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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE AUTOMAÇÃO E SISTEMAS
GUSTAVO ARTUR DE ANDRADE
Sinais e Sistemas Lineares
Florianópolis
2020
CONTEÚDO 3
Conteúdo
1 Revisão sobre números complexos 5
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Funções complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Sinais e Sistemas Lineares 11
2.1 Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Tamanho do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Potência de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Operações com sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Classificação de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 Alguns sinais importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Classificação de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Análise de sistemas lineares no domínio do tempo 23
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Equações a diferenças lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Sistemas lineares contínuos e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Princípios básicos da transformada de Laplace 45
4.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Ordem exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 A classe L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Propriedades básicas da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Inversa da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Teoremas da translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Aplicações 53
5.1 Equações diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Valores assintóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Funções de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.1 Pólos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.1 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 CONTEÚDO
5.5.2 Estabilidade interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Resposta temporal de sistemas descritos por função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6.1 Sistemas descritos por funções de transferência de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6.2 Sistemas descritos por funções de transferência de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Resposta em frequência 69
6.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Resposta em frequência de uma função de transferência de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Resposta em frequência para sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Técnicas do traçado do gráfico de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4.1 Resumo das regras para o traçado do gráfico de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Transformada Z 77
7.1 Existência da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Propriedades da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Inversa da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.1 Método da série de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.2 Expensão em frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4 Relação entre a transformada de Laplace e a transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8 Aplicações 83
8.1 Equações a diferenças lineares com coeficientes contantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2 Convolução . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.3 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3.1 Pólos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.4.1 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.4.2 Estabilidade interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Resposta em frequência 89
9.1 Exponenciais complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2.1 Sistemas de primeira e de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 Aliasing e taxa de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5 Projeto de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5.1 Discretização de controladores contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5.2 Sistemas digitais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5
Capítulo 1
Revisão sobre números complexos
1.1 Introdução
Uma das principais razões de considerar números reais ao invés de números racionais é que certas equações que não
possuem solução no conjunto dos números racionais possuem solução no conjunto dos números reais. Por exemplo,
x2 = 2 é um destes casos. Entretanto, também conhecemos equações que não possuem solução no conjunto dos
números reais, como por exemplo x2 = −1, ou x2 = −2. Definimos um novo conjunto de números onde tais equações
possuem solução. Este tipo de número é chamado de número complexo.
Números com a forma a + b
√
−1, na qual a e b são números reais – chamamos os números a + b
√
−1 de
números complexos – apareceram no ińıcio do século XVI. Cardan (1501-1576) trabalhou com números complexos
para resolver equações quadráticas e cúbicas. No século XVIII, funções envolvendo números complexos foram
encontradas por Euler para fornecerem soluções de equações diferenciais. Conforme as manipulações envolvendo
números complexos foram sendo introduzidas, tornou-se mais aparente que muitos problemas da teoria de funções
de variáveis reais poderiam ser facilmente resolvidas usando números complexos e funções de variáveis complexas.
Devido a sua pouca utilidade prática na época, os números complexos possúıam reputação pobre e geralmente
não eram considerados números leǵıtimos até a metade do século XIX. Descartes, por exemplo, rejeitou as ráızes
complexas de equações e criou o termo imaginário para estas soluções. Euler também considerava que números
complexos existiam somente na imaginação e considerava ráızes complexas de uma equação útil apenas para mostrar
que a equação não possúıa soluções.
A aceitação dos números complexos é devido a sua representação geométrica, desenvolvida e articulada por Gauss.
Ele descobriu que é errôneo assumir que existe um mistério sobre estes números. Na representação geométrica, ele
escreveu que “ o significado intuitivo dos números complexos é completamente estabelecido e não é mais necessário
considerar estes objetos no domı́nio da aritmética”.
1.2 Definição
Os números complexos são um conjunto de objetos, representado por C, que podem ser adicionados e multiplicados.
A soma e o produto de dois números complexos também é um número complexo e satisfaz as seguintes condições:
• Todo número real é um número complexo, e se α e β são números reais, então sua soma e produto como
números complexos são iguais à soma e produto dos números reais.
• Existe um número complexo denotado por j tal que j2 = −1.
• Todo número complexo pode ser escrito de maneira única como a+ bj, na qual a e b são números reais.
• Se α, β e γ são números complexos, então:
– (αβ)γ = α(βγ).
– (α+ β) + γ = α+ (β + γ).
– α(β + γ) = αβ + αγ e (β + γ)α = βα+ γα.
– αβ = βα e α+ β = β + α.
– Se 1 representa o número real um, então 1α = α.
– Se 0 é o número real zero, então 0α = 0.
– α+ (−1)α = 0
6 Caṕıtulo 1. Revisão sobre números complexos
Agora iremos analisar as consequências dessas propriedades.
Com cada número complexo a+ bj, podemos associar o ponto (a, b) no plano, conforme apresentado na Figura
1.1. Sejam α = a1 + a2j e β = b1 + b2j dois números complexos. Então
α+ β = (a1 + b1) + (a2 + b2)j.
Portanto, a soma de números complexos é dada pela soma dos seus componentes.
a+ bj = (a, b)
a
bj
1 + 1j = (1, 1)
1
1j
Figura 1.1: Representação dos números complexos no plano.
Exemplo 1.1. Considere α = 3 + 3j e β = −2 + 5j. Então,
α+ β = (3 + 3j) + (−2 + 5j) = (3− 2) + (3 + 5)j = 1 + 8j.
Na multiplicação de números complexos, usamos a propriedade j2 = −1 para simplificar as expressões e deixá-las
na forma a+ bj.
Exemplo 1.2. Sejam α = 2 + 3j e β = 1− j. Então
αβ = (2 + 3j)(1− j) = (2− j) + 3j(1− j) = 2− 2j + 3j − 3j2 = 2 = j − 3(−1) = 2 + 3 + j = 5 + j.
Seja α = a + bj um número complexo. Definimos α como a − bj. Assim, se α = 2 + 3j, então α = 2 − 3j. O
número complexo α é chamado de conjugado de α. Podemos perceber que
αα = a2 + b2.
Através da Figura 1.1, podemos ver que αα é o quadrado da distância do ponto (a, b) da origem.
Agora iremos analisar duas propriedades importantes dos números complexos que nos permitirão realizar a
divisão de números complexos diferentes de 0.
Se α = a+ bj é um número complexo diferente de zero, seja
λ =
α
a2 + b2
,
então αλ = λα = 1. O número λ é chamado de inverso de α, e é denotado por α−1, ou 1/α. Se α e β são números
complexos, geralmente escrevemos β/α ao invés de α−1β.
Exemplo 1.3. Para encontrar o inverso de (1+j), percebemos que o conjugado de 1+j é 1−j e que (1+j)(1−j) = 2.
Logo,
(1 + j)−1 =
1− j
2
.
Teorema 1.1. Sejam α, β números complexos. Então
αβ = αβ, α+ β = α+ β, α = α.
Para demonstrar o Teorema 1.1 basta utilizar a representação a+ bj dos números complexos, com a e b números
reais, e realizar as operações de soma e multiplicação para obter o resultado de igualdade. Esta tarefa é deixada
como exerćıcio.
Seja α = a+ bj um número complexo, com a e b reais. Iremos chamar a de parte real de α, e denotaremos por
Re(α). Logo,
α+ α = 2a = 2Re(α).
1.2 Definição 7
O número real b é chamado de parte imaginária de α e é denotador por Im(α).
Definimos o valor absoluto do número complexo α = a1 + a2j como
|α| =
√
a21 + a
2
2.
Se pensarmos em α como o ponto (a1, a2) no plano, então |α| é o comprimento do seguimento de linha da origem
até α. Em termos de valor absoluto, podemos escrever
α−1 =
α
|α|2
,
se α 6= 0.
Teorema 1.2. O valor absoluto de um número complexo satisfaz as seguintes propriedades. Se α e β são números
complexos, então
|αβ| = |α||β|,
|α+ β| ≤ |α|+ |β|.
Demonstração. Temos que
|αβ|2= αβαβ = ααββ = |α|2|β|2.
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade acima, conclúımos que |α||β| = |αβ|, provando a primeira
afirmação.
Para a segunda afirmação, temos que
|α+ β|2 = (α+ β)(α+ β) = (α+ β)(α+ β) = αα+ βα+ αβ + ββ
= |α|2 + 2Re(βα) + |β|2,
pois αβ = βα. Por outro lado, note que
2Re(βα) ≤ 2|βα|,
pois a parte real de um número complexo é sempre menor ou igual ao seu valor absoluto. Portanto,
|α+ β|2 ≤ |α|2 + 2|βα|+ |β|2 ≤ |α|2 + 2|β||α|+ |β|2 = (|α|+ |β|)2.
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados obtemos o resultado do teorema.
1.2.1 Exerćıcios
1. Expresse os seguintes números complexos na forma a+ bj, com a e b números reais
a) (−1 + 3j)−1
b) (1 + j)(1− j)
c) (1 + j)j(2− j)
d) (j − 1)(2− j)
e) (7 + πj)(π + j)
f) (2j + 1)πj
g) (j + 1)(j − 2)(j + 3)
2. Expresse os seguintes números complexos na forma a+ bj, com a e b números reais.
a) (1− j)−1
b) 13+j
c) 2+j2−j
d) 12−j
e) 1+jj
f) j1+j
3. Seja α um número complexo diferente de zero. Qual é o valor absoluto de α/α?
4. Sejam α e β dois números complexos. Mostre que αβ = αβ e que α+ β = α+ β.
8 Caṕıtulo 1. Revisão sobre números complexos
Re
Im
r
P
a
b
θ
Figura 1.2: Representação polar de um número complexo. Note que o eixo das ordenadas (eixo y) é definido como
a parte imaginária do número complexo e o eixo das abcissas (eixo x) é dada pela parte real.
5. Mostre que a parte real de um número complexo é menor ou igual ao seu valor absoluto.
6. Prove que para qualquer dois números complexos z e w, temos que
a) |z| ≤ |z − w|+ |w|
b) |z| − |w| ≤ |z − w|
c) |z| − |w| ≤ |z + w|.
1.3 Forma polar
Seja (x, y) = x + yj um número complexo. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser representado pelas
coordenadas polares (r, θ), conforme apresentado na Figura 1.2. Agora iremos mostrar como escrever um número
complexo em termos de tais coordenadas polares.
Seja θ um número real. Definimos a expressão ejθ como
ejθ = cos(θ) + j sin(θ).
Portanto, ejθ é um número complexo.
Por exemplo, se θ = π, então ejπ = −1.
Sejam x e y dois números reais e x+ yj um número complexo. Seja
r =
√
x2 + y2.
