Atividade 05 - Velocidade de propagação de ondas transversais

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LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL II 
 
Atividade 05 – Movimento ondulatório: velocidade de propagação de ondas transversais
 
 
Edilson Miolli Filho 
Franciele de Cássia 
Gabriela Purcino 
Meline Melisse 
 
Turma: Terça-feira 
 
1- Introdução 
 
Considere uma corda esticada horizontalmente (ao longo do eixo 𝑥 do sistema de referência) e que 
seja perturbada verticalmente (ao longo do eixo 𝑦 do sistema de referência) de forma a causar um pulso que 
se propaga transversalmente a perturbação da corda. A velocidade de propagação do pulso depende das 
propriedades do meio em que ele se propaga. A descrição matemática do pulso é uma função da forma 𝑦 =
𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡), a função de onda, onde a escolha do sinal positivo ou negativo, indica ao sentido de 
propagação do pulso em relação ao sistema de referência escolhido. Veja a figura. 
 
 A velocidade de propagação de um desses pulsos pode ser determinada considerando um pulso se 
movendo para a direita. Em um referencial inercial que se move com a mesma velocidade do pulso e 
sincronizado a ele, descreve o movimento da corda como se a corda estivesse passando por ele com a 
mesma velocidade do pulso, porém em sentido contrário (veja a figura abaixo) 
 
 
 
Para determinar a velocidade de 
propagação, considerando o meio (no caso, a 
corda), faz-se a aproximação que a forma da crista 
do pulso pode ser considerada como um arco de 
círculo de raio 𝑅 e considera-se que a corda está 
sujeita a uma força de tensão igualmente 
distribuída por seu comprimento. Veja a figura ao 
lado. 
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 Desta maneira os pontos materiais que formam a corda realizam um movimento circular com a 
velocidade de propagação do pulso. A força responsável pelo movimento circular são as componentes 
verticais da força de tensão, enquanto que as componentes horizontais se cancelam. Esta força resultante na 
vertical, pela segunda lei de Newton deve ser igual a massa da porção da corda que está em movimento 
circular vezes a aceleração centrípeta a qual às partículas estão sujeitas. 
 
 �⃗�𝑅 = 𝑚�⃗�𝐶 (1) 
 
 A massa de um elemento diferencial da corda é dada em função de sua densidade linear. O 
comprimento de arco é 𝑙 = 𝑅 ∙ 2𝜃, e a densidade é 𝜇 = 𝑚 𝑙⁄ . A magnitude da força resultante que está no 
mesmo sentido da aceleração centrípeta sofrida pelo elemento diferencial de massa é 𝐹𝑅 = 2𝑇 sin 𝜃. E, 
sendo a aceleração centrípeta uma função da velocidade escalar 𝑣 da partícula e do raio 𝑅 do circulo, dada 
por 𝑎𝐶 = 𝑣
2 𝑅⁄ , tem-se, substituindo estas fórmulas na equação (1), em termos das magnitudes: 
 
2𝑇 sin 𝜃 = 𝜇𝑅2𝜃
𝑣2
𝑅
 
 
Para a aproximação de pequenos ângulos, sin 𝜃 ≅ 𝜃 e tem-se finalmente que 
 
 𝑣2 =
𝑇
𝜇
 𝑜𝑢 𝑣 = √
𝑇
𝜇
 (2) 
 
Ou seja, o pulso irá se propagar na corda com uma velocidade que depende da tensão 𝑇 (em 
Newtons) na corda e da densidade linear da corda 𝜇 (em 𝑘𝑔/𝑚) 
 
 
 
2- Parte experimental 
 
Objetivo: Verificar a validade da relação (2) entre a velocidade, a tensão e densidade linear de massa são 
válidas para um pulso gerado em uma mola. Para tal vamos medir a velocidade de propagação do pulso 
medindo o tempo que um pulso se move pelo comprimento da mola e comparando o resultado com o valor 
esperado da velocidade segundo a fórmula (2) acima. 
 
Material Utilizado: dinamômetro (5N), mola extensa, balança e cronômetro de um telefone celular. 
 
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Procedimentos: 
 
1. Com uma balança meça a massa da mola (expresse em quilogramas) 
 
 
 𝑚1 = 528,26 ± 0,01 𝑔 = (528,26 ± 0,01 ) × 10
−3𝑘𝑔 
 
 
 𝑚2 = 453,89 ± 0,01 𝑔 
2. Estenda a mola no chão segurando uma das suas pontas e use o dinamômetro para esticar a mola para 
uma tensão que pode estar entre 4,00 𝑁 e 5,00 𝑁. Anote a tensão da mola e seu comprimento. Observação: 
todas as medidas no laboratório devem ter uma incerteza. Neste experimento as incertezas da tensão e do 
comprimento da mola devem ser estimadas devido ao movimento das mãos que irão gerar o pulso na mola. 
 
 
 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜: 𝑇 = (4,0 ± 1,0) 𝑁 
 
 
 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑙 = (5,00 ± 0,05)𝑚 
 
 
3. Retire o dinamômetro da mola para gerar um pulso transversal ao comprimento da mola. Para melhores 
resultados, gere um pulso com uma amplitude grande e não muito largo. Para isso, desloque a extremidade 
da mola com um movimento rápido e amplo da sua mão. Tente fazer um movimento da mão o mais 
perpendicular possível a direção da mola e retorne a extremidade da mola ao mesmo ponto de partida, para 
afetar minimamente o comprimento e a tensão na mola. Pratique um pouco a geração do pulso. 
 
