Matemática 1º grau Volume 4

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Assim como já vimos em muitas de nossas
aulas, a Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-a-
dia.
Na aula de hoje, recordaremos algumas propriedades das operações com
números naturais de grande utilidade para a resolução de problemas que
necessitam de um cálculo mais rápido, ou seja, o cálculo mental.
Estudaremos também as expressões numéricas, suas regras e seus sinais
de pontuação.
Observe a seguinte situação:
Fazendo compras num “shopping”, uma pessoa resolveu somar mental-
mente seus gastos. Qual a melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguinte
soma: R$ 18,00 + R$ 40,00 + R$ 32,00?
 18 + 40 + 32 =
= 40 + 18 + 32 = Trocar a ordem das duas parcelas.
= 40 + (18 + 32) =
= 40 + 50 = 9090909090 Associar as duas últimas parcelas e somar.
As etapas seguidas para esse tipo de cálculo foram baseadas, intuitivamen-
te, nas propriedades da adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) e
associativa (associar = juntar).
Na 1ª propriedade, vimos que é possível trocar a ordem das parcelas sem
alterar o resultado.
“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.
Na 2ª propriedade, vimos que a associação de parcelas pode ser feita de
maneiras diferentes, sem que o resultado seja alterado.
Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,
sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.
Revendo as operações
Introdução
Nossa aula
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A U L AVeja como poderia ser feita, de outra maneira, a adição do exemplo
anterior:
 18 + 40 + 32 =
= (18 + 40) + 32 = Somar as duas primeiras parcelas.
= 58 + 30 + 2 = Decompor a última parcela.
= (58 + 2) + 30 = Trocar a ordem das duas parcelas
= 60 + 30 = Associar as duas primeiras parcelas
= 9090909090 e somar.
Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas propriedades da
adição? Veja os exemplos:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Calcule a área de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m de
comprimento.
Multiplicando as dimensões do terreno, temos:
Área do retângulo: 20 x 15 = 300 m²²
ou 15 x 20 = 300 m²²
Logo, concluímos que a propriedade comutativa também é válida para
a multiplicação, portanto:
A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.
Em relação à propriedade associativa, podemos concluir o mesmo resulta-
do, ou seja:
A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,
de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.
No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade associativa para facilitar o
cálculo mental:
237 x 25 x 4 =
= 237 x (25 x 4) =
= 237 x 100 =
= 23.70023.70023.70023.70023.700
Agora, veremos uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição
ou a multiplicação e a subtração. Observe:
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A U L A EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Calcule o perímetro de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m
de comprimento.
Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse cálculo pode ser
feito de duas maneiras diferentes:
l Multiplicando as dimensões do terreno por 2 e somando o resultado:
Perímetro = 2 x 15 + 2 x 20 = 30 + 40 = 70 m70 m70 m70 m70 m
l Somando as duas dimensões e multiplicando o resultado por 2:
Perímetro = 2 x (15 + 20) = 2 x 35 = 70 m70 m70 m70 m70 m
Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo.
Então, podemos concluir que:
2 x (15 + 20) = 2 x 15 + 2 x 20
Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição.
Essa propriedade também é válida quando relacionada à subtração,
podendo ser aplicada ao cálculo mental. Por exemplo:
Multiplique 18 por 99, sem efetuar a conta de multiplicação:
18 x 99 = 18 x (100 - 1) = 1.800 - 18 = 17821782178217821782
Além das propriedades das operações que vimos até aqui, é preciso
conhecer as regras adequadas para a resolução de expressões numéricas.
Expressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de números
que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.
Veja os exemplos:
Calcular o valor da expressão: 15 + 12 - 10
Esse exemplo envolve duas operações - a adição e a subtração - que devem
ser efetuadas na ordem em que aparecem:
15 + 12 - 10 = 27 - 10 = 17
Veja os exemplos:
Calcular o valor da expressão: 98 - 12 . 3 + 36 : 3
Essa expressão apresenta as quatro operações: adição, subtração, multipli-
cação e divisão. Inicialmente, devemos efetuar as multiplicações e divisões, na
ordem em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições e subtrações,
também na ordem em que ocorrem:
 98 - 12 . 3 + 36 : 3 =
 = 98 - 36 + 12 =
 = 62 + 12 = 7474747474
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A U L ASe tentarmos calcular essa expressão de outra maneira, o resultado poderá
ser diferente. Nesse caso, é preciso estabelecer uma determinada ordem para
calcular a expressão.
Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais de pontuação. Um dos
sinais mais utilizados é chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em uma
expressão, devemos efetuar as operações que estão dentro dele e, em seguida,
continuar resolvendo as outras.
Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e as chaves { }, que
podem aparecer em algumas expressões. Assim, após resolvermos as opera-
ções que estão entre os parênteses, devemos resolver as que estão entre os
colchetes e, em último lugar, as que estão entre chaves.
Observe as expressões abaixo:
1)1)1)1)1) 5 + (12 + 3) : 3 =
= 5 + 15 : 3 =
= 5 + 5 = 1010101010
Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida,
a adição.
2)2)2)2)2) [(11 + 12) . 3 - 9] : 15 =
= [23 . 3 - 9] : 15 =
= [69 - 9] : 15 =
= 60 : 15 =
= 44444
Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entre
colchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expres-
são.
3)3)3)3)3) {15 - [2 . (9 - 12 : 4)]} : 3 =
 = {15 - [ 2 . (9 - 3)]} : 3 =
 = {15 - [2 . 6]} : 3 =
 = { 15 - 12} : 3 =
 = 3 : 3 =
 = 11111
Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordem
estabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entre
chaves. Determina-se o valor da expressão.
Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações de
potenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antes
da multiplicação e da divisão. Veja:
(5
2
 - 6 x 2
2
) x 3 =
= (25 - 6 x 4) x 3 =
= (25 - 24) x 3 =
= 1 x 3 =
= 33333
Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses,
na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão.
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A U L A Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra
sobre a ordem das operações:
11111º))))) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem.
22222º))))) Efetuam-seas multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem.
33333º))))) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entre
parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as que estão entre
chaves { }.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
De acordo com a sentença abaixo, escreva uma expressão e determine o
seu valor:
“Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1000.”
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Demonstre a maneira mais simples para calcular, mentalmente, o resultado
das operações:
 300 + 895 + 700 =
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Na expressão 180 - 40 : 5 - 6, acrescente parênteses de maneira
a encontrar resultados diferentes, conforme a posição em que forem
colocados.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Coloque parênteses nas expressões, de modo a obter os resultados
indicados:
a)a)a)a)a) 72 + 60 : 12 - 8 = 87
b)b)b)b)b) 10 - 2 . 3 + 1 = 25
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Calcule o valor da expressão: 123 - [30 - (5 . 4 - 2) : 6]
Resumindo
Exercícios
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Expressões algébricas
Na aula anterior, vimos que expressão nu-
mérica é aquela que apresenta uma seqüência de operações e de números.
Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para
representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmu-
las da Geometria, por exemplo.
As expressões que apresentam letras, além de operações e números são
chamadas expressões algébricas e as letras são as variáveis.
Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.
Em linguagem matemática, essa propriedade pode ser escrita da seguinte
maneira: x . 1 = x
Onde x representa um número natural qualquer.
Veja o exemplo:
Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa
pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão
algébrica: 20 . x
Onde x representa o número de dias trabalhados.
Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00
Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00
Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa,
por meio da multiplicação da variável x pelo número de dias trabalhados.
A expressão algébrica da área de um quadrado de x cm de lado é
determinada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja:
Área: x²
Introdução
Nossa aula
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A U L A
62
A U L A Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da
substituição da variável x pela medida do lado do quadrado.
Observações:
1º) Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplica-
ção, veja:
2 . x se escreve 2x
a . b se escreve ab
2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda
sem variável:
2xy _ expressão com duas variáveis: x e y
5a²² b c³³ _ expressão com três variáveis: a, b e c
25 _ expressão sem variável.
Valor numérico
Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e
efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o valor numérico
da expressão.
O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo, é:
5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14
Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda:
qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm.
O valor numérico de ab é :
2,5 x 4 = 10
Logo, a área do retângulo é 10 cm²
As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre
os números e as variáveis, são chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x2y2,
ab, 10 etc.
A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada
por letras é a parte literal.
De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a
parte literal de cada monômio:
 6x ® coeficiente: 6
parte literal: x
3x³² y³³ ® coeficiente: 3
parte literal: x²² y³³
ab ® coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab)
parte literal: ab
10 ® coeficiente 10
parte literal: não tem
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A U L ADois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes
diferentes são chamados de monômios semelhantes.
Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso
contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas.
A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:
4xy + 7 xy - 5 xy = (4 + 7 - 5) xy = 6xy
Veja outro exemplo:
No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De
acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com
menos termos) que representa o perímetro desse retângulo.
O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de
seus lados:
2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = Propriedade distributiva da multipli-
cação.
= 4x + 2 + 2x - 6 = Propriedade comutativa da adição.
= 4x + 2x + 2 - 6 = E f e t u a n d o - s e a s o p e r a ç õ e s d o s
monômios s e m e l h a n -
tes.
Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do
retângulo é 6x - 4.
Polinômios
Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada
de polinômio (poli = muitos).
Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²²é um polinômio
formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes
nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na
seqüência:
 4a²² - 7ab + b²² - 2a² - ab - b²²
= 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b² - b² =
= 2a² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab
A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois
os termos restantes não podem mais ser efetuados.
Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos
semelhantes.
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A U L A Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x²² - 2xy + 4y² , temos:
(3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²²) = Retirar os parênteses.
= 3x² - 4xy + y² - x² - 2xy + 4y² = Aplicar a propriedade comutativa.
= 3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² = Reduzir os termos semelhantes.
