2018distribuici§aiƒo_de_freque

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Distribuição de Frequência – Variável Discreta 
É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira 
coluna em ordem crescente apenas os valores distintos de série e na segunda coluna, 
colocamos os valores das frequências simples correspondentes. 
 
xi fi 
2 
3 
 3,5 
 4 
 4,5 
 5 
1 
 5 
 6 
 10 
 4 
 4 
 
CONSTRUÇÃO DA VARIÁVEL DISCRETA 
A construção de uma variável discreta é bastante simples. Bastam observar quais são os 
elementos distintos da sequência, ordená-los, e colocá-los na primeira coluna da tabela. 
Exemplo de construção de uma variável discreta: A sequência abaixo representa a 
observação do número de acidentes por dia, em uma rodovia, durante 20 dias. 
X: 
Os valores distintos da sequência são: 0, 1, 2, 3. 
As frequências simples respectivas são: 8, 5, 5, 2. 
 
xi 
 
 
Fi 
 
0 
 1 
 2 
 3 
 
8 
5 
5 
2 
 
0 2 0 1 1 0 
 
0 
 
0 3 
 
2 
 
1 0 1 2 0 1 
 
3 
 
2 2 
 
0 
 
OBSERVAÇÕES: 
(1) Note que a coloração de um índice i para x e para f tem a finalidade de referência. 
Deste modo, x1 representa o primeiro valor distinto da série, x2 representa o segundo 
valor distinto da série, f1 representa a frequência simples do primeiro valor distinto da 
série, f2 representa a frequência 
simples 20 valor distinto da série e assim sucessivamente 
(2) Note que conseguiremos reduzir de 30 elementos que constituíram a série 
 original para apenas 12 elementos. 
(3) Note também que a variável discreta só é uma forma eficiente de redução dos 
dados, quando o número de elementos distintos da série for pequeno. 
DEVEMOS OPTAR POR UMA VARIÁVEL DISCRETA NA REPRESENTAÇÃO 
DE UMA SÉRIE DE VALORES, QUANDO O NÚMERO DE ELEMENTOS 
DISTINTOS DA SÉRIE FOR PEQUENO. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA – VARIÁVEL CONTÍNUA 
Suponha que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos conduzissem aos 
seguintes valores: 
6,5 
 
5,0 
 
 
6,0 
 
6,5 
 
6,0 
 
3,0 4,0 2,5 4,0 4,5 
6,0 5,0 5,5 6,5 7,0 
7,5 2,0 
 
3,5 5,0 5,5 
8,0 8,5 
 
7,5 9,0 9,5 
5,0 5,5 4,5 4,0 7,5 
Classes 
 
Notas 
 
 
Fi 
 
1 
2 
3 
4 
[2;4[ 
 [4;6[ 
 [6;8[ 
[8;10[ 
4 
12 
10 
 4 
 
 
Observando estes valores notamos grande número de elementos distintos, o que significa 
que neste caso a variável discreta não é aconselhável na redução de dados. 
Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores. Esta apresentação da 
série de valores é denominada variável contínua. 
DEVEMOS OPTAR POR UMA VARIÁVEL CONTÍNUA NA REPRESENTAÇÃO 
DE UMA SÉRIE DE VALORES QUANDO O NÚMERO DE ELEMENTOS 
DISTINTOS DA SÉRIE FOR GRANDE. 
CONSTRUÇÃO DA VARIÁVEL CONTÍNUA 
A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos 
estabelecer aproveitando a tabela abaixo como exemplo: 
3,0 4,0 2,5 4,0 4,5 
6,0 5,0 5,5 6,5 7,0 
7,5 2,0 3,5 5,0 5,5 
8,0 8,5 7,5 9,0 9,5 
5,0 5,5 
 
