Slides 2 _ Aula 1 _ Estatística Descritiva

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Estatística Descritiva
Rosani Brune de Almeida Dias
Diretoria Interdisciplinar de Tecnologias na Educação - DINTE
INTRODUÇÃO
❑ Geralmente a quantidade de informação é grande, assim fica
difícil captar, intuitivamente, as informações que os dados
contêm;
❑ É necessário reduzir as informações até o ponto em que se
possa interpretá-las mais claramente.
❑ Coleta de dados;
❑ Organização e classificação destes dados;
❑ Apresentação através de gráficos e tabelas;
❑ Cálculo de coeficientes (estatísticos), que permitem 
descrever resumidamente os fenômenos.
Papel da Estatística Descritiva
❑ Consiste em obter e generalizar conclusões; ou seja, 
inferir propriedades para o todo com base na parte, 
no particular. 
❑ É tratada através de técnicas e métodos que se 
fundamentam na Teoria de Probabilidades.
❑ Em estatística utilizaremos extensivamente os termos 
população e amostra.
Inferência Estatística
Fases do Trabalho Estatístico
População
Amostra
Inferência Estatística
Estatística Descritiva
População e Amostra
 
População 
Amostra 
Inferência Estatística: 
• Estimação de quantidades desconhecidas 
• Extrapolação dos resultados 
• Teste de hipóteses 
Classificação das Variáveis
Classificação das Variáveis
Continua – assume valores em um intervalo do conjunto dos Reais.
Resulta normalmente de mensurações.
Ex: altura, peso, temperatura, etc.
Discreta - Pertencem ao conjunto finito ou enumerável. Resulta de
um processo de contagem.
Ex: Número de alunos, numero de filhos, etc.
Variáveis Quantitativas
Classificação das Variáveis
Ordinal - os valores representam atributos ou qualidades mas
incluem uma relações de ordem.
Ex: classe social, grau de instrução, etc.
Nominal - os valores representam atributos ou qualidades mas
não tem uma relação de ordem entre eles.
Ex: sexo, grupo sanguíneo, raça, etc.
Variáveis Qualitativas
Tipos de Séries Estatística
Série estatística é uma sucessão de dados
estatísticos que medem a intensidade do
fenômeno, segundo suas características
qualitativas ou quantitativas.
Tipos de Séries Estatística
❑ Série Histórica, cronológica ou temporal: dia, mês,
ano.
Tipos de Séries Estatística
❑ Série Geográfica ou territorial: estados, municípios,
cidades.
Tipos de Séries Estatística
❑ Série Específica ou qualitativa: fato, espécie.
Tipos de Séries Estatística
❑ Série Mista: Mistura duas ou os três tipos de séries.
Tipos de Séries Estatística
❑ Série Mista: Mistura duas ou os três tipos de séries.
Apresentação de Dados
❑ Após a apuração dos dados, há necessidade de os dados e os
resultados obtidos a partir daqueles serem dispostos de uma forma
ordenada e resumida, a fim de auxiliar o pesquisador na análise e
facilitar a compreensão das conclusões apresentadas ao leitor.
❑ A tabela geralmente é utilizada para organizar esses dados, além
da tabela podemos utilizar outra forma de apresentação, os
gráficos.
Tabela
❑ Uma tabela é elaborada obedecendo à Resolução nº 886, de 26
de outubro de 1966, do Conselho Nacional de Estatística.
