MODULO 04

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/
DEFINIÇÃO
Estudo de métodos de avaliação de projetos mutuamente
excludentes. Método do Valor Presente Líquido e da Taxa Interna de
Retorno. Métodos para análise de projetos com diferenças de prazo e
investimento inicial: Taxa Interna de Retorno Incremental e Valor
Presente Líquido Anualizado.
PROPÓSITO
Aplicar os principais métodos de avaliação de projetos mutuamente
excludentes para a seleção das melhores alternativas de
investimento.
/
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste tema, certifique-se de ter em mãos
uma calculadora financeira ou de obter acesso a uma planilha
eletrônica. Alguns dos cálculos necessitam de recursos que as
calculadoras mais simples não são capazes de realizar. Para o
aproveitamento máximo deste trabalho, é recomendável possuir
ainda um conhecimento sobre os métodos de avaliação individual de
viabilidade de projetos, como, por exemplo, Valor Presente Líquido
(VPL), Taxa Interna de Retorno (TIR), Taxa Interna de Retorno
Modificada (TIRM) e Payback.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Comparar projetos mutuamente excludentes por meio dos métodos
de Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR)
MÓDULO 2
Contrastar projetos com diferenças em prazos e em valores de
investimento inicial
/
MÓDULO 1
 Comparar projetos mutuamente excludentes por meio dos
métodos de Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno
(TIR)
INTRODUÇÃO
Apresentaremos neste módulo os conceitos de projetos
independentes e mutuamente excludentes. Em seguida, falaremos
sobre as formas de utilização dos métodos VPL e TIR para escolher
a melhor dentre as diversas alternativas de investimento que
estiverem à disposição.
PROJETOS INDEPENDENTES E
MUTUAMENTE EXCLUDENTES
/
Imagine que você seja o CFO de uma fábrica. Neste momento, você
analisa uma carteira de projetos com as seguintes opções:
CFO
Esta sigla de Chief Financial Officer identifica o cargo de diretor
financeiro de uma organização.
OPÇÃO 1
OPÇÃO 2
OPÇÃO 3
OPÇÃO 1
Projeto de instalação de uma linha de produção para um novo
produto que acaba de ser aprovado.
OPÇÃO 2
Projeto de reforma de um armazém logístico para reduzir custos de
processamento de encomendas.
javascript:void(0)
/
OPÇÃO 3
Projeto de construção de novo armazém logístico para reduzir custos
de processamento de encomendas.
Como um bom CFO, você percebe que o primeiro projeto é
independente dos demais. A decisão de executá-lo, portanto, não
depende da análise dos outros existentes. Desse modo, se ele for um
projeto viável, deverá ser executado.
Fonte:Shutterstock
 Forte em Saint Tropez ao por do sol
O mesmo não ocorre com os outros dois projetos, pois eles são
opções diferentes com o mesmo objetivo: reduzir os custos de
processamento de encomendas. Mesmo que ambos sejam viáveis,
você deve executar apenas um deles, ou seja, o melhor.
/
NESTE CASO, ELES NÃO SÃO
INDEPENDENTES, E SIM
MUTUAMENTE EXCLUDENTES,
POIS A EXECUÇÃO DE UM IMPLICA
O ABANDONO DO OUTRO.
De forma resumida, podemos definir projetos independentes e
mutuamente excludentes da seguinte forma:
Projetos independentes
A decisão sobre a execução de um deles não afeta a que será feita
sobre o outro.

Projetos mutuamente excludentes
Essa decisão implica o abandono da execução do outro, mesmo que
ambos sejam economicamente viáveis.
DE POSSE DE UM TERRENO, UMA
CONSTRUTORA TEM DUAS
/
ALTERNATIVAS: CONSTRUIR UM
EDIFÍCIO DE APARTAMENTOS POR
R$10 MILHÕES OU UM EDIFÍCIO
COMERCIAL POR R$8 MILHÕES.
SEU ORÇAMENTO DISPONÍVEL É
DE R$20 MILHÕES. ESSES
PROJETOS SÃO INDEPENDENTES
OU MUTUAMENTE EXCLUDENTES?
RESPOSTA
 ATENÇÃO
javascript:void(0)
/
Neste tema, nossa atenção estará voltada para a análise de projetos
mutuamente excludentes.
USANDO O VPL E A TIR PARA
SELECIONAR PROJETOS
Antes de comparar projetos, devemos nos certificar de que eles são
viáveis. Para isso, usamos algumas ferramentas. Vamos conhecê-las
a seguir.
FERRAMENTAS
Os critérios de aceitação ou rejeição dos projetos estão resumidos na
tabela a seguir:
Método Aceitação Rejeição
VPL VPL > 0 VPL < 0
TIR
TIR > taxa mínima
de atratividade
TIR < taxa mínima
de atratividade
TIRM TIRM > taxa
mínima de
atratividade
TIRM < taxa
mínima de
atratividade
javascript:void(0)
/
Payback simples
ou descontado
Payback < tempo
máximo de retorno
Payback > tempo
máximo de retorno
TRC TRC > 1 TRC < 1
Métodos do VPL e da TRC
Concentram-se no valor agregado pelo projeto.

Métodos de TIR e TIRM
Estão voltados para a rentabilidade do projeto.

Método Payback
Está voltado para o tempo de retorno.
EM FUNÇÃO DOS OBJETIVOS DA
EMPRESA E DAS
CIRCUNSTÂNCIAS DO PROJETO,
ELES PODEM TER UMA MAIOR OU
/
MENOR IMPORTÂNCIA NA
ANÁLISE DE VIABILIDADE.
