéis ou 
engrossamentos que têm a função de absorver os esforços de punção 
presentes na ligação laje-pilar. O dimensionamento é feito com base nos 
esforços de cisalhamento, que são preponderantes sobre os esforços de 
flexão (Figura 1.7).
Figura 1.7 - Laje cogumelo: 
(a) com capitel, 
(b) com ábaco, 
(c) com ábaco e capitel.
(drop panel)
10
problema de puncionamento
10
2.5. Lajes lisas ou planas
São aquelas apoiadas diretamente nos pilares sem o uso de capitéis ou
engrossamentos (Figura 1.8). Esta solução apresenta uma grande vantagem
em relação às demais, pois propicia uma estrutura mais versátil. A ausência de
recortes nas lajes permite uma redução no tempo de execução das fôrmas,
além da redução expressiva do desperdício dos materiais.
Devido a ausência de capitéis, o seu dimensionamento deve ser criterioso,
pois requerem um cuidado especial quanto ao problema de puncionamento.
Para combater os esforços de punção são utilizados, habitualmente,
conectores ou chapas metálicas na conjunção entre a laje e o pilar.
A experiência mostra que o uso de vigas de 
borda traz inúmeras vantagens sem aumento 
significativo nos recortes das fôrmas.
Figura 1.8 - Laje lisa (ou plana)
OBS: O presente estudo 
abordará somente as lajes 
maciças e nervuradas de 
concreto armado.
3.-
Lajes Maciças
11
As lajes maciças (apoiadas sobre as quatro bordas ou em balanço) são as
lajes mais comuns nas construções correntes de concreto armado (Figura 1.9).
O processo de cálculo das lajes maciças apresentado neste texto é utilizado
há muitos anos, podendo ser executado manualmente e sem auxílio de
computadores.
É adotado pela NBR 6118:2014 e, neste processo, os esforços de flexão e as
flechas são determinados segundo a Teoria das Placas, com base na teoria
matemática da elasticidade.
3. Estudo das lajes maciças de concreto armado.
Figura 1.9 - lajes maciças
Estruturalmente, as lajes também 
são importantes elementos de 
contraventamento (diafragmas 
nos pórticos tridimensionais) e de 
enrijecimento (mesas de 
das vigas “T” ou paredes
rígidos 
compressão 
portantes).
12
3.1. Vãos efetivos ou teóricos (lef) das lajes
lef = (l0 + a1 + a2)
Figura 1.10 – Vão livre (l0) e vão teórico (lef)
Segundo a NBR 6118/2014, item 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo
(lef) (Figura 1.10) deve ser calculado pela expressão:
sendo: ea1 = menor valor entre
t1 /2
0,3h
a2 = menor valor entre
t2 /2
0,3h
lef = vão efetivo (também chamado de vão de cálculo ou teórico); 
l0 = vão livre (distância entre faces de dois apoios consecutivos); 
t largura do apoio na direção do vão da laje analisada; 
h espessura da laje. 
onde:
13
Figura 1.11 – Vãos teóricos
3.2. Classificação quanto à direção das armaduras
A diferenciação é realizada de acordo com o valor de  (Figura 1.11), onde:
Existem dois casos: 
a) laje armada em uma direção e 
b) laje armada em duas direções.
sendo:
ly
lx
 =
 = relação entre os vãos teóricos da laje;
lx = menor vão teórico ou efetivo da laje;
ly = maior vão teórico ou efetivo da laje.
(Lambda)
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Nas lajes armadas em uma direção os esforços solicitantes de maior
magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão, chamada direção
principal. Na outra direção, chamada secundária, os esforços solicitantes são
bem menores e, por isso, são comumente desprezados nos cálculos
(Bastos, 2013).
Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com seção
transversal mínima dada pela NBR 6118:2014. Como a armadura principal é
calculada para resistir à totalidade dos esforços, a armadura de distribuição
tem o objetivo de solidarizar as faixas de laje da direção principal, prevendo-
se, por exemplo, uma eventual concentração de esforços.
a) Laje armada em uma direção:
São aquelas em que  >2.
b) Laje armada em duas direções (ou em cruz):
São aquelas em que  ≤ 2.
Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são
importantes segundo as duas direções da laje.
Cada armadura é calculada para resistir ao momento fletor agindo em sua
direção.
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3.3. Determinação dos tipos de apoio ou vinculação das lajes
Para o cálculo dos esforços solicitantes e deformações nas lajes, torna-se
necessário estabeleceros vínculos da laje com os apoios, sejam eles
pontuais como os pilares, ou lineares como as vigas e paredes de concreto
ou alvenaria estrutural.
Tabela 1 – Convenção de estilo de linha para os vínculos de lajes.
A idealização teórica de apoio simples ou engaste perfeito, nas lajes correntes
dos edifícios, raramente ocorre na realidade. No entanto, CUNHA & SOUZA
(1994), apud Bastos (2013), o erro cometido é pequeno, não superando os
10%.
De forma simplificada, para cálculo das lajes maciças retangulares, a
convenção de vinculação é feita com diferentes estilos de linhas, como
mostrado na Tabela 1.
16
Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro
bordas das lajes retangulares, as lajes recebem números que diferenciam
as combinações de vínculos nas bordas, como indicados na Figura 1.12.
Figura 1.12 – Tipos de lajes em função dos vínculos nas bordas.
17
A borda livre caracteriza-se pela ausência de apoio, apresentando, portanto,
deslocamentos verticais (Figura 1.13 ).
Já nas bordas simplesmente apoiadas como nas engastadas, considera-se 
que não ocorre deslocamentos verticais.
Figura 1.13 – Lajes com bordas livres, engastadas e simplesmente apoiadas.
