MHS

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1. Osciladores mecânicos 
Estamos rodeados de osciladores: colchões, redes, cadeiras de 
balanço são exemplos óbvios. O movimento oscilatório de uma 
partlcula corresponde a vibrações localizadas, quando se 
m__ovem em to_mo d: um ponto de equilíbrio: a oscilação de um 
pendulo, as v1braçoes sonoras produzidas por um clarinete ou 
pelo tubo de um órgão e as oscilações produzidas pelos pistões 
no motor de um automóvel, os átomos de um sólido vibrando uns 
em relação aos outros. Esse tipo de movimento, será essencial 
para os estudos sobre as ondas, o som, as correntes elétricas e a luz. 
Um corpo que executa movimento oscilatório encontra-se 
sempre em uma posição de equilíbrio estável. Quando ele é 
deslocado dessa posição e liberado, surge uma força ou um 
to~que que o faz retornar a sua posição de equilíbrio. Quando ele 
atinge esse ponto, entretanto, pelo fato de haver adquirido 
energia cinética, ele o ultrapassa, parando em algum ponto do 
outro lado e sendo novamente puxado para sua posição de 
equilíbrio. 
O movimento oscilatório mais importante é o movimento 
harmônico simples (MHS). Além de ser o mais simples de 
descrever e analisar, constitui uma descrição precisa de muitas 
oscilações que se observam na natureza. 
2. Sistemas oscilantes 
Na Fig . 1-1 mostra um dos sistemas mais simples que podem 
executar um movimento periódico. Um corpo de massa m está 
em repouso sobre um trilho horizontal sem atrito, de modo que 
ele pode se mover apenas ao longo do eixo Ox. A mola presa ao 
corpo possui massa desprezível e pode ser comprimida ou 
esticada. A extremidade esquerda da mola é mantida fixa e sua 
extremidade direita está presa ao corpo. 
yi posição de equilíbrio 
ºL -x k 
1~ m 
~ 
Fig. 1-1. Um sistema que pode ter movimento oscilatório. 
Ao se deslocar o bloco, a partir da sua posição de e9uilíbrio em 
um determinado sentido, a força (devida à deformaça~ ?ª_mola) 
o empurrará de volta para sua configuração de _equrhbno. _Ao 
deslocá-lo no outro sentido, a força atuará, ainda sim, no sentido 
da configuração de equilíbrio. 
Independentemente do sentido _do 
deslocamento, a força sempre atua no ~e_nt,do 
de levar o sistema de volta à sua pos,çao de 
equilíbrio. Esta força é denominada de força 
restauradora. 
. mais simples de oscilação ocorre quando a forca 
O tipo d F e· diretamente proporcional ao deslocamento x 
restaura ora x d I da Fig 1-1 
da posição de equilíbrio. Isso ocorre qua~ o a m~ a . 
é ideal, ou seja, quando ela obedece a lei de Hoo e. 
F(x) = - kx 
onde, 
x: deformação da mola 
, _ _ _ - • - ..... ♦ .... "" ' ..;~+ir'!:I rka mnl::a 
eq . 1-1 
~ eq. 1-1 fornece corretamente o módulo e o sinal da força, 
independentemente do valor de x ser positivo, negativo ou nulo 
(Fig 1-2). A constante da mola k é sempre positiva e sua unidade 
no S.I é Nlm. Supondo que não exista atrito, a eq 1-1 fornece a 
força resultante sobre o corpo. 
F(x) 
Fig. 1-2. Uma mola ideal exerce uma força restauradora que 
obedece a lei de Hooke. Uma oscilação com uma forca 
restauradora desse tipo é chamada de movimento harmônico 
simples. 
A força que atua sobre o bloco está sempre orientada para a 
origem, logo o bloco oscilará para frente e para trás entre as 
coordenadas x = +A e x = -A. A intensidade desse 
deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio é 
chamada de amplitude do movimento. O tempo necessário para 
um ciclo completo é chamado de período. 
O número de ciclos por unidade de tempo é chamado de 
frequência. A frequência e o período são grandezas recíprocas 
entre si, isto é, 
t = .!. eq.1 -2 T 
onde, 
/ : frequência - medida no S.I, em hertz (HZ) 
r : período - medido em unidades de tempo (segundos por 
exemplo) 
Uma outra forma de descrever as oscilações é através do 
conceito de energia. A Fig. 1-3 mostra a energia potencial 
co"rrespondente à força indicada na Fig. 1-2. 
EpCx) 
· cânica total E em Fig. 1-3. Energia potencial Ep e energia me 
função da posição. 
Veja que, conforme indicado pela expressão 
,rn,, eq. 1-3 F = --;;; , 
0 
neg~tivo d~ :eri:a:a ::~:~:!ef~:nªs~:n:e f;~~=-u~ :i:;;~: 
mecãnica E - e P . E E fornece a energia 
isolado. Para cada ponto, a diferença - P 
cinética Ec no ponto considerado. 
1 
l 
Ao ex1repolar a curva do grt\fico para deslocamentos 
suficientemente altos. atinge-se os locais onde E - E,, = O e. 
portanto. E, = o Nesses pontos. e velocidade é nula e a posiçao 
será x = ±A Es~e!'l pontos sllo chamados de /'0nros cfe 1L'l1>1710 
As!'-m1 as e ~ ilustram duas maneiras equivalentes de 
se descrever uma osc1laçào: a força deve sempre ~tuar no 
sentrdo de msraurar a condição de equillbrio da parttc~la 8 a 
ene~1a pNenc,al deve apresentar um mlnimo na posição de 
r:>qu,iibno da pa11Jcula. 
3. Oscilador Harmônico Simples 
Considere um sistema oscilante em uma dimensão, consistindo 
en, uma partlcula sujeita a uma força restauradora. sendo ela 
diretamente proporcional ao deslocamento da posição de 
equillbrlo, conforme indicado na eq 1-1. Esse tipo de sistema 
oscilante é chamado de o: ., " 1 rr co ,mrles e seu 
movimento é chamado de , ,, , to /,, m1unrco s11nples. 
abreviado por MHS. A aceleração de um corpo que executa um 
MHS e dada por, 
' - -• eq 1-4 
O sln?I ne~ativo indic~ que. no MHS, a aceleração sempre 
possur sentido contráno ao do deslocamento. A eq 1-4 é 
chamada de oqu.iç, o de mo ·w11•nto do osc1laclo1 /Jarmón/co 
""I''º· . 
A importãncia do oscilador harmônico simples consiste no fato 
de que, nem todos os movimentos periódicos constituem um 
movimento harmônico simples. Nos movimentos periódicos em 
geral, a força restauradora depende do deslocamento de modo 
~ais complicado que o indicado na c•q 1 1. Contudo, em muitos 
sistemas a força restauradora é aproximadamente proporcional 
ao deslocamento no caso de ele ser suficientemente pequeno. 
Ou ~eja, no caso de uma amplitude suficientemente pequena, as 
oscilações do sistema constituem aproximadamente um 
movimento harmônico simples que pode ser descrito pela eq. 1-
1. Logo, podemos notar que o MHS e um modelo simples para 
descrever diversos tipos de movimentos periódicos, como a 
vibração de um dlapasao de afinação, a corrente elétrica em um 
circuito de corrente alternada e as vibrações dos átomos nas 
moléculas e nos sólidos. 
A restrição a pequenos desvios é importante. Para desvios 
maiores. tendem a aparecer co,rcçoes não hneares (termos 
adicionais proporcionais a x2 • x3, .. . ) na lei das forças eq . 1-1. 
Assim, se passarmos do /1111110 clast,co de uma mola, ela não 
retorna á posição de equilibrio: produzem-se deformações 
permanentes. 
4. Movimento Hannõnico Simples 
Resolvendo a equação de movimento do oscilador harmõnico 
simples. 
1) eq. 1-5 
É visto posteriormente que outros sistemas oscilanles são 
governados por equações de movimento s!m_ilares,_ onde a 
constante k é relacionada a outras caracteristIcas f1s1cas do 
sistema. Iremos usar o sistema oscilante massa-mola como 
protótipo para essa análise. 
A eq 1 5 fornece uma relação entre uma função do tempo x(t) 
e a sua segunda derivada temporal ::;. O objetivo é encontrar 
uma função x(t) que satisfaça essa relação. A cq 1 5 requ_er que 
x(t) seja uma função cuja segunda derivada é o negatrvo da 
própria função, exceto por um valor constante k/m. As funções 
seno e cosseno possuem essa propriedade, 
e 
.!:.cos(wt) = -w sín(wt) 
dt 
d
1 d 2 cos(wr) 
dt 2 cos(wt) = d/- w sin(wt)) = -w 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 2 
- - ---- --
A segunda derivada de um cosseno (o~~ ~ t - -
funçao original multiplicada por um fator negatívo -,,~! 1 
pwpncrl,irl<' 11.ro 1• afolada ao mu/lrphcor-so D funç:JO cr,:; :,cJl ;o Po, 
unw co11s/a11/o qualquer 
Assim, escreve-se uma tentativa de solução para a oq 1-5 como 
~=,lrn,(ull+(p) eq 1-6 
Neste caso, uma vez que . . 
A cos(wt + rp) = A cos rp cos wt -A sm r/J sm wt 
= c1 cos wt - C2 sln wt 
onde C t = A cos </J e C z = A sin </J , a constante </J propicia 
ualquer combinaçãode soluções em seno e cosseno. 
~ode-se assim, escrever uma solução geral para a e~ 1-5, ~om 
as const~ntes Xm , w e </J ainda indeterminadas. Par_a eterm1nar 
essas constantes de forma ainda que eq. 1-6 seJa r~al~ent~ 
solução da eq 1-5, deriva-se eq. 1-6 duas vezes em re aç o a 
tempo. Obtêm-se 
e 
dx = -wxm sin (wt + r/J) 
dt 
d2x - = -w2xm cos(wt + r/J) 
dt 2 
Substituindo-se essas expressões na eq 1-5, tem-se 
k 
-w2A cos(wt + ,P) = --A cos(wt + r/J) m 
Portanto, ao escolher-se a constante w. de forma que 
wz =:.. eq. 1-7 
A eq.'\6 é, de fato, uma solução da equação de movimento de 
um oscilador harmônico uma simples. Ao se aumentar o tempo t 
na eq. 1-6 de um incremento~. a função resultante é 
w x =A cos [w(t+ ~) +<t>] 
= A cos[wt + 2rr + e/>] 
= A cos[wt + cf>] 
isto é, a função se repete após um tempo igual a~-Portanto,~ 
é o período T do movimento. Uma vez que w2 = !., tem-se m 
T = 2rr Í!!i eq. 1-8 ri: 
Logo, todos os movimentos expressos pela eq. 1-5 possuem o 
mesmo período de oscilação, que é determinado conhecendo-se 
massa m da partícula oscilante e a constante elástica k da mola. 
A frequência do oscilador é igual ao número de ciclos completos 
por unidade de tempo e é expressa por 
1 1 Ík 
I = T = z",; \!;;; eq 1-9 
Assim, 
,., = 2.rr( = 7 eq. 1-10 
A grandeza w é chamada de frequência angular; ela difere da 
frequência f por um fator igual a 2rr. Ela possui a dimensão do 
inverso do tempo (a mesma que a velocidade angular) e sua 
unidade é radianos/segundo. 
A constante A possui um significado físico muito simples. A 
função cosseno varia entre os valores - 1 e +1. P_~rtanto, o 
deslocamento x, em relação à posição central de equ1ilbrro x = 
o, apresenta um valor máximo A. Essa constante é chamada de 
amplitude do movimenlo. 
uma vez que A não é fixada, são posslveis movimentos c~m 
várias amplitudes, todas possuindo, porém, n:iesma frequência: 
/\ r,equ6m:,n ele um 111ovimo11/o lw1mo111co srmples e 
i11<loponclonlo cio nmpl1/uc/1' cio movrmonlo. 
A quantidade (wt + q,) é chamada de fase do _movimento e o 
angulo q, é chamado de i.ingulo de fase. D~rs movrmento_s podem 
possuir as mesmas amplitudes e frequências e serem diferentes 
em fase. 