❑ Os elementos de uma tabela são:
❑ Fonte
❑ Notas
❑ Chamadas
❑ Título
❑ Corpo da tabela
❑ Cabeçalho
❑ Coluna Indicadora
Essenciais Complementares
Tabela
Tabela
❑ Algumas observações:
1. Nenhuma casa da tabela deve ficar me branco
2. As tabelas devem ser fechadas no alto e embaixo por linhas
horizontais, não sendo fechadas à direito ou à esquerda por
linhas verticais. É facultativo o emprego de traços verticais para
a separação de colunas do corpo da tabela
3. Em publicações com muitas tabelas, estas devem ser
numeradas
4. Os totais e subtotais devem ser descartados
5. Deverá ser mantida a uniformidade da unidade decimal.
Tabela
❑ Como montar uma tabela:
❑ Exemplo: Votos do sociograma
❑ Dados Brutos
0, 2 ,3, 7, 0, 2, 1, 3, 3, 2,
5, 6, 3, 2, 2, 0, 3, 1, 4, 3,
7, 6, 2, 1, 2 ,3 ,2, 4, 3, 5, 6
❑ Ordenando (ROL)
0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7
Tabela
Tabela
Gráficos
❑ Os mesmos elementos essenciais e complementares utilizados na
tabela devem ser usados para os gráficos.
❑Veremos alguns tipos de gráficos:
❑ Linha
❑ Barras
❑ Colunas
❑ Colunas agrupadas
❑ Setores (pizza)
❑ Histograma
❑ Pictogramas
Gráfico de Linha
Gráfico de Linha
Gráfico de Barras
Gráfico de Coluna
Gráfico de Barras e Colunas Agrupadas
Gráfico de Colunas Sobrepostas
Gráfico de Pizza
Histograma
Gráfico Pictorial - Pictograma
Pictograma
Pictograma
Pictograma
Pictograma
Mês de aniversário de meninos e meninas do curso
Tabela
❑ Como montar uma tabela:
❑ Exemplo: Votos do sociograma
❑ Dados Brutos
0, 2 ,3, 7, 0, 2, 1, 3, 3, 2,
5, 6, 3, 2, 2, 0, 3, 1, 4, 3,
7, 6, 2, 1, 2 ,3 ,2, 4, 3, 5, 6
❑ Ordenando (ROL)
0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7
Frequência
❑ Frequência Absoluta Simples (fi): é o número de vezes em que
um elemento se repete na amostra.
i Classe fi
1 Ruim 12
2 Médio 27
3 Bom 15
4 Ótimo 6
Total 60
Frequência
❑ Frequência Relativa (fri): expressa a proporção de elementos na
classe i, ou seja
fri = fi/n
sendo n o total de elementos da amostra.
fr1 = f1/n = 12/60 = 0,20
i Classe fi fri
1 Ruim 12 0,20
2 Médio 27 0,45
3 Bom 15 0,25
4 Ótimo 6 0,10
Total 60 1
Frequência
❑ Frequência Absoluta Acumulada (fai): é o número de elementos
acumulados até a classe i
i Classe fi fri fai
1 Ruim 12 0,20 12
2 Médio 27 0,45 39
3 Bom 15 0,25 54
4 Ótimo 6 0,10 60
Total 60 1
Frequência
❑ Frequência Relativa Acumulada (frai): é o número de elementos
acumulados da frequência relativa até a classe i
Classe fi fri fai frai
Ruim 12 0,20 12 0,20
Médio 27 0,45 39 0,65
Bom 15 0,25 54 0,90
Ótimo 6 0,10 60 1,00
Total 60 1
Tabela com Intervalo de Classe
1. Por que utilizar o intervalo de classe?
2. Quando a tabela é muito grande e com poucas frequências,
devemos utilizar o intervalo de classe.
Exemplo: considere o seguinte rol sobre o total de pontos (acertos)
obtidos em um teste de 175 questões por 40 alunos
Se colocarmos em uma tabela sem intervalo de classe teríamos:
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Tabela com Intervalo de Classe
A apresentação
ideal seria 
assim
Pontos Freqüência
150 1
151 1
152 1
153 1
154 1
155 4
156 3
157 1
158 2
160 5
161 4
162 2
163 2
164 3
165 1
166 1
167 1
168 2
169 1
170 1
172 1
173 1
total 40
Total de pontos (acertos) obtidos em 
um teste de 175 questões por 40 alunos
Total de pontos Freqüência
150 |- 154 4
154 |- 158 9
158 |- 162 11
162 |- 166 8
166 |- 170 5
170 |- 174 3
Total 40
Tabela com Intervalo de Classe
1. Ordenar os dados, ou seja, colocar os dados brutos em rol
2. Determinar o número de classes (k) da tabela.
3. Classes de frequência: são os intervalos de variação da variável,
representados por i, sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número
total de classes.
