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Disciplina: Análise de dados
Aula 7: Distribuições amostrais
Apresentação
Na aula anterior, abordamos os conceitos iniciais de dois dos principais assuntos da Inferência Estatística: estimação e teste
de hipóteses. Alguns conceitos referentes a tais assuntos foram tratados para que você começasse a compreendê-los de
forma intuitiva, objetivando uma análise prática desses processos. Os testes de hipóteses serão tratados na próxima aula.
Nesta aula, espera-se que você compreenda o conceito de distribuição amostral de um estimador, mais especi�camente da
média e da proporção amostrais, pois é através dela que construímos intervalos de con�anças.
Veremos, a partir daí, como obter estimativas intervalares para a média e a proporção populacionais com base em
informações obtidas em amostras.
Objetivos
Identi�car e aplicar as propriedades das distribuições amostrais da média e da proporção.
Construir intervalos de con�ança para a média populacional.
Construir intervalos de con�ança para a proporção populacional.
Distribuições amostrais
A partir de agora, abordaremos um assunto de fundamental importância para a compreensão dos processos de estimação, que
serão apresentados na próxima aula. Trata-se do conceito de distribuição amostral.
Vamos considerar uma população de tamanho N e supor que sejam selecionadas todas as
amostras possíveis de tamanho n dessa população (com reposição). Se para cada uma das
amostras extraídas calcularmos o valor de uma estatística (que pode ser a média ou a
proporção, por exemplo), a distribuição de todos os valores obtidos é denominada
distribuição amostral dessa estatística.
 (Fonte: Bakhtiar Zein / Shutterstock).
Para compreender melhor a de�nição acima, vamos analisar a situação apresentada no exemplo a seguir.
Exemplo
Uma empresa recebeu 6 caixas com a mesma quantidade de componentes eletrônicos em cada uma. Na veri�cação desses
componentes, o supervisor de qualidade obteve as seguintes quantidades de itens defeituosos:
Mesmo sendo um conjunto extremamente pequeno, vamos considerá-lo como uma população. Portanto, podemos considerar 
N = 6 e sua média será dada por
μ =
∑6i= 1Xi
6 =
5 + 3 + 0 + 2 + 1 + 7
6 =
18
6 = 3
desvio-padrão populacional é
σ =
∑6i= 1 Xi - μ
2
6 - 1 =
( 5 - 3 ) 2 + ( 3 - 3 ) 2 + ( 0 - 3 ) 2 + ( 2 - 3 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 + ( 7 - 3 ) 2
5 = 2, 38
Podemos considerar os valores apresentados como parâmetros desse conjunto, que são resultados populacionais.
No entanto, vamos agora supor que, no lugar de utilizar todos os valores do conjunto (população), o supervisor calculasse a
média e o desvio-padrão com base em uma amostra de apenas 3 desses valores. Realizando uma seleção aleatória, uma possível
amostra é
Nesse caso, teremos a média amostral dada por
x̄ =
1 + 3 + 5
3 =
9
3 = 3
e desvio-padrão amostral
s =
( 1 - 3 ) 2 + ( 3 - 3 ) 2 + ( 5 - 3 ) 2
3 - 1 = √4 = 2
Se �zermos o mesmo com todas as outras amostras possíveis, chegaremos aos resultados apresentados na Tabela 1.
Tabela 1 - Amostras de tamanho n = 3 com suas respectivas médias e desvios-padrões
5 3 0 2 1 7
√ ( ) √
1 3 5
√
Observe que a média de todas as médias, que denotaremos por μx, é igual a 3,0, que é o mesmo valor da média populacional μ.
Além disso, o desvio-padrão dos desvios-padrões de todas as amostras, que denotaremos por σx, é menor que o desvio-padrão
populacional σ.
Um outro fato que deve ser destacado é o comportamento da distribuição das médias amostrais. A Figura 1 é um histograma que
representa essa distribuição.
Figura 1 – Histograma da distribuição das médias amostrais.
Teorema Central do Limite
Considere uma amostra aleatória simples composta pelos valores x1, x2, …, xn selecionada de uma população �nita com média μ
e desvio-padrão σ. Para n (tamanho de amostra) su�cientemente grande, a distribuição da média amostral X é aproximadamente
normal com média μx = μ e desvio-padrão σx = σn.
