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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Formação de Professores
Unidade Acadêmica de Ciências Exatas e da Natureza
Análise Matemática
por
Gilberto Fernandes Vieira
Cajazeiras
2018
Sumário
1 Conjuntos Finitos e Infinitos 1
1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conjuntos Enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Números Reais 18
2.1 R é um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 R é um Corpo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Sequências de Números Reais 34
3.1 Limites de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Limites e Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Operações com Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Séries de Números Reais 50
4.1 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ii
5 Noções de Topologia 54
5.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Trabalho 69
7 Trabalho 76
7.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Noções de Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Capítulo
1
Conjuntos Finitos e Infinitos
Neste capítulo, será estabelecida com precisão a diferença entre conjunto finito e
conjunto infinito. Será feita também a distinção entre conjunto enumerável e conjunto
não-enumerável. O ponto de partida é o conjunto dos números naturais.
1.1 Numeros Naturais
Definição 1.1. O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:
1. Existe uma função injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural
n ∈ N chama-se o sucessor de n.
Em outras palavras, todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número
natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N.
Em outros termos, existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum
outro.
3. Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X)
então X = N.
Dito de outra forma, se um conjunto de números naturais contém o número 1 e
contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto
contém todos os números naturais.
As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano.
1.1 Numeros Naturais 2
Observação 1.2. O axioma 3 é conhecido como o princípio da indução.
Indutivamente, ele significa que todo número natural n pode ser obtido a partir de
1, tomando-se seu sucessor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diante, com
um número finito de etapas. (Evidentemente “número finito” é uma expressão que,
neste momento, não tem ainda significado. A formulação do axioma 3 é uma maneira
extremamente hábil de evitar a petição de princípio até que a noção de conjunto finito
seja esclarecida.)
O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas
sobre números naturais, conhecido como método de indução (ou recorrência), o qual
funciona assim:“se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida
para o número n daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é
válida para todos os números naturais”.
Exemplo 1.3 (Demonstração por indução). Para todo n ∈ N, tem-se s(n) 6= n. Esta
afirmação é verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 6= s(n) para todo
n ∈ N, logo, em particular, 1 6= s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n ∈ N, vale
n 6= s(n). Como a função s é injetiva, daí resulta s(n) 6= s(s(n)), isto é, a afirmação é
verdadeira para s(n).
No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a
adição, que associa a cada par de números (m,n) sua soma m + n, e a multiplicação,
que faz corresponder ao par (m,n) seu produto m · n. Essas operações são caracterizadas
pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição:
m+ 1 = s(m);
m+ s(n) = s(m+ n), isto é ,m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;
m · 1 = m;
m · (n+ 1) = m · n+m.
Noutros termos:
somar 1 a m significa tomar o sucessor de m;
se conhecemos a soma m+ n, conheceremos m+ (n+ 1), que é o sucessor de m+ n;
multiplicar por 1 não altera o número;
se conhecemos o produto m · n, conheceremos m · (n+ 1) = m · n+m.
Observação 1.4. As duas primeiras igualdades significam que a soma de dois números
naturais é o sucessor de um número natural, pois, conforme o axioma 2, dado n ∈ N,
1.1 Numeros Naturais 3
tem-se que n = 1 (neste caso, usamos a primeira igualdade) ou n = s(m) (neste caso,
usamos a segunda igualdade).
A demonstração da existência das operações + e · com as propriedades acima, bem
como sua unicidade, se faz por indução. Para tal, consulte o “Curso de Análise, Vol.
1, ou suas referências bibliográficas, onde são demonstradas (por indução) as seguintes
propriedades da adição e multiplicação:
associatividade: (m+ n) + p = m+ (n+ p), (m · n) · p = m · (n · p);
distributividade: m · (n+ p) = m · n+m · p);
comutatividade: m+ n = n+m, m · n = n ·m;
lei do corte: m+ n = p+ n⇒ m = p, m · n = p · n⇒ m = p.
Prova da lei do corte: Usaremos indução em n. Ela vale para n = 1, pois m+1 = p+1
significa s(m) = s(p), logo m = p pela injetividade de s. Admitindo-a válida para n (i.e.
que m + n = p + n ⇒ m = p), então, supondo que m + (n + 1) = p + (n + 1), e usando
a associatividade, obtemos (m+ n) + 1 = (p+ n) + 1 que, pela injetividade de s, implica
m+ n = p+ n. Logo m = p pela hipótese de indução.
Definição 1.5. Dados os números naturais m,n, escreve-se m < n quando existe p ∈ N
tal que n = m+ p. Diz-se então que m é menor do que n. A notação m ≤ n significa
que m < n ou m = n.
Exemplo 1.6. Prove
1. Transitividade: m < n, n < p⇒ m < p
2. Tricotomia: dados m,n ∈ N quaisquer, vale apenas uma das três alternativas:
m = n, m < n ou n < m, isto é: ou m = n, ou existe p ∈ N tal que m = n+ p, ou
existe q ∈ N tal que n = m+ q.
1. Como m < n e n < p, existem r, s ∈ N tais que n = m + r e p = n + s. Assim,
p = m+ r + s = m+ (r + s), logo m < p, pois r + s ∈ N.
2. Seja m ∈ N e seja
X = {n ∈ N : n e m satisfazem a propriedade de tricotomia}.
– 1 ∈ X. De fato, ou m = 1 ou m 6= 1 e, neste caso, m é o sucessor de algum
número n0 ∈ N, ou seja, existe n0 ∈ N tal que
1 + n0 = n0 + 1 = s(n0) = m.
1.1 Numeros Naturais 4
– Seja n ∈ X. Então, ou n = m, ou existe p ∈ N tal que n = m + p, ou existe
q ∈ N tal que m = n+ q.
Vamos provar que s(n) ∈ X.
De fato,
– se n = m, então s(n) = s(m) = m+ 1.
– se n =m+ p, então s(n) = s(m+ p) = (m+ p) + 1 = m+ (p+ 1).
– se m = n+ q, ou q = 1 ou q 6= 1. Se q = 1, m = n+ 1, ou seja, s(n) = m. Se
q 6= 1, existe q0 ∈ N tal que q0 + 1 = q.
Logo,
m = n+ q = n+ (q0 + 1) = n+ (1 + q0) = (n+ 1) + q0 = s(n) + q0.
Em qualquer caso, provamos que ou s(n) = m, ou existe r ∈ N tal que s(n) = m+r,
ou existe l ∈ N tal que m = s(n) + l.
Logo, X = N, ou seja, dados m,n ∈ N temos que, ou m = n, ou existe p ∈ N tal
que m = n+ p, ou existe q ∈ N tal que n = m+ q.
Para provar que vale exatamente uma das três alternativas, devemos verificar a
seguinte afirmação: n + p 6= n, ∀n, p ∈ N. De fato, se n = n + p para alguns
n, p ∈ N, então n + 1 = (n + p) + 1 = n + (p + 1)⇒ 1 = p + 1, que é um absurdo,
pois 1 não é sucessor de nenhum número natural, enquanto que a soma de dois
naturais é sempre um sucessor.
Agora, provemos a exclusividade de cada uma das três alternativas.
Se valem n = m e n = m + p, então n = n + p, que contraria a afirmação.
Analogamente, verifica-se que não pode ocorrer n = m e m = n + q (basta utilizar
a comutatividade).
Se valem n = m+ p e m = n+ q, então n = n+ (q+ p), que contraria, novamente,
a afirmação.
Exemplo 1.7. A lei do corte pode ser utilizada para provar um fato sempre admitido
e raramente demonstrado, que é o seguinte: para qualquer n ∈ N, não existe p ∈ N tal
que n < p < n + 1. Suponhamos por absurdo que um tal p ∈ N exista. Então teremos
p = n + r e n + 1 = p + s, com r, s ∈ N. Daí resulta que p + 1 = n + 1 + r = p + s + r
e (cortando p) 1 = r + s. Isto é um absurdo pois, pela definição de adição (Observação
1.2 Conjuntos Finitos 5
1.4), a soma de dois números naturais é sempre um sucessor de algum número, logo não
pode ser 1, pelo axioma 2.
Este resultado é usado na demonstração de uma das principais propriedades da relação
de ordem m < n entre os números naturais, que é o Princípio da Boa-Ordenação
(PBO), abaixo enunciado e provado.
Proposição 1.8 (Princípio da Boa-Ordenação). Todo subconjunto não vazio A ⊂ N
possui um menor elemento, isto é, um elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Demonstração. Temos dois casos a considerar: (a) Se 1 ∈ A então 1 será o menor
elemento de A (pois 1 é o único número natural que não é sucessor de outro). (b) Se,
porém, 1 6∈ A, então consideremos o conjunto
X = {n ∈ N : n < a, ∀ a ∈ A},
Como 1 6∈ A, vemos que 1 ∈ X. Por outro lado, como A não é vazio, concluímos que
X 6= N. Logo, a conclusão do axioma 3 não é válida. Segue-se que deve existir n ∈ X tal
que n+ 1 6∈ X, logo existe a ∈ A tal que n < a ≤ n+ 1. Como não existe número natural
entre n e n + 1 (Cf. Exemplo 1.7) segue que a = n + 1 ∈ A é o menor elemento de A,
pois qualquer número natural ≤ n pertence a X. �
1.2 Conjuntos Finitos
Definição 1.9. Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então existem n ∈ N
e uma bijeção f : In → X, onde In := {1, 2, . . . , n} = {p ∈ N : p ≤ n}. Escrevendo
x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn = f(n) temos então X = {x1, x2, . . . , xn}.
• A bijeção chama-se uma contagem dos elementos de X e o número n chama-se o
número de elementos, ou número cardinal do conjunto finito X.
O Corolário abaixo prova que o número cardinal está bem definido, isto é, não depende
da particular contagem f .
Lema 1.10. Se existe uma bijeção f : X → Y então, dados a ∈ X e b ∈ Y , existe
também uma bijeção g : X → Y tal que g(a) = b.
Demonstração. Seja b′ = f(a). Como f é sobrejetora, existe a′ ∈ X tal que f(a′) = b.
Definamos g : X → Y pondo g(a) = b, g(a′) = b′ e g(x) = f(x) se x ∈ X−{a, a′}. É fácil
ver que g é uma bijeção. �
1.2 Conjuntos Finitos 6
Teorema 1.11. Se A é um subconjunto próprio de In, não pode existir uma bijeção
f : A→ In.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 ∈ N,
o menor número natural para o qual existem um subconjunto próprio A ⊂ In0 e uma
bijeção f : A → In0 . Se n0 ∈ A então, pelo Lema 1.10, existe uma bijeção g : A → In0
com g(n0) = n0. Neste caso, a restrição de g a A − {n0} é uma bijeção do subconjunto
próprio A − {n0} sobre In0−1, o que contraria a minimalidade de n0. Se, ao contrário,
tivermos n0 6∈ A, então tomamos a ∈ A com f(a) = n0 e a restrição de f ao subconjunto
próprio A − {a} ⊂ In0−1 será uma bijeção sobre In0−1, o que novamente vai contrariar a
minimalidade de n0. �
Corolário 1.12. Se f : Im → X e g : In → X são bijeções, então m = n.
Demonstração. Com efeito, se fosse m < n então Im seria um subconjunto próprio de
In, o que violaria o Teorema 1.11, pois g−1 ◦ f : Im → In é uma bijeção. Analogamente
se mostra que não é possível n < m. Logo m = n. �
Corolário 1.13. Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X → X é injetiva se, e
somente se, é sobrejetiva.
Demonstração. Com efeito, existe uma bijeção ϕ : In → X. A aplicação f : X → X é
injetiva ou sobrejetiva se, e somente se, ϕ−1◦f ◦ϕ : In → In o é. Logo podemos considerar
f : In → In. Se f for injetiva, então pondo A = f(In), teremos uma bijeção f−1 : A→ In.
Pelo Teorema 1.11, A = In e f é sobrejetiva.
Reciprocamente, se f for sobrejetiva, formemos um conjunto A ⊂ In escolhendo, para
cada y ∈ In, um elemento x ∈ In tal que f(x) = y. Então a restrição f : A → In é uma
bijeção. Pelo Teorema 1.11, temos A = In. Isto significa que, para cada y ∈ In, é único o
x tal que f(x) = y, ou seja, f é injetiva. �
Corolário 1.14. Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e uma sua parte
própria.
Demonstração. Com efeito, sejam X finito e Y ⊂ X uma parte própria. Existem n ∈ N
e uma bijeção ϕ : In → X. Então o conjunto A = ϕ−1(Y ) é uma parte própria de In.
Chamemos de ϕA : A → Y a bijeção obtida por restrição de ϕ a A. Se existisse uma
bijeção f : Y → X, a composta g = ϕ−1 ◦ f ◦ ϕA : A → In seria também uma bijeção,
contrariando o Teorema 1.11. �
Observação 1.15. O Corolário 1.14 é uma mera reformulação do Teorema 1.11.
1.3 Conjuntos Infinitos 7
Teorema 1.16. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
Demonstração. Provaremos inicialmente o seguinte caso particular: se X é finito e
a ∈ X então X − {a} é finito. Com efeito, existe uma bijeção f : In → X a qual, pelo
Lema 1.10, podemos supor que cumpre f(n) = a. Se n = 1 então X − {a} = ∅ é finito.
Se n > 1, a restrição de f a In−1 é uma bijeção sobre X − {a}, logo X − {a} é finito e
tem n− 1 elementos. O caso geral se prova por indução no número n de elementos de X.
Ele é evidente quando X = ∅ ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos
com n elementos, sejam X um conjunto com n+ 1 elementos e Y um subconjunto de X.
Se Y = X, nada há o que provar. Caso contrário, existe a ∈ X com a 6∈ Y . Então, na
realidade, Y ⊂ X − {a}. Como X − {a} tem n elementos, segue-se que Y é finito. �
Corolário 1.17. Dada f : X → Y , se Y é finito e f é injetiva então X é finito; se X é
finito e f é sobrejetiva então Y é finito.
Demonstração. Com efeito, se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um
subconjunto f(X) do conjunto finito Y . Por outro lado, se f é sobrejetiva e X é finito
então, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f(x) = y. Isto define
uma aplicação g : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se que g é injetiva
logo, pelo que acabamos de provar, Y é finito. �
Definição 1.18. Um subconjunto X ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que
x ≤ p para todo x ∈ X.
Corolário 1.19. Um sobconjunto X ⊂ N é finito se, e somente se, é limitado.
Demonstração. Com efeito, se X = {x1, . . . , xn} ⊂ N é finito, pondo p = x1 + · · ·+ xn
vemos que x ∈ X ⇒ x ≤ p logo X é limitado. Reciprocamente, se X ⊂ N é limitado
então X ⊂ Ip para algum p ∈ N, segue-se pois do Teorema 1.16 que X é finito. �
1.3 Conjuntos Infinitos
Definição 1.20. Diz-se que um conjunto é infinito quando não é finito. Assim, X é
infinito quando X 6= ∅ e nem existe, seja qual for n ∈ N, uma bijeção f : In → X.
Exemplo 1.21. N é infinito em virtude do Corolário 1.19 do Teorema 1.16.
Teorema 1.22. Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva
f : N→ X.
1.4 Conjuntos Enumeráveis 8
Demonstração. Para cadasubconjunto não vazio A ⊂ X, escolhemos um elemento
xA ∈ A. Em seguida, definimos f : N→ X indutivamente. Pomos f(1) = xX e, supondo
já definidos f(1), . . . , f(n), escrevemos An = X−{f(1), . . . , f(n)}. Como X é infinito, An
não é vazio. Definimos então f(n+ 1) = xAn . Isto completa a definição de f . Para provar
que f é injetiva, sejam m,n ∈ N, digamos com m < n. Então f(m) ∈ {f(1), . . . , f(n−1)}
enquanto f(n) ∈ X − {f(1), . . . , f(n− 1)}. Logo, f(m) 6= f(n). �
Corolário 1.23. Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção ϕ : X →
Y sobre um subconjunto próprio Y ⊂ X.
Demonstração. Com efeito, sejam X infinito e f : N → X uma aplicação injetiva.
Escrevamos, para cada n ∈ N, f(n) = xn. Consideremos o subconjunto próprio
Y = X − {x1}. Definamos a bijeção ϕ : X → Y pondo ϕ(x) = x se x não é um
dos xn e ϕ(xn) = xn+1 (n ∈ N).
Reciprocamente, se existe uma bijeção de X sobre um seu subconjunto próprio então
X é infinito, em virtude do Corolário 1.14 do Teorema 1.11. �
Note que se N1 = N − {1}, então a função ϕ : N → N1, ϕ(n) = n + 1 é uma bijeção.
Mais geralmente, fixando p ∈ N podemos considerar Np = {p + 1, p + 2, . . .} e definir a
bijeção ϕ : N→ Np, ϕ(n) = n+ p.
Fenômenos desse tipo já tinham sido observados por Galileu, que foi o primeiro
a notar que “há tantos números pares quantos números naturais”, mostrando que se
P = {2, 4, 6, . . .} é o conjunto dos números pares, então ϕ : N→ P , dada por ϕ(n) = 2n, é
uma bijeção. Evidentemente, se I = {1, 3, 5, . . .} é o conjunto dos números ímpares, então
ψ : N → I, com ψ(n) = 2n − 1, também é uma bijeção. Nestes dois últimos exemplos,
N− P = I e N− I = P são infinitos, enquanto N− Np = {1, 2, . . . , p} é finito.
1.4 Conjuntos Enumeráveis
Definição 1.24. Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe
uma bijeção f : N→ X.
• A função f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo f(1) =
x1, f(2) = x2, . . . , f(n) = xn, . . . tem-se então X = {x1, x2, . . . , xn . . .}.
Exemplo 1.25. O conjunto Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} é enumerável.
De fato, uma bijeção f : N→ Z pode ser definida pondo
f(n) =
{
(n− 1)/2 para n ímpar
−n/2 para n par.
1.4 Conjuntos Enumeráveis 9
Teorema 1.26. Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.
Demonstração. Se X é finito, nada há o que demonstrar. Caso contrário, enumeramos
os elementos de X pondo x1 = menor elemento de X, e supondo definidos x1 < x2 <
. . . < xn, escrevemos An = X − {x1, x2, . . . , xn}. Observando que An 6= ∅, pois X é
infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An. Então X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Com
efeito, se existisse algum elemento x ∈ X diferente de todos os xn, teríamos x ∈ An para
todo n ∈ N, logo x seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto
infinito {x1, x2, . . . , xn, . . .}, contrariando o Corolário 1.19 do Teorema 1.16. �
Corolário 1.27. Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável, então X também é. Em
particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração. Exercício! �
Corolário 1.28. Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é.
Demonstração. Exercício! �
Corolário 1.29. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
Demonstração. Se X e Y são enumeráveis então existem bijeções f : N → X e
g : N→ Y , logo ϕ : N×N→ X×Y , dada por ϕ(m,n) = (f(m), f(n)) é sobrejetiva. Tendo
em vista o Corolário 1.28, basta provar que N×N é enumerável. Para isto, consideremos
a aplicação ψ : N×N→ N, dada por ψ(m,n) = 2m · 3n. Pela unicidade da decomposição
de um número em fatores primos, ψ é injetiva. Segue-se, pelo Corolário 1.27, que N× N
é enumerável. �
Corolário 1.30. A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é um
conjunto enumerável.
Demonstração. Dados X1, X2, . . . , Xn, . . . enumeráveis, existem sobrejeções f1 : N →
X1, f2 : N → X2, . . . , fn : N → Xn, . . .. Tomando X =
⋃∞
n=1Xn, definimos a sobrejeção
f : N×N→ X pondo f(m,n) = fn(m). O caso de uma reunião finita X = X1 ∪ · · · ∪Xn
reduz-se ao anterior porque, então, X = X1 ∪ · · · ∪Xn ∪ · · · . �
O Teorema 1.22 acima significa que o enumerável é o “menor” dos infinitos, isto é Todo
conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável.
Demonstração. Exercício! �
1.5 Exercícios Resolvidos 10
Exemplo 1.31. O conjunto Q = {m/n : m,n ∈ Z, n 6= 0} dos números racionais é
enumerável. De fato, escrevendo Z∗ = Z − {0}, podemos definir uma função sobrejetiva
f : Z× Z∗ → Q pondo f(m,n) = m/n.
Exemplo 1.32 (Um conjunto não-enumerável). Seja S o conjunto de todas as sequências
infinitas, como s = (01100010 . . .), formadas com os símbolos 0 e 1. Noutras palavras, S
é o conjunto de todas as funções s : N→ {0, 1}. Para cada n ∈ N, o valor s(n), igual a 0
ou 1, é o n-ésimo termo da sequência s. Afirmamos que nenhum subconjunto enumerável
X = {s1, s2, . . . , sn . . .} ⊂ S é igual a S. Com efeito, dado X, indiquemos com snm o
n-ésimo tero da sequência sm ∈ X. Formamos uma nova sequência s∗ ∈ S tomando o
n-ésimo termo de s∗ igual a 0 se for snn = 1, ou igual a 1 se for snn = 0. A sequência s∗
não pertence ao conjunto X porque seu n-ésimo termo é diferente do n-ésimo termo de
sn. Este raciocínio, devido a G. Cantor, é conhecido como “métodod da diagonal”
1.5 Exercícios Resolvidos
Seção 1: Números Naturais
1. Usando indução, prove:
(a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)/2.
