Apostila_Pontes_AV1_Cap6

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CAPÍTULO 6 
SOLICITAÇÕES SECCIONAIS NO VIGAMENTO PRINCIPAL DAS PONTES 
 _____________________________________________________________________ 
6.1 Introdução 
As diversas etapas do cálculo do vigamento principal serão explicadas mediante 
o cálculo de uma Ponte Exemplo. Como o livro está voltado para cursos de graduação, 
optou-se por desenvolver o cálculo de uma ponte em concreto armado, moldada no local, 
que não requer conhecimentos mais aprofundados de sistemas construtivos mais 
complexos, nem conhecimentos prévios de concreto protendido. A limitação de carga 
horária dos cursos obrigatórios de graduação impede o detalhamento do cálculo de pontes 
em balanços sucessivos, por exemplo, pelo grande volume de análises necessárias. Optou-
se também por um cálculo convencional, sem modelagens em programas de computador. 
A seguir apresentam-se as características da Ponte Exemplo que será calculada. 
Trata-se de uma ponte rodoviária, em concreto armado, constituída por três vãos 
contínuos, dois de 16m e um vão central de 20m, além de dois balanços de 4m, totalizando 
o comprimento de 60m. A seção transversal é composta por duas vigas principais de altura 
constante de 1,60m e espessura variando de 0,40m no vão para 0,70m nos apoios. Estas 
vigas são ligadas pela laje e por transversinas de apoio e intermediária. A ponte está 
inserida em rodovia de 1ª classe, possuindo duas pistas de rolamento e dois guarda-rodas, 
perfazendo uma largura total de 8,80m. 
Os materiais adotados no projeto da ponte apresentam as seguintes características: 
 Concreto estrutural: fck = 30 MPa; 
 Aço: CA-50 A (fyk = 500 MPa); 
 Aparelhos de apoio: Borracha Neoprene Fretada. 
Dados adicionais: 
 CAA II; 
 Cobrimento adotado para as armações: c  3,0 cm; 
 Trem-Tipo adotado: TB- 450 kN prescrito pela NBR-7188; 
 Guarda-Rodas: Barreira Tipo New-Jersey (Padrão DNIT); 
 Pavimentação: asfáltica. 
 O sistema construtivo da ponte é o de estrutura moldada no local sobre 
escoramento direto. 
As Figuras 6.1, 6.2 e 6.3 apresentam os desenhos de elevação e corte em planta, 
seções transversais nos vãos e nos apoios, detalhes das cortinas e da laje de transição da 
Ponte Exemplo. 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 - Forma em corte da ponte em elevação e corte em planta 
(dimensões em cm) 
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 3 
 
 
 
 
 
SEÇÃO TRANSVERSAL NO MEIO DO VÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO TRANSVERSAL NO APOIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 - Seções transversais (dimensões em cm) 
 
 
 
 
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4 
 
 DETALHE DA CORTINA E DA ABA LATERAL 
 
 
 
CORTE E-E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETALHE DA LAJE DE TRANSIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 - Detalhes da cortina, abas laterais e laje de transição 
(dimensões em cm) 
 
 
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 5 
6.2 Cálculo das Cargas Permanentes 
6.2.1 Peso Próprio Estrutural (g1) 
O cálculo das cargas atuantes em qualquer estrutura requer toda a atenção do 
Engenheiro. Erros nesta etapa do projeto são normalmente fatais, e quando não, 
propagam-se por todas as demais etapas. Assim, o cálculo das cargas atuantes deve ser 
sempre conferido e criticado antes de se iniciar uma nova etapa do projeto. 
O peso próprio estrutural corresponde ao peso de todo o concreto das peças 
estruturais da ponte (lajes, vigas, transversinas e cortinas). 
Peso específico de concreto armado - c = 25 kN/m
3 
 
a) Carga distribuída para uma viga: 
c1 Sg  (6.1) 
onde: 
S é a área da seção transversal 
g1 é a carga por metro linear. 
Como se trata de ponte em concreto armado, com seção transversal constituída 
por duas vigas ligadas pela laje, as cargas permanentes serão calculadas para meia largura 
da ponte, correspondendo, portanto, à parcela absorvida por uma viga. Este procedimento 
é adotado para estar em conformidade com o cálculo das cargas móveis que é feito 
também por viga, como será visto no item 6.2 deste capítulo. 
A Figura 6.4 mostra meia seção transversal do tabuleiro da Ponte Exemplo 
dividida em trapézios e retângulos para a sequência de cálculo das características 
geométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 - Seção transversal dividida em trapézios e retângulos 
(dimensões em cm) 
 
 Seção do vão  bw = 0,40 m 
 
𝑆𝑣ã𝑜 = 0,40 𝑥 1,60 +
0,17 𝑥 1,475
2
+ 1,875 𝑥 0,18 +
0,08 𝑥 0,4
2
+
(0,13 𝑥 0,80)
2
+ 0,22 𝑥 2,125 
𝑆𝑣ã𝑜 = 1,638 𝑚² 
 
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6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.5 - Seção transversal dividida em trapézios e retângulos 
(dimensões em cm) 
 Seção do apoio  bw = 0,70 m 
 
𝑆𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 0,70 𝑥 1,60 +
0,17 𝑥 1,475
2
+ 1,875 𝑥 0,18 +
0,08 𝑥 0,4
2
+
(0,13 𝑥 0,80)
2
+ 1,825 𝑥 0,22 
𝑆𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 2,052 𝑚² 
 
