AP1 CÁLCULO I 2023.2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO AP1 – CÁLCULO I – 2/2023
Código da Disciplina: EAD10xx
Questão 1 [2.0 ponto]
Calcule os limites a seguir, caso existam:
a) lim
x→1
√
x+ 8− 3
x2 − 1
; b) lim
x→0
1− cos(x)
x senx
.
Solução:
a) O limite está indeterminado, uma vez que tanto o numerador quanto o denominador que
definem a função se anulam em x = 1. Para levantar esta indeterminação, fazemos:
lim
x→1
√
x+ 8− 3
x2 − 1
= lim
x→1
(
√
x+ 8− 3)(
√
x+ 8 + 3)
(x− 1)(x+ 1)(
√
x+ 8 + 3)
=
= lim
x→1
x+ 8− 9
(x− 1)(x+ 1)(
√
x+ 8 + 3)
=
= lim
x→1
���
�: 1x− 1
���
�(x− 1)(x+ 1)(
√
x+ 8 + 3)
=
= lim
x→1
1
(x+ 1)(
√
x+ 8 + 3)
=
1
2× 6
=
1
12
b) Analogamente, temos outra indeterminação. Neste caso vamos usar o Limite Trigonométrico
Fundamental: lim
x→0
senx
x
= 1.
lim
x→0
1− cosx
x senx
= lim
x→0
(1− cosx)(1 + cos x)
x senx (1 + cos x)
=
= lim
x→0
1− cos2 x
x senx (1 + cos x)
=
= lim
x→0
sen2 x
x senx (1 + cos x)
=
= lim
x→0
(senx)(���senx)
x���senx (1 + cos x)
=
= lim
x→0
senx
x (1 + cos x)
=
= lim
x→0
[
senx
x
× 1
(1 + cos x)
]
= 1× 1
2
=
1
2
.
Cálculo I Gabarito AP1 2/2023
Questão 2 [2.0 pontos]
Sejam a, b ∈ R e seja f : R −→ R a função definida por:
f(x) =

x3 − 2x2 + x+ 1; se x 6 2,
−x2 + a x+ b; se x > 2
a) Determine os valores de a e b para os quais a função f é cont́ınua;
b) Determine os valores de a e b para os quais a função f é diferenciável.
Solução:
Para que f seja cont́ınua, basta que seja cont́ınua em x = 2, uma vez que já é cont́ınua em todos
os outros pontos de seu doḿınio. Isto é, devemos garantir que
lim
x→2−
f(x) = f(2) = lim
→2+
f(x).
Calculando os limites laterais em x = 2, temos:
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x3 − 2x2 + x+ 1 = 8− 8 + 2 + 1 = 3 = f(2).
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
−x2 + a x+ b = −4 + 2a+ b.
Portanto, f(2) = 3 = −4 + 2a+ b e temos a condição para f ser cont́ınua: 2a+ b = 7. !
Por outro lado, as derivadas laterais de f em x = 2 também devem ser iguais:
f ′−(2) = (x
3 − 2x2 + x+ 1)′
∣∣∣
x=2
= (3x2 − 4x+ 1)
∣∣∣
x=2
= 12− 8 + 1 = 5;
f ′+(2) = (−x2 + a x+ b)′
∣∣∣
x=2
= (−2x+ a)
∣∣∣
x=2
= −4 + a.
Dáı, obtemos uma segunda condição: −4 + a = 5 =⇒ a = 9.
Reunindo as duas condições, temos: a = 9 e 2× 9 + b = 7 =⇒ b = −11.
Resumindo, para que f seja diferenciável, a condição é: a = 9 e b = −11. !
Veja o esboço do gráfico da função. Essa figura
não faz parte da resolução e é apenas ilustra-
tiva.
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Cálculo I Gabarito AP1 2/2023
Questão 3 [2.0 pontos]
Calcule as derivadas das funções a seguir:
a) f(x) = (x2 − 3x) (2 + e3x); b) g(x) = x
2 + 1
x+ cos(2x− 1)
.
Solução:
f(x) = (x2 − 3x) (2 + e3x)
f ′(x) = (2x− 3) (2 + e3x) + (x2 − 3x) 3 e3x
f ′(x) = (2x− 3) (2 + e3x) + 3 (x2 − 3x) e3x
g(x) =
x2 + 1
x+ cos(2x− 1)
g′(x) =
2x(x+ cos(2x− 1))− (x2 + 1)(1− 2 sen(2x− 1))
(x+ cos(2x− 1))2
Basta aplicar as Regras de Derivação e não esquecer a Regra da Cadeia, para composição de
funções.
Questão 4 [2.0 pontos]
Determine as asśıntotas horizontais e as asśıntotas verticais da função f definida em seu doḿınio
natural pela lei
f(x) =
√
1 + 4x2
x− 3
calculando e deixando indicado todos os posśıveis limites infinitos e todos os limites no infinito
de f .
Solução:
Vamos primeiro calcular os limites no infinito, para determinar, caso existam, as asśıntotas hori-
zontais.
lim
x→+∞
√
1 + 4x2
x− 3
= lim
x→+∞
1
x
√
1 + 4x2
1
x
(x− 3)
= lim
x→+∞
√
1
x2
+ 4
1− 3
x
= lim
x→+∞
√
�
��7
0
1
x2
+ 4
1−
�
���
0
3
x
=
√
4
1
= 2.
lim
x→−∞
√
1 + 4x2
x− 3
= lim
x→−∞
1
x
√
1 + 4x2
1
x
(x− 3)
?
= lim
x→−∞
−
√
1
x2
+ 4
1− 3
x
= lim
x→−∞
−
√
�
��7
0
1
x2
+ 4
1−
�
���
0
3
x
=
−
√
4
1
=
−2. Lembre-se: x < 0 =⇒ 1
x
= − 1|x| = −
√
1
x2
(?).
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Cálculo I Gabarito AP1 2/2023
Assim, o gráfico da função tem duas asśıntotas horizontais, as retas definidas pelas equações
y = 2 e y = −2. !
A única possibilidade para uma asśıntota vertical é x = 3.
Como lim
x→3−
√
1 + 4x2
x− 3
= −∞ e lim
x→3+
√
1 + 4x2
x− 3
= +∞, x = 3 é a tal asśıntota. !
Veja o esboço do gráfico da função. Essa figura não faz parte da resolução e é apenas ilustrativa.
Questão 5 [2.0 pontos]
A equação
(x2 − 1) y3 − 3x (y − 1)2 = 3
define y como uma função de x (y = y(x)) em torno do ponto de coordenadas (2, 1).
a) Determine a lei de definição de y′(x), a derivada desta função, em termos das variáveis x e y.
b) Determine a equação da reta tangente a esta curva neste ponto de coordendas (2, 1).
Solução:
å Vamos derivar implicitamente y em relação x na equação (x2− 1) y3− 3x (y− 1)2 = 3:
(x2 − 1) y3 − 3x (y − 1)2 = 3
2xy3 + 3(x2 − 1)y2y′ − 3(y − 1)2 − 6x(y − 1)y′ = 0(
3(x2 − 1)y2 − 6x(y − 1)
)
y′ − 3(y − 1)2 + 2xy3 = 0
y′ =
3(y − 1)2 − 2xy3
3(x2 − 1)y2 − 6x(y − 1)
!
å Para calcularmos a inclinação da reta tangente à curva no ponto de coordenadas (2, 1), basta
substituirmos os valores das coordenadas nas correspondentes incógnitas e calcular y′(2):
y′(2) = y′
∣∣∣
x=2,y=1
=
3(y − 1)2 − 2xy3
3(x2 − 1)y2 − 6x(y − 1)
∣∣∣
x=2,y=1
=
−4
9
.
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Para achar a equação da reta tangente à curva no ponto (2, 1) indicado, com inclinação m = −4
9
,
usamos a fórmula
y − 1 = −4
9
(x− 2) ou y = −4
9
x+
17
9
que resulta em 4x+ 9y = 17. !
Veja o esboço do gráfico. Em vermelho trechos da curva definida por (x2−1) y3−3x (y−1)2 = 3.
Essa figura não faz parte da resolução e é apenas ilustrativa.
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