matemática para negocios

Prévia do material em texto

Aparecida de Cássia Oliveira Lima
Tatiana Reis Bastos Braga
Matemática 
para Negócios 
Aparecida de Cássia Oliveira Lima
Tatiana Reis Bastos Braga
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Belo Horizonte
Janeiro de 2016
COPYRIGHT © 2016
GRUPO ĂNIMA EDUCAÇÃO
Todos os direitos reservados ao:
Grupo Ănima Educação
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610/98. Nenhuma parte deste livro, sem prévia autorização 
por escrito da detentora dos direitos, poderá ser reproduzida ou transmitida, sejam quais forem os meios 
empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravações ou quaisquer outros.
Edição
Grupo Ănima Educação
Vice Presidência
Arthur Sperandeo de Macedo
Coordenação de Produção
Gislene Garcia Nora de Oliveira
Ilustração e Capa
Alexandre de Souza Paz Monsserrate
Leonardo Antonio Aguiar
Equipe EaD
Conheça 
a Autora
Aparecida de Cássia Oliveira Lima é graduada 
em Matemática, formada pela Pontifícia 
Universidade Católica de Minas Gerais, 
especialista em Informática na Educação pelo 
Instituto de Educação Continuada – IEC PUC 
Minas. Obteve título de mestre em Gestão 
Social, Educação e Desenvolvimento Local 
pelo Centro Universitário UNA. É professora 
da Faculdade Pitágoras, em Betim, desde 
2010. Nessa instituição, ministra disciplinas 
da área de matemática, como Matemática 
Instrumental, Cálculo Diferencial, Cálculo 
Integral, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 
Probabilidade e Estatística. Atua na área de 
ensino de matemática há 10 anos, tendo 
experiência também no ensino fundamental e 
ensino médio.
Conheça 
a Autora
Tatiana Reis Bastos Braga é licenciada em 
Matemática, formada pela Universidade Federal 
de Minas Gerais, especialista em Educação 
Matemática pelo Centro Universitário de Belo 
Horizonte - Uni-BH. Obteve título de Mestre 
em História das Ciências pela Universidade 
Federal de Minas Gerais. É professora do Centro 
Universitário UNA, em Belo Horizonte, desde 
2008, e do Centro Universitário de Belo Horizonte 
- Uni-BH – desde 2013. Nessas instituições 
ministra disciplinas da área de Matemática, como 
Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo 
de Várias Variáveis, Equações Diferenciais e 
Geometria Analítica e Álgebra Linear. Atua na 
área de ensino de matemática há 13 anos, tendo 
experiência também no Ensino Fundamental 
e Ensino Médio. Trabalhou também na 
coordenação de professores de matemática do 
Ensino Fundamental e Médio, elaborando planos 
de ensino, propostas avaliativas, revisando 
provas e atividades para tais séries. Trabalhou 
na elaboração de questões de matemática 
dentro do novo modelo de avaliação proposto 
pelo Enem. Trabalha na elaboração de questões 
e montagem de provas no modelo proposto 
pelo Enade. Possui experiência em elaboração 
e apresentação de trabalhos em eventos 
científicos ligados à área de Educação, Educação 
Matemática e História das Ciências. Escreveu 
um livro - consequência de sua dissertação de 
mestrado - cujo tema é a institucionalização da 
ciência matemática no Brasil.
A disciplina Matemática para Negócios tem como objetivo 
instrumentalizar o aluno com os conceitos sobre números e conjunto, 
função real e sua relação com modelos matemáticos. E, assim, que 
ele possa reconhecer, definir e equacionar problemas utilizando os 
conceitos matemáticos como ferramenta que o auxiliará no processo da 
tomada de decisão e na resolução de problemas diversos. 
Para isso, serão apresentados neste livro o conceito de conjuntos 
numéricos e as funções reais com seus devidos elementos, suas 
aplicações na resolução de problemas ou situações do cotidiano 
que possam ser representados através de um conjunto de relações 
matemáticas. Também estudaremos limites e derivadas das funções e 
sua utilização modelando problemas reais.
Sendo assim, a disciplina será relevante para seu curso, de modo que 
servirá como base para as diversas disciplinas lógicas presentes no 
mesmo, contribuindo de maneira significativa para sua vida profissional 
e também pessoal. 
Vamos estudar especificamente: fundamentos sobre números e 
conjuntos. Álgebra elementar. Função. Funções lineares e aplicações. 
Funções 2º grau e aplicações. Funções exponenciais e aplicações. 
Funções logarítmicas e aplicações. Fundamentos sobre limites. 
Fundamentos sobre derivadas de funções reais e aplicações.
Tal estudo tem como objetivos fornecer ao aluno o conceito de conjuntos, 
grandezas, razão, função real e sua relação com modelos matemáticos. 
Apresentar classes importantes de funções, como as polinomiais, as 
exponenciais e as logarítmicas. Discorrer sobre o conceito de limite e 
derivada, interpretar tal conceito como taxas de variação e utilizar suas 
aplicações em problemas voltados para a área de gestão e negócios.
Apresentação 
da disciplina
Ao concluir a disciplina, você perceberá um domínio maior na linguagem 
intrínseca da matemática, em um maior desenvolvimento no raciocínio 
lógico, crítico e analítico, competências necessárias para operar com 
valores e formulações matemáticas presentes nas relações formais e 
causais entre fenômenos produtivos, administrativos e de controle, bem 
assim se expressando de modo crítico e criativo diante dos diferentes 
contextos organizacionais e sociais na compreensão de situações reais 
que envolvem conceitos de função e derivada.
UNIDADE 1 003
Fundamentos sobre números e álgebra elementar 004
Conjuntos 006
Grandeza 031
Revisão 051
UNIDADE 2 055
Funções 056
Definição 058
Domínio e contradomínio 061
Representação gráfica 066
Revisão 072
UNIDADE 3 074
Funções lineares e aplicações 075
Definição 077
Coeficientes da função linear 078
Função constante 078
Raiz de uma função linear – Equação do 1º grau 079
Gráficos 081
Crescimento e decrescimento 085
Estudo do sinal de funções lineares 087
Aplicações: Funções custo, receita e lucro. 
Ponto de equilíbrio e análise gráfica 091
Revisão 099
UNIDADE 4 101
Funções 2º grau (quadráticas) e aplicações 102
Definição 104
Raízes. Equação do 2º grau 104
Gráficos 106
Coordenadas do vértice de uma parábola 109
Imagem 110
Analisando a construção do gráfico de uma função do 2º grau 112
O estudo do sinal de funções quadráticas 115
Revisão 119
UNIDADE 5 121
Funções exponenciais e aplicações 122
Definição 124
Domínio e imagem 126
Estudo do sinal de funções 129
Equações exponenciais 129
Inequações exponenciais 130
Aplicações: Capitalização composta e depreciação de bens 132
Revisão 136
UNIDADE 6 138
Funções logarítmicas e aplicações 139
Definição 141
Propriedades dos logaritmos 142
Função logarítmica 143
Representação gráfica domínio e imagem 144
O uso dos logaritmos na resolução de equações exponenciais 147
Equações logarítmicas 148
Inequações logarítmicas 149
Aplicações: cálculo do tempo em aplicações financeiras 150
Revisão 153
UNIDADE 7 155
Fundamentos sobre limites de funções reais 156
Noção intuitiva 158
Definição 162
Limites e propriedades 170
Revisão 177
UNIDADE 8 179
Derivadas de funções reais 180
Noção intuitiva 182
Definição e propriedades 185
Função derivada 189
Cálculo de derivadas em funções reais 190
Regras de derivação 191
Regra da cadeia 193
Derivadas sucessivas de uma função 194
Aplicações: estudo do crescimento e decrescimento de funções; 
funções custo, receita marginal; taxas relacionadas 195
Revisão 211
REFERÊNCIAS 213
Fundamentos 
sobre números e 
álgebra elementar
• Conjuntos
• Grandeza
• Revisão
Introdução
Nesta unidade, vamos iniciar a abordagem dos conceitos de 
conjuntos numéricos e suas aplicações, grandezas e razão. A 
ideia de conjuntos talvez seja a mais primitiva da matemática. 
Os fundamentos sobre conjuntos são conceitos matemáticos de 
organização, classificação, identificação e relacionamento entre 
objetos, entidades e os elementos que os constituem. Assim, no 
estudo científico de qualquer fenômeno, procuramos identificar 
grandezas mensuráveis ligadas a ele e, por conseguinte, estabelecer 
as relações quepossam existir entre essas grandezas. 
Muitas dessas relações são expressas por números. Tente pensar 
situações em seu dia a dia em que não necessitamos dos números. 
Como poderíamos viver sem fazer classificações, ordenações? 
Pense em um entregador com uma encomenda para ser entregue 
em um local desconhecido em que não há nomes nas ruas, ele até 
poderá conseguir realizar sua tarefa, mas gastará muito tempo.
Assim, também podemos perceber relações entre grandezas em 
problemas como: Será servido um jantar para os funcionários de 
uma empresa, e para isso foi feita uma pesquisa para levantar a 
preferência do tipo de carne a ser servida. Dos 180 funcionários, 
80 preferiam carne suína, 30 fizeram a opção pela carne bovina e 
pela suína, 20 preferiam somente peixe. Aqueles que preferiram 
peixe não fizeram opção por outro tipo de carne. Considerando-se 
que todas as pessoas entrevistadas optaram por pelo menos um 
tipo de carne e em média cada pessoa consome 200 g de carne e 
220 g de peixe, quantos quilos de cada tipo de carne deverão ser 
comprados? É um exemplo que demonstra uma aplicação dos 
conceitos de conjuntos e operações entre conjuntos.
Outro assunto que será abordado neste capítulo é grandeza e 
razão. Uma grandeza é algo passível de ser medido, por exemplo: 
o tempo gasto em um deslocamento, o peso de uma mercadoria, 
a velocidade de um carro, a massa corporal, o custo de uma 
mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc.
A razão poder ser considerada uma comparação entre grandezas 
semelhantes, com unidades de medida iguais. Ela pode ser 
representada em porcentagem, assim veremos problemas como: 
Qual a porcentagem de desempregados em uma fábrica no último 
mês sendo que dos 3200 funcionários 30 foram dispensados? 
Assim, ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de 
reconhecer, representar e operar os conjuntos numéricos e seus 
elementos; aplicar conceitos e propriedades de razão e proporção; 
ler, interpretar e transcrever da linguagem corrente para a linguagem 
simbólica, e vice-versa; e utilizar os conhecimentos de conjuntos na 
interpretação e intervenção do real.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
6
Um conjunto é formado por objetos ou entidades com características 
bem definidas. Os objetos que compõem um conjunto em particular 
são denominados de elementos do conjunto. Exemplo: 
• Uma coleção de moedas é um conjunto, uma moeda de um 
real é um elemento desse conjunto.
• Os meses do ano são um conjunto, o mês de abril é um 
elemento desse conjunto.
• Os estados brasileiros são um conjunto, o estado de Minas 
Gerais é um elemento desse conjunto.
Conjuntos
Os objetos que 
compõem um 
conjunto em 
particular são 
denominados de 
elementos do 
conjunto
FIGURA 1 - Mapa dos estados brasileiros
Fonte: MAPA do Brasil e Capitais – Trabalho de 
Escola. In: Site “Portal Power”. Disponível em: 
<https://www.portalpower.com.br/trabalho-escola/
mapa-capitais-brasil/>. Acesso em: 07 dez. 2015.
Ao invés de escrevermos as características dos conjuntos, seus 
elementos e relações existentes entre eles por extenso, como 
