Apostila-MECFLU-PROTEGIDA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE 
CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
 
Fernanda Hille 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 JULHO / 2014 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET - EMB 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
Esta apostila foi desenvolvida como um projeto de ensino do Programa de 
Educação Tutorial do Centro de Engenharias da Mobilidade (PET-CEM). O presente 
trabalho apresenta um resumo da matéria, contendo os principais conceitos 
fundamentais e exemplos de vários assuntos da mecânica dos fluidos. Somente a 
leitura deste material não é suficiente para entendimento total da matéria. É 
necessária a leitura de algum livro do assunto para analisar as demonstrações de 
fórmulas e resolver outros exemplos. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 
 
SUMÁRIO 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS .............................................................................1 
2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS .....................................................................................2 
 2.1. Manômetros de Coluna .............................................................................2 
 2.2. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Submersas .................................5 
3. EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VC .............................9 
 3.1. Conservação da Massa (Equação da Continuidade) ................................9 
 3.2. Equação da Quantidade de Movimento para um VC inercial ..................10 
4. ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS............................13 
 
 4.1. Conservação da Massa em Análise Diferencial ......................................13 
 
 4.2. Equação de Navier-Stokes ......................................................................15 
 
 4.3. Equação de Euler.....................................................................................16 
 
 4.3.1.Equação de Euler em Coordenadas de Linha de corrente .........16 
 
 4.4. Função de Corrente .................................................................................17 
 
4.5. Potencial de Velocidade ..........................................................................17 
 
4.6. Equação de Bernoulli ...............................................................................18 
 
4.7. Escoamento em Planos Elementares ......................................................21 
 
4.8. Superposição de Escoamentos em Planos Elementares.........................22 
 
5. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA ........................................................28 
 
 5.1. Determinação dos Grupos 𝜋 ...................................................................28 
 
 5.2. Grupos Adimensionais Importantes ........................................................31 
 
 5.3. Semelhança em Escoamentos e Estudos de Modelos ...........................32 
 
6. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO E INCOMPRESSÍVEL .............................36 
 
 6.1. Escoamento Entre Placas Paralelas Infinitas ..........................................36 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 
 
 6.1.1. Ambas Estacionárias .................................................................36 
 
 6.1.2. Em um Pistão .............................................................................38 
 
 6.1.3. Em Dutos.....................................................................................39 
 
 6.2. Equação da Energia em Escoamentos em Tubos ...................................42 
 
 6.3. Perda de Carga ........................................................................................42 
 
7. ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSÍVEL E EXTERNO.............................45 
 
 7.1. Espessuras de Camada Limite ................................................................45 
 
 7.2. Escoamento Sobre Uma Placa Plana Horizontal (Blausius) ...................47 
 
 7.3. Força de Arrasto ......................................................................................47 
 
8. SUGESTÃO DE ESTUDO.....................................................................................51 
 
REFERÊNCIAS..........................................................................................................52 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 1 
 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
Fluido: É uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão 
de cisalhamento. Podem estar em forma de gases ou líquidos. 
 
Viscosidade (µ): Caracteriza a resistência de um fluido ao escoamento, ou seja, 
quanto maior a viscosidade de um fluido mais dificuldade ele tem de se movimentar. 
 
Escoamento Laminar: As secções do fluido se deslocam em planos paralelos ou 
em círculos concêntricos coaxiais (quando em um tubo cilíndrico), sem se misturar. 
 
Escoamento Turbulento: As partículas se misturam de uma forma não linear, ou 
seja, caótica com turbulência e redemoinhos. 
 
Zona de Transição: Os escoamentos mudam de laminar para turbulentos quando 
atingem o Reynolds de transição. O Reynolds de transição é de 2.300 para 
escoamentos internos e aproximadamente 500.000 para escoamentos externos. 
Re = 
𝜌𝑉𝐿
µ
 
Onde, 𝜌 e µ são referentes ao fluido, L refere-se ao objeto e V é velocidade do 
objeto em relação ao fluido. 
 
Escoamento Compressível: A densidade varia com a pressão. Geralmente são 
gases. 
 
Escoamento Incompressível: A densidade não varia com a pressão. Geralmente 
são líquidos. Para um gás ser incompressível M = 
𝑉
𝑐
 se M < 0,3 o gás pode ser 
tratado como incompressível. 
 
Escoamento Interno: São os escoamentos que passam por dentro de dutos, tubos, 
placas, etc. 
 
Escoamento externo: O fluido pode estar livre ou sobre uma única placa. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 2 
 
2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
2.1. Manômetros de Coluna 
 
Para descobrir a pressão em algum ponto do manômetro é utiliza-se a equação da 
pressão: 
 
 p2 = p1 ± ρ.g.h 
 
Quando o ponto 2 está a uma altura menor do ponto 1, há uma quantidade de fluido 
maior sobre o ponto 1, portando: 
 
 p2 = p1 + ρ.g.h 
 
Quando o ponto 2 está mais alto que o ponto 1 a pressão nele é menor do que do 
ponto 1, assim: 
 
 p2 = p1 - ρ.g.h 
 
Se os dois pontos estiverem na mesma altura: 
 
 p2 = p1 
 
Para facilitar os cálculos em manômetros de coluna complexos e com diferentes 
tipos de fluidos, são adicionados pontos em cada transição dos fluidos. Veja o 
exemplo a seguir: 
 
Exemplo 1 
 
Qual é a pressão no ponto 2 em função da pressão no ponto 1, das alturas e das 
densidades dos fluidos? 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 3 
 
 
Resolução: 
 
Observe onde os pontos A, B, C, D, E, F, G e H foram colocados. Para achar a 
pressão no ponto 2 é necessário analisar cada ponto. Percorrendo o manômetro a 
partir do ponto 1 até o ponto 2 e passando por todos os pontos no caminho, são 
obtidas as seguintes equações: 
 
pA = p1 + ρ(água).g.h1 
 
pB = pA ( estão na mesma altura) 
 
pC = pB – ρ(mercúrio).g.h2 
 
pD = Pc 
 
pE = pD + ρ(óleo).g.h3 
 
pF = pe 
 
pG = pF - ρ(mercúrio).g.h4 
 
pH = pG - ρ (água).g.h5 
 
p2 = pH 
 
Resolvendo as equações: 
 
p2 = g ( - ρ(água).g.h5 - ρ(mercúrio).g.h4 + ρ(óleo).g.h3 – ρ(mercúrio).g.h2 P1 + 
ρ(água).g.h1) 
 
