Slides - Unidade IV Matemática para Economia

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Matemática para Economia
Prof. Maurício Manzalli
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais: 
Inteiros: 
Racionais: 
Irracionais:
Introdução aos números
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais : 1  9 = 3 12/3 = 4
Inteiros: -7 -8/2 = - 4
Racionais: 0,25 = ¼ 0,48282 
Irracionais:  2  3 1,4326579
Introdução aos números
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}
b) B = {y  N  1 < y  5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}
d) D = {m  Z  m  -2}
Conjuntos numéricos
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) B = {y  N  1 < y  5}  {2, 3, 4, 5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}  { -2, -1, 1, 2, 3}
d) D = {m  Z  m  -2}  {-2, -1, 0, 1, 2...}
Conjuntos numéricos
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio de uma linguagem 
simbólica:
a) M = {6, 7, 8} 
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Conjuntos numéricos
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio de uma linguagem 
simbólica:
a) M = {6, 7, 8}  M= {x  N  6  x  8}
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}  P = {x  N  x  4} ou
P = {x  N  x > 3}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}  T = {x  Z  x < 0} ou
T = {x  Z  x  -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}  V = {x  Z  -3 < x < 4} ou
V = {x  Z  -2  x  3}
Conjuntos numéricos
A rua onde Renata mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já foram asfaltados. 
Que fração da rua ainda resta asfaltar?
Trabalhando com Números
A rua onde Renata mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já foram asfaltados. 
Que fração da rua ainda resta asfaltar?
Resposta: 
1 – 5 = 9 – 5 = 4
9 9 9
Logo, resta asfaltar 4/9 da rua.
Trabalhando com Números
Consumo médio: Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92 km) no seu carro. Foram 
gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o 
combustível consumido? 
Razão
Consumo médio: Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92 km) no seu carro. Foram 
gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o 
combustível consumido? 
 Razão: 92 km = 11,5 km/L
8 litros
O que significa essa razão? 
 Significa que a cada litro consumido foram percorridos, 
em média, 11,5 km.
Razão
Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por R$ 27,00. 
Determine a razão entre:
a) O preço de venda e o de custo.
b) O lucro e o preço de venda.
Razão
Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por R$ 27,00. 
Determine a razão entre:
a) O preço de venda e o de custo.
Resposta: preço de venda = 27 = 1,5 
preço de custo 18
b) O lucro e o preço de venda.
Resposta: Lucro = V - C = 27 -18 = 9 = 0,33
preço de venda V 27 27
Razão
Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá 
podemos obter com 1200 kg?
Regra de três, grandezas proporcionais e inversas
Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá 
podemos obter com 1200 kg?
Regra de três, grandezas proporcionais e inversas
Milho (kg) Fubá (kg)
50 35
1200 x
Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá 
podemos obter com 1200 kg?
Grandeza Diretamente Proporcional: 50 = 35
1200 x
x = 840 kg
Como o exemplo pede em sacas de 60 kg:
84060 = 14 sacas de fubá
Regra de três, grandezas proporcionais e inversas 
Milho (kg) Fubá (kg)
50 35
1200 x
Um avião bimotor, com a velocidade de 450 km/h, efetua a viagem entre São Paulo e 
Brasília em 2 horas. Em quanto tempo, um avião a jato, de velocidade igual a 1200 
km/h, faria a mesma viagem?
Regra de três, grandezas proporcionais e inversas
Um avião bimotor, com a velocidade de 450 km/h, efetua a viagem entre São Paulo e 
Brasília em 2 horas. Em quanto tempo, um avião a jato, de velocidade igual a 1200 
km/h, faria a mesma viagem?
Regra de três, grandezas proporcionais e inversas
Velocidade (km/h) Tempo (h)
450 2
1200 x
Um avião bimotor, com a velocidade de 450 km/h, efetua a viagem entre São Paulo e 
Brasília em 2 horas. Em quanto tempo, um avião a jato, de velocidade igual a 1200 
km/h, faria a mesma viagem?
Grandeza Inversamente Proporcional: 450 = x
1200 = 2
x = 0,75h = 45min
Regra de três, grandezas proporcionais e inversas
Velocidade (km/h) Tempo (h)
450 2
1200 x
Com média de 90 km/h, faço um trajeto de três horas. Para que eu faça esse 
percurso em apenas duas horas, qual deve ser minha velocidade média?
a) 60 km/h. 
b) 100 km/h.
c) 125 km/h. 
d) 135 km/h. 
e) 150 km/h.