Carga distribuída da seção corrente (g1): 
𝒈𝟏 = 𝑺𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒙𝜸𝒄 = 𝟐, 𝟎𝟓𝟐 𝒎²𝒙 𝟐𝟓
𝒌𝑵
𝒎𝟑
= 𝟓𝟏, 𝟑𝟎𝟗 𝒌𝑵/𝒎 
𝒈𝟏 = 𝑺𝒗ã𝒐𝒙𝜸𝒄 = 𝟏, 𝟔𝟑𝟖 𝒎²𝒙 𝟐𝟓
𝒌𝑵
𝒎𝟑
= 𝟒𝟎, 𝟗𝟓𝟗 𝒌𝑵/𝒎 
 
b) Cargas concentradas (para uma viga) 
 
b.1) Transversinas intermediárias (desligadas da laje) 
𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 = (1,60 − 0,22 − 0,13 − 0,05) 𝑥 (2,125) 𝑥 0,25 𝑥 25 = 𝟏𝟓, 𝟗𝟑𝟕 𝒌𝑵 
 
b.2) Transversinas de apoio (ligadas à laje) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6 - Detalhe da transversina no apoio ligada a laje 
(dimensões em cm) 
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 7 
𝑃𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = [(
3,65 𝑥 1,38
2
) − (
0,13 𝑥 0,80
2
 )] 𝑥 0,25 𝑥 25 = 15,416 𝑘𝑁 
𝑃𝑚í𝑠𝑢𝑙𝑎 = [
(0,8 𝑥 0,13)
2
𝑥 
(3,65 + 2,22)
2
] 𝑥 25 = 3,816 𝑘𝑁 
𝑷𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐+𝒎𝒊𝒔𝒖𝒍𝒂 = 𝟏𝟓, 𝟒𝟏𝟔 + 𝟑, 𝟖𝟏𝟔 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟑𝟏𝒌𝑵 
 
b.3) Variação da espessura da viga principal 
 
 (Distribuição simplificada) 
Por simplicidade de cálculo, reduzem-se as cargas distribuídas lineares, referentes 
aos acréscimos da espessura da alma da viga, em cargas concentradas, aplicadas nos 
centros de gravidade dos alargamentos. Quando o cálculo é feito através de programas 
de computador esta simplificação é desnecessária. A Figura 6.7 ilustra o procedimento 
simplificado adotado. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.7 - Variação do carregamento em função do espessamento da 
alma – Distribuição simplificada (dimensões em cm) 
 
 
2
L
qqP vãoapoio  (6.2) 
 Variação da seção Transversal da viga no balanço: 
𝑃 = (2,052 − 1,638)𝑥 25 𝑥 
2,00
2
 
𝑷 = 10,35 kN 
 
 Variação da seção Transversal da viga no vão: 
𝑃 = (2,052 − 1,638)𝑥 25 𝑥 
3,20
2
 
𝑷 = 16,56 kN 
 
 
 
 
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8 
 
(Distribuição real das cargas) 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.8 - Variação do carregamento em função do espessamento da 
alma – Distribuição real (dimensões em cm) 
 
b.4) Cortina + Aba + Chanfro 
A Figura 6.3 ilustra as dimensões da cortina e da aba. 
 
 Cortina 
 
 
 
 
 
Figura 6.9 - Detalhes da cortina 
(dimensões em m) 
 
Console de apoio 
𝑃1 = [
(0,50 + 0,25)𝑥0,25
2
] 𝑥 
7,96
2
 𝑥 25 = 9,33 𝑘𝑁 
Parede frontal 
𝑃2 = (0,30 𝑥 1,60)𝑥 
8,80
2
 𝑥 25 = 52,80 𝑘𝑁 
Viga inferior 
𝑃3 = (0,25 𝑥 0,25)𝑥 
8,30
2
 𝑥 25 = 6,48 𝑘𝑁 
Mísula da cortina 
𝑃4 = (
0,13 𝑥 0,8
2
 ) 𝑥 
(4,25 + 2,65)
2
𝑥
1
2
 𝑥 25 = 2,24 𝑘𝑁 
Pcortina = 70,85 kN 
 
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 9 
 Aba da Cortina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.10 - Detalhe das abas laterais 
(dimensões em m) 
 
𝑷𝟏 = (
𝟐, 𝟓 𝒙 𝟏, 𝟎𝟎
𝟐
) 𝒙 𝟎, 𝟐𝟓 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟕, 𝟖𝟏 𝒌𝑵 
𝑷𝟐 = (𝟏 𝒙 𝟎, 𝟓𝟎)𝒙 𝟎, 𝟐𝟓 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟑, 𝟏𝟑 𝒌𝑵 
𝑷𝟑 = [(𝟎, 𝟒𝟎 𝒙 𝟑, 𝟎𝟎)𝒙 𝟎, 𝟒𝟎 𝒙 𝟐𝟓] + [(𝟎, 𝟐𝟎 𝒙 𝟑, 𝟎𝟎)𝒙 𝟎, 𝟐𝟓 𝒙 𝟐𝟓]
= 𝟏𝟓, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
 Paba = 26,69kN 
 
 Chanfro da Cortina 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.11 - Detalhes dos chanfros da cortina 
 (dimensões em m) 
 
𝑃𝑐ℎ𝑎𝑛𝑓𝑟𝑜1 = (
(0,15 + 0,075) 𝑥 0,25
2
 ) 𝑥 0,95 𝑥 25 = 0,66 𝑘𝑁 
𝑷𝒄𝒉𝒂𝒏𝒇𝒓𝒐𝟐 = (
𝟎, 𝟎𝟕𝟓 𝒙 𝟎, 𝟐𝟓
𝟐
 ) 𝒙 𝟏, 𝟐𝟎 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟖 𝒌𝑵 
Pchanfro = 0,94 kN 
 
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10 
 
𝑷𝒄𝒐𝒓𝒕𝒊𝒏𝒂+𝒂𝒃𝒂+𝒄𝒉𝒂𝒏𝒇𝒓𝒐 = (𝟕𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟐𝟔, 𝟔𝟗 + 𝟎, 𝟗𝟒) = 𝟗𝟖, 𝟒𝟖𝒌𝑵 
 
A Figura 6.12 apresenta o resumo das cargas devidas ao peso próprio estrutural (g1). 
 
