MODULO 01

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/
DEFINIÇÃO
Matemática Financeira. Valor do dinheiro no tempo. Conceitos
fundamentais: capital, montante, juros, taxas e fluxos de caixa
– relação nos diferentes regimes de capitalização e nas
modalidades de desconto. Equivalência de capitais:
comparação de valores em distintos instantes de tempo.
PROPÓSITO
Analisar valores monetários em diferentes instantes de tempo –
fundamental para uma boa gestão de finanças pessoais e
/
corporativas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar, certifique-se de ter em mãos uma calculadora
que seja capaz de realizar, além das operações básicas,
potenciação e logaritmos. A calculadora de seu smartphone ou
computador deve servir.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os
diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização
Simples
MÓDULO 2
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os
diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização
/
Composta
MÓDULO 3
Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua
aplicabilidade
MÓDULO 4
Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
MÓDULO 1
 Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os
diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização
Simples
INTRODUÇÃO
Vamos apresentar o Regime de Capitalização Simples, cujos
conceitos são a base para o que iremos estudar nos demais
/
módulos. Começaremos abordando os principais conceitos que
utilizaremos ao longo dos diversos módulos: Capital, Montante,
Prazos e Taxas de Juros.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma
operação de crédito, ou seja, são o valor pago pelo tomador de
um empréstimo ao credor, para compensá-lo pelo capital
cedido por um determinado prazo.
Assim, quando alguém toma dinheiro emprestado, para quitar a
dívida contraída, é preciso devolver, na data acordada para o
pagamento (Prazo), o valor do empréstimo (Capital) acrescido
da remuneração do credor (Juros). À soma desses dois valores
dá-se o nome de Montante.
/
O esquema acima ilustra uma operação de crédito. No instante
inicial (t=0), o credor cede um capital ao tomador, que no prazo
acordado (t=n) o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de
Montante (M):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem
ser aplicados a uma operação de investimento. Quando você
realiza uma aplicação financeira, o capital investido gera juros,
produzindo um montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em
um banco. Depois de algum tempo, essa pessoa quita a dívida
pagando ao banco 1.010 reais.
Vamos calcular:
Os juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C)
e dos Juros (J), temos:
/
Nessa operação:
Logo:
A taxa de juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C)
e dos Juros (J), temos:
Podemos determinar o valor percentual ao qual esses juros
correspondem, fazendo:
Ou seja, os juros pagos corresponderam a 1% do capital.
VOCÊ SABERIA DIZER SE
ESSES JUROS SÃO ALTOS OU
BAIXOS? REFLITA UM POUCO.
/
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo
teve prazo de:
1 ano
Nesse caso, todos certamente considerariam os juros bem
baixos (1% ao ano).

1 dia
Nesse, entretanto, o considerariam bem elevados (1% ao dia).
Observamos, então, que, para avaliar os juros, é preciso
conhecer o prazo a que se referem.
OS JUROS DE UMA OPERAÇÃO
PODEM, PORTANTO, SER
EXPRESSOS COMO UM
PERCENTUAL DO CAPITAL EM
DETERMINADO PRAZO. A ISSO
/
CHAMAMOS DE TAXA DE
JUROS.
TAXA DE JUROS
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do
inglês interest rate) como a razão entre os Juros e o Capital,
expressa em porcentagem e referida a um determinado prazo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere
podem ser:
Prazo Abreviação
ao dia a.d.
/
ao mês a.m.
ao bimestre a.b.
ao trimestre a.t.
ao quadrimestre a.q.
ao semestre a.s.
ano ano a.a.
ao período a.p.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a
rolagem horizontal
AO PERÍODO
javascript:void(0)
/
Esse se refere a um período genérico em que a operação é
realizada.
Fiquem atentos às abreviações, pois, de agora em diante, as
usaremos bastante.
Suponha que um investidor aplicou 2.500 reais em um CDB e
resgatou, 1 ano após a aplicação, 2.750 reais. Vejamos como
calcular:
Os juros
Nessa operação:
Logo:
A taxa de juros
Para calcularmos a taxa de juros, fazemos:
/
A taxa de juros fica expressa ao ano (a.a.), pois o período da
aplicação foi de 1 ano.
Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros!
Como vimos, eles não são a mesma coisa. Os juros são
expressos em unidades monetárias: reais, dólares, euros etc.
Já as taxas de juros são expressas em percentual e referidas a
um período (dia, mês, ano etc.).
/
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
SIMPLES
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros,
incidindo periodicamente sobre o capital, se acumulam.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros Simples,
somente o Capital Inicial rende juros. Assim, o valor dos
juros que são acrescidos ao capital é calculado com base
apenas no capital inicialmente investido.
Fonte: Shutterstock
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a
serem incorporados na operação é igual a:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um
regime de capitalização simples a uma taxa de juros igual a i
ao período, temos que os juros calculados serão:
APÓS O 1º PERÍODO: C×I
APÓS O 2º PERÍODO: C×I
... ...
APÓS O N-ÉSIMO PERÍODO: C×I
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
E teremos um Montante (M) igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime
de Capitalização Simples.
/
LEMBRE-SE QUE O NÚMERO
DE PERÍODOS (N) E A TAXA DE
JUROS (I) DEVEM ESTAR NA
MESMA UNIDADE DE TEMPO!
SE N ESTÁ EXPRESSO EM
MESES, ENTÃO I DEVE SER “AO
MÊS”; SE N ESTIVER EM ANOS,
I DEVE SER “AO ANO”, E ASSIM
POR DIANTE!
 EXEMPLO
Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago
em 3 anos, a juros simples de 15% ao ano?
Para juros simples, temos que:
No enunciado, são dados:
/
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de
tempo, podemos substituir seus valores na expressão e
obtemos o seguinte montante:
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela
abaixo:
Instante Juros Montante
t = 0 - 2.000
t = 1 ano 2.000 x 15% = 300 2.000 + 300 = 2300
t = 2 anos 2.000 x 15% = 300 2.300 + 300 = 2.600
t = 3 anos 2.000 x 15% 300 2.600 + 300 = 2.900
/
Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais,
uma vez que são obtidos pela aplicação da taxa de juros de
15% sobre o capital inicial de 2.000 reais.
TAXAS PROPORCIONAIS E
EQUIVALENTES EM JUROS
SIMPLES
Quando podemos dizer que duas taxas são equivalentes?
Quando são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo
prazo (n), produzem o mesmo montante (M). No caso de juros
simples, as taxas equivalentes são proporcionais.
Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a
mensal e duas vezes maior do que a semestral, por exemplo.
 EXEMPLO
Uma taxa de juros simples de 1% a.m. é equivalente a uma
taxa de 3% a.t., pois a taxa trimestral será 3 vezes maior do
que a taxa mensal, uma vez que há 3 meses em um trimestre.
/
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa
de juros simples de 1% a.m. corresponde a aplicar os mesmos
100 reais por um trimestre a uma taxa de 3% a.t.:
MÃO NA MASSA
1. VOCÊ FOI AO BANCO SOLICITAR UM
EMPRÉSTIMO DE R$ 1.000,00 POR UM MÊS, E O
BANCO COBROU UMA TAXA DE JUROSDE 1,5%
A.M. QUANTO VOCÊ PAGARÁ DE JUROS NESSA
OPERAÇÃO?
