Modulação de Pulsos

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Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 1 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Capítulo 4 
Modulação de Pulsos 
 
 
4.1. Teoria da Amostragem 
Sob certas condições, um sinal contínuo no tempo pode ser completamente representado e 
recuperado através do conhecimento de suas amostras igualmente espaçadas no tempo. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vantagens: 
- Sinal representado por um número finito de valores 
- Possibilidade de armazenamento e processamento digital 
 
 
 
 
Seja ( )f t a função a ser amostrada: 
 
 
 
A fim de obter 0( )f t , amostra de ( )f t no instante 0t , 
multiplica-se ( )f t por um impulso em 0t t= e integra-
se o resultado.. 
Assim: 
Propriedade da Amostragem da Função Impulso 
0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f tδ
+∞
−∞
⋅ − =∫ 
0 1 2 3 4 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
Amostragem
f(0) 
f(T) 
f(2T) 
f(3T) 
f(4T) 
f(5T) 
f(6T) 
f(7T) 
f(8T) 
f(9T) 
f(10T) 
f(t) 
0 1 2 3 4 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
f(t)
t0 
f(t0) 
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4.1.1. Amostragem com Trem de Impulsos 
 
Seja a função a ser amostrada ( )f t : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um período de amostragem T. 
Definimos ( )p t : Trem de Impulsos 
 
( )( )
n
p t t nTδ
+∞
=−∞
= −∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando ( )f t por ( )p t : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal ( )pf t obtido (sinal discreto no tempo) contém a informação sobre as amostras do sinal 
original nos tempos nT . 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p
p
n
p
n
f t f t p t
f t f t t nT
f t f nT t nT
δ
δ
+∞
−∞
+∞
−∞
= ⋅
= ⋅ −
= ⋅ −
∑
∑
 
0 1 2 3 4 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
f(t)
0 1 2 3 4 5
p(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ... 
X 
( )f t 
( )p t 
( ) ( ) ( )pf t f t p t= × 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
fp(t)
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• Análise Espectral 
 
Seja ( )f t e seu espectro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E o Trem de Impulsos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ } ( )( ) ( )
n
P p t t nTω δ
+∞
=−∞
 
= = − 
 
∑F F 
O Trem de Impulsos é um sinal periódico com período T, logo sua transformada pode ser calculada 
por: 
( )0( ) 2 .n
n
F F nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑ 
 
onde: Coeficientes da Série de Fourier 
0
0
0
1
( ). .
t T jn t
n t
F f t e dt
T
ω+ −= ∫ e 0 2T
π
ω = 
 
No caso: 
 
2 20
2 2
01 1 1( ). . ( ). .
T T
T T
jn t
nF t e dt t e dtT T T
ωδ δ−
− −
= = =∫ ∫ 
Logo: 
{ } ( )1( ) ( ) 2 . s
n
P p t n
T
ω π δ ω ω
+∞
=−∞
= = −∑F 
0 1 2 3 4 5
p(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ... 
←→F ? 
0 1 2 3 4 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
f(t)
←→F 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω)
ω
m
-ωm
A 
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onde: 
2
s T
π
ω = : Frequência de Amostragem 
 
Logo: 
 
( )( )
n
p t t nTδ
+∞
=−∞
= −∑ ←→F ( )2( ) s
n
P n
T
π
ω δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deste modo , teremos o espectro do sinal amostrado: 
 
( ) ( ) ( )pf t f t p t= ⋅ ←→F { }
1
( ) ( )* ( )
2p
F F Pω ω ω
π
= 
 
( )
( )
1 2
( ) ( )*
2
1
( ) ( )*
p s
n
p s
n
F F n
T
F F n
T
π
ω ω δ ω ω
π
ω ω δ ω ω
+∞
=−∞
+∞
=−∞
 
= − 
 
= −
∑
∑
 
 
1
( ) ( )p s
n
F F n
T
ω ω ω
+∞
=−∞
= −∑ 
 
 
0 1 2 3 4 5
p(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ... 
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
s 2ωs 
-ωs -2ωs 
P(ω) 
2π/T 2π/T 2π/T 
ω 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
fp(t)
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
ω
Fp(ω)
ω
m-ωm
A/T 
ω
s 2ωs-2ωs -ωs
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Portanto, o espectro de um sinal amostrado é uma repetição do espectro do sinal 
original nas frequências múltiplas da frequência de amostragem. 
 
Resumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que não ocorra Superposição dos Espectros é necessário que: (pelo gráfico) 
s m mω ω ω− ≥ 
 
Logo: 
2s mω ω≥ ou 2s mf f≥ 
 
 
0 1 2 3 4 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
f(t)
0 1 2 3 4 5
p(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ... 
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
s 2ωs 
-ωs -2ωs 
P(ω) 
2π/T 2π/T 2π/T 
ω 
←→F 
←→F 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
fp(t)
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
ω
Fp(ω )
ω
m-ω m
A/T 
ω
s 2ω s-2ω s -ω s
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω )
ω
m -ω m 
A 
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Teorema da Amostragem 
 
Em 1928, Nyquist estudou a amostragem de sinais nas Séries de Fourier, porém apenas em 1949 
com Shannon, que seu princípio foi incorporado à Teoria das Comunicações. 
 
 
 
“Seja um sinal ( )f t limitado em frequência tal que ( ) 0F ω = para mω ω> . Então ( )f t é 
unicamente determinado por suas amostras ( )f nT , 0, 1, 2,...n = ± ± se: 
2s mω ω≥ 
onde 
2
s T
π
ω = ” 
 
 
Em outras palavras: A frequência de amostragem deve ser, no mínimo, igual ao dobro da máxima 
frequência existente no sinal. 
 
 
A frequência 2s mω ω= é chamada Frequência de Nyquist ou Taxa de Nyquist. 
 
É comum usarmos um filtro PB de frequência de corte 
2
s
c
ω
ω = na entrada dos sistemas de 
aquisição de dados, para garantirmos que o Teorema da Amostragem seja obedecido. 
 
 
O sinal contínuo ( )f t pode ser recuperado a partir do sinal amostrado ( )pf t , filtrando-se este 
último através de um filtro Passa-Baixas ideal de ganho T e de frequência de corte 
m c s mω ω ω ω< < − . Este filtro é chamado de Filtro PB de reconstrução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
ω
Fp(ω )
ω
m-ω m
A/T 
ω
s 2ω s-2ω s -ω s
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω )
ω
m -ω m 
A 
ω ωc -ωc 
|H(ω)| 
T 
Filtro PB 
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O que ocorre caso o Teorema da Amostragem não seja cumprido? 2s mω ω< 
 
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
ω
Fp(ω)
ω
m -ωm 
A/T 
ω
s 2ωs-
ω
s-2ωs ω
s-ωm
 
 
Ocorre o Recobrimento dos Espectros, também chamado de Superposição ou Efeito “Aliasing”. 
 
Devido à esta superposição dos espectros, o sinal original não pode ser mais recuperado por 
filtragem – Perda da Informação! 
 
 
 
Dado o sinal discreto na figura abaixo, qual é o sinal contínuo que deu origem? (desenhe as 
possibilidades no gráfico abaixo) 
 
0 5 10 15
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
fp(t) 
t T 2T 3T 
4T 
 
 
Se o teorema da amostragem não for cumprido, há infinitos sinais que poderiam originar ( )pf t , 
não sendo possível recuperar o sinal contínuo original. 
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Exemplos: 
 
1) Sinal de Voz: 
O gráfico abaixo mostra o 
espectro de um sinal de voz 
(som “a”). 
 