3.3.1. Bordas livres
borda livre
borda livre
borda 
simplesmente 
apoiada
borda 
engastada
18
3.3.2. Bordas simplesmente apoiadas
O apoio simples surge nas bordas onde não existe, ou não se pode admitir 
a continuidade da laje com outras lajes vizinhas (Figura 1.14). 
O apoio simples pode ser uma parede de alvenaria estrutural ou uma viga 
de concreto.
Figura 1.14 – Laje rebaixada (não há continuidade)
19
3.3.3. Bordas com engaste perfeito
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, 
varandas, etc. (Figura 1.15). É considerado também nas bordas onde há 
continuidade entre duas lajes vizinhas.
(a) (b)
Figura 1.15 – Lajes em balanço: 
(a). engastada em viga de apoio; (b) engastada na laje adjacente
Nas bordas engastadas (engaste perfeito) as rotações também são impedidas .
20
Quando uma laje apresentar alguma mudança de direção (lajes inclinadas), 
conforme ilustrado na Figura 1.16, assume-se, de maneira simplificada, a 
condição de engastamento perfeito para a borda comum às duas lajes.
Figura 1.16 - Lajes adjacentes com mudança de direção.
Exemplo de engaste perfeito: (lajes de rampas)
21
Quando duas lajes contínuas possuírem espessuras muito diferentes, pode 
ser mais adequado considerar a laje de menor espessura (L2) engastada na 
laje de maior espessura (L1), e a laje com maior espessura sendo 
considerada apenas apoiada na borda comum às duas lajes (Figura 1.17).
Borda apresentando engaste e apoio simples, simultaneamente: 
Figura 1.17 – Lajes adjacentes com 
espessuras muito diferentes.
borda livre
borda simplesmente 
apoiada
borda engastada
22
No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda
comum, o critério simplificado para se considerar a vinculação é o
seguinte (Figura 1.18):
Em qualquer dos casos, a laje 
L2 tem a borda engastada na 
laje L1.
Figura 1.18 – Lajes parcialmente contínuas e 
condição de contorno mista (engaste–apoio).
Se →
3
2
a
L
L1 pode ser considerada engastada na laje L2;
→
3
2
a
L
L1 é considerada simplesmente apoiada.
Exemplo de condições de contorno mistas:
3.4. Espessura mínima das lajes (hmin)
As espessuras finais das lajes (h) devem respeitar os valores
mínimos de espessura recomendados pela NBR 6118:2014, item
13.2.4.1, de acordo com a tabela 2, a seguir:
Tabela 2 – Limites mínimos para a espessura de lajes maciças.
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h = 7 cm lajes de cobertura não em balanço
h = 8 cm lajes de piso não em balanço 
h = 10 cm lajes em balanço
h = 10 cm lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN
h = 12 cm lajes que suportem veículos de peso total maior que 30kN 
h = 15 cm 
para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l /42 
para lajes de piso biapoiadas e l /50 para lajes de piso continuas
24
Tabela 3 – Cobrimento nominal (cnom) para Δc = 10mm
Δc é um acréscimo dado ao cobrimento mínimo (cmín), sendo considerado como
uma tolerância de execução.
cnom é igual ao cobrimento mínimo acrescido da tolerância Δc (Δc deve ser maior
ou igual a 10 mm). Portanto: cnom = cmin + Δc.
Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido,
os cobrimentos definidos na Tabela 3 podem ser reduzidos em até 5 mm.
3.5. Cobrimentos nominais mínimos para lajes (cnom).
Tipo de estrutura
Componente 
ou elemento
Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1)
I II III IV 2
Cobrimento nominal – mm
Concreto armado Laje 1 20 25 35 45
1 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso,
com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e
acabamento, como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros,
as exigências desta Tabela, podem ser substituídas pelas de 7.4.7.5 (cnom ≥ barra), respeitado
um cobrimento nominal ≥ 15 mm.
2 Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de
tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em
ambientes química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da
classe de agressividade IV.
tolerância de 
execução
(cnom)
24
3.5. Cobrimentos nominais mínimos para lajes (cnom).
25
Para se determinar a espessura h de uma laje é preciso inicialmente estimar-se
o valor da sua altura útil d, que é a distância entre o centro de gravidade da
armadura tracionada até a face comprimida da seção (Figura 1.19).
Como não se conhece inicialmente o diâmetro  da barra longitudinal da laje, este 
diâmetro deve ser estimado. Normalmente, para as lajes correntes, o diâmetro 
varia de 5 mm a 10 mm. Para  pode-se estimar inicialmente a barra com diâmetro 
de 10 mm.
O cobrimento c = cnom deve ser determinado conforme a Tabela 3, extraída da 
Tabela 7.2 da NBR 6118:2014.
3.6. Estimativa da espessura (h)
Figura 1.19 – Altura h da laje para lajes 
maciças, supondo armadura de flexão positiva.
h = d + /2 + c →
sendo: h ≥ hmin;
c = cnom;
 = diâmetro da armadura.
A espessura h é dada por:
26
3.6.1. Estimativa da altura útil (d) da laje
d = (2,5 – 0,1n) l*/100 , onde:
d (cm) = altura útil;
n = número total de engastes na laje;
l* (cm) = menor valor entre lx e 0,7ly.
OBS: Neste caso, a estimativa da altura útil d não dispensa a verificação da 
flecha que existirá na laje, e que deverá ser calculada.
Existem vários métodos para a estimativa (pré-dimensionamento) da altura útil
(d) de lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas:
a) Método prático I(*):
(* Notas de aula/Lajes de Concreto 2013 - Prof. Paulo Sérgio dos S. Bastos - UNESP – Bauru/SP)
2lx .
3
d = 
Tabela 4 - Valores de Ψ3 para o pré-dimensionamento da espessura de lajes
2 = 0,5 (para lajes em balanço);
3: coeficiente que depende do tipo de aço.
lx .
