01-FundamentosdaMatematicaI

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FUNDAMENTOS
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MATEMÁTICA I
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Sumário
Elementos da Lógica e Teoria dos Conjuntos 8
Noções de Lógica Matemática 8
1.1 Termos e Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Negação de uma Proposição Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Modificadores e Conectivos: Proposições Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Disjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Resumo das Proposições Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Negação de Proposições Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Disjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Sentenç as Abertas ou Funç̃oes Proposicionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Quantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Negação de Proposições Quantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Notas Sobre Uma Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Elementos da Teoria dos Conjuntos. Conjuntos Numéricos 25
Teoria dos Conjuntos 25
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Conjuntos. Operações Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Notação de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 A Relação de Inclusão. Igualdade entre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Reunião, Interseção e Diferenç a de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Propriedades da Reunião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.2 Propriedades da Interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3 Número de Elementos da União de Dois Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Conjuntos das Partes. Partição de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Conjuntos Numéricos 36
2.9 A Necessidade de Contar - Linguagens Usadas para Contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10 Os Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 Os Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
Fundamentos da Matemática I
2.12 Os Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12.1 Tipos de Frações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12.2 Representação Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.13 Os Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.14 Os Números Reais . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.14.1 Propriedades dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.14.2 Relação de Ordem e Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.14.3 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.15 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Grandezas e Relações 48
Expressões Algébricas. Equações; Inequações do 1◦ grau; Grandezas Propor-
cionais. 48
Expressões Algébricas 48
3.1 Equações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Resolução da Equação do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Equações Produto e Equações Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Sistemas de Equações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 Resolução do Sistemas de Equações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Inequações do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Razões e Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Grandezas Proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Regra de Três Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Regra de Três Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Equações; Inequações do 2◦ grau. Relações e Funções. 67
Equações e Inequações do 2◦ Grau 67
4.1 Equações do 2◦ Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 A Forma Canônica do Trinômio ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.2 Uma aplicação interessante da equação de 2◦ grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.3 Fatoração do Trinômio ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Inequações do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Inequação Produto e Inequação Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Relações e Funções 75
4.4 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Par Ordenado e Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 Relação Binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 O Gráfico de uma Função Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Atividade Orientada 86
4
5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Glossário 89
Referências Bibliográficas 90
5
Fundamentos da Matemática I
Apresentação de Disciplina
No inı́cio da civilização toda a técnica matemática necessária era uma linguagem
para efetuar contagem. Nesse caso, a idéia de números estava associada a algo con-
creto. Com o passar do tempo alguns povos desenvolveram cálculos mais complexos
que lhes permitiriam construir prédios, ou mesmo refazer as demarcações de áreas que
eram perdidas durante as cheias periódicas de rios. Assim, surgiu a necessidade de
operar com números, que passaram a ser tratados como entes abstratos.
Um dos principais estudiosos dessa nova forma de tratar com os números foi
Pitágoras de Samos, que viveu no século VI a.C. Pitágoras tinha conhecimento de que
os egı́pcios e os babilônios faziam seus cálculos na forma de receitas, seguidas cega-
mente através. Ele, então, passou a apreciar os números pelas suas caracterı́sticas
próprias e estudou suas propriedades, suas relações e padrões, concluindo que os
números existiam independentemente das incertezas da percepção que os originava.
Percebendo que os números estavam ocultos em tudo, das harmonias da música até
as órbitas dos planetas proclamou que tudo é número.
Para ter certeza dos resultados do seu estudos, Pitágoras desenvolveu e usou a
prova cientı́fica, ou prova matemática, ou prova absoluta. A idéia dessa demonstração
matemática clássica começ a com uma verdade evidente, e atrav́es de vários passos de
argumentação lógicas se chega a uma conclusão inegável. É assim que se desenvolve
a matemática.
Neste trabalho abordaremos elementos de lógica, elementos da teoria dos con-
juntos e conjuntos numéricos, grandezas e relações entre conjuntos. É evidente que
não será possı́vel fazer um estudo completo sobre esses temas. Contudo, procuramos
um ponto de partida coerente, e então, desenvolvermos os assuntos tendo sempre em
mente que o objetivo dessa disciplina, a que se destinam estas notas, é fornecer ao
estudante uma complementação/formação para seu trabalho de futuro licenciado em
Matemática, além disso, fornecer uma linguagem própria da matemática indispensável
para a continuidade neste curso.
Prof. Adriano Pedreira Cattai.
6
Elementos da Lógica e Teoria
dos Conjuntos
Noções de Lógica Matemática
Lógica é o conjunto de estudos tendentes a expressar em linguagem matemática as estruturas e ope-
rações do pensamento, deduzindo-as de número reduzido de axiomas, com a intenção de criar uma lin-
guagem rigorosa, adequada ao pensamento cientı́fico tal como o concebe a tradição empı́rico-positivista.
Para compreender bem as definições e teoremas que constituem as teorias matemáticas, cujo estudo
se estenderá por todo o curso, é indispensável habituarmo-nosa usar uma linguagem mais precisa e
rigorosa do que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisição desse hábito pode ser muito facilitada
pelo recurso a algumas noções e sı́mbolos da Lógica Matemática, dos quais indicaremos nesta seção,
de forma muito resumida e largamente baseada na intuição. Convém, no entanto, observar que a Lógica
Matemática tem hoje aplicações extremamente importantes, em diversos domı́nios; uma das mais notáveis
é, sem dúvida, a sua utilização no planejamento dos modernos computadores eletrônicos.
Antes de iniciarmos com notações e definições, vejamos o seguinte:
Ilustração 1. (Circuitos Elétricos)
Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dos dois
estados, “ligado (fechado)” ou “desligado (aberto)”. Sendo assim, sejam A e B dois interruptores elétricos.
Eles podem ser ligados, por fios em série ou em paralelo, como segue, respectivamente:
B
B
Suponhamos que
A ∨ B e A ∧ B
designam, respectivamente, que A e B estão ligados em série e em paralelo.
No estado “ligado” (que indicaremos por 1), o in-
terruptor permite que a corrente passe através do
ponto; enquanto que no estado “desligado” (que indi-
caremos por 0) nenhuma corrente pode passar pelo
ponto.
A B A ∧ B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
A B A ∨ B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
7
Fundamentos da Matemática I
De posse das tabelas acima podemos decidir quando há passagem de corrente em cada um dos
circuitos. De fato, haverá passagem de corrente em A∧B se A e B estiverem ligados, e haverá passagem
de corrente em A ∨ B se pelo menos um estiver ligado.
Cada uma das tabelas que acabamos de ver é denominada de tabela verdade. Veremos que A∧B (lê-
se: A e B) e que A∨B (lê-se: A ou B) são combinações de duas proposições, respectivamente, Conjunção
e Disjunção.
1.1 Termos e Proposições
A linguagem usada na matemática, como qualquer outra linguagem, compreende designações (também
chamadas nomes ou termos) e proposições lógicas (ou simplesmente proposições, ou sentenç as ĺogicas).
As designações servem para indicar determinados objetos matemáticos: números, pontos, conjuntos,
funções, operações, figuras geométricas, etc. As proposições exprimem afirmações, que podem ser ver-
dadeiras ou falsas.
Como exemplos de designações registramos as seguintes:
7, 3 + 4, (2 − π)3, N, R.
Observe que as duas primeiras designações referem-se ao mesmo objeto: são designações equivalentes;
para indicar que duas designações, a e b, são equivalentes, escreve-se usualmente a = b. Como exemplos
de proposições (as duas primeiras verdadeiras, as demais falsas) podemos indicar:
7 = 4 + 3, 3 < 10, 3− 1 = 1 − 3,−42 = 42.
Lei do Terceiro Exclu ı́do. Uma proposiç̃ao, quanto ao seu valor lógico, é necessariamente
verdadeira (V) ou falsa (F), isto é, verifica-se sempre um destes dois casos.
Lei da Não-Contradição. Uma proposição não pode assumir valor lógico verdadeiro e falso ao
mesmo tempo.
A validade (indicado por V ) ou falsidade (indicado por F ) de uma proposição chama-se de valor lógico.
Duas proposições p e q dizem-se equivalentes quando têm o mesmo valor lógico. Simbolicamente, es-
crevemos p ⇔ q. Por exemplo, são equivalentes as proposições
5 < 0 e 12 = −12.
Nota 1. Alguns autores costumam indicar a validade de uma proposição com “1” no lugar de V,
e “0” no lugar de F.
São proposições Não são proposições
p: Salvador é a capital da Bahia. (V) “x + 5 < 2.”
q: Todo homem é imortal. (F) “três mais cinco” (3+5).
r : O céu é cor de rosa. (F) “O dia está bonito”.
s: A soma de dois números pares é um número par. (V) “x é um número real”.
8
1.1.1 Negação de uma Proposição Simples
Dada uma proposição p, outra proposição, denominada negação de p, pode ser formulada escrevendo-
se “é falso que . . . ” antes de p ou, se possı́vel, inserindo em p a palavra não. Simbolicamente, a negação
de p é designada por ∼ p, e lê-se: não p. Por exemplo, “é falso que o pássaro canta”, e “o pássaro não
canta” são negações para a proposição “o pássaro canta”. Outro exemplo, “é falso que 2 + 2 = 5”, e
“2 + 2 6= 5” são negações para “2 + 2 = 5”. É evidente que, para toda a proposição p, se tem:
∼ (∼ p) ⇐⇒ p.
1.2 Modificadores e Conectivos: Proposições Compostas
Cada uma das proposições que exemplificamos até aqui, contém uma única afirmativa. Por isso,
chamamos de proposição simples. Freqüentemente, porém, precisamos lidar com sentenç as mais re-
buscadas, formuladas como combinação de proposições, que são as proposições compostas. Observe os
exemplos:
p: Victor gosta de Matemática. q: Victor gosta de Lı́ngua Portuguesa.