❑ De modo geral, este valor não deverá ser inferior a 5 e nem
superior a 15.
❑ Existem dois métodos:
❑ k = 1 + 3,32 x log n (Fórmula de Sturgues)
❑
Tabela com Intervalo de Classe
1. Voltando ao exemplo teremos:
Exemplo: considere o seguinte rol sobre o total de pontos
(acertos) obtidos em um teste de 175 questões por 40 alunos
De acordo com os dois métodos, teríamos:
❑ k = 1 + 3,32 x log n
❑ k = 1 + 3,32 x log 40 = 6,318
e
❑
Ou seja k = 6 classes
Tabela com Intervalo de Classe
2. Determinar a amplitude do intervalo h
❑ No próximo passo teremos que determinar a amplitude
total (At)
❑ At = Ls – Li
onde Ls é o maior valor da amostra e Li o menor valor da
amostra
❑ Com a amplitude total podemos calcular a amplitude do
intervalo (h)
❑ h = At/k
Tabela com Intervalo de Classe
Do exemplo teremos que:
Ls será igual a 173 e Li será igual a 150
Assim a amplitude total (At), será:
❑ At = Ls – Li
❑ At= Ls – Li = 173 – 150 = 23
❑ Com a amplitude total podemos calcular a amplitude do
intervalo (h)
❑ h = At/k = 23/6 = 3,83; ou seja; aproximadamente 4
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Tabela com Intervalo de Classe
4. Construindo a tabela de intervalos de classe:
❑ O limite inferior da classe da primeira classe será sempre o
menor valor do conjunto de dados.
❑ O limite superior da classe será o limite inferior acrescido
do valor da amplitude do intervalo de classe (h)
❑ A Simbologia para construção da tabela
❑ Limites da classe: são os extremos de cada classe.
Limite superior ls Limite inferior li
O símbolo li |- ls significa inclusão de li e exclusão de Li
Tabela com Intervalo de Classe
4. Construindo a tabela de intervalos de classe:
❑ Do exemplo, teremos:
❑ O limite superior da classe será o limite inferior acrescido
do valor da amplitude do intervalo de classe (h)
❑ li = 150 e ls = 150 + 4 = 154
❑ Assim a primeira classe seria:
❑ h1 = 150 l- 154
❑ Assim essa classe vai incluir todas as frequências de 150 a
153, o 154 entra na próxima classe.
Exemplo
Primeiramente vamos determinar o número de classes (k)
Como o número de classes deve ser interiro, vamos considerar k = 7
Exemplo
Com k = 7, vamos determinar o tamanho do intervalo da classe (h)
At = 39 – 16 = 23
Assim h será
h = 23/7 = 3,2857
Exemplo
Exemplo
i Classe fi fri fai frai
1 16,0 |- 19,3 7 0,12 7 0,12
2 19,3 |- 22,6 9 0,15 16 0,27
3 22,6 |- 25,9 15 0,25 31 0,52
4 25,9 |- 29,2 12 0,20 43 0,72
5 29,2 |- 32,5 9 0,15 52 0,87
6 32,5 |- 35,8 6 0,10 58 0,97
7 38,8 |- 39,1 2 0,03 60 1,00
Total 60 1
MEDIDAS DE POSIÇÃO
• Representam a tendência de concentração dos dados
• Devemos estar atentos ao comportamento dos dados para saber qual 
a medida mais adequada
• As três medidas de tendência central mais utilizadas são: média 
aritmética, moda e mediana.