Obs: Observe que a p2 tem que ser menor que p1, já que p2 está em um ponto mais 
alto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 4 
 
Manômetros Inclinados 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
ℎ
𝐿
 
 
 
Manômetros com Fluidos Diferentes 
 
 
ρ1 > ρ2 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 5 
 
Manômetros com Diâmetros Diferentes 
 
 
 
Quando aplicada uma força em um lado do manômetro, as alturas deslocadas 
serão diferentes devido aos diâmetros diferentes, porém o volume deslocado é o 
mesmo. Assim: 
 
D².Zb = d².Za 
 
 
2.2. Forças Hidrostáticas SobreSuperfícies Submersas 
 
 
 
 
Magnitude da força: 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 6 
 
 
I Fr I = - ∫ p dA 
 
Para: 
 
_Fluidos estáticos 
_Incompressíveis 
_Onde a gravidade é a única força atuando 
 
p= patm + ρ.g.h 
 
Mas h = y.sen (θ) 
 
Então: 
 
IFrI = - ∫ ρ.g.y.sen(θ)dA 
 
Ponto de ação da força: 
 
y`. Fr = ∫y.pdA 
 
x`.Fr = ∫x.pdA 
 
Exemplo 2: 
 
A profundidade (h) da represa é 10m. O ângulo (𝜃) da comporta com o chão é de 
45°. O comprimento da comporta (L) é 14,142m. A largura da represa (w) é de 8m. 
Qual é a força (Fr) na comporta? 
 
 
Primeiramente é necessário definir as hipóteses do problema: 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 7 
 
_Fluido estático 
_Incompressível 
_Nenhuma força externa atuando 
_Pressão atmosférica atuando em ambos os lados da comporta 
 
1. Magnitude da força: 
 
p = ρ.g.h 
 
h = y.sen(θ) 
 
p = ρ.g.y.sen(θ) 
 
Fr = - ∫ p dA
 
𝐴
 
 
Fr = - ∫ ∫ ρ. g. y. sen(θ) dx dy
𝒘
𝟎
𝑳
𝟎
 
 
Fr = -∫ w ρ. g. y. sen(θ) dy
𝐿
0
 
 
 L 
Fr = 
− 𝑤.𝜌.𝑔.𝑦².𝑠𝑒𝑛(𝜃)
2
] 
 0 
 
Fr = 
−𝑤.𝜌.𝑔.𝐿².𝑠𝑒𝑛(𝜃)
2
 
 
Fr = 
−8.1000.9,81.14,142².𝑠𝑒𝑛(45°)
2
 
 
 
 Fr = 5.549kN 
2. Ponto de ação da força: 
y`. Fr = ∫ y p dA
 
𝐴
 
 
y`. Fr = ∫ ∫ y. ρ. g. y. sen(θ). dx. dy
𝑤
0
𝐿
0
 
 
y`. Fr = ∫ y². ρ. g. sen(𝜃).w. dy
𝐿
0
 
 
y`. Fr = 
𝐿³.𝜌.𝑔.𝑠𝑒𝑛(𝜃).𝑤
3
 
 
y` = 
14,142³.1000.9,81.𝑠𝑒𝑛(45°).8
3.5549.10³
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 8 
 
 
 y`=9,43m 
 
x`.Fr = ∫ xpdA
 
𝐴
 
 
x`. Fr = ∫ ∫ x. ρ. g. y. sen(θ). dx. dy
𝑤
0
𝐿
0
 
 
x`. Fr = 
 1
2
∫ w². ρ. g. y. sen(𝜃). dy
𝐿
0
 
 
x`= 
𝑤².𝜌.𝑔.𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑒).𝐿² 
4.𝐹𝑟
 
 
x` = 
8².1000.9,81.𝑠𝑒𝑛(45°).14,142² 
4.5549x10³
 
 
 x` = 4m 
 
 
 
Obs: O valor de x obviamente deve ser 4, pois o ponto de atuação da força em x 
deve ser a metade da largura total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 9 
 
3. EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM 
VOLUME DE CONTROLE 
3.1. Conservação da Massa (Equação da Continuidade) 
“A taxa de variação temporal da massa no interior do volume de controle é 
igual ao fluxo líquido de massa através da superfície de controle”. 
 
 
 
Onde  é a densidade do fluido, t é o tempo, dV é o volume infinitesimal, 

V é 
a velocidade absoluta do fluido, 

n é o vetor unitário normal ao elemento de área dA. 
O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume 
de controle e o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa para fora 
através da superfície de controle. 
 
Casos especiais 
 
Escoamento incompressível através de um Volume de Controle fixo 
 
 
∫ �⃗� 𝑑𝐴 
 
𝑆𝐶
 =0 
 
Em alguns casos é possível aproximar uma velocidade uniforme em cada entrada e 
saída. Nesse caso a equação pode ser simplificada para: 
 
 Σ �⃗� 𝐴 = 0 
SC 
 
O vetor da área deve estar sempre apontado para fora da superfície de controle. 
 
 
Vazão volumétrica 
 Q =∫V dA 
 A 
 
Módulo de velocidade média de uma secção: 
 
 
�̅� = Q 
 A 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 10 
 
Escoamento permanente compressível através de um volume de controle fixo 
 
∫ ρ �⃗� d𝐴 = 0 
 SC 
Em alguns casos é possível aproximar uma velocidade uniforme em cada entrada e 
saída. Nesse caso a equação pode ser simplificada para: 
 
 Σ ρ �⃗� .𝐴 = 0 
 SC 
 
 
 
3.2. Equação da quantidade de movimento para um volume de controle Inercial 
 
Segunda lei de Newton para um volume de controle não acelerado: 
 
 
 
 
 
Fc: Forças de campo. Na mecânica dos fluidos geralmente é a gravidade, mas ainda 
podem ser campos elétricos ou magnéticos. 
 
