Cap37-Relatividade

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Caṕıtulo 37 Relatividade
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F́ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edição: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
4 de julho de 2013
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o racioćınio
por trás desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou não
de dois eventos.
I Como a relatividade prevê que os relógios se atrasarão, e evidências
experimentais que confirmam isso.
I Como a extensão de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referência a partir do
qual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relação entre velocidade e momento
linear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinética para part́ıculas
que se deslocam em velocidades relativ́ısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Introdução
Introdução
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
Caṕıtulo 37 Relatividade
Introdução
IntroduçãoCriada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
Caṕıtulo 37 Relatividade
Introdução
Introdução
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
I (TRE) → Invariância das leis f́ısica por uma mudança de referenciais com
velocidades relativas uniformes.
I (TRG) → Generaliza TRE para referenciais acelerados e incorpora a gravitação.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Introdução
Introdução
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
I (TRE) → Invariância das leis f́ısica por uma mudança de referenciais com
velocidades relativas uniformes.
I (TRG) → Generaliza TRE para referenciais acelerados e incorpora a gravitação.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
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Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Newton constrói sua mecânica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inércia: Part́ıcula mantém seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Força: ~FR =
d~p
dt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Ação e Reação: ~Fij = −~Fji .
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Século XVI ao XVIII → construção da Mecânica Clássica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Newton constrói sua mecânica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inércia: Part́ıcula mantém seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Força: ~FR =
d~p
dt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Ação e Reação: ~Fij = −~Fji .
Referencial Inercial:
I É o referencial na qual a Lei da Inércia de Newton é válido.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Newton constrói sua mecânica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inércia: Part́ıcula mantém seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Força: ~FR =
d~p
dt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Ação e Reação: ~Fij = −~Fji .
Referencial Inercial:
I É o referencial na qual a Lei da Inércia de Newton é válido.
Movimento dos Corpos:[Tempo ; Posição instantânea]
I “Qualquer conjunto de corpos em repouso relativo pode ser usado como
referencial”(Métrica Euclidiana).
I “Qualquer fenômeno periódico pode ser usado como relógio”.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
1o Pressuposto: O tempo é:
I absoluto → Independente do observador.
I homogêneo → Flui uniformemente.
I isotrópico → Passado ⇒ futuro é
equivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaço é:
I absoluto → Permanece imóvel.
I homogêneo → Continuo e uniforme.
I isotrópico → todas as direções são
equivalentes.
I euclidiano → Métrica euclidiana(Reta:
menor distância entre dois pontos).
Newton constrói sua mecânica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inércia: Part́ıcula mantém seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Força: ~FR =
d~p
dt
; ~p = m~v ; Sem = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Ação e Reação: ~Fij = −~Fji .
Referencial Inercial:
I É o referencial na qual a Lei da Inércia de Newton é válido.
Movimento dos Corpos:[Tempo ; Posição instantânea]
I “Qualquer conjunto de corpos em repouso relativo pode ser usado como
referencial”(Métrica Euclidiana).
I “Qualquer fenômeno periódico pode ser usado como relógio”.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Transformação de Galileu(TG)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Transformação de coordenadas.
x = x
′
+ ut
′
y = y
′
z = z
′
t = t
′
Transformação de coordenadas.
x
′
= x − ut
y
′
= y
z
′
= z
t
′
= t
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Transformação de coordenadas.
x = x
′
+ ut
′
y = y
′
z = z
′
t = t
′
Transformação de velocidades, ~v = d~r
dt
.
vx = v
′
x + u
vy = v
′
y
vz = v
′
z
Transformação de coordenadas.
x
′
= x − ut
y
′
= y
z
′
= z
t
′
= t
Transformação de velocidades, ~v
′
= d~r
′
dt
′ .
v
′
x = vx − u
v
′
y = vy
v
′
z = vz
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Transformação de coordenadas.
x = x
′
+ ut
′
y = y
′
z = z
′
t = t
′
Transformação de velocidades, ~v = d~r
dt
.
vx = v
′
x + u
vy = v
′
y
vz = v
′
z
Transformação de coordenadas.
x
′
= x − ut
y
′
= y
z
′
= z
t
′
= t
Transformação de velocidades, ~v
′
= d~r
′
dt
′ .
v
′
x = vx − u
v
′
y = vy
v
′
z = vz
Prinćıpio da relatividade de Galileo(PRG)
I “É imposśıvel detectar por meio de uma experiência mecânica o movimento de
um referencial inercial”.