MÉDIA ARITMÉTICA
• A média aritmética é a medida mais utilizada para descrever um 
conjunto de dados
• É obtida somando todos os valores e dividindo o valor encontrado 
pelo número de dados de um conjunto
• Pode ser simples, onde todos os valores possuem a mesma
importância, ou ponderada, quando considera pesos diferentes aos
dados
MÉDIA ARITMÉTICA
• Fórmula média aritmética 
simples (dados não agrupados)
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
ҧ𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛
𝑛
• Sendo n o tamanho da amostra
• Fórmula média aritmética 
ponderada (agrupados em tabela 
com e sem intervalo de classes)
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 . 𝑝𝑖
σ𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
ҧ𝑥 =
𝑥1. 𝑝1 + 𝑥2. 𝑝2 +⋯+ 𝑥𝑛.𝑝𝑛
𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛
• Sendo que 𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛 é 
igual a n
EXEMPLO MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
• Temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus 
pesos (em kg): 23,0; 20,0; 22,0; 19,0; 25,0; 28,2; 24,0; 21,0; 27,0; 21,0
• Temos que n = 10, sendo assim
ҧ𝑥 =
23,0 + 20,0 + 22,0 + 19,0 + 25,0 + 28,2 + 24,0 + 21,0 + 27,0 + 21,0
10
ҧ𝑥 =
230
10
= 23,0
EXEMPLO MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
• Lembrando que a amostra se trata de pesos (em kg) de 10 crianças de 5 anos de idade
• Sendo assim o valor encontrado de 23,0 é interpretado como a média de peso dessas 
crianças, ou seja, o peso médio dessas crianças é de 23,0 kg
• Quando estamos calculando o valor da média temos sempre que ter em foco a
variável de estudo, pois o resultado deve ser interpretado
• As média é calculada para variáveis quantitativas
EXEMPLO MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
• Considere o número de cáries em crianças de 7 anos, apresentada na 
tabela abaixo:
• Nesse exemplo os valores de x são a da variável (número de dentes 
careados) e os pesos será o número de crianças, sendo assim 
calcularemos da seguinte maneira:
EXEMPLO MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
• Considere o número de cáries em crianças de 7 anos, apresentada na 
tabela abaixo:
ҧ𝑥 =
0.3+1.2+2.4+3.2+4.1+5.1
13
ഥ𝑥 = 25
13
= 1,923 ≈ 2
• Assim a média de cárie de crianças de 7 anos dessa amostra é de 2 cáries
EXEMPLO MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
• Esse exemplo considera a tabela com intervalo de classes, sendo assim 
teremos que calcular o ponto médio da classe antes.
• Considere o número de pessoas com HIV, segundo a faixa etária
• Lembrando que para calcular o ponto médio será a soma dos limites dividido 
por 2, ou seja, o ponto médio da primeira linha será (15+25)/2 que será 20
EXEMPLO MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
• Considere o número de pessoas com HIV, segundo a faixa etária
• O cálculo da média será dada da seguinte maneira:
ҧ𝑥 =
20.25+30.30+15.40+10.50
80
ҧ𝑥 =
2500
80
= 31,25 ≈ 31
• Assim a idade média de pessoas com HIV dessa amostra é de 31 anos
MEDIANA
• É definida como o valor que divide uma série ordenada de tal forma que 
pelo menos a metade dos itens sejam iguais ou maiores do que ela, e que 
a outra metade dos itens sejam menores do que ela. 
• Colocados em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa a 
posição central. 
• Como a mediana divide os dados ordenados ao meio, ela não é sensível a 
valores discrepantes. 
• A depender de como estejam os dados, deve-se diferenciar a forma como 
encontra-se a mediana.
