Funcoes de Uma Variavel Complexa - Alcides Lins Neto

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<p>funções de uma variável complexa</p><p>515.9 L759 2008 alcides lins neto funções de uma variável complexa Segunda edição (segunda impressão) Lins Neto, Alcides Funções de uma variável complexa / Alcides Lins Rio de Janeiro : IMPA, 2008 468 p. (Projeto Euclides) Inclui bibliografia ISBN 978-85-244-0087-2 1. Análise. 2. Variável complexa. I. II. Série. CDD-515.9 impa INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA</p><p>Copyright 2008 by Alcides Lins Neto Direitos reservados, 2008 pela Associação Instituto Nacional de Pura e Aplicada IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ DE Impresso no Brasil / Printed in Brazil Conteúdo Capa: Rodolfo Capeto. DE Projeto Euclides Comissão Editorial: Elon Lages Lima (Editor) S. Collier Coutinho Paulo Sad Prefácio 1 Curso de Análise, Volume 1 Elon Lages Capítulo O Corpo dos Números Complexos Títulos Publicados: Números Complexos 1 Medida e Integração Pedro Jesus Fernandez Séries de Números Complexos 26 Aplicações da Topologia à Análise Samuel Hönig Espaços de Funções Contínuas 38 Espaços Métricos Elon Lages Lima Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais Djairo Guedes de Figueiredo Capítulo 2 Funções Analíticas 52 Introdução aos Sistemas Dinâmicos Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo Funções Holomorfas 52 Introdução à Álgebra Adilson Gonçalves Séries de Potências 69 Aspectos Teóricos da Computação Cláudio L. Lucchesi, [mre Simon, Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski $3. Exponencial e Logaritmo 86 Teoria Geométrica das Folheações Alcides Lins Neto e César Camacho Funções analíticas de uma variável 106 Geometria Riemanniana Manfredo P. do Carmo Lições de Equações Diferenciais Ordinárias Jorge Sotomayor Capítulo 3 Integração no Plano Complexo 122 Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário Barry R. James Curso de Análise, Volume 2 Elon Lages Lima Formas Diferenciais 122 Teoria Ergódica Ricardo Homotopia e Integração 151 Teoria dos Números Algébricos Otto Endler Os teoremas de Jordan e de Green 167 Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais Javier Thayer Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução lório Jr. e Valeria lório Capítulo 4 Teoria de Cauchy 186 Álgebra: Um Curso de Introdução Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain O Teorema de Cauchy-Goursau 186 Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento Elon Lages Lima Funções de uma Variável Complexa Alcides Lins Neto §2 Fórmula integral de Cauchy e aplicações 193 Elementos de Álgebra Arnaldo Garcia e Yves Lequain Séries de Laurent 210 Introdução à Geometria Analítica Complexa Marcos Sebastiani Teoria dos 223 Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Introdução à Teoria da Medida Carlos Isnard A esfera de Riemann 248 Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica Johann Baumeister e Antonio Le Capítulo 5 Seqüências, Séries e Produtos de Holomorfas e Meromorfas 295 Distribuição: IMPA Os espaços de funções holomorfas e meromorfas 295 Famílias normais de funções holomorfas e meromorfas 318 Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ duplamente periódicas 329 e-mail: ddic@impa.br http://www.impa.br</p><p>PREFÁCIO Produtos infinitos e teorema de Weierstrass 349 As funções Gama e Zeta 367 §6. Aproximação de funções por funções racionais 391 Desde a sua criação, em fins do século XVIII, a teoria de funções de variáveis complexas, se tem mostrado uma das mais profícuas no Capítulo 6 o Teorema da Uniformização de Riemann 414 Equivalências conformes contexto global da Matemática. Através dela foi possível, por exem- 414 Automorfismos de C e do disco unitário plo, compreender melhor as funções definidas por séries de potências, 424 estabelecer relações importantes as funções elementares (como Teorema de Riemann 439 = COST + isenx), dar um sentido à afirmação "Toda equação Referências 463 polinomial possui ao menos uma solução", entre outras realizações Índice Alfabético 465 igualmente importantes. Dentre os matemáticos importantes que contribuíram para seu avanço citamos Euler, Gauss, Cauchy, Abel Riemann, Weierstrass, Picard, Poincaré, Hilbert, entre outros. Po- demos afirmar com segurança que, com o objetivo de desenvolver a teoria, foram introduzidos novos conceitos e teorias matemáticas presentemente inseridos no contexto da Topologia Algébrica, da Geo- metria Algébrica, da Teoria dos Números etc... Neste livro, de caráter elementar, pretendemos introduzir a alguns dos aspectos básicos da teoria, necessários à compreensão de textos mais avançados. No atual estágio do desenvolvimento científico do país, diria que êle se destina a alunos de graduação ou mestrado de todas as disciplinas que se utilizam da Matemática como ferra- menta essencial. Procurei ordenar os assuntos em ordem crescente de dificuldade, abordando-os da maneira mais elementar possível, pressupondo do leitor apenas um bom conhecimento de cálculo, al- gum conhecimento de Topologia do e noções de convergência em espaços de funções (convergência uniforme). De fato, Capítulo I consiste numa revisão destes conceitos, onde aproveitamos para fixar notações e introduzir o plano complexo e as operações elementares com números complexos. objetivo do Capítulo II é a introdução do conceito de função analítica de uma variável complexa Neste capítulo são estu- dadas a exponencial complexa, logarítimo complexo e as funções rigonométricas. O Capítulo III destina-se a familiarizar leitor com as integrais de linha e com alguns conceitos e resultados da topolo- gia do plano, como homotopia, índice de um ponto com relação a um caminho fechado e os Teoremas de Jordan e Green. dois</p><p>CAPÍTULO I últimos resultados, embora enunciados no caso geral, são demonstra- dos em casos particulares, os quais são suficientes para a maioria das aplicações encontradas nos capítulos seguintes. O CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS No Capítulo IV são demonstrados e discutidos alguns dos re- sultados básicos mais importantes da teoria, como Teorema de Cauchy-Goursat a fórmula integral de Cauchy, O teorema do módulo máximo, de Schwarz e teorema fundamental da Álgebra, entre outros. Além disto, são introduzidos a teoria dos resíduos, O 1. Números Complexos princípio do argumento e a esfera de Riemann, esta última como um primeiro exemplo de superfície de 1.1. O conjunto dos complexos como um corpo. O Capítulo V é dedicado ao estudo das funções definidas como Um número complexo é uma expressão da forma a + ib, sendo a e limites de ou séries de funções holomorfas e meromorfas. b números reais (escreveremos a,b R) e i um número imaginário são estudados vários critérios de convergência, em especial O que satisfaz à relação = -1. número i não pode ser real, porque teorema de Como aplicação destes resultados, são intro- quadrado de um número real é sempre não negativo (veja [E.L. duzidas as funções duplamente periódicas (funções elíticas), os pro- I]). dutos infinitos e as funções Gama (de Euler) e Zeta (de Riemann). Além disto são demonstrados alguns resultados fundamentais como Historicamente os números complexos foram introduzidos a os Teoremas de Runge e Finalmente no Capítulo fim de dar-se um sentido à solução geral de uma equação algébrica VI é apresentado Teorema de Uniformização de Riemann, qual de grau dois e coeficientes reais. Assim, por exemplo, consideremos classifica os abertos simplesmente conexos do plano complexo e da a equação esfera de (1) Gostaria de acrescentar ainda que ao fim de cada capítulo são propostos exercícios que visam treinar leitor nos conceitos expos- Esta equação também pode ser escrita na forma: complementar texto com aplicações ou informações rela- cionadas ao mesmo. Agradeço a Daniel Levcovitz e a Elon Lages Lima por terem lido partes do material permitindo-me aperfeiçoar o texto e corrigir alguns erros. A Elon Lages Lima, agradeço também por ter me (1) possui alguma solução real Z, então Z + E R e portanto convidado e incentivado a escrever livro. 0, ou seja Neste caso ambas as soluções de (1) são reais e podem ser expressas como* Alcides Lins Neto a (2) Rio de Janeiro, agosto de 1993. *Dado um número real T > 0, existe um único número real positivo S tal que s2 = As soluções reais de I2 = T (Veja [E.L. I]).</p><p>2 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1] Números Complexos 3 for lado, se a equação (1) não possui (C.2) Associatividade: Se então + + = soluções reais. É claro que se (1) fosse orginada de um problema prático que só pudesse ter soluções reais, diríamos simplesmente que (C.3) Distributividade: Se E C então = este problema não tem solução. No entanto, se estamos estudando a equação de um ponto de vista abstrato é conveniente que ela tenha solução, que de fato ocorre se introduzimos número imaginário (C.4) Eristência do zero: Existe um elemento 0 = + C tal i. Neste caso as soluções de (1) são todo E C; (C.5) Eristência da unidade: Existe um elemento = + E tal que = para todo Z E C; (2') (C.6) Eristência do inverso Dado + ib E C existe um único w = + i(-b) E C tal que + = 0. Notação: Uma das principais vantagens de termos as duas raízes e dadas por (2) ou (2'), é que agora podemos decompor o polinômio + az + b como o produto de dois polinômios de grau 1, (C.7) do inverso multiplicativo: Dado = a+ib C, tal que a ou existe w = (3) tal que = 1. Notação: conjunto dos números complexos será denotado por C. Dizemos então que C é um corpo com as operações (4) e (5). Um fato que devemos ter em mente é que corpo dos reais Observe que ao escrevermos a identidade (3), estamos impli- está naturalmente mergulhado em C e para isto basta identificarmos citamente admitindo que estão definidas em C duas operações, uma um número real com complexo + Tendo-se em vista esta de soma e outra de produto, que estendem as operações de soma identificação, diremos que R C C. Observe que se = a + R e e produto em Assim, se = a + ib e w = + id são números w b + E R então w estão em R. Portanto é um complexos, definimos sua soma por subcorpo de C, isto é, as operações (4) e (5) estendem as operações de soma e produto de números reais. (4) Nesta altura, uma pergunta que surge naturalmente, é se seria e seu produto por necessário introduzir outros imaginários para resolvermos uma equação de grau n 3 com coeficientes reais. Como (5) veremos no Capítulo IV, isto não é preciso. teorema fundamental da álgebra, devido a Gauss, afirma que todo polinômio com coeficien- tes reais ou complexos, possui ao menos uma raiz complexa. Uma Desta forma, se são as raízes (reais ou complexas) de (1), a deste fato é que todo polinômio pode ser decomposto relação (3) pode ser verificada de maneira direta. num produto de fatores complexos de um. As operações definidas por (4) e (5) gozam das seguintes proprieda- 1.2. Representação cartesiana e representação polar. des: Convém notar que as definições dadas no parágrafo anterior para Comutatividade: Se E e então + = Z2 + soma e produto de números complexos são formais, isto é, pendem do sentido matemático que possamos atribuir ao</p><p>4 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1} Números Complexos 5 No entanto elas têm como o fato extremamente impor- tante de que podemos identificar conjunto dos números complexos com plano R2 = {(x,y) E R}, por meio do isomorfismo R-linear 4: C definido = iy. Verifiquemos que é um isomorfismo. Da definição de soma EIXO REAL e produto de números complexos é fácil ver que se u e são vetores de R2 e A E R então logo é É claro também que