Interatividade
Alternativa correta: d) 135 km/h. 
Resolução: Velocidade Horas
90 km/h → 3
x → 2
Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das 
colunas e multiplicar em cruz:
Velocidade Horas
90 km/h → 2 2 . x = 90 . 3
x → 3 2x = 270  x = 270/2
x = 135 km/h
Resposta
Meu primo tem 25 anos. Eu tenho 40 anos. A idade dele é quantos por cento 
da minha?
Porcentagem
Meu primo tem 25 anos. Eu tenho 40 anos. A idade dele é quantos por cento da 
minha?
Resolução: 
25 = 0,625
40
Transformando para a forma porcentual:
0,625 . 100 = 62,5%
Porcentagem
Um eletrodoméstico foi comprado por R$ 1.200,00. Obteve-se um desconto de 3%. 
Qual o valor pago em reais?
Porcentagem
Um eletrodoméstico foi comprado por R$ 1.200,00. Obteve-se um desconto de 3%. 
Qual o valor pago em reais?
Resolução: 3% = 0,03
1.200 x 0,03 = 36
Preço: 1200,00
Desconto: -36,00
Valor pago: 1164,00
Porcentagem
Seu Nelson gastou um quarto do seu salário com alimentação e um terço com as 
despesas da casa. Após ter quitado suas contas do mês, sobraram-lhe R$ 380,00. 
Qual é o salário do Seu Nelson?
Modelagem matemática
Seu Nelson gastou um quarto do seu salário com alimentação e um terço com as 
despesas da casa. Após ter quitado suas contas do mês, sobraram-lhe R$ 380,00. 
Qual é o salário do Seu Nelson?
1 (alimentação) + 1 (aluguel) + 380 (sobra) = ???
4 3
Modelagem matemática
Seu Nelson gastou um quarto do seu salário com alimentação e um terço com as 
despesas da casa. Após ter quitado suas contas do mês, sobraram-lhe R$ 380,00. 
Qual é o salário do Seu Nelson?
1 (alimentação) + 1 (aluguel) + 380 (sobra) = ???
4 3
Modelando matematicamente: x = salário
1 x + 1 x + 380 = x
4 3
Modelagem matemática
Resolvendo: 
1 x + 1 x + 380 = x
4 3
1 x + 1 x - x = -380
4 3
MMC = 12
3x + 4x -12x = -4560
12 12
-5x = -4560 (x-1)
5x = 4560
x = 912 O salário é R$ 912,00
Modelagem matemática
O triplo de um número mais dois é igual ao próprio número menos quatro. Qual é 
esse número?
Modelagem matemática
O triplo de um número mais dois é igual ao próprio número menos quatro. Qual é 
esse número?
Modelando matematicamente: x = número 
3x + 2 = x – 4 
3x – x = – 4 – 2 
2x = – 6 
x = – 6
2
x = – 3 
Modelagem matemática
Provando:
3x + 2 = x – 4 
3.(-3) + 2 = -3 -4
-9 + 2 = -7
-7 = -7 
Resolver a inequação 11 < 3x + 5:
11 < 3x + 5
-3x < 5 - 11
-3x < -6 (-1)
3x > 6
x > 6/2
x > 3
Inequações
Uma caixa d’água, quando totalmente cheia, pode conter x litros de água. Se 
retirarmos 30 litros de água, a quantidade que resta é maior que 1/4 da capacidade 
total desse reservatório. Quais são os valores possíveis que podem representar a 
capacidade total dessa caixa d’água?
Inequações
Uma caixa d’água, quando totalmente cheia, pode conterx litros de água. Se 
retirarmos 30 litros de água, a quantidade que resta é maior que ¼ da capacidade 
total desse reservatório. Quais são os valores possíveis que podem representar a 
capacidade total dessa caixa d’água?
Modelando matematicamente: x = capacidade total da caixa.
x – 30 > 1 x
4
Inequações
Uma caixa d’água, quando totalmente cheia, pode conter x litros de água. Se 
retirarmos 30 litros de água, a quantidade que resta é maior que ¼ da capacidade 
total desse reservatório. Quais são os valores possíveis que podem representar a 
capacidade total dessa caixa d’água?