nos exemplos citados acima, utilizamos símbolos. A linguagem 
simbólica serve para simplificar, mas temos que conhecê-la para 
saber decodificá-la com precisão. Se estiver dirigindo um carro e não 
tem domínio sobre o significado das placas de trânsito (símbolos), 
provavelmente será multado. Portanto, conhecer os símbolos 
que envolvem os conjuntos é essencial para o entendimento das 
operações e relações que serão abordadas.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
7
Para identificar um conjunto qualquer, atribuímos a ele um nome, 
para isso utilizamos uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., etc. 
Em relação à descrição desses conjuntos e aos elementos que os 
integram, usamos duas formas para descrevê-los e/ou explicitá-los:
1. Elencando todos os elementos delimitados através de 
chaves. Essa forma é utilizada quando a quantidade de 
elementos do conjunto é finita, ou seja, podemos identificar 
quantos elementos pertencem ao conjunto.
Exemplo: 
a. Conjunto dos meses do ano, o denominaremos como M.
M = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, 
agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}
Ou 
M = {fevereiro, março, abril, julho, junho, agosto, janeiro, 
maio, outubro, setembro, novembro, dezembro}
A ordem dos elementos não modifica o conjunto.
b. Conjunto das letras que formam a palavra PAZ, o 
denominaremos como V.
V = {p, a, z}
c. Conjunto das letras do alfabeto, o denominaremos como W.
W = {a, b, c, d, ..., z}
Observação: Quando os primeiros elementos caracterizam de 
forma significativa o conjunto e para não precisarmos elencar todos 
os elementos, utilizamos a reticência, que significa continuidade.
2. Dando uma propriedade dos elementos do conjunto ou 
uma condição. 
a. A = {x / x é estado da região sudeste do Brasil}
(Lê-se: x é um elemento do conjunto A tal que x é um 
estado da região sudeste do Brasil.)
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
8
Portanto, os elementos do conjunto A são {Minas Gerais, 
São Paulo, Rio de Janeiro, Espírito Santo}. 
b. B = {x / x é uma vogal}
(Lê-se: x é um elemento do conjunto B tal que x é uma 
vogal.)
Portanto, os elementos do conjunto B são {a, e, i, o, u}.
c. D = {x / x > 4}
(Lê-se: x é um elemento do conjunto D tal que x é um 
número maior do que 4.)
Nesse caso, não conseguimos descrever todos os elementos desse 
conjunto. Pois, independente do conjunto numérico, assunto que 
será abordado posteriormente, existem infinitos valores.
Observação: O símbolo / significa “tal que”.
Quando um conjunto A não possui elementos, o denominamos 
como conjunto vazio e é denotado como ∅, ou seja, A = ∅ ou A = { }.
Não confunda o número zero 0 com conjunto vazio; 0 é um número, 
um elemento pertencente ao conjunto dos números reais, que 
veremos posteriormente.
Outro modo de representar um conjunto e seus elementos é 
através da forma gráfica, onde se utilizam figuras no plano, ou seja, 
diagramas. Quando a figura formada é um círculo, denominamos 
diagrama de Venn (matemático inglês John Venn, 1834-1923). Por 
exemplo, dado o conjunto F = {1, 6, 7, 11}, podemos representá-lo 
como mostra a figura a seguir:
Observe que o conjunto F tem quatro elementos. 
Indicamos:
N (F) = 4 (Lê-se: o número de elementos do 
conjunto F é igual a 4.)
1 7
6 11
F
Quando a 
figura formada 
é um círculo, 
denominamos 
diagrama de Venn
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
9
maçã ∈ D (Lê-se: maçã pertence ao conjunto D.)
laranja ∉ D (Lê-se: laranja não pertence ao 
conjunto D.)
E ⊂ D (o conjunto E está contido no conjunto D)
 Este símbolo significa “está contido”.
Podemos dizer também:
D ⊃ E (o conjunto D contém o conjunto E)
 Este símbolo significa “contém”.
pêra
uva
maçã
D
D
E
Como já citado, um conjunto é formado por elementos que o 
caracterizam, portanto existem formas de simbolizar a relação de 
pertencimento de um dado ou elemento a um conjunto ou não, 
como segue:
a. Seja B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
c ∈ B (Lê-se: o elemento c pertence ao conjunto B.)
m ∉ B (Lê-se: o elemento m não pertence ao conjunto B.)
b. Seja o conjunto D representado pelo diagrama abaixo:
Se os elementos de um conjunto E também pertencem ao conjunto 
D, dizemos que E está contido em D, E ⊂ D, ou seja, E é um 
subconjunto de D. Exemplo:
D = {x / x é um estado brasileiro}
(Lê-se: x é um elemento de D tal que x é um estado brasileiro.)
E = {y / y é um estado brasileiro que começa com a letra m}
Caso exista algum elemento do conjunto E que não pertença ao 
conjunto D, dizemos que E não está contido em D, ou seja, E ⊄ D (o 
conjunto E não está contido no conjunto D), ou D ⊅ E (D não contém 
E).
Quando o conjunto é composto somente por um elemento, 
chamamos de conjunto unitário.
Quando o conjunto é 
composto somente 
por um elemento, 
chamamos de 
conjunto unitário.
MATEMÁTICAPARA NEGÓCIOS 
unidade 1
10
Temos também a igualdade entre conjuntos, que ocorrerá quando 
os elementos de dois ou mais conjuntos forem exatamente iguais, 
exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Como A e B são compostos dos mesmos elementos, então temos 
A = B. A negação da igualdade é indicada por A ≠ B.
O termo conjunto universo (𝑈) é utilizado quando estamos nos 
referindo ao conjunto dentro de um dado contexto que contém 
os elementos de todos os conjuntos considerados. Exemplo: se o 
objeto do nosso estudo for o Brasil e suas unidades federativas, o 
conjunto universo será constituído pelos 27 estados brasileiros.
Assim, dados o conjunto universo (𝑈) formado pelos estados 
brasileiros e um subconjunto S formado pelos estados da região 
sudeste, dizemos que os elementos que não pertencem ao conjunto 
S formam um outro subconjunto denominado complementar de S 
em relação a 𝑈, ou seja, os elementos de 𝑈 que não pertencem a S; 
indica-se CSU ou SC ou S (lê-se: complementar de S em relação a U).
A região em destaque simboliza o complementar 
de S em relação a U.
Pelo exemplo, temos:
U = {AM, AC, RR, AP, PA, RO, TO, MA, CE, PI, RN, PB, PE, AL, SE, BA, 
DF, SP, MG, ES, RJ, MT, GO, PR, MS, SC, RS}
n(U) = 27 (número de elementos do conjunto U é igual a 27)
S = {SP, MG, ES, RJ} 
n(S) = 4 (número de elementos do conjunto S é igual a 4)
𝑈
S
 A igualdade entre 
conjuntos, que 
ocorrerá quando 
os elementos 
de dois ou mais 
conjuntos forem 
exatamente iguais
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
11
S = {AM, AC, RR, AP, PA, RO, TO, MA, CE, PI, RN, PB, PE, AL, SE, BA, DF, 
MT, GO, PR, MS, SC, RS}
n(S) = 23 (número de elementos do conjunto complementar de S é 
igual a 23)
Operações entre conjuntos
Após a identificação dos conjuntos, podem ser realizadas operações 
entre eles, e as principais são denominadas como união ou reunião, 
intersecção e diferença.
União ou reunião 
Para realizar a operação de união entre dois conjuntos A e B, 
agrupamos ambos formando um conjunto com todos os elementos 
de A e todos os elementos de B. Designamos a união de A e B por 
A ∪ B (lê-se: A união ou reunião com B). Assim, temos os exemplos:
a. Sejam os conjuntos A = {0, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {5, 9, 10, 11, 13, 
14}
A ∪ B = {0, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14}
A ∪ B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B} ( Lê-se: x é um elemento tal que 
x pertence ao conjunto A ou ao 
conjunto B.)
Este “ou” não tem o mesmo sentido de exclusão da linguagem usual, 
e sim o de inclusão.
Representando o exemplo acima através do diagrama de Venn, 
temos:
Elementos comuns 
aos conjuntos A e B.
0
10
A ∪ B
5
9
7 13
6
11
8 14
A B
As principais 
operações entre 
conjuntos são 
denominadas como 
união ou reunião, 
intersecção e 
diferença.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
12
Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A) = 6
n(B) = 7
n(A ∩ B) = 2
n(A ∪ B) = 6 + 7 - 2 = 11
b. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8}
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∪ B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B} (Lê-se: x é um elemento tal que x 
pertence ao conjunto A ou ao conjunto B.)
Representando o exemplo acima através do diagrama de Venn, 
temos:
Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A) = 5
n(B) = 4
n(A ∩ B) = 0 
n(A ∪ B) = 5 + 4 - 0 = 9
c. Sejam os conjuntos A = {0, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {0, 5, 6, 7, 8, 9, 
10, 11, 13, 14}
0
7
A ∪ B
54
6
2
1
83A B
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
13
A ∪ B = {0, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14}
A ∪ B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B} (Lê-se: x é um elemento tal que x 
pertence ao conjunto A ou ao conjunto B.)
Representando o exemplo acima através do diagrama de Venn, 
temos:
Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A) = 6
n(B) = 10
n(A ∩ B) = 6
n(A ∪ B) = 6+10-6 = 10
Portanto, o número de elementos da união do conjunto A com o 
conjunto B será 10. 
Intersecção 
Dados dois conjuntos A e B, a operação de intersecção retornará 
somente os elementos que pertencem a ambos ao mesmo 
tempo, ou seja, são comuns ao conjunto A e ao B. Designamos a 
intersecção de A e B por A ∩ B (lê-se: A intersecção com B). Assim, 
temos os exemplos:
a. Sejam os conjuntos A = {0, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {5, 9, 10, 11, 13, 
14}, encontre:
010
A ∪ B
5
9
7
13
6
11 8
14
B
A
O número de 
elementos da união 
do conjunto A com o 
conjunto B será 10. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
14
A ∩ B = {5, 9}, n(A ∩ B) = 2
B ∩ A = {5, 9} (A ∩ B = B ∩ A - propriedade comutativa)
A ∪ B = {x/ x ∈ A e x ∈ B} ( Lê-se: x é um elemento tal que 
x pertence ao conjunto A e ao 
conjunto B.)
Este “e” não tem o mesmo sentido de inclusão da linguagem usual, e 
sim o de exclusão. 
Os conjuntos D e F não têm nenhum elemento comum, a intersecção 
deles será um conjunto vazio. Por isso, são chamados conjuntos 
disjuntos.
Representando o exemplo acima através do diagrama de Venn, 
temos:
A ∩ B0
10
A ∩ B
5
9
7 13
6
11
8 14
A B
b. Sejam os conjuntos D = {0, 6, 7, 8} e F = {10, 11, 13, 14}
D ∩ F = { }
D ∩ F = ∅ (conjunto vazio)
D ∩ F = {x/ x ∈ A e x ∈ B} (Lê-se: x é um elemento tal que x 
pertence ao conjunto A e ao conjunto B.)
0
1311
10
6
7
148D F
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
15
c. Seja o conjunto A ⊂ B (A está contido em B), temos A ∩ B = A.
B
A
d. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}, B = {0, 2, 3, 
10, 11, 13, 14} e C = {0, 1, 2, 10, 11, 15}, temos a seguinte 
configuração do diagrama:
Diagrama dos conjuntos 
com os elementos
Diagrama dos conjuntos 
discriminando as operações 
entre os conjuntos
0
2 10
5
3
1
7 13
6
11
8
14
15
A B
C
B ∩ CA ∩ C
A ∩ B
A ∩ B ∩ C
A B
C
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {0, 2, 10}
A ∩ B = B ∩ A = {3} 
A ∩ C = C ∩ A = {1}
B ∩ C = C ∩ B = {11}
Elementos que pertencem somente ao conjunto A {5, 6, 7, 8}
Elementos que pertencem somente ao conjunto B {13, 14}
Elementos que pertencem somente ao conjunto C {15}
Diferença entre conjuntos
Dados o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h} e o conjunto B = {g, h, 