= 2x² - 6xy + 5y² _ Somar dos dois polinômios.
No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:
(- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocan-
do os sinais do 2º polinômio.
= - 14ab + 7a + 12ab - 6a =
= - 14ab + 12ab + 7a - 6a =
= - 2ab + a _ Diferença dos dois polinômios.
Exercício 1
A expressão 2x representa um número múltiplo de 2.
Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5.
Exercício 2
Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressão
algébrica.
Exercício 3
Responda:
a) qual o monômio que ao somar com - 2x y resulta zero?
b) qual o resultado de - 2a² - 5a²?
Exercício 4
Escreva a expressão mais simples (reduzida) que possa representar a área
da figura:
Exercício 5
Determine o valor numérico da expressão x³y² - x² + y³ , para x = 2 e y = -1
Exercícios
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A U L A
Equações do 1º grau
Durante nossas aulas, você aprendeu a re-
solver algumas equações bem simples. Na aula de hoje, aprofundaremos o
estudo dessas equações. Portanto, é preciso que você saiba o significado de:
. equação
. incógnita de uma equação
. membros de uma equação
. termos de uma equação
A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a
resolução de certos problemas. Vejamos:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem
6 kg a mais que o menor ?
Já vimos que podemos representar
quantidades desconhecidas usando a
álgebra. Nesse caso, temos:
pacote menor = x
pacote maior = x + 6
Onde x representa o peso do pacote menor.
Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22
63
A U L A
Nossa aula
Introdução
63
A U L A Efetuando as devidas equações:
x + (x + 6) = 22 Eliminar os parênteses
x + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes
2x + 6 = 22
2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros
2x = 162x
2
=
16
2
Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros
x = 8
Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg8 kg8 kg8 kg8 kg e do pacote maior é de
8 + 6 = 14 kg14 kg14 kg14 kg14 kg.
A equação e a balança
As equações têm propriedades semelhantes às transformações realizadas
para manter uma balança em equilíbrio.
Ao retirarmos 6 unidades de um dos pratos, devemos fazer o mesmo com
o outro, caso contrário, a balança perderá o equilíbrio. Por esse motivo,
indicamos a subtração de 6 nos dois membros e a divisão por 2 nos dois membros,
quando resolvemos a equação x + (x + 6) = 22.
A equação e a operação inversa
Na prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança,
nem fazendo todas as operações.
Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima,
zeramos o 6 que estava no primeiro membro:
2x + 6 - 6 = 22 - 6
\ /
0
 2x = 22 - 6
Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda de
sinal.
Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando um
termo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo.
2x = 16
x = 
16
2
 _ x = 8
63
A U L A É importante observar que nessa regra de “passar para o outro lado”, está
embutido um conceito matemático chamado operação inversaoperação inversaoperação inversaoperação inversaoperação inversa.
A operação inversa da adição é a subtração:
+ 6 virou - 6
A operação inversa da multiplicação é a divisão:
x 2 virou : 2
Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação inversa, para
resolver a equação:
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número
somado com 6, descubra qual é esse número.
Um número: x
Quádruplo do número: 4x
Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6
ResoluçãoResoluçãoResoluçãoResoluçãoResolução:
4x + 9 = x + 6
4x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica-9)
e + x para o primeiro membro (fica - x).
3x = - 3 como a operação inversa de : 3 é x 3,temos:
x = 
- 3
3
x = - 1
Portanto, o número procurado é -----11111.
A verificação da solução
A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da
equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro
de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimen-
tar o valor encontrado na incógnita. Veja:
4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1
4 (-1) + 9 = (- 1) + 6
- 4 + 9 = - 1 + 6
5 = 5
Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x - 6
verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que
acontece.
63
A U L A A raiz de uma equação
A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é
chamado, pela matemática, de raiz raiz raiz raiz raiz da equação.
x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6
Veja:
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da
estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?
Equacionando o problema:
Preço da cadeira: x
Preço da estante: 3x
Equação correspondente: x + 3x = 64
ResoluçãoResoluçãoResoluçãoResoluçãoResolução:
x + 3x = 64
4x = 64 _ x = 64
4
 = 16 _ x = 16
Verificação da raiz:
16 + 3 . 16 = 64
16 + 48 = 64
64 = 64
A estante custa R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Resolva as equações:
a)a)a)a)a) 4x + 8 = 3x - 5
b)b)b)b)b) 3a - 4 = a + 1
c)c)c)c)c) 9y - 11 = - 2
d)d)d)d)d) 5x - 1 = 8x + 5
Exercícios
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A U L AExercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Verifique se - 7 é raiz da equação:
2(x + 4) -
x
3
= x - 1
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação:
2x - 3 = 16
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de
Ana, se Maria é 5 anos mais nova?
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9
Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto.
Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior.
Qual a produção do ano anterior?
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A U L A
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Introdução Nesta aula vamos rever operações com fra-
ções, verificando a validade das propriedades operatórias dos números racionais.
Veremos também o cálculo de expressões numéricas com frações, de
acordo com a ordem em que as operações devem ser efetuadas, como vimos na
Aula 61.
A adição e a subtração de frações homogêneas (que têm denominadores
iguais) são efetuadas, repetindo-se os denominadores e efetuando-se as devidas
operações com os numeradores. Veja:
a)
3
7
+
2
7
=
3 + 2
7
=
5
7
b)
5
8
-
3
8
=
5 - 3
8
=
2
8
As propriedades da adição de números naturais também são válidas para
a adição de números fracionários.
Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma
2
5
+
1
5
=
1
5
+
2
5
=
3
5
Propriedade associativa: podemos associar duas ou mais parcelas, de
maneiras diferentes, sem que o resultado (soma) seja alterado.
Lembre-se que uma fração do tipo 9/8, que tem o numerador maior que o
denominador (imprópria), é maior que a unidade (8/8). Portanto, pode ser
escrita na forma de número misto.
Operações com frações
Nossa aula
æ3
 8è
+ 1
8
ö
ø
+ 5
8
= 3
8
+ æ
è
1
8
+ 5
8
ö
ø
= 9
8
64
A U L AO número misto é formado por uma parte inteira e uma parte fracionária:
 
9
8
=
8
8
+
1
8
= 1+
1
8
= 1
1
8
® número misto lê-se:
um inteiro e um oitavo
No caso de efetuarmos a adição e a subtração com frações heterogêneas
(que têm denominadores diferentes), é preciso transformá-las em frações
equivalentes às que tenham denominadores iguais.
Frações equivalentes são as que têm mesmo valor, mas cujos termos são
diferentes.
Para obtermos frações equivalentes, é preciso multiplicar ou dividir o
numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural,
diferente de zero.
EXEMPLO 2
Ao determinarmos as frações equivalentes a 
2
3
, temos:
2
3
=
4
6
=
6
9
=
8
12
=
10
15
=
12
18
=
14
21
=
16
24
=...
Vamos efetuar a seguinte adição:
Como o número 6 é múltiplo co-
mum a 2 e a 3, ele será o denominador
das frações equivalentes às frações
dadas .
Então, é preciso multiplicar o nu-
merador e o denominador de cada fra-
ção, pelo mesmo número, de maneira a
obtermos o denominador 6.
Para subtrair frações, seguimos o mesmo procedimento:
5
8
-
1
6
= (Múltiplo comum: 24).
15
24
-
4
24
=
15 - 4
24
=
11
24
Sempre que efetuamos qualquer operação com frações, devemos encontrar
o resultado mais simples possível, ou seja, uma fração equivalente com
numerador e denominador menores.
=
3
6
+
2
6
=
=
3 + 2
6
=
5
6
´ 3
´ 2
´ 2
´ 3
1
2
+
1
3
=
64
A U L A O processo usado para simplificar uma fração é a aplicação da mesma
propriedade usada para encontrar frações equivalentes, ou seja:
Na simplificação da fração 
64
60
, temos:
64
60
=
32
30
=
16
15
ou
64
60
=
16
15
Portanto, 
16
15
é a forma simplificada da fração 
64
60
.
Vejamos alguns exemplos de expressões com frações:
5
6
-
7
12
+
3
8
= Múltiplo comum: 24.
=
20
24
-
14
24
+
9
24
= Efetuar as operações na ordem em que aparecem.
=
6
24
+
9
24
=
Simplificar o resultado.
=
15
24
=
5
8
1 -
1
10
-
2
5
= Múltiplo comum: 10.
10
10
-
1
10
-
4
10
= O número inteiro
pode ser escrito como uma fração, no caso: 
10
10
.
9
10
-
4
10
=
Simplificar o resultado.
5
10
=
1
2
Quando as expressões apresentamos sinais de pontuação, devemos seguir
as regras das expressões numéricas, ou seja:
1) Inicialmente, efetuamos as operações que estão entre parênteses ( ).
2) Em seguida, as que estão entre colchetes [ ].
3) E, por último, as que estão entre chaves { }.
¸ 2 ¸ 2
¸ 2 ¸ 2
¸ 4
¸ 4
¸ 5
¸ 5
64
A U L AObserve:
2 -
3
4
-
1
5
Φ
Η
Ι
Κ-
1
6
Λ
ΝΜ
Ο
ΘΠ=
= 2 -
15
20
-
4
20
Φ
Η
Ι
Κ-
1
6
Λ
ΝΜ
Ο
ΘΠ=
= 2 -
11
20
-
1
6
Λ
ΝΜ
Ο
ΘΠ=
 = 2 -
 =
120
60
-
23
60
=
97
60
=
=
60
60
+
37
60
= 1
37
60
Multiplicação de frações
Na figura abaixo, dividida em quatro partes iguais, temos assinalada uma
das partes que representa 1
4
da figura.