Se (r, θ) são coordenadas polares do ponto (x, y) no plano, então
x =r cos(θ),
y =r sin(θ).
Logo,
x+ yj = r cos(θ) + r sin(θ)j = rejθ.
A expressão rejθ é chamada de forma polar do número complexo x + yj. O número θ é as vezes chamado de
ângulo ou argumento do número complexo.
Teorema 1.3. Sejam θ e ϕ números reais. Então
ejθ+jϕ = ejθejϕ.
Demonstração. Por definição temos
ejθ+jϕ = ej(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + j sin(θ + ϕ).
Usando as identidades trigonométricas, temos que
cos(θ + ϕ) + j sin(θ + ϕ) = cos(θ) cos(ϕ)− sin(θ) sin(ϕ) + j(sin(θ) cos(ϕ) + sin(ϕ) cos(θ)).
Esta expressão é exatamente a mesma expressão que obtemos se multiplicássemos
(cos(θ) + j sin(θ))(cos(ϕ) + j sin(ϕ)).
1.4 Funções complexas 9
Teorema 1.4. Sejam α e β números complexos. Então
eα+β = eαeβ .
Demonstração. Seja α = a1 + a2j e β = b1 + b2j. Então
eα+β = e(a1+b1)+j(a2+b2) = ea1+b1ej(a2+b2) = ea1eb1eja2+jb2 .
Usando o teorema anterior, vemos que esta última expressão é igual a
ea1eb1eja2ejb2 = ea1eja2eb1ejb2 .
Por definição, isto é igual a eαeβ , provando o teorema.
1.3.1 Exerćıcios
1. Reescreva os seguintes números complexos na forma polar:
a) 1 + j
b) 1 + j
√
2
c) −3
d) 4j
e) 1− j
√
2
f) −5j
2. Reescreva os seguintes números complexos na forma ordinária x+ yj.
a) e3πj
b) e
2
3πj
c) πe−
π
3 j
3. Seja a+ bj um número complexo. Encontre números reais a e b tal que
(x+ yj)2 = a+ bj,
expressando x e y em termos de a e b.
4. Para θ real, mostre que cos(θ) = e
jθ+e−jθ
2 e sin(θ) =
ejθ−e−jθ
2j .
1.4 Funções complexas
Seja S ⊂ C um conjunto de números complexos. Uma relação na qual cada elemento de S associa um número
complexo é chamada de função complexa. Denotamos tal função pelo simbolo
f : S → C.
Se z é um elemento de S, podemos escrever a associação do valor f(z) para z através da seguinte notação
z 7→ f(z).
Podemos escrever ainda
f(z) = u(z) + j v(z),
onde u(z) e v(z) valores reais, e portanto, z 7→ u(z) e z 7→ v(z). Note que u é a parte real de f e v a parte imaginária
de f .
Em geral, temos z = x+ j y, na qual x e y são reais. Então, os valores da função f podem ser escritos na forma
f(z) = f(x+ j y) = u(x, y) + j v(x, y).
Note que u e v podem ser vistas como funções de duas variáveis.
Exemplo 1.4. Para a função f(z) = z2 e z = x+ j y, com x, y ∈ R, temos
f(z) = z2 = (x2 − y2) + 2j xy.
Funções complexas mapeiam valores no plano complexo. Por exemplo, a função exponencial f(z) = ez =
ex+j y = exej y mapeia o plano complexo de tal forma que qualquer segmento de reta vertical de é mapeado em uma
circunferência, conforme apresentado na Figura 1.3. Além disso, para x = 0, então e2kπj = 1, para k ∈ Z.
10 Caṕıtulo 1. Revisão sobre números complexos
eb
j 4π
ea
j 2π
ea eb
f
Figura 1.3: Função exponencial complexa.
1.4.1 Exerćıcios
1. Considere a seguinte função complexa
f(x) =
2 + j x
3 + j 4x
.
a) Determine a parte real e imaginária de f .
b) Determine f na forma polar e determine seu módulo e ângulo.
2. Limitando z a imaginário puro, mostre que a equação cos(z) = 2 pode ser representada como uma equação
quadrática padrão. Resolva esta equação para z.
3. Trace o gráfico das seguintes expressões em função da variável t:
a) x1(t) = Re(2e
(−1+j 2π)t).
b) x2(t) = Im(3− e(1−j 2π)t).
c) x3(t) = 3− Im(e(1−j 2π)t).
4. Mostre que
a) ez = 1 se e somente se z = j 2kπ, para k ∈ Z.
b) ez = −1 se e somente se z = j (2k + 1)π, para k ∈ Z.
11
Capítulo 2
Sinais e Sistemas Lineares
2.1 Sinais
Um sinal é um conjunto de dados ou informações que podem ser usados para representar uma variedade de fenômenos
f́ısicos. Embora sinais possam ser representados de diversas formas, em todos os casos a informação em um sinal é
dada por um padrão de variação de alguma variável. Por exemplo, em um simples circuito elétrico com uma fonte
de tensão, um resistor e capacitor, os padrões de variação no tempo na fonte e da tensão no capacitor são exemplos
de sinais.
Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes. Um sinal
de voz, por exemplo, pode ser representado matematicamente pela pressão acústica em função do tempo. Uma
imagem pode ser representada pelo brilho em função de duas variáveis espaciais. Neste curso, iremos focar em sinais
envolvendo uma variável independente. Por conveniência, na maioria das vezes iremos usar o tempo como variável
independente.
2.1.1 Tamanho do sinal
Energia
A energia de um sinal cont́ınuo no tempo é dada por
E =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt. (2.1)
No caso de sistemas de tempo discreto,
E =
∞∑
n=−∞
|x(n)|2. (2.2)
Note que, de acordo com (2.1)-(2.2), existirão casos em que a energia do sinal será dada por um valor finito e
casos em que a energia tenderá a infinito quando |t| → ∞.
2.1.2 Potência de um sinal
Quando a amplitude de um sinal não tende a zero para |t| → ∞, sua energia é infinita. Neste caso, o tamanho
do sinal pode ser melhor definido pela média temporal de sua energia, se ela existir. Esta medida é chamada de
potência do sinal. Para um sinal x(t) que assume valores reais, definimos a potência como
P = lim
T→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
|x(t)|2dt. (2.3)
No caso de sinais de tempo discreto, x(n), a potência é dada por
P = lim
N→∞
1
2N + 1
+N∑
n=−N
|x(n)|2. (2.4)
Observação 2.1. A definição de potência e de energia não estão dimensionalmente corretas. Isto acontece porque
não estamos usando o termo de potência (ou energia) no sentido ordinário, mas para indicar o tamanho do sinal.
A unidade de potência (ou energia) definida aqui depende da natureza do sinal x. Se x é um sinal de tensão (em
volts) sua potência terá unidade volts ao quadrado. Se x for um sinal de corrente (em amperes), sua potência será
amperes ao quadrado.
12 Caṕıtulo 2. Sinaise Sistemas Lineares
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40
1
2
3
2e−
1
2 t
t
x
(t
)
(a)
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
t
x
(t
)
(b)
Figura 2.1: Gráfico dos sinais utilizados no Exemplo 2.1.
Note que de acordo com a definição de potência em (2.3)-(2.4), temos que P é uma média temporal do quadrado
da amplitude do sinal, ou seja, o valor médio quadrático de x(t). A raiz quadrada de P é conhecida como valor rms
( do inglês root mean square) de x.
Geralmente, a média de um sinal ao longo de um grande intervalo de tempo tendendo a infinito existe se o
sinal for periódico ou possuir uma regularidade estat́ıstica. Se isto não é satisfeito, então a média não existirá. Por
exemplo, o sinal x(t) = t aumenta indefinidamente quando |t| → ∞ e nem a energia nem a potência existirão para
este sinal. Por outro lado, um sinal definido por partes da seguinte forma:x(t) = 0 para t < 0 e x(t) = 1 para t ≥ 0,
possui potência finita, embora não é periódico e nem possui regularidade estat́ıstica.
Exemplo 2.1. Determine as medidas adequadas dos sinais da Figura 2.1.
No primeiro caso, a amplitude do sinal tende a 0 quando |t| → ∞. Portanto, a medida adequada para esse sinal
é a sua energia E, dada por
E =
∫ ∞
−∞
x2(t)dt =
∫ 0
−1
22dt+
∫ ∞
0
4e−tdt = 4 + 4 = 8.
No segundo caso da Figura 2.1, a amplitude do sinal não tende a zero quando |t| → ∞. Entretanto, ela é
periódica e, portanto, sua potência existe. Podemos simplificar o procedimento para cálculo da potência de sinais
periódicos observando que um sinal periódico se repete regularmente a cada peŕıodo. Portanto,
P =
1
2
∫ 1
−1
t2dt =
1
3
.
Exemplo 2.2. Determine a potência e o valor rms de
a) x(t) = C cos(ω0t+ ω).
b) x(t) = C1 cos(ω1t+ ω1) + C2 cos(ω2t+ ω2), ω1 6= ω2.
c) x(t) = Dejω0t.
2.1.3 Operações com sinais
Deslocamento no tempo
Considere um sinal x(t) e o mesmo valor atrasado por T unidades de tempo, no qual denotaremos por φ(t) (Figura
2.2). Note que, o que acontece em x no instante de tempo t também irá acontecer em φ no instante t+ T . Portanto,
φ(t+ T ) =x(t),
φ(t) =x(t− T ).
Note que se T é positivo, então x(t−T ) representa o sinal x atrasado por T unidades de tempo. Se T é negativo,
então o deslocamento será dado por um avanço.
2.1 Sinais 13
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.25
0.5
0.75
1
1.25
t
x
(t
)
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.25
0.5
0.75
1
1.25
t
x
(t
)
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.25
0.5
0.75
1
1.25
t
x
(t
)
Figura 2.2: Deslocamento temporal de um sinal.
Escalonamento no tempo
A compressão ou expansão de um sinal no tempo é conhecida como escalonamento temporal. Considere os sinais x
e φ apresentados na Figura 2.3. Note que φ representa x comprimido no tempo por um fator de 2. Portanto, tudo
que acontecer em x no instante t também acontecerá com φ no instante t/2. Logo,
φ
(
t
2
)
= x(t),
φ(t) = x(2t).
De maneira geral, quando escalonamos no tempo um sinal por um fator a, substitúımos t por at. Se a > 1, o
escalonamento resulta em compressão, e se a < 1, o escalonamento resulta em expansão.
14 Caṕıtulo 2. Sinais e Sistemas Lineares
Figura 2.3: Escalonamento temporal de um sinal.
Figura 2.4: Reversão temporal de um sinal.