i}, a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, 
chamado de conjunto diferença.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
16
Então, os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A 
menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto A – B = {g, h}.
A - B
B - A
c
g
h
b
e
f
a
i
d
A B
g
h
b
e
f
a
i
d
A B
Fazendo a operação B – A, obtemos:
B-A = {i}
Exercício resolvido
Dado os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {d, e, f, g, h, i, j} e C = {h, i, j, 
l, m, n, o}, represente os conjuntos através de diagrama e determine:
a. A ∪ B
b. C ∪ B
c. B ∩ A
d. A ∩ C
e. A ∪ B ∪ C
f. A ∩ C ∩ B
g. Os elementos que fazem parte somente do conjunto B
h. Os elementos que fazem parte somente do conjunto C
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
17
i. A - B
j. B - A
k. B - C
Resolução
Representando os conjuntos no diagrama:
fe ga
d
h
c
l
o
b
i j
n
m
A B
C
1º- Em primeiro lugar, preenchemos a intersecção dos três 
conjuntos A ∩ C ∩ B.
No caso específico do exemplo é { }. 
2º- Preenchemos a intersecção do conjunto A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C 
subtraindo a intersecção A ∩ C ∩ B.
3º- Preenchemos os conjuntos com os elementos que sobraram 
subtraindo das intersecções.
Sendo os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {d, e, f, g, h, i, j} e C = {h, 
i, j, l, m, n, o}, temos:
a. A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
b. C ∪ B = {d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o}
c. B ∩ A = {d, e, f, g}
d. A ∩ C = { }
e. A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o}
f. A ∩ C ∩ B = { }
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
18
g. Os elementos que fazem parte somente do conjunto B: B = { }
h. Os elementos que fazem parte somente do conjunto C: C = 
{m, n, o}
i. A - B = {a, b, c}
j. B - A = {h, i, j}
k. B - C = {d, e, f, g}
Conjuntosnuméricos
Quando os elementos do conjunto são números, esses conjuntos 
são nomeados como conjuntos numéricos. O que diferencia um 
conjunto do outro são as características de seus elementos. Assim, 
temos cinco conjuntos numéricos fundamentais que são os mais 
utilizados: conjunto dos números naturais (ℕ), inteiros (ℤ), racionais 
(ℚ), irracionais (𝕀) e reais (ℝ). 
Conjunto dos números naturais ℕ
Os elementos do conjunto dos números naturais ℕ estão associados 
à ideia de contagem de objetos, que começa com o número 0 e 
segue formando um conjunto infinito de números positivos.
Representação:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20, 21, 22, ..., 100, 101, ..., 500, ...}
Ao realizar a operação de soma entre os elementos do conjunto 
dos números naturais ℕ, obteremos outro elemento também 
pertencente ao conjunto dos números naturais ℕ. Fato que não 
ocorre com a subtração, multiplicação e divisão.
Quando for representar o conjunto dos naturais não nulos (excluindo 
o zero), simbolizado por ℕ*, representamos assim:
Quando os elementos 
do conjunto são 
números, esses 
conjuntos são 
nomeados como 
conjuntos numéricos. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
19
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}, ou seja, ℕ* = ℕ- {0} , ℕ* ⊂ ℕ.
Qualquer que seja o elemento de ℕ, há sempre um sucessor. Como 
todo elemento de ℕ tem um sucessor, dizemos que o conjunto ℕ 
é infinito. Assim, indicamos a continuidade do conjunto com as 
reticências
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Temos a seguinte representação do conjunto dos números naturais 
ℕ na reta numérica:
0 1 2 3 4 5 6 7 ...
origem
A cada ponto da semirreta corresponde ordenadamente um 
número natural. A distância do número anterior (n) com o seu 
posterior corresponde exatamente a uma unidade, ou seja, n+1.
n+1
Conjunto dos números inteiros ℤ 
Ao realizar a operação soma entre dois números naturais, sempre 
obteremos um número natural, mas se a operação envolvida for 
uma subtração nem sempre isso ocorrerá. Por exemplo, 10 - 13 = -3, 
-3 é um número negativo e não pertence ao conjunto dos números 
naturais ℕ. Por causa da limitação do conjunto dos números 
naturais, surgiu a necessidade da criação de outro conjunto 
para representar o resultado desse tipo de operação. Assim, foi 
concebido o conjunto dos números inteiros ℤ, que é um conjunto 
infinito de números positivos e negativos, ou seja:
ℤ = {..., -10, -9, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, ...}
Observe que esse conjunto é composto por todos os elementos de 
ℕ e seus opostos (ou simétricos). 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
20
Principais subconjuntos dos números inteiros ℤ:
ℤ* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}, ou seja, ℤ* = ℤ- {0}
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, ou seja, ℤ+ = ℕ ( o conjunto dos números 
inteiros positivos é igual ao conjunto dos números naturais)
ℤ- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0} (o conjunto dos números inteiros 
negativos) 
Assim, podemos representar os conjuntos ℤ e ℕ por meio de 
diagrama dessa forma:
ℤ ℕ ⊂ ℤℕ
Na reta numérica, temos:
A distância entre 0 e 1 é a mesma entre 0 e -1. Os 
números -1 e 1 são simétricos, opostos.
... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
Conjunto dos números racionais ℚ 
A necessidade de representar medidas e fazer comparações fez 
surgir o conjunto dos números racionais ℚ. 
O conjunto dos números racionais ℚ é o conjunto das frações 
p_
q, 
com p e q inteiros e q ≠ 0.
ℚ = {x / x = 
p_
q, com p ∈ ℤ, q ∈ ℤ e q≠0}
ℚ = {..., -1, -3/4, ..., 0, ..., 1, ..., 1/2, ...}
A necessidade de 
representar medidas 
e fazer comparações 
fez surgir o conjunto 
dos números 
racionais ℚ. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
21
Exemplos:
a) Todo número inteiro também é um número racional, pois pode 
ser escrito como uma fração de denominador 1.
6 = -17 = 6 -17
1 1
b) As frações representam uma divisão: para passar o número que 
está expresso na forma de fração 
p_
q para forma decimal, divide-se 
o numerador p pelo denominador q.
 = 0,6666... 2
3 o número 6 se repete infinitamente, portanto 0,666... é 
denominado um decimal não exato com dízima periódica, onde o 
período é 6 .
Dízima periódica, isto é, um número que tem representação decimal 
infinita e periódica – algarismos que se repetem em certa ordem.
 = 0,404040... 14
33 dízima periódica, onde o período é 40.
 = 0,571428 571428... 4
7 dízima periódica, onde o período é 571428.
 = 0,42
5 (decimal exato – quando conseguimos representá-lo por 
um número finito de algarismos)
 = 1,2515
12 (decimal exato)
 = -0,3753
8 (decimal exato)
Parte inteira
Parte decimal
Anteperíodo
32,456666666...
Portanto, todos esses números – inteiros, fracionários, decimais 
exatos, decimais representados por dízimas periódicas – são 
Dízima periódica, 
isto é, um 
número que tem 
representação 
decimal infinita e 
periódica.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
22
elementos que compõem o conjunto dos números racionais ℚ.
Subconjuntos dos números racionais ℚ 
ℚ* = ℚ- {0} conjunto dos números ℚ sem o zero.
ℚ+ = conjunto dos números ℚ positivos.
ℚ- = conjunto dos números ℚ negativos.
Podemos representar os conjuntos ℚ, ℤ e ℕ por meio de diagrama 
dessa forma:
ℤ ℚ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚℕ
Na reta numérica, temos:
A distância entre 0 e 1 é a mesma entre 0 e -1. Os 
números -1 e 1 são simétricos, opostos.
... -1-2 -0,5
-0,25
-3
6
2
5
0 1 2 ... 
Conjuntos dos números irracionais 𝕀
Assim como existem números decimais que podem ser escritos 
como frações – com numerador e denominador inteiros – ou 
seja, os números racionais citados acima, há os que não admitem 
tal representação. Tratam-se dos números decimais não exatos. 
Esse conjunto de números é chamado de conjunto dos números 
irracionais e o representamos por 𝕀. 
Exemplos:
As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos 
(0, 1, 4, 9, 16, 25, ...) são números irracionais. 
Esse conjunto de 
números é chamado 
de conjunto dos 
números irracionais 
e o representamos 
por 𝕀. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
23
3 = 1,732050808... 5 = 2,236067977... 11 2,236067977
π = 3,141592654 (número pi) e = 2,718281828 (número neperiano)
Os números acima apresentam valores decimais infinitos e não 
periódicos.
Conjuntos dos números reais ℝ
Assim sendo, o conjunto formado pelos números racionais e 
irracionais é o chamado conjunto dos números reais, representado 
por ℝ. Portanto, todo número, natural, inteiro, racional e irracional, é 
real.
ℤ ℚ 𝕀ℕ
ℝ
Na reta numérica, temos:
...
-π π
-1-2 -0,5
-0,25
-3
6
2
5
0 1 2 ... 
Intervalos
Para representar subconjuntos pertencentes ao conjunto dos 
números ℝ, utilizamos intervalos determinados por desigualdades 
que delimitam trechos contínuos que os representam. 
• Intervalo aberto de extremos a e b.
]a,b[ = {x ∈ ℝ/ a< x< b} (Lê-se: x é um número pertencente ao 
conjunto dos números reais e x também pertence ao intervalo entre 
a e b, onde x é um valor maior do que a e menor do que b.)
Todo número, 
natural, inteiro, 
racional e 
irracional, é real.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
24
Exemplo: 
]5,9[ = {x ∈ ℝ/ 5 < x< 9} 
5
5
5
9
9
9
As bolinhas vazias indicam que os extremos não pertencem ao 
intervalo, por isso ele é chamado de aberto.
• Intervalo fechado de extremos a e b.
[a,b] = {x ∈ ℝ/ a � x � b} (Lê-se: x é um número pertencente ao 
conjunto dos números reais e x também pertence ao intervalo entre 
a e b, onde x é um valor maior ou igual a a e menor ou igual a b.)
Exemplo: 
[5,9] = {x ∈ ℝ/ 5 � x � 9} 
As bolinhas cheias indicam que os extremos pertencem ao 
intervalo, por isso ele é chamado de fechado.
• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos 
a e b.
[a,b[ = {x ∈ ℝ/ a � x � b} (Lê-se: x é um número pertencente ao 
conjunto dos números reais e x também pertence ao intervalo entre 
a e b, onde x é um valor maior ou igual a a e menor do que b.)
Exemplo:[5,9[ = {x ∈ ℝ/ 5 � x< 9} 
• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos 
a e b.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
25
]a,b] = {x ∈ ℝ/ a � x � b} (Lê-se: x é um número pertencente ao 
conjunto dos números reais e x também pertence ao intervalo entre 
a e b, onde x é um valor maior do que a e menor ou igual a b.)
Exemplo:
]5,9] = {x ∈ ℝ/ 5 <x � 9} 
5 9
9
• Intervalo de menos infinito até a, fechado em a.
]-� ,a] = {x ∈ ℝ/ x � a} (Lê-se: x é um número pertencente ao conjunto 
dos números reais e x também pertence ao intervalo entre -� e a, 
onde x é um valor menor ou igual a a.)
Exemplo:
]-� ,9] = {x ∈ ℝ/ x � 9} 
• Intervalo de a até mais infinito, aberto em a.
]a,+�[ = {x∈∈ ℝ/ x � a} (Lê-se: x é um número pertencente ao conjunto 
dos números reais e x também pertence ao intervalo entre a e + �, 
onde x é um valor maior do que a.) 
Exemplo:
]5, +� = {x ∈ ℝ/ x>5} 
5
• Intervalo que representa a reta real
]-� , +� [ = ℝ
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
26
Observação:
Há outras formas de representar os intervalos abertos utilizando 
parênteses.
[5, +� [ = [5, +� ) ]-� ,9[ = (-� ,9)