(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n− 1 = n2.
2. Dados m,n ∈ N com n > m, prove que n é múltiplo de m ou existem q, r ∈ N tais
que n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com esta propriedade.
Solução: O conjunto A ⊂ N dos múltiplos de m maiores do que n não é vazio, pois
(n+1)m ∈ A; logo, pelo P.B.O., A possui um menor elemento. Como 1·m < n, pelo
Axioma 2 de Peano, podemos considerar que o menor elemento de A seja da forma
(q + 1)m. Se n não é múltiplo de m, então qm < n < (q + 1)m; logo n = qm + r,
com r < m. Reciprocamente, se n = qm + r com r < m então (q + 1)m é o menor
elemento de A, logo q está determinado univocamente, juntamente com r = n−mq.
�
3. Seja X ⊂ N um subconjunto não-vazio tal que m,n ∈ X ⇔ m,m + n ∈ X. Prove
que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k
Solução: Pelo P.B.O., seja k o menor elemento de X. Primeiro, mostremos que
A = {qk : q ∈ N} ⊂ X. Note que 1 · k ∈ X; agora, se qk ∈ X então pela
1.5 Exercícios Resolvidos 11
propriedade de X, segue que (q + 1)k = qk + k ∈ X. Logo, por indução, fica
provado que A ⊂ X.
Agora, mostremos que X ⊂ A. Se p ∈ X então p ≥ k. Assim, pelo exercício
anterior, ou (i) p é múltiplo de k ou (ii) p = qk+ r, com r < k. Mostremos que (ii)
não vale. Ora, p, qk ∈ X, logo r ∈ X (basta tomar qk = m, r = n e p = m + n na
propriedade de X), o que é absurdo pois k é o menor elemento de X. Assim todo
p ∈ X é múltiplo de k.
Portanto, temos A = X e o exercício fica provado. �
4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindo-
se, naturalmente, os demais axiomas).
Solução: Suponha que a ∈ N não possui sucessor e a 6= 1. Considere o conjunto
X = N − {a}. Sabemos que 1 ∈ X e que se n ∈ X, então s(n) ∈ X, uma vez
que a não é sucessor de nenhum número natural. Então, pelo Axioma 3 de Peano,
N = X := N− {a}, o que é absurdo. Portanto, a = 1. �
5. Prove o princípio de indução como uma consequência do Princípio da Boa
Ordenação.
Solução: Seja X ⊂ N tal que 1 ∈ X e n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X. Se for X 6= N, tome k o
menor elemento de N−X (pelo P.B.O.). Como 1 6∈ N−X, tem-se 1 < k ∈ N−X;
logo k − 1 ∈ X e, consequentemente, k = (k − 1) + 1 ∈ X, uma contradição.
Portanto, devemos ter X = N, provando, assim, o princípio de indução. �
6. Prove a lei do corte para a multiplicação: mp = np ⇒ m = n, para todos
m,n, p ∈ N.
Solução: Se m 6= n, teríamos dois casos a considerar: (i) m < n. Daí, multiplicando
por p, obteríamos m · p < n · p (absurdo!); (ii) m > n ⇒ m · p > n · p (absurdo!).
Portanto, m = n. �
Seção 2: Conjuntos Finitos
1. Indicando com cardX o número de elementos do conjunto finito X, prove:
(a) Se X éfinito e Y ⊂ X, então cardY ≤ cardX.
(b) Se X e Y são finitos, então X ∪ Y é finito e
card (X ∪ Y ) = cardX + cardY − card (X ∩ Y ).
1.5 Exercícios Resolvidos 12
(c) Se X e Y são finitos, então X × Y é finito e
card (X × Y ) = cardX · cardY.
Solução: (a) Sendo cardX = n e cardY = m, existem bijeções f : Im → Y e
g : X → In. Como Y ⊂ X, então g|Y : Y → g(Y ) ⊂ In é bijeção. Assim, temos
a bijeção composta g |Y ◦f : Im → g(Y ) ⊂ In. Então, pelo Teorema 1.11, não
podemos ter m > n (pois neste caso, teríamos g(Y ) ⊂ In ( Im). Portanto, m ≤ n.
Observe que podemos ter m < n (no caso em que g(Y ) ( In).
(b) Inicialmente devemos provar que se X e Y são finitos e disjuntos, então
card (X ∪ Y ) = cardX + cardY . De fato, como X e Y são finitos, existem bijeções
f : Im → X e g : In → Y , com m = cardX e n = cardY . Agora, definamos a
função ϕ : Im+n → X ∪ Y pondo
ϕ(x) = f(x), se 1 ≤ x ≤ m
ϕ(m+ x) = g(x), se 1 ≤ x ≤ n.
(1.1)
Como X ∪ Y = ∅, segue que a função ϕ é bijetiva.
Agora, observemos que
X ∪ Y = X ∪ [Y − (X ∩ Y )],
onde a segunda reunião é disjunta. Então, usando (1.1) segue que
card (X ∪ Y ) = cardX + card [Y − (X ∩ Y )]
Novamente, como a reunião Y = [Y − (X ∩ Y )] ∪ (X ∩ Y ) é disjunta, (1.1) implica
que cardY = card [Y − (X ∩ Y )] + card (X ∩ Y ), ou seja,
card [Y − (X ∩ Y )] = cardY − card (X ∩ Y ).
Portanto
card (X ∪ Y ) = cardX + cardY − card (X ∩ Y ),
como queríamos demonstrar.
Observação 1.33. Aplicando-se este exercício sucessivamente, obtém-se o resultado
para uma quantidade finita de conjuntos dois a dois disjuntos.
(c) Dados X e Y finitos, com m e n elementos, respectivamente, escrevamos
1.5 Exercícios Resolvidos 13
Y = {y1, . . . , yn}. Então, vale a reunião disjunta
X × Y = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn,
onde Xi = X×{yi}, i = 1, . . . , n. Como os Xi são dois a dois disjuntos e possuem
o mesmo número de elementos de X, a saber, m, então, pela observação do item
anterior, concluímos que
card (X × Y ) = m+m+ · · ·+m = n ·m = cardX · cardY.
�
2. Seja P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove por indução
que se X é finito então cardP(X) = 2cardX .
Solução: Se n = 1, então X = {a1} possui dois subconuntos que são ∅ e {a1}, ou
seja P(X) = 21. Suponha que X com n elementos implique P(X) = 2n e provemos
que um conjunto qualquer Y com n + 1 elementos implica P(Y ) = 2n+1. Podemos
escrever Y = X ∪ {a} onde a 6∈ X; então P(Y ) é formado pelas partes de Y que
não contêm a mais as que contêm a. As primeiras constituem P(X) e as outras são
em mesmo número que as primeiras, logo P(Y ) = 2 · P (X) = 2n+1. �
3. Seja F(X;Y ) o conjunto das funções f : X → Y . Se cardX = m e cardY = n,
prove que cardF(X;Y ) = nm.
Solução: Faremos a prova por indução sobre m. Para m = 1, X = {a1} e
Y = {b1, . . . , bn}; temos n funções fk(a1) = bk, ∀ k ∈ In, ou seja, cardF(X, Y ) = n1.
Suponhamos a validade para um conjunto X ′ qualquer com m elementos, isto é,
cardF(X ′, Y ) = nm e provemos para X com cardX = m + 1. Se X = X ′ ∪ {a},
com a 6∈ X ′, então para cada função f ′ : X ′ → Y há n maneiras de estendê-la a
uma função f : X → Y , correspondentes às n imagens possíveis f(a) ∈ Y . Logo
cardF(X, Y ) = cardF(X ′, Y ) · n = nm+1. �
4. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um
elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0, ∀x ∈ X).
Solução:1 Seja a o menor elemento de X (pelo P.B.O.). Como X é finito, A =
N − (X ∪ Ia) 6= ∅, onde Ia = {p ∈ N : p ≤ a}. Seja, então, b o menor elemento de
A. Então, b− 1 ∈ X ∪ Ia.
Afirmação: x0 = b− 1.
De fato, qualquer número natural maior do que b − 1 pertence a A. Logo, tudo o
1.5 Exercícios Resolvidos 14
que temos de provar é que b− 1 ∈ X. Se b− 1 ∈ Ia, isto é, b− 1 ≤ a, temos que, ou
b− 1 = a ∈ X, e a prova termina; ou b− 1 < a, que implica a existência de p ∈ N
tal que (b − 1) + p = a. Daí b = (b − 1) + 1 ≤ (b − 1) + p = a ⇒ b ∈ Ia. Mas isto
contradiz b ∈ A. Portanto, b− 1 ∈ X, e a Afirmação está mostrada. �
Solução:2 Como X é finito, então é limitado, isto é, existe p ∈ N tal que p > x para
todo x ∈ X. Considere o conjunto A = {p ∈ N : p > x, ∀x ∈ X} 6= ∅. Pelo P.B.O.,
A possui um menor elemento, diferente de 1, o qual podemos supor do tipo p0 + 1;
logo p0 ∈ X. Por outro lado, como não existe x ∈ X tal que p0 < x < p0 + 1;
concluímos que x0 = p0 é o elemento máximo de X. �
5. Prove o Princípio das Casas de Pombo: se m > n não existe função injetiva
f : Im → In. (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que
pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).
Solução: Se f : Im → In for injetiva, então f ′ : Im → f(Im) ⊂ In é uma bijeção. Mas
m > n implica que In Im, isto é, In é um subconjunto próprio de Im. Por outro
lado, como f(Im) ⊂ In segue f(Im) Im e, daí, f ′ : Im → f(Im) é uma bijeção
entre Im e um seu subconjunto próprio, contrariando o Teorema 1.11; logo f não
pode ser injetiva e o princípio está provado. �
Seção 3: Conjuntos Infinitos
1. Dada f : X → Y , prove:
(a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito.
(a) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função
injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.
3. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
Solução: Suponha que P = {p1, p2, . . . , pn} seja um conjunto finito. Então o número
a = p1 · p2 · . . . · pn + 1 não pode ser primo (pois é maior de que todo pk, k ∈ In);
logo possui um divisor primo p, isto é, p| a. Então p| (a − p1 · p2 · . . . · pn), ou seja,
p| 1, o que é um absurdo. �
4. Dê exemplo de uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos
infinitos cuja intercesão
⋂∞
n=1Xn seja vazia.
1.6 Exercícios Propostos 15
Solução: Tome Xn = N− In = {p ∈ N : p > n}. Então a ∈
⋂∞
n=1Xn significa que a é
maior do que todos os números naturais, mas isto não pode acontecer, pois existe
p ∈ N tal que p > a. Portanto,
⋂∞
n=1Xn = ∅. �
Seção 4: Conjuntos Enumeráveis
1. Defina f : N × N → N pondo f(1, n) = 2n − 1 e f(m + 1, n) = 2m(2n − 1). Prove
que f é uma bijeção.
Solução: Sendo k ∈ N um número natural qualquer, podemos escrever esse número
como produto dos seus fatores primos
k =
r∏
i=1
pαii = 2
α1
r∏
i=2
pαii , αi ∈ N ∪ {0}.
Sobrejetividade: Como os primos maiores que 2 são ímpares e o produto de
ímpares é um número ímpar, então k = 2α1(2n− 1). Se α1 = 0, temos k = 2n− 1;
se α1 ≥ 1, tome α1 = m; e daí, k = 2m(2n− 1). Assim, f é sobrejetiva.
Injetividade: Se f(1, n) = f(1, q), ou seja, se 2n − 1 = 2q − 1, então n = q ⇒
(1, n) = (1, q). Ora, f(1, n) 6= f(m+1, q), pois o primeiro é ímpar e o segundo é par.
Então, seja f(m+ 1, n) = f(p+ 1, q), isto é, 2m(2n− 1) = 2p(2q− 1). Como 2n− 1
é ímpar, temos, pela unicidade da decomposição em fatores primos, que 2m = 2p
e, daí, m = p. Consequentemente, temos 2n − 1 = 2q − 1, logo n = q. Assim,
(m+ 1, n) = (p+ 1, q), e f é injetiva. �
2. Prove que existe g : N→ N sobrejetiva tal que g−1(n) é infinito, para cada n ∈ N.
3. Exprima N = N1 ∪N2 ∪ . . .∪Nn ∪ . . . como união infinita de subconjuntos infinitos,
dois a dois disjuntos.
4. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N : cardX = n}. Prove que Pn é enumerável.
Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável.
5. Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável.
6. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) é enumerável.
Prove que X é enumerável.
1.6 Exercícios Propostos
1. (a) Defina: Conjunto finito, conjunto infinito e conjunto enumerável;
1.6 Exercícios Propostos 16
(b) Se X ⊂ R é um conjunto limitado, defina o supremo de X e o ínfimo de X.
2. Considere os seguintes resultados vistos em sala de aula:
(i) Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N→ X.
(ii) Seja f : X → Y injetiva. Se Y é finito, então X também o é.
(iii) Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também o é.
Use estes resultados para concluir que Todo conjunto infinito possui um
subconjunto infinitoenumerável. Isto é: o enumerável é o “menor” dos infinitos.
3. (a) Use o item (iii) da questão 3 acima, e
(iv) O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
para mostrar que o conjunto Q dos números racionais é enumerável.
(b) Prove que se um conjunto infinito não enumerável A é a união de dois outros
B e C, então pelo menos um destes não é enumerável.
(c) Sabendo que o conjunto R dos números reais é não-enumerável, conclua que o
conjunto I dos números irracionais também é não-enumerável.
4. (a) Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
1.a X ⊃ A e X ⊃ B,
2.a Se Y ⊃ A e Y ⊃ B, então Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪B.
(b) Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando A∩B.
5. Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números ímpares
positivos.
6. Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números quadrados
perfeitos.
7. Construa uma bijeção entre o conjunto N e seu subconjunto {n, n+ 1, n+ 2, . . .}.
8. Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(a) 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n+ 1) = (n+ 1)2;
(b) 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n =
n2 + n
2
.
1.6 Exercícios Propostos 17
(c) n ≥ 4 ⇒ n! > 2n
9. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma
justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo).
(t) ( ) Se X ⊂ N é limitado, então X é finito. E reciprocamente.
(u) ( ) Se X ⊂ N, então X é enumerável.
(v) ( ) Se X é enumerável, então X ⊂ N.
(w) ( ) Se X é finito, então X é enumerável.
(x) ( ) Se X é enumerável, então X é finito.
(y) ( ) Se X ⊂ R é limitado, então X é finito.
Capítulo
2
Números Reais
O conjunto dos números reais será indicado por R. Faremos aqui uma descrição de
suas propriedades que, juntamente com suas consequências, serão utilizadas nos capítulos
seguintes.
2.1 R é um Corpo
Definição 2.1. Dizer que R é um corpo significa que estão definidas em R duas operações,
chamadas adição e multiplicação, que cumprem certas condições, abaixo especificadas.
A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R, sua soma x + y ∈ R,
enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R.
Os axiomas a que essas operações obedecem são as seguintes.
• Para quaisquer x, y, z ∈ R, tem-se:
1. (Associatividade) (x+ y) + z = x+ (y + z) e (xy)z = x(yz);
2. (Comutatividade) x+ y = y + x e xy = yx;
3. (Elementos Neutros) existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x+ 0 = x
e x · 1 = x;
4. (Inversos) todo x ∈ R possui um inverso aditivo −x ∈ R tal que x+ (−x) = 0 e, se
x 6= 0, existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ R tal que x · x−1 = 1;
5. (Distributividade) x(y + z) = xy + xz;
2.2 R é um Corpo Ordenado 19
Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os números
reais.
1. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ R.
Analogamente 1 · x = x e x−1 · x = 1 quando x 6= 0.
2. A soma x+(−y) será indicada por x−y e chamada a diferença entre x e y. Se y 6= 0,
o produto x · y−1 será representado também por x/y e chamado o quociente de x
por y. As operações (x, y) 7−→ x− y e (x, y) 7−→ x/y chamam-se, respectivamente,
subtração e divisão.
3. Da distributividade segue-se que, para todo x ∈ R, vale x · 0 + x = x · 0 + x · 1 =
x(0 + 1) = x · 1 = x. Somando −x a ambos os membros da igualdade x · 0 + x = x,
obtemos x · 0 = 0
4. Por outro lado, de xy = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 0. Com efeito, se
for y 6= 0 então podemos multiplicar ambos os membros desta igualdade por y−1 e
obtemos xy · y−1 = 0 · y−1, donde x = 0.
5. Da distributividade resultam também as regras de sinais : x(−y) = −(xy), (−x)y =
−(xy) e (−x)(−y) = xy. Em particular, (−1) · (−1) = 1. Com efeito,
x(−y) + xy = x(−y + y) = x · 0 = 0, ou seja, x(−y) + xy = 0. Somando
−(xy) a ambos os membros dessa igualdade, vem x(−y) = −(xy). Analogamente,
(−x)y = −(xy). Agora, mostremos a terceira igualdade. Do que já fizemos, temos,
(−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(xy)]. Por outro lado, somando z a ambos os membros
da igualdade −(−z) + (−z) = 0, obtemos −(−z) = z. Logo, (−x)(−y) = xy.
6. Se dois números reais x, y têm quadrados iguais, então x = ±y. Com efeito, de
x2 = y2 decorre que 0 = x2 − y2 = (x + y)(x − y) e, da regra 4 acima, obtemos
x = ±y.
2.2 R é um Corpo Ordenado
Definição 2.2. Dizer que R é um Corpo Ordenado significa que existe um subconjunto
R+ ⊂ R, chamado o conjunto dos números reais positivos, que cumprem as seguintes
condições
(P1) A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Ou seja, x, y ∈ R+ ⇒
x+ y ∈ R+ e xy ∈ R+;
2.2 R é um Corpo Ordenado 20
(P2) Dado x ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou
x ∈ R+ ou −x ∈ R+.
Observação 2.3. Considerando o conjunto R− := {−x : x ∈ R+}, a condição (P2) diz
que R = R+ ∪ R− ∪ {0}, com união disjunta. Os números y ∈ R− chamam-se negativos.
Todo número real x 6= 0 tem quadrado positivo. Com efeito, se x ∈ R+ então
x2 = x · x ∈ R+ por (P1). Se x 6∈ R+ então (como x 6= 0) −x ∈ R+, logo
x2 = (−x) · (−x) ∈ R+ por (P1). Em particular, 1 é um número positivo, porque
1 = 12.
Definição 2.4 (Relação de Ordem). Escreve-se x < y e diz-se que x é menor do que y
quando y−x ∈ R+, isto é, y = x+ z, onde z ∈ R+. Neste caso, escreve-se também y > x
e diz-se que y é maior do que x. Em particular, x > 0 (x− 0 ∈ R+) significa que x ∈ R+,
isto é, que x é positivo, enquanto x < 0 (0−x ∈ R+) quer dizer que x é negativo, ou seja,
que (−x ∈ R+).
Valem as seguintes propriedades da relação de ordem:
1. Transitividade: Se x < y e y < z então x < z.
2. Tricotomia: Dados x, y ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas x = y, x < y
ou y < x.
3. Monotonicidade da adição: Se x < y então, ∀ z ∈ R, tem-se x+ z < y + z.
4. Monotonicidade da multiplicação: Se x < y então, ∀ z > 0, tem-se xz < yz. Se,
porém, z < 0 então x < y implica yz < xz.
Demonstração:
1. x < y e y < z significam y − x ∈ R+ e z − y ∈ R+. Por (P1) segue-se que
(y − x) + (z − y) ∈ R+, isto é, z − x ∈ R+, ou seja, x < z.
2. Dados x, y ∈ R, ou y−x ∈ R+, ou y−x = 0 ou y−x ∈ R− (isto é, x−y ∈ R+). No
primeiro caso tem-se x < y, no segundo x = y e no terceiro y < x. Estas alternativas
se excluem mutuamente, por (P2).
3. Se x < y então y−x ∈ R+, donde (y+z)−(x+z) = y−x ∈ R+, isto é, x+z < y+z.
4. Se x < y e z > 0 então y − x ∈ R+ e z ∈ R+, logo (y − x)z ∈ R+, ou seja,
yz − xz ∈ R+, o que significa xz < yz. Se x < y e z < 0 então y − x ∈ R+ e
−z ∈ R+, donde xz − yz = (y − x)(−z) ∈ R+, o que significa yz < xz. �
2.2 R é um Corpo Ordenado 21
• Mais geralmente, x < y e x′ < y′ implicam x + x′ < y + y′. Com efeito,
(y + y′)− (x+ x′) = (y − x) + (y′ − x′) ∈ R+.
