PRINCÍPIOS DA MATEMÁTICA PARA CONCURSOS - VOLUME I - Múltiplos e Divisores

Prévia do material em texto

1 
Espero que este material possa ser 
útil na conquista da tão sonhada 
vaga, e desde já desejo todo sucesso 
nesta empreitada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicatória 
 
 Dedico esta obra em especial, à Elza Gomes Dias Confort Martins, minha esposa 
e companheira, e em memória a Osmar Martins (meu pai), que em todos os momentos me 
apoiou, incentivou e estimulou a dar o melhor de mim, principalmente nas horas difíceis. 
 Obrigado a todos os colegas, mestres, amigos e familiares que ao longo desses 
anos ajudaram e contribuiram com a minha formação e me guiaram ao longo em busca do 
conhecimento e a todos da Editora Ciência Moderna que acolheram e confiaram neste novo 
projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
O AUTOR 
 
 
 
 
Jamerson Fernando Confort Martins (Fernandão) 
 
 
O professor Jamerson Fernando Confort Martins (Fernandão) é Licenciado em 
Matemática pela UFRN e possui vasta experiência em turmas de Pré-vestibulares, 
Concurso Público, Turmas Militares e Pré-Técnicos. 
Leciona em diversas instituições de renome em Natal/RN e é sócio proprietário do 
Teorema Concursos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
PREFÁCIO 
 
 
 
 
 
 A coleção Princípios da Matemática para Concursos tem como principal objetivo 
treinar o aluno para as mais diversificadas bancas examinadoras de concursos, entre elas 
CESPE-UnB, ESAF, CESGRANRIO, FGV, ENEM, EPCAR, Colégio Naval, Colégios Militares, 
Institutos Federais (antigo CEFET), Olimpíadas de Matemática e diversos vestibulares do 
Brasil. 
 O livro Princípios da Matemática para Concursos consta de uma base teórica 
completa e todos os exercícios resolvidos passo a passo. 
Assim, desejo que ao ler este livro você possa retirar o máximo, a fim de que no 
futuro todos seus desejos sejam realizados. 
 
 
 
 
 
Um abraço 
O AUTOR 
 
 
Natal(RN), 7 de outubro de 2011. 
 
 
 
 
 
Sugestões ou críticas podem ser encaminhadas através do e-mail: 
jamerson_martins@yahoo.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
Divisores de um Número Natural.......................................................... 
Critérios de Divisibilidade ................................................................. 
Teoria dos Restos ......................................................................... 
Pequeno Teorema de Fermat ................................................................. 
Múltiplos Naturais de um Número........................................................... 
Número Primo .............................................................................. 
Crivo de Erastóstenes ................................................................... 
Decomposição em Fatores Primos ......................................................... 
Quantidade de Divisores ................................................................. 
Soma dos Divisores de um Número ........................................................... 
Produto dos Divisores de um Número ...................................................... 
Função de Euler .......................................................................... 
Soma dos Números Primos com N menores que ele ................................... 
Máximo Divisor Comum ................................................................. 
Mínimo Múltiplo Comum ................................................................. 
Relação entre MMC e MDC de dois Números ................................................. 
Exercícios Resolvidos .......................................................................... 
Referências Bibliográficas ................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09 
09 
12 
14 
15 
16 
17 
18 
18 
21 
22 
23 
24 
25 
30 
32 
33 
134 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
Divisores Naturais de um Número: 
 Denominamos de divisores natural de um número a os números que ao dividirem a e 
encontramos resto igual a zero. Veja um exemplo: 
6:1 = 6, resto 0 6:4 = 1, resto 2 
6:2 = 3, resto 0 6:5 = 1, resto 1 
6:3 = 2, resto 0 6:6 = 1, resto 0 
 Veja que dividindo 6 por 1,2,3 e 6, obtemos resto 0. Então, dizemos que 6 é divisível 
por 1,2,3, e 6, ou que 6 é múltiplo de 1, 2, 3 e 6. Assim esses números são chamados de divisores 
de 6 e indicamos por: 
D(6) = {1, 2, 3, 6} 
Outros exemplos: 
a) D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
b) D(7) = {1, 7} 
c) D(0) = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
Propriedades 
P1) Todo número natural, diferente de zero, é divisor dele mesmo. 
P2) 1 é divisor de qualquer número. 
P3) Zero não é divisor de nenhum número. 
P4) O conjunto de divisores de um número é finito, exceto o zero. 
P5) Na sucessão ordenada de forma crescente dos divisores naturais de um número não nulo, 
após a metade deste o próximo será ele próprio. 
 
Curiosidades 
 
Divisores Próprios 
Chamamos de divisores próprios de um número, todos os seus divisores positivos, 
exceto, ele mesmo. 
Ex.: Qual os divisores próprios do número 8? 
Note que os divisores próprios de 8 são 1, 2 e 4. 
 
Números Amigáveis 
Diremos que dois números são amigáveis ou amigos quando um é igual à soma dos 
divisores dos divisores próprios do outro. 
Um exemplo famosa no qual atribuimos a Pitágoras de números amigos são 220 e 284, 
pois: 
Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma será: 
1 + 2 + 4 + 71 + 142 =220 
http://www.escolakids.com/curiosidades-sobre-os-numeros.htm
http://www.escolakids.com/curiosidades-sobre-os-numeros.htm
 
 
 
10 
Os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é: 
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 
 
Números Perfeitos 
Chama-se número deficiente a um número natural n se a soma dos seus divisores próprios 
(exclui o próprio número) é igual a ele. 
Observe o caso do primeiro número perfeito o 6. 
Divisores positivos de 6: 
D (6) = {1; 2; 3; 6} 
Somando apenas os divisores próprios de 6 teremos: 
1 + 2 + 3 = 6 
Números Deficientes 
Chama-se número deficiente a um número natural n se a soma dos seus divisores próprios 
(exclui o próprio número) é inferior a ele. 
 Observe que o número 10 é um número deficiente, porque: 
Divisores positivos de 10: 
D (10) = {1; 2; 5; 10} 
Somando apenas os divisores próprios de 10 teremos: 
1 + 2 + 5 = 8 < 10 
Números Abundantes 
 Diremos que um número natural n é abundante quando a soma de seus divisores 
próprios (exclui o próprio número) é superior a ele. 
Veja o caso do primeiro número abundante o 12. 
Divisores positivos de 12: 
D (12) = { 1; 2; 3; 4; 6; 12} 
Somando apenas os divisores próprios de 12 teremos: 
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 
 
Critérios de Divisibilidade: 
 Os critérios de divisibilidade são ferramentas extremamente importantes nas 
operações matemáticas, pois através deles é possível determinar se um número é divisível por 
outro sem efetuar a divisão Observe: 
 
➢ Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades desse 
número é 0, 2, 4, 6, 8. Tais números chamam-se números pares. 
Ex.: 10, 22, 34, 36, 58, etc. 
 O resto da divisão de um número natural por 2, é igual ao resto da divisão do algarismo 
da unidade do número por 2, ou se preferir seo número dado for par o resto é 0, por outro lado 
se o número for ímpar o resto da divisão deste por 2 será 1. 
 
➢ Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de 
seus algarismos é múltiplo de 3. 
Ex.: 1356  1 + 3 + 5 +6 = 15 = 3 x 5 
 
 
 
11 
 O resto da divisão por 3 é igual ao resto da divisão da soma dos algarismos que 
compõem o número por 3. 
 
➢ Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos da 
direita formam um número múltiplo de 4. 
Ex.: 520  20 = 4 x 5 600  00 = 4 x 0 
 632  32 = 4 x 8 
O resto da divisão de um número natural por 4, é igual ao resto da divisão do número 
formado pelos dois últimos algarismos da direita por 4. 
 
➢ Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades desse 
número é 0 ou 5. 
Ex.: 240, 545, 1005, etc. 
O resto da divisão de um número natural por 5, é igual ao resto da divisão do algarismo 
da unidade do número por 5. 
 
➢ Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3, ao mesmo 
tempo. 
Obs.: 2 x 3 = 6 
 Ex.: 


 ==++
2.por divisível 6, em Termina
3por divisível 4 x 3 12 6 1 5
516 
O resto da divisão de um número natural por 6, é igual ao resto da divisão do número 
formado da soma do algarismo da unidade do número dado com o quádruplo da soma de todos os 
outros algarismos do número em questão, por 6, ou seja: 
6
algarismos
4Re6Re 











+→=
outrosdosSoma
unidadedastoporsto 
➢ Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando, separamos o primeiro algarismo 
da direita, multiplicando-o por 2 e subtraindo o produto do que restou à esquerda, e assim 
sucessivamente, se resultar 0, 7 ou múltiplos de 7 conhecidos, este número será divisível por 7. 
Ex.: Verifique se 8356 é divisível por 7. 
 
Veja como proceder: 
➢ Separamos o primeiro algarismo da direita; e multiplicamos por 2. 
6  2 = 12 
➢ Agora vamos pegar o número 12 e subtrair de 835. 
8 3 5 | 6 
 − 1 2 
8 2 3 
 
➢ Pegamos o resultado e separamos o último algarismo e multiplicamos por 2. 
3  2 = 6 
 
 
 
12 
➢ Agora vamos pegar o 6 e subtrair de 82. 
8 2 | 3 
− 6 
7 6 
Veja que 76 não é divisível por 7, portanto, 8356 também não é. 
 
Um método para verificar o resto da divisão de um número por 7, consiste em dividir 
por 7 a diferença entre a soma dos números das classes ímpares ciS pela soma dos números 
que compõem as classes de pares 
cpS , somada se necessário do menor múltiplo de 7, de modo 
que torne a mesma diferença positiva. 
 
Ex.: Verifique se o número 1.019.823 é divisível por 7. 
80519824
19
8248231
=−=−
=
=+=
cpci
cp
ci
SS
S
S
 
 Como o resto da divisão entre 805 por 7 é 0 diremos que o número dado é divisível por 7. 
 
➢ Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos 
algarismos do número dado é múltiplo de 8. 
Ex.: 1008  008 = 8 x 1 1256  256 = 8 x 32 
 O resto da divisão de um número natural por 8, é igual ao resto da divisão do número 
formado pelos três últimos algarismos da direita por 8. 
 
➢ Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de 
seus algarismos é múltiplo de 9. 
Ex.: 513  5 + 1 + 3 = 9 = 9 x 1 
 6327  6 + 3 + 2 + 7 = 18 = 9 x 2 
O resto da divisão por 9 é igual ao resto da divisão da soma dos algarismos que compõe 
o número por 9. 
 
