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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à saúde Aula 1: Conjuntos numéricos e frações Apresentação De�nimos como conjunto o agrupamento de termos com características parecidas. No caso da Matemática, os números são agrupados em conjuntos numéricos. Ao longo da história da disciplina, de acordo com a necessidade de representar certas situações, o homem buscou símbolos capazes de satisfazer suas necessidades. Os primeiros números a surgirem foram os naturais, que tinham como objetivo de representar quantidades. Com o aumento da atividade comercial, os cálculos começaram a ser utilizados de forma intensa. Novos símbolos surgiram para suprir as necessidades operatórias do momento. Com isso, surgiu um novo conjunto numérico: números inteiros. Veremos que esse conjunto tem como objetivo a indicação de situações de ganho e perda, com os números positivos representando os ganhos e os números negativos indicando as perdas. Os números inteiros eram escritos na companhia de símbolos, os positivos recebiam o sinal de + (mais) e os negativos o sinal de – (menos). Também apresentaremos o conjunto dos números racionais, que surgiram da necessidade de demonstrar partes de um inteiro, divisões que obtinham resultados decimais, e a união de todos os conjuntos numéricos dando origem à criação do conjunto dos números reais, responsável por representar e organizar os números em um único conjunto. Objetivos Reconhecer a teoria dos conjuntos, sua importância para a matemática e seus principais conceitos; Interpretar os diferentes problemas e operações envolvendo numéricos; Praticar problemas de razão e proporção. Conjuntos numéricos Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos menores formados por números. São eles: Clique nos botões para ver as informações. O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é in�nito. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} Naturais (N) O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos negativos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z, pois podemos dizer o conjunto dos números naturais N está contido no conjunto dos números inteiros Z (N ⊂ Z): Subconjuntos dos Números Inteiros: Z = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} Inteiros (Z) O conjunto dos números racionais é representado por Q. Ele engloba todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0. Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. Racionais (Q) O conjunto dos números irracionais é representado por I. Esse conjunto contém os números decimais não exatos com uma representação in�nita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040... Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333... Irracionais (I) O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I), naturais (N) e inteiros (Z). Reais (R) Um número real é racional. Portanto, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele for irracional, não poderá ser racional. Podemos representar o conjunto dos números reais pelo seguinte diagrama: Fonte: Diagrama do conjunto dos números reais. Fonte: Autoria própria. Reais Racionais Naturais Irracionais Inteiros O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros. Z (N ⊂ Z). O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais. (Z ⊂ Q). O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R). (Z ⊂ R). Atenção Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R). Atividade 1. Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos (IESES – IGP – SC). I. O número natural N pode ser chamado antecessor de N+1. II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros. III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par. IV. Entre dois números racionais, A e B, com A diferente de B, existe sempre outro número racional. Marque a única alternativa correta: a) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas. b) Apenas as assertivas III e IV estão corretas. c) As assertivas I, II, III e IV estão corretas. d) Apenas as assertivas I e II estão corretas. Expressões numéricas Para resolver expressões numéricas, realizamos, primeiramente, as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Nas expressões em que aparecem sinais de reunião, efetuam-se as operações eliminando-as dos sinais interiores para os exteriores, ou seja: ( ) Parênteses [ ] Colchetes { } Chaves Quando o sinal negativo estiver à frente do sinal da reunião eliminado, todos os sinais dos termos internos são trocados. No produto e divisão entre números: (-) x (-) = + (-) x (+) = - (+) x (-) = - (+) x (+) = + Exemplo a) 2 + [2 – (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 – 1] = 2 + [2 – 6] = 2 - 4 = -2 b) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 11 c) { 2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 *( 3 – 1) ] } + 1 = {2 – [12 ÷ 2 – 2 * 2] } + 1 = {2 – [6 – 4] } + 1 = 1 O sinal * representa multiplicação. Atividade 2. Leia essa situação, arme uma expressão numérica e determine o valor da expressão. Milena foi a uma loja de bijuteria com R$ 100 reais comprar alguns presentes. Ela comprou um cordão para dar a sua tia, que custou R$ 22,30 reais, comprou cinco pares brincos para dar as suas amigas, sendo que cada par custou R$ 13,20. 