Compare, agora, com:
r : Victor gosta de Matemática e também de Lı́ngua Portuguesa.
s: Victor gosta quer de matemática, quer de Lı́ngua Portuguesa.
t: Victor gosta de Matemática, mas não de Lı́ngua Portuguesa.
Observe que r , s e t são proposições formadas por duas outras proposições simples unidas pelas
palavras “e”, “ou” e “e”, respectivamente. Simbolicamente, escrevemos:
r : p ∧ q s : p ∨ q t : p∧ ∼ q.
Os sı́mbolos lógicos ∧ (lê-se ‘e’) e ∨ (lê-se ‘ou’) denominamos conectivos. A partir de proposições
simples, com o emprego desses conectivos, podemos construir novas proposições, que são denominadas
proposições compostas. Vejamos as proposições compostas separadamente.
1.2.1 Conjunção
Como vimos, duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma
proposição composta, que chamamos de conjunção das proposições originais e, simbolicamente, repre-
sentamos com o sı́mbolo “ ∧ ”.
Exemplo 1.1. Considere as proposições simples p, q, r e s e com base em seus valores lógicos observe
o valor lógico das proposições p ∧ q e r ∧ s.
p: 2 > 0 (V)
q: 2 6= 1 (V)
p ∧ q: 2 > 0 e 2 6= 1 (V)
r : 2 > 0 (V)
s: 2 = 1 (F)
p ∧ q: 2 > 0 e 2 6= 1 (F)
9
Fundamentos da Matemática I
Tendo em vista este exemplo, podemos estabelecer a seguinte propriedade:
A conjunção p ∧ q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for
falsa, então p ∧ q é falsa.
Resumimos esses critérios na tabela verdade ao lado, em que são
examinadas todas as possibilidades para p e q.
Observe que a primeira linha é uma maneira abreviada de dizer que se
p é verdadeiro e q também, p ∧ q é então verdadeiro. As outras linhas são
análogas.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
1.2.2 Disjunção
Combinando duas proposições quaisquer com a palavra “ou” formamos uma proposição composta, que
chamamos de disjunção das proposições originais e, simbolicamente, representamos com o sı́mbolo “∨”.
Exemplo 1.2.
p: 4 é par (V)
q: 1 é ı́mpar (V)
p ∨ q: 4 é par ou 1 é ı́mpar (V)
Exemplo 1.3.
p: 4 é par (V)
q: 1 é par (F)
p ∨ q: 4 é par ou 1 é par (V)
Tendo em vista esses dois exemplos, podemos estabelecer a seguinte propriedade:
A disjunção p ∨ q é verdadeira se ao menos umas das proposições p ou
q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p ∨ q é falsa.
Esse critério, resumimos na tabela verdade ao lado, em que são examinadas
todas as possibilidades para p e q.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Nota 2. Pode-se definir, de forma análoga, a conjunção e a disjunção de proposições com-
postas formadas por mais de duas proposições simples. Por exemplo, a conjunção das
proposições p, q, r , . . . consiste na afirmação de que todas essas proposições são verdadeiras
e é, portanto, uma proposição falsa se uma das proposições p, q, r , ... o for.
Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de out-
ros sı́mbolos lógicos chamados condicionais: o condicional “se, . . . então . . . ” (sı́mbolo →) e a bicondicional
“. . . se, e somente se, . . . ” (sı́mbolo ↔). Vejamos então, cada uma, separadamente.
1.2.3Condicional
Vejamos a seguinte expressão: “Peter canta todos os dias ao amanhecer ”. O que se pode, com certeza,
afirmar sobre Peter? Ele canta ópera ou samba? Como nada foi dito sobre o estilo musical, nada podemos
dizer a este respeito. Talvez Peter nem cante ópera e nem samba, pois, Peter pode ser um pássaro. E
este é o caso. Peter é o pássaro do zelador da escola Crescendo para a Vida. O que, porém, se pode
afirmar, com certeza, é que essa criatura, não importando quem seja, necessariamente, vive (ou está
vivo). Diremos, então, neste caso, que a premissa p: “Peter cantava todos os dias ao amanhecer ” conduz
10
à conclusão s: “Peter está vivo”. Simbolicamente, escrevemos:
p → q.
O sı́mbolo ‘→’, que introduzimos aqui, é um condicionante e, dadas duas proposições p e q, dizemos
que “se p, então q”.
O valor verdadeiro da condicional p → q satisfaz a seguinte propriedade:
O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso
contrário, p → q é verdadeiro.
Resumimos esse critério na tabela verdade ao lado, em que são examinadas todas
as possibilidades para p e q.
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Nota 3 (Implicação Lógica). Considere os sı́mbolos ‘→’ e ‘⇒’. Observe que p → q é apenas
uma proposição e que sua tabela verdade poderá conter tanto V quanto F na última coluna.
Dizemos que p implica q (p ⇒ q), se a condicional p → q nunca ocorrer o caso V → F , ou
seja, único em que a condicional é falsa. Em outras palavras, p ⇒ q se a condicional p → q
apresentar na sua tabela verdade apenas V na última coluna.
A partir da Nota 3, retomando o exemplo inicial e considerando as seguintes proposições:
p: Peter canta todos os dias ao amanhecer;
q: Peter está vivo;
r : Peter está morto.
temos: p → q (V) e p → r (F). Logo, somente p ⇒ q.
Há várias maneiras de formular uma proposição desse tipo, e ao lê-las, tenha sempre em mente o
conteúdo ou teor das proposições integrantes:
� Se p é verdade, então q é verdade.
� q segue de p.
� p é uma condição suficiente para q.
� q será verdadeira se p for verdadeira.
� É impossı́vel termos, ao mesmo tempo, p verdadeira e q falsa.
� Se q for falsa, então p também será falsa.
1.2.4 Bicondicional
Vimos acima que “se Peter canta todos os dias ao amanhecer, então ele está vivo”. Obviamente, não
faz sentido afirmar o inverso ou recı́proco desta proposição, isto é, não vale dizer “se Peter está vivo, então
ele canta todos os dias ao amanhecer ”. Em outras palavras, dizer que p implica q não necessariamente
equivale a afirmar que q implica p. Aliás, deve-se concordar que uma afirmação e sua recı́proca são, com
freqüência, coisas bem diferentes. Em certos casos, porém, as proposições p e q são equivalentes, de tal
modo que se implicam mutua e reciprocamente. Como exemplo, considere as proposições:
11
Fundamentos da Matemática I
p: x é um número par; q: este número x é divisı́vel por 2.
É claro que vale dizer que “se p é verdade, então q é verdade” e, reciprocamente, “se q, então p”. Em
outros termos, as proposições ‘p’ e ‘q’, embora formuladas de modos diversos, são equivalentes, ou seja,
possuem o mesmo significado.
A proposição composta p ↔ q é chamada proposição bicondicional, lê-se “p se, e
somente se q” e o verdadeiro valor lógico é dado pela seguinte propriedade:
A bicondicional p ↔ q é verdadeiro somente quando p e q possuı́rem o mesmo
valo lógico; caso contrário, p ↔ q é falso.
Resumimos na tabela verdade ao lado, todas as possibilidades para p e q.
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Nota 4 (Equivalência Lógica). Análogo à Nota 3, p ↔ q é uma proposição composta a qual
possui tabela verdade contendo os valores lógicos V e F na última coluna, mas, p ⇔ q define
uma proposição composta contendo apenas V na última coluna de sua tabela verdade.
O sı́mbolo ⇔, como anteriormente, pode ser entendido e lido de várias maneiras. Podemos dizer:
� p e q são equivalentes;
� Se p, então q, e reciprocamente;
� q é verdadeira se p for verdadeira, e reciprocamente.
� p é falsa se q for falsa, e reciprocamente.
� p é uma condição necessária e suficiente para q.
� p é verdadeira se, e somente se, q é verdadeira.
Esta última, na verdade, é uma das expressões mais usadas em Matemática, quando nos referimos a
duas premissas como equivalentes.
Resumo das Proposições Compostas
Conjunção: verdadeira somente quando ambas as
proposições são verdadeiras.
Disjunção: falsa somente quando ambas as proposições
são falsas.
Condicional: falsa somente quando a primeira
proposição é verdadeira e a segunda falsa.
TABELA VERDADE
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Bicondicional: verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.
12
1.3 Negação de Proposições Compostas
Por meio de uma tabela verdade, podemos comprovar as equivalências que apresentaremos a seguir
(Leis de Morgan), que são utilizadas para a negação de proposições compostas. Comprovaremos apenas
uma. As demais deixamos como exercı́cio visto que o procedimento é análogo.
1.3.1 Conjunção
A negação da proposição composta p ∧ q é dada por ∼ p∨ ∼ q, ou seja,
∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p∨ ∼ q.
Exemplo 1.4. A negação de “a rosa é vermelha e bonita” é “a rosa não é vermelha ou não é bonita”.
Vejamos por meio de uma tabela verdade a verificação desta lei de Morgan.
p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
1.3.2 Disjunção
A negação da proposição composta p ∨ q é dada por ∼ p∧ ∼ q, ou seja,
∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p∧ ∼ q.
Exemplo 1.5. A negação de “estudo ou trabalho” é “não estudo e não trabalho”.
1.3.3 Condicional
A negação da proposição composta p → q é dada por p∧ ∼ q, ou seja,
∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q.
Exemplo 1.6. A negação de “se sou baiano, então sou brasileiro” é “sou baiano e não sou brasileiro”.
1.3.4 Bicondicional
A bicondicional p ↔ q pode ser negada por ∼ p ↔ q ou p ↔∼ q, ou seja,
∼ (p ↔ q) ⇔ ∼ p ↔ q ou ∼ (p ↔ q) ⇔ p ↔∼ q.
