Gabarito_AP1_2017-1

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1a Avaliação Presencial de Física 1A - 1o Semestre de 2017
Gabarito
1a Questão [3,0 pontos] Uma pedra é atirada, de uma altura h = 1 m acima do solo, com uma velocidade
que faz um ângulo θ = 45o com a direção horizontal, em direção a uma casa de altura H = 3 m, que está
localizada uma distância horizontal d = 4 m da posição da qual a pedra é atirada. Observa-se que a pedra
atinge a casa exatamente na sua base. No topo da casa, uma pessoa observa quando a pedra é atirada e, com
a intenção de acertá-la, arremessa, verticalmente para baixo, uma pequena bola. A bola é arremessada com
velocidade de módulo vb0 = 2 m/s. Considere que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2 e que as
massas tanto da pedra quanto da bola são m = 2 kg.
3. [3,5 pontos] Uma pedra é atirada, de uma altura h = 1 m acima do solo, com uma velocidade
que faz um ângulo de ! = 45o com a direção horizontal, em direção a uma casa de H = 3 m
de altura, que está localiza a uma distância horizontal de d = 4 m da posição da qual a pedra é
atirada. Observa-se que a pedra atinge a casa exatamente na sua base. No alto da casa, Felipe
observa quando a pedra é atirada, com a intenção de acertá-la, arremessando, verticalmente para
baixo, uma pequena bola. Felipe consegue arremessar a bola com velocidade de módulo vb0 =
2 m/s. Desconsidere as forças de resistência do ar tanto na pedra quanto na bola e considere
que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2 e as massas tanto da pedra quanto da bolsa são
m = 2kg.
h
! H
d
(a) Quanto tempo a pedra demora para atingir a casa?
(b) Quanto tempo após a pedra ser lançada, Felipe precisa atirar a bola de maneira com que as
duas atinjam a base da casa ao mesmo tempo?
(c) Na situação expressada no item anterior, qual dos dois objetos possui a maior energia me-
cânica? Para responder esse item, considere que a energia potencial gravitacional tanto da
pedra quanto da bola é nula no chão.
(d) Qual o trabalho total realizado sobre a pedra entre os instantes em que ela é lançada e aquele
no qual ela atinge a base da casa?
4. [2,5 pontos] Três forças são aplicadas a um bloco de massa M que está sobre uma superfície hori-
zontal de coeficiente de atrito cinético µe = 1/
!
3, conforme a figura abaixo. O bloco permanece
em repouso e sabe-se que o ângulo ! vale 600 os módulos das forças são F1 = F , F2 = 32F e
F3 = F .
"F2
"F1
"F3
M
!
(a) A força de atrito está direcionada para a direita ou para a esquerda? Justifique sua resposta.
(b) Qual o módulo da força de atrito a que está submetido o bloco?
(c) Qual o maior valor que F pode ter sem que o bloco entre em movimento?
2
y 
x 0 
(a) [0,8 pontos] Quanto tempo a pedra demora para atingir a casa?
(b) [0,8 pontos] Quanto tempo após a pedra ser lançada, a pessoa no topo da casa precisa atirar a bola de
maneira que as duas atinjam a base da casa ao mesmo tempo?
(c) [0,7 pontos] Na situação expressada no item anterior, qual dos dois objetos possui a maior energia
mecânica? Para responder esse item, considere que a energia potencial gravitacional tanto da pedra
quanto da bola é nula no chão.
(d) [0,7 pontos] Qual o trabalho total realizado sobre a pedra entre os instantes em que ela é lançada e
aquele no qual ela atinge a base da casa?