Note que grande parte da energia 
deste sinal está concentrada de 15 
a 10kHz. 
Devido a esta 
característica considera-se para 
aplicações de telefonia (canal 
telefônico) que o sinal de voz 
esteja concentrado na faixa de 
300Hz a 3400Hz. Esta faixa 
corresponde a 68% da Energia e 
85% da inteligibilidade da voz. 
 
A fim de processarmos digitalmente o sinalde voz, devemos amostra-lo a uma frequência de 
pelo menos: 2 3400 6,8kHz× = . Na prática utiliza-se como frequência de amostragem em telefonia 
8sf kHz= , a fim de evitar aliasing e facilitar a recuperação por filtragem PB. 
 
2) Sinal de Áudio: 
O Sinal de Áudio possui 
largura de banda maior que a voz 
humana, conforme pode ser visto 
no espectro abaixo: 
 
Note que o sinal de áudio possui 
o espectro muito mais 
homogêneo e com maior 
quantidade de altas frequências 
que o sinal de voz. O ouvido 
humano é sensível até 
frequências próximas a 20kHz. 
Logo para o processamento (e 
armazenagem) de sinal de áudio 
com qualidade é necessário 
utilizar no mínimo 40sf kHz= . Aplicações como CD de áudio, utiliza 44,1sf kHz= . 
 
3) Vídeo 
Suponha que desejamos amostrar um sinal de vídeo de modo a obter um quadro de tamanho 
640×480 (VGA) e uma taxa de quadros de 30fps (frames por segundo), logo necessitaremos de 
uma frequência de amostragem de: 30 / 640 480 /sf quadros s amostras quadro= × × ou 
9,126sf MHz= 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 9 
 
 
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o Generalização do Teorema da Amostragem 
 
O Teorema da Amostragem os diz: 
 
“Seja um sinal ( )f t limitado em frequência tal que ( ) 0F ω = para mω ω> . Então ( )f t é 
unicamente determinado por suas amostras ( )f nT , 0, 1, 2,...n = ± ± se: 
2s mω ω≥ 
onde 
2
s T
π
ω = ” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porém,caso estejamos tratando de um sinal do tipo Passa-Faixas de largura de banda W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A máxima frequência existente no sinal é c mω ω+ 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
fp(t)
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
ω
Fp(ω )
ω
m-ω m
A/T 
ω
s 2ω s-2ω s -ω s
0 1 2 3 4 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
f(t)
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω )
ω
m -ω m 
A 
-1 0 1 2 3 4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
φ
DSB-SC(t)
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
ω
Φ
DSB-SC(ω)
F(0)/2 
←→F
W 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 10 
 
 
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O Teorema da Amostragem continua valendo caso quisermos recuperar o sinal original 
através de filtragem Passa-Baixas do sinal amostrado, isto é: . 2( )s c mω ω ω≥ + 
No entanto, se utilizarmos para recuperar o sinal um filtro Passa-Faixas, necessitamos 
utilizar uma frequência de amostragem 2s Wω ≥ , onde W é a largura de banda do sinal. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 11 
 
 
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4.1.2. Amostragem Natural com Trem de Pulsos 
Na prática é difícil obter um trem de impulsos. Logo se utiliza trem de pulsos para fazer a 
amostragem. 
 
Trem de Pulsos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando: 
{ } ( )( ) 2 . .n s
n
p t F nτ π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑F 2s T
π
ω = 
Esta Série de Fourier foi calculada anteriormente: 0
0
1
( ).
2
s
t T jn t s
n t
nA
F p t e dt Sa
T T
ω
τ
ω ττ+ −  = =  
 ∫
 
 
 
Usando o trem de pulsos como amostrador, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo do Espectro 
 
{ }1( ) ( )* ( )
2p
F F Pτ τω ω ωπ
= 
( )1( ) ( )*2 .
2 2
s
p s
n
nA
F F Sa n
Tτ
ω ττ
ω ω π δ ω ω
π
+∞
=−∞
  = −  
  
∑ 
( )( ) .
2
s
p s
n
nA
F Sa F n
Tτ
ω ττ
ω ω ω
+∞
=−∞
 = − 
 
∑ 
 
 
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
p
τ
(t)
A 
τ 
T 
-10 -5 0 5 10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
ω
Ptau(ω)
ω
s
2ωs-ωs
3ωs
←→F
X 
( )f t 
( )p tτ 
( ) ( ) ( )pf t f t p tτ τ= × 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
fpτ(t)
Constante dependente de n 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 12 
 
 
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Resumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: Teorema de Shannon continua valendo. 
2s mω ω≥ para não haver recobrimento de espectros. 
 
 
 
 
 
 
 Zoom: 
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω)
ω
m -ωm 
A 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
f(t)
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
p
τ
(t)
A 
τ 
T 
-10 -5 0 5 10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
ω
Ptau(ω)
ω
s
2ωs-ωs
3ωs
←→F
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
fpτ(t)
←→F 
-10 -5 0 5 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpτ(ω)
ω
s
2ωs
3ωs
-ωs
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpτ(ω)
ω
s 2ωs-ωs
ω
m-ωm
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 13 
 
 
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4.1.3. Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos 
 
Neste tipo a amostragem ocorre em um único instante de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação: ( )pf t Amostragem por Trem de Impulsos 
 ( )pf tτ Amostragem Natural por Trem de Pulsos 
 ( )pif tτ Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos 
 
 
Análise: 
 
Como podemos obter a função Trem de Pulsos a partir da Trem de Impulsos através da convolução 
com a Função Porta: ( ) ( )* ( )p t p t g tτ τ= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-5 0 5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
fpiτ(t)f(t)
0 1 2 3 4 5
p(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ... 
-2 -1 0 1 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
gτ(t)
τ/2 -τ/2 
A 
* 
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
p
τ
(t)
A 
τ 
T 
= 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 14 
 
 
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Logo podemos pensar que ( )pif tτ pode ser gerado como a convolução: 
( ) ( )* ( )pi pf t f t g tτ τ= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que a Transformada de Fourier da Função porta é a Sampling: { }( ) .
2
g t A Saτ
ωτ
τ  =  
 
F 
E a Propriedade da Convolução no Domínio do Tempo: 
( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )pi p pi pf t f t g t F F Gτ τ τ τω ω ω= ←→ = ×
F 
 
Temos que: 
 
{ } ( )1( ) .
2pi sn
f t F n A Sa
Tτ
ωτ
ω ω τ
+∞
=−∞
 = − ×  
 
∑F 
 
Logo: ( )( ) 2pi sn
A
F Sa F n
Tτ
τ ωτ
ω ω ω
+∞
=−∞
 = − 
 
∑ 
 
 
 
 
 
Cuidar, pois ( )piF τ ω é diferente de: ( )( ) .2
s
p s
n
nA
F Sa F n
Tτ
ω ττ
ω ω ω
+∞
=−∞
 = − 
 
∑ 
 
 
 
-2 -1 0 1 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
gτ(t)
τ/2 -τ/2 
A 
* 
-5 0 5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
fp(t)
3T 2T 
T -T 
-5 0 5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
fpiτ(t)
T 
2T 3T 
-T τ/2 -τ/2 = 
Função de ω 
Constante dependente de n 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 15 
 
 
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Resumo: 
 
Amostragem por Trem de Impulsos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostragem Natural por Trem de Pulsos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zoom: 
 
Note que há distorção dos espectros! 
Pois cada ponto do espectro fica multiplicado pela 
função Sampling. 
 
