GABARITO AV 1 - EQUAÇÕES DIFERENC

Prévia do material em texto

ENGENHARIA CIVIL E ELÉTRICA 
 
 
 
Página 1 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA 1 
ALUNO: GABARITO 
MATRÍCULA: TIPO DE PROVA: 
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTA: 
PROFESSOR: DATA DA PROVA: 
TURMA: CÓDIGO DA TURMA: 
 
Apresentação e Organização valem 1,0 
1- Usando a integral de superfície envolvida no Teorema de Stokes calcule a circulação do 
campo F no contorno da curva fechada no sentido anti-horário visto de cima: 
a) (1,0 ponto) 
 𝐹 = 𝑥𝑦𝑖 + 2𝑧𝑗 + 3𝑦𝑘 
 𝐶 é a curva da interseção do plano 𝑥 + 𝑧 = 0 e o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9. 
∮ �⃗�. 𝑑𝑟 = ∬ 𝑟𝑜𝑡𝐹. 𝑑𝑠 
1ºPasso: Achar o rotacional de F 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (
𝜕3𝑦
𝜕𝑦
−
𝜕2𝑧
𝜕𝑧
) 𝑖 + (
𝜕𝑥𝑦
𝜕𝑧
−
𝜕3𝑦
𝜕𝑥
) 𝑗 + (
𝜕2𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝑥𝑦
𝜕𝑦
) 𝑘 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (3 − 2)𝑖 + (0 − 0)𝑗 + (0 − 𝑥)𝑘 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (1, 0, −𝑥) 
 
2º Passo: Achar 𝑑𝑠 
𝑟 = (𝑥, 𝑦, −𝑥) 
𝑟𝑥 = (1, 0, −1) 
𝑟𝑦 = (0, 1, 0) 
 
𝑟𝑥𝑥𝑟𝑦 = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 0 −1
0 1 0
|
𝑖 𝑗
1 0
0 1
= (0𝑖 + 0𝑗 + 1𝑘) − (0𝑘 − 1𝑖 + 0𝑗) = (1, 0, 1) 
 
3º Passo: Calcular a integral dupla 
= ∬ 𝑟𝑜𝑡𝐹. 𝑑𝑠 
= ∬(1, 0, −𝑥). (1, 0, 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 
= ∬(1 − 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
Obs. Parametrizando, temos: 
{
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL E ELÉTRICA 
 
 
 
Página 2 
 
Substituindo: 
= ∬(1 − (𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃))𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
= ∫ ∫ (1 − (𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃))𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
3
0
2𝜋
0
 
= ∫ ∫ (𝑟 − 𝑟2. 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃
3
0
2𝜋
0
 
= ∫ [
𝑟2
2
− 
𝑟3.𝑐𝑜𝑠𝜃
3
]
0
3
𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= ∫ [(
9
2
− 
27.𝑐𝑜𝑠𝜃
3
) − (
0
2
− 
0.𝑐𝑜𝑠𝜃
3
)]
2𝜋
0
𝑑𝜃 
= ∫ (
9
2
− 
27.𝑐𝑜𝑠𝜃
3
)
2𝜋
0
𝑑𝜃 
= [
9𝜃
2
− 
27𝑠𝑒𝑛𝜃
3
]
0
2𝜋
 
= [
9.2𝜋
2
− 
27.𝑠𝑒𝑛2𝜋
3
] − [
9.0
2
− 
27.𝑠𝑒𝑛0
3
] 
= [
9.2𝜋
2
− 
27.0
3
] − [
9.0
2
− 
27.0
3
] 
= 9𝜋 
 
b) (1,0 ponto) 
 𝐹 = 𝑧𝑖 − 2𝑥𝑗 + 3𝑦𝑘 
 𝐶: 
𝑥2
9
+ 
𝑦2
4
= 1 é a curva da interseção do plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 . 
 
1ºPasso: Achar o rotacional de F 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (
𝜕3𝑦
𝜕𝑦
−
𝜕(−2𝑥)
𝜕𝑧
) 𝑖 + (
𝜕𝑧
𝜕𝑧
−
𝜕3𝑦
𝜕𝑥
) 𝑗 + (
𝜕(−2𝑥)
𝜕𝑥
−
𝜕𝑧
𝜕𝑦
) 𝑘 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (3 − 0)𝑖 + (1 − 0)𝑗 + (−2 − 0)𝑘 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (3, 1, −2) 
 
2º Passo: Achar 𝑑𝑠 
𝑟 = (𝑥, 𝑦, 1 − 𝑥 − 𝑦) 
𝑟𝑥 = (1, 0, −1) 
𝑟𝑦 = (0, 1, −1) 
 