-
~ 
✓ 
p~itude A e o ângulo de fase 
t~rminados pela posi ão q, de uma oscilação são 
part1cula. Essas duas co~d- - e _P~I~ . velocidade iniciais da 
e~atamente (exceto pelo f ~ço;s inic1a1s estab
elecerão A e <f, 
diminuído de qualquer múl~ ~ de q, poder ser incrementado ou 
Entret_anto, uma vez iniciad:oº e ~71' sem alter
a_r o movimento). 
a oscilar com uma amplitud movimento, a par
t,cula continuará 
com uma frequência fix e constante e uma
 fase constante 
o sistema. a, a não ser que outras f
orças perturbem 
A energia mecânica total E é a soma das energias pot
encial e 
cinética, 
kA1 
E= -cos2(wt + <P) + 
2 
[:'= •li ' 
2 
~~Iro aspecto caracterlstico do movimento harm
ônico sim les é 
pa~:~~faº ent~~ o deslocamento, a velocidade e a
 acelera~o da 
osc, ante. Na Fig. 1-4 apresentam-se as curva
s do 
1eslocamento x, da velocidade e da aceleração em função d
o 
empo t. As equações referentes a essas curvas são 
eq. 1-14 
Esta equação revela uma importante proprieda
de geral do 
movimento harmônico simples, 
) ,. 
I 
. 1 {'/lfff!Í<I /l ll'C<II//Cl/ /()/(1/ 110 
t1101·1'illl·1110 lu1r1111i11i, o .11m11lcs <; 
eq 1-11(a) 
eq 1-11 (b) 
eq 1-1 1(c) 
X= ;,_m COS(Mt + Ql) 
v = -wx'" si11(,,it + <li) 
a = -w'x 111 ro,((lll + cjl) 
/ll'fl/J/llTÍ1JIIUI ª" quadrado dll u111pli111de. , , ~ 
A energia mecânica total E também é relacionada diret
amente 
com a amplitude A do movimento. Quando o corpo atin
ge o ponto 
x = A, seu deslocamento máximo a partir do ponto de equilí
brio, 
ele para momentaneamente e depois retorna a s
eu ponto de 
equílíbrío, ou seja, quando x = A (ou -A), v .. = O. Nesse ponto, 
o 
i_; --t 
Fig. 1-4. Deslocamento, velocidade e acelera
ção de um 
oscilador harmônico simples. 
Quando o deslocamento é máximo em qualque
r sentido, a 
velocidade é nula, uma vez que, neste instante, 
a velocidade 
deve mudar seu sentido. A aceleração neste instan
te possui sua 
intensidade máxima, mas é direcionada no sentid
o oposto ao 
deslocamento, de forma análoga à força restaurado
ra. Quando o 
deslocamento é nulo, a velocidade da partícula é
 máxima e a 
aceleração é nula, o que corresponde a uma força 
restauradora 
também nula. A velocidade aumenta quando a partí
cula se move 
em direção à posição de equilíbrio e diminuí quando ela s
e move 
aproximando-se do ponto de deslocamento máximo
. 
5. Energia no movimento harmônico simples 
Podemos aprender ainda maís sobre o moviment
o harmônico 
simples levando em conta aspectos relacionados à ene
rgia. Em 
qualquer movimento em que não atuem forças dí
ssípativas, a 
energia mecânica total E (= Ec + Ep) é conservada. Assi
m, a 
energia potencial Ep para um instante qualquer 
pode ser 
expressa por 
'I k•' kA' . Ep = 7 = 7cos' (1,1t + 1/1 ~ 
eq. 1-12 
A energia potencial oscila com o tempo e poss
uí um valor 
. kA' 
máximo de 2 . Durante o movime
nto, a energia potencial varía 
entre zero e esse valor máximo, conforme ilustrado 
pelas curvas 
da Fig 1-5. A energia cinética Ec em um instante qualq
uer vale 
m;'. Utilizando-se a eq. 1-11 (b) obtém-se 
mv2 mA 2w2 
Ec = - 2- = - 2-sin
2(wt + </) ) 
y kA' . ? 
hr =- 7 s111 · (úll + </!)/4_ 
eq. 1-13 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 3 
a energia e ínteíramente potencial, E = k:', como E é constante, 
kA' 
ela permanece sempre ígual a 2 em qualque
r outro ponto 
F./x) 
Elx) 
Fíg. 1-5. A energia potencial Ep , cinética Ec e mecân
ica total E 
de uma partícula sujeita a um movimento harmô
nico simples 
(com ~ = O) em função do tempo e do deslocamento. 
Para um corpo em seu deslocamento máximo, a en
ergia total é 
toda ela energia potencial. A medida que o corpo se move para 
sua posição de equilíbrio, a energia cinética do sistema au
menta 
e a energia potencial diminui. Quando o corpo es
tá passando 
pela sua posição de equilíbrio, sua energia cinética
 é máxima, a 
energia potencial do sistema é zero e a energia total 
é toda ela 
cinética. 
Após passa~ pelo_ponto de eq_uilíbrio, a energia cinética do
 corpo 
começa a d1m1nu1r e a energia potencial do sistem
a cresce até 
que o corpo pare momentaneamente, novamen
te, em seu 
deslocamento máximo (ag~ra, do outro lado). E
m qualquer 
momento, a soma das energias potencial e cinética
 é constante. 
Podemos usar a eq. 1-14 para explicitar a velocidad
e v .. do corpo 
em função do deslocamento 
mv2 kx2 
E=-+-
2 2 
Equação da elipse j 
kA2 mv2 kx2 
- =-+ 
2 2 2 
1 - v' .r' 
- ~+A' 
eq 1-15 
A e~·- 1-15 mostra claramente que a velocidade é máxima na 
P~siçao de equilibrio (x = O) e é nula quando os deslocamentos 
sao extremos (x = A). 
Agora x' é a coordenada. associada. à posição ~a pa 
determinada a partir da posição de equ1llb~o. O movimento s.e 
harmônico simples com os mesmos penodo e frequência 00 
movimento na horizontal. 
V 
wA -
---A-+------+------+A-:---> X 
--<i>A 
Fig. 1-6. Variação da velocidade com o deslocamento. 
Podemos usar a eq. 1-11 (a) e eq. 1-11 (b) para explicitar a 
velocidade ªx do corpo em função do deslocamento, 
a = -w2xm cos(wt + <!>) 
a= - w 2x eq. 1-16 
q 
c,i2A 
l ' -w A - -------- , 
Fig. 1-7. Variação da aceleração com o deslocamento. 
6. Aplicações do movimento hannônico simples 
Movimento na vertical 
Considere uma partícula de massa m oscilando verticalmente na 
extremidade da mola de constante elástica k, como mostrado na 
Fig. 1-8. A partícula fica sob efeito de apenas duas forças: a 
força peso, e a força elástica exercida pela mola. Assim 
considerando o movimento vertical voltado para cima com 
orientação positiva, a equação do movimento pode ser escrita 
como, 
d 1x 
m de' = - mg - kx eq. 1-17 
No ponto de equilíbrio, as forças se anulam 
- mg - kx0 = O 
Assim x0 , determinada acima é a coordenada do novo ponto de 
equilíbrioda partícula, em torno do qual ela executará um MHS. 
X 
+A 
O······················· -············ 
-A m 
Fig. 1-8 . Situação no ponto de equilibrio: a força resultante é 
nula, mas a mola está deformada. 
Introduzindo uma nova variável definida por 
x' = x - x0 
A equação de Newton se escreve, para essa nova variável, 
" X k , m-;;;, =-x eq. 1-18 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 4 
Pêndulo de torção . . . 
Um sistema que realiza oscilações r~tac1ona1s, em um~ vanante 
do movimento harmônico simples, e chamado de P.e~dulo de 
- A F. 1 9 mostra um pêndulo de torção, consistindo em 
torçao. 19. - d I t 
um disco maciço suspenso por um fio de aço .. ~e? ~s ocam~m o 
angular do disco, a partir da posição de equ11ib~o, e 8 , entao o 
fio exerce sobre o disco um torgue restaurador linear -r dado por 
I 
1 
) 1 
o 
.. .:.._./ ·. 
~-.:....._'.!:_ - -----o 20,,, . • 
Fig. 1-9. Este pêndulo de torção consiste em um disco maciço 
suspenso por um fio de aço. . , . 
Com o disco em equilíbrio, uma linha radial e desenhada a partir 
de seu centro até um ponto P de sua periferia, conforme a Fig. 
1-9. Se o disco é girado no plano horizontal (xy) de forma que a 
linha de referência OP se mova para a posição OQ, o cabo é 
torcido. o cabo torcido exerce um Iorque restaurador sobre o 
disco, fazendo com que a linha de referência tenda a retornar 
para a sua posição de equilíbrio. Para pequenas torções, o 
Iorque restaurador é obtido proporcionalidade ao deslocamento 
angular (lei de Hooke), de forma que 
T=-K0 eq.1 -19 
onde ,e é a constante de torção do fio. O sinal negativo mostra 
que o Iorque é diretamente oposto ao deslocamento angular 8. 
A eq. 1-19 é a condição para que ocorra o movimento harmônico 
simples angular do sistema. Substituindo -r por -,c8 na equação 
-r = Ia (segunda lei de Newton para o movimento de rotação), 
fica 
la= -K0 
onde a aceleração angular a = d
28/ dt2 . Substituindo a por 
d28/dt2 e rearranjando, fica 
d'
9 = - ~0 eq. 1-20 
dt1 1 
Note a semelhança entre a eq. 1-20 para o movimento harmônico 
simples angular e a eq. 1-4 para o movimento harmônico simples 
linear. Assim, a solução da eq. 1-20 pode ser diretamente escrita 
por 
e= 80 cos(wt + cp) eq. 1-21 
onde w = j é a frequência angular do movimento. O período é, 
então, 
T = 2rrjf eq. 1-22 
Pêndulo físico 
Um corpo rígido, livre para girar em torno de um eixo horizontal 
que não passa pelo seu centro de massa, irá oscilar quando 
deslocado do equilíbrio. Tal sistema é chamado de pêndulo 
físico. Seja uma figura plana com um eixo de rotação distante d 
de seu centro de massa e deslocado do equilíbrio de um ângulo 
9 (Fig. 1-10). O torque em relação ao eixo tem uma magnitude 
Mgd sin9. 
,o. o centro de massa do corpo . 
0 
;,. o pêndulo é deslocado de e 
O ponto C e a rótula é 0 
a ~osição de equilibrio que ocorre um ângulo e em relação à 
aiaixo de P. O peso propicia o torq quando C fica diretamente 
para valores suficientemente ue restaurador. 
simplificar nossa expressão pa ~equenos de 9, podemos 
de ângulos pequenos (si::: or)que us~ndo a aproximação 
pequenos o Iorque restaurad 9 . Assim, para ângulos 
pode ser calculado por or para um deslocamento angular 9 
r = - M9d0 
Comparando isto com T - eq. 1-23 
para peque d - -,cB (eq. 1-19) podemos ver que 
pêndulo de ~~~ç- eslocamentos angulares, o pêndulo físico é u~ 
ao com uma constante de torção dada por 
/( = Mgd 
Logo · eq. 1-24 
, o movimento do pêndulo é descrito pela eq 1-21 com ,e= 
Mgd. O periodo é, portanto, · 
T = 2rr /1 
✓ -;;;;i eq. 1-25 
. . Pêndulo simples 
Um pend_ulo simples é um sistema idealizado que consiste em 
uma part1cula suspensa por um cabo leve inextensível. Quando 
~uxado para_ um dos !ados de sua posição de equilíbrio e 
liberado, o pendulo oscila no plano vertical sob a influência da 
força gravitacional. - - -.----
,o 
' f 
' 
.. rn 
.. :.. LO . 
mg" 
Fig. 1-11 . As forças atuantes sobre o pêndulo são a tração e a 
força gravitacional que é decomposta segundo suas 
componentes radial e tangencial. 
A Fig. 1-11 mostra um pêndulo de comprimento L e uma partícula 
de massa m . No instante mostrado, o cabo faz um ângulo 8 com 
a vertical. As forças atuantes sobre a massa m são o peso m§ e 
a tração 'f da corda. O movimento ocorrerá ao longo de um arco 
de círculo com raio L. 
O peso mg, é decomposto segundo sua componente radial, cuja 
intensidade é mg cos 8, e tangencial, cuja intensidade é 
mg sin 8 . As componentes radiais das forças atuantes 
propiciam a aceleração centrípeta necessária para manter a 
partícula movendo-se ao longo de uma trajetória circular. A 
componente tangencial é a força restauradora atuante sobre a 
massa m que tende a retorná-lá á sua posição de equilíbrio. 
Logo, a força restauradora pode ser expressa por 
Fr = -mg sin 0 eq. 1-26 
o sinal negativo indica que a força F x é oposta ao sentido dos 
incrementos de x e de 8. 