Pelo aspecto didático, escolhemos um conjunto (população) pequeno (N = 6) e as amostras consideradas também pequenas. Na
prática, com toda a certeza, as populações consideradas serão muito maiores, assim como as respectivas amostras. Mas,
mesmo assim, conseguimos identi�car algumas características importantes das distribuições amostrais a partir do exemplo
considerado. Note que a distribuição apresentada na Figura 1 assemelha-se ao comportamento da distribuição normal. Essa
propriedade e as conclusões anteriores nos ajudam a compreender o teorema que será apresentado a seguir, que é fundamental
no estudo de estimação.
Como o teorema acima poderá nos ajudar na determinação de intervalos de con�ança?
Quando selecionamos uma amostra de forma aleatória, não sabemos se ela representará bem ou não a população de onde foi
extraída. Veja, por exemplo, a primeira amostra apresentada na Tabela 1, composta pelos valores 0, 1 e 2. Sua média é igual a 1,0.
Dentre todas as apresentadas, podemos considerá-la como a pior, pois, se fôssemos estimar a verdadeira média (que é μ = 3)
através dela, chegaríamos a uma estimativa nada adequada. Qualquer outra amostra nos levaria a uma estimativa melhor que
essa.
No entanto, se a amostra selecionada fosse a composta pelos valores 0, 2 e 7, a estimativa seria ótima, pois a média dessa
amostra é exatamente igual à média populacional.
O problema é que, quando estamos trabalhando com amostras, é porque não temos acesso a todos os valores (ou
características) que compõem a população. Portanto, não temos como avaliar se a amostra que temos em mãos é boa ou ruim.
Nesse ponto é que destacamos a importância do Teorema Central do Limite. Apesar de não ter como reconhecer a amostra
selecionada como boa ou não, sabemos que sua média é um valor de uma distribuição normal com média igual à da população
de onde essa amostra foi extraída e com desvio-padrão menor igual ao da população dividido pela raiz do número de elementos
da amostra. Isso nos leva a concluir que há uma probabilidade elevada de que a média da amostra que selecionamos esteja
próxima da média dessa distribuição. Vamos a um exemplo para compreender melhor.
Exemplo
Vamos supor uma população de trabalhadores de certa categoria do setor produtivo cuja renda média é de 4 salários mínimos
(s.m.), com desvio-padrão de 0,7 s.m. Se selecionarmos uma amostra aleatória de 49 dessas rendas, qual é a probabilidade de
que a média dessa amostra esteja entre 3,8 e 4,2 s.m.?
Observe que, nesse caso, são conhecidas as informações sobre a população de salários. Isso, na prática, não é nada comum.
Como já vimos, o que geralmente acontece é que temos informações sobre a amostra e, a partir dela, estimamos parâmetros
populacionais.
As informações populacionais que dispomos são:
média: μ = 4s. m.
desvio-padrão: σ = 0, 7
O tamanho da amostra é n = 49. Pelo Teorema Central do Limite, temos que a amostra selecionada tem média que pertence a
uma distribuição normal com média μX = μ = 4s. m. e desvio padrão:
σx̄ =
σ
√n
=
0 , 7
√49
= 0, 1
Então, a probabilidade de que essa média amostra X esteja entre 3,8 e 4,2 s.m. será obtida como mostrado a seguir.
Primeiro, devemos padronizar os valores 3,8 e 4,2 utilizando a fórmula:
Z =
X̄ - μX̄
σX̄
Temos, portanto:
Z1 =
3 , 8 - 4
0 , 1 = - 2
e
Z2 =
4 , 2 - 4
0 , 1 = 2
Recorrendo à Tabela da Distribuição Normal Padronizada (Tabela 2), temos:
P3, 8 ≤ X ≤ 4, 2 = P - 2 ≤ Z ≤ 2 = 0, 4772 + 0, 4772 = 0, 9544 = 95, 44 %
Tabela 2 – Tabela da Distribuição Normal Padronizada.
Mas o que o resultado acima nos permite concluir?
Quando selecionamos aleatoriamente uma amostra de uma dada população para estimar sua média, não temos como saber se
os elementos selecionados representam bem ou não essa população. No entanto, no caso que acabamos de calcular, observe
que a probabilidade de selecionar uma amostra cuja média esteja bem próxima da verdadeira média (entre 3,8 e 4,2 sendo que a
verdadeira média é 4) é superior a 95%.
Esse tipo de resultado (que é uma aplicação do Teorema Central do Limite) fundamenta o estudo dos intervalosde con�ança para
a média populacional (e para a proporção populacional, como veremos mais adiante).