➢ Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades desse 
número é zero. 
Ex.: 40, 100, 500, etc. 
 O resto da divisão de um número natural por 10 é igual ao algarismo da unidade do 
número em questão. 
 
➢ Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos 
algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par, somado se necessário de um 
múltiplo de 11, forem múltiplos de 11, 
Ex.: 9240  (9 + 4) – (2 + 0) = 11, 11 é múltiplo de 11. 
 
 
 
13 
➢ Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4, ao 
mesmo tempo. 
 
➢ Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5, ao 
mesmo tempo. 
 
➢ Divisibilidade por 25: um número é divisível por 25 quando os dois últimos algarismos da 
direita forem 00, 25, 50 ou 75, ou seja, se os dois últimos algarismos formarem um número 
divisível por 25. 
Ex.: 200, 342725, 6550, 875 
 O resto da divisão de um número natural por 25, é igual ao resto da divisão do número 
formado pelos dois últimos algarismos da direita por 25. 
 
➢ Divisibilidade por 125: Um número é divisível por 125 quando o número formado pelos 3 
últimos algarismos do número dado é múltiplo de 125. 
Ex.: 1000  000 = 125 x 0 1250  250 = 125 x 2 
 O resto da divisão de um número natural por 125 é igual ao resto da divisão do número 
formado pelos três últimos algarismos da direita por 125. 
 
➢ Divisibilidade por 2n, por 5n e por 10n: Um número é divisível por 2n, por 5n ou por 10n 
quando o número formado pelos n últimos algarismos do número dado é múltiplo de 2n, 5n ou 10n. 
 O resto da divisão de um número natural por 2n, 5n ou 10n, é igual ao resto da divisão do 
número formado pelos n últimos algarismos da direita por 2n, 5n ou 10n. 
 
Teoria dos Restos 
 
1º. CASO: Resto da divisão de uma soma 
 O resto da divisão de uma soma por um número é igual ao resto da divisão pelo mesmo 
número, da soma dos restos das parcelas. 
Observe o exemplo: 
Ex.: Determine o resto da divisão por 5 de 143 + 242 + 46 
Primeiramente, devemos determinar o resto da divisão por 5, de cada parcela, e somar 
os restos obtidos, assim temos: 
1546
25242
35143
=→
=→
=→
parcialresto
parcialresto
parcialresto
 
Somando os restos: 
3 + 2 + 1 = 6, assim temos que o resto final é: 
156 =→ resto 
Portanto o resto da divisão de 143 + 242 + 46 por 5 é igual a 1. 
 
 
 
 
 
14 
2º CASO: Resto da divisão do produto 
O resto da divisão de um produto por um número é igual ao resto da divisão, pelo 
mesmo número, do produto dos restos dos fatores. 
Ex.: Determine o resto da divisão de 1.842 x 237 x 6.825 por 4, sem efetuar o produto. 
Dividindo inicialmente cada um dos fatores por 4 temos: 
14825.6
14237
24842.1
=→
=→
=→
parcialresto
parcialresto
parcialresto
 
Assim temos: 
finalresto
parcialresto
2
112
825.6237842.1 4
44
  








 
3º CASO: Resto da divisão de uma potência 
Para determinar o resto de uma potência por um número qualquer diferente de zero, 
basta substituir a base da potência pelo resto da divisão desta base pelo número dado. A seguir, 
achar o resto da divisão da potência calculada pelo número dado. 
Ex.: Determine o resto das divisões entre os números abaixo: 
a) 
4842.1 por 3 
Dividindo inicialmente a base da potência por 3 temos: 
0
00,logo
03842.1
4
=
=
=→
finalresto
parcialresto
 
b) 
6387.2 por 9 
Dividindo inicialmente a base da potência por 9 temos: 
1964642,logo
29387.2
6 =→→=
=→
finalresto
parcialresto
 
 
c) 
243249.3 por 11 
Dividindo inicialmente a base da potência por 11 temos: 
411249.3 =→ parcialresto 
Mas como o expoente é muito grande devemos fazer um rastreamento dos restos da divisão 
por 11 das potências sucessivas de base 4 (resto parcial) e usar a tabela abaixo ou aplicar o 
Pequeno Teorema de Fermat o qual veremos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
A construção da tabela deve continuar até encontrar uma potência na qual o resto da 
divisão por 11 seja 1, e em seguida deve-se dividir o expoente de 
243249.3 pelo expoente 
corresponde a potência de resto 1. 
 
 
Base Expoente Resto R = (RA . Base) ÷11 
4 1 4 ----------- 
4 2 5→ 4 x 4 = 16 ÷ 11 
4 3 9→ 5 x 4 = 20 ÷ 11 
4 4 3→ 9 x 4 = 36 ÷ 114 5 1→ 3 x 4 = 12 ÷ 11 
Legenda: 
R = Resto 
RA = Resto anterior 
Base = 1º resto parcial 
parcialrestooparaoentenovo
restodepotênciadaoente
exp3
48240
1exp5243
→
−
→
 
9114,log 3 =→ finalrestoo 
 
Importante: 
Pequeno Teorema de FERMAT (PTF) 
Se p é um número primo no qual não divide a então o resto da divisão de p por 
1−pa é igual a 1. É importante salientar que esse teorema é chamado de pequeno teorema de 
Fermat. 
Observe os exemplos: 
Ex.: Ache os restos das divisões entre os números baixo: 
a) 26 por 7. 
Como 7 não divide 2, temos que de acordo com o Pequeno Teorema de Fermat (PTF) o 
resto da divisão de 26 por 7 é igual a 1. 
 
b) 250 por 7. 
Como 7 não divide 2, temos que de acordo com o Pequeno Teorema de Fermat (PTF) o 
resto da divisão de 26 por 7 é igual a 1. 
Por sua vez, 50 = 6 . 8 + 2 temos: 
 
 
 
16 
( ) 286
2 8 6
2 8 6.50
22
 22 
2 2
=
=
=

+
 
Agora iremos encontrar o resto de cada uma dessas potências, em seguida aplicar o 
resto da divisão por 7 para o produto; assim, temos: 
472
171
)(172
2
8
6
=→
=→
=→
parcialresto
parcialresto
PTFparcialresto
 
( ) ( )
finalresto
parcialresto
4
41
22
8
286





 
c) 538 por 11. 
Verificando inicialmente que 11 não divide 5, temos que de acordo com o Pequeno 
Teorema de Fermat (PTF) o resto da divisão de 510 por 11 é igual a 1. 
E que o número 38 = 10 . 3 + 8 temos: 
( ) ( )42310
8 3 10
8 3 10.38
55
55 
5 5
=
=
=

+
 
Agora encontraremos o resto de cada uma dessas potências, em seguida aplicar o resto 
da divisão por 11 para o produto, ou seja: 
41181813
31125255
1111
)(1115
4
2
3
10
=→→=
=→→=
=→
=→
parcialresto
parcialresto
parcialresto
PTFparcialresto
 
( ) ( )
finalresto
parcialresto
parcialresto
4
41
31
55
43
42310







 
 
 
 
17 
Múltiplos Naturais de um Número: 
 O conjunto dos múltiplos de um número natural é obtido multiplicando o número dado 
pela sucessão de todos os números naturais. 
Veja os exemplos abaixo: 
 
M(3) = múlt. 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} 
3 x 0 = 0 3 x 3 = 9 
3 x 1 = 3 3 x 4 = 12 
3 x 2 = 6 3 x 5 = 15 
Outros exemplos: 
a) M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} 
b) M(0) = {0} 
 
Propriedades 
P1) Todo número é múltiplo dele mesmo. 
P2) Zero é múltiplo de todos os números. 
P3) O conjunto dos múltiplos de um número é infinito, exceto para o número zero. 
 
Números Primos: 
 Denominamos de número primo, todo número (diferente de 1 e zero) que possui 
somente dois divisores naturais: 1 e ele mesmo. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} 
Propriedades: 
 
➢ O número natural que não é primo é chamado composto, exceto zero e 1. 
➢ O número 2 é o único par primo. 
 
Reconhecimento de um número primo 
 Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 
7, 11 etc. até que tenhamos: 
I) ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, 
II) ou uma divisão com quociente menor ou igual que o divisor e o resto diferente de zero. 
Nesse caso o número é primo. 
É importante ressaltar que no processo de reconhecimento um número 1a como 
primo, basta dividir o número sucessivamente pelos primos que não excedam a . 
Ex.: Determine se os seguintes 151 e 221 são números primos. 
 Note que pelos critérios de divisibilidade 151 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos o que 
acontece com os números primos seguintes: 
 
 
 
18 
 
 
 Como não encontramos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que 
o divisor. Concluímos que 151 é um número primo, note que não era necessário efetuar a divisão 
por 13, pois a 13151  , e para provar que o número 151 é primo devemos dividi-lo 
sucessivamente pelos primos que não excedam sua raiz quadrada, portanto a divisão por 13 é 
desnecessária. 
 Para o número 221, ao aplicarmos os critérios de divisibilidade concluímos que o mesmo 
não é divisível por 2, 3 e 5. 
Vejamos, então: 
 
 
 
 
Concluímos que 221 é um número composto. 
 
Crivo de Erastóstenes 
Para determinarmos uma sequência de números primos começando por 2 até um número 
dado n, inclusive, tomamos por base o procedimento estabelecido por Erastóstenes, cujas 
etapas de obtenção descreveremos a seguir. 
Etapas: 
1ª Etapa: conservamos o número 2 pois é primo, em seguida eliminar os outros demais múltiplos 
de 2. 
2ª Etapa: conservamos o número 3 pois é primo, em seguida eliminar os outros demais múltiplos 
de 3. 
3ª Etapa: conservamos o número 5 pois é primo, em seguida eliminar os outros demais múltiplos 
de 5. 
4ª Etapa: Esse procedimento deve se repetir até encontrarmos um número primo cujo quadrado 
seja maior que o número n . 
 
Ex.: O quadro abaixo mostra os números primos menores que 100, obtidos pelo crivo de 
Erastóstenes. 
 
 
 
 
 
 
19 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
 
 
Decomposição em Fatores Primos (Teorema Fundamental da Aritmética) 
 Todo número composto pode ser escrito através de um produto de fatores primos. 
 