Note que a força restauradora não é proporcional ao 
deslocamento angular 8, mas sim a sin 8. O movimento 
resultante, portanto, não será harmônico simples. Todavia, se o 
ângulo 8 for pequeno, sin 8 será muito próximo de 8, expresso 
em radianos. 
O deslocamento x será, então, aproximadamente igual ao 
comprimento do arco L8 e, para pequenos ângulos, este sera um 
movimento aproximadamente retilíneo. Assim, admitindo que 
sin 8 "' 8 , obtém-se 
f ~ = -mgB = - (':9) x eq. 1-27 
Para pequenos deslocamentos, a força restauradora é 
proporcional a deslocamento e oposta a este. Esse é exatamente 
o critério para que ocorra o movimento harmônico simples. O 
período do pêndulo simples quando sua amplitude é pequena 
pode, vale 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
5 
T = Zrr ~ eq. 1-28 
Note que o período é independente da massa da partícula 
suspensa. 
Pêndulo em um referencial acelerado 
A Fig. 1-12 mostra um pêndulo simples suspenso de um teto de 
um_ v~gão que_tem uma aceleração ã0 em relação ao chão, para 
a direita, com a sendo a aceleração do peso em relação ao chão. 
o: 
/ rng· -.--- --. 
Fig. 1-12. Vagão se movendo com a aceleração a para a direita. 
Aplicando a segunda lei de Newton ao peso, temos 
t f = r + m.ef = 111 ri eq. 1-29 
Se o peso permanece em repouso em relação ao vagão, então 
â=ã0 . 
L Fx = T sin 00 = ma0 
I fy = r cos ºº -mg = º 
onde 8 0 é o ãngulo de equilíbrio. Logo, 80 é dado por 
ªº tan00 = -g 
Se o peso se move em relação ao vagão, então ã' = a - ã0 , 
onde ã' é a aceleração do peso em relação ao vagão. 
Substituindo a na eq. 1-29, temos 
L F = 'f + m§ = m(â' + â0) 
Subtraindo mã0 dos dois lados desta equação e rearranjando, 
'f +m§' = mâ' 
onde g' = g - ã0 . Assim, substituindo g por g' e ã por ã' na 
eq. 1-29, podemos resolver o movimento do peso em relação ao 
vagão. Se o fio se rompe fazendo com que T = O, então nossa 
equação fornece ã' = g', o que significa que g' é a aceleração 
de queda livre no referencial do vagão. Se o peso for levemente 
deslocado do equilíbrio, ele oscilará com um período T dado pela 
eq. 1-28 com g substituído por g'. 
Movhllt.:nlo 
acelerado rara cunJ 
ou 
rctt<l.1<lo p,r.1 b.l"' 
P o· 
-êl 
g' = g-:i 
M ovimento 
,1ce!(rJdo N rl ~11;..o 
ou 
rdrd~Jo p.l•l clmJ 
~ mo· 
Fig. 1-13. Vagão se movendo verticalmente. 
\ 
\ 
1 
- ff r l T 
"- 11 \' 
No caso em que não exista nenhum tip? d~ dissipação 
cq 1-33 
1 
1 f '\ 
j ' • .) e e 1 • l'', 
• cânica O corpo abandonado reahzana um movimen\o energô,a _me ·mple's O perlodo para esse movimento é de, harm nico sI • .. ' • • 
• • r: T-= l.11 ✓n eq. 1-34 'º .. , ,. ' V Lo 
i. ; 
r 1 Vagão se movendo horizontalmente e em um plano 1 inclinado. 
1... c,C ÇOCS dr gr '10C mplitude 
' Quando a amplitude das oscilações de um pêndulo se toma grande. seu movimento continua sendo periódico, mas não mais harmônico simples. Para uma amplitude angular 90 , pode-se mostrar que o período é dado por 
\ eq 1-30 
Note que o período T aumenta com o aumento da amplitude. Os termos que se sucedem nasérie infinita tornam-se cada vez menores. e o período pode ser calculado para qualquer grau de precisão desejado considerando-se um número suficiente de termos 
Túnel em gravitação 
Considere um planeta esférico e homogêneo de raio R e massa M Suponha que um pequeno corpo de massa m seja abandonado a partir do repouso em uma das bocas de um túnel que atravessa totalmente o planeta, como mostrado na Fig. 1-15. 
F ri 1-15. Esquema de um túnel em um planeta. 
Oscilações em hidrostática 
Flutuação 
. f Um bloco de flutua em um líquido de densidade Pt , con orme representa na Fig. 1-16. O bloco e o liquid~ encontram-s~. e~ equilíbrio (um corpo flutuante é sempre um sistema de equ1hbno estável). Quando um deslocamento é realizado, sur~~ ~ma força restauradora para voltar o sistema ao ponto de equ,hbno. 
Fig. 1-16. Bloco flutuando em um liquido. Considere que o bloco tem forma cilíndrica de densidade Pc, área de base A e altura h. Considere que o comprimento submerso seja x. Para que o bloco permaneça em equilíbrio, flutuando no liquido, seu peso deve ter módulo igual ao do empuxo recebido pela fração imersa de seu volume. Assim, mg = p1(A .x) .g eq. 1-35 Se pequeno deslocamento vertical, para baixo, y é realizado no cilindro. A força resultante vertical sobre o cilindro é dada por, 
Substituindo 
Vem, 
Fr = mg - p1A(x + y )g 
Fr = mg - PtAx - p1Ayg 
mg = p1(A.x).g 
Fr = - p1Agy 
Se uma massa m está a uma distância ,e do centro do túnel , a aceleração da partlcula a uma distância y do centro do planeta é dada por, 
Logo verifica-se a força resultante é proporcional ao deslocamento y. O movimento resultante, será harmônico simples. Portanto o período para esse MHS é expresso por, 
- " 
eq. 1-31 Substituindo nessa expressão a fórmula do campo gravitacional T = 21T J!:.
9 
(e_P',) no interior de um planeta esférico e homogêneo, obtemos: eq. 1-36 
My' onde , m,11 , = --;-;-, 
temos . 
Gmm;111 
~ ----=a 
m 
M~J 
~ 
Y =a 
m 
GM -R3y = a 
A aceleração da gravidade na superfície g, é dada por, 
GM 
R1 = g, 
Logo, 
0 I' 
í f\ 1 J? A componente da aceleração na direção do movimento vale, 
ay = a sin 0 
Assim, 
Portanto, 
9s 
a.y = -Rysln fJ 
9s X a = - -y-
Y R y 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIOA 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VtUA 
Vasos comunicantes 
O sistema de vasos comunicantes representado na Fig . 1-17 contém um liquido de densidade p em equilíbrio. No equilíbrio a altura do liquido nos dois ramos são iguais. 
6 
h 
1 
1 u 
Fig. 1-17. Vaso comunicante contendo um liquido em equilíbrio. Quando o sistema sofre uma leve perturbação, nota-se que no ramo esquerdo do tubo o liquido desce uma distância x, enquanto no ramo da direita, em relação ao nlvel original do liquido, o liquido sobe x+x'. 
1 
'\ 
V 
7 
/ . . ~ y 
Diagrama de co 1 
O e:1.cesi:o de liquido rpo ivre no liquido. 
no ramo da direita é dado por 
Da li/:::. x + x' ' 
. lemos que 
Logo. x. sina:::. x' . sin p 
Portanto 
, sin a 
X :::. x - -
sin {J 
sina 
ll l ==- x+ x--
sin fJ 
li/ = X ] +-.-( sin ª) 
Q s in {J 
empuxo excedente provocado pelo excesso de líquido é dado 
por. 
E :::. p(Alil)g 
E = pAgx l +-.-_ ( sin ª) 
sIn fJ 
A componente do empuxo na direção do tubo vale 
E' :::. - 1: sin {J 
/., ( sin ª) a = - pAgx 1 + -- sin {1 
sln fl 
E' = - pA,qx(sin {J + sln a) 
11111 = - pA,qx (sln {J + sln a ) 
() Va = - pAgx (sl n // + sln a) 
O volume total do liquido no tubo é, 
( 
1 1 ) li = liA - - +--
sin a sinfl 
Assim a aceleração é dada por. 
(
sl n a ➔ sI11 /J) 
<1 l1 - - -- = - gx(sln fJ + sina) 
sln (1 • Sl ll /J 
eq 1-37 
Logo venfica-se que a aceleração é proporcional ao 
deslocamento x. O movimento resultante, será harmônico 
simples. Ponanto o perlodo para esse MHS é expresso por. 
eq 1-38 
\ 
O&cllaçlo de duas partículas acopladas 
F, F: 
o ~ . -rn,~~ ...... - 01~ 
x1 X, 
Suuema de duas partlculas. 
Cons1ói;re duas panlculas com massas m I e 111 2 ligadas por uma 
mola db ma56a deaprezlvel e constante elástica k, como 
mos1rado na As panlculas se movem apenas em uma 
d1mensao e a ürnca 1orç.a que a1ua nessa direção é a força 
elàs11ca da mola Seia I o comprimento de equillbrio da mola e 
x 1 e x1 as posIçõe1> óe1s panlculati em relação a uma origem O, 
a de1ormação da mola é 
X - (Xi - X1) - / 
de torma Ql/8 as torças sobre elas tiào 
f 1 = kx = - 1'1 
Logo, 
l , 
t'Q 1 "\CJ 
Determinando a coordenada do centro de massa das duas 
partículas, 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
Temos que 
dl M dl dt 
{ 
dX = .!..(m, rlx1 + mz dx2) = V 
d1X 1 rl 2x1 d
2
X2 l 
- = -(111 1--+ m2--2 ) =-(kx - kx) = O dt1 f,,f dt 2 dt M 
Multiplicando a primeira eq 1-38 por m2 , a segunda cq 1 39 por 
d 2X1 
111 2m 1 --2 = 1112kx dt 
d 2X2 
1111111 2--2 = -1111kX 
dt 
e subtraindo membro a membro, vem 
(
d
2
x1 d
1
x2 ) m1111 2 --2 - - -2 = (m 1 + m2 )kx dt dt 
d2x 
m1 m2 - 2 = -(111 1 + 111 2)kx dt 
,-= -' x 
ondeµ é a massa reduzida do sistema, 
m 1m2 
µ =---
1111 + m 2 
eq 1 40 
A coordenada relativa x2 - x, se comporta como a coordenada 
de uma partícula única. de massa igual à massa reduzida, sujeita 
à força de interação entre as partlculas, ao passo que o CM 
permanece em repouso ou em movimento retillneo uniforme. 
7. Movimento harmônico simples e o movimento circular 
unifonne 
Nota-se que o ângulo de fase 8 no movimento harmônico simples 
varia linearmente no tempo. Considerando um circulo de raio r e 
um ponto P cujo vetor posição faz um êngulo 8 com o eixo x no 
instante t . 
O ponto P então descreve um movimento circular uniforme de 
velocidade angular w sobre o círculo, como mostrado na Fig. 1-
20. 
y 
J • p 
1 
w\ •<) 
o 
y 
• 
w\•tf> 
:!-. <~r 
> ' p --v,rn 
i' 
, 
' Oll •tf, .L. ~~ . x 
o 
7 
',J ~ d'._ õ 
7' 
Euler x + ty é um ponto de .,,--A fórmula de do número complexo armos a coordenadas 
A imagem z cartesianas (x, y). Se pass 
y 
coordenadas 
polares (r, 8) 
y 
o 
e 
r 
fX == T COS 0 
lY == rsin 0 
o 
Fig. 1-20. Circulo de referência. Fig. 1-22. Forma trigono~~tricad. número complexo é escrita 
Assim a forma trigonometnca e um Se P, é a projeção de P sobre o eixo x, temos 
( J/' = \\_r) = rrn,U = r cos(,oJC + e/)) eq. 1-41 como, ;o eq. 1-z = x + iy = r(cos 0 + i sin 0) = re que coincide com o deslocamento instantâneo da partícula no 
MHS. 45 , ero complexo é escrita Assim a forma trigonométrica de um num 
A velocidade v do movimento circular uniforme é tangencial e de módulo wr, sua projeção sobre Ox é 
como, . . iO eq. 1-45 z = x + ;y = r (cos 0 + t sI11 0) = re 
1\ = - ,,,,. cos (%- 0) = -rur s1 11 (,ut + cp) 
1-42 
eq. onde eq. 1-46 
que coincide com a velocidade instantânea da partícula no MHS. 
