Cálculo 02-10

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Profa. Isabel Espinosa
INICIAREMOS EM INSTANTES
CGA – Cálculo e Geometria Analítica
Profa. Isabel Espinosa
Derivadas
CGA – Cálculo
Derivadas –
Ponto de máximo (M) e mínimo (m) local
M
m
x
y
yM
ym
f(x)
xmxM
t1
t2
Coeficiente angular retas tangentes 
𝑎𝑡1 = 0
𝑎𝑡2 = 0
Derivada de f em M e m
𝑓′ 𝑀 = 0 (máximo local)
𝑓′(𝑚) = 0 (mínimo local)
9) Determinar as coordenadas do ponto de mínimo da função
Derivadas exercícios propostos pág. 32
Derivada no ponto de mínimo: 𝑓′(𝑚) = 0
𝑓′ 𝑥 = 5 . 2 𝑥2−1 − 15
𝑓 𝑥 = 5 𝑥2 − 15𝑥.
𝑓′(𝑥) = 10𝑥 − 15
10𝑥 − 15 = 0 ⇒ 10𝑥 = 15 ⇒ 𝑥 = 1,5
ponto de mínimo: (1.5 , 5 ∗ 1.52 −15 ∗ 1.5) = (1.5, −11.25)
𝑓 1.5 = ymin
xmin
10) Determine a taxa de variação da área de um círculo de raio r em relação :
a) ao seu raio 
b) ao seu diâmetro 
c) ao comprimento da circunferência 
Derivadas exercícios propostos pág. 32
𝐴 = 𝜋 𝑟2
𝑑𝐴
𝑑𝑟
=?
𝑑𝐴
𝑑𝐷
=?
C = 2 𝜋 𝑟
𝑑𝐴
𝑑𝐶
=?
a) ao seu raio 
b) ao seu diâmetro 
Derivadas exercícios propostos pág. 32
𝐴 = 𝜋 𝑟2
𝑑𝐴
𝑑𝑟
=
𝑑𝐴
𝑑𝐷
=
2 𝜋 𝑟
𝐷 = 2𝑟 ⇒
𝐴 = 𝜋 𝑟2 ⇒ 𝐴 = 𝜋
𝐷
2
2
⇒ 𝐴 =
𝜋
4
𝐷2
𝜋
4
. 2𝐷 =
𝑑𝐴
𝑑𝐷
=
𝜋
2
. D 
𝑟 =
𝐷
2
𝜋
2
. 𝐷
c) ao comprimento da circunferência 
Derivadas exercícios propostos pág. 32
𝐴 = 𝜋 𝑟2 ⇒
𝑑𝐴
𝑑𝐶
=
C = 2 𝜋 𝑟 ⇒ 𝑟 =
𝐶
2𝜋
𝐴 = 𝜋
𝐶
2𝜋
2
⇒ 𝐴 =
1
4𝜋
𝐶2
1
4𝜋
∗ 2𝐶
𝑑𝐴
𝑑𝐶
=
𝐶
2𝜋
11) Aula de ED 09-10
12) Suponha que daqui a t anos o número de pessoas que utilizarão a 
internet em determinada localidade seja 𝑁 𝑡 = 10 𝑡2 + 30 𝑡 + 15000.
Determine :
a) Número de pessoas que utilizarão a internet, na referida localidade, daqui 
a 2 anos
b) A taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 
2 anos;
c) o número de pessoas que utilizarão a internet diminuirá ou aumentará ?
Derivadas exercícios propostos pág. 32
𝑁 𝑡 = 10 𝑡2 + 30 𝑡 + 15000.
a) Número de pessoas que utilizarão a internet, na referida localidade, daqui 
a 2 anos;
Derivadas exercícios propostos pág. 32
N(2) = 10 ∗ 22 + 30 ∗ 2 + 15000
N(2) = 15100
𝑁 𝑡 = 10 𝑡2 + 30 𝑡 + 15000.
b) A taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 
2 anos;
c) o número de pessoas que utilizarão a internet diminuirá ou aumentará ?
aumentará
Derivadas exercícios propostos pág. 32
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 20 𝑡 + 30
𝑑𝑁
𝑑𝑡
2 = 20 ∗ 2 + 30 = 70 ℎ𝑎𝑏/ano
𝑑𝑁
𝑑𝑡
2 > 0
13) Deseja-se fabricar um recipiente cilíndrico com tampa, com capacidade 
volumétrica de 1200 cm3. O material destinado à lateral custa R$ 10,00 o cm2
O material destinado ao fundo custa R$ 15,00 o cm2.