 
 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
fpτ(t)
←→F 
-10 -5 0 5 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpτ(ω)
ω
s
2ωs
3ωs
-ωs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
fp(t)
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
ω
Fp(ω )
ω
m-ω m
A/T 
ω
s 2ω s-2ω s -ω s
-10 -5 0 5 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpiτ(ω)
ωs-ωs 2ωs
3ωs
-5 0 5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
fpiτ(t)
T 
2T 3T 
-T τ/2 -τ/2 ←→
F
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpiτ(ω)
ωs-ωs 2ωs
ωm-ωm
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 16 
 
 
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Observação: 
 No sistema com amostragem instantânea por pulsos NUNCA se consegue reconstrução sem 
erro do sinal devido à distorção imposta pela Função Sampling. 
 A esse efeito chamamos de “Distorção sen(x)/x” 
 
Ex.: Vejamos estadistorção mais claramente no exemplo onde ( ) ( )
m
F gωω ω= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de Minimizar a Distorção “sen(x)/x” 
 
a) Diminuindo τ : ( )( )
2pi sn
A
F Sa F n
Tτ
τ ωτ
ω ω ω
+∞
=−∞
 = − 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reduz a distorção! 
 
-5 0 5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpiτ(ω)
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω)
ω
m -ωm 
Distorção 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
τ1 
τ2 
τ2<τ1 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 17 
 
 
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Problemas: 
 - Diminui-se a energia do sinal, logo diminui a relação Sinal-Ruido. 
 - Projeto do Filtro Passa-Baixas é mais crítico. 
 
 
 
 
 
Para Tτ = : 
 
- Ponto de maior distorção. 
- Maior energia do Sinal reconstruído. 
- Filtro PB mais fácil, as réplicas do espectro ficam sobre os zeros da Sampling. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este é o tipo de amostragem mais utilizado na prática. 
 
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
τ
2
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
τ
1 
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
τ=T 
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
τ=T 
ω
s 
2ωs 
-ωs 
-2ωs 
←→F 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 18 
 
 
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b) Aumentar a Frequência de Amostragem 
 
Para Tτ = : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Reduz a Distorção “sen(x)/x” 
- Reduz a complexidade do Filtro PB 
 
Problemas: 
 - Necessita processador mais rápido. 
 - Maior quantidade de memória para armazenamento 
 
 
c) Alterar a Resposta em Frequência do filtro PB de reconstrução: 
 
 
 
 
 
Filtro com reposta em frequência: 
 
1 2( )
sin
2 2
G
Sa
ωτ
ω
ωτ ωτ
= =
   
   
   
 
até a frequência / 2sω 
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
τ=T 
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
τ=T 
ω
s 
2ωs 
-ωs 
-2ωs 
←→F 
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ω
ω
s 2ωs -ωs -2ωs 
←→F 
PB ( )G ω ( )pif tτ ( )f t 
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ω
G(ω)
ω
s/2-ωs/2
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 19 
 
 
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4.2. Sistemas de Modulação de Pulsos 
 
• Modulação Contínua: 
 Portadora é um sinal sinusoidal 
 Ex.: AM, FM e PM 
 
• Modulação por Pulsos 
 Portadora é um trem de pulsos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informação a ser transmitida é composta pelas amostras obtidas pela amostragem com trem de 
impulsos (amostragem ideal) do sinal f(t). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A informação deve modificar alguma característica da portadora: 
 
• Modulação Analógica 
A informação varia alguma grandeza analógica do pulso: 
ex.: amplitude (PAM), largura (PWM) ou posição (PPM) do pulso. 
 
• Modulação Digital (Codificação) 
A informação gera um sinal codificado digital 
 Ex.: PCM, DPCM, DM, ADPCM,... 
 
 
 
 
 
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
p
τ
(t)
A 
τ 
T 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
t
fp(t)
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 20 
 
 
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4.2.1. Modulação em Amplitude de Pulso (PAM) 
 
A amplitude de um trem de pulsos varia linearmente com a amplitude das amostras do sinal 
modulador (informação). 
 É a aplicação direta da Amostragem por Trem de Pulsos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando: Para Amostragem Natural. 
1
( ) ( ). ( ) ( ) ( )* ( )
2PAM PAM
t f t p t F Pτ τϕ ω ω ωπ
= ←→ Φ =F 
( ) ( ). ( )PAM
n
t f t g t nTτϕ
+∞
=−∞
= −∑ 
( ) . ( )
2
s
PAM s
n
nA
Sa F n
T
ω ττ
ω ω ω
+∞
=−∞
 Φ = − 
 
∑ 
 
Obs.: O teorema da amostragem deve ser respeitado. 2s mω ω≥ 
←→F 
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
F(ω)
ω
m -ωm 
A 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
f(t)
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
pτ(t)
A 
τ 
T 
←→F
←→F 
-10 -5 0 5 10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
ω
Ptau(ω)
ω
s
2ωs-ωs
3ωs
( )Pτ ω 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
fpτ(t) ( )PAM tϕ
-10 -5 0 5 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpτ(ω)
ω
s
2ωs
3ωs
-ωs
( )PAM ωΦ 
B 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 21 
 
 
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• Modulação em Sistemas PAM 
 
a) Amostragem Natural com Trem de Pulsos 
 
Circuito: Chave seletora. Ex.: CD4053 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Para trabalhar com multiplexadores digitais (CD4053), é necessário que o sinal f(t) nunca seja 
negativo, logo pode haver a necessidade de adicionarmos um nível DC ao sinal de entrada. 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Amostragem Instantânea com Trem de Pulsos 
Ex.: Circuito de Sample&hold – Amostragem e Retenção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )f t 
( )p tτ 
( )PAM tϕ 
1 2
0
VCC
0
( )f t 
( )PAM tϕ 
( )p tτ 
0
C
3
2
4
11
1
+
-
V
+
V
-
OUT
3
2
4
11
1
+
-
V
+
V
-
OUT
0
( )f t 
( )PAM tϕ 
t1 
t2 
t3 
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
t
φ
PAM(t)
t1 t2 t3 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 22 
 
 
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• Demodulação em Sistemas PAM 
 
 
A recuperação do sinal de informação é feita basicamente através de uma filtragem Passa-Baixas do 
sinal ( )PAM tϕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Filtrando PB o sinal: 
( ) . ( )
2
s
PAM s
n
nA
Sa F n
T
ω ττ
ω ω ω
+∞
=−∞
 Φ = − 
 
∑ 
 
 
com filtro de frequência de corte cω tal que m c s mω ω ω ω≤ ≤ − 
 
Apenas a réplica do espectro em n=0 passa pelo filtro, temos então o sinal reconstruído: 
 
( ) ( )
A
Y F
T
τ
ω ω= 
 
 
Obs.: Se a largura dos pulsos τ for muito pequena em relação ao período T, o sinal reconstruído 
terá um valor médio baixo, o que gera uma baixa relação Sinal-Ruído. 
 
Obs.2: Como é impossível implementarmos um filtro PB ideal (corte abrupto), torna-se necessária a 
alocação de uma Banda de Guarda, isto é, devemos definir a frequência de amostragem sω um 
valor MAIOR que o limite 2 mω , a fim de facilitar o projeto do filtro. 
 
 
←→F 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
fpτ(t) ( )PAM tϕ
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpτ(ω )
ω
s 2ωs-
ω
s
ω
m-ωm
( )PAMϕ ω 
Banda de Guarda 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 23 
 
 
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Multiplexação por Divisão em Frequência (FDM) 
 Podemos transmitir vários sinais simultaneamente em um canal, através da modulação de 
cada sinal em uma frequência diferente, desde que não haja superposição dos espectros. 
 