A) R$ 20,00
B) R$ 15,00
C) R$ 25,00
D) R$ 10,00
2. UM PRODUTO CUSTOU R$ 144,00, JÁ COM
DESCONTO DE 20% SOBRE SEU PREÇO À
/
VISTA. SE O COMPRADOR O TIVESSE
ADQUIRIDO COM PAGAMENTO APÓS UM MÊS,
PAGARIA 5% DE JUROS SOBRE O PREÇO À
VISTA. QUANTO TERIA PAGO SE COMPRASSE A
PRAZO?
A) R$ 189,00
B) R$ 180,00
C) R$ 190,00
D) R$ 179,00
3. UM BANCO APLICA R$ 100.000,00 À TAXA DE
JUROS SIMPLES DE 15% A.M. POR N MESES.
APÓS ESSE PERÍODO, ELE REAPLICA O
MONTANTE OBTIDO À TAXA DE JUROS
SIMPLES DE 20% A.M., POR 4 MESES,
OBTENDO UM MONTANTE FINAL DE R$
234.000,00. QUAL É O PRAZO DA SEGUNDA
APLICAÇÃO?
A) 5 meses.
B) 3 meses.
C) 2 meses.
/
D) 4 meses.
4. UM CAPITAL DE R$ 6.000,00, APLICADO A
JUROS SIMPLES DE 60% AO ANO, RENDEU R$
900,00. QUAL É O PRAZO DA APLICAÇÃO?
A) 5 meses.
B) 3 meses.
C) 2 meses.
D) 4 meses.
5. QUAL É O CAPITAL QUE, INVESTIDO POR 4
MESES A UMA TAXA DE JUROS SIMPLES DE 2%
A.M., GERA UM MONTANTE DE R$ 1.080,00?
A) R$ 3.000,00
B) R$ 5.000,00
C) R$ 2.000,00
D) R$ 1.000,00
6. CALCULE AS TAXAS DE JUROS SIMPLES
MENSAIS EQUIVALENTES ÀS SEGUINTES
/
TAXAS:
I - 24% A.A.
II - 6% A.S.
III -16% A.Q.
IV - 9% A.T.
V -3% A.B.
ASSINALE A ALTERNATIVA COM A SEQUÊNCIA
DE RESULTADOS CORRETA:
A) I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V - 1,5%
a.m.
B) I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V - 1,5%
a.m.
C) I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V - 4%
a.m.
D) I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V -
1,5% a.m.
GABARITO
1. Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$
1.000,00 por um mês, e o banco cobrou uma taxa de juros
/
de 1,5% a.m. Quanto você pagará de juros nessa
operação?
Sabemos que a taxa de juros é obtida fazendo:
i=JC→ J=C×i
Como, no nosso exemplo, C = R$ 1.000,00 e i =1,5% a.m.,
temos:
J=1.000×1,5%=1.000×0,015=R$ 15,00
Lembrem-se bem dessa última expressão (J=C.i), que nos
permite calcular os juros de uma operação. Basta aplicar a
Taxa de Juros ao Capital.
2. Um produto custou R$ 144,00, já com desconto de 20%
sobre seu preço à vista. Se o comprador o tivesse
adquirido com pagamento após um mês, pagaria 5% de
juros sobre o preço à vista. Quanto teria pago se
comprasse a prazo?
Seja P o preço do produto. Com um desconto de 20%, o
comprador pagou R$ 144,00, ou seja:
P×(1−20%)=144
P×0,80=144→P=1440,80=R$ 180,00
Se comprasse a prazo, pagaria esse preço, acrescido de juros
de 5%. Vamos calcular os juros:
/
J=C×i
J=180×5%=180×5100=R$ 9,00
m, o comprador teria pago:
180+9=R$ 189,00
3. Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples
de 15% a.m. por n meses. Após esse período, ele reaplica o
montante obtido à taxa de juros simples de 20% a.m., por 4
meses, obtendo um montante final de R$ 234.000,00. Qual
é o prazo da segunda aplicação?
Após n meses da primeira aplicação, o investidor terá um
montante de:
M_1=100.000×(1+0,15×𝑛)
Esse será o capital aplicado na segunda operação, gerando um
montante igual a:
M2=M1×(1+0,20×4)
M2=100.000×(1+0,15×n)×(1+0,20×4)
234.000=100.000×(1+0,15×n)×1,80
1+0,15×n=234.000100.000×1,80
1+0,15×n=1,30
0,15×n=0,30
n=0,300,15=2 meses 
/
A resposta encontrada está em meses, pois utilizamos uma
taxa de juros expressa ao mês.
4. Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de
60% ao ano, rendeu R$ 900,00. Qual é o prazo da
aplicação?
Para juros simples, temos:
J=C×i×n
C = 6.000 
i = 60% a.a. = 0,60
J = 900
Logo, substituindo na expressão, temos:
900=6.000×0,60×n
n=9006.000×0,60=0,25 anos 
O resultado é expresso em anos, pois a taxa de juros utilizada
á anual (ao ano). Para calcular o período em meses, basta
multiplicarmos o valor obtido por 12.
5. Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa
de juros simples de 2% a.m., gera um montante de R$
1.080,00?
Para juros simples, temos:
M=C×i×n
/
M = 1.080 
i = 2% a.m. = 0,02
n = 4 meses
Logo, substituindo na expressão, temos:
1.080=C×(1+0,02×4)=C×1,08
C=1.0801,08=R$ 1.000,00
6. Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes
às seguintes taxas:
I - 24% a.a.
II - 6% a.s.
III -16% a.q.
IV - 9% a.t.
V -3% a.b.
Assinale a alternativa com a sequência de resultados
correta:
Em juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais.
Assim, para determinarmos as taxas de juros simples mensais
em cada um dos itens do enunciado, fazemos:
ia=24%12=2% a.m. ib=6%6=1%a.m. ic=16%4=4%a.m.
id=9%3=3% a.m.ie=3%2=1,5% a.m.
/
TEORIA NA PRÁTICA
O regime de capitalização simples é incomum no mercado
financeiro, mas podemos encontrar exemplos em empréstimos
informais, como entre amigos ou familiares.
Imagine que João empresta R$ 1.000,00 a seu amigo Paulo,
que se compromete a devolver R$ 1.050,00 após um ano.
Quando chega a data do pagamento, Paulo diz que está com
dificuldade, mas pagará R$ 1.100,00 após mais um ano. Ou
seja, Paulo paga R$ 50 a João por cada ano do empréstimo ou
5% do valor emprestado (R$ 1.000,00).
Esse é um exemplo de capitalização simples: a taxa de juros
de 5% incide sempre sobre o valor inicial (R$ 1.000,00), e não
sobre o valor acrescido de juros (R$ 1.050,00 ao final do
primeiro ano).
Estamos usando a expressão J=C×i, com C= R$ 1.000 e i =
5%. É importante reforçar que podemos escrever a taxa de
juros de duas formas: i = 5% ou i = 0,05.
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
/
1. CALCULE O MONTANTE QUE UM CAPITAL DE
R$ 2.000,00 GERA A UMA TAXA DE JUROS
SIMPLES DE 2% A.M., DEPOIS DE CINCO MESES
E MEIO:
A) R$ 220,00
B) R$ 22.000,00
C) R$ 2.105,00
D) R$ 2.220,00
2. UM JOVEM APLICA R$ 2.500,00 A JUROS
SIMPLES PELO PRAZO DE 2 MESES,
RESGATANDO, AO FINAL DO PRAZO, R$
2.657,50. A TAXA ANUAL DA APLICAÇÃO FOI
DE:.