Para representar1/3 da parte assinalada, ou seja 1/3 de 1/4, vamos dividir
essa parte (1/4) em três partes iguais e, em seguida, estender a divisão para a
figura toda.
1
3
 de 
1
4
 é 
1
12
 .
Observe que cada parte da figura, após a segunda divisão, equivale a 1/12
da figura toda, logo:
1
3
 de 
1
4
=
1
3
·
1
4
=
1
12
æ3
 4è
é
ë
ö
ø
- ùû =
é
ë
æ
è
15
20
ö
ø
- ù
û
=
é11
ë20
ù
û
=
é
ë
33 10 23
60 60 û 60
 - =
ù
2 - =
64
A U L A
Então:
Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numera-
dores e os denominadores entre si.
Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a
operação usando o processo de cancelamento. Veja:
5
8
·
4
9
=
=
5
8
·
4
9
= Antes de efetuar a multiplicação, devemos simplificar
 o 8 e o 4 por um número múltiplo comum
=
5
18
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicar
esse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Por exemplo:
 2·
3
5
=
6
5
Nas expressões numéricas com frações, devemos lembrar que a ordem em
que as orações devem ser efetuadas é a mesma que já aprendemos na aula
anterior, ou seja:
l Potenciação e radiciação.
l Multiplicação e divisão.
l Adição e subtração.
EXEMPLO 1
Resolver a expressão:
3-
3-
3-
3-
2
1
é
ë
 2 .
æ
è
1 2 4
3 5 5
+ - öø
ù
û
=
ë
é2 . æ
è
 5 6
 15 15
+ ö
ø
- 4
5
ù
û
=
é
ë
22 4
15 5
é
ë
ù
û
- = 3 - 22 12
15 15 û
ù- =
.
.
.
 -é
ë
2 . 11 4
15 5
ù
û
=
64
A U L A= 3 -
10
15
=
45
15
-
10
15
=
Exercício 1
Um lojista vende três partes de uma peça de tecido: 7
8
m , 1
2
m e 1
4
m.
Quantos metros vendeu ao todo?
Exercício 2
Complete o quadro de modo que a soma dos números de cada linha, de cada
coluna e da diagonal seja a mesma:
Exercício 3
Ao receber seu salário, Pedro gastou 2
5
 com o aluguel e 1
2
 do que sobrou
em custos com alimentação. Que fração do salário ainda restou?
Exercício 4
Efetue e simplifique o resultado, sempre que possível:
a)
3
4
-
1
2
+
3
20
=
b)
c)
3
10
+
2
3
·
5
4
=
d)
Exercícios
æ2 1 ö
è3 6 ø ø
æ
è
ö- 1 - 3
10
+ =
 9
10
 ö
ø
æ
è
4 - 1
 3
. 10. =
65
A U L A
65
A U L A
Introdução Nas equações que estudamos até agora, os
coeficientes eram sempre números inteiros.
Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coefi-
cientes fracionários.
Por exemplo: x
2
+
x
5
-
1
4
= 50
Antes de resolvermos esse tipo de equação, devemos igualar todos os
denominadores e, em seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos a
equação inicial em um equivalente a ela, sem denominadores. A equação com
coeficientes inteiros já sabemos resolver.
Veja, a seguir, algumas situações que deverão ser resolvidas a partir de
equações com coeficientes fracionários:
EXEMPLO 1
Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento do
aluguel de R$ 110,00. Qual é o salário dessa pessoa?
Escrevendo a equação do problema enunciado, temos:
1
3
 · x = 110
O coeficiente do termo x é 
1
3
 e o termo independente (110) é um número
inteiro.
Então, devemos escrever o número inteiro em forma de fração, com denomi-
nador igual a 1:
x
3
=
110
1
Igualando os denominadores.
x
3
=
330
3
Eliminando
denominadores
Nossa aula
65
A U L ANuma equação, podemos multiplicar os dois membros
por um mesmo número, diferente de zero.
3 ·
x
3
= 3 ·
330
3 Multiplicar os dois membros por 3,
x = 330 para cancelar os denominadores.
Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00.
Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada multiplicação
em cruz: x
3
=
110
1
 ® x = 3 . 110
x = 330
EXEMPLO 2
Uma pessoa quer construir uma casa que ocupará 1
4
 de seu terreno, sen-
do que 1
3
 será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área
de 375 m2, responda: qual a área total do terreno?
Área total do terreno: x
Área ocupada pela casa: 
x
4
Área reservada para jardim: 
x
3
Equação do problema: 
x
4
+
x
3
+ 375 = x
Igualando os denominadores:
3x
12
+
4x
12
+
375· 12
12
=
12x
12
3x + 4x + 4500
12
=
12x
12
7x + 4500
12
=
12x
12
12 ·
7x + 4500
12
= 12 ·
12x
12
7x + 4500 = 12x
4500 = 12x - 7x
4500 = 5x
x =
4500
5
x = 900
. .
.
65
A U L A De acordo com a verificação da solução, substituindo x por 900 na equação,
temos:
900
4
+
900
3
+ 375 = 900
225 + 300 + 375 = 900
900 = 900 ® igualdade verdadeira.
Logo, a área total do terreno é de 900 m2.
EXEMPLO 3
Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça parte de sua idade será a
metade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa?
Equacionando o problema:
Idade atual: x A metade: 
x
2
Idade daqui a 18 anos: x + 18 A terça-parte: 
x + 18
3
Equação do problema: 
x + 18
3
=
x
2
Igualando os denominadores:
Verificando a resolução:
Idade atual: 36 anos ® A metade: 18 anos.
Daqui a 18 anos: 54 anos ® A terça-parte: 18 anos.
Desse modo, sabemos que a idade atual da pessoa é 36 anos.
EXEMPLO 4
Determine as medidas de um retângulo cujo perímetro é 24 m, sabendo
que o lado menor é igual a 1
3
 do lado maior.
Lado maior: x
Lado menor:
x
3
Perímetro do retângulo: 2(x +
x
3
)
2(x + 18)
6
=
3x
6
® 6 ·
2 x + 18α φ
6
= 6 ·
3x
6
2(x + 18) = 3x ® 2x + 36 = 3x
36 = 3x - 2x
36 = x
_
_
( x )+
8
65
A U L AEquação do problema:
O lado maior do retângulo mede 9m.
O lado menor mede 
9
3
 = 3m
Exercício 1
Resolva as equações:
a)
x + 3
2
+
x - 10
3
= 4
b)
2x + 5
3
- 3x - 10 = 0
Exercício 2
Uma construtora vai aproveitar um terreno de 1.275 m2, reservando 
1
3dessa área para estacionamento.
Determine:
a) A área ocupada pela construção.
b) A área reservada para o estacionamento.
Exercício 3
Ao receber seu salário, André gastou 1
3
 com despesas médicas, 1
2
 com
com-pras diversas e 1
4
 com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André
se, após pagar todas essas contas, ele ficou devendo R$ 40,00?
Exercício 4
Descubra os números do seguinte circuito:
2(x +
x
3
) = 24
2x +
2x
3
= 24 ®
2x
1
3
+
2x
3
1
+
24
1
3
6x
3
+
2x
3
=
24· 3
3
®
6x
3
+
2x
3
+
72
3
6x + 2x
3
=
72
3
®
8x
3
=
72
3
3 ·
8x
3
= 3 ·
72
3
8x = 72 ® x =
72
8
x = 9
Exercícios
_
_
_
66
A U L A
66
A U L A
Introdução Você já percebeu que os gráficos são cada vez
mais usados na comunicação. Podemos encontrá-los em vários tipos de publica-
ção, expressando os mais diversos dados e situações, como por exemplo em:
l Relatórios de empresas
l Análises governamentais
l Relatórios de pesquisas
l Balanços financeiros
Por isso é tão importante saber interpretar um gráfico.
Nesta aula, vamos estudar mais um tipo de gráfico: o gráfico de uma
equação.
Nas Aulas 62 e 63, você aprendeu o que é uma equação e como resolvê-la.
Agora vai aprender a resolver graficamente uma equação do 1º grau, ou seja, a
representá-la no plano cartesiano. (Volte à Aula 37 para relembrar o que é plano
cartesiano.)
Vamos começar com um exemplo bem simples.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
A soma de dois números é igual a 5. Quais são esses números?
Equacionando o problema:
dois números : x e y
equação correspondente : x + y = 5
Existem muitos números que satisfazem essa equação. Esses números são
representados pelasvariáveis (xxxxx e yyyyy). Vamos criar uma tabela com alguns valores
das variáveis e os respectivos pares ordenados.
Gráfico de
uma equação
Nossa aula
66
A U L A
Como a cada par ordenado obtido corresponde um ponto no gráfico, vamos
marcar alguns pontos no plano cartesiano.
Observe que todos os pontos do gráfico estão alinhados, portanto, ligando
esses pontos, temos uma retaretaretaretareta.
Essa reta é a representação gráfica da equação x + y = 5.
Como a reta é uma figura geométrica formada por infinitos pontos, podemos
concluir que existem infinitosinfinitosinfinitosinfinitosinfinitos valores que satisfazem a equação x + y = 5.
A equação do 1º grau
Equação do 1º grau é toda equação que pode ser escrita na forma:
ax + by = c
onde aaaaa, bbbbb e ccccc são os coeficientes, xxxxx e yyyyy são as incógnitas (ou variáveis) e têm
sempre expoente 1.
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: As equações do 1º grau estudadas na Aula 63 são equações
do 1º grau com uma variável; já as equações estudadas nesta aula são equações
do 1º grau com duas variáveis.
xxxxx y = 5 y = 5 y = 5 y = 5 y = 5 - x x x x x (x; y)(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)
0 5 (0; 5)
0,5 4,5 (0,5; 4,5)
1 4 (1; 4)
1,5 3,5 (1,5; 3,5)
2 3 (2; 3)
3 2 (3; 2)
4 1 (4; 1)
5 0 (5; 0)
6 -1 (6; -1)
O
66
A U L A Quantos pontos determinam uma reta?