3. Ana Laura tem cinco tios. Ela ganhou quatro presentes de um deles. Outro tio deu dois presentes e dois tios compraram juntos um presente para Ana Laura. Represente a expressão que mostra todos os presentes que ela ganhou dos tios e indique quantos presentes foram no total. Frações ordinárias Rotineiramente somos obrigados a lidar com frações. Quando uma receita pede 1/2 tablete de manteiga ou quando precisamos dividir uma pizza entre seis pessoas, trabalhamos com partes de um todo, ou seja, com frações. A palavra fração vem do latim fractus, que signi�ca partido ou quebrado. Fonte: Por artnLera / Shutterstock Número racional fracionário (fração) É todo o número escrito na forma , onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero. Termos da fração: a b → a b numerador denominador Conceito de fração Toda fração indica uma divisão - ainda não efetuada – de um número inteiro (o numerador) por outro inteiro (o denominador), sendo este diferente de zero. O numerador indica quantas partes do inteiro estamos utilizando. O denominador indica em quantas partes iguais esse inteiro foi dividido. Dica Uma fração pode ser representada das seguintes formas: 3 ÷ 5 → 3/5 → 3 5 Veja mais um exemplo a seguir: 1 Um inteiro 6/6 Seis sextos 5/6 Cinco sextos Saiba mais Assista ao vídeo na página Frações em uma reta numérica <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction- arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line> . https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line Atividade 4. Cinco amigos foram para uma pizzaria, pediram uma pizza tamanho família e dividiram em 10 partes. Uma das amigas estava fazendo uma dieta e só quis comer as outras duas moças comeram cada uma e um dos rapazes comeu . Responda às questões abaixo. a) Qual é a fração que representa a pizza inteira? b) Qual parte da fração que �cou para o outro amigo? 1 10 2 10 3 10 5. Identi�que qual fração representa um número natural. a) 5/4 b) 18/6 c) 20/3 d) 28/5 6. Em uma sala de aula 2/3 dos alunos passaram por média. a) Qual é a fração que representaa parte dos alunos que não passaram por média? b) Qual é a fração que representa toda a sala? Operações com frações Agora, veremos algumas operações com frações. Vamos lá! Adição e subtração entre frações A soma ou a subtração de duas ou mais frações com o mesmo denominador é igual a uma nova fração, que tem como numerador a soma dos numeradores das frações dadas e o denominador é o mesmo das frações envolvidas na operação. Veja os exemplos a seguir: + = 2 8 3 8 5 8 − = = 21 20 15 20 6 20 3 10 Para somar ou subtrair frações heterogêneas (denominadores diferentes), deve-se, antes, transformar as frações dadas em frações homogêneas (denominadores iguais). Veja os exemplos a seguir: + = = = =2 3 3 4 (12÷ numerador 3) × numerador 2 + (12÷numerador 4) × numerador 3 3×4=12 4×2+3×3 12 8+9 12 17 12 − = = = =5 7 4 9 (63 ÷ numerador 7) × numerador 5 − (63÷numerador 9) × numerador 4 7×9=63 9×5−7×4 63 45−28 63 17 63 Saiba mais Assista ao vídeo na página Problema de soma de frações: tinta <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction- arithmetic/arith-review-add-sub-frac-word-probs/v/adding-fractions-with-unlike-denominators-word-problem> . Multiplicação Nas operações de multiplicação de fração, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si, o produto obtido deve ser simpli�cado para apresentação do resultado. × = = =2 3 4 10 2×4 3×10 8 30 4 15 Divisão Nas operações de divisão de fração, multiplicamos a primeira fração pela segunda com os termos invertidos. O quociente obtido deve ser simpli�cado para apresentação do resultado. ÷ = × ( ) = × = =2 3 4 10 2 3 inverter 4 10 10 4 2 3 10 4 20 12 5 3 https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-add-sub-frac-word-probs/v/adding-fractions-with-unlike-denominators-word-problem Atividade 7. Efetue os produtos abaixo (simpli�que se for possível). a) b) c) d) × 1 2 2 5 × 4 7 3 2 × × 10 12 48 50 25 16 × × 2 7 21 14 8 6 8. Ache o quociente das frações abaixo. a) b) c) d) ÷ 2 7 8 14 ÷ 6 9 4 15 ÷ ÷ 2 3 10 12 1 15 ÷ 7 5 3 10 Fonte: Por rawf8 / Shutterstock). Proporcionalidade Veja a seguir conceitos relacionados à proporcionalidade. Razão Considerando dois números genéricos a e b, a razão entre eles é representada por , a/b ou a:b, sendo b≠0. Proporção a b Proporção é a igualdade de duas razões. Considerando a proporção: , seus elementos se denominam:=a b c d Fonte: Fonte: Autoria própria. Propriedade fundamental Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Considerando as proporções: Então, a *d = b *c = a b c d Então, 4*6 = 3*8 = 4 3 8 6 Então, 5*x = 4*20 x= 80/5 ou x = 16 = x 2 3 5 Saiba mais Assista ao vídeo presente na página Exemplo de escrita de proporções <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre- algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/writing-proportions > . Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais Duas grandezas x e y são denominadas: https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/writing-proportions Diretamente proporcionais Quando a razão entre x e y é constante. , então x = k*y= kx y Inversamente proporcionais Quando o produto delas é constante. x*y = k ou Sendo k denominada constante de proporcionalidade. x = k y Saiba mais Assista ao vídeo Introdução às relações proporcionais <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios- rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships > . Depois, pratique com a lista de exercícios <galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf> . e con�ra o Gabarito <galeria/aula1/anexo/a1_doc2.pdf> . Atividade 9. Qual das proposições abaixo é verdadeira: a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro. b) Todo número real é negativo. c) O número 2/3 é um número irracional. d) O número -1 pode ser classificado somente como número racional. e) O número +5 pode ser classificado como número real. Notas Referências MATEMÁTICA BÁSICA. Fração. Disponível em: https://matematicabasica.net/fracao/ <https://matematicabasica.net/fracao/> . Acesso em: 09 nov. 2018. CANDAL, Denise. Fundamentos de Matemática, Rio de Janeiro: SESES, 2015. Próxima aula Números decimais; Regra de três simples; Regra de três composta. https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc2.pdf https://matematicabasica.net/fracao/ Explore mais Exercícios de números decimais e frações negativas na Khan Academy <https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade- math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line> . Exercícios de proporções para concursos <//www.gabaritodematematica.com/exercicios-de-proporcoes-para-concursos/> . https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line http://www.gabaritodematematica.com/exercicios-de-proporcoes-para-concursos/
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