MEDIANA
• Para determinar dados não-tabulados devemos ter os seguintes passos:
1. Devemos ordenar os dados brutos, ou seja, determinar o rol dos dados.
2. Observar se o tamanho da amostra (n) é ímpar ou par.
3. Após determinar se é par ou ímpar devemos determinar a ordem em que
se encontra a mediana na série, através do elemento mediano (Emd)
4. O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo
com o resultado obtido no cálculo do Emd
MEDIANA NÚMERO ÍMPAR
1. Ordenar os dados
2. Determinar o Emd, através do cálculo:
𝐸𝑚𝑑 =
𝑛 + 1
2
• O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo
com o resultado obtido no cálculo do Emd
• Nesse caso teremos um único valor representando a mediana
EXEMPLO MEDIANA NÚMERO ÍMPAR
Um programa de televisão registrou as medidas de audiência
alcançadas ao longo de uma semana.
1. Definir o n, no caso desse exemplo n = 7
2. Ordenar
12 15 17 18 19 20 21
Dias Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Domingo
Audiência 19 pontos 18 pontos 12 pontos 20 pontos 17 pontos 21 pontos 15 pontos
EXEMPLO MEDIANA NÚMERO ÍMPAR
Audiência registrada pela emissora
12 15 17 18 19 20 21 
Após ordenar devemos localizar a media através do cálculo:𝐸𝑚𝑑 =
𝑛+1
2
𝐸𝑚𝑑 =
7 + 1
2
=
8
2
= 4
• Ou seja a mediana está localizada na posição de número 4
12 15 17 18 19 20 21 
Sendo assim a mediana é 18. Conclusão: A mediana é de 18 pontos
MEDIANA NÚMERO PAR
1. Ordenar os dados
2. Determinar o Emd, através dos cálculos:
𝐸𝑚𝑑 =
𝑛
2
e 𝐸𝑚𝑑 =
𝑛
2
+1
• O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo
com o resultado obtido no cálculo dos Emd
• Nesse caso teremos dois valores representando a mediana
• Sendo assim para determinar a mediana para número par, teremos que
fazer a média dos dois valores centrais.
EXEMPLO MEDIANA NÚMERO PAR
João vende picolés em sua casa. Ele registrou a quantidade de picolés
vendida em dez dias apresentada a seguir:
15 10 12 20 14 13 18 14 15 19
1. Definir o n, no caso desse exemplo n = 10
2. Ordenar
10 12 13 14 14 15 15 18 19 20
EXEMPLO MEDIANA NÚMERO PAR
Quantidade de picolés vendida em dez dias
10 12 13 14 14 15 15 18 19 20 20
Após ordenar devemos localizar a media através do cálculo dos Emds
𝐸𝑚𝑑 =
10
2
= 5 e 𝐸𝑚𝑑 =
10
2
+ 1 = 5 + 1 = 6
• Ou seja a mediana está localizada nas posições de 5 e 6
10 12 13 14 14 15 15 18 19 20
Sendo assim a mediana dada pela média (14+15)/2=14,5
Conclusão: A mediana é de 14,5 picolés
MEDIANA
• Determinação da Mediana de Valores tabulados
• Os dados geralmente já estão ordenados na tabela então o processo para os
dados agrupados em tabelas sem intervalo de classe será o mesmo para dadosnão agrupados em tabelas
• Será utilizada a medida de frequência acumulada para ajudar na localização da
mediana na tabela
EXEMPLO MEDIANA TABELA SEM INTERVALO DE CLASSE
• Considere o número de cáries em crianças de 7 anos, apresentada na 
tabela abaixo:
• Como n = 13, devemos localizar a media através do cálculo:𝐸𝑚𝑑 =
𝑛+1
2
𝐸𝑚𝑑 =
13 + 1
2
=
14
2
= 7
A mediana está na 7ª posição
EXEMPLO MEDIANA TABELA SEM INTERVALO DE CLASSE
• Para localizar na 7ª posição na tabela devemos considerar a frequência 
acumulada
• Considerando a tabela acima temos que a 7ª posição está na 3ª Classe
• Sendo assim a mediana é de 2 cáries