Imagine um plano e um ponto, como mostra a figura:
Quantas retas passam por esse ponto? Experimente desenhar!
É isso mesmo! Se você quiser traçar todas as retas, não vai acabar nunca... No
plano, existem infinitasinfinitasinfinitasinfinitasinfinitas retas que passam por um ponto.
Agora, se desenharmos mais um ponto nesse plano, quantas retas você
conseguirá desenhar? Experimente!
Você somente conseguirá desenhar uma reta!
No ponto, existe apenas uma reta que passa, ao mesmo tempo, por dois
pontos. Por esse motivo, podemos dizer que dois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma reta.
A equação do 1º grau e a reta
Vamos representar graficamente a equação x + 2y = 8. Para isso, precisamos
construir uma tabela com os valores das variáveis e os respectivos pares
ordenados.
(Agora você já sabe: bastam dois pontos, e a reta está determinada.)
Marcando esses pontos no plano cartesiano, temos:
xxxxx y =
8 - x
2
( x; y)( x; y)( x; y)( x; y)( x; y)
0 4 (0; 4)
1
7
2
= 3, 5 (1; 3,5)
66
A U L A
A reta que aparece é a reta da equação x + 2y = 8.
Veja algumas considerações sobre esse gráfico:
l a reta corta o eixo dos x x x x x no ponto (8; 0);
l à medida que os valores de xxxxx aumentam (crescem), os valores de y y y y y dimi-
nuem, (decrescem);
l utilizando o gráfico, podemos determinar outros pontos que pertecem à
reta, como por exemplo (2; 3), (4; 2), (6; 1), (10; -1) etc.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Construa as tabelas e os respectivos gráficos das equações seguintes. Suges-Suges-Suges-Suges-Suges-
tão:tão:tão:tão:tão: use uma folha quadriculada.
a)a)a)a)a) x + y = 1 c)c)c)c)c) 2x + 2y = 4
b)b)b)b)b) y + 2x = 5 d)d)d)d)d) 3x - y = 0
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Represente num mesmo gráfico as equações:
A: x + y = 0 B: x - y = 0
O que você pode concluir observando as retas?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Observando o gráfico abaixo, responda:
a)a)a)a)a) Quais as coordenadas dos pontos A, B, C e D?
b)b)b)b)b) No instante em que a reta corta o eixo dos x x x x x, qual a abscissa do ponto?
c)c)c)c)c) O que acontece com os valores de yyyyy à medida que os valores de xxxxx aumen-
tam?
Exercícios
O
O
66
A U L A Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Represente num mesmo gráfico as equações
A: 2x + y = 1 B: 2x + y = 2 C: 2x + y = 3
D: 2x + y = 0 E: 2x + y = 5
O que você pode concluir observando as retas?
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Analisando os gráficos abaixo, o que podemos afirmar sobre os valores de yyyyy
à medida que os valores de xxxxx aumentam?
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Invente uma equação do 1º grau com duas variáveis. Construa o gráfico
dessa equação.
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Represente num mesmo gráfico as equações:
x + y = 4 e 2x - y = 1
O que você concluiu?
67
A U L A
Inequações do 1º grau
Analisando as condições de vida da popula-
ção brasileira, certamente encontraremos um verdadeiro desequilíbrio, tanto na
área social como na área econômica. Esse desequilíbrio pode ser percebido
em situações como:
l Moradia: a cada dia, a população de rua vem aumentando nas grandes
cidades.
l Alimentação: 42,79% da população rural vive em situação de indigência.
l Salário: enquanto o salário de uns é baixíssimo, o salário de outros é
e x c e s -
sivamente alto.
Também podemos perceber esse desequilíbrio nas áreas de saúde, edu-
cação, saneamento básico etc.
Observe o gráfico abaixo. Ele representa o desequilíbrio na área da alimen-
tação:
Introdução
67
A U L A
67
A U L A Se usarmos a imagem de uma balança para �pesar� essas desigualdades,
ela estará permanentemente desequilibrada... Mas, até quando?
Mas o que tudo isso tem a ver com a nossa aula de Matemática? Na aula de
hoje, vamos estudar inequações do 1º grau. E as inequações representam uma
desigualdade matemática.
EXEMPLO 1
O número de pessoas que entram no 1º grau é maior do que o número de
pessoas que terminam o 1º grau. Esse fato é comprovado em diversas pesquisas
realizadas.
Se representarmos por x o número de pessoas que entram no 1º grau e por
y o número de pessoas que terminam o 1º grau, poderemos escrever essa frase
em linguagem matemática, assim:
x > y onde o símbolo > indica é maior que.
A balança pode ser usada para mostrar esse desequilíbrio ou essa desigual-
dade na educação.
A inequação do 1º grau
Assim como a equação do 1º grau, a inequação também é uma frase
matemática, só que, em vez do sinal de = (igual), tem um desses sinais: >
(maior) ou < (menor) ou ³ (maior ou igual) ou £ (menor ou igual).
2x + 1 > 4x - 5
y - 1 < 0
2x ³ x + 1
y + 4 £ 5 - 2y
Nossa aula
Estas frases matemáticas são
exemplos de inequações do 1º grau
com uma incógnita.}
67
A U L Ax + y > 5
- y + x < 3
2x ³ 1 - y
Propriedades da inequação do 1º grau
Quando resolvemos uma equação do 1º grau, usamos recursos matemáti-
cos tais como: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros da equação
e multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo valor, sem alterar a
equação. Será que esses recursos também são válidos na inequação do 1º
grau?
Vamos tomar a desigualdade 5 > 4, que é uma desigualdade verdadeira,
para verificar a validade desses recursos.
l Recurso: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros.
5 > 4
somar 2
5 + 2 > 4 + 2
7 > 6 _____ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.
5 > 4
subtrair 1
5 - 1 > 4 - 1
4 > 3 _____ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.
Podemos concluir que esse recurso (somar ou subtrair um mesmo valor aos
dois membros) é vál ido também para resolver inequações do 1º grau.
l Recurso: multiplicar ou dividir por um mesmo valor os dois membros da
inequação:
Esse valor é um número positivo
 5 > 4 x (+ 2)
 5 x 2 > 4 x 2
 10 > 8
} E estas são inequações do 1º graucom duas incógnitas.
67
A U L A Esse valor é um número negativo.
 5 > 4 _____ x (- 1)
(- 1) . 5 ? 4 . (- 1)
 - 5 < - 4
Observação: - 5 < - 4 só será uma desigualdade verdadeira se o símbolo
for invertido.
5 > 4
5 : 2 > 4 : 2
2,5 > 2
 5 > 4 : (- 2)
 5 : (- 2) ? 4 : (- 2)
 
- 5
2
 < 
- 4
2
 - 2,5 < - 2
Portanto, devemos ter cuidado ao utilizar esse recurso (multiplicar ou
dividir por um mesmo valor os dois membros) para resolver uma inequação do
1º grau: se essevalor for um número negativo, o sinal da desigualdade deve
ser invertido.
Como resolver uma inequação do 1º grau?
Vamos aplicar os recursos que acabamos de ver na resolução de uma
inequação do 1º grau.
EXEMPLO 2
Quais os valores de x que tornam a inequação - 2x + 5 > 0 verdadeira?
Inicialmente, resolvemos como se fosse uma equação do 1º grau:
- 2x + 5 > 0
- 2x > - 5
x < 
- 5
2
x < 2,5
como a operação inversa de somar 5 é subtrair 5,
+ 5 fica - 5.
2x < 5 multiplicando os dois lados por (- 1)
e invertendo o sinal de desigualdade
¿
¿
67
A U L AObserve que 2,5 não é solução da inequação, mas qualquer ponto menor
que 2,5 é solução.
Vamos verificar:
Para x = - 1 _ - 2 (- 1) + 5 > 0 _ 2 + 5 > 0 _ 7 > 0 (verdadeiro)
Para x = 2 _ - 2 (2) + 5 > 0 _ - 4 + 5 > 0 _ 1 > 0 (verdadeiro)
Para x = 2,5 _ - 2 (2,5) + 5 > 0 _ - 5 + 5 > 0 _ 0 > 0 (falso)
Para x = 3 _ - 2 (3) + 5 > 0 _ - 6 + 5 > 0 _ - 1 > 0 (falso)
Comprovamos, então, que somente os valores menores que 2,5 tornam a
inequação verdadeira.
O gráfico de inequação de 1º grau
Na Aula 66, você aprendeu a representar graficamente uma equação do 1º
grau com duas incógnitas. Agora vamos representar no plano cartesiano uma
inequação do 1º grau com duas incógnitas.
EXEMPLO 3
Represente no plano cartesiano a inequação x + 2y < 8
Vamos partir da equação x + 2y = 8
A região abaixo da reta representa os pontos em que x + 2y < 8. E a região
acima da reta representa os pontos em que x + 2y > 8.
Experimente! Pegue um ponto de cada uma das regiões indicadas e substi-
tua suas coordenadas na inequação x + 2y < 8. O que ocorre?
x y =
8 - x
2
 (x ; y)
0 4 (0 ; 4)
2 3 (2 ; 3)
67
A U L A Exercício 1
Resolva as inequações:
a) x + 4 > 7 b) 2x - 10 £ 4
c) - 3x £ 15 d) 3x £ - 15
e) 
3x + 1
2
-
x
3
< 1 f)
Exercício 2
Represente na reta numérica as soluções das inequações do Exercício 1.
