bioestatistica 05

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BIOESTATÍSTICA
Prof. Edson Meneses
1 Introdução
As medidas de dispersão, também conhecidas como
medidas de variabilidade, indicam se os valores estão
relativamente próximos uns dos outros.
É a maior ou menor diversificação (distanciamento) dos
valores de uma variável em torno de um valor de
tendência central (média ou mediana) tomado como
ponto de comparação.
2/#
Medidas de dispersão
• As Medidas de Tendência Central:
– representam de certa forma uma determinada 
distribuição de dados
– só elas não são suficientes para caracterizar a 
distribuição.
• Para uma análise estatística mais exata é 
necessária a verificação da flutuação dos 
valores em torno de sua média aritmética
Medidas de dispersão
• Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual 
com 4 alunos.
GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6
GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10
• Média do grupo “A”: 5
• Média do grupo “B”: 5
Medidas de dispersão
• Os dois grupos apresentam a mesma média
• O comportamento dos 2 grupos são bem 
distintos
• GRUPO “A”: valores são mais homogêneos.
• GRUPO “B”: valores são dispersos em relação à média
Medidas de dispersão
• Dentre as medidas de dispersão pode-se 
citar algums delas:
–a) Amplitude Total
–b) Variância
– c) Desvio Padrão
Consideremos os seguintes conjuntos de 
valores das variáveis X, Y e Z:
X = {70, 70, 70, 70, 70} – dispersão nula
Y = {68, 69, 70, 71, 72} – dispersão menor
Z = {5, 15, 50, 120, 160} – dispersão maior
3/#
2 Amplitude Total
AT = Lmax – lmin
Exemplo: para os valores 40, 45, 48, 62 e 
70 a amplitude total será:
AT = 70 – 40 = 30
4/#
Medidas de dispersão
Amplitude Total – At
É a diferença entre o maior e o menor valor
observados.
At = Limite superior - Limite Inferior
• Exemplo 5: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
At = 9 – 1 At= 8
Medidas de dispersão
Amplitude Total – At
Dados agrupados – sem intervalo de classes.
At= Xmax – Xmin
Diferença entre o maior valor e o menor valor da
amostra.
Medidas de dispersão
Amplitude Total – At
Dados agrupados – com intervalo de classes.
At= Lmax – lmin
Diferença entre o limite superior da última classe e o limite
inferior da primeira classe.
Medidas de dispersão
Amplitude Total – At
Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos
da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que
quase sempre invalida a idoneidade do resultado.
Ela é uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.
3 Desvio Padrão
O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno
da média aritmética e a sua fórmula básica pode
ser traduzida como: a raiz quadrada da média
aritmética dos quadrados dos desvios e é
representada por S.
5/#
3 Desvio Padrão
Quanto menor for o desvio padrão em relação à média,
maior a homogeneidade da distribuição, ou seja, mais
agrupados os dados estarão em torno da média.
6/#
3.2 Cálculo do Desvio Padrão
1º) Calcular a média dos elementos;
2º) Calcular a diferença entre cada elemento e a 
média;
3º) Elevar as diferenças à potência dois;
4º) Somar todos os resultados obtidos no passo 3;
5º) Dividir a soma por n-1;
6º) Calcular a raiz quadrada deste resultado.
8/#
3.2 Cálculo do Desvio Padrão 3.2.3 
Frequência de Classes
9/#
Para dados amostrais:
Medidas de dispersão
Desvio padrão:
Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética
dos quadrados dos desvios (ou a raiz quadrada da
variância).
para uma amostra s = s2
– É a mais utilizada
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
Consideremos os seguintes conjuntos de 
valores das variáveis X, Y e Z:
X = {70, 70, 70, 70, 70} – dispersão nula
Y = {68, 69, 70, 71, 72} – dispersão menor
Z = {5, 15, 50, 120, 160} – dispersão maior
3/#
MÉDIA DESV PAD
68 69 71 70 72 70 1,58
5 15 50 120 160 70 67,55
(68-70)²+(69-70)²+(70-70)²+(71-70)²+(72-70)²
5-1
10
4
2,5 = 1,58
Medidas de dispersão
Variância:
A variância é a média aritmética do quadrado dos
desvios de cada valor em relação à média.
Por que “Quadrado dos desvios” ???????
Resposta: Por que a soma dos desvios é sempre igual a zero !!
Σ di = Σ (Xi – X ) = 0
Medidas de dispersão
Variância: dados não agrupados
Representado a variância por s2
s2 = Σ (Xi – X )2_
n 
Sendo: s2= variância amostra 
Xi = vr. variável
n = nº elementos
X = média aritmética 
Medidas de dispersão
Variância: dados agrupados sem classe
Representado a variância por s2
s2 = Σ fi (Xi – X )2_
n -1 
Sendo: s2= variância amostra 
Xi = vr. variável
n = nº elementos
X = média aritmética 
Medidas de dispersão
Variância: dados agrupados com intervalo de classe
Representado a variância por s2
s2 = Σ fi (Xi – X )2_
n 
Neste caso o valor de Xi é dado pelo valor médio 
do intervalo de classes
Medidas de dispersão
Variância:
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um
número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que sob o
ponto de vista prático é um inconveniente.
Por isto imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação
prática, denominada desvio padrão o qual já estudamos.
Exercícios
Calcular a Amplitude Total, o Desvio Padrão e a Variância.
Calcular a Amplitude Total, o Desvio Padrão e a Variância.
• Média: 6,4 AT= 11-2= 9
2+ 6 + 4 + 9 + 6 + 3 + 11 + 8 + 6 + 9 = 64 64/10 = 6,4
• Desvio Padrão: 2,9
• Variância: 8,41
(Desvio Padrão)²
(2,9)² = 8,41
(2-6,4)²+(6-6,4)²+(4-6,4)²+(9-6,4)²+(3-6,4)² +(11-6,4)² +(8-6,4)² +(6-6,4)² +(9-6,4)²
10-1
Calcular a Amplitude Total, o Desvio Padrão e a Variância.
• Média: 5,13 AT= 10-2= 8
3 + 8 + 4 + 3 + 2 + 10 + 9 + 2 = 41 41/8 = 5,13
Desvio Padrão: 3,31
• Variância: 10,96
(Desvio Padrão)²
(3,31)² = 10,96
(3-5,13)²+(8-5,13)²+(4-5,13)² +(3-5,13)² +(2-5,13)²+(10-5,13)² +(9-5,13)² +(2-5,13)²
8-1
Calcular a Amplitude Total, o Desvio Padrão e a Variância.
• Média: 4,4 AT= 8-2= 6
2 + 5 + 3 + 4 + 8 = 22 22/5 = 4,4
Desvio Padrão: 2,3
• Variância: 5,3
(Desvio Padrão)²
(2,3)² = 5,3
(2-4,4)²+(5-4,4)²+(3-4,4)²+(4-4,4)²+(8-4,4)²
5-1
BIOESTATÍSTICA
Prof. Edson Meneses
Obrigado!!