4,5 
 
4,0 7,5 
6,5 5,0 
 
6,0 
 
6,5 6,0 
 
Classes 
 
Notas 
 
fi 
 
1 
2 
3 
 4 
 
[2;4[ 
[4;6[ 
[6;8[ 
[8;10[ 
4 
12 
10 
4 
 
 
Nomes dos dados que compõem a tabela de freqüências 
1. CLASSE: são intervalos de variações das variáveis. As classes são representadas 
simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde k é o número total de classes da 
distribuição). 
1.1. AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT): é a diferença entre o limite 
superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe 
(limite inferior mínimo): AT = L (max.) - l (min.). OBS: utilizamos sempre a 
amplitude amostral. 
1.1.2 AMPLITUDE AMOSTRAL (AA): é a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo da amostra: AA = L (max) - l (min). A amplitude total da distribuição, jamais 
coincide com a amplitude amostral. 
A amplitude total representa o comprimento total da seqüência e é dada na mesma 
unidade de medida dos dados da seqüência. 
1.1.3. INTERVALO DE CLASSE: é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série 
estatística. 
No exemplo da tabela subdividimos a amplitude total em quatro classes, obtendo os 
intervalos de classe [2; 4[ , [4; 6[ , [6; 8[ , [8; 10[. 
Note que na realidade não trabalhamos com a At = 7,5 e sim com a amplitude total 
ajustada para 8. 
1.1.4. LIMITE DE CLASSE: são chamados de limites de classes os extremos de uma 
classe. Sendo que o menor número é o limite inferior (li) e o maior número o limite 
superior da classe. Uma classe é representada por: Li. 
1.1.5 AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE: é a medida do intervalo que 
define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe 
(hi = Li - li). 
OBSERVAÇÕES 
* Na realidade, as classes não precisam necessariamente ter a mesma amplitude como no 
exemplo acima. Porém, sempre que possível, devemos trabalhar com classes de mesma 
amplitude. Isto facilita sobremaneira os cálculos posteriores. 
* Note também que usamos para representar as classes, intervalos reais semi-abertos à 
direita. Isto significa que o intervalo contém o limite inferior, mas não contém o limite 
superior, ou seja, o intervalo contém os valores iguais ou maiores do que 2 e menores do 
que 4. Sendo assim, o último intervalo da série que é [8; 10[ , não contém o valor 10. É 
por isso que não utilizamos a amplitude 7,5, pois se isto fosse feito, o limite superior da 
última classe seria 9,5 e como o limite superior não deve pertencer à classe, o elemento 
9,5 da seqüência estatística original ficaria sem classificação. Como vamos utilizar este 
critério, precisaremos ajustar sempre o valor máximo da série ao definir a amplitude total. 
Outros critérios poderiam ser adotados como o intervalo real semi-aberto à esquerda ou 
mesmo o intervalo real aberto, mas nenhum destes critérios é melhor que o critério 
adotado. 
1.2 NÚMERO DE CLASSES – INTERVALOS DE CLASSE 
Serve para limitar o tamanho da tabela que contém os dados coletados na pesquisa. 
O número de classes a ser utilizado depende muito da experiência do pesquisador e das 
questões que ele pretende responder com a variável contínua. 
Isto pode ser verificado facilmente pelo próprio interessado ao longo desta exposição. 
Temos em mão duas formas para determinar o número de classes de uma distribuição. 
Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por K o número de classes 
a ser utilizado, então pelo critério da raiz. 
K = n Como o número K de classes deve ser necessariamente um número inteiro e 
como dificilmente n , é um número inteiro, deixaremos como opção para o valor de K 
o valor inteiro mais próximo de n , uma unidade a menos ou a mais que este valor. No 
exemplo das trinta notas, n = 30 e consequentemente K = 30 = 5,477, 
portanto o valor inteiro mais próximo de 30 é 5. As opções para K então são: 4 ou 5 ou 
6. 
A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é denominada da 
seguinte forma: h = At
K
 
e, portanto h = 8
4
= 2 
Observe que a opção por quatro classes, foi feita em função de um valor de h mais fácil 
de se operar. 
Existem outros critérios para a determinação do número de classes, como por exemplo, a 
fórmula de STRURGES: 
Essa fórmula é muito boa para valores de n muito grandes, esta fórmula apresenta mais 
vantagens que o critério da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproximação do 
valor de K. 
Como acreditamos que na prática a experiência do pesquisador é que na verdade vai 
determinar o número de classes, optamos pelo método mais simples que é o critério da 
raiz. 
Quando já sabemos o número de classe, só nos resta resolver o problema da determinação 
da amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos dividindo a amplitude total pelo 
número de classes. 
EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UMA VARIÁVEL CONTÍNUA 
Um teste para aferir o Quociente de Inteligência em determinada classe de alunos de uma 
faculdade deu origem asequência de valores X: 
 