 
 
 
 
Figura 6.12 - Resumo do carregamento de peso próprio estrutural (g1) 
 
6.2.2 Sobrecarga Permanente (g2) 
Nas obras rodoviárias, o carregamento correspondente a sobrecarga permanente é 
constituído pelo peso da pavimentação, guarda-rodas, guarda-corpo, laje de transição e 
aterro sobre a laje de transição. No caso de viadutos urbanos, a sobrecarga permanente 
pode incluir também cargas de postes de iluminação, tubulações, passeios, etc. 
 
c) Cargas distribuídas 
c.1) Guarda-rodas. 
 Suas dimensões estão indicadas na a Figura 6.13. (New-Jersey - DNIT) 
 
Figura 6.13 - Carga do guarda-rodas tipo New-Jersey adotado pelo DNIT 
 
𝐴1 = 
(0,17 𝑥 0,25)
2
= 0,021 𝑚² 
𝐴2 = 0,17 𝑥 0,15 = 0,026 𝑚2 
𝐴3 = (0,40 𝑥 0,23) − (0,05 𝑥 0,02) = 0,091 𝑚² 
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𝐴4 = 
(0,23 + 0,17)
2
 𝑥 0,47 = 0,094 𝑚² 
𝐴5 = 𝐴6 = 
(0,02 𝑥 0,02)
2
 = 0,0002 𝑚² 
𝐴7 = 0,13 𝑥 0,02 = 0,003 𝑚2 
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,235 𝑚
2 
𝑃𝐺.𝑅. = 0,235 𝑥 25 = 5,87 𝑘𝑁/𝑚 
 
c.2) Pavimentação Asfáltica 
A Figura 6.14 mostra o detalhe da variação da espessura do pavimento asfáltico 
da Ponte Exemplo. 
 
Figura 6.14 - Variação da espessura do pavimento asfáltico 
(dimensões em cm) 
O peso específico do asfalto corresponde a: 
³m
kN24asfalto  
𝐴 = 
(0,07 + 0,15) x 4
2
 = 0,44 𝑚² 
𝑃 = 0,44 𝑥 24 = 10,56 𝑘𝑁/𝑚 
𝒈𝟐 = (𝟏𝟎, 𝟓𝟔 + 𝟓, 𝟖𝟕) = 𝟏𝟔, 𝟒𝟑 𝒌𝑵/𝒎 
 
 
Cargas Concentradas 
 
Para efeito do cálculo das cargas, admite-se que a laje de transição funcione como 
simplesmente apoiada no solo e no console da cortina. A Figura 6.15 ilustra a distribuição 
da carga na laje de acesso. 
 
Figura 6.15 - Distribuição das cargas na laje de acesso 
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12 
 
c.3) Laje de transição 
𝑷𝑳𝒕 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒙
𝟑, 𝟎
𝟐
 𝒙
𝟕, 𝟗𝟔
𝟐
 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟑𝟕, 𝟑𝟏 𝒌𝑵 
 
c.4) Aterro sobre a laje de transição 
A camada de aterro localizada sobre a laje de acesso é considerada como uma 
carga concentrada aplicada no ponto médio da laje. 
³m
kN18solo  
𝑃𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0,35 𝑥
3,0
2
 𝑥
7,96
2
 𝑥 18 = 37,61 𝑘𝑁 
 
c.5) Guarda-rodas sobre a aba da cortina 
Deve ser considerada também a carga do guarda-rodas sobre a aba da cortina. 
𝑃𝐺𝑅 = 5,87 𝑥 3,0 = 17,61 𝑘𝑁 
 
c.6) Pavimentação sobre a laje de transição 
³
24
m
kN
asfalto  
𝑃𝑎𝑠𝑙𝑡 =
(0,15 + 0,07)x
7,96
2
2
 𝑥
3
2
 𝑥 24 = 15,76 𝑘𝑁 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (37,31+37,61+17,61+15,76) = 108,30kN 
 
A Figura 6.16 apresenta o resumo das cargas correspondentes à sobrecarga 
 
permanente (g2). 
 
Figura 6.16 - Resumo da sobrecarga permanente (g2) 
(dimensões em m) 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 13 
6.3 Distribuição Transversal das Cargas Móveis 
Os métodos de distribuição transversal das cargas móveis têm, por finalidade, a 
determinação da parcela desta carga, que atuando no plano da laje, solicita cada viga da 
seção transversal. 
 
6.3.1 Seção Transversal em Vigas Múltiplas 
A Figura 6.17 ilustra a seção de uma ponte em vigas múltiplas e a vista em planta. 
TRANSVERSINA
VIGAS LONGITUDINAIS
V1 V2 V3 V4
V1
V2
V3
V4
 
Figura 6.17 - Seção transversal e corte em planta no tabuleiro em vigas múltiplas 
 
A partir de uma carga aplicada no tabuleiro, conforme ilustra a Figura 6.18, 
faz-se a distribuição desta carga para as longarinas, de tal forma que o somatório 
das reações de apoio, representada na expressão (6.17), seja exatamente o valor da 
carga aplicada. A distância “e” representa a excentricidade da carga ao centro 
elástico da seção transversal. 
e
P
P1 P2 P3 P4
 
Figura 6.18 - Distribuição da carga móvel concentrada 
4321 PPPPP  (6.17) 
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14 
 
6.3.1.1 Métodos de Análise de Tabuleiros de Pontes em Vigas 
Múltiplas 
Na etapa de análise da superestrutura, faz-se, em geral, uma simplificação do 
modelo estrutural. Assimila-se o modelo estrutural da grelha, formada por longarinas 
e transversinas, a um modelo menos rigoroso, representado por vigas simplesmente 
apoiadas. Para que esta simplificação seja feita, aplicam-se métodos tradicionais, 
através dos quais são determinadas as parcelas de carregamento correspondentes a 
cada uma das longarinas. 
 
