A demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras: um relato de uma atividade investigativa

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A demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras: um 
relato de uma atividade investigativa 
 
The geometric demonstration of the Pythagorean Theorem: an account 
of a research activity 
 
 
Regina Schroder 
 
Resumo 
 
Este artigo é um relato de uma pesquisa desenvolvida durante o Mestrado Profissional em Ensino de 
Ciências, Matemática e Tecnologias (PPGECMT) da UDESC – Joinville – SC, que tem por objetivo analisar 
o desenvolvimento dos alunos durante as atividades investigativas que envolveram a utilização das 
Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (Tablets e Computadores) e os aplicativos 
GeoGebra, Padlet e Mentimeter. Os assuntos desenvolvidos nas atividades investigativas foram a 
construção do triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras. Para a coleta de dados foram utilizados 
a observação, gravações de áudio, o registro escrito das produções dos alunos e os arquivos salvos das 
atividades desenvolvidas nos tablets no aplicativo GeoGebra. A atividade que será descrita foi aplicada 
em uma turma de 9º ano da EM P. Elizabeth Von Dreifuss de Joinville. A análise dos resultados 
demonstrou que mesmo havendo dificuldades dos alunos, eles obtiveram uma boa compreensão dos 
assuntos abordados, isso foi verificado nas discussões e apresentações do trabalho desenvolvido em 
sala de aula e uma avaliação realizada ao final do processo. 
 
Palavras Chaves: Ensino de Matemática; Atividades Investigativas; Tecnologias Digitais da Informação 
e Comunicação. 
 
Abstract 
 
 This article is an account of a research developed during the Master 's Degree in Science, Mathematics 
and Technology Teaching (PPGECMT) of UDESC - Joinville - SC, whose objective is to analyze the 
development of students during the research activities that involved the use of Technologies (Tablets 
and Computers) and the GeoGebra, Padlet and Socrative applications. The subjects developed in the 
investigative activities were the construction of the triangle rectangle and the Pythagorean Theorem. 
For data collection, observation, audio recordings, written record of student productions and saved 
files of the activities developed in the tablets in the GeoGebra application were used. The activity that 
will be described was applied in a 9th grade class of the Fr. Elizabeth Von Dreifuss of Joinville. The 
analysis of the results showed that even if there were difficulties of the students, they obtained a good 
understanding of the subjects addressed, this was verified in the discussions and presentations of the 
work developed in the classroom and an evaluation made at the end of the process. 
 
Key Words: Teaching Mathematics; Investigative Activities; Digital Information and 
Communication Technologies. 
 
 
 
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Introdução 
As Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC) são parte da sociedade 
atual e acompanham as mais variadas esferas da vida humana. Pode-se afirmar que a 
tecnologias estão cada vez mais onipresentes na sociedade e na vida dos estudantes (SKILLEN, 
2015; DRIJVERS, 2013; HEGEDUS e TALL, 2016). De acordo com Saboia, Vargas e Viva (2013, 
p. 3) a utilização destes recursos inovadores está ganhando cada vez mais espaço no meio 
escolar, assim: “as novas gerações, agora consideradas ’nativos digitais’, já incorporam tais 
dispositivos como uma extensão do lar ou de seu próprio corpo”. Dessa forma as TDIC podem 
contribuir para uma aprendizagem transformadora, pois podem ser inseridas em 
vários contextos educacionais auxiliando na associação da teoria com a prática. 
Em associação as TDIC podem ser trabalhadas as atividades investigativas. Com o 
intuito de desenvolver nos alunos o interesse pela descoberta e procurar despertar a vontade 
de “fazer matemática” para realmente compreender os conhecimentos matemáticos, Ponte, 
Brocardo e Oliveira (2016) definem as atividades investigativas: 
 
Investigar em Matemática assume características muito próprias, 
conduzindo rapidamente à formulação de -conjecturas que se procuram 
testar e provar, se for o caso. As investigações matemáticas envolvem, 
naturalmente, conceitos, procedimentos e representações matemáticas, 
mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura-teste-
de-monstração. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2016, p. 9). 
 