4. Faça nove medidas do tempo 𝑡 de propagação do pulso desde uma extremidade da mola até seu retorno 
ao ponto de partida com o cronômetro de seu telefone celular e anote seus resultados na tabela abaixo. 
Tente ser o mais preciso possível. (Treine um pouco o procedimento todo, principalmente a 
cronometragem). 
 
𝑡𝑖 (𝑠) 1,50 1,72 1,65 1,59 1,62 1,63 1,65 1,54 1,68 
∆𝑡𝑖 (𝑠) 0,12 0,10 0,03 0,03 0 0,01 0,03 0,08 0,06 
 
 
5. Determine o valor esperado do tempo de propagação do pulso, usando a média dos tempos. 
 
 Resposta. 𝑡̅ =14,58/9 = 1,62s 
 
6. A incerteza ∆𝑡𝑖 em cada medida de tempo será o desvio absoluto de cada medida de tempo. Anote os 
valores na tabela acima. Em seguida, calcule o desvio absoluto médio, e use o valor encontrado como a 
incerteza ∆𝑡 no tempo. Qual o tempo de propagação do pulso por um comprimento da mola? 
 
 Resposta: 
4 
 
 tmédio = 
0,46
9
 = 0,05s 
 
𝑡 = (𝑡̅ ± ∆𝑡) 𝑠 t = (1,62 ± 0,05) s 
 
 
7. Com os resultados medidos para o comprimento da mola e o tempo de propagação do pulso, calcule a 
velocidade de propagação do pulso, com a sua respectiva incerteza. Para isso, use que 𝑣 = 2𝑙 𝑡⁄ e que a 
incerteza é dada pela diferencial da função 𝑣 = 𝑓(𝑙, 𝑡). Mostre seus cálculos para encontrar a incerteza na 
velocidade. 
 
Resposta: 
 
 v = 
2l
t
 l=5m dl = 0,05m t=1,62s dt =0,05s 
 
dv = 
2dl
t
 + 
−2ldt
t²
 = 
2x0,05
1,62
 + 
−2x5x0,05
1,62²
 = |0,13| m/s 
 
V = 
2x5
1,62
 = 6,17m/s 
 
 𝑣 = (𝑣 ± ∆𝑣) 𝑚 𝑠⁄ = (6,17 ± 0,13)m/s 
 
 
 
8. Com os resultados anteriores para a massa da mola e o seu comprimento, calcule a sua densidade linear 
de massa com sua respectiva incerteza. Para isso, use que 𝜇 = 𝑚 𝑙⁄ e que a incerteza é dada pela diferencial 
da função 𝜇 = 𝑓(𝑚, 𝑙). Mostre seus cálculos para encontrar a incerteza na densidade. 
 
 
 Resposta: 
 
 m =528,26 𝑥10−3𝑘𝑔 dm = 0,1𝑥10−3kg l=5m dl = 0,05m 
 
𝜇 = 
𝑚
𝑙
 = 
528,26x10−3
5
 = 105,65𝑥10−3 kg/m 
 
 𝑑𝜇 = 
𝑑𝑚
𝑙
 + 
−𝑚
𝑙²
𝑑𝑙 = 
0,1x10−3
5
 + 
−528,26x10−3𝑥0,05
5²
 = |1,03 𝑥10−3| kg/m 
 
 
 𝜇 = (𝜇 ± ∆𝜇) 𝑘𝑔 𝑚⁄ = (105,65 ± 1,03) x 10−3 kg/m 
5 
 
9. Agora, calcule a velocidade de propagação do pulso com a sua respectiva incerteza. Para isso, use a 
fórmula (2), 𝑣2 = 𝑇 𝜇⁄ , e que a incerteza é dada pela diferencial da função 𝑣 = 𝑓(𝑇, 𝜇). Mostre seus cálculos 
para encontrar a incerteza na velocidade. 
 
Resposta: 
 
𝑇 = (4,0 ± 1,0) 𝑁 𝜇 = (105,65 ± 1,03) x 10−3kg/m 
 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
 𝑣 = √
4
105,65𝑥10−3
 = 6,15 
 
dv = 
1𝑑𝑡
2√𝑡𝑥𝜇
 + 
−√𝑡 𝑑𝜇
2𝑥 √𝜇 
3/2 = 
1
2√4𝑥105,65𝑥10−3
 + 
−√4𝑥1,03 𝑥10−3
2𝑥 √105,65𝑥10−3 
3/2 = 0,74 
 
 
 
 𝑣 = (𝑣 ± ∆𝑣) 𝑚 𝑠⁄ = (6,15 ± 0,74) m/s 
 
 
 
 
10. Compare os resultados obtidos pela fórmula cinemática 𝑣 = 2𝑙𝑡⁄ , e a fórmula da dinâmica de 
propagação de ondas numa corda, 𝑣2 = 𝑇 𝜇⁄ e decida se os resultados são válidos para a velocidade de 
propagação numa mola. Justifique sua resposta. 
 
 Resposta: Sim, pois as velocidades obtidas por ambas as fórmulas são próximas; a que relaciona 
tensão e densidade com a que relaciona massa e tempo.