Equações Diferenciais Ordinárias: Equações Separáveis e Homogêneas

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Equações Diferenciais Ordinárias 
Prof. Guilherme Jahnecke Weymar 
 
 
AULA 03 
Equações diferenciais de primeira ordem 
Equações separáveis 
 
 
Fonte: 
Material Daniela Buske, Boyce, Bronson, Zill, 
diversos internet 
 
1 
Equações separáveis 
2 
As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser 
escritas na forma 
 
 (1) 
 
Seja 
 
 
 
Então 
 
 
 
Substituindo-se g(y) por dh/dy na equação (1) obtemos 
 
 (2) 
)()( xf
dx
dy
yg 
 dyygyh )()(
)(yg
dy
dh

)(xf
dx
dy
dy
dh

Mas pela regra da cadeia 
 
 
O que implica que (2) pode ser escrita como: (3) 
 
 
A eq. (3) é do tipo (1.3) ( , vista na aula 02), ou seja, é da forma 
 
 
 
 
Em que Y(x) = h(y(x)). Assim, integrando-se (3) dos dois lados obtemos que a 
solução geral de (1) é dada implicitamente por 
 
 
Equações separáveis 
3 
dx
dy
dy
dh
xyh
dx
d
))((
)(tq
dt
dy

)())(( xfxyh
dx
d

)(xf
dx
dY

Cdxxfxyh   )())((
Equações separáveis 
4 
Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira: 
 
Integrando-se em relação a x ambos os membros de (1) obtemos 
 
 
 
Que pode ser reescrita como 
 
 
 
Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos 
 
 
 
 
 
Observação: As curvas que são soluções de uma equação separável 
podem ser vistas como curvas de nível da função 
Cdxxfdx
dx
dy
yg   )()(
Cdxxfdxyyg   )(')(
Cdxxfdyyg   )()(
dxxfxyhyxFz  )())((),(
Exemplo 1: Modo de resolução 1 
Encontrar a solução geral da EDO: 
 
A EDO pode ser reescrita como: 
 
ou pela regra da cadeia: 
 
Assim a solução geral é dada implicitamente por: 
 
 
As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da função 
 
O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver fig. 2) 
Equações separáveis 
5 
x
dx
dy
y 42 
x
dx
dy
y
dy
d
4)( 2 
xy
dx
d
4)( 2 
Cxdxxy  
22 2)4(
22 2),( xyyxFz 
Equações separáveis 
6 
Exemplo 1: Modo de resolução 2 
Encontrar a solução geral da EDO: 
 
Integrando-se em relação a x ambos os membros obtemos: 
 
Fazendo a substituição y’dx = dy obtemos: 
 
Assim a solução geral é dada implicitamente por 
 
As soluções são elipses (ver fig. 1) que são curvas de nível da função 
 
O gráfico da função F(x,y) dada é um parabolóide elíptico (ver fig. 2) 
 
xyyx
dx
dy
y 4'2ou 42 
Cxy  22 2
22 2),( xyyxFz 
Cdxxdxyy   4'2
Cdxxydy   42
Equações separáveis 
7 
Figura 1: Soluções da equação diferencial do exemplo 1 
Equações separáveis 
8 
Figura 2: Soluções da equação diferencial do exemplo 1 como 
curvas de nível do parabolóide elíptico z = F(x,y) = 2x2+y2. 
Equações separáveis 
9 
Exemplo 2: 
a) Encontre a solução do PVI 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o intervalo de validade da solução, ou seja, o maior 
intervalo contendo x0=1 para o qual a solução y(x) e sua derivada 
dy/dx estão definidas. 
 
c) Determine os pontos onde a solução tem um máximo local. 
 
d) Faça um esboço do gráfico da solução. 









 0)1(
33
12
2
y
y
x
dx
dy
Equações separáveis 
10 Exercício: Fazer pela primeira metodologia para verificar 
Equações separáveis 
11 
Equações separáveis 
12 
Equações separáveis 
13 
Equações separáveis 
14 
Figura 3: Solução do PVI do exemplo 2. 
Equações separáveis 
15 
Figura 4: Soluções da EDO 
e do PVI do exemplo 2. 
Equações separáveis 
16 
Figura 5: Soluções da EDO 
do exemplo 2 como curvas 
de nível de uma função de 
duas variáveis 
z=f(x,y)=y3-3y-x2+x. 
17 
Soluções por Substituições 
Muitas Equações Diferenciais, o primeiro passo para resolvê-la é 
transformar em outra E.D. “conhecida” por meio de uma substituição. 
 