Exercícios resolvidos
1- Dado o intervalo abaixo, faça e responda.
92
3
a. Represente através de notação de intervalo e através de 
desigualdades o intervalo. 
b. Quantos elementos possui o conjunto definido por esse 
intervalo?
c. Qual o valor máximo do intervalo?
d. Qual o valor mínimo do intervalo?
Resolução:
a. ] 23 ,9] = {x ∈ ℝ/ 
2
3 � x � 9} 
b. Infinitos.
c. 9
d. O valor imediatamente posterior a 23 , já que ele não 
pertence ao intervalo.
2 - Represente na reta numérica o intervalo ]-4,3] = {x ∈ ℝ/ -4 � x � 3}.
Resolução:
-4 3
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
27
Operações com intervalos
Ao representar um intervalo, também estamos definindo um 
conjunto, assim sendo, as operações de união, intersecção e 
diferença para intervalos correspondem às mesmas definições já 
vistas para operações com conjuntos. Preferencialmente, elas são 
realizadas tendo como suporte as representações geométricas 
desses intervalos.
• União de intervalos – É o intervalo formado por todos os 
elementos que pertençam a um ou ao outro intervalo.
Exemplo: 
a. Sejam os intervalos A = [-2, 3]; B = [2, 5[. 
Cada intervalo será representado graficamente e depois a operação 
de união entre eles:
A
A
B
B
A ∪ B
A ∪ B
-2
-4
-2
-4 4
3
6
4
2 5
9
5
6 9
A ∪ B = [-2,5] = {x ∈ ℝ/ -2 � x< 5}
b. Sejam os intervalos A = ]-4, 4]; B = [6, 9[. 
A ∪ B = ]-4,4] ou [6, 9[ = {x ∈ ℝ/ -4 < x � 4 ou 6 � x < 9}
• Intersecção de intervalos – É o intervalo formado por todos 
os elementos que pertençam a um ou ao outro intervalo.
As operações de 
união, intersecção 
e diferença 
para intervalos 
correspondem às 
mesmas definições 
já vistas para 
operações com 
conjuntos.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
28
Exemplo: 
a. Sejam os intervalos A = {x ∈ ℝ/ -2 � x � 3}; B = [2, 5[. 
Cada intervalo será representado graficamente e depois a operação 
de intersecção entre eles:
A
B
A ∩ B
-2 3
2
2 3
5
A ∩ B = [2,3] = {x ∈ ℝ/ 2 � x � 3
b. Sejam os intervalos A = ]-4, 4]; B = [6, 9[.
A
B
A ∩ B
-4
6
4
9
A ∩ B = { } (Não existem valores comuns aos dois intervalos.)
Exercícios resolvidos
Dados os intervalos: A = [-2, 7]; B = {x ∈ ℝ/1 � x � 8}; C = (-�, 10]. 
Obtenha: 
a. A ∪ B = 
b. A ∩ B = 
c. A ∩ C = 
d. A – B = 
e. B – A = 
f. A – C = 
g. C – A = 
h. (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) = 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
29
Resolução:
a) A ∪ B
A
A
A
B
B
C
A ∪ B
A ∩ B
A ∩ C
-2
-2
-2
7
7
7
1
1
-2
1
8
7
7-2
8
8
10
A ∪ B = {x ∈ ℝ/ -2 � x � 8} = [-2,8]
b) A ∩ B 
A ∪ B = {x ∈ ℝ/ 1 � x � 7} = [1,7]
c) A ∩ C 
A ∩ B = {x ∈ ℝ/ -2 � x � 7} = [-2,7]
d) A - B
A
B
B
A
A - B
B - A
-2
1
7
8
1
-2
-2 1
87
8
7
A - B = {x ∈ ℝ/ -2 � x � 1} = [-2,1[
e) B – A 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
30
B - A = {x ∈ ℝ/ 7 � x � 8} = ]7,8]
f) A – C
A
C
C
A
A - C
C - A
-2
-2
7
10
10
7
7 10
Todos os elementos que pertencem a A também pertencem a C, 
portanto A é um subconjunto de C. Ao subtrair A - C (operação que 
retira todos os elementos que são comuns de C do conjunto A), 
obtemos como resultado o conjunto vazio.
A - C = { }
g) C – A
C-A = {x ∈ ℝ/ 7< x � 10} = ]7,10]
h) (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) 
Primeiro realizaremos as operações A ∪ C e B ∩ C, somente depois 
(A ∪ C) ∩ (B ∩ C).
A ∪ C 
A
B
C
C
A ∪ C
B ∩ C
-2
1
1
7
8
8
10
10
10
B ∩ C
B ∩ C = {x ∈ ℝ/ 1 � x � 8} = [1,8]
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
31
(A ∪ C) ∩ (B ∩ C)
(A ∪ C) ∩ (B ∩ C)
1 8
B ∩ C
1 8
A ∪ C
10
(A ∪ C) ∩ (B ∩ C) = {x ∈ ℝ/ 1 � x � 8} = [1,8]
Portanto, a intersecção dos conjuntos (A ∪ C) e (B ∩ C) será o 
intervalo compreendido entre 1 e 8 incluindo esses extremos. Como 
estamos trabalhando no conjunto dos números reais ℝ, não há 
como elencar os valores do conjunto encontrado, pois são infinitos, 
por isso utilizamos a notação de intervalo.
Grandeza
Uma grandeza é algo passível de ser medido, mensurado. Medir 
é comparar a quantidade de uma grandeza qualquer com outra 
quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade 
padrão. Por exemplo, ao medir o comprimento do tampo de uma 
mesa, utiliza-se como instrumento uma trena, que tem como 
unidade de medida o metro. Para executar essa operação, realiza-
se uma comparação entre a trena e o comprimento do tampo da 
mesa. Assim são feitas as medições. Mas existem coisas que não 
conseguimos medir, como por exemplo a dor, ou seja, dor não é 
uma grandeza, pois não pode ser medida.
Razão
A razão é uma forma de realizar a comparação entre duas 
grandezas: é necessário somente que para isso as grandezas 
estejam na mesma unidade de medida. Por exemplo, a quantidade 
de etanol presente na gasolina era uma razão de 14
1 para cada litro, 
ou seja, em 4 litros de combustível 1 litro é álcool.
1. Este valor foi alterado a partir de 16/03/2015 para 27%.
Uma grandeza é 
algo passível de ser 
medido, mensurado.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
32
Portanto, chama-se de razão entre dois números racionais a e b, 
com b # 0, o valor do quociente entre eles. Indica-se a razão de a 
para b por
 , ou a : ba
b
onde o primeiro termo (a) se chama antecedente (numerador) e o 
segundo (b) se chama consequente (denominador).
Numerador: Indica quantas partes do inteiro foram tomadas.
Denominador: Indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.
Exemplo: 
1- Em um evento promocional, inscreveram para participar de um 
sorteio 30 rapazes e 40 moças. Encontre a razão entre o número 
de rapazes e o número de moças.
Solução:
Temos que a razão será o valor do quociente (divisão) entre os 
valores pedidos.
Nesse caso, 30 é o antecedente e 40 o consequente.
30
40 simplificando a fração (dividindo os dois temos da razão por 10), 
temos 34 (lê-se: três quartos)
3
4 (indica a presença de 3 rapazes para 4 moças) 
Simplificação de fração
Para simplificar uma fração, utilizamos o artifício de multiplicar ou 
dividir seus termos, do numerador e denominador, pelo mesmo 
número diferente de zero.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
33
Exemplo:
a) 4016 podemos simplificar dividindo por 8, assim temos 
40:8
16:8
5 = 2 
Se observarmos os valores resultantes das divisões das frações 
antes e depois da simplificação, veremos que serão os mesmos, ou 
seja:
40
16
5 = 2 = 2,5
b) 35 multiplicando-se por um valor 2, temos 
3x2
5x2
6 = 10 
Se observarmos os valores resultantes das divisões das frações 
antes e depois da simplificação, veremos que serão os mesmos, ou 
seja:
3
5
6 = 10 = 0,6
Portanto, ao multiplicar ou dividir o numerador e denominador de 
uma fração por um mesmo valor, obtemos outra fração equivalente 
à primeira, cujo resultado da operação é o mesmo da fração original.
Razão inversa
Dada a razão:
6 → antecedente
7 → consequente 
O inverso dessa razão será:
I) A razão cujo produto por estaobterá resultado igual a 1.
II) O antecedente dessa razão se for igual ao consequente da outra, 
e vice-versa.
Assim, temos como razão inversa de 67 a razão 
7
6 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
34
Verificando I e II, temos:
I) 
6 7
6 7
42 = 42 = 1 
II) 6 → antecedente7 → consequente inverte o antecedente e consequente 
7 → antecedente
6 → consequente 
Aplicações de razão
A razão assume um papel de destaque como recurso de 
planejamento básico por possibilitar informações sobre a 
comparação e projeção entre grandezas. Assim, temos alguns 
exemplos a seguir.
Velocidade média ou consumo de combustível
A velocidade é uma razão utilizada para saber e comparar a 
eficiência dos veículos. A velocidade média é dada pela razão 
resultante do quociente entre a distância e o tempo gasto. Exemplo:
Suponha que uma pessoa saia do bairro Venda Nova até o centro 
de Belo Horizonte e que ela tenha como opção para esse fim dois 
trajetos, A e B. Em dias alternados, essa pessoa verificou o tempo 
que gastou nos dois trajetos. Assim, no trajeto A a distância a ser 
percorrida foi de 14 km e o tempo gasto 56 minutos, no trajeto B a 
distância foi de 16 km e o tempo gasto 64 minutos. Em qual trajeto 
a velocidade média do carro foi maior?
Para resolver essa questão, calcularemos a razão entre a distância 
e o tempo gasto dos dois trajetos.
Trajeto A
14km
56min 
simplificando a fração por 14 14:1456:14
1 = 4 = 0,25 
km
min 
Trajeto B
16km
64min
 simplificando a fração por 16 14:1664:16
1 = 4 = 0,25 
km
min 
.
A velocidade é uma 
razão utilizada para 
saber e comparar 
a eficiência dos 
veículos. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
35
Comparando os dois trajetos, chegamos aos mesmos valores, ou 
seja, as velocidades médias nos trajetos A e B são iguais.
Em relação ao consumo de combustível, pode-se aplicar o conceito 
de razão para sabermos se é mais vantajoso colocar no carro etanol 
ou gasolina. Conforme a Agência Nacional de Petróleo, só vale a 
pena você abastecer com etanol se a razão entre o valor dele e o da 
gasolina for de 0,7, caso contrário não. Assim, suponha que o valor 
da gasolina seja R$ 3,449 e o do etanol R$ 2,549, a fim de sabermos 
o mais vantajoso, faremos o seguinte cálculo:
Etanol
Gasolina
2,549 = 3,449 = 0,739 aproximadamente 0,74, podemos concluir 
que com esses preços não compensa encher o tanque com etanol.
Encontramos aplicações de proporção em várias outras situações, 
como: escalas de desenhos de casas e mapas, ampliação de fotos, 
maquetes, taxas em geral (taxa de crescimento populacional, juros), 
índices econômicos (renda per capita, produção per capita, consumo 
per capita), coeficientes (coeficiente de natalidade, coeficiente de 
mortalidade) e em situações diversas em que a informação se faz 
por comparações entre grandezas.
Proporção
Chamamos de proporção a igualdade entre duas razões.
a
b
c = d = k , onde b e d são números reais diferentes de zero.
(Lê-se: a está para b assim com c está para d.)
k é a constante de proporção.
Chamamos a, b, c, d, números que formam a proporção, de termos. 
O primeiro (a) e o quarto (d) se chamam extremos, o segundo (b) e 
o terceiro (c), meios. 
a
b
c = d
extremosmeios
Chamamos de 
proporção a 
igualdade entre 
duas razões.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
36
Propriedades
1ª - Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto 
dos meios.
a
b
c = d temos a . d = b . c 
Exemplo:
4
3
8 = 
6 assim temos 4 . 6 = 8 . 3 
2ª - Em toda proporção, a soma ou diferença do primeiro e segundo 
termo está para o primeiro (ou para o segundo), assim como 
a soma ou diferença do terceiro e quarto termo está para o 
terceiro (ou quarto).
No exemplo anterior:
4
3
8 = 6 na soma dos termos, temos: 
4 + 3
4
8 + 6 = 8 ou 
4 + 3
3
8 + 6 = 6 
4
3
8 = 6 na diferença entre os termos: 
4 - 3
4
8 - 6 = 8 ou 
4 - 3
3
8 - 6 = 6 
Portanto, generalizando, dada a proporção ab
c = d temos 
a � b
a
c � d = c 
ou a � bb
c � d = d 
3ª - Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro termo 
(a+c) está para a soma do segundo com o quarto termo (b+d), 
assim como o primeiro está para o segundo e o terceiro está 
para o quarto, conforme exemplo logo abaixo.
aa + c
bb + d
c = = d
Ou seja, na proporção:
4
3
8 = 6 temos 
44 + 8
33 + 6
8 = 
 