23d = 

b) Critério da NBR 6118:1978 para lajes em balanço:
psi
27
3.7. Ações ou carregamentos sobre as lajes
Os carregamentos atuantes sobre as lajes são de diversos tipos, tais como:
pessoas, móveis, equipamentos fixos ou móveis, paredes, água, solo, etc.
As lajes recebem as cargas de utilização e transmite-as para os apoios,
geralmente vigas ou paredes estruturais.
Nos edifícios as lajes ainda têm a função de atuarem como diafragmas rígidos
(elemento de rigidez infinita no seu próprio plano), distribuindo os esforços
horizontais do vento para as estruturas de contraventamento (pórticos, paredes,
núcleos de rigidez, etc.), responsáveis pela estabilidade global dos edifícios.
Para determinação das ações atuantes nas lajes deve-se recorrer às normas NBR
6118:2014, NBR 8681:2003 e NBR 6120:1980, entre outras pertinentes.
Se ocorrerem cargas não tratadas nas normas brasileiras, pode-se recorrer a
normas estrangeiras ou a bibliografia fornecida pelos fabricantes.Nos edifícios correntes, geralmente as ações principais são as ações permanentes
(g) e as ações variáveis (q), chamadas pela norma de cargas acidentais, termo
esse inadequado (Bastos, 2013).
3.7.1
AÇÕES 
PERMANENTES 
(g)
28
a) Peso próprio da laje (gpp): 
h= concppg
γconc = peso especifico do concreto armado (conforme item 
8.2.2 da NBR 6118:2014 admite-se o valor de 25 kN/m³ 
(ou 2.500 kgf/m³);
h = espessura da laje (m);
gpp = peso próprio da laje (kN/m²).
onde:
É o peso do concreto armado que forma a laje:
h= 25gpp→
3.7.1. Ações permanentes (g) 
As principais ações permanentes a serem determinadas são:
a) Peso próprio da laje (gpp); 
c) Revestimento do teto (grev,teto);
b) Contrapiso (gcontr);
d) Piso (gpiso) :
e) Peso de enchimento (genc);
f) Carregamento devido a paredes (gpar). 
29
e= revtetorev,g
γrev = peso especifico do revestimento, considerado igual a 19 kN/m³ 
(ou 1.900 kgf/m³);
e = espessura do revestimento (m);
grev,teto = carga permanente do revestimento do teto (kN/m²).
onde:
→ e= 19g tetorev,
c) Revestimento do Teto (grev,teto) :
É padrão considerar-se uma camada de reboco não inferior a 0,02 m de 
espessura como revestimento de teto. Neste caso a ação permanente é:
b) Contrapiso (gcontr) :
e= contrcontrg
γcontr = peso especifico do contrapiso (traço 1:3 - em volume)
considerado igual a 21 kN/m³ (ou 2.100 kgf/m³);
e = espessura do contrapiso (m)
(normalmente adota-se e = 0,04 m);
gcontr = carga permanente de contrapiso (kN/m²).
onde:
Depende da espessura (e) do contrapiso:
→ e= 21gcontr
30
d) Piso (gpiso) :
O piso é o revestimento final na superfície superior da laje. A sua correta 
quantificação é feita com auxílio do projeto arquitetônico, que define o tipo de 
piso de cada ambiente da construção. 
Os tipos mais comuns são os de madeira, de cerâmica, carpetes e de rochas, 
como granito e mármore.
A Tabela 1 da NBR 6120/80 fornece os pesos específicos de diversos materiais 
que auxiliam no cálculo da carga do piso por metro quadrado de área de laje.
- Ipê, angico, cabriúva → 10 kN/m³
- Cerâmica → 18 kN/m³ 
- Granito, mármore e calcáreo → 28 kN/m³ 
e= pisopisog
γpiso = peso especifico do revestimento final do piso;
e = espessura do revestimento final do piso (m);
gpiso = carga permanente do revestimento final do piso (kN/m²).
onde:
Para o revestimento do piso, a ação permanente é dada por:
Peso específico dos materiais: 
31
Segue abaixo o peso específico de alguns materiais de enchimento:
• entulho: 15 kN/m³ (ou 1.500kgf/m³); 
• cacos: 12 kN/m³ (ou 1.200kgf/m³); 
• argila expandida: 9 kN/m³ (ou 900kgf/m³); 
• terra: 18 kN/m³ (ou 1.800kgf/m³).
e) Peso de enchimento (genc) –
ench= enchencg
γenc = peso especifico do enchimento;
h enc = espessura do enchimento.
onde:
A utilização de enchimento ocorre no caso de lajes com rebaixo ou com pisos 
elevados. O seu peso é calculado como:
32
f) Carregamento devido a paredes (gpar)
A carga das paredes (gpar) sobre as lajes maciças deve ser determinada em 
função da laje ser armada em uma ou em duas direções. 
O peso das paredes (ppar) depende do tipo de alvenaria (tijolo, bloco, etc.) e da 
espessura do reboco que compõe a parede. Este peso (ppar) normalmente é 
apresentado por metro quadrado de parede pronta (1 m de largura por 1 m de 
altura), como mostrado na Figura 1.20. 
O peso por m² de uma parede rebocada em 
ambas as faces pode ser representado por: 
Figura 1.20 – Peso de paredes 
ppar = peso de parede por unidade de área (kN/m²);
γalv = peso especifico da alvenaria que compõe
a parede (kN/m³);
e alv = espessura da alvenaria (m);
γreb = peso especifico do reboco (kN/m³);
ereb = espessura do reboco (m).
onde:
ppar = γalv .ealv + γreb .ereb
33
Carregamento devido a paredes (continuação)
Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes valores: 
• bloco de cimento .........................................................................γalv = 22 kN/m³ 
• tijolo de furado ............................................................................γalv = 13 kN/m³
• tijolo de maciço ...........................................................................γalv = 18 kN/m³
• reboco .........................................................................................γreb = 20 kN/m³ 
A Tabela 5 mostra alguns valores de peso de parede por m². Na Tabela foi 
considerado reboco de 2,0 cm de espessura em cada face da alvenaria rebocada. 