 Equações Homogêneas; 
 Equações de Bernoulli; 
 Equações de Riccati; 
Equações Homogêneas 
18 
Definição: Função homogênea 
Se uma função f satisfaz 
 
 
Para algum número real n, então dizemos que f é uma função 
homogênea de grau n . 
),(),( yxfyxf n 
Equações Homogêneas 
19 
Exemplo 1: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
 
),()(),(
),(
22222222
22
yxfyxyxyxf
yxyxf
 

f é homogênea de grau 2 
Exemplo 2: : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 𝑥𝑦2 + 1 
 
 
),(13),(
13),(
32233
23
yxfyxxyxf
xyxyxf
 

f não é homogênea 
Equações Homogêneas 
20 
Exemplo 3: : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒
𝑥
𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 
𝑥
𝑦
 
 
 
),()/()/(),(
)/(),(
0//
/
yxfyxseneyxseneyxf
yxseneyxf
yxyx
yx
  

f é homogênea de grau zero 
OBS: 
1. Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante adicionada à 
função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja 
homogênea de grau zero. 
2. Uma função homogênea pode ser reconhecida examinado o grau 
de cada termo 
 
 
Equações Homogêneas 
21 
Definição: Equação homogênea 
Uma equação diferencial da forma 
 
 
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N 
são funções homogêneas do mesmo grau. 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
Equações Homogêneas 
22 
Método de solução: Equação homogênea 
Uma equação diferencial homogênea 
 
 
pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Neste 
caso a substituição: 
 
 
transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª ordem 
separável. 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
 vxy 
xdvvdxdyvxy  ;Lembrando: 
Equações Homogêneas 
23 
Exemplo 1: 
0)( 22
22



dyyxxydx
yx
xy
dx
dy
xdvvdxdyvxy  ;Substituição: 
fç homog. de mesmo grau 
cc
v
vx
v
dvv
x
dx
v
dvv
x
dxx
dvvxdxxv
dvvxdxxv
dvxvxdxxvvxvx
xdvvdxxvxxvxdx











2
2y/xv
2
3
2
3
2
3
2
2323
2323
3232322
222
2y
x
lny 
2
1
lnln 
)1()1(
)1(
 )separáveis (variáveis 0)1(
0)()(
0))((
Exercícios 
• Resolva as equações diferenciais homogêneas: 
1) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 Sol. Geral: 𝑦2 − 𝑥² = 𝐶𝑥 
 
2) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 Sol. Geral: ln 𝑥 + 𝑦 +
𝑥
𝑥+𝑦
= 𝐶 
 
3) 𝑥𝑦′ cos
𝑦
𝑥
= 𝑦 cos
𝑦
𝑥
− 𝑥 Sol. Geral: 𝑠𝑒𝑛 
𝑥
𝑦
= ln
𝐶
𝑥
 
 
4) 𝑦𝑦′ = 2𝑦 − 𝑥 Sol. Geral: 𝑦 − 𝑥 = 𝐶𝑒𝑥/(𝑦−𝑥) 
 
5) 𝑦 − 𝑥𝑦′ = 𝑥 + 𝑦𝑦′ Sol. Geral: ln 𝑥² + 𝑦² +
arctan(𝑦/𝑥) = 𝐶 
 
6) 𝑦′ = 4 +
𝑦
𝑥
+
𝑦
𝑥
2
; 𝑦 1 = 2 
Sol. Particular: arctan(𝑦/2𝑥) = ln 𝑥 + 𝜋/4 
 24 
Equações Homogêneas 
25 
Observações: Caso M(x,y) e N(x,y) sejam funções de trinômios lineares 
em x e y, ou seja 
 
 (1) 
 
Teremos de analisar se os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são proporcionais 
ou não. 
0)()( 222111  dycybxadxcybxa
Equações Homogêneas 
26 
1º caso: 
Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 são proporcionais , ie, 
 
 
 
 
Substituindo em (1): 
 (2) 
 
A transformação 
 
reduz (2) à forma de uma equação de variáveis separáveis. 
0)(])([ 222122  dycybxadxcybxaR
0
22
11

ba
ba
2121
2
1
2
1 e RbbRaaR
b
b
a
a

2
2
22 ; 
b
dxadt
dyybxat


Equações Homogêneas 
27 
Exemplo 1º caso: 
 
−𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟓 𝒅𝒚 = 𝟎 
Equações Homogêneas 
28 
2º caso: 
Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 não são proporcionais , ie, 
 
A transformação 
 
 
onde h e k são coordenadas da solução do sistema 
 
 
 
reduz (1) à forma de uma equação homogênea.0
22
11

ba
ba





dYdy 
dXdx 
kYy
hXx





0
0
222
111
cybxa
cybxa
Equações Homogêneas 
29 
Exemplo 2º caso: 
𝒙 − 𝒚 + 𝟒 𝒅𝒚 + −𝒙 − 𝒚 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎 
 