Reversão no tempo
Considere o sinal x apresentado na Figura 2.4. Se rotacionarmos este sinal em 180◦ com relação ao eixo vertical
iremos obter sua versão reversa no tempo. Essa reflexão de x com relação ao eixo vertical nos fornece o sinal φ.
Observe que o que acontece no instante de tempo t para x(t), também irá acontecer no instante de tempo −t para
phi(t), e vice-versa. Portanto,
φ(t) = x(−t).
2.1.4 Classificação de sinais
Neste curso iremos considerar as seguintes classes de sinais:
• Cont́ınuos e discretos no tempo.
• Analógicos e digitais.
• Periódicos e não periódicos.
• Energia e potência.
• Determińıstico e probabiĺıstico.
2.1 Sinais 15
Sinais cont́ınuos e discretos no tempo
Se um sinal é definido para valores cont́ınuos no tempo t, então classificamos ele como um sinal cont́ınuo no tempo.
De maneira similar, sinais especificados apenas para valores discretos no tempo são chamados de sinais discretos no
tempo. Esta definição qualifica a natureza do sinal com relação ao tempo (eixo horizontal). A sáıda de um telefone
ou câmera de v́ıdeo é um sinal cont́ınuo no tempo, enquanto que o produto interno bruto trimestral, as vendas
mensais de uma corporação e as médias diárias do mercado de ação são sinais discretos no tempo.
Sinais analógicos e digitais
Os termos analógico e digital qualificam a natureza da amplitude do sinal (eixo vertical). Um sinal analógico não é
necessariamente um sinal cont́ıno no tempo e um sinal digital não é necessariamente um sinal discreto no tempo.
Dizemos que um sinal é analógico se sua amplitude pode assumir qualquer valor em uma faixa cont́ınua. Por
outro lado, um sinal é digital se sua amplitude pode assumir apenas uma faixa finita de valores. Sinais associados
com um computador digital são digitais porque eles podem assumir apenas valores binários.
É importante notar que os termos analógicos e digital qualificam a natureza da amplitude do sinal. Logo, um
sinal analógico não é necessariamente um sinal cont́ınuo no tempo e um sinal digital não é necessariamente um
sinal discreto no tempo.
Sinais periódicos e não periódicos
Uma importante classe de sinais que iremos encontrar frequentemente é a classe de sinais periódicos. Um sinal
periódico cont́ınuo no tempo x possui a propriedade de que existe um valor positivo T tal que
x(t) = x(t+ T ),
para todos os valores de t. Em outras palavras, um sinal periódico possui a propriedade de que é inalterado por um
deslocamento T . Neste caso, dizemos que x é periódico com peŕıodo T .
Observação 2.2. Se um sinal não satisfaz a definição acima, dizemos que ele é não periódico.
Se x(t) é periódico com peŕıodo T , então x(t) = x(t + mT ) para todo t ∈ R e para m ∈ Z. Então, x também
é periódica com peŕıodo 2T , 3T , 4T , .... O peŕıodo fundamental de x é o menor valor positivo de T para o qual a
igualdade x(t) = x(t+ T ) vale. Esta definição é valida para sinais x que não são constantes. Neste caso, o peŕıodo
fundamental é indefinido, pois x é periódica para qualquer valor de T .
Sinais periódicos são definidos analogamente para o caso de tempo discreto. Especificamente, um sinal de tempo
discreto x é periódico com peŕıodo N , com N ∈ N, se
x(n) = x(n+ T ),
para todos os valores de n. Se a igualdade acima vale, então x é periódico com peŕıodo 2N , 3N , .... O peŕıodo
fundamental N é o menor valor positivo de N para o qual a igualdade acima vale.
Propriedades: Sejam x1 e x2 sinais periódicos com o mesmo peŕıodo T . Então, os seguintes sinais também possuem
o mesmo peŕıodo:
1. x(t) = Cx1(t), C um número real ou complexo.
2. x(t) = x1(t)± x2(t).
3. x(t) = x1(t)x2(t).
4. x(t) = x1/x2(t), se x2 6= 0 para todo t.
Sinais de energia e de potência
Um sinal com energia finita (veja as equações (2.1)-(2.2)) é um sinal de energia e um sinal com potência finita e
não nula (veja as equações (2.3)-(2.4)) é um sinal de potência.
Sinais determińısticos e aleatórios
Sinais deterministicos possuem descrição completamente conhecida. Neste caso, seus valores podem ser preditos
precisamente. Por outro lado, um sinal cujos valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos
apenas em termos de uma descrição probabiĺıstica, é um sinal aleatório. Neste curso, nos limitaremos a estudar
somente sinais determińısticos.
16 Caṕıtulo 2. Sinais e Sistemas Lineares
2.1.5 Alguns sinais importantes
Sinais pares e impares
Um conjunto de sinais com propriedades úteis refere-se àqueles que possuem simetria no tempo reverso. Um sinal
x é par se ele é igual a sua reflexão na origem, ou seja
x(−t) = x(t), caso cont́ınuo,
ou
x(−n) = x(n), caso discreto.
Um sinal é impar se
x(−t) = −x(t), caso cont́ınuo,x(−n) = −x(n), caso discreto.
Note que um sinal impar é necessariamente igual a 0 em t = 0 ou n = 0, pois as equações acima requerem que
x(0) = −x(0).
Propriedades: As funções pares e ı́mpares possuem as seguintes propriedades:
1. função par × função ı́mpar = função ı́mpar.
2. função ı́mpar × função ı́mpar = função par.
3. função par × função par = função par.
As demonstrações das propriedades acima seguem diretamente da definição de funções e pares e ı́mpares.
Função degrau
Domı́nio do tempo discreto. A função degrau, denotada por u, é definida por
u(n) =
{
1, n ≥ 0,
0, n < 0.
Domı́nio do tempo cont́ınuo. A função degrau de tempo cont́ınuo é definida de maneira similar ao caso discreto.
Especificamente,
u(t) =
{
1, t ≥ 0,
0, t < 0.
Esta função pode ser utilizada quando queremos que um sinal comece em t = 0 (assim ele possui valor igual a
zero para t < 0). Neste caso, basta multiplicarmos o sinal por u.
A função degrau também é útil para especificar uma função com diferentes expressões em intervalos de tempo
diferentes.
Exemplo 2.3. Um pulso retangular pode ser representado através da seguinte expressão:
x(t) = u(t− 2)− u(t− 4).
Exemplo 2.4. O sinal apresentado na Figura 2.5 pode ser descrito através de duas componentes x1 e x2. A compo-
nente x1 pode ser obtida através da multiplicação da rampa t pelo pulso u(t) = u(t− 2). Portanto,
x1(t) = t(u(t)− u(t− 2)).
O sinal x2 pode ser representado pela multiplicação de uma rampa com inclinação -2 por um pulso:
x2(t) = −2(t− 3)(u(t− 2)− u(t− 3)).
Logo,
x(t) = x1 + x2(t) = tu(t)− 3(t− 2)u(t− 2) + 2(t− 3)u(t− 3).
2.1 Sinais 17
Figura 2.5: Representação de um sinal definido em intervalos.
O impulso unitário de tempo discreto
Um dos sinais de tempo discreto mais simples é o impulso unitário, que é definido por
δ(n) =
{
0, n 6= 0,
1, n = 0.
Note que existe uma relação entre o impulso unitário e a função degrau discreta. Em particular, o impulso
unitário é uma diferença de primeira ordem da função degrau:
δ(n) = u(n)− u(n− 1),
na qual u(n− 1) representa a função degrau atrasada em uma unidade.
De maneira similar, a função degrau de tempo discreto pode ser representada como um somatório de impulsos:
u(n) =
∞∑
k=0
δ(n− k).
O delta de Dirac
O delta de Dirac, δ, não pode ser definido como uma função, mas sim como um objeto matemático. De maneira
pouco precisa, o delta de Dirac pode ser definido como uma “função generalizada” na qual
δ(t) =
{
∞, t = 0,
0, t 6= 0,
e ∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1.
Note que o delta de Dirac não pode ser considerado uma função no sentido clássico, pois qualquer função que
valha zero em todos os pontos exceto em t = 0 deve ter integral nula em toda a reta.
Observação 2.3. O operador δ pode ser interpretado como um sinal que tem duração infinitamente pequena, mas
com área unitária.
Propriedades: Seja x um sinal cont́ınuo em t = 0. Então
1. x(t)δ(t) = x(0)δ(t).
2.
∫∞
−∞ x(t)δ(t)dt = x(0). (propriedade da amostragem)
O delta de Dirac também pode ser definido da seguinte forma (veja a Figura 2.6):
1. δ(t) = lim�→0 δ�(t). Logo, δ(t) = 0, para t 6= 0.
18 Caṕıtulo 2. Sinais e Sistemas Lineares
2.
∫∞
∞ δ(t)dt =
∫∞
−∞ lim�→0 δ�(t)dt = lim�→0
∫∞
−∞ δ�(t)dt = 1.
Os calculos acima envolvem um processo de limite, o que foi feito, de fato, foi trocar a ordem dos processos de
limite, o que nem sempre é justificável.
Uma maneira de justificar rigorosamente os resultados dessa seção pode ser executada recorrendo-se à teoria das
distriuições, a qual considera o impulso unitário como função generalizada ou distribuição, o que inclui as funções
ordinárias da matemática convencional como casos particulares. Entretanto, isto está fora do escopo deste curso.
Agora, apresentaremos uma aplicação do delta de Dirac. Como a função degrau unitário u é descont́ınua para
t = 0, então sabemos que sua derivada não existe para t = 0 no sentido ordinário. Entretanto, no sentido gerenalizado
podemos verificar que essa derivada existe:
du
dt
= δ(t),
e consequentemente ∫ t
−∞
δ(τ)dτ = u(t).
A função exponencial
Seja s = σ + jω, com σ, ω ∈ R. A função exponencial é definida por
est = e(σ+jωt) = eσtejωt = eσt(cos(ωt) + j sin(ωt)).
Como s = σ − jω, então
est = eσ−jωt = eσte−jωt = eσt(cos(ωt)− j sin(ωt)),
e
eσt cos(ωt) =
1
2
(est + est).
As seguintes funções são um caso especial ou podem ser descritas em termos de est:
1. Uma constante k = kest (considerando s = 0).
2. Uma exponencial monótona eσt (considerando ω = 0, s = σ).
3. Uma senoide cos(ωt) (considerando σ = 0, s = ±jω).
4. Uma senoide variando exponencialmente eσt cos(ωt) (considerando s = σ ± jω).
2.2 Sistemas
Sistemas f́ısicos, no sentido amplo, são conexões de componentes dispositivos e subsistemas. Num contexto que
engloba desde processamento de sinais, comunicação, motores eletromecânicos, véıculos automotivos e plantas
qúımicas, um sistema pode ser visto como um processo em que um sinal de entrada é transformado pelos sistema
ou faz com que o sistema se comporte de uma determinada maneira, resultando em um outro sinal como sáıda. Por
exemplo, um sistema de tratamento de imagens é um sistema que possui como entrada uma imagem e transforma
ela em uma imagem com propriedades desejadas (diferente contraste, brilho, etc.).