Ex.: Escreva os números 60 e 180 na forma fatorada ou canônica. 
 Para realizar fatorar o número 60, basta seguir as etapas: 
1º) Escrever o número 60 e colocar um traço vertical do seu lado direito, vejam: 
60 
 
 
 
 
2º) Divida o número 60 pelo seu menor divisor primo no caso 2, no qual deve ser colocado a 
direita do traço da seguinte forma: 
60 2 
 
 
 
 
3º) Escreva, abaixo do número 60, o resultado da divisão efetuada anteriormente, ou seja, 30. 
60 2 
 30 
 
 
 
 
4º) Repita esse processo até que o quociente seja igual a 1. 
60 2 → 2 é o menor divisor primo de 60. 
 30 2 → 2 é o menor divisor primo de 30. 
 15 
 5 
 1 
3 → 3 é o menor divisor primo de 15. 
5 → 5 é o menor divisor primo de 5. 
 Com isso: 
 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 . 3 . 5 
 
 
 
20 
 Agora a forma fatorada do número 180. 
180 2 → 2 é o menor divisor primo de 180. 
 90 2 → 2 é o menor divisor primo de 90. 
 45 
 15 
 5 
 1 
3 → 3 é o menor divisor primo de 45. 
3 → 3 é o menor divisor primo de 15. 
5 → 5 é o menor divisor primo de 5. 
 
 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 22 . 32.5 
 
 
Decomposição em árvore 
➢ Escrever o número como produto de outros dois. 
➢ Continuar a escrever cada número como produto de outros dois até encontrar só números 
primos. 
 
36 = 2 × 2 × 3 × 3 
 36 = 22 x 32 
Quantidade de Divisores Naturais: 
 Decompomos o número em fatores primos: 
 Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os resultados. 
Ex.: Qual o número de divisores naturais no número 60? 
Para obtermos os divisores do número 60 devemos primeiro decompor este em fatores 
primos, ou seja: 
60 = 22 . 31 . 51 
 A próxima etapa será somar a cada expoente uma unidade e multiplicar os resultados 
obtidos, pois assim teremos o número de divisores naturais de 60. 
No D(60) = (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) 
 No D(60) = 3 x 2 x 2 = 12 divisores naturais. 
 
Ex.: O número N = 2 . 32 . 51 admite 30 divisores naturais, calcule o valor do número N? 
No D(N) = ( + 1) x 3 x 2 = 30  6 + 6 = 30   = 4 
Daí: 
N = 2 . 32 . 51  N = 24 . 32 . 51  N = 16x9x5  N = 720 
 
Quantidade de Divisores Inteiros 
 Para obter o total de divisores inteiro (positivos e negativos), basta multiplicar por 2 o 
produto de todos dos expoentes somado uma unidade. 
Ex.: Quantos divisores inteiros possui o número 360? 
 
 
 
21 
Paraobtermos os divisores inteiros do número 360 devemos primeiro decompor este 
em fatores primos, ou seja: 
360 = 23 . 32 . 51 
 A próxima etapa será multiplicar por dois o produto de todos dos expoentes somado 
uma unidade, pois assim teremos o número de divisores inteiros de 360. 
No D±(360) = 2 x (3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) 
 No D±(360) =2 x 4 x 3 x 2 = 48 divisores inteiros. 
 
Quantidade de Divisores Ímpares Positivos 
 Para determinar a quantidades de divisores ímpares positivos basta excluir da fatoração se 
houver, é claro, o fator relativo ao expoente 2 e multiplicar os expoentes de base ímpares, 
acrescidos cada um de uma unidade. 
Ex.: Quantos divisores ímpares positivos possui o número 360? 
Para obtermos os divisores ímpares positivos do número 360 devemos primeiro 
decompor este em fatores primos, ou seja: 
360 = 23 . 32 . 51 
 A próxima etapa será multiplicar apenas os expoentes de base ímpares, acrescidos de 
uma unidade, pois assim teremos o número de divisores ímpares positivos de 360. 
No Dímpares(360) = (2 + 1) x (1 + 1) 
 No Dímpares(360) = 3 x 2 = 6 divisores inteiros. 
 
Quantidade de Divisores Pares Positivos 
 A quantidade de divisores pares positivos pode ser obtida subtraindo do total de divisores 
aqueles que são ímpares ou então escreveremos inicialmente o número na forma fatorada (ou 
forma canônica) em seguida multiplicamos o expoente do número 2, pelos outros demais fatores 
somados a unidade. 
Ex.: Quantos divisores pares positivos possui o número 360? 
 Para obtermos os divisores inteiros do número 360 devemos primeiro decompor este em 
fatores primos, ou seja: 
360 = 23 . 32 . 51 
 A próxima etapa será multiplicamos o expoente do número 2, pelos outros demais fatores 
somados a unidade , pois assim teremos o número de divisores pares do número 360. 
No Dpares (360) = 3 x (2 + 1) x (1 + 1) 
 No Dpares (360) = 3 x 3 x 2 = 18 divisores pares positivos. 
 
Quantidade de Divisores Positivos de um número N múltiplo de X 
 Para encontrarmos número de divisores naturais de um número natural N dos quais são 
múltiplos de um número X também natural e diferente de zero, basta dividirmos N por X, então 
se o resultado for um número natural a quantidade de divisores múltiplos de X é igual ao número 
de divisores do resultado dessa divisão, se ao dividirmos N por X o resultado for um número 
decimal o número de divisores de N dos quais são múltiplos de X é igual a zero. 
Ex.: Quantos divisores positivos do número 360 são múltiplos de 10? 
 
 
 
22 
 Para obtermos os divisores 360 que são múltiplos de 10 devemos primeiramente dividir 
360 por 10, ou seja: 
360
10
= 36 
Como 36 é um número natural, devemos decompor o número 36 em fatores primos: 
36 = 22 . 32 
 Agora encontraremos o número de divisores positivos de 36, pois assim teremos o número 
de divisores positivos do número 360 que são múltiplos de 10. 
No D(36) = (2 + 1) x (2 + 1) 
 No D (36) = 3 x 3 = 9 divisores positivos. 
 Portanto são 9 divisores positivos de 360 múltiplos de 10. 
 
Determinação dos Divisores Naturais de um número 
Etapas 
1ª. Decompomos o número dado em um produto de fatores primos. 
2ª. Colocamos um traço à direita dos fatores primos e acima e à direita do traço escrevemos o 
número 1. 
3ª. Multiplicamos os números primos pelos números que estão à direita do traço acima deles. 
 
Ex.: Quais são os divisores naturais do número 60? 
1º) Primeiramente iremos fatorar o número dado, veja: 
 60 2 
 30 2 
 15 
 5 
 1 
3 
5 
2º) Colocamos um traço à direita dos fatores primos e acima e à direita do traço escrevemos o 
número 1 o primeiro divisor positivo de 60. 
 1 
 60 2 
 30 2 
 15 
 5 
 1 
3 
5 
 
 
 
3º) Multiplicamos o primeiro fator primo pelo número que estão à direita do traço acima deles 
no caso o número 1 e anotar o resultado obtido a sua direita. 
 
 1 
 60 
 30 
2x 
2 
 2 
 
 15 
 5 
3 
5 
 
 
 1 Divisores positivos do número 60 
 
 
 
23 
 
4º) Multiplicamos o segundo fator primo pelos divisores já obtidos e anotando o resultado não 
repetidos sempre na mesma linha do fator em questão. 
 1 
 60 
 30 
2 
2x 
 2 
 4 
 15 
 5 
3 
5 
 
 
 1 Divisores positivos do número 60 
 
5º) Multiplicamos o terceiro fator primo pelos divisores já obtidos e anotando o resultado não 
repetidos sempre na mesma linha do fator em questão. 
 1 
 60 
 30 
2 
2 
 2 
 4 
 15 
 5 
3x 
5 
 3, 6, 12 
 
 1 Divisores positivos do número 60 
 
6º) Multiplicamos o quarto fator primo pelos divisores já obtidos e anotando o resultado não 
repetidos sempre na mesma linha do fator em questão. 
 1 
 60 
 30 
 2 
 2 
 2 
 4 
 15 
 5 
 3 
 5x 
 3, 6, 12, 
 5, 10, 20, 15, 30, 60 
 1 Divisores positivos do número 60 
 
Logo os divisores de 60 são: 
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 
Observação: 
 Em alguns problemas devemos encontrar os divisores inteiros de um número, daí 
bastará encontrar os positivos pois os divisores negativos serão simétricos. 
 Vejo que os divisores inteiros do número 60 por exemplo são: 
 Di (60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60} 
 
Soma dos divisores naturais de um número 
 Seja um número natural N cuja forma fatorada é igual a 
 baN = , 
sendo assim a soma de todos os divisores naturais de N, na qual indicamos por Soma[D(N)] é: 
)()()]([ 1010  bbbaaaNDSoma ++++++=  ou 
 
 
 
24 






−
−






−
−
=
++
1
1
1
1
)]([
11
b
b
a
a
NDSoma

 
Ex.: Determine a soma dos divisores do número 60. 
 60 2 
 30 2 
 15 
 5 
 1 
3 
5 
60 = 22 . 3 . 5 
Logo, 
168647)]60([
)51()31()421()]60([
)55()33()222()]60([ 1010210
==
++++=
++++=
DSoma
DSoma
DSoma
 
 ou 
168647)]60([
4
24
2
8
7)]60([
4
125
2
19
1
18
)]60([
4
15
2
13
1
12
)]60([
15
15
13
13
12
12
)]60([
223
111112
==
=





 −





 −





 −
=





 −





 −





 −
=






−
−






−
−






−
−
=
+++
DSoma
DSoma
DSoma
DSoma
DSoma
 
 
 
 
 
Caso a pergunta seja qual o número de divisores inteiros é óbvio que o resultado será 
zero, pois os divisores inteiros são simétricos. 
 
Produto dos divisores naturais de um número 
O produto dos divisores de um número é igual ao número dado, elevado a metade do 
número de divisores desse número. 
 
 
 
 
 
25 
 
Ex.: Determine o produto entre os divisores naturais do número 60. 
 60 2 
 30 2 
 15 
 5 
 1 
3 
5 
60 = 22 . 3 . 5 
 
No. D(60)  (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) 
 No. D(60) = 3 x 2 x 2 = 12 divisores naturais. 
Assim, a metade do número de divisores é igual a 6, visto que: 12 : 2 = 6 
Logo, o produto de seus divisores é igual a: 
606 = 46656000000 
Produto dos divisores inteiros de um número natural 
 
O produto dos divisores inteiros DP. de um número N é igual ao oposto número 
dado, elevado ao número de divisores positivos “ d ” de N . 
( )dNDP −=. 
 