Segundo o autor o ensino investigativo vem apresentando resultados muito positivos 
com relação ao envolvimento do aluno, participação ativa e o desenvolvimento de 
“aprendizagem de grande alcance”, porem o autor acredita que também de grande 
importância é desenvolver outros tipos de aprendizagem e metodologias em sala de aula e 
chama a atenção para a utilização das tecnologias da informática e a criação de contextos. 
É nesse sentido que as atividades foram desenvolvidas com os alunos do 9º ano de 
uma escola municipal de Joinville. 
A seguir apresento a fundamentação teórica da metodologia que embasou a 
elaboração da presente pesquisa, os procedimentos metodológicos e a análise realizada. 
 
Fundamentação Teórica 
As tecnologias em geral possuem um elevado potencial para melhorar a qualidade de 
ensino em função do dinamismo, interatividade, possibilidade de relacionar com mais 
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facilidade o conteúdo ensinado a situações do cotidiano do aluno, permitindo a construção 
de atividades que desenvolvem a autonomia do aluno, tornando-o ativo no processo de 
ensino, entre outras vantagens (DIAS, 2015; JACON, 2014; FERREIRA, 2011; HOYLES, 2012; 
SCHUHMACHER, 2014; entre outros). Segundo Rocha (2015) as tecnologias também ganham 
destaque para desenvolver atividades de cunho investigativo. 
 Para Santos, Brocardo, Pires e Rosendo (2002) torna-se essencial realizar tarefas 
investigativas para se valorizar o aprendizado autônomo, no qual, o aluno aprende “fazendo”, 
desenvolvendo seus próprios argumentos e testando-os, procurando validar suas conjecturas 
num processo de tentativa e erro: 
 
 (...) aprender Matemática deve consistir, essencialmente, em fazer 
Matemática. De facto, considera-se importante que os alunos tenham 
oportunidades de fazer Matemática, particularmente através do trabalho 
com tarefas de natureza investigativa e exploratória vivendo, ao seu nível de 
maturidade, uma experiência com características idênticas à dos 
matemáticos profissionais. (Santos, Brocardo, Pires e Rosendo, 2002, p. 84). 
 
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2016) “investigar é descobrir relações entre 
objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas 
propriedades”. Seja em atividades simples ou mais complexas, respeitando o nível de 
maturidade do aluno. 
As atividades investigativas são também valorizadas pelos Parâmetros curriculares 
nacionais, que abordam a importância de elaborar e testar hipóteses, permitindo ao aluno 
realizar generalizações para se obter uma melhor compreensão do conteúdo a ser aprendido. 
 
A partir da observação de casos particulares, as regularidades são 
desvendadas, as conjecturas e teorias matemáticas são formuladas. (...) O 
exercício da indução e da dedução em Matemática reveste-se de importância 
no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, de formular e 
testar hipóteses, de induzir, de generalizar e de inferir dentro de 
determinada lógica, o que assegura um papel de relevo ao aprendizado dessa 
ciência em todos os níveis de ensino. (NACIONAIS, 1998, p. 26). 
 
De acordo como os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p.37) um bom 
aprendizado em matemática poderá ser obtido quando se valorizar participação ativa do 
aluno em seu processo de aprendizagem, “o aluno é agente da construção do seu 
conhecimento”, é neste sentido que Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 17) afirmam: “Na 
disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo 
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do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem”. Uma das maneiras de estimular a 
participação ativa do aluno poderá ser por meio de atividades investigativas,nestas atividades 
o aluno é convidado a pensar como um investigador com o objetivo de procurar padrões e 
relações entre os conteúdos matemáticos e descobrir caminhos para a resolução de um 
problema. 
As atividades de investigação, entre outras estratégias, são também evidenciadas pela 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC) por favorecerem o desenvolvimento de habilidades 
e competências que potencializam o ensino por estimularem a elaboração de conjecturas, a 
formulação hipóteses e a resolução de problemas 
 
Os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de 
desenvolvimento de projetos e da modelagem podem ser citados como 
formas privilegiadas da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao 
mesmo tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de todo o 
Ensino Fundamental. (BRASIL, 2016, p. 223, grifo nosso). 
 