I “As leis da mecânica são invariantes por uma transformação de Galileu”.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Transformação de coordenadas.
x = x
′
+ ut
′
y = y
′
z = z
′
t = t
′
Transformação de velocidades, ~v = d~r
dt
.
vx = v
′
x + u
vy = v
′
y
vz = v
′
z
Transformação de coordenadas.
x
′
= x − ut
y
′
= y
z
′
= z
t
′
= t
Transformação de velocidades, ~v
′
= d~r
′
dt
′ .
v
′
x = vx − u
v
′
y = vy
v
′
z = vz
Prinćıpio da relatividade de Galileo(PRG)
I “É imposśıvel detectar por meio de uma experiência mecânica o movimento de
um referencial inercial”.
I “As leis da mecânica são invariantes por uma transformação de Galileu”.
Mostre que a 2a Lei de Newton, escrita abaixo, é invariante por uma TG.
~F
′
R = m
d~v
′
dt′
= −∇
′
i
∑
j
V (|~r
′
j −~r
′
i |) ⇒ ~FR = m
d~v
dt
= −∇i
∑
j
V (|~rj −~ri |)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Duas part́ıculas carregadas
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Mostre que a Eq. Onda não é invariante por TG.
∇
′2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t′2
⇒ ∇2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t2
+
2
c2
(~u · ∇)
∂ψ
∂t
+
2
c2
(~u · ∇)(~u · ∇)ψ
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Mostre que a Eq. Onda não é invariante por TG.
∇
′2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t′2
⇒ ∇2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t2
+
2
c2
(~u · ∇)
∂ψ
∂t
+
2
c2
(~u · ∇)(~u· ∇)ψ
Ondas Mecânicas: ok!
I A velocidade da onda depende da velocidade do meio de propagação.
I Existe um referencial privilegiado.
I É aquele que está em repouso em relação ao movimento do meio na qual a onda
se propaga.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Considere duas part́ıcula de carga q > 0 vista
por um referencial,
∑
, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,
∑
, cada uma sofre
uma força resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas part́ıcula vista por um
referencial,
∑′
, com velocidade constante
~u, em t = 0 sofre cada uma a força
resultante,
~F
′
R =
~F
′
e +
~F
′
m = q
~E
′
+ q~u × ~B′ .
I Existe alguma inconsistência, ~FR 6= ~F
′
R . A dinâmica é afetada por uma TG.
I Os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas Equações de Maxwell.
I Estas levam a uma equação de onda para os campos elétrico e magnético.
I Essas equações levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0�0
.
Mostre que a Eq. Onda não é invariante por TG.
∇
′2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t′2
⇒ ∇2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t2
+
2
c2
(~u · ∇)
∂ψ
∂t
+
2
c2
(~u · ∇)(~u · ∇)ψ
Ondas Mecânicas: ok!
I A velocidade da onda depende da velocidade do meio de propagação.
I Existe um referencial privilegiado.
I É aquele que está em repouso em relação ao movimento do meio na qual a onda
se propaga.
Qual é o meio de propagação das ondas Eletromagnéticas?
Qual é o referencial privilegiado? O ÉTER !
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
O Éter!
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Não deveria possuir massa!(Onda EM no vácuo!)
I Elevada elasticidade! v =
√
B
ρ
= c = 3× 108m/s.
I É o referencial privilegiado das Ondas Eletromagnéticas.
I No entanto, não existia nenhuma comprovação experimental para a existência
do Éter.
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta é a 3)! No entanto, os f́ısicos foram a procura do Éter.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta é a 3)! No entanto, os f́ısicos foram a procura do Éter.
Três evidencias experimentais:
1. A experiência de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferência
não observado). A Terra deve arrastar o Éter.
2. Aberração da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Éter
não seria observado esse efeito.
3. Experiência de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Éter não é arrastado.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta é a 3)! No entanto, os f́ısicos foram a procura do Éter.
Três evidencias experimentais:
1. A experiência de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferência
não observado). A Terra deve arrastar o Éter.
2. Aberração da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Éter
não seria observado esse efeito.
3. Experiência de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Éter não é arrastado.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta é a 3)! No entanto, os f́ısicos foram a procura do Éter.
Três evidencias experimentais:
1. A experiência de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferência
não observado).A Terra deve arrastar o Éter.
2. Aberração da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Éter
não seria observado esse efeito.