• Analogamente, 0 < x < y e 0 < x′ < y′ implicam xx′ < yy′ pois yy′ − xx′ =
yy′ − yx′ + yx′ − xx′ = y(y′ − x′) + (y − x)x′ > 0.
• Se 0 < x < y então y−1 < x−1. Para provar, nota-se primeiro que x > 0 ⇒ x−1 =
x · (x−1)2 > 0. Em seguida, multiplicando ambos os membros da desigualdade x < y
por x−1y−1 vem y−1 < x−1.
• Como 1 ∈ R é positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . .. Podemos, então,
considerar N ⊂ R. Segue-se que Z ⊂ R pois 0 ∈ R e n ∈ R⇒ −n ∈ R. Além disso,
se m,n ∈ Z com m 6= 0 então m/n = m · n−1 ∈ R, o que nos permite concluir que
Q ⊂ R. Assim, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Lema 2.5 (Desigualdade de Bernoulli). Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ N,
tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Demonstração. Isto se prova por indução sobre n, sendo óbvio para n = 1, pois ficaria:
(1 + x)1 = 1 + 1 · x. Supondo a desigualdade válida para n, multiplicamos ambos os
membros pelo número 1 + x ≥ 0 e obtemos
(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x)
= 1 + nx+ x+ nx2 = 1 + (n+ 1)x+ nx2
≥ 1 + (n+ 1)x.
(2.1)
�
Observação 2.6. Pelo mesmo argumento, vê-se que, para x ≥ −1, x 6= 0 e n > 1, tem-se
a desigualdade estrita (1+x)n > 1+nx. Com efeito, para n = 2, segue-se (1+x)2 > 1+2x.
Supondo (1 +x)n > 1 +nx válida para n, como em (2.1), para x+ 1 ≥ 0 e x 6= 0, obtemos
(1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n+ 1)x+ nx2> 1 + (n+ 1)x.
Definição 2.7 (Valor Absoluto ou Módulo). Definimos o valor absoluto de x ∈ R assim:
|x| =

x, se x > 0
0, se x = 0
−x, se x < 0,
isto é, |x| = max{x,−x}.
2.2 R é um Corpo Ordenado 22
Para todo x ∈ R tem-se −|x| ≤ x ≤ |x|.
De fato, a desigualdade x ≤ |x| vem da definição. Agora, multiplicando −x ≤ |x|
(também da definição) por −1, obtemos −|x| ≤ x.
Exercício 2.8. Mostrar que |x| é o único número ≥ 0 cujo quadrado é x2.
Das regras de sinais segue-se |x|2 = [max{x,−x}]2 = x2. Agora, para mostrar a
unicidade seja y ≥ 0 tal que y2 = x2. Então, y = ±x; como y ≥ 0 segue que
y = max{x,−x} = |x|.
Proposição 2.9. Se x, y ∈ R então |x+ y| ≤ |x|+ |y| e |x · y| = |x| · |y|.
Demonstração. Somando membro a membro as desigualdades |x| ≥ x e |y| ≥ y vem
|x| + |y| ≥ x + y. Analogamente, de |x| ≥ −x e |y| ≥ −y vem |x| + |y| ≥ −(x + y).
Logo, |x|+ |y| ≥ |x+ y| = max{x+ y,−(x+ y)}. Para provar que |x · y| = |x| · |y|, basta
mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado, já que ambos são ≥ 0. Ora,
|xy|2 = (xy)2 = x2y2, enquanto (|x| · |y|)2 = |x|2|y|2 = x2y2. �
Proposição 2.10. Sejam a, x, δ ∈ R. Tem-se |x− a| < δ ⇔ a− δ < x < a+ δ.
Demonstração. Como |x− a| é o maior dos dois números x− a e −(x− a), afirmar que
|x − a| < δ equivale a dizer que se tem x − a < δ e −(x − a) < δ, ou seja, x − a < δ e
x− a > −δ. Somando a, vem:
|x− a| < δ ⇔ x < a+ δ e x > a− δ ⇔ a− δ < x < a+ δ
. �
De modo análogo se vê que
|x− a| ≤ δ ⇔ a− δ ≤ x ≤ a+ δ.
Representaremos esses conjuntos (Intervalos) especiais por:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} [a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a, b. [a, b] é um intervalo
fechado, (a, b) é aberto. [a, b) é fechado à esquerda e (a, b] é fechado à direita. Os cinco
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 23
intervalos à direita são ilimitados : (−∞, b] é a semi-reta esquerda fechada de origem b.
Os demais têm denominações análogas. Quando a = b o intervalo fechado [a, b] reduz-se
a um único elemento e chama-se um intervalo degenerado.
Em termos de intervalos, a Proposição 2.10 diz que |x − a| < δ se, e somente se,
x ∈ (a− δ, a+ δ). Analogamente,
|x− a| ≤ δ ⇔ x ∈ [a− δ, a+ δ].
É muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a reta real) e os números
reais como pontos dessa reta. Então a relação x < y significa que o ponto x está à esquerda
de y (e y à direita de x), os intervalos são segmentos de reta e |x − y| é a distância do
ponto x ao ponto y. O significado da Proposição 2.10 é de que o intervalo (a− δ, a+ δ) é
formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a.
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo
Nada do que foi dito até agora permite distinguir R de Q, pois os números
racionais constituem um corpo ordenado. Acabaremos agora nossa caracterização de
R, descrevendo-o como um corpo ordenado completo, propriedade que Q não tem.
Um conjunto X ⊂ R diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈ R tal que
x ≤ b, ∀x ∈ X. Neste caso, diz-se que b é uma cota superior de X. Analogamente,
diz-se que o conjunto X ⊂ R é limitado inferiormente quando existe a ∈ R tal que
a ≤ x, ∀x ∈ X. O número a chama-se, então, uma cota inferior de X. Se X é
limitado superior e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Isto significa
que X está contido em algum intervalo limitado [a, b] ou, equivalentemente, que existe
um k > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k. Basta tomar k = max{|a|, |b|}, pois, neste caso,
−k ≤ −|a| ≤ a ≤ x ≤ b ≤ |b| ≤ k.
Definição 2.11 (Supremo de um Conjunto). Seja X ⊂ R limitado superiormente e não-
vazio. Um número b ∈ R chama-se o supremo do conjunto X, e indicamos por b = supX
quando é a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b é o supremo de X
quando cumpre as duas condições:
S1. x ≤ b ∀x ∈ X;
S2. Se c ∈ R é tal que x ≤ c ∀x ∈ X, então b ≤ c.
A condição S2 admite a seguinte reformulação:
S2′. Se c < b então existe x ∈ X com c < x.
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 24
Com efeito, S2′ diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de
X. Às vezes se exprime S2′ assim: para todo � > 0, existe x ∈ X tal que b− � < x.
Definição 2.12 (Ínfimo de um Conjunto). Analogamente, se X ⊂ R é um conjunto
limitado superiormente e não-vazio, um número a ∈ R chama-se o ínfimo do conjunto X,
e escreve-se a = inf X quando é a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale às duas
afirmações:
I1. a ≤ x ∀x ∈ X;
I2. Se c ∈ R é tal que c ≤ x ∀x ∈ X, então c ≤ a.
A condição I2 pode também ser formulada assim:
I2′. Se a < c então existe x ∈ X com x < c.
De fato, I2′ diz que nenhum número real maior do que a é cota inferior de X.
Equivalentemente:
para todo � > 0, existe x ∈ X tal que x < a+ �.
Definição 2.13. Diz-se que um número b ∈ X é o maior elemento (ou elemento máximo)
do conjunto X quando b ≥ x, ∀x ∈ X. Isto quer dizer que b é uma cota superior de X,
pertencente a X.
Por exemplo, b é o elemento máximo do intervalo fechado [a, b], mas o intervalo [a, b)
não possui maior elemento.
Exercício 2.14. Se um conjunto X possui elemento máximo, este será seu supremo.
Entretanto, o contrário nem sempre é verdade.
• A noção de supremo serve, precisamente, para substituir a ideia de maior elemento
de um conjunto quando esse maior elemento não existe.
• O supremo do conjunto [a, b) é b. (Verifique!)
• Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação ao ínfimo.
Definição 2.15. A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo
conjunto não-vazio, limitado superiormente, X ⊂ R possui supremo b = supX ∈ R.
Exercício 2.16 (Resolvido). Mostre que todo conjunto não-vazio, limitado inferiormente,
X ⊂ R possui ínfimo a = inf X ∈ R.
Solução: Com efeito, neste caso Y = {−x : x ∈ X} é não-vazio, limitado superiormente;
logo possui um supremo b ∈ R. Então, como se vê sem dificuldade (Verifique!), o número
a = −b é o ínfimo de X. �
Em seguida, veremos algumas consequências da completeza de R.
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 25
Teorema 2.17. São verdades equivalentes:
(i) O conjunto N ⊂ R não é limitado superiormente.
(ii) O ínfimo do conjunto X = {1/n : n ∈ N} é igual a 0.
(iii) Dados a, b ∈ R+, existe n ∈ N tal que n · a > b.
Demonstração. (i) Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existiria c = supN. Então,
c−1 não seria cota superior de N, isto é, existiria n ∈ N com c−1 < n. Daí resultaria que
c < n+1, logo c não seria cota superior de N; mas isto é uma contradição, pois c = supN.
Logo, N não é limitado superiormente. (i) ⇒ (ii) Evidentemente, 0 é uma cota inferior
de X. Basta então provar que nenhum c > 0 é cota inferior de X. Ora, dado c > 0,
existe, por (i), um número natural n > 1/c, donde 1/n < c, isto é, c não é cota inferior
de X. (ii) ⇒ (iii) Dados a, b ∈ R+ usamos (2) para obter n ∈ N tal que 1/n < a/b, o
que implica n · a > b. (iii) ⇒ (i) Dado b ∈ R+ arbitrário, tomando a = 1, existe, por
(iii) n ∈ N tal que n > b. Isto prova (i). �
Estas propriedades dizem que R é um corpo arquimediano. Na realidade, (iii) é devida
ao matemático grego Eudoxo, que viveu alguns séculos antes de Arquimedes.
Teorema 2.18 (Intervalos Encaixados). Dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .
de intervalos limitados e fechados In = [an, bn]. Existe, pelo menos, um número real c
tal que c ∈ In, ∀n ∈ N.
Demonstração. As inclusões In ⊃ In+1 significam que
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1.
O conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . .} é, portanto, limitado superiormente (por b1). Logo,
como R é completo, existe c = supA. Evidentemente, an ≤ c ∀n ∈ N. Além disso, como
cada bn é cota superior de A, temos c ≤ bn ∀n ∈ N. Portanto, c ∈ In (pois cada In é
fechado) qualquer que seja o n ∈ N. �
Teorema 2.19. O conjunto dos números reais não é enumerável.
Demonstração. Mostremos que nenhuma função f : N→ R pode ser sobrejetiva. Para
isto, supondo f dada,construiremos uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .
de intervalos limitados e fechados tais que f(n) 6∈ In. Então, se c é um número real
pertencente a todos os In, nenhum dos valores f(n) pode ser igual a c, logo f não é
sobrejetiva. Para obter os intervalos, começamos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 26
e, supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In tais que f(j) 6∈ Ij, olhamos para In = [an, bn]. Se
f(n + 1) 6∈ In, podemos simplesmente tomar In+1 = In. Se, porém, f(n + 1) ∈ In, pelo
menos um dos extremos, digamos an, é diferente de f(n+ 1), isto é, an < f(n+ 1). Neste
caso, tomamos In+1 = [an+1, bn+1], com an+1 = an e bn+1 = (an + f(n+ 1))/2. �
Definição 2.20. Um número real chama-se irracional quando não é racional. O conjunto
dos números irracionais será indicado por R\Q.
Corolário 2.21. O conjunto R\Q é não-vazio e não-enumerável.
Demonstração. Como o conjunto Q dos números racionais é enumerável, resulta do
teorema acima que R\Q 6= ∅. Além disso, como R = Q ∪ (R\Q), segue que R\Q é não-
enumerável, pois a reunião de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável (Ver
Corolário 1.30). �
Corolário 2.22. Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração. Com efeito, todo intervalo não-degenerado contém um intervalo aberto
(a, b). Como a função f : (−1, 1) → (a, b) definida por f(x) = 1
2
[(b − a)x + a + b]
é uma bijeção, basta mostrar que o intervalo aberto (−1, 1) é não-enumerável. Ora, a
função ϕ : R → (−1, 1), dada por ϕ(x) = x/(1 + |x|), é uma bijeção cuja inversa é
ψ : (−1, 1) → R, definida por ψ(y) = y/(1 − |y|), pois ϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x para
quaisquer y ∈ (−1, 1) e x ∈ R, como se pode verificar facilmente. �
Teorema 2.23. Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais.
Demonstração. Certamente I contém números irracionais, pois do contrário seria
enumerável uma vez que o conjunto dos números racionais o é. Para provar que I contém
números racionais, tomamos [a, b] ⊂ I, onde a < b podem ser supostos irracionais, pois
se algum deles fosse racional, a prova terminaria. Fixemos n ∈ N tal que 1/n < b− a.
Afirmamos que os intervalos Im = (m/n, (m + 1)/n], m ∈ Z, cobrem a reta, isto é,
R = ∪m∈ZIm. De fato, dado x ∈ R, considere o conjunto A = {n ∈ Z : x ≤ n + 1}.
Como A é um subconjunto não-vazio de Z, limitado inferiormente, A possui um elemento
mínimo n0. Logo, n0 < x ≤ n0 + 1, pois n0 − 1 6∈ A e n0 ∈ A.
Provada a afirmação, existe m ∈ Z tal que a ∈ Im. Como a é irracional, temos que
m/n < a < (m + 1)/n. Sendo o comprimento 1/n do intervalo Im menor do que b − a,
segue que (m + 1)/n < b. Logo o número racional (m + 1)/n pertence ao intervalo [a, b]
e, portanto, ao intervalo I. �
2.4 Exercícios Resolvidos 27
2.4 Exercícios Resolvidos
Seção 1: R é um Corpo
1. Prove as seguintes unicidades:
(a) Se x+ θ = x para algum x ∈ R então θ = 0;
(b) Se x · u = x para todo x ∈ R então u = 1;
(c) Se x+ y = 0 então y = −x;
(d) Se x · y = 1 então y = x−1.
2. Dados a, b, c, d ∈ R, se b 6= 0 e d 6= 0, prove que a/b + c/d = (ad + bc)/bd e
(a/b)(c/d) = ac/bd.
3. Se a 6= 0 e b 6= 0 em R, prove que (ab)−1 = a−1b−1 e conclua que (a/b)−1 = b/a.
4. Prove que (1− xn+1)/(1− x) = 1 + x+ · · ·+ xn para todo x 6= 1.
Seção 2: R é um Corpo Ordenado
1. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que |x− z| ≤ |x− y| − |y − z|.
2. Prove que ||x| − |y|| ≤ |x− y| para quaisquer x, y ∈ R.
3. Dados x, y ∈ R, se x2 + y2 = 0, prove que x = y = 0.
Solução: Na verdade, são equivalentes. Se x2 + y2 = 0, então x2 = −y2 ≤ 0. Por outro
lado, x2 ≥ 0. Juntando os dois resultados, obtemos x2 = 0 ⇒ x = 0. Analogamente,
y = 0. A recíproca é imediata. �
4. Prove, por indução, que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ [n(n− 1)/2]x2, se x ≥ 0.
Solução: Para n = 1, temos, na verdade, uma igualdade: (1+x)1 = 1+x+[1(1−1)/2]x2 =
1 + x. Suponhamos, agora, que a desigualdade valha para n = p, ou seja,
(1 + x)p ≥ 1 + px+ [p(p− 1)/2]x2
e mostremos que ela vale para n = p+1. Multiplicando ambos os membros da desigualdade
acima por x+ 1 > 0 e usando que x ≥ 0, obtemos
(1 + x)p+1 ≥ (1 + px+ [p(p− 1)/2]x2)(x+ 1)
= 1 + px+ [p(p− 1)/2]x2 + x+ px2 + [p(p− 1)/2]x3
= 1 + (p+ 1)x+ [p(p− 1)/2 + p]x2 + [p(p− 1)/2]x3
≥ 1 + (p+ 1)x+ [p(p− 1)/2 + p]x2
= 1 + (p+ 1)x+ [(p+ 1)[(p+ 1)− 1]/2]x2,
2.4 Exercícios Resolvidos 28
como queríamos. �
5. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
6. Prove que |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε.
7. Use o fato de que o trinômio do segundo grau f(λ) =
∑n
i=1(xi − λyi)2 é ≥ 0 para todo
λ ∈ R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤
n∑
i=1
x2i ·
n∑
i=1
y2i .
Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ ∈ R tal que xi = λyi para
todo i = 1, . . . , n ou y1 = y2 = . . . = yn = 0.
Solução: Temos que
n∑
i=1
(xi − λyi)2 =
n∑
i=1
(x2i − 2xiyiλ+ y2i λ2)
=
n∑
i=1
x2i + (−2
n∑
i=1
xiyi)λ+ (
n∑
i=1
y2i )λ
2
= aλ2 + bλ+ c ≥ 0,
onde a =
∑n
i=1 y
2
i , b = −2
∑n
i=1 xiyi e c =
∑n
i=1 x
2
i .
Se a > 0, como aλ2 + bλ + c ≥ 0, devemos ter ∆ = b2 − 4ac ≤ 0, donde b2 ≤ 4ac.
Substituindo os valores de a, b e c, segue-se
4(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤ 4
n∑
i=1
y2i ·
n∑
i=1
x2i ,
implicando, finalmente, que
(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤
n∑
i=1
x2i ·
n∑
i=1
y2i .
Além disso, a igualdade vale se, e somente se, ∆ = 0; ou melhor, se, e somente
se, existe raiz para o trinômio f(λ) = aλ2 + bλ + c, isto é, existe λ ∈ R tal que
f(λ) =
∑n
i=1(xi − λyi)2 = 0. Mas, pelo Exercício 3 acima, isto equivale a xi − λyi =
0, ∀ i = 1, . . . , n, ou ainda, xi = λyi para todo i = 1, . . . , n.
Se a = 0, ou seja, se y21 + y22 + . . . + y2n = 0, então y1 = y2 = . . . = yn = 0. Neste
caso, temos a igualdade trivialmente. �
8. Se a1/b1, . . . , an/bn pertencem ao intervalo (α, β) e b1, . . . , bn são positivos, prove que
(a1+· · ·+an)/(b1+· · ·+bn) pertencem a (α, β). Nas mesmas condições, se t1, . . . , tn ∈ R+,
2.5 Exercícios Propostos 29
prove que (t1a1 + · · ·+ tnan)/(t1b1 + · · ·+ tnbn) também pertence ao intervalo (α, β).
Seção 3: R é um Corpo Ordenado Completo
1. Diz-se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem
f(X) = {f(x) : x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se
sup f = sup{f(x) : x ∈ X}. Prove que se f, g : X → R são limitadas superiormente
o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Dê um
exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g. Enuncie e prove um resultado análogo para inf.
2. Dadas as funções f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g :
X → R+ é uma função limitada (superior e inferiormente) com sup(f · g) ≤ sup f · sup g
e inf(f · g) ≥ inf f · inf g. Dê exemplos onde se tenha < e não =.
3. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostre que sup(f 2) = (sup f)2 e inf(f 2) =
(inf f)2.
4. Dados a, b ∈ R+ com a2 < 2 < b2, tome x, y ∈ R+ tais que x < 1, x < (2− a2)/(2a+ 1)
e y < (b2− 2)/2b. Prove que (a+ x)2 < 2 < (b− y)2 e b− y > 0. Em seguida, considere o
conjunto limitado X = {a ∈ R+ : a2 < 2} e conclua que o número real c = supX cumpre
c2 = 2.
5. Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número
real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que
o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente
quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.
6. Prove que um conjunto I ⊂ R é um intervalo se, e somente se, a < x < b,
a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.
2.5 Exercícios Propostos
1. (a) Enuncie o Teorema dos Intervalos encaixados e o Teorema de Bolzano-
Weierstrass;
(b) Dê exemplos mostrando que no teorema dos Intervalos Encaixados, aqueles
intervalos devem ser limitados; e que tais intervalos precisam ser, também,
fechados. Isto é, a hipótese de que os intervalos são limitados e fechados é
necessária.
(c) Exiba uma sequência que não possui subsequência convergente.
2. Se a < x < b, mostre que |x| < |a|+ |b|.
3. Mostre que |a− b| < � para todo � > 0, se e somente se, a = b.
2.5 Exercícios Propostos30
4. Mostre que max{a, b} = 1
2
(a+ b+ |a− b|) e min{a, b} = 1
2
(a+ b− |a− b|).
5. (a) Mostre que a2 + ab+ b2 ≥ 0, ∀ a, b ∈ R.