6.3.1.1.1 Métodos para Análise Simplificada 
Neste item são apresentados os fundamentos teóricos dos modelos simplificados, 
apontando suas principais limitações para efeito de automatização da análise. 
Na obtenção de solicitações e reações de apoio em tabuleiros de vigas múltiplas, 
são utilizados tradicionalmente quatro métodos aproximados de cálculo. 
 
a) Métodos sem consideração da torção nas vigas 
 
a.1) Método de Engesser-Courbon 
Além das hipóteses básicas relativas à Teoria das Estruturas (comportamento 
linear elástico, pequenos deslocamentos, seções planas, Princípio de Saint-Venant), 
foram consideradas ainda as abaixo descritas: 
 As longarinas são paralelas, de inércia constante e são ligadas entre si 
perpendicurlamente por transversinas e possuem inércia constante; 
 As transversinas estão simplesmente apoiadas nas longarinas e admite-se 
que aquelas possuem rigidez infinita à flexão, desprezando-se suas 
deformações em relação às deformações das longarinas; 
 Desprezam-se os efeitos de torção; 
 Admite-se que a distribuição de carga calculada no meio do vão, seja 
válida para todas as seções do vigamento principal; 
 Considera-se que as longarinas sejam idênticas e igualmente espaçadas 
entre si. 
 
Assim, com base nestas hipóteses, as transversinas comportam-se como barras 
rígidas (Itrans >> Iviga), permanecendo com seus eixos retilíneos após a deformação 
do conjunto. 
A expressão geral do método de Engesser-Courbon é: 
 
𝑹𝒊 =
𝑷
𝒏
 ±
(𝑷.𝒆).𝒙𝒊
∑ 𝒙𝒊
𝟐 (6.18) 
onde: 
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 15 
P - é o valor da carga aplicada; 
n - é o número total de longarinas ou vigas principais; 
e - é a excentricidade da carga em relação ao centro elástico; 
x - é a distância de cada longarina ao centro elástico. 
 
Assim, a totalidade da carga P é absorvida pelas longarinas, como se não 
houvesse transversinas no tabuleiro, segundo um coeficiente de repartição 
transversal. 
Como o método de Engesser-Courbon considera a rigidez da transversina infinita, 
o mesmo só deve ser aplicado com razoável aproximação se λ=0,30. A expressão (6.19) 
define o parâmetro λ: 
 𝝀 =
𝒃
𝟐.𝑳
 √
𝑳
𝒃
𝑱𝒗𝒊𝒈𝒂
𝑱𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔
𝒏
𝒎
 
𝟒
 ≤ 𝟎, 𝟑𝟎 (6.19) 
onde: 
L – é o comprimento do vão das vigas; 
b – é a largurada grelha; 
Jviga – é a inércia à flexão das vigas principais 
Jtrans – é a inércia à flexão das transversinas; 
n – é o número de vigas principais; 
m – é o número de transversinas intermediárias. 
 
O resultado obtido por este método são mais satisfatórios quanto menor for o 
parâmetro λ. 
 
a.2) Método de Leonhardt 
Neste método, além das hipóteses básicas da Teoria das Estruturas, foram ainda 
admitidas as seguintes: 
 Todas as transversinas do tabuleiro são representadas por uma única 
transversina fictícia, apoiada no meio dos vãos das diversas longarinas; 
 Esta transversina fictícia é considerada como simplesmente apoiada nas 
longarinas; 
 Desprezam-se os efeitos de torção. 
 
Sob a ação de uma carga Pk unitária, o conjunto se deforma, originando 
reações nkikk2k1 r,,r,,r,r  , denominadas "coeficientes de repartição transversal", 
onde ikr é a reação correspondente à longarina "i", quando a carga unitária atua na 
transversina "k". 
Uma vez obtidos os coeficientes ikr , a determinação dos esforços seccionais e 
reações de apoio nas longarinas pode ser feita então, de forma idêntica à do método 
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16 
 
de Engesser-Courbon. A deformabilidade do conjunto, e, portanto, os valores dos 
coeficientes ikr , dependem, nos casos normais, das seguintes grandezas: 
 Da relação entre inércias da transversina  J e longarinas  J , expressa pelo 
parâmetro  , onde: 
J
J
_
 (6.20) 
 Da relação entre o afastamento recíproco das longarinas   e o vão  L , 
expressa pelo parâmetro  , onde: 
L

 (6.21) 
Assim, os coeficientes de repartição transversal serão função do grau de rigidez 
da estrutura, expresso pelo parâmetro  , onde: 
 
3
_
3 2
L
J
J
2










 (6.22) 
Tomando-se  como parâmetro de entrada, podem-se obter os coeficientes de 
repartição transversal, tabelados para diversos casos, inclusive à aqueles com 
longarinas externas com rigidez diferente das internas. Podem ainda ser analisados 
casos especiais, com diferentes tipos de vinculação nas longarinas. 
 
b) Métodos que consideram a rigidez à torção das vigas 
 
b.1) Método de Guyon-Massonet 
Este método baseia-se na teoria geral das lajes ortotrópicas, na qual se admitem 
as seguintes hipóteses básicas: 
 A espessura da placa é constante e pequena em relação às demais 
dimensões; 
 As deformações são puramente elásticas onde é válida a lei de Hooke e os 
deslocamentos são pequenos em relação à espessura da laje; 
 Pontos alinhados segundo uma normal à superfície média da laje indeformada, 
encontram-se também linearmente dispostos em uma normal à superfície 
média na configuração deformada; 
 Pontos situados na superfície média da laje deslocam-se somente normalmente 
à mesma; 
 Em relação ao material, admite-se que as propriedades elásticas sejam 
constantes, podendo ser diferentes nas duas direções ortogonais. 
 
