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Livro do Professor
Física
Volume 2
©Editora Positivo Ltda., 2015
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
M867 Dal Moro, Guilherme Andre.
 Física : ensino médio / Guilherme Andre Dal Moro, Halina dos Santos França ; reformulação 
dos originais de Euler de Freitas Silva Júnior ; ilustrações Divanzir Padilha, DKO Estudio, Jack Art. – 
Curitiba : Positivo, 2015.
 v. 2 : il.
 Sistema Positivo de Ensino
 ISBN 978-85-385-9469-7 (Livro do aluno)
 ISBN 978-85-385-9470-3 (Livro do professor)
 1. Física. 2. Ensino médio – Currículos. I. França, Halina dos Santos. II. Silva Júnior, Euler de 
Freitas. III. Padilha, Divanzir. IV. DKO Estudio. V. Art, Jack. VI. Título.
CDD 373.33
Presidente: Ruben Formighieri
Diretor-Geral: Emerson Walter dos Santos
Diretor Editorial: Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial: Júlio Röcker Neto
Gerente de Arte e Iconografia: Cláudio Espósito Godoy
Autoria: Guilherme Andre Dal Moro e Halina dos Santos França; reformulação 
dos originais de: Euler de Freitas Silva Júnior
Supervisão Editorial: Jeferson Freitas
Edição de Conteúdo: Milena dos Passos Lima (Coord.) e Alysson Ramos Artuso
Edição de Texto: André Maurício Corrêa
Revisão: Chisato Watanabe
Supervisão de Arte: Elvira Fogaça Cilka 
Edição de Arte: Alexandra Mascari Cezar
Projeto Gráfico: YAN Comunicação
Ícones: ©Shutterstock/ericlefrancais, ©Shutterstock/Goritza, ©Shutterstock/Lightspring, 
 ©Shutterstock/Chalermpol, ©Shutterstock/Macrovector e ©Shutterstock/Blinka
Imagens de Abertura: ©Shutterstock/Vitalii Nesterchuk e ©Shutterstock/iko
Editoração: Studio Layout
Ilustrações: Divanzir Padilha, DKO Estúdio e Jack Art
Pesquisa Iconográfica: Janine Perucci (Supervisão), Giselle Alice Pupo e Tassiane Sauerbier
Engenharia de Produto: Solange Szabelski Druszcz
Produção
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2018
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03
04
O projeto gráfico atende aos objetivos da coleção de diversas formas. As ilustrações, diagramas e figuras contribuem para a construção 
correta dos conceitos e estimulam um envolvimento ativo com temas de estudo. Sendo assim, fique atento aos seguintes ícones:
Fora de escala numéricaFormas em proporçãoColoração artificial
Imagem ampliadaImagem microscópicaColoração semelhante ao natural
Representação artísticaEscala numéricaFora de proporção
Sumário
Principais forças da Mecânica e aplicações 
das Leis de Newton ................................... 4
Força peso ..................................................................................................... 5
Força normal ................................................................................................. 12
Força de tração .............................................................................................. 22
Força elástica ................................................................................................. 27
Força de atrito ............................................................................................... 34
Trabalho de uma força .............................. 45
Trabalho de forças constantes ........................................................................ 47
Trabalho de forças variáveis ........................................................................... 53
Potência e rendimento .................................................................................. 56
Acesse o livro digital e 
conheça os objetos digitais 
e slides deste volume.
4
Principais forças da 
Mecânica e aplicaçõe
s das 
Leis de Newton 
03
 No salto de bungee-jump, o praticante, preso a um cabo elástico, salta de uma plataforma a certa altura do solo. 
No instante em que salta, o corpo do praticante é acelerado para baixo; no ponto mais baixo de sua trajetória, ele 
é acelerado para cima.
1. Com base no que você já estudou sobre os conceitos de força e aceleração, qual a principal força responsável 
por acelerar o corpo durante a queda? Existem outras forças atuando? Justifique sua resposta.
2. Durante a primeira descida (lembrando que no salto a pessoa executa o movimento de subida e descida algu-
mas vezes), o corpo passa a desacelerar principalmente pela ação de qual força? O que provoca essa força e 
que nome ela poderia receber?
3. Após chegar ao ponto mais baixo do movimento, o praticante retorna, acelerando para cima, até uma deter-
minada altura. Por que isso ocorre?
1 Três etapas de 
um salto de 
bungee-jump.
©
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/V
it
a
lii
 N
e
st
e
rc
h
u
k
No salto de bungee jump o praticante preso a um cabo elástico salta de uma plataforma a certa altura do solo
Ponto de partida 
2
55
Força peso
Em 1969, os estadunidenses Neil Alden Armstrong, Edwin 
Aldrin e Michael Collins foram os primeiros homens a pisar 
na Lua. As imagens divulgadas pela agência estadunidense 
de administração aeronáutica e espacial (Nasa) mostraram 
que os astronautas, ao caminhar ou pular sobre a superfície 
lunar, atingiam alturas superiores às que atingiriam na Terra 
e depois retornavam ao solo pela ação de alguma força – tal 
como acontece na Terra. Essas imagens evidenciam que a aceleração da gravidade não existe somente na Terra, mas 
também em outros corpos celestes. 
Ao soltar um corpo qualquer de determinada altura (livre da ação e 
de forças que atuam para cima), como uma caneta de plástico, observa-se 
que ela instantaneamente cai em direção 
ao solo. Esse movimento é provocado pela 
ação de uma força, conhecida como força 
gravitacional, que produz como efeito uma 
aceleração vertical, também para baixo: a 
aceleração da gravidade. 
A força gravitacional também é co-
nhecida como força peso. É comum ado-
tarmos a expressão força peso quando 
nos referimos a um corpo que está nas 
proximidades de um planeta (ou outro 
corpo celeste de grande dimensão) e que 
pode ser acelerado pela ação dessa força; 
a expressão força gravitacional geralmente é empregada em situações mais genéricas, 
para se referir à força de atração que surge da interação entre massas, como no caso da 
atração entre a Terra e a Lua.
A força peso é o resultado da interação à distância entre corpos que têm massa. Essa interação pode produzir, 
como efeito, uma aceleração, denominada de aceleração da gravidade. A força peso, que, como toda força, é uma 
grandeza vetorial, é representada por P ou FP e, por ser uma força, é medida em newton (N) no SI. 
4 Símbolo da força peso.
Determinação da força peso
Na Terra, a aceleração da gravidade – a aceleração de um corpo sub-
metido somente à força peso – tem um valor médio igual a 9,81 m/s². 
Esse valor, para facilitar as operações matemáticas, pode ser arredondado 
para 10 m/s². Qualquer corpo nas proximidades do solo adquire a mesma 
aceleração durante a queda livre, isto é, a aceleração da gravidade não 
depende da massa do corpo, o que foi demonstrado experimentalmente 
por Galileu Galilei.
3 Texto com exemplos da Dinâmica 
aplicados a situações do trânsito e 
de automóveis.
 A gravidade lunar é menor que a terrestre, por 
isso, na Lua, é possível executar saltos mais altos.
 Ao aproximar dois corpos, 
observa-se a existência 
de um par de forças de 
atração, chamadas de 
forças gravitacionais.
–
N
A
SA
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
A expressão queda livre indica um movi-
mento livre de outras forças além do peso. Ou 
seja, todas as outras forças são desprezíveis e 
a força resultante é a própria força peso.
gravitacional: as palavras gravidade e gravitacionalderivam do adjetivo latino gravis, que significa importante ou pesado. No Direito, por 
exemplo, a expressão gravis testis é usada quando se tem uma testemunha importante, ou seja, uma testemunha “de peso”. Esses fatos explicam 
etimologicamente por que a força gravitacional é, por vezes, chamada de peso.
Objetivos da unidade:
 determinar os tipos de forças 
aplicadas aos corpos e as suas 
naturezas;
 resolver situações-problema que 
relacionam as principais forças 
da Mecânica e as Leis de Newton.
Objetivos da unidade:
determinar os tipos de forças
6 Volume 2
Em 1971, foi realizado na Lua um experimento com base nas ideias de Galileu, no qual uma pena e um martelo 
foram soltos da mesma altura. Como a atmosfera lunar é muito rarefeita, praticamente não há resistência do ar e se 
observam o martelo e a pena caindo simultaneamente. 
O engenheiro aeroespacial é o profissional do ramo da tecnologia e do desenvolvimento tecnológico focado na 
construção de instrumentos e equipamentos de voo espacial, como satélites, sondas e sensores. Para desempenhar 
sua função, esse profissional deve ter um conhecimento profundo de diversas áreas da Física, como Termodinâmica, 
Eletromagnetismo, Eletrodinâmica, Mecânica e outras, bem como conhecimentos específicos de diversas áreas da 
Engenharia. O engenheiro aeroespacial pode trabalhar também em outras áreas, como no ramo da engenharia 
astronáutica, muito embora esta se destine à construção de dispositivos de voo dentro da atmosfera terrestre.
Com base na Segunda Lei de Newton, temos que uma força resultante FR aplicada a um corpo de massa m produz 
uma aceleração a.
F m aR = ⋅
Considerando um corpo de massa m próximo à superfície da Terra, sujeito somente à força peso P, ele adquire 
aceleração com módulo igual à da gravidade, g. Assim:
F m a
P m g
R =
=
⋅
↓ ↓ ↓
⋅
P
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Módulo: P = m · g
Direção: da linha que une os centros de massa do corpo (m) e do astro (M). De forma simplificada, costuma- 
-se dizer que a direção da força peso é vertical.
Sentido: para o centro do astro. De forma simplificada, costuma-se dizer que o sentido da força peso é para 
baixo.
Leis de Kepler e lei da gravitação universal de Isaac Newton
Ao observarmos o movimento do Sol, temos a impressão de que a Terra está parada e o Sol movimenta-se em tor-
no da Terra. Foi essa observação que serviu para os gregos desenvolverem um dos primeiros modelos cosmológicos, 
denominada de teoria geocêntrica. Esse modelo surgiu no século I e foi amplamente difundido pelas sociedades da 
Idade Média.
Quanto ao sentido do peso de um corpo, cos-
tuma-se afirmar que ele é para o centro da 
Terra. Obviamente, isso vale não apenas para 
a Terra, mas para o caso de se colocar um 
corpo próximo a qualquer astro celeste.
5 Texto sobre peso, massa e instrumentos para determinação dessas grandezas.
Mundo do trabalho
Física 7
Apenas no século XVII, o geocentrismo contestado por vários pensadores, foi sendo 
substituído pela teoria heliocêntrica, na qual a Terra movimenta-se em torno do Sol.
Esse modelo foi apreciado e melhorado pelo astrônomo alemão Johannes Kepler 
(1571-1630), que publicou em 1609 o livro Astronomia Nova.
Obcecado por explicações e modelos matemáticos, Kepler e outros cientistas tenta-
ram explicar os movimentos dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas.
Baseados no heliocentrismo e em sua intuição, chegaram, após inúmeras tentati-
vas, à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do Sol, e o 
resultado de anos de estudos foi o enunciado das três leis de Kepler.