Exemplo 1.7. A negação de “3 > 2 se, e somente se, 2 ∈ N” pode ser feita de duas formas:
(a) 3 ≤ 2 se, e somente se, 2 ∈ N; (b) 3 > 2 se, e somente se, 2 6∈ N.
13
Fundamentos da Matemática I
1.4 Sentenças Abertas ou Funções Proposicionais
Além dos termos e proposições que consideramos até aqui, a linguagem matemática usa constante-
mente expressões em que intervém variáveis, isto é, sı́mbolos (em geral letras) que podem ser substituı́dos
por designações de acordo com determinadas condições. Assim, seja A um conjunto.
Uma função proposicional, ou simplesmente uma sentenç a aberta (ou condiç̃ao) em A, é uma ex-
pressão designada por p(x) apresentando a propriedade de que p(a) é verdadeiro ou falso para cada
a ∈ A. Em outras palavras, p(x) é uma função proposicional em A se p(x) se tornar uma proposição
sempre que substituirmos a variável x por qualquer elemento a ∈ A. O conjunto A é denominado Conjunto
Universo.
A ausência de referência ao Universo da variável nos faz supor que seja ele o mais amplo que a variável
pode admitir. Por exemplo:
1. Seja p(x) : x + 2 > 7. Assim, p(x) é uma função proposicional de N, conjunto dos números naturais,
pois, para qualquer n ∈ N, podemos atribuir um valor lógico a p(n).
2. Seja q(x) : x + 2 > 7. Assim, q(x) não é uma função proposicional de C, conjunto dos números
complexos, pois desigualdades não são definidas para todos os números complexos.
3. Seja p(x) : 2x − 1 = 5 uma função proposicional de N. Ela é verdadeira para x = 3 e falsa para x 6= 3.
Além disso, se p(x) é uma função proposicional num conjunto A, então o conjunto dos elementos a ∈ A
com a propriedade de que p(a) é verdadeiro, é chamado conjunto verdade Vp de p(x), ou conjunto solução
Sp . Em outras palavras,
VP = {x ; x ∈ A, p(x) é verdadeiro}= {x ; p(x)}.
Exemplo 1.8.
(a) Considere a função proposicional p(x) : x + 2 > 7 definida em N. Portanto, o conjunto verdade (ou
solução) é
Vp = {x ; x ∈ N, x + 2 > 7} = {6, 7, 8, 9, . . .}.
(b) O conjunto solução da função proposicional q(x) : x < 0, definida em N, é o conjunto vazio, pois, não
existe número natural negativo.
(c) Seja a sentenç a aberta q(x) : x2 = 25. Se o conjunto universo for Z, conjunto dos números inteiros,
então Vq = {−5, 5}. Por outro lado, se o conjunto universo for N, então Vq = {5}.
Nota 5. O conjunto verdade depende do conjunto universo.
1.5 Quantificadores
A uma dada condição p(x), se atribuirmos à variável x um dos valores do seu conjunto verdade uma
proposição é obtida. Outra forma extremamente importante de se obter proposições a partir de uma
condição p(x) é antepor-lhe um dos sı́mbolos ∀ ou ∃, que se chamam quantificadores (quantificador uni-
versal e quantificador existencial, respectivamente).
14
A proposição “∀ x ∈ A; p(x)” lê-se “qualquer que seja x pertencente conjunto A, p(x)” ou “para todo x
de A, tem-se p(x)” e é verdadeira se, e somente se, atribuindo a x qualquer valor do conjunto A, p(x) se
converte sempre numa proposição verdadeira. Em outras palavras, ∀ é o quantificador utilizado para fazer
referência ao total de elementos do universo.
A proposição “∃ x ∈ A; p(x)” lê-se “existe x em A tal que p(x)” ou “para algum x em A, tem-se p(x)”. Em
outras palavras, ∃ é o quantificador utilizado para fazer referência a parte dos elementos do universo A.
Nota 6. O sı́mbolo @ representa o quantificador “não existe”, enquanto que o sı́mbolo ∃! repre-
senta o quantificador “existe somente um”.
Exemplo 1.9.
(a) Sendo x uma variável real, são verdadeiras as proposições
� ∀ x ; x2 + 1 > 0, � ∃! x ; x4 ≤ 0, � ∃ x ; x2 − 4 = 0.
(b) Sendo x uma variável inteira, são falsas as proposições
� ∃! x ; 2x = 1, � ∃ x ; 2x = 1, � ∀ x ; x − 1 = 0.
1.5.1 Negação de Proposições Quantificadas
A negação da proposição “Todos os homens são imortais” é “Não é verdade que todos os homens são
imortais”; em outras palavras, existe pelo menos um homem que não é imortal. Simbolicamente, se H
designa o conjunto de homens, o que foi dito acima pode ser escrito da seguinte forma:
∼ (∀ x ∈ H ; x é imortal) ⇒ ∃ x ∈ H ; x é imortal.
Além disso, se p(x) designa “x é imortal”, escrevemos
∼ (∀ x ∈ H ; p(x)) ⇒ ∃ x ∈ H ; ∼ p(x).
Em resumo, nega-se proposições que possuem quantificadores da seguinte forma:
Nota 7. Troca-se o quantificador de universal para existencial, e vice-versa, e nega-se a
sentenç a aberta.
Exemplo 1.10.
(a) ∼ (∀ x ∈ R; x2 = 4) ⇒ ∃ x ∈ R; x2 6= 4. (b) ∼ (∃ x ∈ R ; x2 + x < 6) ⇒ ∀ x ∈ R ; x2 + x ≥ 6.
1.6 Notas Sobre Uma Demonstração
O termo “demonstração”, para alguns autores, possuem mais de um significado. O nosso é baseado em
Lógica e Fundamentos da Matemática, visto que a veracidade de um teorema depende das regras lógicas
utilizadas na demonstração. O teorema surge como conseqüência lógica e necessária das premissas
através de inferência dedutiva.
15
Fundamentos da Matemática I
Geralmente, no mundo dos matemáticos, entende-se demonstração ou demonstração matemática
como sendo uma cadeia de argumentos convincentes, rigorosos, gerais, completos e resistentes, interli-
gados logicamente. A principal razão de uma demonstração é a de validar uma determinada afirmação.
Do ponto de vista do ensino, nela existe uma outra razão: a de explicar ou justificar – constrói-se uma
demonstração, não só para garantir a verdade de uma afirmação, mas para explicar por que motivo ela é
verdadeira.
Existem certas declarações que não se podem provar. Estas são os chamados axiomas ou postulados,
que alguns autores definem como conceitos primitivos, admitidos sem prova. Por exemplo, quando dize-
mos que por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta, estamos lidando com um postulado
que, simplesmente, admitimos como verdade.
Poderı́amos dizer, em resumo, que os postulados ou axiomas são os pilares sobre os quais edificamos
a nossa estrutura de resultados, teoremas, lemas, proposições, e etc. A validade destes resultados decorre
dos postulados em que se baseiam.
Evidentemente, há várias maneiras de demonstrar a validade de uma proposição. Algumas se mostram
mais elegantes, outras mais complicadas e, ainda outras, definitivamente incorretas. Ilustremos um erro
comum ao se elaborar uma demonstração. Suponha que desejamos provar o seguinte resultado:
“Dados dois inteiros pares, a sua soma será ainda um número par ”.
Um erro bastante freqüente é provar uma tal afirmação simplesmente por exibir uns poucos exemplos
que a satisfaç am. Poderı́amos argumentar que, se “2 + 2 = 4; 4 + 8 = 12; 16 + 24 = 40, . . . .” e todas estas
somas fornecem números pares, então a afirmação está correta. Este argumento é falho, e podemos
explicá-lo da seguinte maneira: existem infinitos números pares e, é claro, não podemos testar todas as
somas possı́veis entre dois deles. De modo que, ainda que estejamos convencidos dessa afirmação, não
podemos prová-la com uns poucos ou, mesmo, muitos exemplos que a satisfaç am.
Uma demonstração para essa afirmação é:
Sejam x e y dois inteiros pares, dessa forma podemos escrever x = 2m e y = 2n, para inteiros
m e n. Somando x a y , temos:
x + y = 2m + 2n = 2(m + n).
Agora, fazendo m + n = p, temos x + y = 2p, em que p é um inteiro e, portanto, mostramos que
a soma x + y de dois inteiros pares é um inteiro par.
Ilustremos, agora, em contrapartida, um caso em que apenas exibir um exemplo especı́fico basta como
demonstração. Suponha, desta vez, que desejamos provar a seguinte declaração:
“Nem todos os números primos são ı́mpares”.
Apenas um contra-exemplo seria o bastante para prová-la. Neste caso, você estaria correto ao exibir
um único exemplo, o número 2, e dizer:
“De fato, o número 2 é primo e é um número par”,
e isto provaria a nossa afirmação. Dizemos que 2 é um contra-exemplo para a afirmação: “Todo número
primo é ı́mpar ”.
16
1.7 Alguns Exemplos
Exemplo 1.11. Use os resultados da questão 1.4 dos exercı́cios propostos para simplificar cada uma
das seguintes proposições:
(a) ∼ (p∨ ∼ q)
(b) ∼ (∼ p → q)
(c) ∼ (p∧ ∼ q)
(d) ∼ (∼ p∧ ∼ q)
(e) ∼ (∼ p ↔ q)
(f) ∼ (∼ p →∼ q)
Solução:
(a) ∼ (p∨ ∼ q) ⇔∼ p∧ ∼ (∼ q) ⇔∼ p ∧ q.
(b) ∼ (∼ p → q) ⇔∼ p∧ ∼ q.
(c) ∼ (p∧ ∼ q) ⇔∼ p∨ ∼ (∼ q) ⇔∼ p ∨ q.
(d) ∼ (∼ p∧ ∼ q) ⇔∼ (∼ p)∨ ∼ (∼ q) ⇔ p ∨ q.
(e) ∼ (∼ p ↔ q) ⇔∼ (∼ p) ↔ q ⇔ p ↔ q.