O estudo do problema foi desenvolvido, a partir destas hipóteses de 
comportamento da placa ortotrópica, baseando-se ainda nas premissas abaixo enunciadas: 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 17 
 O tabuleiro como um todo, composto por laje, longarinas e transversinas 
é substituído por uma placa ortotrópica equivalente. Tal associação se faz, 
admitindo-se que os espaçamentos entre longarinas e transversinas são 
suficientemente pequenos para que se possa assimilar o tabuleiro a um 
sistema estrutural contínuo (placa); 
 A distribuição de qualquer carregamento no sistema equivalente é 
aproximada através da expressão: 
  




 

L
x
senpxp (6.23) 
Esta expressão define um carregamento senoidal aplicado em uma faixa genérica, 
situada na direção paralela ao eixo longitudinal do tabuleiro. 
Considerando-se o exposto, o funcionamento estático do tabuleiro passa a ser 
então representado pela equação diferencial indicada em (6.24). 
 y,xp
y
w
p
yx
w
pp2
x
w
p
4
4
y22
4
yx4
4
x 








 (6.24) 
sendo: 
Rigidez à flexão das longarinas
x
x
I
EJ
p  (6.25) 
Rigidez à flexão das transversinas
y
_
y
I
JE
p  (6.26) 
Parâmetro de torção 
yx
yx
pp2
pp


 (6.27) 
Para o cálculo exato, seria necessário solucionar a equação (6.24), 
satisfazendo as condições de contorno correspondentes. Guyon e Massonet 
conduziram a solução do problema de forma a obter uma série de tabelas e gráficos, 
nos quais podem ser encontrados os valores dos índices de repartição transversal
 X , que dependem fundamentalmente dos seguintes parâmetros: 
 
 Do coeficiente de travejamento : 
4
y
x
p
p
L
b
 (6.28) 
sendo: 
b - a semi-largura da placa equivalente; 
L - o comprimento da placa equivalente; 
xp e yp - já definidos em (6.25) e (6.26), respectivamente. 
 
 Do parâmetro de torção  definido em (6.27); 
 Da posição da carga, definida por sua excentricidade (fração da semi-largura); 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
18 
 
 Da posição da viga que se quer obter o índice 
X (fração da semi-largura). 
Uma vez obtidos os índices de repartição transversal, o estudo das longarinas 
pode ser realizado através do carregamento das direções transversal e longitudinal 
do tabuleiro. 
 
b.2) Método de Homberg -Trenks 
O método baseia-se na teoria das grelhas. Consideram-se a rigidez à flexão 
das transversinas e longarinas e a rigidez torsional somente das longarinas. 
Nos casos estudados (número ilimitado de longarinas), a ortogonalização é 
possível com grupos de cargas e de momentos, sendo necessário que as longarinas 
possuam inércia à flexão J e à torção J constantes, e que as transversinas sejam 
idênticas e igualmente espaçadas entre si. 
Os resultados deste trabalho foram apresentados na forma de tabelas, que 
permitem sua utilização a partir do conhecimento dos seguintes parâmetros de entrada: 
Rigidez à flexão da grelha: 
J
J
a2
L
Z
_
3






 (6.29) 
Rigidez à torção da grelha: 
T
_
T
GJ
JE
a8
L
Z 





 (6.30) 
onde: 
L - é o comprimento do vão das longarinas; 
A - é o espaçamento entre longarinas; 
J - é a inércia à flexão das longarinas; 
J - é a inércia à flexão das transversinas; 
TJ - é a inércia à torção das longarinas. 
As tabelas são disponíveis para um número infinito de longarinas e valores 
de Z (rigidez à flexão), compreendidos entre 0 e . 
 
6.3.1.1.2 Campo de Aplicação dos Métodos Aproximados e Comparação 
Numérica 
 
Esses métodos, já descritos anteriormente, não levam em consideração a 
presença da laje na distribuição transversal da carga, pois utilizam o modelo de 
grelha plana e fornecem resultados precisos para tabuleiros compostos por um 
número reduzido de vigas principais e transversinas intermediárias. A presença da 
laje só é levada em conta no cálculo da inércia e área das vigas e transversinas, 
aumentando suas rijezas. A largura da mesa colaborante é obtida através das 
prescrições das normas vigentes. Muitos desses métodos são apresentados sob a 
forma de tabelas que fornecem as linhas de influência de reações das vigas 
principais. Essas linhas são calculadas para a seção do meio do vão do tabuleiro e 
admite-se que são válidas ao longo de todo o seu comprimento. Este procedimento é 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 19 
a favor da segurança, pois à medida que se aproxima dos apoios a distribuição 
transversal é mais efetiva diminuindo a solicitação por viga. Os métodos que não 
consideram no cálculo a inércia à torção das vigas principais tornam o trabalho de 
confecção das tabelas mais simples, pois diminui o grau de hiperestaticidadeda 
grelha. 
Os métodos aproximados conduzem a resultados conservadores, implicando 
em um maior consumo de armaduras nas vigas. Eles são indicados para a fase de 
anteprojeto ou para o projeto final de pontes com pequeno número de vigas, onde a 
economia de armaduras ativas e passivas é desprezível. 
Como indicação para o campo de aplicação dos métodos aproximados sem grande 
prejuízo da precisão tem-se: 





5assintransverdeºN
5vigasdeºN
 
O modelo de Cálculo em grelha é apresentado na Figura 6.19: 
 
