Relatividade: Mapas e Dilatação Temporal

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Aula 3: 25 de março 3-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 3: 25 de março
Profa. Raissa F. P. Mendes
Todos já vimos mapas de Mercator, em que a Groenlândia é do tamanho da América do Sul e a
Antártida é gigantesca! Mas ninguém confundiria as distâncias em um mapa de Mercator com as
distâncias reais na superf́ıcie da Terra. Um mapa de Mercator é uma projeção da geometria do
globo numa folha de papel, que tem uma geometria diferente. Da mesma forma, um diagrama
espaço-temporal é a representação de uma seção bidimensional do espaço-tempo, com a geometria
resumida pelo intervalo ds2 = −(cdt)2 + dx2, em um quadro, com geometria euclideana, onde
ds2 = dx2 + dy2.
Exemplo: Na figura abaixo: qual lado dos triângulos ABC e A′B′C ′ é o “maior”? Qual é o
“menor”? Quais são os comprimentos nas unidades da grade? (|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = 4)
Qual é o menor caminho entre A e C? (A reta.) Qual é o menor caminho entre A′ e C ′? (O que
segue de A′ para B′ para C ′.)
3.10 Dilatação temporal
Imaginem a situação: num certo instante, um observador no trem sincroniza seu relógio com o
relógio da estação, que marca 0:00. Ele pergunta: quando o relógio dele marcar ct = 1m, quanto
tempo vai marcar o relógio na estação (note que ele vai comparar com um relógio que intercepta
sua linha de mundo em B; as linhas de mundo desses relógios são retas verticais). Da discussão
da aula passada, sabemos que os dois observadores concordam no intervalo espaço-temporal entre
esses dois eventos, mas eles podem diferir em como decompor esse intervalo em seus conteúdos de
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tempo e espaço. Temos que ∆s2 = −c2∆t2 + ∆x2 = −(ctB)2 + x2B = −c2∆t′2 = −c2t′2B. Mas
xB = vtB, pela descrição do movimento de O
′ por O. Logo, temos ctB = ct
′
B/
√
1− (v/c)2. Em
geral:
∆t =
∆t′√
1− (v/c)2
. (3.7)
Por exemplo, quando o relógio do observador no trem marcar 10s, ele verá o relógio na estação
marcando mais que isso: se v/c = 0.7 (φ ≈ 35o), ele verá o relógio da estação marcando cerca de
14s! Do ponto de vista dos observadores na estação, o relógio em movimento está andando mais
devagar: o tempo marcado por relógios em movimento é dilatado.
Mas, calma! Alguém poderia dizer: do ponto de vista do observador no trem, os relógios na estação
não estão andando mais rápido? Essa conclusão estaria em choque com o prinćıpio P1, pelo qual
deveŕıamos ser capazes de analisar a situação do ponto de vista do observador O′ e concluir que,
do ponto de vista dele, o relógio de O corre mais devagar. O que há de errado com esse racioćınio?
Note que a questão de “qual é a taxa em que os relógios estão andando” só pode ser resolvida
comparando os mesmos dois relógios em ocasiões distintas, e se os relógios têm uma velocidade
relativa constante entre si, eles só podem estar juntos uma vez. Na outra ocasião, um dos relógios
é comparado com um outro relógio no referencial O. Isso gera uma assimetria no experimento
(e no resultado). Agora, para O dizer que o relógio de O′ está batendo mais devagar, ele tem
que ter certeza que seus dois relógios estão sincronizados. Do ponto de vista de O, os relógios
estão sincronizados, e a conclusão é válida. Mas de acordo com O′, os relógios de O não estão
sincronizados! O relógio de O em B está indicando 14s, mas O′ considera que esse relógio está
sincronizado com o relógio de O em x = 0 no evento E, que está marcando menos de 10s! Está
marcando, na verdade, t = 10
√
1− v2/c2 = 7.1s. O′ conclui que o relógio de O anda de t = 0 a
t =
√
1− v2/c2 ≈ 0.7 enquanto o seu bate de t′ = 0 a t′ = 1. A conclusão é simétrica. A raiz do
aparente paradoxo é a quebra da noção de simultaneidade.