(f) ∼ (∼ p →∼ q) ⇔∼ p∧ ∼ (∼ q) ⇔∼ p ∧ q.
Exemplo 1.12. Simplificar cada uma das seguintes proposições.
(a) Não é verdade que rosas são vermelhas implica em violetas são azuis.
(b) Não é verdade que está frio e chovendo.
(c) Não é verdade que ele é baixo ou elegante.
(d) Não é verdade que não está frio ou está chovendo.
(e) Não é verdade que se está chovendo então está frio.
(f) Não é verdade que rosas são vermelhas se violetas são azuis.
Solução:
(a) Seja p “Rosas são vermelhas” e seja q “Violetas são azuis”. Assim, a proposição dada pode ser
designada por ∼ (p → q). Pela questão 1.4 (c), ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q. Logo, a proposição dada é
logicamente equivalente a “Rosas são vermelhas e violetas não são azuis”.
(b) Como ∼ (p∧q) ⇔∼ p∨ ∼ q, a proposição dada é equivalente a “Não está frio ou não está chovendo”.
(c) Como ∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q, a proposição dada é logicamente a “Ele não é baixo e ele é elegante”.
(d) Observe que ∼ (∼ p ∨ q) ⇔∼∼ p∧ ∼ q ⇔ p∧ ∼ q. Portanto, a proposição dada, que pode ser
designada por ∼ (∼ p ∨ q), em que p é “Está frio” e q é “Está chovendo”, pode ser reescrita “Está frio
e não está chovendo”.
(e) Como ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q, a proposição dada pode ser reescrita “Está chovendo e não está frio”.
(f) Como ∼ (p ↔ q) ⇔ p ↔∼ q, a proposição dada é logicamenteequivalente a “Rosas são vermelhas
se violetas não são azuis”.
Exemplo 1.13 (Construção de Tabelas Verdade). Construa a tabela verdade das seguintes proposições:
(a) ∼ (p∧ ∼ q) (b) ∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p) (c) p∨ ∼ r → q∧ ∼ r
17
Fundamentos da Matemática I
Solução:
(a) Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspon-
dentes às duas proposições simples p e q. Afinal, formula-se
a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta
dada.
p q ∼ q p∧ ∼ q ∼ (p∧ ∼ q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
De outro modo, formam-se, primeiramente, as colunas correspondentes às duas proposições simples
p e q. Em seguida, à direita, traç a-se uma coluna para cada uma dessas proposiç̃oes e para cada um
dos conectivos que figuram na proposição com-posta dada, conforme tabela abaixo à esquerda. Depois,
numa certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores lógicos con-
venientes, no modo abaixo indicado tabela abaixo à direita:
p q ∼ (p ∧ ∼ p)
V V
V F
F V
F F
Etapa :
p q ∼ (p ∧ ∼ p)
V V V V F F V
V F F V V V F
F V V F F F V
F F V F F V F
Etapa : 4 1 3 2 1
Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se na coluna completada em último lugar,
etapa 4.
(b) Resolveremos por dois métodos, como fizemos no item anterior. Por comodidade, faç amos
P :=∼ (p ↔ q), Q :=∼ (q ↔ p) e R :=∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p).
p q p ∧ q q ↔ p P Q R
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
p q ∼ (p ∧ q) ∨ ∼ (q ↔ p)
V V F V V V F F V V V
V F V V F F V V F F V
F V V F F V V V V F F
F F V F F F V F F V F
Etapa : 3 1 2 1 4 3 1 2 1
(c) Resolveremos por dois métodos, como fizemos nos ı́tens anteriores.
p q r ∼ r A : p∨ ∼ r B : q∧ ∼ r A → B
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
p p r p ∨ ∼ r → q ∧ ∼ r
V V V V V F V F V F F V
V V F V V V F V V V V F
V F V V V F V F F F F V
V F F V V V F F F F V F
F V V F F F V V V F F V
F V F F V V F V V V V F
F F V F F F V V F F F V
F F F F V V F F F F V F
Etapa : 1 3 2 1 4 1 3 2 1
18
Exemplo 1.14 (Tautologia). Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua
tabela verdade encerra comente com a letra V (verdadeiro). Determine quais das proposições abaixo são
tautologias.
(a) ∼ (p∧ ∼ p) (princı́pio da não contradição)
(b) p∨ ∼ (p ∧ q)
(c) ∼ (∼ p∧ ∼ q)
(d) p∧ ∼ p
Solução: Conforme tabelas verdade abaixo, os ı́tens (c) e (d) não são tautologias.
(a)
p ∼ p p∧ ∼ p ∼ (p∧ ∼ p)
V F F V
F V F V
(b)
p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) p∨ ∼ (p ∨ q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
(c)
p p ∼ p ∼ q ∼ p∧ ∼ q ∼ (∼ p∧ ∼ q)
V V F F F V
V F F V F V
F V V F F V
F F V V V F
(d)
p ∼ p p∧ ∼ p
V F F
F V F
1.1 Observação (Contradição). Quando, numa tabela verdade, a última coluna só apresentar a letra F,
dizemos que a proposição é uma contradição, como no item (d) acima.
Exemplo 1.15. Decida se cada um dos seguintes é verdadeiro ou falso.
(a) p ⇒ p ∧ q (b) p ⇒ p ∨ q
Solução: Observe as tabelas verdades de p → p ∧ q e p → p ∨ q.
p q p ∧ q p → (p ∧ q) p ∨ q p → (p ∨ q)
V V V V V V
V F F F V V
F V F V V V
F F F V F V
Observe que, a última coluna somente ocorre V, nos dizendo que (b) é verdadeiro, o que não acontece na
quarta coluna, logo (a) é falso.
Exemplo 1.16 (Disjunção Exclusiva). O sinal proposicional Y é chamado de disjunção exclusiva, p Y q
lê-se “p ou q mas não ambos”.
(a) Construa uma tabela verdade para p Y q
(b) Prove: p Y q ⇔ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q). Portanto, Y pode ser escrito em termos dos três sinais ∨, ∧ e ∼.
Solução:
(a) Observe que p Y q é verdadeiro se p for verdadeiro ou q for verdadeiro,
mas não se ambas, p e q, forem verdadeiros; logo, a tabela verdade de
p Y q é apresentada ao lado.
p q p Y q
V V F
V F V
F V V
F F F
19
Fundamentos da Matemática I
(b) Considere a seguinte tabela verdade:
p q (p ∨ q) ∧ ∼ (p ∨ q)
V V V V V F F V V V
V F V V F V V V F F
F V F V V V V F F V
F F F F F F V F F F
Etapa 1 2 1 4 3 1 2 1
Como as tabelas verdade de p Y q e (p∨ q)∧ ∼ (p ∧ q) são idênticas, temos que p Y q ⇔ (p∨ q)∧ ∼ (p ∧ q).
Exemplo 1.17 (Negação Conjunta). O sinal proposicional ↓ é chamado de negação conjunta, p ↓ q lê-se
“Nem p nem q”.
(a) Construa uma tabela verdade para p ↓ q
(b) Prove: Os três sinais ∨, ∧ e ∼ podem ser expressos em termos do sinal ↓ da seguinte maneira:
(i) ∼ p ⇔ p ↓ q (ii) p ∧ p ⇔ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) (iii) p ∨ q ⇔ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
Solução:
(a) Observe que p ↓ q é verdadeiro se nem p for verdadeiro nem q for
verdadeiro; logo, a tabela verdade de p ↓ q é apresentada ao lado.
p q p ↓ q
V V F
V F F
F V F
F F V
(b)
(i)
p ∼ p ↓ q
V F F
F V V
(ii)
p q p ∧ q p ↓ p q ↓ q (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
V V V F F V
V F F F V F
F V F V F F
F F F V V F
(iii)
p q p ∨ q p ↓ q (p ↓ q) ↓ (q ↓ q)
V V V F V
V F V F V
F V V F V
F F F V F
Exemplo 1.18. Determine o conjunto verdade (VP ), das sentenç as abertas a seguir:
(a) p(x) : x + 1 < 8 em N
(b) p(x) : x + 7 < 5 em N
(c) p(x) : x é divisor de 10 em Z
(d) p(x , y) : x < y em A × B , em que A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}
Solução:
(a) Vp = {x ; x ∈ N ∧ x + 1 < 8} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊂ N
(b) Vp = {x ; x ∈ N ∧ x + 7 < 5} = ∅ ⊂ N
(c) Vp = {x ; x ∈ Z ∧ x divide 10} = {±1,±2,±5,±10} ⊂ Z
(d) Vp = {(x , y); x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x < y} = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)} ⊂ A × B
20
1.8 Exerćıcios Propostos
1.1. Seja p: “Está frio” e seja q: “Está chovendo”. Diga uma sentenç a verbal simples que descreva cada
uma das seguintes proposições.
(a) ∼ p
(b) p ∧ q
(c) p ∨ q
(d) q ↔ p
(e) p →∼ q
(f) q∨ ∼ p
(g) ∼ p∧ ∼ q
(h) p ↔∼ q
(i) (p∧ ∼ q) → p
1.2. Sejam p: “Ele é alto” e q: “Ele é elegante”. Escreva cada uma das proposições na forma simbólica
usando p e q.
(a) Ele é alto e elegante
(b) Ele é alto, mas não é elegante
(c) É falso que ele é baixo ou elegante
(d) Ele não é nem alto e nem elegante
(e) Ele é alto, ou ele é baixo e elegante
(f) Não é verdade que ele é baixo ou não é elegante
1.3. Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas.
(a) Se 3 + 2 = 7, então 4 + 4 = 8;
(b) Não é verdade que 2 + 2 = 5 se, e somente se, 4 + 4 = 10;
(c) Paris está na Inglaterra ou Londres está na Franç a;
(d) Não é verdade que 1 + 1 = 3 ou 2 + 1 = 3;
(e) É falso que se Paris está na Inglaterra, então Londres está na Franç a.