A) 3,15%
B) 37,8%
C) 13,0%
D) 9,6%
/
GABARITO
1. Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a
uma taxa de juros simples de 2% a.m., depois de cinco
meses e meio:
A alternativa "D " está correta.
Para juros simples, temos:
M=C×(1+i×n)
C = 2.000
i = 2% a.m. = 0,02
n = 5,5 meses
Como i e n estão expressos em meses, podemos substituir
seus valores na expressão para calcularmos o Montante.
M=2.000×(1+0,02×5,5)=2.220
2. Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo
de 2 meses, resgatando, ao final do prazo, R$ 2.657,50. A
taxa anual da aplicação foi de:.
A alternativa "B " está correta.
Os juros do período foram de:
/
J=2.657,50−2.500=157,50
Em juros simples, temos que:
J=C×i×n
157,50=2.500×i×2
i=157,502.500×2=0,0315=3,15% a.m.
A questão pede a taxa anual. Como em juros simples as taxas
equivalentes são proporcionais, a taxa anual é obtida
multiplicando-se a taxa mensal por 12. Assim:
ianual=3,15%×12=37,8%a.a.
MÓDULO 2
 Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os
diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização
Composta
INTRODUÇÃO
O presente módulo apresentará o Regime de Capitalização
Composta, o mais utilizado no mercado financeiro.
/
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
COMPOSTA
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período
de capitalização são calculados exclusivamente sobre o Capital
Inicial da operação. No entanto, a maioria das operações
financeiras não são estruturadas no Regime Simples.
No Regime de Capitalização composta, ou Juros Compostos, a
cada período de capitalização, os juros são incorporados ao
capital do período anterior para servirem como base de cálculo
dos juros no próximo período.
Chamando o Capital Inicial da operação de C, observamos que
esse capital passa por uma série de aumentos sucessivos a
uma taxa i. Como aumentar um valor em equivale a
/
multiplicá-lo por ( ), se a taxa de juros é igual a i, a
cada período de capitalização, o capital é multiplicado por (
).
Ao final de n períodos, temos um montante final igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a
rolagem horizontal
Substituindo a expressão que encontramos para o Montante
nessa última equação, temos:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
 EXEMPLO
Quais são os juros e o valor futuro de uma aplicação de R$
1.200,00, após 3 meses, a uma taxa composta de 1% a.m.?
Notem a nomenclatura utilizada. O enunciado pede os juros e o
Valor Futuro da aplicação.
Muitas vezes, o Capital e o Montante são chamados de Valor
Presente (VP) e Valor Futuro (VF) da operação financeira,
respectivamente. Então, vemos que a questão nos pede o
Montante e os Juros. Vamos lá!
Para juros compostos, temos que:
/
Logo:
Agora vamos calcular os juros da operação. Para isso,
fazemos:
Vejam que para calcular os juros não precisamos usar a
fórmula . Bastou que calculássemos o
Montante e subtraíssemos o Capital.
TAXAS EFETIVAS E
NOMINAIS
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma
unidade de tempo do período de capitalização, ou seja, o
período em que os juros são incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
/
EFETIVAS
Quando os períodos coincidem.
Taxas Efetivas
5% a.m. com capitalização mensal
4% a.a com capitalização anual
10% a.s.
1% a.d.
NOMINAIS
Nas situações em que a taxa de juros está expressa em
unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de
capitalização.
Taxas Nominais
/
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral
Notem que quando nada é dito sobre o período de
capitalização, inferimos que se trata de taxa de juros efetiva.
MAIS IMPORTANTE AINDA, NAS
FÓRMULAS QUE
DESENVOLVEMOS PARA
JUROS COMPOSTOS,
DEVEMOS SEMPRE UTILIZAR
TAXAS EFETIVAS! CASO TENHA
SIDO INFORMADA UMA TAXA
/
NOMINAL, DEVEMOS
CONVERTÊ-LA PARA A TAXA
EFETIVA ANTES DE APLICAR A
FÓRMULA.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetiva e nominal são
taxas proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior
em taxas efetivas:
Taxas Nominais Taxas Efetivas
10% a.b. com capitalização
mensal
12% a.a. com capitalização
semestral
6% a.m. com capitalização
diária
/
8% a.s. com capitalização
trimestral
TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo
capital (C) e pelo mesmo período (n), produzem o mesmo
montante (M). No entanto, à diferença dos juros simples, as
taxas proporcionais não são equivalentes para juros
compostos!
Para encontramos taxas equivalentes em juros compostos,
usamos a seguinte fórmula, em que as taxas são sempre
efetivas, nunca nominais:
Onde n1 e n2 representam o mesmo período de tempo, mas
estão expressos na unidade de suas taxas correspondentes.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
/
 EXEMPLO
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano, pode ser
determinada da seguinte forma:
Note que a taxa mensal equivalente a 12% a.a. não é 1% a.a.
como nos juros simples! Em juros compostos, taxas
proporcionais não são equivalentes.
Fonte: Shutterstock
/
TAXA REAL E TAXA
APARENTE
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não
podemos deixar de falar de inflação. A inflação é o termo usado
para designar a alta geral dos preços em uma economia. O seu
oposto é a deflação, uma queda geral dos preços na economia.
Também podemos compreender a inflação como uma redução
no poder de compra da moeda, pois, com os preços mais altos,
a mesma quantidade de dinheiro compra menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no
tempo, exatamente como fazem os juros. Assim, quando
aplicamos um determinado capital, o montante recebido ao
final da operação não tem o mesmo poder de compra que teria
no início da operação, pois foi corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é
uma taxa aparente, pois não leva em consideração as perdas
ocasionadas pela inflação. Se o efeito da inflação for
descontado dessa taxa aparente, obtemos a taxa real da
operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
Taxa real
javascript:void(0)
/
É a taxa que representa o ganho efetivo do
investimento;
É obtida descontando-se o efeito da inflação.

Taxa aparente
É a taxa nominal da operação financeira;
Possui embutida em si a inflação.
TAXA REAL
Taxa obtida pelo desconto da inflação na taxa aparente .
Representa o verdadeiro ganho financeiro da operação.
TAXA APARENTE
javascript:void(0)
/
Taxa contratada em uma operação financeira, por vezes
chamada de taxa nominal.
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e
taxa real é dada por:
ÇÃ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no
mesmo período. Em outras palavras, se estamos falando de
um período de 1 ano, as três taxas devem ser taxas efetivas
anuais. Portanto, antes de usarmos a fórmula, devemos
converter as taxas para as mesmas unidades de tempo.
 EXEMPLO
A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano
foi de 6% a.a. Nesse período, a inflação acumulada foi de 3%
a.a. Assim, podemos calcular a taxa real, uma vez que a taxa
/
de inflação é de 3% a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a.
Temos:
çã
TAXAS PREFIXADAS E PÓS-
FIXADAS
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e
nenhum investidor quer ver seu dinheiro render menos do que
/
a inflação. Pensando nisso, o mercado financeiro desenvolveu
os títulos chamados de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da
seguinte maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor
de juros reais que serão pagos e um fator de atualização
monetária – como, por exemplo, o Índice de Preços ao
Consumidor Amplo (IPCA) – que será usado para
compensar a inflação.