isto é, 4 é sobrejetora. Por outro tais que = então Figura 2 Como quadrado de um número real não pode ser negativo, complexo, corresponde geometricamente a refletí-lo com relação ao concluimos que 4 é injetora e portanto um iso- eixo real, como ilustra a Figura 2. morfismo. Podemos então representar geometricamente conjunto dos números complexos por um plano, como fazemos no caso de Vemos então que A Figura 1 ilustra a representação cartesiana de = + iy E C no plano. (6) e EIXO IMAGINARIO como pode ser verificado diretamente das definições. módulo ou norma de um número complexo = x + in é a (x,y)= x+ly distância euclideana entre 2 e a origem de C. Assim y temos EIXO REAL (7) Algumas propriedades que podem ser verificadas diretamente das definições, são as seguintes: (8) Figura 1 (9) Dado iy C, definimos Re(z) = (parte real de e Im(z) = y (parte de de tal forma que Re: C e Im: C R são as aplicações R-lineares correspor dentes à primeira (10) e segunda projeções de R2 respectivamente. E claro que para todo C temos = O conjugado de um número (11) complexo é definido por IN = Re(z) i Im(z). Conjugar um número</p><p>6 O Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. Números Complexos 7 (12) z-1 = Consideremos agora um número complexo não nulo = geralmente Se l é o segmento de reta que liga 0 a e A é o que faz com eixo dos podemos escrever (15) = e y para todo n inteiro. Observemos que a potência n Z, é definida por indução como e portanto (13) Como aplicação vamos agora determinar todas as raízes com- plexas da equação = a, onde a > 2. Caso a = 0, a A expressão (13) é chamada de representação polar do núme- equação fica = 0 e sua única solução é = 0. Consideremos TO complexo 2 e o número A é chamado de argumento de caso a # 0. Escrevamos a Se é a raiz enésima positiva de então qualquer número complexo da forma , 0 é solução de = a. Isto decorre da fórmula (15) e do fato de que as funções cosseno e seno são periódicas de período conjunto EIXO REAL = contém exatamente n pontos distintos, isto porque Z Figura 3 Observe que se podemos escrever A = a + onde a E e E Neste caso colocamos cos(A) = cos(a) e = sen(a). A representação polar é particularmente interessante na com- -1 1 putação de produtos de números complexos. Assim se = a + a) e = B + temos (14) = Figura 4 (*) Estamos pressupondo aqui que leitor tem uma noção, pelo menos intuitiva de ângulo. No II veremos uma definição rigorosa, não só do argumento, como também das funções seno e cosseno. *Caso não saiba, veja como se define a raiz enésima de um número positivo em I].</p><p>8 Corpo dos Números Complexos I sec. 1] Números Complexos 9 Por outro lado, se = a + isen a) é tal que = a, Observemos ainda que, se # 0, então a igualdade em (16) decorre de (10) que = e portanto = Além é válida se, e somente se, z/w R. Como ilustração, provemos este disto, de (15) obtemos que = e = sen e fato. portanto existe um Z tal que na - = ou seja a = De (12) do $1.2, obtemos logo conjunto Z contém na verdade todas as n raízes de = a. Um caso particular interessante é quando a = 1. conjunto das raízes de = 1 é Zn já que então que qual pode também ser escrito como = E Z}, sendo = Ao representarmos graficamente os pontos do conjunto Zn Por outro lado, obtemos um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio 1. Na Figura 4 esboçamos a representação gráfica de Z6. + 1.3. Distância e desigualdades fundamentais. Vimos na seção anterior que o conjunto dos números complexos se identifica naturalmente com plano Via esta identificação, a distância entre dois pontos, digamos = + e = + se traduz como Geometricamente a desigualdade triangular corresponde ao fato de que comprimento de um dos lados de um triângulo é no = máximo igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados. W Desta forma, o plano complexo herda de maneira natural todas as propriedades métricas e topológicas do Em particular a distância d goza das propriedades usuais: (D.1) Simetria: d(21,22) = C. o Z (D.2) Desigualdade triangular: d(21,22) d(21,23) + Figura 5 (D.3) Positividade: d(21,22) > 0, E C. Além disto, se A partir de (16) é possível provar a chamada desigualdade triangular generalizada: Como leitor pode constatar facilmente, a desigualdade triangular, é equivalente à seguinte n (17) E C. (16)</p><p>10 o Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1] Números Complexos 11 Outra desigualdade útil, que decorre de (16), é a seguinte: 1.4. Limites de (18) E C. Uma num conjunto U, é uma função N onde N é conjunto dos números naturais {0,1,2,...}. Utilizaremos a Gostaríamos de acrescentar à nossa lista, a desigualdade de notação para designar a Às vezes a Cauchy-Schwarz: será indexada no conjunto dos naturais não nulos N* = Neste caso usaremos a notação para designá-la. A partir da identificação de C com R2 estabelecida no (19) a noção de limite de uma de pontos em se traduz naturalmente no caso de em C. C. DEFINIÇÃO 1: Dizemos que uma de números complexos Deixamos a prova de (19) como exercício para o leitor. converge para complexo se, para todo número Para finalizar a seção, estabeleceremos algumas notações que é possível encontrar um natural no tal que, para todo n > serão utilizadas ao longo do disco de centro E C e raio T > 0 é, por definição, Diremos então que a é convergente e que Z é limite conjunto de Escreveremos lim In = = ou simplesmente Quando todos os valores da e são reais, esta (20) noção reduz-se à de limite de uma de números reais (veja disco fechado de centro e raio por definição, o Observemos, que a partir das notações estabelecidas no $1.3, conjunto podemos dizer que (21) lim = > 0, no tal que se n então In No caso em que temos evidentemente Tal como no caso de a noção de limite de uma de números complexos se reduz à de limite de duas de de centro e raio > 0, é definido por números reais: (22) (L.1) lim = Z lim Re(z) e lim = Im(z). A partir é possível deduzir-se os seguintes fatos: A partir da representação polar, introduzida em (13) do $1.2, podemos dizer que limite de uma se existe, é único. (L.3) Se lim In = e então + = Z + (L4) Se lim = e lim = então = Mais (L.5) Se lim = então lim A + sen (L.6) Se lim então</p><p>12 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1] Números Complexos 13 (L.7) Se lim = lim = w # 0 e 0, então = 2: Uma, de uma N U, é uma da forma = 1 U, onde k: N N é uma Como ilustração verifiquemos (L.7). Coloquemos = + função crescente (isto é, k(m) > k(n) se m > n). A iyn e Wn = + onde e Un e n 0. Temos: k será denotada por ou In = = Dizemos que E C é um ponto de acumulação de uma seqüência se esta possui uma tal que lim = As definições nos conduzem ao seguinte critério: Como lim = u = (L.10) Uma de números complexos é convergente Re(w) e = = Im(w), obtemos: se, e somente se, ela possui um único ponto de Em particular, se lim = então para toda = tem-se lim = Z. e Um resultado importante na teoria das nos espaços euclideanos é o chamado Teorema de Bolzano- o qual no nosso caso pode ser enunciado da seguinte forma: Decorre daí e de (L.1) que, TEOREMA 1. Toda limitada de números complexos possui lim = ) uma convergente. leitor pode encontrar a demonstração no §5 do cap. I de [E.L. II]. Um dos fatos fundamentais sobre os espaços euclideanos (e em particular sobre C), é que estes espaços são completos. como DEFINIÇÃO 2: Dizemos que uma de números Dizemos que uma em C. é limitada, se complexos é de Cauchy, se para todo E > 0 existe um inteiro no existe M > 0, tal que M para todo n > 0. Uma propriedade tal que se m, n > no, então - interessante, é a seguinte: Dizemos que completo, porque toda de Cauchy (L.8) Se lim = 0 e é uma seqüência limitada, então de números complexos é convergente. Isto nos é garantido pelo se- 0. guinte resultado: De fato, se < M para todo n > 0, obtemos = TEOREMA 2. (Critério de Cauchy). Uma de números M para todo n Decorre daí que lim = complexos é convergente se, e somente se, ela for de Cauchy. e portanto lim = 0. O leitor pode encontrar a demonstração do resultado acima, Outra propriedade importante, que decorre das definições, é no §5 do cap. I de [E.L. II]. a seguinte: (L.9) Toda convergente é limitada. 1.5. Limites infinitos. A recíproca de (L.9) é falsa, mostra o exemplo que não converge mas é limitada. Quando estudamos de números reais, é natural conside- rarmos com limite ou -00. Isto decorre do fato de</p><p>14 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1] Números Complexos 15 que é ordenado e possui números positivos e negativos arbitraria- EXEMPLO 1: Examinemos a convergência de onde E C mente grandes (isto é, é ordenado e arquimediano (veja [E.L. é fixado. Temos três possibilidades: Intuitivamente, podemos pensar que R {0} é constituido de duas (a) semi-retas (-00,0) e as quais contêm números negativos e positivos arbitrariamente grandes, respectivamente. Por outro lado, Neste caso lim = lim = 0. Portanto lim X" = 0. a partir de e C, podemos traçar uma infinidade de semi-retas (b) 1. infinitas, uma para cada ângulo A E Portanto um limite -00 ou por exemplo, não faz sentido para uma de Neste caso = < 1. Portanto = números complexos, a não ser que a em questão já tenha, a 0. De (L.12) concluimos que lim = priori, todos os seus valores em R. No entanto, dada uma (c) em C, é natural considerar-se a > 0, para a qual faz sentido a noção de limite infinito. Neste caso converge se, e somente se = Com efeito, suponhamos que lim = a. De (L.6) obtemos = DEFINIÇÃO 3: Dizemos que uma seqüência em C, tem li- lim = lim = 1. Por outro lado, de (L.4) temos mite infinito, se para todo r > 0, existe no > 0, tal que se n > no, então > Neste caso escrevemos lim = lim = ou a = lim = lim = A.a. Como a obtemos = 1 e a = 1. Da definição obtemos: (L.11) lim = lim = EXEMPLO 2: Seja uma tal que > para todo n > 0, onde a > 1 e # Afirmamos que lim In = Assim por exemplo, = 00, já que lim = = De fato, para n > 2, temos As duas propriedades enunciadas abaixo são de verificação imediata: (L.12) Seja uma em C tal que # 0 para todo Como lim an = obtemos lim = e daí lim = n Então: 1.6. Noções fundamentais da topologia de C. 1 = In Como acentuamos anteriormente o plano complexo herda natural- mente todas as propriedades métricas e topológicas do plano R2 (L.13) Sejam e duas em C tais que Vamos admitir aqui que o leitor conhece os conceitos e principais re- lim. = 00 e a > 0, para todo n > 0. Então sultados da topologia dos espaços euclideanos, tais como, as noções lim = 00. de aberto, fechado, compacto, conexo, conexo por arcos, componente conexa, Para aqueles que se sentem inseguros no assunto, Convém observar que uma com limite infinito, na recomendamos uma leitura do cap. I de [E.L. II]. Gostaríamos, verdade não é convergente, no sentido da Definição 1, já que não é no entanto, de aproveitar a oportunidade para estabelecer algumas limitada. notações e recordar alguns resultados que utilizaremos ao longo do Vejamos dois exemplos. texto.