Na primeira classe estão as 3 primeiras posição, na segunda as 5 primeiras e na terceira classe se 
encontram da 5ª à 9ª posição, assim a 7ª posição está na 3ª classe
MEDIANA PARA INTERVALO DE CLASSE
• Determinação da Mediana de Valores tabulados com intervalo de classe
• Neste caso, encontramos o elemento mediano através da fórmula
𝐸𝑚𝑑 =
𝑛
2
• não se fazendo distinção entre número par ou ímpar de observações
MEDIANA PARA INTERVALO DE CLASSE
• A partir daí, determinaremos a classe mediana, através da seguinte expressão:
𝑀𝑑 = 𝑙 +
𝐸𝑚𝑑 − 𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑚𝑑
. ℎ
EXEMPLO MEDIANA PARA INTERVALO DE CLASSE
• Considere o número de pessoas com HIV, segundo a faixa etária
• Primeiro encontrar o elemento mediano 𝐸𝑚𝑑 =
80
2
= 40, com o elemento mediano vamos
localizar na tabela a classe da mediana
• A localização é feita da mesma forma em que é realizada na tabela sem intervalo de classe,
sendo assim a 40ª posição se encontra na segunda classe
EXEMPLO MEDIANA PARA INTERVALO DE CLASSE
• Assim temos que os elementos da fórmula serão:
• 𝐸𝑚𝑑 =
80
2
= 40
• l = 25
• h = 10
• Fant = 25 Assim a mediana dos dados é de 30 anos.
• fmd = 30
𝑀𝑑 = 𝑙 +
𝐸𝑚𝑑−𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑚𝑑
. ℎ = 𝑀𝑑 = 25 +
40−25
30
. 10 = 30
MODA
• A moda é outra medida de tendência central, sendo, no entanto a menos
importante. Sua vantagem é que pode ser usada para variáveis qualitativas.
Genericamente, pode-se definir a moda como o valor mais frequente da
distribuição.
MODA
• Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante, o
valor mais frequente desse conjunto.
• A Moda é determinada da mesma maneira para dados não agrupados em tabelas e
para dados agrupados em tabelas sem intervalo de classe.
• Nem sempre a moda existe (distribuição amodal) e nem sempre é única.
• Se apresentar apenas uma moda diremos que é unimodal;
• se possuir duas modas diremos que é bimodal;
• se tiver várias modas (mais que duas) diremos que é multimodal.
EXEMPLO MODA
• A Moda é determinada da mesma maneira para dados não agrupados em
tabelas e para dados agrupados em tabelas sem intervalo de classe, assim o
exemplo pode ser interpretado para as duas formas de apresentação
Considere a temperatura de uma localidade registrada na tabela abaixo
Como a moda leva em consideração a maior frequência, temos que a moda desses
dados é de 2⁰ C
MODA PARA INTERVALO DE CLASSE
• Determinação da Moda de Valores tabulados com intervalo de classe
• Para dados agrupados em tabelas com intervalo de classe, calcularemos
através da seguinte expressão:
Onde
• l = limite inferior da classe modal
• fmo = frequência simples da classe modal
• fant = frequência simples da classe anterior à da classe modal
• fpost = frequência simples da classe posterior à da classe modal
• h = amplitude da classe modal
h .
)f (f- 2f
f - f
 l Mo
postanmo
antmo
+
+=
EXEMPLO MODA PARA INTERVALO DE CLASSE
• Como a moda é determina pela expressão apresentada no slide anterior, temos que
determinar primeiro a classe da moda, que considera a maior frequência
• Assim temos que os elementos da fórmula serão:
• l = 58
• fmo = 11
• fant = 9
• fpost = 8 Sendo assim a moda é de 59,6 cm
• h = 4
h .