A dilatação temporal é testada diariamente em experimentos que envolvem part́ıculas relativ́ısticas
instáveis, como experimentos de raios cósmicos ou colisores de part́ıculas. Por exemplo, múons são
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criados quando raios cósmicos interagem com as part́ıculas na atmosfera; cerca de 10km acima da
superf́ıcie. Eles têm velocidades alt́ıssimas, de v/c ≈ 0.9999. Os múons são instáveis e têm uma
meia vida τ ≈ 2 × 10−6s. Eles chegam à superf́ıcie? Bom, se distância = velocidade x tempo,
eles tipicamente poderiam percorrer apenas uma distância de 0.6 km e não chegariam à superf́ıcie.
Mas, eles chegam (!), e a explicação está relacionada ao efeito de dilatação temporal. Do ponto de
vista dos observadores na Terra, o relógio interno do múon bate mais devagar devido à sua alta
velocidade: sua meia vida, no referencial da Terra, é 2 × 10−6s ×
√
1− 0.99992 ≈ 0.14ms e nesse
tempo ele pode percorrer uma distância de mais de 40 km! Mas, e no referencial do múon? Do
diagrama abaixo (com v/c = 0.95, φ = 43.53o), podemos ver o que acontece: do ponto de vista do
múon, a distância entre ele e a Terra é menor que 10km! Vamos discutir em mais detalhes esse
efeito de contração espacial.
3.11 Contração espacial
Começar com demonstração com régua. Como medir uma régua em movimento? Digamos, tocando
as duas extremidades da régua instantaneamente, simultaneamente. Demonstrar!
A figura mostra uma régua que está em repouso num referencial O′, que se move com velocidade v
em relação a O. Qual é o comprimento da régua em O′? É a raiz do intervalo entre os eventos A e
C! Por outro lado, o tamanho da régua como medido por O é a raiz do intervalo entre os eventos
A e B!
O evento C tem coordenadas t′C = 0, x
′
C = L. Para calcular suas coordenadas em O usamos o
intervalo entre C e a origem: ∆sAC = −(ctC)2 + x2C = L2. Mas sabemos que o eixo x′ equivale à
linha ct = (v/c)x. Dáı encontramos que xC = L/
√
1− (v/c)2 e ctC = L(v/c)/
√
1− (v/c)2. Mas o
que queremos, para determinar o tamanho da régua no referencial O, são as coordenadas do ponto
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B. Temos que a reta BC tem inclinação v/c relativa ao eixo t. Temos que
xC − xB
tC − tB
= v.
Mas tB = 0. Logo, xB = xC − vtC = L
√
1− (v/c)2. O observador O atribui um tamanho menor
à régua que o observador em movimento. Ele diz que a régua contrai quando em movimento.
Note que, na raiz da questão, temos novamente a quebra da noção de simultaneidade! Qual é a
interpretação do resultado de O dada por O′. O toca as duas extremidades da régua ao mesmo
tempo, de acordo com a sua noção de simultaneidade. Para O′, qual extremidade foi tocada
primeiro? A extremidade da direita foi tocada primeiro, e depois a da esquerda. Não é de se
admirar que O diga que a régua em movimento é mais curta que a régua parada! (Note que quando
o observador em O toca as duas extremidades, ele vê o relógio de O′ em uma das extremidades
marcando mais que o outro. Se fosse uma pessoa deitada viajando perto da velocidade da luz, ele
veria a cabeça mais velha que os pés! Creepy! Note que nesse caso o efeito é pequeno, ∆t′BC =
(v/c)(L/c), mesmo para velocidades altas!) Qualquer objeto ocupa um volume no espaço-tempo
quadridimensional; diferentes observadores extraem conteúdos diferentes de tempo e espaço.
Note que o comprimento de uma régua orientada perpendicularmente à velocidade relativa de dois
referenciais é a mesma quando medida em ambos os referenciais. Isso está relacionado ao fato
de que dois eventos que são simultâneos em um referencial também são simultâneos em qualquer
referencial que se move numa direção perpendicular a sua separação espacial no referencial original.