Exercício 3
A balança ao lado não está equilibrada. Escreva uma frase matemática que
represente esse desequilíbrio.
Exercício 4
Represente no plano cartesiano as inequações:
a) x + 2y > 8 b) 3x - y £ 0 c) x + y < 5
Exercícios
+x 4 - 2x2 5
³ - 2
68
A U L A
Sistemas do 1º grau
Pedro e José são amigos. Ao saírem do traba-
lho, passaram por uma livraria onde havia vários objetos em promoção. Pedro
comprou 2 cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José gastou R$ 11,20
na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.
No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras,
mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todos
os livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.
E agora... Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou
caderno com as informações que temos?
Acompanhe a aula e descubra...
Em aulas anteriores, você viu que existem equações do 1º grau com duas
incógnitas, como por exemplo:
x + y = 5 x - y = 3 x + 2y = 8
Você viu, também que as equações do 1º grau com duas variáveis
admitem infinitas soluções:
x + y = 5 e x - y = 3
Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o
par (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma,
podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema sistema sistema sistema sistema de
equações do 1º grau que admitem uma solução comum.
Introdução
68
A U L A
Nossa aula
xxxxx yyyyy xxxxx yyyyy
0 5 0 -3
1 4 1 -2
2 3 2 -1
3 2 3 0
4 1 4 1
5 0 5 2
... ... ... ...
68
A U L A A Matemática utiliza o símbolo {{{{{ para indicar que duas (ou mais) equações
formam um sistema. Veja os exemplos:
x + y = 5 x - y = 4
x - y = 3 2x - y = 9
3x - 2y = 5 2x + y + z = 1
2x + 5y = 1 x - y - 3z = 4
x = 2
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Aqui, vamos estudar apenas os sistemas do 1º grau com duas
equações de duas variáveis.
Resolução de sistemas
Resolver um sistema é encontrar um par de valores (xxxxx e yyyyy) que tornem
verdadeiras as equações que o formam.
Por exemplo, o par (3; 2) é solução do sistema x - y = 1 ?
x + y = 5
Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas
as equações:
x - y = 1 x + y = 5
3 - 2 = 1 3 + 2 = 5
1 = 1 5 = 5
 (verdadeiro) (verdadeiro)
Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras.
O método da substituição
Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de uma
incógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo:
x - y = 1
x + y = 5
Escolhemos uma das equações e “tiramos” o valor de uma das incógnitas,
ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim:
x - y = 1 ® x = 1 + y
Agora, temos o valor de xxxxx em função de yyyyy e podemos substituir esse va-
lor na outra equação:
 x + y = 5
1 + y + y = 5
 1 + 2y = 5
 2y = 5 - 1
 2y = 4
 y = 2
Como x = 1 + y ® x = 1 + 2 ® x = 3.
Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema.
ß
68
A U L AQual é mesmo o preço do livro?
Releia o problema proposto na introdução deste capítulo e acompanhe sua
resolução.
Uma etapa importante na solução de um problema é a tradução dos dados
em linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x e y em
vez de cadernocadernocadernocadernocaderno e livrolivrolivrolivrolivro. Organizamos os dados assim:
Pedro: 3 livros + 2 cadernos = R$ 17,40 ® 3x + 2y = 17,40
José: 2 livros + 1 caderno = R$ 11,20 ® 2x + y = 11,20
Temos, assim, o sistema:
3x + 2y = 17,40
2x + y = 11,20
Estabelecendo o valor de yyyyy em função de xxxxx na 2ª equação, temos:
y = 11,20 - 2x
Substituindo esse valor na 1ª equação:
3x + 2 (11,20 - 2x) = 17,40
Temos uma equação do 1º grau, com apenas uma incógnita. Resolvendo essa
equação:
3x + 22,40 - 4x = 17,40
 - x = 17,40 - 22,40
 - x = -5
 - x = 5
Como y = 11,20 - 2x ® y = 11,20 - 10 ® y = 1,20
Portanto, cada livro custou R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20.
VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificação
Pedro: 3 . 5 + 2 . 1,20 = 15 + 2,40 = 17,40
José: 2 . 5 + 1,20 = 10 + 1,20 = 11,20
O método da adição
Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos
das equações. Veja o exemplo:
x - y = - 4
2x + y = 9
Somando as equações:
2x - y = - 4
2x + y = 9 +
3x = 5
x = 
5
3
68
A U L A Veja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. Por
que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!
Para obter o valor de yyyyy, devemos substituir o valor de xxxxx, encontrado em uma
das equações:
x - y = - 4 ® 
5
3
 - y = - 4 ® -y = - 4 - 
5
3
-y = 
- 12 - 5
3
 ® - y = 
- 17
3
 ® y = 
17
3
A solução do sistema é o par .
VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificação
x - y = - 4 ® 
5
3
 - 
17
3
 = - 4 ® 
- 12
3
 = - 4 (verdadeiro)
2x + y = 9 ® 2 · 
5
3
 + 
17
3
 = 9 ® 
10
3
 + 
17
3
 = 9 ® 
27
3
 = 9 (verdadeiro)
Usando um artifício de cálculo
Vamos resolver o sistema abaixo pelo método da adição:
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anularanularanularanularanular um
dos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo:
l primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2;
l depois, multiplicamos a 2ª equação por -3.
O sistema sofrerá a seguinte transformação:
´ 2
3x + 2y = 4 ® 6x + 4y = 8
´ - 3
2x + 3y = 1 ® -6x - 9y = - 3
Agora,podemos somar o sistema:
 - 6x + 4y = 8
- 6x - 9y = - 3 +
 - 5y = 5 ® y = - 1
5 ; 17ö
3 3 ø
æ
è
68
A U L APara obter o valor de x x x x x, devemos substituir o valor de y y y y y em uma das equações:
2x + 3y = 1
2x + 3 (- 1) = 1
2x - 3 = 1
2x = 4 ® x = 2
Portanto, a solução do sistema é o par: (2; -1).
VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificação
3x + 2y = 4 ® 3 · 2 + 2 · (-1) = 4 ® 6 - 2 = 4 (verdadeiro).
2x + 3y = 1 ® 2 · 2 + 3 · (-1) = 1 ® 4 - 3 = 1 (verdadeiro).
Observação: Observação: Observação: Observação: Observação: Você deve ter percebido que o artifício de cálculo, usado para
resolver esse sistema, permitiu que a variável xxxxx desaparecesse. Isso ocorreu
porque a variável xxxxx, nas duas equações, ficou com coeficientes simétricos.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Resolva o sistema por substituição:
3x + 5y = 20
2x + y = 11
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Resolva os sistemas por adição:
a)a)a)a)a) x + y = 10 b)b)b)b)b) 5x - 2y = 1
x - y = - 6 7x + 2y = 11
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Resolva os sistemas:
a)a)a)a)a) x - y = - 3
x + 2y = 3
b)b)b)b)b) 4x + y = 3
2x - 2y = - 1
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema: 10x - 2y = 6
x + 5y = 11
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação:
Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Resolva o sistema do Exercício 5.
Exercícios
69
A U L A
69
A U L A
Introdução Na Aula 68, você aprendeu a resolver
algebricamente um sistema do 1º grau. Nesta aula, você vai aprender a resolver
graficamentegraficamentegraficamentegraficamentegraficamente um sistema de equações do 1º grau.
Mas, antes, vamos recapitular algumas noções que, provavelmente, você
já conhece.
Uma equação do 1º grau com duas variáveis pode ser representada no
plano cartesiano, isto é, graficamente, por meio de uma reta.
Para a determinação da reta bastam dois pontos. Cada ponto é formado por
um par ordenado (x; y), onde x x x x x é a abscissa e yyyyy é a ordenada do ponto.
Os valores de xxxxx e de yyyyy podem ser estabelecidos em uma tabela, como mostra
o exemplo.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Represente graficamente 2x + 3y = 5
 x x x x x y = y = y = y = y = 
5 - 2x
3
(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)
A 0
5
3
(0;
5
3
)
B 1 1 (1; 1)
Nesta aula, vamos estudar apenas os sistemas de duas equações do 1º grau
com duas variáveis.
Gráfico de
um sistema
Nossa aula
69
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Construa num mesmo plano cartesiano as retas x - y = 1 e x + y = 5
Primeiro montamos as tabelas:
As duas retas se cruzam no ponto (3; 2). Isso significa que o ponto (3; 2) é
comum às duas retas, ou seja, é o ponto de interseção das duas retas. Logo o par
ordenado (3; 2) corresponde à solução do sistema formado por essas duas
equações.
Veja:
x - y = 1
x + y = 5
Por adição temos:
x - y = 1
x + y = 5 +
2x = 6 ® x = 3 ® y = 2
Solução:Solução:Solução:Solução:Solução: (3; 2)
E assim podemos verificar que o ponto (3; 2)(3; 2)(3; 2)(3; 2)(3; 2), ponto de interseção das duas
retas é a solução gráfica do sistema.
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Resolva graficamente o sistema:
x - y = 5
x + 2y = 8
x y=x-1 (x;y) x y=5 - x (x;y)
0 - 1 (0;1) 0 - 1 (0;1)
1 0 (1;0) 1 0 (1;0)
xxxxx y=xy=xy=xy=xy=x-55555 (x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0 - 5 (0;- 5)
1 - 4 (1;- 4)
xxxxx y =
8 - x
2
(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0
7
2
= 3, 5 (0;3,5)
2 3 (2;3)
69
A U L A Agora, vamos verificar esse resultado, achando algebricamente a solução:
x - y = 5
x + 2y = 8
Por substituição temos:
x = 5 + y ® 5 + y + 2y = 8 ® 3y = 3
y = 1 ® x = 6
Solução:Solução:Solução:Solução:Solução: (6; 1)
Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1º grau com duas grau com duas grau com duas grau com duas grau com duas
variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.