 
Transmissor: 3 sinais diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para Banda de Guarda igual a zero, a largura de banda de n sinais modulados AM DSB-SC FDM 
será: .2. mW n ω= 
 
Receptor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mω 
( )1F ω 
mω 
mω 
( )2F ω 
( )3F ω 
Modulador 
1cω 
Modulador 
2cω 
Modulador 
3cω 
+ 
ω 
ω 
ω 
1cω 
2cω 
3cω Banda de 
Guarda 
( )FDM ωΦ 
ω 
Filtro PF 
1cω 
Filtro PF 
2cω 
Filtro PF 
3cω 
ω 
ω 
ω 
1cω 
2cω 
3cω 
Demodulador 
1cω 
Demodulador 
2cω 
Demodulador 
3cω 
1( )f t 
2 ( )f t 
3( )f t 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 24 
 
 
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Multiplexação por Divisão no Tempo (TDM) 
 
Através do uso da Multiplexação por Divisão no Tempo podemos transmitir vários sinais 
“simultaneamente”, amostrando-os intercaladamente. 
 
Ex.: número de sinais n=3, onde cada sinal é amostrado a uma frequência 
2
s T
π
ω = 
 
A Frequência de amostragem do sinal ( )TDM tϕ é s snω ω′ = 
 
Obs.: 
- Foi apresentado na figura o amostrador Naturalmas também pode-se usar o amostrador 
instantâneo. 
- Para facilitar a recuperação dos sinais, os pulsos são separados por um Tempo de Guarda 
(tg). 
- Um conjunto de uma amostra de cada sinal multiplexado é chamado de quadro. 
- A taxa de amostragem mínima é determinada pelo sinal com maior largura de banda. 
 
 
 
 
0
1
2
t
f1(t)
0
1
2
t
f2(t)
0
1
2
t
f3(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
1
2
t
φ
TDM(t)
T 
T'=T/3 tg 
Quadro 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 25 
 
 
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• Transmissor 
 
O Transmissor é formado por um circuito multiplexador, que nada mais é do que uma chave que 
seleciona um sinal a cada instante de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Receptor 
 
O Receptor é composto por um circuito demultiplexador seguidos de filtros passa-baixas de 
reconstrução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Os circuitos multiplexador (transmissor) e demultiplexador (receptor) necessitam estar em 
perfeito sincronismo. Uso de um canal de sincronismo (disperdício de canal) ou uso de 
sincronização por quadro, através de uma sinalização diferenciada. 
 
Exemplo Prático: 
 
CD4051
C B AD
clock
enP
enT
f1(t)
f2(t)
f3(t)
f4(t)
f5(t)
f6(t)
f7(t)
f8(t)
CBA
in0
in7
.
.
.
CD4051
out
CBA D
clock
inh
enP
enT
gerador
de sinais gerador
de sinais
21
Contador Contador
74LS161 74LS161
Vdd Vdd
vee
canal de dados
canal de sincronismo
Transmissor Receptor
f1(t)
f2(t)
f3(t)
f4(t)
f5(t)
f6(t)
f7(t)
f8(t)
C B A
in0
in7
.
.
.
out
inh
vee
2k7
in1
in2
2k7
Clear Clear
Vdd
 
1 
2 3 
n 
n-1 
( )TDM tϕ
 1( )f t
 
2 ( )f t
( )nf t
PB 
PB 
PB 
... 
Clock 
 
Amostragem 
1 
2 3 
n 
n-1 
( )TDM tϕ 
1( )f t 
2 ( )f t 
( )nf t 
Clock 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 26 
 
 
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Largura de Banda 
 
1) Para Sinais PAM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idealmente a largura de faixa do sinal é infinita. Porém a informação necessária à reconstrução de 
( )f t é apenas mω ! 
Se quisermos recuperar os pulsos, é necessária uma largura de banda muito maior que mω . 
 
2) Para Sinais TDM 
Considerando o sinal ( )TDM tϕ como as amostras de um único sinal contínuo ( )h t , amostrado a 
frequência s snω ω′ = 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
t
φ
TDM(t) f1(t)
f2(t)
f3(t)
 
 
 
h(t)
 
Logo: Qual a largura de banda do sinal ( )h t , se cada sinal ( )nf t possui largura de banda mω ? 
 
Se estivermos amostrando à taxa de Nyquist: 2s mω ω= , como s snω ω′ = , logo: 2s mnω ω′ = 
Assim a largura de banda do sinal equivalente ( )h t é : .m mnω ω′ = 
 
←→F 
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
fpτ(t) ( )PAM tϕ
-10 -5 0 5 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Fpτ(ω)
ω
s
2ωs
3ωs
-ωs
( )PAM ωΦ 
Filtro 
PB 
( )TDM tϕ ( )h t 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 27 
 
 
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Conclusões: 
 
- A Largura de Banda necessária a transmissão do sinal ( )TDM tϕ é . mW n ω= 
 onde mω é a maior frequência dos sinais ( )nf t 
 
 
Comparação: FDM versus TDM 
 
FDM: Sinais separados em frequência e misturados no tempo 
 
TDM: Sinais separados no tempo e misturados em frequência 
 
Ex.: 
a) Modulando n sinais ( )nf t de largura de banda mω , usando AM DSB-SC, qual a largura de 
banda do sinal FDM resultante? 
 
 
 
 
Resposta: .2. mW n ω= 
 
b) Modulando o sinal ( )TDM tϕ em AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal AM 
resultante? Lembrando que a largura de banda de ( )h t é . mn ω . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 2. . mW n ω= 
 
Conclusão: A transmissão de n sinais usando AM em FDM, e o sinal TDM modulado em AM 
ocupam a mesma largura de banda! 
 
 
 
 
 
 
 
( )PAM ωΦ 
-20 -15 -10 5 0 
0 
ω 
- ω c 
5 10 15 20 
-0.2 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.8 
1 
ω 
F p τ ( ω ) 
ω 
c 
/ ( )TDM AM ωΦ 
ω 
( )FDM ωΦ 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 28 
 
 
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Vantagens do Sistema TDM 
 
- Implementação mais simples, pois necessita de circuitos idênticos para cada canal. So 
sistema FDM as portadoras e os filtros PF são diferentes para cada canal, necessitando 
serem sintonizados independentemente. 
 
- TDM é imune à interferência entre canais (diafonia), que surge em sistemas FDM devido 
à não-linearidade dos amplificadores de transmissão. No sistema TDM os sinais dos 
diferentes canais não são aplicados simultaneamente ao sistema, mas sim em diferentes 
intervalos de tempo, reduzindo a interferência entre os canais. 
 
 
 
Exercício: 
 
1) 10 sinais cossenoidais, com frequências variando de 1kHz a 4kHz são amostrados por um 
processo TDM. Deseja-se na recepção uma banda de guarda de 10kHz para auxiliar na 
demodulação de cada canal. Qual deve ser a frequência da portadora responsável pela amostragem? 
 
