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CURSOS: ENGENHARIA CIVÍL; ENHENHARIA DA COMPUTAÇÃO; ENHENHARIA ELÉTRICA; ENHENHARIA DE PRODUÇÃO. DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA 02: LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS Objetivo: Explorar a definição de limite em suas diferentes formas; analisar funções quando tomamos para x valores suficientemente elevados, e da mesma forma fazendo x decrescer ilimitadamente. Limite no Infinito Há determinadas situações em que a função assume valores elevados mesmo quando estamos analisando o limite em um ponto, para exemplificar esta ideia suponha que uma cartolina de um metro quadrado vai ser repartida em pedaços cada vez menores. A tabela a seguir mostra a relação entre o tamanho dos pedaços de cartolina e o número de pedaços. Tamanho dos Pedaços (m²) Números de Pedaços 1 1 0,50 2 0,10 10 0,05 20 0,01 100 0,001 1.000 0,0001 10.000 0,00001 100.000 0 Note que conforme o tamanho diminui consideravelmente, se aproximando de zero, o número de pedaços assume valores suficientemente elevados. De modo similar, observe a função , quando x se aproxima de zero. Note que . x f(x) x f(x) 1 -1 1 1 -0,50 -2 0,50 2 -0,10 -10 0,10 10 -0,05 -20 0,05 20 -0,01 -100 0,01 100 -0,001 -1.000 0,001 1.000 -0,0001 -10.000 0,0001 10.000 -0,00001 -100.000 0,00001 100.000 -0,000001 -1.000.000 0,000001 1.000.000 0 0 Desta forma à esquerda do ponto , a função assume valores cada vez menores (); à direita do ponto 0, a função assume valores cada vez maiores (). Podemos observar este comportamento no gráfico da função. De modo geral, seja uma função onde e tendendo a um ponto . Se e , então: Para determinarmos efetivamente a tendência do limite da função podemos realizar um estudo do sinal das funções e nas redondezas do ponto . Exemplo: Análise do limite da função no ponto x = 0. Observe que para todo x real a função sempre assume valores positivos, pois é uma função constante e é uma função modular, logo, e . Deste modo, Mais alguns exemplos. Análise da função no ponto x = 0. Observe que para todo x real a função sempre assume valores negativos, pois é uma função constante, onde e é uma função quadrática, onde . Deste modo, Análise da função no ponto x = -1 e no ponto x = 0. Neste caso, a função possui variabilidade de sinal nas redondezas de do ponto x = 0 e nas redondezas de x = -1, já que a função é constante e positiva e a função possui variação do sinal segundo análise abaixo: Análise do sinal da função: Função do segundo grau, com a concavidade voltada para cima, cujas raízes são e . Ponto x = -1 Deste modo, Ponto x = 0 Deste modo, Análise da função no ponto x = 0. Neste caso, precisamos analisar o sinal da função do numerador e do denominador. Análise do sinal da função : Função do primeiro grau crescente, cuja raiz é . Análise do sinal da função : Função do segundo grau, com a concavidade voltada para cima, cujas raízes são e . A partir da análise das funções e podemos analisar a função : Propriedades: Se , então dizemos que tem limite (mais infinito) no ponto a. Se , então dizemos que tem limite (menos infinito) no ponto a. Limite no Infinito Retomando o problema da cartolina de um metro quadrado, suponha agora que x seja a quantidade de pedaços em que cartolina é repartida e represente a área de cada pedaço, esta relação está expressa na tabela a seguir: Número de Pedaços Medida de Cada Pedaço 1 1 2 0,50 10 0,10 20 0,05 100 0,01 1.000 0,001 10.000 0,0001 100.000 0,00001 0 À medida que o número de pedaços aumenta a área de cada pedaço diminui. Desta forma, à medida que x tende a mais infinito, a função tende à zero. Formalmente, podemos construir algumas ideias com x tendendo a infinito (mais infinito ou menos infinito). Seja uma função definida no intervalo . Se à medida que assume valores cada vez maiores no intervalo dado, os correspondentes valores de se aproximam de , então dizemos que o limite de para tendendo a é e escrevemos: Seja uma função definida no intervalo . Se à medida que assume valores cada vez menores no intervalo dado, os correspondentes valores de se aproximam de , então dizemos que o limite de para tendendo a é e escrevemos: Se é um inteiro positivo qualquer (, então: e . Exemplo: Análise da função , para x tendendo a mais infinito. Para algumas funções a abstração da função para o cálculo do limite pode ser efetuada considerando o comportamento da função. Veja os seguintes exemplos: Observe a função . Para analisar o limite desta função quando x está tendendo a mais infinito ou quando x está tendendo a menos infinito, precisamos entender o comportamento da função. No caso de funções polinomiais, é importante determinar o grau da função já que este indica o seu comportamento. Logo, como é uma função do segundo grau com a concavidade da parábola voltada para cima, podemos concluir que: Explorando um pouco mais esta situação observe a tabela abaixo: 1 1 -10 -9 5 25 -50 -25 9 81 -90 -9 10 100 -100 0 11 121 -110 11 100 10.000 - 1.000 9.000 1.000 1.000.000 - 10.000 990.000 Note que para x tendendo a mais infinito tende a mais infinito e tende a menos infinito, no entanto, a função tende a mais infinito. De modo prático, podemos determinar este limite da seguinte forma: Para determinar o limite da função quando x tendendo a menos infinito, por exemplo, basta analisarmos o termo de maior potência. Limites cujo resultado inicial expressa situações como , , são denominados limites indeterminados. Para encontrarmos a solução para eles é necessário realizar uma análise mais detalhada de cada caso, aplicar algumas propriedades e realizar manipulações algébricas. Exemplos:Atenção! Este método só é valido para x tendendo a mais infinito ou para x tendendo a menos infinito. De modo geral, temos: Considere . Bibliografia: FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração. 6. ed. Pearson, 2006. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2010. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Limites, Derivadas e Noções de Integral. 6. ed. Atual, 2005. v.8. LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. v.1. MUNEM, M. FOULIS D. Cálculos. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. Vol.1 6 Cálculo I x yO x yO x yO x yO x yO x yO x yO x yO