Situação: Atrás dos trilhos, há um muro e, 1m acima dos trilhos, como medido na estação, eu
pinto uma linha azul horizontal. Quando o trem passa, um passageiro se debruça pela janela com
um pincel molhado em acima dos trilhos, como medido no trem, deixando uma linha vermelha
na parede. Pergunta: a linha vermelha fica abaixo ou acima da linha azul? Se a regra fosse
que direções perpendiculares ao movimento são contráıdas, então a pessoa na estação prediria que
a linha vermelha estaria embaixo,enquanto a pessoa no trem diria que a linha azul deve estar
embaixo. Mas os dois não podem estar certos! O único jeito é se as linhas coincidirem: Dimensões
perpendiculares à velocidade não são contráıdas.
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3.11.1 Paradoxo da vara no celeiro
Imaginem uma vara de 3m de comprimento, que é carregada por um atleta a uma velocidade
v = 0.7c (φ = 35o). Pelo efeito de contração espacial, no referencial do solo a vara possui um
tamanho L = 3
√
1− 0.72 ≈ 2.14m. Vamos pensar agora que existe um celeiro com 2.14m de
comprimento. Inicialmente a porta da frente do celeiro está aberta e a de trás, fechada. O atleta
entra com a vara pela porta da frente. No instante em que o a ponta dianteira da vara toca a porta
de trás do celeiro, a porta da frente fecha e, por um momento, a vara está inteiramente contida
no celeiro. Logo em seguida, a porta de trás abre e o atleta segue viagem. Do ponto de vista do
atleta, a vara tem 3m e o celeiro tem L = 2.14
√
1− 0.72 ≈ 1.53m de comprimento. A vara nunca
pode caber no galpão! Como explicamos o aparente paradoxo?
-2 2 4
x
-4
-2
2
4
ct
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3.12 Classificação de eventos, futuro, passado e causalidade
Se o intervalo entre dois eventos é positivo (a separação espacial domina sobre a separação tem-
poral), vamos dizer que esses eventos estão separados por um intervalo tipo-espaço. Se ∆s2 < 0,
vamos dizer que os dois eventos estão separados por um intervalo tipo-tempo. Se ∆s2 = 0,
dizemos que estão separados por um intervalo tipo-luz ou nulo. Se fixamos um evento A no
espaço-tempo, então os eventos que estão separados por um intervalo tipo-luz de A se localizam
num cone cujo vértice é A. Esse é chamado o “cone de luz de A”. Todos os eventos dentro do cone
de luz são separados por um intervalo tipo-tempo de A e todos os eventos localizados fora do cone
de luz de A são separados por um intervalo tipo-espaço. Mais tarde, vamos argumentar que nada
pode se mover a uma velocidade maior que a velocidade da luz. Então, os eventos dentro do cone
de luz passado de A são aqueles que podem ter influenciado A (seu passado absoluto). Os eventos
dentro do cone de luz futuro são aqueles que A pode influenciar (seu futuro absoluto).
Por que estamos falando de futuro ou passado absolutos? Porque se dois eventos A e B são
separados por um intervalo tipo tempo, ou seja, ∆s2AB < 0, e se tA < tB em um referencial, então
t′A < t
′
B em qualquer outro referencial inercial. Isso pode ser facilmente visto das transformações
de Lorentz8. Elas implicam que t′B− t′A = γ[(tB− tA)−v/c2(xB−xA)]. Agora, o fato de o intervalo
entre A e B ser negativo implica que c∆t > ∆x (se ambas as diferenças são positivas). Portanto,
∆t′ = γ(∆t − v/c2∆x) > γ∆x/c(1 − v/c) > 0. O mesmo não acontece se A e B estão separados
por um intervalo tipo espaço. Nesse caso, ∆x > c∆t e c∆t′ < 0 se v/c > c∆t/∆x.
3.12.1 Causalidade implica v < c
O segundo postulado da RE diz que existe uma velocidade invariante. Ele não diz nada sobre uma
velocidade máxima! Por que, então, dizemos que nada pode viajar mais rápido que a velocidade
8Um argumento alternativo. Suponhamos tB > tA e ∆s
2 = −c2∆t2 + ∆x2 < 0. Queremos mostrar que isso
implica que tB′ > tA′ . Suponhamos que tB′ = tA′ . Isso implicaria que ∆s
′2 = ∆x′2 < 0, o que é uma contradição.