As atividades de investigação matemática permitem o desenvolvimento de diferentes 
estratégias para a resolução de um problema, não há um único caminho para o resultado, o 
aluno pode desenvolver diversas alternativas, criar conjecturas e testá-las, não há como 
determinar o caminho que o aluno irá seguir, mesmo que todos partam de um mesmo ponto 
inicial, o que torna essencialmente rico as discussões dos processos e dos resultados obtidos 
pelos alunos ao final da atividade. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2016) o processo 
de investigação não se limita a fase de elaboração e teste de hipóteses: 
 
O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de 
questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também 
na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus 
colegas e o professor. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2016, p. 17). 
 
 
Conforme afirma Brocardo (2001, p. 92) o ensino da matemática deve ocorrer 
prioritariamente por investigações “a investigação é uma actividade [sic passim] central e o 
ensino da Matemática deve dar relevância à realização de actividades de investigação por 
parte dos alunos.” O autor analisa diversos trabalhos que envolvem resolução de problemas 
e situações problemáticas que apresentam uma visão global da investigação em educação 
matemática e menciona que embora a dificuldade exista na maioria dos casos, principalmente 
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no início das atividades, percebe-se um maior envolvimento do aluno na realização dos 
problemas propostos, permitindo um maior distanciamento do professor e 
consequentemente maior independência do aluno. (BROCARDO, 2001) 
Brocardo (2001) descreve que nos processos que envolvem investigações matemática, 
o aluno é convidado a agir como um verdadeiro matemático profissional, investigando, 
formulando questões, testando-as, e estas etapas estão interligadas, sendo algumas vezes 
necessário reformular hipóteses e novamente testa-las: 
 
Assim, investigar significa formular boas questões e usar processos e 
conhecimentos matemáticos que permitam tomar decisões sobre essas 
questões. Esta actividade envolve diversos processos matemáticos – 
formulação de questões, formulação de conjecturas, teste de conjecturas, 
prova das conjecturas que resistiram a sucessivos testes – que interagem 
entre si. (BROCARDO, 2001, p. 100). 
 
Braumann (2002) também destaca a importância de se trabalhar com atividades 
investigativas, segundo o autor as atividades investigativas oportunizam aos alunos uma 
maior compreensão dos conteúdos ensinados, pois nesse processo o aluno é levado a um nível 
maior de desenvolvimento se comparado ao aluno passivo receptor de informações, esse 
processo de “ver fazer e fazer” é fundamental no ensino da matemática. 
 
Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já 
feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível 
adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente 
perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo 
e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente dominar os 
conhecimentos adquiridos. (BRAUMANN, 2002, p. 5). 
 
As atividades investigativas, conforme afirmam Ponte, Brocardo e Oliveira (2016) são 
desenvolvidas em três passos, em uma ou mais aulas: 
 
(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, 
oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos 
pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos 
resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado. 
(PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2016, p. 20) 
 
Na fase inicial o professor deverá deixar claro o objetivo da aprendizagem, explicando 
que sempre que preciso o professor estará lá para lhe apoiar, mas quem deverá 
essencialmente conduzir a atividade será o aluno. O professor também será responsável por 
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criar um ambiente onde o aluno se sinta à vontade e seguro para discutir suas ideias com seus 
colegas e o professor. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2016). 
Na segunda fase é essencial deixar tempo suficiente para os alunos fazerem 
conjecturas e discutirem as possibilidades de resolução e buscarem regularidades, se 
necessário o professor poderá interferir para auxilia-los a expressarem suas ideias. Nesta fase 
o aluno também deverá testar as hipóteses elaboradas e registra-las justificando-as, pois de 
acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 24) “É somente quando se dispõem a registrar 
as suas conjecturas que os alunos se confrontam com a necessidade de explicarem as suas 
ideias e estabelecerem consensos um entendimento comum às suas realizações.” E o último 
passo dessa fase é provar suas conclusões criando generalizações. (PONTE, BROCARDO e 
OLIVEIRA, 2016). 
Na terceira fase os alunos devem expor as suas conclusões em uma apresentação à 
turma. É um momento onde os alunos discutem, analisam suas conclusões, comparam com 
as dos outros grupos, há um confronto das estratégias e das conjecturas elaboradas pelos 
grupos com o objetivo de alcançarem um consenso comum. No desenvolver desse processo 
o professor desempenha o papel de moderador, conforme afirma Ponte, Brocardo e Oliveira 
(2016, p. 29): “O professor deve garantir que sejam comunicados os resultados e os processos 
mais significativos da investigação realizada e estimular os alunos a questionarem-se 
mutuamente.” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2016). 
 