Ex.: Determine o produto dos divisores inteiros do número 12. 
Como sabemos, o produto dos divisores inteiros de um número N é igual ao oposto do 
número dado, elevado ao número de divisores positivos do mesmo, ou seja, 
( ) ( ) divisoresnNNDP  −=. . 
Assim, se a forma fatorada de N = 12 é: 
 12 2 
 6 2 
 3 
 1 
3 
 3212
2 = . 
 
Concluímos que o número de divisores positivos será: 
noD(12) = (2 + 1) x (1 + 1) 
noD(12) = 3 x 2 
noD(12) = 6 divisores positivos. 
 
Logo, o produto de seus divisoresinteiros será igual a: 
( ) ( ) 298598412 6 =−=−= Di
d
Di PNP 
 
 
 
 
26 
A Função  de Euler 
Sendo n um número inteiro maior que 1, chamamos de função  de Euler a quantidade 
de inteiros compreendidos entre 1 e n, inclusive, que são primos com n. 
 
Exemplos: Quantos são os primos com 10 e 15, menores que 10 e 15 respectivamente? 
a) (10) é o número de elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} que são primos com 
10. Ora, neste conjunto são primos com 10 os números 1, 3, 7 e 9. Portanto, (10) = 4. 
 
b) (15) é o número de elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15} que 
são primos com 15. Ora, neste conjunto são primos com 15 os números 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 e 14. 
Portanto, (15) = 8. 
 
Teorema: Seja n um número inteiro positivo cuja decomposição em fatores primos é da forma , 
m
mpppn
 = 2
2
1
1
, então, 








−







−







−=
mppp
nn
1
1
1
1
1
1)(
21

 
ou 
( ) ( ) ( )111)( 21
111 2
2
1
1
−−−=
−−−
mm ppppppn
m  
 Propriedades: 
 
P1) Seja p um número primo então,
 
1)( −= pp . Veja os exemplos: 
a) 6)7(17)7( =−=  
b) 12)13(113)13( =−=  
 
P2) Sejam m e n números inteiros maiores que 1, tais que 1),( =nmmdc , então, 
)()()( nmnm  = . Veja o exemplo: 
a) )9()4()94(  = 
 
Ex.: Determine quantos são os números compreendidos entre 1 a 180 e de 1 a 75, que são 
primos com 180 e 75 respectivamente e menores que eles. 
a) Calcule (180). 
Ora, 180 = 22 . 32 . 5 
Logo, 
 
 
 
27 


















=





 −





 −





 −
=






−





−





−=
5
4
3
2
2
1
180)180(
5
15
3
13
2
12
180)180(
5
1
1
3
1
1
2
1
1180)180(



 
48)180(
15
720
)180( ==  
b) Calcule (54). 
Ora, 54 = 2 . 33 
Logo, 
18)54(
3
54
)54(
3
2
2
1
54)54(
3
13
2
12
54)54(
3
1
1
2
1
154)54(
==












=





 −





 −
=






−





−=




 
 
Soma dos Números Primos com N e menores que ele. 
 A soma de todos os primos menores que um número N é igual ao semiproduto de N por 
)(N . 
2
)(
)(
NN
N



= 
Ex.: Determine a soma de todos os números primos com o número 18, menores que 18. 
Ora, se 18 = 22 . 32 , teremos que: 
 
 
 
28 
6)18(
3
18
)18(
3
2
2
1
18)18(
3
13
2
12
18)18(
3
1
1
2
1
118)18(
==












=





 −





 −
=






−





−=




 
Logo, 
54)18(318)18(
2
618
)18(
2
)18(18
)18(
==

=

=







 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
O máximo divisor comum entre dois números naturais a e b, não conjuntamente nulos 
(a ≠ 0 ou b ≠ 0), é obtido a partir da interseção dos divisores dos números sendo o maior entre 
eles. 
Ex.: Obtenha o máximo divisor comum (mdc) entre os números 24 e 36. 
MODO 1 
 
D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 } 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } 
mdc (36, 24) = máximo {D(36)  D(24)} 
mdc (36, 24) = máximo{1, 2, 3, 4, 6, 12}  mdc(36, 24) = 12 
 
Decomposição Isolada 
 O mdc é igual ao produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes. 
Com isso é possível efetuar a determinação do máximo divisor comum de dois números 
naturais a partir da decomposição em fatores primos. 
 
 
 
29 
No exemplo anterior: 
24 = 23 . 31 36 = 22 . 32 
 Assim: 
mdc(24, 36) = 22 . 31 = 12 
 
Algoritmo de Euclides 
O máximo divisor comum pode ser calculado através do método das divisões sucessivas 
(Algoritmo de Euclides), da seguinte forma: 
Divide-se o maior número pelo menor, esse pelo primeiro resto obtido, o primeiro resto 
pelo segundo obtido e assim sucessivamente até se encontrar um resto nulo. O último divisor 
será o máximo divisor comum procurado. 
 
 
 
 
O cálculo do mdc de dois números a e b (onde, a > b) pode ser sintetizado através do dispositivo 
abaixo no qual denominamos de algoritmo de Euclides ou método das divisões sucessivas. 
 
Sendo: 
Os restos obtidos no cálculo do mdc são gerados da seguinte forma: 
r1 = resto da divisão de a por b; 
r2 = resto da divisão de b por r1; 
r3 = resto da divisão de r1 por r2; 
r4 = resto da divisão de r2 por r3; 
 É importante ressaltar que o último e o penúltimos restos (no caso r4 e r3) são 
respectivamente iguais a zero e ao mdc( a, b). 
 Por outro lado os quocientes da determinação do mdc em questão, são sempre gerados da 
seguinte forma: 
q1 = quociente da divisão de a por b; 
q 2 = quociente da divisão de b por r1; 
q 3 = quociente da divisão de r1 por r2; 
q 4 = quociente da divisão de r2 por r3; 
 Desse modo, podemos escrever as seguintes expressões da qual derivam do método da 
chave, ou seja: 
 
Lembre: Dividendo = divisor x quociente + resto 
 
Daí: 
4432 rqrr += ; 
 
 
 
30 
3321 rqrr += ; 
221 rqrb += ; 
11 rqba += 
Ex.: Calcule o mdc (60, 36). 
 
1ª Etapa: Inicialmente devemos montar o algoritmo abaixo de modo que o maior número fique 
sempre a esquerda do menor, veja: 
 
 
 
2ª Etapa: Agora dividiremos o maior número pelo menor número dado, no caso 60 por 36, daí o 
quociente 1 obtido por essa divisão ficará acima de 36 o divisor e o resto da divisão 24 
colocaremos abaixo do dividendo 60 na linha dos restos. 
 
 
3ª Etapa: Como a divisão anterior não foi exata, deslocaremos o resto obtido, no caso 24, para 
linha dos divisores à direita de 36 o divisor anterior e efetuaremos uma nova divisão, assim o 
quociente 1 obtido dessa divisão colocaremos acima de 24 o novo divisor e o resto 12 da divisão 
colocaremos abaixo do dividendo 36 na linha dos restos. 
 
 
 
4ª Etapa: Como a divisão anterior não foi exata, deslocaremos o resto 12 obtido até a linha dos 
divisores à direita de 24 o divisor anterior e efetuaremos uma nova divisão, assim o quociente 2 
obtido dessa divisão colocaremos acima de 12 o novo divisor e o resto da divisão, que no caso é 
0, colocaremos abaixo do dividendo 24 na linha dos restos. 
 
 
 
31 
 
Como o resto obtido foi igual a zero, logo o mdc (60, 36) = 12, ou seja, o último divisor 
encontrado. 
 
Decomposição Simultânea ou Conjunta 
Dividimos todos os números envolvidos pelo mesmo número, de preferência o maior 
divisor possível, e assim sucessivamente com os quocientes obtidos. Quando não podermos mais 
dividir os últimos quocientes obtidos por um mesmo número o m.d.c será o produto dos divisores 
encontrados. A saber: 
 
20
2
10
6432
12864
100806040
 
mdc (40,60,80,120) = 10x2 = 20. 
Propriedades do mdc 
 
P1) Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o mdc dos 
números dados. 
Ex.: Dentre os números 5, 20 e 35, o número 5 é divisor dos outros dois. Nesse caso, 5 é o 
mdc (5, 20, 35) 
Verificação: 
5
5
741
35205
_________ 
Logo o mdc (5, 20, 35) realmente é 5. 
 
P2) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números naturais por um outro qualquer 
(diferente de zero), o mdc deles ficará multiplicado ou dividido pelo mesmo valor. 
Ex.: Seja o mdc ( 30, 12 ) = 6, assim se dividir os dois números por 2 teremos que o mdc dos 
números obtidos também ficará dividido pelo mesmo valor, ou seja: 
mdc(15, 6) = 6 : 2 = 3 
Por outro lado se multiplicarmos os números por 6, o mdc também ficará multiplicado por 6, 
dessa forma temos: 
mdc (180, 72) = 6 . 6 = 36 
 
P3) Dividindo-se dois números a e b pelo máximo divisor comum entre eles, os quocientes 
obtidos são números primos entre si. 
 
 
 
32 
xbacmdax
bamdc
a
== ),(.
),(
 e ybamdcby
bamdc
b
== ),(
),(
, 
 onde 1),( =yxmdc 
Ex.: Dados os números 120 e 80, cujo 40)80,120( =mdc , temos:3
40
120
)80,120(
120
==
mdc 
e 2
40
80
)80,120(
80
==
mdc
 
 
P4) Dividindo-se a soma (ou a diferença) de dois números a e b pelo máximo divisor comum entre 
eles, o quociente obtido é igual à soma (ou à diferença) de dois números primos entre si. 
yx
bamdc
ba
=

),(
 e 1),( =yxmdc 
 
Ex.: Dados os números 120 e 80, na qual a soma 120 + 80 = 200 e a diferença é igual a 
120 – 80 = 40, e cujo 40)80,120( =mdc , teremos que: 
)23(5
40
200
)80,120(
80120
+===
+
mdc
 
)23(1
40
40
)80,120(
80120
−===
−
mdc
 
 
P5) Dividindo-se o produto de dois números a e b pelo quadrado do máximo divisor comum entre 
eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois números primos entre si. 
 
yx
bamdc
ba
=

2
),(
 e 1),( =yxmdc 
Ex.: Dados os números 120 e 80, na qual o produto é igual, cujo 40)80,120.(.. =cdm , 
teremos que: 
 
)23(6
1600
9600
40
9600
)80,120(
80120
22
====

mdc
 
P6) Se ),( bamdcd = então 1, =





d
b
d
a
mdc 
 
P7) Dados dois números naturais positivos e consecutivos n e n+1, sempre o máximo divisor 
comum entre eles será igual a 1. 
Veja pelo o algoritmo de Euclides. 
 