3. Experiência de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Éter não é arrastado.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Galileu(TG)
Posśıveis soluções ao problema:
1. As equações de Maxwell não são apropriadas para explicar os fenômenos
eletromagnéticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Éter, e que em outros referenciais as
equações de Maxwell precisão de modificações.
3. As equações de Maxwell são invariantes por uma troca de referenciais e a TG
não é apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta é a 3)! No entanto, os f́ısicos foram a procura do Éter.
Três evidencias experimentais:
1. A experiência de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferência
não observado). A Terra deve arrastar o Éter.
2. Aberração da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Éter
não seria observado esse efeito.
3. Experiência de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Éter não é arrastado.
Essas 3 experiências impossibilitam a existência do Éter.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenômenos mecânicos e
eletromagnéticos, são os mesmos em todos os referenciais que se movem com
movimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaço vazio é a mesma em todos os sistemas de
referencia e é independente do corpo emissor.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenômenos mecânicos e
eletromagnéticos, são os mesmos em todos os referenciais que se movem com
movimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaço vazio é a mesma em todos os sistemas de
referencia e é independente do corpo emissor.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenômenos mecânicos e
eletromagnéticos, são os mesmos em todos os referenciais que se movem com
movimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaço vazio é a mesma em todos os sistemas de
referencia e é independente do corpo emissor.
Prinćıpio da Correspondência
I Qualquer teoria nova proposta deve concordar com uma teoria antiga na
previsão dos fenômenos para os quais a teoria antiga fornece a previsão correta.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenômenos mecânicos e
eletromagnéticos, são os mesmos em todos os referenciais que se movem com
movimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaço vazio é a mesma em todos os sistemas de
referencia e é independente do corpo emissor.
Prinćıpio da Correspondência
I Qualquer teoria nova proposta deve concordar com uma teoria antiga na
previsão dos fenômenos para os quais a teoria antiga fornece a previsão correta.
Com essas hipóteses qual é a transformação apropriada entre referenciais?
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x
′
= ct
′
.
ct = γ(ct
′
+ ut
′
) = γ(c + u)t
′
ct
′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x
′
= ct
′
.
ct = γ(ct
′
+ ut
′
) = γ(c + u)t
′
ct
′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t
′
, obtemos:
γ =
1√
1− u2/c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x
′
= ct
′
.
ct = γ(ct
′
+ ut
′
) = γ(c + u)t
′
ct
′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t
′
, obtemos:
γ =
1√
1− u2/c2
Para obter t ou t
′
,
x = γ[γ(x − ut) + ut
′
]
x
′
= γ[γ(x
′
+ ut
′
)− ut]
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x
′
= ct
′
.
ct = γ(ct
′
+ ut
′
) = γ(c + u)t
′
ct
′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t
′
, obtemos:
γ =
1√
1− u2/c2
Para obter t ou t
′
,
t = γ[t
′
+ x
′
u/c2]
t
′
= γ[t − xu/c2]
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x
′
= ct
′
.
ct = γ(ct
′
+ ut
′
) = γ(c + u)t
′
ct
′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t
′
, obtemos:
γ =
1√
1− u2/c2
Para obter t ou t
′
,
t = γ[t
′
+ x
′
u/c2]
t
′
= γ[t − xu/c2]
Transformação de coordenadas de Lorentz.
t = γ(t
′
+ x
′
u/c2)
x = γ(x
′
+ ut
′
)
y = y
′
z = z
′
t
′
= γ(t − xu/c2)
x
′
= γ(x − ut)
y
′
= y
z
′
= z
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
A TL não pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x
′
+ ut
′
)
x
′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x
′
= ct
′
.
ct = γ(ct
′
+ ut
′
) = γ(c + u)t
′
ct
′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t
′
, obtemos:
γ =
1√
1− u2/c2
Para obter t ou t
′
,
t = γ[t
′
+ x
′
u/c2]
t
′
= γ[t − xu/c2]
Mostre que a Eq. Onda é invariante por TL.
Transformação de coordenadas de Lorentz.
t = γ(t
′
+ x
′
u/c2)
x = γ(x
′
+ ut
′
)
y = y
′
z = z
′
t
′
= γ(t − xu/c2)
x
′
= γ(x − ut)
y
′
= y
z
′
= z
Caṕıtulo 37 Relatividade
Invariância das Leis F́ısicas
Transformação de Lorentz(TL)
Conseqüências importantes da TL
1. Modificação do conceito de simultaneidade.
2. Contração do espaço.
3. Dilatação do tempo.
Mostre que a Eq. Onda é invariante por TL.