Procedimentos Metodológicos 
 As atividades elaboradas foram desenvolvidas em 8 aulas, sendo 2 aulas para a 
construção do triângulo retângulo (figura 1), 3 aulas para a demonstração geométrica do 
Teorema de Pitágoras (figura 7), 2 aulas para a socialização e apresentação dos resultados 
(figura 11) e uma aula para um teste rápido realizado no aplicativo Socrative. Cada aula teve 
a duração de 48 min. As atividades foram desenvolvidas em duplas ou trios, em que cada 
grupo dispunha para a utilização: um ou dois tablets todos com os aplicativos GeoGebra, 
Padlet e Mentimeter, além de réguas, esquadros, papel quadriculado, e sulfite para exporem 
suas ideias. Ao final de todas as atividades os alunos, com o auxílio da professora e do 
aplicativo Padlet, socialização e discutiram as conclusões elaboradas. 
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 As atividades exploratórias envolveram os assuntos de triângulo retângulo e o 
Teorema de Pitágoras. Todas as atividades foram realizadas no tablet com o aplicativo 
GeoGebra. As atividades exploratórias tiveram por objetivo abordar o teorema de Pitágoras, 
numa perspectiva de trabalho investigativo e em grupo, possibilitando ao aluno o 
desenvolvimento da aprendizagem. 
 É importante destacar que os alunos foram inicialmente preparados para desenvolver 
as atividades com duas aulas prévias para aprenderem a utilizar o aplicativo GeoGebra para 
que a aprendizagem não fique ofuscada pelas dificuldades técnicas de utilização dos 
comandos do software. 
Conforme relatado as atividades foram desenvolvidas com o auxílio de três aplicativos: 
Mentimeter, Padlete GeoGebra, que serão descritos a seguir. 
O Mentimeter é um aplicativo que pode ser utilizado tanto no computador quanto em 
dispositivos móveis, possui a versão free e a versão paga. Não possui a versão em Português. 
Projetado para ser utilizado em tempo real na sala de aula. Com este aplicativo pode-se 
elaborar questões para serem respondidas no decorrer das aulas e em seguida analisar as 
repostas obtidas por meio de gráficos e tabelas, realizar competições com perguntas rápidas, 
entre outras opções. 
O Padlet é um recurso que permite a elaboração de diversos quadros informativos e 
interativos, pode ser acessado por computador, tablet e smartphone. É possível de forma 
individual ou colaborativa desenvolver murais com textos, fotos, links e vídeos. Os alunos 
podem utilizar para organizar pesquisas, e informações sobre determinado assunto, sendo 
possível disponibilizar um link para o acesso dos demais, ou ainda, disponibilizar que os outros 
alunos contribuam com a pesquisa inserindo mais informações. 
O software GeoGebra é gratuito que possui uma interface bastante amigável e que 
proporciona excelente visualização e interação entre suas janelas geométrica e algébrica, que 
se apresentam como forte instrumento para o estudo. Uma das principais vantagens é a 
possibilidade de trabalhar a geometria dinâmica de uma forma bem diferenciada que facilita 
a visualização. O software possibilita a construção de tabelas e gráficos, com diversos recursos 
que permite a análise a exploração de todas as características do produto estudado. Com este 
software é possível trabalhar diversos conteúdos matemáticos pois associa a parte algébrica, 
gráfica, tabelas e informações estatísticas em um único sistema. 
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Dessa forma com a utilização destes aplicativos foi desenvolvido um sequencia didática 
investigativa com a utilização das TDIC (tablets, computares e louça digital). 
 
Atividades Efetivadas e Análise dos Dados Emergentes 
 
Na atividade exploratória que abordou a construção de um triângulo retângulo os 
alunos deveriam construir um triângulo retângulo, no GeoGebra, de maneira que as suas 
propriedades não se alterassem ao movê-lo (figura 1). Para que isso seja possível os alunos 
foram organizados em pequenos grupos (2 a 3 alunos) para discutirem, relembrarem as 
características dos triângulos e analisarem alternativas para a construção de um triângulo 
retângulo. 
 