(b) Se x, y > 0, mostre que √xy ≤ x+ y
2
. Essa desigualdade diz que a média
geométrica de dois números reais positivos é menor do que ou igual à média
aritmética desses mesmos números.
(c) Mostre que, geometricamente, essa desigualdade expressa o fato de que a altura
de um triângulo retângulo tendo por base a hipotenusa é menor do que ou igual
à metade da hipotenusa.
(d) Quando é que as médias aritmética e geométrica são iguais? Que quer dizer
isso geometricamente?
6. (a) Prove por indução que |a1 + a2 + . . . + an| ≤ |a1| + |a2| + . . . + |an| quaisquer
que sejam os números a1, a2, . . . , an ∈ R.
(b) Prove por indução que |a1 + a2 + . . . + an| ≥ |a1| − |a2| − . . .− |an| quaisquer
que sejam os números a1, a2, . . . , an ∈ R.
7. Sejam m ∈ R e p > 1 um número primo qualquer.
(a) Prove que se m2 é divisível por p, então m também o é.
(b) Prove que √p é irracional.
8. (a) Prove que, se p e q forem números primos distintos, então √pq é irracional.
(b) Prove que, se p1, . . . , pr forem números primos distintos, então
√
p1 · · · pr é
irracional.
9. (a) Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b)/2 é irracional? Prove
a veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que ela é
falsa.
(b) Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número
irracional é um número irracional. Mostre, com um contra-exemplo, que o
produto de dois números irracionais pode ser racional.
(c) Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente
de zero é um número irracional.
(d) Prove que se r for um número irracional então 1/r também o será.
(e) Sejam a, b, c, d números racionais. Prove que
a+ b
√
2 = c+ d
√
2 ⇐⇒ a = c e b = d.
2.5 Exercícios Propostos 31
(f) Sejam a, b números racionais positivos. Prove que
√
a +
√
b é racional se,
e somente se,
√
a e
√
b forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por
√
a−
√
b)
(g) Prove que se x e y forem números irracionais tais que x2− y2 ∈ Q−{0}, então
x+ y e x− y são ambos irracionais. Exemplo:
√
3 +
√
2 e
√
3−
√
2.
(Sugestão: Em algum momento, use x = (x+y)+(x−y)
2
e y = (x+y)−(x−y)
2
.)
10. Prove que, se p1, . . . , pr forem números primos distintos, então
√
ps11 · · · psrr é
irracional se algum dos expoentes s1, . . . , sr for ímpar.
11. (a) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números
racionais.
(b) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números
irracionais.
(c) Sabendo que o conjunto R dos números reais não é enumerável, prove que o
conjunto dos números irracionais não é enumerável.
12. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que(
1− 1
n2
)n
> 1− 1
n
e deduzir que (
1 +
1
n− 1
)n−1
<
(
1 +
1
n
)n
.
13. Se c > 1, c ∈ R, mostre que cn > c.
(Sugestão: c = 1 + α; α > 0 e use a desigualdade de Bernoulli)
14. Considere o conjunto C = {1/m − 1/n : n,m ∈ N}. Prove que −1 = inf C e
1 = supC, e que {−1, 1} 6⊂ C.
15. (a) Prove que todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente,
tem ínfimo. Em outras palavras, dado A ⊂ R não-vazio, limitado inferiormente,
seja −A = {−x : x ∈ A}. Prove que −A é limitado superiormente e que
sup(−A) = − inf A.
(b) Dados A ⊂ R não-vazio, limitado, e c ∈ R, definimos o conjunto cA = {ca :
a ∈ A}. Mostre, então, que
c ≥ 0⇒
{
sup cA = c supA
inf cA = c inf A.
e c < 0⇒
{
sup cA = c inf A
inf cA = c supA.
2.5 Exercícios Propostos 32
Em particular, sup(−A) = − inf A, ou ainda, supA = − inf(−A).
16. Seja X = {1/n : n ∈ N}. Prove que inf X = 0.
17. Sejam A ⊂ B ⊂ R não-vazios e limitados. Prove que inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB.
18. Sejam A,B ⊂ R não-vazios tais que a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤ b.
(a) Prove que supA ≤ inf B.
(b) Prove que supA = inf B ⇔ ∀ � > 0, ∃ a ∈ A, b ∈ B tais que b− a < �.
19. Sejam A,B ⊂ R não-vazios, limitados inferiormente, e r ∈ R tal que r ≤ a+b, ∀ a ∈
A, b ∈ B.
(a) Prove que r ≤ inf A+ inf B.
(b) Enuncie e demonstre resultado análogo para os supremos.
20. Dados A,B ⊂ R não-vazios e limitados, seja A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}. Prove
que
(a) A+B é limitado.
(b) sup(A+B) = supA+ supB.
(c) inf(A+B) = inf A+ inf B.
21. Prove que r = sup{x ∈ R : x < r} = inf{x ∈ R : x > r}.
22. Sejam x, y ∈ R e n ∈ N.
(a) Prove por indução que (1− yn) = (1− y)(1 + y + y2 + . . .+ yn−1).
(b) Conclua que (xn − yn) = (x− y)(xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + . . .+ xyn−2 + yn−1).
23. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma
justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo).
(l) ( ) Se X =
{
1
n
: n ∈ N
}
, então inf X = 0.
(m) ( ) Se X ⊂ N é limitado, então X possui um supremo em N
(n) ( ) Se X ⊂ N é limitado, então X possui um supremo em R
(o) ( ) Se X ⊂ N, então X possui um ínfimo em R
(p) ( ) Se X ⊂ N, então X possui um mínimo em N
2.5 Exercícios Propostos 33
(q) ( ) Se X ⊂ N, então X possui um mínimo em R
(r) ( ) Todo supremo de um conjunto é elemento máximo desse conjunto.
(s) ( ) Todo elemento máximo de um conjunto é supremo desse conjunto.
(z) ( ) O conjunto X = (0, 1) não possui nem ínfimo, nem supremo.
Capítulo
3
Sequências de Números Reais
Neste capítulo será apresentada a noção de limite, que tem um papel central no estudo
da Análise Matemátca, sob sua forma mais simples, o limite de uma sequência. A partir
daqui, todos os conceitos importantes da Análise, de uma forma ou de outra, reduzir-se-ão
a algum tipo de limite.
3.1 Limites de uma Sequência
Definição 3.1. Uma Sequência de números reais é uma função x : N → R, que associa
a cada número n ∈ N um número xn ∈ R, chamado o n-ésimo termo da sequência.
Escreve-se (x1, x2, . . . , xn, . . .) ou (xn)n∈N, ou simplesmente (xn) para indicar a
sequência cujo n-ésimo termo é xn. Não confunda a sequência (xn) com o conjunto
{x1, x2, . . . , xn, . . .} dos seus termos. Por exemplo, as sequências (0, 1, 0, 1 . . .) e
(0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .) são diferentes, mas os conjuntos dos seus termos são os mesmos, iguais
a {0, 1}.
Definição 3.2. Uma sequência (xn) diz-se limitada superiormente (respectivamente,
inferiormente) quando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (respectivamente, xn ≥ c) para
todo n ∈ N. Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando ela é limitada superior e
inferiormente. Isto equivale a dizer que existe k > 0 tal que |xn| ≤ k, ∀n ∈ N.
Exemplo 3.3. Se a > 1 então a sequência (a, a2, . . . , an, . . .) é limitada inferiormente,
porém, não superiormente. Com efeito, multiplicando ambos os membros da desigualdade
1 < a por an, obtemos an < an+1; segue-se que a < an, ∀n ∈ N. Logo, (an) é limitada
inferiormente por a. Por outro lado, temos a = 1 + d com d > 0. Pela desigualdade de
3.1 Limites de uma Sequência 35
Bernoulli, vale an = (1 + d)n > 1 + nd, ∀n ∈ N. Portanto, dado qualquer c ∈ R podemos
obter an > c, desde que tomemos 1 + nd > c, isto é, n > (c− 1)/d. �
Definição 3.4. Dada uma sequência x = (xn)n∈N, uma subsequência de x é a restrição
da função x a um subconjunto infinito e, portanto, ilimitado, N′ = {n1, n2, . . . , nk, . . .}.
• Escreve-se x′ = (xn)n∈N′ ou (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .), ou (xnk)k∈N para indicar a
subsequência x′ = x | N′.
• A notação (xnk)k∈N mostra como uma subsequência pode ser considerada como uma
sequência, isto é,uma função cujo domínio é N.
Exemplo 3.5. Se a < −1, formemos a sequência (an)n∈N. Se N′ ⊂ N é o conjunto
dos números pares e N′′ ⊂ N é o conjunto dos números ímpares, então a subsequência
(an)n∈N′ = (a
2, a4, . . . , a2k, . . .) é limitada apenas inferiormente, enquanto a subsequência
(an)n∈N′′ = (a
1, a3, . . . , a2k−1, . . .) é limitada apenas superiormente. Com efeito, de a < −1
segue-se |a| > 1 ⇒ |a|2 > 1, ou seja, a2 > 1. Assim, para n ∈ N′ a sequência se escreve
(an)n∈N′ = ((a
2), (a2)2, (a2)3, . . .) = (a2)n, donde, como no Exemplo 3.3, é limitada apenas
inferiormente.
Por outro lado, como a2k > 0, multiplicando ambos os membros da desigualdade a< −1
por a2k, obtemos a2k+1 < −a2k < −1; então, pela primeira parte, obtemos que a
subsequência (an)n∈N′′ é limitada apenas superiormente.
Definição 3.6. Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para
todo número real � > 0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 = n0(�) ∈ N tal que todos
os termos xn com índice n > n0 cumprem a condição |xn − a| < �. Simbolicamente,
escreve-se
a = limxn
.
= ∀ � > 0, ∃n0 ∈ N;n > n0 ⇒ |xn − a| < �.
• Esta importante definição significa que, para valores muito grandes de n, os termos
xn tornam-se e se mantêm tão próximos de a quanto se deseje. Mais precisamente,
estipulando-se uma margem de erro � > 0, existe um índice n0 ∈ N tal que todos
os termos xn da sequência com índice n > n0 são valore aproximados de a com erro
menor do que �.
Convém lembrar que |xn−a| < � é o mesmo que a−� < xn < a+�, isto é, xn ∈ (a−�, a+�).
Assim, dizer que a = lim xn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a
contém todos os termos xn da sequência, salvo para um número finito de índices n (a
saber, os índices n ≤ n0, onde n0 é escolhido em função do raio � do intervalo dado. Em
3.1 Limites de uma Sequência 36
vez de a = lim xn, escreve-se também a = limn∈N xn, a = limn→∞ xn ou xn → a. Esta
última expressão lê-se “xn tende para a” ou “xn converge para a”. Uma sequência que
possui limite diz-se convergente. Caso contrário, ela se chama divergente.
Teorema 3.7. Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
Demonstração. Seja a = limxn. Dado b 6= a, podemos tomar � > 0 tal que os intervalos
abertos I = (a− �, a+ �) e J = (b− �, b+ �) sejam disjuntos. Basta tomar � ≤ |b− a|/2.
Existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ I. Então, para todo n > n0, temos xn 6∈ J .
Logo, não pode ser limxn = b. �
Teorema 3.8. Se limxn = a, então toda subsequência de (xn) converge para o limite a.
Demonstração. Seja (xn1 , . . . , xnk , . . .) a subsequência. Dado qualquer intervalo aberto
I de centro a, existe n0 ∈ N tal que todos os termos xn, com n > n0, pertencem a I. Em
particular, todos os termos xnk , com nk > n0 também pertencem a I. Logo, limxnk = a.
�
Teorema 3.9. Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração. Seja a = lim xn. Fixado � > 0, vemos que existe n0 ∈ N tal que
n > n0 implica xn ∈ (a − �, a + �). Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto
{x1, . . . , xn0 , a− �, a+ �}. Isto significa que
• b ≤ x1, . . . , xn0 ≤ c,
• b ≤ a− � < xn < a+ � ≤ c, se n > n0
Isto é, todos os termos xn da sequência estão contidos no intervalo [b, c], logo ela é limitada.
�
Exemplo 3.10. A sequência (2, 0, 2, 0, . . .), cujo n-ésimo termo é xn = 1 + (−1)n+1, é
limitada, mas não é convergente porque possui duas subsequências constantes, x2n−1 = 2
e x2n = 0, com limites distintos.
Exemplo 3.11. A sequência (1, 2, 3, . . .), com xn = n, não converge por que não é
limitada.
Definição 3.12. Uma sequência chama-se monótona quando se tem xn ≤ xn+1 ∀n ∈ N ou
então xn ≥ xn+1 ∀n ∈ N. No primeiro caso, diz-se que (xn) é monótona não-decrescente
e, no segundo, que (xn) é monótona não-crescente. Se, mais precisamente, tivermos
xn < xn+1 (respectivamente, xn > xn+1) para todo n ∈ N, diremos que a sequência é
crescente (respectivamente, decrescente).
3.1 Limites de uma Sequência 37
Toda sequência monótona não-decrescente (respectivamente, não-crescente) é limitada
inferiormente (respectivamente, superiormente) pelo seu primeiro termo.
Lema 3.13. A fim de que uma sequência monótona seja limitada é suficiente que possua
uma subsequência limitada.
Demonstração. Com efeito, seja (xn)n∈N′ uma subsequência limitada da sequência
monótona (digamos, não-decrescente) (xn). Temos xn′ ≤ c, ∀n′ ∈ N′. Dado qualquer
n ∈ N, existe n′ ∈ N′ tal que n < n′. Então, x1 ≤ xn ≤ xn′ ≤ c. �
O teorema seguinte dá uma condição suficiente para que uma sequência convirja. Foi
tentando demonstrá-lo ao preparar suas aulas, na metado do século XIX, que R. Dedekind
percebeu a necessidade de uma conceituação precisa de número real.
Teorema 3.14. Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração. Seja (xn) monótona, digamos não-decrescente, limitada. Escrevamos
X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Como X é um conjunto limitado, possui um supremo, que
chamamos de a = supX.
Afirmação: a = limxn.
Com efeito, dado � > 0, o número a − � não é cota superior de X. Logo, existe n0 ∈ N
tal que a − � < xn0 ≤ a. Assim, como (xn) é não-decrescente, n > n0 ⇒ a − � < xn0 ≤
xn ≤ a < a+ �, ou seja, xn ∈ (a− �, a+ �) ∀n > n0; isto é, limxn = a. �
Observação 3.15. Semelhantemente, se (xn) é não-crescente e limitada, então limxn
é o ínfimo do conjunto dos valores xn. Por exemplo, a sequência cujo n-ésimo termo é
xn = 1/n é monótona, decrescente e limitada. Temos, então lim(1/n) = inf{1/n : n ∈
N} = 0, pelo Teorema 2.17.
Corolário 3.16 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Toda sequência limitada de números
reais possui uma subsequência convergente.
Demonstração. Tendo em vista o Teorema 3.14, basta mostrar que toda sequência
limitada (xn) possui uma subsequência monótona.
Digamos que um termo xn da sequência dada é destacado quando xn ≥ xp ∀ p > n.
Seja
D = {n ∈ N : xn é destacado }
• Se D for infinito, D = {n1 < n2 < . . . < nk < . . .}, então a subsequência (xnk)nk∈D
será monótona não-crescente.
3.2 Limites e Desigualdades 38
• Se D for finito (e, portanto, limitado), seja n1 ∈ N maior do que todos os n ∈ D.
Então xn1 6∈ D não é destacado, logo existe n2 > n1 com xn1 < xn2 . Por sua vez, xn2
não é destacado, logo existe n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3 . Prosseguindo, obtemos
uma subsequência monótona crescente xn1 < xn2 < . . . < xnk < . . .
A demonstração está completa. �
Exemplo 3.17. Seja 0 < a < 1. A sequência (a, a2, . . . , an, . . .) é decrescente e limitada,
pois multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an, e 0 < an < 1 para todo n ∈ N.
Afirmamos que limn→∞ an = 0. De fato, como 1/a > 1, segue-se do Exemplo 3.3 que,
dado arbitrariamente � > 0, existe n0 ∈ N tal que (1/a)n > 1/� ∀n > n0, ou seja,
an < � ∀n > n0. Mas isto significa que limn→∞ an = inf{an : n ∈ N} = 0.
3.2 Limites e Desigualdades
Observação 3.18. Seja P uma propriedade referente aos termos de uma sequência (xn).
Diremos que para todo n suficientemente grande xn goza da propriedade P para significar
que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn goza da propriedade P .
Teorema 3.19. Seja a = limxn. Se b < a então, para todo n suficientemente grande,
tem-se b < xn. Analogamente, se a < b, então xn < b para todo n suficientemente grande.
Demonstração. Tomando � = a − b, temos � > 0 e b = a − �. Pela definição de limite,
existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a− � < xn < a+ �⇒ b < xn. A outra afirmação se prova
analogamente. �
Corolário 3.20. Seja a = limxn. Se a > 0 então, para todo n suficientemente grande,
tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0, então xn < 0 para todo n suficientemente grande.
Demonstração. Basta trocar b por 0 na prova do Teorema 3.19. �
Corolário 3.21. Sejam a = limxn e b = lim yn. Se xn ≤ yn para todo n suficientemente
grande, então a ≤ b. Em particular, se xn ≤ b para todo n suficientemente grande, então
limxn ≤ b.
Demonstração. Se fosse b < a, então tomaríamos c ∈ R tal que b < c < a e teríamos,
pelo Teorema 3.19, yn < c < xn para todo n suficientemente grande, contradizendo a
hipótese. �
Observação 3.22. Se fosse xn < yn não se poderia concluir a < b. Por exemplo, se
xn = 0 e yn = 1/n, temos, para todo n ∈ N, que xn < yn. Mas limxn = lim yn = 0.
3.3 Operações com Limites 39
Teorema 3.23 (Teorema do Sanduíche). Se limxn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn para
todo n suficientemente grande, então lim zn = a.
Demonstração. Seja � > 0 dado arbitrariamente.
Como limxn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ a− � < xn < a+ �.
Como lim yn = a, existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ a− � < yn < a+ �.
Seja n0 = max{n1, n2}. Então n > n0 ⇒ a−� < xn ≤ zn ≤ yn < a+�⇒ zn ∈ (a−�, a+�),
logo lim zn = a. �
3.3 Operações com Limites
Teorema 3.24. Se limxn = 0 e (yn) é uma sequência limitada (convergente ou não),então lim(xnyn) = 0.
Demonstração. Como (yn) é limitada existe c > 0 tal que |yn| ≤ c para todo n ∈ N.
E como limxn = 0, dado arbitrariamente � > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn| < �/c.
Então n > n0 ⇒ |xnyn| = |xn| · |yn| < (�/c) · c. Assim, limxnyn = 0. �
Exemplo 3.25. Se xn = 1/n e yn = sinn, então (yn) não converge, mas, como
−1 ≤ yn ≤ 1, tem-se lim(xnyn) = lim sinnn = 0. Por outro lado, se limxn = 0, mas (yn)
não é limitada, então o produto pode divergir (tome xn = 1/n e yn = n2) ou convergir
para um valor qualquer (tome xn = 1/n e yn = c · n).
Observação 3.26. Para uso posterior, observemos que, segundo resulta diretamente da
definição de limite, tem-se
limxn = a ⇔ lim(xn − a) = 0 ⇔ lim |xn − a| = 0.
De fato,
limxn = a ⇔ ∀ � > 0 ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |xn − a| < �
⇔ ∀ � > 0 ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |(xn − a)− 0| < � (⇔ lim(xn − a) = 0)
⇔ ∀ � > 0 ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ ||xn − a| − 0| < � (⇔ lim |xn − a| = 0).
�
Teorema 3.27. Se limxn = a e lim yn = b, então:
1. lim(xn ± yn) = a± b.
2. limxnyn = ab.
3.3 Operações com Limites 40
3. lim
xn
yn
=
a
b
se b 6= 0.
Demonstração.
1. Seja � > 0 dado arbitrariamente.
Como limxn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| < �/2.
Como lim yn = b, existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| < �/2.
Seja n0 = max{n1, n2}. Então para n > n0, temos
|xn ± yn − (a± b)| = |xn − a± (yn − b)| ≤ |xn − a|+ |yn − b| < �/2 + �/2 = �.
Logo, lim(xn ± yn) = a± b.
2. Note que
|xnyn−ab| = |xnyn−xnb+xnb−ab| = |xn(yn−b)+(xn−a)b| ≤ |xn||yn−b|+|xn−a||b|.
Seja � > 0 dado arbitrariamente.
Como limxn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| < �/2|b|.
Consequentemente, |xn| < |a|+ �/2|b| = c
Como lim yn = b, existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| < �/2c.
Seja n0 = max{n1, n2}. Então para n > n0, temos
|xnyn − ab| ≤ |xn||yn − b|+ |xn − a||b| < c ·
�
2c
+
�
2|b|
· |b| = �.
Portanto, limxnyn = ab.