Portanto, tB′ 6= t′A. Agora, a relação entre as coordenadas de O′ e de O deve ser uma função cont́ınua da velocidade.
Para velocidades pequenas, devemos ter tB′ > tA′ . Se existisse alguma velocidade para que tB′ < tA′ , haveria uma
outra velocidade tal que tB′ = tA′ , o que é imposśıvel. Logo tB′ > tA′ .
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da luz?
Essa ideia de uma velocidade limite vem de duas previsões da teoria, que a inércia de um corpo tende
a infinito quando a velocidade do corpo tende à velocidade da luz e que causalidade (a sucessão de
causa e efeito) é violada se podemos enviar um sinal a velocidades superiores à velocidade da luz.
Se dois eventos E1 e E2 são separados por um intervalo tipo espaço, não existe um ordenamento
temporal absoluto entre eles. Portanto, se um sinal viaja de E1 para E2 em um referencial, é posśıvel
encontrar outro referencial em que E1 e E2 sejam simultâneos, de modo que o sinal pareceria se
propagar a velocidade infinita e outros em que E1 acontece depois de E2, de forma que o sinal
“viajaria para o passado”.
A menos que se coloque restrições sobre o tipo de propagação (por exemplo, só acontece em um
referencial), isso é uma fonte potencial de paradoxos: pode acontecer que dois eventos são separados
por um intervalo tipo-tempo mas, mesmo assim, a causa precede o efeito.
Exemplo: anti-telefone. Suponha que, num certo referencial inercial K, um táquion seja emitido
no evento E0 (t0 = 0, x0 = 0) e recebido em E1. É sempre posśıvel encontrar um referencial K
′ em
que t′0 = 0, x
′
0 = 0 e t
′
1 < 0. Agora, no evento E1, imagine que um outro táquion, que viaja para
o futuro com respeito a K ′ e para o passado com respeito a K, seja enviado rumo à origem. Ele
alcança a origem espacial num tempo t2 < 0. Podemos pensar num experimento de forma que E0
cause E1, que, por sua vez, causa E2. Portanto, E0 causa E2, o que é um paradoxo, já que, como os
dois eventos estão separados por um intervalo tipo tempo, E2 precede E0 em todos os referenciais.
Isso só acontece porque permitimos a propagação de táquions em todos os referenciais!
Referência: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0107091.pdf.
3.12.2 Velocidade de propagação de outras ondas
Existem outras ondas que não exigem um meio para se propagar? Precisam viajar com a velocidade
da luz? No caso do elétron (ou outras part́ıculas massivas), as leis da mecânica quântica relativ́ıstica
podem ser escritas de forma que sejam iguais em todos os referenciais inerciais e, ao mesmo tempo,
permitam que o elétron viaje a velocidades diferentes em referenciais diferentes. E part́ıculas não
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0107091.pdf
massivas? Não temos nenhum candidato no modelo padrão, mas fora sim: fotinos, etc. Eles
precisam viajar na mesma velocidade da luz! Se houvesse duas velocidades invariantes, isso levaria
a contradições sem fim. Portanto, todos os sinais governados por leis que exigem que viajem com
uma velocidade fixa (sem massa e repouso ou meio subjacente) devem viajar à velocidade da luz.
A velocidade da luz é mais fundamental para a relatividade que a própria luz!
3.13 Unidades naturais
Na maior parte do nosso curso vamos trabalhar em unidades tais que c = G = 1, então tempo
e distância terão a mesma dimensão, massa e distância também. É fácil recuperar os fatores de
c e G por análise dimensional! Por exemplo, mais pra frente, vamos ver que o raio do horizonte
de eventos de um buraco negro de relaciona com a sua massa da forma R = 2M . Onde estão os
fatores de G e c para que essa expressão faça sentido?
3-8
	Dilatação temporal
	Contração espacial
	Paradoxo da vara no celeiro
	Classificação de eventos, futuro, passado e causalidade
	Causalidade implica v<c
	Velocidade de propagação de outras ondas
	Unidades naturais