ACFrOgD-sxUiiJYs53_VuwflxmnUmyMeY7r0guk8_ONKpzoWJtccL6BWB7U63D4HghvGOfGUn3XHh9xdCh7VlkoRSX2Q6f7YRxKM2yX8zGMevxP3Nmg8mp5tds3xq-g=

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1ECT1102 - Cál
ulo ILista 2 - Derivadas e Apli
ações de Derivadas1. Determine uma equação para a tangente da reta à 
urva no ponto de�nido pelosvalores de t. Determine também o valor de d2y/dx2:
(a) x = 2 cos t, y = 2 sen t, t = π/4 (b) x = cos t, y =
√
3 cos t, t = 2π/3
(c) x = t, y =
√
t, t = 1/4 (d) x = −
√
t + 1, y =
√
3t, t = 3
(e) x = 2t2 + 3, y = t4, t = −1 (f) x = cos t, y = 1 + sen t, t = π/22. Use a derivada implí
ita para determinar dy/dx nos exer
í
ios abaixo:
(a) x2 y + x y2 = 6 (b) x3 + y3 = 18xy (c) y2 = x−1x+1 (d) x
2 = x−yx+y
(e) x + sen y = xy (f) ex
2y = 2x + 2y (g) x2 + y2 = 1 (h) x2/3 + y2/3 = 1
(i) y2 = ex
2
+ 2x (j) y2 − 2x = 1 − 2y (k) 2√y = x − y (l) xy + y2 = 13. Determine a derivada de y em relação à variável independente dada (Di
a: use a derivaçãologarítmi
a):
(a) y =
√
x(x + 1) (b) y =
√
t
t+1 (c) y =
√
θ + 3θ (d) y = t(t + 1)(t + 2)
(e) y = θ+5θ cos θ (f) y =
x
√
x2+1
(x+1)
2
3
(g) y = (
√
t)t (h) y = xln x4. En
ontre a derivada de y:
(a) y = cos−1(x2) (b) y = sen−1
√
2t (c) y = sec−1(2s + 1) (d) y = cosec−1(x2 + 1), x > 0
(e) y = cotg−1
√
t (f) y = cosec−1(et) (g) y = ln(tg−1x) (h) y = sec−1 1t , 0 < t < 15. Determine os valores mínimos e máximos absolutos para 
ada função no intervalo dado.
(a) f(x) = 23x − 5, −2 ≤ x ≤ 3 (b) f(x) = −x − 4, −4 ≤ x ≤ 1
(c) f(x) =
√
4 − x2, −2 ≤ x ≤ 1 (d) g(x) = e−x2 , −2 ≤ x ≤ 1
(e) f(x) = x4/3, −1 ≤ x ≤ 8 (f) f(x) = senθ, −π2 ≤ θ ≤ 5π6
(g) f(θ) = θ3/5, −32 ≤ x ≤ 1 (h) g(θ) = 3θ2/3, −27 ≤ x ≤ 8
26. Identi�que os valores extremos das funções e onde eles o
orrem
(a) y = 2x2 − 8x + 9 (b) y = x3 − 2x + 4 (c) y = x3 + x2 − 8x + 5 (d) y = ex + e−x
(e) y = ex − e−x (f) y = 13√1−x2 (g) y =
√
x2 − 1 (h) y = x ln x7. Para as funções seguintes, identi�que os pontos 
ríti
os, em quais intervalos são 
res
enteou de
res
ente, e em quais pontos assumem valores máximos e mínimos lo
ais (note que emalguns 
asos é dado a derivada primeira da função f ′):
(a) f ′(x) = x(x − 1) (b) f ′(x) = (x − 1)2(x + 2) (c) f ′(x) = (x − 1)e−x
(d) f ′(x) = (x − 7)(x + 1)(x + 5) (e) f ′(x) = x− 13 (x + 2) (f) f ′(x) = x− 12 (x − 3)
(g) f(x) = e2x + e−x (h) f(x) = x ln x8. Represente gra�
amente as seguintes funções:
(a) y = x2 − 4x + 3 (b) y = x3 − 3x + 3 (c) y = x2/5 (d) y = x1/5
(e) y = −2x3 + 6x2 − 3 (f) y = ln(3 − x2) (g) y = ln(cos x) (h) y =
√
|x|
(i) y = ex − 2e−x − 3x (j) y = 11+e−x9. Dada a derivada primeira, se possível, determine a derivada segunda y′′ e esbo
e a formageral do grá�
o de f :