3. Vale xn/yn − a/b = (xnb − yna)/ynb. Como lim(xnb − yna) = ab − ab = 0, basta
provar que 1/ynb é uma sequencia limitada para concluir que lim(xn/yn − a/b) = 0
e portanto que limxn/yn = a/b. Como lim ynb = b2 > b2/2 = c > 0, segue-se do
Teorema 3.19 que, para todo n suficientemente grande, tem-se ynb > c e, portanto,
0 < 1/ynb < 1/c, completando a demonstração.
�
Exemplo 3.28. Se xn > 0 para todo n ∈ N e lim(xn+1/xn) = a < 1, então limxn = 0.
Com efeito, tomemos c ∈ R com a < c < 1. Então 0 < xn+1/xn < c para todo n
suficientemente grande. Segue-se que 0 < xn+1 = (xn+1/xn)xn < c · xn < xn; logo, para n
suficientemente grande, a sequência (xn) é monótona e limitada, daí possui limite (pelo
Teorema 3.14). Seja b = limxn. De xn+1 < c · xn para todo n suficientemente grande
3.3 Operações com Limites 41
resulta, fazendo n→∞, que b ≤ c · b, isto é, (1− c) · b ≤ 0. Como 0 < c < 1, segue que
b ≤ 0. Por outro lado, de xn > 0 segue-se b ≥ 0. Portanto, concluímos que b = 0.
Exemplo 3.29. Como aplicação do exemplo anterior, vê-se que, se a > 1 e k ∈ N são
constantes, então
lim
n→∞
nk
an
= lim
n→∞
an
n!
= lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Exemplo 3.30. Dado a > 0, mostremos que a sequência dada por xn = n
√
a = a1/n tem
limite igual a 1. De fato, trata-se de uma sequência monótona (decrescente se a > 1,
crescente se a < 1), limitada; portanto, existe L = limn→∞ a1/n. Tem-se L > 0. Com
efeito, se 0 < a < 1 então a1/n > a para todo n ∈ N, donde L ≥ a. Se, porém,
a > 1, então a1/n > 1 para todo n ∈ N, donde L ≥ 1. Consideremos a sequência
(a1/n(n+1)) = (a1/2, a1/6, a1/12, . . .). Como 1/n(n+ 1) = 1/n− 1/(n+ 1), o Teorema 3.8 e
o item (3) do Teorema 3.27 nos dão
L = lim a1/n(n+1) = lim
a1/n
a1/(n+1)
=
L
L
= 1
Exemplo 3.31. Seja 0 < a < 1. A sequência cujo termo geral é xn = 1 + a + a2 +
. . . + an = (1 − an+1)/(1 − a) é crescente, limitada, pois xn < 1/(1 − a) para todo
n ∈ N. Além disso, limn→∞(1/(1 − a) − xn) = limn→∞ an/(1 − a) = 0, portanto,
limn→∞ xn = limn→∞(1 + a+ . . .+ a
n) = 1/(1− a).
A igualdade acima vale ainda quando se tem −1 < a < 1, isto é, |a| < 1. Com efeito,
o argumento se baseou no fato de que limn→∞ an = 0, que persiste quando se tem apenas
|a| < 1, pois lim |a|n = 0⇔ lim an = 0.
Exemplo 3.32. A sequência cujo termo geral é
an = 1 + 1 +
1
2!
+ . . .+
1
n!
é evidentemente crescente. Ela também é limitada, pois
2 ≤ an = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
≤ 1 + 1 + 1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3.
3.3 Operações com Limites 42
Escrevemos e = lim an. O número e é uma das constantes mais importantes da Análise
Matemática. Como vimos, tem-se 2 < e ≤ 3. Na realidade, vale e = 2, 7182, com quatro
decimais exatas.
Exemplo 3.33. Consideremos a sequência cujo termo geral é
bn =
(
1 +
1
n
)n
=
(
n+ 1
n
)n
.
Pela fórmula do Binômio:
bn =
(
n
0
)
· 1n +
(
n
1
)
· 1n−1 · 1
n1
+
(
n
2
)
· 1n−2 · 1
n2
+ . . .+
(
n
n
)
· 10 · 1
nn
= 1 + n · 1
n
+
n(n− 1)
2!
· 1
n2
+ . . .+
n(n− 1)(n− 2) . . . 1
n!
· 1
nn
= 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n
) +
1
3!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) + . . .+
1
n!
(1− 1
n
) · · · (1− n− 1
n
).
Logo, bn é uma soma de parcelas positivas. O número dessas parcelas, bem como cada
uma delas, cresce com n. Portanto a sequência (bn) é crescente. É claro que bn < an do
Exemplo 3.32 anterior. Segue-se que bn < 3 para todo n ∈ N.
Afirmamos que lim bn = lim an = e.
Com efeito, quando n > p vale
bn = 1 + 1 + . . .+
1
p!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− p− 1
n
) + . . .+
1
n!
(1− 1
n
) · · · (1− n− 1
n
)
> 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n
) + . . .+
1
p!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− p− 1
n
).
Fixando arbitrariamente p ∈ N e fazendo n→∞ na desigualdade acima obtemos
lim bn ≥ 1 + 1 +
1
2!
+ . . .+
1
p!
= ap.
Como esta desigualdade vale para todo p ∈ N, segue-se que limn→∞ bn ≥ limp→∞ ap = e.
Mas já vimos que bn < an para todo n ∈ N. Logo limbn ≤ lim an (Cf. Corolário 3.21).
Isto completa a prova de que lim bn = e.
Exemplo 3.34. Consideremos a sequência cujo n-ésimo termo é xn = n
√
n = n1/n. Temos
xn ≥ 1 para todo n ∈ N. Esta sequência é decrescente a partir do seu terceiro termo. Com
efeito, a desigualdade n
√
n > n+1
√
n+ 1 é equivalente a nn+1 > (n+ 1)n, que dividindo por
nn, se torna equivalente a n > (1 + 1/n)n, o que é verdade para n ≥ 3 pois, como vimos
acima, (1 + 1/n)n < 3 para todo n ∈ N. Portanto, existe L = limn1/n e tem-se L ≥ 1.
3.4 Limites Infinitos 43
Considerando a subsequência (2n)1/2n, temos:
L2 = lim[(2n)1/2n]2 = lim[21/n · n1/n] = lim 21/n · limn1/n = L
(Cf. Exemplo 3.30). Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Portanto, lim n
√
n = 1.
3.4 Limites Infinitos
Definição 3.35. Dada uma sequência (xn), diz-se que “o limite de (xn) é mais infinito”
e escreve-se limxn = +∞, para significar que, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N
tal que n > n0 implica xn > A.
Analogamente, limxn = −∞ significa que, para todo A > 0 dado, pode-se achar
n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn < −A.
Observação 3.36. (i) Deve-se observar que +∞ e −∞ não são números e que, se
limxn = +∞ e lim yn = −∞, as sequências (xn) e (yn) não são convergentes.
(ii) Com limxn = +∞ ⇔ lim(−xn) = −∞, limitaremos nossos comentários ao
primeiro caso.
(iii) Se limxn = +∞ então a sequência (xn) não é limitada superiormente. A recíproca
é falsa. Por exemplo, a sequência xn = n + (−1)nn é ilimitada superiormente, porém,
não se tem limxn = +∞, pois x2n−1 = 0 para todo n ∈ N. Mas se (xn) é não-decrescente
então xn ilimitada implica limxn = +∞.
No Exemplo 3.3, ao mostrar que as potências a, a2, a3, . . . de um número a > 1 formam
uma sequência ilimitada superiormente, provou-se, na realidade, que lim an = +∞.
Teorema 3.37. Sejam (xn) e (yn) duas sequências.
1. Se limxn = +∞ e (yn) é limitada inferiormente, então lim(xn + yn) = +∞.
2. Se limxn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c ∀n ∈ N, então lim(xn · yn) = +∞.
3. Se xn > c > 0, yn > 0 ∀n ∈ N e lim yn = 0, então lim
xn
yn
= +∞.
4. Se (xn) é limitada e lim yn = +∞, então lim
xn
yn
= 0.
Demonstração. 1. Como (yn) é limitada inferiormente, existe c ∈ R tal que yn ≥
c ∀n ∈ N. Como limxn = +∞, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 ⇒ xn > A − c. Segue-se que n >n0 ⇒ xn + yn > A − c + c = A; logo,
lim(xn + yn) = +∞.
3.4 Limites Infinitos 44
2. Como limxn = +∞, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 ⇒ xn > A/c. Logo, n > n0 ⇒ xnyn > (A/c) · c = A, donde lim(xn · yn) = +∞.
3. Como lim yn = 0, dado A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn < c/A. Então
n > n0 ⇒ xn/yn > c · (A/c) = A e daí, lim(xn/yn) = +∞.
4. Como (xn) é limitada, existe c > 0 tal que |xn| ≥ c ∀n ∈ N. Como lim yn = +∞,
dado arbitrariamente � > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn > c/��. Então
n > n0 ⇒ |xn/yn| < c · (�/c) = �, logo lim(xn/yn) = 0. �
Observação 3.38. As hipóteses feitas nas diversas partes do teorema anterior têm por
objetivo evitar algumas das chamadas expressões indetermindas. No item 1. procura-se
evitar a expressão +∞−∞. De fato, se limxn = +∞ e lim yn = −∞ nenhuma afirmação
geral pode ser feita sobre lim(xn + yn). Este limite pode não existir (como no caso em que
xn = n+ (−1)n e yn = −n), pode ser igual a +∞ (se xn = 2n e yn = −n), pode ser −∞
(tome xn = n e yn = −2n) ou pode assumir um valor arbitrário c ∈ R (por exemplo, se
xn = n + c e yn = −n). Por causa desse comportamento errático diz-se que +∞−∞ é
uma expressão indeterminada. Nos itens 2., 3. e 4., as hipóteses feitas excluem os limites
do tipo 0 · +∞ (também evitado no Teorema 3.24), 0/0 e ∞/∞, respectivamente, os
quais constituem expressões indeterminadas no sentido que acabamos de explicar. Outras
expressões frequentemente encontradas são ∞0, 1∞ e 00.
Os limites mais importantes da Análise quase sempre se apresentam sob forma de uma
expressão indeterminada. Por exemplo, o número e = limn→∞(1 + 1/n)n é da forma 1∞.
E, como veremos mais adiante, a derivada é um limite do tipo 0/0.
Agora, uma observação sobre ordem de grandeza. Se k ∈ N e a ∈ R, a > 1,
então limn→∞ nk = limn→∞ an = limn→∞ n! = limn→∞ nn. Todas estas expressões
têm limite. Mas o Exemplo 3.29 nos diz que, para valores muito grandes de n, temos
nk � an � n! � nn, onde o símbolo � quer dizer “é uma fração muito pequena de”
ou “é insignificante diante de”. Por isso, diz-se que o crescimento exponencial supera
o polinomial, o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante, mas é
superado pelo crescimento exponencial com base crescente.
Por outro lado, o crescimento de nk (mesmo quando k = 1) supera o crescimento
logarítmico, como veremos agora, provando que lim
n→∞
lnn
n
= 0. Para todo n ∈ N, temos
ln
√
n <
√
n. Como ln
√
n = 1
2
lnn, segue-se que lnn < 2
√
n. Dividindo por n resulta que
0 < lnn/n < 2/
√
n. Fazendo n→∞, vem lim
n→∞
lnn
n
= 0.
3.5 Exercícios Resolvidos 45
3.5 Exercícios Resolvidos
Seção 1: Limite de uma sequência
1. Uma sequência (xn) diz-se periódica quando existe p ∈ N tal que xn+p = xn para todo
n ∈ N. Prove que toda sequência periódica convergente é constante.
2. Dadas as sequências (xn) e (yn), defina (zn) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn. Se
limxn = lim yn = a, prove que lim zn = a.
3. Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência
é, ela própria, convergente.
4. Um número a chama-se valor de aderência da sequência (xn) quando é limite de uma
subsequência de (xn). Para cada um dos conjuntos A, B e C abaixo, ache uma sequência
que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência. A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1].
5. Mostre que:
(a) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e suficiente
que, para todo � > 0 e todo k ∈ N dados, exista n > k tal que |xn − a| < �.
(b) A fim de que o número real b não seja valor de aderência de (xn) é necessário e
suficiente que existam n0 ∈ N e � > 0 tais que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ �.
Seção 2: Limites e desigualdades
1. Se limxn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ � para todo n ∈ N, prove que |a− b| ≥ �.
2. Sejam limxn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que
n > n0 ⇒ xn < yn.
3. Se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn), prove que alguma
subsequência de (xn) converge para um limite b 6= a.
4. Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de
aderência.
5. Quais são os valores de aderência da seqüência (xn) tal que x2n−1 = n e x2n = l/n?
Esta sequência converge?
6. Dados a, b ∈ R+, defina indutivamente as sequências (xn) e (yn) pondo x1 =
√
ab,
y1 = (a + b)/2 e xn+1 =
√
xnyn, yn+1 = (xn + yn)/2. Prove que (xn) e (yn) convergem
para o mesmo limite.
7. Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauchy quando, para todo � > 0 dado, existe
n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < �.
(a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
3.5 Exercícios Resolvidos 46
(b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
(c) Prove que uma sequência (xn) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Seção 3: Operações com limites
1. Se existem � > 0 e k ∈ N tais que � ≤ xn ≤ nk para todo n suficientemente grande,
prove que lim n
√
xn = 1. Use este fato para calcular lim n
√
n+ k, lim n
√
n+
√
n, lim n
√
lnn
e lim n
√
n lnn.
2. Seja en = (xn−
√
a)/
√
a o erro relativo na n-ésima etapa do cálculo de
√
a. Prove que
en+1 = e
2
n/2(1 + en). Conclua que en ≤ 0, 01⇒ en+1 ≤ 0, 00005⇒ en+2 ≤ 0, 00000000125
e observe a rapidez de convergência do método.
3. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (xn) pondo x1 = 1/a e xn+1 = 1/(a+xn).
Considere o número c, raiz positiva da equação x2 + ax − 1 = 0, único número positivo
tal que c = 1/(a+ c). Prove que
x2 < x4 < . . . < x2n < . . . < c < . . . < x2n−1 < . . . < x3 < x1,
e que limxn = c. O número c pode ser considerado como a soma da fração contínua
1
a+
1
a+
1
a+
1
a+ . . .
4. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (yn), pondo y1 = a e yn+1 = a + 1/yn.
Mostre que lim yn = a+ c, onde c é como no exercício anterior.
5. Defina a sequência (an) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 e an+2 = an+1+an para todo
n ∈ N. Escreva xn = an/an+1 e prove que limxn = c, onde c é único número positivo tal
que 1/(c+1) = c. O termo an chama-se o n-ésimo número de Fibonacci e c = (−1+
√
5)/2
é o número de ouro da Geometria Clássica.
Seção 4: Limites infinitos
1. Se limxn = +∞ e a ∈ R, prove: lim(
√
ln(xn + a)−
√
lnxn) = 0.
2. Dados k ∈ N e a > 0, determine o limite
lim
n!
nk · an
.
3.6 Exercícios Propostos 47
Supondo também a 6= e, calcule
lim
an · n!
nn
e lim
nk · an · n!
nn
.
(Para o caso a = e, ver Exercício 9, Seção 1, Capítulo 11.)
3. Mostre que limn→+∞ ln(n+ 1)/ lnn = 1.
4. Sejam (xn) uma sequência arbitrária e (yn) uma sequência crescente, com lim yn = +∞.
Supondo que lim(xn+1 − xn)/(yn+1 − yn) = a, prove que limxn/yn = a. Conclua que se
lim(xn+1 − xn) = a então limxn/n = a. Em particular, de lim ln(1 + 1/n) = 0, conclua
que lim(lnn)/n = 0.
5. Se limxn = a e (tn) é uma sequência de números positivos com
lim(t1 + · · ·+ tn) = +∞,
prove que
lim
t1x1 + · · ·+ tnxn
t1 + · · ·+ tn
= a.
Em particular, se yn =
x1 + · · ·+ xn
n
tem-se ainda lim yn = a.
3.6 Exercícios Propostos
1. Use a definição de limite de sequência para provar que
(i) lim
n
n2 + 1
= 0; (ii) lim
2n2
n2 + 7
= 2; (iii) lim
3n
√
n
n
√
n+ 5
= 3.
2. Sejam (xn) e (yn) duas sequências tais que |xn − a| < C|yn|, onde a ∈ R e C > 0.
Usando a definição de limite, mostre que se yn → 0 então xn → a.
3. O Teorema dos Intervalos Encaixados diz que dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . de intervalos limitados e fechados In = [an, bn]. Existe, pelo
menos, um número real c tal que c ∈ In, ∀n ∈ N, isto é, c ∈
⋂
n∈N In. Prove que se
os comprimentos dos intervalos tendem a zero quando n cresce, então
⋂
n∈N In = {c}.
[Cf. Demonstração do Teorema 5.17.]
4. Sejam a = limxn e b = lim yn. Se xn < yn para todo n suficientemente grande,
mostre que não podemos concluir que a < b (com a desigualdade estrita).
5. Seja limxn = 0. Para cada n, ponha yn = min{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}. Prove que
lim yn = 0.
3.6 Exercícios Propostos 48
6. Prove que a sequência xn =
√
n+ h−
√
n converge para 0.
7. (a) Se limxn = a, mostre que lim |xn| = |a|. Dê um contra-exemplomostrando
que a recíproca é falsa, salvo quando a = 0.
(b) Se limxn = a e lim(xn − yn) = 0, mostre que lim yn = a.
8. Defina sequência de Cauchy. Seja 0 < c < 1 e (xn) uma sequência tal que
|xn+1 − xn| ≤ c|xn−1 − xn−2|. Mostre que (xn) é uma sequência convergente.
9. (a) Sejam a, b ≥ 0. Mostre que
lim
n
√
an + bn = max{a, b}.
(b) Sejam a1, . . . , ap ≥ 0. Mostre que
lim n
√√√√ p∑
i=1
ani = max{a1, . . . , ap}.
10. Dado a > 0, considere os seguintes limites: lim n
√
a = 1, lim n
√
n = 1, lim an/n! = 0.
Prove que:
(a) se a ≤ xn ≤ n para todo n, então lim n
√
xn = 1;
(b) para todo p ∈ N, tem-se lim n+p
√
n = 1.
(c) lim n
√
n! = +∞.
11. Prove que n
√
n
√
n→ 1.
12. Considere um polinômio p(n) = aknk + ak−1nk−1 + . . .+ a1n+ a0.
(a) Mostre que p(n)→ +∞ se ak > 0 ou p(n)→ −∞ se ak < 0.
(b) Mostre que lim n
√
p(n) = 1 se ak > 0.
13. (a) Seja x1 =
√
2 e xn+1 =
√
2xn para n ≥ 1.
(i) Usando indução, prove que xn ≤ 2.
(ii) Verifique que xn ≤ xn+1.
(iii) Prove que (xn) é convergente e calcule o seu limite.
(b) Considere a sequência assim definida: x1 =
√
2 e xn =
√
2 + xn−1 para n > 1.
Escreva explicitamente os primeiros quatro ou cinco termos dessa sequência.
Prove que ela é uma sequência convergente e calcule seu limite.
3.6 Exercícios Propostos 49
(c) Generalize o item (b) considerando a sequência assim definida: x1 =
√
a,
xn =
√
a+ xn−1, onde a > 0.
14. Prove que uma sequência (xn) que não é limitada possui uma subsequência (xnj)
tal que 1/xnj → 0.
15. Dê exemplo de uma sequência não limitada que tenha subsequências convergentes;
e de sequência não limitada que não tenha uma única subsequência convergente.
16. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma
justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo).
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente.
(b) ( ) Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente.
(c) ( ) Toda sequência de Cauchy é limitada.
(d) ( ) Toda sequência de Cauchy é convergente.
(e) ( ) Toda sequência de Cauchy possui uma subsequência limitada.
(f) ( ) Toda sequência de Cauchy possui uma subsequência convergente.
(g) ( ) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(h) ( ) Toda sequência convergente é limitada.
(i) ( ) Toda sequência decrescente e limitada inferiormente é convergente.
(j) ( ) A sequência xn = (−1)n + 3 cosn tem uma subsequência convergente.
(k) ( ) Se limn→∞
xn
n
= 0, então xn é limitada.
(a′) ( ) A sequência xn = n é uma sequência de Cauchy.
(b′) ( ) Seja (xn) uma sequência tal que xn → a > 0, então xn > 0 para n grande.
Capítulo
4
Séries de Números Reais
4.1 Exercícios Resolvidos
Seção 1: Séries convergentes
1. Dadas as séries
∑
an e
∑
bn, com an =
√
n+ 1−
√
n e bn = ln(1 + 1n), mostre que
lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas sn e tn destas
séries e mostre que lim sn = lim tn = +∞, logo as séries dadas são divergentes.
