Bioestatistica 05

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Distribuições de probabilidades
Prof. Dr. Anderson Raiol Rodrigues
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Universidade Federal do Pará
Núcleo de Medicina Tropical
Programa de Pós-Graduação em Doenças Tropicais
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Distribuição de probabilidade: Conceito
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Distribuição de probabilidade: Conceito
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Distribuição de probabilidade: Conceito
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Distribuição de probabilidade: Conceito
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Distribuição de probabilidade: Conceito
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Distribuição de probabilidade: Conceito
n = 1
X = { 0, 1 }
f(0) = 0,75
f(1) = 0,25
x 0 1 S
f(x) 0,75 0,25 1
n = 1
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Distribuição de probabilidade: Conceito
n = 2
X = { 0, 1, 2 }
f(0) = p(v1),p(v2) = 0,75,0,75 = 0,5625
f(1) = p(v1),p(o2 ) = 0,75,0,25 = 0,1875
p(o1),p(v2 ) = 0,25,0,75 = 0,1875
f(2) = p(o1),p(o2 ) = 0,25,0,25 = 0,0625
x 0 1 2 S
f(x) 0,5625 0,375 0,0625 1
=> 0,3750
n = 2
f(0) = p(v1),p(v2) = 0,75,0,75 = 0,5625f(0) = p(v1),p(v2) = 0,75,0,75 = 0,5625
f(1) = p(v1),p(o2 ) = 0,75,0,25 = 0,1875
p(o1),p(v2 ) = 0,25,0,75 = 0,1875
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Distribuição binomial
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Distribuição binomial
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Distribuição binomial
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Distribuição binomial
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Distribuição binomial
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Distribuição de Poisson
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Distribuição de Poisson
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Distribuição de Poisson
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Distribuição de Poisson
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Distribuição de Gauss (normal)
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Distribuição de Gauss (normal)
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Distribuição de Gauss (normal)
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Variável aleatória padronizada
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Distribuição de Gauss (normal)
EXEMPLO
Suponha que o comprimento de recém-nascidos do sexo feminino não-
portadores de anomalias congênitas seja uma variável aleatória com
distribuição aproximadamente normal de média 48,54 cm e desvio padrão
2,5 cm.
"43,4" "44,9" "50,3" "46,5" "45,3" "48,5" "48,6" "48,0" "51,3" "42,3” "50,6"
"49,3" "47,9" "51,0" "46,0" "45,1" "47,2" "50,2" "49,8" "50,9” "49,0" "47,5"
"47,0" "47,8" "45,2" "46,2" "49,2" "47,0" "46,1" "46,9” "47,8" "50,4" "50,1"
"45,7" "48,3" "52,7" "46,0" "45,7" "50,6" "48,1” ,,, "53,3" "50,1" "45,4" "45,9"
"50,1" "44,8" "49,5" "49,9" "46,2" "51,5"
n Min. 1o Qu. Md Média Desv. Pad. 3o Qu. Max.
200 41,53 46,34 48,27 48,30 2,63 50,21 54,37
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Distribuição de Gauss (normal)
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Distribuição de Gauss (normal)
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Distribuição de Gauss (normal)
48,30 50,9345,67
0 +1-1
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Variável aleatória padronizada
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Variável aleatória padronizada
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Distribuição de Gauss (normal)
EXEMPLO (Cont.)
A probabilidade estimada de um recém-nascido, escolhido ao acaso, de
ter um comprimento superior à média, 48,54 cm, é de 50%, uma vez que
a distribuição normal é simétrica, e a média corresponde ao eixo de
simetria da curva. A VAP, nesse caso, resulta igual a zero:
Para z = 0, a área sob a normal é de 0,5 ou 50%. Assim, Área (z = 0) =
0,5. Então, P(X > 48,54 cm) = 1 – A = 1 – 0,5 = 0,5 ou 50% .
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Variável aleatória padronizada
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Distribuição de Gauss (normal)
EXEMPLO (Cont.)
A probabilidade do comprimento ser inferior a 44,79 cm pode ser
encontrada da seguinte forma:
Para z = -1,5, a área sob a normal é igual a 0,0668 ou 6,68%. Assim, P(X
< 44,79 cm) = 6,68%.
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Distribuição de Gauss (normal)
EXEMPLO (Cont.)
A probabilidade do comprimento ser superior a 47,29 cm, por exemplo,
pode ser encontrada:
P(X > 47,29 cm) = 1 – 0,3085 =0,6915 ou 69,15%.
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Variável aleatória padronizada
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Distribuição de Gauss (normal)
EXEMPLO (Cont.)
Um outro cálculo a partir da normal é a determinação do limite inferior a
partir de, por exemplo, 5% das crianças com maior comprimento,
correspondente ao percentil 95, útil na contrução de curvas de
crescimento.
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Distribuição de Gauss (normal)
EXEMPLO (Cont.)
Um outro cálculo a partir da normal é a determinação do limite inferior a
partir de, por exemplo, 5% das crianças com maior comprimento,
correspondente ao percentil 95, útil na contrução de curvas de
crescimento.
Esse limite significa que, de acordo com os dados empregados, apenas
5% das crianças nascem com comprimento superior a 52,67 cm.
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Variável aleatória padronizada
Cálculo de proporções da distribuição normal do comprimento de ossos,
onde µ = 60 mm e s = 10mm.
70 Chapter 6 The Normal Distribution
EXAMPLE6.1a Calculating Proportions of a Normal Distribution of Bone
lengths, Where I.t = 60 mm and (T = 10 mm
y
X, in millimeters
1. What proportion of the population of bone lengths is larger than 66 mm?
Z = Xi - f.L = 66 mm - 60 mm = 0.60
(T 10 mm
P(Xi > 66 mm) = P(Z > 0.60) = 0.2743 or 27.43%
2. What is the probability of picking, at random from this population, a bone
larger than 66 mm? This is simply another way of stating the quantity
calculated in part (1). The answer is 0.2743.
3. If there are 2000 bone lengths in this population, how many of them are
greater than 66 mm?
(0.2743)(2000) = 549
4. What proportion of the population is smaller than 66 mm?
P(Xi < 66 mm) = 1.0000 - P(Xi > 66 mm) = 1.0000 - 0.2743 = 0.7257
5. What proportion of this population lies between 60 and 66 mm? Of the total
population, 0.5000 is larger than 60 mm and 0.2743 is larger than 66 mm.
Therefore, 0.5000 - 0.2743 = 0.2257 of the population lies between 60
and 66 mm. That is, P( 60 mm < Xi < 66 mm) = 0.5000 - 0.2743 =
0.2257.
6. What portion of the area under the normal curve lies to the right of 77.5 mm?
Z = 77.5 mm - 60 mm = 1.75
lOmm
P(Xi> 77.5mm) = P(Z > 1.75) = 0.0401 or 4.01 %
7. If there are 2000 bone lengths in the population, how many of them are larger
than 77.5 mm?
(0.0401 )(2000) = 80
8. What is the probability of selecting at random from this population a bone
measuring between 66 and 77.5 mm in length?
P(66 mm < Xi < 77.5 mm) = P(0.60 < Z < 1.75) = 0.2743 - 0.0401
= 0.2342
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Variável aleatória padronizada
1. Qual a proporção de comprimento de ossos acima de 66 mm?
=
66− 60
10
= 0,60z = Xi −µ
σ
P(Xi > 66 mm) = P(z > 0,60) = ?
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Variável aleatória padronizada
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Variável aleatória padronizada
Excel = NORM.DIST(xi,µ,s,cum)
=
66− 60
10
= 0,60z = Xi −µ
σ
P(Xi > 66 mm) = P(z > 0,60) = 0, 2743 
ou 27,43%
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Variável aleatória padronizada
2. Qual a probabilidade de se apanhar, ao acaso nessa população, um
osso com comprimeto maior que 66 mm?
3. Se houvesse 2000 medidas de comprimento ósseo nessa população,
quantos destes seriam maiores do que 66 mm?
4. Qual a proporção de ossos é menor do que 66 mm?
5. Que proporção da população de medidas se encontra entre 60 e 66
mm?
6. Qual porção de área sob a curva normal se encontra à direita de 77,5
mm?
7. Se houvesse 2000 medidas de comprimento ósseo nessa população,
quantos destes seriam maiores do que 77,5 mm?
8. Qual a probabilidade de se selecionar, ao acaso nessa população, um
osso medindo entre 66 e 77,5 mm?
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Referências:
Arango, H. G. Bioestatística - Teórica e Computacional. 3ª ed. Rio de Janeiro – RJ: Guanabara
Koogan, 2011.
Ayres, M. Elementos de Bioestatística: A seiva do açaizeiro. 2ª ed. Belém - PA: Supercores,
2012.
Beiguelman, B. Curso Prático de Bioestatística. 5ª ed. Revisada. Ribeirão Preto - SP : Fundação
de Pesquisas Científicas de Ribeirão Preto (FUNPEC), 2002.
Fontelles, M. J. Bioestatística Aplicada à Pesquisa Experimental - Vol.1. São Paulo - SP: Livraria
Da Física, 2012.
Massad, E.; et al. Métodos Quantitativos em Medicina. Barueri - SP: Manole, 2004.
Pereira, J. C. R. Bioestatística em outras palavras. São Paulo - SP: Editora da Universidade de São
Paulo (EDUSP), Fapesp, 2010.
Siqueira, A. L.; Tibúrcio, J. D. Estatística na área de saúde: conceitos, metodologia, aplicações e
prática computacional. Belo Horizonte - MG: Coopmed, 2011.
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