Parede sem reboco Parede com reboco
tijolo
(cm)
tijolo furado
(kN/m²)
tijolo maciço
(kN/m²)
parede
(cm)
tijolo furado
(kN/m²)
tijolo maciço
(kN/m²)
10
12
15
1,30 1,80 14
16
19
2,10 2,60
1,56 2,16 2,36 2,96
1,95 2,70 2,75 3,50
20 2,60 3,60 24 3,40 4,40
Tabela 5 – Pesos de paredes acabadas (ppar)
34
f.1) Carga de parede sobre laje armada em duas direções
Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a 
carga da parede uniformemente distribuída na área da laje, de forma que a 
carga é o peso total da parede dividido pela área da laje, isto é:
yx
parparpar
par
ll
lhp
g

=
gpar = carga uniforme de parede por unidade de área (kN/m²);
ppar = peso da parede rebocada (kN/m²);
hpar = altura da parede (m);
lpar = comprimento total de parede (m).
onde:
(Sugestão: Observar também 
o valor mínimo de 1 kN/m² da 
NBR6120:1980 - item 2.1.2)
Exemplo 1
35
Exemplo 1*: Determinar a carga de parede para a laje dada. A altura das 
paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolos furados de 10 cm e 
reboco de 1,5 cm em cada face. 
35
Exemplo 1*: Determinar a carga de parede para a laje dada. A altura das 
paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolos furados de 10 cm e 
reboco de 1,5 cm em cada face. 
Resolução:
(* Notas de aula/Lajes maciças de 
Concreto - Cap. 8 - UFPR – 2006)
36
f.2) Laje Armada em uma direção
Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados:
Figura 1.21 – Parede paralela à 
direção principal da laje.
1º Caso – Parede paralela à direção principal da laje
Simplificadamente, considera-se a carga da parede distribuída uniformemente 
numa área de dimensões lx por 0,5.lx, como mostrado na Figura 1.21.
- paredes paralelas à direção principal (menor lado da laje);e 
- paredes paralelas ao lado maior da laje (direção secundária). 
A laje fica, então, com duas regiões com carregamentos diferentes. 
Na região I não ocorre a carga da parede. Na região II, o valor da carga 
distribuída devida à parede, é dada por:
2
2
x
parparpar
II_par
l
hlp
g

= , onde:
gpar_II = carga uniforme de parede 
atuando na área II (kN/m²);
ppar = peso da parede por unidade 
de área (kN/m²);
lpar = comprimento da parede (m);
hpar = altura da parede (m);
(Sugestão: Observar também o valor mínimo de 1 kN/m² da NBR6120-item 2.1.2)
37
onde:
p = força concentrada representando o peso da parede por
unidade de comprimento (kN/m);
ppar = peso da parede por unidade de área (kN/m²);
hpar = altura da parede (m).
A carga da parede deve ser considerada como uma força concentrada p
numa viga representativa da laje, como mostrado na Figura 1.22, cujo valor é
dado por:
parhp = parp
Figura 1.22 – Parede paralela ao maior 
lado da laje.
2º Caso – Parede paralela à direção secundária da laje
Exemplo 2
38
Exemplo 2*: Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes L1 e L2. 
A altura das paredes é de 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 12 cm e 
reboco de 1,5 cm em cada face. 
38
Exemplo 2*: Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes L1 e L2. 
A altura das paredes é de 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 12 cm e 
reboco de 1,5 cm em cada face. 
Resolução:
39
(* Notas de aula/Lajes maciças de Concreto - Cap. 8 - UFPR – 2006)
3.7.2
AÇÕES VARIÁVEIS 
(q)
40
3.7.2. Ações variáveis (q) 
A ação variável nas lajes é tratada pela NBR 6120/80 (item 2.2) como 
“carga acidental”. 
Na prática costumam também serchamadas de “sobrecarga” ou “cargas de 
utilização”. 
A carga acidental é definida pela NBR 6120 como “toda aquela que pode 
atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, 
móveis, materiais diversos, veículos, etc.)”, e é suposta uniformemente 
distribuída.
41
a) Edifícios residenciais: 
- Dormitório, sala, copa, cozinha, banheiro → 1,5 kN/m² 
- Despensa, área de serviço, lavanderia → 2,0 kN/m² 
b) Escadas: 
- Com acesso ao público (área comum) → 3,0 kN/m² 
- Sem acesso ao público (área privativa) → 2,5 kN/m² 
c) Hall / Corredores: 
- Com acesso ao público (área comum) → 3,0 kN/m² 
- Sem acesso ao público (área privativa) → 2,0 kN/m² 
d) Terraços: 
- Com acesso ao público → 3,0 kN/m² 
- Sem acesso ao público → 2,0 kN/m² 
- Inacessíveis à pessoas → 0,5 kN/m² 
e) Forros sem acesso à pessoas → 0,5 kN/m²
A seguir, são apresentados alguns valores de cargas acidentais (q) para 
lajes, recomendados pela NBR 6120/80: 
Quando da existência de cargas ou equipamentos especiais, deve-se 
considerar também estes efeitos.
42
3.7.2.1 Cargas acidentais específicas para parapeitos e balcões
Nas lajes em balanço que se destinam a parapeitos e balcões (Figura 1.23),
além das cargas permanentes e acidentais já citadas, a NBR6120 (item
2.2.1.5) também recomenda que devem ser consideradas aplicadas uma
carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical
mínima de 2 kN/m.
- H = 0,8 kN/m; 
- V = 2,0 kN/m.
carga acidental do compartimento que lhe dá acesso; 
terraço com acesso ao público → 3,0 kN/m² (sugestão).