= 6 
4ª - Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o 
quarto termos não altera a proporção. O mesmo ocorre para a 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
37
troca entre o segundo e o terceiro.
a
b
c = d temos 
d
b
c = a ou 
a
c
b = d 
Ou seja:
4
3
8 = 6 temos 
6
3
8 = 4 ou 
4
8
3 = 6 
Exercícios resolvidos
1- Determine a e c na proporção a5
c = 18 , sabendo-se que a soma de 
a + c é igual a 27.
Resolução
Utilizaremos a 3ª propriedade que aborda a soma entre os termos 
de uma proporção. 
aa + c
bb + d
c = 
 
= d assim temos:
aa + c
55 + 10
c = 
 
= 10 substituindo a + c pelo seu valor e efetuando a soma, 
a27
515
c = 
 
= 10
 
Resolvendo a primeira igualdade
a27
515
 
= 
Aplicando a 1ª propriedade 
27 . 5 = 15 . a
135 = 15 . a
Invertendo a primeira igualdade
15a = 135
a = 135
15 → a = 9
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
38
Resolvendo a segunda igualdade
c27
1015
 
= 
Aplicando a 1ª propriedade 
27 . 10 = 15c
15c = 270
c = 270
15 → c = 18
Assim, temos a solução a = 9 e c = 18.
2- Duas pessoas entram em uma sociedade. A pessoa A empregou 
R$ 30.000,00 e a pessoa B R$ 50.000,00 no negócio. Transcorrido 
certo tempo, elas obtiveram R$ 120.000,00 de lucro. Como os 
valores que cada pessoa investiu foi diferente, cada um deve 
receber proporcional ao valor investido. Quanto cada uma delas 
receberá de lucro?
Resolução:
X é o valor que a pessoa A irá receber
Y é o valor que a pessoa B irá receber
Assim, temos que: 
x + y = 120000
Aplicando a 3ª propriedade
x y x + y
30.000 50.000 30.000 + 50.000
 