 
 
33 
 
 Como o resto é igual a zero temos ( ) ( ) INncomnmdcnnmdc ==+ ,11,,1 . 
 
P8) Sendo a e b dois números não conjuntamente nulos (a2 + b2 ≠ 0), temos que quaisquer 
divisores comuns entre a e b, também serão divisores do mdc (a, b). 
 
Palavras chave: elementos diferentes divididos em partes iguais e no maior tamanho possível, 
sem haver sobra ou ainda menor número de: pacotes, grupos, equipes, pedaços, lotes, 
recipientes, etc. 
 
Números Primos entre si 
Quando o m.d.c entre dois números for igual a 1, então esses números são chamados de 
primos entre si. 
Veja os exemplos: 
a) mdc (3, 11) = 1 
b) mdc (8, 15) = 1 
 
Observação 
Note que para dois números sejam primos entre si, não é obrigado que os dois sejam 
primos. 
Ex.: 4 e 15 não são primos, mas apenas 1 é divisor comum, por isso são primos entre si. 
 
➢ Se a e b forem primos entre si, se o número for divisível por a e b, então será divisível por 
a  b. 
Ex.: 30 é divisível por 3 e por 5, logo, este será divisível por 15. 
 
➢ Números consecutivos sempre são primos entre si, ou seja, o maior divisor comum entre 
eles é o número 1, veja os exemplos: 
a) mdc (14, 15) = 1 
b) mdc (21, 22) = 1 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
Sejam a e b dois números inteiros diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo 
comum de a e b, o menor valor inteiro positivo m (m > 0) no qual pertence a intersecção dos 
múltiplos dos números dados. 
 
Ex.: Obtenha o mmc entre os números 12 e 18 
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ... } 
 
 
 
34 
M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} 
M(12)  M(18) = {36, 72, ...} 
Como 36 é o menor múltiplo comum positivo ele será o mmc (12,18). 
Uma técnica muito boa e prática para se determinar o mmc de números inteiros 
pequenos e diferentes de zero e procurar o primeiro múltiplo positivo do maior número dado que 
seja divisível pelos outros demais números em questão. 
 
Ex.: Encontre o mmc (3, 4, 6). 
Inicialmente tomemos o maior dos números, no caso 6 e em seguida escrever seus 
múltiplos até encontrar o primeiro deles que seja divisível ao mesmo tempo por 3 e 4, ou seja: 
➢ 6 x 1 = 6 não pode ser o mmc pois não é divisível por 4; 
➢ 6 x 2 = 12 e como 12 é divisível é o primeiro múltiplo de 6 no qual é divisível por 3 e 4, 
dessa forma ele será o mmc de 3, 4 e 6. 
 
Decomposição Simultânea ou Conjunta 
É possível obter o mmc entre números naturais a partir da decomposição simultânea em 
fatores primos. Exemplo o mmc entre 12 e 18. 
 12, 
 6, 
 3, 
 1, 
 1, 
 18 
 9 
 9 
 3 
 1 
2 
2 
3 
 3 
36 
mmc(12, 18) = 22 . 32 = 36 
Decomposição Isolada 
O mmc será o produto de todos os fatores primos comuns e não-comuns, considerados 
uma única vez e de maior expoente. 
12 = 22 . 3 18 = 2 . 32 
mmc(12, 18) = 22 . 32 = 36 
Propriedades do mmc 
 
P1) Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o mmc 
dos números dados. 
Ex.: Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Nesse caso, 30 é o 
mmc (3, 6, 30). Observe: 
 3, 
 3, 
 1, 
 1, 
 6, 
 3, 
 1, 
 1, 
30 
15 
 5 
 1 
2 
3 
 5 
30 
mmc (3, 6, 30) = 2 x 3 x 5 = 30 
 
P2) Dados dois números primos entre si, o mmc deles é o produto desses números. 
Ex.: Considere os números 4 e 15, que são primos entre si. O mmc(4, 15) é igual a 60, que é o 
produto de 4 por 15. Observe: 
 
 
 
35 
 
 4, 
 2, 
 1, 
 1, 
 1, 
 15 
 15 
 15 
 5 
 1 
2 
2 
3 
 5 
60 
mmc (4, 15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
Palavras chave: A maioria dos problemas de mmc estão relacionados ao tempo em que envolve 
encontros simultâneos ou aparecem as seguintes palavras: juntos novamente, a próxima vez, 
repetições periódicas, nova coincidência, alinhamentos planetários, voltarão a se encontrar no 
menor tempo possível. 
 
Relação entre o MMC e o MDC de dois números naturais: 
Dados dois números naturais quaisquer a e b, não nulos, podemos concluir que: 
 
 babammcbamdc = ),(),( 
 
Ex.: Dados os números 120 e 80, cujo 40)80,120( =mdc , 240)80,120( =mmc e que o 
produto é igual a 120 x 80 = 9600, assim ao aplicarmos a propriedade anterior teremos: 
96009600
960024040
80120)80,120()80,120(
),(),(
=
=
=
=
mmcmdc
babammcbamdc
 
➢ O máximo divisor comum entre dois números é igual ao máximo divisor comum entre a soma e 
o mínimo múltiplo comum desses números. 
 
 ( )),(,),( bammcbamdcbamdc += 
 
Ex.: Dados os números 120 e 80, cujo 40)80,120.(.. =cdm , 240)80,120.(.. =cmm e 
que a soma é igual a 120 + 80 = 200, ao aplicarmos a propriedade anterior teremos: 
4040
)240,200()80,120(
)),(,(),(
=
==
==
mdcmdc
bammcsomamdcbamdc
 
 
 
 
Para compreender melhor o sentido exato do mdc e mmc exporemos a seguir alguns 
problemas que virão tornar mais claro este assunto. 
 
 
 
 
36 
1) (EsSA) A forma fatorada de um número natural x é 23 . 3 . 52 e a forma fatorada de um 
número natural y é 24 . 32 . 5 . 7. Então, podemos afirmar que o MDC de (x,y) é: 
a) 102 b) 120 c) 840 d) 3600 e) 588 
Solução 
 Como sabemos o MDC é igual ao produto dos fatores primos comuns de menor 
expoente, então o MDC de x e y será: 
MDC(x, y) = 23 . 3 . 5 
MDC(x, y) = 8 . 3 . 5 
MDC(x, y) = 120 
 Portanto a alternativa correta é a letra “b”. 
 
2) (INSTITUTO CIDADES-Agente Administrativo) 
A = 22 x 3 x 5 
B = 2 x 32 x 7 
C = 23 x 3 x 11 
Marque a alternativa que contenha a solução do mmc(A,B) 
a) 1260 b) 1350 c) 1410 d) 1515 
Solução 
Como sabemos o MMC é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns de 
maior expoente, então o MMC de A e B será: 
MMC(A, B) = 22 x. 32 x 5 x 7 
MMC(A, B) = 4 x 9 x 5 x 7 
MMC(A, B) = 1260 
 Portanto a alternativa correta é a letra “a”. 
 
3) (UEPB) Dois ônibus partem simultaneamente de um mesmo terminal rodoviário com destinos 
diferentes. Um dos ônibus torna a partir do terminal a cada 80 minutos e o outro a cada 90 
minutos. Quantos minutos serão necessários para os ônibus partirem novamente juntos do 
terminal? 
a) 450 minutos d) 500 minutos 
b) 810 minutos e) 720 minutos 
c) 650 minutos 
Solução 
 De acordo com enunciado da questão, estamos querendo determinar o tempo em minutos 
necessário para que os ônibus voltem a partir juntos novamente do terminal e como o menor 
tempo para que isso ocorra é igual ao mmc( 80, 90) temos: 
 
 
 
 
37 
Portanto são necessários 720 minutos para os ônibus partirem novamente juntos do 
terminal. 
Portanto a alternativa correta é a letra “e”. 
 
4) (VUNESP) A tabela mostra aproximadamente a duração do ano (uma volta completa emtorno 
do Sol) de alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano terrestre. 
 
Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são observados alinhados, de um 
determinado local na Terra, determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão 
para que o próximo alinhamento desses planetas possa ser observado do mesmo local. 
Solução 
 Analisando a questão, verificamos que a mesma trata-se de um problema de mmc, pois 
queremos encontrar o próximo encontro simultâneo entre os três planetas, ou seja, o mínimo 
intervalo tempo para que todos fiquem alinhados novamente. Assim utilizando a decomposição 
simultânea temos: 
 
Portanto, o próximo alinhamento entre os planetas Júpiter, Saturno e Urano será daqui a 
420 anos. 
 
5) (IFRN) Considere um estádio de futebol, cujo campo tem dimensões de 120 metros por 90 
metros. Para medir com uma corda as duas dimensões do campo, representando-as em um 
número exato de vezes, a maior medida possível dessa corda, em metros, é 
a) 5 m. c) 30 m. 
b) 15 m. d) 35 m. 
Solução 
Ao analisar o problema, identificamos que o mesmo trata-se de uma questão de mdc, pois 
devemos dividir as dimensões do campo em cordas em partes iguais e na maior medida possível 
sem haver sobras (exata). Portanto temos que o mdc é: 
 
 
 
 
38 
 Assim, a medida de cada corda é de 30 metros. 
 Portanto a alternativa correta é a letra “c”. 
 
6) Suponhamos que uma fábrica de cabos de aço tenha como compradores quatro indústrias que 
utilizam esses cabos em pedaços de 12 cm, 18 cm, 30 cm e 50 cm. 
A fábrica fornece o material em rolos, e é evidente que nenhum comprador pode aceitar 
rolos que, por ocasião do corte, deixem retalho inaproveitável. 
Também ao fabricante seria difícil e muito pouco prático fazer com que as rolos tivessem 
comprimentos diferentes, que só poderiam ser enviados a um determinado freguês. Isso 
obrigaria a fabricação deles com pelo menos, quatro comprimentos diferentes, e se a 
quantidade solicitada por um ou outro comprador aumentasse ou diminuísse, não seria possível 
atender o freguês com outro tipo sem o inconveniente apontado. Resolva o problema do 
fabricante atendendo as condições acima? 
Solução 
Note que o problema acima é facilmente resolvido através do mmc de 12, 18, 30, 50 no 
qual é igual a 900cm ou 9 metros, veja: 
 Tendo em vista que a fábrica deverá produzir um único rolo de cabo de aço que seja 
divisível ao mesmo tempo por 12, 18, 30 e 50 e como todo número que é divisível por esses 
números é na realidade um múltiplo comum entre os mesmos. 
 