Figura 1: Atividade exploratória: construindo triângulos retângulos. 
 
Fonte: Da autora. 
 
Inicialmente os alunos construíram um triângulo retângulo usando apenas segmentos 
de reta, a maioria dos alunos possuía o conceito de triângulo retângulo como um triângulo 
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que possui um ângulo de 90o, e o construíram rapidamente com segmentos de retas ou com 
a ferramenta polígono no GeoGebra, dessa forma, quando solicitado para medirem os ângulos 
internos alguns grupos perceberam que seus triângulos não eram retângulos, como foi 
observado na equipe 2 (figura 2), ao observar que a equipe estava sem ação, intervi: 
 
Professora: O que é um triângulo retângulo? 
A4: É um triângulo que tem um ângulo de 90o. 
Professora: E este que vocês construíram é um triângulo retângulo? 
A5: É quase, mas passou um pouquinho de 90o 
Professora: Quase? Mas, este triângulo é retângulo ou não? 
A4: Não 
 
Figura 2: Primeira tentativa da equipe 2 para a construção do triangulo retângulo. 
 
Fonte: Da autora. 
 
 Neste momento o aluno corrigiu o triângulo para que se tornasse retângulo, sem se 
preocupando ainda em utilizar alguma ferramenta para que o triângulo não se alterasse. Ao responder 
a pergunta 4, encontraram novamente dificuldades, pois não compreenderam corretamente a 
pergunta, então interferi novamente. 
 
Professora: Mas se vocês quiserem mudar as medidas dos lados deste triângulo, o que acontecerá com 
os ângulos? 
A: Eles irão mudar, ta, já sei, não teremos um triângulo retângulo 
P: Então, o que é necessário para que sempre se tenha um triângulo retângulo, independente das 
medidas dos lados e das alterações no tamanho que se realize? 
 
Neste momento me afastei e deixei elas discutirem. Minutos depois elas me chamaram novamente e 
me colaram as suas conclusões: 
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A4: sabemos que duas retas devem estar sempre a mesma distância, no mesmo ângulo, (apontando 
para os segmentos AB e AC), mas não sabemos como manter isso sempre. 
Professora: O que vocês conhecem que sempre tem um ângulo de 90o? 
 
Rapidamente um aluno respondeu: 
 
A4: O quadrado! 
Professora: Sim, é uma das possibilidades, mas como construir um quadrado e com ele um triângulo 
retângulo? 
A5: O triângulo é fácil, se eu tiver um quadrado é só passar uma diagonal no meio e teremos dois 
triângulos 
Professora: Então tente 
 
E o resultado obtido pode ser observado na figura 3, dois triângulos retângulos 
construídos com a ferramenta Polígono Regular. Embora o triângulo construído fosse sempre 
isóscele, os alunos compreenderam corretamente o conceito de triângulo retângulo. 
 
Figura 3: triangulo retângulo construído a partir do quadrado pela equipe 2. 
 
Fonte: Da autora. 
 
A equipe 1, iniciou construindo um triângulo retângulo com a ferramenta polígono e 
ao medir o ângulo interno verificaram que o triangulo era retângulo, porém quando foram 
responder a pergunta 4 da atividade para verificar se ao movimentar ele continuava retângulo, 
chegaram a um empasse, conforme pode ser verificado na conversa da equipe 1: 
O aluno lê a pergunta “Movimente os vértices desse triângulo, ele continua retângulo? 
Explique.”, e responde ao grupo. 
 
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A1: Depende se movimentar para os lados e para cima, sem mexer no ângulo de 90º, sim. 
A2: É, mas será que é isso? 
 
Era visível a insegurança no início da atividade, acostumados com a certeza de um 
encaminhamento do professor, verificou-se uma dificuldade dos alunos em desenvolverem 
esse tipo de atividade. Nesse momento intervi e solicitei que eles retirassem a marcação do 
ângulo no interior do triângulo e alterassem o tamanho do triângulo construído. Dessa forma 
sem a marcação dos ângulos tornou mais difícil movimentar de forma que ele continuasse 
sempre um triângulo retângulo. Então após movimentarem solicitei que novamente eles 
marcassem os ângulos internos, e o que eles verificaram foi que o triângulo não era mais 
retângulo, conforme pode ser observado na figura 4. 
 