= 
 
= 
x y 120.000
30.000 50.000 80.000 = 
 
= 
Resolvendo a primeira igualdade
x 120.000
30.000 80.000 = 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
39
Aplicando a 1ª propriedade
80000x = 120000.30000
x = 
3600.000.000
80.000 → x = 45.000 
Podemos igualar as frações novamente, como x+Y = 120000, então:
x + y = 120000
45000 + y = 120000
y = 120000 – 45000
y = 75000
Portanto, a pessoa A recebeu R$ 45.000 de lucro e a pessoa B 
recebeu R$ 75.000.
Grandezas diretamente proporcionais
Ao comparar duas grandezas, podemos classificá-las como 
diretamente proporcionais quando uma sofrer um aumento e 
implicar o aumento da outra na mesma proporção, ou uma sofrer 
uma diminuição e a outra também diminuir na mesma proporção. 
Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então 
os números que expressam essa grandeza variam na mesma 
proporção:
a
b = k, onde k é um número denominado constante de 
proporcionalidade.
Exemplos:
a) Um automóvel com velocidade constante de 60 km/h, percorre 
60km em 1hora. Assim, obtemos a seguinte tabela para 
expressar a distância percorrida e o tempo do deslocamento 
deste automóvel.
Se duas grandezas a 
e b são diretamente 
proporcionais, então 
os números que 
expressam essa 
grandeza variam na 
mesma proporção
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
40
1
2
3
4
2
3
4
5
60
120
180
240
260
390
520
650
TEMPO (H)
QUANTIDADE DE 
FUNCIONÁRIOS 
DISTÂNCIA (KM)
MÉDIA CLIENTES 
ATENDIDOS
A distância é diretamente proporcional 
ao tempo, pois as razões entre os 
valores da distância pelo tempo 
apresentam como resultado um valor 
constante.
A média de clientes atendidos 
é diretamente proporcional à 
quantidade de atendentes. 
Para saber a constante de 
proporcionalidade: 
distância 60km
tempo 1h
120km
2h
180km
3h
240km
4h = = = = 
 = 60 km/h
Clientes
atendentes
260
2
390
3
520
4
650
5 = = = = = 130 clientes/atendente
Assim, a distância percorrida é diretamente proporcional ao 
tempo, ou seja, à medida que o tempo aumenta,a distância 
também aumenta na mesma proporção 60km/h é a constante de 
proporcionalidade.
b) Em uma empresa, há dois funcionários no setor de telemarketing 
e juntos atendem uma média de 260 clientes. Se mantivermos 
essa média, podemos construir a seguinte tabela:
Dessa forma, percebe-se que as grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais. Pois, aumentando-se a quantidade de 
clientes, o número de atendentes também aumenta na mesma 
proporção, a um valor constante de 130 clientes/atendente.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma 
sofrer um aumento e implicar a diminuição da outra na mesma 
proporção, ou uma sofrer uma diminuição e a outra aumentar na 
mesma proporção. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
41
Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, então 
os números que expressam essa grandeza variam na mesma 
proporção:
a.b=k, onde k é um número denominado constante de 
proporcionalidade.
Exemplo:
Um automóvel deve percorrer 420 km, veja a relação entre 
velocidade e tempo na tabela abaixo: 
60
80
100
120
7
5,25
4,2
3,5
TEMPO 
(H)
VELOCIDADE 
(KM/H)
O tempo é inversamente proporcional à 
velocidade, pois à medida que a velocidade 
aumenta o tempo para percorrer a mesma 
distância diminui.
Se multiplicarmos a velocidade pelo tempo 
em cada linha, teremos um valor constante:
60 . 7 = 80 . 5,25 = 100 . 4,2 = 120 . 3,5 = 420
420 é a constante de proporcionalidade.
Regra de três
Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta 
ou inversamente proporcional às demais conhecidas, tem-se um 
problema de regra de três.
Regra de três simples
Tendo duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, e 
necessitando calcular um dos termos dessa proporção, conhecidos 
os outros valores, temos uma regra de três simples.
Exemplos:
a) Um pedreiro levou 16 dias para construir 120 metros de um muro, 
quantos dias levará para construir 256 metros?
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
42
120
256
16
x
TEMPO (DIAS)COMPRIMENTO (M) 
2
5
26
x
PREÇO (R$)PESO (KG) 
Antes de resolvermos, devemos analisar se as grandezas envolvidas 
são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. As 
grandezas envolvidas são tempo (dias) e comprimento (m) metros. 
Para aumentarmos a metragem do muro construído precisamos de 
mais dias, ou seja, as grandezas são diretamente proporcionais.
Escrevendo em forma de proporção:
120
256
16
x = aplicando a 1ª propriedade de proporção, temos:
120.x = 16.256, resolvendo a equação
x = 4096120
16.256
120 = x = 34,1333... aproximadamente 34 dias.
b) Se dois quilos de queijo custam R$ 26,00, quanto custarão cinco 
quilos desse queijo?
As grandezas envolvidas são peso e preço. Se o peso aumentar 
o preço também aumentará, logo as grandezas são diretamente 
proporcionais.
Escrevendo em forma de proporção:
2
5
26
x = aplicando a 1ª propriedade de proporção, temos:
2x = 5.26, resolvendo a equação
x = 1302
5.26
2 = = 65, ou seja, 5 kg custarão R$ 65,00.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
43
c) Um litro de água do mar tem 25 g de sal, quantos litros de água 
deverão evaporar para se obter 2 kg de sal?
25
2000
1
x
VOLUME DA ÁGUA DO MAR (L)PESO DO SAL (G)
As informações sobre o sal estão em duas unidades de medidas 
diferentes, temos que escrevê-las em uma única unidade de medida, 
ou kg ou g. Escrevendo-a em gramas, temos o resultado na tabela 
ao lado.
Ao analisar as grandezas, conclui-se que são diretamente 
proporcionais, pois se aumenta o peso do sal aumenta também o 
volume de água que deve evaporar.
Escrevendo em forma de proporção:
1
x
25
2000 = aplicando a 1ª propriedade de proporção, temos:
25x = 2000 . 1, resolvendo a equação
x = 200025 = 80, ou seja, é necessário evaporar 80 litros de água do 
mar para se obter 2 kg de sal.
d) Seis funcionários demoram 10 dias para realizar determinado 
serviço. Se aumentarmos a quantidade de funcionários para 
nove, quantos dias gastarão para realizar o mesmo serviço?
6
9
10
x
Nº DIASNº FUNCIONÁRIOS
As grandezas número de funcionários e dias são inversamente 
proporcionais, pois se aumentarmos a quantidade de funcionários 
para executar o serviço gastaremos menos tempo para conclui-lo, 
ou seja, a quantidade de dias diminui.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
44
Escrevendo em forma de proporção:
10
x
6
9 = como são inversamente proporcionais, invertemos a 
segunda razão.
x
10
6
9 = aplicando a 1ª propriedade de proporção, temos
9x = 6.10, resolvendo a equação
x = 609 = 6,666... aproximadamente 7 dias.
Regra de três composta
A regra de três será composta quando se utilizar três ou mais 
grandezas, sendo direta ou indiretamente proporcionais, para o 
cálculo de uma grandeza desconhecida.
Para resolver problemas que envolvam regra de três composta, 
deve-se organizar as informações da seguinte maneira:
1º- Construir uma tabela, com uma coluna para cada grandeza e 
seus respectivos valores, deixando a primeira coluna para a 
grandeza que tiver o valor desconhecido.
2º- Ao escrever as grandezas na forma de proporção, isola-se a 
grandeza que tiver o valor desconhecido. 
3º- Analisar separadamente cada grandeza com a grandeza isolada 
se são direta ou inversamente proporcionais. 
4º- Monta-se a equação, deixando no 1º membro a grandeza com o 
valor desconhecido, e no 2º membro se multiplicam as frações 
referentes às outras grandezas envolvidas, invertendo as que 
são inversamente proporcionais.
5º- Resolve-se a equação encontrada.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
45
Exemplos:
a) Uma empreiteira se comprometeu a construir 60 km de linha férrea 
em um ano, empregando-se nesse serviço 226 homens. Após 
oito meses, estavam prontos somente 32 km. Para terminar esse 
trabalho dentro do prazo, serão necessários quantos homens?
1º- Organizando as informações na tabela.
Número de homens Comprimento construído (km) Tempo (meses)
 226 32 8 
 X 60 12 
2º- Escrever as grandezas na forma de proporção, isolando a que 
tiver o valor desconhecido.
 
226
x
32
60
8
12
 = = 
3º- Analisar separadamente se as grandezas são direta ou 
inversamente proporcionais.
226
x
32
60
 
= 
226
x
8
12
 = 
Analisando as grandezas quantidade de homens e 
comprimento construído, temos:
Para construir 32 km de linha férrea foram necessários 
226 homens, para aumentar o comprimento a ser 
construído devemos aumentar a quantidade de homens, 
então as grandezas são diretamente proporcionais. 
Analisando as grandezas quantidade de homens e 
tempo, temos:
Se aumentarmos a quantidade de homens para 
executar o serviço, o tempo de execução diminui, então 