Fs: Forças de superfície. Na mecânica dos fluidos a mais comum é a pressão. 
 
 
Exemplo 3: 
 
Um jato de água é defletido por um bloco retangular (15 mm x 200 mm x 100mm) 
que pesa 6N. Determine a vazão volumétrica mínima para derrubar o bloco. 
 
 






SC
VC
SC Ad.VV
t
dVV
FFF



 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 11 
 
 
Primeiramente é necessário traçar o volume de controle. No VC devem estar 
presentes todas as saídas e entradas de água. 
 
 
Agora, vamos definir as hipóteses do problema: 
 
_ Escoamento permanente. 
_ Escoamento incompressível. 
_ Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do VC. 
 
Com essas hipóteses podemos usar diretamente a equação da continuidade para 
escoamento incompressível através de um volume de controle fixo e com 
escoamento uniforme cm cada seção: 
 
Σ �⃗� 𝐴 = 0 
 SC 
 
-V1.A1 + V2.A2 + V3.A3 = 0 
 
V1.A1 = V2.A2 + V3.A3 
 
Porém, A1= A2+ A3 e A2=A3 
 
V1=V2=V3 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 12 
 
 
 
Observe que quando o bloco estiver caindo ele irá girar em torno do ponto do canto 
inferior direito. A força do jato de água precisa vencer a força de torque nesse ponto. 
A força Fy é o peso do bloco: 6N. Fazendo a somatória dos momentos em ralação 
ao ponto do torque igual à zero: 
 
𝐹𝑦.𝑤
2
 – 
𝐹𝑥.𝐿 
2
 = 0 
 
6.0,015
2
 – 
𝐹𝑥.0,1
2
 = 0 
 
Fx = 0,9 N 
 
Então, sabe-se que a força que o jato precisa ter é de 0,9N. Agora é possível 
encontrar a velocidade que ele precisa atingir para exercer essa força, utilizando a 
equação da quantidade de movimento para um volume de controle inercial. As 
forças de campo nesse casso é zero. Então a equação pode ser simplificada para: 
 
Fx = ∫V ρ V dA 
 SC 
Fx = - ρ.V².AJato 
 
Fx = -1000.v². (π.r²) 
 
0,9 = -1000.v².( π.0,005²) 
 
V = 3,386 m/s 
 
Com a velocidade, a vazão pode ser facilmente calculada: 
 
Q = v. A 
 
Q = 3,386.( π.0,005²) 
 
Q= 2,66x10 −4 m³/s 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 13 
 
4. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS 
DOS FLUIDOS 
4.1. Conservação da massa 
 
Forma diferencial da lei da conservação da massa em coordenadas retangulares: 
 
 
 
Também pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
Casos especiais 
 
Incompressível: A massa específica não é função nem das coordenadas espaciais 
nem do tempo. 
 
 
Ou na forma vetorial: 
 
 
 
 Permanente: Todas as propriedades do fluido são, por definição, independente do 
tempo assim: 
 
 
Na forma vetorial: 
 
 
 
Em coordenadas cilíndricas: 
 
 
𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
1
r
 
∂(ρVθ)
∂θ
 +
𝜕(𝜌𝑉𝑧)
𝜕𝑧
 + 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 = 0 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 14 
 
Incompressível: 
 
 
𝜕(𝑟𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
1
r
 
∂Vθ
∂θ
 +
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
 = 0 
 
Permanente: 
 
 
𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟)
𝜕𝑟
+
1
r
 
∂(ρVθ)
∂θ
 +
𝜕(𝜌𝑉𝑧)
𝜕𝑧
 = 0 
 
 
Exemplo 4: 
 
 Um escoamento incompressível em regime permanente tem as componentes de 
velocidade u= x³ +2z² e w = y³ - 2yz. Qual deve ser a componente v(x,y,z) para que 
o escoamento satisfaça a equação da continuidade? 
 
 
 
3x² + 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 - 2y= 0 
 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 = 2y -3x² (1) 
 
Integrando 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 : 
 
∫𝑑𝑣 = ∫(2𝑦 − 3𝑥2)𝑑𝑦 
 
𝑣 = 𝑦² − 3𝑥²𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) (2) 
 
 Derivando e comparando com a equação 1: 
 
𝑣` = 2𝑦 − 3𝑥² + 𝑓`(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 3𝑥² 
 
𝑓`(𝑥, 𝑦) = 0 
Integrando 
 
𝑓(𝑥, 𝑦)= C 
 
Assim, substituindo na equação 2: 
 
𝑣 = 𝑦² − 3𝑥²𝑦 + 𝐶 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 15 
 
 
4.2. Equação de Navier-stokes 
 
Para escoamentos incompressíveis com viscosidade constante: 
 
Coordenadas retangulares 
 
 
Na forma vetorial: 
 
 
 
 
Coordenada cilíndricas 
 
 
 
Exemplo 5: 
 
Um escoamento sem atrito, em regime permanente, o campo de velocidade é dado 
por: V=2xyi-y²j. Sendo a densidade constante e desprezando a gravidade, ache uma 
expressão para o gradiente de pressão na direção x. 
 
Solução 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 16 
 
Hipóteses 
 
1. Escoamento invíscido 
2.Escoamento em regime permanente 
3.Gravidadedesprezível 
4.Escoamento Incompressível 
5.Escoamento bidimensional 
 
u= 2xy 
v= -y² 
 
Utilizando a equação de Navier-Stokes na direção x: 
 
 
 
 Com as simplificações a equação fica: 
 
- 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
 = 𝜌 (𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) 
 
- 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
 = 𝜌[2𝑥𝑦(2𝑦) + (−𝑦2)(2𝑥)] 
 
- 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
 = 𝜌2xy² 
 
4.3. Equação de Euler 
 
A equação de Euler é usada para escoamentos invíscidos, ou seja, 𝜇=0: 
 
 
 
É a equação de Navier-Stokes simplificada. 
 
 
4.3.1 Equação de Euler em Coordenadas de Linhas de Correntes 
 
Para um escoamento em regime permanente 
 
Equação normal à linha de corrente: 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 17 
 
 
Onde: 
 
R: raio de curvatura da linha de corrente. 
 