Primeira Lei de Kepler ou lei das órbitas
As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas quais ele ocupa um dos focos.
A elipse é uma curva plana definida como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos 
fixos (os focos) é constante. Observe a figura abaixo:
Elipse
F
1
F
2
b
dc
a
F1 e F2 são os focos
a + b = c + d
Nas órbitas elípticas, o ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol é denominado periélio; e o mais afas-
tado, afélio.
Segunda Lei de Kepler ou lei das áreas
A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional 
ao tempo gasto para descrevê-la.
C
ou
rt
es
y 
of
 t
h
e 
Sm
ith
so
n
ia
n
 L
ib
ra
rie
s
8 Volume 2
A relação 
A
tΔ
 é também chamada de velocidade areolar ou velocidade com que as áreas são descritas. A Segunda 
Lei de Kepler pode também ser enunciada do seguinte modo:
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica.
Observações importantes:
1a. A velocidade areolar é constante para cada planeta, variando, porém, de um planeta para outro.
2a. O módulo do vetor velocidade (de translação) de um planeta ao redor do Sol é mínimo no afélio e máximo no periélio.
A
1
A
2
Terceira Lei de Kepler ou lei dos períodos
O quadrado do período (T) de revolução de um planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio 
médio (R) de sua elipse orbital.
Expressando essa lei em uma linguagem matemática, temos: 
T
R
K
2
3
=
É bom saber que:
1o. O raio médio R em uma órbita elíptica é a média aritmética entre as distâncias médias máxima dmáx e mínima 
dmín do planeta em questão até o Sol.
+= mín máxd dR
2
2o. Chamamos de período de revolução T o intervalo de tempo que o planeta gasta em cada volta em torno do Sol.
Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton
De acordo com uma curiosa história sobre o desenvolvimento das teorias da Gravitação Universal, Newton es-
taria sentado sob uma macieira quando uma fruta dessa árvore caiu em sua cabeça, despertando-o para a formu-
lação dessa teoria. Apesar de ser cercada de ficção, essa passagem foi narrada por François-Marie Arouet, também 
conhecido como Voltaire (1694-1778) – famoso filósofo iluminista francês –, em seu livro intitulado Éléments de la 
Philosophie de Newton:
A1 = A2
3a. A reta que une um 
planeta ao Sol “varre” 
áreas iguais em tem-
pos iguais.
Física 9
m
M
h
R
O cientista Henry Cavendish (1731-1810), realizando um experimento que ficou conhecido como 
pêndulo de torção, conseguiu determinar que G – chamada de constante da Gravitação Universal 
– vale 6,67 · 10–11 
N m
kg
⋅ 2
2
.
Para compreender a relação entre a força gravitacional e a aceleração gravitacional, vamos vol-
tar à situação em que um objeto qualquer de massa m é aproximado de um astro esférico de massa 
M. Se considerarmos que as dimensões do objeto são desprezíveis e que o raio do astro é R, temos 
a situação ao lado.
 Newton observou que a força que a 
Terra faz sobre os objetos na superfície 
terrestre tem a mesma natureza da 
força que faz sobre os demais astros, 
como a Lua. 
©
Sh
u
tt
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st
oc
k/
C
ar
lo
 T
of
fo
lo
Um dia, no ano de 1666, Newton retirado no campo e ven-
do caírem frutos de uma árvore, segundo me contou sua sobrinha 
senhora Conduit, entregou-se a uma profunda meditação sobre a 
causa que arrasta assim todos os corpos numa linha que, se fosse 
prolongada, passaria mais ou menos pelo centro da Terra.
Seja ou não verdade a passagem da queda da maçã, mais do que perce-
ber que a Terra era capaz de atrair objetos, Newton constatou que quaisquer 
duas massas (corpos) sempre se atraem quando próximas. Chamada de força 
de atração gravitacional, essa força de campo entre duas massas apresenta a 
direção da reta que une os seus centros em sentido que denota atração entre 
os corpos, como na imagem.
m F
d
MF–
A Lei da Gravitação Universal de Newton foi enunciada em seu livro Principia Mathematica. Matematicamente, essa 
lei pode ser expressa pela equação a seguir, em que G representa uma constante de proporcionalidade.
F
G M m
d
=
⋅ ⋅
2
“Todos os objetos no Universo atraem todos os outros objetos com uma força direcionada 
ao longo da linha que passa pelos centros dos dois objetos e que é proporcional ao produtodas suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os dois objetos.”
D
KO
 E
st
ú
d
io
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
Na Lei da Gravitação Universal, a força F pode ser entendida como a força peso, assim podemos substituir uma pela 
outra: 
F
G M m
d
P
G M m
d
= =
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅
2 2
Como P = m · g, temos:
m g
G M m
d
g
G M
d
⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅= =
2 2
10 Volume 2
1. A aceleração gravitacional na Terra é de aproximada-
mente 9,8 m/s2. Determine o peso de uma pessoa que 
tem massa de 85 kg na Terra.
P m g P P N= = =⋅ ⇒ ⋅ ⇒85 9 8 833,
2. A aceleração da gravidade não depende da massa do 
corpo, mas de algumas características do planeta em 
que esse corpo se encontra. Pesquise os fatores que 
interferem na aceleração gravitacional de um planeta e 
o valor da aceleração da gravidade em Mercúrio, Marte 
e Vênus. 
A aceleração da gravidade de um planeta depende basicamente 
de sua massa e seu raio. A aceleração da gravidade de Mer-
cúrio, Marte e Vênus são iguais, respectivamente, a 3,78 m/s2, 
3,72 m/s2 e 8,60 m/s2. 
Atividades
Se considerarmos que o objeto está a uma altura h em relação à superfície dele, então d = R + h. Dessa forma, po-
demos calcular o módulo da aceleração da gravidade em um ponto qualquer ao redor desse astro usando a seguinte 
equação:
g
G M
R h
=
+
⋅
( )2
Com isso, podemos tirar as conclusões a seguir.
 • O módulo da aceleração da gravidade g de um corpo situado a uma altura h da superfície de um planeta de-
pende somente da massa M desse planeta e da distância R + h desse ponto ao centro dele.
 • O módulo da aceleração da gravidade g em um planeta diminui à medida que se afasta da superfície dele.
 • A gravidade g não depende da massa m do corpo. 
 • O peso P de um corpo de massa m depende dessa massa e da aceleração da gravidade a que ele está sujeito, pois 
P = m · g.
 • Uma pessoa com 90 kg de massa apresenta peso aproximado de 900 N na Terra, enquanto na Lua seu peso vale 
cerca de apenas 150 N, ainda que sua massa continue sendo de 90 kg nesse outro local. Essa diferença se deve ao 
fato de o campo gravitacional na superfície terrestre ser praticamente seis vezes mais intenso que o campo gravi-
tacional na superfície lunar.
3. A frase “É um pequeno passo para o ser humano, um 
salto gigantesco para a humanidade” marcou a chegada 
do primeiro astronauta ao pisar na Lua – Neil Armstrong. 
Seu peso total na Lua era de 300,0 N e sua massa total 
era de 187,5 kg. Com base nessas informações, qual o 
módulo da aceleração gravitacional na Lua?
P m g g
g g
= =
= = m/s2
⋅ ⇒ ⋅
⇒
300 187 5
300
187 5
16
,
,
,
4. Um corpo está apoiado sobre a superfície de um bal-
cão. A força peso que age sobre o corpo tem módulo 
de 480 N. Faça o que se pede:
a) Determine a massa do corpo considerando que a 
aceleração gravitacional vale 10 m/s2.
P m g m
m m kg
= =
= =
⋅ ⇒ ⋅
⇒
480 10
480
10
48
b) O que ocorreria com o valor da massa do corpo se a 
aceleração da gravidade fosse maior que 10 m/s2?
Nada. A massa de um corpo não depende da aceleração 
gravitacional.
Física 11
5. 
Um planeta vermelho para chamar de lar
D
KO
 E
st
ú
d
io
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
 Simulação dos módulos de moradia em Marte
Séculos atrás, exploradores partiram rumo 
ao Atlântico em barcos a vela, equipados ape-
nas com bússolas e sextantes, para colonizar 
o “novo” mundo. Hoje, o homem pode estar 
prestes a realizar jornada parecida – agora 
com mais conhecimento e transmissão pela 
internet, mas sem perspectiva de retorno. Se 
uma viagem só de ida para Marte pode parecer 
pura loucura de ficção científica, há mais de 
100 mil “loucos” bem-dispostos inscritos no 
projeto privado Mars One, que pretende dar 
início à colonização do planeta vermelho. [...].
Se tudo correr bem, o primeiro grupo de as-
tronautas deve deixar a Terra em 2022. Mas o 
projeto chega a Marte bem antes: missões não 
tripuladas partirão rumo ao planeta a partir de 
2016. Elas colocarão satélites de comunicações 
em órbita e levarão grandes sondas terrestres, 
que definirão o local do assentamento e realiza-
rão a instalação dos primeiros módulos habita-
cionais. Quando o grupo de pioneiros chegar, a 
estrutura estará pronta, com reservas de água e 
oxigênio. Segundo a empresa, o segundo grupo 
viajará dois anos depois e assim sucessivamen-
te pelos anos seguintes. [...]
GARCIA, Marcelo. Um planeta vermelho para chamar de lar. 
Ciência Hoje, 22 ago. 2013. Disponível em: <http://cienciahoje.uol.
com.br/noticias/2013/08/um-planeta-vermelho-para-chamar-de-
lar/>. Acesso em: 17 set. 2014.
 Além de os viajantes nunca mais voltarem para casa, 
existirão diversos outros fatores que devem ser levados 
em conta para a seleção dos candidatos desse reality 
show. Apesar de Marte ser o planeta do Sistema Solar 
que mais se assemelha à Terra, sua atmosfera, clima e 
aceleração gravitacional são distintos.
 A aceleração gravitacional de Marte é de aproximadamen-
te 3,7 m/s2 enquanto na Terra é de 9,8 m/s2. Com base 
nessas informações, responda às questões a seguir.
a) Qual a massa, em kg, de uma pessoa que pesa, na 
Terra, 784 N?
P m g m
m m kg
T = =
= =
⋅ ⇒ ⋅
⇒
784 9 8
784
9 8
80
,
,
b) Qual o peso dessa pessoa em Marte?
P m g P P NM M M= = =⋅ ⇒ ⋅ ⇒80 3 7 296,
c) Determine a diferença entre o peso dessa pessoa na 
Terra e em Marte.
P P P P P NT M’ ’ ’= = =− ⇒ − ⇒784 296 488
6. Em Júpiter, a aceleração da gravidade é de aproxima-
damente 26,0 m/s2, enquanto na Terra podemos con-
siderar que a aceleração gravitacional é de 10,0 m/s2. 
Qual seria, em Júpiter, o peso de um astronauta que na 
Terra pesa 800 N?