Transformação de coordenadas de Lorentz.
t = γ(t
′
+ x
′
u/c2)
x = γ(x
′
+ ut
′
)
y = y
′
z = z
′
t
′
= γ(t − xu/c2)
x
′
= γ(x − ut)
y
′
= y
z
′
= z
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade da Simultaneidade
Relatividade da Simultaneidade
I Dois eventos simultâneos em
∑
⇒ {x1 6= x2et1 = t2} .
I Em
∑′
pela TL temos que:
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade da Simultaneidade
Relatividade da Simultaneidade
I Dois eventos simultâneos em
∑
⇒ {x1 6= x2et1 = t2} .
I Em
∑′
pela TL temos que:
t
′
1 − t
′
2 = γ(t1 − t2)−
γu
c2
(x1 − x2)
t
′
1 − t
′
2 =
γu
c2
(x2 − x1)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade da Simultaneidade
Relatividade da Simultaneidade
I Dois eventos simultâneos em
∑
⇒ {x1 6= x2et1 = t2} .
I Em
∑′
pela TL temos que:
t
′
1 − t
′
2 = γ(t1 − t2)−
γu
c2
(x1 − x2)
t
′
1 − t
′
2 =
γu
c2
(x2 − x1)
Dois eventos simultâneos em
∑
podem não ser em
∑′
.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T
′
= t
′
1 − t
′
2, em
∑′
na mesma posição, x
′
1 = x
′
2 ,
logo,
I Em
∑
pela TL temos que:
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T
′
= t
′
1 − t
′
2, em
∑′
na mesma posição, x
′
1 = x
′
2 ,
logo,
I Em
∑
pela TL temos que:
t1 − t2 = γ(t
′
1 − t′
2)−
γu
c2
(x
′
1 − x
′
2)
t1 − t2 =
γu
c2
(t
′
1 − t
′
2)
T = γT
′
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T
′
= t
′
1 − t
′
2, em
∑′
na mesma posição, x
′
1 = x
′
2 ,
logo,
I Em
∑
pela TL temos que:
t1 − t2 = γ(t
′
1 − t
′
2)−
γu
c2
(x
′
1 − x
′
2)
t1 − t2 =
γu
c2
(t
′
1 − t
′
2)
T = γT
′
Como γ ≥ 1 temos que T ≥ T′ .
O tempo proprio,T
′
, é aquele medido no referencial que está parado em relação ao
relógio.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade do Comprimento
Relatividade do Comprimento
I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em
∑
no mesmo instante, t1 = t2,
logo,
I Em
∑′
pela TL temos que:
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade do Comprimento
Relatividade do Comprimento
I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em
∑
no mesmo instante, t1 = t2,
logo,
I Em
∑′
pela TL temos que:
x
′
1 − x
′
2 = γ(x1 − x2)− u(t1 − t2)
x
′
1 − x
′
2 = γ(x1 − x2)
L
′
= γL⇒ L = L
′
/γ
Caṕıtulo 37 Relatividade
Relatividade do Comprimento
Relatividade do Comprimento
I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em
∑
no mesmo instante, t1 = t2,
logo,
I Em
∑′
pela TL temos que:
x
′
1 − x
′
2 = γ(x1 − x2)− u(t1 − t2)
x
′
1 − x
′
2 = γ(x1 − x2)
L
′
= γL⇒ L = L
′
/γ
Como γ ≥ 1 temos que L ≤ L′ .
O comprimento proprio, L
′
, do objeto é aquele medido no referencial que está parado
em relação ao objeto.
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Velocidades
Transformação de Velocidades
Das transformação de Lorentz obtemos,
dt = γ(dt
′
+ dx
′
u/c2)
dx = γ(dx
′
+ udt
′
)
dy = dy
′
dz = dz
′
dt
′
= γ(dt − dxu/c2)
dx
′
= γ(dx − udt)
dy
′
= dy
dz
′
= dz
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Velocidades
Transformação de Velocidades
Das transformação de Lorentz obtemos,
dt = γ(dt
′
+ dx
′
u/c2)
dx = γ(dx
′
+ udt
′
)
dy = dy
′
dz = dz
′
Transformação de velocidades, ~v = d~r
dt
.
dt
′
= γ(dt − dxu/c2)
dx
′
= γ(dx − udt)
dy
′
= dy
dz
′
= dz
Transformação de velocidades, ~v
′
= d~r
′
dt
′ .