 
 
 
Solução: 
 
para 1 canal temos: 
 
 
Logo necessitamos de uma frequência de amostragem de 2s mf f BG= + 
 
Para n canais: 
 ( )
( )
.
2
10 2 4 10 180
s s
s m
s
f n f
f n f BG
f k k kHz
′ =
′ = +
′ = × + =
 
 
 
 
 
 
 
sf mf BG 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 29 
 
 
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4.2.2. Modulação por Largura de Pulso (PWM) 
 
 
A largura (duração) dos pulsos varia linearmente com a informação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0( ) . ( )t K f tτ τ= + 
( )tτ : Largura instantânea do pulso 
K : Constante do circuito modulador. Transforma variações de Volts em variações de segundos. 
Unidade: [s/V] 
 
 
Se: ( )( ) .cos mf t a tω= 
Temos: 
( )0( ) . .cos mt K a tτ τ ω= + 
 ( )0
0
.
( ) 1 .cos m
K a
t tτ τ ω
τ
 
= + 
 
 
 
Definimos então o Índice de Modulação PWM: 
0
.a K
m
τ
= onde 0 1m≤ ≤ 
( )0( ) 1 .cos mt m tτ τ ω = +  
 
-1
0
1
t
f(t)
0
0.5
1
t
pτ(t)
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
t
φ
PWM(t)
T 2T 
τ(t) 
τ0
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 30 
 
 
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( )0( ) 1 .cos mt m tτ τ ω = +  
 
Para: 
( ) 0cos 1 ( ) .m maxt t a Kω τ τ τ= → = + = 
( ) 0cos 1 ( ) .m mint t a Kω τ τ τ= − → = − = 
 
Se permitirmos à largura d pulso uma excursão máxima total dada por: 
max Tτ = e 0minτ = 
Temos que 0 2
T
τ = Isto é, o ciclo de trabalho ideal é de 50% (onda quadrada) 
 
 
Análise Espectral 
 
Sabemos que a decomposição em Série Trigonométrica de Fourier de um Trem de Pulsos par de 
largura τ e frequência 0
2
T
π
ω = é dada por: 
( )0 0
1
2 1
( ) sin .cos
2n
nA A
p t n t
T nτ
ω ττ
ω
π
∞
=
 = +  
 
∑ 
No nosso caso, τ é função do tempo 0( ) . ( )t K f tτ τ= + 
Logo: 
 
( )( )
1
( )( ) 2 1
( ) ( ) sin .cos
2
s
t PWM s
n
n tA t A
p t t n t
T nτ
ω ττ
ϕ ω
π
∞
=
 = = +  
 
∑ 
 
Para sinal de informação cossenoidal: ( )( ) .cos mf t a tω= 
Temos que: ( )0( ) 1 .cos mt m tτ τ ω = +  
 
Logo: 
( ) ( )
( )0 0
1
1 .cos 1 .cos2 1
( ) sin .cos
2
m s m
PWM s
n
A m t n m tA
t n t
T n
τ ω ω τ ω
ϕ ω
π
∞
=
    + +   = +  
 
 
∑ 
( ) ( ) ( )0 0 0 0
1
2 1
( ) cos sin cos .cos
2 2
s s
PWM m m s
n
A mA n mnA
t t t n t
T T n
τ τ ω τ ω τ
ϕ ω ω ω
π
∞
=
 = + + + 
 
∑ 
 
Analisando cada termo: 
0A
T
τ
: Valor médio do sinal (componente DC) 
( )0 cos m
mA
t
T
τ
ω : Raia espectral correspondente à informação 
( )( ) ( )1 sin cos .cosm sa b t n tn ω ω+ : Função de Bessel nas frequências múltiplas de sω , Espectro 
semelhante ao de um sinal FM amostrado, ponderado por 
1
n
. 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 31 
 
 
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Logo o espectro será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Largura de Banda do Sinal PWM: 
 
Considerando que a largurade banda do trem de pulsos seja definida pela frequência do primeiro 
zero da sampling. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os zeros da sampling estão localizados em: .
2
k
ωτ
π= 
Logo a frequência do 1o zero (k=1) é: 
2 1
W ou B
π
ω
τ τ
= = = 
 
Para o Sinal PWM a maior largura de faixa será definida pelo menor τ . 
Isto é: 0 0. (1 )min a K mτ τ τ= − = − 
Logo: 
0
1
(1 )
B
mτ
=
− 
 
Obs.: m=0, sem sinal a=0, 
0
1
B
τ
= , onda quadrada. 
 m=1, 
1
0
B = = ∞ , sinal varia desde Tτ = a 0τ = (Impulso!) 
mω 
ω
sω 2 sω 3 sω 
( )PWM ωΦ 
mω 
-5 0 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
p
τ
(t)
A 
τ 
T 
-10 -5 0 5 10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
ω
Ptau(ω)
ω
s
2ωs-ωs
3ωs
←→F
W 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 32 
 
 
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• Modulador PWM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-1
0
1
t
f(t)
0
0.5
1
t
pτ(t)
0
1
2
t
ft(t)
-1
0
1
2
3
t
f(t)+ft(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
t
φ
PWM(t)
Vref 
 
Circuito mais simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerador de 
Triangular 
+ 
 
Comparador 
( )f t 
refV 
( )PWM tϕ 
0 2 4 6 8 10
-1
0
1
t
f(t) e ft(t)
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
t
φ
PWM(t)
( )f t
( )triangularf t 
( )PWM tϕ
0
LM311
7
2
3 1
8
4
6
5
OUT
+
- G
V
+
V
-
B/SB
VCC
R
390
VCC
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 33 
 
 
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• Demodulador PWM 
 
- Demodulação Direta: 
 
Observando o espctro do sinal PWM: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: Basta filtrar passa baixas. No entanto note que há interferências de outras raias, causando 
distorção do sinal reconstruído. 
 
- Como diminuir a influência das bandas laterais superiores? 
 
Solução: Aumentar sω 
 Problema: Aumenta a largura de banda ocupada pelo sinal PWM ! 
 
 
Temos aqui um compromisso entre sω e distorção. 
Existem aproximações empíricas para avaliarmos a distorção em função de sω . 
 
Para 0 1m< < e ciclo de trabalho de 50%, temos: 
 
Distorção de 1% : ( )3.5 2.5s m mω ω≥ + 
Distorção de 2% : ( )2.9 2.2s m mω ω≥ + 
Distorção de 5% : ( )2.2 2s m mω ω≥ + 
Distorção de 10% : ( )2s m mω ω≥ + 
 
Obs.: Se utilizarmos a Taxa de Nyquist 2s mω ω= teremos distorção maior que 10%! 
mω 
ω
sω 2 sω 3 sω 
( )PWM ωΦ 
mω 
Filtro PB 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 34 
 
 
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- Demodulação Indireta: 
 
Consiste em converter o sinal PWM em um sinal PAM através de amostragem e retenção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerador de Rampa: Ceifador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerador de 
Rampa 
Mono-estável 
com retardo 
+ 
Ceifador Sample & 
Hold 
Filtro 
PB 
( )PWM tϕ 
( )f t 
� �
� 
� � � � 
Vref +
-
3
2
1
4
11
R
0
Vin 
Vo 
0
C
+
-
3
2
1
4
11
RVi 
T 
Vo 
� 
� 
� 
� 
� 
� 
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
tVin
Vo 
Vref 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 35 
 
 
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Exercícios: 
1) Um trem de pulsos, simétrico de 50kHz e amplitude 10V, é modulado em PWM por um 
sinal contínuo de 5V. O circuito possui a constante 1 VsK
µ= . Esboce a forma de onda do 
sinal modulado, cotando no tempo, considerando que a borda de subida é fixa no tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Um sinal cossenoidal de 10kHz modula em PWM um trem de pulsos simétrico de 40kHz, em 
um circuito cuja constante é 2 VsK
µ= 
a) Determinar a largura de faixa ocupada pelo sinal modulado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determinar a ordem de grandeza da distorção no sinal demodulado. 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 36 
 
 
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4.2.3. Modulação por Posição de Pulso (PPM) 
 
A informação varia a posição dos pulsos. 
 