Assim, no início da operação, como não se sabe o valor da
inflação futura, também não há como saber o valor do
montante a ser pago para resgatar o título. Sobre esse tipo de
operação, diz-se que está “em aberto”.
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização
monetária (ou correção monetária) e calcula-se a taxa pós-
fixada da operação, combinando o fator de atualização com a
taxa de juros acordada no início da operação.
Chamando a taxa pós de ó , a taxa de correção monetária de
 e a taxa de juros acordada no início da operação de ,
temos:
javascript:void(0)
/
ÍNDICE DE PREÇOS AO
CONSUMIDOR AMPLO (IPCA)
Divulgado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), este índice serve como a
medida oficial de inflação no Brasil. Existem outros índices
que medem a inflação, como o Índice Geral de Preços do
Mercado (IGP-M) e o Índice Nacional de Preços ao
Consumidor (INPC).
Ó
Fator de atualização monetária
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece
a priori o valor do montante ao final da operação, nos títulos
/
pós-fixados só se conhece o montante final na data do
vencimento do título, ou seja, a posteriori.
MÃO NA MASSA
1. APLICAM-SE R$ 1.000,00 DURANTE 2 MESES,
A UMA TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 1% AO
MÊS. AO CALCULARMOS OS JUROS DESSA
OPERAÇÃO, OBTEREMOS:
A) R$ 20,00
B) R$ 20,05
C) R$ 20,10
D) R$ 20,01
2. POR QUANTOS MESES DEVO APLICAR R$
1.000,00 A UMA TAXA DE JUROS COMPOSTOS
DE 0,5% A.M. PARA OBTER R$ 10.000,00?
A) 460 meses
B) 450 meses
/
C) 412 meses
D) 462 meses
3. QUAL É O MONTANTE GERADO POR UM
CAPITAL DE R$ 55.000,00, APLICADO À TAXA DE
36% A.A. POR UM ANO, COM CAPITALIZAÇÃO
MENSAL COMPOSTA?
A) R$ 78.416,85
B) R$ 87.416,85
C) R$ 78.410,58
D) R$ 87.614,85
4. QUAL A TAXA EFETIVA ANUAL EQUIVALENTE
A 10% AO ANO, COM CAPITALIZAÇÃO
SEMESTRAL?
A) 10,15% a.a.
B) 10,25% a.a.
C) 10,55% a.a.
D) 10,45% a.a.
/
5. SE A TAXA DE JUROS NOMINAL FOR DE 10%
A.A., E A TAXADE INFLAÇÃO FOR DE 4% A.A.,
QUANTO VALE A TAXA DE JUROS REAL?
A) 8,5% a.a.
B) 5,5% a.a.
C) 6,5% a.a.
D) 5,8% a.a.
6. UM INVESTIMENTO DE R$ 1.000 POR UM ANO
É REMUNERADO COM 50% A TÍTULO DE
JUROS, MAIS A INFLAÇÃO DO PERÍODO, QUE
FICOU EM 20%. QUAL FOI O MONTANTE FINAL
DA OPERAÇÃO?
A) R$ 1.300,00
B) R$ 1.500,00
C) R$ 1.800,00
D) R$ 1.600,00
GABARITO
/
1. Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de
juros compostos de 1% ao mês. Ao calcularmos os juros
dessa operação, obteremos:
Para juros compostos, temos:
J=C×[(1+i)n−1]
C = 1.000 i = 1% a.m. = 0,01 n = 2 meses
Lembre-se sempre que a taxa de juros e o número de períodos
devem sempre estar expressos na mesma unidade de tempo
(neste caso, meses). Logo:
J=1.000×[(1+0,01)2−1]
J=1.000×[1,0201−1]=R$ 20,10
2. Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa
de juros compostos de 0,5% a.m. para obter R$ 10.000,00?
Para resolver esse exercício, precisaremos recordar uma
propriedade dos logaritmos, pois queremos calcular o número
de períodos n, que está no expoente da fórmula.
A propriedade dos logaritmos que nos será muito útil é a
seguinte:
log ab=b×log a
Ou seja, quando aplicamos o logaritmo a uma potência
qualquer, nesse caso ab, o expoente passa para a frente do
/
logaritmo, multiplicando-o.
Vamos ao cálculo. Para juros compostos, temos que:
M=C×(1+i)n
C = 1.000 M = 10.000 i = 0,5% a.m. = 0,005
Logo:
10.000=1.000×(1+0,005)n
1,005n=10.0001.000=1.000
log 1,005n=log 1.000
Usando a propriedade do logaritmo:
n×log 1,005=log 1.000
n=log 1.000log 1,005≅ 462 meses 
Como a taxa de juros estava expressa ao mês, encontramos n
igualmente expresso em meses.
3. Qual é o montante gerado por um capital de R$
55.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a. por um ano, com
capitalização mensal composta?
O enunciado fala em 36% ao ano, com capitalização mensal,
ou seja, trata-se de uma taxa nominal, pois o prazo da taxa
difere do período de capitalização. A taxa efetiva mensal
correspondente será dada por:
im=36%)12=3% a.m.
/
Agora, podemos usar a fórmula dos juros compostos:
M=C×(1+i)n
São dados:
C = 55.000 i = 3% a.m. = 0,03 n = 1 ano = 12 meses
Note que a taxa efetiva que calculamos é mensal, o que implica
em usar n expresso em meses. Logo:
M=55.000×(1+0,03)12=R$ 78.416,85
4. Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com
capitalização semestral?
O enunciado fala em 10% ao ano, com capitalização semestral,
ou seja, trata-se de uma taxa nominal, pois o prazo da taxa
difere do período de capitalização. A taxa efetiva semestral
correspondente será dada por:
is=10%2=5%a.s.
No entanto, o enunciado nos pede a taxa efetiva anual. Temos,
então, que calcular a taxa anual equivalente a 5% a.s.:
ia=(1+is)2 semestres1ano−1
ia=(1+0,05)2−1=10,25%a.a.
5. Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de
inflação for de 4% a.a., quanto vale a taxa de juros real?
/
Estamos vendo um exemplo em que a nomenclatura “taxa
nominal” está sendo usada como sinônimo de taxa aparente.
As taxas se relacionam da seguinte forma:
1+iaparente=(1+iinflação)×(1+ireal)
(1+0,10)=(1+0,04)×(1+ireal)
1+ireal=1,101,04=1,058
ireal=0,058×100%=5,8% a.a.
As taxas aparentes, ou nominais, não podem ser negativas,
mas isso não ocorre com as taxas de juros reais. Quando a
inflação é superior à taxa aparente, a taxa real fica negativa.
Isso significa que os juros auferidos não compensaram as
perdas com a inflação. Nesse caso, há uma perda real.
6. Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado
com 50% a título de juros, mais a inflação do período, que
ficou em 20%. Qual foi o montante final da operação?
Vamos aos cálculos:
(1+ipós)=(1+icm)×(1+ijuros)
(1+ipós)=(1+0,20)×(1+0,50)=1,80
ipós=0,80×100%=80% a.a.