Observação 2.4. Ao longo do texto usaremos a notação
x(t)→ y(t),
para indicar que a entrada x(t) aplicada em um sistema induz a sáıda y(t).
Figura 2.6: O delta de Dirac e sua aproximação.
2.2 Sistemas 19
2.2.1 Classificação de sistemas
Os sistemas podem ser classificados de acordo com as seguintes categorias:
• Sem memória e com memória.
• Parâmetros constantes e parâmetros variantes no tempo.
• Causais e não causais.
• De tempo cont́ınuo e de tempo discreto.
• Analógicos e digitais.
• Estáveis e instáveis.
• Linear e não linear.
Sistemas sem memória e com memória
Dizemos que um sistema não possui memória quando a sáıda no instante t depende apenas da entrada no instante
t, ou seja, a sáıda não depende dos valores de entrada nos instantes passados e futuros.
Quando um sistema não é sem memória dizemos que ele é com memória. Neste caso, a sáıda do sistema no
instante t depende de valores de entrada passados ou futuros.
Para descrever os sistemas com memória é importante sabermos a sua condição inicial, v(t0), juntamente com
a entrada aplicada para predizer a resposta para todo t ≥ t0. Usaremos a seguinte notação para representar esta
classe de sistemas:
v(t0),
x(t), t ≥ t0
}
→ y(t), t ≥ t0,
na qual x é a entrada aplicada, v(t0) é a condição inicial e y é a sáıda do sistema.
Quando a entrada é nula e a condição inicial assume um determinado valor obtemos a resposta a entrada nula
do sistema. Quando a condição inicial é nula e a entrada do sistema assume um determinado valor, temos a resposta
ao estado nulo do sistema.
Como veremos mais a frente, a resposta de sistemas lineares com memória podem ser expressadas como:
Resposta total = Resposta a entrada nula + resposta ao estado nulo.
Sistemas com parâmetros constante e parâmetros variantes no tempo
Conceitualmente, um sistema é invariante no tempo (com parâmetros constantes) se seu comportamento e caracte-
ŕısticas são fixas no tempo. Por exemplo, um circuito com resistores e capacitores é invariante no tempo se os valores
das resistências e capacitâncias são constantes: esperamos obter os mesmos resultados deste circuito se realizamos
um teste hoje e repetirmos ele amanhã. Por outro lado, se os valores das resistências e capacitâncias flutuam no
tempo, então teremos resultados diferentes.
A propriedade de invariância no tempo pode ser descrita de maneira simples usando os termos de sinais e
sistemas que estamos utilizando neste curso. Especificamente, um sistema é invariante no tempo se a propriedade
de deslocamento do sinal de entrada resulta em umdeslocamento idêntico do sinal de sáıda. Isto é, se y(n) é a sáıda
de um sistema discreto e invariante no tempo para uma entrada x(n), então y(n− n0) é a sáıda quando x(n− n0)
é aplicada, para algum n0 ∈ N.
Sistemas causais e não causais
Um sistema é causal se sáıda em qualquer instante de tempo depende somente de valores de entrada no instante de
tempo presente e de instantes do passado. Tal sistema também é chamado de não antecipativo, já que a sáıda não
antecipa valores futuros da entrada.
Os seguintes sistemas não são causais:
y(t) = x(t+ 1),
y(n) = x(n)− x(n+ 1).
Todos os sistemas sem memória são causais, já que a sáıda está relacionada somente com o valor atual da
entrada.
Embora sistemas causais são de grande importância, eles não constituem os únicos sistemas práticos. Por exemplo,
causalidade não é uma restrição essencial para aplicações em que a variável independente não é o tempo, tal como
processamento de imagem.
20 Caṕıtulo 2. Sinais e Sistemas Lineares
Sistemas de tempo cont́ınuo e tempo discreto
Um sistema de tempo cont́ınuo é um sistema na qual o sinal de entrada é cont́ınuo no tempo e como resultado, o
sinal de sáıda também sera cont́ınuo no tempo.
Similarmente, um sistema de tempo discreto irá transformar uma entrada de tempo discreto em uma sáıda de
tempo discreto.
Sistemas analógicos e digitais
Um sistema cujos sinais de entrada e sáıda são analógicos é chamado de sistema analógico. Por outro lado, um
sistema cujos sinais de entrada e sáıda são digitais é um sistema digital. Detalhes sobre a definição de sinais
analógicos e digitais foram apresentados nas seções anteriores.
Sistemas estáveis e instáveis
Os sistemas também podem ser classificados como estáveis ou instáveis. A estabilidade pode ser interna ou externa.
Se cada entrada limitada aplicada ao terminal de entrada resultar em uma sáıda limitada, o sistema é dito ser
externamente estável. A estabilidade externa pode ser verificada pela medição dos terminais externos (entrada e
sáıda) do sistema. Este tipo de estabilidade também é conhecida como estabilidade no sentido BIBO (do inglês
bounded-input/bounded-output).
Sistemas lineares e não lineares
Um sistema linear, cont́ınuo ou discreto no tempo, é um sistema que possui a importante propriedade da superposição:
se uma entrada consiste em uma soma ponderada de diversos sinais, então a sáıda é a superposição (isto é, uma
soma ponderada) da resposta do sistema para cada um daqueles sinais. Mais precisamente, seja y1 a resposta de
um sistema para uma entrada x1, e seja y2 a sáıda correspondente da entrada x2. Então o sistema é linear se:
1. A resposta para x1 + x2 = y1 + y2.
2. A resposta para ax1 é ay1, na qual a é qualquer valor real.
A primeira destas propriedades é conhecida como aditividade e a segunda é a propriedade do escalonamento ou
homogeneidade. Estas definições são equivalentes tanto para sistemas cont́ınuos, quanto para discretos.
Note que as duas condições acima são equivalentes a:
se x1 → y1, e x2 → y2, então k1x1 + k2x2 → k1y1 + k2y2.
Uma consequência direta da propriedade da superposição é que, se a = 0 (veja a propriedade da homogeneidade
acima), então
0 = 0x(t)→ 0y(t) = 0.
Observação 2.5. Quando tratamos sistemas com memória, as condições acima devem ser complementadas com a
condição inicial do sistema, ou seja, se v1(t0) e v2(t0) são condições iniciais do sistema, então
v1(t0)
x1(t)
}
→ y1(t), t ≥ t0, e
v2(t0)
x2(t)
}
→ y2(t), t ≥ t0,
implicam que
v1(t0) + v2(t0)
x1(t) + x2(t)
}
→ y1(t) + y2(t), t ≥ t0.
Além disso, se
v(t0)
x(t)
}
→ y(t), t ≥ t0,
então para qualquer constante k
kv(t0)
kx(t)
}
→ ky(t), t ≥ t0
2.3 Exerćıcios 21
Exemplo 2.5. Considere um sistema descrito por
y(t) = tx(t).
Iremos analisar se este sistema é linear. Fixe duas entradas x1(t) e x2. Então
y1(t) = tx1(t),
y2(t) = tx2(t).
Tome as constantes k1 e k2, e considere,
x3(t) = k1x1(t) + k2x2(t).
Logo,
y3(t) = tx3(t) = t(k1x1(t) + k2x2(t)) = tk1x1(t) + tk2x2(t) = k1x1(t) + k2x2(t).
Portanto este sistema é linear.
Exemplo 2.6. Considere o seguinte sistema:
dy
dt
(t) + t2y(t) = (2t+ 3)x(t),
com condição inicial y(t0).
Suponha que
x1(t)→ y1(t)
x2(t)→ y2(t).
Fixe k1 e k2 e tome
x3 = k1x1(t) + k2x2(t).
Seja y3 a sáıda correspondente a entrada x3. Devemos provar que y3(t) = k1y1(t) + k2y2(t). De fato, note que
dy1
dt
(t) + t2y1(t) = (2t+ 3)x1(t),
dy2
dt
(t) + t2y2(t) = (2t+ 3)x2(t),
Além disso,
dy3
dt
(t) + t2y3(t) = (2t+ 3)x3(t),= (2t+ 3) [k1x1(t) + k2x2(t)] = k1
[
dy1
dt
(t) + t2y1(t)
]
+ k2
[
dy2
dt
(t) + t2y2(t)
]
=
d(k1y1 + k2y2)
dt
+ t2(k1y1(t) + k2y2(t)) = (2t+ 3)x3(t)
Assim, y3 e k1y1(t) + k2y2(t) são soluções da equação diferencial para a entrada x3. Pela unicidade da solução
dessa equação diferencial ordinária, temos y3(t) = k1y1(t) + k2y2(t). Portanto, este sistema é linear.
2.3 Exerćıcios
1. Determine a potência e energia de cada um dos seguintes sinais:
a) x1(t) = e
−4tu(t); x1(n) =
(
1
2
)n
u(n).
b) x2(t) = cos(t); x2(n) cos
(
π
4n
)
.
2. Seja x(n) um sinal com x(n) = 0 para n < −2 e n > 4. Para cada sinal abaixo, determine os valores de n para o
qual é garantido ser igual a zero.
a) x(n− 3). b) x(n+ 4). c)x(−n)
d) x(−n+ 2).
3. Considere os sinais (assumindo valores reais) de energia x1(t), com energia E[x1(t)], e x2(t), com energia E[x2(t)].
Além disso considere T uma constante real não nula. Prove as seguintes relações:
22 Caṕıtulo 2. Sinais e Sistemas Lineares
a) E[Tx1(t)] = T
2E[x1(t)].
b) E[x1(t)] = E[x1(t− T )].
c) E[x1(Tt)] = 1/T E[x1(t)].
4. Determine qual dos seguintes sinais é periódico. Se o sinal é periódico, determine o peŕıodo fundamental.
a) x(t) = jej10t. b) x(t) = e(−1+j)t. c) x(n) = ej7πn.
5. Determine o peŕıodo fundamental do sinal x(t) = 2 cos(10t+ 1)− sin(4t− 1).
6. Considere o o sinal cont́ınuo no tempo x(t) = δ(t+ 2)− δ(t− 2). Calcule o valor da energia de y(t) =
∫ t
−∞ x(τ)dτ .