as grandezas são inversamente proporcionais.
4º- Monta-se a equação, invertendo as razões referentes às 
grandezas inversamente proporcionais à grandeza quantidade 
de homens.
226
x
226
x
384
480
32 12
60 8 = →
→ 384.x = 226 . 480 = .
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
46
5º- Resolve-se a equação.
348.x = 226 . 480
x = 226.480348 = 282,5 aproximadamente 283 homens.
Porcentagem
A porcentagem ou taxa percentual se refere à proporção de uma 
grandeza ou quantidade calculada em relação a uma centena. 
Assim:
Toda razão ab , na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem ou 
taxa percentual.
5% = 5100 (cinco por cento quer dizer cinco em cem) 
5
100 = 0,05 é a 
forma decimal.
13
100 = 13% (treze por cento quer dizer treze em cem).
Para calcular uma porcentagem de uma quantidade qualquer, 
multiplica-se esse número ao valor decimal da porcentagem ou 
pela fração que a representa.
18% de 200 = 18100x200=
18x200
100 =
3600
100 = 36 ou 
18
100 x 200= 0,18x200 = 36
O todo é indicado sempre por 100%, portanto 200 representa 100% 
e 36 representa 18% desse todo. Assim, cem por cento significa 
cem partes em cem, que é o mesmo que 100 centésimos ou 100100
que é igual a1.
Como a porcentagem é uma razão (relação entre números), ela 
varia de acordo com o valor a que está relacionada. Isso significa 
que, por exemplo, 18% de 200 não é o mesmo que 18% de 300. 
A porcentagem ou 
taxa percentual se 
refere à proporção 
de uma grandeza ou 
quantidade calculada 
em relação a uma 
centena. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
47
Exemplos:
1- Em uma pesquisa feita em um supermercado com 1800 clientes 
sobre a preferência de três marcas de arroz, obtém-se a seguinte 
tabela:
A
B
C
32
26
30
PORCENTAGEM (%)MARCA DE ARROZ
a) Quantos clientes preferiram a marca A?
32% de 1800 = 0,32x1800 = 576 clientes
b) Quantos não preferiram nenhuma das três marcas?
Somando todas as marcas, temos 88%; 1800 clientes se referem 
ao todo, ou seja, 100%. Fazendo 100%-88% temos 12% dos clientes, 
que não optaram por nenhuma das três marcas.
2- Cesar recebe um salário de R$ 1.200,00. No acordo coletivo 
da sua empresa, foi decidido um aumento de 5,38% para os 
funcionários. Quanto Cesar receberá de aumento? E o seu salário 
final?
5,38% de 1200 = 5,38100 x 1200 = R$ 64,56 
Cesar terá um aumento de R$ 64,56; somando esse valor ao que ele 
já recebia, temos como salário final R$ 1.264,56.
Se pensarmos que R$ 1.200,00 corresponde ao todo, ou seja, 100% 
ou igual a 1, quando nos referimos a um aumento percentual desse 
valor, na verdade estamos somando ao todo, que é 1, o valor da 
porcentagem (na forma decimal). Ou seja, R$ 1.200,00 é o todo e 
vale 1; se aumentar 5,38% = 0,0538, para calcular o salário final, 
temos:
R$ 1.200 x (1+0,0538) = 1200x 1,0538 = R$ 1.254,56
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
48
c) Se um caderno que custa R$ 19,00 sofre um aumento de 12%, 
qual será o seu valor?
Assim como foi feito no exercício anterior, haverá um aumento do 
todo mais o valor percentual na forma decimal. No caso, já que 
12% = 0,12, teremos como valor de acréscimo percentual 1,12, 
então:
R$ 19 x 1,12 = R$ 21,28
d) Uma mercadoria em uma loja custa R$ 230,00, mas ela oferece 
um desconto de 12% para pagamento à vista em dinheiro. Quanto 
custará essa mercadoria nessas condições?
Nessa situação, temos um decréscimo em cima do todo, que é 
representado por 1 em 0,12 (representa 12% na forma decimal), ou 
seja, 1-0,12 = 0,88. Então, temos:
R$ 230,00 x 0,88 = R$ 202,40
e) Fernando realizou um serviço e recebeu por ele bruto R$ 6.000,00. 
Mas com os impostos diversos que incidem sobre esse valor, 
recebeu líquido R$ 5.216,00. Qual foi a porcentagem de impostos 
cobrados?
Utilizaremos regra de três simples para resolver essa questão, 
observando que o todo nesse caso é o salário bruto, ou seja, R$ 
6.000,00. Subtraindo dessa quantia o valor recebido, temos o 
montante que foi destinado a pagamento de impostos:
6000-5216 = 784. 
6000
784
100
x
PORCENTAGEM SALÁRIO
Analisando as grandezas envolvidas, percebemos que são 
diretamente proporcionais.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
49
Escrevendo em forma de proporção, temos:
6000
784
100
x
 = → 6000 . x = 100 . 784 → x = 784006000 → x = 13,0666... 
aproximadamente 13,07%.
Assim, aproximadamente 13,07% do valor que Fernando recebeu 
pelo seu serviço foi para pagamento de impostos.
f) Perdendo-se 40% das frutas de um depósito, ainda restaram 
1560. Quantas frutas havia no depósito?
100
60
X
1560
QUANTIDADE DE FRUTASPORCENTAGEM (%)
Utilizando regra de três, temos:
Se perderam 40% das frutas, o que sobrou corresponde a 60%.
Escrevendo em forma de proporção:
100
60
x
1560
 = → 60 . x = 100 . 1560 → x = 100 . 156060 → x = 2600 frutas.
Logo, havia 2600 frutas no depósito.
Considerações finais 
Nesta unidade, procuramos apresentar os conceitos de conjunto, 
conjunto numérico e suas operações, grandezas e razão. Nosso 
objetivo foi expor e rever conceitos de matemática básica.
Nas unidades posteriores, vamos avançar e iniciar os estudos sobre 
funções. Serão apresentados os conceitos iniciais de função e 
como podem se subdividir as funções de acordo com as expressões 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
50
matemáticas que elas representam. Além disso, cada uma dessas 
funções terá uma forma matemática generalizada, características 
específicas e gráficos padrões. 
Tal estudo tem como objetivo fornecer ao aluno o conceito de 
função real e sua relação com modelos matemáticos, além de 
apresentar classes importantes de funções, como as polinomiais, 
as exponenciais e as logarítmicas.
Conceitos abordados nesta unidade podem ser aplicados em situações 
como a descrita abaixo.
Dispondo de uma certa quantia em dinheiro, uma pessoa decide fazer as 
seguintes aplicações em um ano: 
1º) Aplicou 2/4 dessa quantia na caderneta de poupança; nessa aplicação 
lucrou 10%.
2º) Aplicou 1/4 dessa quantia em tesouro direto; nessa aplicação perdeu 
15%.
3º) Aplicou o restante da quantia em caderneta de poupança e seu lucro 
nessa aplicação foi de 25%. Relativamente ao total aplicado, houve 
lucro ou prejuízo? De quanto?
Denominaremos a quantia disposta pela pessoa por x e, assim, teremos:
1º) Se a pessoa aplicou da quantia significa que aplicou de x, ou .x.
Nessa aplicação lucrou 10% sobre o valor de .x , lembrando que o 
acréscimo de 10% representa 1+0,10 = 1,10 (o todo, que é 1, mais o valor 
que será acrescido, no caso 0,10). Portanto, teremos 1,10. .x.
2º) Se a pessoa aplicou da quantia significa que aplicou de x, ou .x
Nessa aplicação perdeu 15% sobre o valor de .x, lembrando que o 
decréscimo de 15% representa 1-0,15 = 0,85 (o todo, que é 1, menos o 
valor que será decrescido, no caso 0,15). Portanto, teremos 0,85. .x.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
51
3º) O capital todo em razão pode ser representado como x, portanto, para 
saber o que ainda resta para ser investido. Assim, teremos ainda para 
ser investido.
Ao investir o restante e aplicá-lo, obterá um lucro de 25% sobre . Como na 
1ª situação, teremos um acréscimo, portanto 1,25. x.
Identificados os valores referentes a cada situação, iremos agora somá-los 
para saber seu valor final:
1,10 . 24 . x + 0,85 . 
1
4 . x + 1,25. 
2
4 x = resolvendo as multiplicações
2,20
4 . x + 
0,85
4 . x + 
2,5
4 . x = 
5,55
4 . x
5,55
4 x = 1,3875 x
O valor de 1,3875x significa (1+ 0,3875)x, ou seja, o todo (1) será acrescido 
de 0,3875 ou 38,75%, logo haverá lucro.
Revisão
Nesta unidade, revisamos alguns temas abordados em seu curso 
de formação básica. Os conceitos revistos foram conjuntos, 
operações com conjuntos, conjuntos numéricos, razão, proporção, 
regra de três simples e composta, porcentagem.
De todos esses conceitos podemos constatar sua utilidade e a 
presença deles em muitos cálculos comuns ao nosso cotidiano, 
inclusive para entender conceitos de administração e economia. 
Por isso devem fazer parte de sua formação.
Conjuntos e operações
As principais formas de representação de um conjunto são:
• Por extenso: A = {0, 1, 3}.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
52
• Por descrição: P = {x | x é par}.
• Por diagrama de Venn-Euler.
Conjuntos numéricos
ℤ ℚ 𝕀ℕ
ℝ
Razão
É uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões, e é representada 
por:
 ab
c = d = k onde a e d são os extremos, c e b são os meios.
Propriedades da proporção
1ª) ab
c = d ⇒ a . d = b .c (propriedade fundamental) 
2ª) ab
c = d ⇒ 
a ± b
a ou b = 
c ± d
c ou d 
3ª) ab
c = d ⇒ 
a ± c
b ± d 
4ª) ab
c = d 
e
f
 