Muitas vezes, a solução de um sistema pode nos levar a resultados curiosos.
Nesse caso, a solução gráfica pode ser um excelente recurso para entender a
solução.
EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4
Resolva algebricamente o sistema:
2x + y = 0
2x + y = 3
Usando um recurso do cálculo e resolvendo por adição, temos:
 2x + y = 0 ´ (-1) - 2x - y = 0
 2x + y = 3 2x + y = 3 +
 0 = 3 ® falso
Mas, como 0 ¹ 3 (zero é diferente de 3), dizemos que chegamos a uma
identidade falsaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsa.
Vamos verificar qual o significado dessa identidade falsa, resolvendo grafi-
camente o sistema:
2x + y = 0
2x + y = 3
Observe que as retas que representam as equações que formam o sistema
são paralelasparalelasparalelasparalelasparalelas. Logo, não há ponto de interseção entre elas, o que significa
que o sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem solução.
x y=-2x (x;y) x y=3-2x (x;y)
0 0 (0;0) 0 3 (0;3)
1 -2 (1;-2) 1 1 (1;1)
69
A U L AUm sistema indeterminado
Resolva algebricamente o sistema abaixo e, depois, verifique o significado
da solução encontrada.
 x - y = 3
2x - 2y = 6
Por substituição, temos: x = 3 + y
2x - 2y = 6 ® 2 (3 + y) - 2y = 6 6 + 2y - 2y = 6 ® 6 = 6 ® (verdadeiro)
Agora vamos resolver graficamente o sistema e verificar o significado da
solução.
 x - y = 3
2x - 2y = 6
As duas equações que formam o sistema são representadas por uma únicaúnicaúnicaúnicaúnica
retaretaretaretareta. Logo todas as soluções de uma equação são também soluções da outra
equação. O que significa que há infinitas soluções, ou seja, a solução éa solução éa solução éa solução éa solução é
indeterminadaindeterminadaindeterminadaindeterminadaindeterminada.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Represente num mesmo plano cartesiano as retas 2x + 3y = 11 e 11x + 4y = 22.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Determine a solução do sistema 2x + 3y = 11 ?
x - y = - 2
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Represente graficamente cada um dos sistemas a seguir e, depois, verifique
a solução algebricamente.
a)a)a)a)a) x + y = 1 b)b)b)b)b) 2x + y = 1
2x - y = 14 2x + y = 3
c)c)c)c)c) x - y = - 3 d)d)d)d)d) x + y = 4
x + 2y = 3 2x - 2y = 8
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Sejam aaaaa e bbbbb as retas que representam as equações de um sistema do 1º grau.
O que podemos afirmar sobre a solução do sistema, quando:
a)a)a)a)a) aaaaa e bbbbb são retas concorrentes;
b)b)b)b)b) aaaaa e bbbbb são retas coincidentes, isto é, representam a mesma reta;
c)c)c)c)c) aaaaa e bbbbb são retas paralelas.
xxxxx y=xy=xy=xy=xy=x-33333 (x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0 - 3 (0;- 3)
1 - 2 (1;- 2)
xxxxx y =
2x - 6
2
(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0 - 3 (0;- 3)
1 - 2 (1;- 2)
Exercícios
70
A U L A
70
A U L A
Equacionando
problemas ----- I
Introdução Você já percebeu que a Matemática é um
excelente recurso para resolver muitos dos problemas do nosso dia-a-dia. Mas
a Matemática também pode ser vista sob um outro aspecto: o da brincadeira.
Problemasque envolvem jogos e desafios lógicos têm contribuído para
estimular a inteligência do ser humano ao longo de toda a história. Há registro
desse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade.
Nesta aula, nós vamos apresentar alguns desses desafios. Certamente, você
também se sentirá estimulado a resolvê-los. Afinal, quem nunca brincou de
adivinhar?
Como descobrir o número pensado por outra pessoa?
Essa é uma brincadeira bastante antiga (livros do século XII já faziam
referência a esse tipo de jogo como uma atividade comum entre pessoas).
Consiste no seguinte: uma pessoa propõe a outra que pense em um número
qualquer. Após alguns comandos, a pessoa que propôs o jogo adivinha o
número pensado pela outra. Vamos ver um exemplo.
EXEMPLO 1
Duas pessoas, A e B, estão jogando. A dá alguns comandos para B.
COMANDOS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
l Pense num número qualquer. l B pensou no número 5.
l Encontre o seu dobro. l 5 x 2 = 10
l Some 3 ao resultado. l 10 + 3 = 13
l Triplique o valor encontrado. l 13 x 3 = 39
l Subtraia 9 do resultado. l 39 - 9 = 30
l Divida tudo por 6. l 30 : 6 = 5
l Quanto deu? l 5
l Este é o número no qual você pensou!
Nossa aula
70
A U L AVamos escrever em linguagem matemática o que ocorreu:
l Pense um número qualquer: x
l Encontre o seu dobro: 2 . x = 2x
l Some 3 ao resultado: 2x + 3
l Triplique o que você achou: 3 . (2x + 3) = 6x + 9
l Subtraia 9 ao resultado: 6x + 9 - 9 = 6x
l Divida tudo por 6: 6x : 6 = x
Porque esse jogo dá certo?
Observe que há comandos que anulam os anteriores, como por exemplo:
�achar o dobro� e �triplicar� são anulados pelo comando �divida tudo por 6�.
Os comandos que se anulam são determinados pelas operações inversas.
Recordando operações inversas
Uma operação é inversa de outra quando desfaz o que a outra faz.
l A adição e a subtração são operações inversas:
l A multiplicação e a divisão são operações inversas:
l A potenciação e a radiciação são operações inversas:
70
A U L A Adivinhando um número novamente
Vamos ver mais um exemplo desse jogo de �adivinha�:
EXEMPLO 2
A pessoa A diz os seguintes comandos para a pessoa B:
l Pense em um número par.
l Triplique o número escolhido.
l Divida o resultado por 2.
l Triplique o resultado.
l Divida o que foi encontrado por 9.
l Multiplique por 2.
l A: O resultado final é o número que você pensou.
Vamos ver em linguagem matemática o que ocorreu:
COMANDOS LINGUAGEM MATEMÁTICA
l pense um número par l 2x (*)
l triplique o número pensado l 2x . 3 = 6x
l divida o resultado por 2 l 6x : 2 = 3x
l triplique o resultado l 3x . 3 = 9x
l divida o que deu por 9 l 9x : 9 = x
l multiplique por 2 l x . 2 = 2x
(*) A expressão geral para indicar um número par é 2x. Veja que,
para qualquer valor atribuído a x, o número 2x é par.
Observe que, novamente, foram feitas operações inversas, permitindo que
se retornasse ao número pensado inicialmente.
Jogando com a calculadora
Há pessoas que dizem que os números se relacionam com a sorte. Outras,
simplesmente, simpatizam mais com este ou aquele número. E você, também
tem um número de sua preferência?
Nesse jogo você poderá escolher um número de 1 a 9 e fazer com que
somente ele apareça no visor de uma calculadora, por meio de algumas
operações bem simples. Vamos ver um exemplo.
70
A U L AEXEMPLO 3
Imagine que você tenha escolhido o número 5.
Digite na calculadora o número 1 2.3 4 5.6 7 9.
Agora, multiplique esse número por 45.
Veja que, no visor, aparece somente o número 5.
Desvendando o mistério!
Muita gente acha que 1 2.3 4 5.6 7 9 é um número misterioso. A matemática
vai mostrar que não há nenhum mistério. Veja a aplicação:
O número 1 1 1.1 1 1.1 1 1 é divisível por 9 e o quociente dessa divisão é
12.3456.79. Experimente fazer a conta na calculadora:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 .
... 12345679
0
Portanto: 1 2.3 4 5.6 7 9 x 9 = 111.111.111.
OFF ONC%
MMR - M+ /+-
7 8 9
5 64
1 2 3
x
-
0
OFF
OFF ONC%
MMR - M+ /+-
7 8 9
5 64
1 2 3
x
-
0
OFF
70
A U L A Quando multiplicamos 1 2.3 4 5.6 7 9 por 45, estamos, na verdade,
multiplicando-o por 9 x 5.
Logo: 1 2.3 4 5.6 7 9 x 45 =
= 1 2.3 4 5.6 7 9 x 9 x 5 =
= 1 1 1.1 1 1.1 1 1 x 5 = 5 5 5.5 5 5.5 5 5
Veja que curioso:
1 2.3 4 5.6 7 9 x 19 (9 x 1) = 111.111.111
1 2.3 4 5.6 7 9 x 18 (9 x 2) = 222.222.222
1 2.3 4 5.6 7 9 x 27 (9 x 3) = 333.333.333
1 2.3 4 5.6 7 9 x 36 (9 x 4) = 444.444.444
 ... ...
A álgebra desvendando mistérios
Você já sabe que a álgebra é uma linguagem matemática que auxilia a
resolver problemas, isto é, pela álgebra podemos equacionar problemas.
PROBLEMA 1
Vamos resolver um �mistério� sobre a vida de Diofanto, um notável
matemático da Antigüidade. Tudo o que se conhece a seu respeito encontra-se
na dedicatória escrita em seu túmulo sob a forma de um problema matemático.