1.4. Verificar por tabelas verdade as leis de Morgan:
(a) ∼ (p ∧ q) ⇔∼ p∨ ∼ q;
(b) ∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q;
(c) ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q;
(d) ∼ (p ↔ q) ⇔∼ p ↔ q ou ∼ (p ↔ q) ⇔ p ↔∼ q.
1.5. Dê a recı́proca de cada proposição composta a seguir.
(a) Se m e n são inteiros pares, então o produto mn é um inteiro par.
(b) Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
(c) Se m é um inteiro ı́mpar, então m = 2k + 1, para algum inteiro k .
(d) Se m é um inteiro par, então m = 2k , para algum inteiro k .
(e) Se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par.
(f) Se o triângulo é eqüilátero, então é isósceles.
1.6. Negue as proposições.
(a) 3 é ı́mpar e dois é primo.
(b) Paulo é professor ou não é médico.
(c) Se x2 = 9, então x = ±2
(d)
√
x2 = x se, e somente se, x ≥ 0.
(e) Aonde a vaca vai, o boi vai atrás.
(f) Quem corre, cansa.
(g) Quem não chora não mama.
(h) Se o triângulo é eqüilátero, então é isósceles.
1.7. Quais da implicações abaixo são verdadeiras, se x ∈ R? Justifique as falsas?
(a) x2 = 9 ⇒ x = 3
(b) x2 > 9 ⇒ x > 3
(c) 0 < x < 1 ⇒ x2 < x
(d) x ≥ 0 ⇒ x − 2
x − 2 = 1
(e) x < y ⇒ −x > −y
(f) x > y ⇒ x2 > y2
21
Fundamentos da Matemática I
1.8. Determine o conjunto verdade das sentenç as a seguir:
(a) p(x) : x ∈ R; x2 = 4 e x2 + 2x = 0.
(b) p(x) : x ∈ R; x2 = 4 ou x2 + 2x = 0.
(c) p(x) : x ∈ R; x2 = 4 → x2 + 2x = 0.
(d) p(x) : x ∈ R; x2 = 4 ↔ x2 + 2x = 0.
1.9. Dê o valor lógico de cada proposiçãoabaixo:
(a) ∃! x ∈ N; x2 = 9.
(b) ∀ x ∈ R; x + 2 = 7.
(c) ∀ x ∈ R; x ≥ x .
(d) ∃ x ∈ R; x2 − 2x ≤ 4.
(e) ∃ x ∈ R; x2 = −4.
(f) @x ∈ R;√x < 0.
(g) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R; y = 1
x
.
(h) Todo número inteiro primo é ı́mpar.
(i) Todo triângulo isósceles é eqüilátero.
(j) Existe um losango que não é quadrado.
(k) Existe um único número onde a raiz quadrada é zero.
(l) Todo retângulo é um quadrado.
1.10. Negar as proposições do exercı́cio anterior.
1.11. Qual é a negação de “Todo homem bom é justo”?
1.12. Em cada item decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira.
(a) Se a e b são inteiros pares, então a soma a + b é um inteiro par.
(b) Se a e b são inteiros ı́mpares, então a soma a + b é um inteiro ı́mpar.
(c) Se a e b são inteiros pares, então produto ab é um inteiro par.
(d) Se a e b são inteiros ı́mpares, então o produto ab é um inteiro ı́mpar.
(e) Se m é um múltiplo de 25, então m é um múltiplo de 5.
(f) Se m é um múltiplo de 5, então m é um divisor de 25.
(g) Se n é um inteiro ı́mpar positivo, então n = 2k2 + 2k + 1, onde k é um inteiro.
(h) Se x e y são números reais tais que xy = 1, então x = 1 e y = 1.
(i) Se x é um número real tal que x =
√
4, então x = 2.
(j) Se x é um número real tal que x2 = 4, então x = 2.
(k) Se x é um número real tal que x2 = 4, então x = 2 ou x = −2.
(l) Se x é um número real diferente de zero, então −x é negativo.
(m) Se x é um número real, então
√
x2 = x .
(n) Se x é um número real negativo, então x6 < x4.
1.13. Onde está o erro na seguinte demonstração?
22
Sejam a e b números reais diferentes de zero. Suponhamos que a = b. Então, multiplicando os
dois lados da igualdade por a, temos:
a2 = ab.
Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade, obtemos:
a2 − b2 = ab − b2.
Sabemos (fatoração), que a2 − b2 = (a + b)(a − b). Logo:
(a + b)(a − b) = ab − b2.
Colocando b em evidência do lado direito, segue que:
(a + b)(a − b) = b(a − b).
Dividindo ambos os lados por (a − b), temos:
a + b = b.
Como no inı́cio dissemos que a = b, então, no lugar de a, podemos colocar b:
b + b = b.
Portanto, 2b = b. Dividindo ambos os lados por b, finalmente concluı́mos que 2 = 1.
Gabarito
Questão 1.1. (a) Não está frio. (b) Está frio e chovendo. (c) Está frio ou está chovendo. (d) Está chovendo se, e somente se, está
frio. (e) Se está frio então não está chovendo. (f) Está chovendo ou não está frio. (g) Não está frio e não está chovendo. (h) Está frio
se, e somente se, não está chovendo. (i) Se está frio e não está chovendo, então está frio. Questão 1.2. (a) p ∧ q. (b) p∧ ∼ p. (c)
∼ (∼ p ∨ q). (d) ∼ p∨ ∼ q. (e) p ∨ (∼ p ∧ q). (f) ∼ (∼ p∨ ∼ q). Questão 1.3. (a) V (b) F (c) F (d) F (e) F. Questão 1.4. Análogo à
subseção 1.3.1. Questão 1.5. (a) Se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. (b) Se m é um inteiro m últiplo
de 9, então m é um inteiro m últiplo de 3. (c) Se m = 2k + 1, para algum inteiro k , ent̃ao m é um inteiro ı́mpar. (d) Se m = 2k , para
algum inteiro k , então m é um inteiro par. (e) Se m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par. (f) Se o triângulo é isósceles, então
é eq üiĺatero. Questão 1.6. (a) 3 não é ı́mpar ou dois ñao é primo. (b) Paulo não é professor e é médico. (c) x2 = 4 e x 6= ±2. (d)√
x2 = x e x < 0 ou
√
x2 6= x e x ≥ 0. (e) A vaca vai e o boi não vai atrás. (f) Quem corre, não cansa. (g) Quem não chora, mama. (h)
O triângulo é eq üiĺatero e não é isósceles. Questão 1.7. (a) x2 = 9 ⇐ x = ±3. (b) x2 > 9 ⇐ x > 3 ou x < −3. (c) Verdadeira. (d)
Quando x = 2 ≥ 0, há uma indeterminação df rac00. (e) Verdadeira. (f) Se x = 1 e y = −2 , então x2 = 1 < 4 = y2 . Questão 1.8.
(a) Vp = {−2}. (b) Vp = {−2, 0, 2}. (c) Vp = R − {2}. (d) Vp = R − {0, 2}. Questão 1.9. (a) V (b) F (c) V (d) V (e) F (f) V (g) F (h) F
(i) F (j) V (k) V (l) F Questão 1.10. (a) Não existe (ou existe mais de um) x ∈ N; x2 = 9. (b) ∃ x ∈ R; x + 2 6= 7. (c) ∃ x ∈ R; x < x . (d)
∀ x ∈ R; x2 − 2x > 4. (e) ∀ x ∈ R; x2 6= −4. (f) ∃ x ∈ R; √x < 0. (g) ∃ x ∈ R,∀ y ∈ R; y 6= 1
x
. (h) Existe n úmero inteiro primo que
não é ı́mpar. (i) Nem todo trîangulo isósceles é eq üiĺatero. (j) Todo losango é quadrado. (k) Não existe nenhum n úmero (ou existe mais
de um n úmero) onde a raiz quadradaé zero. (l) Existe retângulo que não é quadrado. Questão 1.11. Existe homem bom que não é
justo ou nenhum homem bom é justo. Questão 1.12. (a) V (b) F (c) V (d) V (e) V (f) F (g) F (h) F (i) V (j) F (k) V (l) F (m) F (n) F Questão
1.13. A divisão por a − b não é poss ı́vel, j́a que a − b = 0.
23
Fundamentos da Matemática I
Elementos da Teoria dos Conjun-
tos. Conjuntos Numéricos
Teoria dos Conjuntos
2.1 Introdução
A Teoria de Conjuntos é uma das mais fundamentais da Matemática, pois, a partir dela, vários conceitos
matemáticos podem ser expressos.
As idéias essenciais da teoria dos conjuntos foram introduzidas pelo matemático alemão George Cantor
(1.845-1.918). Esta linguagem não foi entendida de imediato pelos contemporâneos de Cantor, sofrendo
certa resistência. Mas, lenta e seguramente, esta linguagem se impôs. Em reconhecimento aos trabalhos
realizados por Cantor, a frase a seguir foi expressa pelo famoso matemático David Hilbert (1.862-1.943):
“Ninguém nos expulsará do paraı́so que Cantor criou para nós”.
A Matemática se ocupa primordialmente de números e do espaç o. Portanto, os conjuntos mais freqüentes
encontrados na Matemática são os conjuntos numéricos (conjuntos de números), as figuras geométricas
(que são conjuntos de pontos) e os conjuntos que derivam destes, como os conjuntos de funções, matrizes,
etc. Nessa seção, procuraremos introduzir algumas das idéias básicas da teoria dos conjuntos, através de
suas linguagens.
2.2 Conjuntos. Operações Fundamentais
Intuitivamente, um conjunto é encarado como uma coleção de objetos de natureza qualquer, os quais
se dizem elementos do conjunto. Representa-se simbolicamente por x ∈ X , a proposição “x é um elemento
do conjunto X ”, que também se lê “x pertence a X ”. A negação desta proposição é representada por x /∈ X ,
lê-se “x não pertence a X ”.