K = 1 + 3,3. log n 
 
111 90 121 105 122 61 128 
 
112 128 
 
93 
108 138 88 
 
110 
 
112 112 97 
 
128 
 
102 
 
125 
 
87 119 104 116 96 114 107 113 80 113 
123 
 
 
95 115 
70 
 
115 101 114 
 
127 92 
 
103 
78 118 100 115 116 98 119 72 125 109 
79 
 
 
139 75 
109 
 
123 124 108 
 
125 116 
 
83 
94 
 
106 117 82 
 
122 99 124 84 91 130 
Para a construção da variável contínua, devemos determinar o número de elementos da 
sequência. Verificamos que a sequência possui n = 70 elementos. 
Pelo critério da raiz K = 70 = 8,37. O valor inteiro mais próximo é 8. Portanto, temos 
opção para construir a variável contínua com 7 ou 8 ou 9 classes. O maior valor da 
sequência é L(máx)= 139 e o menor valor da sequência é l(mín)= 61. Sendo assim, a 
amplitude total da sequência é At = 139 – 61 = 78. 
No entanto, sabemos que pelo fato de o critério adotado do intervalo de classe ser semi-
aberto à direita, devemos ajustar o valor L(máx). Se ajustássemos L(máx) para 140, a 
amplitude ajustada passaria a ser At = 140 – 61 = 79. Este valor não é divisível de forma 
inteira nem por 7 nem por 8 nem por 9, que são nossas opções de classes. 
Nesta situação devemos ajustar L(máx) para 141 obtendo a At = 141 – 61 = 80 que é 
divisível exatamente por 8, obtendo-se uma amplitude de intervalo de classe h dada por: 
h = At
K
=
80
8
=10 
Observe que o ajuste foi de 2 unidades passando de 139 para 141. Assim o comprimento 
do intervalo de classe é h = 10 e o número de classes é K = 8. 
Computando as frequências simples de cada classe, construímos a variável contínua desta 
série. 
 
A variável contínua é conceituada como uma representação tabular em que colocamos 
na primeira coluna os intervalos de classe e na segunda coluna os valores das 
frequências simples correspondentes. 
A coluna “classe” tem a finalidade apenas de facilitar a referência às classes, não fazendo 
parte da variável contínua. 
O quadro final tanto da variável discreta como da variável contínua recebe o nome de 
distribuição de frequência. 
Mas o processo dado é ainda muito inconveniente, já que existe muito espaço, mesmo 
quando o número da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, a 
solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento dos 
valores em vários intervalos denominados de classes. 
2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA – VARIÁVEL DISCRETA 
Uma vez que tenhamos colocado os dados na forma de uma distribuição, ele poderá 
rapidamente obter algumas informações adicionais e úteis para a compreensão da série, 
se considerar os seguintes conceitos: 
2.1 TIPOS DE FREQUÊNCIAS 
2.1.1 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA (fi): denomina-se frequência o número de 
vezes que um determinado valor se repete. Uma tabela assim formada recebe o nome de 
distribuição de frequência. Σ fi = n 
2.1.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALOS DE CLASSES: 
Quando se trata de variáveis discretas de variação relativamente pequena, cada valor 
pode ser tomado como um intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a 
distribuição é chamada distribuição sem intervalos de classe, tomando a seguinte 
forma: 
OBS: Se a variável toma numerosos valores distintos, é comum trata-la como uma 
variável contínua, formando intervalos de classe de amplitude diferente de um. Esse 
tratamento (arbitrário) abrevia o trabalho, mas acarreta algumas perdas de precisão. 
2.1.3 FREQUÊNCIA RELATIVA (fri): são os valores das razões entre as frequências 
simples e a frequência total: 
fri =
fi
fi∑
 
 “As frequências relativas possuem o propósito de permitir 
a análise ou de facilitar as comparações”. 
 
2.1.4 FREQUÊNCIA ACUMULADA (Fi): é o total das frequências de todos os valores 
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe: 
Fk =f1 +f2 +f3 +...+ fk ou Fk = Σfi (i=1,2,3,...,k) 
2.1.5 FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA (Fri): é a frequência acumulada da 
classe, ou seja, é a soma dos valores da frequência relativa. 
Fri = fr1 + fr2 + ... + frk 
Exemplo: Seja x a variável "número de cômodos das casas ocupadas por vinte famílias 
entrevistadas": 
 