4.4. Função de Corrente para Escoamento Incompressível e Bidimensional 𝝋 
 
Coordenadas retangulares 
 
 
u = 
𝜕𝜑
𝜕𝑦
 v =−
𝜕𝜑
𝜕𝑥
 
 
 
Coordenadas cilíndricas 
 
 
Vr = 
1
r
𝜕𝜑
𝜕𝜃
 V𝜃 = - 
𝜕𝜑
𝜕𝑟
 
 
Pontos de estagnação 
 
Os pontos de estagnação são o x e y onde a velocidade é igual a zero. 
 
4.5. Potencial de Velocidade ∅ 
 
Coordenadas retangulares 
 
u = −
𝜕∅
𝜕𝑥
 v =−
𝜕∅
𝜕𝑦
 w =−
𝜕∅
𝜕𝑧
 
 
Coordenadas cilíndricas 
 
 
Vr = −
𝜕∅
𝜕𝑟
 V𝜃 = −
1
𝑟
𝜕∅
𝜕𝜃
 V𝑧 = −
𝜕∅
𝜕𝑧
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
 
Para as funções de corrente, em m²/s, determine a magnitude e ângulo dos vetores 
velocidade com o eixo x, na posição x=2m e y = 4m. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 18 
 
 
𝜑 = 𝑥𝑦 + 𝑥² 
 
u = 
𝜕𝜑
𝜕𝑦
 v=−
𝜕𝜑
𝜕𝑥
 
 
u = xi v = -(y+2x)j 
 
�⃗� = xi - (y+2x)j 
Em x = 2 e y = 4: 
 �⃗� = 2i -8j 
Magnitude: 
 
 |�⃗� |= √(22 + (−8)2) 
 
|�⃗� |= 8,25 m/s 
 
Ângulo com o eixo x: 
 tg𝜃 = 
𝑣
𝑢
 
 
 tg𝜃 = 
−8
2
 
 
 𝜃= - 75,96° 
 
 
 
4.6. Equação de Bernoulli 
 
A equação de Bernoulli necessita das seguintes hipóteses: 
 
_ Escoamento em regime permanente 
_ Escoamento incompressível 
_ Escoamento sem atrito 
_ Escoamento ao longo de uma linha de corrente 
 
 
 
 
Algumas restrições da equação de Bernoulli: 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 19 
 
1. Quando a gradiente de pressão não for favorável, pois, não existem linhas de 
corrente. 
 
 
 
 
2. Quando há mudanças bruscas na geometria do sólido. 
 
 
 
Exemplo 7: 
 
Uma mangueira de jardim de 10 m de comprimento e diâmetro interno de 20 mm é 
usada para drenar uma piscina. Se os efeitos da viscosidade forem 
desconsiderados, qual a vazão de drenagem? 
 
 
Solução 
 
Hipóteses: 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 20 
 
 
_ Escoamento invíscido 
_ Escoamento em regime permanente 
_Piscina muito grande 
 
Com essas hipóteses é possível aplicar a equação de Bernoulli nos pontos 1 e 2: 
 
𝑃1
𝜌
 + 
𝑉1²
2
 + gz1 = 
𝑃2
𝜌
 + 
𝑉2²
2
 + gz2 
 
 
P2 e P1 são iguais a Patm, pois estão diretamente no ar e V1 pode ser aproximada 
á zero, já que a piscina é grande e a velocidade de vazão é pequena. 
 
Simplificando a equação: 
 
V2 = √(2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) 
 
V2= √(2.9,81(0,2 − (−0,23)) 
 
V2 = 2,9 m/s 
 
Agora para descobrir a vazão de drenagem basta aplicar a fórmula da vazão no 
ponto 2: 
 
Q2=V2.A2 
 
Q2 = 2,9.𝜋𝑟² 
 
Q2 = 2,9𝜋 0,01² 
 
Q2 = 9,11x10−4 m³/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 21 
 
4.7. Escoamento em Planos Elementares 
 
Potencial de velocidade ∅ e função da linha de corrente 𝜑 para planos elementares 
são facilmente encontrados na tabela abaixo: 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 22 
 
 
 
 
4.8. Superposição de Escoamentos em Planos Elementares 
 
Somente quando for incompressível e irrotacional. 
 
𝜑3 = 𝜑1 + 𝜑2 
 
u3= u1 + u2 
 
v3 = v1 + v2 
 
 
Método direto: Combinações 
 
 
Algumas combinações já foram estudadas e colocadas na tabela a seguir: 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 23 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 24 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 25 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: 
 
O escoamento potencial contra uma placa plana pode ser descrito com a seguinte 
função de corrente: 𝜑 = 𝐴𝑥𝑦, onde A é uma constante. Esse é um escoamento com 
ponto de estagnação contra uma placa com uma lombada. Determine a relação 
entre a altura h da lombada, constante A e a intensidade q da fonte. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 26 
 
 
Utilizando a superposição com a fonte: 
 
𝜑 = 𝐴𝑥𝑦 + 𝜑𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 
 
𝜑 = 𝐴𝑥𝑦 + 
𝑞𝜃
2𝜋
 
 
Transformando a equação para coordenadas cilíndricas: 
 
x= r cos𝜃 
y = r sen𝜃 
 
𝜑 = 𝐴 r cos𝜃 r sen𝜃 + 
𝑞𝜃
2𝜋
 
 
 
𝜑 = 𝐴 r² cos𝜃 sen𝜃 + 
𝑞𝜃
2𝜋
 
 
Utilizando a propriedade dos senos e cossenos: 
 
Sen2𝜃 = 2 cos𝜃 sen𝜃 
 
Então: 
 
 
1
2
sen2𝜃 = cos𝜃 sen𝜃 
 
𝜑 =
𝐴
2
 r² sen2𝜃 + 
𝑞𝜃
2𝜋
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 27 
 
Encontrando as velocidades: 
 
Vr = 
1
r
𝜕𝜑
𝜕𝜃
 V𝜃 = - 
𝜕𝜑
𝜕𝑟
 
 
Vr = A r cos2𝜃 + 
𝑞
2𝜋𝑟
 V𝜃 = - Ar sen2𝜃 
 
 
No ponto E: 
 
𝜃 = 
𝜋
2
 e r = h 
 
Substituindo nas velocidades e igualando a zero: 
 
Vr = A h cos(
2𝜋
2
) + 
𝑞
2𝜋ℎ
 V𝜃 = - Ah sen(
2𝜋
2
) 
 
0 = Ah(-1) + 
𝑞
2𝜋ℎ
 V𝜃 = 0 
 
h² = 
𝑞
2𝜋𝐴
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 28 
 
5. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 
 
Em muitos testes e pesquisas são utilizados modelos em escalas muito menores 
que o produto real. Mas como saber se o tamanho do modelo se comportará da 
mesma maneira que o produto real se comportaria em diferentes situações? Para 
isso, utiliza-se a análise dimensional e semelhança. 
 