)f (f- 2f
f - f
 l Mo
postanmo
antmo
+
+= 59,6 4 .
8) (9- 2.11
9 - 11
 58 =
+
+=
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos
dados apenas a nível pontual, sem ilustrar outros aspectos referentes
à forma como os dados estão distribuídos na amostra.
• As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de
variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média.
EXEMPLO DE MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Considerando três turmas de
Cálculo das Probabilidades
• Observações importantes
i) As três turmas possuem a mesma média
ii) As notas estão distribuídas sob diferentes
formas
iii) A média resume o conjunto de dados
apenas posição central
iv) A média não fornece informações sobre
a variabilidade dos dados
Solução: Apresentar junto da média uma
medida que sumarize a variabilidade do
conjunto de dados
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de dispersão
ou afastamento dos valores observados em torno de um valor central
(média).
• Elas indicam se um conjunto é homogêneo (pouca ou nenhuma
variabilidade) ou heterogêneo (muita variabilidade).
• A descrição do conjunto de dados é mais completa quando se
considera além de uma medida de tendência central, uma medida de
dispersão ou variação.
VARIÂNCIA
• Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de dispersão
ou afastamento dos valores observados em torno de um valor central
(média).
• Simbologia:
σ² = população
S² = amostra
VARIÂNCIA
• Fórmula da variância para dados não agrupados
𝑠2 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛 − 1
EXEMPLO DE VARIÂNCIA
• dados não agrupados
Considere o conjunto de dados A = 10, 12, 13, 20, 25,
34, 45
• A média dos dados é de 22,71
• Para saber a variância teremos que saber os desvios
𝑑𝑖 dosdados em relação a média, ou seja, 𝑥𝑖 − ҧ𝑥.
𝑑1 = 10 − 22,71 = -12,714
𝑑2 = 12 − 22,71 = -10,714
𝑑3 = 13 − 22,71 = -9,714
𝑑4 = 20 − 22,71 = -2,714
𝑑5 = 25 − 22,71 = 2,286
𝑑6 = 34 − 22,71 = 11,286
𝑑7 = 45 − 22,71 = 22,286
Se realizarmos a soma dos 𝑑𝑖𝑠 temos que essa some será
sempre zero, por isso devemos elevar ao quadrado, ou
seja, (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
(𝑑1)
2= (−12,714)2= 161,643
(𝑑2)
2= (−10,714)2= 114,790
(𝑑3)
2= (−9,714)2= 94,362
(𝑑4)
2= (−2,714)2= 7,366
(𝑑5)
2= (2,286)2= 5,226
(𝑑6)
2= (11,286)2= 127,374
(𝑑7)
2= (22,286)2= 496,666
Somando esses valores teremos, σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2= 1.007,43
Assim,
𝑠2 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛
=
1.007,43
6
= 167,905
EXEMPLO DE VARIÂNCIA
• Outra maneira de calcular a variância para o conjunto de dados A = 10, 12, 13, 20, 25, 34 e 45, seria aplicando direto
na fórmula, considerando a média de 22,71
𝑠2 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖− ҧ𝑥)
2
𝑛−1
=
(10−22,71)2+(12−22,71)2+(13−22,71)2+(20−22,71)2+(25−22,71)2+(34−22,71)2+(45−22,71)2
6
=
1.007,43
6
= 167,905
Lembrando que todas as vezes que calculamos a variância elevamos os valores ao quadrado, sendo assim, a medida de
variação não estará na mesma unidade em estudo, por isso, o desvio padrão é mais utilizado para uma interpretação
direta.