Uma vez eliminados os projetos economicamente inviáveis,
passamos à análise dos que restaram, identificando tanto os
independentes dos demais quanto os mutuamente excludentes.
Suponhamos que dois projetos mutuamente excludentes possuam os
seguintes fluxos de caixa:

/
Podemos calcular o VPL e a TIR de cada um dos projetos.
VAMOS REMEMORAR O CÁLCULO
DO VPL DO PROJETO A:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS
+ g + CF0
Insere o fluxo inicial de -100.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
/
5 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo
de 25.000 se repete.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL.
2° - No Excel
Agora, na coluna C9, insira a fórmula:
=VPL(C1;C4:C8)+C3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Desse modo, temos este resultado:
/
AGORA VAMOS OBSERVAR O
CÁLCULO DO VPL DO PROJETO B:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS
+ g + CF0
Insere o fluxo inicial de -100.000.
15000 + g + CFj Insere o valor de CF1 = 15.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
3 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo
/
de 25.000 se repete.
35000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 35.000.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL.
2° - No Excel
Para o cálculo da VPL no Excel, vamos primeiramente organizar a
planilha conforme a imagem a seguir. Podemos aproveitar a mesma
que apresentamos anteriormente, incluindo apenas o Projeto B
analisado neste momento:
Agora, na coluna D9, insira a fórmula:
=VPL(C1;D4:D8)+D3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
/
Com isso, observamos este resultado:
APÓS RELEMBRAMOS O
CÁLCULO DO VPL, VAMOS
LEMBRAR AGORA O DE TIR NO
PROJETO A:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS
+ g + CF0
Insere o fluxo inicial de -100.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
/
5 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo
de 25.000 se repete.
f + IRR Calcula a TIR.
35000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 35.000.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL.
2° - No Excel
Empregaremos a planilha que já possuímos inserindo uma linha para
TIR e, na coluna C10, a fórmula:
=TIR(C3:C8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Assim, obtemos o resultado:
/
AGORA VAMOS VER O CÁLCULO
DE TIR NO PROJETO B:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS
+ g + CF0
Insere o fluxo inicial de -100.000.
15000 + g + CFj Insere o valor de CF1 = 15.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
3 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo
/
de 25.000 se repete.
35000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 35.000.
f + IRR Calcula a TIR.
2° - No Excel
Usando a mesma planilha, inserimos, na coluna D10, esta fórmula:
=TIR(D3:D8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a
rolagem horizontal
Desse modo, temos o seguinte resultado:
Dessa maneira, notamos o seguinte:
Projeto A
VPLA=8.236,92
/
TIRA=7,93% a.a.

Projeto B
VPLB=6.548,37
TIRB=7,10% a.a.
OS DOIS PROJETOS POSSUEM
VPL > 0 E TIR > 5%; ELES,
PORTANTO, SÃO VIÁVEIS.
Mas ainda resta uma questão:
Qual dos doisse deve escolher então?
O VPL indica o quanto de valor um projeto aporta. Portanto, quanto
maior for o VPL, melhor o projeto será. A TIR, por sua vez, remete à
rentabilidade dele. Assim como ocorre no VPL, quanto maior for a
TIR, melhor será o projeto.
Dessa forma, os dois indicadores apontam A como o melhor dos dois
projetos. Logo, ele deve ser o projeto escolhido.
/
CONFLITOS ENTRE OS
MÉTODOS VPL E TIR
Verificaremos agora as situações em que os métodos do VPL e da
TIR apresentam resultados conflitantes. Nosso propósito é aprender
a interpretar esses resultados e saber como proceder para a seleção
do melhor projeto.
Já vimos que devemos escolher os projetos com os maiores VPL e
TIR. Tendo isso em vista, analisemos estes projetos:

/
Apresentaremos o VPL e a TIR para cada um deles, considerando,
neste caso, uma Taxa Mínima de Atratividade (TMA) igual a 5% ao
ano (a.a.):
Projeto A
VPLA=4.561,76
TIRA=19,29% a.a.

Projeto B
VPLB=4.791,19
TIRB=18,13% a.a.
/
ANALISANDO OS DOIS PROJETOS,
RESTA UMA DÚVIDA: QUAL SERIA
A MELHOR OPÇÃO?
Se considerarmos:
O método VPL
Escolheremos B, pois ele é o projeto com o maior VPL, agregando à
empresa o valor mais substancial.
O método TIR
Se levarmos em consideração este método, o escolhido será A, já
que ele é o projeto com a maior TIR, apresentando, portanto, mais
rentabilidade.
O QUE FAREMOS ENTÃO?
Antes de decidirmos, precisaremos entender o motivo dessa
divergência entre os dois métodos. Para isso, vamos olhar o gráfico
que mostra a relação entre o VPL e a TMA para os dois projetos.
/
Vemos neste gráfico que a TIR do projeto A é maior que a TIR do B,
pois a curva azul corta o eixo horizontal em 19,29%, enquanto a
vermelha o atravessa em 18,13%. No entanto, como estamos usando
uma TMA = 5%, o VPL do projeto B é, neste ponto, superior ao VPL
de A.
SE USÁSSEMOS OUTRO VALOR
PARA A TMA, O QUE TERIA
OCORRIDO?
Considerando uma TMA igual a 15% a.a., esta tabela apresenta o
VPL e a TIR para cada um dos projetos:
Projeto A
VPLA=1.091,34
/
TIRA=19,29% a.a.

Projeto B
VPLB=913,81
TIRB=18,13% a.a.