7. Sejam as propriedades de sistemas estudadas neste caṕıtulo: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e
estável. Determine qual destas propriedades vale e qual não vale para cada um dos seguintes sistemas. Considere y
a sáıda do sistema e x sua entrada.
a) y(t) = x(t− 2) + x(2− t).
b) y(t) = cos(3t)x(t).
c) y(t) =
∫ 2t
−∞ x(τ)dτ .
d) y(t) =
{
0, t < 0,
x(t) + x(t− 2), t ≥ 0
e) y(t) =
{
0, x(t) < 0,
x(t) + x(t− 2), x(t) ≥ 0.
f) y(t) = x(t/3).
8. Mostre que o sistema discreto no tempo com entrada x(n), sáıda y(n) e relacionados por y(n) = Re(x(n)) é
aditivo. Este sistema permanece aditivo se a relação de sáıda é mudada para y(n) = Re(ejπ/4 nx(n))?
9. Defina 2x(−3t+ 1) = t(u(−t− 1)− u(−t+ 1)), na qual u é a função degrau unitário.
a) Trace 2x(−3t+ 1) para uma faixa adequada de t.
b) Trace x(t) para uma faixa adequada de t.
10. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫∞
−∞ δ(τ)x(t− τ)dτ
b)
∫∞
−∞ x(τ)δ(t− τ)dτ
c)
∫∞
−∞ δ(t)e
−jωtdt
d)
∫∞
−∞(t
3 + 4)δ(1− t)dt
11. Para os seguintes sistemas, com entrada x e sáıda y, determine quais são lineares e quais são não lineares:
a) dydt (t) + 2y(t) = x
2(t).
b) dydt (t) + 3ty(t) = t
2x(t).
c) 3y(t) + 2 = x(t).
d) dydt (t) + y
2(t) = x(t).
e)
(
dy
dt (t)
)2
+ 2y(t) = x(t).
f) y(t) =
∫ t
−∞ x(τ)dτ .
12. Um sistema é especificado pela seguinte relação:
y(t) =
x2(t)
dx/dt
.
Mostre que o sistema satisfaz a propriedade de homogeneidade, mas não a propriedade aditiva.
13. Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x e sáıda y, determine quais são causais e quais
são não causais.
a) y(t) = x(t− 2).
b) y(t) = x(−t).
c) y(t) = x(at), com a > 1.
d) y(t) = x(at), com a < 1.
23
Capítulo 3
Análise de sistemas lineares no domínio do tempo
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo
Nesta seção apresentaremos alguns exemplos de sistemas lineares, discretos e invariantes no tempo (LDIT). A
equação destes sistemas apresentauma estrutura que é conhecida como equação a diferença, que motiva a classe
de sistemas na qual a teoria será desenvolvida.
Exemplo 3.1. Uma pessoa faz regularmente um depósito (entrada) em um banco com um intervalo de tempo T . O
banco paga um certo juros na conta bancária durante o peŕıodo T e envia periodicamente uma correspondência com
o saldo (sáıda) ao depositante. Determine a equação que relaciona a sáıda y (o saldo) com a entrada x (o depósito).
Seja x(n) o depósito feito no n-ésimo instante discreto, y(n) o saldo da conta no n-ésimo instante calculado
imediatamente após o recebimento do n-ésimo depósito e r a taxa de juros por real por peŕıodo T .
O saldo y(n) é a soma de
• do saldo anterior y(n− 1);
• dos juros obtidos em y(n− 1) durante o peŕıodo T ;
• do depósito x(n).
Então,
y(n) = y(n− 1) + ry(n− 1) + x(n) = (1 + r)y(n− 1) + x(n),
ou ainda
y(n)− ay(n− 1) = x(n),
com a = (1 + r)
Exemplo 3.2. Em um semestre n, x(n) estudantes se inscreveram em um curso que precisa de um certo livro-texto.
Uma editora vendeu y(n) cópias do livro no n-ésimo semestre. Na média, um quarto dos estudantes com o livro
em boas condições revende os livros no final do semestre, sendo a vida média do livro de três semestres. Escreva a
equação que relaciona y(n), os novos livros vendidos pela editora, com x(n), o número de estudantes inscritos no
n-ésimo semestre, considerando que todos os estudantes compram livros.
No n-ésimo semestre, o total de livros x(n) vendido aos estudantes deve ser igual a y(n) mais os livros utilizados
pelos estudantes em dois semestres anteriores (porque o tempo de vida de um livro é de apenas três semestres).
Existem y(n − 1) novos livros vendidos no semestre (n − 1), e um quarto destes livros, ou seja, 14y(n − 1), são
revendidos no semestre n. Além disso, y(n− 2) novos livros foram vendidos no semestre (n− 2) e um quarto destes,
ou seja, 14y(n − 2) serão vendidos no semestre (n − 1). Novamente, um quarto destes, ou seja
1
16y(n − 2) serão
revendidos no semestre n. Portanto, x(n) deve ser igual a soma de y(n), 14y(n− 1) e
1
16y(n− 2):
y(n) +
1
4
y(n− 1) + 1
16
y(n− 2) = x(n).
3.1.1 Equações a diferenças lineares com coeficientes constantes
Uma equação a diferenças de ordem N com coeficientes constantes é dada por
y(n+N) + a1y(n+N − 1) + · · ·+ aN−1y(n+ 1) + aNy(n) = bN−Mx(n+M)+
bN−M+1x(n+M − 1) + · · ·+ bN−1x(n+ 1) + bNx(n). (3.1)
24 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
na qual ai ∈ R, i ∈ {1, . . . , N} e bj ∈ {N −M,N}.
Para um sistema causal, a sáıda não pode depender de valores futuros da entrada. Isto significa que (3.1) satisfaça
M ≤ N .
Substituindo n por n−N , a expressão (3.1) pode ser reescrita para
y(n) + a1y(n− 1) + · · ·+ aN−1y(n−N + 1) + aNy(n−N) = bN−Mx(n−N +M)+
bN−M+1x(n−N +M − 1) + · · ·+ bN−1x(n−N + 1) + bNx(n−N). (3.2)
A equação a diferença em (3.1) está escrita na forma de operador avanço, enquanto que (3.2) está escrita na
forma de operador atraso.
Note que se assumirmos que M ≤ N , então o lado direito da expressão acima depende apenas de valores passados
de x.
Solução recursiva de equações a diferença
A expressão (3.2) pode ser reorganizada para
y(n) = −a1y(n− 1)− aN−1y(n−N + 1)− · · · − aNy(n−N) + bN−Mx(n−N +M)+
bN−M+1x(n−N +M − 1) + · · ·+ bN−1x(n−N + 1) + bNx(n−N).
Então, y(n) é calculada a partir de N +M + 1 informações: os N valores da sáıda, y(N − 1), . . . , y(n−N), os
2M + 1 valores de entrada x(n −N + 1), x(n −N + M − 1), . . . , x(n −N). Inicialmente, para calcular y(n), as
N condições iniciais y(−1), y(−2), . . . , y(−N) servem como N valores anteriores da sáıda. Logo, conhecendo as
N condições iniciais e a entrada podemos determinar toda a sáıda y(0), y(1), . . . recursivamente, um valor a cada
instante.
Exemplo 3.3. Resolva interativamente
y(n)− 0.5y(n− 1) = x(n), (3.3)
com condição inicial y(−1) = 16 e entrada causal x(n) = n2 (começando em n = 0).
Note que (3.3) pode ser reescrita para
y(n) = 0.5y(n− 1) + x(n) (3.4)
Logo, fazendo n = 0 obtemos
y(0) = y(−1) + x(0) = 0.5(16) + 0 = 8.
Agora, fazendo n = 1 em (3.4) e usando o valor y(0) = 8 e x(1) = 12 = 1, obtemos,
y(1) = 0.5(8) + 12 = 5.
Continuando esse processo iterativo, iremos obter
y(2) = 0.5(5) + 22 = 6.5,
y(3) = 0.5(6.5) + 32 = 12.25,
...
Apesar dessa forma interativa ser útil em diversas situações, uma solução fechada de uma equação a diferenças é
muito mais útil no estudo do comportamento do sistema e sua dependência com a entrada e os vários parâmetros do
sistema. Por este motivo, desenvolveremos um procedimento sistemático para analisar sistemas em tempo discreto.
Solução fechada de equações a diferenças
Notação operacional
Considere
Ex(n) = x(n+ 1),
E2x(n) = x(n+ 2),
...
ENx(n) = x(n+N).
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo 25
Em outras palavras, o operador E representa a operação de avanço da sequência por uma unidade de tempo.
Então, a equação (3.1) pode ser escrita como
(EN + a1E
N−1 + · · ·+ aN−1E + aN )y(n) = (bN−MEN−M + bN−M+1EN−M−1 + · · ·+ bN−1E + bN )x(n), (3.5)
ou
Q(E)y(n) = P (E)x(n), (3.6)
na qual
Q(E) = EN + a1E
N−1 + · · ·+ aN−1E + aN ,
P (E) = bN−ME
N−M + bN−M+1E
N−M−1 + · · ·+ bN−1E + bN .
Resposta de sistemas lineares em tempo discreto
Sistemas lineares possuem um propriedade importante na qual permite a decomposição da sua solução em duas
componentes: a componente de entrada nula e a componente de estado nulo. Esta propriedade é conhecida como
propriedade da decomposição. Isto pode ser verificado a partir da (3.6). De fato, se y0(n) é a resposta de entrada
nula, então por definição
Q(E)y0(n) = 0.
Se y(n) é a resposta de estado nulo, então y(n) é a solução de
Q(E)y(n) = P (E)x(n),
sujeito a condições iniciais nulas. Somando as duas equações, temos
Q(E)(y0(n) + y(n)) = P (E)x(n).
Portanto, y0(n) + y(n) é a solução geral de (3.6).
A componente de entrada nula é a resposta do sistema quando a entrada x(n) = 0 e portanto, é resultado
somente das condições internas do sistema (tal como as energias armazenadas, as condições iniciais). Por outro lado,
a componente de estado nulo é a resposta do sistema a entrada externa x(n) quando o sistema está em estado nulo,
significando a ausência de qualquer energia interna armazenada, ou seja, todas as condições iniciais são zero.
Neste contexto, nas próximas seções iremos desenvolver um método para calcular a resposta de entrada nula e
a resposta de estado nulo da equação a diferenças (3.6).
Resposta do sistema a condições internas: Resposta de entrada nula
A resposta y0(n) de entrada nula é a solução de (3.6) com x(n) = 0 para todo n ∈ N, ou seja,
Q(E)y0(n) = 0, (3.7)
ou ainda
(EN + a1E
N−1 + · · ·+ aN−1E + aN )y0(n) = 0,
ou
y0(n+N) + a1y0(n+N − 1) + · · ·+ aN−1y0(n+ 1) + aNy0(n) = 0.