Os conjuntos substituem as “propriedades” e “condições”. Assim, em vez de dizermos que “o objeto x
goza da propriedade p” ou “o objeto y satisfaz a condição q”, podemos escrever x ∈ X e y ∈ Y , em que
X é o conjunto dos objetos que gozam da propriedade p e Y é o conjunto dos objetos que satisfazem a
condição q.
Por exemplo, sejam p a propriedade de um número inteiro x ser par, e q a condição sobre o número
real y expressa por y 2 − 3y + 2 = 0. Por outro lado, sejam
X = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .} e Y = {1, 2}.
Então, tanto faz dizer que x é par e que y satisfaz a condição q, como afirmar que x ∈ X e y ∈ Y .
Qual é, porém, a vantagem que se obtém quando se prefere dizer que x ∈ X e y ∈ Y em vez de dizer
que x goza da propriedade p e y satisfaz a condição q?
24
A vantagem de se utilizar a linguagem e a notação da teoria dos conjuntos é que entre estes existe
uma álgebra montada sobre as operações de reunião (X ∪Y ) e de interseção (X ∩Y ), além da relação de
inclusão (X ⊂ Y ). Por exemplo,
X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ) e X ⊂ (X ∪ Y ).
são extremamente fáceis de manipular e representam um enorme ganho em simplicidade e exatidão
quando comparadas ao manuseio de propriedades e condições.
2.3 Notação de Conjuntos
Os conjuntos são, geralmente, designados por letras maiúsculas A, B , X , Y , . . . e seus elementos
representados por letras minúsculas a, b, x , y , . . . . Ao definirmos um determinado conjunto relacionando
seus elementos, devemos dispor-los entre chaves e separados por vı́rgula. Por exemplo, se considerarmos
que A é constituı́do dos números naturais menores do que 4, escrevemos:
A = {0, 1, 2, 3}.
Nota 8. Nunca escrevacoisas como A = {conjunto dos números pares}. Isto é incorreto, pois,
as chaves {. . .} são utilizadas exclusivamente para relacionar elementos de um conjunto. Deve-
se escrever: A: conjunto dos números pares, A = {2n; n ∈ Z}.
Uma condição impossı́vel, isto é, que não seja verificada por nenhum objeto, se chama conjunto vazio
e é designado por ∅. Trata-se, evidentemente, de um conjunto sem elementos. Ele é aceito como conjunto
porque cumpre a utilı́ssima função de simplificar certas proposições, evitando uma longa e tediosa menção
de exceções. Tem-se assim, por exemplo:
∅ = {x ; x 6= x},
ou seja, ∅ é o conjunto dos objetos x tais que x é diferente de si mesmo; ou, ∅ = {x ; x ∈ N e x < 0}. Seja
qual for o objeto x , tem-se sempre que x /∈ ∅.
Em muitas questões matemáticas é importante saber que um determinado conjunto não é vazio, para
tanto, deve-se simplesmente encontrar um objeto x tal que esteja neste conjunto. Por exemplo, o conjunto
dos números pares que são primos não é vazio, pois, 2 é par e primo. Na verdade é o único número que é
par e primo, mais ainda, este conjunto é unitário.
Chama-se conjunto unitário (ou singular ) a qualquer conjunto com um só elemento. O conjunto unitário
de elemento x é representado por {x}. Estritamente falando, x e {x}, geralmente, não representam a
mesma coisa, salvo casos especiais conforme Nota 9. Por exemplo, ∅ 6= {∅}, pois, {∅} possui um
elemento (tem-se ∅ ∈ {∅}), mas, ∅ é vazio.
Exemplo 2.1. Seja A = {x ; 2x = 6} e seja b = 3. Podemos dizer que b = A?
A resposta é não. Note que A é um conjunto de um único elemento 3, isto é A = {3}. O número 3
pertence a A; não é igual a A.
Observe neste último exemplo que existe uma diferenç a b́asica entre o elemento x e o conjunto {x}, no
entanto, temos a seguinte nota:
25
Fundamentos da Matemática I
Nota 9. Em certas ocasiões torna-se um pedantismo distinguir x de {x}. Nesses casos, admite-
se escrever x em vez de {x}. Um exemplo disso ocorre quando se diz que a interseção de duas
retas r e s é o ponto P (em lugar do conjunto unitário {P}) e escreve-se r ∩ s = P , em vez de
r ∩ s = {P}. Neste caso, ambas as formas estão corretas.
Com experiência e bom senso, quem se ocupa com a Matemática percebe que a obediência estrita aos
rı́gidos padrões da notação e do rigor, quando praticada ao pé da letra, pode ser um obstáculos à clareza,
à elegância e ao entendimento dos alunos.
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Intuitivamente, um conjunto é finito se consiste de um
número especı́fico de elementos diferentes, isto é, se ao contarmos os diferentes membros de um conjunto,
o processo de contagem chega a um final. Este número é chamado de cardinalidade de A, e indicamos
por n(A) ou #A. De outro modo, o conjunto é infinito.
Exemplo 2.2. Seja M o conjunto dos dias da semana. Assim, M é finito e n(M) = 7. Por outro lado, o
conjunto dos números pares é infinito.
2.4 A Relação de Inclusão. Igualdade entre Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A for também elemento de B , diz-se que A é um
subconjunto de B , que A está contido em B ou que A é parte de B. Para indicar este fato, usa-se a notação
A ⊂ B . A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão. Simbolicamente escrevemos
A ⊂ B ⇔ (∀ x , x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Quando A não é um subconjunto de B , escreve-se A 6⊂ B . Isto significa que nem todo elemento de A
pertence a B , ou seja, que existe pelo menos um objeto a tal que a ∈ A e a /∈ B .
Exemplo 2.3. Sejam T o conjunto dos triângulos, Q o conjunto dos quadriláteros e P o conjunto dos
polı́gonos. Como todo triângulo e todo quadrilátero é um polı́gono, temos que o conjunto T e o conjunto Q
estão contidos no conjunto P , ou seja, T ⊂ P e Q ⊂ P , por outro lado, todo triângulo não é um quadrilátero,
assim P 6⊂ Q.
Nota 10. Para todo conjunto A, temos:
1. A ⊂ A. É claro que todo elemento de A pertence a A;
2. ∅ ⊂ A. De fato, se quiséssemos mostrar que ∅ 6⊂ A, terı́amos que obter um objeto x tal
que x ∈ ∅, mas x ∈ A. Como x ∈ ∅ é impossı́vel, somos levados a concluir que ∅ ⊂ A,
ou seja, que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro.
Dados dois conjuntos A e B , com o mesmo significado de A ⊂ B , é também usual escrever-se B ⊃ A, e
dizer que B contém A. Convém notar que o fato de se verificar a relação A ⊂ B não exclui a possibilidade
de ter também B ⊂ A; quando estas duas relações são conjuntamente verificadas os conjuntos A e B têm
precisamente os mesmos elementos e diz-se, então, que são iguais e escrevemos A = B . Em sı́mbolos,
temos:
A = B ⇔ (∀ x , x ∈ A ⇔ x ∈ B) ou A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A).
26
Quando se tem A ⊂ B com A 6= ∅ e A 6= B , diz-se que A é um subconjunto próprio de B .
A relação e inclusão goza de três propriedades fundamentais e de fáceis verificações. Dados quaisquer
conjuntos A, B e C tem-se:
� A ⊂ A (reflexiva)
� Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B (anti-simétrica)
� Se A ⊂ B e B ⊂ C , então A ⊂ C (transitiva)
Nota 11.
1. A propriedade anti-simétrica é constantemente usada. Quando se deseja mostrar que os
conjuntos A e B são iguais, prova-se que A ⊂ B e B ⊂ A, ou seja, que todo elemento de
A pertence a B e que todo elemento de B pertence a A.
2. A propriedade transitiva da inclusão é a base do raciocı́nio dedutivo. Por exemplo: Todo
ser humano é um animal, todo animal é mortal. Logo, todo ser humano é mortal. Isso
pode ser formulado da seguinte maneira: Sejam H , A e M , respectivamente, os conjuntos
dos seres humanos, dos animais e dos mortais. Temos H ⊂ A e A ⊂ M . Logo, H ⊂ M .
3. Se a é um elemento do conjunto A, a relação a ∈ A pode ser escrita sob forma {a} ⊂ A. É
incorreto escrever a ⊂ A e {a} ∈ A.
2.5 Diagramas de Venn-Euler
Um meio simples e instrutivo de ilustrar as relações existentes entre conjuntos é por meio dos chamados
diagramas de Venn-Euler ou, simplesmente, diagramas de Venn. Aqui representamos um conjunto por
uma área simples plana, limitada geralmente, mas não somente, por um cı́rculo.
Exemplo 2.4. Suponhamos A ⊂ B e, digamos A 6= B .
Deste modo A e B podem ser descritos por qualquer dos
diagramas de Venn ao lado.
A
BB
A
Exemplo 2.5. Suponhamos A 6⊂ B , B 6⊂ A e A 6=
B . Deste modo, A e B podem ser representados por
qualquer dos diagramas de Venn.
A
B
B
A
Exemplo 2.6. Seja A = {a, b, c , d} e B = {c , d , e, f }. Ilus-
tramos esses conjuntos por diagramas de Venn, conforme figura
ao lado.
A B
a e
c
d fb
27
Fundamentos da Matemática I
2.6 Reunião, Interseção e Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B , a reunião (ou simplesmente união) de A com B é o conjunto A ∪ B (lê-se
“A unido a B”), formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos; a interseção de A
com B é o conjunto A ∩ B (lê-se “A inter a B”), formado por todos os elementos que pertencem a A e a B .