Modelando matematicamente: x = capacidade total da caixa.
x – 30 > 1 x
4
x – 1 x > 30
4
4x – 1x > 120  3x > 120  x > 40 litros
4 4
Inequações
Uma empresa A tem 5 anos a mais de mercado que uma empresa B. A soma da 
idade de ambas é igual a 39 anos. 
Qual é a idade de cada uma?
Sistemas de equações 
Uma empresa A tem 5 anos a mais de mercado que uma empresa B. A soma da 
idade de ambas é igual a 39 anos. 
Qual é a idade de cada uma?
Modelando o problema: A = B + 5  equação I
A + B = 39  equação II
Sistemas de equações 
Uma empresa A tem 5 anos a mais de mercado que uma empresa B. A soma da 
idade de ambas é igual a 39 anos. 
Qual é a idade de cada uma?
Modelando o problema: A = B + 5  equação I
A + B = 39  equação II
Método da substituição: substituindo o valor de A na equação II:
A + B = 39
(B + 5) + B = 39  2B + 5 = 39
2B = 39 – 5  2B = 34  B = 17
Substituindo B = 17 na equação I: 
A = 17 + 5  A = 22 Logo, A = 22 anos e
B = 17 anos
Sistemas de equações 
Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. 
Ao fim de 50 exercícios, tem 130 pontos. Quantos exercícios acertou?
a) 28
b) 40
c) 14
d) 35
e) 20
Interatividade
Alternativa correta: d) 35.
Resolução: Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por 
exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tem 130 pontos. Quantos exercícios 
acertou?
Modelando o problema: x: número de questões certas.
y: número de erradas. 
- Como foram 50 exercícios: x + y = 50  equação I.
- Como o aluno tinha 130 pontos e ele ganha 5 pontos por exercícios que acerta e 
perde 3 pelo que erra, somando todos os pontos, devemos 
ter 130, assim:
5x - 3y = 130  equação II
Resposta
 x + y = 50  equação I
 5x  3y = 130  equação II
A partir da equação I, temos: x = 50 – y. 
Substituindo na equação II, temos:
5 . (50 – y) – 3y = 130
250 – 5y – 3y = 130 
– 8y = 130 – 250  – 8y = – 120 
y = 120/8  y = 15 (erradas)
Substituindo y = 15 na equação I, temos:
x + 15 = 50  x = 50 – 15 
x = 35 (certas)
Resposta
Resolver: 3x² – 7x + 2 = 0
Equação do 2º grau
Resolver: 3x² – 7x + 2 = 0
a = 3, b = – 7 e c = 2
x = – b ±  b² – 4ac = – (– 7) ±  (–7)² – 4.3.2
2a 2.3 
x = 7 ±  25 = 7 ± 5
6 6
x’ = 7 + 5 = 12 = 2 
6 6
x’’ = 7 – 5 = 2 = 1
6 6 3
Equação do 2º grau
A soma de um número com seu quadrado é 72. Qual é o número?
Equação do 2º grau
A soma de um número com seu quadrado é 72. Qual é o número?
 Modelando matematicamente: x + x² = 72.
Equação do 2º grau
A soma de um número com seu quadrado é 72. Qual é o número?
Modelando matematicamente: x + x² = 72
Transformando em equação de 2 grau: x² + x – 72 = 0
Identificando os coeficientes: a = 1 b = 1 c = -72
Determinando :  = b² – 4ac
 = 12 – 4. 1. (-72)
 = 1 + 288 = 289
Equação do 2º grau
Determinando o valor de x:
x = – b ±   = – (1) ±  289
2a 2.1 
x = -1 ± 17
2 
x’ = -1 + 17 = 16 = 8 
2 2
x’’ = -1 – 17 = -18 = -9
2 2 
Equação do 2º grau
Provando o resultado:
A soma de um número com seu quadrado é 72. Qual é o número?
Modelo matemático: x + x² = 72
x’ = 8 8 + 82 = 72
x’’ = -9 -9 + (-9)2 = -9 + 81 = 72
Equação do 2º grau
A diferença entre dois números cuja soma dos quadrados é 290, é 2. Determine 
esses números.
Equação do 2º grau
A diferença entre dois números cuja soma dos quadrados é 290, é 2. Determine 
esses números.