A aceleração a do ponto P é radial e de módulo w2r sua projeção sobre Ox é ' a,= -w2 1· cos(B) = -ú>2r cos((ut + </J) eq. 1-43 
que é a aceleração do MHS. 
Assim pode-se considerar o MHS como projeção de um 
movimento circular uniforme. A projeção do P sobre o eixo y é 
OP2 = y(t) = r sin 8 = r sin(wt + cp) eq. 1-44 
que também é um MHS. Como 
sin(wt + <J>) = cos ( wt + <t>-i) 
Este movimento tem uma_defasagem dei em relação a eq. 1-
41 . 
A representação do MHS pelo movimento circular uniforme a ele 
associado é denominado de representação em termos do vetor 
girante OP. As equações eq. 1-(42 ,43) diferem de x por uma fase 
de n/2 e n, respectivamente. Além disso, a velocidade e a 
aceleração da partícula podem ser representadas também por 
meio dos vetores de rotação OV' e OA', com intensidade wA e 
w2A, respectivamente, em que eq. 1-39 está um ângulo de n/2 
e OA' um ângulo n à frente do vetor de rotação OP', como se 
mostra na Fig. 1-21 . 
As componentes de OV' e OA' ao longo do eixo x dão a 
velocidade v e a aceleração a da partícula que se move em 
MHS. Os vetores de rotação são designados de fasores. 
• 
A' 
cos 0 + i sin 0 = e'º 
conhecida como fórmula de Eu/ler . 
Um número complexo da forma z = e'ºdenom!na-se fat?r de 
fase e sua imagem é um ponto do circulo ~nitáno, 
corr~spondente a um vetor que faz um ângulo 6com o eixo real. 
Fig. 1-23. Círculo unitário. 
Equação diferencial linear homogénea de ordem 2 
Agora iremos discutir um método de resolução apropriado a 
equações homogêneas lineares com coeficientes constante, cuja 
forma geral é 
d"y d"- 1 y dy 
a n dx" + ªn-1 d xn- 1 + ... + ª 1 dx + ª oY = O eq. 
1-47 
onde ao, a1 , ... ,an são constantes reais. Um exemplo de tal tipo 
de equação diferencial é 
dzy 
dxz - y = O 
onde n = 2, a2 = 1, a1 = O, e a0 = -1. Reescrevendo a 
equação 
d' y 
~=y ~ - 1~ 
onde se percebe que a função y deve ser tal que, ao ser derivada 
duas vezes, acaba por ser igual à função y original. 
Considerando as funções mais comuns como as polinomiais, 
logarítmicas, trigonométricas etc. , vemos que existe uma classe 
de funções que têm essa característica. Trata-se das funções 
exponenciais do tipo y = emx, uma vez que 
dy - = memx O( emx 
dx 
dzy _ = m2emx O( emx 
dx2 
Assim, vamos tentar uma solução para a eq. 1-48 baseada numa 
função exponencial, supondo que 
y(x) = e"'-' eq. 1-49 
Usando eq. 1-49 em eq. 1-48, ficamos com 
m2emx = emx 
ou, como emx * O, temos Fig. 1-21 . Vetores de rotação do deslocamento, velocidade e 
aceleração no MHS. 
m2 = l eq. 1-50 
A eq. 1-50, chamada de equação caracterí~tica , fi~a os va~ res 
possíveis de m para os quais a equação d1ferenc1al eq 1 8 é 
satisfeita por um a solução do tipo eq. 1-49. Nesse caso, 
m = ±1 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 8 
' rresponde a soluções. 
co ,· y (x) = e-" ,... _ _,.~ ) "" e e 2 
, t..r iuçãO geral de uma equação diferencial homogênea de 
:rd:ºm 2 é a combinação linear de y 1 (x) e y2 (x). 
1
,p 1 =-= c1c' + c-, (' -r CQ 1-51 
onde c1 e c1 são constantes, que podem ser determinadas com 
0 auxilio das condições de contorno. 
Aplícação ao oscilador harmónico 
o oscilador harmônico simples é representando por uma 
equação linear homogênea de ordem 2, 
~ + ,., ., ~ o eq. 1-52 ,,, 
Nota-se que se trata de uma equação diferencial linear com 
coeficientes constantes. Considerando que 
1 li) = e· ' ' 1 eq. 1-53 
Temos então a equação característica, 
m2 + w2 = O 
Cujas raízes são complexas, 
m1,2 = ±iw 
o que corresponde a soluções, _ 
X1 (t) = e•wt 
Xz(t) = e-iwt 
que podem ser expressas em termos de seno e cossenos, 
x1 (t) = cos(wt) + i sin(wt) 
x2(t) = cos(wt) - i sin(wt) 
o que faz com que a solução geral possa ser escrita como, 
x(c) = r1 lcos(riJt) + i sin(!ut)] + c2[cos(rut) - l sin (rt.1 t)] 
eq. 1-54 
ou 
x(t) = (c1 + c2) cos(wt) + i(c1 - c2) sin(wt) 
ou ainda, 
x(t) = a 1 cos(wt) + a2 sin(wt) 
Lembrando que 
cos(a - b) = cosa cos b + sina sin b 
Podemos definir as constantes complexas a1 e a2 sob a forma 
trigonométrica 
a 1 = A cos </> 
a2 = A sin <f> 
Portanto, 
x(t ) = A cos(ú1t - cp) eq. 1-55 
que é a equação de movimento do oscilador harmônico simples. 
A vantagem do emprego da notação complexa está no fato de 
que é bem mais fácil manipular a exponencial do que senos e 
cossenos. 
8. Superposíção de movimentos harmônicos simples 
Quando uma partícula está submetida a mais de uma força 
harmônica, cada uma tentando fazer mover a partícula na sua 
direção com movimento harmônico simples, dizemos que existe 
uma mterferência de MHS. Tais efeitos são observados com 
maior facilidade na superfície de um lago quando se lançam à 
água duas pedras. Ou quando, dois, diapasões vibrantes 
produzem tons musicais puros, que atingem simultaneamente o 
tímpano de nosso ouvido, colocando-o em vibração. 
Mesma direção e frequência 
Consideramos em primeiro lugar a sobreposição de dois 
movimentos harmônicos simples que produzem um 
deslocamento da partícula ao longo de uma mesma linha. 
Iniciamos pelo caso em que ambos têm a mesma direção x e a 
mesma frequência w Fig. 1-24. 
.( ( t ) 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
y p 
o 
X 
Fig. 1-24. Composição de dois MHS com mesma frequência. 
Se imaginarmos x1 e Xz como projeções de vetores girantes OP, 
e OP2, x será a projeção da resultante OP desses dois vetores. 
O módulo A = IOPI da resultante e o ãngulo q,1 + fJ que faz com 
Ox se obtêm aplicando as leis dos cossenos e dos senos ao 
triãngulo OP1P. 
A2 =A~+ A~+ 2A1A2 cos(</>z - </>1) 
A2 A f · A2 . --:---/1 = . ("' "' ) sm f1 = -A sm(<f>z - </>1) sm sm 'l'Z -.,,1 
O movimento resultante é 
x(t) = A COS((ut + </>1 + /1) eq. 1-57 
Consideremos dois casos especiais. Se q,2 - q,1 = O dizemos 
que os dois movimentos estão em fase Fig. 1-25. Então a 
amplitude é 
A=A2 +A1 eq. 1-58 
X 
9 
lí'\ 
/. -···. 1 
t 
Fig. 1-25. Composição de dois MHS em fase. 
Se 4'z - '1>1 = n dizemos que os dois movimentos estão em 
oposição de fase Fig. 1-26. Então a amplitude é 
A = Az - A, eq. 1-59 
X 
··-.. A, ·., t 
-.\ . 
·-.V/ 
., .. •· 
··-.2 / 
Fig. 1-26. Composição de dois ·M HS em oposição de fase. 
Mesma direção e frequências diferentes 
~ caso da superposição de dois movimentos harmônicos 
simples com a _mesma direção, mas com frequências difere t 
pode ser descrito pelas equações n es, 
x1 (t ) = A1 cos(w1 t + q,1) 
Xz (t) = A2 cos(w2t + <l>z) 
~nde_ podemos assumir que q, = q, _ 
s1mphficação. O ângulo de rotação\ t z - O, para efeito de 
não é mais constante. Por isso o ve~ re os fasores OP, e OP2 
comprimento constante e nã~ . or resultante OP não têm 
constante rig 1-27. gira com velocidade angular 
---- ..... • o,ianoo• ;•e• 
A•Aa • 
o r t na na? • ..,.,, 
►-­-•• 1 
~· 
~ .,~ .. 
COI'~---··· .,.,, ..... 
-·· 
-·-· .... ............. ------•LIII-_____ , ............. 
y 
p._ 
1 
o 
A 
.P 
. )f 
X 
Mesma frequência e direções perpendiculares 
um oscilador harmônico bidimensional seria uma partícula 
movimento é restrito a um plano, sujeita a uma f?r 
restauradora proporcional ao deslocame~to a partir d~ P:1~ã~ 
de equilíbrio estável. Tomando essa posição como orrg~ 
plano do movimento como plano (xy), ª equação do movimento 
será 
o que resulta 
onde 
mf = F = -kr 
r +<,ir= o 
w= fo 
T = XÍ + YÍ 
F 3. 1-27. Composição de dois MHS com mesma frequências 
diferentes. 
Ou seja, 
[
i + w2x = O 
ji + w2y = O 
Como consequência o movimento resultante não é harmônico 
simples. A amplitude do movimento é o que resulta em
 
[
x(t) = A cos(wt + </J1) 
;e .1 · + li+ 2,11,11 c•i~I 1<11 - ,0 1 )11 eq. 1-
t..O 
A amplitude "oscila" entre os valores 
A = Ai + A2 quando (w2 - w1)t = 2mr e A = IA1 -A2 1 quando 
(w2 - w1)t = 2mr + rr 
A 
t 
Fig. 1-28. Flutuação de amplitudes ou batimentos. 
Neste caso a amplitude está modulada. A frequência da 
oscilação da amplitude é expressa por 
/ ..'.'.....:_!_ ! , - J I eq. 1-61 
Um caso especial importante é aquele em que w2 e w 1 são muito 
próximas. A situação descrita surge em fontes sonoras por 
exemplo. Um ouvido atento nota uma flutuação na intensidade 
do som, chamada de /Jal//1101110 ou pulsação, devido a variação 
da amplitude F,g 1 29. 
_, 
F1g. 1-29. Batimentos quando as duas amplitudes são iguais. 
Ocorre um caso interessante quando A2 = Ai, isto é, quando as 
duas amplitudes sao iguais. Entao, a partir da eq 1-60 
A = AiJ2(1 + cos l(w2 - w1 )t]) 
Usando I + cos B = 2 cos 2 ~ 
2 
.4 = 2 l 1 (I)~ , ~ , l.lCJ 1 02 
que oscila entre O e 2A 1 . O movimento resultante quando A2 = 
A1é dado por, 
X1 + Xz = A1 cos(wi t) + A i cos(w2 t) 
X1 + X z = A1 [cos(wi t) + cos(w2 t) ) 
2A [(Wz- Wi) t] [(wz+Wi)t] 
X = 1 COS 2 COS 2 
l 
1 
, ... t tJ , " ] 
1 = , <"OS --,- eq 1-63 
O movimento pode ser interpretado como um movimento 
harmônico simples de frequência w = (w,+w, >. 2 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
10 
y(t) = B cos(wt + </Jz) 
Para simplificar, podemos escolher a origem dos tempos de tal 
forma que q,1 = O, 
[ 
x(t ) = A cos(wt ) eq. 1-64 
y(t) = 8 cos(wt + </J ) 
onde q, representa a defasagem entre as componentes x e y . 
Podemos obter a equação da curva eliminando t entre das 
equações, 
Logo, 
2:'.. = cos(wt) cos(</J) - sin(wt) sin(</>) 
B 
X - = cos(wt) 
A 
y X G 
8 = Acos(</>) ± ✓ l -Ã2sin(</>) 
y2 x2 yx x2 
8 2 + A2 cos
2 (</>) - 2 BA cos(<f>) = sin2 (</>) - A2 sin 2 (</J)y l x z yx 2 
B' + ;;, - 28 Acos(</J)=sin (</J) 
eq. 1-65 
Curva do 2º grau que, pode estar inscrita num retângulo, 
representa geralmente uma elipse. 
Casos particulares 
</>=o 
l 8 - eq. 1-66 
A 
</> = 1T 
l 8 = -- eq. 1-67 
X A 
Nesses casos , a elipse degenera num segmento de reta. 