Veja o que ela diz:
LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM MATEMÁTICA
CAMINHANTE! AQUI FORAM SEPULTADOS OS RESTOS DE
DIOFANTE. E OS NÚMEROS PODEM MOSTRAR - OH,
MILAGRE - QUÃO LONGA FOI SUA VIDA, x
CUJA SEXTA PARTE CONSTITUIU SUA FORMOSA INFÂNCIA
x
6
E MAIS UM DUODÉCIMO PEDAÇO DE SUA VIDA HAVIA
TRANSCORRIDO QUANDO DE PÊLOS SE COBRIU O SEU ROSTO.
x
12
E A SÉTIMA PARTE DE SUA EXISTÊNCIA TRANSCORREU EM
UM MATRIMÔNIO SEM FILHOS.
x
7
PASSOU-SE UM QÜINQÜÊNIO MAIS E DEIXOU-O MUITO
FELIZ O NASCIMENTO DE SEU PRIMEIRO FILHO, 5
CUJO CORPO ENTREGOU À TERRA, SUA FORMOSA VIDA,
QUE DUROU SOMENTE A METADE DA DE SEU PAI.
x
2
E COM PROFUNDO PESAR DESCEU À SEPULTURA, TENDO
SOBREVIVIDO APENAS QUATRO ANOS AO DESCANSO DE
SEU FILHO. 4
DIGA-ME: QUANTOS ANOS TINHA DIOFANTO QUANDO LHE
CHEGOU A MORTE? x =
x
6
+
x
12
+
x
7
+ 5 +
x
2
+ 4
70
A U L ASolução
x =
x
6
+
x
12
+
x
7
+ 5 +
x
2
+ 4 igualando os denominadores
e simplificando
84x
84
=
14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336
84
84x - 14x - 7x - 12x - 42x = 420 + 336
 9x = 756
 x = 84
Desse modo, ficamos conhecendo alguns dados biográficos sobre Diofanto:
casou-se aos 21 anos, foi pai aos 38, perdeu o filho aos 80 e morreu aos 84.
PROBLEMA 2
Vamos ver mais um problema bastante antigo que pode ser traduzido para
a linguagem da álgebra.
Um cavalo e um burro caminharam juntos levando no lombo pesados sacos.
Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: �De que
te queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo
contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha�. Qual a carga
de cada um dos animais?
Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na linguagem da álgebra:
Sejam x = a carga do cavalo e y a carga do burro.
LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM DA ÁLGEBRA
Se eu levasse um de teus sacos, x - 1
a minha carga y + 1
seria o dobro da tua. y + 1 = 2 (x - 1)
Se eu te desse um saco, y - 1
a tua carga x + 1
seria igual à minha, y - 1 = x + 1
Temos, então, um sistema com duas equações do 1º grau:
 y + 1 = 2 (x - 1) ® y - 2x = - 3
 y - 1 = x + 1 y - x = 2
resolvendo o sistema, temos x = 5 e y = 7.
Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do cavalo, de 5 sacos.
 Este é um dos mais curiosos problemas que se conhece. E também um dos
mais antigos: tem mais de 2000 anos!
70
A U L A Um viajante chega à margem de um rio levando uma raposa, uma cabra e
um pé de couve. Ele deseja atravessar o rio, mas o único barco que se encontra
lá é pequeno e só pode transportar dois elementos de cada vez: ele e um de seus
pertences. O viajante deseja levar todos os seus pertences para a outra margem,
sem perder nenhum deles. Ele sabe que:
� se deixar a cabra com a couve, a cabra come a couve;
� e se deixar a raposa com a cabra, a raposa come a cabra.
O que ele deve fazer?
Tente resolver esse problema antes de ler a solução! Ele não precisa de
equação para ser resolvido; precisa, sim, de muito raciocínio!
Solução
Como nada foi dito sobre a raposa e a couve, podemos concluir que podem
ficar juntos sem prejuízo para o viajante. Sendo assim, veja o que o viajantefaz
para resolver seu problema:
� levou a cabra, voltou e pegou a raposa;
� deixou a raposa e trouxe a cabra de volta;
� levou a couve e voltou para pegar a cabra.
Seguiu seu caminho feliz por não ter perdido nenhum de seus pertences.
Agora que você conhece esse aspecto divertido da Matemática, que tal
pesquisar ou inventar outros problemas?
Por enquanto, aqui vão algumas sugestões que, certamente, irão �aguçar�
seu raciocínio.
70
A U L AExercício 1
Um número, sua metade e sua terça parte somam 77. Qual é o número?
Exercício 2
Pensei num número, multipliquei-o por 2 e ao resultado somei 8, obtendo
20. Em que número pensei?
Exercício 3
Descubra o valor das letras, na conta abaixo, considerando que letras iguais
representam o mesmo número:
 AB
BA +
CAC
Exercício 4
Que comandos anulam os seguintes comandos?
a) Somar 8 e multiplicar por 2.
b) Triplicar e multiplicar por 5.
Exercício 5
Invente uma série de comandos que levem você a adivinhar o número
pensado por um amigo.
Exercícios
71
A U L A
71
A U L A
Operando com
potências
Introdução Operações com potências são muito utiliza-
das em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. O
conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode facilitar a
resolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriam
bastante trabalhosos.
Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições de
potências com expoentes inteiros e bases reais.
Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se represen-
tar uma multiplicação de fatores iguais.
Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de
vezes que o fator se repete é representado pelo expoente. Por exemplo:
l 5 x 5 = 25 « 52 = 25 Onde 5 é a base e 2 é o expoente.
Lê-se: �5 ao quadrado�.
2 vezes
l 2 x 2 x 2 = 8 « 23 = 8 Onde 2 é a base e 3 é o expoente.
Lê-se: �2 ao cubo�.
3 vezes
l 3 x 3 x 3 x 3 = 81 « 34 = 81 Onde 3 é a base e 4 é o expoente.
Lê-se: �3 à 4ª potência�.
4 vezes
De maneira geral, podemos escrever:
a . a . a ... a = an
se n > 2 (número inteiro)
 n vezes
Nossa aula
71
A U L AAlguns casos especiais da potenciação:
l a1 = a para qualquer a
l a0 = 1 se a ¹¹¹¹¹ 0
l a- n =
1
an
se a ¹¹¹¹¹ 0
Além dessas definições, convenciona-se ainda que:
- 32 significa - (3)2 = - (3 . 3) = - 9 e
(- 3)2 = (- 3) . (- 3) = + 9
Portanto: - 32 ¹¹¹¹¹ (- 3)2
Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo e está elevada
a um expoente positivo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso os
parênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto.
Vejamos alguns exemplos numéricos de aplicação das propriedades
vistas até aqui:
l 70 = 1 l (- 2)2 = + 4
l 61 = 6 l 3- 2 =
1
32
=
1
9
l - 22 = - 4 l
Para calcular o valor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar a
multiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou mais
potências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo:
l As potências 3-2 e (-3)-2 são iguais ou diferentes?
3- 2 =
1
32
=
1
9
e
Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3-2 = (- 3)-2
l Qual é a maior 6-2 ou -6 2?
6- 2 =
1
62
=
1
36
ou - 62 = -(6 . 6) = -36
Vimos que 6-2 resulta num número positivo e -62 resulta num número
negativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo.
Logo: 6-2 > -62.
æ
è
1
2
ö
ø
³¯
=
(-3) = 1(-3) =
1
9
- -³³
 1
 (½)³ = 1
8
_( )
1 8=
71
A U L A
l Qual é o número menor: ou ?
 e
Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denomi-
nador, portanto 1
32
.
Como as frações são negativas o resultado é ao contrário e teremos como
resposta: >
Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica.
Para efetuar operações com potências, também é necessário calcular
antes o valor de cada potência. Por exemplo:
l 32 + 23 = 9 + 8 = 17
l 53 - 72 = 125 - 49 = 76
l 23· . 32 = 8 . 9 = 72
l 42: 23 = 16 : 8 = 2
Propriedades da potenciação
Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especial das
potências de bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a multiplicação sem
efetuar as potências e obteremos o resultado em forma de potência.
Multiplicação de potências de bases iguais
l 24 x 24 = 24+2 = 26 porque 24 x 22 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
 4 vezes 2 vezes
l 75 x 7-3 = 75 + (-3) = 75-3 = 72
Generalizando, para multiplicar potências de bases iguais, repetimos a base
e somamos os expoentes.
am . an = am+n
ø
ø ø
æ_ 1
 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
ö ö
ö
è
³5
øø
ø
ø
ø
ø
ø
ø
ø ø
ø
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
ö ö
ö ö
öö ö
ö
ö
ö
ö
³
5
5
æ_ 1
è 2
_ 1
 32
_ 1
 8
= . . . . =
= . . =
³
71
A U L A
Divisão de potências de bases iguais
l 54 ¸ 52 =
54
52
=
5· 5· 5· 5
5· 5
= 5· 5 = 52
l 7-3 : 72 = 7-3-2 = 7-5
l 94 : 96 = 94-6 = 9-2
Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos
os expoentes.
am ::::: an = am - n
Potenciação de potência
l (32)3 = (32) . (32) . (32) = 32 x 3 = 36
 3 vezes
l
Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multi-
plicamos os expoentes.
(am)
n
 = a m . n
Distributividade da potenciação em relação à multiplicação
l (2 x 3)3 = (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 8 . 27
 3 vezes 3 vezes 3 vezes
l
Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmo
expoente.
(a . b)m = am . bm
:
. . .