Como o valor do empréstimo era de 1.000 reais, temos que o
valor final será dado por:
/
M=1.000×(1+80%)=R$ 1.800,00
M=1.000×(1+80%)=R$ 1.800,00
Os títulos pós-fixados não precisam, necessariamente, ser
corrigidos pela inflação. Também são muito comuns os títulos
corrigidos pela taxa de câmbio ou juros que não são
conhecidos no início da operação, como as taxas do CDI ou do
Selic. As duas últimas também são conhecidas como taxas
“over”. A lógica, no entanto, é a mesma.
TEORIA NA PRÁTICA
A capitalização composta é a mais usada no mercado
financeiro. Se você tem recursos investidos, ela trabalha a seu
favor, fazendo o investimento crescer mais rapidamente. Uma
dívida, porém, também irá crescer rapidamente.
Imagine que você entrou em R$ 100,00 no cheque especial do
seu banco, que cobra juros (compostos) de incríveis 12,5% ao
mês.
Se a capitalização fosse por juros simples, em um ano, essa
dívida se transformaria em R$ 250,00, o que já não é pouco.
Para obter esse resultado, calculamos inicialmente os juros
mensais, usando a expressão J=C×i, com C = R$ 100 e i =
/
12,5%: obtemos, então, R$ 12,50.
Depois, multiplicamos por 12 o número de meses. Com
capitalização composta, porém, esse valor chega a R$ 410,99!
Podemos usar uma calculadora financeira para obter esse
resultado: fazemos i = 12,5; n = 12; PV = -100; PMT = 0; e
pedimos, então, o cálculo de FV.
Taxas de 12,5% eram comuns nos bancos brasileiros até
poucos anos atrás, mas o Banco Central do Brasil definiu que a
taxa não pode ser maior que 8% ao mês, o que ainda é
bastante alto: uma dívida de R$ 100,00 chega a quanto após
12 meses?
Cuidado com o cheque especial!
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
1. UM FUNDO DE INVESTIMENTO RECEBE UMA
APLICAÇÃO DE R$ 10.000,00 E OFERECE UMA
TAXA EFETIVA DE 5% A.A. COM
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. QUAIS SERÃO OS
JUROS AUFERIDOS APÓS 36 MESES?
/
A) R$ 1.576,25
B) R$ 1.500,00
C) 11.576,25
D) 67.918,16
2. A INFLAÇÃO ACUMULADA NOS ÚLTIMOS
SEIS MESES FOI DE 3%. UM INVESTIMENTO
RENDEU 6% NO MESMO PERÍODO. CALCULE A
TAXA DE RENDIMENTO ANUAL REAL DESSE
INVESTIMENTO:
A) 3%
B) 6%
C) 2,91%
D) 5,91%
GABARITO
1. Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$
10.000,00 e oferece uma taxa efetiva de 5% a.a. com
capitalização composta. Quais serão os juros auferidos
após 36 meses?
/
A alternativa "A " está correta.
Para juros compostos, temos:
J=C.[(1+i)n−1]
C = 10.000 i = 5% a.a. = 0,05 n = 36 meses = 3 anos
Lembremos sempre de colocar a taxa de juros e o número de
períodos expressos na mesma unidade de tempo! Logo:
J=10.000.[(1+0,05)3−1]=1.576,25
2. A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%.
Um investimento rendeu 6% no mesmo período. Calcule a
taxa de rendimento anual real desse investimento:
A alternativa "D " está correta.
Vamos aos cálculos:
(1+iaparente)=(1+iinflação)×(1+ireal)
1+6%=(1+3%)×(1+ireal)
1+ireal=1,061,03=1,02913
ireal=0,029=2,913% a.s.
Note que a resposta é uma taxa semestral, pois as taxas que
usamos são semestrais. Para calcular a taxa equivalente anual,
fazemos:
/
ianual=(1+isemestral)2−1
ianual=(1+2,913%)2−1=0,0591=5,91% a.a.
MÓDULO 3
 Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua
aplicabilidade 
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos estudar os descontos, operações que
trazem valores futuros para instantes anteriores do tempo. Elas
podem ser operações racionais ou comerciais.
DESCAPITALIZAÇÃO OU
DESCONTO RACIONAL
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização.
Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital
(C) para formar um Montante (M), ou seja, ao Valor Presente
/
(VP) somam-se juros para formar um Valor Futuro (VF).
Já na Descapitalização, os juros são retirados de um Valor
Futuro para o cálculo do Valor Presente.
Assim, o desconto racional corresponde aos juros que seriam
incorporados ao Capital na operação de capitalização.
DESCONTO COMERCIAL
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o
que são os Títulos de Crédito.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer
(Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor
/
(Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um
outro ente (Credor).
Fonte: Shutterstock
 EXEMPLOComo exemplos de títulos de Crédito, podemos citar:
Duplicatas, Notas Promissórias, Letras de Câmbio, Cheque
pré-datado, etc. Há pequenas diferenças entre esses diversos
títulos: na duplicata, o Credor emite o Título, sendo, portanto, o
Emissor. Já na Nota Promissória e no Cheque, o Emissor é o
devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna
relevantes no nosso estudo é a possibilidade de serem
/
“descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de
títulos de crédito:
Fonte: Shutterstock
O devedor pode antecipar o pagamento da dívida, ou seja,
resgatar o título antes do vencimento.
/
Fonte: Shutterstock
O credor pode necessitar o recebimento do valor da dívida
antes do prazo e, para isso, “vende” o título de crédito a um
terceiro.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre
o Valor de Face do título. No primeiro caso, o desconto servirá
para recompensar o devedor pelo pagamento antecipado. No
segundo caso, o “desconto” será a remuneração do terceiro
que “comprou” o título. Essas duas operações são chamadas
de Operações de Desconto.
 ATENÇÃO
/
Cuidado com a Nomenclatura! Quando um devedor antecipa
um pagamento ou um credor “vende” um título de crédito,
dizemos que eles estão RESGATANDO ou DESCONTANDO o
título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou
Valor Atual, ou Valor Descontado, ou Valor Líquido, ou Valor de
Resgate), retirando-se do seu Valor de Face (ou Valor Futuro,
ou Valor Nominal, ou Valor no Vencimento) o Valor do
Desconto.
Assim, temos a seguinte relação:
VP=VF-DESCONTO
OU
DESCONTO=VF-VP
 EXEMPLO
/
Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma
duplicata com Valor Nominal (VF) igual a 1.100 reais, vencendo
em 1 ano. Contudo, você não quer esperar todo esse tempo
para receber o Valor de Face da duplicata e decide antecipar
seu recebimento, descontando o título em um banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP),
baseado no que ele quer receber de remuneração pela
operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por
900 reais. Nesse caso, temos o seguinte valor para o desconto:
Repararam que, na operação de descapitalização, o valor
do desconto estava diretamente ligado à taxa de juros da
operação de capitalização correspondente?
Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de
dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação
entre o credor, que deseja antecipar o recebimento do título, e
o banco que vai descontá-lo.
/
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada
nos descontos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos:
o desconto comercial simples, o desconto racional simples, o
desconto racional composto e o desconto comercial composto.
