Calculo 1-lista 1

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Universidade Federal de São CarlosDepartamento de Matemática
Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral 1
Eu ouço, eu esqueço. Eu vejo, eu lembro. Eu faço, eu entendo.(Provérbio Chinês)
1 Números reais
1.1. Pesquise sobre a demonstração da irracionalidade de √3. Tente reproduzir com suas próprias palavras estademonstração.
1.2. Escrever na forma fracionária os seguintes números:
(a) 0,555...(b) 0,142857142857... (c) 12,777...(d) 0,43181818... (e) 0,5241241241...(f ) 4,59222...
1.3. Utilize o algoritmo de Heron para calcular √5 com uma precisão de 10−5.
2 Equações e inequações
2.1. Resolva as equações
(a) x + 32 + x + 23 = 12
(b) 13(2x − 3)− 5(2− x) = 5(−3 + 6x)
(c) 3x + 113 − 2− x2 = 4x − 15 − 2x − 53(d) x2 + 13 = 3x5 − 25
2.2. Encontre os números reais que satisfazem cada desigualdade. Dê a solução e represente-a na reta. Justifique osargumentos usados.
(a) 2 + 3x < 5x + 8(b) 5x + 2 > x − 6(c) 2x − 1 < 4(d) 13 > 2x − 3 > 5(e) 21− x 6 1(f ) (x − 3)(x + 5) > 0(g) x + 1x − 2 < x3 + x(h) 4x < 53(i) 4x + 3x < 0(j) x3− x < 2
(k) x23− x < 2(l) x(3− x)2 < 2(m) 2x − 3 < 4x + 1(n) 2x + 6− 3x4 < 4(o) x + 3x − 2 < 5(p) 2x − 3x + 2 < 13(q) x − 3x − 1 > x − 4(r) x2 − 2x +√2 > −4
(s) x2 − 3x + 2x − 2 > 0
(t) x − 2x + 3 < x + 1x(u) 2x − 7 > 11− 4x
(v) x − 12x − 5 < 1 + x/2x + 3
(w) 2x + 12x > x − 3x + 2(x) x + 4 ≥ 2(x + 5)
(y) 5 + x2− x ≤ 4(z) 5x + 7 ≤ 2− x < 5x − 8
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3 Valor absoluto
3.1. Encontre os números reais que satisfazem cada desigualdade. Dê a solução e represente-a na reta. Justifique osargumentos usados.
(a) |4x + 3| = 7(b) |5x − 3| = |3x + 5|(c) |x + 4| < 7(d) |6− 2x| > 7(e) |x + 4| 6 |2x − 6|
(f ) ∣∣∣∣ x + 22x − 3
∣∣∣∣ < 4
(g) ∣∣∣∣ 52x − 1
∣∣∣∣ > ∣∣∣∣ 1x − 2
∣∣∣∣
(h) ∣∣∣∣6− 5x3 + x
∣∣∣∣ 6 12
4 Retas no plano
4.1. Determinar a equação da reta que passa pelos pontos (3, 1) e (5, 2).4.2. Determine a equação da reta, dada a declividade m, que passa pelo ponto P . Faça um esboço.
(a) m = −3; P = (3, 2).
(b) m = −4; P = (−5, 0).
(c) m = −5; P = (2,−1).
(d) m = −25 ; P = (2, 1).4.3. Determinar o ponto (se existir) onde as retas { y = 3x − 2y = −x + 1se interceptam.4.4. Determinar m de forma que as retas { (m+ 1)x + my+ 1 = 0mx + (m+ 1)y+ 1 = 0sejam paralelas.4.5. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (3,−4) e é paralela à reta 3x + 4y = 7.4.6. Escreva a equação da reta que é paralela à reta 2x − 5y+ 7 = 0 e passa pelo ponto (1, 4).
4.7. Determine uma reta que passa pelo ponto (−2, 1) formando com os eixos coordenados um triângulo de área 12 .
5 Função afim
5.1. Sendo uma função cujo gráfico é uma reta. Sabendo que f(2) = 2 e f(5) = −1, determine a função f .5.2. Considere a tabela do imposto de renda para pessoas físicas:
Base de cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir do IRPF (R$)Até 1.903,98 isento -De 1.903,99 até 2.826,65 7,5 142,80De 2.826,66 até 3.751,05 15 354,80De 3.751,06 até 4.664,68 22,5 636,13Acima de 4.664,68 27,5 869,36
Defina a função e esboce o seu gráfico.5.3. Seja f : A ⊂ R→ B ⊂ R. Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico da função, sendo:
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(a) y = f(x) = x + 2(b) y = f(x) = −x + 3 (c) y = f(x) = −5x + 0, 5(d) y = f(x) = 4
5.4. Seja f : A ⊂ R→ B ⊂ R. Determine quais das funções abaixo são crescentes ou decrescentes:
(a) y = f(x) = 3x − 1
(b) y = f(x) = 1− 3x
(c) y = f(x) = −7x
(d) y = 35x
5.5. É dada a função real tal que f(x) = mx2 + 5. Sabendo que f(2) = 9, determine o valor de f(√3).
6 Função quadrática
6.1. Determine a forma canônica, vértice e o ponto de máximo (ou mínimo) das funções quadráticas abaixo. Faça umesboço do gráfico.
(a) f(x) = x2 − 3x + 2
(b) f(x) = −x2 + 7x − 12
(c) f(x) = 3x2 − 7x + 2
(d) f(x) = x2 − 2x − 1
(e) f(x) = −x2 + 32x + 1(f ) f(x) = x2 + (1−√3)x −√3
6.2. Determine o valor de m para que a função quadrática:(a) y = (m− 1)x2 + (2m+ 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos.(b) (m+ 2)x2 + (3− 2m)x + (m− 1) = 0 tenha zeros reais.(c) y = mx2 + (m+ 1)x + (m+ 1) tenha um zero duplo.(d) x2 + (3m+ 2)x + (m2 + m+ 2) = 0 tenha dois zeros reais iguais.(e) y = (m+ 1)x2 + (2m+ 3)x + (m− 1) não tenha zeros reais.(f ) x2 + mx + (m2 − m− 12) = 0 tenha um zero nulo e outro positivo.
6.3. Dada as funções f : R→ R a seguir, determinar suas raízes reais:
(a) f(x) = −x4 + 5x2 + 36 (b) f(x) = x6 − 7x3 − 8 (c) f(x) = 2x4 + 6x2 + 4
6.4. Seja f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Mostre que
f (x1 + x22 ) < f(x1) + f(x2)2 .O que você entende por este resultado.
6.5. Resolva as inequações:
(a) −4x2 + 12x − 9 > 0
(b) (x2 − 21x + 20)(3− x) > 0
(c) x + 1x2 − 3x + 2 > 0
(d) x2 + 2xx2 + 5x + 6 > 0
6.6. Quantos inteiros satisfazem a inequação (x2 − 2x + 8)(x2 − 5x + 6)(x2 − 16) 6 0.
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7 Funções, domínios e aplicações - I
7.7. Dada as funções f : A ⊂ R → B ⊂ R definidas a seguir, esboçar seus gráficos, determinar seus domínios eimagens:
(a) f(x) =
 −x − 1 se x 6 −21 se −2 < x 6 0x + 1 se x > 0
(b) f(x) =
 −3 se x 6 −2−x − 2 se −2 < x 6 0x2 se x > 0
(c) f(x) =
 x se x 6 −3−2 se −3 < x < 2x − 2 se x > 2
(d) f(x) = { x2 − 2x − 8 se x 6 −2 ou x > 4−x2 + 2x + 8 se −2 < x < 47.8. Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que,por cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com consumo médio de 500g cada. Qualdeve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?
7.9. Um prédio de 1 andar, de forma retangular, com lados proporcionais a 3 e 4, vai ser construído. O imposto predialé de 1 real por metro quadrado, mais uma taxa fixa de 250 reais. A prefeitura concede um desconto de 1 realpor metro linear do perímetro como recompensa pela iluminação externa e pela calçada em volta do prédio. Quaisdevem ser as medidas dos lados para que o imposto seja o mínimo possível? Qual o valor desse imposto mínimo?Esboce o gráfico do valor do imposto como função do lado maior do retângulo.
7.10. Determinar o domínio das funções:
(a) y = x2(b) y = √x + 1
(c) y = 14− x2
(d) y = 3√x + 1
(e) y =√x2 − 2
(f ) y = x√x2 − 2
(g) y =√2 + x − x2
(h) y = √−x + 1√2 + x(i) y =√x − x3
8 Limites
8.11. Determine o limite e trace o gráfico de cada função para ilustrar o limite envolvido
(a) limx→4 3x
(b) limx→5 2x
(c) limx→1 3x − 6(d) limx→1/2 |1− 2x|
(e) limx→3 x2 − 9x − 3(f ) limx→3 x2 − 2x − 3
8.12. Determine cada limite.
(a) limx→2 x2 − 2xx2 − 4x + 4
(b) limx→1 x3 − 3x + 2x4 − 4x + 3
(c) limx→2 x2 − 4x2 − 3x + 2
(d) limx→0
√1 + x − 13√1 + x − 1
(e) limx→1 3
√x2 − 2 3√x + 1(x − 1)2
(f ) limx→1
√x − 13√x − 1
(g) limx→7 2−
√x − 3x2 − 49
(h) limx→2 x2 − 5x + 6x − 2
(i) limx→1 x3 − 1x2 − 1
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(j) limt→0 t2 + 2t + 1t + 5(k) limx→0
√4 + x − 2x(l) limz→−1 z2 + 4z + 3z2 − 1(m) limh→0 (3 + h)2 − 9h
(n) limh→0 2−
√4− hh(o) limx→9
√x − 3x2 − 9(p) limt→0 4− (t + 2)29− (t + 3)2
(q) limx→0 (3x + 1)2 − 1x3 − 3x
(r) limx→3
√1 + x − 2x − 3
(s) limx→0
√1 + x −√1− xx
(t) limx→4 3−
√5 + x1−√5− x
8.13. Limites envolvendo infinito
(a) limx→∞ (2x − 3)(3x + 5)(4x − 6)3x3 + x − 1
(b) limx→∞ 2x2 − x + 3x3 − 8x + 5
(c) limx→∞ x210 + x√x
(d) limx→∞ √x√x +√x +√x
(e) limx→3± x2 + 5x + 1x2 − x − 6
(f ) limx→5 4x(x − 5)2
(g) limx→+∞ 5x22x2 − 3(h) limx→−∞ x3 + 1x2 − 1(i) limx→−∞(7x2 + 3x3)(j) limx→1+ 2xx − 1(k) limx→2− x2x − 2
(l) limt→+∞ 8t4√3t4 + 5
(m) limx→+∞ 7x3 − 15x213x
(n) limx→−∞ x3 − 5x23x
(o) limx→5−
√25− x2x − 5
(p) limx→+∞(5x2 − 3x)
8.14. Limites envolvendo funções trigonométricas
(a) limx→0 sen 3xx
(b) limx→0 sen 5xsen 2x
(c) limx→0 1− cos xx2
(d) limx→0 tan x − sen xx3
(e) limx→0 x sen 1x(f ) limx→0 sen αxsen βx(g) limx→0sen xtan x(h) limx→0 sen 4xx(i) limx→0 x cot x
(j) limx→0 sen2 xx(k) limx→0 1− cos xx sen x
(l) limx→0 sen3 x. sen
( 1x )x2
(m) limx→1 sen(3x2 − 5x + 2)x2 + x − 2
8.15. Sejam An e Bn as áreas delimitadas por um polígono regular de n lados inscrito em e circunscrito a um círculode raio r respectivamente.(a) Demonstre que An = n2 r2 sen
(2pin
) e Bn = nr2 tan(pin) .(b) Mostre que limn→∞ An = limn→∞Bn e interprete.8.16. Dar um exemplo, o qual demonstre, que a soma de duas funções descontínuas pode ser uma função contínua.
8.17. Diga se as funções abaixo são contínuas
(a) f(x) =

x2 − 16x2 − 5x + 4 x 6= 483 x = 4
(b) f(x) =

x2 − 9x + 3 x 6= −33 x = −3
(c) f(x) =

x2 − 3x + 2x − 1 x 6= 1−5 x = 1
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8.18. Para qual valor de a que deve-se escolher para que a função f seja contínua em x = 2 sendo que
f(x) =
 x
2 − 4x − 2 x 6= 2a x = 2
8.19. Encontre os valores de c e k que fazem com que as funções abaixo sejam contínuas em (−∞,+∞) e trace umesboço do gráfico da função resultante.
(a) f(x) = { 3x + 7 x 6 4kx − 1 x > 4
(b) f(x) = { kx − 1 x < 2kx2 x > 2
(c) f(x) =
 x x 6 1cx + k 1 < x < 4−2x x > 4
(d) f(x) =
 x + 2c x < −23cx + k −2 6 x 6 13x − 2k x > 1
8.20. Determine o conjunto de pontos em que a função
f(x) =

sen(x2 − 4)x − 2 + 1 se x > 2x2 + x − 6x − 2 se x < 25 se x 6= 2
é contínua.
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