P m g m m m kg= = = =⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒800 10
800
10
80
P m g P P NJ J J= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =80 26 2080
7. (UNICAMP – SP) 
A primeira lei de Kepler demonstrou que os 
planetas se movem em órbitas elípticas e não 
circulares. A segunda lei mostrou que os plane-
tas não se movem a uma velocidade constante.
(Adaptado Marvin Perry, Civilização Ocidental: uma história 
concisa. São Paulo: Martins Fontes, 1999, p. 289.)
 É correto afirmar que as leis de Kepler
a) confirmaram as teorias definidas por Copérnico e 
são exemplos do modelo científico que passou a 
vigorar a partir da Alta Idade Média.
b) confirmaram as teorias defendidas por Ptolomeu e 
permitiram a produção das cartas náuticas usadas 
no período do descobrimento da América.
c) são a base do modelo planetário geocêntrico e se tor-
naram as premissas científicas que vigoram até hoje.
X d) forneceram subsídios para demonstrar o modelo 
planetário heliocêntrico e criticar as posições defen-
didas pela Igreja naquela época.
As leis de Kepler serviram de base para o modelo heliocêntrico que pas-
sou a vigorar a partir 
da Idade Moderna.
12 Volume 2
8. (UNICAMP – SP) Em setembro de 2010, Júpiter atingiu 
a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras 
abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a 
de maior aproximação dos planetas, considerando que 
suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terres-
tre (RT) mede 1,5 ∙ 10
11 m e que o raio da órbita de 
Júpiter (RJ) equivale a 7,5 ∙ 10
11 m.
Maior afastamento
Júpiter
Sol
R
J
R
T
Terra
Maior aproximação
Júpiter SolTerra
 A força gravitacional entre dois corpos de massa m1 e m2 
tem módulo F G
m m
r
=
⋅1 2
2
, em que r é a distância entre 
eles e G = 6,7 ∙ 10–11 
Nm
kg
2
2
. Sabendo que a massa de 
Júpiter é mJ = 2,0 ∙ 10
27 kg e que a massa da Terra é 
mT = 6,0 ∙ 10
24 kg, o módulo da força gravitacional entre 
Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade é
a) 1,4 ∙ 1018 N
X b) 2,2 ∙ 1018 N
c) 3,5 ∙ 1019 N
d) 1,3 ∙ 1030 N
F G
m m
r
F
F
T J= ⋅
⋅
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅( )
= ⋅
−
2
24 27
11
2
41
6 7 10
6 0 10 2 10
6 10
8 10
36
11,
,
⋅⋅
⇒ = ⋅
10
2 2 10
22
18F N,
9. (FGV – SP) Em seu livro O pequeno príncipe, Antoine 
de Saint-Exupéry imaginou haver vida em certo planeta 
ideal. Tal planeta teria dimensões curiosas e grande-
zas gravitacionais inimagináveis na prática.Pesquisas 
científicas, entretanto, continuam sendo realizadas e 
não se descarta a possibilidade de haver mais planetas 
no sistema solar, além dos já conhecidos.
 Imagine um hipotético planeta, distante do Sol 10 vezes 
mais longe do que a Terra se encontra desse astro, com 
massa 4 vezes maior que a terrestre e raio superficial 
igual à metade do raio da Terra. Considere a aceleração 
da gravidade na superfície da Terra expressa por g.
 Esse planeta completaria uma volta em torno do Sol em 
um tempo, expesso em anos terrestres, mais próximo de
a) 10
b) 14
c) 17
d) 28
X e) 32
R R
T ano
T
T
R
T
R
T
R
T
R
T
x T
T
x
x
x
T
T
x
T
T
T
= ⋅
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
= ⇒
⋅( )
= ⇒
10
1
10
2
3
2
3
2
3
2
3
?
xx
T T
x
x x
R R
T
T T anos
2
3
2
3
2
2
1000
1
1000
1 1000 32
⋅
=
= ⇒ = ⇒ ≅
Força normal
O termo normal muitas vezes é empregado, no nosso cotidiano, como sinônimo de comum, ordinário, natural, etc. 
Na Matemática, Física e em outras áreas do conhecimento científico, o termo normal define uma linha perpendicular 
a um plano ou superfície qualquer. 
Vamos nos referir a normal em situações como forças, raios de luz ou outros entes representados por segmentos 
(orientados ou não) perpendiculares a um plano. Na Mecânica, quando dois corpos se encostam, havendo um contato 
e, portanto, uma compressão, surge uma força que é chamada de força normal, justamente por apresentar direção 
que forma um ângulo de 90° com a superfície de contato entre os corpos.
Reta normal
plano S
 Uma reta normal 
a um plano forma 
um ângulo de 90°.
A força normal é uma grandeza vetorial que resulta da in-
teração de contato entre dois corpos. Essa força tem direção 
perpendicular à superfície de contato e sentido oposto à força 
que provoca a compressão. A força normal é representada por 
“N” ou “FN” e, por ser uma força, é medida em newton (N) no SI.
Sugestão de atividades: questões 1 a 9 da seção Hora de estudo.
Física 13
Determinação da força normal
A força normal é uma força de contato e, para ser determinada, é preciso verificar todas as forças que estão atuando 
na situação. Não há uma equação que forneça a força normal em qualquer sistema, por isso é preciso analisar caso a 
caso. Veja, a seguir, como determinar a força normal em três situações casuais:
 I. Atletas estão sobre um pódio para receber a premiação referente a uma competição esportiva.
Em decorrência da atração gravitacional entre corpos, a Terra puxa os atle-
tas para baixo (para seu centro). Se eles não tivessem o pódio como apoio, 
cairiam, isto é, seriam acelerados para baixo. De acordo com a Primeira Lei de 
Newton, quando a resultante das forças aplicadas em um corpo apresenta 
módulo nulo, ele permanece em equilíbrio, sem aceleração – nesse caso, em 
repouso. Dessa forma, se os competidores estão em repouso, alguma força 
precisa anular a ação da força peso. Essa força tem que ser também vertical, 
mas voltada para cima.
Quando os atletas sobem no pódio, seus pés o empurram para baixo em vir-
tude do contato entre as superfícies. Simultaneamente, o pódio reage – de acor-
do com a Terceira Lei de Newton – e empurra cada um deles verticalmente para 
cima. Como o plano do pódio é horizontal, essa força é vertical, ou seja, perpendicular à superfície (formando ângulo de 90°). 
Essa força é, então, chamada de força normal.
As características do peso e da normal nessa situação podem dar a fal-
sa impressão de que essas forças constituem um par ação-reação. A força 
peso e a força de reação normal não constituem um par ação-reação, 
uma vez que:
 • a reação ao peso do corpo do atleta atua no centro da Terra, en-
quanto a reação da normal atua no pódio;
 • forças de ação e reação sempre têm a mesma natureza, ou seja, 
devem ser ambas de campo ou ambas de contato. A força peso é 
uma força de campo, a força normal é de contato;
 • forças de ação e reação nunca podem atuar no mesmo corpo.
 II. Uma pessoa tenta deslocar um armário, empurrando-o com as mãos.
No momento em que a pessoa encosta no armário para empurrá-lo, ela 
exerce uma força horizontal. Simultaneamente, de acordo com a Terceira 
Lei de Newton, o móvel reage e empurra a pessoa no sentido contrário. É 
possível pensar que essa reação aplicada pelo armário é uma espécie de 
resistência à ruptura da madeira, pois, se ela não fosse exercida, as mãos da 
pessoa atravessariam sua superfície. Vale notar que essa força horizontal é 
realmente perpendicular à parede vertical do armário, por isso é uma força 
normal.
N
pessoa 
 sobre 
 armário
N
armário
 sobre
 pessoa Ao empurrar um 
guarda-roupa, há 
uma força normal 
(perpendicular) 
entre as mãos e o 
móvel.
Esse é um exemplo que 
serve para mostrar que 
a força normal não é 
sempre vertical.
 Quando estamos em pé sobre uma superfície, 
existe uma força de sustentação denominada 
de força normal.
Ilu
st
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çõ
es
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iv
an
zi
r P
ad
ilh
a.
 2
01
0.
 3
D
.
 A força com que se empurra um guarda-roupa 
pode ser denominada de força normal.
Neste primeiro momento, preferimos deixar explícita a ação da força normal da atleta sobre 
o solo e do solo sobre a atleta. 
 Na ilustração da esquerda estão representadas, 
em um único ponto, as forças que agem sobre 
a atleta em cima do pódio. Na ilustração do 
centro foram representadas as forças de ação e 
reação do peso e na ilustração da direita foram 
representadas as forças de ação e reação da 
força normal.
N 
solo sobre 
 atleta
P 
atleta
P 
atleta
P 
atleta reação
N 
solo sobre 
 atleta
N 
atleta 
sobre solo
14 Volume 2
 III. Uma pessoa descendo um escorregador.
Uma pessoa descendo um escorregador está submetida à 
ação de duas forças (desprezando atritos): a força peso, vertical 
para baixo; a força normal, perpendicular à superfície de con-
tato, isto é, perpendicular ao plano que contém a rampa do 
escorregador. Observe na imagem que a pessoa faz uma força 
normal sobre o escorregador (Npessoa sobre escorregador ) e o es-
corregador reage, aplicando uma força normal sobre a pessoa 
(Nescorregador sobre pessoa ).
Nesse caso, as forças normais sobre o corpo da pessoa e sobre o escorregador compõem um par de ação e reação. 
A reação da força peso está aplicada no centro da Terra e não está representada na ilustração.
P
pessoa
N
pessoa sobre 
 escorregador
N
escorregador 
 sobre pessoa
 A força normal de 
uma superfície 
inclinada sobre 
uma pessoa 
forma um ângulo 
de 90° com a 
superfície.
N
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
Módulo: condicionado pela ação das outras forças.
Direção: perpendicular à superfície de contato.
Sentido: depende da situação analisada.
Elevadores
O funcionamento dos elevadores está intimamente ligado à Mecânica e, em particular, às leis de Newton. Por isso, 
ele é muito utilizado para ilustrar as aplicações dessas leis.
Mesmo não sendo muito perceptível, algumas pessoas têm a sensação de 
aumento ou redução do peso quando estão dentro de um elevador. A sensação 
de peso é, na realidade, um efeito da força normal aplicada sobre o nosso corpo. 
Quando a força normal é maior que o nosso peso, temos a sensação de estar-
mos mais pesados; quando é menor que o peso, temos a sensação de estarmos 
mais leves. Claro que, se nem a massa nem a aceleração gravitacional variarem, 
não haverá alteração no peso – essa sensação é apenas um reflexo da força de 
compressão, que fica momentaneamente maior ou menor.
Em um elevador, podemos observar três situações, descritas a seguir.
a) Elevador sem aceleração: 
repouso.
velocidade constante para cima.
velocidade constante para baixo.
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
b) Aceleração para baixo: 
⎧
⎨
⎩
elevador iniciando a descida a partir do repouso.
elevador subindo, começando a parar.
c) Aceleração para cima: 
⎧
⎨
⎩
elevador iniciando a subida a partir do repouso.
elevador descendo, começando a parar.