De forma simbólica, podemos de�nir o Teorema Central do Limite para a média amostral na forma
X~Nμ, σ2n
Lembre-se que a notação acima refere-se à distribuição normal com média μ e variância 
σ2
n , que equivale a um desvio-padrão 
σ
√n
.
A seguir, vamos generalizar os resultados obtidos no Exemplo 2 para utilizar na obtenção de intervalos de con�ança para
parâmetros populacionais (média e proporção).
Intervalos de con�ança para a média populacional
Generalizando os resultados do Exemplo 2, podemos considerar que dada uma variável aleatória normal X com média μ e desvio-
padrão σ, se selecionarmos uma amostra aleatória X1, X2, …, Xn, a média amostral X terá distribuição normal com média igual a 
μX = μ e desvio-padrão
Z =
X̄ - μX̄
σX̄
Tais resultados são garantidos pelo Teorema Central do Limite.
Dessa forma, a distribuição da estatística
Z =
X̄ - μ
σ
√n
que também pode ser dada na forma
Z =
X̄ - μ
σ
√n
é considerada normal padrão, isto é, distribuição normal com média 0 (zero) e desvio-padrão 1 (um). Os valores dessa distribuição
são apresentados na Tabela 2.
Sendo assim, podemos obter um intervalo de 1001 - α% de con�ança para a média populacional μ partindo da igualdade
P -Z α
2
≤ Z ≤ Z α
2
= 1 - α( )
que equivale
P -Z α
2
≤
X̄ - μ
σ
√n
≤ Z α
2
= 1 - α( )
Os valores -Z α
2
 e -Z α
2
 de�nem, na distribuição normal padrão, uma probabilidade igual a 1001 - α % ou 1 - α.
Trabalhando algebricamente para isolar a média populacional μ na igualdade acima, chegamos a
P X̄ - Z α
2
·
σ
√n
≤ μ ≤ X̄ + Z α
2
·
σ
√n
= 1 - α( )
Portanto, o intervalo de 1001 - α% de con�ança para a média populacional μ pode ser dado
por
X̄ - Z α
2
·
σ
√n
≤ μ ≤ X̄ + Z α
2
·
σ
√n
ou na forma
X̄ ± Z α
2
·
σ
√n
Observe que, para obtê-lo, é preciso conhecer o valor de σ (desvio-padrão da população), o que, na prática, geralmente não
acontece. Se queremos estimar a média da população através de uma amostra porque não temos acesso a toda essa população,
é quase certo que também não conhecemos seu desvio-padrão.
Em alguns processos industriais, por exemplo, pode considerar σ conhecido em razão da repetição de levantamentos de dados e
o processo de estimação, nesse caso, visa apenas testar valores da média. Mas, de qualquer forma, o que quase sempre ocorre
na prática é que o desvio-padrão populacional σ é desconhecido e, em seu lugar, utilizamos o desvio-padrão amostral s, como
veremos mais adiante.
Por enquanto, vamos a um exemplo que mostra como é o processo de cálculo de um intervalo de con�ança.
Exemplo
Sabe-se que os volumes de refrigerante nos vasilhames preenchidos por uma determinada máquina têm desvio-padrão σ = 2ml.
Para testar se a média despejada por essa máquina está de acordo com as especi�cações desejadas, o gerente de produção
selecionou uma amostra de 25 desses vasilhames para veri�cação. A média obtida para essa amostra foi de 293 ml. Estime o
intervalo de 95% de con�ança para a verdadeira média de volume de refrigerante despejado nos vasilhames por essa máquina.
De forma abreviada, costumamos nos referir ao intervalo de con�ança como "IC". No caso deste exemplo, então, queremos
determinar o IC95 % para a verdadeira média de volumes dos vasilhames. As informações que dispomos são as seguintes:
σ = 2ml;
X = 293ml;
n = 25.
Como o nível de con�ança que desejamos é de 95% (ou 0,95), então o valor que adotamos para α é 0,05. Portanto, devemos
procurar na tabela da distribuição normal padrão (Tabela 2) o valor de
Z α
2
= Z 0 , 05
2
= Z0 , 025
ou seja, o valor crítico Z para o qual se tem 2,5% (ou 0,025) das probabilidades em cada uma das caudas da distribuição, como
mostra a Figura 2.