</p><p>16 Corpo dos Números Complexos [Cap. I 1] Números Complexos 17 1 Interior de um conjunto. Dado A C C, interior de A, é 6 Abertos e fechados relativos. Seja X C C. Dizemos que A C X é conjunto um aberto relativo de X (resp. fechado relativo de X), se A = onde U é um aberto de C (resp. fechado de C). Assim por exemplo, exister > 0 tal que C A}. considerando-se R C C, os intervalos abertos são abertos relativos de R., enquanto que os intervalos fechados são fechados relativos. NOTA: int(A) é maior subconjunto aberto de A. 7 Subconjuntos Seja X C C. Dizemos que A C X é denso 2 Fecho ou aderência de um conjunto. Dado A C C, o fecho ou em X se A Vejamos dois exemplos: aderência de A, é o conjunto EXEMPLO 3: O conjunto Q + iQ = iy; I e y são números racionais} é enumerável e denso em C. para todo T tem-se Com efeito, através da identificação + iy (x,y), temos NOTA: A é o menor subconjunto fechado de C que contém A. Como Q é enumerável e o produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é enumerável, segue-se que Q + iQ é 3 Fronteira ou bordo de um conjunto. Dado A C C, a fronteira ou enumerável (veja I]). bordo de A, é o conjunto Por outro lado, dados = 0, o disco Dr(zo) contém quadrado R = = onde I = + Como Q é denso em R. (veja [E.L. I]), existem racionais x ou seja, existe + iy E Q + iQ tal NOTA: Para todo A C C tem-se = Em particular que a + Concluimos deste argumento que está no fecho de Q + iQ, como é um subconjunto fechado de C. EXEMPLO 4: Seja X C C um conjunto denso em C. Se U é um 4 Ponto de acumulação e ponto isolado. Dizemos que um ponto aberto não vazio de C, então é denso em U. Em particular E C é ponto de acumulação de um conjunto A C C, se para todo é enumerável e denso em U. Deixamos a demonstração temos - A Um ponto E A, que não é como exercício para o leitor. ponto de acumulação de A é chamado de ponto isolado de A. Um fato importante, cuja prova o leitor pode encontrar em 5 Conjunto discreto. É um conjunto A C C, tal que todos os seus [E.L. II], é o seguinte: pontos são isolados em A. Exemplos de conjuntos discretos são: (i) Os subconjuntos finitos de C. TEOREMA 3. Todo conjunto X C C, contém um subconjunto (ii) conjunto Z + iZ = {m + in; m,n E Z}. merável A, qual é denso em X. (iii) Seja uma com a seguinte propriedade: se Outra maneira de enunciar o resultado acima é a seguinte: E C é um ponto de acumulação de então # para todo n 0. Neste caso conjunto A = 0} é Para todo conjunto X C C, eriste uma discreto. cujo conjunto de pontos de acumulação, contém X</p><p>18 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1] Números Complexos 19 8 Diâmetro e distância entre conjuntos. Dado um conjunto limi- Com efeito, d(z, F) = logo existe uma tado A C C, o diâmetro de A, é definido por em F tal que d(z,F = lim - Ora, a con- vergente, digamos lim = Por outro lado, lim - Assim, por exemplo: - e como E já que F é fechado, temos como (i) = 2r. (ii) diâmetro do retângulo Q (D.C.4) Se # A C. C, então para quaisquer E C. Em particular a função R definida por = d(z,A) é Algumas propriedades, não muito difíceis de verificar, são as seguintes: De fato, dados C, existem = - e = Observe que (D.1) Se A C B, então diam(A) diam(B). que A. Decorre daí que, (D.2) diam(A) = diam(A), para todo A C C. (D.3) Se K C C é compacto, então Zo, E K tais que Como ilustração verifiquemos a propriedade (D.3). - A função R definida por = é contínua. Como K é um subconjunto compacto de existe um ponto E tal que = (D.C.5) C, onde K é compacto e F é fechado, então = diam(R) como queríamos. existem E K e E F tais que d(K,F) = Outra noção útil é a distância entre conjuntos. Dados dois Com efeito, como K é compacto, existe E K tal que conjuntos não vazios A, B C C definimos a distância entre eles por = = d(K,F), já que é contínua. Por outro lado, por (D.C.3), existe E tal que = e 1.7. Limites de funções. No caso em que B = {z}, usaremos a notação d(A, {z}) = d(A,z) = d(z,A). Enumeramos abaixo algumas propriedades que Sejam A C C e f:A C uma função. Dado um ponto de acu- utilizaremos: mulação de A, digamos dizemos que limite de f(z) quando Z tende a é Wo E C, se para todo E existe 8 > 0 tal que se C C, então d(A,B) = d(B,A) < Neste caso usaremos B C C. Em particular, a notação lim f(z) = Uma situação que consideraremos é a seguin- (D.C.3) F C C é um fechado não vazio e E C, então existe te: sejam f, A e como acima. E possível que não exista lim f(z). F tal que No entanto, pode acontecer que exista um subconjunto B de A, tal</p><p>20 Corpo dos Números Complexos [Cap. I Números Complexos 21 que Zo seja ponto de acumulação de B e exista o limite da restrição quando tende a Neste caso usaremos a notação lim f(z) Nestas condições, colocando-se M = temos: j=1 para designar este limite. Vejamos um exemplo. ZEB EXEMPLO 5: Seja R definida por f(x+iy) = y/x. Para cada seja = {r(cos + isen > 0}. Não é difícil constatar que III sen cos = Portanto, não existe lim f(z). Por outro lado, lim f(z) Sejam f:A 1 C uma função e A, um ponto de mulação de A. Sabemos que f é contínua* em Zo se, e somente se, Dado E seja = min{1,e/M}. < 8, obtemos f é contínua lim = Concluimos daí que f é contínua em A se, e em a. Como a é arbitrário, vemos que f é contínua. somente se, lim f(z) = f(zo), para todo ponto E A que não é EXEMPLO 7: Polinômios. Somas e produtos finitos de funções ponto isolado de A. Vejamos alguns exemplos de funções contínuas definem funções contínuas. Um polinômio é uma função EXEMPLO 6: As seguintes funções são contínuas em C: da forma p(z) = ao + = Como as funções (a) As funções parte real e parte imaginária de Re(x+iy) = x são contínuas, concluimos que um polinômio define e + iy) = uma função contínua em C. (b) A função módulo de EXEMPLO 8: Funções racionais. Dadas duas funções contínuas (c) A conjugado de f,g: X C, onde # X C g não é a função identicamente nula, podemos definir f/g: Y C, onde Y = - {0}) = (d) A função n-ésima de por (f/g)(z) A função f/g é contínua em Y. Verifiquemos a última afirmação. Dados C, podemos escrever: De fato, uma função h: Y C é contínua se, e somente se, para toda em Y tal que lim Zn = E Y, temos = lim = f(z). Por outro lado, se é uma em Y tal que lim = E Y, obtemos de (L.7) do $1.4 e da continuidade Portanto, se podemos escrever que Portanto f/g é contínua. Um caso importante é quando f e g II] e [E.L. III]. *Com respeito à noção de função recomendamos as referências [E.L. são polinômios. Dizemos então que f/g é uma função racional Observemos que conjunto de raízes de um polinômio não iden- ticamente nulo, é finito (veja [G-L]). Desta forma, se f e g são</p><p>22 Corpo dos Complexos I sec. 1] Números Complexos 23 polinômios, g domínio da função racional f/g, será aberto De fato, seja uma em A tal que lim = = C onde são as soluções da equação Por (d) temos lim = 00. Por outro lado, a hipótese sobre g = 0. Como vimos acima, f/g é em U. implica que existe no 1 tal que se n > então M De Limites infinitos. A noção de limite infinito, se estende natu- (L.13) do $1.5, obtemos então que lim = Portanto, ralmente para as funções. Desta forma, se f:A C é uma função e 20 um ponto de acumulação de A, dizemos que o limite de f(z) lim = Vejamos uma aplicação. quando tende a é 00, e escreveremos lim f(z) = 00, se para EXEMPLO 9: é um polinômio não constante, então lim p(z) todo M > existe E > 0 tal que se A, então = 00. Outro tipo de limite infinito que consideraremos é quando a De fato, suponhamos primeiramente que p(z) = 1. variável independente tende a Seja A C uma função, onde Neste caso, lim = lim = lim tn = Logo lim = A não é limitado. que limite de f(z) quando Z tende a 00. Vejamos agora caso geral. Podemos escrever p(z) = infinito é b E C, e escreveremos lim f(z) = se para todo E + onde n e # 0. Temos p(z) = (an + existe r > 0 tal se A, então < E. De + Como lim = 00, basta provar que forma análoga, dizemos que limite quando tende a infinito de existem M > > 0 tais que f(z) é infinito, e escreveremos lim f(z) = se para todo M > 0, M. Por outro lado, se existe T tal que se então > M. OBSERVAÇÃO 1: Sejam um ponto de acumulação de A (ou = 00, se A não é limitado). As seguintes afirmações são equivalentes: (a) lim f(z) = 00. Tomando-se M = obtemos facilmente (b) OBSERVAÇÃO 2: As regras aritméticas usuais dos limites, são váli- das no caso em que a variável independente tende a 00, mas os limites (d) Para toda seqüência tal que lim = temos são finitos. Assim, por exemplo, suponhamos que lim f(z) = C e lim g(z) = C, onde f,g: A C, e A é não limitado. Temos Deixamos a prova como exercício para leitor. Observemos então que: ainda que a partir de (d), podemos concluir o seguinte: (a) + para quaisquer a, B E C. (e) Sejam f,g: A C duas funções e um ponto de acumulação de A (resp. = A não limitado). Suponhamos que (b) lim lim f(z) = 8 e M tais que M A (resp. M, se > Então A partir de (e) da Observação 1, podemos estender as regras (b) e (c) da seguinte forma:</p><p>24 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 1] Números Complexos 25 (b') Se = 00, então lim = 0, enquanto que lim = logo não existe lim 2-00 (c') Se e 0, então Limites superior e inferior. No caso em que os valores de uma função são reais, podemos definir ainda os conceitos de limite (c") Se f(z) = a E então lim f(z)/g(z) superior e limite inferior. Sejam f:A R. uma função e um ponto de acumulação de A. limite superior de quando Z tende a é definido da Os casos restantes que podem ocorrer são chamados de inde- terminações. Assim, por exemplo, se seguinte maneira: dado E > 0, seja M(E) = sup{f(z); E A e < Observemos que M(E) poderia ser too para todo temos uma indeterminação do tipo 0.00 para limite de Neste caso colocaremos = Caso contrário, quando De forma análoga, se 0, ou isto é, se existe > 0 tal que < não é difícil ver lim f(z) = lim = dizemos que a indeterminação é do tipo que a função M é não decrescente no intervalo isto é, se 0/0 ou 00/00, respectivamente, para o limite de quando então M(E2). Neste caso colocaremos Vejamos um exemplo. EXEMPLO 10: Se # 0, Note que neste caso, se # 0 para algum i > 1, então temos Usaremos também a notação lim sup f(z) = f(z). uma indeterminação do tipo 00/00. A fim de provar fato acima, escrevamos De forma análoga, define-se o limite inferior de f(z) quando tende a por, de forma que e agora observar que = lim e e utilizar a regra (c) da Observação 2. EXEMPLO 11: Sabemos do Exemplo 9 que lim = 00, se n OBSERVAÇÃO 3: Os seguintes fatos podem ser verificados sem difi- No entanto, não existem os limites lim e lim Ve- culdade: rifiquemos por exemplo que não existe lim Escrevendo (a) lim f(z) lim f(z). Além disto, se lim f(z) = lim f(z) = a, + isen temos = + logo = Tomando-se as semi-retas = = então a = lim f(z). (0,+00) = {r(cos + r > 0}, onde A = obte- (b) lim - lim e (-f(z)) = lim mos 0, se e = se Z Portanto</p><p>26 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 2] Séries de números complexos 27 (c) Se > 0 e lim f(z) E então lim g(z). Analogamente, se A seqüência é, por de- j=0 a finição, a série de termos In, n > Quando a é convergente, dizemos que a série converge e denotamos seu limite 8 NOTA: Estamos convencionando acima = e por ou Por abuso de linguagem, usaremos as mesmas notações para designar a série Assim, será comum utilizar- No caso em que A não é limitado, define-se também os li- mos as sentenças a série converge, ou a série diverge. mites superior e inferior de f(z), quando Z tende a Dado 0, coloquemos M(r) = E A e > r} e O número = será chamado de soma parcial de ordem n da m(r) = e Definimos então série. = EXEMPLO 12: Seja E C e consideremos a série geométrica de = = razão A, A soma parcial de ordem é dada por = que Um caso particular que utilizaremos mais adiante, é quando A = N. Neste caso, f é uma e escreveremos lim fn + para o limite superior e lim fn para o inferior. Convém notar que as propriedades (a), (b) e (c) da Observação 3 são válidas também quando = 00, logo em, particular para as seqüências. Outra observação útil é a seguinte: Se lim tn < então lim tn é maior ponto de acu- Levando em conta o Exemplo 1 do $1.5, vemos que a série mulação da Analogamente, se lim tn > -00, converge se, e somente se, < 1, e neste caso então lim tn é menor ponto de acumulação de (Veja a 1 = prova em [E.L. I]). No caso em que = 1, temos Sn = n, logo a série diverge, sendo = 2. Séries de números complexos n>0 O critério de Cauchy