5.1. Determinação dos Grupos π 
 
Os grupos π são compostos somente por parâmetros adimensionais. Para 
determiná-los é necessário seguir alguns passos. Esses passos são mostrados no 
exemplo a seguir: 
 
Exemplo 9: 
 
Força de arrasto sobre uma esfera lisa. Dados: F= f (ρ, mi, D, v) 
 
1° Passo: Listar os parâmetros que julgar envolvidos 
 
 F V D ρ mi n = 5 parâmetros dimensionais 
 
2° Passo: Listar as dimensões primárias envolvidas 
 
M ( massa) L (comprimento) T( tempo) r = 3 dimensões primárias 
 
3° Passo: Expressar os parâmetros em termos das dimensões 
 
 A força é expressa em massa x aceleração. A aceleração por sua vez, é expressa 
em distância percorrida / por tempo ao quadrado. Sendo assim: 
 
F : 
ML
t²
 
 
 A densidade é expressa pela massa sobre o volume e o volume é expresso em 
comprimento ao cubo. 
 
ρ: 
M
L³
 
 
A viscosidade é expressa em: 
 
µ: 
M
Lt
 
 
 O diâmetro é expresso em comprimento. 
 
D: L 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 29 
 
A velocidade é expressa em comprimento por tempo. 
 
V: 
L
t
 
Então: 
 
ML
t²
 = f (
M
Lt
,
M
L³
, L,
L
t
) 
 
4° Passo: Encontrar a quantidade de parâmetros π. Para isso basta resolver a 
equação: 
 
 m = n – r 
 m = 5 – 3 
 M = 2 
 
Então existem 2 parâmetros π. 
 
5° Passo: Selecionar r parâmetros que em conjunto possuam todas as dimensões 
primárias (parâmetros repetentes). 
 
_ Caracterize o fluido: ρ 
 
_ Caracterize a geometria: D 
 
_ Caracterize o escoamento: V 
 
Obs: _ Não pode ser o parâmetro dependente (nesse caso o F). 
 
 _ Nenhum dos parâmetros repetentes pode ter dimensões que sejam uma 
potência das dimensões de outro parâmetro repetente; por exemplo, A (L²) e I ( 𝐿4). 
 
6°Passo: Parâmetros π 
 
Π1= ρaVbDcF 
 
Precisamos descobrir os valores de a, b e c. Expressando os parâmetros em 
dimensões: 
 
Π1 = [𝑀𝐿−3]𝑎 [𝐿𝑡−1]𝑏 [𝐿]𝑐[𝑀𝐿𝑡−2] 
 
Agora agrupamos os expoentes que cada dimensão primária está elevada e 
igualamos à zero: 
 
M: a + 1 = 0 a = -1t: -b – 2 = 0 b= -2 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 30 
 
 
L : -3a + b + c+ 1= 0 c= -2 
 
Então, 
 
 Π1 = 
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
 
 
Da mesma maneira fazemos para π2: 
 
π2 = ρdVeDfµ 
 
𝜋2 = [𝑀𝐿−3]𝑎 [𝐿𝑡−1]𝑏 [𝐿]𝑐[𝑀𝑡−1𝐿−1] 
 
M: d + 1 = 0 d = 1 
t: -e -1 = 0 e= -1 
L: -3d + e + f -1 = 0 f = 1 
 
Assim: 
 
𝜋2 =
µ
𝜌𝑉𝐷
 
 
7° Passo: Aplicar o teorema do pi de buckingham 
 
 
Π1 = f( π2) 
 
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
= f(
µ
𝜌𝑉𝐷
 ) 
 
8° Passo: Verificar se os grupos são adimensionais 
 
Π1 = 𝑀−1𝐿3𝐿−2𝑡2𝐿2𝑀𝐿𝑡−2 
 
Π1 = 𝑀0𝐿0𝑡0 é adimensional 
 
 
Π2 = 𝑀−1𝐿3𝐿−1𝑡1𝑀𝐿−1𝑡−1𝐿−1 
 
Π2 = 𝑀0𝐿0𝑡0 é adimensional 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 31 
 
5.2. Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos 
 
Reynolds 
 
Reynolds é definido pela Força Inercial sobre as Forças viscosas: 
 
Re = 
𝜌𝑉𝐿
µ
 
𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎
 
 
Pensando assim é fácil perceber que se a força inercial for dominante sobre as 
forças viscosas o Re será maior que 1, caso contrário o Re será menor que 1. Se 
nenhuma força dominar sobre a outra o Re será igual a 1. 
 
Euler 
 
Também chamado de coeficiente de pressão, Cp é utilizado para medir a pressão no 
movimento dos fluidos. 
 
 Ԑ𝑢 =
2∆𝑝
𝜌𝑉²
 
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝐹𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
 
 
∆𝑃: É a pressão local menos a inicial 
ρ e V: Propriedades do fluido 
 
 
Cavitação 
 
Nos estudos da cavitação utiliza-se a equação de Euler, só que o ∆𝑃 é tomado como 
a pressão da corrente líquida (p) menos a pressão de vapor líquido na temperatura 
de teste (pv). 
 
Ca = 
2(𝑝−𝑝𝑣)
𝜌𝑉²
 
 
Quanto menor o Ca, maior a probabilidade de ocorrer cavitação, o que é indesejável. 
 