 
-1
0
1
t
f(t)
0
0.5
1
t
pτ(t)
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
t
φ
PPM(t)
T 2T 
δ(t) 
τ
0 
 
 
0( ) . ( )t K f tδ δ= + 
 
( )tδ : Posição instantânea do Pulso 
0δ : Posição do pulso quando f(t)=0 
K : Constante do modulador, transforma variações de volts em variações de segundos. [ ]/s V 
 
Se: ( )( ) .cos mf t a tω= 
Temos: 
( )0( ) . .cos mt K a tδ δ ω= + 
 ( )0
0
.
( ) 1 .cos m
K a
t tδ δ ω
δ
 
= + 
 
 
 
Definimos então o Índice de Modulação PPM: 
0
.a K
m
δ
= 
( )0( ) 1 .cos mt m tδ δ ω = +  
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 37 
 
 
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Quais os limites do índice de modulação PPM? (0,1]m∈ ? 
 
 
Se 0m = , isto é f(t)=0, sem sinal de informação ⇒ índice de modulação mínimo min 0m = . 
 
Para: 
( ) [ ]0 max maxcos 1 ( ) 1 .1mt t mω δ δ δ= → = + = 
( ) [ ]0 max mincos 1 ( ) 1 ( 1)mt t mω δ δ δ= − → = + − = 
 
Analisando graficamente: 
 
 
0
min 2
τ
δ = 
0
max 2
T
τ
δ = − 
 
 
Logo: 
Pela posição mínima: 
[ ] 0min 0 max1 ( 1) 2m
τ
δ δ= + − = 
0
max
0
1
2
m
τ
δ
= − 
Definindo a posição 0δ como o meio do período: 0 2
T
δ = Temos: 0max 1m T
τ
= − 
 
Pela posição máxima: 
 [ ] 0max 0 max1 .1 2m T
τ
δ δ= + = − de onde se conclui que : 0max 1m T
τ
= − 
 
Logo: o índice de modulação é restrito a 00 1m
T
τ
≤ ≤ − 
 
Para m=0 ⇒ sem sinal 
Para m=1 ⇒ ???? 0 0τ = ⇒ Impulsos! 
 
A fim de facilitar a recepção, costuma-se deixar um tempo de guarda nos limites de ( )tδ de 0
2
τ
s 
 
 
 
 
 
 
Neste caso é fácil demonstrar que: 00 1 2m
T
τ
≤ ≤ − 
0τ 
τ
0τ 
maxδ 
minδ 
T 
0
2
τ
 
maxδ minδ T T 
0
2
τ
 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 38 
 
 
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Análise Espectral 
 
De maneira análoga a feita para a o PWM pode-se concluir que para um sinal de informação: 
( )( ) .cos mf t a tω= . O espectro do PPM é similar ao do PWM porém com a componente em mω 
bastante atenuada, dificultando sua filtragem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A largura de faixa depende da largura dos pulsos 0τ e da máxima proximidade entre dois pulsos. 
Para um sistema com tempo de guarda 0
2
τ
, temos que a largura de banda é: 
0
1
B
τ
= 
 
• Modulador PPM 
 
A modulação PPM baseia-se em um modulador PWM e um mono-estável sensível a borda de 
descida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este integrado (74LS121) podemos definir a largura dos pulsos por 0 0.69RCτ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modulador 
PWM 74LS121 
5 14 11 10 
R C
0
VCC
6 3 
4 7 
( )f t ( )PPM tϕ 
( )PWM tϕ 
( )PPM tϕ 
( )PWM tϕ 
mω 
ω
sω 2 sω 3 sω 
( )PPM ωΦ 
mω 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 39 
 
 
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• Demodulador PPM 
 
A demodulação PPM baseia-se na conversão do sinal PPM em PWM e posterior demodulação 
PWM. Para tanto é necessária a informação de referência (sincronismo com o transmissor). 
 
 
 
 
 
 
A sincronização pode ser feita através da inserção de pulsos de referência no próprio sinal PPM, 
facilitando a recepção. Como conseqüência temos o aumento da potência transmitida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
dt
 
Retificador + 
Flip-Flop 
 
Demodulador 
PWM 
( )PPM tϕ 
( )p tτ ( )f t 
0
0.5
1
t
pτ(t)
0
0.5
1
t
φ
PPM(t)
-1
0
1
0
0.5
1
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
d(pτ(t))/dt
retif.
soma 
φ
PWM(t)
( )PWM tϕ 
( )PPM tϕ′ 
( )PWM tϕ 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 40 
 
 
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Comentários: 
 
 
⇒ Como a amplitude é constante, os sistemas PWM e PPM são mais imunes a ruídos do que os 
sistemas PAM, às custas de uma maior largura de banda. 
 
⇒ Como a largura dos pulsos em sistemas PPM é menor que no sistema PWM, a potência 
necessária ao enviodo sinal PPM é menor que a potência necessária ao PWM. 
 
⇒ O sistema PWM em telecomunicações é utilizado apenas na geração do sistema PPM, porém a 
técnica PWM é muito útil no controle de velocidades de motores, tensões de fontes de alimentação, 
controle de potência em aquecedores e chuveiros, etc, devido ao valor médio ser facilmente 
controlável por um sinal digital PWM. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VCC
Rb
0
VPWM
0
RL
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 41 
 
 
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4.2.4. Modulação por Codificação de Pulsos (PCM) 
 
- Nos sistemas anteriores, cada amostra do sinal de informação f(t), corresponde a um 
pulso (modulado em amplitude, largura ou posição), isto é, modulação analógica de um 
pulso. 
 
- No sistema PCM, cada amostra é quantizada (truncada ou arredondada) e transmitida 
através de um código formado por um conjunto de pulsos idênticos. 
 
Esquema geral: 
 
 
 
 
 
⇒ O sinal de informação f(t) é amostrado 
⇒ Cada amostra é quantizada para o nível de quantização mais próximo 
⇒ A amostra quantizada é codificada através de um código de pulsos (representação binária) 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostragem 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 
V. Amostrado 0.6052 0.8873 0.9384 0.7412 0.3621 -0.0715 -0.4138 -0.5498 -0.4337 -0.1046 0.3269 
V. Quantizado 0.5 1 1 0.75 0.25 0 -0.5 -0.5 -0.5 0 0.25 
Código 5 7 7 6 4 3 1 1 1 3 4 
Binário 101 111 111 110 100 011 001 001 001 011 100 
Obs.: Poderia ser usada qualquer outra representação do código, por exemplo Gray, BCD, 2 entre 5, etc... 
 
Sinal PCM: 
 
 
 
 
Amostrador Quantizador Codificador 
( )f t ( )PCM tϕ 
T 2T 3T 4T 5T 6T 
( )PCM tϕ 
( )f nT ˆ ( )f nT 
Faixa 
Dinâmica 
[-1 a 1] 
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
t
f(t)
T 2T 3T 4T 
5T 6T 7T 8T 9T 
Amplitude[V] 
0 
1 
2 
3
4
5 
6 
7 
Código 
f(nT)
f(nT)
 ̂
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 42 
 
 
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Seja: 
 N = Número de Níveis de Quantização 
 b = Número de Bits 
 
Logo podemos escrever para a codificação binária: 
 
 2bN = ou 2logb N= 
 
Ex.: 3b = bits tem-se 32 8N = = níveis 
 Para termos 512N = níveis é necessário 2log 512 9b = = bits 
 
• Modulador PCM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A modulação PCM é baseada na conversão Analógico-Digital e posterior transformação Paralelo 
em Série para transmissão. 
O amostrador geralmente, é constituído de um circuito de Amostragem e Retenção (Sample & 
Hold) 
 
 
 
 
 
• Demodulador PCM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O demodulador PCM é baseado na paralelelização dos dados de entrada de modo a serem entregues 
a um conversor Digital-Analógico seguido de filtragem passa-baixas. Notar que esta etapa é que 
ocorre a distorção sen(x)/x. 
 