 Ao descer um escorregador, a força de sustentação do 
brinquedo sobreo corpo é uma força normal.
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
Ev
ile
d
Algo semelhante acontece ao se passar por uma depressão (sensação de aumento de peso) ou 
lombada (sensação de redução do peso).
Ilu
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01
5.
 D
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l.
 Após entrar em movimento, espera-se 
que o elevador movimente-se com 
velocidade constante para reduzir o 
desconforto de seus passageiros.
Física 15
Elevador sem aceleração 
Considere uma pessoa de peso P, dentro de um elevador em repouso. Para analisar o que 
ocorre com essa pessoa, é preciso indicar as forças que atuam nela. Observe a figura.
As únicas forças que agem sobre o corpo da pessoa no elevador são a força peso, vertical 
para baixo, e a força normal, vertical para cima. Como vimos anteriormente, a força resultante 
é igual à soma das forças aplicadas sobre o corpo da pessoa. Vamos considerar o sentido para 
cima como positivo. Nesse caso, a força normal tem sinal positivo (pois aponta para cima) e 
a força peso tem sinal negativo (pois aponta para baixo). Desse modo:
F F
F N P
R
R
=
=
∑
− (equação 1)
Como essa pessoa está parada, não há aceleração. De acordo com a Segunda Lei de Newton:
F m a
F m
F
R
R
R
=
=
=
⋅
⋅ 0
0 (equação 2)
Combinando a equação 1 da força resultante com a Segunda Lei de Newton (equação 2), temos que:
F N P
F
N P
N P
R
R
=
=
logo
=
=
−⎧
⎨
⎩
−
0
0
,
Essa situação também é válida quando o corpo está em equilíbrio dinâmico, isto é, quando a velocidade do eleva-
dor é constante. Nesse caso, a aceleração também é nula e, em módulo, a força normal é igual à força peso.
Elevador com aceleração para cima
Podemos observar um elevador acelerando para cima em duas situações. Primeiro, 
quando ele está parado e começa a subir. A segunda situação é quando o elevador está 
descendo, com sinal (sentido) da velocidade negativo e freia para parar. Para que ele pare, 
a aceleração deve ser contrária à velocidade, e, por isso, deve ser aplicada para cima.
Considere uma pessoa peso P dentro de um elevador em repouso, que começa a 
subir com aceleração a. Vamos indicar as forças aplicadas sobre a pessoa. 
As forças aplicadas sobre o corpo da pessoa no elevador são as mesmas do caso 
anterior: a força peso, vertical para baixo, e a força normal, vertical para cima. Note que, 
nesse caso, a força normal é maior que a força peso, pois há uma força resultante para 
cima e consequentemente uma aceleração positiva. Desse modo, a força resultante 
é igual a:
F F
F N P
R
R
=
=
∑
− (equação 1)
 Quando uma pessoa 
está no interior de um 
elevador em repouso, 
a força normal e o 
peso têm mesmo 
módulo.
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
 Quando o elevador 
acelera para cima, a 
força normal sobre a 
pessoa tem módulo 
maior que a força peso.
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
16 Volume 2
De acordo com a Segunda Lei de Newton:
F m aR = ⋅ (equação 2)
Combinando a equação 1 da força resultante com a Segunda Lei de Newton (equação 2), temos que:
F N P
F m a
o
N P m a
N P m a
R
R
=
=
=
= +
−
⋅
⎧
⎨
⎩
− ⋅
⋅
log ,
Nesse caso, a força normal é maior que a força peso, como havíamos previsto, pois é resultado da soma do peso 
com a força resultante (m · a). Essa situação também é válida quando o corpo está descendo e começa a frear, com 
aceleração para cima.
Elevador com aceleração para baixo
Um elevador pode acelerar para baixo em duas situações: quando está parado e começa 
a descer ou quando ele está subindo, com sinal (sentido) da velocidade positivo, e freia para 
parar. Nesse segundo caso, a aceleração deve ser contrária à velocidade e, por isso, deve ser 
aplicada para baixo.
Considere uma pessoa com peso P, dentro de um elevador em repouso, que começa a 
descer com aceleração a. A ilustração apresenta as forças aplicadas sobre a pessoa. Man-
tendo a mesma notação do caso anterior, vamos considerar o sentido para cima como 
positivo.
Observe, agora, que a força normal deve ser menor que a força peso, para provocar uma 
força resultante para baixo e, consequentemente, uma aceleração negativa no referencial 
adotado. A força resultante no corpo da pessoa é igual a:
F F
F N P
R
R
=
=
∑
− (equação 1)
De acordo com a Segunda Lei de Newton:
F m a
F m a
R
R
=
=
⋅ −( )
− ⋅ (equação 2)
Combinando a equação 1 da força resultante com a Segunda Lei de Newton (equação 2), temos que:
F N P
F m a
o
N P m a
N P m a
R
R
=
=
=
=
−
− ⋅
⎧
⎨
⎩
− − ⋅
− ⋅
log ,
Nesse caso, o módulo da força normal é menor que o da força peso. Note que o sinal da aceleração é negativo, uma 
vez que a aceleração é para baixo. 
Essa situação também é válida quando o corpo está subindo e começa a frear, com aceleração para baixo.
6 Orientação dos eixos cartesianos.
 Quando o 
elevador acelera 
para baixo, a força 
normal sobre a 
pessoa deve ter 
módulo menor 
que a força peso.
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
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l.
Física 17
Plano inclinado
Nas aplicações das leis de Newton para o movimento de 
elevadores, mostradas anteriormente, vimos situações em que 
a força normal tinha direção vertical. Apesar de isso ser bastante 
comum, não é obrigatório. Como a força normal é perpendicular 
à superfície de apoio, se essa superfície for inclinada, a direção 
da normal também será inclinada. Como exemplo, considere um 
esquiador descendo uma montanha coberta de neve.
Para facilitar nossa análise, vamos desenhar o diagrama de 
corpo livre do esquiador, representando as forças aplicadas 
sobre ele (o atrito foi desprezado). Em situações como essa, é 
conveniente decompor a força peso em duas componentes: 
uma perpendicular ao plano inclinado, Py, e outra paralela, Px. 
Essas componentes da força peso podem ser determinadas por 
meio das relações trigonométricas do triângulo retângulo, cuja 
hipotenusa é a força peso.
N
y
x
P
y
P
P
x
 Para analisar a situação de uma pessoa em um plano 
inclinado, é conveniente decompor a força peso nos 
eixos do plano cartesiano e representá-los em um 
ponto do corpo.
Nos lançamentos de foguetes, assim como ocorre com os passageiros 
que estão no interior de um elevador que sobe em movimento acelerado, os 
astronautas têm a sensação de estarem mais pesados. Apesar de o peso do 
astronauta não se alterar em um caso desses, essa impressão deve-se ao fato 
de sua normal sofrer um acréscimo substancial, provocado pela aceleração 
exageradamente maior do que as experimentadas em elevadores. 
Situações intensas e pouco habituais, como a do lançamento de um 
foguete, exigem uma série de cuidados especiais, para que a saúde dos 
tripulantes não seja colocada em risco. Em decorrência da aceleração 
para cima, verifica-se uma natural tendência de o sangue dos astronau-
tas começar a se concentrar em seus membros inferiores por inércia. Isso 
pode acarretar dois problemas: desmaios por falta de oxigenação no cé-
rebro e acúmulo de sangue nas pernas e nos pés com rompimento de 
capilares e hemorragias. 
Para evitar ou reduzir os efeitos desses traumas, os tripulantes de um foguete passam por uma rotina de intensos 
treinamentos e, durante o seu lançamento, permanecem deitados. Com isso, a distribuição dos fluidos corporais tende 
a ser mais homogênea, minimizando os efeitos fisiológicos provocados pela elevada aceleração da espaçonave.
 Durante lançamentos de foguetes, a força normal pode 
exceder em muitas vezes o módulo da força peso.
N
A
SA
/J
er
ry
 C
an
n
on
, R
ob
er
t 
M
u
rr
ay
N
P
 Em planos inclinados, a força peso e a força normal estão 
em direções diferentes.
Ilu
st
ra
çõ
es
: J
ac
k 
A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
a) Módulo da componente do peso na direção x (Px):
cateto oposto
hipotenusa
sen
P
P
sen
P P sen
x
x
=
=
=
α
α
α⋅
b) Módulo da componente do peso na direção y (Py):
cateto adjacente
hipotenusa
P
P
P P
y
y
=
=
=
cos
cos
cos
α
α
α⋅
ConexõesConexões
18 Volume 2
 Ladeiras e rampas sãoexemplos de aplicações de 
planos inclinados. Por que 
superfícies inclinadas podem 
ser tão úteis no dia a dia?
©
D
re
am
st
im
e.
co
m
/C
h
ris
tin
a 
Ri
ch
ar
d
sSe considerarmos que a superfície da montanha coberta de neve é extremamente 
lisa (a ponto de o atrito ser desprezível) e que, portanto, o esquiador fica sujeito apenas 
ao seu próprio peso e à força normal, é possível concluir que: 
 • a componente do peso na direção y (Py) equilibra a força normal, evitando que 
o esquiador faça movimentos na direção perpendicular à superfície da mon-
tanha; 
 • a componente do peso na direção x (Px) exerce papel de resultante das forças, 
visto que as outras forças ou componentes se anulam. 
Os planos inclinados podem ser utilizados para facilitar a realização de algumas 
tarefas. O uso mais comum de um plano inclinado com essa finalidade é a rampa. 
Para verificar como os planos inclinados podem ser úteis, veja duas situações resol-
vidas a seguir, em que uma caixa de 120 kg deve ser elevada a uma altura de 1,5 m. No 
primeiro caso, a pessoa tenta levantar o objeto diretamente na vertical. No segundo, é 
utilizado um plano inclinado liso, no qual o atrito pode ser desprezado.
Ilu
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a.
 2
01
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 3
D
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Situação 1
Para conseguir levantar verticalmente o objeto de 120 kg, é 
necessário exercer uma força, no mínimo, de mesmo módulo do 
peso desse objeto, ou seja, 1 200 N (P = m · g ⇒ P = 120 · 10). 
Apesar de isso não ser impossível, raras são as pessoas capazes 
de conseguir aplicar uma força vertical com tamanha intensidade.
F
P
Situação 1
 Para acelerar um objeto 
para cima, deve-se aplicar 
uma força de magnitude 
superior ao módulo da 
força peso, o que dificulta 
a elevação de objetos de 
grande massa.
P
x
Situação 2
F
 Ao usar planos 
inclinados, a 
decomposição 
da força peso faz 
com que a força 
necessária para 
empurrar o objeto 
seja menor.