Determine a altura e o raio do recipiente de modo que o custo de fabricação 
seja minimizado.
Derivadas exercícios propostos pág. 33
Vc = 𝜋 𝑟2 . ℎ
Vc =
Alateral =
Afundo =
Cfabricação =
ℎ
𝑟
1200
2 𝜋 𝑟 ℎ
𝜋 𝑟2
+ 15 * Atampa10* Alateral + 15 * Afundo
Derivadas exercícios propostos pág. 33
Vc = 𝜋 𝑟2 . ℎ
Vc = 1200
Alateral = 2 𝜋 𝑟 ℎ
Afundo = 𝜋 𝑟
2
Cfabricação = 10 * 
2400
𝑟
+ 15 *𝜋 𝑟2 + 15 * 𝜋 𝑟2
⇒ 1200 = 𝜋 𝑟2 . ℎ ⇒ h =
1200
𝜋 𝑟2
⇒ Alateral = 2 𝜋 𝑟
1200
𝜋 𝑟2
⇒ Alateral =
2400
𝑟
Custo mínimo: 
Derivadas exercícios propostos pág. 33
Cfabricação = 10 * 
2400
𝑟
+ 15 *𝜋 𝑟2 + 15 * 𝜋 𝑟2
𝐶(𝑟) =
24000
𝑟
+ 30 *𝜋 𝑟2 𝑜𝑢 𝐶(𝑟) = 24000 * 𝑟
−1 + 30 *𝜋 𝑟2
𝐶′(𝑟) = 0
𝐶′(𝑟) = - 24000 * 𝑟−2 + 60 𝜋 𝑟
−24000
𝑟2
+ 60 𝜋 𝑟 = 0
−24000 + 60 𝜋 𝑟3
𝑟2
= 0
−24000
𝑟2
+
60 𝜋 𝑟
1
=
−24000+60 𝜋 𝑟.𝑟2
𝑟2
=
−24000+60 𝜋 .𝑟3
𝑟2
Logo
Derivadas exercícios propostos pág. 33
−24000 + 60 𝜋 𝑟3
𝑟2
= 0
−24000 + 60 𝜋 𝑟3 = 0
60 𝜋 𝑟3 = 24000
𝑟 =
3 24000
60 𝜋
⇒ 𝑟 = 5,03 𝑐𝑚
h =
1200
𝜋 𝑟2
h =
1200
𝜋 (5,03)2
h = 15,10 𝑐𝑚
𝑟 = 5,03 𝑐𝑚 e h = 15,10 𝑐𝑚
Data limite para resolução dos exercícios de ED, no sistema, 
08 novembro
Obedecendo os padrões de justificativas dados em aula.
Tarefas
Entrega da tarefa até o dia 11 outubro 
Cálculo - pág 35 até 48
GA – pág 111 até 116 
Para cada tarefa crie um arquivo único, em PDF, contendo todos os 
exercícios 
Nomear os arquivos conforme o modelo:
joaodasilva_A12345-6_GA_vetores 2
joaodasilva_A12345-6_calculo_derivadas
Tarefas
Para postar a tarefa verifique o link da sua turma e carregue o arquivo 
no OneDrive.
Seguem os links para cada turma:
▪ EB2A40
▪ https://unipead-
my.sharepoint.com/:f:/g/personal/isabel_espinosa_docente_unip_br/EuOrlQKm0yJIgzf3
aHtnb5wBPrrcyO8TU1jO0If7-pqI1A
▪ EB2B40
▪ https://unipead-
my.sharepoint.com/:f:/g/personal/isabel_espinosa_docente_unip_br/EoJDYzyzlShMvpY
_Lv3Hk3MBECouQf1dioVrWqhoweH7lw
Instruções gerais - Tarefas
▪ EB2C40 
▪ https://unipead-
my.sharepoint.com/:f:/g/personal/isabel_espinosa_docente_unip_br/EgWQwwkFsSZEk
ElPGmaMETkB0Mu16mN0deqWiQg7zVHpSg
▪ EB2D40
▪ https://unipead-
my.sharepoint.com/:f:/g/personal/isabel_espinosa_docente_unip_br/Ej_LDfTzsY9Gp16
mX7moB4IBMPYb4a_Fmoh5H9S86fO91g
▪ EB1A40
▪ https://unipead-
my.sharepoint.com/:f:/g/personal/isabel_espinosa_docente_unip_br/Eq1ODSoijzhCpmZ
VqDWSOoUBguifeqiLzbgS7fmgDYw1Tw
Instruções gerais - Tarefas
▪ tela onde devem carregar as tarefas
Onedrive