Em sı́mbolos temos:
A ∪ B = {x ; x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}; A ∩ B = {x ; x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x ; x ∈ A e x ∈ B}.
Se A e B não têm elementos comuns (A∩B = ∅), diz-se que são conjuntos disjuntos. Por exemplo, se
A for o conjunto dos números pares e B o conjunto dos números ı́mpares, então eles são disjuntos.
Chama-se diferença dos conjuntos A e B , o conjunto A − B formado pelos elementos de A que não
estão em B . Simbolicamente,
A − B = {x ; x ∈ A ∧ x /∈ B} = {x ; x ∈ A e x /∈ B}.
Exemplo 2.7.
(a) União:
1. {a, b} ∪ {c , d} = {a, b, c , d}
2. {a, b, c , d} ∪ {c , d} = {a, b, c , d}
3. {a, b, c} ∪ {c , d , e} = {a, b, c , d , e}
4. {a, b} ∪ ∅ = {a, b}
(b) Interseção:
5. {a, b, c} ∩ {b, c , d , e} = {b, c}
6. {a, b, c , d} ∩ {c , d} = {c , d}
7. {a, b} ∩ {c , d} = ∅
8. {a, b} ∩ ∅ = ∅
(c) Diferenç a:
9. {a, b, c}−{c , d} = {a, b} 10. {c , d}−{a, b, c} = {d} 11. {a, b}−{c , d} = ∅
Nota 12. Quando se tem B ⊂ A, chama-se o complementar de B em relação a A o conjunto
A − B , isto é, o conjunto dos elementos de A que nãoestão em B . Simbolicamente,
{BA = A − B .
Note que {BA só é definido quando B ⊂ A.
Em geral, conjuntos sob verificação na Teoria dos Conjuntos são subconjuntos de um determinado
conjunto tomado como referência. Chamamos este de Conjunto Universo e o designamos pela letra U .
Assim, o complemento do conjunto A, é o complementar de A em relação ao universo U , que é o conjunto
dos elementos do universo que não estão em A, ou seja, a diferenç a U − A. Denotamos por:
AC ou A.
Claramente temos (i) B ∩ BC = ∅ (ii) B ∪ BC = U (iii) ∅C = U (iv) UC = ∅
Em diagramas de Venn, ilustramos:
U U U U
A B A B A B A B
A BA B A B A B U A=A
C
28
2.6.1 Propriedades da Reunião
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, temos as seguintes propriedades.
1. A ∪ U = U
2. A ∪ A = A (idempotente)
3. A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
4. A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (associativa)
2.6.2 Propriedades da Interseção
6. A ∩ ∅ = ∅
7. A ∩ A = A (idempotente)
8. A ∩ U = A (elemento neutro)
9. A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
10. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (associativa)
São importantes também as seguintes propriedades:
11. A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (propriedade distributiva)
12. A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (propriedade distributiva)
13. A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção)
14. A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção)
Vejamos um argumento para validar a propriedade distributiva 11 que, em geral, é um raciocı́nio muito
utilizado para validar proposições e propriedades em Teoria dos Conjuntos.
Justificativa da Propriedade 11
Para verificar que A∩ (B ∪C ) = (A∩B)∪ (A∩C ), precisamos que as duas condições a seguir sejam
simultaneamente verdadeiras. São elas:
I. A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) II. (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C )
Para verificar I, suponha um dado elemento x qualquer esteja em A∩(B ∪C ), ou seja, x ∈ A∩(B ∪C ).
Pela definição de interseção e de reunião, respectivamente, temos:
x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇒ x ∈ A e x ∈ (B ∪ C )
⇒ x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C )
⇒ (x ∈ A e x ∈ B) ou (x ∈ A e x ∈ C )
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
como x é um elemento qualquer de A ∩ (B ∪ C ), concluı́mos que A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Analogamente, para II temos:
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⇒ (x ∈ A e x ∈ B) ou (x ∈ A e x ∈ C )
⇒ x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C )
⇒ x ∈ A e x ∈ (B ∪ C )
⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C )
como x é um elemento qualquer de A ∩ (B ∪ C ), concluı́mos que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ).
Assim, por I e II, afirmamos que A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
29
Fundamentos da Matemática I
Um tipo de problema interessante, que aparece constantemente nos vestibulares e concursos, é:
Exemplo 2.8. Numa turma de 7a série da Escola Crianç a Feliz, sabe-se que 27 alunos gostam mateḿatica,
33 gostam português e 15 adoram matemática e português. Pergunta-se:
(a) Quantos alunos têm essa turma?
(b) Quantos alunos não gostam de matemática? E de português?
Solução: Designemos por M e P , respectivamente, o conjunto dos alunos que gostam de matemática
e o conjunto dos alunos que gostam de português; por T o conjunto representando a turma, ou seja a
união de M com P . Assim, n(M) = 27, n(P) = 33, n(M ∩ P) = 15 e T = M ∪ P . Como 27 gostam de
matemática, podemos concluir que 27 − 15 = 12 é a quantidade de alunos que só gostam de matemática,
e que 33 − 15 = 18 é a quantidade de alunos que só gostam de português. Portanto, 12 + 15 + 18 = 45
é a quantidade de alunos nesta turma, 18 alunos não gostam de Matemática e 12 alunos não gostam de
português. Em diagramas de Venn, temos:
M P
12
(27-15)
15 18
(33-15)
T = M ∪ P
n(T ) = 12 + 18 + 15 = 45
= 27 + 33 − 15 = (12 + 15) + (18 + 15) − 15
= n(M) + n(P) − n(M ∩ P)
Mais geralmente, temos:
2.6.3 Número de Elementos da União de Dois Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos finitos. Então,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
2.7 Conjuntos das Partes. Partição de um Conjunto
Algumas vezes acontece que os objetos/elementos de um conjunto são eles próprios, conjuntos. Por
exemplo, o conjunto de todos os subconjuntos de um certo conjunto A. A fim de evitar a expressão “con-
junto de conjuntos” é comum denominar-se de “famı́lia de conjuntos” (ou classe de conjuntos). Nestas cir-
cunstâncias, e a fim de evitar confusões, adotaremos letras manuscritas maiúsculas para designar famı́lias
de conjuntos: A,B, C, . . ..
Exemplo 2.9. Em geometria é comum falar em “famı́lia de linhas” ou “famı́lia de curvas”, pois, as linhas
e as curvas são constituı́das por conjuntos de pontos.
Exemplo 2.10. O conjunto {{2, 3}, {2}, {3, 4}} é uma famı́lia de conjuntos. Seus elementos são os
conjuntos {2, 3}, {2} e {3, 4}.
Teoricamente, um conjunto pode ter alguns membros que sejam conjuntos e alguns membros que
não sejam conjuntos. Por exemplo, A = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}} não é uma famı́lia de conjuntos, pois alguns
elementos de A não são conjuntos.
30
O conjunto das partes de um conjunto A, que notamos por P(A), é o conjunto formado pelos subcon-
juntos de A. Em sı́mbolos,
P(A) = {B ; B ⊂ A}.
Definimos partição de A, e representa-se por Part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de
A, que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
I. Nenhuma dos elementos de Part(A) é o conjunto vazio;
II. A interseção de quaisquer dois elementos de Part(A) é o conjunto vazio.
III. A união de todos os elementos de Part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo 2.11. Sejam os conjuntos A = {a}, B = {m, n} e C = {x , y , z}, então:
1. P(A) = {∅, {a}}, n(A) = 1, n(P(A)) = 2 = 21
2. P(B) = {∅, {m}, {n}, {m, n}}, n(B) = 2, n(P(B)) = 4 = 22
3. P(C ) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x , y}, {x , z}, {y , z}, {x , y , z}}, n(B) = 3, n(P(B)) = 8 = 23
4. Part(B) = {{m}, {n}}
5. Part(C ) = {{x}, {y , z}}. Outra partição para C é {{y}, {x , z}}
6. Part({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) = {{0, 2, 4, 6, 8}, {1, 3, 5, 7, 9}} ou {{0, 1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8, 9}}.
Nota 13. A cardinalidade dos conjuntos das partes de A é 2k , em que k é a cardinalidade de
A, ou seja,
n(A) = k ⇒ n(P(A)) = 2k .
Nota 14. Pelo que vimos nos exemplos 2.11(5) e 2.11(6), acima, um dado conjunto pode
possuir mais de uma partição.
2.8 Exerćıcios Propostos
2.1. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, escreva com os sı́mbolos da teoria dos conjuntos as seguintes
sentenç as, em seguida atribua seu valor ĺogico.
I. 3 é elemento de A;
II. 1 não está em B ;
III. A está contido em B ;
IV. B está contido em A;
V. B é igual a A;
VI. 2 está em A e não está em B
2.2. Reescreva as seguintes proposições usando a notação de conjunto.
(a) x não pertence a A;
(b) R é um subconjunto de S ;
(c) d é um elemento de E ;
(d) F não é um subconjunto de G ;
(e) H não contém D.
2.3. Reescreva as negações das proposições dadas no item anterior, usando a notação de conjunto.
31
Fundamentos da Matemática I
2.4. Seja M = {r , s, t}. Diga se cada uma das quatro proposições abaixo está correta ou errada. Se uma
delas estiver errada, diga por que.
(a) r ∈ M (b) t ⊂ M (c) {s} ∈ M (d) {r} ⊂ M .