Figura 6.19 - Modelo de grelha 
 
O grau de hiperestaticidade da grelha (G) pode ser definido considerando a inércia 
à torção das vigas principais ou não: 
 Desprezando-se a inércia à torção das vigas principais (transversinas 
simplesmente apoiadas nas vigas): 
  m2nG  (6.31) 
onde: 
n é o número de vigas; 
m é o número de transversinas. 
 Levando-se em conta a inércia à torção das vigas principais. (Engastamento 
elástico das transversinas nas vigas) 
   1nm2mn2nmG  (6.32) 
 
Faz-se, a seguir, uma comparação numérica entre o método de Engesser-Courbon 
e o método de Homberg-Weinmeister, para o caso de uma ponte com seção transversal 
da superestrutura composta por três vigas pré-moldadas com 30,0 m de vão, ligadas por 
uma transversina intermediária e por transversinas de apoio. São calculadas as linhas de 
influência de reação das vigas, no meio do vão, para efetuar a distribuição transversal de 
VIGAS PRINCIPAIS
( LONGITUDINAL )
APOIO
TRANSVERSINAS
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
20 
 
cargas. A Figura 6.20 indica esquematicamente as características geométricas das peças 
estruturais. 
 
15,00 15,00
V1
V2
V3
b
=
6
,0
0
L=30,00
3
,0
0
3
,0
0
J =1,50mviga
4-
J =1,00mtrans
4-
 
Figura 6.20 - Modelo do exemplo 
(cotas em m) 
 
 Método de Engesser-Courbon 
O método de Engesser-Courbon admite que a rigidez das transversinas seja 
infinita, com isto, a solução do problema torna-se bastante simples. Esta hipótese está 
fundamentada no pequeno valor dos vãos das transversinas quando comparado ao vão das 
vigas. A Figura 6.21 exemplifica graficamente o problema. 
X1
e
P
iR
J =
trans-
 
Figura 6.21 - Modelo de distribuição transversal por Courbon 
 
A verificação do campo de validade do método de Engesser-Courbon, para o 
exemplo da Figura 6. 20, é realizável calculando-se o parâmetro  (6.19): 
30,022,0
1
3
0,1
5,1
0,6
0,30
0,302
0,6
4 

 
Logo, o método é aplicável. 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 21 
A distribuição transversal da carga é feita aplicando-se uma carga unitária em cada 
viga e calculando a reação absorvida por cada apoio com a expressão (6.3), conforme 
apresentado nas Figuras 6.22 a 6.24. 
 
Carga P = 1 kN na viga V1 
 
Figura 6.22 - Carga P= 1 kN na viga V1 (cotas em m) 
   
kN833,0
0,30,3
0,30,31
3
1
R
221



 
kN333,0
3
1
R 2  
   
kN167,0
0,30,3
0,30,30,1
3
1
R
223



 
 
Carga P = 1 kN em V2 
 
Figura 6.23 - Carga P = 1 kN na viga V2 
kN333,0RRR 321  
 
Carga P = 1 kN na viga V3 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
22 
 
 
Figura 6.24 - Carga P= 1 kN na viga V3 (cotas em m) 
 
kN0,333
3
1
R 2  
   
kN833,0
0,30,3
0,30,31
3
1
R
223



 
A Figura 6.25 ilustra as linhas de influência de reação de apoio definidas para as 
longarinas no meio do vão longitudinal. Nota-se que a linha de influência da viga V3 pode 
ser obtida por simetria correspondente a da viga V1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.25- Linhas de influência de distribuição transversal pelo método 
de Courbon 
    
kN 167 , 0 
0 , 3 0 , 3 
0 , 3 0 , 3 0 , 1 
3 
1 
R 
2 2 1 
  
 
  
  
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 23 
 Método de Homberg/Weinmeister 
Homberg e Weinmeister organizaram tabelas para a distribuição transversal de 
cargas (1956) para tabuleiros com até 9 vigas principais na seção transversal. O método 
permite levar em conta a inércia à torção das vigas principais. 
Parâmetros de entrada nas tabelas: 














J
J
a2
L
z
J
J
r
q
3
r
 
onde: 
Jr - é a inércia à flexão da viga extrema; 
J - é a inércia da viga central; 
L - é o comprimento do vão da viga principal; 
a - é a distância entre eixo das vigas; 
Jq - é a inércia à flexão das transversinas. 
A Figura 6.26 ilustra esquematicamente o modelo para aplicar a distribuição 
transversal pelo método de Homberg. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 - Modelo para distribuição transversal pelo método de Homberg 
 
O Quadro 6.1 mostra um trecho da tabela de Homberg e a Figura6.27 ilustra a 
distribuição de forma literal. 
 
Figura 6.26 – Modelo esquemático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
24 
 
Quadro 6.1 - Tabela de Homberg para tabuleiro de 3 vigas na seção transversal 
Viga “a” Viga “b” Viga “c” 
z 80 100 
r 1,0 1,2 1,5 2,0 1,0 1,2 1,5 2,0 
Trager “a” (viga a) 
Baa 0,8347 0,8542 0,8762 0,9010 0,8344 0,8540 0,8759 0,9008 
Bab 0,3306 0,3499 0,3715 0,3960 0,3311 0,3505 0,3722 0,3968 
Bac -0,1653 -0,1458 -0,1238 -0,0990 -0,1656 -0,1460 -0,1241 -0,0992 
Trager “b” (viga b) 
Bba 0,3306 0,2915 0,2477 0,1980 0,3311 0,2921 0,2481 0,1984 
Bbb 0,3388 0,3003 0,2570 0,2079 0,3377 0,2991 0,2556 0,2063 
Bbc 0,3306 0,2915 0,2477 0,1980 0,3311 0,2921 0,2481 0,1984 
 
onde: 
B é a reação na viga 
i é a viga correspondente 
j é a posição da carga 
logo: 
Bij é a reação da viga “i” para P = 1,0 em “j “. 
 