P " 3" ara q, = - ou q, = -
2 2 
y- ,. 
B' +;;, = l eq. 1-68 
Nestes casos, os eixos principais da elipse coincidem com os 
eixos coordenados. A diferença entre os dois casos é o sentido 
de percurso da elipse, que é horário para q, = .!!: e anti-horário 2 
para </> = 32". Para outros valores da defasagem </) a elipse é
 
inclinada em relação aos eixos coordenados. 
Como exemplo temos uma onda eletromagnética plana de 
frequência w que se propaga no eixo z, o vetor campo elétrico 
de E tem componentes x e y que oscilam harmonicamente. Logo, 
num dado plano z = constante, a extremidade de E descreve 
uma elipse: diz-se que a onda é elípticamente polarizada . y 
B ···· · · ·· · · · -r- -
p .. --· -· -· - . - - - B 
-
1 -30. Composição de d . M 
reções perpendiculares A ~1s. H~ com mesma frequência e 
rase. . raietóna depende da diferença de 
9. Oscilações n-
Oscilações am ª0 h~rmônlcas 
Até ortec,das 
_agora consideramos 
?Sc1lador. Assim os qu_e nenhuma força de atrito atuava no 
indefinidamente com um s1stem~s apresentados oscilavam 
se~ perdas na amplitud! energia ~ecãnica constante (isto é, 
osciladores reais se b das oscilações). Uma vez que nos 
que essa hipótese n~os!~ª uma perda nas amplitudes, sabe-se 
possa representa ngorosamente verdadeira, embora ela 
osciladores. 0 ~ri uma boa _aproximaç
ão para alguns 
amplitude para p odo é pr~t1camente independente da 
decréscimo na a~e~uenas amplitudes _de oscilações, logo, o 
no período do osci~~~~~~ causa uma variação pouco significativa 
Esta perda na am rt d 
mov· t P I u e é chamada de amortecimento e o 
amo'::'ª : 
0 r;sultante é chamado de movimento ilannônico 
d t ec, º· amortecimento ocorre devido a muitas causas 
. en re elas destacam-se o atrito, a resistência do ar e as força~ 
internas. 
Ao !nc~uir-se uma pequena força de atrito, a frequência sofre uma 
vanaçao desprezível, porém a amplitude diminui gradualmente 
até tornar-se nula. 
d ' x ctr 
m ;;- = -kx - h-:,; eq. 1-69 
d 
d.r 
on e b di· representa a resistência dissipativa, que atua no 
sentido oposto à velocidade(b > O). Dividindo ambos os 
membros por m , obtemos, 
d : t dt 
;;;, + <oox + Y-:,; = O eq. 1-70 
onde w5 = ~ é a frequência natural do oscilador sem m 
amortecimento e y = !!._ A solução geral da eq. 1-70 pode ser m 
obtida por aplicação das técnicas especiais para resolver 
equações diferenciais. Um efeito do amortecimento é a 
diminuição da frequência das oscilações que é dada por 
w = /c,>r1 - y2 eq. 1-71 
Outro efeito atribuído ao termo de amortecimento é que a 
amplitude das oscilações não é constante, e diminui 
exponencialmente com o tempo. Em muitos casos, esse 
decréscimo na amplitude pode ser computado multiplicando-se 
a equação referente ao oscilador não-amortecido por uma 
função exponencial. 
.\(t) = Ae-Y' COS(úJt + </J) eq. 1-72 
arnplitu<IL 
2.0 
0.5 
4 5 
tempo 
- 0.5 
- 1.0 
Fig. 1-31 . Deslocamento em função do tempo para as oscilações 
amortecidas. 
Embora o movimento seja oscilatório, não é estritamente 
periódico devido a redução da amplitude. Como a amplitude do 
oscilador amortecido diminui com o tempo, a energia da partícula 
também diminui. 
l:fl) = ~l<A' ,• - :-f , eq. 1-73 
A energia perdida pela partlcula é absorvida pelo meio 
envolvente ou irradiada de alguma maneira. 
Oscilações forçadas 
Para manter um sistema amortecido oscilando indefinidamente, 
energia mecânica deve ser injetada no sistema. Uma situação 
interessante ocorre quando uma força externa senoidal é 
aplicada ao oscilador. Por exemplo, os tímpanos vibram quando 
expostos à força periódica gerada pelas ondas sonoras, e uma 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 11 
molécula vibra ao absorver uma onda eletromagnética de certa 
frequência. As oscilações resultantes são chamadas de 
oscilações forçadas e ocorrem em situações imp_ort_antes _nã~ só 
na área da mecãnica, como também em acusbca, circuitos 
elétricos e flsica atômica. 
Se o mecanismo de excitação injeta energia no sistema a u~a 
taxa maior do que a taxa com que ela é dissipada, a energia 
mecânica do sistema aumenta com o tempo e a amplitude 
aumenta. Se o mecanismo de excitação injeta energia à mesma 
taxa com que ela é dissipada, a amplitude permanece constante 
no tempo. Neste caso, o movimento do oscilador é estacionário. 
Essas oscilações forçadas ocorrem com a frequência da força 
externa e não com a frequência natural de vibração do sistema. 
Entretanto, a amplitude das oscilações depende da relação entre 
a frequência da força aplicada e a frequência natural. Uma 
sucessão de pequenos impulsos aplicados a uma determinada 
frequência pode produzir uma oscilação de grande amplitude. 
Por exemplo, quando você empurra uma criança em um balanço, 
aplicando uma força precisamente a um mesmo tempo de cada 
ciclo, você causa um movimento oscilatório cujo arco aumenta 
gradativamente . 
Considere um oscilador que é forçado a vibrar com uma 
frequência angular w. Quando o sistema entra em um r~gime 
estacionário, ela passa a oscilar com a mesma frequência de 
excitação e com uma amplitude constante e, portanto, com 
energia constante. Em regime estacionário, a energia injetada no 
sistema pela força de excitação, a cada ciclo, é igual à energia 
dissipada pelo amortecimento em cada ciclo. 
A amplitude, e, portanto, a energia, de um sistema em regime 
estacionário não depende apenas da amplitude da força de 
excitação, mas também depende de sua frequência. A 
frequência natural de um oscilador, w0 , é a sua frequência 
quando não há nem forças de excitação e nem forças de 
amortecimento presentes. 
Se a frequência de excitação é suficientemente próxima da 
frequência natural do sistema, o sistema oscilará com uma 
amplitude relativamente grande. Este fenômeno é chamado de 
ressonância. Quando a frequência de excitação é igual à 
frequência natural do oscilador, a energia por ciclo transferida ao 
oscilador é máxima. A frequência natural do sistema é, então, 
chamada de frequência de ressonância . 
Podemos tratar matematicamente um oscilador forçado supondo 
que, além da força restauradora e da força de amortecimento, o 
oscilador esteja sujeito a uma força externa de excitação que 
varia harmonicamente com o tempo, 
Fext = Fo cos(wt) eq. 1-74 
onde F O e w são a amplitude e a frequência angular da força de 
excitação. Esta frequência não esta, geralmente, relacionada 
com a frequência angular natural do sistema, w 0 . A segunda lei 
de Newton, aplicada a um corpo de massa m preso a uma mola 
com constante de força k e sujeito a uma força de amortecimento 
-bvx e a uma força externa F0 cos wt, fornece 
d2 x d:r 
m <1;' + kx + b ct.t = F0 cos(wt) eq. 1-75 
Quando variamos a frequência angular w da força propulsara, a 
amplitude da oscilação forcada resultante também varia. Quando 
existe um amortecimento muito pequeno (b pequeno), a 
amplitude tende a crescer fortemente até atingir um pico agudo, 
quando a frequência angular w da força propulsara aproxima-se 
da frequência angular natural w0 . Quando o amortecimento é 
aumentado (b maior), o pico se torna mais largo, a amplitude se 
torna menor e se desloca para frequências menores. 
Usando mais equações diferenciais, podemos discutir 
qualitativamente, a solução geral da eq. 1-75. Ela consiste em 
duas partes, a solução transiente e a solução estac,onária. A 
parte transíente da solução é idêntica à de um oscilador 
amortecido. As constantes desta parte da solução dependem 
das condições iniciais. Ao longo do tempo, esta parte da solução 
se torna desprezível, por causa do decaimento exponencial da 
amplitude. Ficamos com a solução estacionaria, que pode serescrita como 
x(r ) = J\ cos(wr - ó) eq. 1-76 
, de excitação. onde a frequência angular w é a mesma da ,orça 
A amplitude A é dada por 
eq 1 77 
ti ,u 
Quando w 2 - w 2 = o o primeiro termo sob o sinal da raiz o • ~mo~ra quadrada é zero, de modo que o valor de A se tornam 
"' = i -A altura da curva nesse ponto e proporcional a 1_1 b; 
quanto menor for o amortecimento, mais elevado se torna O pico. 
No caso extremo de baixas frequências, quando "' = O, obtemos 
A = ~ Isso corresponde a uma força constante Fo e a um t · 
deslocamento constante A = ~ a partir do equilíbrio, como era k 
de se esperar. 
A constante de fase IS é dada por 
r- •• , 
\,1 1 -~ = -.,- .-,,.- ~- ,-) 
X 
6 
4 
2 
- 2 
- 4 
-6 
eq. 1-78 
Fig. 1-32. Deslocamento em função do tempo para as oscilações 
forçadas . 
1 O. Oscilações acopladas 
Os sistemas naturais não são isolados, mas interagem entre si. 
Em particular, se dois ou mais sistemas capazes de oscilar 
tiverem algum tipo de interação, ou acoplamento, entre si, ·uma 
grande variedade de fenômenos interessantes pode ocorrer. 
Vamos começar considerando o caso mais simples em que pode 
acontecer acoplamento entre osciladores, a saber, o de apenas 
dois osciladores acoplados. 
d 
Fig. 1-33. Pêndulos acoplados. 
B Wõ = l 
os deslocamentos dos dois corpos vamos chamar de Xi e Xz respectivas posições de equílibrio massa m em relação às sua; ue esses deslocamentos são 
(veja a Fig. 1-34). Supon o ia que possamos fazer as 
suficientemente pequenos p 
aproximações eq. 1-79 
lx, "' LO, x1 "' W i _ los de desvio. onde 91 e 92 sao o~ ãngu a osição do corpo 1 é Xi e a Em um instante arb1tráno, em que . p nto da mola é d + (xz -. 2 é x o comprime posição do corpo 2 ' ã d mola é dada por (xz - Xi) -
X1) - Portanto, a deformaç O ª 0 como na Fig. 1-34, a mola Em um caso em que (xz - xf ~a k(x _ x
1
) (para a direita) 
está esticada e produz u~a O de m:smo módulo e sentido 
sobre ? corpo 1 e uma ar~~ªesquerda), sobre o corpo 2 . contrário, -k(xz - . Xi) (p 
I obre O corpo 1 e 2 podem ser Note que a força feita pela mo a s 
escritas como 
( r, = k(Xz - x ,) 
lF. == -k(X2 - x ,) 
eq . 1-80 
Além dessas forças os dois corpos estão sujeitos às tensões 
exercidas pelos fio; e à força gravitacional. As compone~tes 
radiais das forças gravitacionais se cancelam com as_ te~soe~, mas as componentes tangenciais das forças grav1tac1ona1s 
constituem forças restauradoras sobre os corp~s _(que semp~e 
tendem a levá-los de volta à posição de equ1hbrio) . Elas sao 
dadas por m gx, 
2 
l
F
9
, = -mg sin 01 :::: -mg0, = --L- = -mwox , eq . 
-mgx ::. 2 r
92 
= -mg sin 02 :::: -mg02 = -L- = -mú>oXz 
1-81 
Escrevendo as equações de movimento (sem amortecimento) 
pl:::,~;~ ~0~1::;~s~ k(x2 - Xi) dt eq. 1-82 
d
2
x 2 ) m d; ,' = -mw0x2 - k(x2 - x, 
Dividindo por m e definindo 
Obtemos 
k 
k ' =-
m 
dt eq . 1-83 l d ' x,, + w~x1 = k'(x 2 - x1 ) dlx., 2 '( ) dt; + WoXz = -k Xz - Xi 
Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 
2ªordem acopladas . A primeira equação, que descreve a 
aceleração de 1 , depende de x2 ; e a segunda equação, que 
descreve a aceleração de 2, depende de xi . Matematicamente, 
isto quer dizer que as duas equações não podem ser resolvidas 
independentemente. Fisicamente, isto quer dizer que o 
movimento de 1 afeta o movimento de 2 e vice-versa. 