 12, 
 6, 
 3, 
 1, 
 1, 
 1, 
 1, 
 18, 
 9, 
 9, 
 3, 
 1, 
 1, 
 1, 
 30, 
 15, 
 15, 
 5, 
 5, 
 1, 
 1, 
50 
25 
25 
25 
25 
 5 
 1 
 2 
 2 
 3 
 3 
 5 
 5 
 900 
mmc (12, 18, 30, 50) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 900 cm = 9 m 
 
 Assim cada rolo deverá ter 9 metros de comprimento (ou múltiplo de 9 metros) pois 
dessa forma atenderá o pedido das quatro indústrias de acordo com enunciado. 
 
7) (ESPCEX) Dois números têm para mmc 240, e para mdc 20. Calcule a soma desses números, 
sabendo que um deles é 60. 
a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 
Solução 
 O problema é facilmente resolvido desde que seja lembrado que o produto entre dois 
números naturais não nulos é igual ao produto entre o mmc e o mdc dos mesmos, ou seja: 
a x b = mmc (a, b) x mdc (a, b) 
 Assim se um dos número, mmc e o mdc são respectivamente 60, 240 e 20, logo para 
determinarmos o outro número no qual denominamos de x basta aplicar a regra acima, ou seja: 
 
 
 
39 
80
60
4800
480060
2024060
),60(),60(60
==
=
=
=
xx
x
x
xmdcxmmcx
 
Assim a soma dos números em questão é: 
60 + 80 = 140 
Portanto a alternativa correta é a letra “e”. 
 
8) (EPCAR) Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para ex-
ploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro grupo de 360 engenheiras. Sendo 
você a abelha-rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um 
mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em: 
a) 8 grupos de 81 abelhas c) 24 grupos de 27 abelhas 
b) 9 grupos de 72 abelhas d) 2 grupos de 324 abelhas 
Solução 
 Ao analisar o problema, identificamos que o mesmo trata-se de uma questão de mdc, 
pois devemos dividir as abelhas em grupos com o máximo valor possível sem haver sobras e de 
modo cada grupo contenha o mesmo número de abelhas. Portanto temos que o mdc é: 
 
 Assim, o número total de grupos e o número de abelhas por grupo são respectivamente 
9 e 72. 
 
9) (EAM) Para monitorar duas avenidas, devem ser instaladas câmeras posicionadas em pontos a 
partir da posição 1 até a posição n nas avenidas A e B. Sendo u a maior e constante distância 
entre as câmeras, o total de câmeras a serem instaladas nas avenidas é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 28 b) 30 c) 31 d) 36 e) 37 
 
 
 
40 
Solução 
Note que para cada espaço será colocado apenas uma câmera desse modo: 
No. De Câmeras Necessários = No de espaços 
Logo para dividir as duas avenidas de modo que a distância u entre cada câmera seja a 
mesma e a maior possível, basta calcular o mdc entre as distâncias iniciais, com isso: 
• Distância “u” entre cada câmera = mdc(126, 60) = 6 km, veja: 
126, 
 63, 
 21, 
 60 
 30 
 10 
2 
 3 
6 
u = mdc(126, 60) = 2 x 3 = 6 km 
Então ao dividir as avenidas em segmentos cuja distância u = 6 km, teremos: 
câmeras
km
mk
BAvenida
CâmeradeNúmero
câmeras
km
mk
AAvenida
CâmeradeNúmero
10
6
60
21
6
126
==





==





 
Note que os quocientes encontrados acima, ficam sempre do lado inferior 
esquerdo do resultado do mdc. 
 Assim o número total de câmera será: 
21 + 10 = 31 câmeras 
 Portanto a alternativa correta é a letra “c”. 
 
10) (UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no leste dos EUA passa um longo 
período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17 anos. Em 
revoada, os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão cumprir 
novo ciclo de 17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram outra revoada dessas 
cigarras. O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de 
cigarras será: 
a) 2072 b) 2068 c) 2076 d) 2080 
Solução 
 Ora, se as cigarras ressurgem em 17 em 17 anos, ou seja, de acordo com os múltiplos 
de 17 . Da mesma forma que os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, ou seja, sempre em 
múltiplos de 4. 
 Então para encontrar o próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura 
geração de cigarras, devemos somar o menor múltiplo comum entre 4 e 17, isto é, 
mmc(4, 17) = 4 x 17 = 68 anos ao ano 2004. 
 Daí o próximo encontro simultâneo será em: 
2004 + 68 = 2072 
Portanto a alternativa correta é a letra “a”. 
 
Lembre: O mmc de números primos entre si, basta multiplicá-los. 
 
 
 
41 
 
11) (VUNESP-Agente Cultural) Uma pessoa adoentada necessita tomar 3 medicamentos, A, B e 
C, durante certo período. O remédio A deve ser tomado a cada 3 horas; o remédio B deve ser 
tomado a cada 8 horas e o remédio C, a cada 12 horas. Se os três remédios foram tomados 
simultaneamente às 10 horas da manhã do dia 15, a próxima tomada conjunta ocorrerá às: 
a) 10 horas da manhã do dia seguinte (16). 
b) 14 horas do dia seguinte (16). 
c) 22 horas do dia seguinte (16). 
d) 10 horas da manhã do dia 17. 
e) 14 horas do dia 17. 
Solução 
 Ora, se o medicamento A é tomado a cada 3 horas (de acordo com os múltiplos de 3), o 
medicamento B é tomado a cada 8 horas (de acordo com os múltplos de 8), e o medicamento C é 
tomado a cada 12 horas (de acordo com os múltplos de 12), então intervalo para cada tomada 
conjunto é ummúltiplo comum de 3, 8 e 12, como queremos a próxima vez, devemos pegar o 
menor dos múltiplos comuns, no caso, mmc(3, 8, 12) = 24 horas = 1 dia. 
 Daí se os três remédios foram tomados simultaneamente às 10 horas da manhã do dia 
15, logo a próxima tomada conjunta ocorrerá daqui a 1 dia, ou seja, 10 horas da manhã do dia 
seguinte (16). 
 Portanto a alternativa correta é a letra “a”. 
 
12) (FCC-TRT-12ª Região) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-
extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou 
feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável 
coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em 
a) 9 de dezembro de 2010. 
b) 15 de dezembro de 2010. 
c) 14 de janeiro de 2011. 
d) 12 de fevereiro de 2011. 
e) 12 de março 2011. 
Solução 
Ora, se primeiro funcionário cumpre hora-extra a cada 15 dias, e outro funcionário 
cumpre hora-extra a cada 12 dias, concluímos que os intervalos de tempo entre cada hora-
extra são respectivamente múltiplos de 15 e 12, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. 
Assim, as coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá sempre nos 
múltiplos comuns de 15 e 12, ou seja, nos múltiplos do mmc(15, 12) = 60 dias. 
 
 15, 
 15, 
 15, 
 12 
 6 
 3 
2 
2 
3 
 5, 1 5 
 1, 1 60 
 
mmc (15, 12) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 dias 
 
 
 
42 
 Dessa forma cada coincidência nas horas-extra dos funcionários acontecerão a cada 60 
dias, vejam: 
 
Primeira coincidência após 15 de outubro de 2010. 
Outubro = 16 à 31 
Novembro = 1 à 30 
Restando para dezembro apenas 15 dias, ou seja: 
60 dias – 15 dias – 30dias = 15 dias 
 Logo a data da provável coincidência será 15 de dezembro de 2010. 
 
Outra saída para encontrarmos a data desejada, seria transcorrer a quantidade de 
dias que cada mês possui por completo e em seguida retirar o excesso de dias contados, veja: 
 
Outubro (Mês com 31 dias) Novembro (Mês com 30 dias) Dezembro 
 16/10/2010 +31 dias 16/11/2010 +30 dias 16/12/2010 
 
Como contamos 61 dias (31 + 30 = 61 dias), devemos retirar 1 dia (excesso), dessa 
forma a data correta será 15/12/2010. 
Portanto a alternativa correta é a letra “b”. 
 
13) (FCC-Polícia Militar-AMAPÁ) A verificação do funcionamento de três sistemas de segurança 
é feita periodicamente: o do tipo A a cada 2 horas e meia, o do tipo B a cada 4 horas e o do tipo 
C a cada 6 horas, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se em 15/08/2001, às 10 horas, os 
três sistemas foram verificados, uma outra coincidência no horário de verificação dos três 
ocorreu em 
a) 22/08/2001 às 22 horas. d) 17/08/2001 às 10 horas. 
b) 22/08/2001 às 10 horas. e))15/08/2001 às 22 horas e 30 minutos. 
c) 20/08/2001 às 12 horas. 
Solução 
Analisando a questão, verificamos que a mesma trata-se de um problema de mmc, pois 
queremos encontrar uma possível data para ocorrência simultânea na verificação do 
funcionamente dos três sistemas de segurança. 
Entretanto o mmc só é válido para números inteiros, com isso devemos converter os 
tempos dados em minutos pois não podemos calcular o mmc de 2h30min (2 horas e meia), assim 
sejam os tempos de cada verificação: 
 
A = 2 h 30min = 2 x 60 min + 30 min = 120 min + 30 min = 150 min 
B = 4h = 4 x 60 min = 240 min 
C = 6 h = 6 x 60 min = 360 min 
 
Mas antes de realizar a decomposição simultânea daremos uma dica para calcular m.m.c 
de números terminados em zeros, veja os passos: 
 
 
 
 
43 
1º. Passo: Suprimir todos os zeros que forem comuns entre os números dados. 
mmc(150, 240, 360)  mmc (15, 24, 36) 
Observe que foi suprimido um único zero de cada número. 
 