Froude 
 
O número de Froude é significativo para escoamentos com efeitos de superfície 
livre. 
 
Fr = 
𝑉
√𝑔𝑙
 
𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 32 
 
Weber 
 
É um indicativo da existência, e da freqüência, de ondas capilares em uma superfície 
livre. 
We =
𝜌𝑉²𝐿
𝜃
 
𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
 
Mach 
 
Caracteriza os efeitos da compressibilidade em um escoamento. 
 
M= 
𝑉
𝑐
 
 
V= velocidade do escoamento 
C = velocidade do som 
 
5.3. Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos 
 
Modelo: Tamanho reduzido do protótipo. 
 
Para os testes em um protótipo sejam eficazes em relação ao modelo algumas 
semelhanças devem ser consideradas: 
 
 
Semelhança Geométrica 
 
As dimensões dos protótipos são proporcionais em escala as dimensões do modelo. 
 
Semelhança Cinemática 
 
 
A velocidade do escoamento sobre o protótipo deve ter a mesma direção e sentido 
que a velocidade do escoamento sobre o modelo. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 33 
 
Vm = ε Vp 
 
𝜀: Fator de escala 
 
A semelhança geométrica garante a semelhança cinemática. 
 
 
Semelhança Dinâmica 
 
 
Fm = 𝜀 Fp 
 
A semelhança cinemática é condição necessária, mas não garante a semelhança 
dinâmica. 
 
Re,m = Re, p : 
𝜌𝑉𝐷
µ
] = 
𝜌𝑉𝐷
µ
] 
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
] = 
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
] 
 m p m p 
 
 
Fr, m = Fr, p 
 
Ca, m = Ca, p 
 
Exemplo 10: 
 
Um modelo de um transdutor sonar é testado em um túnel de vento. A força de 
arrasto sobre o modelo é Fm = 5N. O transdutor é rebocado a uma velocidade de 
2m/s no mar. 
a) Determine a velocidade necessária no ar para se realizar um teste eficaz (Vm). 
b) Estime a força de arrasto sobre o protótipo (Fp). 
 
Dados: 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 34 
 
Modelo: Fm=5N 
 Dm= 0,5m 
 µar=1,81x10−5 N.s/m² 
 ρar= 1,225 Kg/m³ 
 
Protótipo: Vp = 2m/s 
 Dp = 8m 
 ρmar = 1025 Kg/m³ 
 µmar=1,218x10−3 N.s/m² 
 
 
Para o teste ser eficaz é necessário garantir a semelhança dinâmica. 
 
Re,m = Re,p 
 
𝜌𝑉𝐷
µ
] = 
𝜌𝑉𝐷
µ
] 
 m p 
 
Agora colocando os valores na equação: 
 
1,225.𝑉𝑚.0,5
1,81x10−5
= 
1025.2.8
1,218x10−3
 
 
a) Vm=397,9 m/s 
 
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
] = 
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
] 
 m p 
 
Fp= Fm
𝜌𝑝𝑉𝑝²𝐷𝑝²
𝜌𝑚𝑉𝑚²𝐷𝑚²
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 35 
 
 
Fp= 5.
1025.2².8²
1,225.387,8².0,5²
 
 
b) Fp = 29,37 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 36 
 
6. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO E INCOMPRESSÍVEL 
 
 
Na entrada do tubo a velocidade do escoamento é uniforme. Devido à condição de 
não deslizamento, sabemos que a velocidade na parede do tubo é zero em toda a 
extensão. Para escoamentos incompressíveis, a conservação da massa exige que, 
conforme a velocidade na proximidade da parede é reduzida, a velocidade na região 
central sem atrito do tudo deve crescer para compensar. Suficientemente longe da 
entrada do tubo, o perfil de velocidade não muda mais. Nessa região o escoamento 
está completamente desenvolvido e é inteiramente viscoso. O comprimento do tubo 
onde o escoamento ainda está se desenvolvendo é chamado comprimento de 
entrada. 
A condição de completamente desenvolvido faz com que 
𝜕
𝜕𝑥
 seja igual a zero. 
 
Escoamento laminar completamente desenvolvido 
 
O comprimento de entrada pode ser calculado como: 
 
𝐿
𝐷
= 0,06 
 𝜌𝑉𝐷
µ
 
6.1. Entre Placas Paralelas Infinitas 
 
6.1.1. Ambas Estacionárias 
 
 
Hipóteses: 
_ Regime Permanente 
_ Bidimensional 
_FBx=0 
_Completamente desenvolvido 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 37 
 
 
Distribuição da Velocidade 
 
U= 
1
2µ
𝜕𝑃
𝜕𝑋
 (2y - H) 
 
Distribuição da tensão cisalhante 
 
𝒯xy = 𝜇
𝜕𝑈
𝜕𝑦
 então, 
 
𝒯xy = 
1
2
𝜕𝑃
𝜕𝑋
 (2y - H) 
 
Vazão em volume 
 
Q = 
−𝑏
2µ
𝜕𝑃
𝜕𝑋
𝐻³
6
 b: Profundidade 
 
Velocidade Média 
 
�̅� = 
−𝜕𝑃
𝜕𝑋
𝐻²
12µ
 
 
Vazão Volumétrica como função da queda de pressão 
 
𝑄
𝑏
=
𝐻³∆𝑃
12µ𝐿
 
 
Ponto de Velocidade máxima 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 
y = 
𝐻
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 38 
 
6.1.2. Em um Pistão 
 
 
Placa superior se movendo com velocidade constante 
 
Distribuição da Velocidade 
 
U= 
1
2µ
𝜕𝑃
𝜕𝑋
 (y² - Hy) + 
𝑈𝑦
𝐻
 
 
Tensão cisalhante 
 
U= 𝜔𝑅 então, 
𝒯xy = µ.
𝜔𝑅
𝐻
 
 
Ponto de Velocidade máxima 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 
y = 
𝐻
2
 – 
𝑈/𝐻
(
1
µ
)(
𝜕𝑃
𝜕𝑥
)
 
 
Torque 
 
T= 𝐹. 𝑅 
 
F= 𝜏yx.AS 
 
AS = 2ΠRL 
T= µ.
𝜔𝑅
𝐻
 2ΠRL.R 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 39 
 