para as séries pode ser enunciado da 2.1. Critério de Cauchy. seguinte forma: Consideremos uma de números complexos. A par- TEOREMA 4. (Critério de Cauchy para séries). Uma condição ne- tir dela podemos formar uma nova definida por cessária e suficiente para que a série seja convergente, é que</p><p>28 o Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 2] Séries de números complexos 29 para todo > 0 exista no > 0 tal que se m > > então Seja tal que < too. Da desigual- m dade triangular generalizada, segue-se que (23) = < E. m m j=n (25) j=n < vem que, dado existe agora aplicar critério de Cauchy na de somas parciais. m no 0, tal que, se m > n então Da desigualdade COROLÁRIO 1. Se a série converge, então lim = 0. m (25), obtemos então que < E. Portanto satisfaz ao j=n Com efeito, seja E > 0 e fixemos no tal que se critério de Cauchy, logo é convergente. no então + + < E. Em particular temos que < E para n > no, logo lim = 0. COROLÁRIO 4. (Critério da raiz). Seja uma série de números NOTA: A condição lim = 0 não é suficiente para que complexos. Coloquemos a = lim sup Então: convirja. Assim por exemplo a série harmônica 1/n satisfaz (a) Se a < 1 a série é absolutamente convergente. n>1 lim 1/n = 0 e no entanto é divergente, como veremos mais adiante (b) Se a > 1 a série é divergente. (veja também [E.L. I]). Suponhamos que a < 1. Fixemos um número B, tal que a 1. Como a é maior ponto de acumulação de COROLÁRIO 2. Seja tn uma série de termos reais tal que tn > 0 segue-se que existe no > 1 tal que, se n no então para todo n > 0. Então tn converge se, e somente se, a ou seja, < Bn. Podemos então escrever, para n > das somas parciais é Neste caso, temos (24) 8 DEFINIÇÃO 4: Dizemos que uma série de números complexos j=0 In n>0 é absolutamente convergente, se = no-1 COROLÁRIO 3. Uma série de números complexos absolutamente onde M = Segue-se que Zj é absolutamente conver- j=0 convergente, é convergente. gente, como queríamos.</p><p>30 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 2] Séries de números complexos 31 Suponhamos agora que a > 1. Fixemos um número 3 tal que COROLÁRIO 6. (Critério da integral). Seja (0,+00) 1 <B< a. Como a é maior ponto de acumulação de uma função contínua, não crescente, e tal que lim f(x) = 0. Então esta seqüência possui uma que tende a a. Isto implica a série f(n) converge se, e somente se, que ela contém uma cujos valores são maiores que B, ou n>1 seja, existe uma > tal que > B, para todo > 1. Decorre daí que > k > 1. Como lim = +00, segue-se que a não é limitada, f(x) < e portanto, pelo Corolário 1, a série In não pode convergir. Deixamos a demonstração como exercício para leitor. Ve- OBSERVAÇÃO 4: No caso em que a = lim = 1, nada po- jamos algumas aplicações. demos afirmar em geral. Assim, por exemplo, se = 1 para todo EXEMPLO 13: Examinemos a convergência de onde E C. n > 0, temos a = 1 e > diverge. No entanto, se = 1/n2, n>1 Se > 1, a série diverge porque lim = Por outro lado, temos também a = 1, mas a série 1/n2 converge, como veremos se 0 < < 1, a série converge pelo critério da razão, já que n>1 mais adiante. COROLÁRIO 5. (Critério da razão). Seja lim = lim = 1. uma série de números complexos não nulos. Valem as seguintes propriedades: Logo a série converge absolutamente se (a) Se lim < 1, então a série é absolutamente conver- EXEMPLO 14: Examinemos a convergência de onde n>1 gente. Cea> 0. Em primeiro lugar (b) Se lim Zn+1 > 1, então a série é divergente. lim = lim A demonstração se baseia no seguinte fato, cuja prova leitor pode encontrar em [E.L. I]: Podemos concluir do critério da razão que a série converge Seja uma de números positivos. Então absolutamente se < 1, e diverge se > 1. Consideremos caso = 1 do ponto de vista da convergência absoluta. Vamos provar (26) lim < lim lim /an < lim que converge se, e somente se, a > 1. an an n>1 (a) 1. Como < n > 1, vemos que Em particular, se eristir lim eristirá também lim e os an dois limites serão iguais. 1/n. Portanto, se a série for divergente, Em outras palavras, o critério da raiz é mais geral que o da razão. também o Coloquemos Sn = 1/j. Podemos escrever</p><p>32 Corpo dos Números Complexos I sec. 2] Séries de números 33 que TEOREMA. (Riemann). Seja tn uma série de números reais con- S2n+1 = dicionalmente convergente. Dado a E RU {-00,+00}, existe uma reordenação tal que = a n + EXEMPLO 15: Podemos obter séries condicionalmente convergentes da seguinte forma. Seja uma função não crescente tal que lim a série = é condicionalmente convergente. A baseia-se no fato de que Segue-se que - todo n 2. Portanto f(n). não satisfaz critério de Cauchy, logo não converge. (b) a>1. Vamos utilizar o critério da integral. Coloquemos Vemos que TEOREMA 5. Seja uma série de números complexos. As se- n>0 afirmações são equivalentes: (a) é absolutamente convergente. Portanto < too. Logo a série converge, se a > 1. (b) Para toda reordenação N N, a série é conver- n>1 gente. Quanto à convergência de n>1 (c) As séries e são absolutamente conver- mencionamos, sem demonstrar, que ela diverge apenas quando gentes. d=1. Caso uma das três condições seja verificada, então para toda reordenação 4, temos: 2.2. Reordenação de séries. (27) DEFINIÇÃO 5: Seja 4:N N uma bijeção. Dada uma série a sua reordenação por é, por definição, a série DEMONSTRAÇÃO (c) (a). Decorre da desigualdade No caso em que uma série converge, mas não converge abso- + lutamente, dizemos que ela é condicionalmente convergente. (a) => (b). Seja uma reordenação qualquer de Um resultado famoso, devido a Riemann, cuja demonstração omitiremos (veja [E.L. I]), é seguinte: Coloquemos m(n) = Como</p><p>34 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 2] Séries de números complexos 35 são dois a dois distintos, já que é bijeção, te- Se # temos > n e m(n + 1) > m(n), se n > 0. Por outro lado, logo = ( j=0 j=0 Coloquemos = min(7(n)U{n}). Observemos os seguintes fatos: m(n) (i) (verifique). Logo é absolutamente convergente. j=l(n) (verifique). (b) (c). Coloquemos = In e = Yn. Caso (b) seja verdadeiro, mas (c) não o seja, as duas séries e Yn (iii) lim = são convergentes, mas uma delas é condicionalmente convergente. Com efeito, como é não decrescente, caso lim Suponhamos, por exemplo, que seja condicionalmente con- < seria limitada. Como esta toma valores inteiros não negativos, neste caso, existiria no tal que para n > no vergente. Neste caso, pelo Teorema de Riemann, existe uma bijeção teríamos = Isto implicaria que para todo n > no, o N N tal que lim = Decorre daí que a série inteiro e(no) estaria no conjunto {0,...,m(n)}, mas não no conjunto ou seja, não assumiria valor que é uma não pode ser convergente, que contradiz (b). Logo (b) contradição. Vemos então que (c). m(n) m(n) Finalmente, suponhamos que uma das três afirmações seja lim Zj lim verdadeira. Seja uma reordenação da série, onde 4: N j=0 n>0 N, não é a função identidade (vamos supor isto, de agora em diante). lim Coloquemos como antes m(n) = Já vi- j=l(n) mos que m(n) > n e m(n + 1) > m(n), para todo n > 0, ou seja lim m(n) = too. Afirmamos que: 2.3. Famílias somáveis e séries duplas. m(n) (28) lim = 0. Teorema 5 motiva a seguinte: j=0 DEFINIÇÃO 6: Seja I um conjunto enumerável infinito. Dizemos que uma função I C define uma família somável, se existe uma Claramente (28) implicará (27). bijeção I tal que a série seja absolutamente Consideremos o conjunto I(n) = {0,1,2, - convergente.</p><p>36 Corpo Números Complexos [Cap. I sec. 2] Séries de números complexos 37 Pelo Teorema 5, o fato de ser absolutamente TEOREMA 7. Sejam J e K enumeráveis infinitos e consideremos convergente independe da bijeção assim como também o limite uma série dupla indexada em Suponhamos que para Este limite será chamado de soma da famália e será n>0 todo j E J, a família seja somável. Coloquemos = denotado por Zi- Denotaremos a função I -> C por e suponhamos que seja somável. Então: Uma do Teorema 5, é o seguinte: (a) A família é somável. (b) Para todo K, a família é somável. TEOREMA 6. Seja uma família de números complexos, onde I é enumerável e infinito. Então a família é somável se, e somente (c) Colocando-se temos se, o conjunto: é subconjunto finito de I} C +00) (30) é limitado. Caso isto ocorra, temos DEMONSTRAÇÃO: Como J e K são enumeráveis, vamos supor sem (29) perda de generalidade que J = K = N. Dado um subconjunto finito L existem m, n > 0 tais que L C {0,1,...,m} DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que A seja limitado. Neste caso, se {0,1,...,n}. Vemos então que m 4: N I é uma vemos que sup A, logo a n=0 família é somável. Suponhamos agora que a família seja somável. j=0 Seja 4: N 1 I uma bijeção tal que = a < too. Se m = J C I é um conjunto finito, então J C para algum j=0 m > 0, logo Aplicando-se o Teorema 6, obtemos que a família é Isto também implica que para todo k E N, a família é somável. Com isto provamos (a) e (b). m Portanto A é limitado e sup A a. Ora, como E A para n=0 Façamos = Provaremos em seguida que, dado Z todo m 0, vemos também que j,k=0 m sup A, E > 0, existe tal que se m > então - E. Isto j=0 m ou seja a = sup A. implicará que = aj. Fixemos E > 0. Pelo Teorema 6, existe 8 j=0 Um caso particular interessante, é quando o conjunto de um conjunto finito Lo tal que índices é da forma J K, onde J e K são enumeráveis. Neste caso usaremos também as notações = Zjk e = (31) j,k=0</p><p>38 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. 3] Espaços de Funções Contínuas 39 Não é difícil ver que as desigualdades em (31) permanecem estamos implicitamente dizendo que = lim fn(x), onde fn(x) = válidas, se substituirmos por qualquer subconjunto finito de tal que L ) Lo. Por outro lado, existem e no N tais que se m no n > então Lo, onde = {0,1,...,j}, DEFINIÇÃO 7: Seja uma de funções, onde In: Portanto, U C, n > 0. Dizemos que a converge pontualmente em X C U, se para todo Z EX existe o limite lim A função = g: X C definida por g(z) = lim é chamada de limite pontual da Decorre que, EXEMPLO 16: Consideremos a = Como já vimos, lim = 0, se < 1, lim = 8 se > 1 e o limite j=0 m = não existe, se = 1 e # 1. Colocando-se X = {1} U D1(0), podemos dizer que converge pontualmente para g: X C, onde g(z) = 0 se Z # 1 e g(1) = 1. Observe que g não é contínua, embora In seja contínua para todo n 1. Para garantir que o limite Logo, se m > obtemos que de uma de funções contínuas seja uma função contínua, é necessário fortalecer a condição de convergência. m Z - j=0 = z - m ( lim n DEFINIÇÃO 8: Dizemos que uma de funções, a j=0 valores complexos, definidas num conjunto X, converge uniforme- m n mente para uma função C, se para todo E existe no 0 = lim tal que se no, então f(x) < E, para todo I E X. Di- j=0 k=0 remos então que a converge uniformemente e usaremos a notação fn f. Portanto Z = aj Analogamente, prova-se que = Observe que uma que converge uniformemente, também converge pontualmente. Decorre daí, que o limite uniforme, se existe, é único. 3. Espaços de Funções Contínuas TEOREMA 8. Uma de funções contínuas que converge uni- formemente, converge para uma função contínua. 