𝑟𝑥𝑥𝑟𝑦 = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 0 −1
0 1 −1
|
𝑖 𝑗
1 0
0 1
= (0𝑖 + 0𝑗 + 1𝑘) − (0𝑘 − 1𝑖 − 1𝑗) = (1, 1, 1) 
 
3º Passo: Calcular a integral dupla 
= ∬ 𝑟𝑜𝑡𝐹. 𝑑𝑠 
= ∬(3, 1, −2). (1, 1, 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 
= ∬ 2𝑑𝑥𝑑𝑦 
Como deu uma constante podemos pôr para fora e multiplicar pela área da curva dada 
= 2. ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 
= 2. 3. 2. 𝜋 (área da elipse) 
 
 
ENGENHARIA CIVIL E ELÉTRICA 
 
 
 
Página 3 
 
= 12𝜋 
 
2- Resolver as equações diferenciais separáveis a seguir: 
a) 𝑦𝑦 , + 16 𝑥 = 0 (0,4 ponto) 
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −16𝑥 
𝑦𝑑𝑦 = −16𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫ −16𝑥𝑑𝑥 
𝑦2
2
= 
−16𝑥2
2
+ 𝐶 
𝑦2 = −16𝑥2 + 𝐶 
𝑦 = √−16𝑥2 + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑦 , = 
𝑥𝑦
2
 (0,4 ponto) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑥𝑦
2
 
2𝑑𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 
∫
2
𝑦
𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 
2. ln|𝑦| = 
𝑥2𝑦
2
+ 𝐶 
ln|𝑦|2 = 
𝑥2𝑦
2
+ 𝐶 
𝑒ln|𝑦|
2
= 𝑒
𝑥2𝑦
2
+𝐶
 
𝑦2 = 𝑒
𝑥2𝑦
2
+𝐶
 
𝑦2 = 𝑒
𝑥2𝑦
2 . 𝑒𝐶 
𝑦 = √𝑒
𝑥2𝑦
2 . 𝐶 
c) 𝑥2𝑦𝑦 , − 2𝑥𝑦3 = 0 (0,4 ponto) 
𝑥2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑦3 
𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦3𝑑𝑥 
𝑦
𝑦3
𝑑𝑦 = 
2𝑥
𝑥2
𝑑𝑥 
1
𝑦2
𝑑𝑦 = 
2
𝑥
𝑑𝑥 
∫
1
𝑦2
𝑑𝑦 = ∫
2
𝑥
𝑑𝑥 
−
1
𝑦
= 2 ln|𝑥| + 𝐶 
−
1
𝑦
= ln|𝑥|2 + 𝐶 
𝑦 = −
1
ln|𝑥|2+𝐶 
 
d) 𝑦 , = 
𝑦
𝑥2+ 1
 (0,4 ponto) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑦
𝑥2+1
 
(𝑥2 + 1)𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥 
1
𝑦
𝑑𝑦 = (
1
𝑥2+1
) 𝑑𝑥 
∫
1
𝑦
𝑑𝑦 = ∫ (
1
𝑥2+1
) 𝑑𝑥 
ln|𝑦| = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
𝑒ln|𝑦| = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)+𝐶 
𝑒ln|𝑦| = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥). 𝑒𝐶 
𝑦 = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥). 𝐶 
 
 
e) 𝑥. (1 + 𝑦2) − 𝑦(1 + 𝑥2)𝑦 , = 0 (0,4 ponto) 
𝑥(1 + 𝑦2) − 𝑦(1 + 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
𝑥(1 + 𝑦2) = 𝑦(1 + 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑥(1 + 𝑦2)𝑑𝑥 = 𝑦(1 + 𝑥2)𝑑𝑦 
(
𝑥
1+ 𝑥2
) 𝑑𝑥 = (
𝑦
1+ 𝑦2
) 𝑑𝑦 
∫ (
𝑥
1+ 𝑥2
) 𝑑𝑥 = ∫ (
𝑦
1+ 𝑦2
) 𝑑𝑦 
1
2
ln|1 + 𝑥2| =
1
2
ln|1 + 𝑦2| + 𝐶 
 
 
ENGENHARIA CIVIL E ELÉTRICA 
 
 
 
Página 4 
 
 
ln|1 + 𝑥2| = ln|1 + 𝑦2| + 𝐶 
 
𝑒ln|1+ 𝑥
2| = 𝑒ln|1+ 𝑦
2|+𝐶 
 𝑒ln|1+ 𝑥
2| = 𝑒ln|1+ 𝑦
2|. 𝑒𝐶 
1 + 𝑥2 = (1 + 𝑦2). 𝐶 
1+𝑥2
(1+𝑦2)
= 𝐶 
 