Consideremos o caso de dois pêndulos idênticos, 1 e 2, unidos 
por uma mola cujo comprimento d no repouso é exatamente 
igual à distância de equilíbrio entre os corpos de massa m nos 
dois pêndulos. A figura Fig. 1-34 ilustra a situação. 
Como as equações são de 2ª ordem, a solução geral de cada 
uma depende de 2 x 2 = 4 constantes arbitrárias, determinadas 
pelas condições iniciais. Essas 4 constantes serão ajustadas 
conhecendo-se as posições e velocidades iniciais dos dois 
corpos. 
Uma estratégia muito usada para resolver sistemas de equações 
diferenciais acopladas é tentar encontrar um novo sistema de 
coordenadas (vamos chamá-las de q1 , q2 , q3 , etc) tal que, nesse 
sistema de coordenadas, as equações diferenciais sejam 
desacopladas. 
Fig. 1-34. Parâmetros do sistema. 
Se os pêndulos, estivessem livres , teriam a mesma frequência 
angular de oscilação, dada por 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
No caso do sistema dado pela equação eq. 1-83 isto pode ser 
feito . A maneira é a seguinte: Somando-se as equações temos, 
( ~ 1 ~ ) 1- 1u1
1(x I t- x,) = O eq. 1-84 111 · 1lt 1 ' 
Subtraindo-se as equações temos, 
(
,, , , ,, ' ' ) ' ( ) 21<'( , ) -;,;-:- - -,,-, -1- ld1j X1 - X 7 = ,l z - X1 eq . 1-
85 
12 
t J 1 • ,l :! ) 
; ( •·1 - X, ) 
btemos 
cq 1-86 
- l) eq. 1-87 
onde w' == J w~ + 2k' 
As eq. l-87 são duas e 
harmônicas simples N q~aç?es desacopladas de oscilações 
na segunda a freq ê. ~ primeira, a frequência angular é w 0 e, 
A 1 
• u ncia angular é , .•• 
s so uções · .., · 
q ( 1 l _ 1 
gerais dessas duas equações são l i - ,. i ros(.,iot + <P1) • 
</~lt) = ,l _, ros(,v't + </!,) eq. 1-88 
e _as soluções gerais d~s duas equações originais para x
1 
e x
2 sao, 
{
Xt (t) = ql (t) + qz (t ) 
·°' _ x2 (t)=q1 (t)-q2 ( t ) 
l. l (t) = i\l ~OS(IJJot + <l>1) + i\2 cos(w't + <t>2) x: (l ) - A, rns(1<>ot + qi 1) - A, cos(w't + ,i-._) eq. 
1-89 - '1' 2 
As _soluções gerais para os dois pêndulos acoplados, eq. 1-89, 
indicam que os pêndulos não executam mais movimentos 
harmônicos simples. Os seus movimentos são mais 
complicados, dados por superposições de oscilações com 
frequências diferentes. As coordenadas q1 e q2 , no entanto, 
oscilam como movimentos harmônicos simples independentes. 
Coordenadas que satisfazem esta propriedade são chamadas de 
coordenadas normais do sistema. Cada coordenada normal 
oscila em MHS com uma frequência própria distinta, chamada de 
frequência normal. A coordenada normal q1 oscila com a 
frequência normal w0 e a coordenada normal q2 oscila com a 
frequência normal w '. 
Fig. 1-35. Modos normais. 
Notem que há dois casos particulares das soluções gerais da eq. 
1-89 em que as coordenadas x1 e x 2 oscilam ambas com a 
mesma frequência, igual a uma das frequências normais. 
a) Se A2 = O as coordenadas x1 e x 2 oscilam com a mesma 
frequência, igual a wo. 
b) Se A1 = O as coordenadas x 1 e x2 oscilam com a mesma 
frequência, igual a w'. 
Um regime de oscilações de um sistema formado por N 
partículas em que todas as N partículas oscilem com a mesma 
frequência e estejam sempre em fase ou em oposição de fase 
é chamado de modo normal de oscilação do sistema. Um 
sistema com N graus de liberdade possui, no máximo, N 
modos normais de vibração. 
No caso do exemplo dos dois pêndulos acoplados, o número de 
graus de liberdade é dois (correspondentes às coordenadas 
dos dois corpos, x 1 e x 2 ) . Portanto, ele possui apenas dois 
modos normais de vibração. 
Em resumo, o sistema de dois pêndulos idênticos acoplados do 
exemplo possui dois modos normais de vibração: 
a) Os dois corpos oscilam com a mesma frequência w 0 ; 
Xi (t) = Xz (t) 
Os deslocamentos dos dois pêndulos são iguais, de forma que 
ele é chamado de modo simétrico. A deformação da mola é nula. 
É como se a mola não existisse e os dois pêndulos oscilassem 
livremente. 
É por isso que a frequência de oscilação dos dois é w0 = t• 
pois esta é a frequência de oscilação do pêndulo livre. 
b) Os dois corpos oscilam com a mesma frequência w' . 
X1 (t) = -Xz (t ) . 
Os deslocamentos dos dois pêndulos são iguais e contrários, de 
forma que ele é chamado de modo anliss1métnco. 
Este caso pode ser produzido, por exemplo, puxando os cor:iios 
1 e 2 para os lados por quantidades iguais, mas em sentidos 
opostos e soltando-os em seguida. No instante inicial a mola 
estará esticada e puxará os dois corpos para o centro; algu~ 
tempo depois, a mola estará comprimida e empurrará os dois 
corpos para os lados. Cada pêndulo executa um MHS, mas eles 
estão sempre defasados por 180º. Neste caso, os movimentos 
dos dois corpos são sempre forçados pelamola. 
Exerclcios propostos - Objetivas 
'!/"- Na figura, uma massa de 800 g é presa a uma mola de 
·constante k = 2 Nlcm e a um cabo cuja tensão é de 12 N. 
Determine a equação de movimento da partícula que executa um 
MHS ao se cortar a corda. 
Adote: g = 10 m/s2 
A) y = O,l sin{v'Ist) 
B) y = 0,1 sin ( 5-v'lÕt + i) 
C) y = ~6 sin ( sv'Iõt + 3; ) 
~Y = 0,06 sin ( sv'Iõt - i) 
. 3,r 
2 
ig 
f/Í - Uma caixa de massa M = 8 kg está sobre uma mesa 
horizontal. Uma carga de massa m = 2 kg é suspensa na caixa 
por meio de uma mola de constante de elástica k = 400 Nlm. 
Com que amplitude (em m) das oscilações da carga a caixa 
começará a pular sobre a mesa? 
Adote: g = 1 O m/s2 
M 
A) 0,50 B) 0,45 C) 0,30 D) 0,35 ~0,25 
rif'- Um bloco de massa "m" unido por uma mola de constante 
~ástica "k" a uma caixa de massa "M" oscila harmonicamente 
sem atrito. Com que amplitude (em cm) das oscilações do bloco 
a caixa começará a se mover sobre a mesa? 
Adote: m = 1 kg; M = 11 kg; µ= 0,8; k = 600 N/cm; g = 10 m/s2 
A) 18 
){) 16 
C)20 
D) 24 
E) 32 
M 
k 
m 
b ola de massa m = 9 kg, presa a uma mola c
_uja 
'Y" - Uma !ástica é k = 16 rr• N I m, executa osc1la~oes 
~~~~~~i~as da amplitude A = 40 cm. Na distância Al2 da P~!'~~~ 
d equilíbrio como mostrado, uma placa de aço d_e g 
t 
e é co' locada na qual a bola colide elasllcamen
 e. 
massa · 
Determine O periodo das oscilações neste caso. 
A) 2 s 
~ 1 s 
1 'ci':3 s 
1 D) 0,5 s 
E) 1,2 s 
A 
2 
o 
JI'- O bloco de massa M = 150 kg está inicialmente em repouso 
e acoplado a uma mola constante 'i.=_ 20 rr• N I m. Se um bloco 
de massa m = 30 kg é lançado com uma velocidade vo = -12 i
 
{!]/§, como mosfrãdo, e considerando que o choque
 é 
· erfeitamente inelástico, determine a energia cinética (em
 J) do 
oscilador após 5,5 s ap s o choque. Suponha que não haja 
atrito. 
1 : +'!.S2. 
,.~ i ~ R 
~ ,q, ;:;b,;o 
A)400 
~270 
C) 810 
D )100 
E) 120 
:X :: 4- r º ~ ( wt +- 1) 
v-- w/J,~~ (wt+--{,) 
__,_ O bloco da figura oscila com MHS de amplitude _A = 6 cm. 
No instante em que passa por sua posição de equilíbrio
, uma 
massa de barro de 100 g é lançada verticalmente sobre o b
loco, 
aderindo a ele. Determine os novos valores da amplitud
e (em 
cm) e o perlodo (em s). ~o~ 
Adot,: m = 100 g; k = 20 Nlm. ,
1 
~~~- ~ &r, ·li'\ 
FORCA NO ENSINO. SUCESSO NA VIDA 
r v"'-", •- .... •- ··. - . - - - - . 
/l 
Í-:-1,r;( o,i 7 
10 
/1/'. _ Suponha que as molas mostradas sejam idên 
estejam inicialmente em um estado não deformado. Deten
n, 
força que atua no corpo em caso de pequenos deslocam
en1<:i 
horizontais "x". "k" 
Adote: constante elástica da r:r:1?1ª · 
i ~ -~~~-\,_~? ~ ----- Ix 
• .( 
Á 
A)-k(l - x) r,,. -=-,J,rtl'- rc1 Sl)I.. ..,,. ~ 
8) k(x - l) - · / L 
c)-kx' r("" i · k(iri +-.,.., -l) r ~~ , ) 
k_;, .• ~- {L1 +x:,) 
D),:- /,l/ , 1 ~ 
- 2kx' ,C _ -!5.,i_ ,-L-, li". 1._~ 
,; ·I·b · Q e dependência °"-Afigura mostra o estado de equi I no. u 
~iste entre a força total que atua no corpo e seus pe
quenos 
deslocamentos "x"? Desprezar a ação da gravidade. 
A) 3kxsina 
D) -3kx cos a 
-~ -Zkx cos2 a 
E) -kxtana 
C) kxsin a 
,tf,'- Uma carga de massa "m" pode deslizar através de um fio 
dobrado de raio "R". Que dependência existe entre a for
ça que 
atua na carga e os deslocamentos "x" para o caso x <<y? lg 
'J6 mgx 
's} 2mg~ 
R 
C)~ 
2R 
D)-~ 
2R 
E)~ 
3R1 
' X 
1- - - - - - - - - - - - - ~ 
' 
1,Jf- Determine a frequência angular (em rad / s) do sistema 
mostrado, se for sabido que não há atrito na polia cuja m
assa é 
desprezível, e k = 80 Nlm e m = 5 kg. 
I.(;\~ "I} o --; 1 
J) ·Ç 
u, -= 1, 
A)6 B) 5 
14 
k 
m 
C)4 D) 3 ~2 
~ Úma barra imponderável OA de comprimento "b", na qual 
_,,, ,8 carg~ de,,m~ssa m = 4 kg foi colocada, pode girar em torno 
, da dobradiça_ O • Se a constante da mola mostrada for k = 900 
Í Nlm, . determine o período de oscilações da carga. No estado 
equ1hbno, a barra assume uma posição horizontal (a= 2 m· b = 
3~. ' 
-- - --..., 
~YFtlc, ::.~ ·:"i' k-::sc·c ~,"1 , 
\1 f(~; -:} i,;') r ? fd~ m~41<s 
1
.c., ,.;. u ,,,_, 
1 
t
1 
~ fl'l:) ,~,., 
t u , J..,, a 4 " ' . b ' 'I.. ,., 
/.-;<l * ~\-~~ J s'/ ) 
A)~ . ,, -:; r;'-'"'\ b r ;; o. Fe lt._ - ~ ~i 
B) 39,r l A' -=- 0.1( ' . _xi 1 '· 
5 /, b IVl ~· J e ":. '2, r-dc_ - b t-i..<, 
C) 21r - i 
7 ' . ✓"' ,. J 1 . ,--{:'/JJ 
D)~ r:. ln ~ h e -:. LK Ax - w. 
a 1, t •·':JJ 'd ~ d" 
E).': / / / /;/ '1., ';i . yo._y _ foo 
s , T -:. l,(,. ·-:. ~ - --Í: 
// ,.1,i, /,, 
~ - Através da Terra é praticado um túnel reto que não passa 
por seu centro (a = 30 º). Determine o tempo de movimento de 
um trem com os motores desconectados por esse túnel, se não 
houver atrito. Desconsidere a rotação da Terra e considere Rr = 
6 400 km e g = 1 O m/s2• 
A) 56 min 
D) 24 min 
/, 
\
<;,~ / 
(l .,.. / 
~42min 
E) 25 min 
Ó Rr 
C) 21 min 
* -Os pêndulos de massas m1 e m2 são liberados 
'fu~ultaneamente das posições mostradas na figura e oscilam em 
planos paralelos. Determine (em m) o comprimento de L2, se L1 
= 50 cm e •mu., = 2. 