- q = mínimo entre
Figura 1.23 – Cargas acidentais para lajes em balanço
De acordo com a NBR-6118, para lajes em balanço com espessura h < 19 cm,
deve-se considerar o seguinte coeficiente adicional:
ɣn = coeficiente de majoração da força normal; 
ɣf = coeficiente de ponderação das ações no ELU (definido na Tabela 11.1 da NBR 6118/2014)
43
3.7.3. Redução de cargas acidentais em pilares e fundações 
No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios,
residências e casas comerciais não destinadas a depósitos, as cargas
acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na
Tabela 4 (ABNT NBR 6120, item 2.2.1.8).
Tabela 4 – Redução de cargas acidentais 
Figura 1.24 - Redução 
de cargas acidentais 
Na aplicação da Tabela 4, o 
forro deve ser considerado 
como piso (Figura 1.24). 
OBS: Esta redução 
não se aplica para 
vigas e lajes
3.8
DETERMINANDO 
OS ESFORÇOS EM 
LAJES
44
3.8. Determinação dos esforços em lajes
Após a determinação do carregamento da laje, parte-se para o cálculo dos 
esforços nela atuantes, ou seja, a determinação das solicitações.
As lajes trabalham, basicamente, a flexão simples, isso quer dizer que nelas 
estarão atuando momentos fletores e esforços cortantes. 
Nas lajes maciças os momentos fletores e as flechas são determinados 
conforme a laje seja armada em uma ou em duas direções. 
As lajes armadas em uma direção são calculadas como vigas segundo a 
direção principal, ou mediante o uso de tabelas para  > 2;
Já nas lajes armadas em duas direções ( ≤ 2) podem ser aplicadas 
diferentes teorias, como a Teoria da Elasticidade e das Charneiras 
Plásticas.
A seguir, serão apresentados os métodos de análise das lajes armadas 
em uma ou em duas direções.
45
3.8.1. Lajes retangulares armadas em uma direção
Quando a laje possuir  > 2, de maneira muito simplificada, pode ser
calculada apenas na direção do menor vão (direção principal). Na outra
direção (maior vão), coloca-se uma armadura mínima de distribuição
recomendada pela NBR 6118.
Nas lajes armadas em uma direção, considera-se, simplificadamente, que
as lajes sejam formadas por vigas com largura constante de 1,0 m,
segundo a direção principal.
Na direção secundária, os esforços solicitantes são menores e podem ser
desprezados, sendo combatidos pela armadura mínima recomendada por
norma, objetivando solidarizar as faixas de laje evitando a concentração de
esforços.
As lajes em balanço, como nos casos de marquises e varandas, são 
também casos típicos de lajes armadas em uma direção, que devem ser 
calculadas como viga segundo a direção do menor vão.
46
3.8.1.1. Lajes retangulares isoladas armadas em uma direção
Figura 1.25 – Momentos fletores e reações de apoio em laje armada em uma direção.
OBS: Para outros tipos de carregamentos devem ser consultadas as tabelas específicas.
Pode-se supor que a carga p se distribua em faixas de largura unitária paralelas ao 
menor vão. Seus momentos fletores, reações de apoio e flechas no meio do vão são 
dados por (Figura 1.25 ):
47
3.8.1.2 . Lajes retangulares contínuas armadas em uma direção
As lajes contínuas armadas em 1 direção e com cargas uniformemente 
distribuídas (Figura 1.26), poderão ser calculadas como vigas contínuas, 
desde que observada a seguinte condição: 
Figura 1.26 – Lajes contínuas armadas em uma direção.
Não serão considerados momentos positivos menores 
do que se houvesse engastamento perfeito nos apoios. 22,14
2
11
1
lp
M


24
2
22
2
lp
M


24
2
33
3
lp
M


48
3.8.2. Lajes retangulares armadas em duas direções
3.8.2.1. Método analítico para o cálculo das reações de apoio: 
(Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas).
3.8.2.2. Teoria das placas delgadas: 
Desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade. Nela podem ser obtidos 
os esforços e os deslocamentos em qualquer ponto da laje;
3.8.2.3. Métodos aproximados (Analogia das Grelhas, Teoria das Grelhas, 
Método de Marcus);
3.8.2.4. Métodos numéricos em geral (Método das Diferenças Finitas, 
Método dos Elementos Finitos, Método de Czerny, etc.);
Os esforços solicitantes e os deslocamentos nas lajes armadas em duas
direções podem ser determinados por diferentes teorias e métodos. Alguns
são listados a seguir, e serão descritos em seguida.
Fonte: LAJES DE CONCRETO - Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS - UNESP – Bauru/SP - 2013
49
Este método é utilizado para o cálculo das reações de apoio, no caso de lajes
retangulares, isoladas, armadas em duas direções, com carga uniformemente
distribuída e trabalhando no regime plástico.
As reações assim obtidas são consideradas uniformemente distribuídas nas
vigas de apoio, o que representa uma simplificação hipotética de cálculo.
Na verdade, as reações têm uma distribuição não uniforme, em geral com
valores máximos na parte central das bordas, diminuindo nas extremidades.
Porém, a deslocabilidade das vigas de apoio pode modificar a distribuição
dessas reações.
Embora a transferência das cargas das lajes sobre seus apoios aconteça no
regime elástico, o procedimento de cálculo proposto pela NBR 6118:2014 baseia-
se no regime plástico, a partir da “posição aproximada” das linhas de
plastificação, também denominadas charneiras plásticas.
A Teoria das Charneiras Plásticas admite que, sob a ação da carga de ruptura,
as lajes se dividem em painéis que giram em torno de linhas ao longo das quais
os momentos, tanto os positivos quanto os negativos, são constantes máximos, e
iguais aos momentos de ruptura da laje (a armadura atinge seu patamar de
escoamento).
a) Método das Linhas de Ruptura ou Teoria das Charneiras Plásticas. 