Notemos que a escolha da TMA só afeta o cálculo do VPL. A TIR dos
dois projetos permanece inalterada. Os métodos do VPL e da TIR
agora indicam o projeto A como sendo o melhor.
Graficamente, isso está expresso da seguinte forma:
Fonte:Shutterstock
Ao analisarmos o TMA, verificamos que:
/
Quando a TMA está à direita do ponto de interseção entre as
duas curvas, os métodos convergem na escolha do projeto.
Quando ela fica à esquerda desse ponto entre as duas curvas,
eles divergem.
Fica clara então a importância de uma boa estimativa da TMA para a
avaliação de projetos pelo método do VPL.
Agora que já entendemos o motivo de haver uma divergência entre
os dois métodos, ainda resta a pergunta:
QUAL PROJETO ESCOLHER?
O RECOMENDADO É QUE, CASO
HAJA ALGUMA DIVERGÊNCIA
ENTRE OS DOIS MÉTODOS, SE DÊ
PREFERÊNCIA AO MÉTODO DO
VPL, POIS ELE INDICA O VALOR
ADICIONADO À EMPRESA. ALÉM
DISSO, OS PRESSUPOSTOS DA
TIR, QUE CONSIDERA QUE OS
FLUXOS INTERMEDIÁRIOS SERÃO
/
REINVESTIDOS NA PRÓPRIA TIR,
SÃO MENOS REALISTAS QUE OS
DO VPL, O QUAL, POR SUA VEZ,
OBSERVA QUE ESSES FLUXOS
SERÃO INVESTIDOS NA TMA.
Dessa maneira, na ausência de outras informações, escolhe-se o
projeto com o maior VPL. No caso apresentado, a escolha recai
sobre B.
MÃO NA MASSA
1. UMA EMPRESA ANALISA OS SEGUINTES
PROJETOS:
• AQUISIÇÃO DE UM NOVO SISTEMA
INFORMATIZADO DE GESTÃO DE PESSOAS;
• TERCEIRIZAÇÃO DO DEPARTAMENTO DE
RECURSOS HUMANOS (RH).
OS PROJETOS ACIMA SÃO:
A) Independentes
/
B) Mutuamente excludentes
C) Inviáveis
D) Incrementais
2. UMA GRANDE EMPRESA PETROLÍFERA ANALISA
DUAS NOVAS PERFURAÇÕES (CAMPO A E CAMPO
B) COM VIABILIDADE ECONÔMICA. CADA
PERFURAÇÃO EXIGIRÁ UM INVESTIMENTO INICIAL
DE R$1 BILHÃO. OS DOIS PROJETOS SÃO
INDEPENDENTES?
A) Sim – e em qualquer situação.
B) Não – e em qualquer situação.
C) Sim, se a empresa tem um orçamento disponível maior que R$2
bilhões.
D) Não, se a empresa possui um orçamento disponível maior que
R$2 bilhões.
3. DOIS PROJETOS DE INVESTIMENTO
MUTUAMENTE EXCLUDENTES POSSUEM OS
SEGUINTES FLUXOS DE CAIXA LÍQUIDOS:
/
COM UMA TMA IGUAL A 5% A.A., QUAL DOS DOIS
DEVE SER SELECIONADO?
A) A, pois sua TIR e seu VPL são menores que os do projeto B.
B) B, pois sua TIR e seu VPL são maiores que os do projeto A.
C) B, pois sua TIR e seu VPL são menores que os do projeto A.
D) A, pois sua TIR e seu VPL são maiores que os do projeto B.
4. SÃO DADOS OS SEGUINTES FLUXOS DE CAIXA
LÍQUIDOS DE DOIS PROJETOS MUTUAMENTE
EXCLUDENTES. EMPREGANDO O MÉTODO DA TIR,
QUAL DELES DEVE SER ESCOLHIDO?
A) O projeto A, pois possui a maior TIR.
B) O projeto B, pois possui a maior TIR.
/
C) O projeto A, pois possui a menor TIR.
D) Se a TMA for igual a 10% a.a., nenhum projeto deverá ser
escolhido.
5. A TABELA A SEGUIR MOSTRA O FLUXO DE CAIXA
LÍQUIDO DOS PROJETOS A E B. SABENDO QUE A
TMA É IGUAL A 5% A.A., INDIQUE QUAL PROJETO
DEVE SER ESCOLHIDO PELO MÉTODO DO VPL.
PERÍODO PROJETO A PROJETO B
0 -5.000 -5.000
1 900 92.000
2 1.100 1.200
3 1.200 1.200
4 1.200 1.200
5 3.000 1.200
A) A, pois tem o maior VPL.
/
B) B, pois possui o maior VPL.
C) A, pois conta com o menor VPL.
D) B, pois tem o menor VPL.
GABARITO
1. Uma empresa analisa os seguintes projetos:
• Aquisição de um novo sistema informatizado de gestão de
pessoas;
• Terceirização do departamento de recursos humanos (RH).
Os projetos acima são:
A alternativa "B " está correta.
Caso a empresa decida terceirizar seu departamento de RH, ela não
precisa adquirir um novo sistema informatizado de gestão de
pessoas, uma vez que essa tarefa fica a cargo da nova empresa
contratada. Dessa forma, os dois projetos são mutuamente
excludentes. Neste caso, vemos que a exclusão decorre do fato de
que ambos possuem o mesmo objetivo: reformar a gestão de
pessoas da empresa.
2. Uma grande empresa petrolífera analisa duas novas
perfurações (campo A e campo B) com viabilidade econômica.