VARIÂNCIA
• Fórmula da variância para dados agrupados
𝑠2 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2𝑓𝑖
𝑛 − 1
EXEMPLO DE VARIÂNCIA
• Dados agrupados em tabelas
• A variância é calculada da mesma maneira para tabelas com e sem intervalo de classes
Considere o consumo de energia elétrica em Kwh apresentado na tabela
Com os valores de xi estabelecidos podemos calcular a variância, direto na aplicação da fórmula
• Primeiro temos que
determinar os valores de xi ,
para isso temos que
calcular a média das
classes, ou seja, o valor de x
da primeira classe será:
(5+25)/2 =15
EXEMPLO DE VARIÂNCIA
Considere a fórmula da variância, teremos: (A média é de 79,5)
Assim, o cálculo da variância será dada por:
Outra maneira de calcular é:
𝑠2 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2𝑓𝑖
𝑛 − 1
=
80.780
79
= 1.022,53
𝑠2 =
15 − 79,5 2. 4 + 35 − 79,5 2. 6 + 55 − 79,5 2. 14 + 75 − 79,5 2. 26 + 95 − 79,5 2. 14 + 115 − 79,5 2. 8 + 135 − 79,5 2. 6 + 155 − 79,5 2. 2
79
= 1.022,53
DESVIO PADRÃO
• Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de dispersãoou afastamento dos valores observados em torno de um valor central
(média).
• Simbologia:
σ = população
S = amostra
• É uma das medidas mais úteis da variação de um grupo de dados.
• A vantagem do desvio padrão sobre a variância, é que este permite uma
interpretação direta da variação do grupo, pois o mesmo é expresso na
mesma unidade de medida em que estão expressas as variáveis
amostradas.
DESVIO PADRÃO
• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância
• Para determinar o desvio padrão passa primeiramente pelo cálculo da
variância
• Depois de calculada a variância devemos tirar a raiz quadrada, assim
teremos o desvio padrão
Dados não agrupados Dados agrupados em tabelas
com e sem intervalo de classe
𝑠 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛 − 1
𝑠 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2𝑓𝑖
𝑛 − 1
DESVIO PADRÃO
• Comparação do desvio padrão
Amostra A Amostra B Amostra C
Média =15,5 Média =15,5 Média =15,5
s = 3,338 s = 0,9258 s = 4,57
Observando os dados acima, a média é igual
para os conjuntos de dados diferentes, mas isso
só pode ser percebido através do desvio
padrão. Outra medida que ajuda a
compreender melhor a variação é o coeficiente
de variação
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
• É uma medida de dispersão relativa, utilizada quando se deseja
comparar a variação de conjunto de dados que apresentem diferentes
unidades de medição e ou tamanhos diferentes, pois o coeficiente de
variação independe da unidade de medida dos dados.
• É expresso sempre em porcentagem (100%)
• Fórmula:
𝐶𝑉 =
𝑆
ത𝑋
. 100
EXEMPLO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
• É uma medida de dispersão relativa, utilizada quando se deseja comparar a variação de
conjunto de dados que apresentem diferentes unidades de medição e ou tamanhos
diferentes, pois o coeficiente de variação independe da unidade de medida dos dados.
• Ação A:
Preço médio do último ano = 50 u.m 𝐶𝑉 =
5
50
. 100 = 10%
Desvio padrão = 5 u.m
• Ação B:
Preço médio do último ano = 100 u.m 𝐶𝑉 =
5
100
. 100 = 5%
Desvio padrão = 5 u.m.
Sendo assim a Ação B possui maior regularidade do que a Ação A, ou seja, o
percentual de variação de B é menor do que A.
EXEMPLO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
• Comparação do desvio padrão
Amostra A Amostra B Amostra C
Média =15,5 Média =15,5 Média =15,5
s = 3,338 s = 0,9258 s = 4,57
CV=21,5% CV=5,97% CV=29,48%
Nesse caso, como a média é igual em todas as
amostras já poderíamos concluir que a amostra
B tem menor variação, mas com o auxílio do CV
conseguimos saber o percentual dessa
variação, ou seja, a diferença de variação da B
em relação as outras é muito diferente.
Obrigada!