 
3- Verifique se as equações diferenciais dadas a seguir são exatas, nos casos afirmativos 
resolva-as: 
a) (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (−𝑥 + 𝑦 + 2)𝑑𝑦 = 0 
Verificação: (0,5 ponto) 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 
𝜕(𝑥−𝑦)
𝜕𝑦
= −1 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 
𝜕(−𝑥+𝑦+2)
𝜕𝑥
= −1 
∫(𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥 = 
𝑥2
2
− 𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦) 
∫(−𝑥 + 𝑦 + 2)𝑑𝑦 = −𝑥𝑦 + 
𝑦2
2
+ 2𝑦 + 𝑔(𝑥) 
𝑥2
2
− 𝑦𝑥 + 
𝑦2
2
+ 2𝑦 = 𝐶 
 
 
 
 
 
b) 𝑦 , = 
𝑦−𝑥+1
−𝑥+𝑦+3
 (0,5 ponto) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑦−𝑥+1
−𝑥+𝑦+3
 
(𝑦 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = (−𝑥 + 𝑦 + 3)𝑑𝑦 
(𝑦 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥 − (−𝑥 + 𝑦 + 3)𝑑𝑦 = 0 
(𝑦 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 − 3)𝑑𝑦 = 0 
Verificação: 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 
𝜕(𝑦−𝑥+1)
𝜕𝑦
= 1 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 
𝜕(𝑥−𝑦−3)
𝜕𝑥
= 1 
∫(𝑦 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑦𝑥 − 
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝑓(𝑦) 
∫(𝑥 − 𝑦 − 3)𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 − 
𝑦2
2
− 3𝑦 + 𝑔(𝑥) 
𝑦𝑥 − 
𝑥2
2
+ 𝑥 − 
𝑦2
2
− 3𝑦 = 𝐶 
 
 
c) (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 0 
Verificação: (0,5 ponto) 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 
𝜕(𝑥2− 𝑦2)
𝜕𝑦
= −2𝑦 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 
𝜕(𝑥𝑒𝑥𝑦+1)
𝜕𝑥
= 1. 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥. 𝑒𝑥𝑦 . 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 . (1 + 𝑥𝑦) 
A Equação não é exata. 
 
 
 
d) (𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦)𝑑𝑦 = 0 
Verificação: (0,5 ponto) 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 
𝜕(𝑦+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝜕𝑦
= 1 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 
𝜕(𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑦)
𝜕𝑥
= 1 
∫(𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑓(𝑦) 
∫(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦)𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑔(𝑥) 
𝑥𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝐶 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL E ELÉTRICA 
 
 
 
Página 5 
 
4- Utilizando o Teorema de Green é correto afirmar que a integral de linha do campo vetorial 
�⃗� = (3𝑦 − 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 7𝑥 + √𝑦4 + 1) delimitado pela curva 𝑥2 + 𝑦2 = 25 é igual a: 
1º Passo: Achar o rotacional: (1,5 pontos) 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
=
𝜕(7𝑥+ √𝑦4+ 1)
𝜕𝑥
= 7 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕(3𝑦− 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥) 
𝜕𝑦
= 3 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 7 − 3 = 4 (constante) 
2º Passo: Calcular a integral dupla 
= ∬ 4𝑑𝑥𝑑𝑦 
= 4 ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 
= 4. 52. 𝜋 (Área da circunferência) 
= 100𝜋 
5- O intervalo de convergência da série ∑
(𝑥−5)𝑛
10𝑛
∞
𝑛=1 é: 
Utilizando o Critério da Razão: (1,5 pontos) 
• Se lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| < 1 então a séria converge; 
• Se lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| > 1 então a séria diverge; 
• Se lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 1 então o teste é inconsistente. 
 
Achando o limite desejado: 
lim
𝑛→∞
|
(𝑥−5)𝑛+1
10𝑛+1
(𝑥−5)𝑛
10𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(𝑥−5)𝑛. (𝑥−5)1
10𝑛 . 101
(𝑥−5)𝑛
10𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(𝑥−5)
10
| = 
|𝑥−5|
10
 
 
Comparando com o item de convergência: 
|𝑥−5|
10
 < 1 , temos então |𝑥 − 5| < 10 
 
E agora resolvendo a inequação modular encontrada: 
|𝑥 − 5| < 10 
−10 < 𝑥 − 5 < 10 
−10 + 5 < 𝑥 < 10 + 5 
−5 < 𝑥 < 15 , logo o intervalo de convergência é ]−5, 15[