3.8.2.1. Método Analítico para o cálculo das reações de apoio
50
Neste método procura-se identificar qual a configuração de ruína da laje e, para
esta situação, são calculados os esforços pela chamada teoria das charneiras
plásticas; a configuração de ruína (colapso) é definida pelas fissuras surgidas
nessa situação (linhas de ruptura), comprovadas de forma aproximada em
análises experimentais (Figura 1.27).
Figura 1.27 – Linhas de ruptura.
Para as lajes retangulares armadas em duas direções com carga uniformemente
distribuída, a NBR 6118/2014 (item 14.7.6.1), permite que as reações de apoio
sejam calculadas segundo triângulos ou trapézios, determinados por meio de
retas inclinadas (ou charneiras), obtidosa partir dos vértices da laje, com as
seguintes inclinações angulares:
 • 45° entre dois apoios de mesmo tipo;
 • 60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado;
 • 90º a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda
vizinha for livre.
51
Figura 1.28 - Áreas de influência para o cálculo das reações de apoio de lajes 
Para uma viga Vn, a reação de apoio será dada por: 
rVn → reação de apoio na viga Vn; 
pk → valor característico da carga uniformemente distribuída na laje; 
An → área n de um triângulo ou trapézio definido para a viga Vn; 
li → vão da viga Vn, correspondente à base de um triângulo ou trapézio 
definido para a viga Vn. 
A Figura 1.28 mostra o esquema prescrito pela norma, onde cada viga de apoio da 
laje receberá a carga referente aos triângulos ou trapézios a ela relacionada.
Ki = coeficiente que depende de  = ly / lx e dos tipos de apoio;
p= valor da carga uniforme atuante na laje (kN/m²); 
lx= menor vão da laje (m);
Rx = reação nos apoios simples perpendiculares à direção de lx;
Ry = reação nos apoios simples perpendiculares à direção de ly;
R’x = reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de lx;
R’y = reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de ly.
onde:
52
10
pKR xxx
l
=
10
pKR xxx
l
= ,,
10
pKR xyy
l
=
10
pKR xyy
l
= ,,; ;;
No Anexo A estão apresentadas as Tabelas A-1, A-2 e A-3, que
fornecem os valores dos coeficientes kx, k’x, ky e k’y para o cálculo das
reações de apoio Rx, R’x, Ry e R’y, para lajes armadas em duas
direções. As reações serão obtidas de acordo com as seguintes
expressões:
53
A Teoria das placas delgadas, desenvolvida com base na teoria matemática
da elasticidade, onde o material é elástico linear (vale a Lei de Hooke),
homogêneo e isótropo, proporciona a equação geral das placas (equação
diferencial de 4ª ordem, não homogênea), obtida por Lagrange em 1811, que
relaciona a deformada elástica w da placa com a carga q, uniformemente
distribuída na área da placa (Bastos, 2015).
A partir da equação diferencial do equilíbrio das placas, utilizando-se as
relações entre esforços e deslocamentos da Resistência dos Materiais e
baseando-se nas hipóteses de Kirchoff-Love, obtém-se a equação
fundamental das placas delgadas (equação diferencial de 4ª ordem de
Lagrange), obtida por equilíbrio e compatibilidade de deslocamentos de um
elemento infinitesimal.
3.8.2.2. Teoria das placas delgadas ou de Kirchoff
54
w = função que representa os deslocamentos verticais da placa;
p = carregamento na placa;
D = rigidez à flexão da placa, dada por:
E = módulo de elasticidade do concreto;
h = espessura da placa;
 = coeficiente de Poisson do concreto.
onde:
A equação fundamental das placas delgadas tem a forma:
)-12(1
Eh
D
2
3

=
Dyyxx
p
2
4
4
22
4
4
4
−=


+


+

 
55
3.8.2.3. Métodos aproximados para o cálculo de lajes
A Analogia da Grelha Equivalente é um dos métodos numéricos
aproximados mais utilizados para análise de lajes de concreto armado, pois
encontra-se implementado em diversos softwares comerciais (Figura 1.29).
O procedimento consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de
vigas (grelha equivalente). O método pode ser utilizado para a análise de
lajes poligonais de formas diversas, incluindo também as vigas de apoio.
Desse modo, podem-se calcular os esforços no pavimento como um todo,
levando-se em conta as deformações das vigas.
a) Método da Analogia da Grelha Equivalente :
Figura 1.29: Discretização de um pano de 
vigas e lajes em uma malha de grelha plana 
56
As cargas distribuídas se dividem entre os elementos da grelha
equivalente de acordo com a área de influência de cada elemento.
Podem ser consideradas uniformemente distribuídas ao longo dos
elementos ou mesmo, dentro de certa aproximação, concentradas nos
nós. As cargas concentradas atuantes na estrutura devem ser aplicadas
nos nós da malha.
A rigidez à torção e à flexão são tratadas como concentradas nos
elementos correspondentes da grelha equivalente.
Devem ter valores tais que ao se carregar a estrutura real e a estrutura
da grelha equivalente, obtenha-se o mesmo estado de deformação e os
mesmos esforços nas duas estruturas.
Usando a Analogia de Grelha e um programa de computador é possível
resolver pavimentos de edifícios com grandes dimensões em planta,
com contornos não regulares, com vazios internos (poços de
elevadores), lajes com vigas e lajes sem vigas.
57
b) Teoria das Grelhas (para lajes isoladas sobre apoios rígidos)
A Teoria das Grelhas é um processo rápido e simplificado, utilizado para o
cálculo dos esforços em lajes retangulares isoladas sobre quatro apoios
indeformáveis, submetidas a uma carga p uniformemente distribuída, e que
não possuam rigidez à torção. Trata-se de um processo simples que serve de
base para o processo de Marcus.