2. Use o critério de comparação para provar que
∑
1/n2 é convergente, a partir da
convergência de
∑
2/n(n+ 1).
3. Seja sn a n-ésima reduzida da série harmônica. Prove que para n = 2m tem-se
sn > 1 +
m
2
e conclua daí que a série harmônica é divergente.
4. Mostre que a série
∑∞
n=2
1
n lnn
diverge.
5. Mostre que se r > 1, a série
∑∞
n=2
1
n(lnn)r
converge.
6. Prove que a série
∑∞
n=2
lnn
n2
converge.
7. Prove: se a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · e
∑
an converge, então limn→∞ nan = 0
Seção 2: Séries absolutamente convergentes
1. Se
∑
an é convergente e an ≥ 0 para todo n ∈ N, então a série
∑
anx
n é
absolutamente convergente para todo x ∈ [−1, 1] e∑
an sin(nx),
∑
an cos(nx)
4.1 Exercícios Resolvidos 51
são absolutamente convergentes para todo x ∈ R.
2. A série
1− 1
2
+
2
3
− 1
3
+
2
4
− 1
4
+
2
5
− 1
5
+
2
6
− 1
6
+ · · ·
tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero.
Entretanto é divergente. Por que isto não contradiz o Teorema de Leibniz?
3. Dê exemplo de uma série convergente
∑
an e de uma sequência limitada (xn) tais que
a série
∑
anx
n seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes
for verificada: (a) (xn) é convergente; (b)
∑
an é absolutamente convergente.
4. Prove que é convergente a série obtida alterando-se os sinais dos termos da série
harmônica, de modo que fiquem p termos positivos (p ∈ N fixado) seguidos de p
termos negativos, alternadamente.
5. Se
∑∞
n=0 an é absolutamente convergente e lim bn = 0, ponha cn = a0bn + a1bn−1 +
· · ·+ anb0 e prove que lim cn = 0.
6. Se
∑
an é absolutamente convergente, prove que
∑
a2n converge.
7. Se
∑
a2n e
∑
b2n convergem, prove que
∑
anbn converge absolutamente.
8. Prove: uma série
∑
an é absolutamente convergente se, e somente se, é limitado o
conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos an.
Seção 3: Testes de convergência
1. Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que n
√
|an| ≥ 1 então a série∑
an diverge. Se an 6= 0 para todo n e |an+1/an| ≥ 1 para todo n > n0, então
∑
an
diverge. Por outro lado, a série 1/2 + 1/2 + 1/22 + 1/22 + 1/23 + 1/23 + · · · converge
mas se tem an+1/an = 1 para todo n ímpar.
2. Se 0 < a < b < 1, a série a+ b+ a2 + b2 + a3 + b3 + · · · é convergente. Mostre que o
teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de d’Alembert é inconclusivo.
3. Determine se a série
∑
(lnn/n)n é convergente usando ambos os testes, de
d’Alembert e Cauchy.
4. Dada uma sequência de números positivos xn, com limxn = a, prove que
limn→∞ n
√
x1x2 . . . xn = a.
4.2 Exercícios Propostos 52
5. Determine para quais valores de x cada uma das séries abaixo é convergente:∑
nkxn,
∑
nnxn,
∑
xn/nn,
∑
n!xn,
∑
xn/n2.
Seção 4: Comutatividade
1. Se uma série é condicionalmente convergente, prove que existem alterações da ordem
dos seus termos de modo a tomar sua soma igual a +∞ e a −∞.
2. Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1− 1/2 + 1/3− 1/4 +
1/5− · · · de modo que sua soma se torne igual a zero.
3. Diz-se que a sequência (an) é somável, com soma s, quando, para todo � > 0 dado,
existe um subconjunto finito J0 ⊂ N tal que, para todo J finito com J0 ⊂ J ⊂ N,
tem-se |s−
∑
n∈J an| < �. Prove:
(a) Se a sequência (an) é somável então, para toda bijeção ϕ : N→ N, a sequência
(bn), definida por bn = aϕ(n), é somável, com a mesma soma.
(b) Se a sequência (an) é somável, com soma s, então a série
∑
an = s é
absolutamente convergente.
(c) Reciprocamente, se
∑
an é uma série absolutamente convergente, então a
sequência (an) é somável.
4.2 Exercícios Propostos
1. Sejam
∑
an e
∑
bn séries de termos positivos. Se
∑
bn = +∞ e existe n0 ∈ N tal
que an+1/an ≥ bn+1/bn para todo n > n0 então
∑
an = +∞.
2. Sejam
∑
an e
∑
bn séries de termos positivos. Se lim an/bn = 0 e
∑
bn converge,
então
∑
an converge. Se lim an/bn = c 6= 0 então
∑
an converge se, e somente se,∑
bn converge.
3. Para todo polinômio p(x) de grau superior a 1, a série
∑
1/p(n) converge.
4. Se −1 < x < 1 e
(
m
n
)
=
m(m− 1) · . . . · (m− n+ 1)
n!
, então
limn→∞
(
m
n
)
xn = 0 para quaiquer m ∈ R e n ∈ N.
4.2 Exercícios Propostos 53
5. Se a sequência (an) é não-crescente e lim an = 0, o mesmo ocorre com bn =
(a1 + . . .+ an)/n. Conclua que, neste caso, a série
a1 −
1
2
(a1 + a2) +
1
3
(a1 + a2 + a3)− . . .
é convergente.
6. Prove que, para todo a ∈ R, a série
a2 +
a2
1 + a2
+
a2
(1 + a2)2
+ · · ·
é convergente e calcule sua soma.
7. Para todo p ∈ N fixado, a série
∑
n
1
n(n+1)·...·(n+p) converge.
8. Se
∑
an converge e an > 0, então
∑
an
1+an
convergem.
9. Se
∑
a2n converge, então
∑
an/n converge.
10. Se (an) é decrescente e
∑
an = +∞, então,
lim
n→∞
a1 + a3 + . . .+ a2n−1
a2 + a4 + . . .+ a2n
= 1.
11. Seja (an) uma sequência não-crescente, com lim an = 0. A série
∑
an converge se,
e somente se,
∑
2n · a2n converge.
12. Sejam a1 ≥ a2 ≥ . . . e sn = a1− a2 + . . .+ (−1)n−1an. Prove que a sequência (sn) é
limitada e que lim sup sn − lim inf sn = lim an.
Capítulo
5
Noções de Topologia
A Topologia éum ramo da Matemática no qual são estudadas, com grande
generalidade, as noções de limite, de continuidade e as ideias com elas relacionadas. Neste
capítulo, abordaremos alguns conceitos topológicos elementares referentes a subconjuntos
de R, visando estabelecer a base adequada para desenvolver os capítulos seguintes.
Adotaremos uma linguagem geométrica, dizendo “ponto” em vez de “número real”, a “reta”
em vez de “o conjunto R”.
5.1 Conjuntos abertos
Definição 5.1. (i) Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X ⊂ R quando existe
um número ε > 0 tal que o intervalo aberto (a− ε, a+ ε) está contido em X.
(ii) O conjunto dos pontos interiores a X chama-se o interior do conjunto X e
representa-se pela notação intX.
(iii) Quando a ∈ intX diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a.
(iv) Um conjunto A ⊂ R chama-se aberto quando A = intA, isto é, todos os pontos de
A são interiores a A.
Exemplo 5.2. Todo ponto c do intervalo aberto (a, b) é um ponto interior a (a, b). Os
pontos a e b, extremos do intervalo fechado [a, b] não são interiores a [a, b]. O interior do
conjunto Q dos números racionais é vazio. Por outro lado, int [a, b] = (a, b). O intervalo
fechado [a, b] não é uma vizinhança de a nem de b. Um intervalo aberto é um conjunto
aberto. O conjunto vazio é aberto. Todo intervalo aberto (limitado ou não) é um conjunto
aberto.
5.2 Conjuntos fechados 55
Observação 5.3. O limite de uma sequência pode ser reformulado em termos de
conjuntos abertos: tem-se a = limxn se, e somente se, para todo conjunto aberto A
contendo a, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A.
Teorema 5.4. (a) Se A1 e A2 são conjuntos abertos, então a interseção A1 ∩A2 é um
conjunto aberto.
(b) Se (Aλ)λ∈L é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A =
⋃
λ∈LAλ é
um conjunto aberto.
Demonstração.
(a) Se x ∈ A1 ∩ A2, então x ∈ A1 e x ∈ A2. Como A1 e A2 são abertos, existem ε1 > 0
e ε2 > 0 tais que (x− ε1, x+ ε1) ⊂ A1 e (x− ε2, x+ ε2) ⊂ A2. Seja ε = min{ε1, ε2}.
Então (x− ε, x+ ε) ⊂ A1 e (x− ε, x+ ε) ⊂ A2, logo (x− ε, x+ ε) ⊂ A1∩A2. Assim,
todo ponto x ∈ A1 ∩ A2 é um ponto interior, ou seja, o conjunto A1 ∩ A2 é aberto.
(b) Se x ∈ A então existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ. Como Aλ é aberto, existe ε > 0 tal
que (x− ε, x+ ε) ⊂ Aλ ⊂ A. Logo, todo ponto x ∈ A é interior, isto é, A é aberto.
�
Observação 5.5. Resulta imediatamente de (a) no Teorema 5.4 que a interseção
A1∩· · ·∩Ande um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mas, embora
por (b) a reunião de uma infinidade de conjuntos abertos seja ainda aberta, a interseção
de um número infinito de abertos pode não ser aberta. Por exemplo, se A1 = (−1, 1),
A2 = (−1/2, 1/2), . . . , An = (−1/n, 1/n), . . ., então a interseção A1∩A2∩· · ·∩An = {0}.
Com efeito, se x 6= 0, então existe n ∈ N tal que |x| > 1/n, logo x 6∈ An, donde x 6∈ A.
5.2 Conjuntos fechados
Definição 5.6. (i) Diz-se que o ponto a é aderente ao conjunto X ⊂ R quando a é limite
de alguma sequência de pontos xn ∈ X. Evidentemente, todo ponto a ∈ X é aderente a
X: basta tomar todos os xn = a.
(ii) Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X formado por todos os pontos
aderente a X.
(iii) Claramente tem-se X ⊂ X. Um conjunto X diz-se fechado quando X = X; em
particular, quando todo ponto aderente a X pertence a X.
(iv) Seja X ⊂ Y (então X ⊂ Y ). Diz-se que X é denso em Y quando Y ⊂ X, isto é,
quando todo b ∈ Y é aderente a X.
5.2 Conjuntos fechados 56
Teorema 5.7. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança
de a contém algum ponto de X.
Demonstração. Seja a aderente a X. Então a = limxn, onde xn ∈ X para todo n ∈ N.
Dada uma vizinhança qualquer V 3 a temos xn ∈ V para todo n suficientemente grande
(pela definição de limite), logo V ∩ X 6= ∅. Reciprocamente, se toda vizinhança de a
contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo (a− 1/n, a+ 1/n), n ∈ N, um
ponto xn ∈ X. Então |xn − a| < 1/n, logo limxn = a e a é aderente a X. �
Observação 5.8. Pelo teorema acima, a fim de que um ponto a 6∈ X é necessário e
suficiente que exista uma vizinhança V 3 a tal que V ∩X = ∅.
Exemplo 5.9. Q é denso em R. Isto segue dos Teoremas 5.7 e 2.23.
Corolário 5.10. O fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado. (Ou seja, X = X
para todo X ⊂ R.)
Demonstração. Com efeito, se a é aderente a X então todo conjunto aberto A contendo
a contém algum ponto b ∈ X. A é uma vizinhança de b. Como b é aderente a X, segue-
se que A contém algum ponto de X. Logo qualquer ponto a, aderente a X, é também
aderente a X, isto é, a ∈ X. �
Teorema 5.11. Um conjunto F ⊂ R é fechado se, e somente se, seu complementar
A = R− F é aberto.
Demonstração. Sejam F fechado e a ∈ A, isto é, a 6∈ F = F . Pelo Teorema 5.7, existe
alguma vizinhança V 3 a que não contém pontos de F , isto é, V ⊂ A. Assim, todo ponto
a ∈ A é interior a A, ou seja, A é aberto. Reciprocamente, se o conjunto A é aberto e
a ∈ F então toda vizinhança de a contém pontos de F = R − A, logo a não é interior
a A. Sendo A aberto, temos a 6∈ A, ou seja, a ∈ F . Assim, todo ponto a aderente a F
pertence a F , logo F é fechado. �
Teorema 5.12. (a) Se F1 e F2 são fechados, então F1 ∪ F2 é fechado.
(b) Se (Fλ)λ∈L é uma família qualquer de conjuntos fechados, então a interseção
F =
⋂
λ∈L Fλ é um conjunto fechado.
Demonstração.
(a) Os conjuntos A1 = R − F1 e A2 = R − F2 são abertos, pelo Teorema 5.11. Logo,
pelo Teorema 5.4, A1∩A2 = R− (F1∪F2) é aberto. Novamente pelo Teorema 5.11,
F1 ∪ F2 é fechado.
5.2 Conjuntos fechados 57
(b) Para cada λ, Aλ = R − Fλ é aberto. Segue-se que A =
⋃
λ∈LAλ é aberto. Mas
A = R− F ; logo F é fechado.
�
Exemplo 5.13. Seja X ⊂ R limitado, não-vazio. Então a = inf X e b = supX são
aderentes a X. Consequentemente, como a ≤ limxn ≤ b, com xn ∈ X, tem-se X ⊂ [a, b].
Com efeito, para todo n ∈ N, podemos escolher xn ∈ X com a ≤ xn < a + 1/n, logo
a = limxn, ou seja, a ∈ X. Analogamente, vê-se que b = lim yn, com yn ∈ X. Em
particular, a e b são aderentes a (a, b). Consequentemente, se X = (a, b), [a, b), (a, b] ou
[a, b], então X = [a, b] (e [a, b] é um conjunto fechado), pois [a, b] = X ∪ {a, b} ⊂ X.
Observação 5.14. Uma reunião infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto
fechado. Com efeilo, todo conjunto (fechado ou não) é reunião dos seus pontos, que são
conjuntos fechados.
Definição 5.15. Uma cisão de um conjunto X ⊂ R é uma decomposição X = A∪B tal
que A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅, isto é, nenhum ponto de A é aderente a B e nenhum ponto
de B é aderente a A. (Em particular, A e B são disjuntos.) A decomposição X = X ∪ ∅
chama-se a cisão trivial.
Exemplo 5.16. Se X = R − {0}, então X = R+ ∪ R− é uma cisão. Dado um número
irracional α, sejam A = {x ∈ Q : x < α} e B = {x ∈ Q : x > α}. A decomposição
Q = A∪B é uma cisão do conjunto Q dos racionais, pois A = (−∞, α] e B = [α,+∞) e,
claramente, A∩B = ∅ e A∩B = ∅. Por outro lado, se a < c < b, então [a, b] = [a, c]∪(c, b]
não é uma cisão, pois [a, c] ∩ (c, b] = {c} 6= ∅.
Teorema 5.17. Um intervalo da reta só admite a cisão trivial.
Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que o intervalo I admita a cisão não trivial
I = A ∪ B. Tomemos a ∈ A, b ∈ B, digamos com a < b, logo [a, b] ⊂ I. Seja c o
ponto médio do intervalo [a, b]. Então c ∈ A ou c ∈ B. Se c ∈ A, poremos a1 = c,
b1 = b. Se c ∈ B, escreveremos a1 = a, b1 = c. Em qualquer caso, obteremos
um intervalo [a1, b1] ⊂ [a, b], com b1 − a1 = (b − a)/2 e a1 ∈ A, b1 ∈ B. Por sua
vez, o ponto médio de [a1, b1] o decompõe em dois intervalos fechados justapostos de
comprimento (b − a)/4. Um desses intervalos, que chamaremos [a2, b2], tem a2 ∈ A e
b2 ∈ B. Prosseguindo analogamente, obteremos uma seqüência de intervalos encaixados
[a, b] ⊃ [a1, b1] . . . ⊃ [an, bn] ⊃ . . . com bn − an = (b − a)/2n, an ∈ A e bn ∈ B para todo
n ∈ N. Pelo Teorema 2.18, existe d ∈ R tal que an ≤ d ≤ bn para todo n ∈ N. Este d é
único, pois as sequências (an) e (bn) são monótonas, limitadas e, portanto, convergentes,
5.3 Pontos de acumulação 58
e, pelo Teorema 3.27, lim an − lim bn = lim(an − bn) = lim(b− a)/2n = 0, ou seja,
lim an = lim bn. Por outro lado, do Corolário 3.21 segue que lim an ≤ d e lim bn ≥ d.
Então, concluímos que lim an = lim bn = d. Assim, o ponto d ∈ I = A∪B não pode estar
em A, pois d = lim bn ∈ B, nem em B, pois d = lim an ∈ A. Contradição. �
Corolário 5.18. Os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados
são ∅ e R.
Demonstração. Com efeito, se A ⊂ R é aberto e fechado, então R = A ∪ (R − A) é
uma cisão. De fato, de A ser aberto segue que R−A é fechado, ou seja, R−A = R− A;
então, A ∩ R− A = ∅. E, se A é fechado, então A = A e, daí, A ∩ (R − A) = ∅. Como
R = (−∞,+∞) é um intervalo, segue do teorema acima que A = ∅ e R−A = R ou então
A = R e R− A = ∅. �
5.3 Pontos de acumulação
Definição 5.19. (i) Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R
quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio
a. (Isto é, V ∩ (X − {a}) 6= ∅.) Equivalentemente: para todo � > 0 tem-se
(a− �, a+ �) ∩ (X − {a}) 6= ∅.
Indica-se com X ′ o conjunto dos pontos de acumulação de X. Portanto, a ∈ X ′ ⇔
a ∈ X − {a}.
(ii) Se a ∈ X não é ponto de acumulação de X, diz-se que a é um ponto isolado
de X. Isto significa que existe � > 0 tal que a é o único ponto de X no intervalo
(a− �, a+ �).
(iii) Quando todos os pontos do conjunto X são isolados, X chama-se um conjunto
discreto.
Teorema 5.20. Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) a é um ponto de acumulação de X;
(2) a é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X − {a};
(3) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X.
Demonstração. Supondo (1), para todo n ∈ N podemos achar um ponto xn ∈ X,
xn 6= a, na vizinhança (a − 1/n, a + 1/n). Logo limxn = a, o que prova (2). Por outro
5.4 Conjuntos compactos 59
lado, supondo (2), então, para qualquer n0 ∈ N, o conjunto {xn : n > n0} é infinito porque,
do contrário, existiria um termo xn1 que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma
sequência constante com limite xn1 6= a. Pela definição de limite, vê-se portanto que
(2)⇒ (3). Finalmente, a implicação (3)⇒ (1) é óbvia. �
Exemplo 5.21. Se X é finito então X ′ = ∅ (conjunto finito não tem ponto de
acumulação). Z é infinito, mas todos os pontos de Z são isolados. Q′ = R. Se X = (a, b)
então X ′ = [a, b]. Se X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} então X ′ = {0}, isto é, 0 é o único
ponto de acumulação de X. Note que todos os pontos deste conjunto X são isolados (X é
discreto).
Segue-se uma versão do Teorema de Bolzano-Weierstrass em termos de ponto de
acumulação.
Teorema 5.22. Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos um
ponto de acumulação.
Demonstração. Seja X ⊂ R infinito limitado. X possui um subconjunto enumerável
{x1, x2, . . . , xn, . . .} [Por quê?]. Fixando esta enumeração, temos uma sequência (xn)
de termos dois a dois distintos, pertencentes a X, portanto uma sequência limitada,
a qual, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, possui uma subsequência convergente.
Desprezando os termos que estão fora dessa subsequência e mudando a notação, podemos
admitir que (xn) converge. Seja a = limxn. Como os termos xn são todos distintos, no
máximo um deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite
de uma seqüência de pontos xn ∈ X − {a}, logo a ∈ X ′. �
5.4 Conjuntos compactos
Definição 5.23. Um conjunto X ⊂ R chama-se compacto quando é limitado e fechado.
Todo conjunto finito é compacto. Um intervalo do tipo [a, b] é um conjunto compacto.
Por outro lado, (a, b) é limitado mas não é fechado, logo não é compacto. Também Z não
é compacto pois é ilimitado, embora seja fechado (seu complementar R − Z é a reunião
dos intervalos abertos (n, n+ 1), n ∈ Z, logo é um conjunto aberto).
Teorema 5.24. Um conjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, toda sequência de
pontos em X possui uma subsequência que converge para um ponto de X.