Note que a expressão acima afirma que a combinação linear de y0(n) e avanços de y0(n) é zero para todo n ∈ N.
Isto é posśıvel se e somente se y0(n) e seus avanços tiverem a mesma forma. Apenas a expressão γ
n satisfaz essa
propriedade. Além disso, note que Ek(γn) = γn+k = γkγn. Portanto, a solução de (3.7) deve ser da forma
y0(n) = cγ
n. (3.8)
Substituindo (3.8) em (3.7), temos
c(γN + a1γ
N−1 + · · ·+ aN−1γ + aN )γn = 0.
Para uma solução não trivial desta equação,
γN + a1γ
N−1 + · · ·+ aN−1γ + aN = 0,
26 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
ou
Q(γ) = 0.
Como Q(γ) é um polinômio de ordem N , podemos reescrever a expressão acima como (forma de fatores)
(γ − γ1)(γ − γ2) . . . (γ − γN ) = 0.
se Q(γ) possuir N ráızes distintas. O caso de ráızes repetidas será discutido mais adiante.
Logo,γ possui N soluções γ1, γ2, . . . , γN e portanto (3.7) possui N soluções c1γ1, . . . , cNγN . Portanto,
y0(n) = c1γ
n
1 + c2γ
n
2 + · · ·+ cNγnN ,
na qual γ1, . . . , γN são as ráızes de Q(γ) e c1, . . . , cN são constantesdeterminadas das condições iniciais do problema.
O polinômio Q(γ) é chamado de polinômio caracteŕıstico do sistema e Q(γ) = 0 é a equação caracteŕıstica do
sistema. Além disso, γ1, . . . , γN são as ráızes da equação caracteŕısticas. As exponenciais γ
n
1 , . . . , γ
n
N são os modos
caracteŕısticos do sistema.
Ráızes repetidas
Os desenvolvimentos acima são válidos para o caso em que o sistema possui N ráızes caracteŕısticas distintas γ1,
. . . , γN . Se duas ou mais ráızes coincidirem, a forma dos modos caracteŕısticos é modificada. Se a raiz γ repete r
vezes, os modos caracteŕısticos para esta raiz são γn, nγn, n2γn, . . . , nr−1γn. Portanto, se a equação caracteŕıstica
do sistema for
Q(γ) = (γ − γ1)r(γ − γr+1)(γ − γr+2) . . . (γ − γN )
a resposta a entrada nula neste caso será
y0(n) = (c1 + c2n+ c3n
2 + · · ·+ crnr−1)γn1 + cr+1γnr+1 + cr+2γnr+2 + · · ·+ cNγnN .
Ráızes complexas
As ráızes complexas de um sistema em tempo discreto ocorrem em pares de conjugados se os coeficientes da
equação do sistema forem reais. Ráızes complexas podem ser tratadas exatamente como tratamos ráızes reais.
Inicialmente expressamos as ráızes conjugadas complexas γ e γ̄ na forma polar. Se γ é a amplitude e β é o
ângulo de γ, então
γ = |γ|ejβ , e γ̄ = |γ|e−jβ .
A resposta a entrada nula é dada por
y0(n) = c1γ
n + c2(γ̄)
n = c1|γ|ejβn + c2|γ|e−jβn
Para um sistema real, c1 e c2 devem ser conjugados, tal que y(n) seja uma função real de n. Seja c1 =
c
2e
jθ e
c1 =
c
2e
−jθ. Então
y0(n) =
c
2
|γ|n(ej(βnθ) + e−j(βnθ)) = c|γ|n cos(βn+ θ).
Exemplo 3.4. Considere um sistema LDIT descrito pela seguinte equação:
y(n+ 2)− 0.6y(n+ 1)− 0.16y(n) = 5x(n+ 2). (3.9)
Determine a componente de entrada nula se as condições iniciais forem y(−1) = 0 e y(−2) = 25/4.
Reescrevendo a equação do sistema na notação operacional, temos
(E2 − 0.6E − 0.16)y(n) = 5E2x(n).
O polinômio caracteŕıstico é
γ2 − 0.6γ − 0.16 = (γ + 0.2)(γ − 0.8).
A equação caracteŕıstica é
(γ + 0.2)(γ − 0.8) = 0.
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo 27
Portanto, as ráızes caracteŕısticas são γ1 = −0.2 e γ2 = 0.8. A resposta de entrada nula é
y0(n) = c1(−0.2)n + c2(0.8)n.
Para encontrar o valor de c1 e c2, fazemos n = −1 e n = −2 na expressão acima e então, substitúımos os valores
da condição inicial, isto é, y(−1) = 0 e y(−2) = 25/4:
0 = −5c1 +
5
4
c2,
25
4
= 25c1 +
25
16
c2.
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos c1 =
1
5 e c2 =
4
5 .
Portanto, a componente de entrada nula de (3.9) é
y0(n) =
1
5
(−0.2)n + 4
5
(0.8)n, para n ≥ 0.
Exemplo 3.5. Considere um sistema LDIT descrito pela seguinte equação:
y(n+ 2) + 6y(n+ 1) + 9y(n) = 2x(n+ 2) + 6x(n+ 1). (3.10)
Calcule a componente de entrada nula para a condição inicial y(−1) = − 13 e y(−2) = −
2
9 .
Reescrevendo a equação do sistema na notação operacional, temos
(E2 + 6E + 9)y(n) = (2E2 + 6E)x(n).
O polinômio caracteŕıstico é γ2 + 6γ+ 9 = (γ+ 3)2, na qual possui uma raiz caracteŕıstica repetida para γ = −3.
Os modos caracteŕısticos são (−3)n e n(−3)n. Logo, a resposta a entrada nula é
y(n) = (c1 + c2n)(−3)n.
Para determinar os coeficientes c1 e c2, podemos proceder como no exemplo anterior. Neste caso, obtemos o
seguinte sistema de equações lineares:
−1
3
= −1
3
c1 +
1
3
c2,
−2
9
=
1
9
c1 −
2
9
c2.
A solução deste sistema de equações é c1 = 4 e c2 = 3. Portanto, a componente de entrada nula de (3.10) é
y0(n) = (4 + 3n)(−3)n.
Exemplo 3.6. Considere um sistema LDIT descrito pela seguinte equação:
y(n+ 2)− 1.56y(n+ 1) + 0.81y(n) = x(n+ 1) + x(n). (3.11)
Calcule a componente de entrada nula para a condição inicial y(−1) = 2 e y(−2) = 1.
A forma operacional de (3.11) é
(E2 − 1.56E + 0.81)y(n) = (E + 3)x(n).
O polinômio caracteŕıstico é γ2 − 1.56γ + 0.81 = (γ − 0.78− 0.45j)(γ − 0.78 + 0.45j). As ráızes caracteŕısticas
são 0.78± 0.45j, ou seja, 0.9e±π/6. Podemos escrever a solução como
y0(n) = c0.9ne
jπn/6 + c0.9nejπn/6.
Fazendo n = −1 e n = −2 e usando as condições iniciais y(−1) = 2 e y(−2) = 1, obtemos c = e−j0.17 e
c = 2.34ej0.17.
Resposta do sistema à entrada externa: Resposta de estado nulo
Antes de apresentar a metodologia de cálculo da resposta de estado nulo de sistemas LDIT, iremos aprender como
se calcula a resposta ao impulso unitário. Depois verificaremos que o cálculo da resposta de sistemas LDIT para
sinais de entrada genéricos podem ser obtidos a partir da resposta ao impulso unitário.
Resposta ao impulso unitário
28 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
Considere um sistema de ordem N representado por
Q(E)y(n) = P (E)x(n).
A resposta h(n) ao impulso é a solução desta equação para a entrada δ(n) com todas as condições iniciais nulas,
isto é,
Q(E)h(n) = P (E)δ(n), (3.12)
sujeita às condições iniciais
h(−1) = h(−2) = · · · = h(−N) = 0.
Exemplo 3.7. Determine a resposta ao impulso unitário de um sistema descrito por
y(n)− 0.6y(n− 1)− 0.16y(n− 2) = 5x(n). (3.13)
Considere x(n) = δ(n) e y(n) = h(n) em (3.13). Então
h(n)− 0.6h(n− 1)− 0.16h(n− 2) = 5δ(n),
sujeito a condição inicial h(−1) = h(−2) = 0.
Fazendo n = 0 na expressão anterior, obtemos
h(0) = 0.6(0)− 0.16(0) = 5(1) =⇒ h(0) = 5.
Para n = 1 e usando h(0) = 5, obtemos
h(1)− 0.6(5)− 0.16(0) = 5(0) =⇒ h(1) = 3.
Continuando este procedimento podemos determinar o valor de h(n) para qualquer instante de tempo n.
Solução fechada de h(n)
Usando o fato de que h(n) é a resposta do sistema para a entrada δ(n), que é zero para n > 0, sabemos que
h(n) deve ser constitúıdo somente pelos modos caracteŕısticos do sistema para n > 0. Para n = 0, a equação geral
de h(n) é
h(n) = A0δ(n) + yc(n)y(n), (3.14)
na qual yc(n) é a combinação linear dos modos caracteŕısticos.
Substituindo (3.14) em (3.12) temos Q(E)(A0δ(n)+ycu(n)) = P (E)δ(n). Como yc(n) é constitúıdo pelos modos
caracteŕısticos, então Q(E)yc(n)u(n) = 0. Logo, A0Q(E)δ(n) = P (E)δ(n), ou ainda,
A0(δ(n+N) + a1δ(n+N − 1) + · · ·+ aNδ(n)) = b0δ(n+N) + · · ·+ bNδ(n).
Fazendo n = 0 e usando o fato de que δ(m) = 0 para todo m 6= 0 e δ(0) = 1, obtemos que A0 = bNaN . Os N
coeficientes desconhecidos de yc(n) podem ser determinados do conhecimento de N valores de h(n).
Exemplo 3.8. Determine a resposta fechada ao impulso do seguinte sistema
y(n)− 0.6y(n− 1)− 0.16y(n− 2) = 5x(n).
Primeiramente, devemos reescrever essa expressão na seguinte forma:
y(n+ 2)− 0.6y(n+ 1)− 0.16y(n) = 5x(n+ 2),
ou ainda
(E2 − 0.6E − 0.16)y(n) = 5E2x(n). (3.15)
O polinômio caracteŕıstico é
γ2 − 0.6γ − 0.16 = (γ + 0.2)(γ − 0.8).
Os modos caracteŕıstico são (−0.2)n e (−0.8)n. Portanto,
yc(n) = c1(−0.2)n + c2(0.8)n.