Consiste em se imaginar duas faixas ortogonais isoladas e independentes na
região central da laje, que se entrecruzam no seu centro A, como mostra a
Figura 1.30.
Figura 1.30 – Distribuição das cargas.
Este procedimento, como visto, não leva em conta a influência favorável dos
momentos de torção, que tendem a diminuir as solicitações de flexão.
Como o ponto médio A das duas faixas é único e indivisível, deve-se ter no 
cruzamento das duas faixas a igualdade de deslocamentos, ou seja: fx = fy
58
Portanto, se o valor da flecha no centro da laje é conhecido para cada
condição de contorno, pode-se então determinar os valores de px e py.
A Tabela 7 apresenta os valores das flechas, momentos e reações para as três
condições de apoio mais utilizadas.
Tabela 7 – Valores para as flechas, momentos e reações de apoio.
Tipos de apoio Flecha central Mmax+ Meng R1 R2
Biapoiada ------
Mono-engastada
Biengastada
384EI
5pl4
=f
384EI
2pl4
=f
384EI
pl4
=f
8
pl2
2
pl
2
pl
8
pl2
−
14,22
pl2
5
3pl
5
2pl
24
pl2
12
pl2
−
2
pl
2
pl
Da igualdade das flechas: fx = fy, resulta-se o valor de px e py. Em seguida,
considerando-se sempre as faixas independentes, e levando-se em conta o
tipo de apoio em suas bordas, calculam-se os momentos Mx e My em cada
faixa.
Fonte: UDESC – Apostila de Concreto armado I / 2014 - Profa. Sandra Denise Kruger Alves
59
Seja uma laje com os bordos simplesmente apoiados (Fig 1.31).
No seu ponto médio haverá a igualdade de deslocamentos verticais, ou seja: fx = fy.
Portanto: 4
yy
4
xx
4
yy
4
xx lplp
384EI
l5p
384EI
l5p
==
onde:
384EI
l5p
4
xx=xf
384EI
l5p
4
yy
=yf
sendo:
px = Kx.p e
py = Ky.p
Ky + Kx = 1
; p = px + py;
Figura 1.31 – Caso 1.
Conhecidos os valores de (px e py) pode-se determinar os momentos e as
reações de apoio para cada faixa, como segue:
•
A
60
De forma análoga, pode-se obter os valores de (Kx) e de (Ky) para os demais 
tipos de condições de apoio para cada painel isolado (Figura 1.32): 
Adotando-se então a convenção Mx e My para os momentos positivos e
Xx e Xy para os momentos negativos, pode-se construir a Tabela 8, a
seguir, para cálculo de flechas e momentos:
Figura 1.32 – Valores de (Kx) e de (Ky) para os demais tipos de condições de apoio.
61
Onde: pkp xx = pkp yy = 1=+ yx kk ppp yx =+
Tabela 8 – Cálculo das flechas e momentos fletores para lajes 
isoladas pela Teoria das Grelhas.
62
c) Método de Marcus
Este método é válido para lajes maciças de espessura constante (ou para
lajes nervuradas), com formato retangular, e que possuam apoios
contínuos ao longo dos quatro bordos e estejam submetidas a cargas
uniformemente distribuídas por unidade de área.
Para as lajes maciças, a Teoria das Grelhas apresenta resultados mais
altos (conservadores) quando comparados com o cálculo exato (Teoria
das placas delgadas), por não levar em consideração a ação favorável da
união entre as faixas e a consequente existência de momentos torsores.
O Método de Marcus resultou do confronto entre esses dois resultados e
a posterior correção dosvalores obtidos pelo processo das grelhas, de
modo a aproximá-los mais dos valores reais das placas delgadas.
Marcus observou que a Teoria das Grelhas fornecia valores relativamente
altos para os momentos fletores positivos, propondo então coeficientes de
correção para os mesmos. Já os momentos negativos por apresentarem
valores semelhantes, não foram alterados.
63
Portanto, a diferença entre o Método de Marcus e a Teoria das Grelhas é a 
introdução de fatores de correção Cx e Cy para os momentos positivos Mx e My.
No método de Marcus, os momentos fletores positivos corrigidos, Mx e My são 
dados por:
Mx = Cx .Mx,grelha My = Cy .My,Grelhae
sendo Mx,Grelha e My,Grelha os momentos fletores positivos calculados através
da teoria das grelhas.
Os coeficientes de correção Cx<1 e Cy<1 são função das condições de
contorno (apoio) e da relação  = ly/lx entre os vãos da laje,
sendo kx e ky os coeficientes que definem os quinhões de carga.
Os coeficientes x e y dependem das condições de apoio nas duas direções:
 = 8  = 14,22  = 24
Faixa biapoiada
Faixa engastada
e apoiada Faixa biengastada
64
A partir da formulação de Marcus e de manipulações matemáticas, é
possível obter tabelas que dependem somente da relação entre os vãos
( = ly / lx) e do tipo de laje.
Deve-se observar que o numerador de todas as formulas, tanto para
momento positivo como para momento negativo, possuem o mesmo
termo (q.lx² ), e que estes momentos são escritos na forma
Deve-se lembrar que na determinação destes esforços, a unidade
obtida é a de momento por metro linear (kN.m/m).
OBS: As fórmulas aqui apresentadas atendem somente às lajes retangulares
apoiadas ou engastadas no seu contorno e submetidas a uma carga uniforme.
65
3.8.2.4. Métodos numéricos em geral 
A solução analítica da equação geral das placas é tarefa muito complexa e só
é obtida em algumas situações.
Na maioria dos casos, não é possível determinar, de forma exata, uma
solução analítica para a equação diferencial fundamental, de 4ª ordem, que
rege o problema de placas e que, ainda, satisfaça às condições de contorno.
Em geral, recorre-se a processos numéricos para a resolução dessa equação,
utilizando, por exemplo:
a) Método das Diferenças Finitas;
b) Método dos Elementos Finitos; e
c) Método de Czerny (que será adotado em nosso curso).