Solução
(a) O movimento da pedra pode ser decomposto nas direções x (uniforme) e y (uniformemente acele-
rado). Escolhendo um sistema de coordenadas como mostrado na figura acima, a função horária na
direção horizontal pode ser escrita como x(t) = x0 + vxt, onde vx = v cos θ. Nesse sistema de co-
ordenadas, a posição inicial da pedra é (x = 0, y = h), portanto x0 = 0 e o tempo necessário para a
pedra atingir a casa (onde x = d) será dado por:
tq =
x(tq)
v cos θ
=
d
v cos θ
. (1)
1
Na direção vertical, y(t) = y0 + vy − (1/2)gt2. Como y0 = h e vy = v sen θ, temos y(t) =
h+ v sen θ − (1/2)gt2. Em t = tq, y = 0 e dessa forma:
0 = h+ v sen θt− 1
2
gt2q =⇒ v =
(1/2)gt2q − h
tq sen θ
. (2)
Substituindo essa expressão na equação (1), obtemos:
tq =
d
cos θ
.
tq sen θ
(1/2)gt2q − h
. (3)
Rearranjando os termos, obtemos uma equação do 2o grau para tq:
1
2
gt2q = d tg θ + h =⇒ tq = ±
√
2(d tg θ + h)
g
, (4)
onde a raiz negativa deve ser obviamente descartada. Como d = 4 m, θ = 45◦ e h = 1 m, obtemos:
tq = 1 s . (5)
(b) O movimento da bola é uma queda livre, com função horária y(t) = y0b − vb0t − (1/2)gt2, onde
usamos o mesmo sistema de coordenadas do item anterior. Nesse sistema, no instante de tempo tqb
no qual a bola atinge o chão, y = 0 e y0b = H e y(t) pode ser escrito como:
0 = H − vb0tqb −
1
2
qt2qb =⇒
1
2
gt2qb + vb0tqb −H = 0. (6)
Resolvendo essa equação de 2o grau, obtemos:
tqb =
−vb0 ±
√
v2b0 + (4gH)/2
g
. (7)
Utilizando os valores vb0 = 2 m/s, g = 10 m/s2 e H = 3 m, obtemos tqb = (−2± 8)/10, onde a raiz
que leva a uma valor negativo para o tempo deve ser descartada e ficamos com
tqb = 0, 6 s . (8)
Como tq = 1 s e tqb = 0, 6 s, concluímos que a bola deve ser lançada 0,4 s após o lançamento da
pedra:
∆t = 0, 4 s . (9)
(c) A energia mecânica de ambos os corpos é conservada durante suas respectivas trajetórias, pois sobre
eles age apenas a força peso (conservativa). Portanto podemos calculá-la em qualquer ponto das
trajetórias e escolheremos fazê-lo no ponto inicial de cada uma das delas. A energia mecânica da
pedra pode ser escrita como
EMp = Upi + Ecpi = mgh+
1
2
mv2 . (10)
2
Como seu movimento na direção horizontal é uniforme com velocidade v cos θ e sabemos que num
intervalo de tempo tq ela percorre uma distância horizontal d, temos:
v cos θ =
d
tq
=⇒ v = d
tq cos θ
=
8√
2
. (11)
E a energia EMp tem o valor:
EMp = mgh+
1
2
mv2 = 52 J . (12)
Já a energia mecânica da bola pode ser escrita como
EMb = Ubi + Ecbi = mgH +
1
2
mv2b0 = 64 J . (13)
Concluímos que a bola possui energia mecânica maior do que a da pedra.
(d) Como a força resultante que age sobre a pedra é a forca peso, o trabalho total realizado é igual ao
trabalho do peso. E como o peso é uma força conservativa, seu trabalho é igual a menos a variação
de energia potencial gravitacional:
WP = −∆U = −mghfinal +mgh = 20 J . (14)
2a Questão (2,5 pontos) Três forças são aplicadas a um bloco de massa M que está sobre uma superfície
horizontal de coeficiente de atrito estático µe = 1/
√
3, conforme a figura abaixo. O bloco permanece em
repouso e sabe-se que o ângulo θ vale 600 os módulos das forças são F1 = F , F2 = 32F e F3 = F .
3. [3,5 pontos] Uma pedra é atirada, de uma altura h = 1 m acima do solo, com uma velocidade
que faz um ângulo de θ = 45o com a direção horizontal, em direção a uma casa de H = 3 m
de altura, que está localiza a uma distância horizontal de d = 4 m da posição da qual a pedra é
atirada. Observa-se que a pedra atinge a casa exatamente na sua base. No alto da casa, Felipe
observa quando a pedra é atirada, com a intenção de acertá-la, arremessando, verticalmente para
baixo, uma pequena bola. Felipe consegue arremessar a bola com velocidade de módulo vb0 =
2 m/s. Desconsidere as forças de resistência do ar tanto na pedra quanto na bola e considere
que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2 e as massas tanto da pedra quanto da bolsa são
m = 2kg.
h
θ H
d
(a) Quanto tempo a pedra demora para atingir a casa?
(b) Quanto tempo após a pedra ser lançada, Felipe precisa atirar a bola de maneira com que as
duas atinjam a base da casa ao mesmo tempo?
(c) Na situação expressada no item anterior, qual dos dois objetos possui a maior energia me-
cânica? Para responder esse item, considere que a energia potencial gravitacional tanto da
pedra quanto da bola é nula no chão.
(d) Qual o trabalho total realizado sobre a pedra entre os instantes em que ela é lançada e aquele
no qual ela atinge a base da casa?
4. [2,5 pontos] Três forças são aplicadas a um bloco de massa M que está sobre uma superfície hori-
zontal de coeficiente de atrito cinético µe = 1/
√
3, conforme a figura abaixo. O bloco permanece
em repouso e sabe-se que o ângulo θ vale 600 os módulos das forças são F1 = F , F2 = 32Fe
F3 = F .
~F2
~F1
~F3
M
θ
(a) A força de atrito está direcionada para a direita ou para a esquerda? Justifique sua resposta.
(b) Qual o módulo da força de atrito a que está submetido o bloco?
(c) Qual o maior valor que F pode ter sem que o bloco entre em movimento?
2
(a) (0,5 pontos) A força de atrito está direcionada para a direita ou para a esquerda? Justifique sua
resposta.
(b) (1,0 pontos) Qual o módulo da força de atrito a que está submetido o bloco?
(c) (1,0 pontos) Qual o maior valor que F pode ter sem que o bloco entre em movimento?
Solução
3
(a) Como o bloco se encontra em repouso, para saber a direção e o sentido da força de atrito estático
é preciso conhecer a direção e o sentido da iminência do movimento. Como o atrito estático só
ocorre na iminência do deslizamento entre duas superfícies, podemos analisar apenas o movimento
horizontal. Para a esquerda temos a força de módulo F1 = F e para a direita temos a força de módulo
F2x = F2 cos θ = (3/4)F . Como a resultante aponta para a esquerda, é esse o sentido da iminência
do movimento. Portanto a força de atrito estático aponta para a direita.
(b) Podemos utilizar um sistema de coordenadas cujo eixo x (horizontal) aponta para a direita e escrever
−→
F1 +
−→
F2x +
−→
Fate = 0 . (15)
−→
Fate = −
−→
F1 −
−→
F2x = −(−F ı̂)−
3
2
F cos θ ı̂ . (16)
E o módulo da força de atrito será dado por
Fate =
F
4
. (17)
(c) Se F começa a aumentar, os módulos de
−→
F1(F ) e de
−→
F2x(3F/4) começam a aumentar, de maneira que
a diferença entre eles (F/4) também aumenta. O módulo de
−→
Fate também vai aumentando, mantendo
o bloco em repouso até atingir o valor máximo µeN . Portanto o valor máximo que F pode assumir
corresponde à situação onde Fate = µeN . Nesse caso:
Fate =
Fmax
4
. (18)
µeN =
Fmax
4
=⇒ Fmax = 4µeN . (19)
Para encontrarmos o valor da normal, analisamos as forças que agem na direção vertical. Com o eixo
vertical orientado para cima, temos:
−→
F3 +
−→
F2y +
−→
N +
−→
P = 0 . (20)
−F3 + F2y +N − P = 0 . (21)
Com P = Mg, F2y = F2 sen(60o) = (3/2)F (
√
3/2) e F3 = F , obtemos a expressão para a normal:
N = Mg + F
(
1− 3
√
3
4
)
. (22)
Portanto a equação (19) pode ser escrita como
Fmax = 4.
1√
3
[
Mg + Fmax
(
1− 3
√
3
4
)]
, (23)
4
que, após algumas manipulações algébricas, pode ser escrita como:
Fmax =
Mg√
3− 1
. (24)
3a Questão (3,0 pontos) Um bloco de massa m = 1, 0 kg cai verticalmente sobre uma mola de constante
elástica k = 1000 N/m e massa desprezível, que encontra-se apoiada sobre o chão conforme a figura abaixo.
Observa-se que o bloco comprime a mola até a mesma atingir uma compressão de d = 20 cm, quando ele
para e é arremessado de volta para cima.
Instituto de Física
UFRJ
Terceira Avaliação Presencial de Física 1A
14 de junho de 2015
Nome :
Curso :
Pólo :
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
*Alunos fazendo esta AP3 juntamente com a de outra disciplina bimestral de física no mesmo dia
devem indicar qual outra disciplina no início da folha de respostase fazer apenas as questões 1 e 3.
Obs: Em todas as questões em que for necessário, utilize queg é o módulo da aceleração da gravi-
dade.Todas as respostas devem ser justificadas.
1. (*) [2,5 pontos] Um satélite de massam gira em torno da Terra em uma órbita circular de raioR
sob a ação apenas da força gravitacional terrestre. Lembre-se que a força gravitacional entre dois
corpos separados por uma distânciar é ~Fg = −
Gm1m2
r2
r̂ e considere como dados adicionais do
problema a massa da TerraMT e a constante gravitacionalG.
(a) Encontre a expressão da energia mecânica do satélite em termos dos dados do problema.
(b) Qual o trabalho realizado pela força gravitacional que aTerra exerce sobre o satélite em uma
volta completa do satélite em sua órbita?
(c) Suponha que os motores no satélite sejam acionados até que ele passe para uma nova órbita
circular de raio2R. Quais os trabalhos realizados pela força gravitacional e pela força de
propulsão dos motores do satélite no trajeto entre as órbitas de raiosR e2R?
2. [2,5 pontos] Um bloco de massam = 1,0 kg cai verticalmente sobre uma mola de constante
elásticak = 1000 N/m e massa desprezível, que encontra-se apoiada sobre o chão conforme a
figura abaixo. Observa-se que o bloco comprime a mola até a mesma atingir uma compressão de
d = 20 cm, quando ele para e é arremessado de volta para cima. Desconsiderando a resistência do
ar e usando que a aceleração da gravidade pode ser aproximadaporg = 10 m/s2:
(a) Com que velocidade o bloco atingiu a mola? Indique claramente quais conceitos estão sendo
utilizados.
(b) Qual o trabalho realizado pelas forças que atuam no blocoentre os instantes em que este
atinge a mola e aquele em que a compressão da mola é máxima?
(c) Que altura acima do ponto em que a compressão da mola é máxima o bloco atinge, após ser
arremessado para cima?
1
(a) (0,4 pontos) Indique esquematicamente quais forças atuam sobre o bloco em duas situações: antes de
atingir a mola e quando a mola atinge sua compressão máxima.
(b) (0,3 pontos) A energia mecânica do bloco é conservada nesse processo? Justifique.
(c) (0,4 pontos) Sem fazer contas, explique como pode ser calculada a velocidade com a qual o bloco
atinge a mola a partir dos dados do problema.
(d) (0,4 pontos) Calcule agora a velocidade mencionada no item anterior.
(e) (0,8 pontos) Qual o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam sobre o bloco entre os
instantes em que este atinge a mola e aquele em que a compressão da mola é máxima?
(f) (0,7 pontos) Que altura acima do ponto de compressão máxima o bloco atinge após ser arremessado
para cima?
Solução
(a) Antes de atingir a mola o bloco está em queda livre, portanto está sob ação somente da força peso,
como na figura abaixo.
No momento de compressão máxima, o bloco está sob ação do peso e da força elástica da mola (na
direção vertical, apontando para cima).
(b) Como o bloco está sob ação somente de forças conservativas, sua energia mecânica se conserva.
(c) Como a energia mecânica se conserva, podemos igualar sua energia no momento em que toca a
mola (que será a soma das energias cinética e potencial gravitacional) a sua energia no ponto de
compressão máxima; nesse último a energia cinética é nula - o bloco está em repouso - assim como a
energia potencial gravitacional (pois escolhemos U como sendo 0 nesse ponto).
5
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Nome :
Curso :
Pólo :
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
*Alunos fazendo esta AP3 juntamente com a de outra disciplina bimestral de física no mesmo dia
devem indicar qual outra disciplina no início da folha de respostas e fazer apenas as questões 1 e 3.
Obs: Em todas as questões em que for necessário, utilize que g é o módulo da aceleração da gravi-
dade. Todas as respostas devem ser justificadas.
1. (*) [2,5 pontos] Um satélite de massa m gira em torno da Terra em uma órbita circular de raio R
sob a ação apenas da força gravitacional terrestre. Lembre-se que a força gravitacional entre dois
corpos separados por uma distância r é !Fg = !
Gm1m2
r2
r̂ e considere como dados adicionais do
problema a massa da TerraMT e a constante gravitacional G.
(a) Encontre a expressão da energia mecânica do satélite em termos dos dados do problema.
(b) Qual o trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite em uma
volta completa do satélite em sua órbita?
(c) Suponha que os motores no satélite sejam acionados até que ele passe para uma nova órbita
circular de raio 2R. Quais os trabalhos realizados pela força gravitacional e pela força de
propulsão dos motores do satélite no trajeto entre as órbitas de raios R e 2R?
2. [2,5 pontos] Um bloco de massa m = 1,0 kg cai verticalmente sobre uma mola de constante
elástica k = 1000N/m e massa desprezível, que encontra-se apoiada sobre o chão conforme a
figura abaixo. Observa-se que o bloco comprime a mola até a mesma atingir uma compressão de
d = 20 cm, quando ele para e é arremessadode volta para cima. Desconsiderando a resistência do
ar e usando que a aceleração da gravidade pode ser aproximada por g = 10 m/s2:
(a) Com que velocidade o bloco atingiu a mola? Indique claramente quais conceitos estão sendo
utilizados.
(b) Qual o trabalho realizado pelas forças que atuam no bloco entre os instantes em que este
atinge a mola e aquele em que a compressão da mola é máxima?
(c) Que altura acima do ponto em que a compressão da mola é máxima o bloco atinge, após ser
arremessado para cima?
1
P 
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Terceira Avaliação Presencial de Física 1A
14 de junho de 2015
Nome :
Curso :
Pólo :
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
*Alunos fazendo esta AP3 juntamente com a de outra disciplina bimestral de física no mesmo dia
devem indicar qual outra disciplina no início da folha de respostas e fazer apenas as questões 1 e 3.
Obs: Em todas as questões em que for necessário, utilize que g é o módulo da aceleração da gravi-
dade. Todas as respostas devem ser justificadas.
1. (*) [2,5 pontos] Um satélite de massa m gira em torno da Terra em uma órbita circular de raio R
sob a ação apenas da força gravitacional terrestre. Lembre-se que a força gravitacional entre dois
corpos separados por uma distância r é !Fg = !
Gm1m2
r2
r̂ e considere como dados adicionais do
problema a massa da TerraMT e a constante gravitacional G.
(a) Encontre a expressão da energia mecânica do satélite em termos dos dados do problema.
(b) Qual o trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite em uma
volta completa do satélite em sua órbita?
(c) Suponha que os motores no satélite sejam acionados até que ele passe para uma nova órbita
circular de raio 2R. Quais os trabalhos realizados pela força gravitacional e pela força de
propulsão dos motores do satélite no trajeto entre as órbitas de raios R e 2R?
2. [2,5 pontos] Um bloco de massa m = 1,0 kg cai verticalmente sobre uma mola de constante
elástica k = 1000N/m e massa desprezível, que encontra-se apoiada sobre o chão conforme a
figura abaixo. Observa-se que o bloco comprime a mola até a mesma atingir uma compressão de
d = 20 cm, quando ele para e é arremessado de volta para cima. Desconsiderando a resistência do
ar e usando que a aceleração da gravidade pode ser aproximada por g = 10 m/s2:
(a) Com que velocidade o bloco atingiu a mola? Indique claramente quais conceitos estão sendo
utilizados.
(b) Qual o trabalho realizado pelas forças que atuam no bloco entre os instantes em que este
atinge a mola e aquele em que a compressão da mola é máxima?
(c) Que altura acima do ponto em que a compressão da mola é máxima o bloco atinge, após ser
arremessado para cima?
1
Fel 
P 
(d) De acordo com o procedimento descrito no item anterior, escolhemos o zero da energia potencial
gravitacional no ponto de compressão máxima (chamaremos esse ponto de B). A energia mecânica
no ponto A (onde o bloco toca a mola inicialmente) é dada por:
EMA = mgd+
1
2
mv2 . (25)
Já no ponto B, a energia mecânica pode ser escrita como:
EMB =
1
2
kd2 . (26)
Pela Conservação da Energia:
EMA = EMB =⇒ mgd+
1
2
mv2 =
1
2
kd2 . (27)
v =
√
2
m
(
1
2
kd2 −mgd
)
. (28)
Substituindo os valores numéricos, obtemos:
v = 6 m/s . (29)
(e) Como a força peso é conservativa, o trabalho realizado entre os pontos A e B é o igual ao negativo da
variação da energia potencial gravitacional:
6
WA→BP = −∆U = −UB + UA = mgd = 2 J . (30)
O trabalho da força elástica (também conservativa) pode ser encontrado similarmente:
WA→BFel = −
1
2
kx2B +
1
2
kx2A =
1
2
kd2 = −20 J . (31)
(f) Após ser arremessado para cima, o bloco atinge uma altura máxima hmax na qual sua velocidade se
anula. Utilizando novamente a conservação da energia, vamos igualar a energia mecânica do bloco
no ponto B (compressão máxima) e C (altura máxima):
EMB = EMC =⇒
1
2
kd2 = mghmax . (32)
hmax =
kd2
2mg
= 2 m . (33)
4a Questão (1,5 pontos) As afirmativas abaixo estão todas erradas. Justifique claramente o porquê de
estarem erradas.
Solução
(a) (0,5 pontos) A força peso é a força com a qual a Terra atrai o objeto, portanto pela 2a Lei de Newton
existe uma reação a esta força, que é a força com a qual o objeto atrai a Terra.
(b) (0,5 pontos) Se a partícula de massa está sujeita a apenas duas forças
−→
F1 e
−→
F2, a 2a Lei de Newton diz
que o vetor aceleração será dado por
−→a =
−→
F1 +
−→
F2
m
, (34)
portanto o módulo do vetor aceleração será dado por:
|−→a | = |
−→
F1 +
−→
F2|
m
. (35)
Somente no caso em
−→
F1 e
−→
F2 possuem a mesma direção e sentido é que podemos dizer que o módulo
de −→a será dado por:
|−→a | = |
−→
F1|+ |
−→
F2|
m
. (36)
(c) (0,5 pontos) Na prática com o trilho de ar inclinado o carrinho está em movimento retilíneo uniforme-
mente acelerado e a dependência da sua velocidade com o tempo é dada por v(t) = v0 + at. Portanto
se fizermos um gráfico da velocidade em função do tempo devemos obter uma reta, com coeficiente
angular igual ao módulo da aceleração a. A tangente do ângulo de inclinação não é a mesma coisa
que o coeficiente angular. Podemos observar isso primeiro pelo fato de a tangente de um ângulo ser
uma quantidade adimensional, diferente do coeficiente angular. Podemos também observar que um
gráfico para o mesmo movimento feito com escalas diferentes em um papel milimetrado vai apre-
sentar ângulos de inclinação diferentes, enquanto o coeficiente angular, evidentemente, não vai se
alterar.
7