Potência 
 
W= T.𝜔 
 
6.1.3. Escoamento em Dutos 
 
 
 
Distribuição da Velocidade 
 
Vz= 
1
4µ
𝜕𝑃
𝜕𝑧
 (r²-R²) 
 
Distribuição da tensão cisalhante 
 
𝒯xy = 
𝑟
2
𝜕𝑃
𝜕𝑧
 
 
Vazão em volume 
 
Q = 
−𝜋𝑅4
8µ
𝜕𝑃
𝜕𝑧
 
 
Velocidade Média 
 
V = 
−𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑅²
8µ
 
 
Vazão Volumétrica como função da queda de pressão 
 
∆𝑃 = 
128𝑄𝜇𝐿
𝜋𝐷4
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 40 
 
Ponto de Velocidade máxima 
 
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑟
= 0 
 
r = 0 
 
Exemplo 11: 
 
O mancal de virabrequim é lubrificado por óleo 𝜇 = 0,2 𝑃𝑎. 𝑠. O eixo gira a 80rpm. 
Determine o torque requerido para girar o eixo e a potência dissipada. 
 
 
Hipóteses: 
 
_ Escoamento em um pistão 
_Escoamento Laminar 
_ Regime permanente 
_ Incompressível 
_Completamente desenvolvido 
_ 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=0, o escoamento é simétrico no mancal real sem carga. 
 
3600rpm = 
80.2𝜋
60
 rad/s = 8,38 rad/s 
 
Vimos que: 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 41 
 
 
U= 
1
2µ
𝜕𝑝
𝜕𝑋
 (y² - Hy) + 
𝑈𝑦
𝐻
 
 
 
U=
𝑈𝑦
𝐻
 
 
𝜏yx = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
 
 𝜏yx = 𝜇
𝑈
𝐻
 
 
U = 𝜔R 
 𝜏yx = 𝜇
𝜔R
𝐻
 
 
 𝜏yx =0,2 
8,38x0,0375
2,5𝑥10−4
 
 
 𝜏yx = 251,4 Pa 
T= 𝐹.𝑅 
 
 F= 𝜏yx.A 
 T=251,42πRLR 
 
 T= 502,8.0,0375² 2 
 
a) Torque: T= 1,42 N.m 
 
 
W = F U 
 W=F R 𝜔 
 
 W= T 𝜔 
 
 W= 1,42. 8,38 
 
b) Potência: W= 11,85 w 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 42 
 
6.2. Equação da Energia em Escoamento em Tubos 
 
 
 
(
𝑃1 
𝜌𝑔
+ 𝛼2
𝑉1²
2𝑔
+ 𝑧1 ) - (
𝑃2 
𝜌𝑔
+ 𝛼2
𝑉2²
2𝑔
+ 𝑧2 ) = hlt 
 
 Onde: 
 
 𝛼 = 2 : Laminar 
 𝛼 = 1 : Turbulento 
 
 hlt: Perda de carga total 
 
6.3. Perda de Carga 
 
hlt = hl + hlm 
 
hl: Perdas maiores, causadas por efeitos de atrito no escoamento completamente 
desenvolvido. 
 
hlm: Perdas localizadas ou menores, causadas por entradas, acessórios, variações 
de área e outras. 
 
Perdas maiores (hl) 
 
a) Escoamento Laminar 
 
hl= (
64
𝑅𝑒
)
𝐿
𝐷
𝑉²
2
 
 
b) Escoamento turbulento 
 
hl= f 
𝐿
𝐷
𝑉²
2
 
 
f é o fator de atrito q é função de Re, 
𝑒
𝐷
. Pode ser obtido através da seguinte tabela: 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 43 
 
 
 
Perdas Menores hlm 
 
Para escoamento completamente desenvolvido através de um tubo horizontal de 
área constante: hlm = 0. 
 
hlm = K 
𝑉²
2
 
 
K pode variar com as entradas e saídas do tubo: 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 44 
 
O K também varia com expansões e contrações, curvas, válvulas e acessórios entre 
outros. Esses valores de K podem ser facilmente obtidos em tabelas de livros de 
mecânica dos fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 45 
 
7. ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSÍVEL E EXTERNO 
 
Quando um objeto move-se através de um fluido o movimento das moléculas do 
fluido perto do objeto é perturbado, e estas moléculas movem-se ao redor do objeto, 
gerando forças aerodinâmicas.
 
 
7.1. Espessuras da Camada Limite 
 
Espessura de pertubação, 𝛿 
 
É a distância da superfície na qual a velocidade situa-se dentro de 1% da velocidade 
da corrente livre, isto é, u ≈ 0,99𝑈. 
 
 
 
 Espessura de deslocamento, 𝛿 ∗ 
 
É a distância na qual a placa seria deslocada de forma que a perda de fluxo de 
massa ( devido à redução na área do escoamento uniforme) fosse equivalente à 
perda causada pela camada-limite. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 46 
 
 
Para escoamentos incompressíveis, 
 
 
𝛿 ∗ = ∫ (1 −
𝑢
𝑈
)𝑑𝑦
𝛿
0
 
 
Espessura de quantidade de movimento, 𝜃 
 
É a distância que a placa seria movida de modo que a perda de fluxo de quantidade 
de movimento fosse equivalente à perda real causada pela camada-limite. 
 