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo 29
A partir de (3.15) temos que aN = −0.16 e bN = 0. Logo,
h(n) = (c1(−0.2)n + c2(0.8)n)u(n). (3.16)
Para encontramos os valores de c1 e c2, precisamos determinar dois valores de h(n) interativamente. Conforme
o exemplo anterior, sabemos que h(0) = 5 e h(1) = 3. Logo, fazendo n = 0 e n = 1 em (3.16), obtemos o seguinte
sistema de equações lineares:
5 = c1 + c2,
3 = −0.2c1 + 0.8c2,
que possui como solução c1 = 1 e c2 = 4.
Portanto, a forma fechada da resposta ao impulso de (3.13) é
h(n) = [(−0.2)n + 4(0.8)n]u(n).
Exerćıcios
1. Resolva recursivamente (apenas os três primeiros termos) das equações:
a) y(n+ 1)0.5y(n) = 0, y(−1) = 10.
b) y(n+ 1) + 2y(n) = x(n+ 1), com x(n) = e−nu(n) e y(−1) = 0.
c) y(n)− 0.6y(n)− 0.16y(n− 2) = 0, y(−1) = 25 e y(−2) = 0.
2. Resolva a seguinte equação recursivamente (somente os três primeiros termos):
y(n+ 2) + 3y(n+ 1) + 2y(n) = x(n+ 2) + 3x(n+ 1)3x(n),
com x(n) = 3nu(n), y(−1) = 3 e y(−2) = 2.
3. Considere o sistema de tempo discreto y(n) +y(n−1) + 0.25y(n−2) = x(n−8). Determine a resposta de entrada
nula se y(−1) = 1 e y(1) = 1.
4. Determine a resposta de entrada nula dos seguintes sistemas:
a) y(n+ 1)− 0.8y(n) = 3x(n+ 1), y(−1)= 10.
b) y(n+ 1) = 0.8y(n) = 3x(n+ 1), , y(−1) = 10.
c) y(n) + 4y(n− 2) = 2x(n), y(−1) = −1/(2
√
2), y(−2) = 1/(4
√
2).
5. Determine a resposta ao impulso dos seguintes sistemas lineares discretos e invariantes no tempo:
a) y(n+ 1)− y(n) = x(n).
b) y(n)− 5y(n− 1) = 6y(n− 2) = 8x(n− 1)− 19x(n− 2).
c) y(n+ 2)− 4y(n+ 1) + 4y(n) = 2x(n+ 2)− 2x(n+ 1).
d) y(n) = 2x(n)− 2x(n− 1).
6. Determine a resposta ao impulso de um sistema linear discreto, e invariante no tempo descrito pela equação
y(n) = 3x(n)− 5x(n− 1)− 2x(n− 3).
7. Considere um sistema discreto, linear, causal e invariante no tempo cuja entrada x(n) e sáıda y(n) estão
relacionadas pela seguinte equação a diferenças:
y(n) =
1
4
y(n− 1) + x(n).
Determine y(n) se x(n) = δ(n− 1).
8. Considere a seguinte equação a diferenças de primeira ordem:
y(n) + 2y(n− 1) = x(n).
Assumindo que o sistema está inicialmente em repouso (isto é, se x(n) = 0 para n < 0, então y(n) = 0 para
n < 0), encontre a resposta ao impulso do sistema.
30 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
A resposta de estado nulo
Conforme mencionamos nas seções anteriores, a resposta ao estado nulo y é a resposta do sistema a entrada x
quando o sistema está no estado nulo. O procedimento que iremos adotar para calcular esta resposta do sistema é
baseada na reformulação da entrada arbitrária x(n) como uma soma de componentes de impulso unitário.
A ideia principal para visualizar como o impulso unitário de tempo discreto pode ser usado para construir sinais
de tempo discreto é pensar que sinais de tempo discreto são uma sequência de impulsos. Por exemplo, note que
x(−1)δ(n+ 1) =
{
x(−1), n = −1,
0, n 6= −1,
x(0)δ(n) =
{
x(0), n = 0,
0, n 6= 0,
x(1)δ(n− 1)
{
x(1), n = 1,
0, n 6= 1,
Seguindo este racioćınio, podemos escrever
x(n) = · · ·+ x(−3)δ(n+ 3) + x(−2)δ(n+ 2) + x(−1)δ(n+ 1) + x(0)δ(n) + x(1)δ(n− 1) + . . . (3.17)
Para qualquer valor de n, somente um dos termos do lado direito de (3.17) é não nulo e a amplitude de x para
qualquer valor de n será x(n). Escrevendo essa expressão de forma mais compacta temos
x(n) =
∞∑
k=−∞
x(k)δ(n− k). (3.18)
Essa expressão corresponde a representação de uma sequência arbitrária como uma combinação linear de impulsos
unitários deslocados, onde as ponderações da combinação linear são x(k).
Exemplo 3.9. Considere x(n) = u(n), na qual u(n) é o degrau unitário. Neste caso, como u(n) = 0 para n < 0 e
u(n) = 1 para n ≥ 0, então
x(n) =
∞∑
k=0
δ(n− k).
A equação (3.18) é chamada de propriedade da “peneira” do impulso unitário de tempo discreto. Como a
sequência δ(n − k) é não nula somente quando k = n, a soma do lado direito de (3.18) é “peneirada” através da
sequência de valores x(k) e preserva somente o valor correspondente a k = n.
Somatório de convolução para representar a resposta de estado nulo
Através de (3.17)-(3.18) podemos representar x como uma superposição de impulsos unitários deslocados, δ(n−k),
na qual é não nulo em um único ponto no tempo. A resposta de um sistema linear para x será a superposição de
respostas escalonadas do sistema para cada um desses impulsos deslocados.
Mais especificamente, considere a resposta de um sistema linear para uma entrada arbitrária x. Podemos
representar a entrada através de (3.18) como uma combinação de impulsos unitários deslocados. Seja hk(n) a
resposta do sistema linear para o impulso unitário deslocado, δ(n− k). Então, da propriedade da superposição de
sistemas lineares, a resposta y(n) do sistema linear para a entrada x em (3.18) é simplesmente a combinação linear
ponderada dessas respostas elementares. Isto é, com a entrada x representada através de (3.18), a sáıda y pode ser
expressada como
y(n) =
∞∑
k=−∞
x(k)hk(n). (3.19)
De acordo com (3.19), se sabemos a resposta de um sistema linear para um conjunto de impulsos unitários
deslocados, podemos construir a resposta para uma entrada arbitrária.
Note que para sistemas lineares e invariantes no tempo as respostas para os impulsos unitários deslocados no
tempo serão apenas versões deslocadas de si mesmos. Especificamente, como δ(n− k) é uma versão deslocada de
δ(n), a resposta hk(n) é uma versão deslocada no tempo de h0(n), isto é,
hk(n) = h0(n− k).
Por conveniência de notação, iremos desconsiderar o subscrito em h0(n) e definir a resposta ao impulso unitário
como h(n) = h0(n).
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo 31
Então, para um sistema discreto linear e invariante no tempo a equação (3.19) torna-se
y(n) =
∞∑
k=−∞
x(k)h(n− k). (3.20)
Esta equação é conhecida como somatório de convolução e a operação no lado direito de (3.20) é conhecida
como convolução das sequências x e h. Iremos representar a operação de convolução simbolicamente como
y(n) = x(n) ∗ h(n).
Propriedades do somatório de convolução
Nas seções anteriores desenvolvemos representações importantes para sistemas lineares invariantes no tempo no
domı́nio do tempo discreto em função de suas respostas ao impulso. Agora, verificaremos algumas propriedades do
somatório de convolução.
Sejam x1, x2 e x3 sinais de tempo discreto. Então, as seguintes propriedades são válidas:
Comutatividade. Uma propriedade da convolução é a comutatividade. Isto é,
x1(n) ∗ x2(n) = x2(n) ∗ x1(n) =
∞∑
k=−∞
x2(k)x1(n− k).
Distributividade. A convolução é distributiva sobre a adição. Logo,
x1(n) ∗ (x2(n) + x3(n)) = x1(n) ∗ x2(n) + x1(n) ∗ h3(n).
Associatividade. Temos que
x1(n) ∗ (x2(n) ∗ x3(n)) = (x1(n) ∗ x2(n)) ∗ x3(n).
Deslocamento. Se
x1(n) ∗ x2(n) = c(n).
Então,
x1(n−m) ∗ x2(n− p) = c(n−m− p).
Propriedade do comprimento. Se x1 e x2 possuem comprimento L1 e L2, respectivamente, então o comprimento
de x1(n) ∗ x2(n) é L1 + L2 − 1.
A demonstração de todas as propriedades acima segue diretamente da definição (3.20) e são deixadas como
exerćıcio para o leitor.
Causalidade e resposta de estado nulo
Em (3.20), consideramos apenas que o sistema é linear e invariante no tempo. Não existem outras restrições no
sinal de entrada e no sistema. Entretanto, nas aplicações da engenharia, quase todos os sinais de entrada são causais
e a maioria dos sistemas também é causal. Estas restrições simplificam os limites do somatório de convolução dado
em (3.20).
Conforme definido anteriormente, a sáıda de um sistema causal depende somente dos valores de entrada no
instante de tempo presente e passado. Usando o somatório de convolução, podemos relacionar essa propriedade com
a resposta ao impulso do sistema. Especificamente, para que um sistema linear, discreto e invariante no tempo seja
causal, a sáıda y(n) não deve depender de x(k) para k > n. A partir de (3.20), podemos ver que isso será verdade
se todos os coeficientes h(n− k) que multiplicam valores de x(k) para k > n devem ser zero. Isto então requer que
a resposta ao impulso de um sistema linear, discreto e invariante no tempo satisfaça
h(n) = 0, para n < 0. (3.21)
De acordo com esta expressão, a resposta ao impulso de um sistema linear e invariante no tempo deve ser zero
antes que o impulso ocorra, o que é consistente com o conceito intuitivo de causabilidade.
Similarmente, se a entrada x(n) é causal, então x(n) = 0 para n < 0.
Se x(n) e o sistema forem causais, o produto x(m)h(n−m) = 0 quando m < 0 e para m > n. Este produto é
não nulo apenas para a faixa 0 ≤ m ≤ n. Neste caso (3.20) é reduzida para
y(n) =
n∑
m=0
x(m)h(n−m). (3.22)
32 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
Exemplo 3.10. Determine x(n) ∗ g(n) para x(n) = (0.8)nu(n) e g(n) = (0.3)nu(n).
Partindo da definição do somatório de convolução, temos
x(n) ∗ g(n) =
∞∑
k=−∞
x(k)g(n− k).