 
Figura 6.27 - Linha de influência transversal para a viga V1 
 
Resolvendo o exemplo anterior pelo método de Homberg/Weinmeister, tem-se: 
00,1
5,1
5,1
J
J
r r  
80Z33,83
5,1
0,1
0,32
0,30
J
Jq
a2
l
Z
33













 
Consultando a tabela do Quadro 6.1, os valores para a definição das linhas de 
influência das seções transversais, ilustradas na Figura 6.26, são: 
 
 
 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 25 
 Baa = 0,8347 Bba = 0,3306 
Viga A Bab = 0,3306 Viga B Bbb = 0,3388 
 Bac =- 0,1653 Bbc = 0,3306 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.28 - Linhas de influência da seção transversal pelo método de Homberg 
 
Comparando-se as Figuras 6.25 e 6.28, verifica-se que os resultados, obtidos pelos 
dois métodos, são muitos próximos. 
 
6.3.1.2 Modelagem do Exemplo Anterior pelo Método de Análise em 
Computador através do Modelo de Grelha 
Apresenta-se na Figura 6.29, a modelagem do tabuleiro do exemplo, em elementos 
de grelha, para análise pelo programa de computador SALT da UFRJ. O programa SALT 
analisa estruturas em elementos de barra, bem como estruturas em elementos de placa 
(lajes). 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
26 
 
41 2 3 47 10
55 6 7 88 11
69 10 11 12
9
12
13
14
15
18
17
1
2
3
14
13
Y
X
Nó
Suporte
(eixo global)
 
Figura 6.29 - Modelo para análise em programa de elementos finitos 
 
6.4 Tabuleiros de Pontes Compostos por Seção Transversal em 
Caixão Celular 
Em estruturas cujas seções transversais sejam compostas por caixões unicelulares 
ou multicelulares, cada viga recebe P/n da carga aplicada sobre a seção. Isto se deve 
à elevada rigidez à torção dos caixões que permite uma distribuição transversal 
quase uniforme, dos carregamentos excêntricos, entre as vigas principais. As Figuras 
6.30 e 6.31 ilustram a distribuição transversal da carga nestas seções 
 
Figura 6.30 - Distribuição transversal de superestrutura de ponteem 
caixão de uma célula 
0
,5
0
A
0
,5
0
0
,5
0
A B
0
,5
0
P
P
2
V Va b
P
2
e
LIR
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 27 
 
Figura 6.31 - Distribuição transversal de superestrutura de ponte em 
caixão de duas células 
 
É importante salientar, que o momento, eP , é absorvido pelo fluxo de 
tensões cisalhantes que se desenvolve no caixão e não por carga e descarga nas vigas. 
 
6.5 Tabuleiros de Pontes Compostos de Seção Transversal em Duas 
Vigas Ligadas pela Laje e por Transversinas 
Neste tipo de seção transversal, indicada na Figura 6.32, despreza-se, a favor da 
segurança, a contribuição da laje e das transversinas na distribuição transversal. 
 
Figura 6.32 - Distribuição transversal em ponte composta por duas vigas 
ligadas pela laje e por transversinas 
Conforme mostra a Figura 6.33, o modelo de cálculo considera a ligação laje/viga 
rotulada, ou seja, considera a laje biapoiada nas vigas. 
A
P
P
3
V Va cVb
0
,3
3
3
0
,3
3
3
0
,3
3
3
P
3
P
3
LIR
e
P
P.b
L
V Va b
a b
L
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
28 
 
 
Figura 6.33 - Linha de influência transversal da viga VA 
 
Para efeito de carregamento da viga, posiciona-se o trem-tipo no ponto mais 
desfavorável, isto é, com o para-lama encostado no guarda-rodas, e não se carrega a área 
negativa da linha de influência, pois, desse modo, as solicitações da viga VA seriam 
aliviadas. 
Impacto vertical é o acréscimo das cargas dos veículos provocado pelo movimento 
das mesmas cargas sobre a ponte. 
O impacto vertical nas pontes rodoviárias é causado por dois efeitos distintos: 
 
 Efeito do deslocamento das cargas; 
 Irregularidades no pavimento. 
 
O primeiro efeito ser interpretado analiticamente; o segundo efeito é aleatório, 
podendo-se determiná-lo por processos experimentais. 
No caso de estruturas de pontes ferroviárias, o impacto vertical representa os 
seguintes efeitos: 
 
 Efeito dos deslocamentos das cargas; 
 Irregularidades nos trilhos e nas rodas; 
 Inclinação lateral variável da locomotiva; 
 Forças de inércia das rodas motoras. 
 
O efeito é de natureza oscilatória: as cargas dos eixos das rodas se deslocam para 
um e outro lado do eixo da linha, provocando aumento da ordem de 10% sobre as reações 
nos trilhos. 
O efeito de força de inércia das rodas motoras existe principalmente nas 
locomotivas a vapor, nas quais o esforço motor é transmitido às rodas por bielas 
excêntricas; a rotação da carga excêntrica produz impactos verticais importantes sobre os 
trilhos. 
V V
VA1,00
A B
Rótula
LIR
Rótula
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 29 
 Pontes Rodoviárias 
A NBR 7188 define a carga concentrada Q (kN) e o carregamento distribuído q 
(kN/m2), aplicados no nível do pavimento, ponderados pelos coeficientes de impacto 
vertical (CIV), do número de faixas (CNF) e de impacto adicional (CIA), no seu item 5.1, 
como sendo: 
CIACNFCIVPQ  (6.33) 
CIACNFCIVpq  (6.34) 
O coeficiente de impacto vertical (CIV) é dado por: 
35,1CIV  , para estruturas com vãos inferiores a 10,0m; 