æ 1 ö
è 2²
(2 (-2) )
4
ø
== 1
2 8
2-8
4
=
(5 x 7) =-2 1
(5 x 7)²
 1
5² x 7²
= 5
-2 -2x 7=
71
A U L A
Distributividade da potenciação em relação à divisão
l
 2 vezes
l
Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos o
dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente.
ou
Aplicações
Como já foi dito no início da aula, uma das maiores aplicações das
propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculo
algébrico. Na Aula 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões algébri-
cas. Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões e
verificaremos o uso constante das propriedades estudadas.
l x2 · x3 · x5 = x10
l y2 · (y2 + y + 1) = y2 · y2 + y2 · y + y2 · 1 = y4 + y3 + y2
l (- 2xy)3 = (- 2)3 · x3 · y3 = - 8x3y3
l (x2)
3
 · x-4 = x6 · x- 4 = x7- 4
l (2x5 + 3x4) ¸ x3 = (2x5 ¸ x3) + (3x4 ¸ x3) = 2x2 + 3x
l
xyβ γ4
x2yβ γ- 1 =
x4 · y4
x2β γ- 1 · y- 1 =
x4 · y4
x- 2 · y- 1
=
x4
x- 2
·
y4
y- 1
= x6 · y5
(7 : 3)² =
æ7ö
è3ø
æ7ö
è3
.
ø =
7 . 7 7²
3 . 3 3² = 7² : 3²
æ4ö
è5
-3
ø -3
-34
5
=
(a : b)m= a : bm m
æaö
èbø
= a
bm
mm
(xy)4
(x- )- (x )- .
.
.
. .
71
A U L A
As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma
forma de simplificação dos cálculos. Veja:
l 2 . 128 . 32 = 2 . 27 . 25 = 213
l (43)
2
 : 16 = 46 : 42 = 44
l
52 · 53
625
=
52 · 53
54
=
55
54
= 51 = 5
Exercício 1
Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) ( ) 4-2 = - 16
b) ( ) 7-3 . 73 = 1
c) ( )
1
x
Φ
Η
Ι
Κ
- 2
= x2
d) ( ) - 3- 2 =
1
9
Exercício 2
Qual é a maior -
1
5
Φ
Η
Ι
Κ
2
 ou -
1
5
Φ
Η
Ι
Κ
3
?
Exercício 3
Se 2x = 4, qual é o valor de 21+x? E qual o valor de 23-x?
Exercício 4
Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas:
a) x3 . (x + x2 + x4) =
b) (7x5 - 8x4) : x4 =
c) (6x3 + 3x2) : (-3x) =
d) (x2 + y) . xy =
Exercícios
æ_
è
ö²
ø
æ_
è ø
³ö
æ1ö
èxø
. .
72
A U L A
72
A U L A
Produtos notáveis
Introdução
Nossa aula
O cálculo algébrico é uma valiosa ferra-
menta para a álgebra e para a geometria. Em aulas anteriores, já vimos
algumas operações com expressões algébricas.Nesta aula, estudaremos alguns produtos especialmente importantes por-
que aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são
conhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado de
uma multiplicação, e n o t á v e l por ser importante, digno de nota, que se destaca.
Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras de
maneiras diferentes.
Primeiro produto notável
Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede a.
Área: a2
Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos
um quadrado de lado a + b, assim:
 Área: (a + b)2
72
A U L AOutra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de
cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de
lados a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b:
(a + b)2 = a2 + 2·ab + b2
Podemos ainda calcular a área desse quadrado usando cálculo algébrico:
(a + b)2 = (a + b) (a + b) Elevar ao quadrado éo mesmoque
multiplicar dois fatores iguais.
(a + b) (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = Aplicando a propriedade distributiva
da multiplicação.
= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Efetuando os termos semelhantes.
Logo:
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O trinômio obtido é chamado de trinômio quadrado perfeito por ser o
resultado do quadrado de (a + b).
Observe novamente esse produto:
quadrado da soma trinômio quadrado perfeito
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
 å â â æ æ
1º termo 2º termo quadrado duas vezes quadrado
do 1º o 1º pelo 2º do 2º
Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido assim:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo,
mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.
72
A U L A EXEMPLO 1
Podemos calcular (2 + 3)2 de duas maneiras:
(2 + 3)2 = 52 = 25
(2 + 3)2 = 22 + 2 . 2 . 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25
Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados.
É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produto
notável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamen-
te o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado.
No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e então
temos de usar a regra do produto notável.
EXEMPLO 2
l (x + 1)2 = x2 + 2 . x . 1 + 12 = x2 + 2x + 1
l (3x + 4)2 = (3x)2 + 2 · (3x) · 4 + 42 = 9x2 + 24x + 16
l
x
2
+ yΦΗ
Ι
Κ
2
=
x
2
Φ
Η
Ι
Κ
2
+ 2·
x
2
Φ
Η
Ι
Κ· y + y
2 =
x2
4
+ xy + y2
l (a2 + 3b)2 = (a2)2 + 2 · a2 · 3b + (3b)2 = a4 + 6a2b + 9b2
Segundo produto notável
O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termos
e é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal.
Vamos calculá-lo:
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - ab - ba + (- b)2 =
= a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
Logo:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
que pode ser lido assim:
O quadrado da diferença d e dois termos é igual ao quadrado
do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo
2º termo, mais o quadrado do 2º termo.
æx
è2
ö
ø
 æxö
 è2ø
 æxö
 è2ø
. .
. .
72
A U L AEXEMPLO 3
l (a - 2)2 = a2 - 2 . a . 2 + 22 = a2 - 4a + 4
l (x2 - 2y)2 = (x2)
2
 - 2 . x2 . 2y + (2y)2 = x4 - 4x2y + 4y2
l
Terceiro produto notável
O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da área
de uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes.
A área que devemos calcular é a da figura pintada em forma de L que tem
três dimensões diferentes a, b e c.
Completando as linhas tracejadas, obtemos um quadrado maior de lado a
e um quadrado menor de lado b.
A área da figura pintada pode ser calculada fazendo-se a diferença entre a
área do quadrado maior e a área do quadrado menor:
Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor
Área do L = a2 - b2
Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em dois
retângulos, assim:
Observe na figura anterior, que c = a - b
æ
è
æ3y
è 4ø ø
öö (4x)²4x - -2 . 4x .3y
 4
+3y
 4
= 16x² - 6xy + 9y²
 16
=
²²
72
A U L A Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos
colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a
- b.
comprimento: a + b
largura: a - b
Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos:
Área do retângulo: (a + b) (a - b)
Então:
 (a + b) (a - b) = a2 - b2 que pode ser lido:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual
ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.
EXEMPLO 4
l (x + 2) (x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4
l (2x - 5y) (2x + 5y) = (2x)2 - (5y)2 = 4x2 - 25y2
l (a2 + b) (a2 - b) = (a2)
2
 - b2 = a4 - b2
l
Observações
1. Quando se diz �o quadrado da soma de dois números�, essa sentença é
representada algebricamente por (x + y)2.
2. Quando se diz �a soma dos quadrados de dois números�, a expressão
correspondente é x2 + y2.
3. Da mesma forma, �o quadrado da diferença� representa-se por (x - y)2 e �a
diferença entre dois quadrados� por x2 - y2.
æx yö
è2 3
ö ö ö
ø øøø
. æx yè2 3
+ -=
x
2
²
- y
3
²
=
x² y²
4 9
æ
è
æ
è -
72
A U L AResumindo
Os três produtos notáveis estudados nesta aula são:
1. Quadrado da soma de dois termos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a - b) = a2 - b2
Exercício 1
Sabendo que x2 + y2 = 29 e (x + y)2 = 49 são números inteiros positivos,
determine:
a) x + y
b) xy
c) x e y
Sugestão: desenvolver (x + y)2 e substituir (x + y)2 e x2 + y2 pelos seus valores
dados pelo enunciado.
Exercício 2
Efetue:
a) (2x + 3y)2
b) x -
y
2
Φ
ΗΓ
Ι
Κϑ
2
c) (x2 - 2xy) (x2 + 2xy)
Exercício 3
Qual o polinômio que somado a (a + 2) (a - 2) dá (a + 2)2 como resultado?
Exercício 4
Observe os seguintes trinômios quadrados perfeitos e determine os qua-
drados correspondentes:
a) x2 + 2ax + a2
b) 4x2 + 4x + 1
Exercícios
æ
è
x
 ø
ö
73
A U L A
73
A U L A
Fatoração
Introdução A palavra fatoração nos leva a pensar em
fatores, e, como já sabemos, fatores são os elementos de uma multiplicação.
Fatorar um número, portanto, é escrevê-lo na forma de uma multiplicação de
fatores. Por exemplo, o número 16 pode ser escrito como uma multiplicação de
fatores, de várias maneiras:
16 = 2 x 8
16 = 4 x 4
16 = 2 x 2 x 2 x 2 ou ainda 16 = 24
No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum,
podemos fatorá-la, assim:
7 x 2 + 5 x 2 = (7 + 5) x 2 ® forma fatorada da
expressão numérica
soma de 2 parcelas produto de dois fatores
Vamos aprender, nesta aula, a fatoração de expressões algébricas, que é
muito utilizada para a simplificação dos cálculos algébricos.
Vamos considerar um terreno formado por dois lotes de comprimentos
diferentes e de mesma largura:
Podemos calcular a área total do terreno de duas maneiras diferentes:
l Calculando a área de cada lote e depois somando-as.
l Somando os comprimentos dos dois lotes e calculando diretamente a
á r e a total do terreno.
Nossa aula
73
A U L AAs duas maneiras dão o mesmo resultado; portanto, podemos escrever:
Área do lote I: ax
Área do lote II: bx
Comprimento total do terreno: (a + b)
Área do terreno: (a + b) x
Logo: ax + bx = (a + b) x
soma de duas produto de
parcelas dois fatores
Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais parcelas houver um fator
comum a todas as parcelas (como o x em ax + bx), podemos fatorar essa
expressão, e esse fator comum será um dos fatores da expressão após ser
fatorada.
Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada?
Basta dividir a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum.
EXEMPLO 1
Fatore a expressão: 3xy + 6x. Temos que 3 e x são fatores comuns às duas
parcelas. Podemos, então, escrever a expressão assim:
simplificando as frações
3xy + 6x = 3x (y +2)
Dizemos