3.1. Convergência uniforme. A demonstração pode ser encontrada em [E.L. II] ou [E.L. Em Análise é considerar-se funções que são definidas por III]. meio de limites. Assim, por exemplo, quando definimos a exponen- Por exemplo, a = do Exemplo 16, con- cial pela série verge pontualmente no disco para a função identicamente nula = f III 0, mas não converge uniformemente. De fato, logo para todo n > 1, existe tal que - 0 = 2/3. Portanto,</p><p>40 Corpo dos Números Complexos [Cap. I sec. Espaços de Funções Contínuas 41 não pode convergir uniformemente. EXEMPLO 16: Consideremos seqüência C, n > 1, de- Por outro lado, se restringirmos as funções In a um disco finida por = Para # 1 temos fn(z) = 1, colocando fn = então a Como já vimos, limite fn(z) existe se, converge uniformemente. Com efeito, se Z E então e somente se, e neste caso lim Afirma- Como lim = 0, dado E > 0, existe no tal que mos que converge uniformemente nas partes compactas de se > no então < E, para todo Portanto D1(0) un. fn Isto a definição seguinte: Com efeito, seja K C D1(0), um compacto. Seja = 9: Seja U C C um aberto. Dizemos que uma > 0. É claro que, se = 1 8, então D,(0) K. de funções converge uniformemente nas partes compactas Portanto, para todo Z E K, temos: de U, se para todo compacto K C U, existe no 0 tal que se n então domínio de fn contém K e, além disto, a de restrições é uniformemente convergente. TEOREMA 9. Seja U C um aberto. Se é uma seqüência de funções que converge uniformemente nas partes compactas de U, Seja E Como T < 1, existe no tal que se n > no então então existe uma única função C tal que para todo compacto Portanto, se n no, temos K C U, temos Em particular, se fn for contínua para ou todo n 0, então f é contínua. Observemos também que se U C C, contém algum ponto do NOTA: Usaremos a notação fn u.p.c. f e diremos que a complementar de então não converge uniformemente converge uniformemente para f, nas partes compactas de U. nas partes compactas (verifique). DEMONSTRAÇÃO: Dado Z E U, o conjunto {z} é compacto. Pela 3.2. Convergência uniforme em compactos. definição, existe n(z) > 0 tal que se n n(z), então domínio de fn contém Z e a numérica converge. Por- Nesta seção consideraremos o conjunto C(K), de todas as funções tanto existe lim fn(z) = f(z) e define uma função f:U C. contínuas, a valores complexos, definidas em K. conveniente in- Consideremos agora um compacto K C U. Pela definição existe troduzir a seguinte notação: = K}. Quando n(K) = no tal que se n no então domínio de fn contém K e C é contínua e K é compacto, vale que 0 < converge uniformemente, digamos un. Como De fato, quando K é compacto, é uma norma em C(K), isto lim = f(z), para todo Z E K, concluimos que é, valem as seguintes propriedades: (N.1) = 0 se, e somente se, f 0. Suponhamos agora que fn seja contínua para todo n 0. (N.2) = para todo E C. Neste caso, dado U, fixemos T > 0 tal que K = C U. (N.3) + (desigualdade triangular). Como K é compacto e concluimos que é contínua (Teorema 8). Em particular, como K é vizinhança de Zo, vem que Deixamos a verificação destas propriedades para o leitor. f é contínua em Como 20 foi escolhido arbitrariamente em A norma é chamada de norma da convergência uni- deduzimos finalmente que f é contínua. forme em K.</p><p>42 Corpo dos Números Complexos I sec. 3] Espaços de Funções 43 OBSERVAÇÃO 5: Seja uma seqüência em C(K). Não é difícil (c) Se A é compacto e g(z) # 0 para todo E A, então existe verificar, a partir da Definição 8 e do Teorema 8, que as seguintes no 0 tal que, se m > então In(z) # 0 para todo E A afirmações são equivalentes: un e, além disto, f/g. (a) f, e neste caso f E C(K). DEMONSTRAÇÃO: Verificaremos apenas a afirmação (c). Seja k = (b) Para todo E 0, existe no > 0 tal que se n então A}. Como 0 para todo E A e A é compacto, temos k Fixemos 0 tal que, se > no, então - < (c) - = 0. As propriedades (N.1), (N.2) e k/2. Dado E A, temos (N.3), nos dizem que C(K) é um espaço métrico com a distância DEFINIÇÃO 9: Dizemos que uma em C(K) é de para todo n no. Por outro lado, dados n no e Cauchy, se para todo existe no 1, tal que se então f(z) = TEOREMA 10. Uma condição necessária e suficiente para que uma seqüência em C(K) seja convergente é que ela seja de Cauchy. A demonstração pode ser encontrada em III]. Observemos que Teorema 10 nos diz que C(K) com distân- cia definida a partir de é um espaço métrico completo. onde M = 2k-2 Concluimos que EXEMPLO 17: A 1, converge uniformemente em D1(0). De fato, se então Isto implica que lim = 0. Logo In/In f/g. m COROLÁRIO. Sejam U C C um aberto e cias em C(U) tais que f e In g. Então: u.p.c. j=n+1 j=n+1 (a) u.p.c. Como a série 1/n2 converge, concluimos da desigualdade n>1 (b) f.g. acima que é de Cauchy, logo converge uniformemente. (c) Suponhamos que g não seja identicamente nula. Seja V = {z E # 0}. Então converge TEOREMA 11. Sejam e seqüências em C(A), onde mente nas partes compactas de V para f/g. A C C. Suponhamos que Então: Deixamos a demonstração como exercício para leitor. (a) Examinemos agora como a convergência uniforme se com- porta com relação à composição de funções.</p><p>44 Corpo dos Números Complexos I Exercícios 45 TEOREMA 12. Sejam K, U C C, K compacto e U aberto. Sejam COROLÁRIO 1. Seja uma em C(U), onde U C C e seqüências em C(K) e C(U) respectivamente, tais que un. f, In u.p.c. e f(K) C U. Então existe no 0 tal é um aberto. Seja C tal que f(K) C K compacto. Suponhamos que In g. Então f un. u.p.c. que para todo n > no temos fn(K) C U. Além disto, a converge uniformemente para f em K. COROLÁRIO 2. Seja uma em C(K), onde K é compacto. Seja g:U C em C(U), U aberto. Suponhamos que DEMONSTRAÇÃO: Provemos a primeira afirmação. No caso em que U = C, ela é trivial. Suponhamos U # C. Neste caso, f(K) é un. f onde f(K) C U. Então existe no tal que se n no compacto e C - U é fechado, sendo f(K) (C - U) = Como temos fn(K) C U. Além disto, un. gof em K. vimos em 8 do $1.6, temos d(f(K), = d > 0. Coloquemos COROLÁRIO 3. Sejam e em C(V) e = d(fn(K), C - Queremos provar que existe no 0 tal que C(U) respectivamente, onde V e U são abertos de C. Suponha- se n > então (K) = o que é equivalente a dn mos que fn u.p.c. f, In u.p.c. f(V) C U. Então fn u.p.c. para n É suficiente então verificar que lim dn = d. Fixemos um compacto K C V. Como f(K) CU, Como vimos em 9 do $1.6, para todo n 0, existem E K EC - U tais que dn = Analogamente, existem pelo Teorema 12, existe no (que depende de tal que se n > C - U tais que Vemos então que então C U. Portanto, se n > o domínio de contém K e podemos aplicar o Teorema 12 para provar que u.p.c. em K. Isto implica que gof. Logo e portanto lim dn = d. EXERCÍCIOS Fixemos no tal que L = U fn(K). n>no Verifica-se facilmente que L é fechado e limitado, logo compacto. Além disto, d(L,C U) 0, logo L C U. §1 Seja 0. Como g é contínua e L é compacto, g|L é uni- 1. Prove utilizando as definições da soma e do produto de dois formemente contínua (veja [E.L. II]). Isto implica que existe 8>0 números complexos, as afirmações (C.1),...,(C.7) do tal que se W1, W2 E L e - < então - < Tomemos agora n2 no tais que, se n e E K, então 2. Um polinômio de grau é uma função da forma p(z) = + n2 e E L, então In(w) - < + onde an # 0. Sejam e q dois polinômios, onde Nestas condições, se n n3 = max e E K, então gran(p) = m e grau(q) = n. Prove que - (a) + q 0, então grau(p+q) Como n > temos - < 8, logo (b) grau(p.q) = grau(p)+ E/2. Como n n2 e E L, temos - (c) grau(poq) = m.n. Obtemos daí que se n ou 3. Seja p um polinômio de grau n 1. Dado a E C, prove que existe um polinômio q de grau n-1, tal que p(z) =</p><p>46 Corpo dos Números Complexos Exercícios 47 [Cap. I p(a), para todo E C. Deduza daí que um polinômio de grau 13. Seja uma definida indutivamente por Zn+1 = n possui no máximo n raízes. Prove que se < 1 então lim = 0, e se > então 4. Prove as propriedades do 14. Um processo iterativo para determinar as quadradas de 5. Seja a = + isen onde E Prove que a função um complexo. Sejam a E C-{0} eb uma raiz quadrada f(z) = a.z, corresponde a uma rotação de ângulo em torno de a (isto é, = a). Seja l a reta em C que contém 0 e ib. da origem E C. Interprete geometricamente a função g(z) = Esta reta divide C em dois semi-planos. E Ceb = + isen > (i) Prove que os semi-planos acima citados podem ser ex- 6. Seja a = a + iB, onde E R, B 0. Prove que as duas pressos como H+ < 0} e soluções de z2 = a são onde (ii) Seja definida por f(z) = Prove que (iii) Dado Zo C prove que é possível definir indutiva- sendo E(B) = 1 = -1 se (As raízes mente uma por = f(zo) e Zn+1 = quadradas acima consideradas são positivas). Prove que lim = b, se E e lim = -b, se 7. Considere uma função R-linear f:R2 C, f(x,y) = (ax + E Sugestão para (iii). Suponha que E by) + + dy) a,b,c,d E R.. Prove que, identificando (x,y) Prove que a = com + iy, existem a,B E C tais que f(z) = a.z + onde tal que Prove que f é isomorfismo se, e somente 15. Prove que, se = a. Dê exemplo de uma não convergente tal 8. Usando a identidade + isen = + que a convergente. expresse e como funções de sen A e cos 16. Prove que os conjuntos definidos abaixo são abertos de C: 9. Quantas determinações possíveis tem + Prove que uma destas determinações é 4. (a) 10. Prove a desigualdade de Cauchy-Schwartz: 0 e (d) a 11. Determine explicitamente uma convergente da Esboce cada um dos conjuntos acima. 17. Esboce cada um dos conjuntos especificados abaixo. Diga quais 12. Sejam tais que = > 1. Prove que, se a são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos limitada, então a = b. nem fechados.</p><p>48 Corpo dos Números Complexos [Cap. I Exercícios 49 (a) (b) Prove que se G é um subgrupo aditivo discreto de C, então (b) - < G = com a E C-{0}, ou G = 1/2. onde (c) (d) 18. Seja = cos A + isen onde E e é irracional. 1. Prove que = 1. Deduza que 1 n>1 Prove que o conjunto é denso em = = 1}. Sugestão. Se a Q, então {ma + m, é denso em 2. Demonstre o critério da integral (veja o Corolário 6 do Teorema 4 do 19. Seja A E C tal que Re(A) e Im(A) não são racionais. Prove que o conjunto denso em C. 3. Prove que as seguintes séries são absolutamente convergentes: 20. Seja f: C C uma função tal para (a) quaisquer E C. Prove que, se f é contínua em = 0, então n>1 f é contínua. (b) onde 21. Prove que para todo t para todo n E N. tal que lim t. todo n > 1. 22. Seja = Para cada uma das funções f abaixo, determine M(f) = inf{|f(z) S1} e pontos ZM e E tais que = M(f) e 4. Prove que as seguintes séries são divergentes: (a) onde (b) n>1 (c) n>1 23. Um subgrupo aditivo do Rn é um conjunto G C com as n>1 seguintes propriedades: (i) 0 E G, (ii) Se a E G, então 5. Critério de Dirichlet. Seja an uma série de números com- G, plexos, cuja de reduzidas (sn = a1 é (a) prove que G = limitada. Seja (bn)n>1 uma não crescente de números = positivos tal que lim = 0. Prove que anbn é convergente. n>1 subgru- Sugestão. Prove que po aditivo de C.</p><p>50 Corpo dos Números Complexos [Cap. I Exercícios 6. Prove que é convergente, se 3. < 1 e an n>1 Sugestão. Use o exercício anterior. fina indutivamente uma de polinômios = 7. Prove que as seguintes séries duplas são absolutamente conver- (a) Prove tais que, se gentes: (a) absolutamente con- (b) Prove n>1 vergentes. Mostre que, neste caso, (c) Prove que a definida por f converge uniformemente em m>1 ambn = (b) m>1 (c) onde R. m>1 n>1 8. Prove que a série dupla diverge, se §3 1. Dado um subconjunto X C C, seja Cb(X,C) = C; f é limitada}. Defina = Prove que: (a) é uma norma em (b) é completo com a norma 2. Em cada um dos casos abaixo, prove que a converge uniformemente nas partes compactas de D1(0): (a) (b) onde sendo < 1. (c) = uma limitada.</p><p>50 Corpo dos Números Complexos [Cap. I Exercícios 51 6. Prove que é convergente, se = 3. = onde < 1 e an # 0. De n>1 Sugestão. Use o exercício anterior. fina indutivamente uma seqüência de polinômios p(1) = 7. Prove que as seguintes séries duplas são absolutamente conver- (a) que, gentes: (a) ambn, onde am e são absolutamente con- m>1 n>1 n>1 vergentes. Mostre que, neste caso, (c) Prove que a definida por = converge uniformemente em D,(0) (b) n>1 (c) onde R. m>1 8. Prove que a série dupla diverge, se §3 1. Dado um subconjunto X C {f:X C; f é limitada}. Defina = sup{|f(z) Prove que: (a) 11x é uma norma em (b) é completo com a norma 2. Em cada um dos casos abaixo, prove que a converge uniformemente nas partes compactas de D1(0): (a) lim = sendo 1. (c) é uma limitada.