2.5. Julgue em verdadeiro ou falso cada sentenç a a seguir, corrigindo as falsas.
(a) {a, a, a, b, b} = {a, b} = {b, a};
(b) {x ; x < 0 ∧ x > 0} = ∅;
(c) {x ; x ≤ 0 ∨ x > 0} = ∅;
(d) ∅ ⊂ {1};
(e) ∅ ∈ {1};
2.6. Considere os conjuntos abaixo:
F : conjunto de todos os filósofos
M : conjunto de todos os matemáticos
C : conjunto de todos os cientistas
P : conjunto de todos os professores
Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando linguagem de conjuntos
I. todos os matemáticos são cientistas;
II. alguns matemáticos são filósofos;
III. alguns cientistas são filósofos;
IV. todos os filósofos são cientistas ou professores;
V. nem todo professor é cientista;
VI. alguns matemáticos são filósofos
VII. nem todo filósofo é cientista
VIII. alguns filósofos são professores
IX. se um filósofo não é matemático, ele é professor;
X. alguns filósofos são matemáticos.
2.7. Considereos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Determine e represente em diagramas de Venn:
(a) A ∪ B
(b) A ∪ C
(c) B ∪ C
(d) (A ∪ B) ∪ C
(e) A ∪ (B ∪ C )
(f) A ∩ B
(g) A ∩ C
(h) B ∩ C
(i) A ∪ (A ∩ B)
(j) A ∩ (A ∪ B)
(k) A ∩ (B ∪ C )
(l) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
(m) A − B
(n) B − A
(o) C − A
(p) A − C
(q) C − B
(r) B − C
(s) AC
(t) BC
(u) CC
2.8. Exiba pelo menos três partições diferentes para cada conjunto da questão anterior.
2.9. Para A = {1, 2}, B = {a, b, c , d , e} e C = {m, n, o}, determine: P(A), P(B) e P(C ), e #P(A), #P(B),
#P(C ).
2.10. Sendo a e b números reais quaisquer, os números possı́veis de elementos do conjunto A =
{a, b, {a}, {b}, {a, b}} são:
(a) 2 ou 5; (b) 3 ou 6; (c) 1 ou 5; (d) 2 ou 6; (e) 4 ou 5.
32
2.11. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então qual é a cardinalidade de A?
2.12. Julgue as proposições a seguir. Justifique sua resposta, ou seja exiba, quando possı́vel, contra
exemplos para as falsas e demonstre as verdadeiras.
(a) A e B são sempre subconjuntos de A ∪ B .
(b) A ∩ B é sempre subconjunto de A e de B .
(c) A = A ∪ ∅
(d) A ∪ B = ∅ não implica em A = ∅ e B = ∅
(e) A ∩ B = ∅ implica em A = ∅ e B = ∅
(f) A e B são sempre subconjuntos de A∩ B
(g) A ∩ B é um subconjunto de A e B
(h) (A − B) ⊂ A
(i) (A − B) ∩ B = ∅
(j) A − B = B − A
2.13. Considere que o conjunto A seja um subconjunto do conjunto B , ou seja, A ⊂ B . Faç a digramas de
Venn para ilustrar que BC ⊂ AC . Mais formalmente prove que:
A ⊂ B ⇒ BC ⊂ AC
2.14. Dados dois conjuntos A e B , chama-se diferenç a siḿetrica de A com B o conjunto A∆B tal que:
A∆B = (A − B) ∪ (B − A).
(a) Determine {a, b, c , d}∆{c , d , e, f , g}
(b) Verifique que A∆∅ = A
(c) Verifique que A∆A = ∅
(d) Verifique que A∆B = B∆A, para A e B quaisquer
2.15. Indique dois conjuntos A e B , para os quais sejam verdadeiras as seguintes proposições:
(a) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
(b) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
(c) As proposições acima são as leis de Morgan. Prove-as.
2.16. Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(a) Determine n(A ∪ B), n(A), n(B) e n(A ∩ B).
(b) Compare n(A ∪ B) com n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
2.17. Justifique que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), para quaisquer conjuntos A e B finitos.
2.18. Sendo A, B e C conjuntos finitos, estabeleç a uma f́ormula para obter n(A ∪ B ∪ C ).
2.19. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y . Sabe-se que das 10 pessoas presentes,
5 comeram a sobremesa X , 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram
nenhuma?
2.20. Reproduza destacando, para cada item, o diagrama de Venn dado:
(a) A ∩ (B ∪ C );
(b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );
(c) A ∪ (B ∩ C );
(d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );
A B
C
33
Fundamentos da Matemática I
2.21. Na questão anterior:
(a) compare (a) e (b), e (c) e (d).
(b) Prove a propriedade distributiva: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ), e A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ),
para quaisquer que seja A, B e C .
2.22. Trace o diagrama de Venn para os três conjuntos não vazios A, B e C , de tal maneira que A, B e C
tenham as seguintes propriedades:
(a) A ⊂ B , C ⊂ B , A ∩ C = ∅;
(b) A ⊂ B , C 6⊂ B , A ∩ C 6= ∅;
(c) A ⊂ C , A 6= C , B ∩ C = ∅;
(d) A ⊂ (B ∩ C ), B ⊂ C , A 6= C , B 6= C .
2.23. Numa escola que tem 415 alunos, 221 são apaixonados por geometria, 163 são apaixonados por
lógica e 52 são apaixonados por ambas as disciplinas. Quantos alunos
(a) são apaixonados por geometria ou lógica?
(b) não são apaixonados por nenhuma dessas disciplinas?
2.24. Uma população consome três marcas de cervejas: A, B e S . Feita uma pesquisa de mercado nesta
população, colheram-se os seguintes dados:
Marca A B S A e B B e S A e S as três não bebem cerveja
número de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115
Determine:
(a) o número de pessoas consultadas;
(b) o número de pessoas que só bebem a marca A;
(c) o número de pessoas que não bebem as marcas A ou S;
(d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
2.25. Numa certa comunidade só existem indivı́duos de três raç as: branca, preta ou amarela. Sabendo
que 70 são brancos, 350 são não pretos e 50% são amarelas, responda quantos indivı́duos tem essa
comunidade.
2.26. Depois de n dias de férias, um estudante observa que: choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
quando chove de manhã não chove à tarde; houve 5 tardes sem chuva; houve 6 manhãs sem chuva.
Quantos foram os dias de férias?
2.27. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador.
Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. Determine
o número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo.
34
Gabarito
Questão 2.1. I. 3 ∈ A (V) II. 1 6∈ B (V) III. A ⊂ B (F) IV. B ⊂ A (V) V. B = A (F) VI. 2 ∈ A − B (F) Questão 2.2. (a) x ∈ A
(b) R ⊂ S (c) d ∈ E (d) F 6⊂ G (e) H 6⊃ D Questão 2.3. (a) x ∈ A (b) R 6⊂ S (c) d 6∈ E (d) F ⊂ G (e) H ⊃ D Questão
2.4. (a) Verdadeiro. (b) Falso, pois t é elemento, logo, a proposição correta é t ∈ M . (c) Falso, pois {s} é um conjunto, logo, a
proposição correta é {s} ⊂ M . (d) Verdadeiro. Questão 2.5. (a) V. (b) V. (c) F; {x; x ≥ 0 ∨ x > 0} = ∅. (d) V. (e) F; ∅ ⊂ {1}.
Questão 2.6. I. M ⊂ C II. M ∩ F 6= ∅ III. C ∩ F 6= ∅ IV. F ⊂ C ∪ P V. P − C 6= ∅ VI. M ∩ F = ∅ VII. F − C = ∅ VIII.
F ∩ P 6= ∅ IX. F − M = P X. F ∩ M 6= ∅ Questão 2.7. (a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. (b) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. (c) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(d) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (e) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (f) {2, 4}. (g) {1, 3, 5}. (h) ∅. (i) A. (j) A. (k) A. (l) A. (m) {1, 3, 5}.
(n) {0, 6, 8}. (o) {7, 9}. (p) {2, 4}. (q) C . (r) B . (s) {0, 6, 7, 8, 9}. (t) C . (u) A. Questão 2.9. P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
P(B) = {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e}, {a, b, c}, {a, b, d},
{a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}, {a, b, c, d}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, {a, c, d, e},
{b, c, d, e}, {a, b, c, d, e}}. P(C) = {∅, {m}, {n}, {0}, {m, n}, {m, 0}, {n, 0}, {m, n, 0}}. #P(A) = 22 = 4. #P(B) = 25 = 32.
#P(C) = 23 = 8. Questão 2.10. (a) Questão 2.11. 10 Questão 2.12. (a) V (b) V (c) V (d) F (e) F (f) F (g) V (h) V (i) V
(j) F Questão 2.13. Seja x ∈ BC , da ı́ x 6∈ B . Como A ⊂ B temos que x 6∈ A, ent̃ao x ∈ AC . Isso prova que BC ⊂ AC .
Questão 2.14. (a) {a, b, e, f , g}. (b) A − ∅ = A e ∅ − A = ∅. Desse modo, A∆∅ = A. (c) Idem ao anterior. (d)
(A − B) ∪ (B − A) = (B − A) ∪ (A − B). Questão 2.16. (a) 10; 6; 7; 3. (b) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Questão 2.18.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). Questão 2.19. 1 Questão 2.23. (a) 332.
(b) 83. Questão 2.24. (a) 500. (b) 61. (c) 257. (d) 84. Questão 2.25. 560. Questão 2.26. 9. Questão 2.27. 29.
Conjuntos Numéricos
2.9 A Necessidade de Contar - Linguagens Usadas para Contar
De todas as formas de vida conhecidas sobre a Terra, a espécie humana é a única que desenvolveu um
procedimento sistemático para armazenar informações e transmiti-las de uma geração para outra. Uma
parte considerável dessas informações envolve quantidades e grandezas. Desta forma, há necessidade
de uma linguagem para tratar com quantidades, grandezas e suas relações. Esta linguagem faz parte
da Matemática, que em suas fases iniciais de desenvolvimento foi motivada pela necessidade de contar
e medir. Não podemos definir um ponto de partida histórico par a necessidade de contar ou medir, pois
estes anseios se fundem com própria história do homem.
Acredita-se, que durante o desenvolvimento das civilizações a linguagem utilizada para contar e medir
teve três fases principais: a enumeração, a numeração e o número.
A enumeração é a forma mais primitiva usada para contar. Entendemos, como uma correspondência