(a) y′ = 2 + x − x2 (b) y′ = x(x2 − 12) (c) y′ = (x + 1)− 23
(d) y′ = sec2 x, −π2 < x < π2 (e) y′ = x−
2
3 (x − 1) (f) y′ = cos t, 0 ≤ t ≤ 2π10. Qual é o menor perímetro possível para um retângulo 
uja área é 16pol2 e quais são suasdimensões?11. Determine as dimensões de um 
ilindro 
ir
ular reto 
om o maior volume possível que possaser ins
rito em uma esfera de raio 10cm. Qual é o seu volume máximo?12. Uma área retangular em uma fazenda será 
er
ada por um rio e os outros três lados por uma
er
a elétri
a feita de um �o. Com 800m de �o à disposição, qual é a maior área que vo
êpode 
er
ar e quais são suas dimensões?13. Vo
ê está preparando um p�ster retangular para 
onter 50pol2 de material impresso, 
ommargens superior e inferior de 4pol 
ada e margens à direita e à esquerda de 2pol 
ada. Que
3dimensões gerais minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada?14. Um silo será 
onstruído (ex
eto a base) na forma de um 
ilindro sob um hemisfério. O 
ustoda 
onstrução por unidade de área da superfí
ie é duas vezes maior para o hemisfério emrelação ao lado do 
ilindro. Determine as dimensões para um volume �xo 
om 
ustos deprodução minimizados. Ignore a espessura das paredes e o desperdí
io durante a 
onstrução.15. Quando o estanho metáli
o é mantida abaixo de 13, 2oC, lentamente se torna quebradiçoe a
aba por esfarelar, tornando-se um pó 
inza. Se forem mantidos durante anos a baixastemperaturas, objetos de estanho esfarelam-se espontaneamente. Os europeus, que observa-ram os tubos de estanho dos orgãos das igrejas se desintegrarem no passado, 
hamavam essatransformação de peste do estanho, porque pare
ia ser 
ontagiosa - e em 
erto sentido era,pois o pó 
inza 
atalisa a própria formação.
• Um 
atalisador para uma reação quími
a é uma substân
ia que aumenta a velo
idadeda reação sem sofrer mudança permanente.
• Uma reação auto
atalíti
a é aquela em que o produto é o 
atalisador da própria forma-ção. Uma reação desse tipo pode de
orrer lentamente no iní
io, quando a quantidadede 
atalisador é pequena, e também no �nal, mas quando a maioria da substân
ia já foi
onsumida. Mas, nesse intervalo, quando tanto a substân
ia original quanto o produto
atalisador são abundantes, a reação o
orre mais rapidamente.Em alguns 
asos, é razoável admitir que a velo
idade de reação v = dx/dt é propor
ionaltanto à quantidade de substân
ia original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v podeser expressa em função de x apenas e
v = kx(a − x) = kax − kx2onde x é a quantidade de produto, a é a quantidade de substân
ia no iní
io e k é uma
onstante positiva.(a) Com que valor de x a velo
idade v apresenta um máximo?(b) Qual é o valor máximo de v?
416. A resposta do 
orpo a uma dose de medi
amento às vezes é representada por uma equaçãona forma
R = M2
(
C
2
− M
3
)onde C é uma 
onstante positiva e M a quantidade de medi
amento absorvida pelo sangue.Se a resposta esperada for uma variação na pressão sanguínea, então R deverá ser medidoem milímetros de mer
úrio; se a resposta for uma variação de temperatura, R será medidoem graus 
entígrados e assim por diante.(a) Determine dR/dM . Essa derivada, em função de M , é 
hamada sensibilidade do 
orpoao medi
amento.(b) Cal
ule a quantidade de medi
amento à qual o organismo é mais sensível, determinandoo valor de M que maximiza a derivada de dR/dM .17. Custa para uma empresa c dólares manufaturar e distribuir 
ada mo
hila. Se as mo
hilassão vendidas a x dólares 
ada, o número de unidades vendidas é dado por
n =
a
x − c + b(100 − x)onde a e b são 
onstantes positivas. Qual preço de venda trará lu
ro máximo?18. Vo
ê prepara uma agên
ia de ex
ursões que prati
a os seguintes preços:
• 200 reais por pessoa, se 50 pessoas (o número mínimo ne
essário para fe
har um grupo)parti
iparem da ex
ursão.
• Para 
ada pessoa a mais, até um máximo de 80 pessoas, o preço é reduzido em 2 reais.Custa 6.000 reais (
usto �xo) mais 32 reais por pessoa realizar a ex
ursão. Quantas pessoassão ne
essárias para maximizar seu lu
ro?
519. Cal
ule os seguintes limites (Di
a: use a regra de L'H�pital):
(a) lim
x→2
(
x − 2
x2 − 4
)
(b) lim
x→−3
(
t3 − 4t + 15
t2 − t − 12
)
(c) lim
x→∞
(
5x3 − 2x
7x3 + 3
)
(d) lim
x→0
(
t2
t
)
(e) lim
x→0
(
8x2
cos x − 1
)
(f) lim
θ→π
2
(
2θ − π
cos(2π − θ)
)
(g) lim
x→0
(
x2
ln(sec x)
)
(h) lim
t→0
(
t(1 − cos t)
t − sent
)
(i) lim
x→1+
(
1
x − 1 −
1
ln x
)
(j) lim
x→∞
x2e−x (k) lim
x→0+
x−
1
ln x (l) lim
x→∞
(ln x)
1
x
(m) lim
x→0+
xx (n) lim
x→0+
(
1 +
1
x
)x
Gabarito1. (a) y = −x + 2√2 d2ydx2 ∣∣t=π/4 = −√2 (b) y = √3x d2ydx2 ∣∣t=2π/3 = 0 (c) y = x + 14 d2ydx2 ∣∣t=1/4 = −2
(d) y = −2x − 1 d2y
dx2
∣
∣
t=3
= −13 (e) y = x − 4
√
2 d
2y
dx2
∣
∣
t=−1 =
1
2 (f) y = 2
d2y
dx2
∣
∣
t=π/2
= −12. (a) −2xy−y2x2+2xy (b) 6y−x2y2−6x (c) 1y(x+1)2 (d) 1−3x2−2xyx2+1 (e) y−1cos y−x (f) 2−2xyex2yx2ex2y−2
(g) − xy (h) −
(y
x
)
1
3 (i) xe
x
2
+1
y (j)
1
y+1 (k)
√
y√
y+1 (l) −
y
x+2y3. (a) 2x+12√x(x+1) (b) 12√t(t+1) 32 (c) √θ + 3θ ( 12(θ+3) + θ) (d) 3t2 + 6t + 2
(e) θ+5θ cos θ
(
1
θ+5 − 1θ + θ
)
(f) x
√
x2+1
(x+1)
2
3
(
1
x +
x
x2+1 −
2
3(x+1)
)
(g) (
√
t)t
(
ln t
2 +
1
2
)
(h) xlnx
(
lnx2
x
)4. (a) − 2x√1−x4 (b) √2√1−2t2 (c) 1|2s+1|√s2+s (d) − 2x(x2+1)√x4+2x2
(e) − 1
2
√
t(1+t)
(f) − et
|et|
√
(et)2−1
(g) 1
(tg−1x)(1+x2)
(h) − 1√
1−t25. (a) Máximo absoluto: −3 em x = 3; mínimo absoluto: −193 em x = −2.(b) Máximo absoluto: 0 em x = −4; mínimo absoluto: −5 em x = 1.(
) Máximo absoluto: 2 em x = 0; mínimo absoluto: 0 em x =−2.(d) Máximo absoluto: 1 em x = 0; mínimo absoluto: e−4 em −2.(e) Máximo absoluto: 16 em x = 8; mínimo absoluto: 0 em x = 0.(f) Máximo absoluto: 1 em θ = π2 ; mínimo absoluto: −1 em θ = −π2 .(g) Máximo absoluto: 1 em θ = 1; mínimo absoluto: −8 em θ = −32.(h) Máximo absoluto: 27 em θ = −27; mínimo absoluto: 0 em θ = 0.
66. (a) O valor mínimo é 1 em x = 2.(b) Valor máximo lo
al em (−√23 , 4 + 4√69 ) e mínimo lo
al em (√ 23 , 4 − 4√69 ).(
) Valor máximo lo
al em (−2, 17) e mínimo lo
al em (4/3, 41/27).(d) O valor mínimo é 2 em (0, π/2).(e) Não há valores extremos.(f) Existe um mínimo lo
al em (0, 1).(g) O valor mínimo é 0 em x = −1 e x = 1.(h) O valor mínimo é −1/e em (1/e,−1/e).7. (a) Pontos 
ríti
os: 0 e 1. Cres
ente em (−∞, 0) e (1,∞). De
res
ente em (0, 1). Máximolo
al em x = 0. Mínimo lo
al em x = 1.(b) Pontos 
ríti
os: −2 e 1. Cres
ente em (−2, 1) e (1,∞). De
res
ente em (−∞,−2). Nãohá máximo lo
al. Mínimo lo
al em x = −2.(
) Pontos 
ríti
o: x = 1. Cres
ente em (1,∞). De
res
ente em (−∞, 1]. Mínimo lo
al eabsoluto em x = 1.(d) Pontos 
ríti
os: x = −5, x = −1 e x = 7. Cres
ente em (−5,−1)U(7,∞). De
res
enteem (−∞,−5)U(−1, 7). Máximo lo
al em x = −1. Mínimo lo
al em x = −5 e x = 7.(e) Pontos 
ríti
os: −2 e 0. Cres
ente em (−∞, 2) e (0,∞). De
res
ente em (−2, 0). Máximolo
al em x = −2. Mínimo lo
al em x = 0.(f) Pontos 
ríti
os: 0 e 3. Cres
ente em (3,∞). De
res
ente em (0, 3). Nenhum máximolo
al. Mínimo lo
al em x = 3.(g) Ponto 
ríti
o: ln(12 )/3. Cres
ente em (ln(12 )/3,∞). De
res
ente em (−∞, ln(12)/3).Nenhum máximo lo
al. Mínimo lo
al em x = ln(12)/3.(h) Ponto 
ríti
o: e−1. Cres
ente em (e−1,∞). De
res
ente em (0, e−1). Nenhum máximolo
al. Mínimo lo
al em x = e−1.8. (a)(b)(
)(d)(e)(f)(g)
7(h)(i)(j)9. (a)(b)(
)(d)(e)(f)10. 16pol; 4pol × 4pol.11. 2418, 40cm2 .12. 80.000m213. 9 × 18pol14. Sendo r o raio do hemisfério, h é a altura do 
ilindro, e V é o volume, então
r =
(
3V
8π
)
1
3
, h =
(
3V
π
)
1
3
. (1)15. x = a2 e v = ka24 .16. (a)CM − M2.
(b)M = C/2.17. c2 + 50.18. 6719. (a) 14 (b) − 237 (c) 57 (d) 0 (e) − 16 (f) − 2 (g) 2
(h) 3 (i) − 12 (j) 0 (k) 1e (l) 1 (m) 1 (n) 1