</p><p>sec. 1] Funções holomorfas 53 o(h,k) onde é tal que lim CAPÍTULO II = (veja [E.L. II]). A mera existência das derivadas parciais em U não é suficiente FUNÇÕES ANALÍTICAS para garantir que a fórmula (1) seja válida. leitor pode constatar este fato no exemplo f(x,y) = + se # (0,0) e f(0,0) = 0. Esta função é de classe em contínua em (0,0), possui as derivadas parciais e mas a fórmula (1) não é válida se = (0,0). 1. Funções holomorfas Seja f:U R onde U C é um aberto. 1.1. Derivada real. Dizemos que f é diferenciável em E U, se existem a,b E R tais que Neste parágrafo admitiremos que o leitor tenha alguma familiari- dade com o cálculo de funções de uma e duas variáveis e em especial que já tenha manipulado derivadas de funções reais e derivadas par- (2) lim ciais. Começaremos relembrando algumas definições e resultados do cálculo que utilizaremos ao longo do texto. Não é difícil ver que (2) implica que a = = DEFINIÇÃO. Seja f:V R, onde U C é um aberto. Dizemos Note que (2) é equivalente a (1), bastando colocar = que f é de k > 1, se f é contínua, possui todas as deri- - vadas parciais até ordem e estas definem funções contínuas em U. Dizemos que f é de classe se for classe para todo k > 1. A função linear = é chamada Quando f for apenas contínua diremos que f é de classe de derivada da função f em (x,y). Se onde é um aberto, podemos escrever No caso em que todas as noções discutidas acima f = + onde = Neste caso diremos que f se aplicam a = Re(f) Neste caso f será é de classe de classe em se e forem. A derivada de f em (x,y) U será então a No caso especial em que U é um intervalo de R, diremos que aplicação por f é um caminho de classe Se f(t) = u(t) + t E e f é de classe a derivada de f em t U será f' = u'(t) + (t). número complexo f'(t) é chamado de vetor tangente ao caminho f em t. Quando f'(t) # 0 para todo t E diremos que o caminho é Se f'(to) # para algum to E U a reta tangente ao caminho Podemos então escrever que f em to é, por definição, a reta parametrizada y(s) = Consideremos agora uma função de classe f:U onde é um aberto. Dados (x,y) E U e (h.k) tais que E U, podemos escrever onde Usaremos a notação Df(x,y) para designar a transformação (1) linear T, a qual é também chamada de derivada de f em (x,y).</p><p>54 Funções Analíticas [Cap. II Funções holomorfas 55 sec. Identificando C com R2 e usando a notação matricial; pode- Em particular f é um polinômio de grau n em mos escrever que duas variáveis, logo é de classe Temos também A matriz é chamada de matriz jacobiana de f e o seu determinante de jacobiano de f. EXEMPLO 1: As derivadas parciais de uma função constante, de- n finida num aberto do são nulas. Portanto, uma tal função é diferenciável e possui derivada nula em todos os pontos. Recipro- camente, se f:U C possui derivadas parciais nulas em todos os pontos de um aberto conero U, então f é constante (veja a demons- tração no §4 do cap. III de [E.L. II]). Mais geralmente, se U não é conexo, então f é constante em cada componente conexa de U. Com um cálculo análogo, temos = A partir EXEMPLO 2: Consideremos um polinômio de duas variáveis reais e daí, a derivada de f se expressa como grau n, Portanto Df(z) consiste na transformação linear - onde akl E C se para algum tal C dada por que = n. As derivadas parciais de f são EXEMPLO 4: Seja g(z) = Como no caso anterior g é um polinômio em duas variáveis reais, logo é de classe dx e Um cálculo direto mostra que e Neste caso f é de classe e a sua num ponto (x,y) E é Logo a derivada de se expressa como - Colocando-se iy e aplicando-se a fórmula do binômio de Newton, temos ou seja ela é da forma Voltaremos a discutir os dois últimos exemplos mais adiante.</p><p>56 Funções Analíticas [Cap. II sec. 1] Funções holomorfas 57 OBSERVAÇÃO 1: As regras usuais de derivação da soma, do pro- duto e do quociente de duas funções com valores reais, se estendem podemos considerar a A regra da nos diz que, naturalmente para as funções com valores complexos. Assim, por se f e g são de classe então go f é também de classe exemplo, se f,g:U C são funções diferenciáveis, onde U C C é e além disto nos fornece que um aberto, temos: (veja o §3 do cap. de [E.L. II]). Vamos considerar o domínio de g como C e ver como a regra se expressa nos três seguintes casos: (a) = 1° CASO: U C R e V R. Neste caso, se U e V são intervalos, (b) C são Escrevendo g = onde (c) Como ilustração verifiquemos a fórmula (b). Coloquemos = f(x,y) = onde a = A regra da cadeia para funções reais nos fornece então obtemos: CASO: C R e V C Neste caso, se U é um intervalo, então fegof são caminhos. Podemos escrever f(t) = x(t) + iy(t) e Por outro I = Re(f), y = Im(f), a = Re(g) e Im(g), e A = dx derivada da composta será então a Analogamente, Portanto, Em termos da transformação escrever que = 3° CASO: + iv(x,y), a composta é dada por = = A OBSERVAÇÃO 2: Regra da cadeia. Sejam feg duas funções contínuas com domínios U e V respectivamente, onde U e V são abertos de R ou de C. Suponhamos que f(U) C V, de forma que )</p><p>58 Funções Analíticas [Cap. II sec. 1] Funções holomorfas 59 1.2. Derivada complexa, funções holomorfas. + iyo e = a + ib, temos O que distingue C do n 3, é fato de C ser um corpo. Po- demos então definir um conceito de derivada análogo ao das funções reais. (4) DEFINIÇÃO 3: Seja f:U C uma função contínua, onde U é um aberto de C. Dizemos que f é holomorfa em E U, se existe o 01(h) onde lim = = 0. Logo, de (1) do $1.1, obtemos limite que e são diferenciáveis em além disto, (k+il) = (3) h Vemos então que (4) é equivalente a que = O número complexo é chamado de derivada de f em Se + ou seja é a transformação linear de C dada f for holomorfa em todos os pontos de um subconjunto X de por (multiplicação por f'(zo)). Como o leitor pode diremos que f é holomorfa em X. A fim de distinguir esta derivada daquela definida no $1.1, verificar facilmente, a matriz desta transformação é , nos referiremos à do $1.1 como derivada real. f'(zo) = a + ib. Deduzimos daí que Se f for holomorfa em U, podemos definir a função derivada du de f, U C, que a cada U, associa a Se f' = a for também holomorfa, podemos considerar a sua derivada = (5) a qual é chamada de segunda derivada. De forma análoga, se f" for holomorfa, podemos considerar a terceira derivada, (f") = A derivada de f, f(n) é definida indutivamente por f(k+1) = k = 1. Podemos desde que As identidades em (5) são chamadas de de Cauchy- sejam holomorfas em U. Outra notação usual é Riemann. n 1. Observemos ainda que, se # 0, podemos escrever Vejamos algumas implicações de (3). Primeiramente (3) é = p(cos + isen onde A derivada real equivalente a de f em é dada por w I p(cos + Geometricamente, esta transformação linear corresponde a primeiramente girar vetor (3') lim w de um ângulo A, em torno da origem, e em seguida multiplicar o resultado por P > 0. Por esta razão, podemos dizer que Colocando-se que (3') é corresponde à composta de uma rotação com uma homotetia. A equivalente a matriz jacobiana de f em pode ser escrita como lim o(h) = sen (3") lim Observemos que, se f é holomorfa em então f tem derivada real em Com efeito, colocando-se f = iv, o = 01 + = e sen = =</p><p>60 Funções [Cap. II sec. 1] Funções holomorfas 61 Por outro lado, suponhamos agora que f possui derivada real em e que as relações (5) sejam válidas. Vemos então que implica que v 0, ou seja = 0. Como U é conexo, vem w = onde a = e b = Além disto, temos: que é constante, logo f também. OBSERVAÇÃO 3: Sejam f e g funções contínuas em U, aberto de lim 0 C, e holomorfas em E U. Da Observação 1 do obtemos as seguintes regras: lim =a+ ib. (a) h Portanto, f é holomorfa em e = ib. Podemos resumir (c) então f/g é holomorfa em e = o que foi visto acima no seguinte resultado: TEOREMA 1. Seja C uma função contínua, onde U C C é A verificação destas regras pode ser feita de maneira análoga um aberto. As seguintes afirmações são equivalentes: ao das funções reais de variável real. Assim por exemplo: (a) f é holomorfa em to U. lim = h (b) As partes real e imaginária de f satisfazem às relações de Cauchy-Riemann e f é diferenciável em do ponto de vista real. (c) f possui derivada real em e esta transformação linear cor- responde à multiplicação por um número complexo. OBSERVAÇÃO 4: A regra da cadeia, vista na Observação 2 do $1.1, Aplicando-se este teorema aos Exemplos 3 e 4 do $1.1, vemos tem as seguintes versões no caso holomorfo: que f(z) = é holomorfa em C, para todo n > 1, e g(z) = não é holomorfa em se 2 # 0. De fato, como vimos = h, (a) Sejam C e g: V C funções contínuas, onde U e V são abertos de C. Suponhamos que f(U) C V, f é holomorfa enquanto que h = nzn-1 Observe que pode ser calculado diretamente como abaixo: em Zo E U e g é holomorfa em = f(zo). Então g f é holomorfa em Zo, e além disto, De fato, = pela regra da cadeia h real. Porém e correspondem à multiplicação por = + g'(wo) e respectivamente. Logo D(g )(zo), corresponde à ou seja, g f é holomorfa em e = A regra da cadeia, neste caso, pode também ser deduzida de EXEMPLO 5: Seja C uma função holomorfa, onde C é maneira análoga ao caso das funções reais (veja a demonstração do um aberto conexo e f(U) C R. Então f é caso real, por exemplo, no §1 do cap. VIII de [E.L. I]). De fato, escrevendo-se f = + segue-se das relações de (b) Sejam C uma função holomorfa e U um ca- Cauchy-Riemann que = e = Por outro lado, f(U) C minho diferenciável. Então um caminho dife- renciável e além disto para todo</p><p>62 Funções Analíticas II sec. 1] Funções holomorfas 63 A verificação da pode ser feita utilizando-se COROLÁRIO 2. Uma função holomorfa num aberto U C C, é lips- 2° caso da Observação 2. chitziana em qualquer subconjunto convexo X de onde a sua Um resultado bastante útil na teoria de funções reais de derivada seja limitada. uma variável real, é chamado "Teorema do valor médio": seja NOTA: Dizemos que um conjunto X C convexo, se dados w f:[a,b] R uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) Então eriste E (a,b) tal que X, segmento w] que une a está inteiramente contido em X. Dizemos que f:U C é localmente lipschitziana se para cada E U existe uma vizinhança V de Z em U tal que f é lipschitziana No caso de funções de uma variável real a valores complexos, em V. este resultado é falso, como mostra exemplo f(A) = + i sen COROLÁRIO 3. Se f é holomorfa no aberto U C C e a sua derivada A E Neste exemplo a = 0, b = f(0) = 0 enquanto que - = sen A + # 0, para todo E C é contínua, então f é localmente lipschitziana em U. No entanto um resultado mais fraco pode ser obtido, se nos conten- Fixemos > 0 tal que = DCU tarmos com uma desigualdade. Como D é compacto, segue-se f' é limitada em D. Por outro lado, D é convexo, logo podemos aplicar o Corolário 2. TEOREMA 2. (Desigualdade do valor médio). Seja a: C um caminho. Suponhamos que a é diferenciável em (a,b) e que < M para todo Então 1.3. Aplicações conformes. Como vimos no parágrafo anterior, se a derivada de uma função holomorfa é não nula num certo ponto do seu domínio, então esta derivada, se considerada do ponto de vista real, atua nos vetores do A demonstração pode ser encontrada no §3 do cap. II de R2 como a composição de uma rotação com uma homotetia. Como é [E.L. II]. fácil de constatar tal tipo de aplicação linear transforma dois vetores Vejamos algumas não nulos do que formam um certo ângulo, em dois outros vetores formando mesmo ângulo. COROLÁRIO 1. Seja C uma função holomorfa no aberto DEFINIÇÃO 