Vmb', J 
A) 0,5 
B) 1,5 
~2 
D) 3,5 
E) 4 
1/(-1 ~m relógio de pêndulo indica a hora exata em que está no 
nive . o m~r. Se levado ao topo de uma montanha ..1t = 10 8 s ~~rod::ii~: ;~~~asª10do. Qu~dl será a altura (em m) d~ monta~ha, r cons, erado R = 6 400 km? 
~800 
B) 900 
C) 1000 
D) 1200 
E) 1600 
..# 0 passar por sua -7 - A figura mostra um pêndulo simples, que ª e 
O 
tempo 
posição de equilíbrio atinge um obstáculo. Sabend~~~(em m) da 
total de uma oscilação é de 3,5 s; calcular a altura 
parede. 
Adote: 8A e 8e são muito pequenos. 
g'" TT2 m/s2 
A) 1,2 
~1 ,75 
cY 1,45 
D) 2,00 
E) 1,50 
h 
' ' "--' 
I ~ OH1 
o, 
·--::,- -(:r--
ig 
L=4 rn 
~-No ponto "O" de uma parede que forma um pequen? ângulo 
t ,."com a vertical, pendia uma bola em um fio de compr~ento L 
= 1 m. Em seguida, o fio foi inclinado em um pequeno angulo f3 
= 2a e liberado. Considerando o golpe da bola contra a parede é 
perfeitamente elástico, determine o período de oscilações deste 
pêndulo. · Si 
Adote: g .. rr
2 
m/s
2 
((~ t ) 
0 1 g e< ..,. P 9 11J ~ ' i-
j,,-:-.) r i oS> : ll(.J , • rv .,.\( p., 
v . W_,,,V ~ : t,1,-;... J 7? ·</.JI') ,,. ,, / / 
/'- ~ . 
A) -.fi s 
~ 
"· ' ~· "-... : ~ r ,-ri. : - -t-, 
1 - - • ; - ~ - -
3 
2 8) -s 
3 
~is 
--f ; .. v- ! l .se~ ~ 
T ~ l t 1 ( TT 1- l SI h - I ( ~~ ) ) 
5 
0)-s 
3 
E) 2 s 
Jf"- Um pêndulo simples é instalado no teto de um vagão que 
acelera horizontalmente com 7, 50 m/s2• Calcule o ângulo ct, que 
define a nova posição de equilíbrio e o novo período, sabendo 
que o periodo é T0 = ../5 s quando o vagão está em repouso. 
Adote: g = 10,0 m/s2 • 
~ r l-:.. :+, s-'1\ i ~ -~ . 
l'_~JO .J 
/~ : 5 l ?, (' "'-<: : : 
~:: ' --~-/._: __ .. . 
A) 12,5 
8) 1,50 
~2,00 
'D}'2,5o 
E) 3,00 
~~ 
)/ ;-;-: lo 
\º -__ g ~~ ,.S.%õ'2 r-----.,,---------------------------:-----::-:---------------------_j. ·_s _. ~ e ~ - Determinar o perlodo de pequenas oscilações em um ,, _ Dois pêndulos simples de comprimento L cada, são uni~ til a, 
pêndulo de comprimento L = s../7 m, se o ponto de suspensão por uma mola imponderável, como mostra a figura•de rigidez k. -----
"O" se mover em relação à superfície da Terra em uma direção Em equilibrio, os pêndulos estão na vertical e a mola.Jlão é 
arbitrária e com uma aceleração constante a. deformada. Determine a frequência angular· das pequenas 
Adote: a= g/2; g=10 m/s2; {3= 120º. oscilações dos pêndulos quando elas se desviam para lados 
&s 
~~rr s 
C) 3rr s 
D) Srr s 
E) 7rr s 
#- O pêndulo da figura consiste em uma bola de ferro de massa 
12!.,_ = 0,5 kg suspensa em um fio iongo com o período To. Na 
pre~ença de u~ imã, localizado um pouco abaixo da bolapela 
vertical,_ o penodo das oscilações passou a ser T = Tol3. 
Determine a força magnética que atua na bola. 
Adote: g = 10 m/s2 
·r~ -:; 7, -rr { ~ ' 
9+ 
. _cc; 
Í -;; & Ti vs .,. ~ 
VVl 
r 7 ::!:- -=- vrl ~-,_ l._ __ ...,N __ _, 
-r e, J;,Fr l] 1- ~ 
_.M40NB)50N '2) k:' 
C) 60 N -::. 
D) 70 N <;3 -r G 
E) 80 N ...-, 
JK' - Um pêndulo simples de comprim~n.to L = 3 m tem uma 
massa pendular m = 3 kg, que por sua vez está sujeita a uma 
mola cuja .onstante elástica é k = 47rr2 N I m, que sem 
deformação permite que o pêndulo seja mantenha em sua 
posição de equilíbrio. Calcule a frequência (em s·1) que as 
opostos. 
A) jgl +~ 
m m 
B) jgl _~ 
m m 
C) j2gL + ~ 
m m 
~~ 
""'- ✓ -z-r-;;;-
E) j2gL -~ 
m m 
9+ 
L L 
-1.-._- Um bloco de massa m, fixado a uma posição O em uma 
cunha suave e inclinada de massa M, oscila com a amplitude A 
e a frequência linear f. A cunha está localizada em uma 
superfície horizontal áspera . Se o ângulo da cunha for 600, a 
força de atrito que atua na cunha é dada por 
Adote: µ - coeficiente de atrito ~s~i,Ç.O. 
/ t\ ... 
k ,'{ 
~-
") 
A) µ(M + m) g 
~ ¼mw2A sinwt 
C) µ(M + m)w 2 A sin wt 
D)µ [CM+ m)g + ~ mw2A sin wt] 
E) µ(M + m) sin wt 
-ispcto 
pequenas oscilações do sistema pêndulo-mola terão. 7 
Adote, Q. • rr' IW' ~-e 4 J 1iç H<_f 
~ - Três cargas q, q e - 2q são fixadas nos vértices de uma 
placa triangular equilateral de aresta a . Esta placa está em 
equilíbrio entre duas placas muito grandes com densidade de 
carga superficial o-1 e o-2 , respectivamente. Encontre o período 
de pequena oscilação angular em torno de um eixo que passa 
pelo centroide e perpendicular ao plano. 
'f;~,k L 9+ !=-dib'-o 
~ l)~ 
1 co'.)U = n. 5 
T </,, /? ➔- R /,,_ • i:-~ 
A) 2 ,3 
B) 2,2 "f.- -=-- n-i7 t r:,0 ..; )( X 
C) 2,1 
D) 2,4 
)(2.0 
Adote: 1 - momento de inércia do sistema em torno deste eixo. 
A) 2rr ' º' 
qala, -a2I 
B) 2rr ' º' 
2qala, -azl 
C) 2rr 
2e0 l 
v'Jqal a, -azl 
D) 2rr 
2co l 
qa la ,-<rzl 
~2rr 
3E0 I 
v'Íqa la, -a, I 
/i; 1::, 1:::3 ~ _OJ ·; ,,,,,,.-: ,.., CI) ~ e,, 
Qi -O fJJ .::i. lbt ~~~;;;;~;;;~;,.:~==--==~-:----:-------------------------------:---1 
-e:: • ~ o 
~ ~ &, ~- § &:' ;,srtJf'Tlª da figura está sobre uma mesa horizont 1 ~ Qi O N - ~ ..,.Ambas as massas valem m a sem 02 - Uma haste uniforme de massa m e comprimento L é ~ -~ css da mola são nk (onde é · e as duas constantes suspensa através de um fio leve de comprimento L e constante ,rio/as têm o mesmo com rim n um fator numérico) e k. As de torção k, como mostrado na figura . 
( 
possível estabelecer con!çõeen~o- na~ural. Supondo que seja 
oscilem para frente e para tá s in1c1a1s para que as massas 
comprimentos i uais a quarq s, c?mtas duas molas sempre tendo 
A) 1/2 
~3/2 
C) 5/2 
O) 7/4 
E) 5/3 
nk 
uer ins ante, determine o valor de n . 
1 ~ - Um cilindro sólido uniforme com massa m e raio Ré j).. conectado no ponto mais alto a uma mola (no seu comprimento 
rel~ado) c?m a constante elástica k , como mostra a figura. Se 0 cilindro gira . ~m escorre_aar no chão, qual é a frequência de pequenas oscilações. -
A) /k 
✓-;;; 
B) {ãi;" 
✓~ 
C) 1/fk 
✓-;;-
~ ~ 
E) {ãi;" 
✓~ 
01 
02 
03 
04 
-
k t (OHn, ~ Jo '> C,'rl u_) I't-....,-c, " 'º'> : t~óôóóooo ............... _ ~ ~,. •,., h' 
1(>-,:L- ,j 
~-=- 1.1./,,B 
~ 1-K '">b,!8 
-~,-,,K .w:e,--:: 'l~ 
-..q- ~ 
Gabarito : • Lv --=- 'V~ 
D 06 D 11 E 16 e 21 D 
E 07 E 12 B 17 e 22 B 
_B_ 08 B 13 e 18 B 23 e 
B 09 14 A 19 A 24 B ~ j A 
I B_l20 iJ: 05 B ,__1 O ....L-E 15 25 D 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - SUBJETIVAS 
01 - A polia mostrada na figura apresenta um momento de 
inércia I sobre seu eixo e massa m. 
k 
y(\ 
Encontre o período de oscilação vertical de seu centro de massa. 
A mola tem constante k e a corda não desliza sobre a polia . 
k 
L 
L Encontre o período se o sistema fizer 
a) pequenas oscilações no plano vertical em torno do ponto de suspensão 
b) oscilações angulares no plano horizontal em torno do centro da haste. 
03 - Uma partícula de massa m é anexada a três molas A B e 
C de constantes elásticas iguais a k, como mostrado na fig~ra . 
l~ __ I 
~TI 
Encontre o período de oscilação, se a partícula for empurrada 
levemente contra a mola C e em seguida liberada. 
04 - Considere a situação mostrada na figura . 
k F}@mmmf] 
Mostre que se os blocos forem deslocados levemente em 
direções opostas e liberados, eles executarão um movimento 
harmônico simples. Calcule o período. 
05 - Todas as superfícies mostradas na figura são isentas de 
atrito. 
A massa do carro é M, a massa do bloco é m e a mola tem 
constante elástica k. Inicialmente, o carro e o bloco estão em 
repouso e a mola é esticada em um comprimento xo quando o 
sistema é liberado. 
a) Encontre as amplitudes do movimento harmônico simples do 
bloco e do carro , visto da estrada. _ . 
b) Encontre o (s) período (s) de tempo dos dois movimentos 
harmônicos simples. 
5 ~~c )'---- ----------- ---------------------- - ---------~ 
/ 0 ~ l- O sistema da figura está sobre uma mesa horizontal sem 02 - Uma haste uniforme de massa m e comprimento L é 
' <D- ~ ~trito. Ambas as massas valem m , e as duas constantes suspensa através de um fio leve de comprimento L e constante 
- elásticas da mola são nk (onde n é um fator numérico) e k . As de torção k, como mostrado na figura . 
molas têm o mesmo comprimento natural. Supondo que seja 
possível estabelecer condições iniciais para que as massas 
oscilem para frente e para trás, com as duas molas sempre tendo 
comprimentos i uais a qualquer instante, determine o valor de n . 