 
 
 
 
 
Serial/Paralelo 
 
Conversor 
D/A 
Filtro 
PB 
( )PCM tϕ ( )f t 
 
Conversor 
A/D 
Paralelo/Serial Amostrador 
( )PCM tϕ ( )f t 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 43 
 
 
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Teoria da quantização 
 Quantização: Nome dado ao processo pelo qual um sinal amostrado é aproximado a tensões 
convenientes. 
 
Etapas: 
- Determinação dos níveis de quantização. (projeto) 
Consiste em dividir a faixa dinâmica do sinal em vários níveis. 
 
- Arredondamento da quantização. (utilização) 
Consiste em atribuir a cada amostra do sinal, o nível de quantização que mais se 
aproxima a sua amplitude. 
 
 
a) Quantização Uniforme 
 
A faixa dinâmica é dividida em níveis de quantização igualmente espaçados. 
 
O quantizador pode ser visto como um operador não linear: { }ˆ ( ) ( )f nT Q f nT= 
Podemos definir o erro de quantização como a diferença entre a amostra real e a quantizada: 
 
ˆ( ) ( ) ( )e nT f nT f nT= − 
 
Assim, podemos modelar estatisticamente o erro de quantização ( )e nT , também conhecido 
como ruído de quantização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostrador 
( )f t 
( )f nT ˆ ( )f nT 
+ 
( )e nT 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 44 
 
 
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Quantização Uniforme: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆ : É denominado de passo de quantização, e ajusta a escala. 
 
Pelo esquema acima pode-se notar que os valores do erro de quantização ( )e nT ficam limitado à: 
( )
2 2
e nT
∆ ∆
− ≤ ≤ 
 
Por estudos estatísticos deste erro, concluiu-se que o erro de quantização possui uma função 
distribuição de probabilidade uniforme: 
 
 
 
 
 
 
 
ˆ ( )f nT 
( )f nT 
7 / 2∆ 5 / 2∆3 / 2∆ / 2∆ 
/ 2−∆ 3 / 2− ∆ 5 / 2− ∆ 7 / 2− ∆9 / 2− ∆ 
∆ 
2∆ 
3∆ 
4∆ 
−∆ 
2− ∆ 
3− ∆ 
4− ∆ 
/ 2−∆ / 2∆ 
1/ ∆ 
( )p e 
e 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 45 
 
 
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Logo, podemos calcular: 
 Valor médio (valor esperado) do Erro de Quantização: { } . ( ).E x x p x dxµ
+∞
−∞
= = ∫ 
{ }
/ 22 2 2/ 2
1
/ 2
/ 2
1 1
. ( ). . 0
2 2 4 4e
e
E e e p e de e deµ
∆
+∞ +∆
∆−∞ −∆
−∆
   ∆ ∆
= = = = = − =   ∆ ∆   
∫ ∫ 
 
 Variância do Erro de Quantização: { }2 2( )E xσ µ= − 
{ }
/ 23 3 3 2/ 22 2 2 1
/ 2
/ 2
1 1
( ) ( 0) . .
3 3 8 8 12e e
e
E e e deσ µ
∆
∆
∆−∆
−∆
    ∆ −∆ ∆
= − = − = = − =   ∆ ∆    
∫ 
 
Analisando a expressão de cálculo do desvio padrão 
/ 22 2
/ 2
1
.e e deσ
∆
−∆
=
∆ ∫ , pode-se perceber que é a 
mesma definição do valor médio quadrático de um sinal. Logo a variância do erro de quantização 
pode ser vista como uma medida da potência deste erro. Isto é: 
2
12e
P
∆
= 
 
Lembrando que a Relação Sinal-Ruído medida em dB é definida por: 10.log s
n
P
SNR
P
 
=  
 
 
Podemos definir a Relação Sinal-Ruído de quantização: 10.log sq
e
P
SNR
P
 
=  
 
 
 
 
Ex.1: Seja o sinal ( ) .cos( )mf t a tω= cuja potência pode ser calculada por: 
2
2s
a
P = 
A faixa dinâmica deste sinal é [-a,a], e suponha que usemos b bits para quantizar este sinal. 
Logo podemos calcular o passo de quantização como: 
( 1)2 .2
2
b
b
a
a − −∆ = = 
Assim, podemos calcular a relação Sinal-Ruído de Quantização para este sinal por: 
( )
( )
2 2
22 ( 1)
2( 1)
/ 2 6
10.log 10.log
/12 .2
10.log 6.2 10log(6) 20( 1).log(2)
6.02 1.76
q b
b
q
q
a a
SNR
a
SNR b
SNR b
− −
−
    = =   ∆   
= = + −
= +
 
Logo aumentando o número de bits aumenta a relação sinal ruído. 
/ 2−∆ / 2∆ 
1/ ∆ 
( )p e 
e 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 46 
 
 
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Ex.2: Para sinais naturais (Voz ou Música), é difícil garantir que a faixa dinâmica projetada vai ser 
realmente respeitada. Logo, há a possibilidade do sinal sair fora desta faixa, saturando o 
quantizador. Quando a saturação acontece, a fórmula da SNRq não é mais válida. 
 Estudos foram feitos de onde resultou que, considerando que 0.01% das amostras saiam fora 
dos valores máximos da faixa dinâmica, dado por 1.2b−±∆ , podemos estimar a potência do sinal de 
áudio como: 
 
2
11 . .2
4
b
sP
− = ∆ 
 
 
 
Logo, nestas condições podemos calcular a SNRq como: 
 
( )
2
1
2 2( 1)
2 2
2( 1)
1
.2
12 .2410.log 10.log .
16
12
12
10.log 10.log 2 1.25 20( 1) log(2)
16
6.02 7.27
b
b
q
b
q
q
SNR
SNR b
SNR b
−
−
−
  ∆    ∆  = =   ∆ ∆ 
 
 
 = + = − + − 
 
= −
 
Aqui também, a cada bit adicionado aumenta-se a Relação Sinal-Ruído de quantização de 6 dB. 
 
 
Para uma boa definição usa-se hoje em dia: 
- Sinais de voz: 8 bits 
- Sinais de áudio de alta qualidade (CD): 16 bits 
- Vídeo Monocromático: 8 bits 
- Vídeo colorido (RGB): 24 bits (8 bits por componente) 
 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 47 
 
 
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Conclusões: 
- O ruído de quantização depende do número de bits (ou do número de níveis de 
quantização). Quanto maior o número de bits melhor é a relação Sinal-Ruído de 
quantização, porém necessita enviar um número maior de pulsos em um mesmo 
intervalo de tempo T de amostragem, isto leva a um aumento da largura de banda 
necessária à transmissão! Lembrando: 
0
1
B
τ
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema: Como aumentar a SNRq sem aumentar o número de bits??? 
 
 
 
 
 
b) Quantização Não-Uniforme 
 
 
A quantização não-uniforme surgiu como uma solução, para o aumento da SNRq sem 
aumentar o número de bits, aplicada à telefonia (sinais de voz). 
 
 Em sinais de voz a probabilidade de ocorrência de amostras de baixa amplitude é muito 
maior que a probabilidade de amostras de grande amplitude. Lembrando que se o sinal é de baixa 
amplitude e o ruído de amplitude constante a relação sinal ruído é baixa. 
 