66
a) Método das Diferenças Finitas
O Método das Diferenças Finitas é um dos métodos numéricos que leva a
uma solução aproximada da equação diferencial da placa.
Consiste na integração numérica da equação diferencial, que é substituída por
outra, de diferenças finitas como por exemplo:
No cálculo, a placa é dividida em uma malha que se adapte ao seu contorno,
e substitui-se as derivadas por expressões aproximadas, empregando-se
convenientes polinômios de interpolação.
Neste método as derivadas que aparecem na equação diferencial são
substituídas, por aproximações em diferenças, aplicadas em pontos nodais.
Esses pontos são localizados nos nós de uma malha retangular, triangular ou
de outra forma, denominada malha de diferenças finitas.
A função w(x, y), que representa a superfície deformada da placa, é descrita
por valores aproximados da deflexão nos diversos pontos nodais. Quanto
maior o número de pontos nodais, menor será o erro obtido.
67
b) Método dos Elementos Finitos
Na análise estrutural, o Método dos Elementos Finitos pode ser empregado
tanto na formulação em deslocamentos, quanto na formulação em forças.
Essas duas formulações são análogas, aos bem conhecidos métodos da
rigidez e método das forças, utilizados na análise de estruturas reticuladas.
Segundo Araújo (2003), o primeiro passo do método dos elementos finitos
consiste na subdivisão do domínio do problema em um conjunto de
pequenos elementos, denominados elementos finitos.
O domínio discretizado forma uma malha de elementos finitos. Cada
elemento é definido por sua geometria e pelo número de nós. Tem-se os
elementos triangulares de três e de seis nós, os elementos retangulares de
quatro e de oito nós e os elementos isoparamétricos. Esses últimos são
elementos distorcidos, que permitem uma boa modelagem de domínios
irregulares. Um aumento progressivo do número de nós melhora as
características de precisão do elemento. A malha terá que ser mais refinada,
quando for utilizado um elemento com poucos nós.
68
c) Método de Czerny (que será adotado em nosso curso).
O Método de Czerny se baseia na Teoria da Elasticidade, e as suas tabelas
são obtidas utilizando-se integração numérica por diferenças finitas.
As tabelas de Czerny podem ser aplicadas em todas as situações de lajes
retangulares com carregamento uniformemente distribuído, com lados
perfeitamente apoiados ou engastados. Podem ser usadas também para
lajes com um bordo livre e para carregamento triangular, sendo, por isso,
muito utilizadas para caixas d’água.
Para a aplicação das tabelas de Czerny, deve-se considerar que o vão menor
é sempre lx.
Os momentos positivos e negativos nas duas direções das lajes são obtidos
a partir de parâmetros obtidos em tabelas, em função da relação dos vãos
 = ly/lx, que varia de 1 a 2.
69
No Anexo B estão apresentadas as Tabelas B-1 a B-11, que fornecem os
valores dos coeficientes x, y, x, y e a para o cálculo dos momentos
fletores e flechas para lajes armadas em duas direções, que serão dados
pelas seguintes expressões:
onde: 
Se a carga uniformemente distribuída corresponder a um valor característico
(pk = gk + qk) os momentos fletores resultarão característicos (mk). Se a carga
corresponder a um valor de cálculo (pd = g gk + q qk), os momentos fletores
resultarão de cálculo (md).
lx menor vão da laje;
mx momento fletor positivo na direção x; 
my momento fletor positivo na direção na y; 
mbx momento fletor negativo (borda) na direção x; 
mby momento fletor negativo (borda) na direção y; 
a flecha máxima da laje; 
p carga uniformemente distribuída (B-1 a B-9) e triangular (B-10 e B-11); 
x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; 
y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; 
x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; 
y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y; 
a coeficiente para definição da flecha; 
Ec módulo de elasticidade secante do concreto (Ecs); e 
h espessura da laje. 
70
3.9. Compatibilização de momentos fletores em lajes contínuas 
Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em
adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse
critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da
mesma ordem de grandeza.
Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos
positivos na mesma direção devem ser analisados. Se essa correção tende a
diminuir o valor do momento positivo, como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura 6,
ignora-se a redução (a favor da segurança).
Caso contrário, se houver acréscimo no valor do momento positivo, a correção
deverá ser feita, somando-se ao valor deste momento fletor a média das
variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos
apoios, como no caso da laje L2 da Figura 6.
Pode acontecer da compatibilização acarretar diminuição do momento positivo,
de um lado, e acréscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuição e
considera-se somente o acréscimo, como no caso da laje L3 da Figura 6.
Após a determinação dos esforços nas lajes isoladas, deve-se fazer a
compatibilização dos momentos de engastamento, de forma aproximada,
entre lajes adjacentes (Figura 1.33, a seguir.).
Exemplo 3
Figura 6 – Compatibilização de momentos fletores 
OBS: Os alívios que ocorrerem nos momentos fletores positivos não são considerados, ou seja, são desprezados.
Exemplo 3
Exemplo 3
Exemplo 3
72
Exemplo 3: Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel delajes abaixo indicado. Considerar: 
• estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 
(g = 1,4 e q = 1,4); 
• carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m²: e 
• carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m². 
Fonte: : Prof. M. A. Marino - Notas de aula/Lajes maciças de Concreto - Cap. 8 - UFPR – 2006
73
Solução: A solução do problema consiste na aplicação das Equações de
Kzerny (pag. 69) para a determinação dos momentos fletores em lajes
isoladas. A uniformização dos momentos negativos nas regiões de
continuidade de lajes é feita com a utilização da equação que fornece X
(item 3.9 – pg. 70).
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
10
0
ESTRUTURAS DE CONCRETO I – Slide 01 - Introdução
Obrigada!!! 
Lista de Presença.