Modelagem e Simulação de Processos

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2018
ModelageM e SiMulação 
de ProceSSoS
Prof. Diego Milnitz
Copyright © UNIASSELVI 2018
Elaboração:
Prof. Diego Milnitz
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
M659m
Milnitz, Diego
Modelagem e simulação de processos. / Diego Milnitz. – Indaial: 
UNIASSELVI, 2018.
 
182 p.; il.
 
 
ISBN 978-85-515-0240-2
1.Engenharia de materiais. – Brasil. 2.Simulação de Processos. – 
Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 620.11
III
aPreSentação
Caro acadêmico! Bem-vindo ao Livro de Estudos da disciplina de 
Modelagem e Simulação de Processos. Ele está dividido em três unidades: 
Unidade 1 – Conceitos de modelagem matemática para processos industriais; 
Unidade 2 – Modelos e métodos numéricos para a otimização dos processos 
industriais e recursos produtivos; e Unidade 3 – Simulação.
Na Unidade 1 são apresentados os principais modelos e técnicas 
relacionados aos processos estocásticos. Estudaremos a Teoria das Filas, 
que é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas através 
de análises matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das filas; o 
Método de Monte Carlo, que tem sido utilizado há bastante tempo como 
forma de obter aproximações numéricas de funções complexas em que não 
é viável, ou mesmo impossível, obter uma solução analítica ou, pelo menos, 
determinística; e por fim, as Cadeias de Markov, que é um caso particular 
de processo estocástico com estados discretos e com a propriedade de 
distribuição de probabilidade do próximo estado que depende apenas do 
estado atual e não na sequência de eventos que precederam.
Na Unidade 2 são apresentados os principais métodos relacionados 
aos processos determinísticos aplicados em processos industriais, como a 
Programação Linear, que é utilizada para otimizar (maximizar ou minimizar) 
uma função linear de variáveis, chamada de função objetivo, sujeita a 
uma série de equações (ou inequações) lineares, chamadas restrições; a 
programação linear geométrica, ou seja, a interpretação geométrica de 
problemas de programação linear, e um método para solução de programação 
linear por inspeção do gráfico. Este método somente é viável para problemas 
com duas variáveis e poucas restrições, entretanto, é útil para aprofundar a 
compreensão do que é um problema de programação linear e quais são suas 
soluções; por fim, é abordada a análise de redes, discutindo sobre a Teoria 
dos Grafos e PERT/COM.
Na Unidade 3 são apresentados os conceitos básicos sobre simulação. 
Após a abordagem dos principais conceitos, métodos e técnicas de modelagem 
matemática tanto para processos estocásticos como determinísticos, você 
aprenderá a realizar a simulação após o desenvolvimento dos modelos 
matemáticos. Para isso, será apresentada uma breve introdução sobre 
simulação na pesquisa operacional; os tipos de simulações que podem 
ser realizadas e, por fim, são apresentados alguns softwares utilizados na 
simulação, como Excel®, Matlab e Arena.
Bons estudos!
Prof. Diego Milnitz
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA
 PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS ......................................................................1
TÓPICO 1 - TEORIA DAS FILAS .....................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................3
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA........................................................................................4
3 MODELAGEM DAS FILAS.............................................................................................................7
3.1 MODELO DE FILA (M/M/1) .......................................................................................................10
3.2 MODELO DE FILA (M/M/S) .......................................................................................................10
4 APLICAÇÕES DE MODELOS DE FILAS.....................................................................................11
4.1 APLICAÇÃO DA MODELAGEM DAS FILAS EM PROCESSOS INDUSTRIAIS .............12
4.2 APLICAÇÃO DA MODELAGEM DAS FILAS EM TRANSPORTES ...................................14
RESUMO DO TÓPICO 1.....................................................................................................................17
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................18
TÓPICO 2 - MÉTODO DE MONTE CARLO ..................................................................................19
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................19
2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .............................................................................................................19
3 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS .................................................................................23
3.1 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PELO MÉTODO
 CONGRUENTE LINEAR (MCL) ................................................................................................25
3.2 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PELO MÉTODO CONGRUENTE
 LINEAR MULTIPLICATIVO (MCLM) ......................................................................................26
3.3 UTILIZAÇÃO DO EXCCEL PARA GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS ................27
4 MÉTODO MONTE CARLO ............................................................................................................29
4.1 SIMULAÇÃO POR MEIO DO MÉTODO DE MONTE CARLO ...........................................31
RESUMO DO TÓPICO 2.....................................................................................................................38
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................39
TÓPICO 3 - CADEIAS DE MARKOV ..............................................................................................41
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................41
2 DEFINIÇÕES SOBRE ASCADEIAS DE MARKOV ..................................................................42
2.1 CADEIAS ABSORVENTES DE MARKOV................................................................................46
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................49
RESUMO DO TÓPICO 3.....................................................................................................................59
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................60
UNIDADE 2 - MODELOS E MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A OTIMIZAÇÃO
 DOS PROCESSOS INDUSTRIAIS E RECURSOS PRODUTIVOS ................61
TÓPICO 1 - PROGRAMAÇÃO LINEAR .........................................................................................63
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................63
2 ASPECTOS GERAIS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA
 E PROGRAMAÇÃO LINEAR .........................................................................................................64
SuMário
VIII
2.1 DESENVOLVIMENTO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR ............................65
3 APLICAÇÕES PRÁTICAS ...............................................................................................................67
3.1 PROBLEMA DE TRANSPORTE .................................................................................................68
3.2 PROBLEMA DE COMPOSIÇÃO ................................................................................................70
3.3 PROBLEMA DE PRODUÇÃO ....................................................................................................72
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................78
RESUMO DO TÓPICO 1.....................................................................................................................84
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................85
TÓPICO 2 - PROGRAMAÇÃO LINEAR GEOMÉTRICA ...........................................................87
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................87
2 SOLUÇÃO GEOMÉTRICA PARA PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR ............87
3 APLICAÇÃO PRÁTICA DA SOLUÇÃO GEOMÉTRICA.........................................................91
3.1 PROBLEMA DE COMPOSIÇÃO ................................................................................................91
3.2 SOLUÇÃO GRÁFICA ..................................................................................................................93
3.2.1 Vetor Gradiente ...................................................................................................................96
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................99
RESUMO DO TÓPICO 2.....................................................................................................................102
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................103
TÓPICO 3 - ANÁLISE DE REDES.....................................................................................................105
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................105
2 DEFINIÇÕES SOBRE A TEORIA DOS GRAFOS ......................................................................106
2.1 PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE (PCV) ......................................................................109
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................113
RESUMO DO TÓPICO 3.....................................................................................................................117
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................118
UNIDADE 3 - SIMULAÇÃO ..............................................................................................................119
TÓPICO 1 - SIMULAÇÃO NA PESQUISA OPERACIONAL .....................................................121
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................121
2 SIMULAÇÃO .....................................................................................................................................121
2.1 VANTANGENS E DESVANTAGENS DO PROCESSO DE SIMULAÇÃO ..........................122
3 A MODELAGEM MATEMÁTICA NA SIMULAÇÃO ..............................................................124
3.1 ABORDAGEM TRADICIONAL .................................................................................................126
3.2 ABORDAGEM ATUAL ................................................................................................................127
4 ETAPAS DA SIMULAÇÃO .............................................................................................................128
5 ÁREAS DE APLICAÇÃO DA SIMULAÇÃO ..............................................................................133
5.1 SIMULAÇÃO DE PROJETO E OPERAÇÕES DE SISTEMAS
 ORGANIZADOS POR FILA ......................................................................................................134
5.2 SIMULAÇÃO NA GESTÃO DE SISTEMA DE ESTOQUE E
 DISTRIBUIÇÃO DE PRODUTOS ...............................................................................................135
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................138
RESUMO DO TÓPICO 1.....................................................................................................................143
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................144
TÓPICO 2 - TIPOS DE SIMULAÇÃO ..............................................................................................147
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................147
2 SIMULAÇÃO DISCRETA ................................................................................................................148
2.1 COMPONENTES DA SIMULAÇÃO DE EVENTOS DISCRETOS .......................................151
2.2 SIMULAÇÃO ORIENTADA POR EVENTO ............................................................................152
IX
2.3 SIMULAÇÃO ORIENTADA POR PROCESSO ........................................................................154
RESUMO DO TÓPICO 2.....................................................................................................................155
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................156
TÓPICO 3 - SOFTWARES DE SIMULAÇÃO .................................................................................159
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................159
2 LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO PARA SIMULAÇÃO ....................................................159
3 SOFTWARES EMPREGADOS NA SIMULAÇÃO .....................................................................163
3.1 PROMODEL ..................................................................................................................................1633.2 AUTOMOD ....................................................................................................................................164
3.3 SIMFACTORY II.5 .........................................................................................................................165
3.4 TAYLOR II (FLEXSIM) .................................................................................................................166
3.5 WITNESS ........................................................................................................................................167
3.6 ARENA ...........................................................................................................................................169
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................171
RESUMO DO TÓPICO 3.....................................................................................................................176
AUTOATIVIDADE ..............................................................................................................................177
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................179
https://en.wikipedia.org/wiki/Flexsim
X
1
UNIDADE 1
CONCEITOS DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA PARA 
PROCESSOS INDUSTRIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender o estudo da Teoria das Filas e conhecer as aplicações desta 
análise junto ao embasamento teórico do tema, como a estrutura básica de 
uma fila e seus principais elementos;
• identificar os principais modelos baseados em Teoria das Filas, que são 
MM/1 e M/M/S, e suas características;
• entender que o Método de Monte Carlo é uma poderosa ferramenta de 
simulação, que considera a presença de dados de entrada caracterizados 
por distribuições de probabilidade;
• perceber que os geradores de números aleatórios são importantes ferramen-
tas utilizadas na simulação, sendo que sua aplicação vai desde a criação de 
jogos até a criação e desenvolvimento de algoritmos de criptografia;
• entender que as Cadeias de Markov são uma derivação específica do “Pro-
cesso de Markov”.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – TEORIA DAS FILAS
TÓPICO 2 – MÉTODO DE MONTE CARLO
TÓPICO 3 – CADEIAS DE MARKOV
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
TEORIA DAS FILAS
1 INTRODUÇÃO
As filas são um evento do cotidiano de qualquer sistema, seja para uma 
pessoa, processo de manufatura ou prestação de algum tipo de serviço, por 
exemplo, é comum para uma pessoa enfrentar filas no atendimento bancário, na 
compra de ingressos para assistir ao jogo do seu time favorito, quando é atendido 
no supermercado etc. Outras formas de filas temos quando um produto fica 
aguardando para ser processado no centro de trabalho ou quando um arquivo 
aguarda para ser impresso na impressora, ou, ainda, de uma forma mais abstrata, 
como no caso de um dado ou arquivo esperando para ser processado pelo servidor 
de computador. 