Cada perfuração exigirá um investimento inicial de R$1 bilhão.
Os dois projetos são independentes?
/
A alternativa "C " está correta.
Os dois projetos apresentados são viáveis economicamente. No
entanto, se a empresa só tem capacidade orçamentária para
executar um deles – quando seu orçamento disponível para
investimentos é menor que R$2 bilhões –, ela precisa escolher
apenas um para investir. Com isso, mesmo que faça sentido
tecnicamente explorar os dois campos, os projetos são mutuamente
excludentes por restrições orçamentárias, já que elas impedem a
execução simultânea de ambos. Caso seu orçamento fosse de R$2,5
bilhões, eles poderiam ser executados ao mesmo tempo, pois haveria
orçamento suficiente. Neste caso, os projetos seriam independentes.
3. Dois projetos de investimento mutuamente excludentes
possuem os seguintes fluxos de caixa líquidos:
Com uma TMA igual a 5% a.a., qual dos dois deve ser
selecionado?
A alternativa "D " está correta.
Calculando o VPL e a TIR de cada um dos projetos, verificamos o
seguinte:
Projeto A Projeto B
/
VPLA=3.609,37 VPLB=2.812,78
TIRA=15,84% a.a. TIRB=13,62% a.a.
Vemos que os dois projetos são viáveis, pois eles possuem VPL > 0 e
TIR > TMA. No entanto, o projeto A apresenta um valor maior de VPL
que o de B. Da mesma forma, A possui uma TIR maior que a do
projeto B. Os dois métodos, portanto, indicam que a escolha deve ser
pelo projeto A.
4. São dados os seguintes fluxos de caixa líquidos de dois
projetos mutuamente excludentes. Empregando o método da
TIR, qual deles deve ser escolhido?
A alternativa "D " está correta.
Calculando a TIR dos dois projetos, temos o seguinte:
TIRA=7,07% a.a.
TIRB=5,98% a.a.
Como a TIR do projeto A é maior, vemos que este é o melhor dos
dois projetos. No entanto, precisamos comparar a TIR com a TMA
para ver se ambos são viáveis antes de decidirmos executar qualquer
/
um deles. Caso a TIR seja menor que a TMA, o projeto é inviável e
não pode ser executado.A opção d indica justamente isto: com uma
TMA de 10% a.a., nenhum dos dois projetos é viável nem deve ser
executado.
5. A tabela a seguir mostra o fluxo de caixa líquido dos projetos
A e B. Sabendo que a TMA é igual a 5% a.a., indique qual projeto
deve ser escolhido pelo método do VPL.
Período Projeto A Projeto B
0 -5.000 -5.000
1 900 92.000
2 1.100 1.200
3 1.200 1.200
4 1.200 1.200
5 3.000 1.200
A alternativa "A " está correta.
Usando a calculadora HP 12C, podemos achar os valores do VPL
para cada um dos projetos:
Teclas Ação
/
CLX Limpa a memória.
5000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -5.000.
900 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF1.
1100 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF2.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF4.
3000 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL de A.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, encontramos
o seguinte resultado: 1,229.30.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
Insere o fluxo inicial de -5.000.
/
5000 + CHS + g + CF0
2000 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF1.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF2.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF4.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL de B.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, achamos este
resultado: 957.28. Dessa forma, observamos isto:
Projeto A Projeto B
VPLA=1.229,30 VPLB=957,28
Como o VPL de A é maior que o de B, o projeto A deve ser o
escolhido.
/
GABARITO
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
1. APONTE A AFIRMATIVA FALSA.
A) Projetos mutuamente excludentes são aqueles que só podem ser
avaliados individualmente.
B) Projetos independentes são aqueles cuja decisão de investimento
não altera a decisão sobre os demais.
C) Dois projetos podem se tornar mutuamente excludentes caso haja
restrições orçamentárias que impeçam a execução simultânea dos
dois.
D) Dois projetos são mutuamente excludentes quando a execução de
um impede a do outro.
/
2. OBSERVE O GRÁFICO A SEGUIR E INDIQUE A
ALTERNATIVA CORRETA.
A) O projeto A apresenta TIR inferior à de B.
B) Caso a TMA seja de 5%, o VPL do projeto A será superior ao VPL
do B.
C) Uma TMA igual a 10% torna o VPL dos dois projetos iguais.
D) Caso a TMA seja maior que 10%, o projeto B apresentará VPL
superior ao de A.
GABARITO
1. Aponte a afirmativa falsa.
A alternativa "A " está correta.
/
Todos os projetos podem ter sua viabilidade avaliada individualmente.
Os mutuamente excludentes são definidos como aqueles cuja
decisão de execução de um elimina a possibilidade da execução de
outro. Vamos analisar as opções restantes. Comecemos pela d: esta
é a definição exata de projetos mutuamente excludentes. Caso a
execução de um projeto não afete a decisão sobre a de outro, temos
projetos independentes. Na letra c, as restrições orçamentárias
podem tornar dois projetos mutuamente excludentes caso não haja
orçamento suficiente para a execução de todos eles. Na b, trata-se
da definição de projetos independentes: a análise de um não afeta a
do outro.
2. Observe o gráfico a seguir e indique a alternativa correta.
A alternativa "C " está correta.
As duas curvas se cruzam no ponto em que a TMA é igual a 10%.
