ICMS-RJ - Mat Fin e Estatística - aula 04

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1
Aula 4 – Estimadores 
I ESTIMADORES PONTUAIS .................................................................................................................... 2 
II INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA ................................................................................. 5 
1 A média amostral como variável aleatória ................................................................................................ 5 
2 Intervalo de confiança para a média ........................................................................................................ 14 
3 Distribuição T de Student: intervalo de confiança para a média quando a variância da população é 
desconhecida ........................................................................................................................................................ 19 
III INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES. .................................................................... 26 
IV INTERVALO DE CONFIANÇA E TAMANHO DA AMOSTRA ........................................................ 29 
V CARACTERÍSTICAS DOS ESTIMADORES ....................................................................................... 38 
1 Estimador não tendencioso (ou não viciado) ........................................................................................... 38 
2 Estimador de variância mínima. ............................................................................................................... 40 
3 Estimador de mínimos quadrados ............................................................................................................ 42 
4 Estimador de máxima verossimilhança ................................................................................................... 42 
VI FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS ............................................................... 51 
VII LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO ....................................................................................... 54 
VIII GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO ............................................................................. 64 
 
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Para resolver diversas questões desta aula, poderá ser necessário consultar alguma tabela 
colocada ao final da aula. As tabelas foram extraídas de provas da FGV. 
 
I ESTIMADORES PONTUAIS 
EC 1. SEFAZ RJ 2008 [FGV] 
Considere uma Amostra Aleatória Simples de n unidades extraídas de uma população na qual 
a característica, X, estudada tem distribuição Normal com média μ e variância 2σ , ambas 
desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, X = ∑
=
n
i
iXn 1
1
, 
e variância da amostra ( )∑
=
−=
n
i
i XXn
s
1
22 1 . Então, é correto afirmar que: 
(A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da variância da 
população, respectivamente. 
(B) X é não-tendencioso, mas é 2S tendencioso para a estimação da média e da variância da 
população, respectivamente. 
(C) X é tendencioso, mas 2S é não-tendencioso para a estimação da média e da variância da 
população, respectivamente. 
(D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, 
respectivamente. 
(E) X e 2S são, ambos, não-tendenciosos para a estimação da média e da variância da 
população, mas apenas X é consistente. 
 
Resolução: 
Utilizamos medidas amostrais (estatísticas) para estimar características populacionais 
(parâmetros). 
A média aritmética da amostra é um estimador da média populacional. Daqui pra frente estas 
duas médias vão aparecer num mesmo problema. Para diferenciá-las, são usados símbolos 
distintos. O símbolo para a média amostral é X . O símbolo para média populacional é μ . 
Para a variância, também há símbolos distintos, conforme a referência seja à estatística ou ao 
parâmetro. Quando quisermos nos referir à variância populacional, vamos usar o símbolo 2σ . 
Ou então, podemos usar o símbolo V(X). Outro símbolo possível nos exercícios é Var(X). 
Quando quisermos nos referir à variância de uma amostra, usamos 2s . 
Para estimar a variância populacional, podemos utilizar: 
( )
1
2
2
−
−
= ∑
n
XX
s i , 
Este é o chamado estimador não tendencioso (ou não viciado) da variância populacional. É o 
mais utilizado. Contudo, no caso da variável normal (que é a mais cobrada em provas), ele 
não é o estimador de máxima verossimilhança. O estimador de máxima verossimilhança é: 
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3
( )
n
XX
s i∑ −=
2
2 
Se por acaso o exercício der uma amostra de uma variável normal e pedir para calcular o 
estimador de máxima verossimilhança da variância utilizamos n no denominador (em vez de 
1−n ). 
“Não tendencioso” e “de máxima verossimilhança” são duas características desejáveis para 
um bom estimador. Falamos mais sobre elas posteriormente. 
 
Nesta questão, temos: 
- a média aritmética da amostra como um estimador da média populacional: vimos que a 
média da amostra é um estimador não-tendencioso 
- a variância da amostra como um estimador da variância populacional: vimos que, quando se 
usa n no denominador, o estimador é tendencioso. 
Gabarito: B 
 
Resumindo: há diversos tipos de estimadores. Por hora, ainda não sabemos exatamente o que 
eles significam. 
Só sabemos que, no caso de estimarmos a variância da população a partir de uma amostra, o 
denominador pode ser “ 1−n ” ou “n”. 
Se o exercício não falar nada, utilize “ 1−n ”. Este é o estimador mais utilizado. Ele é não 
tendencioso. 
Se o exercício pedir o estimador de máxima verossimilhança e a distribuição for normal, 
utilize “n”. 
 
EC 2. CGU - 2008 [ESAF] 
Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância de uma variável X normalmente 
distribuída obtido a partir de uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, ..., Xn, desta variável, 
sendo nXm i /∑= o estimador de máxima verossimilhança da média? 
a) 
1
)( 2
−
−∑
n
mX i 
b) 
2
)( 2
−
−∑
n
mX i 
c) 
5,02
1
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−∑
n
mX i 
d) ∑ − 2)( mX i 
e) 
n
mX i∑ − 2)( 
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Resolução: 
O enunciado está usando a letra “m” para indicar a média amostral. 
Vimos que o estimador de máxima verossimilhança da variância para a distribuição normal é 
aquele que apresenta “n” no denominador. 
Gabarito: E. 
 
EC 3. PM Manaus 2004 [CESGRANRIO] 
Com base em uma amostra aleatória simples (X1, X2, ..., Xn), de média 
n
XXXX n+++= ...21 , um estimador não viciado da variância da população é: 
a) 
1
)(...)()( 222
2
1
+
−++−+−
n
XXXXXX n 
b) 
n
XXXXXX n
22
2
2
1 )(...)()( −++−+− 
c) 
1
)(...)()( 222
2
1
−
−++−+−
n
XXXXXX n 
d) 
2
22
2
2
1 ... X
n
XXX n −+++ 
e) 
2
22
2
2
1
1
... X
n
XXX n −
−
+++ 
 
Resolução: 
Quando queremos o estimador não-viciado, o denominador é igual a 1−n . 
Gabarito: C 
 
EC 4. Basa/2007 [CESPE] 
Um programa de controle de qualidade foi implementado em uma agência bancária. A cada 
10 clientes que entram na fila para solicitar um certo tipo de serviço S, um atendente entrega 
um pequeno questionário, que deve ser preenchido pelo cliente e devolvido ao caixa do 
banco. Um dos quesitos monitorados diariamente é a proporção de clientes que estão 
satisfeitos com o atendimento de um modo geral. Em determinada semana, foram observados 
os resultados mostrados na tabela a seguir. 
Dia da semana 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 
Número de clientes observados 30 40 20 50 70 
proporção de clientes satisfeitos 0,9 0,8 0,9 0,8 0,6 
 
Com base nesses dados, julgueo item que se segue. 
1. A estimativa da proporção média de clientes satisfeitos com o atendimento de um modo 
geral ao longo dessa semana é superior a 0,8. 
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Resolução: 
Utilizamos a proporção amostral para estimar a proporção da população. 
O símbolo que vamos empregar para a proporção populacional é p. O símbolo para a 
proporção amostral é p̂ . 
O número de clientes satisfeitos foi de: 
1596,0708,0509,0208,0409,030 =×+×+×+×+× 
O número total de clientes entrevistados foi: 
2107050204030 =++++ 
 
A proporção de clientes satisfeitos na amostra é: 
7571,0
210
159ˆ ==p . 
Portanto, o item está errado. A estimativa é de 75,71%. É inferior a 80%. 
Gabarito: errado. 
 
II INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA 
1 A média amostral como variável aleatória 
EC 5. INEP 2008 [CESGRANRIO] 
Denotando-se a média e a variância amostral, respectivamente, por X e 2s , o erro padrão da 
estimativa da média populacional (M) é definido como 
a) MX − 
b) MX ± 
c) 
n
s 
d) 
n
s 
e) 
n
s 2 
 
Resolução: 
Quando se pensa em uma única amostra, X é um número, fixo, constante. É a média 
aritmética daquela amostra específica. 
Quando se pensa em todas as possíveis amostras de tamanho n¸ X passa a ser uma variável 
aleatória. Se é uma variável aleatória, então possui uma média e um desvio padrão. 
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É possível demonstrar que a variável aleatória X possui média μ (ou seja, sua média é igual 
à média da população). 
É possível também demonstrar que X possui desvio-padrão dado por 
n
σ (é igual ao desvio 
padrão da população, dividido por raiz de n). 
Tais resultados não são difíceis de obter. Basta lembrar que: 
n
X
X
n
i
i∑
== 1 
Quando pensamos em todas as amostras de tamanho n, cada iX é uma variável aleatória de 
média μ e variância 2σ . Aplicando as propriedades da esperança, concluímos que a média 
de X também é igual a μ . 
Ainda utilizando as propriedades da esperança, e supondo que os diversos iX são 
independentes entre si, conclui-se que a variância de X é igual a 
n
σ . 
A questão da Cesgranrio apresenta cobrança direta da fórmula estudada. Vimos que X é uma 
estimativa para a média populacional. O erro-padrão (ou ainda, desvio-padrão) de X é dado 
por: 
n
σ . 
Quando não conhecemos o desvio-padrão da população (σ ), a fórmula é alterada. 
Substituímos σ pelo desvio-padrão amostral (s), pois s é um estimador para σ . 
A fórmula fica: 
n
s 
Gabarito: D 
Interessante comentar que, pelo teorema do limite central, a variável aleatória X é 
aproximadamente normal. A aproximação é tanto melhor quanto maior o tamanho da amostra. 
Quando a população de onde é extraída a amostra é normal, X também será normal (aí já não 
é aproximação). 
→ 
X pode ser vista como uma variável aleatória normal (ou aproximadamente normal), 
com média μ , variância 
n
2σ
 e desvio padrão 
n
σ
. 
A aproximação vale mesmo que X não seja normal. Quanto maior o tamanho das 
amostras, melhor a aproximação. 
 
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EC 6. TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
Para responder à questão seguinte, considere a tabela abaixo, referente à distribuição normal 
padrão. 
z )(zF 
1,20 0,885 
1,60 0,945 
1,64 0,950 
 
Uma máquina de empacotar leite em pó o faz segundo uma normal com média μ e desvio 
padrão 10 g. O peso médio μ deve ser regulado para que apenas 5,5% dos pacotes tenham 
menos do que 1000 g. Com a máquina assim regulada, a probabilidade de que o peso total de 
4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4.040 g é: 
a) 0,485 
b) 0,385 
c) 0,195 
d) 0,157 
e) 0,115 
 
Resolução: 
A tabela fornecida nos deu a FDP da distribuição normal. Ou seja, nos deu as probabilidades 
de Z assumir valores menores ou iguais a 1,20, a 1,60 e a 1,64. 
Da tabela acima, concluímos que a área verde da figura abaixo é igual a 0,945%. 
 
Uma vez que a área total é igual a 1, concluímos que a área vermelha é igual a 5,5%. Como o 
gráfico é simétrico, sabemos que a área amarela abaixo também é igual a 5,5%. 
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Seja X a variável aleatória que indica o peso dos pacotes de leite em pó. 
A transformação para encontrar a variável reduzida é: 
σ
μ−
=
XZ 
Sabemos que 5,5% dos valores de Z são menores ou iguais a -1,6. Sabemos que 5,5% dos 
valores de X são menores ou iguais a 1.000 g. Logo, quando Z vale -1,6, X vale 1.000. 
 
1016100016
10
10006,1 =⇒−=−⇒−=− μμμ 
Encontramos o peso médio dos pacotes. 
 
Os pesos dos pacotes se comportam como uma variável normal de média 1016 e desvio 
padrão de 10 gramas. 
A pergunta é: qual a probabilidade de o peso total de uma amostra de 4 pacotes ser inferior a 
4040g? 
Lembrando que 1010
4
4040
= , temos que essa pergunta equivale a: 
Qual a probabilidade de o peso médio de uma amostra de 4 pacotes ser inferior a 1010 g? 
Seja X a variável aleatória que designa o peso médio em amostras de 4 pacotes. X tem 
distribuição normal. Sua média é dada por: 
1016][ == μXE 
Sua média é igual à média da população. 
Seu desvio padrão é dado por: 
5
2
10][ ====
n
XV
X
σσ 
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X é uma variável aleatória com média 1016 e desvio padrão igual a 5. 
Queremos saber a probabilidade de X ser inferior a 1010g. Precisamos consultar a tabela de 
áreas fornecida na prova. Para tanto, precisamos achar o valor da variável normal reduzida Z 
que corresponde a 1010. 
E agora cuidado! 
A variável aleatória de estudo é X . Na hora de obter a variável Z, temos que fazer uma 
subtração e uma divisão. 
Subtraímos a média da variável X (no caso, 1016). E dividimos pelo desvio padrão de X 
(no caso, 5). 
X
XZ
σ
μ−
= 
Quando X vale 1010, Z vale: 
2,1
5
10161010
−=
−
=Z 
Vamos achar a probabilidade de Z ser menor que -1,2. 
A tabela fornecida nos diz que a área verde da figura abaixo é de 0,885. 
 
Como a área total é igual a 1, a área vermelha é igual a 0,115 (=1-0,885). Uma vez que o 
gráfico é simétrico, a área amarela da figura abaixo também é de 0,115. 
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A probabilidade de Z ser menor que -1,2 é de 0,115. Consequentemente, a probabilidade de 
X ser menor que 1010 também é de 0,115. 
Gabarito: E. 
 
EC 7. MPU/2007 [FCC] 
[Considere que você já sabe que X tem variância igual a 12] 
Se retirarmos uma amostra aleatória de 1200 observações de uma população com distribuição 
uniforme no intervalo [17; 29], a distribuição da média amostral X será, aproximadamente, 
a) uniforme com média 23 e variância 12 
b) normal com média 23 e desvio padrão 0,1 
c) uniforme com média 23 e variância 1 
d) normal com média 23 e desvio padrão 12. 
e) normal com média 23 e desvio padrão 1. 
 
Resolução: 
Quando a população tem distribuição normal, X também é uma variável aleatória normal. 
Quando a população não for normal, X será aproximadamente normal. A aproximação será 
tanto melhor quanto maior for a amostra. 
Nesse caso, em que X é uniforme, X é aproximadamente normal. Note que a amostra é bem 
grande (n = 1200). 
Estudamos na aula passada que, para calcular a média de uma variável aleatória uniforme, 
basta pegar o ponto médio do intervalo em que ela é diferente de zero. Neste caso, a esperança 
de X fica: 
23
2
1729][ =+=XE 
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A média de X coincide com a média populacional. 
23][ == μXE 
Para terminar a questão, ainda falta achar o desvio padrão da média amostral. Para tanto, 
precisamos da variância da população (não informada). E nós não estudamos como calculá-la. 
Então, acho que entender a questão até aqui já está ótimo. Mais que isso, para um concurso 
aberto a candidatos de todas as áreas, acho que já não seria razoável. 
Foi por isso que adaptei a questão. No enunciado eu disse para considerarmos que já sabemos 
qual a variância de X. 
 
Supondo que já sabemos que X tem variância 12, temos: 
01,0
1200
1222 ===
nX
σσ 
1,0=
X
σ 
Portanto, X tem distribuição aproximadamente normal, com média 23 e desvio padrão 0,1. 
Gabarito: B. 
Para resolver o enunciado original, sem a adaptação, ficaríamos com: 
29
17
329
17
222
312
1
1729
1)(][ xdxxdxxfxXE ×=×
−
×=××= ∫∫
∞
∞−
 
541
3
1729
12
1
312
1][
3329
17
3
2 =
−
×=×=
xXE 
1223541][][ 222 =−=−= μXEXV 
E, por fim: 
01,0
1200
1222 ===
nX
σσ 
1,0=
X
σ 
Portanto, X tem distribuição aproximadamente normal, com média 23 e desvio padrão 0,1. 
Nunca é demais lembrar: esta questão foi tirada de uma prova da área de estatística. Não é 
razoável a cobrança do enunciado original em uma prova aberta a candidatos de todas as 
áreas. 
 
EC 8. Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Para responder à questão seguinte, considere, dentre os dados abaixo, aqueles que julgar 
apropriados. Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP 
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Suponha que o peso de crianças de 10 anos, numa determinada população, tenha distribuição 
normal com média μ desconhecida e desvio padrão 4 kg. A probabilidade de que o peso 
médio de uma amostra aleatória simples de 100 crianças, selecionadas desta população, difira 
por mais de 400 gramas de μ é, aproximadamente, igual a: 
a) 0,10 
b) 0,16 
c) 0,20 
d) 0,27 
e) 0,32 
 
Resolução: 
X é uma variável aleatória de média μ e desvio padrão: 
4,0
10
4
===
nX
σσ 
Vamos achar a probabilidade de X distar menos de 0,4 kg da média populacional. 
Isso ocorre quando X assume valores entre 4,0−μ e 4,0+μ . 
Vamos achar os valores de Z correspondentes. Quando X é igual a 4,0−μ , Z é igual a: 
1
4,0
4,0
−=
−−
=
−
=
μμ
σ
μ
X
XZ 
Quando X é igual a 4,0+μ , Z é igual a: 
1
4,0
4,0
=
−+
=
−
=
μμ
σ
μ
X
XZ 
Fomos informados que: 
84,0)1( =<ZP 
Desta forma, a área verde da figura abaixo é igual a 0,84. 
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Logo, a probabilidade de Z ser maior que 1 é de: 
16,084,01)1( =−=>ZP 
Esta probabilidade corresponde à área amarela da figura abaixo: 
 
Como a fdp da normal reduzida é simétrica em torno de zero: 
16,0)1( =−<ZP . 
Ou seja, a área vermelha abaixo é igual à amarela e cada uma delas vale 0,16. 
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Deste modo, a probabilidade de Z estar entre -1 e 1 é de: 
68,016,016,01)11( =−−=<<− ZP 
Esta probabilidade corresponde à área verde abaixo: 
 
A probabilidade de Z assumir valores entre -1 e 1 é de 68%. Portanto, a probabilidade de X 
assumir valores entre 4,0−μ e 4,0+μ também é de 68%. Ou seja, a probabilidade de X 
distar menos de 0,4 kg da média populacional é de 68%. Consequentemente, a probabilidade 
de X distar mais de 0,4 kg da média populacional é de 32%. 
Gabarito: E 
 
2 Intervalo de confiança para a média 
EC 9. Sefaz/MS 2006 [FGV] – Questão adaptada 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média 
desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2. A variância da 
população é 1,44. 
O intervalo de 96,06% de confiança para a média populacional é: 
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(A) 4,2 ± 0,49 
(B) 4,2 ± 0,64 
(C) 4,2 ± 0,71 
(D) 4,2 ± 0,75 
(E) 4,2 ± 0,81 
 
Resolução: 
Para determinação do intervalo de confiança, seguimos 4 passos. 
Primeiro passo: precisamos determinar o intervalo, para a variável normal reduzida (Z) que 
contém 96,06% dos valores (pois este é o nível de confiança solicitado no enunciado). 
Chamamos este valor de Z0 associado a 96,06% de confiança. 
Consultando a tabela que estava disponível nesta prova da FGV, temos que 96,05% dos 
valores de Z estão entre -2,06 e 2,06 
06,20 =Z 
Segundo passo: determinar o valor específico de X para a amostragem feita. 
2,4=X (fornecido no enunciado) 
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de X . 
A amostra tem tamanho 25. (n = 25) 
O desvio padrão de X fica: 
24,0
5
2,1
25
44,1
25
44,1)(
2
===
==
X
n
XV
σ
σ
 
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança. 
Para tanto, sabemos que em 96,06% dos casos o valor de Z estará entre -2,06 e 2,06. 
00 ZZZ ≤≤− 
Vamos substituir Z: 
00 Z
XZ
X
≤
−
≤−
σ
μ 
Isolando a média populacional: 
XX
ZXZX σμσ ×+≤≤×− 00 
O que isto significa? Significa que a probabilidade de a média populacional estar no intervalo 
acima definido é de 96,06%. Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos o 
seguinte. Se fosse possível realizar, inúmeras vezes, uma amostragem de tamanho n, em 
96,06% das vezes o intervalo acima definido conteria a média populacional. 
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16
Muito bem. Aí a gente pega e faz uma única amostra, obtendo um único valor para a média 
amostral. Aí, obtemos: 
49,02,449,02,4 +≤≤− μ 
Agora não falamos mais em probabilidade. É errado dizer que a probabilidade de a média 
populacional estar no intervalo acima é de 96,06%. Isto porque, acima, não temos mais 
nenhuma variável. 4,2 é um número, 0,49 é outro número, μ é um número (desconhecido, 
mas é constante, fixo). 
Quando substituímos a variável X pelo seu valor específico obtido para a amostra feita, 
falamos em confiança. Dizemos que, com 96,06% de confiança, a média populacional está 
contida no intervalo entre 4,2 – 0,49 e 4,2 + 0,49 
Gabarito: A 
 
Vocês podem guardar que o intervalo de confiança será sempre da forma 
XX
ZXZX σμσ 00 +≤≤− 
E, para memorizar, é só pensar assim. 
Nós obtemos a média da amostra (no caso 4,2). Nós queremos achar um intervalo que 
contenha a média da população. É razoável supor que a média da população seja próxima de 
4,2. 
Então, para achar esse intervalo, nós andamos um pouco para esquerda e um pouco para a 
direita, ao longo da reta real. Ou seja, a média populacional deve estar no seguinte intervalo: 
?2,4 ± 
Nós partimos de 4,2 (média amostral). A partir deste número, nós vamos andar um pouquinho 
para esquerda (vamos subtrair alguma coisa) e um pouquinho para direita (vamos somar 
alguma coisa). E que coisa é essa? 
Nós vamos andar um certo número de desvios-padrão para um lado e para o outro. 
?2,4 ×±
X
σ 
?24,02,4 ×± 
E quantos desvios-padrão nós vamos andar? 
O exercício é que vai dizer o quanto vamos andar para um lado e para o outro. Isto será dito 
pelo nível de confiança. Nós vamos andar Z0 desvios-padrão. 
06,224,02,4 ×± 
O intervalo de confiança nos permite determinar uma faixa de valores em que pode estar a 
média populacional. É uma estimativa “por intervalo”, pois não atribui à média populacional 
um valor único, e sim um intervalo real. 
 
EC 10. CGU 2008 [ESAF] 
Construa um intervalo de 95% de confiança para a média de uma população normal a partir 
dos dados de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 desta população, queforneceu 
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uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde 
F(z) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z. 
a) 44,08 a 51,92. 
b) 41,78 a 54,22. 
c) 38,2 a 57,8. 
d) 35,67 a 60,43. 
e) 32,15 a 63,85. 
 
Resolução: 
Repare que não conhecemos a variância da população. Sempre que isso acontece, nós 
devemos adotar os seguintes procedimentos: 
- utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da população 
- consultamos a tabela da distribuição T, em vez da tabela da distribuição normal. 
Nós falaremos um pouco mais sobre isso no próximo tópico que vamos estudar. 
 
Dito isso, concluímos que o certo seria utilizar a distribuição T. Contudo, o exercício não 
forneceu a tabela da distribuição T. Forneceu apenas alguns valores da função distribuição de 
probabilidade da variável normal reduzida (= variável normal padrão). 
Não temos saída, teremos que utilizar os valores da variável reduzida. O mais exato seria 
resolver o exercício considerando a distribuição T. Mas não vamos “brigar” com o enunciado. 
Se o enunciado só deu informações sobre a variável normal, vamos usar a variável normal. 
Vamos considerar que essa amostra já é razoavelmente grande, de forma que a diferença entre 
usar a distribuição normal no lugar da distribuição T não é tão grande. 
 
Primeiro passo: determinando o valor de Z0 associado a 95% de confiança. 
Vimos que a função distribuição de probabilidade (FDP) também serve para cálculos de 
probabilidade. 
Se F(1,96) = 0,975, isto significa que a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais 
a 1,96 é de 97,5%. 
Ou seja, a área verde da figura abaixo é de 97,5%. 
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Sabemos que a área inteira da figura acima é igual a 1 (a probabilidade de Z assumir um valor 
qualquer é de 100%). 
Portanto, a área amarela é de 2,5%. Como o gráfico é simétrico, a área à esquerda de -1,96 
também é de 2,5%. Deste modo, a área verde da figura abaixo é de 95%. 
 
Os valores -1,96 e 1,96 delimitam o intervalo de confiança de 95% para a variável reduzida Z. 
Ou seja, o valor de Z0 associado a 95% é 1,96. 
96,10 =Z 
Segundo passo: determinar o valor de X específico para a amostra feita. 
48=X 
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de X . 
A amostra tem tamanho 64 (n = 64). 
O desvio padrão de X é dado pela fórmula: 
nX
σσ = 
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Não conhecemos o desvio padrão da população. Estamos considerando que a amostra é muito 
grande a tal ponto que a sua variância seja um excelente estimador da população. Vamos 
considerar que a variância amostral é igual à variância da população. Portanto, o desvio 
padrão da população também é igual ao desvio padrão da amostra (=16). 
16=σ 
2
64
16
==
X
σ 
Quarto: determinar o intervalo de confiança. 
O intervalo de confiança é da forma: 
XX
ZXZX σμσ ×+≤≤×− 00 
Substituindo os valores: 
XX
ZXZX σμσ ×+≤≤×− 00 
296,148296,148 ×+≤≤×− μ 
92,34892,348 +≤≤− μ 
92,5108,44 ≤≤ μ 
Gabarito: A. 
 
3 Distribuição T de Student: intervalo de confiança para a média quando a 
variância da população é desconhecida 
EC 11. Fiscal de Rendas/MS 2006 [FGV] 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média 
desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2, e a variância 
amostral foi 1,44. 
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é: 
(A) 4,2 ± 0,49 
(B) 4,2 ± 0,64 
(C) 4,2 ± 0,71 
(D) 4,2 ± 0,75 
(E) 4,2 ± 0,81 
 
Resolução: 
Quando não conhecemos a variância da população, ficamos impedidos de achar o intervalo de 
confiança da maneira estudada na questão anterior. 
Neste caso, substituímos a variância da população pela variância amostral. Com isso, 
podemos obter um estimador para a variância da média amostral. 
Quando isso ocorre, na verdade, estamos estimando duas coisas ao mesmo tempo: a média e a 
variância da população. Por conta disso, é interessante que os intervalos de confiança sejam 
maiores (mais conservadores). Isso é possibilitado pelo uso da distribuição T de Student, que 
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é muito semelhante à distribuição normal, só que fornece intervalos maiores, para o mesmo 
nível de confiança fixado. 
No resto, é basicamente o mesmo procedimento estudado anteriormente, quando conhecíamos 
a variância populacional. A única diferença é que, em vez de consultarmos a tabela de áreas 
para a variável normal, iremos consultar a tabela para a distribuição T. 
 
Primeiro passo: determinando 0t associado a 95% de confiança. Note que agora não é mais o 
valor de Z0. Z0 era quando consultávamos a tabela de áreas para a variável normal reduzida. 
Só que, neste exercício, por não conhecermos o valor da variância da população, precisaremos 
utilizar a variância da amostra. Nestes casos, consultamos a tabela da distribuição T. 
Para encontramos 0t associado a 95% de confiança, precisamos de uma tabela para a 
distribuição T. Ao final da aula, anexamos a tabela que estava disponível nesta prova da FGV. 
Esta tabela é um pouco diferente da tabela para a variável normal. Para consultá-la, 
precisamos de saber: 
· O nível de confiança desejado. 
· O número de graus de liberdade 
O número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1. 
 
1__ −= nliberdadedegraus 
Neste caso, o número de graus de liberdade é 24. 
Ou seja, vamos ter que consultar a linha para 24 graus de liberdade. 
O nível de confiança desejado foi informado no enunciado: 95%. 
E agora? 
Qual coluna devemos olhar? 
Agora é muito importante saber como é que a tabela está estruturada. A figura desenhada no 
topo da tabela é muito útil, pois ajuda a entender o que é que a tabela fornece. 
A área hachurada é designada por p. É a área a esquerda de t0. 
E nós estamos querendo o valor de t0 que delimita uma área de 95% (nível de confiança dado 
no enunciado). 
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Estamos querendo achar valores de t0 que delimitem a área verde acima, de 95%. Se a área 
verde é de 95%, então cada uma das áreas brancas é de 2,5% (pois a área total é igual a 
100%). 
Com isso, a área laranja da figura abaixo é de 97,5%: 
 
Obtivemos uma área exatamente no formato daquela que a tabela da FGV indica. Assim, o 
valor de t0 que estamos procurando é aquele tal que a área a sua esquerda é de 97,5%. 
Portanto, a coluna que devemos consultar nesta tabela fornecida na prova da FGV é a coluna 
de 97,5%. 
Consultando a tabela para 24 graus de liberdade e para 95% de confiança (coluna de área 
igual a 97,5%), temos: 
06,20 =t 
Ou seja, 95% dos valores de t estão entre -2,06 e 2,06. 
 
Segundo passo: determinar o valor específico de X para a amostragem feita. 
2,4=X (fornecido no enunciado) 
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Terceiro passo: determinar o desvio padrão de X . 
A amostra tem tamanho 25. (n = 25) 
n
XV
2
)( σ= 
Só que não sabemos a variância da população ( 2σ ). Portanto, não temos como calcular a 
variância de X . Neste caso, vamos substituir a variância da população ( 2σ ) pela variância da 
amostra fornecida no exercício. Isto porque vimos nesta aula que a variância da amostra é um 
estimador da variância da população. 
 
Estimador da variância da população: 
44,12 =Xs 
E o estimador davariância de X fica: 
25
44,144,12 ==
n
s
X
 
Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de X : 
24,0
5
2,1
25
44,1
===
X
s 
 
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança. 
Para tanto, sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará entre -2,064 e 2,064. 
06,206,2 ≤≤− t 
 
Mas quem é t? A variável t é quem está substituindo a variável Z. 
Para obter a variável t, o procedimento é análogo ao procedimento para a variável Z. 
X
s
Xt μ−= 
A única diferença é que não sabemos o desvio padrão de X . Por isto utilizamos a sua 
estimativa (
X
s ). 
 
Ok, continuando o problema. Sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará entre -2,06 e 
2,06. 
 
06,206,2 ≤≤− t 
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23
06,206,2 ≤−≤−
X
s
X μ 
06,2
24,0
2,406,2 ≤−≤− μ 
24,006,22,424,006,2 ×≤−≤×− μ 
24,006,22,42,424,006,2 ×+−≤−≤−×− μ 
24,006,22,424,006,22,4 ×+≤≤×− μ 
49,02,449,02,4 +≤≤− μ 
Gabarito: A 
 
Outra forma de fazer é lembrar que o intervalo de confiança da média é da forma: 
XX
stXstX 00 +≤≤− μ 
Substituindo os valores, chegamos a: 
49,02,449,02,4 +≤≤− μ . 
 
 
EC 12. Senado 2008 [FGV] 
Uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., X16, de tamanho 16, de uma distribuição normal 
foi observada e indicou as seguintes estatísticas: 
4,70
16
1
=∑
=i
iX e ∑
−
=−
16
1
2 60)(
i
i XX 
O intervalo usual de 95% de confiança para a média populacional, com duas casas decimais, 
é: 
(A) (3,58 , 5,22). 
(B) (3,47 , 5,33). 
(C) (3,33 , 5,47). 
(D) (3,19 , 5,61). 
(E) (3,01 , 5,81). 
 
Resolução: 
Como não foi dada a variância da população, precisamos usar a distribuição T para 
determinação do intervalo de confiança. 
 
Primeiro passo: determinando t0 associado a 95% de confiança. 
O número de graus de liberdade é: 
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24
graus de liberdade: 151161 =−=−n 
Observem que a tabela disponibilizada pela FGV nesta prova do Senado é totalmente 
diferente daquela disponibilizada na prova da Sefaz MS. É por isso que não podemos 
simplesmente decorar a forma como deve ser consultada a tabela. Não dá para fazer isso. 
Devemos sempre interpretar cada tabela, entender o que ela fornece. 
 
Neste caso, as colunas da tabela fornecem a área fora dos limites entre 0t− e t0. 
Se nós queremos que a área entre 0t− e 0t seja de 95%, então a área fora de tais limites será 
de 5%. 
Logo, devemos consultar a coluna de 5%. 
 
Perceberam a diferença? 
 
No exercício anterior, quando queríamos um nível de 95% de confiança, consultávamos a 
coluna de 97,5%. 
Agora, para o mesmo nível de confiança de 95%, consultamos a coluna de 5%. 
Tudo isso por conta da forma como cada tabela é estruturada. 
 
Ok, consultando a tabela para um nível de 95% de confiança (coluna de área 5%) e 15 graus 
de liberdade, temos: 
131,20 =t 
Segundo passo: determinar o valor específico de X para a amostragem feita. 
===
∑
=
16
4,70
16
16
1i
Xi
X 4,4 
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de X . 
A amostra tem tamanho 16. (n = 16) 
n
XV
2
)( σ= 
Só que não sabemos a variância da população ( 2σ ). Portanto, não temos como calcular a 
variância de X . Neste caso, vamos substituir a variância da população ( 2σ ) pela variância da 
amostra fornecida no exercício. Isto porque vimos nesta aula que a variância da amostra é um 
estimador da variância da população. 
 
Estimador da variância da população: 
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25
4
15
60
116
)(
16
1
2
2 ==
−
−
=
∑
=i
X
XXi
s 
E o estimador da variância de X fica: 
16
422 ==
n
ss X
X
 
Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de X : 
5,0
4
2
16
4
===
X
s 
 
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança. 
O intervalo de confiança da média é da forma: 
XX
stXstX 00 +≤≤− μ 
5,0131,24,45,0131,24,4 ×+≤≤×− μ 
47,533,3 ≤≤ μ 
Gabarito: C 
 
EC 13. MP RO 2005 [CESGRANRIO] 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média e a 
variância desconhecidas de uma população normal. A média amostral encontrada foi 5,2 e a 
variância amostral foi 1,44. 
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é: 
(A) 5,2 ± 0,32 
(B) 5,2 ± 0,41 
(C) 5,2 ± 0,47 
(D) 5,2 ± 0,50 
(E) 5,2 ± 0,75 
 
Resolução: 
Primeiro passo: obter o valor de t0 associado a 95% de confiança. 
A amostra tem tamanho 25. Logo, o número de graus de liberdade é igual a 24. 
Vamos consultar a tabela disponibilizada na prova do Senado, da FGV. 
Consultando a tabela, temos que a soma das duas áreas amarelas abaixo é igual a 5%: 
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26
 
Se a área amarela é igual a 5%, então a área verde é igual a 95%. Logo, os valores procurados 
são -2,064 e 2,064. 
064,20 =t 
Segundo passo: obter o valor específico de X . 
2,5=X (fornecido no enunciado). 
Terceiro passo: obter o desvio padrão de X . 
Como não temos a variância da população, na verdade vamos obter a estimativa do desvio 
padrão de X : 
24,0
25
2,1
===
n
ss
X
 
Quarto passo: obter o intervalo de confiança. 
O intervalo de confiança é da forma: 
XX
stXstX ×+≤≤×− 00 μ 
24,020642,524,0064,22,5 ×+≤≤×− μ 
495,02,5495,02,5 +≤≤− μ 
Gabarito: D 
 
III INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES. 
EC 14. Fiscal de Rendas/MS – 2006 [FGV] 
Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que 
conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para 
a proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é: 
 (A) 64% ± 3,9% 
(B) 64% ± 4,2% 
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27
(C) 64% ± 4,7% 
(D) 64% ± 5,1% 
(E) 64% ± 5,6% 
 
Resolução: 
Quando pensamos em todas as amostra possíveis de tamanho n, a proporção amostral também 
pode ser vista como uma variável aleatória. 
→ 
PROPORÇÃO DE CASOS FAVORÁVEIS NA AMOSTRA ( p̂ ) 
Pode ser vista como uma variável com média e desvio padrão dados por: 
pp =ˆμ 
n
pq
p =ˆσ 
Onde ‘p’ é a proporção de casos favoráveis na população e ‘q’ é a proporção de 
casos desfavoráveis na população.
A proporção amostral tem distribuição aproximadamente normal. Assim, podemos consultar a 
tabela de áreas da variável normal. 
Visto isso, vamos à determinação do intervalo de confiança. 
 
Primeiro passo: determinar o valor de Z0 correspondente a 95% de confiança. Consultando a 
tabela que estava disponível na prova da FGV, este valor é de 1,96. 
 
Segundo passo: determinar os valores específicos de p̂ e q̂ . 
64,0ˆ =p 
36,0ˆ =q 
 
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de p̂ 
n
pq
p =ˆσ 
Como não sabemos o valor da proporção populacional (p), substituímos pelo seu estimador 
(proporção amostral). Com isso, obtemos um estimador para o desvio padrão de p̂ . 
n
qps p
ˆˆ
ˆ = 
024,0
20
6,08,0
400
36,064,0
ˆ =
×
=
×
=ps 
 
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança. 
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28
pp sZppsZp ˆ0ˆ0 ˆˆ ×+≤≤×− 
047,064,0047,064,0 +≤≤− p 
Gabarito: C. 
→ 
LEMBRETE DE INTERVALO DE CONFIANÇA: 
Se for intervalo de confiança para uma média e conhecermos a variância da população, 
utilizamos a tabela da variável normal. 
Se for intervalo de confiança para uma média e não conhecermos a variância da população, 
utilizamos a tabela da distribuição T (a menos que o exercício diga para utilizar a tabela da 
variável normal). 
Se for intervalo de confiança parauma proporção, utilizamos a tabela da variável normal.
 
EC 15. MP RO 2005 [CESGRANRIO] 
Uma amostra aleatória de 400 eleitores revelou 64% de preferências pelo candidato X. O 
intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores que preferem X é: 
(A) 0,64 ± 0,047 
(B) 0,64 ± 0,052 
(C) 0,64 ± 0,056 
(D) 0,64 ± 0,064 
(E) 0,64 ± 0,085 
 
Resolução: 
Primeiro passo: obtendo o valor de Z0 associado a 95% de confiança (podemos consultar a 
tabela disponível na prova da Sefaz MS, da FGV). 
96,10 =Z 
Segundo passo: determinar os valores específicos de p̂ e q̂ . 
64,0ˆ =p 
36,0ˆ =q 
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de p̂ 
n
qps p
ˆˆ
ˆ = 
024,0
20
6,08,0
400
36,064,0
ˆ =
×
=
×
=ps 
 
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança. 
pp sZppsZp ˆ0ˆ0 ˆˆ ×+≤≤×− 
024,096,164,0024,096,164,0 ×+≤≤×− p 
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29
047,064,0047,064,0 +≤≤− p 
Gabarito: A 
 
IV INTERVALO DE CONFIANÇA E TAMANHO DA AMOSTRA 
EC 16. Prefeitura de São Paulo – 2007 [FCC] 
Para responder à questão seguinte, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar 
adequadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
341,0)10( =<< ZP 
445,0)6,10( =<< ZP 
477,0)20( =<< ZP 
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média μ e desvio padrão 100. O 
tamanho da amostra para que a diferença, em valor absoluto, entre a média amostral e μ seja 
menor do que 2, com coeficiente de confiança de 89% é: 
a) 1.000 
b) 2.200 
c) 2.800 
d) 3.600 
e) 6.400 
 
Resolução: 
A diferença entre a média da população e a média da amostra é chamada de erro. 
Para um dado nível de significância, o maior erro ocorre quando a média da população está 
justamente em um dos extremos do intervalo de confiança. 
Assim, o erro máximo cometido vai corresponder justamente à metade da amplitude do 
intervalo de confiança. 
→ 
Erro máximo cometido (para um determinado nível de confiança): 
Corresponde à metade da amplitude do intervalo de confiança.
 
Desta forma, o erro máximo cometido é igual a: 
X
Zerro σ0max_ = 
Para aplicar a fórmula, temos que encontrar Z0 associado a 89% e o desvio padrão de X . 
Sabemos que 445,0)6,10( =<< ZP . Logo, a área verde da figura abaixo é igual a 0,445: 
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30
 
Como o gráfico é simétrico, então a área verde da figura abaixo é igual a 0,89: 
 
Desse modo, a probabilidade de Z estar entre -1,6 e 1,6 é igual a 89%. 
6,10 =Z 
Vamos ao desvio padrão de X . 
nnX
100
==
σσ 
Encontrados os valores de Z0 e de Xσ , podemos encontrar o erro máximo cometido. 
X
Zerro σ0max_ = 
n
erro 1006,1max_ ×= 
E o exercício disse que o erro máximo é igual a 2. 
n
1006,12 ×= 
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31
Isolando o ‘n’: 
640080
2
1006,1 =⇒=×= nn 
Gabarito: E. 
Dizemos que, para que o erro máximo cometido seja igual a 2, a amostra deve ter tamanho 
6400 (considerando um coeficiente de confiança de 89%). 
 
EC 17. Senado 2008 [FGV] 
Na estimação da média de uma população cujo desvio-padrão é 4, usando uma amostra 
aleatória de tamanho 120, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a média: 5 
± 2. O tamanho de amostra que deverá ser considerado para que o comprimento do intervalo 
de 95% seja reduzido à metade é: 
(A) 60. 
(B) 240. 
(C) 300. 
(D) 360. 
(E) 480. 
 
Resolução: 
A amplitude do intervalo de confiança é dada por: 
Amplitude: 
X
Z σ×× 02 
Substituindo o valor do desvio padrão da média amostral: 
Amplitude: 
n
Z σ×× 02 
O exercício pediu o seguinte. Devemos reduzir a amplitude acima para metade do seu 
tamanho original. 
Se o nível de confiança é mantido, então o valor de Z0 fica inalterado. 
O valor de σ é fixo, constante. 
Assim, só podemos mexer no tamanho da amostra, que está no denominador. 
Para que a amplitude seja dividida por 2, devemos dobrar o valor do denominador. 
Vamos chamar o tamanho da nova amostra de 'n , para diferenciar do tamanho anterior. 
Logo: 
nn ×= 2' 
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado: 
nn ×= 4' 
480'=n 
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32
Gabarito: E 
 
EC 18. MPU/2007 [FCC] 
Uma nova marca de lâmpada está sendo estudada. Baseado em estudos anteriores com outras 
marcas similares, pode-se admitir que a vida média segue uma distribuição normal com 
desvio padrão de 8 meses. Tendo como base estes resultados, o tamanho da amostra 
necessário para que a amplitude do intervalo de 95% de confiança (utilize a aproximação 
95,0)22( =≤≤− ZP , onde Z é a normal padrão) para a vida média seja de 4 meses é de: 
a) 8 
b) 12 
c) 16 
d) 64 
e) 128 
 
Resolução: 
Se a amplitude do intervalo de confiança deve ser de 4, então o erro máximo a ser cometido 
fica: 
2
2
4max_ ==erro 
O erro máximo é de 2 meses. 
Lembrando a fórmula do erro máximo: 
X
Zerro σ0max_ = 
Precisamos do valor de Z0 e de Xσ . 
Z0 foi dado no enunciado: 
20 =Z 
Sabemos que: 
nnX
8
==
σσ 
Voltando na fórmula do erro máximo: 
X
Zerro σ0max_ = 
n
822 ×= 
Isolando o ‘n’: 
648
2
82 =⇒=×= nn 
Gabarito: D. 
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33
Considerando um coeficiente de confiança de 95%, dizemos que a amostra deve ter tamanho 
64 para que o erro máximo cometido seja de 2, o que implica em amplitude do intervalo de 
confiança igual a 4. 
 
EC 19. Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Para responder à questão seguinte considere, dentre os dados abaixo, aqueles que julgar 
apropriados. Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP 
Para estimar a proporção de cura de um medicamento antiparasitário realizou-se um 
experimento clínico, aplicando-se o medicamento em ‘n’ doentes escolhidos ao acaso. Nesta 
amostra foi considerado que 80% dos doentes foram curados. Com base nestas informações e 
utilizando o Teorema Central do Limite, o valor de n, para que o erro cometido na estimação 
seja no máximo 0,08, com confiança de 89%, é de: 
a) 16 
b) 25 
c) 36 
d) 49 
e) 64 
 
Resolução: 
Aqui, estamos querendo determinar o tamanho da amostra para que o erro máximo seja de 
8%. Mas, diferentemente do exercício anterior, agora estamos trabalhando com a proporção 
amostral (não mais com média amostral). 
Quando isso acontece, um problema surge: é impossível calcular o tamanho da amostra com o 
mesmo procedimento estudado. 
Por quê? 
No caso do intervalo de confiança para a proporção amostral, a metade da amplitude do 
intervalo de confiança, que corresponde ao erro máximo, fica: 
psZerro ˆ0max_ = 
n
qpZerro
ˆˆ
max_ 0 ×= 
Fixado o erro máximo, precisamos achar o valor de n. Mas, na equação acima, não dá para 
isolar o n porque ainda não sabemos o valor da proporção amostral. 
Aliás, é justamente para isso que faremos a amostragem: para descobrir o valor da proporção 
amostral. 
Estamos querendo determinar o tamanho da amostra, para só então fazer a amostragem, o que 
fornecerá um valor para p̂ . 
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34
Aí não dá. Para achar o tamanho da amostra precisamos da proporção amostral. E só 
saberemos a proporção amostral depois de determinarmos o tamanho da amostra e 
realizarmos a amostragem. 
Para contornar este problema, há duas possíveis soluções: 
1) fazemos uma amostragem preliminar, que fornecerá um valor para p̂ ; com isso, achamos o 
valor de n e fazemos outra amostragem. 
2)adotamos, para efeito de cálculo do tamanho da amostra, p̂ igual a 0,5; isso maximiza o 
tamanho de n (para um dado nível de confiança). Além disso, para um dado n, este valor 
também maximiza a variância da proporção amostral. 
No caso desta questão, foi adotada a primeira solução. Foi realizada uma amostragem 
preliminar, que resultou numa proporção amostral de 80%. 
 
Podemos interpretar que, na amostra preliminar, a proporção de cura verificada foi de 80%. A 
partir desse valor, podemos calcular o valor de ‘n’ para uma segunda amostragem, de tal 
forma que o erro máximo seja de 0,08. 
A fórmula do erro máximo é: 
psZerro ˆ0max_ = 
Primeiro, vamos encontrar Z0. 
Sabemos que 445,0)6,10( =<< ZP . Logo, a área verde da figura abaixo é igual a 0,445: 
 
Como o gráfico é simétrico, então a área verde da figura abaixo é igual a 0,89: 
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35
 
Desse modo, a probabilidade de Z estar entre -1,6 e 1,6 é igual a 89%. 
6,10 =Z 
Agora vamos achar ps ˆ 
n
qps p
ˆˆ
ˆ = 
Substituindo os valores da amostra preliminar: 
nn
s p
4,02,08,0
ˆ =
×
= 
Voltando na fórmula do erro máximo: 
psZerro ˆ0max_ = 
n
4,06,108,0 ×= 
Isolando n: 
64
8
64
=⇒= nn 
Gabarito: E. 
 
EC 20. SEFAZ RJ 2007 [FGV] 
Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da população favorável à eleição 
de um determinado ponto turístico para constar no selo comemorativo de aniversário da 
cidade. Para isso, selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população 
infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando 
que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, e que o nível de 
confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, aproximadamente: 
(A) 50 pessoas. 
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36
(B) 100 pessoas. 
(C) 1.200 pessoas. 
(D) 2.400 pessoas. 
(E) 4.800 pessoas. 
 
Resolução: 
O erro máximo é dado por: 
n
qpZerro
ˆˆ
max_ 0 ×= 
Podemos fazer a consulta de Z0 na tabela da distribuição normal colocada ao final da aula. 
Mas, de tanto aparecer este percentual de 95%, já sabemos que Z0 é igual a 1,96. 
Substituindo os valores: 
n
5,05,096,102,0 ××= 
n
5,096,102,0 ×= 
=×=
02,0
5,096,1n 49 
=n 2401 
Foram ouvidas 2401 pessoas. Aproximando, temos 2.400. 
Gabarito: D 
 
EC 21. Senado 2008 [FGV] 
Um estatístico de uma companhia telefônica deseja estimar a proporção p de clientes 
satisfeitos com a introdução de um novo tipo de serviço. Suponha que o número de clientes da 
companhia seja grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar 
próxima de 0,50. O menor tamanho de amostra que ele deve considerar de modo a garantir 
com probabilidade de 95% um erro absoluto de estimação de no máximo 0,02 é: 
(A) 800. 
(B) 1082. 
(C) 1530. 
(D) 1681. 
(E) 2401. 
 
Resolução: 
Exercício idêntico ao anterior. O tamanho da amostra será de 2401. 
Gabarito: E 
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37
 
EC 22. POTIGAS 2006 [FGV] 
O tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, com 95% de 
confiança e erro de 1 ponto porcentual, a preferência do eleitorado por determinado candidato 
é: 
(A) 912. 
(B) 1 200. 
(C) 2 401. 
(D) 4 800. 
(E) 9 604. 
 
Resolução: 
O erro máximo é dado por: 
n
qpZerro
ˆˆ
max_ 0 ×= 
Como a questão não forneceu qualquer informação sobre uma eventual amostragem 
preliminar, só nos resta adotar 5,0ˆˆ == qp . Como vimos no EC 19, é o modo mais 
conservador, pois maximiza o tamanho da amostra. 
Substituindo os valores: 
n
5,05,096,101,0 ××= 
n
5,096,101,0 ×= 
=×=
01,0
5,096,1n 98 
=n 9604 
Gabarito: E 
 
EC 23. SEFAZ RJ 2009 [FGV] 
Para examinar a opinião de uma população sobre uma proposta, foi montada uma pesquisa de 
opinião em que foram ouvidas 1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à 
proposta. Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desse resultado, em 
um determinado nível de confiança, era de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos. 
Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, para mais ou 
para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa que indique o número de 
pessoas que deveriam ser ouvidas. 
(A) 840 
(B) 2520 
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38
(C) 3360 
(D) 5040 
(E) 6720 
 
Resolução: 
Exercício muito semelhante ao EC 17. 
A margem de erro é igual à metade da amplitude do intervalo de confiança. 
n
qpZerro
ˆˆ
max_ 0 ×= 
Novamente, a única coisa que poderemos alterar é o denominador (valor de n ). Temos que 
dobrar o denominador, para que o erro máximo seja dividido por 2. 
Já vimos no EC 17 que, para que isso aconteça, o tamanho da amostra deve ser quadruplicado. 
== nn 4' 6720 
Gabarito: E 
 
V CARACTERÍSTICAS DOS ESTIMADORES 
Este é um tópico que é pouco abordado em cursos preparatórios, porque não é muito cobrado 
em provas abertas a candidatos de todas as áreas. Por este motivo, creio que a maior parte de 
vocês nunca estudou as características dos estimadores. 
Assim, antes de entrarmos nos exercícios, vamos ver um pouquinho de teoria, bem 
rapidamente. 
Algumas características dos estimadores são: 
· Não tendenciosos (ou não viciados) 
· De variância mínima 
· De mínimos quadrados 
· De máxima verossimilhança 
 
1 Estimador não tendencioso (ou não viciado) 
Seja a um estimador para o parâmetro α . Dizemos que a é um estimador não tendencioso se: 
α=)(aE 
A média amostral ( X ) é um estimador não-tendencioso para a média populacional. 
Para melhor visualização, vamos considerar um experimento que consiste em lançar um 
tetraedro homogêneo, com faces 1, 2, 3 e 4. 
Vamos lançá-lo 2 vezes, obtendo uma amostra de tamanho 2. O quadro abaixo traz todas as 
possíveis amostras. 
 
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39
1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4
2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4
3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4
4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4
Seriam 16 amostras possíveis, todas elas com a mesma probabilidade de ocorrer. O valor da 
média amostral em cada uma dessas amostras seria: 
Valores da 
amostra 
X 
1 e 1 1 
1 e 2 1,5 
1 e 3 2 
1 e 4 2,5 
2 e 1 1,5 
2 e 2 2 
2 e 3 2,5 
2 e 4 3 
3 e 1 2 
3 e 2 2,5 
3 e 3 3 
3 e 4 3,5 
4 e 1 2,5 
4 e 2 3 
4 e 3 3,5 
4 e 4 4 
 
Repare que X pode ser visto como uma variável aleatória que assume diversos valores. 
A média de todos os possíveis valores de X fica: 
)45,335,25,335,2235,225,15,225,11(
16
1)( +++++++++++++++×=XE 
5,2)( =XE 
Vamos agora calcular a média da variável aleatória X. 
A variável aleatória X assume os valores 1, 2, 3, 4, cada um com probabilidade 1/4. 
Portanto: 
4
4
13
4
12
4
11
4
1)( ×+×+×+×== μXE 
5,2=μ 
Concluindo: a esperança da média amostral é igual à esperança da população. Isto significa 
que, se fosse possível fazer um número muito grande de amostras, a média de todas as médias 
amostrais seria igual à média da população. 
Vamos aproveitar este exemplo do tetraedro e vamos calcular a variância das amostras. Para 
tanto, vamos fazer dois cálculos: um com o denominador n e outro com o denominador 1−n . 
Para diferenciar, quando utilizarmos o denominador n, vamos adotar o símbolo *s . 
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40
Valores da 
amostra 
12
)(
2
1
2
2
−
−
=
∑
=i
i xx
s 
2
)(
*
2
1
2
2
∑
=
−
= i
i xx
s
 
1 e 1 0 0 
1 e 2 0,5 0,25 
1 e 3 2 1 
1 e 4 4,5 2,25 
2e 1 0,5 0,25 
2 e 2 0 0 
2 e 3 0,5 0,25 
2 e 4 2 1 
3 e 1 2 1 
3 e 2 0,5 0,25 
3 e 3 0 0 
3 e 4 0,5 0,25 
4 e 1 4,5 2,25 
4 e 2 2 1 
4 e 3 0,5 0,25 
4 e 4 0 0 
total 20 10 
Note que: 
25,1
16
20)( 2 ==sE 
625,0
16
10)*( 2 ==sE 
Vamos agora calcular a variância da variável aleatória X. 
5,2
4
4321)( =+++=XE 
5,7
4
16941)( 2 =+++=XE 
22 )()()( XEXEXV −= 
25,15,25,7)( 2 =−=XV 
O parâmetro é igual a 1,25. Os estimadores foram 1,25 (s2 , com o denominador 1−n ) e 0,625 
( 2*s , com o denominador n). 
Por isso dizemos que o estimador variância amostral deve ter 1−n no denominador. Isto 
garante um estimador não-viciado. 
 
2 Estimador de variância mínima. 
Vamos continuar com o exemplo do tetraedro com faces 1, 2, 3, 4 e as possíveis amostras de 
tamanho 2. 
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41
Queremos estimar a variância da população. Quem tem acesso a todas as faces do tetraedro, 
sabe que: 
5,2
4
4321
=
+++
=μ 
Já quem desconhece as faces do tetraedro, poderá apenas estimar a média da população, com 
base no resultado de uma amostra de tamanho 2. 
Durante toda a aula, nós trabalhamos com o estimador X (média aritmética da amostra). 
Pois bem, vamos criar um outro estimador para a média populacional. Vou chama-lo de *X , 
para diferenciar do símbolo anterior. 
Esse nosso novo estimador será uma média ponderada dos valores da amostra, em que o 
primeiro valor da amostra tem peso 2 e o segundo valor da amostra tem peso 1. 
Exemplificando: se a amostra for: (2,3), nosso estimador será: 
333,2
3
1322* =×+×=X 
A tabela abaixo traz todas as amostras possíveis, bem como os valores dos estimadores. 
Valores da 
amostra 
X *X 
1 e 1 1 1 
1 e 2 1,5 1,333333 
1 e 3 2 1,666667 
1 e 4 2,5 2 
2 e 1 1,5 1,666667 
2 e 2 2 2 
2 e 3 2,5 2,333333 
2 e 4 3 2,666667 
3 e 1 2 2,333333 
3 e 2 2,5 2,666667 
3 e 3 3 3 
3 e 4 3,5 3,333333 
4 e 1 2,5 3 
4 e 2 3 3,333333 
4 e 3 3,5 3,666667 
4 e 4 4 4 
total 40 40 
Interessante observar que: 
5,2
16
40)*()( === XEXE 
Ou seja, o estimador *X também é não-tendencioso. 
Qualquer média ponderada dos valores da amostra será um estimador não-tendencioso da 
média populacional. Ah, então qualquer média ponderada será um bom estimador? 
Não necessariamente. Depende das características que você quer para o seu estimador. 
Uma característica interessante é que o estimador tenha variância mínima. 
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42
Se você calcular a variância dos estimadores *X e X , verá que eles têm variâncias 
diferentes. Não vou reproduzir os cálculos aqui, vou apenas dar o resultado: 
625,0)( =XV 
6944,0)*( =XV 
Note que X tem uma variância menor que *X . Isto pode ser interessante. Se fizéssemos 
inúmeras amostras, em média, acertaríamos o valor do parâmetro nos dois casos (com 
qualquer um destes dois estimadores). 
Só que o estimador *X tem maior dispersão. Ele apresenta, com maior freqüência, valores 
afastados da média populacional. Por isso, o estimador X é melhor. 
Assim, uma característica que se costuma buscar é que o estimador tenha variância mínima. 
Ou seja, que a variância do estimador escolhido seja menor que a variância de qualquer outro 
estimador. 
Dentre os estimadores lineares (ou seja, aqueles que são obtidos a partir de uma média 
ponderada com os valores da amostra), é possível demonstrar que a média aritmética simples 
( X ) apresenta variância mínima. 
É possível comparar a eficiência entre dois estimadores diferentes. Basta dividir suas 
variâncias. Assim, a eficiência relativa de *X , em comparação com X , é dada por: 
%90
6944,0
625,0
= 
3 Estimador de mínimos quadrados 
Um outro tipo de estimador é aquele que minimiza a soma dos quadrados dos desvios. Por 
enquanto, não veremos este tipo de estimador com mais detalhes. Falaremos mais a respeito 
na aula de regressão linear, em que será muito freqüente realizarmos a operação que minimiza 
a soma dos quadrados dos desvios. 
Interessante observar que X e p̂ são estimadores de mínimos quadrados. Ou seja, a média 
amostral e a proporção amostral estimam a média e a proporção populacionais, obedecendo 
ao critério de mínimos quadrados. 
 
4 Estimador de máxima verossimilhança 
Um estimador de máxima verossimilhança maximiza a probabilidade (se a variável aleatória 
for discreta) ou a densidade de probabilidade (se a variável aleatória for contínua) de a 
amostra observada ter sido obtida. 
Para explicar, vou adaptar um exemplo extraído do livro Estatística para Economistas, do 
Rodolfo Hoffmann. 
Considere um tetraedro que possui faces azuis e brancas. Lançamos o tetraedro. O resultado 
obtido corresponde à face que fica em contato com o solo. 
Caso saia uma face azul, temos um caso favorável. Caso saia uma face branca, temos um caso 
desfavorável. 
O tetraedro é lançado 3 vezes, resultado em 1 caso favorável (1 resultado azul e 2 brancos). 
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43
Nós só temos acesso ao resultado desta amostra e temos que estimar a proporção 
populacional, ou seja, a proporção de faces azuis no tetraedro. 
Para achar o estimador de máxima verossimilhança, nós temos que ver qual a proporção que 
maximiza a probabilidade de esta amostra ter sido obtida. O quadro abaixo resume os 
cálculos. 
Número de 
faces azuis 
probabilidade de sucesso em 1 
experimento 
Probabilidade de, em 3 lançamentos, 
termos 1 caso favorável 
0 0 0 
1 0,25 0,421875 
2 0,5 0,375 
3 0,75 0,140625 
4 1 0 
 
A maior probabilidade (0,421875) ocorre quando temos 1 face azul. Logo, o estimador de 
máxima verossimilhança é 0,25. 
Neste exemplo, a proporção populacional só poderia assumir alguns valores (0; 0,25; 0,5; 
0,75; 1,0). É uma variável discreta. 
Caso a proporção populacional p possa assumir qualquer valor no intervalo entre 0 e 1, então 
é possível demonstrar que a proporção amostral é um estimador de mínimos quadrados e de 
máxima verossimilhança. 
 
Se a variável aleatória for normal, o estimador de máxima verossimilhança para a variância é 
dado por: 
n
xx
s
n
i
i∑
=
−
= 1
2
2
)(
* 
Se a variável aleatória for normal, a média aritmética da amostra ( X ) é um estimador de 
máxima verossimilhança para a média populacional. 
 
Texto para questões EC 24 e EC 25. 
Para responder às questões seguintes, considere as distribuições amostrais de cinco 
estimadores propostos para estimar o parâmetro T de uma população, ilustradas na figura 
apresentada a seguir. 
 
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EC 24. INEP 2008 [CESGRANRIO] 
Se o interesse for um estimador não viesado, deve-se utilizar apenas 
(A) T1 
(B) T4 
(C) T1 ou T4 
(D) T2 ou T5 
(E) T1 ou T2 ou T3 
 
Resolução: 
Estimador não viesado é sinônimo de estimador não tendencioso. Queremos que a média do 
estimador seja igual a T. 
Os únicos estimadores que apresentam esta característica são T1, T2 e T3. 
Gabarito: E 
 
EC 25. INEP 2008 [CESGRANRIO] 
Levando-se em conta as propriedades de um bom estimador, o melhor dentre os estimadores 
propostos é 
(A) T1 
(B) T2 
(C) T3 
(D) T4 
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(E) T5 
 
Resolução: 
Entre os estimadores T1, T2 e T3, o que apresenta variância mínima é T2, pois apresenta uma 
curva mais afilada, o que indica que a proporção de valores próximos à média é maior. 
Gabarito: B 
 
EC 26. MPE PE/2006 [FCC] 
Com relação à teoria geral da amostragem, é incorreto afirmar que: 
a) Quanto menor o erro padrão da estimativa, menor será a confiabilidade e a precisão da 
estimativa.b) Em uma amostra por conglomerados a população é dividida em sub-populações distintas. 
c) A realização de uma amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir 
uma lista completa de cada unidade amostral. 
d) Um estimador é considerado não viciado quando sua esperança é igual ao valor 
populacional que está sendo pesquisado. 
e) Amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo 
alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. 
 
 
Letra A. 
Erro padrão é sinônimo de desvio padrão. Se a estimativa tem erro padrão pequeno, isso 
significa que ela pouco varia. Para exemplificar, vamos trabalhar com a estimativa que já 
estudamos: X . 
Se X tem um desvio padrão pequeno, então a média amostral pouco varia de uma amostra 
para outra. Isso significa que cada média amostral também é bem próxima da média da 
população. Quanto menor o erro padrão de X , mais precisa é a nossa estimativa. Mais 
confiável ela é. Nossa estimativa deve estar bem próxima do verdadeiro valor do parâmetro. 
Alternativa errada. 
 
Letra B. 
Alternativa correta. Realmente, na amostragem por conglomerados, busca-se dividir a 
população em sub-populações, em conjuntos heterogêneos que representem bem a população 
inteira. Como vimos na aula passada, isso nem sempre se verifica. Como o intuito desse tipo 
de amostragem é reduzir custos e tempo, os conglomerados são escolhidos de forma que seus 
elementos estejam próximos/ligados, o que muitas vezes faz com que um conglomerado não 
abranja itens tão heterogêneos assim. 
 
Letra C. 
Em geral, realmente a amostragem aleatória é feita quando se tem uma listagem de todos os 
elementos. Assim, para escolher aleatoriamente um grupo de funcionários que participará de 
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uma pesquisa sobre o clima organizacional da empresa, parte-se de uma listagem de todos os 
empregados. Dessa lista, extraem-se, aleatoriamente, algumas pessoas. O processo de escolha 
pode se dar de diversas formas. Podemos escrever o nome de todos eles em pedaços de papel 
de mesmo tamanho, dobrar, colocar num saco, misturar bem, e sortear. Podemos atribuir a 
cada um deles um número e usar uma tabela de números aleatórios para escolher os números. 
Podemos colocar seus nomes em planilhas, executar um programa que gere números 
aleatórios, atribuindo um número a cada pessoa, e depois ordenar de forma crescente. Enfim, 
há inúmeras formas que, geralmente, partem de uma listagem de todos os elementos, como foi 
dito no enunciado. 
Contudo, há formas de se fazer uma amostragem aleatória sem que exista uma listagem 
prévia. A banca considerou esse item correto. Ao meu ver, caberia recurso. Cito na seqüência 
um trecho do livro “Estatística aplicada à administração” do autor William Stevenson: 
“Se a população alvo é finita, há essencialmente duas maneiras de 
escolher uma amostra aleatória. Um método envolve a compilação de 
uma lista de todos os elementos da população [...]. O segundo método 
é usado quando os elementos da população não são claramente 
identificáveis, o que torna impossível a listagem. Por exemplo, no 
processamento de alimentos, ou na eliminação de resíduos, ou no 
controle da poluição, em geral, não há o conceito de itens que possam 
constituir uma amostra. A alternativa seria então selecionar locações 
em lugar de itens, como, por exemplo, ‘4 polegadas acima e 7 abaixo’. 
Consegue-se isto encarando a população como se fosse composta de 
cubos, e selecionando cubos para a amostra. Outra alternativa seria o 
emprego de um processo de mistura [...]” 
Podemos pensar naqueles sorteios de promoções. Você manda uma carta contendo três 
códigos de barras do produto, respondendo à pergunta: qual a marca de cotonete que leva 
você para a copa do mundo de 2014??? 
Domingo, durante o programa do Faustão, é feito o sorteio. Aparecerão um monte de modelos 
seminuas jogando os envelopes para cima. Em tese (eu disse: em tese), supondo que as 
modelos joguem muito bem os inúmeros envelopes, misturando bem todos eles, quando uma 
delas pegar o envelope ganhador, a escolha terá sido aleatória. E nenhuma das modelos tinha 
uma listagem dos concorrentes ao prêmio. 
Outro exemplo. Você está preparando uma sopa. Você está em dúvida se colocou muito sal ou 
não. Para avaliar a quantidade de sal, você mistura bem a sopa, enche uma colher e 
experimenta. Você está fazendo uma amostragem da sopa. Está avaliando apenas um pequeno 
pedaço da sua população, para decidir algo sobre a sopa inteira. 
Antes de experimentar você não tinha uma listagem de todas as partículas que estavam dentro 
da sopa (ou seja, uma lista de todos os pedacinhos de batata, cenoura, abobrinha, etc). Aliás, 
nesse caso, acho que nem dá para falar em lista de todos os elementos. 
Supondo que você tenha misturado bem a sopa, quando você encher a colher, você estará 
fazendo uma amostragem aleatória. 
Numa situação como a desta questão da FCC, lá, durante a prova, marque a alternativa “mais 
correta” (ou “mais errada”, conforme o caso). Costumo dizer que não é pra sair brigando com 
a prova. A letra “A” está claramente errada. Ela está praticamente “pedindo” para ser marcada 
como item errado. Já a letra C, apesar de errada, não é tão absurda. A amostragem aleatória, 
na maioria das vezes, é mesmo feita a partir de uma listagem. Na letra C estamos diante de 
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um caso de imprecisão na escrita do enunciado. Não custa nada deixar essa imprecisão pra lá, 
marcar a letra A e pronto. 
 
Letra D. 
Alternativa correta. Foi exatamente isto que vimos sobre os estimadores não tendenciosos. 
Vimos que X pode ser considerada uma variável aleatória e que o fato de a esperança de X 
ser igual à média da população faz deste um estimador não viciado. Isso vale para qualquer 
estimador. Se sua esperança for igual ao parâmetro pesquisado, então o estimador é não 
tendencioso (ou não viciado). 
 
Letra E. 
Alternativa correta. Basta lembrar do exemplo dado na aula passada. Dividimos a população 
em extratos, conforme a idade (jovens, adultos e idosos). A divisão se deu conforme uma 
característica conhecida (idade). Os extratos são mutuamente exclusivos. 
Gabarito: A. 
 
EC 27. MPU/2007 [FCC] 
Com relação à teoria geral da amostragem, é correto afirmar que: 
a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser realizada 
sem reposição. 
b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica quando 
comparada com o método de amostragem aleatória simples. 
c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser mutuamente 
exclusivos. 
d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro padrão das 
estimativas 
e) o viés ou vício de um estimador de um parâmetro é a diferença entre o seu valor esperado e 
o valor do parâmetro. 
 
Letra A. 
Uma amostra aleatória pode sim ser feita com reposição. Podemos pensar no sorteio da mega-
sena. No primeiro sorteio, temos o número 26 (2 retirado do globo das dezenas e 6 retirado do 
globo das unidades). Para o segundo sorteio, os globos continuam contendo todas as dezenas 
(inclusive o 2) e todas as unidades (inclusive o 6). Os números são aleatoriamente escolhidos 
e há reposição. Em tese, é possível que o número 26 seja novamente sorteado. 
Um outro exemplo são as promoções em que você manda um SMS para um certo número e 
concorre a inúmeros prêmios. A cada semana é sorteado um prêmio (exemplo: na primeira 
semana são dez TV’s, na segunda, 10 motos, na terceira, 2 carros e na última é sorteada uma 
casa). Em muitas premiações, quem manda o SMS logo nos primeiros dias está concorrendo a 
todos os prêmios. Mesmo que ele seja sorteado na primeirasemana (ganhando uma TV), seu 
nome volta para o bolo de concorrentes, tendo chances de ganhar em qualquer outro sorteio. 
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Supondo que a escolha, em cada sorteio, seja aleatória, temos uma amostragem aleatória com 
reposição. 
 
Letra B. 
Em geral, a amostragem por conglomerados é mais econômica que a aleatória simples. Basta 
pensar no caso da pesquisa com os chefes de família de uma dada cidade, usado como 
exemplo na aula passada. Se usássemos uma amostragem aleatória, poderíamos ter que nos 
dirigir a pontos muito distantes um dos outros, o que encarece a pesquisa. Usando a 
amostragem por conglomerados (considerando cada bairro/cada quarteirão/cada conjunto de 8 
quarteirões/etc) como um conglomerado, muitos dos chefes de família selecionados morarão 
próximos uns dos outros, o que reduz os custos. Alternativa errada. 
 
Letra C. 
Errado. Na amostragem estratificada os estratos são sim mutuamente exclusivos. No exemplo 
da aula passada, dividimos a população em jovens, adultos e idosos. Um idoso não pode ser 
também jovem. 
 
Letra D. 
Alternativa errada. Quanto maior a amostra, melhor ela representa a população. Como 
conseqüência, melhoram nossas estimativas (o que implica em menor erro padrão). 
Também dá para visualizar isso por meio da fórmula que vimos. Vamos trabalhar com a 
média amostral. Seu desvio padrão é dado por: 
n
XV
X
σσ ==][ 
O “n” está no denominador. Quanto maior o valor de n (ou seja, quanto maior o tamanho da 
amostra), menor o desvio padrão da estimativa. 
 
Letra E. 
Alternativa correta. 
Não comentei isso durante a parte teórica. Aproveitando a oportunidade, falemos um pouco 
sobre o viés do estimador. Vamos trabalhar, novamente, com o estimador para a média ( X ). 
O fato da média de X ser igual à média da população nos permite classificar a média 
aritmética da amostra como estimador não tendencioso (ou não viciado). Usando esse 
estimador, na média (considerando as inúmeras amostras que poderiam ser feitas), nós 
estamos realmente acertando o valor do parâmetro desconhecido. 
E se, em vez da média amostral, nós usássemos, por exemplo, a mediana da amostra para 
estimar a média da população? 
Vamos voltar para o tetraedro de faces 1, 2, 3, 4. Seja X a variável que designa o resultado do 
lançamento do tetraedro. Sabemos que a esperança de X é igual a 2,5. 
Lançamos o tetraedro três vezes. Vamos ver quais são os possíveis resultados. 
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Conjuntos de 3 
lançamentos 
Conjuntos de 3 
lançamentos 
Conjuntos de 3 
lançamentos 
Conjuntos de 3 
lançamentos 
1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 
1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 
1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 
1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 
1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 
1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 
1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 
1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 
1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 
1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 
1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 
1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 
1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 
1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 
1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 
 
Vamos usar a mediana amostral como estimador da média populacional. Cada conjunto de 
três lançamentos, ou seja, cada amostra possui uma mediana. A mediana amostral assume os 
seguintes valores: 
1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 1; 2; 3; 3; 1; 2; 3; 4; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 3; 2; 
2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4; 2; 2; 3; 4; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4. 
A média da mediana amostral é: 
484,2][ ≅DE 
Se fosse possível efetuar infinitas vezes os três lançamentos, a média obtida para o nosso 
estimador seria de cerca de 2,484. É um estimador que, em média, difere da média 
populacional (=2,5). Concluímos que é um estimador viesado (ou tendencioso, ou ainda, 
viciado). O seu viés é dado pela diferença entre sua média e o parâmetro estudado (qual seja, 
a média da população). Nesse exemplo, o viés fica: 
016,05,2484,2][ −=−=⇒−= viesDEvies μ 
 
Gabarito: E 
 
EC 28. CGU - 2008. [ESAF] 
Seja T um estimador de um parâmetro θ de uma população. Se θ=)(TE , diz-se que T é um 
estimador de θ : 
a) eficiente 
b) não enviesado 
c) consistente 
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d) de mínimos quadrados 
e) de máxima verossimilhança 
 
Resolução: 
Vimos que o fato da esperança do estimador ser igual ao parâmetro permite classificar o 
estimador como não viciado (ou não tendencioso, ou não enviesado). Todas essas expressões 
são sinônimas. 
Gabarito: B. 
 
Quanto às características dos estimadores, creio que a prova deve se limitar a cobrar questões 
conceituais. Ou então, se restringir aos estimadores usuais (média amostral, proporção 
amostral, variância amostral para estimar, respectivamente, a média populacional, a proporção 
populacional e a variância populacional). É que, se for para passar disso, é bastante provável 
que a questão exija ferramentas de cálculo. Como exemplo, segue questão abaixo. 
 
EC 29. PETROBRAS 2005 [CESGRANRIO] 
Com base em uma amostra aleatória ( nxxx ,...,, 21 ) o estimador de máxima verossimilhança do 
parâmetro λ na distribuição de Poisson, 
!
)(
x
exXP
xλλ−
== para ,...2,1,0=x é a: 
(A) média quadrática da amostra. 
(B) média geométrica da amostra. 
(C) média harmônica da amostra. 
(D) média aritmética da amostra. 
(E) mediana da amostra. 
 
Resolução: 
Seja ),...,,( 21 nxxx a amostra obtida. A probabilidade de obtermos esta amostra é dada por: 
)...( 2211 nn xXxXxXP =∩∩=∩= 
Supondo que os valores da amostra são independentes entre si, a probabilidade da intersecção 
é o produto das probabilidades: 
)...( 332211 xXxXxXP =∩∩=∩= = )(...)()( 2211 nn xXPxXPxXP =××=×= 
= 
!
...
!! 21
21
n
xxx
x
e
x
e
x
e nλλλ λλλ −−−
××× 
= nxxx
n
n
xxx
e +++− ×
××× 21
21
!...!!
λ
λ
 
Queremos maximizar esta probabilidade, que é uma função de λ . Como a função logarítmica 
é crescente, se maximizarmos a função acima, também maximizamos seu logaritmo. 
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Aplicando o logaritmo neperiano: 
)!...!!ln()ln()...(
!...!!
ln 2121
21
21
nn
xxx
n
n
xxxxxxn
xxx
e
n ×××−×++++−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×
×××
+++
−
λλλ
λ
 
Para achar o valor de λ que maximiza esta função, derivamos em relação a λ e igualamos a 
zero. 
01)...( 21 =++++− λn
xxxn 
nxxx n =+++ λ
1)...( 21 
λ=+++
n
xxx n
1)...( 21 
Ou seja, o valor de λ que maximiza a probabilidade de obtermos uma dada amostra 
(estimador de máxima verossimilhança) é a média aritmética da amostra. 
Gabarito: D 
 
VI FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS 
Quando a amostragem é feita sem reposição, a partir de uma população finita, cada extração 
não é independente das demais. Quando isso acontece, as coisas complicam um pouco. 
Na obtenção da fórmula da variância da média amostral, precisamos supor que as observações 
eram todas independentes entre si. Isso permite que se substitua a variância da soma por uma 
soma de variâncias. 
Na obtenção da fórmula da variância da proporção amostral, também é importante supor que 
as observações são independentes. Isso garante que o número de sucessos na amostra seja 
uma variável binomial. A partir da variância da variável binomial obtém-se a variância de p̂ . 
Resumindo: se as observações não forem mais independentes, as fórmulas mudam. 
Caso a amostragem seja sem reposição, mas a população seja bem grande, é razoável 
aproximarmos. É razoável considerar que cada extração é independente das demais. 
Contudo, quando o tamanho da população (em relação ao tamanho da amostra) não for tão 
grande, a aproximação fica ruim. 
Segundo o autor William J Stevenson, se a amostra for superior a 5% da população,