A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
85 pág.
Texto de Análise

Pré-visualização | Página 1 de 19

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Formação de Professores
Unidade Acadêmica de Ciências Exatas e da Natureza
Análise Matemática
por
Gilberto Fernandes Vieira
Cajazeiras
2018
Sumário
1 Conjuntos Finitos e Infinitos 1
1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conjuntos Enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Números Reais 18
2.1 R é um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 R é um Corpo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Sequências de Números Reais 34
3.1 Limites de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Limites e Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Operações com Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Séries de Números Reais 50
4.1 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ii
5 Noções de Topologia 54
5.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Trabalho 69
7 Trabalho 76
7.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Noções de Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Capítulo
1
Conjuntos Finitos e Infinitos
Neste capítulo, será estabelecida com precisão a diferença entre conjunto finito e
conjunto infinito. Será feita também a distinção entre conjunto enumerável e conjunto
não-enumerável. O ponto de partida é o conjunto dos números naturais.
1.1 Numeros Naturais
Definição 1.1. O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:
1. Existe uma função injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural
n ∈ N chama-se o sucessor de n.
Em outras palavras, todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número
natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N.
Em outros termos, existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum
outro.
3. Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X)
então X = N.
Dito de outra forma, se um conjunto de números naturais contém o número 1 e
contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto
contém todos os números naturais.
As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano.
1.1 Numeros Naturais 2
Observação 1.2. O axioma 3 é conhecido como o princípio da indução.
Indutivamente, ele significa que todo número natural n pode ser obtido a partir de
1, tomando-se seu sucessor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diante, com
um número finito de etapas. (Evidentemente “número finito” é uma expressão que,
neste momento, não tem ainda significado. A formulação do axioma 3 é uma maneira
extremamente hábil de evitar a petição de princípio até que a noção de conjunto finito
seja esclarecida.)
O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas
sobre números naturais, conhecido como método de indução (ou recorrência), o qual
funciona assim:“se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida
para o número n daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é
válida para todos os números naturais”.
Exemplo 1.3 (Demonstração por indução). Para todo n ∈ N, tem-se s(n) 6= n. Esta
afirmação é verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 6= s(n) para todo
n ∈ N, logo, em particular, 1 6= s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n ∈ N, vale
n 6= s(n). Como a função s é injetiva, daí resulta s(n) 6= s(s(n)), isto é, a afirmação é
verdadeira para s(n).
No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a
adição, que associa a cada par de números (m,n) sua soma m + n, e a multiplicação,
que faz corresponder ao par (m,n) seu produto m · n. Essas operações são caracterizadas
pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição:
m+ 1 = s(m);
m+ s(n) = s(m+ n), isto é ,m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;
m · 1 = m;
m · (n+ 1) = m · n+m.
Noutros termos:
somar 1 a m significa tomar o sucessor de m;
se conhecemos a soma m+ n, conheceremos m+ (n+ 1), que é o sucessor de m+ n;
multiplicar por 1 não altera o número;
se conhecemos o produto m · n, conheceremos m · (n+ 1) = m · n+m.
Observação 1.4. As duas primeiras igualdades significam que a soma de dois números
naturais é o sucessor de um número natural, pois, conforme o axioma 2, dado n ∈ N,
1.1 Numeros Naturais 3
tem-se que n = 1 (neste caso, usamos a primeira igualdade) ou n = s(m) (neste caso,
usamos a segunda igualdade).
A demonstração da existência das operações + e · com as propriedades acima, bem
como sua unicidade, se faz por indução. Para tal, consulte o “Curso de Análise, Vol.
1, ou suas referências bibliográficas, onde são demonstradas (por indução) as seguintes
propriedades da adição e multiplicação:
associatividade: (m+ n) + p = m+ (n+ p), (m · n) · p = m · (n · p);
distributividade: m · (n+ p) = m · n+m · p);
comutatividade: m+ n = n+m, m · n = n ·m;
lei do corte: m+ n = p+ n⇒ m = p, m · n = p · n⇒ m = p.
Prova da lei do corte: Usaremos indução em n. Ela vale para n = 1, pois m+1 = p+1
significa s(m) = s(p), logo m = p pela injetividade de s. Admitindo-a válida para n (i.e.
que m + n = p + n ⇒ m = p), então, supondo que m + (n + 1) = p + (n + 1), e usando
a associatividade, obtemos (m+ n) + 1 = (p+ n) + 1 que, pela injetividade de s, implica
m+ n = p+ n. Logo m = p pela hipótese de indução.
Definição 1.5. Dados os números naturais m,n, escreve-se m < n quando existe p ∈ N
tal que n = m+ p. Diz-se então que m é menor do que n. A notação m ≤ n significa
que m < n ou m = n.
Exemplo 1.6. Prove
1. Transitividade: m < n, n < p⇒ m < p
2. Tricotomia: dados m,n ∈ N quaisquer, vale apenas uma das três alternativas:
m = n, m < n ou n < m, isto é: ou m = n, ou existe p ∈ N tal que m = n+ p, ou
existe q ∈ N tal que n = m+ q.
1. Como m < n e n < p, existem r, s ∈ N tais que n = m + r e p = n + s. Assim,
p = m+ r + s = m+ (r + s), logo m < p, pois r + s ∈ N.
2. Seja m ∈ N e seja
X = {n ∈ N : n e m satisfazem a propriedade de tricotomia}.
– 1 ∈ X. De fato, ou m = 1 ou m 6= 1 e, neste caso, m é o sucessor de algum
número n0 ∈ N, ou seja, existe n0 ∈ N tal que
1 + n0 = n0 + 1 = s(n0) = m.
1.1 Numeros Naturais 4
– Seja n ∈ X. Então, ou n = m, ou existe p ∈ N tal que n = m + p, ou existe
q ∈ N tal que m = n+ q.
Vamos provar que s(n) ∈ X.
De fato,
– se n = m, então s(n) = s(m) = m+ 1.
– se n =