2º. Passo: Calcular o mmc dos resultados obtidos, ou seja: 
 
 15, 
 15, 
 15, 
 15, 
 5, 
 5, 
 1 
 24, 
 12, 
 6, 
 3, 
 1, 
 1, 
 1, 
36 
18 
 9 
 9 
 3 
 1 
 1 
2 
2 
2 
3 
3 
 5 
360 
 
mmc (15, 24, 36) = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360 
 
3º. Passo: Colocar no final do resultado obtido na etapa anterior 360 a quantidade de zeros 
retidas em cada número, ou seja, um “0”, pois assim teremos o mmc(150, 240, 360) = 3600 min 
= 60 horas = 2 dias e 12 horas. 
Com isso, cada verificação simultâna dos três sistemas ocorrerá a cada 2 dias e 12 
horas. 
Logo, a próxima verificação simultânea será: 
15/08/2001 às 10 horas 
+2 dias +12 horas 
17/08/2001 às 22 horas 
 Como não temos uma alternativa com essa resposta, somaremos novamente 2 dias e 12 
horas, pois assim encontraremos a data da próxima coincidência, veja: 
17/08/2001 às 22 horas 
+2 dias +12 horas 
19/08/2001 às 34 horas 
Por sua vez, 34 horas é o mesmo que 1 dia e 10 horas, daí: 
19/08/2001 às 34 horas = 20/08/2001 às 10 horas 
 
Como não temos uma alternativa com essa resposta, somaremos novamente 2 dias e 12 
horas, pois assim encontraremos a data da próxima coincidência, veja: 
20/08/2001 às 10 horas 
+2 dias +12 horas 
22/08/2001 às 22 horas 
 
 Portanto a alternativa correta é a letra “a”. 
 
14) (FCC-TRT 24º Região–MS) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de 
Enfermagem em uma empresa e que, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a 
cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal - 25/12/2010 - ambos 
 
 
 
44 
estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência de datas 
de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em 
a) 18 de janeiro. 
b) 10 de fevereiro. 
c) 31 de março. 
d) 24 de abril. 
e) 18 de maio. 
Solução 
Ora, se Vitor dá plantão a cada 8 dias (múltiplos de 8), enquanto, Valentina dá plantão a 
cada 6 dias (múltiplos de 6). 
Concluirermos que os intervalos entre cada plantão simultâneo será um múltiplo comum 
de 8 e 6, ou seja, múltiplo do mmc (8, 6) = 24 dias, veja: 
 
 8, 
 4, 
 2, 
 6 
 3 
 3 
2 
2 
2 
 1, 3 3 
 1, 1 24 
 
mmc (15, 12) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 dias 
 Assim as datas das possíveis coincidências serão: 
 Primeira coincidência após 25/12/2010. 
 Dezembro (Mês com 31 dias) Janeiro 
 25/12/2010 +31 dias 25/01/2011 
 
Como contamos 31 dias, devemos retirar 7 dias de excesso (31 – 24 = 7 dias), dessa 
forma a data correta será 18/01/2011, logo a alternativa a está correta. 
 
Por sua vez, ainda não sabemos a data na qual não ocorreu um plantão simultâneo, dessa 
forma transcorremos mais 24 dias, pois assim encontraremos a data da próxima coincidência, 
veja: 
 Janeiro (Mês com 31 dias) Fevereiro 
 18/01/2011 +31 dias 18/02/2011 
 
Como contamos 31 dias, devemos retirar 7 dias de excesso (31 – 24 = 7 dias), dessa 
forma a data correta para o próximo platão simultâneo será 11/01/2011. 
Logo, não houve um plantão simultâneo em 10 de fevereiro de 2011. 
 
Portanto a alternativa correta é a letra “b”. 
 
Observação: 
De modo análogo, é possível verificar as datas dos próximos plantões simultâneos 
serão: 
 
 
 
45 
07 Março de 2011 
31 Março de 2011 
24 Abril de 2011 
 18 Maio de 2011 .... 
 
15) (UFRN) Três arames medem, respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividi-los 
em pedaços de mesmo comprimento, de modo a se obter o menor número possível de pedaços. O 
número total de pedaços de arames que se pode obter é 
a) 180. b) 36. c) 21. d) 42. 
Solução 
Ao analisar o problema, identificamos que o mesmo trata-se de uma questão de mdc, pois 
devemos dividir os arames em pedaços de mesmo comprimento e no maior comprimento possível 
sem haversobras (exata), pois assim teremos o menor número de pedaços. 
Com isso, mdc (180, 252, 324) = comprimento de cada pedaço, daí: 
180, 
 90, 
 45, 
 5, 
252, 
126, 
 63, 
 7, 
324 
162 
 81 
 9 
2 
2 
 9 
36 
 
mdc (180m, 252m, 324m) = 2 x 2 x 9 = 36 m 
 
Agora basta dividirmos a medida inicial de cada arame, ou seja, 180m, 252m e 324m 
pelo maior tamanho possível de cada pedaço no caso 36m, daí: 
( )
pedaçocadadeMedida
aramecadadeinicialMedida
PedaçosdeN =
 
Assim: 
1º Arame: 
( ) .5
36
180
pedaços
m
m
PedaçosdeN == 
2º Arame: 
( ) .7
36
252
pedaços
m
m
PedaçosdeN == 
3º Arame: 
( ) .9
36
324
pedaços
m
m
PedaçosdeN == 
Note que o número de pedaços obtidos em cada arame, ficam sempre do lado inferior 
esquerdo do resultado do mdc. 
Com isso, o número total de pedaços de arames obtidos é: 
5 + 7 + 9 = 21 pedaços. 
 Portanto a alternativa correta é a letra “c. 
 
 
 
46 
 
16) (VUNESP-TJ-SP) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, 
todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, 
respectivamente, com diferentes números de inserções para cada produto. Sabe-se que a 
duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. 
Assim, o número total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a: 
a) 32 b) 30 c) 24 d) 18 e) 16 
Solução 
Pelo enunciado da questão, sabemos que os comerciais dos produtos A, B e C, todos de 
uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, 
respectivamente, dos quais dividimos em inserções (comerciais) todos com a mesma duração e 
no maior tempo possível. 
 Assim o número de tempo de cada comercial deve ser igual ao 
mdc(140, 80, 100) = 20 s. 
140, 
 70, 
 35, 
 7, 
 80, 
 40, 
 20, 
 4 
100 
 50 
 25 
 5 
2 
2 
 5 
20 
 
Com isso o número de comerciais de cada produto será: 
( )
comercialcadadeTempo
TotalTempo
ComerciaisdeN =
 
Assim: 
Produto A: 
.7
20
140
comerciais
s
s
Aprodutodo
ComerciaisdeN
==




 
 
 
Produto B: 
.4
20
80
comerciais
s
s
Bprodutodo
ComerciaisdeN
==




 
 
 
Produto C: 
.5
20
100
comerciais
s
s
Cprodutodo
ComerciaisdeN
==




 
 
Note que os quocientes encontrados acima, ficam sempre do lado inferior esquerdo do 
resultado do mdc. 
Com isso, o número total de inserções dos produtos será: 
7 + 4 + 5 = 16 comerciais. 
 Portanto a alternativa correta é a letra “e”. 
 
 
 
47 
 
17) (CONSEP-Agente Administrativo) Num circuito circular, o motociclista A faz uma volta em 
72 segundos e um motociclista B em 80 segundos. Se os dois largaram juntos, quantas voltas 
terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado na largada? 
a) 09 voltas b) 08 voltas c) 07 voltas d) 06 voltas 
Solução 
 Note que toda volta completa dada pelo motociclista A, sempre será um múltiplo de 72, 
da mesma forma que qualquer volta completa do motocilcista A, sempre será um múltiplo de 80. 
 Então cada encontro simultâneo sobre a largada será um múltiplo comum de 72 e 80. 
Como queremos o primeiro encontro simultâneo, basta calcular o mmc(72, 80), daí: 
 72, 
 36, 
 18, 
 80 
 40 
 20 
2 
2 
2 
 9, 10 2 
 9, 
 3, 
 1, 
 5 
 5 
 5 
3 
3 
5 
 1, 1 720 
segundosmmc
mmc
7205916)50,60(
532)50,60( 24
==
=
 
Como o motociclista mais lento é o B, pois para dar cada volta ele gasta um tempo 
maior, teremos que o número de voltas dadas por ele será: 
 
voltasVoltasdeN
segundos
segundos
VoltasdeN
voltacadadeTempo
TotalTempo
VoltasdeN
9
80
720
=
=
=



 
Portanto a alternativa correta é a letra “a”. 
 
18) (FCC-DPE-SP) Duas polias conectadas por uma correia têm comprimentos de 12 cm e 22 cm. 
 
O menor número de voltas completas que a polia menor deve dar para que a polia maior 
dê um número inteiro de voltas é 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
Solução 
http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2010-dpe-sp-oficial-de-defensoria-publica
http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2010-dpe-sp-oficial-de-defensoria-publica
 
 
 
48 
Note que toda volta completa dada pela polia menor é sempre uma distância múltipla de 
12cm, da mesma forma que qualquer volta completa pela polia maior é uma distância cuja medida 
é sempre um múltiplo de 22cm. 
 Então para ocorrer uma volta completa simultânea entre as polias devemos ter um 
múltiplo comum de 12 e 22. 
Como queremos o menor número de voltas necessárias, logo a distância percorrida 
pelas polias deve ser igual ao mmc(12, 22). 
Daí: 
 
 
 12, 
 6, 
 3, 
 22 
 11 
 11 
2 
2 
3 
 1, 11 11 
 1, 1 132 
cmmmc
mmc
1321134)22,12(
1132)22,12( 2
==
=
 
Assim o número de voltas dado pela polia menor será: 
voltasVoltasdeN
cm
cm
VoltasdeN
voltacadadeDistância
PercorridaTotalDistância
VoltasdeN
11
12
132
=
=
=



 
 
Portanto a alternativa correta é a letra “e”. 
 