Note que x(n) e g(n) são causais. Logo,
x(n) ∗ g(n) =
n∑
k=0
x(k)g(n− k) =
n∑
k=0
(0.8)ku(k)(0.3)n−ku(n− k).
Neste somatório, k está contido no intervalo entre 0 e n, ou seja 0 ≤ k ≤ n. Portanto, se n ≥ 0, então tantok
quanto n− k ≥ 0, tal que u(k) = u(n− k) = 1. Se n ≤ 0, então k é negativo, pois k está entre 0 e n, e u(k) = 0.
Logo, a equação acima se torna
x(n) ∗ g(n) =
{ ∑n
k=0(0.8)
k(0.3)n−k, se n ≥ 0,
0, se n < 0.
Esta expressão pode ser reescrita como
x(n) ∗ g(n) = (0.3)n
n∑
k=0
(
0.8
0.3
)m
u(n).
Note que esta última expressão representa uma progressão geométrica com taxa 0.8/0.3. Logo,
x(n) ∗ g(n) = (0.3)n (0.8)
n+1 − (0.3)n+1
(0.3)n(0.8− 0.3)
u(n) = 2
[
(0.8)n+1 − (0.3)n+1
]
u(n).
Exemplo 3.11. Determine a resposta de estado nulo de um sistema descrito pela equação
y(n+ 2)− 0.6y(n+ 1)− 0.16y(n) = 5x(n+ 2),
se a entrada for x(n) = 4−nu(n).
A entrada pode ser reescrita como x(n) = 4−nu(n) =
(
1
4
)n
u(n) = (0.25)nu(n). A resposta ao impulso deste
sistema já foi obtida nos exemplos anteriores:
h(n) = [(−0.2)n + 4(0.8)n]u(n)
Portanto,
y(n) = x(n) ∗ h(n) = (0.25)nu(n) ∗ [(−0.2)nu(n) + 4(0.8)nu(n)]
= (0.25)nu(n) ∗ (−0.2)nu(n) + (0.25)nu(n) ∗ 4(0.8)nu(n).
Usando o exerćıcio 4-(d), temos
y(n) =
(
(0.25)n+1 − (−0.2)n+1
0.25− (−0.2)
+ 4
(0.25)n+1 − (0.8)n+1
0.25− 0.8
)
u(n),
=
(
−5.05(0.25)n+1 − 2.22(−0.2)n+1 + 7.27(0.8)n+1
)
u(n),
= (−1.26(0.25)n + 0.44(−0.2)n + 5.81(0.8)n)u(n).
Exerćıcios
1. Seja x(n) = δ(n)+2δ(n−1)−δ(n−3), e h(n) = 2δ(n+1)−2δ(n−1). Rascunhe e calcule as seguintes convoluções:
a) y1(n) = x(n) ∗ h(n).
b) y2(n) = x(n+ 2) ∗ y(n).
c) y3(n) = x(n) ∗ h(n+ 2).
2. Considere o sinal
h(n) =
(
1
2
)n−1
[u(n+ 3)− u(n− 10)] .
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo 33
Expresse A e B em termos de n para que a seguinte equação seja válida:
h(n− k) =
{ (
1
2
)n−k−1
, A ≤ k ≤ B,
0, caso contrário.
3. Calcule e trace o gráfico da convolução y(n) = x(n) ∗ h(n), na qual
x(n) =
(
1
3
)−n
u(−n− 1), e h(n) = u(n− 1).
4. (tabela das principais convoluções de sinais em tempo discreto) Mostre as seguintes convoluções:
a) se x1(n) = δ(n− k), x2 = x(n), então x1(n) ∗ x2 = x(n− k).
b) se x1(n) = γ
nu(n), x2 = u(n), então x1(n) ∗ x2 =
(
1−γn+1
1−γ
)
u(n).
c) se x1(n) = u(n), x2 = u(n), então x1(n) ∗ x2 = (n+ 1)u(n).
d) se x1(n) = γ
n
1 u(n), x2 = γ
n
2 u(n), então x1(n) ∗ x2 =
(
γn+11 −γ
n+1
2
γ1−γ2
)
u(n), para γ1 6= γ2.
e) se x1(n) = u(n), x2 = nu(n), então x1(n) ∗ x2 = n(n+1)2 u(n).
f) se x1(n) = γ
nu(n), x2 = nu(n), então x1(n) ∗ x2 =
(
γ(γn−1)+n(1−γ)
(1−γ)2
)
u(n).
g) se x1(n) = nu(n), x2 = nu(n), então x1(n) ∗ x2 = 16n(n− 1)(n+ 1)u(n).
h) se x1(n) = γ
nu(n), x2 = γ
nu(n), então x1(n) ∗ x2 = (n+ 1)γnu(n).
i) se x1(n) = nγ
n
1 u(n), x2 = γ
n
2 u(n), então x1(n) ∗ x2 =
γ1γ2
(γ1−γ2)2
(
γn2 − γn1 +
γ1−γ2
γ2
nγn1
)
u(n) para γ1 6= γ2.
Estabilidade
Sistemas são projetados para desempenhar algumas tarefas ou para processar sinais. Se um sistema não é estável,
ele pode queimar, desintegrar, ou saturar quando um sinal, não importa o quão pequeno, é aplicado. Portanto,
um sistema instável não possui interesses práticos e a estabilidade é uma propriedade básica requerida para as
aplicações.
Neste curso, iremos estudar dois tipos de estabilidade: interna e externa. Se cada entrada limitada aplicada em
um sistema resultar em uma sáıda limitada, o sistema é dito externamente estável. Este tipo de estabilidade também
é conhecida como estabilidade no sentido BIBO (do inglês bounded-input/bounded-output). Já a estabilidade interna
é mais genérica e é determinada aplicando condições iniciais não nulas e nenhuma entrada externa.
Nas próximas seções estudaremos estas definições com mais detalhes.
Estabilidade BIBO
Considere um sistema linear invariante no tempo descrito por
y(n) = h(n) ∗ u(n), (3.23)
na qual h é a resposta ao impulso e u é o sinal (entrada) aplicada no sistema.
Definição 3.1. Dizemos que u é limitada se u(n) não cresce infinitamente, ou seja, existe M ≥ 0 tal que
|u(n)| ≤M <∞, para todo n ≥ 0.
Definição 3.2. Um sistema é dito BIBO (do inglês bounded-input bounded-output) estável se para toda entrada
limitada temos uma sáıda limitada. Esta estabilidade é definida para a resposta de estado zero e é aplicável somente
se o sistema possui condições iniciais nulas.
Note que
y(n) = h(n) ∗ x(n) =
∞∑
m=−∞
h(m)x(n−m).
Logo,
|y(n)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
m=−∞
h(m)x(n−m)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
m=−∞
|h(m)||x(n−m)|
34 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
Se x é limitada, então existe k1 ∈ R+ tal que |x(n)| < k1 para todo n, e
|y(n)| ≤ k1
∞∑
m=−∞
|h(m)|.
Obviamente a sáıda será limitada se a série (somatório) no lado direito é limitada, isto é, se existe k2 ∈ R+ tal que
∞∑
m=−∞
|h(m)| < k2.
Estabilidade Interna
Para sistemas lineares, discretos e invariantes no tempo a estabilidade interna é definida em termos da resposta
do sistema para entrada zero. Quando o sistema é especificado por uma equação a diferença na forma (3.5), a
resposta de entrada zero consiste dos modos caracteŕısticos do sistema. Os modos caracteŕısticos correspondente a
raiz caracteŕıstica γ é γn. Para ser mais geral, seja γ complexo, então γ = |γ|ejβ e γn = |γ|ejβn.
Como a magnitude de ejβn é sempre unitária, independente do valor de n, então a magnitude de γn é |γ|n.
Portanto,
Se |γ| < 1, γn → 0, quando n→∞
Se |γ| > 1, γn →∞, quando n→∞
Se |γ| = 1, γn = 2, para todo n.
Definição 3.3. A reposta a entrada zero de um sistema LDIT é marginalmente estável se toda condição inicial
excitar uma resposta limitada. É assintoticamente estável se toda condição inicial excitar uma resposta limitada que
tende a zero quando n→∞.
A Figura 3.1 mostra os modos caracteŕısticos correspondentes às ráızes caracteŕısticas em varias localizações do
plano complexo.
Note que se as ráızes caracteŕısticas do sistema estão dentro do circulo unitário, ou seja |γi| < 1, para todo i,
então o sistema é assintoticamente estável. Por outro lado, se uma raiz caracteŕıstica está fora do circulo unitário,
o sistema é instável. Se nenhuma raiz caracteŕıstica está fora do circulo unitário, mas alguma raiz simples (de
multiplicidade 1) está sobre o circulo, então o sistema é marginalmente estável. Se há ráızes de multiplicidade maior
que 1 sobre o circulo, então o sistema será instável. Resumindo:
• Um sistema linear, discreto e invariante no tempo é assintoticamente estável se e somente se todas as ráızes
caracteŕısticas estão dentro do circulo unitário centrado em zero. Estas ráızes podem qualquer multiplicidade.
• Um sistema linear, discreto e invariante no tempo é instável se e somente se uma ou mais das seguintes
condições é satisfeita: (i) ao menos uma raiz fora do circulo unitário centrado na origem; (ii) há ráızes de
multiplicidade maior que 1 sobre o ćırculo unitário.
• Um sistema linear, discreto e invariante no tempo é marginalmente estável se e somente se não há ráızes fora
do circulo unitário e há ráızes de multiplicidade 1 sobre o ćırculo.
3.1 Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo 35
Figura 3.1: Localização das ráızes caracteŕısticas e os modos caracteŕısticos correspondentes no plano complexo.
36 Caṕıtulo 3. Análise de sistemas lineares no domı́nio do tempo
3.2 Sistemas lineares cont́ınuos e invariantes no tempo
De maneira análoga aos resultados derivados e discutidos nas seções anteriores, nosso objetivo nesta seção é obter
uma caracterização de sistemas lineares cont́ınuos e invariantes no tempo.
3.2.1 Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes
Neste curso estaremos considerando sistemas lineares diferenciais. Neste caso, a entrada x e a sáıda y estão
relacionadas por equações diferenciais lineares na forma
dNy
dtN
(t) + a1
dN−1y
dtN−1
(t) + · · ·+ aN−1
dy
dt
(t) + aNy(t) = bN−M
dMx
dtM
(t) + bN−M+1
dM−1x
dtM−1
+ · · ·+ bN−1
dx
dt
(t) + bNx(t),
na qual todo os coeficientes ai e bi são constantes. A equação acima pode ser reescrita na seguinte forma
(DN + a1D
N−1 + · · ·+ aN−1D + aN )y(t) = (bN−MDM + bN−M+1DM−1