De maneira geral, a formação de filas parece inevitável e comum para 
qualquer tipo de sistema, contudo, o problema das filas não se limita somente aos 
aborrecimentos e esperas que um indivíduo ou objetivo são submetidos. O tempo 
aguardado nas filas está relacionado com a própria ineficiência do atendimento 
ou processo que, por conseguinte, pode gerar prejuízos enormes.
Segundo Hillier e Lieberman (2013), Agner Kendall Erlang é considerado 
o precursor dos estudos sobre filas, tendo realizado modelos matemáticos 
para tentar resolver problemas da empresa telefônica onde trabalhava em 
Copenhagen, na Dinamarca. No ano de 1908, a empresa enfrentava dificuldades 
com questões de espera de chamadas telefônicas e Erlang criou modelos para 
estudar as filas geradas pelas ligações, com o intuito de redimensionar as ligações 
para outras centrais telefônicas. Entretanto, foi somente a partir de 1939 que esta 
teoria realmente começou a ser estudada e melhorada, sendo empregada nos 
processos industriais e principalmente na prestação de serviços, em específico, 
para atendimentos.
Apesar dos avanços em relação aos estudos sobre a teoria das filas, há 
certas situações de filas que são muito complexas de serem representadas pelos 
modelos matemáticos de filas que atualmente se têm conhecimento. Neste sentido, 
a teoria das filas ainda é um tema a ser explorado pela comunidade científica e 
por profissionais da área, possibilitando que sejam estudadas melhores formas de 
aplicação e adequação às situações vigentes.
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
4
Para Hillier e Lieberman (2013), o tempo que as pessoas de uma determinada 
região perdem em filas é um importante indicador tanto para qualidade de vida 
como para a eficiência econômica desta região. Os autores citam a situação da 
antiga União Soviética, em que era comum para a população enfrentar filas 
enormes para comprar produtos de necessidades básicas. Igualmente, Hillier e 
Lieberman (2013) comentam que nos Estados Unidos da América os americanos 
perdem bilhões de horas por ano, esperando em filas. Do contrário, se esse tempo 
fosse convertido em tempos produtivos, resultaria em milhões de pessoas por 
ano de trabalhado realizado. 
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
Para modelagem das filas, alguns termos e conceitos precisam ser 
elucidados, dentre eles estão: 
a) tamanho da população; 
b) processo de chegada; 
c) processo de atendimento; 
d) quantidade de atendentes; 
e) organização da fila; 
f) tamanho médio da fila; 
g) tamanho máximo da fila; 
h) tempo médio de espera na fila.
a) Tamanho da População
O tamanho da população está relacionado com a quantidade de usuários, 
neste caso os usuários são denominados de clientes que precisam ser atendidos, 
para isso, serão organizados numa fila para possibilitar este atendimento. 
Para Hillier e Lieberman (2013), se a população de clientes a ser atendida 
for muito grande, ela pode ser considerada infinita. Do mesmo modo, caso 
a chegada de novos clientes à fila não afetar a chegada de outros clientes que, 
eventualmente, possam compor a fila, o processo de chegada dos clientes é 
considerado independente. De outra forma, quando o tamanho da população de 
clientes é pequeno, a chegada de novos clientes pode afetar a chegada de outros 
e alterar a dinâmica da fila. 
b) Processo de Chegada
O processo de chegada indica qual é o padrão de chegada dos clientes no 
sistema. Este processo de chegada de clientes à fila pode acontecer de maneira 
constante, isto é, a taxa de chegada de clientes na fila por unidade de tempo é 
sempre a mesma. Deste modo, o modelo é denominado de determinístico. Por 
TÓPICO 1 | TEORIA DAS FILAS
5
outro lado, quando o processo de chegadas de clientes à fila não respeita um 
tempo determinado, ou seja, chegam clientes na fila em uma taxa por unidade de 
tempo diferentes, esta variável, logo, é aleatória. Portanto, o modelo é denominado 
de estocástico. Nesta última situação, quando o tempo de chegada dos clientes 
é aleatório, o modelo segue uma distribuição de probabilidade, permitindo a 
realização da modelagem do processo.
O comportamento estatístico dos clientes, para terem acesso ao sistema 
de filas, pode ser descrito por uma distribuição de probabilidades empírica que 
pode ser representada por um modelo analítico (MORAES; SILVA; REZENDE, 
2011). Geralmente o modelo utilizado, neste caso, é a distribuição de Poisson, 
que permite representar a forma como os clientes são gerados pela fonte. Para 
demonstrar esse comportamento é necessário ter somente a taxa média de 
chegadas. Para isso, a taxa de chegadas de cliente por unidade de tempo à fila é 
representada por “λ”, conforme pode-se verificar a seguir:λ = Taxa média de chegadas de clientes na fila
Além da taxa média de chegadas de clientes na fila, outro fator importante 
no processo de chegadas é o IC (intervalo de chegadas), que retrata a taxa de 
chegada entre um cliente e outro em um sistema de filas.
c) Processo de Atendimento
O processo de atendimento, também chamado de modelo de serviço, 
tem como principal fator medido, o tempo de serviço, ou de atendimento, que 
é o tempo em que o atendente utiliza para realizar o atendimento necessário ao 
cliente e é representado pelo símbolo “μ”, conforme pode-se verificar a seguir:
μ = Taxa média de atendimentos por unidade de tempo
Igualmente como acontece no processo de chegada, o atendimento pode 
ser determinístico (constante) ou estocástico (aleatório). No caso do processo de 
atendimento aleatório, a distribuição que representa os tempos de atendimento 
é a distribuição exponencial negativa. Essa distribuição é fundamental para os 
estudos sobre filas, pois ela geralmente é usada para representar tempos de 
atendimento através de uma distribuição contínua.
d) Quantidade de Atendentes
A quantidade de atendentes nada mais é do que o número de servidores 
e estão em uma fila para realizar o atendimento aos usuários do sistema. Neste 
sentido, em um sistema pode-se deparar com um ou mais atendentes que estão 
ou não disponíveis para o atendimento aos usuários na fila.
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
6
e) Organização da Fila
A organização da fila é o resultado do modo como o processo de atendimento 
ao cliente é realizada, geralmente também pode ser denominada de disciplina 
de atendimento, por exemplo, a organização mais comum é quando o primeiro 
cliente que chega ao sistema é o primeiro que é atendido e, consequentemente, é 
o primeiro que sai desse sistema. Essa organização denomina-se, em inglês, FIFO 
(First In, First Out), que significa “o primeiro que chega é o primeiro que sai”.
Existe também a organização de fila, que é muito empregada em centros 
de distribuição (CD) e armazéns, em que o último cliente a chegar, neste caso, o 
último produto, é o primeiro a ser atendido. A essa organização dá-se o nome de 
LIFO (Last In, First Out), que significa “o último a chegar é o primeiro a sair”. 
Também existem tipos de organização de fila por prioridades. Os casos 
mais utilizados são quando os clientes possuem uma prioridade para serem 
atendidos em relação a outro cliente que está sendo atendido no momento, 
neste caso, o atendimento ao cliente com menor prioridade é interrompido para 
que seja dado o atendimento prioritário o outro cliente. Depois, o atendimento 
interrompido pode continuar do ponto em que foi interrompido ou mesmo ter 
seu atendimento reiniciado. 