/
DESCONTO COMERCIAL
SIMPLES OU DESCONTO
BANCÁRIO, OU DESCONTO
“POR FORA” (D)
Esse é o desconto mais utilizado pelas Instituições Financeiras
(bancos, empresas de factoring etc.) para o desconto de
duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é um desconto
comercial, ou seja, não se trata de uma operação de
descapitalização, e é calculado com base no Regime Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘ ’ para representar o
desconto comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas
informações principais: o seu Valor Nominal ( ) e a data de
vencimento, ou o prazo para o vencimento ( ).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto
comercial simples ( ) oferecida pelo banco, podemos calcular
o valor do desconto através da seguinte expressão:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Notem a semelhança com a expressão que utilizamos para o
cálculo dos juros simples.
Como vimos, o valor atual de um título ( ) é dado pela
diferença entre o Valor Nominal ( ) e o desconto ( ). Logo,
temos:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
DESCONTO RACIONAL
SIMPLES OU “POR DENTRO”
(D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização
sob o Regime Simples ou linear. Reservaremos a letra
minúscula ‘ ’ para representar esse desconto, e chamaremos
de a taxa de desconto racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no
fato de que o desconto comercial é calculado sobre o valor de
/
face ( ), enquanto o desconto racional é calculado sobre o
valor atual do título ( ).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado
pela diferença entre o valor de face e o desconto. Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
/
OU
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a
própria taxa da operação de capitalização no regime simples,
ou seja, estamos realmente falando de uma operação de
descapitalização.
DESCONTO RACIONAL
COMPOSTO OU “POR
DENTRO” (DRC)
/
Este é o desconto mais utilizado nas operações de
descapitalização, pois a maioria das operações de
capitalização são efetuadas sob o regime composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença
entre o Valor Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), temos:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
DESCONTO COMERCIAL
COMPOSTO OU “POR FORA”
(DCC)
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma de
cálculo é utilizada em operações de desconto de títulos pelas
instituições financeiras, porém com menos frequência do que o
seu similar simples. Neste caso, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA QUE VOCÊ POSSUI UM TÍTULO DE
VALOR NOMINAL (VF) IGUAL A R$ 1.100,00 E
COM VENCIMENTO EM 1 ANO. ALÉM DISSO, A
TAXA DE JUROS ANUAL PRATICADA NO
MERCADO É DE 10% A.A. QUAL É O VALOR
ATUAL (VP) DESSE TÍTULO?
A) R$ 900,00
B) R$ 1.000,00
C) R$ 1.050,00
D) R$ 950,00
/
2. QUAL É O VALOR DE DESCONTO COMERCIAL
SIMPLES DE UM TÍTULO COM VALOR DE FACE
DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES,
SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 2.000,00
B) R$ 2.050,00
C) R$ 2.150,00
D) R$ 2.250,00
3. QUAL É O VALOR DE DESCONTO RACIONAL
SIMPLES DE UM TÍTULO COM VALOR DE FACE
DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES,
SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 1.956,52
B) R$ 1.556,52
C) R$ 1.765,25
D) R$ 1.865,25
4. QUAL É O VALOR DE DESCONTO RACIONAL
COMPOSTO DE UM TÍTULO COM VALOR DE
/
FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3
MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO
ANO?
A) R$ 1.652,90
B) R$ 1.552,90
C) R$ 1.662,90
D) R$ 1.562,90
5. QUAL É O VALOR DE DESCONTO COMERCIAL
COMPOSTO DE UM TÍTULO COM VALOR DE
FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3
MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO
ANO?
A) R$ 3.050,94
B) R$ 3.060,49
C) R$ 3.070,94
D) R$ 3.040,94
6. SUPONHA AGORA QUE O VALOR DO
DESCONTO SEJA DE EXATAMENTE R$ 3.000,00
PARA UM TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$
/
15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES. QUAL É
A TAXA DE DESCONTO?
A) 0,5904
B) 0,6
C) 0,5805
D) 0,9505
GABARITO
1. Suponha que você possui um título de Valor Nominal
(VF) igual a R$ 1.100,00 e com vencimento em 1 ano. Além
disso, a taxa de juros anual praticada no mercado é de 10%
a.a. Qual é o Valor Atual (VP) desse título?
O que faremos para calcular o valor atual é a operação inversa
da capitalização. Sabemos que:
VF=VP×(1+i)
Logo:
VP=VF1+i=1.1001+10%=R$ 1.000,00
Também podemos calcular o valor do desconto, caso esse
título fosse resgatado antecipadamente:
Desconto=VF−VP
Desconto=1.100−1.000=R$ 100,00
/
2. Qual é o valor de desconto comercial simplesde um
título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3
meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto comercial “por fora” é dado por:
D=VF×iD×n
VF = 15.000
iD = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
D=15.000×0,60×0,25=R$ 2.250,00
3. Qual é o valor de desconto racional simples de um título
com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3
meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto racional simples (“por dentro”) é dado por:
d=VF−VP=VF−VF1+iD×n
VF = 15.000
id = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
d=15.000−15.0001+0,60×0,25=R$ 1.956,52
/
4. Qual é o valor de desconto racional composto de um
título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3
meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto racional composto é dado por:
DRC=VF−VP=VF−VF(1+i)n
VF = 15.000
i = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
DRC=15.000−15.000(1+0,60)0,25 =R$ 1.662,90
5. Qual é o valor de desconto comercial composto de um
título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3
meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto comercial composto é dado por:
DCC=VF−VP=VF−VF×(1−i)n
VF = 15.000
i = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
DRC=15.000−15.000×(1−0,60)0,25=R$ 3.070,94
/
6. Suponha agora que o valor do desconto seja de
exatamente R$ 3.000,00 para um título com valor de face de
R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses. Qual é a taxa de
desconto?
Novamente, o desconto comercial composto é dado por:
DCC=VF−VP=VF−VF×(1−i)n
VF = 15.000 𝐢= ? n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Temos agora DCC=3.000 e precisamos calcular o valor de i, a
taxa de desconto:
3.000=15.000−15.000×(1−i)0,25
15.000×(1−i)0,25=12.000
(1−i)0,25=12.00015.000
(1−i)0v=0,8
((1−i)0,25)4=0,84
1−i=0,4096
i=0,5904
TEORIA NA PRÁTICA
Está chegando a Copa do Mundo e você resolveu comprar
uma televisão nova para assistir a todos os jogos com seus
/
amigos. Você escolheu a melhor TV da loja, mas precisou
tomar um empréstimo.
Você se comprometeu a pagar R$ 10.000,00 ao seu
emprestador, 12 meses depois, quando receberá um bônus no
seu trabalho, a uma taxa de juros de 1% ao mês.
Mas você deu sorte e ganhou o bolão da Copa com os amigos
do escritório! Foi um bolão generoso: após apenas um mês do
empréstimo, você pôde quitar a dívida.
Usando o desconto racional composto, podemos calcular o
valor do desconto que irá obter:
Note que usamos , porque você só recebeu o valor do
bolão 1 mês após a compra. Usamos ainda 
.
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
/
1. QUAL O VALOR DO DESCONTO COMERCIAL
SIMPLES DE UM TÍTULO COM VALOR DE FACE
DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES,
CONSIDERANDO UMA TAXA DE DESCONTO DE
60% A.A.?