Figura 2 – Valores críticos da distribuição normal padrão para α = 0, 05 5 % .
Como α = 0, 05, então, entre os valores Z - 0 , 025 e Z0 , 025, devemos ter 0,95 (95%) da distribuição normal. Portanto, devemos
localizar no corpo da tabela o valor 0,4750 (lembre-se que, em razão da simetria que a distribuição normal apresenta em relação à
sua média, os valores que a tabela apresenta se referem somente à metade direita da distribuição). Em seguida, veri�que em qual
linha e coluna esse valor está situado. Observe que a linha é a associada ao valor 1,9 e a coluna, ao valor 0,06. Portanto, o valor
crítico de Z que queremos obter é
Z0 , 025 = 1, 96
Agora, podemos calcular o IC95 % que queremos:
X̄ ± Z α
2
·
σ
√n
= 293 ± 1, 96 ·
2
√25
= 293 ± 0, 784
O limite inferior do IC é
293 - 0, 784 = 292, 216ml
e o superior é
293 + 0, 784 = 293, 784ml
Uma forma bem usual de representar esse resultado é
IC95 % : (292, 216; 293, 784)
O valor “0,784” é considerado a margem de erro desse intervalo.
A interpretação que podemos realizar do resultado obtido é que a verdadeira média dos volumes dos vasilhames preenchidos
pela máquina citada é um valor que pode variar de 292,216 a 293,784 ml. E essa a�rmação é 95% con�ável, ou seja, se este
processo de amostragem e determinação do IC fosse realizado 100 vezes, em 95% delas a verdadeira média seria um valor
pertencente ao IC informado.
E como devemos proceder quando o desvio-padrão populacional σ é desconhecido?
1° lugar
Devemos substituí-lo pelo desvio-padrão amostral s.
2° lugar
Precisamos nos atentar ao tamanho n da amostral. Se n > 30 (isto é, temos uma amostra su�cientemente grande), devemos
proceder da mesma forma que utilizamos na solução do Exemplo 3, apenas efetuando a substituição de σ por s. Mas, se n ≤ 30
(amostra pequena), além dessa substituição, devemos utilizar como valor crítico um valor da distribuição t de Student, cujos
valores são apresentados na Tabela 3.
No caso em que desconhecemos o desvio-padrão populacional e n > 30, o IC1 - α · 100 % da média populacional μ será dado
por:
X̄ - Z α
2
·
s
√n
< μ < X̄ + Z α
2
·
s
√n
ou
X̄ ± Z α
2
·
s
√n
em que o valor crítico Zα2 é um valor da Tabela da Distribuição Normal Padronizada (Tabela 2).
Exemplo
Com o intuito de veri�car a resistência a altas temperaturas das embalagens fabricadas por uma empresa, o gerente de qualidade
selecionou uma amostra de 64 dessas embalagens e submeteu-a a testes em laboratório. Para cada unidade observada, foi
anotada a temperatura máxima que não gerava à embalagem nenhuma deformidade. Como resultado para toda a amostra,
chegou-se a uma média igual a 86,5º com desvio-padrão de 3,2º. Obtenha um IC99 % para a verdadeira média de temperaturas
que as embalagens suportam sem apresentar deformação.
Nesse caso, temos:
n = 64;
X = 86, 5°;
s = 3, 2°.
Para obter o valor crítico, na distribuição normal padrão, associado ao nível de 99% de con�ança, devemos considerar α = 0, 01.
Assim, queremos obter
Z α
2
= Z 0 , 01
2
= Z0 , 005
Recorrendo à Tabela 2, devemos encontrar o valor de probabilidade 0,4950 (que é metade de 0,99 ou 99%). No entanto, esse valor
exatamente não �gura entre as probabilidades da tabela. Na linha associada ao valor 2,5, encontramos as probabilidades 0,4949 e
0,4951, que estão ambos à mesma distância de 0,4750. Note que 0,4949 está na coluna 0,07 e 0,4951 na coluna 0,08, ou seja, os
valores de Z associados a tais probabilidades são, respectivamente, 2,57 e 2,58. Recomenda-se, em casos como esse, que se
considere com valor crítico a média entre eles. Portanto, tomemos
Z0 , 005 = 2, 575
Convém ressaltar que foi considerada a média entre os valores críticos da distribuição pelo fato de as probabilidades associadas
estarem à mesma distância do valor que buscamos na tabela (0,4750). Quando não encontramos exatamente o valor que
queremos, devemos considerar aquele que mais se aproxima dele. Somente em casos em que os valores são equidistantes do
que desejamos é que consideramos a média (como �zemos aqui).
Como σ é desconhecido e n > 30, o IC99 % será dado por
X̄ ± Z α
2
·
s
√n
= 86, 5 ± 2, 575 ·
3 , 2
√64
= 86, 5 ± 1, 03
Subtraindo e somando a margem de erro à média amostral, temos:
IC99 % : (85, 47°;87, 53°)
Quando vamos calcular um IC em que o desvio-padrão populacional σ é desconhecido e a amostra é considerada pequena (n ≤ 30
), o procedimento é semelhante ao que acabamos de ver, mas o valor crítico é um valor da distribuição t de Student (Tabela 3).
Esse valor é representado por t α
2
.
Portanto, quando desconhecemos σ e a amostra tem tamanho n ≤ 30, o IC1 - α · 100 % da média populacional μ será dado por:
Exemplo
O setor de controle estatístico de uma empresa realizou um levantamento amostral sobre o tempo de montagem de 25 unidades
de certo modelo de mesa. A média obtida foi de 9,2 minutos com desvio-padrão de 1,5 minuto. No nível de 90% de con�ança,
podemos a�rmar que o tempo médio real de montagem desse modelo de mesa não excede 10 minutos?
Embora o enunciado acima não solicite de forma direta o cálculo de um IC, podemos chegar à conclusão desejada através dele.
Vamos calcular um IC90 % e veri�car se seu limite máximo não ultrapassa os 10 minutos.
Nesse caso, temos:
n = 25;
X = 9, 2minutos;
s = 1, 5minuto.
Como σ é desconhecido e n ≤ 30, então utilizaremos a fórmula
X̄ ± t α
2
·
s
√n
Para obter o valor crítico t α
2
 necessário obter o número de graus de liberdade (g.l.) que é igual a n - 1. Portanto,
g. l. = n - 1 = 25 - 1 = 24
Além disso, é preciso determinar o valor de α. Como o nível de con�ança é 90%, então α = 0, 10. Portanto, o valor crítico será
representado por
t α
2
= t 0 , 10
2
= t0 , 05
Consultando a Tabela 3, observe o valor da estatística que se encontra na linha 24 (g.l.) com a coluna da probabilidade “0,05”.
Temos, portanto,
t0 , 05 = 1, 711
Logo, o IC90 % será dado por
X̄ ± t α
2
·
s
√n
= 9, 2 ± 1, 711 ·
1 , 5
√25
= 9, 2 ± 0, 5133
ou
IC90 % : (8, 6867; 9, 7133)
Concluímos, então, com 90% de con�ança, que a verdadeira média (μ) dos tempos de montagem desse modelo de mesa pode ser
qualquer valor de 8,6867 a 9,7133 minutos, não superando, portanto, os 10 minutos.
Tabela 3 – Pontos Percentuais da Distribuição t de Student.
Intervalo da con�ança para a proporção populacional
Quando queremos estimar a proporção populacional de elementos que possuem determinada característica de estudo,
utilizaremos (como visto na aula anterior) o estimador pontual
p̂ =
X
n
em que X é a quantidade de elementos na amostra que possui tal característica e n é o tamanho da amostra.
Esse estimador tem distribuição que se aproxima da normal com média p (que é a proporção populacional) e variância
p ( 1 - p )
n
De forma simbólica,
p̂~N p,
p ( 1 - p )
n( )
Podemos então dizer que as proporções amostrais p extraídas de uma população de proporção p seguem distribuição
aproximadamente normal com média p e variância
p ( 1 - p )
n
ou desvio-padrão
p ( 1 - p )
n
Substituindo, na primeira fórmula vista do IC para a média, o valor de X pela proporção amostral p e o desvio-padrão da
distribuição amostral 
σ
n por
p̂ 1 - p̂
n
obtemos o IC1 - α · 100 % da proporção populacional p que será dado por:
√
√ ( )
p̂ - Z α
2
·
p̂ 1 - p̂
n < p < p̂ + Z α
2
·
p̂ 1 - p̂
n
ou
p̂ ± Z α
2
·
p̂ 1 - p̂
n
√ ( ) √ ( )
√ ( )
Quando se trata de IC de con�ança para a verdadeira proporção p, sempre utilizaremos Z α
2
(valor da distribuição normal padrão).
Exemplo
Diariamente, um supervisor do setor de distribuição de uma grande empresa de venda direta seleciona uma amostra aleatória de
20 caixas contendo produtos cosméticos para avaliar a presença de produtos com embalagens dani�cadas.
Num determinado dia, observou que em 16 delas não havia nenhum produto com embalagem dani�cada. Qual é o IC95 % para a
verdadeira proporção de caixas com produtos sem embalagens dani�cadas daquele dia?
Nesse caso, a proporção populacional p refere-se à proporção de caixas, daquele dia, que não contém nenhum produto com
embalagem dani�cada. Como, na amostra de 20 caixas, há 16 nessas condições, então a proporção amostral será dada por
p̂ =
16
20 = 0, 8
Como o nível de con�ança é 95%, o valor de Zα2 será simbolizado e dado por
Z α
2
= Z 0 , 05
2
= Z0 , 025 = 1, 96
Portanto, o IC95 % é
p̂ ± Z α
2
·
p̂ 1 - p̂
n = 0, 8 ± 1, 96 ·
0 , 8 ( 1 - 0 , 8 )
20 = 0, 8 ± 0, 175
Subtraindo e somando a margem de erro 0,175 (17,5%) à proporção amostral 0,8 (80%), temos:
IC95 % : (0, 625; 0, 975) ou IC95 % : (62, 5 % ; 97, 5 % )
O valor obtido para a margem de erro foi elevado porque a amostra é muito pequena para esse tipo de estimação. Se o supervisor
desejar um intervalo com maior precisão, precisará aumentar o tamanho da amostra.
√ ( ) √
Atividade
1. O fabricante de um modelo de cilindro utilizado na indústria automobilística alega que seu produto tem diâmetro médio de 28
mm com desvio-padrão de 0,6 mm. Se tais informações forem verdadeiras, a probabilidade de que uma amostra de 36 desses
cilindros apresente média entre 27,9 e 28,1 mm é, aproximadamente:
a) 95%
b) 92%
c) 90%
d) 87%
e) 84%
2. Para estimar a taxa de queima de certo tipo de combustível, um engenheiro realizou observações em uma amostra de tamanho
n = 50 e chegou aos resultados:
X = 2, 5cms;
s = 0, 17cms.
Em seguida, estimou o tempo médio real através de um IC95 % . O resultado aproximado obtido pelo engenheiro, em cm/s, foi:
a) (2,00 ; 3,00)
b) (2,40 ; 2,60)
c) (2,35 ; 2,85)
d) (2,45 ; 2,55)
e) (2,23 ; 2,77)
3. Uma empresa alega que menos que 6% das unidades de produtos que comercializa apresentam defeito de fabricação. Para
testar tal alegação, um órgão de defesa do consumidor realizou um levantamento com uma amostra aleatória de 600 unidades
comercializadas por essa empresa e constatou que apenas 30 delas apresentaram algum tipo de defeito de fabricação. Com 99%
de con�ança, os resultados permitem comprovar a alegação da empresa?Referências
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
HINES, W. W.; MONTGOMERY, D. C.; GOLDSMAN, D. M.; BORROR, C. M. Probabilidade e estatística na engenharia. Rio de Janeiro:
LTC, 2006.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Estatística: teoria e aplicações usando Microsoft Excel em português. 7.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P de. Noções de Probabilidade e Estatística. 6. ed. São Paulo: Editora da Universidade
de São Paulo, 2004.
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico de qualidade. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
Próxima aula
Testes de hipóteses;
Análise de variância.
Explore mais
Intervalo de con�ança para a proporção populacional: aplicações <https://www.youtube.com/watch?v=Kwe_jEWaXwU> ;
Intervalo de con�ança para a proporção real e tamanho da amostra - aplicação <https://www.youtube.com/watch?
v=2HORDiGaPQk> ;
Intervalo de con�ança para a média populacional e tamanho da amostra - aplicação <https://www.youtube.com/watch?
v=St3jTeJZNas> ;
Cálculo do tamanho da amostra: IC para proporção <https://www.youtube.com/watch?v=q68R6F35enA> .
https://www.youtube.com/watch?v=Kwe_jEWaXwU
https://www.youtube.com/watch?v=2HORDiGaPQk
https://www.youtube.com/watch?v=St3jTeJZNas
https://www.youtube.com/watch?v=q68R6F35enA