= ⇒ a + c + eb + d + f 
As grandezas envolvidas em uma proporção podem ser direta ou 
inversamente proporcionais.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
53
Regra de três
É um método de resolução de problemas que envolvem grandezas 
proporcionais. Pode ser simples ou composta.
Porcentagem ou razão centesimal
São as razões cujo termo consequente é igual a 100. Representamos 
a porcentagem através do símbolo "%".
Revista Cálculo
DREHER, Felipe. MENDES, Renato. Comquais alicerces as pessoas 
constroem a matemática?. Revista Cálculo, São Paulo, Ano 5, nº 50, p. 24-
45, Mar. 2015.
Links
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO; SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA TV 
ESCOLA; FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE BRASÍLIA. Matemática 
na vida. Série Razão e Proporção 
Razão e Proporção 1 - O Conceito no Dia a Dia
RAZÃO e Proporção 1 – O Conceito no Dia a Dia. Dia a Dia Educação. In: 
Site “Governo do Estado do Paraná”. Disponível em: Disponível em: <http://
www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video = 
6958#>. Acesso em: 25 dez. 2015.
Razão e Proporção 2 - Divisão e Suas Interpretações
RAZÃO e Proporção 2 – Divisão e Suas Interpretações. Dia a Dia Educação. 
In: Site “Governo do Estado do Paraná”. Disponível em: <http://www.
matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video = 6974>. 
Acesso em: 25 dez. 2015.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 1
54
Razão e Proporção 3 - Proporção Direta e Inversa
RAZÃO e Proporção 3 – Proporção Direta e Inversa. Dia a Dia Educação. 
In: Site “Governo do Estado do Paraná”. Disponível em: <http://www.
matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video = 6960>. 
Acesso em: 25 dez. 2015.
Razão e Proporção 4 - Semelhança
RAZÃO e Proporção 4 – Semelhança. Dia a Dia Educação. In: Site “Governo 
do Estado do Paraná”. Disponível em: <http://www.matematica.seed.
pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video = 695>. Acesso em: 25 
dez. 2015.
Funções
• Definição
• Domínio e 
contradomínio
• Representação 
gráfica
• Revisão
Introdução
Nesta unidade, vamos iniciar algumas reflexões acerca do conceito 
de função e suas aplicações. No estudo científico de qualquer 
fenômeno, procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas 
a ele e, na sequência, estabelecer as relações que possam existir 
entre essas grandezas. 
Por exemplo: se o preço de um sanduíche natural vendido em uma 
lanchonete for R$ 3,50, podemos concluir que o preço de dois 
sanduíches será R$ 7,00, de três R$ 10,50, e assim sucessivamente. 
Nesse exemplo, estamos medindo duas grandezas: o número de 
sanduíches e seu respectivo preço. A cada quantidade de sanduíche 
corresponde um único preço, por isso dizemos que o preço é 
função do número de sanduíches. Podemos achar uma fórmula 
que estabeleça a relação de interdependência entre o preço (P) e o 
número (S) de sanduíches vendidos. Assim: P = 3,50.S.
Nesta unidade, introduziremos um dos mais fundamentais 
conceitos da matemática – o de função. O conceito de função se 
refere essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma 
função associa elementos de um conjunto a elementos de outro 
conjunto. Assim, utilizaremos os conceitos matemáticos para 
definir as funções, identificar seus elementos e interpretar seus 
gráficos. 
Em nosso estudo, os conjuntos envolvidos sempre serão 
subconjuntos de ℝ. As funções neles definidas são chamadas 
funções reais de variável real. O conjunto dos números reais ℝ é 
formado pelos números racionais (ℚ) e irracionais (𝕀), ou seja, 
números que podem ser representados na forma fracionária - com 
numerador e denominador inteiros - e outros que são decimais não 
exatos, que possuem representação infinita não periódica. 
Além disso, seremos capazes de modelar situações reais, como no 
exemplo dado, pela definição matemática de função.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
58
A noção de função como relação entre 
conjuntos
Para caracterizar de modo mais preciso a noção de função, 
devemos recorrer à teoria de conjunto.
Para isso, vale lembrar que um conjunto é uma coleção ou grupo 
de objetos. Os objetos que constituem um conjunto são chamados 
de elementos. Tais objetos dos conjuntos são agrupados por 
possuírem alguma característica específica. Veja alguns exemplos 
de conjuntos e quais são seus elementos: 
• Conjunto das vogais do alfabeto. Elementos: a, e, i, o, u. 
• Conjunto das cores da bandeira brasileira. Elementos: 
verde, amarelo, azul, branco.
• Conjunto dos nomes dos dias da semana: segunda-feira, 
terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado e 
domingo. 
Quando temos de dar nome a um conjunto, usamos uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, X, etc. Temos dois recursos para 
descrever um conjunto e seus elementos:
1) Escrevendo os elementos dos conjuntos entre chaves.
Exemplo: conjunto das vogais do alfabeto {a, e, i, o, u}
2) Dando uma característica dos elementos do conjunto. 
Exemplo: A = {x / x é estado da região sul do Brasil}. Esse conjunto 
será {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}
Para representar que determinado elemento pertence a um 
conjunto, utilizamos o símbolo ∈ entre um elemento e o conjunto, 
Definição
Para caracterizar de 
modo mais preciso 
a noção de função, 
devemos recorrer à 
teoria de conjunto.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
59
ou seja, Paraná ∈ A. Enquanto Minas Gerais ∉ A. Esse símbolo ∉ 
indica que o elemento não pertence ao conjunto A. 
Observe que um conjunto vazio é aquele que não possui elementos. 
Caso eu queira definir o conjunto B como o conjunto dos meses do 
ano que têm 32 dias, teremos B = { } ou B = ∅.
Para nosso estudo, é importante que a gente conheça os conjuntos 
cujos elementos são números, chamados de conjuntos numéricos. 
Sendo assim, teremos:
O conjunto dos números naturais ℕ, que é um conjunto infinito de 
números positivos, ou seja, ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20, 21, 22, ..., 100, 
101, ..., 500, ...}
O conjunto dos números inteiros ℤ, que é um conjunto infinito de 
números positivos e negativos, ou seja, ℤ = {..., - 10, -9, ..., -3, -2, -1, 
0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, ...}. Observe que esse conjunto é composto por 
todos os elementos de ℕ e seus opostos (ou simétricos). 
O conjunto dos números racionais ℚ é o conjunto das frações p/q, 
com p e q inteiros e q ≠ 0. ℚ = {0, ±1, ±1/2, ±1/3,…, ±2, ±2/3, ±2/5,…, ±3, 
±3/2, ±3/4,…}
Assim como existem números decimais que podem ser escritos 
como frações – com numerador e denominador inteiros – ou 
seja, os números racionais citados acima, há os que não admitem 
tal representação. Tratam-se dos números decimais não exatos. 
Esse conjunto de números é chamado de conjuntos dos números 
irracionais e o representamos por 𝕀. 
Assim sendo, o conjunto formado pelos números racionais e 
irracionais é o chamado conjunto dos números reais, representado 
por ℝ. 
Voltando ao estudo de função, definimos como uma função algo 
Esse conjunto de 
números é chamado 
de conjuntos dos 
números irracionais 
e o representamos 
por 𝕀. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
60
que associa elementos de um conjunto a elementos de outro 
conjunto. 
Sejam A e B subconjuntos de ℝ, ou seja, conjuntos escolhidos 
dentro do conjunto dos números reais, a definição de função será: 
Uma função f: A → B é uma lei ou regra que associa a cada elemento 
de A um único elemento de B. 
Escrevemos f: A → B uma função. 
 x → � (x)
 x → y
Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 
3, 4, 5}. Vamos associar a cada elemento x ∈ A o elemento y ∈ B. 
f: A → B dado pelo diagrama abaixo é uma função de A em B. 
2 3
1 2
3 4
4 5
2 3
1 2
3 4
4 5
Seja g: A → B, podemos ter uma função de A em B representada pelo 
diagrama a seguir.
Nesse caso, observe que a lei de correspondência que associa cada 
número real x ao número real y, é x → x + 1. 
Definição: 
Sejam A e B subconjuntos de ℝ. , uma função f: A → B é uma lei ou 
regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
61
Escrevemos f: A → B uma função. 
 x → �(x)
 x → y
Portanto, usa-se a notação x → �(x) para indicar que f faz 
corresponder a x o valor f(x) e x → y informa que cada valor de x 
(elemento de A) corresponde a um único valor de y (elemento de B).
Domínio e 
contradomínio
Vamos definiragora elementos que compõem uma função. Podemos 
definir o conjunto A como sendo o domínio da função f e é denotado 
D(f). O conjunto B é chamado de contradomínio da função f. 
Observe que, pela definição acima, todo elemento x do domínio 
(representado pelo conjunto A desenhado do lado esquerdo) tem 
uma única imagem y do contradomínio (representado pelo conjunto 
B desenhado do lado direito). Mas podem existir elementos do 
contradomínio que não são imagem de nenhum elemento do 
domínio.
Logo, temos que cada elemento do domínio da função corresponderá 
a um único elemento do contradomínio dessa função. Esse elemento 
utilizado na correspondência é chamado de imagem da função. 
Sendo assim, os elementos do conjunto imagem representam um 
subconjunto do contradomínio da função.
2 3
1 2
3 4
4 5
Caso tenhamos a relação f: A → B, dada pelo diagrama a seguir, não 
é função de A em B, pois o elemento 5 ∈ A tem dois correspondentes 
em B.
Podemos definir o 
conjunto A como 
sendo o domínio 
da função f e é 
denotado D(f). 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
62
4
2
3 1
5
Assim como a relação f: A → B não é função, pois o elemento 3 ∈ A 
não tem correspondente em B. 
Assim sendo, todos os elementos pertencentes ao domínio da 
função possuem, obrigatoriamente, uma e somente uma, imagem no 
contradomínio da função. 
Não podemos ter um elemento do domínio sem uma imagem 
correspondente ou um elemento do domínio com mais de uma 
imagem. 
Em contrapartida, podemos ter elementos do contradomínio que não 
são imagens de nenhum elemento do domínio. 
Logo, o conjunto imagem está contido no conjunto do contradomínio 
da função f, podendo o conjunto imagem ser igual ao conjunto 
contradomínio ou o conjunto imagem ser um subconjunto (uma 
parte) do contradomínio. 
Determinação do domínio 
Muitas vezes se faz referência a uma função f dizendo apenas 
qual é a lei de correspondência que a define. Quando não é dado 
explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é 
formado por todos os números reais que podem ser colocados no 
lugar de x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, efetuados 
os cálculos, resulte um y real. 
Vejamos alguns exemplos: 
• O domínio da função definida pela lei y = 2x – 1 é ℝ, pois 
qualquer que seja o valor real atribuído a x, o número 2x – 1 
Em contrapartida, 
podemos ter 
elementos do 
contradomínio que 
não são imagens de 
nenhum elemento 
do domínio. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
63
também é real. 
• O domínio da função dada por y = x + 2x é ℝ
*, pois para todo 
x real diferente de 0, o número x + 2x é real. 
• O domínio da função dada por y = x+1 é D = {x ∈ ℝ|x≥-1}, 
pois x+1 só é real se x + 1 ≥ 0.
• A função dada por y = x + 2x + x+1 só é definida para x ≠ 0 e 
x≥-1, então seu domínio é D = {x ∈ ℝ|x ≥ -1 e x≠0}.
Conjunto imagem
Se f: A → B é uma função, chama-se conjunto imagem de f o 
subconjunto Im do contradomínio constituído pelos elementos y, que 
são imagens de algum x ∈ A. 
No diagrama abaixo, temos o contradomínio de f CD (f) = {2, 3, 4, 5} e 
a imagem de f Im (f) = {2, 4, 5 }. 
2 3
1 2
3 4
4 5
Observações: 
• x é denominada variável independente da função (varia sem 
depender de nenhuma outra variável). 
• y é chamada variável dependente da função (como y = f(x), 
temos que y depende da variação da variável x).
Noções básicas de plano cartesiano 
Usaremos a notação (x,y) para indicar o par ordenado, em que x é o 
primeiro elemento e y é o segundo elemento. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
64
Vejamos:
• (2,4) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 2 e o 
segundo é 4.
• (4,2) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 4 e o 
segundo é 2.
• Note que os pares (2,4) e (4,2) diferem entre si pela ordem 
de seus elementos.
Existe uma maneira geométrica de representarmos o par ordenado 
(x,y):
1. Desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a 
interseção O como origem para cada um deles.
2. Marcamos no eixo horizontal o ponto A, que representa o 
valor de x.
3. Marcamos no eixo vertical o ponto B, que representa o valor 
de y.
4. Traçamos uma reta r paralela ao eixo vertical passando por 
A.
5. Traçamos uma reta s paralela ao eixo horizontal passando 
por B.
6. Destacamos a interseção das retas r e s, chamando-a de P, 
que é o ponto que representa graficamente o par ordenado 
(x,y). O par (x,y) é chamado de coordenadas de P. 
O eixo horizontal pode ser chamado de eixo Ox ou também de eixo 
das abscissas. Enquanto o eixo vertical pode ser chamado de eixo 
Oy e também de eixo das ordenadas. O ponto O (interseção de Ox 
com Oy) é chamado de origem. O plano que contém Ox e Oy é o 
plano cartesiano. Esse plano é bidimensional (duas dimensões) e o 
utilizamos para representar um par ordenado (x,y) ou ponto qualquer 
(x,y).
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
65
GRÁFICO 1 – Plano cartesiano
GRÁFICO 2 – Plano cartesiano 
Fonte: Elaborado pela autora
Fonte: Elaborado pela autora
y (eixo das ordenadas)
1º quadrante2º quadrante
4º quadrante
x
y
3º quadrante
x (eixo das abscissas)
0 (origem)
Cada uma das quatro partes em que fica dividido o plano dos eixos 
cartesianos chama-se quadrante. A numeração dos quadrantes é 
feita no sentido anti-horário.
Um ponto qualquer (x,y) pode se localizar em qualquer um dos quatro 
quadrantes ou em um dos eixos coordenados. Observe que:
• Um ponto no 1º quadrante possui valores de x e y positivos 
→ (+,+) 
• Um ponto no 2º quadrante possui valor de x negativo e y 
positivo → (-,+)
• Um ponto no 3º quadrante possui valores de x e y negativos 
→ (-,-)
• Um ponto no 4º quadrante possui valor de x positivo e y 
negativo → (+,-)
• Um ponto localizado no eixo das abscissas pode ter x 
positivo ou negativo, mas terá, obrigatoriamente, como 
A numeração 
dos quadrantes 
é feita no sentido 
anti-horário.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
66
ordenada y o valor zero → (+ ou -, 0)
• Um ponto localizado no eixo das ordenadas pode ter y 
positivo ou negativo, mas terá, obrigatoriamente, como 
abscissa x o valor zero → (0, + ou -) 
Assim, os pontos A (3,4), B (-3,4), C (-3,-4) e D (3,-4) estarão 
posicionados, respectivamente, no 1º, 2º, 3º e 4º quadrante.
Representação gráfica
Podemos representar a função através de um gráfico, assim, temos 
a seguinte definição:
Seja f uma função, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, 
f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f. 
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de 
pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas, calculadas 
por meio da lei y = f(x). Representamos cada par ordenado (x,y) da 
tabela por um ponto no plano cartesiano. O conjunto dos pontos 
obtidos constitui o gráfico da função. 
Exemplo 1:
Vejamos como construir o gráfico da função y = 2x. Salientamos 
alguns pontos, de acordo com a tabela. 
Lembramos que podemos escolher números reais para atribuirmos 
para x (variável independente), e a partir desses valores escolhidos 
substituímos na função dada y = 2x, gerando os valores de y. A união 
desse valor para x e seu correspondente para y será o ponto (x,y) 
que ‘marcaremos’ no gráfico. Para isso, devemos atribuir alguns 
valores para x gerando os pontos calculados, e ligar esses pontos 
visualizando o gráfico da função dada. 
O conjunto 
dos pontos 
obtidos constitui 
o gráfico da 
função. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
unidade 2
67
Normalmente, para efeito de facilitar nossas contas, escolhemos 
números menores positivos, negativos e o número 0. Ou seja, 
vamos atribuir a x os valores de - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3. Como é a 
função y ou f(x) que depende de x, atribuímos os valores para x e 
depois substituímos na função f(x) = 2x.
(X,Y)
A(- 3, - 6)
B(- 2, - 4)
C( - 1, - 2)
D(0, 0)
E(1, 2)
F(2, 4)
G(3, 6) 
Y = 2X
2. (-3) = - 6
2.( - 2) = - 4
2.( - 1) = - 2
2.0 = 0
2.1 = 2
2.2 = 4
2.3 = 6
X
- 3
- 2
- 1
0
1