A) R$ 27.000
B) R$ 2.500
C) R$ 2.250
D) R$ 2.125
2. UMA LOJA ANUNCIOU QUE VENDERIA SEUS
PRODUTOS COM PAGAMENTO SOMENTE APÓS
TRÊS MESES. JOÃO QUERIA COMPRAR UM
ARTIGO POR R$ 1.000,00 E PROPÔS AO
LOJISTA PAGAR À VISTA COM DESCONTO
RACIONAL SIMPLES DE 2% AO MÊS. SE O
LOJISTA ACEITAR A PROPOSTA DE JOÃO,
QUANTO ELE PAGARÁ?.
A) R$ 960,00
B) R$ 942,32
C) R$ 980,39
/
D) R$ 943,40
GABARITO
1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título
com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3
meses, considerando uma taxa de desconto de 60% a.a.?
A alternativa "C " está correta.
Vamos aos cálculos:
D=VF×iD×n
VF = 15.000
iD = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos
D=15.000×0,60×312=R$ 2.250
2. Uma loja anunciou que venderia seus produtos com
pagamento somente após três meses. João queria comprar
um artigo por R$ 1.000,00 e propôs ao lojista pagar à vista
com desconto racional simples de 2% ao mês. Se o lojista
aceitar a proposta de João, quanto ele pagará?.
A alternativa "D " está correta.
/
Vamos aos cálculos:
VP=VF(1+id×n)
VP=1.000(1+0,02×3)=R$ 943,40
MÓDULO 4
 Comparar valores monetários em diferentes instantes de
tempo
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos aprender a comparar valores monetários
em diferentes instantes de tempo, ou mesmo comparar
diferentes fluxos de caixa, procedimento fundamental para uma
boa gestão financeira.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais
são considerados equivalentes se produzem o mesmo
/
resultado final para o investidor/devedor, mesmo que estejam
em diferentes instantes de tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa
de juros de 10% a.a. Assim, o montante ao final de 1 ano será
de:
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000
reais hoje ou 1.100 reais em um ano. Dizemos, então, que
estes dois capitais são equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje
equivalem a 1.100 reais em um ano, a uma taxa de juros de
10% a.a.
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir
comparar valores monetários que estão expressos em datas
diferentes, sob uma determinada taxa de juros.
/
Notem que não podemos comparar os capitais apenas
observando seus Valores Nominais. Para compará-los,
precisamos avaliá-los na mesma data.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer
(Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor
(Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um
outro ente (Credor).
Fonte: Shutterstock
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas
futuras e os Descontos para avaliá-los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de
capitais, analisando os dois principais regimes de capitalização
e descontos: o Regime de Juros Simples e o Regime de Juros
Compostos.
/
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
SOB JUROS SIMPLES
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, a uma
mesma taxa de juros e para uma mesma data (data focal), se
os seus valores, avaliados na data focal, forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 acima são
equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos
avaliar os dois capitais. Neste exemplo, vamos considerar a
data focal como sendo 2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da
seguinte relação de capitalização em juros simples:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017,
fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de ,
também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são
equivalentes na data focal de 2017, a uma taxa de juros
simples de 10% ao ano.
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado para
trazê-lo à data focal de 2015:
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
/
SIM
NÃO
Para verificar se os capitais e são equivalentes,
definimos novamente uma data focal, na qual iremos avaliar
os dois capitais. Vamos considerar, agora, a data focal como
sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de 
, também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são
equivalentes na data focal de 2016, a uma taxa de juros
simples de 10% ao ano.
Vimos, então, que 1.000 reais em 2015 equivalem, sob juros
simples de 10% a.a., a 1.100 reais em 2016 e a 1.200 reais
em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos 
com :
/
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
SOB JUROS COMPOSTOS
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros
compostos. Vamos verificar se os capitais e são
equivalentes:
/
Para juros compostos, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017,
fazendo:
Como o valor de , avaliado em 2017, é igual ao valor de ,
também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são
equivalentes a uma taxade juros compostos de 10% ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
/
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
SIM
NÃO
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de ,
também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são
equivalentes a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Se compararmos agora com , o que teremos?
/
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais são equivalentes.
ESSA É UMA PROPRIEDADE
FUNDAMENTAL DOS JUROS
COMPOSTOS, QUE OS
DISTINGUEM DOS JUROS
SIMPLES. SE DOIS CAPITAIS
SÃO EQUIVALENTES EM UMA
DETERMINADA DATA FOCAL E
A UMA DETERMINADA TAXA DE
JUROS, ELES SERÃO
EQUIVALENTES EM QUALQUER
DATA FOCAL.
/
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar
equivalência de capitais.
EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS
DE CAIXA
Da mesma forma que podemos comparar dois valores
monetários no tempo, podemos comparar dois fluxos de caixa.
Vamos analisar os dois fluxos:
Fonte: Shutterstock
/
Fonte: Shutterstock
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018,
temos os seguintes valores presentes para os dois fluxos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
/
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais,
dizemos que são equivalentes. E isso vale para qualquer data
focal escolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da
seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
/
MÃO NA MASSA
1. UMA DÍVIDA DE R$ 10.000,00, SOB JUROS
COMPOSTOS DE 10% AO ANO, EQUIVALERÁ A
QUE VALOR EM 3 ANOS?
A) R$ 13.310,00
B) R$ 13.300,00
C) R$ 13.130,00
D) R$ 13.330,00
2. UMA DÍVIDA DE R$ 10.000,00, SOB JUROS
COMPOSTOS DE 5% AO SEMESTRE,
EQUIVALERÁ A QUE VALOR EM 3 ANOS?
A) R$ 13.300,46
B) R$ 13.400,46
C) R$ 13.500,46
D) R$ 13.600,46
/
3. UMA PESSOA TOMA R$ 2.000,00
EMPRESTADOS, PROMETENDO PAGAR COM
JUROS DE 4% A.M., EM TRÊS PRESTAÇÕES
MENSAIS. A PRIMEIRA PRESTAÇÃO VENCE EM
1 MÊS E SERÁ DE R$ 1.080,00. A SEGUNDA
SERÁ DE R$ 640,00. QUAL É O VALOR DA
TERCEIRA PRESTAÇÃO?
A) R$ 466,00
B) R$ 460,00
C) R$ 406,00
D) R$ 416,00
4. UMA PESSOA TOMA R$ 1.000,00
EMPRESTADOS, PROMETENDO PAGAR COM
JUROS DE 3% A.M., EM DUAS PRESTAÇÕES
MENSAIS. A PRIMEIRA VENCE EM 60 DIAS E
SERÁ DE R$ 600,00. QUAL É O VALOR DA
SEGUNDA PRESTAÇÃO?
A) R$ 414,73
B) R$ 454,37
C) R$ 474,73
/
D) R$ 447,37
5. UMA PESSOA TOMA R$ 3.000,00
EMPRESTADOS, PROMETENDO PAGAR COM
JUROS DE 5% AO MÊS, EM DUAS PRESTAÇÕES
BIMESTRAIS DE R$ 1.500,00. QUAL É O VALOR
DA SEGUNDA PRESTAÇÃO?
A) R$ 1.982,67
B) R$ 1.992,77
C) R$ 1.952,67
D) R$ 1.962,77
6. UMA MULTINACIONAL PRECISA REALIZAR 3
PAGAMENTOS ANUAIS DE R$ 1.000,00 NOS
PRÓXIMOS 3 ANOS. SEU DIRETOR FINANCEIRO,
NO ENTANTO, ENTENDE SER MAIS ADEQUADO
SUBSTITUIR ESSA DÍVIDA POR OUTRA
EQUIVALENTE, COM 2 PAGAMENTOS IGUAIS
AO FINAL DO SEGUNDO E DO QUARTO ANOS.