A) 1/2 
~3/2 
C) 5/2 
D) 7/4 
E) 5/3 
~ - Um cilindro sólido uniforme com massa m e raio R é 
conectado no ponto mais alto a uma mola (no seu comprimento 
relaxado) com a constante elástica k , como mostra a figura. Se 
o cilindro gira s.e,m escorre..l:l.ar no chão, qual é a frequência de 
pequenas oscilações. t ( 0 H ,,, .._ elo "> E,,·;;...,) 
A) /k 
✓-;;; 
B) {ãk" 
✓-;; 
C)~ 
~~ 
E) {ãk" 
✓~ 
1 01 
02 
03 
04 
~º~ 
k Pt-..'{"C-. " /e,<, : ' troxxm~ºi 0 •~h' 
~,·v"; e-1 
l - . 
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Gabarito : • L() ·-::. '\/ ~ 
D 06 D 11 E 16 e 21 D 
E 07 E 12 B 17 e 22 B 
B 08 B 13 e 18 B 23 e -B 09 A 14 A 19 A 24 B 
B 10 E 15 B 20 E 25 D 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - SUBJETIVAS 
01 - A polia mostrada na figura apresenta um momento de 
inércia I sobre seu eixo e massa m. 
:r ;;) t l J: (Â 
V"V\, ~ 
~1 .. c.,o"..j 
t rv >,~ /e, C ,Ji,, e, ( k 
"" 
Encontre o período de oscilação vertical de seu centro de massa. 
A mola tem constante k e a corda não desliza sobre a polia. 
k 
L 
====== m 
L 
Encontre o período se o sistema fizer 
a) pequenas oscilações no plano vertical em torno do ponto de 
suspensão 
b) oscilações angulares no plano horizontal em torno do centro 
da haste. 
03 - Uma partícula de massa m é anexada a três molas A, B e 
C de constantes elásticas iguais a k, como mostrado na figura . 
T~_.1 
~~ 
Encontre o período de oscilação, se a partícula for empurrada 
levemente contra a mola C e em seguida liberada . 
04 - Considere a situação mostrada na figura . 
k 
~ B 
Mostre que se os blocos forem deslocados levemente em 
direções opostas e liberados, eles executarão um movimento 
harmônico simples . Calcule o período. 
05 - Todas as superfícies mostradas na figura são isentas de 
atrito. 
A massa do carro é M, a massa do bloco é m e a mola tem 
constante elástica k. Inicialmente, o carro e o bloco estão em 
repouso e a mola é esticada em um comprimento xo quando o 
sistema é liberado. 
a) Encontre as amplitudes do movimento harmônico simples do 
bloco e do carro, visto da estrada. 
b) Encontre o (s) período (s) de tempo dos dois movimentos 
harmônicos simples . 
ece horizontal e 
. - Uma placa uniforme de mass~ M perman_ e ões opostas. 
simetricamente sobre duas rodas g1ran~o emd di~t~to entre cada 
A separação entre as rodas é L. O coeficiente e 
roda e a placa é µ. 
L 
(0 0 ) , estiver 
Encontre o período de oscilação da placa se e a. d 
J 
ligeiramente deslocada ao longo de seu comprimento e libera a. 
07 - Duas bolinhas pequenas, cada uma da massa m, são 
conectadas por uma haste rígida leve de comprimento L.O 
sistema é suspenso do centro por um fio fino da constante de 
torção k. A haste é girada sobre o fio através de um ângulo 80 e 
liberada. 
rn rn 
L 
Encontre a força exercida pela haste em uma das esferas à 
medida que o sistema passa pela posição média. 
08 - Um bloco de massa m conectado a uma mola de força 
constante k desliza para baixo uma cunha inclinada sem atrito 
de ângulo 8 e massa M. A cunha fica em uma superfície sem 
atrito. 
m , 
M o 
Encontre a frequência angular do sistema de cunha e bloco. 
09 - Uma barra fina de massa m e comprimento L é articulada 
em O. A barra é mantida na horizontal com a ajuda de uma mola 
de constante elástica k fixada na extremidade A. Se a 
extremidade B da barra for pressionada para baixo e liberada, 
inicia-se a oscilação rotacional. 
L 
Encontre o período de oscilação. 
10 - Um cilindro de massa m e raio ré preso por uma mola de 
constante elástica k. Ele rola para cima e para baixo em um plano 
inclinado, como mostrado na figura. 
k 
30° 
Encontre a frequência de pequenas oscilações do sistema 
quando não houver escorregamento. 
l (1.) ó '3 E <.) .-
1 h 
. '- 1 . . - e 
. . d sólido está preso a uma mo a onzonta, · .0 E t ·Ê 
11 - Um ahn ro d ue ele pode rolar sem deslizar sobre ~ c-i co 
massa, de tal_ motol ~onforme mostrado na figura. .-
superfície honzon a , k 
~ 
a constante elástica da mola e M a 
Sabendo que k represen!a . do de oscilação do centro de 
massa do cilindro, determine o peno 
massa do cilindro. 
m um recipiente cilíndrico vertical 
12 - Um gás ideal é colocado :a M que se move livremente. O 
e suporta u~_ pistão de mas sma área da seção A. A pressão 
pistão e o cilindro têm ~ me istão está em equilíbrio, o volume 
atmosférica é P ; · ~utS:O ~s~l agora ligeiramente deslocado ~a 
de o gás é V. pis . S d ue O sistema esteJa 
posição de eqtuilí_brioladeode~~adao~bi~~~; ~~stre que o pistão 
completamen e 1so . ' . t a ·mento harmônico simples e encon ra 
executa um movi 
frequência da oscilação. 
13 - A figura abaixo mostra uma grande garra!a de vidro B, 
hermeticamente fechada, com um tubo de vidro na parte 
superior. O tubo de vidro tem um furo uniforme no qual uma 
esfera de aço com massa m se encaixa perfeitamente. Se a bola 
cair dentro do tubo, ela começa a oscilar para cima e para baixo. 
m 
B 
V 
Encontre o período dessa oscilação. 
Adote: A - área da seção transversal do tubo de vidro 
V - o volume da garrafa. 
1~-:: Um invólucro de c~mprimento 21 contendo um gás tem um 
p1stao de massa M e a area da seção transversal A n · o 
· lã d' ·d · • . o meio. 
p1s o 1v1 e o mvolucro em dois compartimentos com pressão 
igual P e volume V. Mantendo a temperatura do gás constante 
o pistão é levemente deslocado para a direita e liberado. ' 
10 
1 
1 
G) 
1 
CI) 1 1 
1 
1 
Mostre que ele executará um movimento harmônic · 1 
calculará a frequência de sua oscilação. 
0 simp es e 
15 - Um mol do gás de Vander Waal c · 
c?nhecida, é encerrada em um cilindro ~e~~:1 constante b é 
pistão de massa M, em movimento livre O i tã e s~porta um 
a mesma área da seção transversal 8 t ~ 0 e O c1hn_dro têm 
oscilação de pequena amplitude sob ~ s~ cul~ o penado de 
compressão e a rarefação ocorrem a um t posição de que a 
T = 2Tc e o volume de gás em equi'libr· ª. ~mperatura constante 10 e igual a 3b. 
[ ~ 1- ---------------------------------------------....... 
§ ffi , supon~a a b~rra mostrado na figura tenha uma massa de 20 - Um bastão uniforme com massa m e comprimento f fica em
 
ru 1",,,. Determine a distância entre a massa superior e o ponto de uma 
superflcie horizontal sem atrito. É girado em um ponto a 
1 
articulação "P", para que o perlodo desse pêndulo tisico seja uma distância x do centro.
 Uma mola (no seu comprimento 
mínimo. relaxado) co
m constante elástica k é presa à extremidade mais 
m distante do bastão, perpendicular ao 
bastão, conforme mostrado 
p na figura. Se o bastão recebe um pequen
o deslocamento, que 
valor de x produz a maior frequência de pequenas oscilações. 
2m 
L 
17 - Uma roda com distribuição uniforme de massa é livre para 
rolar sem escorregar em uma placa, que por sua vez é livre para 
deslizar sobre uma prancha sem atrito. Uma mola com constante 
elástica k conecta o eixo da roda a um prego preso na placa, 
como mostra a figura . 
Tanto a roda quanto a prancha têm massa m, e o prego não tem 
massa. A roda é afastada da posição de equilíbrio e, em seguida, 
o sistema é liberado do repouso. Qual é a frequência do 
movimento oscilatório. 
18 - O eixo de um cilindro uniforme com massa m e raio R é 
conectado a uma mola com constante elástica k, como mostra a 
figura. 
rn tH 
Uma placa horizontal com massa m repousa sobre o cilindro, e a 
placa também repousa sobre um suporte sem atrito próximo à 
extremidade esquerda. . 
a) O sistema é deslocado do equillbrio. Qual é a frequência do 
movimento oscilatório, se não houver escorregamento entre o 
cilindro e a placa, ou entre o cilindro e o solo. 
b) Se a amplitude da oscilação do centro do cilindro for A, qual é 
o valor máximo da força de atrito entre o cilindro e a placa. 
19 - Um disco uniforme com massa m e raio R fica sobre uma 
mesa horizontal sem atrito e é livre para girar em torno de um 
pivô no centro. Uma mola com constante elástica k e 
comprimento relaxado zero tem uma extremidade presa a um 
ponto na borda do disco e a outra extremidade aparafusada na 
mesa a uma distância R da borda, como mostra a figura. 
Qual é a frequência de pequenas oscilações, se o disco estiver 
inicialmente na posição de equillbrio mostrada e receber um 
pequeno deslocamento angular. 
pivô 
GABARJJQ 
01 
T • 2• fl~ + m)/o 06 (: 11 ff. 16 
0,09 18L 
2" 
' 
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07 1•)o: f" 12,;- ç;;;, 11 F. -;, '"''R' bJ"i'1V .. ,. 
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l 
04 ~- 09 IJJ' I 14 ' Jg· 19 2F, 211 k 2,r 111lb' + (/, i; 7,;jT 
3kb1I. '" 
os o) ~, iff! 10 I S ~ 
20 1 
1~ ii . J •H tf " (1111 2n • b) ln ~ 
Módulo ITA/IME- Objetivas 
..f( - (lta 2019) Considere um corpo celeste esférico e 
homogêneo de massa M e raio R atravessado de polo a polo por 
um túnel cillndrico retillneo de diâmetro desprezível. Em um 
desses polos um objeto pontual é solto a partir do repouso no 
instante t = O. Sendo G a constante universal de gravitação, esse 
objeto vai alcançar o outro polo após o intervalo de tempo dado 
por 
( 
R3 )1/
2 
a) -
GM 
( 
4R3 )
1
/
2 
c) 3GM 
( 
3 )1/2 
e) 2n ::M 
( 
R3 l1/
2 
)6{n -
GM 
( 
311/2 
d) 2rr :RM 
E~i~ ·.: co E 
-~~-------~~~=~=~~~deT~~~w~Un~~~~~~~~~~~~~~,i~ E ~ J/j- (lta 2016) Um pêndulo simples oscila com uma amplitua, 8 &. co ,-
- (lta 2017
) Na figura, um tubo fino e ~u!to leve, de área de rh"láxima de 60º em relação à vertical, momento em que a tensao 
eção reta S e comprimento a encontra-se iniclalmenteh~:f ;ofi~: no cabo é de 1 O N. Assinale a op?ão com º. valor da tensão no 
água de massa Me massa especifica p. Graças a uma . 1 de to em que ele atinge sua velocidade máxima. 
e de peso desprezlvel, o conjunto forma um pêndulo s1mp es o pon .,; J31 
comprimento L medido entre o ponto de suspen~ão da h~st~ ªte ~e;;; e • ,., f--:, 1v 
centro de massa inicial da água. Posto a oscilar, no ins f n a) 1 O N p,1 t,./ S ~ _' 
inicial começa a pingar água pela base do tubo a uma_ axa )5) 20N v .._4) / f \in_!-' 1'° Y)? 3 ~ -=-,,,_,'JL(1-<-'56 
constante r = - tJM/!Jt. Assinale a expressão da variação "' / -
temporal do perlodo do pêndulo. c) 30 N 
11 
. L-
'1.,_ 40 N . V·::. w 
a) 2rt./C/ .fg 
c) 2rt~/ .JpSg 
>(_ 2rt-J2pLS + rt / .J2pSg 
~ 
"" .. 
)l) 2rt~/ .JpSg 
d) 2rt.J2pLS - rt / .J2pSg 
N- (lta 2016) Um bloco de massa m encontra-se inicialmente 
/~m repouso sobre uma plataforma apoiada por uma mola, como 
visto na figura. Em seguida, uma pessoa de massa M sobe na 
plataforma e ergue o bloco até uma altura h da plataforma, sendo 
que está se desloca