Demonstração. Se X ⊂ R é compacto, toda sequência de pontos de X é limitada, logo
(por Bolzano-Weierstrass) possui uma subsequência convergente, cujo limite é um ponto
5.4 Conjuntos compactos 60
deX (poisX é fechado). Reciprocamente, sejaX ⊂ R um conjunto tal que toda sequência
de pontos xn ∈ X possui uma subsequência que converge para um ponto de X. Então
X é limitado porque, do contrário, para cada n ∈ N poderíamos encontrar xn ∈ X com
|xn| > n. A sequência (xn), assim obtida, não possuiria subsequência limitada, logo não
teria subsequência convergente. Além disso, X é fechado pois, do contrário, existiria um
ponto a 6∈ X com a = limxn, onde cada xn ∈ X. A sequência (xn) não possuiria, então,
subsequência alguma convergindo para um ponto de X, pois todas suas subsequências
teriam limite a. Logo X é compacto. �
Observação 5.25. Se X ⊂ R é compacto então, pelo Exemplo 5.13, a = inf X e
b = supX pertencem a X. Assim, todo conjunto compacto contém um elemento mínimo
e um elemento máximo. Ou seja, X implica que ∃x0, x1 ∈ X tais que x0 ≤ x ≤ x1 para
todo x ∈ X.
O teorema a seguir generaliza o princípio dos intervalos encaixados.
Teorema 5.26. Dada uma sequência decrescente X1 ⊇ X2 ⊇ · · · ⊇ Xn ⊇ · · · de
conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um número real que pertence a todos
os Xn.
Demonstração. Definamos uma sequência (xn) escolhendo, para cada n ∈ N, um ponto
xn ∈ Xn. Esta sequência está no compacto X1, logo possui (pelo Teorema 5.24) uma
subsequência (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .) convergindo para um ponto a ∈ X1. Dado qualquer
n ∈ N, temos xnk ∈ Xn sempre que nk > n. Como Xn é compacto, segue-se que a ∈ Xn.
Isto prova o teorema. �
Encerraremos nosso estudo dos conjuntos compactos da reta com a demonstração do
Teorema de Borel-Lebesgue.
Definição 5.27. Chama-se cobertura de um conjunto X a uma família C de conjuntos
Cλ cuja reunião contém X.
A condição X ⊂
⋃
λ∈LCλ significa que, para cada x ∈ X, deve existir (pelo menos)
um λ ∈ L tal que x ∈ Cλ. Quando todos os conjuntos Cλ são abertos, diz-se que
C é uma cobertura aberta. Quando L = {λ1, . . . , λn} é um conjunto finito, diz-se
que X ⊂ Cλ1 ∪ · · · ∪ Cλn é uma cobertura finita. Se L′ ⊂ L é tal que ainda se tem
X ⊂
⋃
λ′∈L′ Cλ′ , diz-se que C
′ = (Cλ′)λ′∈L′ é uma subcobertura de C.
Teorema 5.28 (Borel-Lebesgue). Toda cobertura aberta de um conjunto compacto possui
uma subcobertura finita.
5.5 Exercícios Resolvidos 61
Demonstração. Tomemos inicialmente uma cobertura aberta [a, b] ⊂
⋃
λ∈LAλ do
intervalo compacto [a, b]. Suponhamos, por absurdo, que C = (Aλ)λ∈L não admita
subcobertura finita. O ponto médio do intervalo [a, b] o decompõe em dois intervalos
de comprimento (b− a)/2. Pelo menos um destes intervalos, o qual chamaremos [a1, b1],
não pode ser coberto por um número finito de conjuntos Aλ. Por bisseções sucessivas
obteremos uma sequência decrescente [a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · de
intervalos tais que bn−an = (b−a)/2n e nenhum [an, bn] pode estar contido numa reunião
finita dos abertos Aλ. Pelo Teorema 2.18, existe um número real c que pertence a todos os
intervalos [an, bn]. Em particular, c ∈ [a, b]. Pela definição de cobertura, existe λ ∈ L tal
que c ∈ Aλ. Como Aλ é aberto, temos [c− �, c+ �] ⊂ Aλ para um certo � > 0. Tomando
n ∈ N tal que (b− a)/2n < � temos então c ∈ [an, bn] ⊂ [c− �, c+ �], donde [an, bn] ⊂ Aλ,
logo [an, bn] pode ser coberto por apenas um dos conjuntos Aλ. Contradição.
No caso geral, temos uma cobertura aberta X ⊂
⋃
λ∈LAλ do compacto X. Tomamos
um intervalo compacto [a, b] que contenha X e, acrescentando aos Aλ, o novo aberto
Aλ0 = R−X , obtemos uma cobertura aberta de [a, b], da qual extraímos, pela parte já
provada, uma subcobertura finita [a, b] ⊂ Aλ0 ∪Aλ1 ∪ · · · ∪Aλn . Como nenhum ponto de
X pode pertencer a Aλ0 , temos X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn e isto completa a demonstração. �
Observação 5.29. Os intervalos An = (l/n, 2), n ∈ N, constituem uma cobertura aberta
do conjunto X = (0, 1] pois (0, 1] ⊂
⋃
n∈NAn. Entretanto, esta cobertura não possui
subcobertura finita pois, como A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · , toda reunião finitade conjuntos
An é igual àquele de maior índice; logo não contém (0, 1].
O Teorema de Borel-Lebesgue, cuja importância é inestimável, será utilizado neste
livro uma só vez, no Capítulo 10, seção 4. (V. Teorema 7 daquele capítulo.) Pode-se
provar, reciprocamente, que se toda cobertura aberta de um conjunto X ⊂ R possui uma
subcobertura finita, então X é limitado e fechado. (Cf. “Curso de Análise”, vol.1, pag.
144.)
5.5 Exercícios Resolvidos
Seção 1: Conjuntos abertos
1. Prove que, para todo X ⊂ R tem-se int(intX) = intX e conclua que intX é um
conjunto aberto.
Solução: Para todo a ∈ intX existe, por definição, � > 0 tal que (a − �, a + �) ⊂ X.
A fim de mostrarmos que a ∈ int(intX), basta provarmos (para o mesmo �) que
5.5 Exercícios Resolvidos 62
(a − �, a + �) ⊂ intX. Se y ∈ (a − �, a + �), seja δ = min{y − (a − �), (a + �) − y}.
Então y − δ ≥ y − [y − (a − �)] = a − � e y + δ ≤ y + (a + �) − y = a + �, isto é,
(y − δ, y + δ) ⊂ (a− �, a+ �) ⊂ X, logo y ∈ intX. Isso conclui o exercício. �
2. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: “toda sequência (xn) que
converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n
suficientemente grande”. Prove que A é aberto.
Solução: Se A não fosse aberto, existiria um ponto a ∈ A que não seria ponto interior.
Então, para cada n ∈ N, poder-se-ia encontrar xn ∈ (a−1/n, a+ 1/n), com xn 6∈ A;
daí, como limxn = a temos uma contradição com a propriedade do conjunto A.
Portanto, A é aberto. �
3. Prove que int(A∪B) ⊃ intA∪ intB e int(A∩B) = intA∩ intB quaisquer que sejam
A,B ⊂ R. Se A = (0, 1] e B = [1, 2), mostre que int(A ∪B) 6= intA ∪ intB.
�
4. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunião disjunta R = intX ∪ int(R − X) ∪ F ,
onde F é formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhança de x contém pontos
de X e pontos de R − X. O conjunto F = frX chama-se a fronteira de X. Prove
que A ⊂ R é aberto se, e somente se A ∩ frA = ∅.
Solução: Sejam a ∈ R e V 3 a uma vizinhança de a. Há três possibilidades
mutuamente excludentes: ou V ⊂ X; ou V ∩X = ∅; ou V ∩X 6= ∅, com V 6⊂ X.
Estes três casos equivalem, respectivamente a: ou a ∈ intX, ou a ∈ int(R−X) ou
a ∈ F . �
5. Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X = [0, 1],
Y = (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q, W = Z.
�
6. Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · intervalos limitados dois a dois distintos, cuja
interseção I =
⋂∞
n=1 In não é vazia. Prove que I é um intervalo, o qual nunca é
aberto.
�
Seção 2: Conjuntos fechados
1. Sejam I um intervalo não-degenerado e k > 1 um número natural. Prove que o
conjunto dos números racionais m/kn, cujos denominadores são potências de k com
expoente n ∈ N, é denso em I.
5.5 Exercícios Resolvidos 63
�
2. Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ frX. Conclua que X é fechado se, e
somente se, contém todos os seus pontos de fronteira (i.e., X ⊃ frX).
�
3. Para todo X ⊂ R, prove que R− intX = R−X e R−X = int(R−X).
�
4. Se X ⊂ R é aberto (respectivamente, fechado) e X = A∪B é uma cisão, prove que
A e B são abertos (respectivamente, fechados).
�
5. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia, então X = ∅ ou X = R.
�
6. Sejam X, Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Dê exemplo
em que X ∩ Y 6= X ∩ Y .
�
7. Dada uma sequência (xn), prove que o fecho do conjunto X = {xn : n ∈ N} é
X = X ∪ A, onde A é o conjunto dos valores de aderência de (xn).
�
Seção 3: Pontos de acumulação
1. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪X ′. Conclua que X é fechado se, e
somente se, contém todos os seus pontos de acumulação (i.e., X ⊃ X ′).
�
2. Prove que toda coleção de intervalos não degenerados dois a dois disjuntos é
enumerável.
�
3. Prove que se todos os pontos do conjuntoX ⊂ R são isolados, então pode-se escolher,
para cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix, de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.
�
5.5 Exercícios Resolvidos 64
4. Prove que todo conjunto não enumerável X ⊂ R possui algum ponto de acumulação
a ∈ X.
�
5. Prove que, para todo X ∪ R, X ′ é um conjunto fechado.
�
6. Seja a um ponto de acumulação do conjunto X. Prove que existe uma sequência
crescente ou uma sequência decrescente de pontos xn ∈ X com limxn = a.
�
Seção 4: Conjuntos compactos
1. Prove que o conjunto A dos valores de aderência de uma sequência (xn) é fechado.
Se a sequência for limitada, A é compacto, logo existem l e L, respectivamente o
menor e o maior valor de aderência da sequência limitada (xn). Costuma-se escrever
l = lim inf xn e L = lim sup xn.
2. Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é
um conjunto compacto.
3. Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios F1 ⊃
· · · ⊃ Fn ⊃ · · · e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tais que
⋂
Fn = ∅ e
⋂
Ln = ∅.
4. Sejam X, Y conjuntos disjuntos e não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove
que existem x0 ∈ X, y0 ∈ Y tais que |x0 − y0| ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ X,
y ∈ Y .
5. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um
conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não-fechado Y , cujos pontos
são todos isolados.
6. Prove que se X é compacto, então os seguintes conjuntos também são compactos:
(a) S = {x+ y : x, y ∈ X};
(b) D = {x− y : x, y ∈ X};
(c) P = {x · y : x, y ∈ X};
(d) Q = {x/y : x, y ∈ X} se 0 6∈ X.
5.6 Exercícios Propostos 65
5.6 Exercícios Propostos
Conjuntos Abertos
1. Mostre que a fronteira de X ⊂ R tem interior vazio, isto é, int(frX) = ∅.
2. Prove a Observação 5.3, ou seja, tem-se a = limxn se, e somente se, para todo
conjunto aberto A contendo a, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A.
3. Seja A ⊂ R aberto. Então, para todo x ∈ R, o conjunto x+ A = {x+ a : a ∈ A} é
aberto. Analogamente, se x 6= 0, então o conjunto x · A = {x · a : a ∈ A} é aberto.
4. Sejam A,B ⊂ R abertos. Então os conjuntos A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} e
A ·B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B} são abertos.
5. Se A ⊂ R é aberto e a ∈ A então A− {a} é aberto.
6. Considere as funções f, g, h : R → R, dadas por f(x) = ax + b(a 6= 0), g(x) = x2 e
h(x) = x3.
(a) Mostre que, para cada A ⊂ R aberto, tem-se f−1(A), g−1(A) e h−1(A) são
abertos.
(b) Mostre que, para cada A ⊂ R aberto, tem-se f(A) e h−1(A) são abertos. Dê
exemplo de A aberto tal que g(A) não seja aberto.
7. Toda coleção de aberto não vazios, dois a dois disjuntos é enumerável
Conjuntos Fechados
1. Se X ⊂ F e F é fechado, então X ⊂ F .
2. Sejam F e G conjuntos fechados disjuntos tais que F ∪G seja um intervalo fechado
(limitado ou não). Então F = ∅ ou G = ∅.
3. Seja E ⊂ R enumerável. Consiga uma sequência cujo conjunto dos valores de
aderência é E. Use este fato para mostrar que todo conjunto fechado F ⊂ R é
o conjunto dos valores de aderência de alguma sequência. [Sugestão: Escreva N
como reunião enumerável de conjuntos infinitos disjuntos Ni. Para cada n ∈ Ni faça
xn = i-ésimo elemento do conjunto E. Para a segunda parte, use o fato de que todo
conjunto X ⊂ R contém um subconjunto enumerável E, denso em X.]
5.6 Exercícios Propostos 66
4. Sejam F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · não-vazios. Dê exemplos mostrando que
⋂
Fn
pode ser vazio se os Fn são apenas fechados ou apenas limitados.
5. Um conjunto é denso em R se, e somente se, seu complementar tem interior vazio.
6. Se F é fechado e A é aberto, então F − A é fechado.
7. Defina a distância de um ponto a ∈ R a um conjunto não-vazio X ⊂ R como
d(a,X) = inf{|x− a| : x ∈ X}.
Prove:
(a) d(a,X) = 0 ⇔ a ∈ X;
(b) Se F ⊂ R é fechado, então para todo a ∈ R existe b ∈ F tal que d(a, F ) = |b−a|.
8. (Teorema de Baire) Se F1, F2, . . . , Fn, . . . são fechados com interior vazio então
S = F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn ∪ · · · tem interior vazio. (É preciso mostrar que, dado
arbitrariamente um intervalo aberto I existe algum x ∈ I ∩ (R − S). Imite a
demonstração do Teorema 2.19, onde se tem pontos em vez dos fechados Fn)
9. O conjunto R − Q dos números irracionais não pode ser expresso como reunião
enumerável de fechados. Analogamente, Q nãoé interseção de uma família
enumerável de abertos.
10. Dada uma sequência (xn) seja Xn = {xn, xn+1, . . .} para todo n ∈ N. Mostre que⋂∞
n=1Xn é o conjunto dos valores de aderência de (xn).
Pontos de acumulação
1. Um número a é ponto de acumulação de X se, e somente se, é ponto de acumulação
de X.
2. Mostre que (X ∪ Y )′ = X ′ ∪ Y ′.
3. Mostre que se A ⊂ R é aberto, então A ⊂ A′, isto é, todo ponto de um conjunto
aberto A é ponto de acumulação de A.
4. Sejam F fechado e x ∈ F . Então x é um ponto isolado de F se, e somente se,
F − {x} é ainda fechado.
5. Seja F ⊂ R fechado, infinito e enumerável. Mostre que F possui uma infinidade de
pontos isolados.
5.6 Exercícios Propostos 67
6. Mostre que se X ⊂ R não é enumerável, então X ∩X ′ 6= ∅.
7. As seguintes afirmações a respeito de um conjunto X ⊂ R são equivalentes:
(1) X é limitado;
(2) Todo subconjunto infinito de X possui ponto de acumulação (que pode
pertencer ou não a X);
(3) Toda sequência de pontos de X possui uma subsequência convergente.
8. Se X ⊂ R é não-enumerável, então X ′ também o é.
9. Para todo X ⊂ R, tem-se X −X ′ é enumerável.
Conjuntos Compactos
1. Se X ⊂ R é finito, mostre que X é compacto.
2. Toda cobertura de X ⊂ R por meio de abertos possui uma subcobertura enumerável
(Teorema de Lindelöf).
3. Sejam os conjuntos A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B} e A ·B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}.
Prove:
(a) Se A é compacto e B é fechado, então A+B é fechado;
(b) Se A e B são compactos, então A+B e A ·B são compactos;
(b) Se A é fechado e B é compacto, então A ·B pode não ser fechado.
4. Obtenha coberturas abertas de Q e de [0,+∞) que não admitam subcoberturas
finitas.
5. Considere as funções f, g, h : R → R, dadas por f(x) = ax + b(a 6= 0), g(x) = x2
e h(x) = x3. Mostre que para K e L compactos arbitrários, f(K), g(K), h(K),
f−1(L), g−1(L) e h−1(L) são compactos.
6. Seja X ⊂ R. Uma função f : X → R chama-se localmente limitada quando para
cada x ∈ X existe um intervalo aberto Ix, contendo x, tal que f
∣∣
Ix∩X
é limitada.
Mostre que seX é compacto, toda função f : X → R localmente limitada é limitada.
7. Dado X ⊂ R não-compacto, defina uma função f : X → R que seja localmente
limitada mas não seja limitada.
5.6 Exercícios Propostos 68
8. Sejam C compacto, A aberto e C ⊂ A. Mostre que existe � > 0 tal que
x ∈ C, |y − x| < � ⇒ y ∈ A.
9. Uma família de conjuntos (Kλ)λ∈L chama-se uma cadeia quando, para quaiquer
λ, µ ∈ L tem-se Kλ ⊂ Kµ ou Kµ ⊂ Kλ. Prove que se (Kλ)λ∈L é uma cadeia de
compactos não-vazios, então a interseção K =
⋂
λ∈LKλ é não-vazia (e compacta).
Capítulo
6
Trabalho
1. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindo-
se, naturalmente, os demais axiomas).
2. Prove o princípio de indução como uma consequência do Princípio da Boa
Ordenação.
3. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um
elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0, ∀x ∈ X).
4. Prove o Princípio das Casas de Pombo: se m > n não existe função injetiva
f : Im → In. (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que
pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).
5. Dada f : X → Y , prove:
(a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito.
(a) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
6. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função
injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.
7. Exprima N = N1 ∪N2 ∪ . . .∪Nn ∪ . . . como união infinita de subconjuntos infinitos,
dois a dois disjuntos.
8. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) é enumerável.
Prove que X é enumerável.
9. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
70
10. Use o fato de que o trinômio do segundo grau f(λ) =
∑n
i=1(xi − λyi)2 é ≥ 0 para
todo λ ∈ R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤
n∑
i=1
x2i ·
n∑
i=1
y2i .
Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ ∈ R tal que xi = λyi
para todo i = 1, . . . , n ou y1 = y2 = . . . = yn = 0.
11. Se a1/b1, . . . , an/bn pertencem ao intervalo (α, β) e b1, . . . , bn são positivos, prove
que (a1 + · · · + an)/(b1 + · · · + bn) pertencem a (α, β). Nas mesmas condições, se
t1, . . . , tn ∈ R+, prove que (t1a1 + · · · + tnan)/(t1b1 + · · · + tnbn) também pertence
ao intervalo (α, β).
12. Dadas as funções f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto
f · g : X → R+ é uma função limitada (superior e inferiormente) com sup(f · g) ≤
sup f · sup g e inf(f · g) ≥ inf f · inf g. Dê exemplos onde se tenha < e não =
13. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostre que sup(f 2) = (sup f)2 e
inf(f 2) = (inf f)2.
14. Dados a, b ∈ R+ com a2 < 2 < b2, tome x, y ∈ R+ tais que x < 1, x <
(2− a2)/(2a+ 1) e y < (b2 − 2)/2b. Prove que (a+ x)2 < 2 < (b− y)2 e b− y > 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a ∈ R+ : a2 < 2} e conclua que o
número real c = supX cumpre c2 = 2.
15. Prove que um conjunto I ⊂ R é um intervalo se, e somente se, a < x < b,
a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.
16. (a) Prove que, se p e q forem números primos distintos, então √pq é irracional.
(b) Prove que, se p1, . . . , pr forem números primos distintos, então
√
p1 · · · pr é
irracional.
17. (a) Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b)/2 é irracional? Prove
a veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que ela é
falsa.
(b) Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número
irracional é um número irracional. Mostre, com um contra-exemplo, que o
produto de dois números irracionais pode ser racional.
71
(c) Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente
de zero é um número irracional.
(d) Prove que se r for um número irracional então 1/r também o será.
(e) Sejam a, b, c, d números racionais. Prove que
a+ b
√
2 = c+ d
√
2 ⇐⇒ a = c e b = d.
(f) Sejam a, b números racionais positivos. Prove que
√
a +
√
b é racional se,
e somente se,
√
a e
√
b forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por
√
a−
√
b)
(g) Prove que se x e y forem números irracionais tais que x2− y2 ∈ Q−{0}, então
x+ y e x− y são ambos irracionais. Exemplo:
√
3 +
√
2 e
√
3−
√
2.
(Sugestão: Em algum momento, use x = (x+y)+(x−y)
2
e y = (x+y)−(x−y)
2
.)
18. Prove que, se p1, . . . , pr forem números primos distintos, então
√
ps11 · · · psrr é
irracional se algum dos expoentes s1, . . . , sr for ímpar.
19. (a) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números
racionais.
(b) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números
irracionais.
(c) Sabendo que o conjunto R dos números reais não é enumerável, prove que o
conjunto dos números irracionais não é enumerável.
20. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que(
1− 1
n2
)n
> 1− 1
n
e deduzir que (
1 +
1
n− 1
)n−1
<
(
1 +
1
n
)n
.
21. Considere o conjunto C = {1/m − 1/n : n,m ∈ N}. Prove que −1 = inf C e
1 = supC, e que {−1, 1} 6⊂ C.
22. (a) Prove que todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente,
tem ínfimo. Em outras palavras, dado A ⊂ R não-vazio, limitado inferiormente,
seja −A = {−x : x ∈ A}. Prove que −A é limitado superiormente e que
sup(−A) = − inf A.
72
(b) Dados A ⊂ R não-vazio, limitado, e c ∈ R, definimos o conjunto cA = {ca :
a ∈ A}. Mostre, então, que
c ≥ 0⇒
{
sup cA = c supA
inf cA = c inf A.
e c < 0⇒
{
sup cA = c inf A
inf cA = c supA.
Em particular, sup(−A) = − inf A, ou ainda, supA = − inf(−A).
23. Sejam A,B ⊂ R não-vazios tais que a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤ b.
(a) Prove que supA ≤ inf B.
(b) Prove que supA = inf B ⇔ ∀ � > 0, ∃ a ∈ A, b ∈ B tais que b− a < �.
24. Dados A,B ⊂ R não-vazios e limitados, seja A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}. Prove
que
(a) A+B é limitado.
(b) sup(A+B) = supA+ supB.
(c) inf(A+B) = inf A+ inf B.
25. Prove que r = sup{x ∈ R : x < r} = inf{x ∈ R : x > r}.
26. Sejam x, y ∈ R e n ∈ N.
(a) Prove por indução que (1− yn) = (1− y)(1 + y + y2 + . . .+ yn−1).
(b) Conclua que (xn − yn) = (x− y)(xn−1+ xn−2y + xn−3y2 + . . .+ xyn−2 + yn−1).
27. Dadas as sequências (xn) e (yn), defina (zn) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn. Se
limxn = lim yn = a, prove que lim zn = a.
28. Um número a chama-se valor de aderência da sequência (xn) quando é limite de
uma subsequência de (xn).
(a) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e
suficiente que, para todo � > 0 e todo k ∈ N dados, exista n > k tal que
|xn − a| < �.
(b) A fim de que o número real b não seja valor de aderência de (xn) é necessário
e suficiente que existam n0 ∈ N e � > 0 tais que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ �.
29. Se limxn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ � para todo n ∈ N, prove que |a− b| ≥ �.
73
30. Se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn), prove que alguma
subsequência de (xn) converge para um limite b 6= a.
31. Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor
de aderência.
32. Dados a, b ∈ R+, defina indutivamente as sequências (xn) e (yn) pondo x1 =
√
ab,
y1 = (a+b)/2 e xn+1 =
√
xnyn, yn+1 = (xn+yn)/2. Prove que (xn) e (yn) convergem
para o mesmo limite.
33. Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauchy quando, para todo � > 0 dado, existe
n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < �.
(a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
(b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência
distintos.
(c) Prove que uma sequência (xn) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
34. Se existem � > 0 e k ∈ N tais que � ≤ xn ≤ nk para todo n suficientemente grande,
prove que lim n
√
xn = 1. Use este fato para calcular lim n
√
n+ k, lim n
√
n+
√
n,
lim n
√
lnn e lim n
√
n lnn.
35. Defina a sequência (an) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 e an+2 = an+1 + an para
todo n ∈ N. Escreva xn = an/an+1 e prove que limxn = c, onde c é único número
positivo tal que 1/(c+ 1) = c. O termo an chama-se o n-ésimo número de Fibonacci
e c = (−1 +
√
5)/2 é o número de ouro da Geometria Clássica.
36. Dados k ∈ N e a > 0, determine o limite
lim
n!
nk · an
.
Supondo também a 6= e, calcule
lim
an · n!
nn
e lim
nk · an · n!
nn
.
(Para o caso a = e, ver Exercício 9, Seção 1, Capítulo 11.)
37. Sejam (xn) uma sequência arbitrária e (yn) uma sequência crescente, com lim yn =
+∞. Supondo que lim(xn+1−xn)/(yn+1−yn) = a, prove que limxn/yn = a. Conclua
que se lim(xn+1−xn) = a então limxn/n = a. Em particular, de lim ln(1+1/n) = 0,
conclua que lim(lnn)/n = 0.
74
38. Se limxn = a e (tn) é uma sequência de números positivos com
lim(t1 + · · ·+ tn) = +∞,
prove que
lim
t1x1 + · · ·+ tnxn
t1 + · · ·+ tn
= a.
Em particular, se yn =
x1 + · · ·+ xn
n
tem-se ainda lim yn = a.
39. Use a definição de limite de sequência para provar que
(i) lim
n
n2 + 1
= 0; (ii) lim
2n2
n2 + 7
= 2; lim(
√
n+ h−
√
n) = 0.
40. Sejam (xn) e (yn) duas sequências tais que |xn − a| < C|yn|, onde a ∈ R e C > 0.
Usando a definição de limite, mostre que se yn → 0 então xn → a.
41. O Teorema dos Intervalos Encaixados diz que dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . de intervalos limitados e fechados In = [an, bn]. Existe, pelo
menos, um número real c tal que c ∈ In, ∀n ∈ N, isto é, c ∈
⋂
n∈N In. Prove que se
os comprimentos dos intervalos tendem a zero quando n cresce, então
⋂
n∈N In = {c}.
[Cf. Demonstração do Teorema 5.17.]
42. Seja limxn = 0. Para cada n, ponha yn = min{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}. Prove que
lim yn = 0.
43. (a) Se limxn = a, mostre que lim |xn| = |a|. Dê um contra-exemplo mostrando
que a recíproca é falsa, salvo quando a = 0.
(b) Se limxn = a e lim(xn − yn) = 0, mostre que lim yn = a.
44. Defina sequência de Cauchy. Seja 0 < c < 1 e (xn) uma sequência tal que
|xn+1 − xn| ≤ c|xn−1 − xn−2|. Mostre que (xn) é uma sequência convergente.
45. (a) Sejam a, b ≥ 0. Mostre que
lim
n
√
an + bn = max{a, b}.
(b) Sejam a1, . . . , ap ≥ 0. Mostre que
lim n
√√√√ p∑
i=1
ani = max{a1, . . . , ap}.
75
46. Dado a > 0, considere os seguintes limites: lim n
√
a = 1, lim n
√
n = 1, lim an/n! = 0.
Prove que:
(a) se a ≤ xn ≤ n para todo n, então lim n
√
xn = 1;
(b) para todo p ∈ N, tem-se lim n+p
√
n = 1.
(c) lim n
√
n! = +∞.
47. Prove que n
√
n
√
n→ 1.
48. Considere um polinômio p(n) = aknk + ak−1nk−1 + . . .+ a1n+ a0.
(a) Mostre que p(n)→ +∞ se ak > 0 ou p(n)→ −∞ se ak < 0.
(b) Mostre que lim n
√
p(n) = 1 se ak > 0.
49. (a) Seja x1 =
√
2 e xn+1 =
√
2xn para n ≥ 1.
(i) Usando indução, prove que xn ≤ 2.
(ii) Verifique que xn ≤ xn+1.
(iii) Prove que (xn) é convergente e calcule o seu limite.
(b) Considere a sequência assim definida: x1 =
√
2 e xn =
√
2 + xn−1 para n > 1.
Escreva explicitamente os primeiros quatro ou cinco termos dessa sequência.
Prove que ela é uma sequência convergente e calcule seu limite.
(c) Generalize o item (b) considerando a sequência assim definida: x1 =
√
a,
xn =
√
a+ xn−1, onde a > 0.
50. Dê exemplo de uma sequência não limitada que tenha subsequências convergentes;
e de sequência não limitada que não tenha uma única subsequência convergente.
Capítulo
7
Trabalho
7.1 Séries
1. Sejam
∑
an e
∑
bn séries de termos positivos. Se
∑
bn = +∞ e existe n0 ∈ N tal
que an+1/an ≥ bn+1/bn para todo n > n0 então
∑
an = +∞.
2. Sejam
∑
an e
∑
bn séries de termos positivos. Se lim an/bn = 0 e
∑
bn converge,
então
∑
an converge. Se lim an/bn = c 6= 0 então
∑
an converge se, e somente se,∑
bn converge.
3. Para todo polinômio p(x) de grau superior a 1, a série
∑
1/p(n) converge.
4. Se −1 < x < 1 e
(
m
n
)
=
m(m− 1) · . . . · (m− n+ 1)
n!
, então
limn→∞
(
m
n
)
xn = 0 para quaiquer m ∈ R e n ∈ N.
5. Se a sequência (an) é não-crescente e lim an = 0, o mesmo ocorre com bn =
(a1 + . . .+ an)/n. Conclua que, neste caso, a série
a1 −
1
2
(a1 + a2) +
1
3
(a1 + a2 + a3)− . . .
é convergente.
6. Prove que, para todo a ∈ R, a série
a2 +
a2
1 + a2
+
a2
(1 + a2)2
+ · · ·
7.2 Noções de Topologia 77
é convergente e calcule sua soma.
7. Para todo p ∈ N fixado, a série
∑
n
1
n(n+1)·...·(n+p) converge.
8. Se
∑
an converge e an > 0, então
∑
an
1+an
convergem.
9. Se
∑
a2n converge, então
∑
an/n converge.
10. Se (an) é decrescente e
∑
an = +∞, então,
lim
n→∞
a1 + a3 + . . .+ a2n−1
a2 + a4 + . . .+ a2n
= 1.
11. Seja (an) uma sequência não-crescente, com lim an = 0. A série
∑
an converge se,
e somente se,
∑
2n · a2n converge.
12. Sejam a1 ≥ a2 ≥ . . . e sn = a1− a2 + . . .+ (−1)n−1an. Prove que a sequência (sn) é
limitada e que lim sup sn − lim inf sn = lim an.
7.2 Noções de Topologia
1. Prove que, para todo X ⊂ R tem-se int(intX) = intX e conclua que intX é um
conjunto aberto.
Solução: Para todo a ∈ intX existe, por definição, � > 0 tal que (a − �, a + �) ⊂ X.
A fim de mostrarmos que a ∈ int(intX), basta provarmos (para o mesmo �) que
(a − �, a + �) ⊂ intX. Se y ∈ (a − �, a + �), seja δ = min{y − (a − �), (a + �) − y}.
Então y − δ ≥ y − [y − (a − �)] = a − � e y + δ ≤ y + (a + �) − y = a + �, isto é,
(y − δ, y + δ) ⊂ (a− �, a+ �) ⊂ X, logo y ∈ intX. Isso conclui o exercício. �
2. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: “toda sequência (xn) que
converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n
suficientemente grande”. Prove que A é aberto.
Solução: Se A não fosse aberto, existiria um ponto a ∈ A que não seria ponto interior.
Então, para cada n ∈ N, poder-se-ia encontrar xn ∈ (a−1/n, a+ 1/n), com xn 6∈ A;
daí, como limxn = a temos uma contradição com a propriedade do conjunto A.
Portanto, A é aberto. �
3. Prove que int(A∪B) ⊃ intA∪ intB e int(A∩B) = intA∩ intB quaisquer que sejam
A,B ⊂ R. Se A = (0, 1] e B = [1, 2), mostre que int(A ∪B) 6= intA ∪ intB.
7.2 Noções de Topologia 78
4. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunião disjunta R = intX ∪ int(R − X) ∪ F ,
onde F é formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhança de x contém pontos
de X e pontos de R − X. O conjunto F = frX chama-se a fronteira de X. Prove
que A ⊂ R é aberto se, e somente se A ∩ frA = ∅.
5. Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X = [0, 1],
Y= (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q, W = Z.
6. Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · intervalos limitados dois a dois distintos, cuja
interseção I =
⋂∞
n=1 In não é vazia. Prove que I é um intervalo, o qual nunca é
aberto.
7. Mostre que a fronteira de X ⊂ R tem interior vazio, isto é, int(frX) = ∅.
8. Prove a Observação 5.3, ou seja, tem-se a = limxn se, e somente se, para todo
conjunto aberto A contendo a, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A.
9. Seja A ⊂ R aberto. Então, para todo x ∈ R, o conjunto x+ A = {x+ a : a ∈ A} é
aberto. Analogamente, se x 6= 0, então o conjunto x · A = {x · a : a ∈ A} é aberto.
10. Sejam A,B ⊂ R abertos. Então os conjuntos A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} e
A ·B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B} são abertos.
11. Se A ⊂ R é aberto e a ∈ A então A− {a} é aberto.
12. Considere as funções f, g, h : R → R, dadas por f(x) = ax + b(a 6= 0), g(x) = x2 e
h(x) = x3.
(a) Mostre que, para cada A ⊂ R aberto, tem-se f−1(A), g−1(A) e h−1(A) são
abertos.
(b) Mostre que, para cada A ⊂ R aberto, tem-se f(A) e h−1(A) são abertos. Dê
exemplo de A aberto tal que g(A) não seja aberto.
13. Toda coleção de aberto não vazios, dois a dois disjuntos é enumerável
14. Sejam I um intervalo não-degenerado e k > 1 um número natural. Prove que o
conjunto dos números racionais m/kn, cujos denominadores são potências de k com
expoente n ∈ N, é denso em I.
15. Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ frX. Conclua que X é fechado se, e
somente se, contém todos os seus pontos de fronteira (i.e., X ⊃ frX).
7.2 Noções de Topologia 79
16. Para todo X ⊂ R, prove que R− intX = R−X e R−X = int(R−X).
17. Se X ⊂ R é aberto (respectivamente, fechado) e X = A∪B é uma cisão, prove que
A e B são abertos (respectivamente, fechados).
18. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia, então X = ∅ ou X = R.
19. Sejam X, Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Dê exemplo
em que X ∩ Y 6= X ∩ Y .
20. Dada uma sequência (xn), prove que o fecho do conjunto X = {xn : n ∈ N} é
X = X ∪ A, onde A é o conjunto dos valores de aderência de (xn).
21. Se X ⊂ F e F é fechado, então X ⊂ F .
22. Sejam F e G conjuntos fechados disjuntos tais que F ∪G seja um intervalo fechado
(limitado ou não). Então F = ∅ ou G = ∅.
23. Seja E ⊂ R enumerável. Consiga uma sequência cujo conjunto dos valores de
aderência é E. Use este fato para mostrar que todo conjunto fechado F ⊂ R é
o conjunto dos valores de aderência de alguma sequência. [Sugestão: Escreva N
como reunião enumerável de conjuntos infinitos disjuntos Ni. Para cada n ∈ Ni faça
xn = i-ésimo elemento do conjunto E. Para a segunda parte, use o fato de que todo
conjunto X ⊂ R contém um subconjunto enumerável E, denso em X.]
24. Sejam F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · não-vazios. Dê exemplos mostrando que
⋂
Fn
pode ser vazio se os Fn são apenas fechados ou apenas limitados.
25. Um conjunto é denso em R se, e somente se, seu complementar tem interior vazio.
26. Se F é fechado e A é aberto, então F − A é fechado.
27. Defina a distância de um ponto a ∈ R a um conjunto não-vazio X ⊂ R como
d(a,X) = inf{|x− a| : x ∈ X}.
Prove:
(a) d(a,X) = 0 ⇔ a ∈ X;
(b) Se F ⊂ R é fechado, então para todo a ∈ R existe b ∈ F tal que d(a, F ) = |b−a|.
28. (Teorema de Baire) Se F1, F2, . . . , Fn, . . . são fechados com interior vazio então
S = F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn ∪ · · · tem interior vazio. (É preciso mostrar que, dado
arbitrariamente um intervalo aberto I existe algum x ∈ I ∩ (R − S). Imite a
demonstração do Teorema 2.19, onde se tem pontos em vez dos fechados Fn)
7.2 Noções de Topologia 80
29. O conjunto R − Q dos números irracionais não pode ser expresso como reunião
enumerável de fechados. Analogamente, Q não é interseção de uma família
enumerável de abertos.
30. Dada uma sequência (xn) seja Xn = {xn, xn+1, . . .} para todo n ∈ N. Mostre que⋂∞
n=1Xn é o conjunto dos valores de aderência de (xn).
31. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪X ′. Conclua que X é fechado se, e
somente se, contém todos os seus pontos de acumulação (i.e., X ⊃ X ′).
32. Prove que toda coleção de intervalos não degenerados dois a dois disjuntos é
enumerável.
33. Prove que se todos os pontos do conjuntoX ⊂ R são isolados, então pode-se escolher,
para cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix, de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.
34. Prove que todo conjunto não enumerável X ⊂ R possui algum ponto de acumulação
a ∈ X.
35. Prove que, para todo X ∪ R, X ′ é um conjunto fechado.
36. Seja a um ponto de acumulação do conjunto X. Prove que existe uma sequência
crescente ou uma sequência decrescente de pontos xn ∈ X com limxn = a.
37. Um número a é ponto de acumulação de X se, e somente se, é ponto de acumulação
de X.
38. Mostre que (X ∪ Y )′ = X ′ ∪ Y ′.
39. Mostre que se A ⊂ R é aberto, então A ⊂ A′, isto é, todo ponto de um conjunto
aberto A é ponto de acumulação de A.
40. Sejam F fechado e x ∈ F . Então x é um ponto isolado de F se, e somente se,
F − {x} é ainda fechado.
41. Seja F ⊂ R fechado, infinito e enumerável. Mostre que F possui uma infinidade de
pontos isolados.
42. Mostre que se X ⊂ R não é enumerável, então X ∩X ′ 6= ∅.
43. As seguintes afirmações a respeito de um conjunto X ⊂ R são equivalentes:
(1) X é limitado;
7.2 Noções de Topologia 81
(2) Todo subconjunto infinito de X possui ponto de acumulação (que pode
pertencer ou não a X);
(3) Toda sequência de pontos de X possui uma subsequência convergente.
44. Se X ⊂ R é não-enumerável, então X ′ também o é.
45. Para todo X ⊂ R, tem-se X −X ′ é enumerável.
46. Prove que o conjunto A dos valores de aderência de uma sequência (xn) é fechado.
Se a sequência for limitada, A é compacto, logo existem l e L, respectivamente o
menor e o maior valor de aderência da sequência limitada (xn). Costuma-se escrever
l = lim inf xn e L = lim sup xn.
47. Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é
um conjunto compacto.
48. Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios F1 ⊃
· · · ⊃ Fn ⊃ · · · e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tais que
⋂
Fn = ∅ e
⋂
Ln = ∅.
49. Sejam X, Y conjuntos disjuntos e não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove
que existem x0 ∈ X, y0 ∈ Y tais que |x0 − y0| ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ X,
y ∈ Y .
50. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um
conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não-fechado Y , cujos pontos
são todos isolados.
51. Prove que se X é compacto, então os seguintes conjuntos também são compactos:
(a) S = {x+ y : x, y ∈ X};
(b) D = {x− y : x, y ∈ X};
(c) P = {x · y : x, y ∈ X};
(d) Q = {x/y : x, y ∈ X} se 0 6∈ X.
52. Se X ⊂ R é finito, mostre que X é compacto.
53. Toda cobertura de X ⊂ R por meio de abertos possui uma subcobertura enumerável
(Teorema de Lindelöf).
7.2 Noções de Topologia 82
54. Sejam os conjuntos A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B} e A ·B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}.
Prove:
(a) Se A é compacto e B é fechado, então A+B é fechado;
(b) Se A e B são compactos, então A+B e A ·B são compactos;
(b) Se A é fechado e B é compacto, então A ·B pode não ser fechado.
55. Obtenha coberturas abertas de Q e de [0,+∞) que não admitam subcoberturas
finitas.
56. Considere as funções f, g, h : R → R, dadas por f(x) = ax + b(a 6= 0), g(x) = x2
e h(x) = x3. Mostre que para K e L compactos arbitrários, f(K), g(K), h(K),
f−1(L), g−1(L) e h−1(L) são compactos.
57. Seja X ⊂ R. Uma função f : X → R chama-se localmente limitada quando para
cada x ∈ X existe um intervalo aberto Ix, contendo x, tal que f
∣∣
Ix∩X
é limitada.
Mostre que seX é compacto, toda função f : X → R localmente limitada é limitada.
58. Dado X ⊂ R não-compacto, defina uma função f : X → R que seja localmente
limitada mas não seja limitada.
59. Sejam C compacto, A aberto e C ⊂ A. Mostre que existe � > 0 tal que
x ∈ C, |y − x| < � ⇒ y ∈ A.
60. Uma família de conjuntos (Kλ)λ∈L chama-se uma cadeia quando, para quaiquer
λ, µ ∈ L tem-se Kλ ⊂ Kµ ou Kµ ⊂ Kλ. Prove que se (Kλ)λ∈L é uma cadeia de
compactosnão-vazios, então a interseção K =
⋂
λ∈LKλ é não-vazia (e compacta).