SE A TAXA DE JUROS É DE 5% A.A., QUAL É O
VALOR DESSES DOIS PAGAMENTOS?
/
A) R$ 1.547,40
B) R$ 1.547,50
C) R$ 1.537,40
D) R$ 1.537,50
GABARITO
1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de
10% ao ano, equivalerá a que valor em 3 anos?
Após 3 anos, o montante da dívida será dado por:
VF=10.000×(1+10%)3=R$ 13.310,00
2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5%
ao semestre, equivalerá a que valor em 3 anos?
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado
por:
VF=10.000×(1+5%)6=R$ 13.400,96
3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo
pagar com juros de 4% a.m., em três prestações mensais.
A primeira prestação vence em 1 mês e será de R$
1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da
terceira prestação?
A figura a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo:
/
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao
valor inicial da dívida para que haja equivalência. Logo:
1.0801+4%+640(1+4%)2+P(1+4%)3=2.000
Multiplicando toda a expressão por (1+4%)3, temos:
1.080×(1+4%)2+640×(1+4%)+P=2.000×(1+4%)3
1.168,128+665,60+P=2.249,728
P=R$ 416,00
4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo
pagar com juros de 3% a.m., em duas prestações mensais.
A primeira vence em 60 dias e será de R$ 600,00. Qual é o
valor da segunda prestação?
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior – a
diferença principal é que o primeiro pagamento já ocorre após
o segundo mês.
Novamente, o valor presente do fluxo de pagamento deve se
igualar ao valor inicial da dívida para que haja equivalência.
Logo:
/
600(1+3%)2+P(1+3%)3=1.000
Multiplicando toda a expressão por (1+3%)3, temos:
600×(1+3%)+P=1.000×(1+3%)3
P=R$ 474,73
5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo
pagar com juros de 5% ao mês, em duas prestações
bimestrais de R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda
prestação?
Usaremos novamente o raciocínio dos exercícios anteriores.
Basta prestar atenção ao fato de que os pagamentos são feitos
a cada dois meses (bimestrais), mas a taxa de juros ainda é
dada ao mês.
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor
inicial da dívida para que haja equivalência:
1.500(1+5%)2+P(1+5%)4=3.000
Multiplicando toda a expressão por (1+5%)4, temos:
1.500×(1+5%)2+P=3.000×(1+5%)4
P=R$ 1.992,77
6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais
de R$ 1.000,00 nos próximos 3 anos. Seu diretor
financeiro, no entanto, entende ser mais adequado
/
substituir essa dívida por outra equivalente, com 2
pagamentos iguais ao final do segundo e do quarto anos.
Se a taxa de juros é de 5% a.a., qual é o valor desses dois
pagamentos?
A figura abaixo ilustra os dois fluxos de pagamentos do
empréstimo. Em verde, está a situação atual, e em vermelho, a
proposta de substituição da empresa:
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em
qualquer instante de tempo, devem ser os mesmos. Para
facilitar as contas, vamos igualar o valor dos dois fluxos em
t=2:
X+X(1+5%)2=1.000×(1+5%)+1.000+1.0001+5%
X+0,907×X=1.050+1.000+952,38
1,907×X=3.002,38
X=3.002,381,907=1.547,40
/
TEORIA NA PRÁTICA
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$
1.050,00 daqui a um mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem
acesso. Empresas tomam decisões como essa a todo
momento, das mais variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele
costuma receber um mês depois (ou em “D+30”, como esse
arranjo é conhecido). No resto do mundo, é comum que o
lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra
usada no resto do mundo, mas nem todos os lojistas acharam
isso uma boa ideia, e a proposta não foi adiante. Por quê?
Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que em 30
dias?
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não
necessariamente!”.
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que
os bancos vão cobrar para operacionalizar a venda no cartão
de crédito em “D+2” ou “D+30”.
/
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas
de juros embutidas, mesmo que isso não seja explícito. Preste
sempre atenção às taxas de juros “escondidas” dentro de
outras taxas!
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao
mês, é equivalente receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00
em um mês. Esses valores são equivalentes, como vimos,
pois:
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber
daqui a um mês. Por exemplo, a uma taxa de 6% ao mês, R$
1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 daqui a um mês, o que é
melhor do que R$ 1.050,00.
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
1. OBSERVE A FIGURA A SEGUIR:
/
AO CALCULARMOS O VALOR DE P, QUE TORNA
AS SAÍDAS DE CAIXA EQUIVALENTES ÀS
ENTRADAS, CONSIDERANDO UMA TAXA DE
JUROS DE 4% AOPERÍODO, OBTEREMOS:
A) R$ 280,00
B) R$ 1.000,00
C) R$ 416,00
D) R$ 216,00
2. VOCÊ PODE PAGAR POR DETERMINADO
PRODUTO À VISTA, COM DESCONTO DE 10%,
OU PARCELADO EM DUAS PRESTAÇÕES
IGUAIS E MENSAIS. A PRIMEIRA PRESTAÇÃO É
PAGA NO ATO DA COMPRA E A SEGUNDA, UM
/
MÊS DEPOIS. QUAL É A TAXA DE JUROS
EMBUTIDA NESSA OPERAÇÃO?
A) 25% a.m.
B) 20% a.m.
C) 15% a.m.
D) 12,5% a.m.
GABARITO
1. Observe a figura a seguir:
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa
equivalentes às entradas, considerando uma taxa de juros
de 4% ao período, obteremos:
A alternativa "C " está correta.
/
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de
caixa (setas verdes) deve ser igual ao valor futuro das saídas
de caixa (seta vermelha). Assim, considerando t = 3, temos:
1.080×(1+4%)2+640×(1+4%)+P=2.000×(1+4%)3
1.833,728+P=2.249,728
P=R$ 416,00
2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com
desconto de 10%, ou parcelado em duas prestações iguais
e mensais. A primeira prestação é paga no ato da compra e
a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros
embutida nessa operação?
A alternativa "A " está correta.
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis:
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os
valores presentes dos fluxos precisam ser iguais. Logo:
P.(1−10%)=0,5.P+0,5.P1+i
0,90=0,50+0,501+i
/
0,501+i=0,40
1+i=0,500,40=1,25 
i=0,25=25% a.m.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui, você deu seus primeiros passos no campo da
Matemática Financeira, e agora sabe calcular o valor do
dinheiro em diferentes instantes do tempo. Isso é fundamental
tanto para clientes de produtos financeiros (qualquer pessoa
com conta corrente no banco, por exemplo) quanto para
gerentes financeiros de grandes empresas.
Diversos profissionais trabalham cotidianamente com os
conceitos que aprendemos aqui: juros, capital, fluxos de caixa
e regimes de capitalização. Preste atenção e busque
aplicações desses conceitos à sua volta: de promoções em
lojas a manchetes de jornais sobre investimento ou política
econômica. Você verá como os assuntos tratados aqui estão
presentes em seu dia a dia.
/
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações.
4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 6. ed. São
Paulo: Atlas,1997.
ZIMA, P. Fundamentos de Matemática Financeira. São
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
CONTEUDISTA
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
 CURRÍCULO LATTES
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