Figura 4: Construção do triângulo retângulo da equipe 1. 
 
Fonte: Da autora. 
 
Nesse momento os alunos compreenderam o propósito da atividade: 
 
A1: Haa, ta, entendi, de qualquer maneira que mexer não pode sair esse ângulo de 90o... 
Professora: Sim, sem que as propriedades do triângulo se alterem. 
 
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E então me afastei para dar a liberdade aos alunos pensarem em alternativas para 
alcançarem o objetivo. E a solução que eles encontraram foi a de construir um triângulo 
retângulo centrado no plano cartesiano (eixo x e y). a solução que eles encontraram também 
estava correta, e nesse caso os alunos poderiam movimentar as mediadas dos lados e o 
triângulo ainda assim seria retângulo. Chamo atenção neste momento para a imagem mais 
comum que o aluno tem para os triângulos retângulo, ou seja, sempre com dos catetos na 
horizontal, dessa forma o triângulo obtido por essa equipe pode ser observado na figura 5. 
 
Figura 5: Construção do triangulo retângulo centrado nos eixos do plano cartesiano, 
equipe1. 
 
Fonte: Da autora. 
 
Porém mesmo com a construção do triângulo retângulo correta, instiguei os alunos a 
construírem um triângulo retângulo que pudesse ser movimentado para qualquer lugar do 
plano. Após algum tempo, muita discussão entre os integrantes da equipe e consulta nos 
materiais prévios disponibilizados nas aulas de familiarização com o software, os alunos 
construíram um triângulo com retas perpendiculares, como pode ser observado na figura 6. 
 
 
 
 
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Figura 6: Construção do triânguloretângulo com retas perpendiculares, equipe 1. 
 
Fonte: Da autora 
 
Dessa forma os resultados obtidos nessa atividade se dividiram em 4 maneiras 
diferente: 1) Construção do triângulo retângulo a partir de um quadrado; 2) Construção de 
um triângulo retângulo centrado nos eixos do plano cartesiano; 3) Construção do triângulo 
retângulo por retas perpendiculares e 4) Construção do triângulo retângulo sem regras 
específicas para manter o ângulo de 90o fixo. 
Duas equipes construíram o triângulo conforme o caso 4, porém verificou-se que a 
socialização dos resultados das outras equipes foi bem proveitosa, acreditasse que eles 
tenham conseguido compreender o sentido da atividade e embora eles não tivessem 
construído o triângulo nos casos 1, 2 ou 3, eles compreenderam a definição de triângulo 
retângulo. 
Essas duas equipes tiveram uma maior dificuldade na atividade exploratória sobre o 
Teorema de Pitágoras (figura 7) que ocorreu nas aulas seguintes. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 7: Atividade exploratória: Teorema de Pitágoras. 
 
Fonte: Da autora. 
 
 Nesta atividade foi mais demorada que a anterior por ser mais aberta e requerer uma 
maior investigação e estudo dos argumentos elaborados por parte dos alunos, conforme 
requer as atividades investigativas abordadas pelos autores Ponte, Brocardo e Oliveira (2016) 
e outros já citados anteriormente. 
 Para desenvolver a questão 9 da folha os alunos adotaram diferentes técnicas e 
procedimentos, eles tentaram encontrar relações entre os lados realizados cálculos de soma, 
adição, subtração, multiplicação, raiz quadrada, potência, cálculos de perímetro e área, foi 
realmente um trabalho de investigação. Para facilitar os cálculos após verificar que os 
números decimais estavam dificultando o processo, os orientei a deixarem os lados com 
medidas exatas, o que facilitou o processo. 
 Ao final os resultados foram apresentados de três maneiras diferentes: 1) 
Demonstração do Teorema de Pitágoras por áreas de retângulos separados, no GeoGebra 
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(figura 8); 2) Demonstração do Teorema de Pitágoras por área de retângulos associados, no 
GeoGebra (figura 9); 3) Demonstração do Teorema de Pitágoras pela área de retângulos 
construídos com papel quadriculado (figura10). 
 