Neste ponto, os Valores Presentes Líquidos (VPLs) dos dois projetos
/
serão iguais. Na opção d, com a TMA > 10%, a curva de A é superior
à de B; logo, o VPL de A é superior ao VPL de B. Na letra b, com a
TMA = 5%, a curva do projeto B é superior à de A; portanto, o VPL de
B é superior ao de A. Na opção a, a TIR de cada projeto corresponde
ao ponto em que sua curva corta o eixo horizontal. Neste caso, a
curva do projeto A corta o eixo horizontal mais à direita. Assim, a TIR
de A é superior à de B.
MÓDULO 2
 Contrastar projetos com diferenças em prazos e em valores de
investimento inicial
INTRODUÇÃO
Verificaremos neste módulo o método da TIR incremental utilizado
para avaliar projetos mutuamente excludentes com investimentos
iniciais de valores distintos.
/
Na sequência, apresentaremos o método do Valor Presente Líquido
Anualizado (VPLa). Ele é muito importante, já que permite a
comparação de projetos com prazos distintos.
MÉTODO DA TIR INCREMENTAL
Consideremos dois projetos mutuamente excludentes: A e B. Seus
fluxos estão descritos nesta tabela:
Ano Projeto A Projeto B
0 -10.000 -30.000
1 2.000 5.150
2 2.000 5.150
3 2.000 5.150
/
4 2.000 5.150
5 2.000 5.150
6 2.000 5.150
7 2.000 5.150
8 2.000 5.150
9 2.000 5.150
10 2.000 5.150
PROJETO A
PROJETO B
Considerando uma TMA de 9% a.a., analisaremos os dois projetos
calculando seus Valores Presentes Líquidos (VPLs) e suas TIRs:
Projeto A
VPLA=2.835,32
TIRA=15,10% a.a.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
/

Projeto B
VPLB=3.050,94
TIRB=11,26% a.a.
VEMOS QUE O PROJETO A POSSUI
UM VPL MENOR QUE O DE B. POR
OUTRO LADO, A TIR DE A É MAIOR
QUE A DO PROJETO B.
Este é o mesmo problema estudado no módulo anterior. No entanto,
esses dois projetos possuem uma diferença significativa em seu
investimento inicial.
SERÁ QUE O ACRÉSCIMO NO VPL
QUE B OFERECE JUSTIFICA
INVESTIR TRÊS VEZES MAIS E
/
ADQUIRIR UM NOVO
EQUIPAMENTO?
Outra questão:
SE EU DECIDIR INVESTIR NO
PROJETO A, CONSEGUIREI
APLICAR OS R$20.000 QUE
SOBRARAM EM OUTRO
INVESTIMENTO QUE GERE UMA
RENTABILIDADE TÃO BOA
QUANTO A DE B?
A análise de projetos com custos iniciais muito diferentes sempre
esbarra nessas questões. Vamos ver como podemos respondê-las.
Comecemos pela análise deste gráfico:
/
Fonte:Shutterstock
 Forte em Saint Tropez ao por do sol
Ao valor da taxa que corresponde ao ponto de interseção das duas
curvas, damos o nome de TIR incremental (TIRi) ou ponto de
Fischer.
Ela é a taxa que torna nulo o fluxo incremental dos dois projetos.
Vamos ver o motivo para isso. Primeiramente, calcularemos o fluxo
incremental do projeto B em relação ao A:
Ano Projeto A Projeto B Projeto B – Projeto A
0 -10.000 -30.000 -20.000
1 2.000 5.150 3.150
2 2.000 5.150 3.150
3 2.000 5.150 3.150
/
4 2.000 5.150 3.150
5 2.000 5.150 3.150
6 2.000 5.150 3.150
7 2.000 5.150 3.150
8 2.000 5.150 3.150
9 2.000 5.150 3.150
10 2.000 5.150 3.150
A última coluna da tabela acima mostra o fluxo incremental do B
sobre o projeto A. Ele seria o fluxo complementar obtido se a
empresa resolvesse gastar mais R$20.000 para implantar o projeto B
em vez do A.
Calcularemos o VPL e a TIR desse fluxo incremental. Para isso,
consideremos que TMA = 9% a.a.:
Ano Projeto A Projeto B
VPLA=2.835,32 VPLB=3.050,94 VPLi=215,62
TIRA=15,10% a.a. TIRB=11,26% a.a. TIRi=9,24% a.a.
/
Vemos que o projeto incremental possui um VPL > 0 e uma TIR
>TMA.

Logo, ele se revela como um projeto atrativo que deve ser
implantado.

Dessa forma, escolhemos B em detrimento de A.
Fonte:Shutterstock
QUAL PROJETO VOCÊ
ESCOLHERIA CASO A TMA FOSSE
/
MAIOR QUE O PONTO DE
INTERSEÇÃO DAS CURVAS?
PROJETO A
Afinal, ele teria um maior VPL.
E SE A TMA FOSSE MENOR QUE A
DESSE PONTO?
PROJETO B
Pois agora ele teria o maior VPL.
A seguinte lógica funciona para a escolha do projeto:
A: Se a TMA >TIRi ou se a TMA estiver à direita do ponto de
interseção;
B: Se a TMA < TIRi ou se a TMA estiver à esquerda desse ponto.
O PONTO DE INTERSEÇÃO DEVE
CORRESPONDER AO VALOR DA
TIRI.
/
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
ANUALIZADO (VPLA)
Conhecido como Valor Anual Uniforme Equivalente, o VPLa é
particularmente útil na análise de projetos com durações distintas.
Para analisar os mutuamente excludentes (o que fizemos até aqui),
sempre comparamos os que possuem o mesmo prazo de duração.
 DICA
Precisamos comparar coisas comparáveis: lembre-se da velha
história de que não é possível a comparação entre maçãs e laranjas.
Para se comparar o VPL de dois projetos, portanto, é preciso que
eles tenham a mesma duração.
COMO SE COMPARA PROJETOS COM
PRAZOS DISTINTOS?
Uma maneira de permitir a comparaçãodeles é anualizar o cálculo
do VPL. Dessa forma, os Valores Presentes Líquidos Anualizados
(VPLa) podem ser comparados independentemente da duração
desses projetos.
Porém, para anualizar o valor do VPL, não basta calcular seu valor e
dividi-lo pela duração do projeto.
/
DEVE-SE LEVAR EM
CONSIDERAÇÃO O VALOR DO
DINHEIRO NO TEMPO.
Desse modo, a anualização consistirá no cálculo de uma série
uniforme que, descontada pela TMA, gere o mesmo valor do VPL do
projeto. Observe os projetos a seguir:
O projeto A tem a duração de “n” anos.

O projeto B tem a duração de “m” anos.
/
Assim, não é possível comparar os valores de seus VPLs. No
entanto, após os anualizarmos, distribuindo seus VPLs em parcelas
anuais uniformes cujos valores presentes se igualem aos respectivos
VPLs, poderemos compará-los.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO UMA TMA DE 10% A.A., UTILIZE
O MÉTODO DA TIR INCREMENTAL PARA ESCOLHER
UM DOS DOIS PROJETOS MUTUAMENTE
EXCLUDENTES:
ANO PROJETO A PROJETO B
0 -10.000 -30.000
1 2.000 4.500
2 2.000 4.500
3 2.000 4.500
4 2.000 4.500
/
5 2.000 4.500
6 2.000 4.500
7 2.000 4.500
8 2.000 4.500
9 2.000 4.500
10 2.000 4.500
A) A, pois a TIRi> 10%.
B) A, pois a TIRi< 10%.
C) B, pois a TIRi< 10%.
D) B, pois a TIRi> 10%.
2. O QUE É UM FLUXO DE CAIXA INCREMENTAL?
A) É um fluxo com entradas e saídas de caixa representando
acréscimos opcionais ao projeto básico.
B) É um fluxo que representa um acréscimo de períodos ao projeto
original.
/
C) É um fluxo obtido pela diferença entre os fluxos de dois projetos
mutuamente exclusivos.
D) Corresponde à diferença entre os investimentos iniciais de dois
projetos mutuamente exclusivos.
3. USANDO OS PROJETOS APRESENTADOS NA
RESPOSTA DA QUESTÃO 2 DESTE MÓDULO,
CALCULE O VPL PARA CADA UM DELES.
A) VPL(A) = 1.432,15 e VPL(B) = 1.485,11.
B) VPL(A) = 1.598,95 e VPL(B) = 1.541,42.
C) VPL(A) = 1.618,53 e VPL(B) = 1.673,23.
D) VPL(A) = 1.338,19 e VPL(B) = 1.295,17.
4. OS PROJETOS A E B TÊM DURAÇÕES
DIFERENTES. CALCULE SEUS VALORES
PRESENTES LÍQUIDOS ANUALIZADOS (VPLA) OU
VALORES ANUALIZADOS UNIFORMES
EQUIVALENTES.
A) VPLa(A) = 143,15 e VPLa(B) = 148,11.
B) VPLa(A) = 186,50 e VPLa(B) = 185,17.
C) VPLa(A) = 207,07 e VPLa(B) = 356,03.
D) VPLa(A) = 432,90 e VPLa(B) = 485,20.
/
5. CONSIDERE DOIS PROJETOS MUTUAMENTE
EXCLUDENTES CUJOS FLUXOS DE CAIXA LÍQUIDOS
ESTÃO REPRESENTADOS NA TABELA A SEGUIR.
USANDO O MÉTODO DO VPL, QUAL DOS DOIS DEVE
SER ESCOLHIDO? CONSIDERE QUE A TMA É IGUAL
A 5% A.A.
ANO PROJETO A PROJETO B
0 -1.000 -1.000
1 70 100
2 70 100
3 70 100
4 70 100
5 70 1.000
6 70
7 70
/
8 70
9 70
10 70 1.070
A) A, pois tem o maior VPL.
B) A, pois possui o menor VPL.
C) B, pois conta com o maior VPL.
D) B, pois tem o menor VPL.
6. CONSIDERE NOVAMENTE OS PROJETOS DO
EXERCÍCIO ANTERIOR. CALCULE AGORA SEUS
VALORES PRESENTES LÍQUIDOS ANUALIZADOS
(VPLA) OU VALORES ANUALIZADOS UNIFORMES
EQUIVALENTES.
A) VPLa(A) = 14,15 e VPLa(B) = 18,11.
B) VPLa(A) = 18,50 e VPLa(B) = 18,17.
C) VPLa(A) = 27,07 e VPLa(B) = 36,03.
D) VPLa(A) = 20,00 e VPLa(B) = 31,90.
GABARITO
/
1. Considerando uma TMA de 10% a.a., utilize o método da TIR
incremental para escolher um dos dois projetos mutuamente
excludentes:
Ano Projeto A Projeto B
0 -10.000 -30.000
1 2.000 4.500
2 2.000 4.500
3 2.000 4.500
4 2.000 4.500
5 2.000 4.500
6 2.000 4.500
7 2.000 4.500
8 2.000 4.500
9 2.000 4.500
10 2.000 4.500
/
A alternativa "B " está correta.