 
3 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS – VARIÁVEL CONTÍNUA 
No caso da variável contínua, pelo fato de termos intervalos de classe, semi-aberto à 
direita, as interpretações são diferentes. Portanto é necessário redefinirmos esse tipo de 
freqüência. 
Exemplo: Considere a distribuição de freqüência abaixo: 
DISCIPLINA: MÉTODOS QUANTITATIVOS PROFESSORA: KASSELANDRA 
SOARES 
 
ATENÇÃO: Observe as condições de nossas variáveis. 
Cada um dos diferentes objetos da nossa tabela nos permitirá fazer análises e por isso, as 
denominamos por variáveis. 
Algumas variáveis, como estado civil, cor dos olhos, cor dos cabelos, apresentam como 
resultado uma qualidade, atributo ou preferência da pessoa entrevistada. Variáveis dessa 
natureza recebem o nome de variáveis qualitativas. (as respostas correspondem às 
realizações dessa variável). 
Outras variáveis, como idade, peso, altura, apresentam como resposta um número, 
resultante, nesse exemplo, de mensuração. Variáveis assim definidas são chamadas 
variáveis quantitativas. 
Cabe ressaltar, por fim, que se os pesquisadores tivessem perguntando: “Quantas vezes 
por semana você costuma ir ao cinema?”, teríamos como objeto de estudo uma variável 
quantitativa, cujos valores assumidos são resultantes de contagens. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Qual é o objetivo de agrupados por frequência? 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
 
2) O que é uma variável discreta? 
_____________________________________________________________________ 
3) Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de uma variável 
discreta ao se agrupar os dados por frequência? 
_____________________________________________________________________ 
4) O que é uma variável contínua? 
_____________________________________________________________________ 
5) Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de uma variável 
contínua ao se agrupar os dados por frequência? 
6) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade, 
revelou os seguintes valores: 
18 – 17 – 18 – 20 – 21 – 19 – 20 – 18 – 17 – 19 – 20 – 18 – 19 -18 – 19 – 21 – 18 – 19 –
18–18–19–19-21- 20-17-19-19-18-18-19-18-21-18-19-19-20-19 - 18 - 19 - 20 - 19 - 19 - 
19 - 18 - 20 - 20-18-19-18-18 
Agrupe, por frequência, estes dados. 
7) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores 
autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades 
adquiridas por estes revendedores. Obtiveram os seguintes dados: 
 
 
Agrupe, por frequência, estes dados. Organize os dados em uma tabela de frequência. 
 
 
 
 
 
8) Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade 
selecionou 38 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças 
defeituosas. Obtiveram os seguintes dados: 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 11 2 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 
Agrupe, por frequência, estes dados. 
9) Uma organização de consumidores pesquisou o preço de um mesmo aparelho 
eletrodoméstico em 35 pontos de venda. Os resultados obtidos, em reais, foram: 
 
234 355 
 
238 345 248 
 
274 328 
 
280 225 
 
299 345 254 
 
350 283 
 
300 
 
332 
 
299 
 
285 300 
 
310 
 
280 
275 285 285 320 296 324 315 
 
300 
 
294 
 
285 
 
349 252 
 
280 
 
285 
a) Qual a diferença entre o maior e o menor preço? 
b) Que porcentagem a diferença representa em relação ao menor preço? 
_________________________________________________________________ 
_____ c) Reorganize esses dados em classes de amplitude igual a 25reais e calcule as 
frequências. 
 
 
 
10) As tabelas abaixo mostram o montante de pagamentos efetuados em um banco 
durante um dia: 
Montante (R$) fi xi fri(%) 
 
Fi 
 
Fri(%) 
[500, 1000[ 28 
[1000, 1500[ 12 
[1500, 2000[ 32 
[2000, 2500[ 50 
[2500, 3000[ 38 
[3000, 3500[ 32 
[3500, 4000[ 7 
a) Calcule as frequências acumuladas e as frequências acumuladas relativas, 
b) Quantos pagamentos foram inferiores a R$ 2.000,00? 
c) Qual a porcentagem aproximada de pagamentos inferiores a R$ 3.500,00. 
11) A altura dos 40 alunos de uma classe é dada pela tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Altura (cm) Ponto médio(xi) fi fri (%) Fi 
[146,150[ 10 
[150,154[ 
 
7 
[154,158[ 25 
[158,162[ 12,5 
[162,166[ 
 
164 
 
 
[166,170[ 15 
40 
 
a) Quantos alunos têm uma altura até 1,62 m? E até 1,70 m?