 Logo se quantizarmos mais precisamente as baixas amplitudes e mais grosseiramente as 
altas amplitudes a SNRq média do sinal irá aumentar! Este processo se baseia na redistribuição dos 
níveis de quantização sem alterar a quantidade de bits (não altera a largura de banda), e é chamado 
de compressão-expansão. 
 
T 2T 3T 4T 5T 6T 
( )PCM tϕ 
T 2T 3T 4T 5T 6T 
( )PCM tϕ 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 48 
 
 
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Leis de Compressão 
 
 
• Lei µ 
 
É definida por: 
( )
( )
log 1
log 1
x
Y
µ
µ
+
=
+
 onde 0 1x≤ ≤ 
 
onde: 
Y: Amplitude do sinal de saída 
X: Amplitude do sinal de entrada normalizado. 
max
( )
( )
f t
x
f t
= 
O parâmetro µ determina o grau de compressão, e é ajustado para obter um bom desempenho na 
SNRq. 
Esta lei é utilizada como padrão nos EUA com µ=255. 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Lei µ 
µ=255 
 
 
 
• Lei A 
 
 
1
0
1 log( )
1 log( ) 1
1
1 log( )
Ax
x
A A
Y
Ax
x
A A
 ≤ ≤ +=  + ≤ ≤
 +
 
Nota-se que a lei é perfeitamente linear para baixos valores de 
1
x
A
≤ . 
Esta lei é utilizada como padrão europeu e adotada pelo Brasil com A=87,6. 
O ITU recomenda o uso da lei A como padrão para comunicações internacionais, com o uso de 
conversores A/µ e µ/A para os países que adotaram a lei µ. 
 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 49 
 
 
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Na prática não se utiliza a equação definida anteriormente, mas sim uma aproximação da mesma 
por 8 segmentos de reta (3 bits). 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
7/8 
6/8 
5/8 
4/8 
3/8 
2/8 
1/8 
Lei A 
1/128 
1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 
 
 
Cada segmento é dividido uniformemente 
em 16 níveis (4 bits): 
 
 
 
 
 
Usa-se ainda, 1 bit para indicar o sinal (positivo ou negativo). 
 
Logo, cada amostra é quantizada com 8 bits: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/8 1/4 
00 
01 
10 
11 
b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 
posição segmento polaridade 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 50 
 
 
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TDM de sinais PCM 
 
Objetivo: Transmissão de vários sinais PCM sobre uma mesma linha, separados no tempo. 
 
Definindo: 
 n = número de sinais 
 b = número de bits de quantização de cada amostra 
 fs = frequência de amostragem de cada sinal 
 
 
Exemplo 1) 
 Para n=3 sinais e b=3 bits 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
s
T
f
= : Período de amostragem de cada sinal 
1o Sinal: 101 110 001 ... 
2o Sinal: 110 100 ... 
3o Sinal: 111 011 ... 
 
Definindo: Taxa de Bits (Bit Rate) 
 Quantidade de bits que trafega pelo canal por unidade de tempo. 
 
. . sBR n b f= Unidade: [bit/s] 
 
Outras unidades: 1kbps = 1k bit/s = 1.000 bit/s 
 1Mbps= 1M bit/s = 1.000k bits/s = 1.000.000 bits/s 
 1Gbps= 1 G bit/s = 1.000M bit/s=1.000.000.000 bits/s 
 
 
No exemplo: usando 1sf kHz= temos 3 3 1 9 /BR k k bit s= × × = 
 
Exemplo 2) Qual a taxa de bits necessária à transmissão de um sinal TDM/PCM composto por 10 
canais de voz amostrados a 8kHz, quantizados a 8 bits e que utiliza um bit de sincronismo por 
quadro? 
.
10 8 1 81
n bits
bits
quadro
= × + = a 8000
quadros
s
 
Logo: 81 8000 648.000 648
bit quadros bit bit
BR k
quadro s s s
= × = = 
 
 
T 2T 
/ ( )TDM PCM tϕ 
1o Quadro 2o Quadro 
1o 1o 2o 2o 3o 3o 1o 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 51 
 
 
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Sistemas Utilizados 
 
PCM30: Adotado na Europa e Brasil em conjunto com a Lei A 
 
 
 
 
 
 
 
 
125 8sT s f kHzµ= ⇒ = 
n=32 e b=8 
 
O PCM30 permite o envio de 30 sinais telefônicos sobre 2 pares de fios (ida e volta). 
 
Sinal [0] : 
- Palavra de sincronismo (alinhamento de quadro) 
- Palavra de serviço (indicando falhas no sistema) 
 
Sinal[16] : - Sinalização 
 
Taxa necessária à transmissão do PCM30: 
32 8 8000 2048 / 2 /BR k bit s M bit s= × × = ≅ 
 
 
PCM24: Adotado nos EUA, Canadá, Japão em conjunto com a Lei µ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
125 8sT s f kHzµ= ⇒ = 
n=24 e b=8 Mais um bit adicional por quadro para sincronismo. 
 
 
Taxa necessária à transmissão do PCM24: 
(24 8 1) 8000 1544 /BR k bit s= × + × = 
 
 
Exercício: 
 Dispondo de um canal de capacidade de 696k bit/s , calcule o maior número de bits possível 
à aquisição do sinal de voz, sabendo que devem trafegar 15 sinais de voz amostrados a 8kHz neste 
canal. 
 
696000 15 8000b= × × logo 5.8b = bits ⇒ posso usar até 5 bits. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
T 
8 bits 
1 Quadro 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 
T 
8 bits 
1 Quadro 
0 1 2 
1 bit 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 52 
 
 
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Vantagens do Sistema PCM 
 
- Ruídos aditivos têm pouca influência no sistema PCM, uma vez que não estamos 
interessados em medir alguma característica do pulso (amplitude, largura ou posição), 
mas sim apenas se ele está presente ou não. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- O sinal PCM pode ser transmitido a longas distâncias sem sofrer influência de ruído ou 
distorção introduzidos pelo canal de transmissão, desde que haja regeneradores (ex. 
comparador com histerese) distribuídos ao longo da linha de transmissão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 2 4 6 8 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
φ
PCM(t)+ruido 
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
0 2 4 6 8 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
0 2 4 6 8 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
Transmissor 
Regenerador 
Receptor 
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Regenerador 
Capítulo 4 – Modulação de Pulsos - Página 53 
 
 
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- Os circuitos utilizados são todos digitais os quais são estáveis, não necessitam de ajustes, 
são fáceis de integrar e de custos cada vez menores. 
 
 
- Os sinais, por serem digitais, podem ser armazenados (memória) e/ou processados 
digitalmente (microprocessadores). 
 
 
Desvantagens do Sistema PCM 
 
 - Ruído de quantização é inerente ao sistema PCM 
 
- A cada amostra um conjunto de b pulsos (bits) necessita ser transmitido, logo necessita 
um tempo maior do que a transmissão de um único pulso por amostra (PAM, PPM, 
PWM). 
 
- Cada pulso possui uma pequena largura, de modo que a banda necessária à transmissão 
aumentará proporcionalmente ao número de bits utilizados. 
 
 
 
 
Necessita largura de banda: 1
0
1
B
τ
= 
 
 
 
 
 
 Necessita largura de banda 2 1
0
1
2
/ 2
B B
τ
= = 
 
 
 
 
 
 
T 2T 3T 
1( )PCM tϕ 
T 2T 3T 
2 ( )PCM tϕ 
0τ