Vamos calcular inicialmente o fluxo incremental dos dois projetos:
Ano Projeto A Projeto B B-A
0 -10.000 -30.000 -20.000
1 2.000 4.500 2.500
2 2.000 4.500 2.500
3 2.000 4.500 2.500
4 2.000 4.500 2.500
5 2.000 4.500 2.500
6 2.000 4.500 2.500
7 2.000 4.500 2.500
8 2.000 4.500 2.500
9 2.000 4.500 2.500
10 2.000 15.000 13.000
/
Agora usamos a calculadora HP 12C para o cálculo dos valores das
taxas internas de retorno para cada um dos projetos (A, B e B-A):
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
10000 + CHS + g +
CF0
Insere o fluxo inicial de -10.000.
2000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 2.000.
10 + g + Nj
Insere a quantidade de fluxos de
2.000.
f + IRR Calcula a TIR de A.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, encontramos
o seguinte resultado: 15.10.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
30000 + CHS + g +
CF0
Insere o fluxo inicial de -30.000.
/
4500 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 4.500.
9 + g + Nj
Insere a quantidade de fluxos de
4.500.
9 + g + Nj
Insere a quantidade de fluxos de
4.500.
15000 + g + CFj Insere o fluxo final de 15.000.
f + IRR Calcula a TIR de B.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, achamos este
resultado: 11.14.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
20000 + CHS + g +
CF0
Insere o fluxo inicial de -20.000.
2500 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 2.500.
9 + g + Nj
Insere a quantidade de fluxos de
2.500.
/
13000 + g + CFj Insere o fluxo final de 13.000.
f + IRR Calcula a TIR de B-A.
f + IRR Calcula a TIR de B.
Com as instruções apresentadas na calculadora HP 12C, verificamos
o seguinte resultado: 9.44.
Dessa forma, verificamos que:
Projeto A Projeto B B-A
TIRA=15,10% a.a. TIRB=11,14% a.a. TIRi=9,44% a.a.
Como a TIRi<10%, não devemos implantar o projeto B, pois a TIR
incremental é menor que a taxa mínima de atratividade.
2. O que é um fluxo de caixa incremental?
A alternativa "C " está correta.
O fluxo de caixa incremental é obtido pela diferença entre os fluxos
de caixa de dois projetos. Para isso, subtrai-se o fluxo com menor
investimento inicial daquele com o maior. Considere os projetos a
seguir com durações de, respectivamente, 10 e 5 anos:
Ano Projeto A Projeto B
0 -10.000 -10.000
/
1 1.200 2.150
2 1.200 2.150
3 1.200 2.150
4 1.200 2.150
5 1.200 2.150
6 1.200
7 1.200
8 1.200
9 1.200
10 5.000
Os projetos apresentados também serão usados nos exercícios a
seguir.
3. Usando os projetos apresentados na resposta da questão 2
deste módulo, calcule o VPL para cada um deles.
A alternativa "B " está correta.
/
O primeiro passo consiste em calcular seus VPLs. Para isso, vamos
utilizar uma TMA igual a 5% a.a.
Usando a calculadora HP 12C, temos os seguintes resultados:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
20000 + CHS +
g + CF0
Insere o fluxo inicial de -20.000.
10000 + CHS +
g + CF0
Insere o fluxo inicial de -10.000.
1200 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 1.200.
9 + g + Nj
Insere o número de períodos em que o fluxo
de 1.200 se repete.
5000 + g + CFj Insere o valor de CF10 = 5.000.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto A.
/
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, achamos este
resultado: 1,598.95.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
10000 + CHS +
g + CF0
Insere o fluxo inicial de -10.000.
2150 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 2.150.
4 + g + Nj
Insere o número de períodos em que o fluxo
de 2.150 se repete.
9 + g + Nj
Insere o número de períodos em que o fluxo
de 1.200 se repete.
5000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 5.000.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto B.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, verificamos o
seguinte resultado: 1,541.42.
/
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 1.598,95 1.541,42
Vemos que o VPL do projeto A é superior ao VPL do B.
4. Os projetos A e B têm durações diferentes. Calcule seus
Valores Presentes Líquidos Anualizados (VPLa) ou valores
anualizados uniformes equivalentes.
A alternativa "C " está correta.
Para isso, utilizaremos a expressão que oferece o valor de cada
pagamento de uma série uniforme a partir de seu valor presente:
PMT=VP×I×(1+I)N(1+I)N-1
Assim:
VPLA(A)=1.598,95×5%×(1+5%)10(1+5%)10-
1
VPLA(A)=207,07
/
Na HP 12C, verificamos o seguinte:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
1598.95 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
10 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
No Excel:
Para o projeto B, temos:
/
VPLA(A)=1.541,42×(5%×(1+5%)5(1+5%)5-
1
VPLA(A)=356,03Na HP 12C, obtemos isto:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
1541.42 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
5 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
No Excel:
/
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 1.598,95 1.541,42
VPLa 207,07 356,03
Como o VPLa de B é maior que o de A, o projeto B deve ser o
escolhido.
5. Considere dois projetos mutuamente excludentes cujos fluxos
de caixa líquidos estão representados na tabela a seguir. Usando
o método do VPL, qual dos dois deve ser escolhido? Considere
que a TMA é igual a 5% a.a.
Ano Projeto A Projeto B
0 -1.000 -1.000
/
1 70 100
2 70 100
3 70 100
4 70 100
5 70 1.000
6 70
7 70
8 70
9 70
10 70 1.070
A alternativa "A " está correta.
O primeiro passo consiste no cálculo de seus VPLs.
Usando a calculadora HP 12C, obtemos o seguinte:
Teclas Ação
/
CLX Limpa a memória.