 
 
Transformação: 
 
h e k são coordenadas da solução do sistema 
 
 𝑘 = 3; ℎ = −1 
reduz à forma de uma equação homogênea. 
1 1
1 1 2 0
1 1
 
   






dYdy 
dXdx 
kYy
hXx
2 0
4 0
h k
h k
   

   
𝑋 − 𝑌 𝑑𝑌 + −𝑋 − 𝑌 𝑑𝑋 = 0 
Equações Homogêneas 
30 
Exemplo 2º caso: 
 
𝑋 − 𝑌 𝑑𝑌 + −𝑋 − 𝑌 𝑑𝑋 = 0 Eq. Homogênea de Grau 1 
𝑌 = 𝑣𝑋; 𝑑𝑌 = 𝑣𝑑𝑋 + 𝑋𝑑𝑣 Substituição: 
𝑋 − 𝑣𝑋 (𝑣𝑑𝑋 + 𝑋𝑑𝑣) + −𝑋 − 𝑣𝑋 𝑑𝑋 = 0 
1 − 𝑣 𝑋2𝑑𝑣 + 𝑣𝑋 − 𝑣2𝑋 − 𝑋 − 𝑣𝑋 𝑑𝑋 = 0 
𝑣−1
𝑣2+1
𝑑𝑣 +
𝑑𝑋
𝑋
= 0 −tan−1 𝑣 +
1
2
ln |𝑣2 + 1| + ln |𝑋| = 𝐶 
−tan−1
𝑌
𝑋
+
1
2
ln |
𝑌2+𝑋2
𝑋2
| + ln |𝑋| = 𝐶 −tan
−1 
𝑦−3
𝑥+1
+ ln | (𝑦 − 3)2+(𝑥 + 1)2| = 𝐶 
Equações de Bernoulli 
31 
Seja a equação diferencial: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛, (1) 
Onde 𝑛 ∈ ℝ 
E.D. Não linear 
Note que: 
 
 𝑛 = 0 𝑒 𝑛 = 1 a equação se torna linear. 
 
 Para 𝑛 ≠ 0 𝑒 𝑛 ≠ 1, a substituição 𝑢 = 𝑦1−𝑛 reduz qualquer equação 
da forma (1) a uma equação diferencial linear. 
Equações de Bernoulli 
32 
Seja a E.D. na forma (1): 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛, (1) 
Metodologia para resolver Equações de Bernoulli: 
1. Dividir a eq. (1) por 𝑦𝑛; 
2. Substituir 𝑢 = 𝑦1−𝑛 e 
d𝑢
𝑑𝑥
= (1 − 𝑛)𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
3. Pelos passos 1 e 2, obtém-se a seguinte equação: 
 
 
1
1−𝑛
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑢 = 𝑓 𝑥 (2) 
 
 
 Note que a eq. (2) é uma Equação Linear de 1ª Ordem na função 
incógnita 𝑢 (Pode ser resolvida multiplicando pelo Fator Integrante!) 
Equações de Bernoulli 
33 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦2 
Exemplo: 
Exercícios: Resolva a equação diferencial dada utilizando uma 
substituição apropriada. 
 
a) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− −(1 + 𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦2 
 
b) 𝑡2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦2 = 𝑡𝑦 
 
c) 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑥𝑦 = 3𝑦4 
Equações de Riccati 
34 
Uma E.D. na forma (3): 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃 𝑥 𝑦2 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅(𝑥) (3) 
é chamada de uma eq. de Riccati. 
Obs: Se 𝑃 𝑥 = 0 ⇒ Eq. é Linear! 
 
Se 𝑃 𝑥 ≠ 0 e conseguirmos de alguma forma obter uma solução particular 
da Equação Diferencial de Riccati (E.D.R.) 𝑦𝑝(𝑥), então fazemos a 
seguinte troca de variável: 
 
𝑦 = 𝑦𝑝 𝑥 +
1
𝑧
 
 
 Note que esta troca de variável transforma a E.D.R. em uma equação 
diferencial linear em x e z. 
Se não for dada a 
sol. Particular 
testar: 𝑦𝑝 𝑥 =
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠: 𝑐𝑡𝑒; 
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠; 
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠; etc 
Equações de Riccati 
35 
Exemplo: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
𝑦2 +
1
𝑥
𝑦 −
2
𝑥
 
𝑦𝑝 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 1 +
1
𝑧
 
Obs: Eq. de Bernoulli X Eq. de Riccati 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃 𝑥 𝑦2 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅(𝑥)