Situação 2
Para elevar o mesmo objeto, arrastando-o sobre o plano incli-
nado (sem atrito), é necessário exercer uma força, no mínimo, de 
mesmo módulo da componente x do peso, a Px, que depende do 
seno do ângulo (cateto oposto sobre hipotenusa). Ou seja, é preciso 
fazer uma força de apenas 180 N (Px = P · sen α ⇒ Px = 1 200 
· 0,15). Nesse caso, a força necessária para elevar o objeto até a 
altura desejada é bem menos intensa e, portanto, capaz de ser 
aplicada pela maioria das pessoas.
Situação 1
120 kg
120 kg
10 m
Situação 2
1,5 m
 Ao usar rampas 
inclinadas, 
podemos reduzir 
a força aplicada 
sobre o objeto, 
muito embora a 
distância percorrida 
seja maior.
Física 19
Aplicando a Segunda Lei de Newton ( F =m aR ⋅ ) sobre cada carrinho, teremos:
( )
( )
( ){
A A A
A A
A A
BA A
N P = m 0 o carrinho não acelera na vertical
Vertical N P = 0
Carrinho 
N = P logo, essas forças se anulam
Horizontal F F = m a equação 1
⎧ − ⋅⎧
⎪ ⎪ −⎨⎪
⎨ ⎪
⎩⎪
⎪ − ⋅⎩
A
( )
( )
( ){
B B B
B B
B B
AB B
N P = m 0 o carrinho não acelera na vertical
Vertical N P = 0
Carrinho 
N = P logo, essas forças se anulam
Horizontal F = m a equação 2
⎧ − ⋅⎧
⎪ ⎪ −⎨⎪
⎨ ⎪
⎩⎪
⎪ ⋅⎩
B
Somando as duas equações (equação 1 e equação 2) e lembrando que, em módulo, FBA = FAB, temos:
+
= 1
= 2
=
= +
= +
F F m a
F m a
F F
F m a m a
F m m a
BA A
AB B
BA AB
A B
A B
− ⋅ ( )
⋅ ( ) ( )
⋅ ⋅
( ) ⋅
Ao empurrar o carrinho A com uma força F, este 
empurra o carrinho B com uma força FAB (força do car-
rinho A sobre o carrinho B). De acordo com a Terceira 
Lei de Newton, o carrinho B faz uma força de reação 
sobre o carrinho A denominada de FBA. Como cons-
tituem um par de ação e reação, as forças FAB e FBA 
têm mesmo módulo e direção, mas sentidos opostos. 
Há ainda as forças peso e normal sobre cada carrinho, 
também representadas na ilustração.
Para facilitar a análise da situação, podemos resol-
vê-la fazendo os diagramas de corpo livre, isto é, a re-
presentação das forças aplicadas isoladamente sobre 
cada um dos corpos e aplicadas sobre um único ponto.
Sistemas envolvendo forças de contato
Em algumas situações, costumamos realizar forças sobre dois ou mais corpos. Nesses casos, esses corpos nos quais 
as forças são aplicadas podem ser considerados sistemas mecânicos.
Suponha que você está em um supermercado e precisa empurrar simultaneamente dois carrinhos cheios de 
compras: o carrinho A e o carrinho B, com massas mA e mB. Para isso, você posiciona o carrinho A atrás do carrinho B e 
empurra aquele que está atrás. Desconsidere o atrito.
F
N
A
F
BA
P
A
N
B
F
AB
P
B
A B
 Em sistemas de contato, a força resultante externa aplicada, no caso a 
força feita pela pessoa, acelera simultaneamente os dois carrinhos.
Ilu
st
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çõ
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: D
KO
 E
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ú
d
io
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
20 Volume 2
Considerando que os carrinhos têm massas mA = 20 kg e mB = 10 kg, e que são empurrados pela força 
F = 60 N, podemos determinar a aceleração do sistema:
F m m a a a aA B= + = + = = m/s
2( )⋅ ⇒ ( )⋅ ⇒ ⋅ ⇒60 20 10 60 30 2
Para determinar os valores das forças com que o carrinho A empurra o carrinho B e vice-versa, podemos retornar 
às equações 1 e 2 e substituir a aceleração pelo valor encontrado:
( )− ⋅
− ⋅
−
BA A
BA
BA
BA
F F = m a equação 1
60 F = 20 2
60 F = 40
F = 20 N
 
( )⋅
⋅
AB B
AB
AB
F = m a equação 2
F = 10 2
F = 20 N
Observe que os valores das forças são iguais, pois constituem um par de ação e reação. Por esse motivo, não é 
necessário realizar o cálculo em cada equação, a não ser para conferir os valores obtidos.
Resultante centrípeta
Sempre que um objeto descreve uma trajetória curvilínea, a resultante das forças perpendiculares à sua velocidade, 
ou seja, a resultante centrípeta apresenta módulo diferente de zero. Um caso clássico é o globo da morte.
Entre as mais conhecidas atrações de um circo, está o globo da morte – uma esfera oca, construída com tiras de 
metal e no interior da qual motociclistas realizam manobras relativamente arriscadas.
De todas as peripécias realizadas num globo da morte, a mais impressionante é aquela em que o piloto e sua moto 
(de ponta-cabeça) passam pelo ponto mais alto sem cair. Para entendermos como isso é possível, antes precisamos 
saber quais forças atuam sobre os corpos participantes de uma situação como essa.
Se desprezarmos a resistência do ar, o atrito da moto com a superfície do globo é a força paralela à velocidade do 
conjunto (homem + veículo) e compõe a resultante tangencial que age sobre ele. Já o peso do conjunto e da força 
normal constitui a resultante centrípeta no caso abordado.
2
1
N
1
N
2P
P
No ponto 1: FRc1 = N1 – P
No ponto 2: FRc2 = N2 + P
Quanto mais rápido a moto se mover pelo globo da morte, mais ela comprime a superfície em que encosta, ou seja, 
quanto maior a velocidade da moto, maior a intensidade da força normal que age sobre o conjunto. Assim, conforme 
o motoqueiro resolve desacelerar, o valor da normal diminui. Ao passar pelo ponto mais alto da trajetória, se a normal 
atingir seu valor mínimo (zero), a moto estará passando por esse ponto sem comprimir a pista e, também, com a míni-
ma velocidade possível. Matematicamente:
⋅= + ⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅
2
mín
Rc mín
m v
F N P 0 m g v r g
r
Se a velocidade da moto for inferior à velocidade mínima, antes mesmo de chegar ao ponto mais alto da trajetória, 
ele acaba caindo.
Física 21
1. Quando um corpo é apoiado sobre uma superfície pla-
na e horizontal, surge sobre ele uma força de contato 
denominada força normal. Essa força, nesse caso, tem 
o mesmo módulo da força peso e sentido contrário, 
entretanto, elas não formam um par de ação e reação. 
Apresente duas justificativas físicas para que as forças 
peso e normal não formem um par de ação e reação.
As forças peso e normal são de naturezas diferentes (uma é de 
campo e outra é de contato) e agem sobre um mesmo corpo.
2. A força normal tem esse nome por agir normal à super-
fície (90°). Em cada uma das figuras,indique a direção 
e o sentido da força peso e da força normal no ponto A.
a) 
N
P
A•
b) 
N
P
A•
c) 
N
P
A•
3. Para oferecer maior conforto aos passageiros, os 
elevadores são fabricados para desenvolver uma 
velocidade constante durante a maior parte do trajeto. 
Se uma pessoa de 80 kg estiver no elevador, qual será 
a intensidade da força normal que o piso do elevador 
exercerá sobre a pessoa se o elevador:
a) estiver parado;
N P N m g N N N= = = =⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒80 10 800
b) subir acelerado, com aceleração constante de 
2,0 m/s²;
F m a N P m a N P m a
N N N
R = = = +
= + =
⋅ ⇒ − ⋅ ⇒ ⋅
⋅ ⋅ ⇒80 10 80 2 960
c) descer acelerado, com aceleração constante de 
2,0 m/s2;
F m a N P m a N P m a
N N N
R = = =
= =
⋅ ⇒ − ⋅ − ⇒ − ⋅
⋅ − ⋅ ⇒
( )
80 10 80 2 640
d) descer freando, com aceleração constante de 
2,0 m/s2.
F m a N P m a N P m a
N N N
R = = = +
= + =
⋅ ⇒ − ⋅ ⇒ ⋅
⋅ ⋅ ⇒80 10 80 2 960
e) subir com velocidade constante.
N P N N N= = =⇒ ⋅ ⇒80 10 800
f) cair em queda livre.
N P m a N N N= = =− ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒80 10 80 10 0–
4. Um veículo de 1 200 kg está estacionado em uma 
subida que tem inclinação de 60° com a vertical. 
Determine a intensidade da reação normal que age 
sobre o veículo. (Considere a aceleração da gravidade 
igual a 10,0 m/s2).
N
P
xP
y
A
60o
BC
h
Como o ângulo de 60° está em relação à vertical, temos que 
o ângulo com a horizontal vale 30°.
N P N P
N
N N
y= =
=
=
⇒ ⋅
⋅ ⋅
cos 30
1200 10
3
2
6 000 3
°
Atividades
22 Volume 2
Força de tração
A palavra tração deriva do verbo tracionar, que significa esticar ou puxar. Dessa forma, quando um corpo sofre um 
puxão, a força que é aplicada em suas extremidades é chamada de força de tração. Apesar de essa força existir nas 
mais variadas situações cotidianas em que se tenta esticar algo, será restringido o estudo aos casos em que cordas, 
cabos ou fios inextensíveis e de massas desprezíveis são tracionados.
 Em diversas situações de nosso cotidiano, observamos a aplicação de forças de tração.
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Sh
u
tt
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st
oc
k/
M
ax
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 T
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Le
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st
oc
k/
So
lo
vi
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a 
Ek
at
er
in
a
A força de tração é uma grandeza vetorial que resulta da interação por contato entre dois corpos mediada por 
uma corda, fio, filamento, cabo, etc. A sua direção coincide com a direção da corda (fio, filamento, cabo…) que está 
tracionada. A força de tração é representada por T ou FT e, por ser uma força, é medida em newton (N) no SI.
5. Um dicionário de massa desconhecida foi colocado so-
bre uma prateleira com inclinação de 45° em relação à 
horizontal. Sabendo que a reação normal é de 28 N, 
determine a massa do livro. (Considere a aceleração da 
gravidade igual a 10 m/s² e 2 14= , ).
N P N P
m m
m kg
y= =
= =
=
⇒ ⋅
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅
cos
,
45
28 10
2
2
28 5 14
4
º
N
P
xPy
A
θ = 45°
C B
h
6. Dois blocos, A e B, de massas iguais a 3,0 kg e 4,0 kg 
respectivamente, estão em contato e sobre uma su-
perfície horizontal perfeitamente lisa. Uma pessoa os 
empurra com uma força de 56 N. Determine:
F
A B
a) o módulo da aceleração que o conjunto adquire;
F m a F m m aR R A B= = +⋅ ⇒ ( ) ⋅
56 3 4 8= + = m/s 2( ) ⋅ ⇒a a
b) a intensidade com que o bloco A empurra o bloco B;
F m a F m aRB B AB B= =⋅ ⇒ ⋅
F F NAB AB= =4 8 32⋅ ⇒
c) a intensidade com que o bloco B empurra o bloco A.
