Captulo4_Centro_de_massas_e_Momento_de_Inrcia

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
CAMPUS PARAUAPEBAS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Professora: Dra. Rosana Maria do Nascimento Luz
Aula 04: Centro de massa e 
Momento de Inércia.
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
CAMPUS PARAUAPEBAS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Professora: Dra. Rosana Maria do Nascimento Luz
Sumário
1. Revisão da aula passada;
2. Centros de massas e centróides;
3. exercícios;
4. Momentos de inércia;
5. Atividades da aula assíncrona
Revisao da aula 
passada!
Equilíbrio dos corpos em 2 D
Diagrama de corpo livre
Até aqui, tratamos todas as forças como 
concentradas sobre suas linhas de ação e seus 
pontos de aplicações.
Forças concentradas não existem no sentido exato 
da palavra, cada força externa aplicada a um corpo é 
distribuída sobre uma área de contato finita.
Centros de massa
A força exercida pelo pavimento no pneu de um
carro de um automóvel, é aplicada ao pneu em
toda sua área de contato. Na análise de forças, se
a dimensão b for desprezível em comparação com
as outras dimensões, como a distância das rodas,
então podemos substituir por uma resultante R,
uma força concentrada.
Quando as forças são aplicadas a uma região cujas
dimensões não sejam desprezíveis em
comparação com outras dimensões , devemos
considerar a distribuição verdadeira de forças.
• As forças distribuídas já consideradas anteriormente eram proporcionais às 
áreas ou volumes associados a elas. 
- A resultante dessas forças poderia ser obtida pela soma das áreas ou 
volumes correspondentes.
- O momento da resultante em relação a um dado eixo poderia ser 
determinado pelo cálculo dos momentos de primeira ordem das 
superfícies ou sólidos em relação a esse eixo.
• Agora serão consideradas forças cujas intensidades dependem não só dos 
elementos de área ou de volume sobre os quais atuam, mas também variam 
linearmente com a distância entre esses elementos e algum eixo dado.
- Será mostrado que a intensidade da resultante depende do momento de 
primeira ordem da superfície sobre a qual atua a força em relação ao 
eixo considerado.
- O ponto de aplicação da resultante depende do momento de segunda 
ordem, ou momento de inércia da mesma superfície em relação ao eixo.
• Este capítulo apresentará métodos para calcular os momentos e produtos de 
inércia para superfícies e sólidos.
Momento de inércia
• Consideraremos forças distribuídas cujas intensidades 
são proporcionais aos elementos de área sobre os 
quais essas forças atuam e que, ao mesmo tempo, variam 
linearmente com a distância entre e um dado eixo.
F
!
D
AD
AD
• Exemplo: Consideremos uma viga sujeita a flexão pura. 
As forças internas variam linearmente com a distância do 
eixo neutro que passa pelo centroide da seção.
inércia de momento 
ordem primeira de momento 0
22 ==
====
D=D
òò
òò
dAydAykM
QdAydAykR
AkyF
x
!
• Exemplo: Consideremos a força hidrostática em uma 
comporta circular vertical submersa de um reservatório.
ò
ò
=
=
D=D=D
dAyM
dAyR
AyApF
x
2g
g
g
• Os Momentos de Segunda Ordem ou 
Momentos de Inércia de Superfícies em 
relação aos eixos x e y são:
òò == dAxIdAyI yx 22
• O cálculo das integrais é simplificado 
escolhendo-se dA como sendo uma faixa 
estreita paralela a um dos eixos coordenados.
• Para uma superfície retangular,
3
3
1
0
22 bhbdyydAyI
h
x === òò
• A fórmula para superfícies retangulares 
também pode ser aplicada para faixas 
paralelas aos eixos x e y.
dxyxdAxdIdxydI yx
223
3
1 ===
Determine o momento de 
inércia de um triângulo em 
relação à sua base.
SOLUÇÃO:
• Escolhemos um faixa diferencial paralela ao eixo x
com área dA.
dyldAdAydIx ==
2
• Usando triângulos semelhantes temos,
dy
h
yhbdA
h
yhbl
h
yh
b
l -
=
-
=
-
=
• Integrando dIx de y = 0 até y = h, obtemos
( )
h
hh
x
yyh
h
b
dyyhy
h
bdy
h
yhbydAyI
0
43
0
32
0
22
43 úû
ù
ê
ë
é
-=
-=
-
== òòò
12
3bhI x=
• Momento de inércia IT de uma superfície 
circular em relação a uma linha tangente ao 
círculo:
( )
4
4
5
224
4
12
r
rrrAdIIT
p
pp
=
+=+=
• Momento de inércia de um triângulo em relação 
a um eixo centroidal:
( )
3
36
1
2
3
1
2
13
12
12
2
bh
hbhbhAdII
AdII
AABB
BBAA
=
-=-=
+=
¢¢
¢¢
Teorema dos eixos paralelos
Momentos de Inércia de Superfícies Compostas
• O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um 
dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das 
superfícies componentes A1, A2, A3, ... , em relação ao mesmo eixo.
Determine o momento de inércia 
da superfície sombreada em 
relação ao eixo x.
SOLUÇÃO:
• Calculamos os momentos de inércia do 
retângulo (120 mm x 240 mm) e do 
semicírculo em relação ao eixo x.
• O momento de inércia da superfície 
sombreada é obtido subtraindo-se o 
momento de inércia do semicírculo do 
momento de inércia do retângulo.
SOLUÇÃO:
• Calculamos os momentos de inércia do retângulo e 
do semicírculo em relação ao eixo x.
Retângulo:
( )( ) 4631331 mm102,138120240 ´=== bhIx
Semicírculo: 
momento de inércia em relação a AA’,
( ) 46481481 mm1076,2590 ´===¢ pprI AA
( )( )
( )
23
2
2
12
2
1
mm1072,12
90
mm 81,8a-120b
mm 2,38
3
904
3
4
´=
==
==
===
pp
pp
rA
ra
momento de inércia em relação a x’,
( )( )
46
362
mm1020,7
1072,121076,25
´=
´´=-= ¢¢ AaII AAx
momento de inércia em relação a x,
( )( )
46
2362
mm103,92
8,811072,121020,7
´=
´+´=+= ¢ AbII xx
• O momento de inércia da superfície sombreada é obtido 
subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do 
momento de inércia do retângulo.
46mm109,45 ´=xI
xI = 46mm102,138 ´ -
46mm103,92 ´
Resolver a lista de exercícios até 
o dia 13/10/2020 pelo link de 
questionário do SIGAA.
Atividades da aula assíncrona