Caṕıtulo 37 Relatividade
Transformação de Velocidades
Transformação de Velocidades
Das transformação de Lorentz obtemos,
dt = γ(dt
′
+ dx
′
u/c2)
dx = γ(dx
′
+ udt
′
)
dy = dy
′
dz = dz
′
Transformação de velocidades, ~v = d~r
dt
.
vx =
dx
dt
=
v
′
x + u
1 + v ′xu/c
2
vy =
dy
dt
=
v
′
y
γ(1 + v ′xu/c
2)
vz =
dz
dt
=
v
′
z
γ(1 + v ′xu/c
2)
dt
′
= γ(dt − dxu/c2)
dx
′
= γ(dx − udt)
dy
′
= dy
dz
′
= dz
Transformação de velocidades, ~v
′
= d~r
′
dt
′ .
v
′
x =
dx
′
dt′
=
vx − u
1− vxu/c2
v
′
y =
dy
′
dt′
=
vy
γ(1− vxu/c2)
v
′
z =
dz
′
dt′
=
vz
γ(1− vxu/c2)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Momento Linear Relativ́ıstico
Momento Linear Relativ́ıstico
I A definição não relativ́ıstica do momento
linear é,
~p = m~v
Caṕıtulo 37 Relatividade
Momento Linear Relativ́ıstico
Momento Linear Relativ́ıstico
I A definição não relativ́ıstica do momento
linear é,
~p = m~v
I Para preservarmos a conservação do
momento relativ́ıstico temos que definir que
m = m(v) = γm0.
I Onde m0 é a massa propria, medida no
referencial que está em repouso. Logo,
Caṕıtulo 37 Relatividade
Momento Linear Relativ́ıstico
Momento Linear Relativ́ıstico
I A definição não relativ́ıstica do momento
linear é,
~p = m~v
I Para preservarmos a conservação do
momento relativ́ıstico temos que definir que
m = m(v) = γm0.
I Onde m0 é a massa propria, medida no
referencial que está em repouso. Logo,
~p = γm0~v
~p =
m0~v√
1− v2/c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definição de trabalho, e considerando a
força resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definição de trabalho, e considerando a
força resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definição de trabalho, e considerando a
força resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definição de trabalho, e considerando a
força resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definição de trabalho, e considerando a
força resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
dE = d(γm0c
2)
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v· d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
dE = d(γm0c
2)
E(v) = γm0c
2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
dE = d(γm0c
2)
E(v) = γm0c
2
E(v) = K + m0c
2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
dE = d(γm0c
2)
E(v) = γm0c
2
E(v) = K + m0c
2
A energia de repouso de uma part́ıcula
será,
E(v = 0) = E0 = m0c
2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
dE = d(γm0c
2)
E(v) = γm0c
2
E(v) = K + m0c
2
A energia de repouso de uma part́ıcula
será,
E(v = 0) = E0 = m0c
2
E = mc2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt
· ~vdt
Wab =
∫ b
a
~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
a
m0γ~v · d~v +
∫ b
a
m0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√
1− v2/c2
+ m0
∫ b
a
v2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c
2
∣∣∣v
0
= γm0c
2 −m0c2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c
2 −m0c2
A variação da energia total é igual a soma
das variações da energia cinética e
potencial,
dE = dK + dU
Em uma região que a energia potencial
não varie,
dE = dK
dE = d(γm0c
2)
E(v) = γm0c
2
E(v) = K + m0c
2
A energia de repouso de uma part́ıcula
será,
E(v = 0) = E0 = m0c
2
E = mc2
m = γm0
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
E2 = (m0c)
2 + (pc)2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
E2 = (m0c)
2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
part́ıcula com massa de repouso
nula,
E = pc
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
E2 = (m0c)
2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
part́ıcula com massa de repouso
nula,
E = pc
I Vimos para ondas eletromagnéticas,
E = cB
u =
1
2
�0E
2 +
1
2µ0
B2 = �0E
2
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
E2 = (m0c)
2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
part́ıcula com massa de repouso
nula,
E = pc
I Vimos para ondas eletromagnéticas,
E = cB
u =
1
2
�0E
2 +
1
2µ0
B2 = �0E
2
~S =
1
µ0
~E × ~B = uc
~k
k
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
E2 = (m0c)
2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