 
𝜃 = ∫
𝑢
𝑈
𝛿
0
(1 −
𝑢
𝑈
)𝑑𝑦 
 
Hipóteses simplificadoras 
 
Essas hipóteses simplificadoras são usualmente feitas em análises de engenharia, 
visto que o perfil de velocidade em uma camada-limite une-se assintoticamente com 
a velocidade da corrente livre. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 47 
 
1. u→U em y= 𝛿 
2.
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 = 0 em y= 𝛿 
3. u≪ 𝑈 dentro da camada-limite 
4. ∆𝑃 é desprezível 
 
7.2. Escoamento Sobre Uma Placa Plana Horizontal (Blausius) 
 
 
Escoamento Laminar 
 
Espessura da camada-limite: 𝛿 =
5𝑥
√(𝑅𝑒𝑥)
 
 
Coeficiente de atrito superficial: Cf = 
0,664
√(𝑅𝑒𝑥)
 
 
 
Solução aproximada ( Laminar ou turbulento) 
 
Espessura da camada-limite: 𝛿 =
5,48
√(𝑅𝑒𝑥)
 
 
Coeficiente de atrito superficial: Cf = 
0,73
√(𝑅𝑒𝑥)
 
 
 
Escoamento turbulento sobre a placa plana 
 
Espessura da camada-limite: 𝛿 =
0,382
√(𝑅𝑒𝑥)
 
 
Coeficiente de atrito superficial: Cf = 
0,0594
√(𝑅𝑒𝑥)
 
 
7.3. Força de Arrasto 
 
 
A força de arrasto é força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido 
através de um fluido. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 48 
 
 
Coeficiente de arrasto 
 
CD = 
𝐹𝑑
1𝜌𝑣²𝐴
2
 
 
O coeficiente de arrasto para objetos selecionados ( Re ≥ 10³) pode ser 
determinado com auxílio da seguinte tabela: 
 
 
 
 
Exemplo 12: 
 
Em um teste para medir a velocidade máxima de carros, um tuatara atinge uma 
velocidade de 432 km/h. Imediatamente, após passar pelo sinalizador de tempo, o 
piloto abre o paraquedas de frenagem, de área A = 21 m². As resistências do ar e do 
rolamento do carro podem ser desprezadas. Determine o tempo necessário para que 
o veículo desacelere para 36 km/h. A massa do carro é de 1000 kg. 
 
Dados: 
 
Vi = 432 km/h ou 120 m/s 
Vf = 36 km/h ou 10 m/s 
𝜌(𝑎𝑟) = 1,21 𝑘𝑔/𝑚3 a 20°C 
𝜇(ar) = 1,81x10−5 N. s/m² 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 49 
 
 
 
Para achar o CD pode-se utilizar a tabela desde que o Re seja maior ou igual a 10³. 
Então, calculando o Re: 
 
Re = 
𝜌𝑉𝐷
µ
 
 
Encontrando o Diâmetro: 
 
A = 
𝜋 𝐷²
4
 
 
D = (
4𝐴
𝜋
)
1
2⁄
 
 
D = (
4𝑥21
𝜋
)
1
2⁄
 
 
D = 5,17m 
 
Re = 
1,21 𝑥 10 𝑥 11,28
1,81x10−5
 
 
Re = 7,54 x 106 
 
O Re do problema valida a hipótese, então pela tabela: CD = 1,42. 
 
Considerando a segunda Lei de Newton: 
 
-FD = ma 
 
-FD = m 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 (1) 
 
E da equação da força de arrasto: 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 50 
 
FD = 
𝐶𝐷 𝜌 𝑉² 𝐴
2
 (2) 
 
Igualando 1 e 2: 
 
−𝐶𝐷 𝜌 𝑉² 𝐴
2
 = m 𝑑𝑉
𝑑𝑡
 
 
Integrando: 
 
−1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 
2𝑚
∫ 𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑉
2
𝑉𝑓
𝑉𝑖
𝑡
0
 
 
−1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 
2𝑚
𝑡 = −
1
𝑉𝑓
+
1
𝑉𝑖
 
 
−1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 
2𝑚
𝑡 = −
(𝑉𝑖 − 𝑉𝑓)
𝑉𝑓 𝑉𝑖
 
 
𝑡 =
(𝑉𝑖 − 𝑉𝑓)
𝑉𝑓 𝑉𝑖
2𝑚
𝐶𝐷 𝜌 𝐴
 
 
𝑡 =
(120 − 10)
120𝑥10
2𝑥1000
1,42𝑥1,21𝑥21
 
 
t = 5,08 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 51 
 
8. SUGESTÃO DE ESTUDO 
 
Para melhor entendimento da matéria, primeiramente deve se ler os capítulos do 
livro que são estudados em sala assim que lhe são apresentados. Após o término da 
leitura do capítulo, é sugerido tentar resolver os exemplos do livro sem olhar a 
resolução e em seguida resolver os exercícios sugeridos. Para fixar e revisar o 
assunto, essa apostila deve ser estudada. 
 
Leitura 
 
Introdução à MECÂNICA DOS FLUIDOS, Robert W. Fox, Philip J. Pritchard, Alan T. 
McDonald; Sétima edição. 
 
Exercícios 
 
Capítulo 3: 3.23, 3.24, 3.26, 3.28, 3.51 e 3.65 
 
Capítulo 4: 4.12, 4.22, 4.66 e 4.195 
 
Capítulo 5: 5.4, 5.5, 5.10, 5.22, 5.36, 5.40, 5.47 
 
Capítulo 6: 6.10, 6.28, 6.39, 6.46, 6.67, 6.77 
 
Capítulo 7: 7.9, 7.12, 7.15, 7.42, 7.46, 7.50, 7.76 
 
Capítulo 8: 8.1, 8.9, 8.20, 8.47, 8.57, 8.76, 8.84, 8.90, 8.117 
 
Capítulo 9: 9.12, 9.19, 9,81, 9,84, 9,98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
PET – EMB 52 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
Fox, Robert; Pritchard, Philip; McDonald, Alan; Introdução à Mecânica dos Fluidos, 
sétima edição. 
 
HTTP://WWW.FENG.PUCRS.BR/LSFM/MECFLU/MECANICA-DOS-
FLUIDOS/APOSTILA%20MECANICA%20DOS%20FLUIDOS%202011.PDF 
 
HTTP://WWW.UFPE.BR/LDPFLU/CAPITULO5.PDF 
 
 
HTTP://UFPEMECANICA.FILES.WORDPRESS.COM/2011/07/ANC3A1LISE-
DIMENSIONAL-E-SEMELHANC3A7A-DINC3A2MICA-CORRIGIDO.PDF 
 
HTTP://SOMAUTOMOTIVOCARROSTUNING.BLOGSPOT.COM.BR/2011/07/TUAT
ARA-E-O-NOME-DO-NOVO-ESPORTIVO-DA.HTML