F m a F F m aRA A BA A= =⋅ ⇒ ⋅–
56 3 8 56 24 32– –F F F NBA AB AB= = =⋅ ⇒ ⇒
Os resultados das letras b e c são importantes para de-
monstrar para os alunos que a força com que A empurra 
B tem mesmo módulo da força com que B empurra A.
7. (UFRRJ) Um motoqueiro deseja realizar uma manobra 
radical num “globo da morte” (gaiola esférica) de raio 
4,9 m de raio. Para que o motoqueiro efetue um “looping” 
(uma curva completa no plano vertical) sem cair, o mó-
dulo da velocidade mínima no ponto mais alto da curva 
deve ser de
 Dado: Considere g = 10 m/s2
a) 0,49 m/s
b) 3,5 m/s
X c) 7 m/s
d) 49 m/s
e) 70 m/s
, ))
⋅= + ⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅
= ⋅ ⇒ = ⇒ =
2
mín
Rc mín
mín mín mín
m v
F N P 0 m g v r g
r
v 4,9 10 v 49 v 7 m/s
Sugestão de atividades: questões 10 a 16 da seção Hora de estudo.
Física 23
Roldanas ou polias
No exemplo anterior, em que uma pessoa puxava malas até o segun-
do andar de um edifício, nenhuma estratégia foi adotada para que essa 
tarefa fosse facilitada. Uma alternativa para facilitar a realização dessa 
tarefa é o uso de roldanas – rolamento com ranhura ou sulco em seu 
contorno, por onde passa uma corda, cabo, fio, etc.
Se as roldanas forem instaladas adequadamente, podem auxiliar na 
realização de tarefas, mudando a direção da aplicação da força (polias fixas) 
ou também diminuindo a intensidade da força necessária para se puxar 
algo preso a um cabo (polias móveis).
Determinação da força de tração
Considere que duas pessoas pretendem elevar diversas malas para o segundo 
andar de um prédio. Para evitar subir e descer as escadas várias vezes, uma delas 
propõe elevar as bagagens utilizando uma corda. Por segurança, a pessoa que está 
no apartamento prende-se pela cintura ao parapeito da janela e puxa a corda no 
qual seu colega amarrou as bagagens.
Levando em consideração que a corda utilizada é ideal (inextensível e de massa 
desprezível), podemos representar os pares de ação e reação relativos às forças de 
tração conforme a imagem. É possível notar que existem dois pares de ação e rea-
ção: entre mala e corda e entre corda e pessoa. Como partimos do pressuposto de 
que a corda é ideal, essas forças apresentam todas o mesmo módulo.
 Roldanas são máquinas 
simples que têm a 
finalidade de mudar a 
direção ou a intensidade 
da força aplicada.
7 Determinação da força de tração.
T
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
Módulo: condicionado pela ação das outras forças e 
pela aceleração do sistema.
Direção: direção do segmento da corda.
Sentido: analisar que ação estica a corda.
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
d
vo
ev
n
or
e
 Ao puxar um objeto com o uso 
de uma corda, a força de tração 
deve ser maior que o peso, em um 
primeiro momento, para provocar a 
aceleração para cima.
D
iv
an
zi
r P
ad
ilh
a.
 2
01
0.
 3
D
.
 A força de tração 
da corda é 
aplicada sobre a 
mala, com sentido 
para cima, e sobre 
a pessoa que a 
puxa, com sentido 
para baixo.
D
iv
an
zi
r P
ad
ilh
a.
 2
01
0.
 3
D
.
 As polias fixas não 
reduzem o valor da 
força que deve ser 
aplicada, mas alteram a 
direção de aplicação.
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.Polias fixas
O emprego de uma polia fixa confere maior conforto para quem 
puxa um objeto com o uso de cordas, uma vez que permite realizar 
a força em uma direção diferente. Todavia, a força aplicada é igual à 
força necessária caso não houvesse o uso da polia. Isso significa que 
as polias fixas mudam somente a direção de aplicação da força, sem 
alteração do módulo.
Suponha uma situação em que uma pessoa eleve uma mala com 
peso de 100 N. Para elevar a mala pelas alças, é necessário fazer uma 
força mínima de 100 N. Amarrando essa mala a uma corda e passan-
do-a por uma polia fixada na marquise de um edifício, a força mínima 
realizada sobre a corda para elevar a mala continua sendo de 100 N. 
No entanto, pode ser mais cômodo puxar a corda para baixo do que 
elevar a mala fazendo uma força para cima pelas alças.
24 Volume 2
Inserindo mais uma polia móvel no sistema, a força 
necessária para elevar a mala se reduz novamente pela 
metade, conforme representado na ilustração ao lado.
Nesse caso, para duas roldanas móveis, a força apli-
cada é:
F
P
F
P
= =
2 2 22⋅
⇒
Essa configuração é conhecida como talha expo-
nencial e, se tivermos n roldanas móveis, a força aplica-
da deve ser igual a:
F
P
n
=
2
T
1
T
1
P
T
2
 P= 4
T
2
 P= 4
T
1
 P= 2
T
1
 P= 2
FIXA
MÓVEL
MÓVEL T
2
 Quanto maior o número 
de polias móveis utilizadas 
em um sistema, menor a 
intensidade da força quedeve ser aplicada.
Polias móveis
As polias móveis, ao contrário das polias fixas, alteram a intensidade da força que deve 
ser aplicada. Uma polia móvel inserida em um sistema reduz pela metade essa força. 
Considere, na situação anterior, que a mala será elevada pela pessoa que está no 
segundo andar do edifício utilizando uma polia móvel, conforme a imagem.
Nessa situação, a força peso da mala é equilibrada por duas forças de tração: uma 
delas aplicada sobre a marquise do edifício e a outra sustentada pela pessoa. Logo a 
força aplicada pela pessoa é igual a:
F
P
=
2
 Em sistemas de tração em que o cabo não se distende, a aceleração de todos os elementos do sistema é igual.
Se a mala tem peso de 100 N, a pessoa aplica 
apenas metade da força para elevar a mala, isto 
é, ela faz uma força sobre a corda com uma 
intensidade de 50 N.
8 Texto sobre talhas expo-
nenciais e Arquimedes.
 As polias móveis reduzem o 
valor da força que deve ser 
aplicada.
TAB F
TBA
PB
NB
B A
PA
NADK
O
 E
st
ú
d
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. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
Ja
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 A
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01
0.
 D
ig
ita
l.
Sistemas envolvendo forças de tração
Em algumas situações, costumamos utilizar cordas, fios, etc. para realizar forças sobre dois ou mais corpos. Suponha 
que uma locomotiva puxe dois vagões A e B com massas mA e mB, por cabos inextensíveis como ilustrado na situação 
resolvida a seguir.
Física 25
Considere que a locomotiva puxa o vagão A com uma força F. Parte dessa força será utilizada para acelerar o 
vagão A; outra parte será transmitida para o vagão B, acelerando-o. De acordo com a Terceira Lei de Newton, o vagão 
A traciona o vagão B (TAB) que reage fazendo uma força de reação sobre o vagão A (TBA). Como constituem um par de 
ação e reação, as forças TAB e TBA têm mesmo módulo e direção, mas sentidos opostos.
Podemos representar o diagrama de corpo livre sobre cada um dos vagões. Aplicando a Segunda Lei de Newton 
(F m aR = · ) sobre cada vagão (na horizontal e vertical), teremos:
{
A A A
A A
A A
BA A
N – P = m 0 (o vagão não acelera na vertical)
Vertical N – P = 0
Vagão 
N = P (logo, essas forças se anulam)
Horizontal F – T = m a (equação 1)
⎧ ⋅⎧
⎪ ⎪
⎨⎪
⎨ ⎪
⎩⎪
⎪ ⋅⎩
A
{
B B B
B B
B B
AB B
N – P = m 0 (o vagão não acelera na vertical)
Vertical N – P = 0
Vagão 
N = P (logo, essas forças se anulam)
Horizontal T = m a (equação 2)
⎧ ⋅⎧
⎪ ⎪
⎨⎪
⎨ ⎪
⎩⎪
⎪ ⋅⎩
B
Somando as duas equações (equação 1 e equação 2) na horizontal e lembrando que, em módulo, TBA = TAB, temos:
+
= 1
= 2
=
= +
= +
F T m a
T m a
T T
F m a m a
F m m a
BA A
AB B
BA AB
A B
A B
− ⋅ ( )
⋅ ( ) ( )
⋅ ⋅
( ) ⋅
Considerando que os vagões têm massas mA = 20 000 kg e mB = 10 000 kg, e que a locomotiva puxa o sistema 
com força F = 6 000 N, podemos determinar a aceleração do sistema:
F m m a
a
a
a
A B= +
= +
=
= m/s 2
( ) ⋅
( ) ⋅
⋅
6000 20000 10000
6000 30000
0 2,
Para determinar os valores das forças com que o vagão A puxa o vagão B e vice-versa, podemos retornar às equa-
ções 1 e 2 e substituir a aceleração pelo valor encontrado:
( )− ⋅
− ⋅
−
BA A
BA
BA
BA
F T = m a equação 1
6 000 T = 20 000 0,2
6 000 T = 4 000
T = 2 000 N
 
( )⋅
⋅
AB B
AB
AB
T = m a equação 2
T = 10 000 0,2
T = 2 000 N
Ilu
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01
5.
 D
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ita
l.
26 Volume 2
Atividades
1. (PUC-Rio – RJ) Um objeto de massa m = 1,0 kg 
é pendurado no teto por um cabo rígido de massa 
desprezível. O objeto encontra-se imóvel, e a aceleração 
da gravidade no local é de g = 10 m/s2. A tração no 
cabo e a aceleração do objeto, respectivamente, são:
a) 5 N; 0 m/s2
b) 5 N; 10 m/s2
X c) 10 N; 0 m/s2
d) 10 N; 10 m/s2
e) 0 N; 0 m/s2
2. Marcos e Vítor puxam, cada um, uma mala de peso 
P em velocidade constante até uma mesma altura 
h. Porém, como mostrado na figura abaixo, Marcos 
puxa verticalmente, enquanto Vítor o faz em um plano 
sem atrito, com 60° de inclinação em relação ao 
solo. Sendo TM e TV as trações nos cabos puxados, 
respectivamente, por Marcos e Vítor, é correto afirmar 
que:
Marcos Vítor
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
a) TM > P 
b) TV > P
X c) TM = P
d) TV = P
e) TM < P
3. Dois blocos A e B de massas iguais a, respectivamente, 
4,0 kg e 6,0 kg estão ligados por um cabo inextensível 
e são puxados por uma força F sobre uma superfície 
horizontal e perfeitamente lisa. A força tem intensidade 
de 50 N. Determine:
F
A B
Como o sistema encontra-se imóvel, a 
aceleração é nula. Assim, a = 0 e temos: 
F m a F
P T P T T N
R R= =
= = =
⋅ ⇒
− ⇒ ⇒
0
0 10
a) o módulo da aceleração adquirida pelo conjunto;
F m a F m m aR A B= = +⋅ ⇒ ( ) ⋅
50 4 6 5= + = m/s 2( ) ⋅ ⇒a a
b) o módulo da força de tração com que o B puxa o A;
F m a T m aRA A BA A= =⋅ ⇒ ⋅
T T NBA BA= =4 5 20⋅ ⇒
c) o módulo da força de tração com que o A puxa o B.