Modelando matematicamente:
 x2 + y2 = 290  equação I
 x  y = 2  equação II
Equação do 2º grau
A diferença entre dois números cuja soma dos quadrados é 290, é 2. Determine 
esses números.
Modelando matematicamente:
 x2 + y2 = 290  equação I
 x  y = 2  equação II
Isolando o x na equação II ⇒ x = y + 2.
Substituindo x = y + 2 na equação I, temos:
Equação do 2º grau
x2 + y2 = 290
(y + 2)2 + y2 = 290
y2 + 4y + 4 + y2 = 290  2y2 + 4y – 290 = 0 
Simplificando, temos: y2 + 2y – 143 = 0
Determinando :  = 22 - 4.1.(-143) ⇒  = 576
Determinando o valor de y:
y = – b ±   = – 2 ±  576 = -2 ± 24
2a 2 2 
 y’ = 11
 y’’ = -13
Equação do 2º grau
Determinando o valor de x:
x = y + 2
y’ = 11  x’ = 11 + 2  x’ = 13
y’’ = -13  x’’= -13 + 2  x’’ = - 11
Logo, os números são (13, 11) ou (-11, -13).
Equação do 2º grau
Equação do 2º grau
Provando o resultado:
A diferença entre dois números, cuja soma dos quadrados é 290, é 2. Determine 
esses números.
Modelando matematicamente:
 x2 + y2 = 290
 x  y = 2
Substituindo os valores x’ e x’’ na equação II: 
x – y = 2
x’ = 13 e y’ = 11  13 – 11 = 2
2 = 2
x’ = -11 e y’ = -13  -11 –(-13) = 2
-11 + 13 = 2
2 = 2
Ache as raízes da equação x² – x – 20 = 0:
a) x’ = 1 e x” = 2
b) x’ = 5 e x” = – 4 
c) x’ = – 5 e x” = 4 
d) x’ = 1 e x” = – 2 
e) A equação não possui raízes reais.
Interatividade
Alternativa correta: b) x’ = 5 e x” = – 4 
Resolução: x² – x – 20 = 0
a = 1, b = – 1 e c = – 20
x = – b ±  b² – 4ac
2a 
x = – (– 1) ±  (-1)² – 4.1.(– 20)
2.1 
x = 1 ±  81 = 1 ± 9
2 2
x’ = 1 + 9 = 10 = 5 x’’ = 1 – 9 = – 8 = – 4 
2 2 2 2
Resposta
De acordo com a representação gráfica abaixo, o par ordenado do ponto A, B e C 
são, respectivamente:
A= (-5; 3)
B= (6; 5)
C = (4,5; -3,5)
Plano cartesiano e par ordenado
Sendo A = 1, 2, 5, 6 e B = 2, 4, 6, 8
Identifique o domínio, contradomínio e imagem da relação:
R = { xRy / y = 2x}
Domínio, contradomínio, imagem
Sendo A = 1, 2, 5, 6 e B = 2, 4, 6, 8
Identifique o domínio, contradomínio e imagem da relação
R = { xRy / y = 2x}
Resposta
Relação encontrada foi: R = {(1, 2) ; (2,4)}
D(R) = 1, 2
CD(R) = 2, 4, 6, 8
Im(R) = 2, 4
Domínio, contradomínio, imagem
A y = 2x
1 2
2 4
5 10
6 12
Na conta telefônica de uma residência, o valor a ser pago é calculado da seguinte 
maneira:
 Assinatura mensal dá direito a um certo número de ligações
e custa R$ 23,00.
 Passando deste número, o valor de ligações (pulso) excedentes é calculado 
multiplicando-se o número de pulsos extras pelo valor de cada pulso, que é de 
0,10 centavos.
 Em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura mensal.
Determinar a lei de formação y = f(x) e representá-la 
graficamente:
Funções
Lei de formação: y = f(x)
 Modelo matemático: y = assinatura mensal
x = pulso excedente
Obs.: Valor fixo da assinatura : 23,00
Valor variável: 0,10 por pulso excedente
y = 23 + 0,10 x 
Funções
Representação gráfica da função: y = 23 + 0,10 x
Funções
Y
Valor 
da conta
23,00
X
Nº de pulsos excedentes
0,10
Construa o gráfico da função determinada por f(x) = x – 2 e observe:
a) Qual o valor de x para que f(x) seja positivo;
b) Qual o valor de x para que f(x) seja igual a zero;
c) Qual o valor de x para que f(x) seja negativo.