Outra forma de organização da fila a partir da prioridade é quando o 
cliente, que possui a prioridade, de acordo com a regra, é colocado em primeiro 
lugar na fila de atendimento, mesmo que o atendimento que esteja sendo realizado 
seja para o cliente com menor prioridade, entretanto, ele não é interrompido, 
como no caso anterior. Um exemplo de aplicação dessa forma de organização 
pode ser observado no atendimento de caixas de bancos, onde pessoas idosas, 
pessoas com deficiência e gestantes possuem prioridade para serem atendidas 
quando solicitam atendimento. 
f) Tamanho Médio da Fila
O tamanho médio da fila é a quantidade média de clientes em uma fila 
por uma unidade de tempo. Uma fila nem sempre possui a mesma quantidade 
de clientes, logo, se for realizada uma medida do número de clientes ou usuários 
presentes em uma fila, em um determinado período de tempo, é possível obter o 
tamanho médio da fila.
g) Tamanho Máximo da Fila
Geralmente o tamanho máximo de uma fila funciona como limitador do 
tamanho da fila, neste caso é quando ela está muito grande, a ponto de se evitar 
novos clientes, sendo que eles são desviados para outros atendentes. Isso pode 
ser observado, por exemplo, quando ocorre a redução do preço de combustível 
TÓPICO 1 | TEORIA DAS FILAS
7
em um dia determinado, gerando grandes filas formadas por motoristas que 
desejam abastecer seus automóveis e aproveitar a promoção. Neste caso, se a fila 
de um determinado posto estiver muito grande, o motorista vai verificar se outro 
posto está com uma fila menor, para tentar ser atendido mais rapidamente. 
h) Tempo Médio de Espera na Fila
O tempo médio de espera na fila depende inicialmente do tipo de 
organização da fila. Portanto, se um cliente chega em um fila com oito usuários 
a sua frente, o tempo médio de espera na fila será o tempo total gasto para que 
todos os clientes sejam atendidos dividido pelo número de clientes atendidos no 
sistema. Nesse caso, se o tempo total de atendimento for de 16 minutos, o tempo 
médio de espera na fila será de 2 minutos.
3 MODELAGEM DAS FILAS
Segundo Hillier e Lieberman (2013), a estrutura básica de um modelo de 
filas se baseia em usuários que precisam ser atendidos e chegam ao longo do 
tempo por uma fonte de entradas. Esses usuários entram no sistema de filas e são 
alocados para a fila. Em algum momento, um usuário na fila é selecionado para 
atendimento segundo uma regra de organização da fila. O atendimento é então 
realizado pelo mecanismo de atendimento e, após isso, o usuário deixa o sistema 
de filas. Essa dinâmica é representada na Figura 1:
FIGURA 1 – ESTRUTURA ELEMENTAR PARA MODELAGEM DE FILAS
FONTE: Adaptado de Hillier e Lieberman (2013)
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
8
Veremos mais adiante, neste tópico, as derivações desta estrutura básica de 
modelo de filas em que podemos variar o número de filas e o número de servidores, 
também chamados de canais por alguns autores.
ESTUDOS FU
TUROS
O comportamento do sistema de filas ocorre conforme apresentado na 
Figura 1. Os clientes surgem de uma população e se encaminham para uma fila 
para serem atendidos. Estes são organizados na fila segundo uma regra definida, 
aguardam pelo atendimento de algum serviço específico, por exemplo, quando 
uma pessoa aguarda para comprar seu ingresso na fila do cinema. Na sequência, 
os clientes recebem o atendimento dos atendentes, ou também chamados de 
servidores, e após o atendimento saem do sistema de filas. Com relação ao 
atendente, ele pode ser um vendedor de uma loja específica, um guarda de 
portaria de um prédio etc.
Ainda que a Figura 1 apresente a estrutura básica para um sistema de filas, 
seus elementos, regras de operação e o comportamento das variáveis aleatórias 
podem apresentar variações e outras combinações, por exemplo, alguns sistemas 
podem apresentar-se com mais de um atendente para atender a uma determinada 
fila, ou ainda, em outros sistemas, um único atendente pode ser responsável por 
mais de uma fila. Além da quantidade de filas de servidores, ainda pode-se ter 
regras de organização das filas para o atendimento, por exemplo, as filas tipo 
FIFO – First In, First Out –, isto é, o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido.
A Figura 2 apresenta um sistema de filas com uma estrutura de fila única 
com mais de um atendente. Neste caso, é possível reduzir consideravelmente o 
tempo médio de permanência na fila com o aumento de atendentes para realizar 
o atendimento. Geralmente esse sistema funciona em supermercados por meio do 
sistema de caixa rápido, em que uma única fila é atendida por vários atendentes. 
TÓPICO 1 | TEORIA DAS FILAS
9
FIGURA 2 – SISTEMA DE FILAS COM UMA ÚNICA FILA E VÁRIOS ATENDENTES
FONTE: Adaptado de Kawano e Kawano (2014)
Outra possibilidade de estrutura de um sistema de filas pode ser por meio 
de várias filas para vários atendentes. Neste caso, para ser atendido o cliente 
escolhe a fila, geralmente ele leva em consideração a quantidade de clientes 
que estão na fila para definir em qual vai se posicionar, entretanto, na maioria 
das vezes, somente a quantidade de pessoas na fila não é o único parâmetro 
que deve ser considerado, por exemplo, seconsiderar que o atendimento leva 
sempre o mesmo tempo, como no caso de um pedágio rodoviário, se existir duas 
filas para escolher, uma com seis carros de passeio e outra com três caminhões, 
considerando que a velocidade de saída é igual para todos os veículos, qual fila 
seria a escolhida? Bom, geralmente a fila escolhida é a dos seis carros, e o motivo é 
simples: o comprimento desta fila é consideravelmente menor que a fila ocupada 
pelos três caminhões, entretanto, diante das restrições do sistema, se o próximo 
cliente que chegar ao sistema escolher a fila dos seis carros, este esperará mais 
tempo do que se estivesse escolhido a fila com três caminhões.
Entrada Saída
Clientes
Sistema de Filas
Fila 2 
Atendente 1 Cliente A 
Atendente 2 Cliente B 
Atendente 3 Cliente C 
Fila 1
Fila 3
FIGURA 3 – SISTEMA DE FILAS COM VÁRIAS FILAS E VÁRIOS ATENDENTES
FONTE: Adaptado de Kawano e Kawano (2014)
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
10
3.1 MODELO DE FILA (M/M/1)
O modelo de filas mais empregado no estudo da teoria das filas é o M/M/1, 
que representa um sistema com fila de um único atendente, em que se considera 
que os tempos entre as chegadas de clientes e os tempos de atendimentos 
obedecem à distribuição exponencial. Nesse modelo também não há limitações 
no tamanho da fila em relação ao atendente, e a organização da fila é do tipo FIFO 
(o primeiro que chega é o primeiro a ser atendido).
Para o modelo M/M/1 tem-se algumas fórmulas que seguem as 
delimitações, conforme definidas no parágrafo anterior, e que conduzem o 
comportamento deste modelo. As variáveis presentes nas fórmulas são “λ”, 
que representa a taxa média de chegadas de clientes na fila; “μ”, que representa 
a taxa média de atendimentos por unidade de tempo; e “ρ”, que representa a 
probabilidade de que o sistema esteja ocupado. Elas são apresentadas a seguir:
Descrição Fórmula
Probabilidade que o sistema esteja ocupado
Probabilidade que "n " clientes encontrem-se no 
Sistema
Probabilidade que o sistema esteja desocupado
Número médio de clientes no sistema de atendimento
Número médio de clientes na fila de espera
Tempo médio gasto no sistema pelo cliente
Tempo médio de espera na fila por cliente
𝑳 = 
𝝀
𝝁− 𝝀
FIGURA 4 – FÓRMULAS DO MODELO M/M/1
FONTE: Pinto (2011, p. 15)
3.2 MODELO DE FILA (M/M/S)
Também é um modelo baseado num processo de vida e morte que difere 
do anterior apenas no número de atendentes disponíveis “S”. Tem-se assim um 
modelo em que o número de servidores é S, o sistema tem uma distribuição das 
chegadas de Poisson e dos tempos de atendimento exponencial, a capacidade do 
TÓPICO 1 | TEORIA DAS FILAS
11
Descrição Fórmula
Probabilidade que o sistema esteja ocupado
Probabilidade que "n " clientes encontrem-se no 
Sistema
Probabilidade que o sistema esteja desocupado
Número médio de clientes no sistema de atendimento
Número médio de clientes na fila de espera
Tempo médio gasto no sistema pelo cliente
Tempo médio de espera na fila por cliente
sistema e da população são infinitas e a organização da fila é tipo FIFO, quem 
entra primeiro no sistema será o primeiro a ser atendido. As fórmulas para o 
modelo M/M/S são apresentadas a seguir:
FIGURA 5 – FÓRMULAS DO MODELO M/M/S
FONTE: Pinto (2011, p. 16)
4 APLICAÇÕES DE MODELOS DE FILAS
O estudo das filas é um assunto que abrange vários setores. Muitas vezes, 
elas são consideradas como a ineficiência de um sistema de atendimento. Contudo, 
para uma organização que deseja reduzir a zero suas filas, por exemplo, terá que 
envolver e gastar uma quantidade muito alta de recursos, que pode tornar a 
atividade insustentável do ponto de vista financeiro.
Logo, os estudos efetivados nessa área têm como objetivo descobrir 
um ponto ótimo, em que uma organização consiga atender a seus clientes de 
forma adequada, sem que precise consumir recursos que impossibilitem seu 
funcionamento.
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
12
No decorrer das atividades cotidianas existem muitas ineficiências 
que ocorrem por diversos tipos de espera, por exemplo, deixar equipamentos 
esperando para serem consertados pode resultar em perdas produtivas. Caminhões 
que precisam aguardar para serem descarregados podem atrasar carregamentos 
posteriores. Aviões esperando para decolar ou pousar podem afetar horários de 
voos seguintes. Ordens de produção esperando para serem processadas pode afetar 
a produção aumentado os leads times produtivos (HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Diante do contexto, fica claro que a teoria das filas pode ser aplicada 
em diversas áreas e situações, como: a) processos industriais; b) atendimento 
comercial; c) transporte; d) serviço social; entre outros.
4.1 APLICAÇÃO DA MODELAGEM DAS FILAS EM 
PROCESSOS INDUSTRIAIS 
Os processos industriais apresentam o maior número de aplicações da 
teoria das filas. Pode-se empregar esta teoria tanto para um processo de produção 
da área metalmecânica como para a indústria que manufatura produtos 
alimentícios. 
Além disso, a teoria das filas pode ajudar um gerente a definir o layout de 
uma fábrica nova, de forma que ela opere com a menor taxa de espera nas linhas 
de produção. Isso poderia otimizar os recursos alocados para o projeto afim de 
torná-lo mais assertivo e viável economicamente.
Outro exemplo poderia ser a simulação por meio da modelagem das filas 
para melhorar o processo produtivo da empresa. Nesse caso, poderia ser uma 
simulação que visa à troca de algumas máquinas que atualmente não apresentam 
a eficiência esperada devido à defasagem tecnológica do equipamento, simulando 
os produtos produzidos do sistema atual e como a empresa ficaria após as 
modificações.
• Exemplo 1
O número médio de peças que chegam a um posto de trabalho é igual a 
10 peças/hora. Assumir que o tempo médio de processamento (atendimento) por 
peça seja de 4 minutos, e ambas as distribuições de intervalos entre chegadas e 
tempo de serviço sejam exponenciais, responder às seguintes questões: 
a) Qual a probabilidade do posto de trabalho estar livre? 
b) Qual o número médio de peças esperando na fila? 
c) Qual o tempo médio que uma peça gasta no sistema (tempo na fila mais o 
tempo de atendimento)? 
d) Quantas peças serão processadas em média por hora?
TÓPICO 1 | TEORIA DAS FILAS
13
Resolução:
Dados do Problema: 
Chegada: λ = 10 peças/hora. 
Atendimento: em média, 1 peça a cada 4 minutos, ou seja, 15 peças/hora 
(60/4). Sendo assim, μ = 15 peças/hora.
Obs.: para resolver este problema utilizaremos o modelo M/M/1.
a) Para saber a probabilidade do posto de trabalho estar livre, deve-se calcular a 
probabilidade que n clientes encontram-se no sistema, nesse sentido, n=0.
( ) 01 *nP ρ ρ= −
Em que,
ρ
µ
=
ë
Então,
0
0 1 *P
λ λ
µ µ
 
= − 
 
Logo,
0
0
10 101 *
15 15
P  = − 
 
( )0 1 0,6667 *1 0,3333P = − =
Resposta: A probabilidade do posto de trabalho estar livre é de 
aproximadamente 33%.
b) Para resolver essa questão é preciso calcular o número médio de clientes na fila 
de espera.
( )
2
*q
L λ
µ µ λ
=
−
Logo,
( )
210 1,33 
15* 15 10q
L peças= =
−
Resposta: O número médio de peças aguardando para serem processadas é 
de 1,33 peças. Nesse caso, é adequado considerar que é possível encontrar, em 
média, 2 peças na fila.
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
14
c) Para resolver essa questão é preciso calcular o tempo médio gasto no sistema 
pelo cliente.
1W
µ λ
=
−
Logo,
1 0,2 1 2 
15 10
W horas ou minutos= =
−
Resposta: O tempo médio que uma peça fica no sistema é de 12 minutos, isto é, o 
tempo na fila mais o tempo de processamento.
d) Se a ocupação média do posto de trabalho fosse 100%, então o número médio 
de peças processadas por hora seria de 15 peças, Entretanto, a ocupação média 
será (1 - P(0)), ou seja, igual a 2/3, portanto, 15 * 2/3 = 10 peças por hora.
4.2 APLICAÇÃO DA MODELAGEM DAS FILAS EM 
TRANSPORTES
A utilização damodelagem das filas em sistema de transporte é realizada 
de forma muito acentuada, por exemplo, no trânsito, um pedestre pode ser 
considerado um cliente e um semáforo da faixa de pedestre, o atendente. Deste 
modo, pode-se modelar o sistema para que o semáforo seja regulado de forma 
a permitir que o fluxo de pedestres seja realizado de forma correta, evitando 
excessivas esperas para atravessar uma avenida.
No transporte ferroviário, pode-se analisar, por meio da modelagem 
de filas, os pontos mais adequados para que sejam colocados desvios nas vias 
férreas, ou mesmo a quantidade de estações e tempos de parada de cada trem 
nessas estações. O cálculo de tempo de espera, localização e atendimento pode 
ser realizado por meio da modelagem de filas.
Além dos modelos voltados para otimizar os modais de transporte, pode-
se também utilizar a modelagem das filas para situações comuns do cotidiano, 
por exemplo, quando alguém está esperando pelo elevador. Pode-se considerar 
as pessoas como sendo os clientes e o elevador como sendo o atendente. Nesse 
sentido, pode-se verificar qual é o percurso que o elevador deve executar, com 
o objetivo de atender às demandas (pessoas que chamam o elevador) no menor 
tempo possível, fazendo com que cada pessoa fique esperando o menor tempo.
• Exemplo 2
Supondo-se que a chegada de um navio ao berço portuário siga a 
distribuição de Poisson, com uma taxa de 6 navios por dia, e que a duração 
TÓPICO 1 | TEORIA DAS FILAS
15
média de atendimento dos navios seja de 3 horas, seguindo-se a distribuição 
exponencial, responder às seguintes questões: 
a) Qual é a probabilidade de um navio chegar ao porto e não esperar para atracar?
b) Qual é a quantidade média de navios na fila do porto?
c) Qual é a quantidade média de navios no sistema portuário?
d) Qual é a quantidade média de navios utilizando o porto?
Resolução:
Dados do Problema:
Chegada: λ = 6 navios/dia.
Atendimento: em média, 1 navio a cada 3 horas, ou seja, 8 navios/dia 
(24/3). Sendo assim, μ - 8 navios/dia.
Obs.: para resolver este problema utilizaremos o modelo M/M/1.
a) Para saber a probabilidade de um navio chegar ao porto e não esperar para 
atracar, deve-se calcular a probabilidade que n clientes encontram-se no 
sistema, nesse sentido, n=0.
( ) 01 *nP ρ ρ= −
Em que,
ρ
µ
=
ë
Então,
0
0 1 *P
λ λ
µ µ
 
= − 
 
Logo,
0
0
6 61 *
8 8
P  = − 
 
( )0 1 0,75 *1 0,25P = − =
Resposta: A probabilidade de um navio chegar ao porto e não esperar para atracar 
é de aproximadamente 25%.
b) Para resolver essa questão é preciso calcular o número médio de clientes na fila 
de espera.
( )
2
*q
L λ
µ µ λ
=
−
Logo,
( )
26 2, 25 
8* 8 6q
L navios= =
−
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
16
Resposta: A quantidade média de navios na fila do porto é de 2,25 navios. 
c) Para resolver essa questão é preciso calcular o número médio de clientes no 
sistema de atendimento:
L λ
µ λ
=
−
Logo,
6 3 
8 6
L navios= =
−
Resposta: A quantidade média de navios no sistema portuário é de 3 navios.
d) Navios no porto = Lq – L, logo, a quantidade de navios utilizando o porto é = 
3 – 2,25 = 0,75 navios.
17
Neste tópico, você aprendeu que:
• Para compreender o estudo de teoria das filas foi necessário conhecer as 
aplicações desta análise, junto ao embasamento teórico do tema, como a 
estrutura básica de uma fila e seus principais elementos.
• As características de uma fila são: tamanho da população, processo de chegada, 
processo de atendimento, número de atendentes, organização de uma fila.
• Os principais modelos baseados em teoria das filas são MM/1 e M/M/S, 
conforme os detalhes e as fórmulas de cada modelo.
RESUMO DO TÓPICO 1
18
Questão única – Com base no Exemplo 2 do seu livro de estudos, responda à 
questão a seguir:
Qual deve ser a taxa de chegada de um navio para que o tempo médio na fila 
seja de 3 horas?
Dados do problema:
Chegada: λ = 6 navios/dia.
Atendimento: em média, 1 navio a cada 3 horas, ou seja, 8 navios/dia (24/3). 
Sendo assim, μ - 8 navios/dia.
AUTOATIVIDADE
19
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE CARLO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O Método de Monte Carlo (MMC) pode ser definido como uma técnica para 
representar a solução de um problema como um parâmetro de uma população 
hipotética, e que usa uma sequência aleatória de números para estabelecer uma 
amostra da população da qual estimativas estatísticas do parâmetro em estudo 
possam ser realizadas.
Os precursores na aplicação do Método de Monte Carlo foram Jon Von 
Neuman e Stanislaw Ulam, no ano de 1947. Esses autores sugeriram a utilização 
do MMC para simulação computacional em uma etapa do projeto Manhattan, 
na Segunda Guerra Mundial. No projeto de construção da bomba atômica, 
Ulam e Neumann admitiram a possibilidade de aplicar o método, que abrangia 
a simulação direta de problemas de natureza probabilística associados com o 
coeficiente de difusão do nêutron de alguns tipos específicos de materiais.
O nome do método tem relação com o uso da aleatoriedade e da natureza 
repetitiva das atividades realizadas em cassinos em Monte Carlo, Mônaco. O MMC 
tem sido empregado desde a Segunda Guerra Mundial como forma de alcançar 
aproximações numéricas de funções complexas. Essas técnicas normalmente 
estão relacionadas com a construção e observação de alguma distribuição de 
probabilidades e o uso da amostra obtida para aproximar a função de interesse 
do estudo. O MMC é também denominado como simulação estocástica e é um 
método relativamente simples e fácil de implementar.
Entretanto, é necessário um conhecimento prévio sobre variáveis 
aleatórias, principalmente variáveis aleatórias discretas, além disso, como a 
aplicação do Método de Monte Carlo necessita da geração de números aleatórios, 
o conhecimento sobre este assunto também se faz necessário.
2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Uma variável aleatória pode ser compreendida como uma variável 
quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Geralmente na 
engenharia, as variáveis aleatórias estão associadas à realização de experimentos. 
Uma grande parcela de experimentos, sejam eles realizados em instituições de 
pesquisa ou mesmo por empresas de diversos setores industriais, proporcionam 
resultados numéricos, que permitem posteriormente a tomada de decisões a 
partir das simulações realizadas, por exemplo, o número de um determinado 
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
20
item que deve ser mantido no estoque de um supermercado para atender a uma 
demanda dos clientes.
Além de experimentos que geram resultados quantitativos, existem 
experimentos que geram resultados quantitativos, por exemplo, quando se 
tenta determinar se uma moeda lançada para o alto será cara ou coroa quando 
atingir o chão.
No caso de experimentos puramente qualitativos, como no exemplo da 
determinação sobre cara ou coroa, pode-se empregar um artifício para contornar esse 
problema. No caso do exemplo apresentado, pode-se relacionar o resultado esperado 
com um valor numérico e a partir dessa relação realizar as análises estatísticas 
necessárias. Uma forma seria transpor, conforme o quadro a seguir, em que cara é 
associada ao valor numérico “1” e coroa é associada ao valor numérico “0”:
QUADRO 1 – TRANSPOSIÇÃO DE VALORES QUALITATIVOS PARA QUANTITATIVOS
Evento X
Cara X (cara) = 1
Coroa X (coroa) = 0
FONTE: O autor
Os estudos baseados em experimentos aleatórios são considerados, de 
modo geral, de não determinísticos, dessa forma não se pode saber dos resultados 
com antecedência, por exemplo, com o lançamento de um dado para o alto, 
sua queda é previsível devido ao efeito da gravidade (este é um experimento 
determinístico). Entretanto, não é possível saber qual é a face do dado que vai 
ficar virada para cima quando ele estiver no chão, neste caso, trata-se de um 
experimento aleatório. 
Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) 
depende de fatoresaleatórios. Um exemplo de uma variável aleatória é o resultado do 
lançamento de um dado que pode dar qualquer número entre 1 e 6. Embora possamos 
conhecer os seus possíveis resultados, o resultado em si depende de fatores de sorte (álea).
IMPORTANT
E
A variável aleatória se denomina desta forma porque o termo variável 
está relacionado ao fato de que é possível conseguir valores numéricos distintos 
e aleatórios, pois os valores observados em um experimento aleatório dependem 
fundamentalmente dos resultados possíveis do próprio experimento.
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
21
Alguns exemplos de variáveis aleatórias encontradas no cotidiano são, 
conforme apresentam Barbetta, Reis e Bornia (2004):
• Número de caras obtidas ao lançar para o alto duas moedas. 
• Número de produtos defeituosos retirados de forma aleatória de um centro de 
produção. 
• Quantidade de pessoas que acessam um site em um determinado período de 
tempo. 
• Volume de água perdido por dia em um sistema de abastecimento de água em 
um bairro. 
• Resistência ao desgaste de um certo tipo de aço em um determinado teste.
• Número de acidentes em uma rodovia num determinado período de tempo.
• Tempo de resposta de um sistema computacional. 
• Grau de empenamento de uma tábua de madeira que sai de uma serraria.
As variáveis aleatórias na maioria das vezes são representadas pelas 
letras maiúsculas, como X, Y, Z, sendo as letras minúsculas a representação 
dos valores a elas associadas (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004), por exemplo, 
uma determinada variável aleatória X(S) = x, sendo o valor de “x” pertencente 
ao espaço amostral “S”. O espaço amostral é a região que abrange todos os 
resultados possíveis de um determinado experimento, que neste caso, se trata 
dos experimentos aleatórios.
Portanto, para um dado espaço amostral S de um determinado experimento, 
uma variável aleatória é qualquer regra que associe um determinado valor a cada 
resultado de S, isto é, uma variável aleatória é uma função cujo domínio é espaço 
amostral e o contradomínio é um conjunto de números reais (DEVORE, 2006). A 
Figura 6 apresenta um esquema que representa essa definição:
FIGURA 6 – ESPAÇO AMOSTRAL E VALORES ATRIBUÍDOS (VARIÁVEIS ALEATÓRIAS)
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
22
Para facilitar o entendimento sobre o conceito apresentado sobre variável 
aleatória, imagine um caso prático a partir de uma determinada situação quando 
uma pessoa em um sistema de atendimento ao consumidor realiza uma ligação 
para a central e pode se deparar com duas situações: a primeira é quando a 
pessoa consegue uma linha disponível para falar com um atendente, já a outra 
situação é quando esta não consegue a linha disponível no momento que solicita 
o atendimento.
Para transformar esse vento qualitativo em quantitativo, e por conseguinte 
em variável aleatória, pode-se determinar a notação (N) quando a linha não está 
disponível e (S) quando a linha está disponível. Neste sentido, o espaço amostral 
para os eventos possíveis pode ser representado por: S = {N, S}. Além disso, 
quando a ligação não está disponível pode-se atribuir o valor de 0 e quando está 
disponível atribuir o valor 1. Portanto:
X(N) = 0 – Situação em que a linha não está disponível
X(S) = 1 – Situação em que a linha está disponível
Assim, por meio dessa representação pode-se executar experimentos 
aleatórios, transformando situações qualitativas em valores quantitativos e 
representáveis do evento a ser simulado.
Além da definição sobre a variável aleatória, existe a possibilidade de 
classificá-la como sendo uma variável aleatória discreta ou contínua. Na Figura 7 
é apresentado um esquema que representa os dois tipos de variáveis aleatórias:
FIGURA 7 – ESQUEMA REPRESENTATIVO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E DISCRETAS
FONTE: Adaptado de Barbetta, Reis e Bornia (2004)
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
23
Conforme apresentado na figura, as variáveis aleatórias contínuas 
são valores que assumem características de valores contínuos como tempo, 
distância, peso etc., sendo que a eles não são atribuídos valores e distribuições de 
probabilidade. Estas variáveis geralmente são associadas à Física, sendo que as 
variáveis aleatórias discretas são comumente mais utilizadas em experimentação 
na área de simulação computacional. 
O termo “aleatório”, conforme já apresentado, indica que os valores a 
serem obtidos de um experimento, por exemplo, estão sujeitos a uma distribuição 
de probabilidade, pelo fato de não ser possível prever os valores a serem obtidos 
do experimento. De tal modo, para cada valor “x” a ser obtido tem-se um valor de 
probabilidade de ocorrência que pode ser representado da seguinte forma:
P(X=x)
Em que:
P = probabilidade de obtenção do valor;
X = evento; 
x = valor atribuído ao evento.
Além disso, outro fator a ser respeitado em se tratando de variáveis 
aleatórias discretas é que as probabilidades devem ser maiores ou igual a zero 
“0” e menores ou iguais a 1. 
( )0 1P X xi≤ = ≥
Também a soma dos valores de probabilidade para um determinado 
experimento deve resultar em valor igual a 1 ou 100%.
( )
1
1
n
i
P X xi
=
= =∑
3 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS
A geração de números aleatórios é um elemento fundamental para a 
realização de experimentos de simulação. Um exemplo dessa importância é a 
sua aplicação no Método de Monte Carlo para simulação de experimentos em 
processos industriais. Entretanto, o processo de geração de números aleatórios 
não é algo tão simples.
O propósito dos geradores de números aleatórios é gerar uma sequência 
de números que parecem ser gerados aleatoriamente de uma distribuição 
de probabilidade específica (L’ECUYER, 2001). Geralmente, um gerador de 
números aleatórios básico uniforme gera números que imitam valores aleatórios 
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
24
independentes da distribuição uniforme sobre o intervalo [0, 1] (independentes 
e uniformemente distribuídas sobre o intervalo [0, 1]) (VIEIRA; RIBEIRO; 
SOUZA, 2004).
A técnica mais comum utilizada para geração de números aleatórios faz 
uso de uma relação cíclica na qual o próximo número na sequência é uma função 
do último ou dois últimos números gerados, um exemplo é a função:
1 3* 1 13n nx x mod+ = +
Iniciando a série com 0 1x = , obtém-se 1x da forma que segue:
0 1 05* 1 16x x mod+ = +
1 5*1 1 16 6x mod= + =
Os primeiros 19 números gerados através desta técnica são: x0=1; x1=6; 
x2=15; x3=12; x4=13; x5=2; x6=11; x7=8; x8=9; x9=14; x10=7; x11=4; x12=5; x13=10; x14=3; 
x15=0; x16=1; x17=6; x18=15; x19=12.
A partir dos valores gerados é possível constatar que estes são números 
inteiros entre 0 e 15. Se fizer a razão de cada valor por 16, obtém-se uma sequência 
de números aleatórios com valores entre 0 e 1. Para o exemplo anterior os números 
serão: 0,6250; 0,1875; ... 0,7500. 
Portanto, é evidente que ao se conhecer a função xf é possível gerar uma 
nova sequência de números aleatórios, somente fornecendo o valor inicial para 0x . 
Este valor, utilizado para iniciar a geração dos números aleatórios, é denominado 
de semente. 
Ainda que estes valores sejam classificados como aleatórios, por 
serem convencionados em testes estatísticos de aleatoriedade, por certo são 
pseudoaleatórios. Mesmo que isso seja verdadeiro, o desígnio de qualquer técnica 
de geração é gerar uma sequência de números aleatórios entre “0” e “1”, que 
tenha características semelhantes àquelas dos verdadeiros números aleatórios. 
Apesar de não serem verdadeiramente aleatórios, os números 
pseudoaleatórios podem apresentar vantagens sobre os aleatórios. Um exemplo 
é quando são realizadas simulações nas quais é necessário repetir o experimento 
simulado, e desse modo, a sequência de números pseudoaleatórios, da maneira 
exata como foi realizada anteriormente. Da mesma forma, se for necessário 
obter sequências novas, isso somente é possível quando for modificado o valorda semente. Assim, os geradores de números aleatórios permitem um controle 
adicional sobre a possibilidade de reproduzir os resultados.
Diante do exemplo realizado, que apresenta como gerar números 
aleatórios a partir de uma função conhecida, é possível observar que somente 
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
25
os dezesseis primeiros números são únicos. O décimo sétimo é igual ao 0x e o 
restante da sequência é apenas uma repetição cíclica dos primeiros dezesseis 
números. Logo, o gerador empregado tem um comprimento de ciclo igual a 16 
valores. Determinados geradores não reproduzem uma parte inicial do ciclo, 
chamada de cauda. Neste caso, o comprimento de seu período é dado pela soma 
do comprimento “L” da cauda mais o comprimento “C” do ciclo, conforme segue:
FIGURA 8 – COMPRIMENTO DO CICLO, CAUDA E PERÍODO DE GERADOR DE NÚMEROS 
ALEATÓRIOS
FONTE: Vieira, Ribeiro e Souza (2004, p. 168)
Quando se fala sobre a geração e aplicação de números aleatórios é 
necessário que estes tenham algumas características:
• Deve ser eficiente quando utilizado em computadores: visto que experimentos 
e simulações podem precisar de quantidades muito grandes de números 
aleatórios para cada execução, o tempo de processamento para a geração dos 
números deve ser mínimo. 
• A sequência precisa ser longa: uma sequência curta gera um novo ciclo de 
números aleatórios, que tem como resultado uma repetição da sequência de 
números gerados. Desta forma, pode limitar o período útil de uma rodada de 
simulação ou experimento. 
• A sequência de valores deve ser independente e uniformemente distribuída: 
a correlação entre os vários valores gerados também precisa ser pequena. Se a 
correlação for significativa, isso pressupõe dependência entre os valores.
3.1 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PELO 
MÉTODO CONGRUENTE LINEAR (MCL)
O Método Congruente Linear é considerado o mais conhecido, entre 
tantos outros métodos empregados para gerar números pseudoaleatórios. Este 
método, também denominado de método congruente misto, foi inicialmente 
publicado no trabalho desenvolvido por Lehmer, em 1951, em experimentos 
realizados no primeiro computador totalmente eletrônico, o ENIAC (Electronic 
Numerical Integrator and Computer) no MIT (L’ECUYER, 2001).
Em seus estudos, Lehmer identificou que restos de consecutivas potências 
de um número apresentam características apropriadas de aleatoriedade. Segundo 
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
26
Vieira, Ribeiro e Souza (2004), Lehmer obtinha o n-ésimo valor de uma sequência, 
adotando o resto da razão da n-ésima potência de um inteiro “a” por um outro 
inteiro “m”. 
Uma equação análoga empregada para o cálculo de xn após calcular xn+1 é 
dada por: 
( )1 )* (n nx a x b mod m+ = +
O parâmetro “a” é denominado de multiplicador, enquanto o “m” é 
chamado de módulo. Além disso, para Vieira, Ribeiro e Souza (2004), as definições 
de Lehmer para estes parâmetros foram (a = 23) e (m = 108 + 1). Esta escolha 
estava relacionada com a simplicidade de operacionalização do ENIAC, que era 
uma máquina de oito dígitos decimais.
A popularidade dos geradores fundamentados neste método tem relação 
com o fato de serem analisados com facilidade e de determinadas propriedades 
serem garantidas pela teoria das congruências (DUDEWICZ; KARIAN, 1985). 
Entretanto, a definição dos valores de “a”, “b” e “m” influencia o período e a 
autocorrelação da sequência. Algumas determinações sobre essas influências são 
descritas na sequência, sob a ótica de Dudewicz e Karian (1985):
• O módulo de “m” precisa ser grande, isto é, maior que a necessidade de 
valores para realização do experimento ou simulação, pois os valores de x 
serão gerados entre “0” e “m-1”, a sequência de valores jamais terá um valor 
maior do que “m”. 
• Para que o valor gerado de “mod m” seja eficiente, “m” deve ser uma potência 
de 2, isto é, 2k.
• Se “b” for diferente de “0”, a máxima sequência sem repetir o ciclo possível 
para “m” é alcançado se, e somente se: 
o Os inteiros “m” e “b” forem primos, um em relação ao outro, isto é, não 
tenham qualquer outro fator além de 1.
o Todo número primo que é um fator de “m” é também um fator de “a-1”.
o (a-1) é um múltiplo de “4”, se o inteiro “m” é múltiplo de “4”.
• Se “b” for igual a ”0”, e “m” potência de 2, a maior sequência possível será 
“m/4”.
3.2 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PELO MÉTODO 
CONGRUENTE LINEAR MULTIPLICATIVO (MCLM)
Uma das variações do método congruente linear é o Método Congruente 
Linear Multiplicativo (MCLM). Neste, o valor do incremento “b” é igual a “0”. 
Portanto, o gerador fica sintetizado à seguinte equação:
1 )* (n nx a x mod m+ =
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
27
Levando em consideração o processamento computacional, os geradores 
fundamentados no método congruente linear multiplicativo são melhores do que 
aqueles com base no MCL, pois não há o envolvimento de operações de adição, 
ou seja, o tempo de processamento necessário fica reduzido.
3.3 UTILIZAÇÃO DO EXCCEL PARA GERAÇÃO DE 
NÚMEROS ALEATÓRIOS
Além da aplicação de fórmulas para geração de números aleatórios, 
atualmente existem vários programas e aplicativos que possibilitam a geração 
de números aleatórios. Nesse livro será apresentada a utilização do software 
Microsoft Excel. Ainda que não seja um método de geração de números 
verdadeiramente aleatórios, emprega-se esta possibilidade para aplicação de 
experimentos ou simulações mais simples (KAWANO; KAWANO, 2014). 
A seguir é apresentado como gerar números aleatórios utilizando o 
Excel®. Basicamente, as duas funções que geram números aleatório no Excel® 
são:
• (=ALEATÓRIO( )), que fornece números aleatórios entre 0 e 1.
• (=ALEATÓRIOENTRE (limite – inferior; limite – superior)), que fornece 
números inteiros aleatórios entre os limites definidos.
Na sequência é apresentado um passo a passo para a geração de números 
aleatórios no Excel®:
FIGURA 9 – GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS EMPREGANDO A FUNÇÃO “ALEATÓRIO” 
NO EXCEL®
FONTE: O autor
Inicialmente, em qualquer célula do programa Excel® deve-se digitar 
“=” e pelo menos as três primeiras letras da palavra aleatório. Ex.: = ale, 
automaticamente o Excel® irá sugerir as funções existentes e liberadas. Neste 
caso, irão aparecer as possibilidades de “aleatório” e “aleatórioentre”. 
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
28
Para gerar números aleatórios entre “0” e “1”, é necessário somente 
selecionar a primeira opção, isto é, aleatório ( ), e efetivar a operação, logo será 
apresentado na célula escolhida um número aleatório entre “0” e “1”:
FIGURA 10 – NÚMERO ALEATÓRIO GERADO NO EXCEL POR MEIO DA FUNÇÃO ALEATÓRIO ( )
FONTE: O autor
Caso seja necessário gerar uma sequência de números aleatórios, é 
necessário arrastar a célula para baixo, conforme segue a imagem:
FIGURA 11 – GERAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS NO EXCEL® POR 
MEIO DA FUNÇÃO ALEATÓRIO ( )
FONTE: O autor
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
29
Caso seja necessário gerar valores aleatórios inteiros dentro de um certo 
intervalo de valores, deve-se utilizar a função “=ALEATÓRIOENTRE( )” e 
informar o intervalo desejado, por exemplo, na Figura 12 é apresentada a geração 
de número aleatórioentre (0; 100):
FIGURA 12 – GERAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS NO EXCEL® POR 
MEIO DA FUNÇÃO ALEATÓRIOENTRE ( ; )
FONTE: O autor
Essa forma de geração de números aleatórios possui a distribuição 
uniforme como padrão utilizado pelo Excel®. Caso seja necessário gerar números 
aleatórios com uma outra distribuição de probabilidade, é preciso utilizar a 
ferramenta “Análise de Dados”, que necessita ser ativada na lista de suplementos 
do Excel® (KAWANO; KAWANO, 2014).
4 MÉTODO MONTE CARLO
Um conceito formal sobre o Método de Monte Carlo foi realizado por 
Halton no ano de 1970. Para o autor, este método possibilita conceber a solução 
de um problema como um parâmetro de uma população hipotética, e que 
utilizauma série de números pseudoaleatórios para estabelecer uma amostra da 
população da qual estimativas estatísticas possam ser realizadas (PAULA, 2014).
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
30
Entretanto, o método de Monte Carlo começou a ser desenvolvido em 
1946 por John Von Neumann e Stanislav Ulam. Seu surgimento se deu por Ulam 
quando, durante um jogo de cartas, buscou calcular as probabilidades de sucesso 
de uma determinada jogada empregando a clássica análise combinatória. 
Depois de investir muito tempo, realizando os cálculos, constatou que uma 
alternativa mais viável seria somente executar uma certa quantidade de jogadas, 
algo em torno de cem ou mil, e contabilizar os resultados para cada jogada. 
Ulam sugeriu a aplicação de técnicas de amostragem estatística para 
solucionar o problema da difusão de nêutrons em material sujeito à fissão 
nuclear, difundindo assim suas ideias sobre o método desenvolvido. Mais tarde, 
esse método foi denominado de Método de Monte Carlo, nome motivado por um 
tio de Ulam, que jogava frequentemente no famoso cassino de Monte Carlo, cuja 
característica aleatória de suas roletas também está fortemente ligada ao método.
O Método de Monte Carlo foi formalizado em 1949, por meio do artigo 
intitulado “Monte Carlo Method”, publicado por John Von Neumann e Stanislav 
Ulam (PAULA, 2014). A partir das suas diversas aplicações, o Método de Monte 
Carlo pode ser compreendido como método de simulação estatística que emprega 
um conjunto de números aleatórios para realizar simulações e experimentos. De 
outro modo, é aceito como método numérico universal para resolver problemas 
por meio de amostragem aleatória, também chamada de aproximação da solução.
O método dispensa a necessidade de desenvolver equações diferenciais 
para descrever o comportamento de sistemas complexos. Entretanto, o sistema 
físico ou matemático deve ser modelado, considerando as Funções de Densidade 
de distribuição de Probabilidade (FDP). Tendo conhecimento das distribuições, 
a simulação ou experimento por meio da aplicação do Método de Monte Carlo 
pode ser realizado, obtendo as amostragens aleatórias a partir das mesmas. Este 
processo é repetido várias vezes e o resultado esperado é alcançado por meio de 
técnicas estatísticas como média, desvio padrão etc. 
Segundo Paula (2014), atualmente o Método de Monte Carlo é empregado 
em diversas áreas, como em:
• Finanças: na modelagem e simulação de um mercado de opção.
• Engenharia: na gestão de portfólio de uma empresa de seguros, na análise de 
um problema de estoque.
• Biologia: usado para a biologia de sistemas de tratamento de câncer, para 
estratégias de otimização e paralelização para a simulação de Monte Carlo 
de uma infecção pelo HIV. Dentre inúmeras aplicações na Física, Química e 
Medicina.
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
31
A simulação de Monte Carlo (SMC) envolve o uso de números aleatórios 
e probabilidades para analisar e resolver problemas (SARAIVA JÚNIOR et al., 
2011). Além das áreas de aplicação apresentadas anteriormente, o Método de 
Monte Carlo tem aplicação muito importante na simulação de processos em 
Pesquisa Operacional (KAWANO; KAWANO, 2014).
A simulação pelo Método de Monte Carlo consiste em um método que 
emprega a geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis 
do sistema que se deseja investigar (LUSTOSA; PONTE; DOMINAS, 2004). 
Os números são obtidos de artifícios aleatórios (por exemplo: tabelas, roletas, 
sorteios) ou diretamente de softwares, através de funções específicas (SARAIVA 
JÚNIOR et al., 2011). A cada iteração, o resultado é armazenado e, ao final de 
todas as repetições, a sequência de resultados gerados é transformada em uma 
distribuição de frequência que permite calcular estatísticas descritivas, como 
média (valor esperado), valor mínimo, valor máximo e desvio padrão, cabendo 
ainda ao responsável das simulações a vantagem de projetar cenários futuros de 
operação do sistema em análise (SARAIVA JÚNIOR et al., 2011).
A simulação por meio do Método de Monte Carlo pode ser empregada 
em problemas de tomada de decisão em que envolvam riscos e incertezas, 
muitas vezes nessas condições o comportamento das variáveis envolvidas com 
o problema não é de natureza determinística, o que possibilita a utilização do 
método (LUSTOSA; PONTE; DOMINAS, 2004). A Figura 13 apresenta um 
esquema com as etapas para a aplicação do Método de Monte Carlo:
4.1 SIMULAÇÃO POR MEIO DO MÉTODO 
DE MONTE CARLO
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
32
FIGURA 13 – ETAPAS PARA REALIZAÇÃO DA SIMULAÇÃO PELO MÉTODO DE MONTE CARLO
FONTE: Lustosa, Ponte e Dominas (2004, p. 153)
Para ilustrar a aplicação do Método de Monte Carlo, por meio das etapas 
da Figura 13, será apresentado um exemplo adaptado de Andrade (2008).
• Exemplo
Uma distribuidora de água mineral atua no centro de uma cidade, 
comercializando água em galões de 20 litros realizando inclusive a entrega 
Passo Descrição
Definir as variáveis envolvidas no sistema em 
análise com base em dados passados ou em 
estimativas subjetivas dos administradores
Construir as distribuições de frequência 
(absoluta, relativa e acumulada) para cada uma 
das variáveis definidas
Incidir números aleatórios gerados nos intervalos 
de classe de cada variável
Gerar números aleatórios
Simular os experimentos
Definir, para cada variável considerada, os 
intervalos de classe/de Incidência dos números 
aleatórios, com base nas distribuições de 
frequência acumulada projetadas
1
2
5
4
6
3
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
33
dos galões de água em domicílio. Sua clientela é formada basicamente por 
consumidores regulares, os quais foram conquistados com grandes esforços em 
atendimento e prazo de entrega. 
De acordo com dados históricos, a demanda de galões de 20 litros se 
distribui entre: 250 galões (5%); 300 galões (5%); 350 galões (30%); 400 galões (40%); 
450 galões (15%); 500 galões (10%); 550 galões (5%). Além disso, o fornecedor 
da distribuidora está tendo problemas na máquina envasadora e tem feito suas 
entregas semanais com atraso de 1 a 3 dias, isto é, com atraso de 1 dia (50%); 2 
dias 30%; e 3 dias (20%).
O fornecedor entrega 2400 galões de água por semana e a distribuidora 
funciona de segunda-feira a sábado. O custo de armazenagem e do capital parado 
de cada galão de água é de R$ 0,50 por dia e o custo da falta é de R$ 2,10 por 
unidade, uma vez que, quando há demanda e a distribuidora não possui nenhum 
galão de água, para não perder o cliente, ela adquire galões de água no distribuidor 
concorrente e arca com o prejuízo do custo maior e do transporte extra. Neste 
caso, deve-se simular o comportamento dos seus custos para os próximos 30 dias.
Solução por meio da Simulação de Monte Carlo
A solução do exemplo apresentado será realizada por meio da aplicação 
do esquema apresentado na Figura 13.
Passo 1
Inicialmente é necessário definir as variáveis envolvidas no sistema (passo 
1). Neste caso, as variáveis envolvidas são: 
• demanda por galões de água; 
• atraso na entrega dos galões de água. 
Passo 2
Após a identificação das variáveis envolvidas no processo, deve-se 
construir as distribuições de frequência (absoluta, relativa e acumulada) para 
cada variável definida.
Para demanda de galões de água foram verificados os seguintes 
percentuais:
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
34
FIGURA 14 – DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL PARA A DEMANDA DE GALÕES DE ÁGUA
Demanda Percentual
250 5%
300 5%
350 20%
400 40%
450 15%
500 10%
550 5%
FONTE: O autor
Demanda Percentual Percentual Acum.
250 5% 5%
300 5% 10%
350 20% 30%
400 40% 70%
450 15% 85%
500 10% 95%
550 5% 100%
Demanda Percentual Percentual Acum. Intervalo de Classes
250 5% 5% 1 à 5
300 5% 10% 6 à 10
350 20% 30% 11 à 30
400 40% 70% 31 à 70
450 15% 85% 71 à 85
500 10% 95% 86 à 95
550 5% 100% 96 à 100
Passo 3 
O terceiro passo é a definiçãopara cada variável considerada dos intervalos 
de classe para alocação dos números aleatórios com base nas distribuições de 
frequência acumulada projetadas, conforme segue:
A partir dessa distribuição percentual é possível realizar a frequência 
acumulada, conforme apresentada a seguir:
FIGURA 15 – DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL PARA A DEMANDA DE GALÕES DE ÁGUA COM 
FREQUÊNCIA ACUMULADA
FONTE: O autor
FIGURA 16 – DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL PARA A DEMANDA DE GALÕES DE ÁGUA COM 
FREQUÊNCIA ACUMULADA E INTERVALO DE CLASSES
 FONTE: O autor
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
35
Dias de Atraso Percentual Percentual Acum. Intervalo de Classes
1 50% 50% 1 à 50
2 30% 80% 51 à 80
3 20% 100% 81 à 100
Utilizando o mesmo raciocínio, deve-se realizar a distribuição do 
percentual, frequência acumulada e intervalo de classes para o atraso nas entregas, 
neste caso, a Figura 17 apresenta o resultado total para essa variável:
Passo 4
Após a realização das distribuições percentuais, frequência acumulada e 
definição dos intervalos de classes, no passo 4 são gerados os números aleatórios. 
Neste caso, será utilizado o software Excel® para geração da sequência de 
números aleatórios. Para geração dos números aleatórios será empregada a função 
“=ALEATÓRIOENTRE( ; )”, com um intervalo de 1 a 100 para uma sequência de 
trinta números aleatórios, conforme demandado pelo exemplo apresentado. A 
seguir está a sequência de números aleatórios para os trinta dias de serviço:
FIGURA 17 – DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL PARA O ATRASO NA ENTREGA DE ÁGUA COM 
FREQUÊNCIA ACUMULADA E INTERVALO DE CLASSES
FONTE: O autor
FIGURA 18 – SEQUÊNCIA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PARA OS TRINTA DIAS DE SIMULAÇÃO
dias Números Aleatórios dias
Números 
Aleatórios dias
Números 
Aleatórios dias
Números 
Aleatórios dias
Números 
Aleatórios
1 10 7 7 13 7 19 7 25 3
2 4 8 10 14 7 20 5 26 3
3 9 9 3 15 9 21 6 27 1
4 5 10 9 16 7 22 2 28 8
5 3 11 5 17 3 23 10 29 1
6 10 12 9 18 8 24 4 30 1
FONTE: O autor
Passos 5 e 6
Para realização das simulações será utilizada a mesma sequência de 
números aleatórios, isto é, tanto para simular os atrasos como as demandas de 
galões de água. Portanto, como o funcionamento da distribuidora é de segunda-
feira a sábado, cada semana é composta de 6 dias. Ao longo dos 30 dias (de 
funcionamento) da simulação, as entregas de água pelo fornecedor deveriam 
ocorrer no 6º, 12º, 18º, 24º e 30º dia, considerando que no 1º dia, o estoque está 
completo (2400 galões).
UNIDADE 1 | CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
36
A partir da sequência de números aleatórios (Figura 18) é possível simular 
os atrasos de entrega, conforme os intervalos definidos na Figura 17. Neste caso, 
os atrasos de entrega serão conforme apresentados a seguir:
FIGURA 19 – SIMULAÇÃO DOS ATRASOS NAS ENTREGAS DE GALÕES DE ÁGUA
FONTE: O autor
Data Prevista 
para Entrega
Número 
Aleatório Atraso (dias)
Nova Data de 
Entrega
6 10 1 7
12 9 1 13
18 8 1 19
24 4 1 25
30 1 1 31
dia Número Aleatório Demanda Entrega
Estoque 
Inicial
Estoque 
Final
Custo 
Armazenagem
Custo da 
Falta
1 10 300 2400 2100 R$ 1.050,00 R$ - 
2 4 250 2100 1850 R$ 925,00 R$ - 
3 9 300 1850 1550 R$ 775,00 R$ - 
4 5 250 1550 1300 R$ 650,00 R$ - 
5 3 250 1300 1050 R$ 525,00 R$ - 
6 10 300 1050 750 R$ 375,00 R$ - 
7 7 300 2400 3150 2850 R$ 1.425,00 R$ - 
8 10 300 2850 2550 R$ 1.275,00 R$ - 
9 3 250 2550 2300 R$ 1.150,00 R$ - 
10 9 300 2300 2000 R$ 1.000,00 R$ - 
11 5 250 2000 1750 R$ 875,00 R$ - 
12 9 300 1750 1450 R$ 725,00 R$ - 
13 7 300 2400 3850 3550 R$ 1.775,00 R$ - 
14 7 300 3550 3250 R$ 1.625,00 R$ - 
15 9 300 3250 2950 R$ 1.475,00 R$ - 
16 7 300 2950 2650 R$ 1.325,00 R$ - 
17 3 250 2650 2400 R$ 1.200,00 R$ - 
18 8 300 2400 2100 R$ 1.050,00 R$ - 
19 7 300 2400 4500 4200 R$ 2.100,00 R$ - 
20 5 250 4200 3950 R$ 1.975,00 R$ - 
21 6 300 3950 3650 R$ 1.825,00 R$ - 
22 2 250 3650 3400 R$ 1.700,00 R$ - 
23 10 300 3400 3100 R$ 1.550,00 R$ - 
Com a simulação dos atrasos nas entregas é possível realizar a simulação 
e cálculo das demandas e os custos para os trinta dias de serviço da empresa:
FIGURA 20 – SIMULAÇÃO DA DEMANDA E CUSTOS
TÓPICO 2 | MÉTODO DE MONTE CARLO
37
FONTE: O autor
Com esta simulação foi possível obter os valores dos custos de armazenagem 
+ capital de R$ 42.825,00 e como custo de falta de R$ 0,00. De posse desta planilha, 
o administrador pode simular, por exemplo, diferentes quantidades de compra e 
avaliar o impacto em seus custos.
A partir desse exemplo prático da aplicação do Método de Monte Carlo 
para simulação de processos é possível aplicar em outras situações práticas do 
dia a dia.
24 4 250 3100 2850 R$ 1.425,00 R$ - 
25 3 250 2400 5250 5000 R$ 2.500,00 R$ - 
26 3 250 5000 4750 R$ 2.375,00 R$ - 
27 1 250 4750 4500 R$ 2.250,00 R$ - 
28 8 300 4500 4200 R$ 2.100,00 R$ - 
29 1 250 4200 3950 R$ 1.975,00 R$ - 
30 1 250 3950 3700 R$ 1.850,00 R$ - 
TOTAL R$ 42.825,00 
38
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma variável aleatória é quando conseguimos atribuir valores a uma 
determinada situação qualitativa. Por meio das variáveis aleatórias, podemos 
realizar experimentos aleatórios muito úteis em pesquisas e experimentos 
dirigidos a empresas.
• Os geradores de números aleatórios são importantes ferramentas utilizadas na 
simulação, sendo que sua aplicação vai desde a criação de jogos até a criação e 
desenvolvimento de algoritmos de criptografia.
• O Método de Monte Carlo é uma poderosa ferramenta de simulação, que 
considera a presença de dados de entrada caracterizados por distribuições de 
probabilidade. Para tanto, o método utiliza a geração de números aleatórios 
como sua essência.
39
AUTOATIVIDADE
1 A geração de números aleatórios é uma importante ferramenta para 
aplicação em processos de simulação. Existem algoritmos específicos para cada 
sequência que se queira criar. Por definição, um número aleatório pertence a 
uma série numérica cuja previsibilidade não pode ser obtida através dos seus 
membros anteriores na série. O objetivo da obtenção de números aleatórios 
é o de simular o comportamento de sequências numéricas, sendo utilizados, 
por exemplo, no Método Monte Carlo. Com relação à geração de números 
aleatórios, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A geração de números aleatórios apresenta diversas aplicações. Dentre 
elas, podemos citar a simulação de sistemas de filas, as quais são um 
tema recorrente e de vasta aplicação na Engenharia de Produção.
( ) A geração de números aleatórios que obedecem a um sistema binário 
[0,1], apesar de considerada válida conceitualmente, não apresenta 
aplicação prática, visto que existem infinitos números entre 0 e 1.
( ) Podemos utilizar o software Microsoft Excel para a geração de 
números aleatórios. Um das possibilidades é a utilização da função 
ALEATÓRIOENTRE( ), especificando, para isso, o intervalo de valores 
desejado.
( ) A função ALEATÓRIOENTRE( ) permite aplicar qualquer tipo de 
distribuição de probabilidade, bastando indicar na tela de geração da 
função o tipo de distribuição e o número de caudas.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – F.
b) ( ) F – V – V – V.
c) ( ) V – V – F – F.
d) ( ) V – F – V – V.
2 O Método de Monte Carlo tem uma produção da função da distribuição 
para os valores calculados, podendo ter um grande número de variáveis e não 
depende da natureza do modelo. Com relação às etapas de preparação para 
aplicação do Método de Monte Carlo, analise