5000 + CHS + g
+ CF0
Insere o fluxo inicial de -5.000.
1000 + CHS + g
+ CF0
Insere o fluxo inicial de -1.000.
70 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 70.
9 + g + Nj
Insere o número de períodos em que o fluxo
de 70 se repete.
1070 + g + CFj Insere o valor de CF10 = 1.070.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto A.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, achamos o seguinte
resultado: 154.43.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
1000 + CHS + Insere o fluxo inicial de -1.000.
/
g + CF0
100 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 100.
4 + g + Nj
Insere o número de períodos em que o fluxo
de 100 se repete.
1000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 1.000.
5 + i Insere o valor da TMA.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto B.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, verificamos
este resultado: 138.12.
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 154,43 138,12
Vemos que o VPL do projeto A é superior ao de B.
6. Considere novamente os projetos do exercício anterior.
Calcule agora seus Valores Presentes Líquidos Anualizados
/
(VPLa) ou valores anualizados uniformes equivalentes.
A alternativa "D " está correta.
Para isso, utilizaremos a expressão que oferece o valor de cada
pagamento de uma série uniforme a partir de seu valor presente:
PMT=VP×I×(1+I)N(1+I)N-1
VPLA(A)=154,43×5%×(1+5%)10(1+5%)10-
1
VPLA(A)=20,00
Na HP 12C, vemos o seguinte:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
154.43 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
10 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
/
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
No Excel:
Para o projeto B, temos o seguinte:
VPLA(A)=138,12×5%×(1+5%)5(1+5%)5-1
VPLA(A)=31,90
Na HP 12C, verificamos que:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
/
138.12 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
5 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 154,43 138,12
VPLa 20,00 31,90
GABARITO
/
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
1. A PARTIR DOS VALORES APRESENTADOS NA
TABELA A SEGUIR, SELECIONE A ALTERNATIVA
CORRETA LEVANDO EM CONSIDERAÇÃO QUE A
TMA É IGUAL A 5% A.A. E QUE OS PROJETOS A E B
SÃO MUTUAMENTE EXCLUDENTES.
PROJETO
A
PROJETO
B
PROJETO B -
A
TIR 8% A.A. 7% A.A. 6% A.A.
A) O projeto B deve ser escolhido, pois a TIR incremental é menor
que a TIR do A.
/
B) O projeto B deve ser escolhido, pois a TIR incremental é maior
que a TMA.
C) O projeto A deve ser escolhido, pois a TIR incremental é maior
que a TMA.
D) O projeto A deve ser escolhido, pois a TIR incremental é menor
que a TIR do B.
2. AO CALCULAR O VPL DE UM PROJETO DE
QUATRO ANOS DE DURAÇÃO, UM ANALISTA
ENCONTROU O VALOR DE R$1.200 USANDO UMA
TMA DE 10% A.A.. QUAL O VALOR DO VPLA DESTE
PROJETO?
A) 388,90
B) 378,56
C) 373,45
D) 365,23
GABARITO
1. A partir dos valores apresentados na tabela a seguir, selecione
a alternativa correta levando em consideração que a TMA é igual
a 5% a.a. e que os projetos A e B são mutuamente excludentes.
Projeto A Projeto B Projeto B - A
/
TIR 8% a.a. 7% a.a. 6% a.a.
A alternativa "B " está correta.
Quando a TIR incremental é maior que a TMA, o projeto de maior
valor de investimento inicial deve ser escolhido. Neste caso, é o
projeto B, pois o incremental é B – A (maior menos menor).
2. Ao calcular o VPL de um projeto de quatro anos de duração,
um analista encontrou o valor de R$1.200 usando uma TMA de
10% a.a.. Qual o valor do VPLa deste projeto?
A alternativa "C " está correta.
Sabemos que:
VPLa=VPL×i×(1+i)n(1+i)n-1
Faremos então o seguinte cálculo:
VPLa=1.200×10%×(1+10%)4(1+10%)4-1
VPLa=378,56
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
/
Fazer escolhas faz parte da vida - e isso não é diferente diante de
questões financeiras. Neste tema, estudamos os métodos para a
comparação de projetos de investimentos à nossa disposição. Vimos
inicialmente os do Valor Presente Líquido e da Taxa Interna de
Retorno, ferramentas largamente empregadas no mercado.
Construímos a partir daí algumas variações importantes, como a
Taxa Interna de Retorno Incremental, que permite a avaliação de
projetos com investimentos iniciais distintos, e o Valor Presente
Líquido Anualizado, que é usado quando eles têm prazos diferentes.
Tomamos decisões financeiras todos os dias. O que escolhemos para
isso varia de uma conta simples feita de cabeça a um método
matemático sofisticado. Esperamos que, a partir do material
estudado, você tenha mais ferramentas disponíveis para suas
escolhas e entenda em que contexto cada uma delas deve ser
aplicada.
REFERÊNCIAS
/
BLANK, L.; TARQUIN, A. Engineering economy. New York:
McGraw-Hill, 2012.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12 ed. São
Paulo: Pearson, 2010.
KOPITTKE, H. B.; CASAROTTO FILHO, N. Análise de
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
EXPLORE+
Para conhecer exercícios resolvidos de Matemática Financeira e
material complementar da área, acesse a página do Padlet. Em
seguida, digite em seu campo de pesquisa o nome "Paulo Vianna
Jr.".
Para verificar o funcionamento de um emulador HP 12C, digite a
expressão "vichinsky hp12c" em qualquer site de busca.
CONTEUDISTA
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
 CURRÍCULO LATTES
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