19) (UFMG) Três atletas correm em uma pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 
min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo 
instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. 
Nesse momento, o atleta mais veloz estará completando 
a) 12 voltas. c) 18 voltas. 
b) 15 voltas. d) 10 voltas. 
Solução 
 Ao analisar o problema, identificamos de imediato que trata-se de uma questão de 
mmc, pois devemos encontrar o primeiro múltiplo comum dos tempos dados: 
Sendo os tempos dos atletas: 
➢ Tempo do primeiro atleta = 2,4 min = 2,4 x 60s = 144s 
➢ Tempo do segundo atleta = 2 min = 2 x 60s = 120 s 
➢ Tempo do terceiro atleta (mais veloz) = 1,6 min = 1,6 x 60s = 96s 
 
 
 
49 
Com isso: 
tempo para cada volta simultânea dos três atletas = mmc (144, 120, 96) = 1440 segundos. 
 Dessa forma o número de voltas completas dadas pelo atleta mais veloz (menor tempo) 
será: 
 
voltasVoltasdeN
segundos
segundos
VoltasdeN
voltacadadeTempo
TotalTempo
VoltasdeN
15
96
1440
=
=
=



 
Portanto a alternativa correta é a letra “b”.20) (UFMG/FESMP-POLÍCIA MILITAR-RN) Entre 
algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 
borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse 
contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o 
mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de 
CADERNOS que cada família ganhou foi 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 
Solução 
 Ao analisar o problema, identificamos que trata-se de uma questão de mdc, pois 
devemos dividir em partes iguais e de forma exata, ou seja sem haver sobras, os cadernos, os 
lápis e as borrachas de modo que maior número possível de famílias fosse contemplado. 
Como isso: 
mdc (144, 192, 216) = número de famílias contempladas, daí: 
 
144, 
 72, 
 36, 
 18, 
 6, 
192, 
 96, 
 48, 
 24, 
 8, 
216 
108 
 54 
 27 
 9 
2 
2 
2 
 3 
24 
mdc (144, 192, 216) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 famílias 
 Assim o número de cadernos que cada família ganhou foi: 
famíliaporcadernos
famíliapor
cadernosdeN
famíliapor
cadernosdeN
FamíliadeN
CadernosdeTotalN
famíliapor
cadernosdeN
6
24
144
=




 
=




 


=




 
 
Portanto a alternativa correta é a letra “b”. 
 
 
 
50 
 
21) (FCC-TRE-AC) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 
11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 
8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-seque: 
➢ todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em 
pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade; 
➢ todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos; 
➢ cada pacote deverá conter um único tipo de objeto. 
Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número 
compreendido entre: 
a) 10 e 20. b) 20 e 30. c) 30 e 40. d) 40 e 50. e) 50 e 60. 
Solução 
Para determinar a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos iremos 
determinar o número de unidades de cada tipo de objeto. 
➢ 11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades = 11 x 12 = 132 lápis 
➢ 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades = 9 x 8 = 72 borrachas 
➢ 8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades = 8 x 15 = 120 réguas. 
Então se desejamos dividir esses objetos em pacotes com a mesma quantidade de sem 
misturar os tipos, concluímos que o número de objetos por pacote deve ser um divisor comum de 
132, 72 e 120, por sua vez queremos também obter o menor número de pacotes, logo em cada 
pacote, deve haver o maior número possível de unidades. 
Assim o número de unidades por pacote deve ser igual ao mdc (132, 72, 120) = 12. 
 
132, 
 66, 
 11, 
 72, 
 36, 
 6, 
120 
 60 
 10 
2 
 6 
12 
Com isso o número de objetos para cada pacote será: 
lápisdeespa
lápisde
espadeN
epaporunidadesdeN
lápisdeTotalN
lápisde
espadeN
cot11
12
132cot
cot
cot
==




 


=




 
 
 
borrachasdeespa
borrachasde
espadeN
epaporunidadesdeN
borrachasdeTotalN
borrachasde
espadeN
cot6
12
72cot
cot
cot
==




 


=




 
 
 
 
 
51 
réguasdeespa
réguasde
espadeN
epaporunidadesdeN
réguasdeTotalN
réguasde
espadeN
cot10
12
120cot
cot
cot
==




 


=




 
 
Note que os quocientes encontrados acima, ficam sempre do lado inferior 
esquerdo do resultado do mdc. 
 Com isso o número total de pacotes será: 
11 + 6 + 10 = 27 pacotes 
 Portanto a alternativa correta é a letra “b”. 
 
22) (EPCAR) Três pedaços de arame têm comprimento 3,6 dam, 4800 cm e 0,72 hm. Deseja-se 
cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais e sem que haja perda de 
material. Com base nisso, é INCORRETO afirmar que 
a) o comprimento de cada pedaço de arame, após cortá-los, é 120 dm 
b) o menor número de pedaços de arame com a mesma medida é 12 
c) o arame de comprimento 3,6 dam será dividido em 3 partes iguais. 
d) os arames de comprimento 4800 cm e 0,72 hm, após serem cortados, formam um conjunto de 
10 pedaços de arame. 
Solução 
 Inicialmente iremos converter todas as medidas em uma mesma unidade no caso 
centímetros, veja: 
➢ Primeiro arame = 3,6 dam = 3600 cm 
➢ Segundo arame = 4800 cm 
➢ Terceiro arame = 0,72hm = 7200 cm 
Ao analisar o problema, identificamos que trata-se de uma questão de mdc, pois devemos 
dividir os arames em pedaços de mesmo comprimento e no maior comprimento possível sem 
haver sobras (exata), pois assim teremos o menor número de pedaços. 
Com isso, mdc (3600, 4800, 7200) = comprimento de cada pedaço, daí: 
 
3600, 
 36, 
 18, 
 3, 
4800, 
 48, 
 24, 
 4, 
7200 
 72 
 36 
 6 
100 
 2 
 6 
 1200 
m.d.c (3600, 4800, 7200= 100 x 2 x 6 = 1200 cm = 120 dm 
Agora basta dividirmos a medida inicial de cada arame, ou seja, 3600cm, 4800cm e 
7200cm pelo maior tamanho possível de cada pedaço no caso 1200cm, daí: 
( )
pedaçocadadeMedida
aramecadadeinicialMedida
PedaçosdeN =
 
 
 
 
52 
Assim: 
1º Arame: 
( ) .3
1200
3600
pedaços
cm
cm
PedaçosdeN == 
2º Arame: 
( ) .4
1200
4800
pedaços
cm
cm
PedaçosdeN == 
3º Arame: 
( ) .6
1200
7200
pedaços
cm
cm
PedaçosdeN == 
Note que o número de pedaço obtidos com cada arame, fica sempre do lado 
inferior esquerdo do resultado do mdc na decomposição simultânea. 
Com isso, o número total de pedaços de arames obtidos é: 
3 + 4 + 6 = 13 pedaços. 
 Como o total de pedaços de cada arame não é 12, concluímos que a alternativa 
incorreta é a letra “b” 
 
23) (FCC-TRF-1ª Região) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas 
bobinas B1 e B2. 
 
 Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em 
B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o 
menor número de folhas que se poderá obter é 
a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 149 
Solução 
Inicialmente iremos converter 23,10 m e 18m em centímetros, veja: 
• 23,10 m = 23,10 x 100 cm = 2310 cm 
• 18 m = 18 x 100 cm = 1800 cm 
Como as bobinas devem ser cortadas em pedaços de modo a se obter o menor número 
de folhas, logo o comprimento de cada folha deve ter o maior comprimento possível, sem haver 
sobras. 
Desse modo o comprimento de cada folha deve ser igual ao mdc (2310, 1800), ou seja: 
2310, 
 2 31, 
 77, 
1800 
 180 
 60 
 10 
 3 
 30 cm 
Comprimento de cada folha = mdc (2310, 1800) = 10 x 3 = 30 cm 
 
 
 
53 
Agora basta dividirmos as bobinas de 2310 cm e 1800 cm pelo maior tamanho 
possível de cada pedaço, no caso 36m, daí: 
( )
pedaçocadadeMedida
aramecadadeinicialMedida
PedaçosdeN =
 
Assim: 
1º Arame: 
( ) .77
30
2310
pedaços
cm
cm
PedaçosdeN == 
 
2º Arame: 
( ) .60
30
1800
pedaços
cm
cm
PedaçosdeN == 
Note que os quocientes encontrados acima, ficam sempre do lado inferior 
esquerdo do resultado do mdc. 
Com isso, o número total de pedaços de arames obtidos é: 
77 + 60 = 137 pedaços. 
 Portanto a alternativa correta é a letra “b”. 
 
24) (CESPE-UnB-CORREIOS-Carteiro) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 
4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma 
que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo 
que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá 
medir 
a) mais de 30 cm. 
b) menos de 15 cm. 
c) mais de 15 cm e menos de 20 cm. 
d) mais de 20 cm e menos de 25 cm. 
e) mais de 25 cm e menos de 30 cm. 
Solução 
 Inicialmente, iremos converter as medidas dadas em cm, veja: 
• Largura = 3,52m = 352 cm 
• Comprimento = 4,16m = 416 cm 
Como o piso da sala, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão e 
inteiro, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos, logo o lado do 
ladrilho deve ser um divisor comum de 352cm e 416cm, como essa dimensão deve ser a 
maior possível, então o lado do ladrilho é igual ao mdc (352, 416), ou seja: 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
352, 
176, 
 88, 
416 
208 
104 
2 
2 
2 
 44, 52 2 
 22, 
 11, 
 26 
 13 
 2 
32 
cmladrilhodoLado
mdcladrilhodoLado
32
2)416,352( 5
=
==
 
Como o 32 cm é maior do que 30 cm, temos que a alternativa correta é a letra “a”. 
 
 
25) (COLÉGIO NAVAL) Deseja-se revestir uma área retangular, de 198 cm de comprimento e 
165 cm de largura, com um número exato de lajotas quadradas, de tal forma que a medida do 
lado dessas lajotas, expressa por um número inteiro em cm, seja a maior possível. Quantas 
lajotas deverão ser usadas? 
a) 27 b) 30 c) 33 d) 36 e) 38 
Solução 
Como deseja-se revestir um retângulo um número exato de lajotas quadrados, de 
mesma dimensão, inteiro em cm, basta notar que o lado dessas lajotas devem ser um divisor 
comum de 198cm e 165cm, como essa dimensão deve ser a maior possível, então o lado da lajota 
será igual ao mdc (198, 165), ou seja: 
198, 
 66, 
 6, 
165 
 55 
 5 
3 
 11 
33cm 
cmquadradodoLado
mdcquadradodoLado
33
113)165,198(
=
==
 
Com isso, o comprimento de 198cm será dividido em colunas de 33cm, daí: 
colunasColunasdeN
cm
cm
ColunasdeN 6
33
198
==  
 
Por sua vez a largura de 165cm foi dividido em linhas de 33 cm, então: 
linhasLinhasdeN