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Aula 1 - Teoria das Falhas Estáticas (2)

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superior à resistência à tração.
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎
𝜎
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
Teoria de Coulomb-Mohr para materiais frágeis (BCM)
Algebricamente podemos considerar três conjuntos de 
equações para linhas de carregamento, em que
𝜎 ≥ 𝜎 , no campo de ação de carregamento: 1º 
quadrante (𝜎 ≥ 𝜎 ≥ 0); 𝜎 = ;
− = , no campo de ação de carregamento: 2º 
quadrante (0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 ), e;
𝜎 ≥ −𝜎 , no campo de ação de carregamento: 3º 
quadrante (0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 ) e 𝜎 = 0.
Incorporando o coeficiente de segurança: 𝜎 = −
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Para cisalhamento puro:
𝜎 = −𝜎 = 𝜏𝐴, resistência torcional ocorre 
quando 𝜏 á = 𝑆 , logo: 𝑆 = e 
𝑁 =
𝑆
𝜏 á
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎
𝜎
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
Teoria de Coulomb-Mohr modificada (MM) 
Algebricamente podemos considerar três conjuntos 
de equações para linhas de carregamento, em que
𝜎 ≥ 𝜎 , no campo de ação de carregamento: 1º 
quadrante 𝜎 ≥ 𝜎 ≥ 0 → 𝜎 = ;
no campo de ação de carregamento: 2º quadrante 
0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 𝑒 ≤ 1 → 𝜎 = ;
0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 𝑒
𝜎
𝜎
> 1 →
𝜎 − 𝜎 𝜎
𝜎 𝜎
−
𝜎
𝜎
=
1
𝑁
𝜎 ≥ −𝜎 , no campo de ação de carregamento: 3º 
quadrante (0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 ) e 𝜎 = 0.
Incorporando o coeficiente de segurança: 𝜎 = −
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Exemplo 1
Um eixo com diâmetro de 25 mm é estaticamente torcido até 230 Nm. Ele é feito de alumínio 195-T6 
fundido com uma resistência ao escoamento em tração de 160 MPa e uma resistência ao escoamento 
em compressão de 170 MPa. Ademais, é usinado ao diâmetro final. Estime o fator de segurança desse 
eixo. Dados: 𝜏 á = ; 𝐽 = ; 𝑆 = ; 𝑁 =
á
Solução:
• Cálculo do coeficiente de segurança: encontrar os valor da tensão máxima de cisalhamento e 
comparar com o limite de resistência do material.
1. Cálculo da tensão máxima de cisalhamento
𝜏 á =
𝑇 𝑑 2
𝐽
→ 𝜏 á =
𝑇 𝑑 2
𝜋𝑑
32
→ 𝜏 á =
16𝑇
𝜋𝑑
→ 𝜏 á =
16(230𝑁𝑚)
𝜋(0,025𝑚)
→ 𝜏 á = 75𝑀𝑃𝑎
2. Cálculo da resistência de escoamento do material
𝑆 =
𝑆 𝑆
𝑆 + 𝑆
→ 𝑆 =
160𝑀𝑃𝑎 . (170𝑀𝑃𝑎)
160𝑀𝑃𝑎 + (170𝑀𝑃𝑎)
→ 𝑆 = 82,4𝑀𝑃𝑎
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Exemplo 1
Um eixo com diâmetro de 25 mm é estaticamente torcido até 230 Nm. Ele é feito de alumínio 195-T6 
fundido com uma resistência ao escoamento em tração de 160 MPa e uma resistência ao escoamento 
em compressão de 170 MPa. Ademais, é usinado ao diâmetro final. Estime o fator de segurança desse 
eixo. Dados: 𝜏 á = ; 𝐽 = ; 𝑆 = ; 𝑁 =
á
Solução:
• Cálculo do coeficiente de segurança:
𝑁 =
82,4𝑀𝑃𝑎
75𝑀𝑃𝑎
 → 𝑵 = 𝟏, 𝟏𝟎
Exercício.
Um ferro fundido ASTM possui resistências mínimas ao escoamento de 210 MPA sob tração e 
700MPa sob compressão. Encontre os fatores de segurança utilizando as teorias BCM e MM para o 
seguinte estado de tensão em que 𝜎 = 140𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎 = 42𝑀𝑃𝑎.
Estado duplo de tensão cuja representação do elemento estudado está na figura abaixo.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
𝜎 =? , 𝜎 =? 𝜎 , =
𝜎 + 𝜎
2
±
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏
𝜎 , =
140 + 42
2
±
140 − 42
2
+ 0 → 𝜎 , = 91 ± 49
Solução:
𝜏 = 0 ∴
𝜎 = 140𝑀𝑃𝑎; 𝜎 = 42𝑀𝑃𝑎, 𝜎 ≥ 𝜎 ≥ 0
teoria BCM:𝜎 = → 140 = → 𝑁 = → 𝑵 = 𝟏, 𝟓
teoria MM:𝜎 = → 140 = → 𝑁 = → 𝑵 = 𝟏, 𝟓
1 -44
Elementos de Máquinas
Referências Bibliográficas
Shigley J o s e p h E . , Mischke Charles R., Budynas Richard G., PROJETO DE ENGENHARIA 
MECÂNICA. Bookman Ed. LTDA, 7ª ed., Porto Alegre, 2008, 960p.
Norton Robert L., PROJETO DE MÁQUINAS – Uma abordagem Integrada. Ed., Bookman Ed. 
LTDA, 4ª ed., Porto Alegre, 2013, 1055p.
Juvinall Robert C., Marshek Kut M.,PROJETO DE COMPONENTES DE MÁQUINAS. LTC, 4ª ed., Rio 
de Janeiro, 2008, 518p.