Lista 6- EDs autonomas + resolução

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Lista  06_  EDs  autônomas  
1-­   Determine   os   pontos   críticos   e   o   perfil   de   fase   da   equação   diferencial   dada.  
Classifique  cada  ponto  crítico  como  assintoticamente  estável,  instável  ou  semi-­
estável.   A   mão,   esboce   curvas   soluções   típicas   nas   regiões   do   plano   xy  
determinadas  pelos  gráficos  das  soluções  de  equilíbrio.  
(a)   #$#% = 𝑦( − 3𝑦  
(b)   #$#% = (𝑦 − 2).  
(c)   #$#% = 𝑦( − 𝑦/  
(d)   #$#% = 𝑦((4 − 𝑦()  
(e)   #$#% = y	
  ln	
  (y + 2)  
(f)   #$#% = 10 + 3𝑦 − 𝑦(  
(g)   #$#% = y(2 − y)(4 − y)  
(h)   #$#% = 789:;789  
2-­   A  equação  diferencial  autônoma  m=>=? = 𝑚𝑔	
   − 𝑘𝑣   onde  k   é  uma  constante  de  
proporcionalidade  positiva  e  g  é  a  aceleração  da  gravidade,  é  um  modelo  para  a  
velocidade  v  de  um  corpo  de  massa  m  que  está  caindo  sujeito  à  influência  da  
gravidade.  Como  o  termo  -­kv  representa  a  resistência  do  ar,  a  velocidade  de  um  
corpo  caindo  a  partir  de  uma  altura  elevada  não  aumenta  sem  limite  quando  o  
tempo  t  cresce.  
(a)  Utilize  um  perfil  de  fase  da  equação  diferencial  para  determinar  a  velocidade  
limite  ou  terminal  do  corpo.  
(b)  Determine  a  velocidade  terminal  do  corpo  considerando  que  a  resistência  do  
ar  seja  proporcional  a  𝑣(  
3-­   A  equação  logística  ou  equação  de  Verhulst   :  y′ = Ay − B𝑦(    desempenha  um  
papel   importante   em   dinâmica   populacional,   um   campo   responsável   pela  
modelagem  da  evolução  ao  longo  do  tempo  t  de  populações  de  plantas,  animais  
e  seres  humanos.  Resolva  a  equação  escolhendo  um  método  adequado.  
4-­   Uma  comissão  pública  de  caça  solta  40  alces  em  uma  reserva  de  caça.  Após  5  
anos  a  população  de  alces  é  de  104  animais.  Segundo  a  comissão,  o  ambiente  
suporta  no  máximo  4000  alces.  A  taxa  de  crescimento  da  população  𝑝  de  alces  
e    =K=? = 𝑘𝑝 1 − K.LLL , 40 ≤ 𝑝 ≤ 4000  ,  onde  𝑡  é  o  número  de  anos.  
(a)  Escreva  um  modelo  para  a  população  de  alces,  em  termos  de  𝑡  resolvendo  
a   equação   diferencial   de   duas   maneiras:   Por   separação   de   variáveis   e  
utilizando  o  método  estudado  na  lista  05  (  Equações  de  Bernoulli)  
(b)  Desenhe  um  campo  de  direções  da  equação  diferencial  e  também  a  solução  
que  passa  pelo  ponto  (0,40).  
(c)   Use  o  modelo  para  estimar  a  população  de  alces  após  15  anos.  
(d)  Calcule  o  limite  do  modelo  quando  𝑡 → ∞