part́ıcula com massa de repouso
nula,
E = pc
I Vimos para ondas eletromagnéticas,
E = cB
u =
1
2
�0E
2 +
1
2µ0
B2 = �0E
2
~S =
1
µ0
~E × ~B = uc
~k
k
~Pem =
∫
(�0µ0~S)dV
~Pem =
c
c2
(
∫
udV )~k/k
Caṕıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definições de energia e momento,
E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E
~v
c2
v2 =
p2c2
E2
p2 =
m20v
2
1− v2/c2
p2 = m20v
2 +
p2v2
c2
E2 = (m0c)
2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
part́ıcula com massa de repouso
nula,
E = pc
I Vimos para ondas eletromagnéticas,
E = cB
u =
1
2
�0E
2 +
1
2µ0
B2 = �0E
2
~S =
1
µ0
~E × ~B = uc
~k
k
~Pem =
∫
(�0µ0~S)dV
~Pem =
c
c2
(
∫
udV )~k/k
~Pem =
1
c
Uk̂ → Pem =
U
c
Caṕıtulo 37 Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
I Da definição de força resultante temos que,
~FR =
d~p
dt
=
d(γm0~v)
dt
Caṕıtulo 37 Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
I Da definição de força resultante temos que,
~FR =
d~p
dt
=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~v
dγ
dt
+ γm0
d~v
dt
Caṕıtulo 37 Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
I Da definição de força resultante temos que,
~FR =
d~p
dt
=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~v
dγ
dt
+ γm0
d~v
dt
Caṕıtulo 37 Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
I Da definição de força resultante temos que,
~FR =
d~p
dt
=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~v
dγ
dt
+ γm0
d~v
dt
Caṕıtulo 37 Relatividade
Mecânica Newtoniana e Relatividade
I Da definição de força resultante temos que,
~FR =
d~p
dt
=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~v
dγ
dt
+ γm0
d~v
dt
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se movecom velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
dφ
dt
= 0→ v = c =
ω
k
dφ
′
dt′
= 0→ v = c =
ω
′
k′
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
x = γ(x
′
+ ut
′
) ; t = γ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= kγ(x
′
+ ut
′
)− ωγ(t
′
+ ux
′
/c2)
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
x = γ(x
′
+ ut
′
) ; t = γ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= kγ(x
′
+ ut
′
)− ωγ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= γ(k − ωu/c2)x
′
− γ(ω − ku)t
′
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
x = γ(x
′
+ ut
′
) ; t = γ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= kγ(x
′
+ ut
′
)− ωγ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= γ(k − ωu/c2)x
′
− γ(ω − ku)t
′
k
′
= γ(k − ωu/c2)
ω
′
= γ(ω − ku)
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
x = γ(x
′
+ ut
′
) ; t = γ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= kγ(x
′
+ ut
′
)− ωγ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= γ(k − ωu/c2)x
′
− γ(ω − ku)t
′
k
′
= γ(k − ωu/c2)
ω
′
= γ(ω − ku)
k
′
= kγ(1− ωu/c)
ω
′
= ωγ(1− u/c)
Caṕıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direção x , em um
referencial
∑
,pode ser escrita por:
~E = E0 cos(kx − ωt )̂j
~B = B0 cos(kx − ωt)k̂
I Um segundo observador em um referencial∑′
que se move com velocidade ~u = uî , verá:
~E
′
= E
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)̂j
′
~B
′
= B
′
0 cos(k
′
x
′
− ω
′
t
′
)k̂
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesma
em qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ
′
= k
′
x
′
− ω
′
t
′
x = γ(x
′
+ ut
′
) ; t = γ(t
′
+ ux
′
/c2)
k
′
x
′
− ω
′
t
′
= kγ(x
′
+ ut
′
)− ωγ(t
′
+ ux
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/c2)
k
′
x
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− ω
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t
′
= γ(k − ωu/c2)x
′
− γ(ω − ku)t
′
k
′
= γ(k − ωu/c2)
ω
′
= γ(ω − ku)
k
′
= kγ(1− ωu/c)
ω
′
= ωγ(1− u/c)
λ = λ
′
√
c − u
c + u
ω
′
= ω
√
c − u
c + u
	Introdução
	Referenciais Inerciais
	Transformação de Galileu(TG)
	Invariância das Leis Físicas 
	Relatividade da Simultaneidade 
	Relatividade dos Intervalos de Tempo 
	Relatividade do Comprimento 
	Transformação de Velocidades 
	Momento Linear Relativístico 
	Trabalho e Energia na Relatividade 
	Mecânica Newtoniana e Relatividade 
	O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas