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Material de apoio
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Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 · Prova anteriores: Primeira Parte da Disciplina 1.1 Prova 27/09/2019 1. Calcular a integral dupla Rpta.-34/3 2. Calcular a integral tripla Rpta.-11/24 · 2 ´x+2 0 0 xydydx. · 1 ´x ´y+1 0 0 0 xdzdydx. 3. Utilizando integral dupla calcular a area´ do quadril´atero de v´ertices (−4, 1), (−4, 8), (5, 2) e (5, 7). Rpta.-54 4. Calcular a integral R x dA, onde R ´e a regi˜ao encerrada pelo circulo x2 + y2 = 1 e acima da reta y = x. ˜ √ 2 Rpta.-− 3 5. Montar a integral tripla que calcula o volume do solido encerrado pelo paraboloide z = 8 − x2 − y2 e o plano z = 2. [N˜ao necessita calcular, somente explicar como chegou a essa montagem] RPASI √ 2π √ 8 r2 2π ´ 6 ´ 6 Rpta.- ´0 0 ´2 − dzrdrdθ ou de maneiraAsimplificada: ´ 0 0 (6r − r3)drdθ. 6. Calcular o volume do solido limitado pela esfera z = 16 − x2 − y2, o plano z = 1, e o cilindro x2 + y2 = 1. POIO Rpta.-( 125 − 10 √ 15)π 3 2y−3x Utilizar a transforma¸c˜ao u = 2Ay − 3x e v = 2y + 3x para calcular ˜ 7. dA sobre a regi˜ao R 2y+3x · que ´e encerrada pelas retas 2y = 3x, 2y = 3x + 2, 2y = 2 − 3x, 2y = 5 − 3x. Rpta.- 16 (ln(5) − ln(2)) 8. Calcular a area´ da por¸c˜ao do plano z = x + 2y que esta acima do circulo x2 + y2 = 5. √ Rpta.-5 6π 9. Considere a regi˜ao plana R encerrada pelas curvas y = 2x + 1, y = x2 e y = 1 e onde x > 0. · Montar a integral dupla que calcula a area´ da regi˜ao R, explicando como chegou a essa montagem. · Utilizando a integral anterior calcular efetivamente a area´ de R. · Calcular qualquer uma das coordenadas do centroide de R. Escolha a coordenada que na sua opini˜ao seja a mais f´acil de calcular. 1 Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 Rpta.- Denotando α = 1 + √ 2 temos α2 √ 1 2x+1 α 2x+1 • A=´ y dxdy [tipo II], ou tamb´em A = ´ dydx + ´ ´ dydx [tipo I] 1 ´Y 2 0 ´0 1 x 2 −1 • Fazendo a integra¸c˜ao tipo I obtemos √ · =(α2+α−α3/3)−2/3= 432 +1 · Fazendo a integra¸c˜ao tipo II obtemos α2 √ √ Mx = ˆ ˆ y 29 44 2 11 Y−1 ydxdy = α4(2α/5 − α2 /6 + 1/4) − = + 1 60 15 3 2 Portanto 44√ 2 + 11 15 3 y¯ = 4√ 2 + 1 3 1.2 Rpta.- 563 RPASI Prova 15/05/2019 1. Calcular a ´area da regi˜ao plana encerrada pelas curvas y = 5x, y = x2, x = 1 e x = 5. ˜ POIO 2. Calcular a integral (2x + y2)dA, onde R ´eAa regi˜ao encerrada pelo retˆangulo de v´ertices R (−1, 0), (2, 0), (−1, 1), (2, 1). Rpta.- 4 A ˜ 2 2 3. Calcular a integral x dA, onde R ´e a regi˜ao encerrada pelo circulo x + y = 1 que esta `a R direita da reta x = 0. Rpta.- 2 3 4. Montar a integral tripla, em coordenadas cil´ındricas, que calcula o volume do solido encerrado pelo cone z = 2 2x2 + 2y2 e o plano z = 16. [N˜ao necessita calcular, somente explicar como chegou a essa montagem] √ 2π4 2 16 ´ ´ ´ Rpta.- dzrdrdθ √ 0 0 2 2r 5. Calcular o volume do solido encerrado pelo paraboloide z = 4x2 Rpta.- 8π 6. Utilizar a transforma¸c˜ao u = y − 4x e v = y + 4x para calcular encerrada por y = 4x, y = 4x + 2, y = 2 − 4x, y = 5 − 4x. LN(5/2) Rpta.- 4 + 4y2 e o plano z = 8. ˜ y−4x dA sobre a regi˜ao R y+4x R 2 Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 7. Calcular a area´ da por¸c˜ao do plano z = 4x + 3y que esta acima do circulo x2 + y2 = 2. √ Rpta.- 2 26π 8. Considere o triˆangulo de v´ertices (−1, 3), (3, 3) e (5, 2). · Montar a integral dupla que calcula a area´ da regi˜ao plana encerrada pelo triˆangulo, explicando como chegou a essa montagem. 3 −2y+9 · ´ Rpta.- dxdy 2 −6y+17 · Utilizando a integral anterior calcular efetivamente a area´ do triˆangulo. Rpta.- 2 · Calcular as coordenadas do centroide do triˆangulo. Rpta.- 73 , 83 RPASI 2 Alguns exerc´ıcios pares resolvidos, Vol. II Howard Anton 10 ed.: Primeira Parte da disciplina 1. Se¸c˜ao 14.1, Exerc´ıcio 2 (2x − 4y)dydxA 3 1 Calcular a integral doble ´1 ´1 Solu¸c˜ao.- − POIO 3 1 3 1 dx = 3 ˆ ˆ (2x − 4y)dydx = ˆ ˆA(2x − 4y)dy ˆ (2xy − 2y2) 1 1 dx = 1 −1 1 − 3 3 − 1 1 · ((2x − 2) − (−2x − 2))dx = ˆ 4xdx = 2x2 3 = 18 − 2 = 16 1 1 1 2. Se¸c˜ao 14.2, Exerc´ıcio 4 1 x x Calcular a integral iterada 1´/4 x´2 dydx y Solu¸c˜ao.- 3 Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 1 x 1 x y dy 1 (2√xy) x2 dx = 2 1 x3/2)dx = ˆ ˆ y dydx = ˆ ˆ dx = ˆ ˆ (x 1/4 x2 x 1/4x2 x 1/4 x 1/4 − 2 x2 x5/2 1 1 2 1/16 2.(1/4)5/2 13 − 1/4=2 − − − = 2 5/2 2 5 2 5 80 3. Se¸c˜ao 14.3, Exerc´ıcio 6 π/2 COS θ Calcular a integral iterada ´0 ´0 r3drdθ Solu¸c˜ao.- RPASI0 0 0 0 0 π/2 0 π/2 COS θ π/2 COS θ π/2 r4 1 π/2 ˆ ˆ r3drdθ = ˆ ˆ r3dr dθ = ˆ COS θ ˆ cos4 θdθ = dθ = 4 0 4 3 1 1 A= 3 π 1 1 3π θ + sin(2θ) + sin(4θ) . + .0 + .0 −(0+0+0)= . 8 4 32 0 8 2 4 32 16 POIO 4. Se¸c˜ao 14.4, Exerc´ıcio 4 Calcular a ´area da por¸c˜ao da superf´ıcie z = 2x + y2 que est´a acima da regi˜ao triangular com v´ertices (0, 0), (0, 1) e (1, 1) A Solu¸c˜ao.- Neste caso ´e mais conveniente estabelecer a regi˜ao de integra¸c˜ao R como de tipo II: R : 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y Parametriza¸c˜ao da superf´ıcie: R(u, v) = (u, v, 2u + v2) da´ı ∂u∂R = (1, 0, 2) e ∂∂vR = (0, 1, 2v) Com isto, o produto vetorial das derivadas parciais ´e · R × ∂R = (−2, −2v, 1) ∂u ∂v 4 Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 e a norma ∂R ∂R = 4 + 4v2 + 1 = 4v2 + 5. × ∂u ∂v Ent˜ao a area´ da superf´ıcie ´e ∂R ∂R 1 v 1 1 1 27 S = ¨ dA = ˆ ˆ 3 2 + 5dudv = ˆ × 4v2 4v2 + 5vdv = 4v2 + 5 / = . ∂u ∂v 12 0 12 R 0 0 0 5. Se¸c˜ao 14.5, Exerc´ıcio 6 3 x2 LN z Calcular ´ ´ ´ xeydydzdx 1 x 0 Solu¸c˜ao.- 1 x 0 2 1 x 0 RPASI1x ˆ3 ˆx2 ˆLN zxeydydzdx = ˆ3 x ˆx2 ˆLN zeydy dzdx = ˆ3 x ˆx2 eLN z 3 x x (z 1)dz dx = 3 x z 2 Az x2 dx = 3 x ˆ ˆ ˆ ˆ 1 x − POIO − x 1 1 2 6. Se¸c˜ao 14.6, Exerc´ıcio 4 2π π/4 a SEC φ Calcular ´ ´ ´ ρ2 sin φdρdφdθA, (a > 0) · e0 dzdx = x4 3x2 118 − + x dx = 2 2 3 0 0 0 Solu¸c˜ao.- 2π π/4 a SEC φ 2π π/4 a SEC φ 2π π/4 3 sec3 φ ˆ ˆ ˆ ρ2 sin φdρdφdθ = ˆ ˆ sin φ ˆ ρ2dρ dφdθ = ˆ ˆ sin φ a dφdθ = 3 0 0 0 2π 0 0 0 0 0 2πdθ = a3π a3 π/4sin φ sec3 φdφ dθ = a3 2π 1 sec2 φ π/4 dθ = a3 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 3 3 2 6 3 7. Se¸c˜ao 14.7, Exerc´ıcio 18 Qual ´e imagem no plano X − Y do triangulo de v´ertices (0,0), (1,0) e (0,1), que esta no plano 5 Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 U − V , se o mapeamento ´e x = 3u + 4v e y = 4u Solu¸c˜ao.- Temos a transforma¸c˜ao (x, y) = (3u + 4v, 4u) Da´ı mapeamos alguns pontos importantes (0, 0) (0, 0) (3/2, 2) (1, 0) (3, 4) (u, 0) u(3, 4) (1/2, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 1/2) (2, 0) (0, 1) (4, 0) (0, v) v(4, 0) `e transformado no triangulo de v´ertices (0,0), (4,0) e (3,4). 8. Se¸c˜ao 14.8, Exerc´ıcio 6 Fazer uma conjectura previa sobre as coordenadas do centro de gravidade e confirmar a conjectura integrando. RPASI Solu¸c˜ao.- A figura ´e quadril´atero de v´ertices (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1) e a densidade ´e δ(x, y) = 1 + x2 + y2. A Nos c´ırculos r(cos θ, sin θ) a densidade ´e constante pois POIO δ(r(cos θ, sin θ)) = 1 + r 2 cos2 θ + r2 sin2 θ = 1 + r2. Por outro lado o quadril´atero ´e sim´etrico respeito da origem, ent˜ao conjecturamos que as coordenadas do centro de gravidadeA devem ser (0,0). Verificamos isto com as f´ormulas: Primeiramente calculamos a massa ¨ M = 1 + x2 + y2dA R Utilizaremos o teorema de mudan¸ca de vari´aveis. Para isso, fazemos a transforma¸c˜ao x + y = u x − y = v com esta transforma¸c˜ao temos que a regi˜ao S (-1,1), (-1,-1), e (1,-1). Obtemos o par (x, y)) em fun¸c˜ao de (u, v): x = y = no plano U − V ´e o quadrado de v´ertices (1,1), u+v 2 u−v 2 6 Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 donde obtemos o Jacobiano ∂(x, y) 1/2 1/2 1 = 1/2 −1/2 = ∂(u, v) 2 a seguir calculamos a fun¸c˜ao f (x, y) = 1 + x2 + y2 em fun¸c˜ao de u e v 1 + x2 + y2 = 1 + u + v 2 + u − v 2=1+ u2 + v2 2 2 2 Portanto M = ¨ 1 + x2 + y2dAxy = ¨ 1 + u 2 + v2 (1/2)dAuv = 2 R S 1 u2 v3 1 1 ˆ 1 + v + 1 du = 1 ˆ (u2 + 7/3)du = 8 2 −1 3 −1 2 3 2 −1 RPASI C´alculo de My = xδ(x, y)dA: R ˜ u + v My = ¨ x(1 + x2 + y2)dAxy = ¨ A1 + u2 + v2 (1/2)dAuv = 2 2 R S 1 1 1 u v u3 u2v uv2 v3 ˆ ˆ + + + + + dvdu = 2 2 2 4 4 4 4 POIO 1 −1 −1 A 1 u3 1 ˆ uv + v2 + u3v + u2v2 + uv3 + v4 1 du = 1 ˆ + 7u du = 0 2 4 6 −1 2 4 8 12 16 −1 2 −12 Analogamente, podemos calcular Mx = 0. 7 • Alegrete : 29.7446◦ S, 55.9359◦ W. • Porto Alegre : 30.0346◦ S, 51.2177◦ W. • Bras´ılia : 15.8267O S, 47.9218◦ W. • Miami (USA) : 25.7617O N, 80.1918◦ W. • Londres : 51.5074O N, 0.1278◦ W • Sidney (Austr´alia) : 33.8688◦ S, 151.2093◦ E • Beijing (China): 39.9042◦ N, 116.4074◦ E 8 Alguns exemplos: ´e 360 × 180. Toda coordenada ´e um ponto Claramente as medidas deste retˆangulo,POIOemgraus do retˆangulo [180W, 180E] × [90S, 90N ]. A • SE=South-East (SULESTE) • N E= North-East (NORDESTE). • N W =North-West (NOROESTE). • SW =South-West (SULOESTE) ARPASI Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 3 Mapas e a esfera Os mapas planos que representam a superf´ıcie do planeta Terra possuem duas linhas cujas unidades s˜ao graus. que determinam as coordenadas geogr´aficas de qualquer ponto que est´a na superf´ıcie da Terra. • A linha do Equador que ´e um linha horizontal que divide o plano em duas partes iguais que representam o hemisf´erio norte e o hemisf´erio sul. O comprimento desta linha ´e de 360 graus • A linha de Greenwich que ´e uma linha vertical que divide o plano em duas parte iguais que representam o Leste e Oeste ou Ocidente e Oriente. O comprimento desta linha ´e de 180 graus. A combina¸c˜ao destas duas linhas determinam um retˆangulo (mapa plano) que representa o planeta Terra em 04 quadrantes: Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3 Em radianos o retˆangulo [180W, 180E] × [90S, 90N ] ´e equivalente a R = [−π, π] × [− π2 , π2 ] e a fun¸c˜ao de coordenadas ´e ´e R(φ, θ) = (cos(θ) cos(φ), sin(θ) cos(φ), sin(φ)) Na disciplina seguindo o padr˜ao do livro de H. Anton utilizaremos o retˆangulo R = [0, 2π]×[0, π] e a fun¸c˜ao R(φ, θ) = (cos(θ) sin(φ), sin(θ) sin(φ), cos(φ)), com θ ∈ [0, θ] e φ ∈ [0, π]. Exemplo 11, page 1033, Anton. RPASI POIO A A 9
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