F m a F T m aRB B AB B= =⋅ ⇒ ⋅−
50 6 5 50 30 20− −T T T NAB AB AB= = =⋅ ⇒ ⇒
4. Dois blocos, de massas M1 e M2, estão ligados por 
meio de um fio inextensível de massa desprezível que 
passa por uma polia ideal, conforme a ilustração. O blo-
co 2 está sobre uma superfície sem atrito e é acelerado 
pelo bloco 1. Sabendo que M1 = 2,0 kg e M2 = 6,0 kg, 
determine:
M
1
M
2
a) o módulo da aceleração do conjunto;
F m a M g M M aR = = +⋅ ⇒ ⋅ ( ) ⋅1 1 2
2 10 2 6 20 8 2 5⋅ ( ) ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒= + = m/s 2a a a ,
b) o módulo da força de tração do bloco 1 sobre o 
bloco 2.
F M a T M a
T T N
R2 2 12 2
12 126 2 5 15
= =
= =
⋅ ⇒ ⋅
⋅ ⇒,
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
Para Marcos, a TM = P. Para Vítor, deve-se realizar 
a decomposição da força peso. Assim, TV = Px.
Física 27
5. (UFMG) Antônio precisa elevar um bloco até uma altura 
h. Para isso, ele dispõe de uma roldana e de uma corda 
e imagina duas maneiras para realizar a tarefa, como 
mostrado nas figuras:
F
I
F
II
h h
I II
 Despreze a massa da corda e a da roldana e considere 
que o bloco se move com velocidade constante. Seja 
FI o módulo da força necessária para elevar o bloco na 
situação mostrada na Figura I. Na situação mostrada 
na Figura II, essa grandeza é FII. Com base nessas in-
formações, é correto afirmar que:
a) FI = FII
X b) FI = 2FII
c) 2FI = FII
d) FI = 4FII
6. Três blocos, A, B e C, cons-
tituem o sistema represen-
tado a seguir. Os blocos A 
e B, de massas iguais a 
mA = 4,0 kg, mB = 2,0 kg, 
estão sobre uma superfície 
horizontal perfeitamente lisa e o bloco C tem massa de 
mC = 4,0 kg e está preso ao bloco A por um fio inextensí-
vel e de massa desprezível. Considerando g = 10 m/s2, 
determine:
a) o módulo da aceleração adquirida pelo conjunto;
F m a P m m m a
a a
R C A B C= = + +
= + + = m/s 2
⋅ ⇒ ( ) ⋅
( ) ⋅ ⇒40 4 2 4 4
b) a intensidade da força que o corpo B exerce sobre A.
Para determinar a força que o corpo B exerce sobre A 
(NBA), é necessário determinar a tração de C sobre A 
(TCA). Sobre C temos:
F m a P T m a
T T
RC C C AC C
AC AC
= =
= = N
⋅ ⇒ − ⋅
− ⋅ ⇒40 4 4 24
F m a T F m a
F F
RA A CA BA A
BA BA
= =
= = N
⋅ ⇒ − ⋅
− ⋅ ⇒24 4 4 8
Uma polia móvel reduz 
pela metade a força 
necessária 
para elevar 
um objeto.
A B
C
Força elástica
Na Física, a elasticidade é uma propriedade de determinados corpos ou materiais 
que, após serem deformados pela ação de uma força, têm a tendência de restituir seu 
formato original e voltar total ou parcialmente às suas dimensões iniciais (naturais). 
Embora haja inúmeros materiais e objetos com essa capacidade elástica (como a 
borracha), na Mecânica vamos dar ênfase às molas helicoidais, o tipo mais comum 
de mola. 
 As molas helicoidais 
são muito utilizadas em 
amortecedores de veículos.
©
Sh
u
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st
oc
k/
Vl
ad
ru
x
o
x
Mola deformadaMola com tamanho original
Situação 1 Situação 2
Δx Deformação
m
 A deformação de uma mola é 
proporcional à força aplicada sobre ela.
Imagine uma mola helicoidal posicionada ver-
ticalmente e presa pela sua extremidade superior 
a um suporte. Senenhuma força atuar sobre a 
mola, desprezando sua massa, a mola apresenta 
seu comprimento natural (situação 1). Conside-
re, agora, que uma pequena esfera de massa m é 
presa à extremidade inferior da mola e então é 
gradativamente solta, deformando a mola até que 
o conjunto fique em equilíbrio (situação 2).
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
Sugestão de atividades: questões 17 a 21 da seção Hora de estudo.
28 Volume 2
A deformação da mola é resultado de uma força aplicada sobre ela, nesse caso, a força peso da esfera. Na situação 
2, em que a mola atinge o equilíbrio estático, a resultante das forças sobre cada um dos corpos é nula. Sobre a esfera 
de massa m, além de seu peso, vertical para baixo, há outra força, com direção vertical, mas voltada para cima – no 
sentido oposto à deformação da mola. Essa força é denominada força elástica. 
Mola deformadaMola com tamanho original
Deformação
P
F
el
 Quando o sistema de um 
corpo pendurado em uma 
mola atinge o repouso, a 
força elástica equilibra a 
força peso do corpo.
P ⇒ representa a força peso aplicada sobre o corpo.
Fel ⇒ representa a força elástica que a mola exerce no corpo, mantendo o equilíbrio, no sentido oposto à deformação.
Para que o objeto de massa m fique em equilíbrio, seu peso e a força elástica precisam ter módulos iguais (Fel = P).
A força elástica é uma grandeza vetorial resultante da deformação de um corpo ou 
material elástico – que pode restituir seu formato natural após ser deformado, cessada 
a força que a deforma. A força elástica tem mesma direção, mas sentido oposto à de-
formação. É representada por Fel e, por ser uma força, é medida em newton (N) no SI.
Ja
ck
 A
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01
0.
 D
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ita
l.
9 Experimento de construção de dinamômetro.
 D
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. 2
01
5.
 D
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ita
l. 
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Ja
ck
 A
rt
. 2
01
1.
 D
ig
ita
l.
 Quanto maior é a força aplicada em uma mola, maior é sua 
deformação, enquanto estiver em seu limite de elasticidade.
F
 
= 20 N
F = 40 N
F = 60 N
x = 2 cm
x = 6 cm
x = 4 cm
Mola A
21 22
Determinação da força elástica
O físico inglês Robert Hooke (1635-1703) foi um dos pioneiros no estudo da elasticidade de corpos. Depois de 
realizar inúmeros experimentos, ele percebeu que a deformação sofrida por molas helicoidais depende do módulo da 
força exercida sobre ela. 
Suponha que, em um experimento, seja utilizada 
uma mola helicoidal (mola A), presa em sua extremidade 
esquerda e com a extremidade direita livre para ser 
puxada. 
 • Inicialmente, quando nenhuma força é aplicada 
sobre a mola, ela tem um comprimento natural de 
10 cm.
 • Ao aplicar uma força de 20 N, a mola estica e ad-
quire comprimento de 12 cm.
 • Ao aplicar uma força de 40 N, a mola adquire 
comprimento de 14 cm. 
 • Ao aplicar uma força de 60 N, a mola adquire 
comprimento de 16 cm.
Física 29
Observamos que há uma proporcionalidade entre a força aplicada na mola e sua deformação x. Hooke per-
cebeu que, ao dividir o valor da força aplicada pela deformação correspondente, o resultado obtido seria sempre o 
mesmo:
F
x
N
cm
N
cm
N
cm
el
Δ
= = = = N/cm
20
2
40
4
60
6
10
Para a mola A, é possível perceber que, a cada 10 N de força aplicada, ela deforma-se 1 cm. Assim, se Fel = 10 N, en-
tão x = 1 cm; se Fel = 20 N, então x = 2 cm; se Fel = 50 N, então x = 5 cm. Seguindo essa tendência, se Fel = 1 000 N, 
x = 100 cm = 1 m. Isso significa que, em unidades do Sistema Internacional, a constante elástica dessa mola vale 
K = 1 000 N/m.
Pelo fato de a razão entre o módulo da força elástica (Fel) e a deformação ( x) sofrida por uma mola ser uma cons-
tante (K), Hooke estabeleceu a seguinte relação:
F
x
K
F K x
el
el
Δ
⋅ Δ
=
=
Essa equação expressa matematicamente que a força elástica que atua em uma mola helicoidal e a deformação 
que ela provoca são grandezas diretamente proporcionais, sendo K a constante de proporcionalidade chamada de 
constante elástica de uma mola. 
Se utilizarmos outra mola, uma mola B, com outras características, a relação entre a força e a deformação conti-
nuará sendo proporcional, mas observaremos uma mudança no valor da constante elástica, que é própria de cada 
mola.
F = 60 N
x = 4 cm
x = 8 cm
x = 12 cm
21 22
Mola B
F = 40 N
F
 
= 20 N
 Quanto maior é a rigidez da mola, maior é a força necessária para 
provocar determinada deformação. Do mesmo modo, quanto 
mais macia é a mola, menor é a força necessária para provocar 
determinada deformação.
Note que, para essa mola, ao aplicar as mesmas forças aplicadas na mola anterior, a deformação é maior. 
F
x
N
cm
N
cm
N
cm
F
x
el
el
Δ
Δ
= = = = N/cm
= N/m
20
4
40
8
60
12
5
500
D
KO
 E
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ú
d
io
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l. 
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Ja
ck
 A
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. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
30 Volume 2
Como a mola B se deforma mais que a mola A, podemos constatar que sua constante elástica é menor. Usando uma 
linguagem corrente, é como se a constante elástica de uma mola fosse a medida da resistência para deformá-la. Assim, 
uma mola com K de valor alto deforma-se relativamente pouco (mesmo se sujeita a forças de grande intensidade), en-
quanto uma mola com K de valor baixo tende a se deformar muito (mesmo se sujeita a forças de pequena intensidade).
10 Esclarecimento sobre 
limite de elasticidade 
de molas. 
 A força elástica tem sentido oposto à deformação 
aplicada sobre a mola.
Mola inicialmente com seu tamanho natural
Mola depois de sofrer deformação (comprimida)
(Deformação)Δx
(Força elástica)F
el
D
iv
an
zi
r P
ad
ilh
a.
 2
00
7.
 D
ig
ita
l.
A chamada Lei de Hooke (Fel = K · x) também pode 
ser escrita na forma vetorial. Para isso, analise agora uma 
situação em que uma mola presa a um bloco é compri-
mida.