Funções
f(x) = x – 2 y
a > 0 Par ordenado
b = -2 (0, -2)
x = -b/a = -(-2)/1 = 2 (2, 0) 0 2 x
-2
a) Qual o valor de x para que f(x) seja positivo: 
b) Qual o valor de x para que f(x) seja igual a zero: 
c) Qual o valor de x para 
que f(x) seja negativo: 
Funçõesf(x) = x – 2 y
a > 0 Par ordenado
b = -2 (0, -2)
x = -b/a = -(-2)/1 = 2 (2, 0) 0 2 x
-2
a) Qual o valor de x para que f(x) seja positivo: (x > 2) 
b) Qual o valor de x para que f(x) seja igual a zero: (x = 2) 
c) Qual o valor de x para que 
f(x) seja negativo: (x < 2) 
Funções
Um posto de combustível calcula sua lucratividade separadamente, por bomba de 
combustível. Dessa forma, o custo de cada bomba é dado pelo rateio dos custos 
fixos do posto mais o custo do combustível vendido. Certa bomba de gasolina tem 
um custo fixo de R$ 1.200,00 e a gasolina vendida nessa bomba custa, para o posto, 
R$ 2,20 o litro. O posto vende o combustível a R$ 2,40. Determine: 
a) A função receita da bomba;
b) A função custo da bomba;
c) A função lucro da bomba;
d) A quantidade mínima de combustível para 
a bomba dar lucro.
Funções
a) R(x) = P. x , em que x é a quantidade vendida de um produto
e P o preço de venda.
R(x) = 2,40.x
Funções
a) R(x) = P. x , em que x é a quantidade vendida de um produto
e P o preço de venda.
R(x) = 2,40.x
b) C(x) = CF + CV
C(x) = 1200 + 2,20x
Funções
c) L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = 2,40x – (1200 + 2,20x)
L(x) = 2,40x – 1200 – 2,20x
L(x) = 0,20x – 1200 
L
0 x
-1200
Funções
d) A quantidade mínima de combustível para a bomba dar lucro:
L(x) = 0,20x – 1200
0,20x -1200 = 0
0,20x = 1200 
x = 6000 L
0 6000 x
-1200 X > 6000
Funções
Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 
200 frequentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 
180 frequentadores por dia.
a) A função preço será p= -025q + 60.
b) A receita máxima será de R$ 4.000,00.
c) A quantidade máxima vendida de ingressos quando a receita é máxima será 20 
ingressos.
d) O preço praticado será R$ 45,00.
e) O parque não tem como determinar o preço de venda.
Interatividade
a) A função preço será p= -025q + 60
Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 
200 frequentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 
180 frequentadores por dia.
a) Admitindo-se que o preço (p) relaciona-se com o número de frequentadores por 
dia (f), obtenha a função p = f(f).
Resposta
x (frequentadores) y (preço)
200 10,00
180 15,00
y = ax + b
 10 = 200.a + b  equação I
 15 = 180.a + b  equação II
Resolvendo o sistema linear:
a = -0,25 e b = 60
Logo, p = -0,25q + 60
Resposta
x (frequentadores) y (preço)
200 10,00
180 15,00
b) Qual a receita máxima?
Sabendo que p = -0,25q + 60
R = p. q
R = (-0,25q + 60).q
R = -0,25q2 + 60q (função 2 grau: a < 0  CVB
a= -0,25 b = 60 c = 0)
Para determinar a receita máxima:
Δ = 602 -4.(-0,25).0  Δ = 3600
yv = - Δ = - 3600 = 3600
4a 4.(-0,25)
Logo, Rmáx = R$ 3.600,00
Resposta
c) Qual a quantidade máxima de ingressos vendida quando a receita é máxima?
xv = - b = -(60) = 120
2a 2.(-0,25)
Logo, qmáx = 120 ingressos.
d) Qual o preço do ingresso quando a receita é máxima?
Para qmáx = 120 ingressos, temos que:
p = -0,25q + 60
p = -0,25 ( 120) + 60
p = 30 Logo p = R$ 30,00
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA