Álgebra Complexa e Fasores

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Eletricidade – Prof. Eder Minhoto 
Álgebra Complexa e Fasores 
Circuitos de Corrente Contínua Fontes contínuas 
 
 Resistências 
 
Circuitos de Corrente Alternada . Senóides transformadas em fasores 
 . Resistências Transformadas 
 . Indutâncias em 
 . Capacitâncias Impedâncias 
 
 
 
 
2 
NÚMEROS IMAGINÁRIOS: 
 
. Números Reais => mais comumente usados 
 
. Números Imaginários => foram criados quando se tornou necessário ampliar o universo dos 
números, operando expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos (nenhum 
número real o é). 
 
. Este número, denominado unidade imaginária é definido por: 𝑖 = −1 . 
 
. Na área elétrica a norma é usar a letra j , onde : j = −1 . 
 
 Portanto: j = −1 
 
 𝑗2 = −1 2 = - 1 
 
 𝑗3 = 𝑗 . 𝑗2 = 𝑗 . −1 = −𝑗 
 
 𝑗4 = 𝑗2 . 𝑗2 = −1 . −1 = 1 
 
 𝑗5 = 𝑗 . 𝑗4 = 𝑗 . 1 = 𝑗 ... => 𝑗𝑛 = 𝑗𝑟 , onde r é o resto da divisão de n por 4. 
 
 
 
 
3 
Números Complexos e a Forma Retangular 
(Algébrica) 
 NÚMERO COMPLEXO Z = a + jb , onde: a = parte real 
 jb = parte imaginária 
 
. Igualdade entre números complexos => a + jb = c + jd => a = c e b = d 
 
. Conjugado de Z => Z = a + jb => 𝑍 = a – jb ( troca-se o sinal da parte 
imaginária) 
Ex: Z = 3 + j5 => 𝑍 = 3 – j5 
 Z = 4 – j6 => 𝑍 = 4 + j6 
 Z = - 5 + j9 => 𝑍 = - 5 – j9 
 Z = j8 => 𝑍 = - j8 
 
. 
4 Prof. Eder Minhoto 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: 
 
DADOS: Z 1 = a1 + jb1 e Z2 = a2 + jb2 
 
Z1 + Z2 = a1 + jb1 + a2 + jb2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2) 
 
Z1 – Z2 = (a1 + jb1) – (a2 + jb2) = (a1 – a2) + j (b1 – b2) 
 
Exemplos: 
 
Ex1: Dados Z1 = 2 + j3 e Z2 = 6 + j4 
 
Ache: Z1 + Z2 = 2 + j3 + 6 + j4 = (2 + 6) + j (3 + 4) = 8 + j7 
 
 Z1 – Z2 = (2 + j3) – ( 6 + j4) = (2 – 6) + j(3 - 4) = - 4 – j1 = -4 – j 
 
Ex2 : Dados Z1 = 6 + j5 e Z2 = 3 – j4 
 
Ache: Z1 + Z2 = (6 + j5 ) + (3 – j4) = (6 + 3) + j(5 – 4 ) = 9 + j1 
 
 Z1 – Z2 = (6 - 3) + j (5 + 4) = 3 + j9 
5 
Ex3: Dados Z1 = 6 + j10 e Z2 = 6 – j10, Ache: 
 
 Z1 + Z2 = .... = 12 
 
 Z1 – Z2 = .... = j20 
 
Ex4: Dados Z1 = 5 – j , Z2 = 3 + j e Z3 = 4 – j , encontre: 
 
 Z1 + Z2 + Z3 = ... = 12 – j 
 
 Z1 + Z2 - Z3 = ... = 4 + j 
 
 Z1 - Z2 - Z3 = .... = - 2 – j 
 
Ex5 : Dados Z1 = 8 + j6, Z2 = - 4 + j2, Z3 = 9 + j e Z4 = - j3 , Calcule: 
 
a) Z1 + Z2 ... = 4 + j8 f) 𝑍 2 + 𝑍
 
4 ... = - 4 + j 
b) Z1 + Z2 + 𝑍 3 ... = 13 + j7 g) 𝑍1 − 𝑍2 - (Z3 + Z4) ... = 3 – j2 
c) Z1 – Z2 ... = 12 + j4 h) 𝑍1 − 𝑍2 + Z3 – 𝑍 4 ... = 21- j6 
d) Z1 + 𝑍 1 ... = 16 
e) Z1 - 𝑍 1 ... = j12 
 
 6 
7 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Dados: Z1 = (a1 + jb1) 
 Z2 = (a2 + jb2) 
 
Z1 . Z2 = (a1 + jb1) . (a2 + jb2) = a1a2 + a1. jb2 + jb1. a2 + jb1. jb2 = 
 = a1a2 + j (a1 . b2 + b1.a2 ) + j
2 b1.b2 , mas j
2 = - 1 
 = (a1a2 - b1.b2) + j (a1 . b2 + b1.a2 ) 
 
PROPRIEDADES: (Z1 . Z2) . Z3 = Z1. (Z2.Z3) = (Z1.Z3).Z2 
 Z1 . Z2 = Z2.Z1 
 Z1(Z2 + Z3) = Z1.Z2 + Z1.Z3 
 
EXERCÍCIOS 
 
EX 1: Calcule: 
 
(a) ( 4 + j2) . ( 3 + j4) = 4. 3 + 4.j4 + j2. 3 + j2 . j4 = 12 + j16 + j6 + j28, mas j2 = -1 
 = 12 + j22 – 8 = 4 + j22 
(b) (2 + j4) . (1 + j3) = .... = - 10 + j10 
(c) (3 + j2)2 = .... = 5 + j12 
(d) (1 + j).(2 – j).(3 + j2) = ... = 7 + j9 
8 
EX 2: Dados Z1 = 1 + j , Z2 = 2 + j3 e Z3 = 4 – j , calcule (Z1.Z2 – Z3)
2 
 
 ... = - 11 – j60 
 
DIVISÃO 
 
DADOS: Z 1 = a1 + jb1 e Z2 = a2 + jb2 
 
Z
1
Z
2
 = 
Z
1
Z
2
.
𝑍
2
𝑍
2
 ( Multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador) 
 
Ex 1: Calcule: 
 
a)
14+𝑗5
4 −𝑗1
= 
14+𝑗5
4 −𝑗1
 . 
4+𝑗1
4+𝑗1
 = ... = 3 + j2 
 
b)
3 −j2
6+j4
= … = 
5
26
 − 𝑗
6
13
 
 
Ex2: Determine a e b se a +jb = 
4+𝑗3
5 −𝑗2
 . 
 
 ... a = 
14
29
 𝑏 = 
23
29
 
9 
PLANO DE ARGAND – GAUSS 
 
Z1 = 3 + j4 
Z2 = j3 
Z3 = - 6 
Z4 = 2 
Z5 = - j1 = - j 
Z6 = - 2 – j3 
Z7 = 1 – j5 
Forma Polar (Trigonométrica) 
10 
Geralmente esta é a melhor forma para multiplicar ou dividir, mas não é útil para 
soma e subtração, a menos se feita graficamente. 
 
FORMA POLAR => Z = A ∠𝜃 onde A = 𝑍 = módulo 
 𝜃 = argumento do número complexo 
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11 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
Dados: 𝑍1 = A1 ∠ 𝜃1 𝑒 𝑍2 = A2 ∠ 𝜃2 
 
 𝑍1 . 𝑍2 = A1 ∠ 𝜃1 . A2 ∠ 𝜃2 = A1 . A2 ∠ 𝜃1+ 𝜃2 
 
 
𝑍
1
𝑍
2
 = 
A1 ∠ 𝜃1
A2 ∠ 𝜃2 
= 
A1
A2
 ∠ 𝜃1 − 𝜃2 
 
Exercícios: 
 
Ex 1- Efetuar: 
 
a) (3 ∠ 250) . (4 ∠ - 450) = 3 . 4 ∠ 250 – 450 = 12 ∠ - 200 
b) ( 2 ∠ 100) . ( 5 ∠ 600) = 10 ∠ 700 
c) (5 ∠ 300) . (10 ∠ 600) . (2 ∠ - 150) = ... = 100 ∠ 750 
d) (10 ∠ 900) . (10 ∠ - 900) = ... = 100 ∠ 00 = 100 
e) ( 3 ∠ 250) . (4 ∠ - 600) . (5 ∠ 1200) . (6 ∠ - 2100) = ... = 360 ∠ -1250 
f) (5 ∠ 1800) . (3 ∠ 600) . (1 ∠ 00) = ... = 15 ∠ 2400 
g) (25 ∠ 300) . (10 ∠ - 150) . (2 ∠ 100) = ... = 500 ∠ 250 
 
12 
h) 
81∠450
3∠150
= 
81
3
∠450 – 150 = 27 ∠ 300 
 
i) 
4∠500 . 6∠250
2∠600 . 4∠−900
 = .... = 3 ∠ 550 
 
j) 
100∠900 . 50∠−450
2∠00 . 10∠−300
 = .... = 250 ∠ 750 
 
k) 
2∠1500 . 10∠−1250
2∠1600 . 5∠−900
 = .... = 2 ∠- 450 
 
l) ) 
27∠450
3∠−450
 = 
 
m) ) 
12∠900
3∠900
 = 
 
 
 
CONVERSÕES POLAR PARA RETANGULAR E VICE-VERSA 
13 
Obs: r = A (módulo) 
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14 
CONVERSÃO POLAR ⟶ RETANGULAR 
 
Z = A ∠ ϴ => Z = x + j y 
 
cos ϴ = 
𝑥
𝐴
 ⟶ 𝑥 = 𝐴 cosϴ 
 
sen ϴ = 
𝑦
𝐴
 ⟶ 𝑦 = 𝐴 senϴ 
 
Z = x + j y => Z = A cos ϴ + j A sen ϴ = A (cos ϴ + j sen ϴ) => Z = A ∠ ϴ 
 
CONVERSÃO RETANGULAR ⟶ 𝐏𝐎𝐋𝐀𝐑 
 
Z = x + j y ⟶ Z = A ∠ ϴ 
 
A = 𝑥2 + 𝑦2 => Módulo 
 
ϴ => cos ϴ = 
𝑥
𝐴
 e sen ϴ = 
𝑦
𝐴
 ou ϴ = arc tg 
𝑦
𝑥
 = tan-1 
𝑦
𝑥
 
 
 
15 
Ex 1- Converter os seguintes números complexos para a forma retangular: 
 
a) Z = 2 ∠600 => Z = x + jy 
 
 𝑥 = 𝐴 cosϴ = 2 cos 600 = 2 . 0,5 = 1 
 𝑦 = 𝐴 senϴ = 2 sen 600 = 2 . 
3
2
= 3 
 
 Z = 2 ∠600 = 1 + j 3 
 
b) Z = 8 ∠300 = 8 cos 300 + j 8 sen 300 = 4 3 + j4 
 
c) Z = 1 ∠2700 ... = - j 
 
d) Z = 2 ∠900 ... = j2 
 
e) Z = 5 ∠00 ... = 5f) Z = 5 ∠1800 .... = - 5 
 
Obs: Agora faça essas conversões utilizando sua calculadora. 
16 
Ex 2- Converter os seguintes números complexos para a forma polar: 
 
a) Z = 1 + j => Z = A ∠ ϴ 
 
 A = 12 + 12 = 2 
 
 cos ϴ = 
𝑥
𝐴
 = 
1
2 
 
 ϴ = 450 ∴ Z = 1 + j => Z = 2 ∠ 450 
 sen ϴ = 
𝑦
𝐴
 = 
1
2 
 
 
b) Z = - j4 .... Z = 4 ∠ -900 
 
c) Z = 3 + j .... Z = 2 ∠ 300 
 
d) Z = j3 .... Z = 3 ∠900 
 
e) Z = - 2 .... Z = 2 ∠ − 1800 
 
f) Z = 5 – j5 ... Z = 5 2 ∠ − 450 = 5 2 ∠3150 
 
 Obs: Agora faça essas conversões utilizando sua calculadora. 
 
17 
Ex 3 – Dados Z1 = 4 ∠180
0 e Z2 = j3 , obtenha Z1. Z2 na forma polar e retangular.
 
 
Z1. Z2 = 4 ∠180
0 . 3 ∠900 = 12 ∠2700 = - j12 
 
Ex 4 – Dados Z1 = 12 ∠40
0 e Z2 = 2 ∠10
0 , ache 
𝑍
1
𝑍
2
 , na forma polar e retangular: 
 
𝑍
1
𝑍
2
 = 
12 ∠400
2 ∠100
= 6∠300 = 6 cos 300 + 6 sen 300 = 3 3 + j3 
 
Obs: Os exercícios 5 e 6 deverão ser resolvidos sem o uso de calculadoras. 
 
Ex 5- (Petrobrás) Sejam Z1 = 1 + j e Z2 = j 
2
2
 . Defina Z = 
Z1
Z2
 , que pode ser escrito na 
forma Z = A ∠ϴ. Nesse caso, o valor de ϴ, em graus é: 
 
a) 450 b) 900 c)1350 d) 2700 e)3150 
 
Ex 6 – (Petrobrás) Se Z1 = 2 + j3 e Z2 = - 2 + j3 são números complexos, defina 
Z = Z1 . 𝑍2. Nesse caso 𝑍 é igual a: 
 
a) 10 b) 13 c) 10 d) 13 e) 313 
 
 
 
 
 
18 
Exe 7 - Efetuar as seguintes operações e expressar os resultados na forma polar: 
 
a) 3 + j4 + 9,1 ∠630 ... 14 ∠59,50 
 
b) 20 ∠1350 – 46,7 ∠ − 1420 + 35,2 ∠64,10 = ... 83,7 ∠630 
 
c) (0,3 + j0,4) . (-5 + j6) . (7 ∠350 ). (-8 –j9) = ... 329 ∠86,30 
 
d) (3 ∠250).(2 + j3).(6 + j5) = ... = 84,3 ∠1210 
 
e)
−9,1∠200
−4+j7
 ... = 1,13 ∠ − 1000 
 
f)
4+j6 .(5∠200). (−8 + j9)
9,1∠−300 . 7,6∠720 .(−3+j5)
 = ... = 1,08 ∠450 
 
g)
6 + j7 – 4 + j6 – 7 ∠200 
20+j17 −8∠600 + 14∠200
 = ... = 0,288 ∠68,90 
 
Exe 8 – Para Z1 = 20 ∠30
0 e Z2 = 16 ∠45
0 , achar Zeq = 
𝑍
1
 
.𝑍
2
𝑍
1
+𝑍
2
 ... 9 ∠380 
FASORES 
19 
Por definição, um fasor é um número complexo associado a uma onda senoidal defasada, de modo que, 
se o fasor estiver na forma polar, seu módulo será o valor eficaz (RMS) da tensão ou corrente e seu 
ângulo será o ângulo de fase da onda senoidal defasada. 
 
Ex: V = 3 ∠450 V é o fasor para v = 3 2 sen (377t + 450) V 
 I = 0,439 ∠ − 270 A é o fasor para i = 0,621 sen (754t – 27 0) A 
 
- É errado expressar algo como: 
 
 3 ∠450 = 3 2 sen (377t + 450) pois, 3 ∠450 é constante complexa e 3 2 sen (377t + 450) 
é função real do tempo 
 
 3 ∠450 => 3 2 sen (377t + 450) (corresponde) 
 
- Uma das aplicações dos fasores é para somar as senóides de mesma frequência. 
 
Ex: v = 3 sen (2t + 300) + 2 sen (2t – 150) 
 V = 
3
2
 ∠300 + 
2
2
 ∠ − 150 => V = 1,84 + j 1,06 + 1,37 – j 0,37 = 3,21 + j 0,69 
 V = 3,28 ∠120 => v = 3,28 2 sen (2t + 120) 
 
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- Os fasores são as vezes, apresentados num plano complexo chamado diagrama de fasores. Os 
fasores são apresentados como setas dirigidas para fora da origem com comprimentos que 
correspondem aos módulos dos fasores e dispostos em ângulos que são ângulos dos fasores 
correspondentes. Tais diagramas são convenientes para mostrar as relações angulares entre as 
tensões e as correntes de mesma frequência. 
 
 Eixo imaginário 
 I = 10 ∠600 
 V = 15 ∠200 
 600 200 
 Eixo real 
 
- Os diagramas de composição fasorial são usados para a adição e subtração gráfica. Para a soma, 
as setas dos fasores são colocadas extremidade com extremidade e o fasor soma é encontrado 
traçando-se uma seta do final da primeira à ponta da última seta. Se um fasor tiver que ser 
subtraído, sua seta será girada 1800 (invertida) e depois somado. 
Ex: 5 ∠00 + 10 ∠300 => 5 + 8,7 + j5 = 13,7 + j5 => 14,6 ∠200 
 
 
 14,6∠200 
 10 ∠300 
 
 5 ∠00