Para comprimir essa mola, aplica-se uma força sobre o 
bloco, para a esquerda, e esse bloco, por sua vez, empurra 
a mola. Conforme a Terceira Lei de Newton, a mola reage 
e empurra o bloco para a direita. Como a força elástica 
( Fel ) da mola sobre o bloco e a deformação têm sentidos 
contrários, vetorialmente, a Lei de Hooke deve ser escrita 
com a inclusão de um sinal negativo. Assim:
F K xel = − ⋅ Δ
Na abertura desta unidade, discutimos a situação em que um praticante de bungee-jump salta de uma plataforma. 
Nesse caso, a força peso é constante, e ele está sujeito à aceleração da gravidade até a corda começar a esticar. Quando isso 
ocorre, surge uma força elástica para cima, que aumenta à medida que o cabo distende, até que a força elástica passa a ser 
maior que a força peso e o bungee-jumper começa a frear até parar. Todavia, no ponto mais baixo, o módulo da força elástica 
ainda é maior que o módulo da força peso, fazendo com que o bungee-jumper acelere para cima, até que a corda retome 
seu tamanho original e o praticante continue subindo por inércia. 
Módulo: K · x
Direção: direção do segmento de reta que 
passa pelo eixo principal da mola.
Sentido: oposto à deformação da mola.
Fel
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
ConexõesConexões
Em 1678, Robert Hooke apresentou à Royal Society um estudo sobre a deformação de molas helicoidais. Para evitar 
que seus trabalhos fossem plagiados por outros antes que estivessem prontos, ele anunciou sua principal conclusão 
por intermédio de um anagrama – uma palavra que, independentemente de ter algum significado, é formada exata-
mente pelas mesmas letras de outra palavra ou frase. 
O anagrama usado por Hooke foi ceiiinosssttuv, uma sequência de letras em ordem alfabética. Após terminar suas 
pesquisas e comprovar experimentalmente suas hipóteses, o cientista britânico revelou à comunidade científica que 
seu anagrama derivava da seguinte frase em latim: “ut tensio, sic vis” – que pode ser entendido, em português, como: “a 
extensão é conforme a força”. 
Essa frase representava, de forma resumida, o que matematicamente ficou conhecido como Lei de Hooke: uma 
mola helicoidal sofre deformação diretamente proporcional à força elástica nela aplicada.
Física 31Gráfico da força elástica
Nos fenômenos naturais, há diversas grandezas que se relacionam e que se comportam em função de outras 
grandezas. A força elástica é um exemplo de grandeza que se comporta em função da deformação produzida em uma 
mola ou outro elemento elástico.
A construção de um gráfico pode ser feita em um plano cartesiano, formado pela abscissa (eixo x) e pela ordena-
da (eixo y). Para cada ponto P plotado no gráfico, associa-se um par ordenado (x, y) denominado de coordenada do 
ponto.
A força elástica é determinada por uma função afim em relação à variável x, conforme a expressão: Fel = K · x. 
Graficamente, a relação determina uma reta inclinada para cima, que passa pela origem do sistema cartesiano. Utilizan-
do os dois exemplos anteriores, temos as seguintes tabelas:
MOLA A
Deformação (cm) Força elástica
0 0
2 20
4 40
6 60
MOLA B
Deformação (cm) Força elástica
0 0
4 20
8 40
12 60
Com os valores das tabelas acima, podemos construir o gráfico:
0 2 4 6 8 10 12 14
Gráfico da força elástica (mola A e mola B)
Mola A Mola B
Força (N) 70
60
50
40
30
20
10
0
Deformação (cm)
 O gráfico da força elástica pela deformação de uma mola é linear enquanto não se atinge o limite 
de elasticidade da mola.
Podemos observar que a reta do gráfico da mola A tem maior inclinação que a da mola B. Isso ocorre uma vez que, 
para uma mesma deformação, a mola A exerce ou recebe maior força elástica que B, por ser mais rígida. Desse modo, 
podemos concluir que a inclinação da reta está relacionada à constante elástica da mola. Quanto mais inclinada a reta, 
maior a constante elástica que ela representa.
32 Volume 2
1. (UFRR) Quando aplicamos uma força numa mola pode-
mos produzir uma deformação nela. Conforme a Lei de 
Hooke, podemos afirmar que:
a) a deformação é sempre a mesma.
b) a deformação é inversamente proporcional à força 
aplicada.
c) a deformação é inversamente proporcional à massa 
da mola.
d) a deformação é diretamente proporcional à massa 
da mola.
X e) a deformação é proporcional à força aplicada.
2. Considere uma mola que obedece à Lei de Hooke. Um 
corpo aplica uma força de 9,0 N sobre uma mola e ela 
se deforma em 5,0 cm. Determine:
a) o valor da constante elástica da mola em N/m;
Pela Terceira Lei de Newton, a força que é aplicada so-
bre a mola é igual à força que a mola aplica sobre o 
corpo (F = Fel).
F K x K Kel = = = N/m⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅
−Δ 9 5 10 18 102 2,
b) a deformação da mola, em cm, se a força aplicada 
fosse de 22,5 N.
22 5 18 10 12 5 10 12 52 2, , , ,= = =⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒−Δ Δ Δx x m x cm
3. Um engenheiro necessita determinar a constante 
elástica de uma mola que será utilizada em um 
dispositivo eletrônico. Para isso, ele exerce uma força 
sobre a mola e, utilizando um dinamômetro, mede com 
uma régua a deformação sofrida pela mola. Esses 
dados são utilizados na construção do gráfico a seguir.
60
40
20
F (N)
x (cm)
0 2 4 6
 Determine a constante elástica da mola em unidades 
do Sistema Internacional.
F K x K Kel = = = N/m⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒
−Δ 20 2 10 10002
4. Um estudante prende 
uma mola helicoidal de 
10 cm ao teto de uma 
sala. Para determinar a 
sua constante elástica, 
ele pendura um bloco de 
massa 2,4 kg e verifica, 
após o equilíbrio, que a mola passa a ter 30 cm. Sa-
bendo que a aceleração da gravidade na Terra é igual 
a g = 10 m/s², determine:
a) a força elástica exercida pela mola;
F m a P F F P
F F N
R el el
el el
= = =
= =
⋅ ⇒ − ⇒
⋅ ⇒
0
2 4 10 24,
b) a constante elástica da mola em N/m.
F K x K
K
el = =
= N/m
⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅( )
⋅
− −Δ 24 30 10 10 10
12 10
2 2
2,
 
5. Uma caixa de mas-
sa 12 kg está sobre 
um plano perfeita-
mente liso, que tem 
uma inclinação de 
30° com a horizon-
tal. A caixa é presa 
a uma mola, de constante elástica K = 4,0 · 103 N/m, 
por um cabo inextensível, de massa desprezível, que 
passa por uma roldana ideal e mantém a caixa em 
equilíbrio. Qual a deformação sofrida pela mola?
F m a P F F P
x
x m x
R Ax el el Ax= = =
= sen
=
⋅ ⇒ − ⇒
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⇒−
0
4 10 120 30
15 10
3
2
Δ
Δ Δ
º
, == 15, cm
A
θ 30˚
m
11 Gabarito.
Atividades
Sugestão de atividades: questões 22 a 25 da seção Hora de estudo.
Física 33
Experimento
Se não dispuser de um suporte para pendurar as massas na 
mola, use um estojo. O gráfico no papel milimetrado pode ser 
substituído por um gráfico feito por dispositivos eletrônicos.
Este experimento tem como objetivo determinar graficamente o coeficiente de elasticidade de uma mola.
Determinação gráfica da constante elástica
Materiais
 • 1 mola helicoidal.
 • Suporte para prender a mola.
 • Régua.
 • Objetos com massas iguais e conhecidas que possam ser pendurados na mola (como moedas ou borrachas 
cujas massas foram previamente medidas).
 • Papel milimetrado.
Como fazer 
 1. Prenda uma das extremidades da mola no suporte, de tal modo que ela fique posicionada verticalmente.
 2. Meça o comprimento da mola.
 3. Pendure um objeto na mola e meça a deformação.
 4. Pendure outro objeto na mola, mantendo o primeiro, e meça a nova deformação. 
 5. Repita o procedimento aumentando sucessivamente as massas penduradas. Se possível, faça cinco medidas.
 6. Complete os valores na tabela que apresenta os valores em módulo.
 7. Trace o gráfico da força elástica Fel pela deformação da mola Δx em papel milimetrado. Isto é, coloque a força 
elástica no eixo vertical e a deformação no eixo horizontal. Faça uma escala nesses eixos e marque, no gráfico, 
os pontos anotados em sua tabela.
Deformação da mola: Δx (cm) Massa pendurada: m (kg) Peso do objeto: FP (N) Força elástica: Fel (N)
Análises
a) Qual a aparência do gráfico construído no papel milimetrado?
Uma reta.
b) Como determinar a constante elástica por meio do gráfico?
É a inclinação do gráfico, isto é, a razão entre Fel e x. 
c) Quais são as possíveis fontes de erro nessa medida da constante elástica?
A medida da deformação com a régua e a imprecisão das massas. 
34 Volume 2
Força de atrito
Imagine um automóvel parado em uma ladeira íngreme, conforme a ima-
gem. Você já se perguntou, nessa situação, por que o carro permanece parado, 
com o freio acionado?
Fisicamente, a resposta para essa pergunta é: “O carro está em equilíbrio 
estático, isto é, a soma das forças aplicadas sobre ele é igual a zero”. Para com-
preender melhor o que ocorre nessa situação, vamos observar o diagrama de 
corpo livre do automóvel com as forças que já estudamos.
De acordo com a ilustração, o 
peso é decomposto em suas componentes Px e Py. Como elas têm mesmo 
módulo, a componente peso na coordenada y (Py) se equilibra com a força 
normal (N), e ambas se anulam. Isso impede que o carro penetre no chão 
ou se movimente para cima, perpendicularmente ao solo. 
A componente do peso em x (Px) deveria ser responsável por provocar 
movimento, mas, como foi mencionado, o automóvel permanece em repou-
so. Assim, para que isso ocorra, deve existir outra força na mesma direção de 
Px, com mesmo módulo, porém com sentido contrário. Como a única força 
de campo que atua nesse caso é o peso do veículo, essa outra força só pode 
ser uma força de contato. Essa força que, nesse caso, impede o deslizamento 
do carro é chamada de força de atrito. Ela surge sempre que há desliza-
mento ou tendência de deslizamento entre um corpo e uma superfície de 
apoio.
A força de atrito é uma grandeza vetorial que surge quando há deslizamento ou tendência de deslizamento entre um corpo 
e uma superfície de apoio. A direção da força de atrito é paralela à superfície de contato dos corpos e tem sentido oposto ao 
deslizamento ou à tendência de deslizamento. É representada por FAT e, por ser uma força, é medida em newton (N) no SI.
Exemplos e aplicações
É muito comum as pessoas pensarem que o atrito é uma força que sempre atra-
palha o movimento. Apesar de existir uma justificativa para esse equívoco, situações 
cotidianas permitem perceber que há casos em que o