4: Dizemos que uma transformação linear T: R2 R2 C. Sejam a, E U e M > 0, tais que segmento [a,b] = é conforme se para quaisquer vetores E o ângulo formado C U e > M para todo Z E Então por T(u) e T(v) é mesmo que formado por e Dizemos que uma aplicação de classe onde U C é um aberto, é conforme se para todo ponto a derivada real de f em p for conforme. Basta aplicar Teorema 2 à a(t) = f(tb+ observando que a'(t) = Para ver que esta condição significa provaremos o seguinte resultado: Dizemos que uma função C é lipschitziana e, X C se existe uma constante k > 0 tal que - para LEMA Seja T: R2 uma transformação linear. Se identi- quaisquer w E X. ficarmos R2 com C pelo isomorfismo + iy, então T se</p><p>64 Funções Analíticas [Cap. II sec. Funções holomorfas 65 escreve como = para quaisquer C - 0. (7) para quaisquer onde a,b E C. Além disto, T é invertível se, e somente se,. Consideremos caso, Tomando-se = az + obte- # 0, sendo então a inversa dada por mos: Fazendo = iw na relação acima, Mais ainda T é conforme se, e somente se, a a = 0 e A transformação linear T é da forma T(x,y) = e onde E R. Do ponto de vista complexo R, temos aw Não é ver que a última relação só é possível se = 0. Daí obtemos a No caso, com um argumento análogo prova-se que = OBSERVAÇÃO 5: Nas figuras abaixo ilustramos geometricamente os dois casos possíveis para uma aplicação linear conforme. que prova (7). Um cálculo direto o determinante da matriz T(w) T(z) T(z) T(w) de T, Logo T é invertível se, e somente se, e Por outro lado, se colocarmos S(w) = - uma substituição direta mostra que S(T(z)) = e T(S(w)) para quaisquer C. Logo S é de T. Suponhamos agora que T seja conforme. Observemos que se formam ângulos e respectivamente com o eixo real, FIG. FIG. então = (cos A + + logo ângulo formado pelos vetores valor absoluto, sendo Figura 1 Repare que na Figura 1.b a posição dos vetores e T(w) está in- com relação à Figura 1.a. No 1° caso dizemos que a aplicação Como T é conforme, temos dois casos: mantém a orientação e no que inverte a orientação.</p><p>66 Funções Analíticas [Cap. II sec. 1] Funções holomorfas 67 Uma imediata do lema é que uma aplicação f de classe é conforme num aberto U de C se, e somente se, para Da relação acima, obtemos as seguintes (omitindo o ponto Z na todo Z EU a sua é de um dos seguintes tipos: notação): (a) (b) (10) Se for como em (a) para todo E a aplicação é dy holomorfa em U, como já vimos. Por outro lado, se é como em (b) para todo Z E U, dizemos que f é anti-holomorfa em U. Observemos que no caso (b) a matriz jacobiana de f + iv, num ponto EU é da forma dy (11) dz (8) Para finalizar, observemos que, se g: U C é de classe Da definição e de (8), obtemos então a seguinte conforme, e U é conexo, então g é holomorfa ou anti-holomorfa em U. Com efeito, como g é de classe as aplicações e são As seguintes afirmações são equivalentes: contínuas em U, logo os conjuntos A = {z E 0} e B = (a) f + iv é anti-holomorfa em U. {z # 0} são abertos de Como g é conforme, temos (b) iv é holomorfa em U. AnB = AUB = U. Como U é conexo, devemos ter B = ou A = Finalmente, se B = então g é holomorfa e se A = em U. então g é anti-holomorfa. Em geral a real de uma aplicação g:U C, em 1.4. O teorema da função inversa. Z E U. é da forma = ah + bh. É comum utilizar as notações a = seja, 5: Seja f:U C uma aplicação diferenciável, onde C C é um aberto. Dizemos que f é um difeomorfismo sobre (9) f(U), se f(U) for aberto e se f:U f(U) for um homeomorfismo cuja inversa U é diferenciável. No caso em que f e Levando-se em conta as em (9), obtemos que f-1 são holomorfas, dizemos que f é um difeomorfismo holomorfo g é holomorfa 0. ou um bi-holomorfismo. Se f e f-1 forem conformes, diremos que f é uma equivalência conforme entre U e f(U). g é anti-holomorfa 0. OBSERVAÇÃO 6: Seja f:U C um difeomorfismo. Como f-1: Colocando-se h ainda f(U) U é diferenciável e f-1(f(z)) = para todo E U, a regra da cadeia implica que</p><p>68 Funções Analíticas [Cap. II sec. 2] Séries de Potências 69 onde I é a aplicação identidade de C. Em particular, para todo classe > 1, no teorema da função inversa, é desnecessária no Df(z): C C é uma aplicação linear invertível. Além disto, caso No caso geral no entanto esta hipótese é fundamen- como f(f-1(w)) = para todo w E f(U), vemos que tal, como mostra o exemplo Portanto, se f for holomorfa então f-1 é também holomorfa e além disto Neste exemplo, é possível provar que f é diferenciável em C, de classe em C {0}, = 0, mas f não é injetora em nenhuma vizinhança de 0. TEOREMA 3. (Teorema da função inversa). Seja f:U C dife- renciável de classe k > 1, onde U C C é um aberto. Supo- 2. Séries de Potências nhamos que E U é tal que Df(zo): C C é invertível. Então existe uma vizinhança aberta V de que g = f V é um difeo- 2.1. Funções definidas por séries de potências. Além disto, f(V) V é de classe Caso f seja holomorfa, g também o será e Uma série de potências é uma de funções de- finida indutivamente por So(z) = C e para n > 1 por (12) = = + onde an E C. número é chamado de termo constante e am de coeficiente de ordem n da série. Decorre imediatamente da definição que para todo w E f(V). A demonstração do Teorema da função inversa pode ser en- contrada em [E.L. II]. Convém observar no entanto, que na de- monstração o fato mais difícil de provar é que f(V) é aberto, se V for uma vizinhança aberta suficientemente pequena de No caso logo, é em particular um polinômio. Este polinômio é chamado holomorfo a fórmula (12) pode também ser deduzida como se segue: de reduzida de ordem n da série. Vamos usar também a notação Seja h a inversa de fV. Fixemos = E f(V), onde para designar a série E V. Como V f(V) é uma bijeção, dado w f(V) existe um único 2 = h(w) E V tal que f(z) = Vemos então que Neste parágrafo estamos interessados especificamente nos se- guintes problemas: lim lim = = lim (a) Determinar conjunto dos pontos Z E C tais que a série f(z) f(21) 1 numérica converge absolutamente. (b) Supendo o problema (a) resolvido, determinar a natureza da OBSERVAÇÃO 7: Veremos no Capítulo IV que uma função função limite S, definida por S(z) = lim num aberto é de classe Com isto, a hipótese da função ser de Para resolver o problema (a), basta observar o seguinte:</p><p>70 Funções Analíticas {Cap. II Séries de Potências 71 sec. 2] Seja > 0 tal que a série numérica converge. Pelo que foi visto anteriormente, basta provar n>0 que se então a série diverge. Suponhamos que Z 0 é Então a série numérica converge absolutamente para todo tal que a série numérica convirja. Neste caso. a E C tal que é limitada, digamos para todo n > 0. Ora, Com efeito, se então Como too segue-se que < logo a série numérica converge absolutamente. Concluimos daí que Se Z = 0, a série numérica correspondente se reduz ao termo M constante, logo converge absolutamente. Podemos então considerar seguinte pois Portanto converge absolutamente. Isto O número P é chamado de raio de convergência da série. Três casos implica que = se a podem ocorrer: 1. p=0. Neste caso dizemos que a série é divergente. série diverge. too. Neste caso a série numérica con- Baseados no teste da raiz (Corolário 4 do Teorema 4 do cap. verge absolutamente para todo Z E O disco D,(0) é I), temos seguinte: chamado de disco de convergência da série. 3. = Dizemos neste caso que a série é inteira. A definição TEOREMA 5. Dada uma série de potências S = seu raio de implica que converge absolutamente para todo de convergência é Nos casos 2. e 3. diremos que a série é convergente. Em (13) qualquer dos dois casos conjunto < p} será chamado de disco de convergência da série. NOTA: Na expressão em (13) convencionamos que p(S) = 0 se TEOREMA 4. Dada uma série de potências existe um lim sup = +00 e p(S) = se lim n sup = 0. A ex- número p = p(S), com raio de convergência), tal pressão (13) é conhecida como de que a série numérica converge absolutamente se Seja a = Suponhamos diverge se e fixemos B > 0 tal que a Como</p><p>72 Funções Analíticas [Cap. II sec. 2] Séries de Potências 73 maior ponto de acumulação da seqüência ( existe Como lim tal que se n então < B, ou seja, < Isto implica = vemos que p(S1) = 0 e p(S3) = que a é limitada, digamos M. too. Por outro lado lim = logo = r. Como vimos na demonstração do Teorema 4, decorre que se então Portanto p(S). Como A série S2 é chamada de série geométrica e a. série S3 de série exponencial A série é um exemplo de série divergente e a S3 de B é um número arbitrário > a, vemos que p(S) > 1/a. No caso série inteira. particular em que a = 0, segue-se que p(S) = +00. Examinemos agora problema (b). Todas as séries que con- Suponhamos agora que 0 < Fixando-se 0 < B < a, sideraremos de agora em diante, serão convergentes. temos da definição de lim sup que a seqüência TEOREMA 6. A de reduzidas de uma série de potências, possui uma infinidade de termos no intervalo (B,+00), ou seja, ela converge uniformemente nas partes compactas do disco de con- possui uma tal que para todo > 1 vergência desta série. Em particular, a função limite da série, é temos > Decorre daí que a série numérica contínua no disco de convergência. converge, pois > 1. Isto implica que Como B DEMONSTRAÇÃO: Consideremos uma série S = tal que é um número positivo arbitrário inferior a a obtemos No caso em que = temos evidentemente que p(S) = 0. Por > 0. Seja D o disco de convergência de S e fixemos um com- outro lado se então p(S) > 1/a, logo p(S) = pacto K C D. Como D é um disco aberto de centro 0 (ou C) e K 1/a. é compacto, existe > 0 tal que K C D,(0) C D. Basta provar- mos que a de reduzidas de S converge uniformemente em (Critério da razão). Consideremos uma série S = Designemos por a norma da convergência uniforme em Basta verificar que a das reduzidas é de Cauchy tal que # 0 para todo n > 0. Sejam a = lim sup com respeito a esta norma. Dados m > n > 0, temos n>0 m m e B = liminf Então Em particular se = (14) 1/p(S) = lim Portanto A demonstração baseia-se em (26) do $2.1 do cap. I. EXEMPLO 6: Consideremos as séries = = Como a série converge, logo se E > 0 é arbitrário, existe no tal que para n > no temos Portanto se m > n no vem que < ou seja</p><p>74 Funções Analíticas [Cap. II Séries de Potências 75 A última afirmação decorre do Teorema 8 do cap. (b) Para todo n > 0, Bn E R. e além disto OBSERVAÇÃO 8: Pode ocorrer que uma série de potências não in- Então - para todo n > 0. teira convirja uniformemente no fecho do seu disco de convergência. Neste caso a função limite será contínua em todo fecho do disco de Coloquemos Sn = + an. Temos então: convergência. Um exemplo desta situação é a série (veja o n>1 Exemplo 14 do $2.1 do cap. I) que converge uniformemente no disco fechado de centro 0 e raio 1. Por outro lado, pode ocorrer também que uma série não con- + virja absolutamente em nenhum ponto da fronteira do disco de con- vergência, mas que a série correspondente convirja em al- guns pontos desta fronteira. Assim por exemplo a série tem = n>1 raio de convergência 1, não converge absolutamente para nenhum com = 1, mas converge simplesmente para todo # 1 tal que = 1 (veja o Exemplo 14 do cap. I). DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA: Coloquemos no lema = Um resultado interessante é o seguinte: = = Bo = 1 - = 1 lema implica que: TEOREMA 7. (Abel). Seja uma série com raio de con- vergência onde Designemos por S(z) a função limite. Seja Zo, com = tal que a série numérica converge. Então < onde = max{ Fixemos E > 0. ou seja, a função S(z) tende para o número quando Z tende radialmente para Como a série converge, pelo critério de Cauchy, existe > A demonstração será baseada no seguinte resultado: 0 tal que se e n 0 então M (k, n) Deduz-se daí que se k então 2. Sejam (an)n>o e seqüências numéricas tais que: (a) Existe M > 0, tal que para todo n tem-se + +</p><p>76 Funções Analíticas [Cap. II sec. Séries de Potências 77 Colocando-se = é convergente. Fixemos 0 Seja M > 0 tal que para todo n Podemos escrever = = + < no Exemplo 13 do §2 do j=1 cap. I que pois < 1. Decorre daí que Como polinômio = define uma função 1) logo Como T é um número arbitrário menor que P, vem que > P, como queríamos. Por outro lado, j=1 contínua e 4(1) = 0, vemos que existe 8>0 tal que se 1 1 de vem que <p. então < Portanto, se 1 então la < Vamos provar agora que S(z) é holomorfa e a sua derivada E, logo lim = a. é dada por (16). Fixemos no disco de convergência de Ser > 0 tal que Para todo h E C com temos que OBSERVAÇÃO 9: Como o leitor pode facilmente constatar, com uma logo pequena alteração na demonstração é possível provar que a de reduzidas da série converge uniformemente no segmento = {rza; (aplique o lema à - m Este fato também implica teorema de Abel. Podemos escrever Examinemos agora a diferenciabilidade das funções definidas por séries. TEOREMA 8. Seja S = uma série de potências com raio de convergência Denotemos por S(z) a função definida por esta série, no seu disco de convergência. Então S(z) é holomorfa e a sua derivada é dada por (16) Observe que para todo n 1 temos, para todo Z no disco de convergência. Em particular a série S' tem mesmo disco de convergência que a série S. DEMONSTRAÇÃO: Primeiramente veremos que j=1 Provaremos que para todo 0 < < a série</p><p>78 Funções Analíticas [Cap. II sec. 2] Séries de Potências 79 Fixemos Como a série converge, seja no tal COROLÁRIO 2. Seja S = uma série com raio de con- n>1 n>0 que se k no então < Obtemos então que vergência P > 0. Para todo k>0 temos, (18) < Nesta fórmula convencionamos que 0! = 1 e = S. A demonstração é imediata, a partir da fórmula (17). Isto COROLÁRIO 3. Sejam = = de potências com de convergência P1, P2 > 0 respectivamente. Suponhamos que existe r tal que S(z) = T(z) para todo D,(0). Então an = para todo n onde = Como lim = n=1 Como S(z) = T(z) para todo E segue-se nzn-1 para todo n 1, segue-se que lim 4(h) = 0. Decorre daí Logo, da fórmula (18) que existe tal que se obtemos h EXEMPLO 7: Consideremos a série S = que tem raio de que prova (16). convergência P = 1. Como já vimos no Exemplo 12 do $2.1 do cap. COROLÁRIO 1. Uma função definida por uma série de potências II, a série numérica se < 1. Logo com raio de convergência > 0, é infinitamente dife- n>0 S(z) Derivando sucessivamente esta função, obtemos renciável no seu disco de convergência. Além disto a k-ésima de- rivada de = por (17) Da fórmula (17) segue que: = Este corolário é imediata do Teorema 8. A fórmula (17) pode ser demonstrada por indução, utilizando-se a fórmula (16). para todo < 1</p><p>80 Funções Analíticas [Cap. II sec. 2] Séries de Potências 81 2.2. Operações com séries de potências. TEOREMA 9. Sejam S = e T = séries de Podemos encarar as séries de potências como generalização dos po- potências com raios de convergência p(S) e p(T) respectivamente. linômios. Assim por exemplo, quando somamos dois polinômios, Então > e além do mais = obtemos um terceiro, tal que para todo n > 0, coeficiente de or- para todo Z com < dem n é a soma dos coeficientes de ordem n dos polinômios originais. Da mesma = a soma DEMONSTRAÇÃO: Primeiramente vamos provar que Fixemos formal de S e T como sendo a série Como t < as e são limitadas. (19) Suponhamos que para todo n e coloquemos M = M1 M2, = r/t < 1. Vemos que Se os raios de convergência de S e T são p(S) e p(T) respec- tivamente, então raio de de S+T será = min Além disto, se S(z), T(z) e são as j+k=n funções limites de S,T e S+T respectivamente, então = para todo Z tal que < Com efeito, se = as absolutamente, logo a série converge absolutamente Como a série é convergente obtemos que e além disto daí que e como T é um número arbitrário menor que concluimos que Observe que esta demonstração prova também que a série é convergente, ou seja, Observe que é possível em certos casos que p(S + > como por exemplo, se bn = para n que a família é somável, se Também, por analogia com os polinômios, podemos definir o p(T)} (veja o $2.3 do cap. I). produto formal de S e T, S T, pela fórmula (20) Coloquemos Utilizando o Teorema 7 do = cap. I, temos j+k=n = = Repare que se S e T são polinômios (isto é, an = 0 para n > então S.T corresponde ao polinômio produto.</p><p>82 Funções Analíticas [Cap. II sec. Séries de Potências 83 Por outro lado, pelo Teorema 6 do cap. I, a série numérica que define w pode ser reordenada à vontade. Se agruparmos todos os termos não seria contínua em Z = 0, logo não poderia ser represen- tais que j + = n > 0 e em seguida somarmos em n, tada por uma série de potências em nenhuma vizinhança da origem. para que uma tal representação seja obteremos, é necessário que # 0. Por outro lado, se ao # 0 então existe tal que para todo Z E D,(0) temos S(z) 0. Em particular a função é contínua em D,(0). TEOREMA 10. Seja S = uma série de potências tal que 0. Então existe uma série de EXEMPLO 8: Consideremos o problema de determinar uma série de potências que represente a função f(z) = onde tal que p(T) > particular se numa vizinhança de 0. Temos então 1 A série T é chamada de inverso algébrico da série S e é de- notada por 1/S. Suponhamos problema resolvido e calculemos os coeficientes n > 0, de tal forma que S T = 1. Pela fórmula 1 (20) temos S. T = onde Cn = + + ... + = e séries geométricas Para que a igualdade S.T = 1 seja verificada, devemos ter Co = 1 e = 0 para n > 1. Podemos então determinar os coeficientes bn, Pelo Teorema 8, o produto destas séries é onde n > 0, por indução, da seguinte forma: = Suponhamos determinados, onde n 1. Coloquemos = (21) bn = Logo Se fizermos a = b = 1, reobte- É claro da construção que T = satisfaz S.T = 1. Tendo-se j+k=n remos resultado do Exemplo 7 com k = 1. em vista o Teorema 9, basta provarmos que p(T) Vejamos agora como tratar quociente de duas Con- Sejam 0 1. Como é sideremos primeiramente problema de como obter uma série de potências que represente a função em uma vizinhança de convergente, fixemos M > 0 tal que M para todo n 0. Z = 0, onde = e > É claro que se termo Afirmamos que constante de S fosse nulo, então S(0) = 0. Neste caso a função</p><p>84 Funções Analíticas II sec. Exponencial e Logaritmo 85 para todo n 1. De fato, se n = 1, temos = certos casos é possível definir-se o quociente T/S. Por exemplo, se M Suponhamos que a fórmula seja para Neste caso todo Z tal que 0 < < 1. DEFINIÇÃO 6: Dada uma série S = a ordem de S é menor inteiro não negativo, n, tal que an # 0. Denotamos a ordem de S por o(S). No caso em que todos os coeficientes de S forem nulos convencionaremos que = Assim, por exemplo, se ao 0 vemos que o(S) = 0. As seguintes propriedades decorrem M imediatamente das definições: + T) 0.2 M = Na relação estamos convencionando que (+00)+ = too, para todo too. Consideremos agora duas séries de potências S = e que prova desigualdade para todo Basta observar agora n>0 que o(S) # Se o(S) = vemos que M Logo a série converge se (1 < 1, ou seja se Analogamente se o(T) = l > k, temos T(z) = onde Logo neste caso, como ak # 0, podemos definir Portanto Consideremos agora problema de determinar quociente T/S de duas séries de = e = n<0 que p(T) > 0. É claro que se # 0, podemos combinar os Observe que os coeficientes de T/S podem ser obtidos a partir dos coeficientes de utilizando-se as fórmulas (20) e (21). Além Teoremas 9 e 10 e definir T/S = A série T/S terá raio de disto, vale a seguinte relação convergência positivo. Além disto, se < então No entanto, mesmo que = 0, em</p><p>86 Funções Analíticas [Cap. II sec. 3] Exponencial e Logaritmo 87 3. Exponencial e Logaritmo S1 e S2 será uma série T = onde 3.1. A função exponencial. A exponencial é a função complexa pela série inteira (22) = = = + = Utilizando-se o critério da razão vê-se que raio de con- Por outro lado, desenvolvendo-se pela fórmula do binômio de vergência da série acima é logo exp: C C é uma função holomorfa em C. Além disto, a sua derivada pode ser calculada Newton, obtemos = Cn = (a+b)" derivando-se a série termo a termo, e temos Em particular (23) d Por outro lado, se S = é uma série de potências Fazendo-se = 1 na relação acima e utilizando-se teorema de tal que S' = S e ao = 1, então S = exp. Com efeito, a relação multiplicação de séries do $2.2 obtemos (24). S' = S implica que nan = para todo n > 1, logo Reciprocamente, suponhamos que S(z) satisfaz (24). Fazen- 1 n 1 do-se a=b = (24), obtemos S(2z) = Em particular = S(0) = = a2, logo = 0 ou ao = 1. Derivando a relação obtemos = logo para Z = 0, vem Outro fato importante sobre exponencial, é que ela é um Se obtemos = 1. Por outro lado, homomorfismo do grupo aditivo C no grupo multiplicativo C* = h = TEOREMA 11. Para quaisquer vale a relação Portanto S' = S, logo S = exp. (24) COROLÁRIO 1. A exponencial é um homomorfismo do grupo aditivo Além disto, se uma função S(z) é definida por uma série de potências C no grupo mult.plicativo C* = Em particular # 0 que satisfaz (24) e então S = exp. para todo E C. DEMONSTRAÇÃO: A relação (24) implica que exp é um homomor- Consideremos as séries = exp(az) = fismo do grupo aditivo C no grupo multiplicativo C*. Verifiquemos e S2(z) = = formal de que para todo Z E C. Temos:</p><p>88 Funções Analíticas [Cap. II Exponencial e Logaritmo 89 3] ou seja, e = O teorema anterior implica que a exponencial real é uma Coloquemos agora onde = e Im(z). bijeção crescente entre R e (0,+00), logo ela possui uma inversa, De (24) obtemos o logaritmo real, Como é de classe e > 0 para todo E R, pelo teorema da função in- versa (para funções reais), podemos concluir que (0,+00) é Observe que, como os coeficientes da série que define a exponencial também de classe Além disto, da regra da cadeia, temos são todos reais, se x E R então E R. A função E R é chamada de exponencial real, enquanto que a função y = 1/x, R eiy é chamada de exponencial Observe que a exponencial real é um homomorfismo do grupo aditivo R no grupo ou seja, a derivada de é Utilizando-se o teorema funda- multiplicativo R* = {0}, enquanto que a exponencial imaginária mental do cálculo e fato de = 0 (já que e° = 1), temos é um homomorfismo de R em C*. TEOREMA 12. A exponencial real é uma função crescente e exp(R) (25) = (0,+00). Além disto, valem as seguintes propriedades: Outra propriedade importante do logaritmo real é a seguinte (a) = n 0. (26) se > 0. lim = 0, para todo n > 0. Esta propriedade pode ser deduzida facilmente de (24) e do fato de que o logaritmo real é inverso da exponencial real. De (26) pode-se DEMONSTRAÇÃO: Já vimos que # 0 para todo E R. Como R é deduzir conexo, exp(R) C R* é conexo, logo C (0, +00) ou exp(R) C (-00,0). Como exp(0) = 1, vemos que exp(R) C (0, +00). Por (27) se outro lado logo a exponencial real é Para provar (a), observe que se n 0 está fixado e > 0 Estudaremos em seguida exponencial imaginária. Veremos então: que o caminho a: R é uma parametrização regular periódica do círculo de raio 1, = OBSERVAÇÃO 10: Dizemos que T E R é um período de uma função se, = f(t) para todo t E R. Dizemos que f é periódica, se f possui algum período T No caso em que f é um caminho contínuo, então o seu conjunto de períodos é um subgrupo fechado aditivo de R. De fato, se Per(f) = {T E R; Té período de f}, não é difícil ver que: Como lim q(x) = +00, obtemos (a). Por outro lado, como = vemos que lim = 0. Além disto lim = lim particular temos lim et (c) Se é uma em Per(f) tal que lim Tn = T, = e lim = logo exp(R) = (0,+00). então T E Per(f).</p>