50Liv
20
06,11CIV , para estruturas com vãos entre 10,0m e 200,0m. 
onde 
 Liv é o vão, em metros, conforme o tipo de estrutura, sendo: 
 Liv = L, para estruturas de vãos isostáticos; 
 Liv é a média aritmética dos vãos (L1, L2, L3, ..., Ln), para estruturas de 
vãos contínuos; 
 Liv é o comprimento do próprio balanço (Lbal), para estruturas em balanço. 
 Em estruturas com vãos superiores a 200,0m, deve ser realizado análise dinâmica 
para o cálculo da amplificação dinâmica e definição do coeficiente de impacto vertical. 
O coeficiente de número de faixas do tabuleiro, CNF, é expresso por: 
9,0)2n(05,01CNF 
 (6.35) 
onde 
 n é o número inteiro de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um 
tabuleiro transversalmente contínuo. Acostamentos e faixas de segurança não são faixas 
de tráfego da rodovia. 
 Este coeficiente não é aplicável no dimensionamento de elementos estruturais 
transversais ao sentido do tráfego, como por exemplo, transversinas e lajes. 
 
 O coeficiente de impacto adicional, CIA, deve ser aplicado aos esforços das 
cargas móveis nas regiões próximas às juntas estruturais e extremidades da obra. Todas 
as seções situadas a uma distância horizontal normal à junta, inferior a 5,0m para cada 
lado da junta ou descontinuidade estrutural, devem ser dimensionadas com os esforços 
majorados por este coeficiente, dado por: 
 CIA = 1,25, para obras em concreto ou mistas; 
 CIA = 1,15, para obras em aço. 
 
 Pontes ferroviárias 
  20,1L25,2Liv601600001,0CIV  (6.36) 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
30 
 
As cargas atuantes sobre os passeios das pontes não são ponderadas pelos 
coeficientes de impacto vertical (CIV), do número de faixas (CNF) e de impacto adicional 
(CIA). O valor da carga é de 3kN/m², que corresponde a quatro pessoas de 75kgf por 
metro quadrado e deve ser aplicada na posição mais desfavorável, concomitante com a 
carga móvel rodoviária. 
O elemento estrutural do passeio (laje) é dimensionado para a carga distribuída de 
5 kN/m2. 
As cargas móveis que passam sobre bueiros têm seu efeito dinâmico amortecido 
pela capa de terra acima do bueiro. Segundo a norma AASHTO, podem ser adotados os 
seguintes fatores de redução do coeficiente de impacto: 
 
Cobertura de: 
0 a 30 cm................ 1,0 
30 a 60cm............... 2/3 
60 a 90cm............... 1/3 
>90cm.....................0 
 
Em obras que suportam cargas de aeronaves, o coeficiente de impacto é igual a 
1,30 nas pistas de acesso, 1,40 nas pistas de decolagem e 2,0 nas regiões de pouso. 
 
Retornando à Ponte Exemplo, pode-se agora carregá-la com o trem-tipo TB 450 
kN, conforme ilustra Figura 6.34. 
 
Figura 6.34 - Trem-Tipo TB-450 kN em planta (dimensões em cm) 
a) Coeficiente de impacto vertical (CIV) 
Como na Ponte Exemplo, tem-se um vão de 20m e outros dois de 16m, daí: 
PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 31 
m33,17
3
162016
Liv 

 
O coeficiente CIV é dado por: 
 
 
Para os balanços de quatro metros de comprimento, o CIV é: 
35,1CIV  
b) Coeficiente de número de faixas (CNF) 
Há duas faixas de rolamento no tabuleiro da ponte exemplo, assim: 
0,1)22(05,01CNF  
c) Coeficiente de impacto adicional (CIA) 
 Este coeficiente para obras em concreto tem o valor de 1,25. Entretanto, deve ser 
aplicado nos esforços devidos às cargas móveis nas regiões próximas às juntas estruturais 
e extremidades da obra de, aproximadamente, 5,0m de distância. 
 
Para facilitar os cálculos do carregamento das linhas de influência, adota-se um 
trem-tipo simplificado, onde na área do caminhão tipo (3,00 x 6,00 m) aplica-se também 
a carga de 5 kN / m2. Com isso, as cargas concentradas das rodas do caminhão tipo são 
reduzidas, conforme mostra a Figura 6.35. 
 
𝑃 = 75 −
(6,0 𝑥 3,0)𝑥5
6
 = 60 𝑘𝑁 (6.37) 
 
 
Trem-tipo simplificado 
 
A Figura 6.36 mostra o trem-tipo carregando a linha de influência transversal da 
Ponte Exemplo. 
31,1
5033,17
20
06,11CIV 







PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 
 
32 
 
 
Figura 6.35 - Carregamento da linha de influência transversal, por viga, 
por metro, para a viga V1 
O trem-tipo longitudinal é determinado pelo produto de cada carga do trem-tipo 
transversal por sua respectiva ordenada na linha de influência. A carga de multidão é 
definida pelo produto da carga distribuída de 5 kN/m² pela área da linha de influência sob 
sua atuação. A partir da Figura6.37, tem-se as seguintes cargas resultantes: 
 Carga concentrada: 
𝑃 = 60𝑥(1,253 + 0,822) = 124,5 𝑘𝑁 
 
 Carga distribuída: 
𝑝 = 5𝑥 (
1,360 𝑥 6,325 
2
) = 21,5 𝑘𝑁/𝑚 
Apresentam-se, a seguir, o trem-tipo. 
d) Seções correntes 
kN1,16331,15,124Q  
2m
kN
17,2831,15,21q  
O trem-tipo longitudinal simplificado encontra-se ilustrado na Figura 6.36. 
 
Figura 6.36 - Carregamento da linha de influência transversal, por viga, 
por metro, para a viga V1