Figura 8: Demonstração do Teorema de Pitágoras por área de retângulos separados, no 
GeoGebra, equipe 5. 
 
 
 
 
Fonte: Da autora. 
 
Figura 9: Demonstração do Teorema de Pitágoras por área de retângulos associados, no 
GeoGebra. 
 
Fonte: Da autora. 
 
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Figura 10: Demonstração do Teorema de Pitágoras pela área de retângulos construídos com 
papel sulfite e quadriculado. 
 
Fonte: Da autora. 
 
 Ao fim das atividades descritas os alunos apresentaram suas conclusões com o auxílio 
do aplicativo Padlet. Com este aplicativo inicialmente organizei as imagens e os arquivos em 
um mural (figura 11), dessa forma era possível visualizar as diferentes ideias elaboradas e cada 
um pode expor suas conjecturas e conclusões realizadas de forma fácil e dinâmica, houve uma 
discussão muito rica e extremamente importante para a finalização do trabalho. 
 Neste mural interativo também inseri outras demonstrações geométricas do teorema 
de Pitágoras e também alguns vídeos e exemplos de exercícios resolvidos com o teorema de 
Pitágoras, o link deste Padlet foi disponibilizado aos alunos que o acessaram e acompanhavam 
o mural nos tablets, juntamente com o que eles visualizavam na projeção da lousa digital na 
sala de aula. 
 Após esta etapa os alunos foram encorajados a pesquisarem mais sobre Pitágoras, o 
seu teorema e suas realizações e sugeri que eles completassem o Padlet com as suas 
pesquisas, os alunos ficaram extremamente animados em trabalhar em conjunto (alunos e 
professor) para desenvolvermos ao final um único mural interativo. 
 
 
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Figura 11: Mural interativo utilizado para realizar a socialização dos resultados. 
 
Fonte: Da autora. 
 
Conclusão 
 
 Este trabalho foi realizado com o objetivo de analisar o desenvolvimento dos alunos 
em atividades investigativas, percebeu-se que as maiores dificuldades estavam no início das 
atividade, pois os alunos estavam acostumados a contar com encaminhamentos mais de perto 
do professor, ao me distanciar, oportunizei aos alunos caminharem com as próprias pernas e 
a desenvolverem seu aprendizado, obtendo assim uma melhor visualização do desempenho 
dos alunos permitindo a eles uma oportunidade de aprender de forma mais significativa, 
aprender fazendo. 
As atividades desenvolvidas foram classificadas pelos alunos com um grau elevado de 
dificuldade, porém ao final estavam todos entusiasmados em compartilhar os resultados 
obtidos e por serem considerados como investigadores. De certo modo pude perceber que 
mesmo com algumas dificuldades (uns alunos mais que outros) se sentiram valorizados pois 
sempre os incentivava e por repetidas vezes lhe dizia que eles conseguiriam, se uma estratégia 
não desse certo eles deveriam pensar de um jeito diferente e elaborar outras hipóteses, assim 
a cada passo realizado ouvia com grande animo “consegui”. 
 A avaliação realizada ao final da socialização demonstrou que a maioria dos alunos 
conseguiram resolver corretamente a atividade que envolvia o Teorema de Pitágoras, 
demonstrando resultados positivos. 
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 Por fim destaco a importância da socialização dos resultados pois é o momento onde 
os alunos exploram as atividades desenvolvidas mostrando seus erros e acertos e defende a 
sua conclusão final. Para alguns o momento onde tornam-se claras algumas dúvidas que ainda 
persistiram. É interessante perceber no desenvolvimento dos alunos algumas das ideias 
diferentes na qual não esperava e me surpreender também neste momento, sendo um bom 
momento para o professor refletir e analisar os alunos. 
 
Referências 
 
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Proposta preliminar. 
Segunda versão revista. Brasília: MEC, 2016. Disponível em: 
<http://basenacionalcomum.mec. 
gov.br/documentos/bncc-2versao.revista.pdf>. Acesso em: 25 ago. 2017. 
 
BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na aprendizagem 
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